автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические модели гидродинамической эволюции эндогенных геологических систем

р Р « /РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ■ ' ^ тЭрдена Ленина Сибирское Отделение Вычислительный центр

/ 3 МАЯ 1093

На правах рукописи

Доровский Виталий Николаевич

УДК 519.6+530.1

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ЭНДОГЕННЫХ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.16 -применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск, 1993

Работа выполнена в Объединненном Институте Геологии, Геофизики и Минералогии СО РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

на заседании специализированного Совета Д 022.10.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Вычислительном центре СО РАН (630090, Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ВЦ СО РАН (проспект Академика Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан 93г.

чл.-корр. РАН А.Н.Коновалов, доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН С.К.Гсдунов, доктор физико-математических наук, профессор В.М.Тешуков

Ведущая организация: Институт теплофизики СО РАН

Защита состоится ..-мая.... .1993г. в 7!лГ...часов

/

/

Ученый секретарь специализированного Совета к.т.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Ках в свое время заметил А. Н Дородницын (1966), одним из основных методов познания динамики геологических процессов является построение математических мотелей и численный эксперимент. Наиболее последовательно этот подход в последнее время развивается в геодинамике. В эндогенной геологии содержательные результаты математического моделирования относятся главным образом к исследованию процессов охлаждения магматических тел или плавлению мантийных пород. Тогда как обширные области количественного описания переноса тепла и массы в литосфере при движении магм, магматогенных флюидов и поровых растворов остаются слабо разработанными. Поэтому перед автором была поставлена задача разработать математические мотели описания динамики указанных процессов. При этом выяснилось, что универсальность гидродинамического описания эволюции эндогенных геологических систем ставит ряд специфических проблем, связанных с общим гидродинамическим описанием конденсированных тел. Именно в силу того, что в ряде случаев невозможно определить характер сил взаимодействия в системе, необходимо привлекать для построения моделей общие методы неравновесной термодинамики, как то: законы сохранения, инвариантность уравнений относительно преобразований Галилея, локально неравновесная энтропия и т.д.. Подавляющее количество моделей рудообра-зования в геологии в своей основе привлекают к рассмотрению двух-и трехскоростные гидродинамические континуумы. В связи с этим возникает настоятельная необходимость построения двухсворостных математических моделей, которые с одной стороны использовали бы в своей основе максимально общие физические принципы, а с другой стороны могли бы служить достаточно широкой основой для гидродинамического описания эволюции эндогенных геологических систем.

Современная геодинамика использует уравнение Навье-Стокса, опи-рируя при этом вязкостями порядка до16-20 пуаз. Понятно, что такую возможность для описания представляет не экстраполяция результатов лабораторных экспериментов в область высоких значений вязкостен, а общие термодинамические принципы, лежащие в основе указанного уравнения. Для двухскоростных систем такого аналога уравнения Навье-Стокса нет. Практически все современные модели двухскоростных сред тесно привязаны к лабораторным моделям, а не полу-

чены из общих термодинамических принципов. Единственная современная двухсхоростная модель, построенная на общих методах гидродинамического описания конденсированных сред с различным характером упорядочения, относится к гидродинамике квантовых жидкостей. Необходимость построения аналогичных моделей для описания классических систем очевидна.

Кроме того, модели должны допускать применение эффективных численных методов решения многомерных нестационарных задач. Наиболее эффективными алгоритмами при численном анализе являются консервативные разностные схемы, следящие за законами сохранения на каждом шаге разностной реализации. Всвязи с этим к медалям предъявляются требования внутренней самосогласованности уравнений. Ряд эффективных разностных схем предъявляют жесткие требования на обратимое гидродинамическое приближение моделей. В качестве такой схемы, хорошо.зарекомендовавшей себя в ряде расчетов, можно указать схему С.К.Годунова, которая не применялась в расчетах нестационарных двухсхоростных гидродинамических задач при геологическом моделироцании. Для указанной схемы должно выполняться требование, чтобы линеаризованные относительно произвольного гидродинамического фона одномерные дифференциальные уравнения обратимого приближения были гиперболическими.

Цель работы -создание математических моделей и указание численного метода для гидродинамического описания двух- и трехско-ростной эволюции эндогенных геологических систем к, в частности, для анализа процессов тепло-массопереноса во флюидных рудообразу-ющих системах, разделения компонентов между флюидами при ликвации расплавов и сепарации фаз.

Научная новизна. В работе, используя общий метод гидродинамического описания конденсированных сред с различным характером упорядочения для локально неравновесных систем, разработана математическая модель двухскоростного гидродинамического классического континуума. Модель нелинейна по скоростям и деформациям. В ее основе лежат: законы сохранения, требование об инвариантности уравнений относительно преобразований Галилея, понятие локально неравновесной энтропии, характер степеней свободы системы, ее симметрия. Перечисленные требования являются общими и, как показано в диссертации, однозначно определяют вид уравнений движения. В отличие от ранее предложенных подходов, по существу являющимися композиционными построениями, в диссертации не используется

принцип локальной аддитивности энтропии, энергия не делится на внутреннюю и кинетическую.

Используемый в диссертации аппарат восходит к известной работе Ландау по двухскоростной гидродинамике, сверхтекучего гелия и развит для локально неравновесных систем. Однако в отличие от гидродинамической теории сверхтекучести в развитой теории энтропия переносится двумя гидродинамическими скоростями. Последнее обстоятельство позволяет рассматривать модель как гидродинамическую теорию двухскоростного классического континуума. Такая модель с общих позиций описывает широкий класс геологических процессов. На ее основе разработана нелинейная диссипативная двухскоростная модель; нелинейная максвелловская модель релаксации касательных напряжений в пористом остове, сквозь который проникает магма; нелинейная модель движения флюидов (ньютоновской жидкости) сквозь упруговзаимодействующие пористые блоки. Разработана трехскорост-ная модель растворов, ликв анионная модель сульфидного рудообразо-вания с локально протекающими процессами фазового распада, опосредованного химизмом сульфидизации базитог.ой магмы. Все предлагаемые модели единственны на указанных принципах и получены впервые.

Указана разностная схема, для решения двумерной нестационарной модельной задачи и проведен численный эксперимент. За основу взят;, известная разностная схема С.К.Годунова, которая для анализа уравнений двухскоростной гидродинамики применялась впервые. Особенностью применения указанной разностной схемы к задачам двухскоростной гидродинамики при численном эксперименте является численное вычислении Римановых инвариантов при решении одномерной задачи распада разрыва в акустическом приближении в силу отсутствия аналитических решений. Здесь проявляется принципиальное отличие от задач односкоростной гидродинамики.

Практическое значение работы состоит в построении ряда математических моделей, позволяющих наряду с предложенным численным алгоритмом с общих позиций в значительном интервале изменения термодинамических переменных анализировать динамику широкого класса рудообразующих систем.

Публикации и опробация работы. Основные результаты работы изложены в 9 статьях и докладывались на различных конференциях, в том числе на международном симпозиуме "Состав и процессы глубинных зон континентальной литосферы"(Новосибирск, 1988), на

всесоюзном симпозиуме "Термодинамика в геологии" (Миасс, 1988), на V всесоюзном симпозиуме по кинетике и динамике геохимических процессов (Черноголовка, 1989), на международном симпозиуме "Тепловая эволюция литосферы и ее связь с глубинными процессами" (Москва, 1989), на всесоюзном семинаре "Акустика неоднородных сред"(Новоси-бирск, 1992), а также на семинаре отдела дифференциальных уравнений ИМ СО РАН (руководитель проф. С.К.Годунов), на семинаре ИТПМ СО РАН (руководитель проф. В.М.Фомин), на семинаре ВЦ СО РАН (руководитель академик А.С.Алексеев), на семинаре ИГ СО РАН (руководитель проф.В.В.Пухначев), на семинаре ИГ СО РАН (руководитель проф. Б.Д.Аннин), на объединенном семинаре ОИГГиМ СО РАН и Института математики СО РАН (руководитель проф. В.Н.Шарапов)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 186 страниц, содержится 24 рисунка. Список литературы насчитывает 54 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении обосновывается необходимость предлагаемого подхода, его новизна, актуальность темы и метода для задач гидродинамической эволюции геологических систем и двухскоростной гидродинамики в частности. Кратко изложены содержание и основные результаты.

Первая глава иллюстрирует использование общего метода гидродинамического описания конденсированных систем с различным характером упорядочения при выводе известного уравнения Эйлера термодинамическим путем, используя понятия неравновесной энтропии и внешнего поля по Леонтовичу (А.МЛеонтович, 1983). Вывод, представляющий содержание первого параграфа, носит методический характер. Метод является современным мощным методом получения дифференциальных уравнений моделей, использует самые общие сведения о системе -законы сохранения, преобразования Галилея, симметрию системы, число и характер термодинамических степеней свободы, локально неравновесную энтропию. Подход достаточно полно изложен в монографиях Л Д.Ландау и Е.М.Лифшица, И.М.Халатникова, Е.И.Каца и В.В.Лебедева, С.А.Пикина, С.Паттер мана. Метод применяется главным образом для получения гидродинамических уравнений

сверхтекучего гелия, гидродинамики жидких кристаллов. Для получения уравнений двухскоростного классического континуума, как локально нерановесной термодинамической системы, метод применяется в настоящей диссертации впервые. В качестве двухскоростной гидродинамической системы, представляющей основу для списания геологических эндогенных систем, рассматривается упругогтеформируэмое пористое тело, имеющее собственную скорость движения и и парциальную плотность р,. Сквозь остов проникает жидкость со скоростью v и плотностью р\. Амплитуды скоростей формально не ограничены. Локально в каждой точке пространства присутствует относительное движение. Если перейти в систему отсчета, счязаикую с покоем жидкой частицы, можно написать первое начало термодинамики

АЕо = TdS + tidp + ^¿d/« + („ - v,dj0)

для элемента среды, в котором присутствует относительное движение с плотностью импульса j0. В приведенной формуле 5-энтропия единицы объема, ц -химический потенциал, р -плотность, gai3 -ыетри ческий тензор деформаций вмещающего жидкость остова, Ей -энергия ед. объема в системе отсчета, связанной с покоем жидкой частицы. Последний член, как и в двухскоростной гидродинамике Ландау, выражает факт равенства скорости производной энергии по импульсу. Первое начало термодинамики позволяет определить энтропию как определенную локально функцию состояния S — S(E0,p,ga^, jo), а анализ термодинамического равновесия системы приводит к условиям

Т = const, u = v = const, ¡1 — const.

Таким образом определяется локально неравновесная энтропия по Леон-товичу

= bi V _

ТТ 2Т Т

Последний кинетический член указывает на наличие в системе локально релаксирующих степеней свободы. Энтропия не предполагается локально аддитивной функцией. Законы сохранения и анализ термодинамического равновесия констатируют общий вид уравнений движения ^ ^

+ divj = 0, — + divF = О,

f+ divQ = 0, ^ + V(u,e*) = 0.

Здесь в законах сохранения стоят пока неопределенные обратимые потоки. Последнее уравнение (получено в работе А.Ф.Андреева и М.Ю .Кагана, но выведено в диссертации несколько иным путем) определяет эволюцию локального деформационного репера, который, в свою очередь, определяет метрический тензор деформаций соотношением

Неизвестные обратимые потоки связаны с системой отсчета покоя жидкой частицы преобразованиями Галилея (Л.Д.Ландау, Е.М.Лиф шиц, 1986)

DlP"

Е = Е0+ ^ + j0), j=jo + pv, F-Fo + Sv,

Q = Qo + (~Г + Uo,v) + v + Yjo + (По'v)'

П;* = П0д + pViVk + Vij0<k + vkh,i-

Закон сохранения энергии в гидродинамике является тождественным следствием приведенных законов сохранения и не представляет независимого закона сохранения. Процедура тождественного совмещения законов сохранения между собой и приведенные преобразования Галилея одназначно определяют обратимые термодинамические потоки в уравнениях и неизвестные функции а и /?. Таким образом получена полная система обратимых уравнений двухскоростного классического континуума

+ divj = 0, + div(sj) = 0, j = p, u + piV, + дк{р, UjU* + pmvk + pSik + =

Я pfl

„ „ , „ . аа ч canst

Ь0= ьа(р, S, Jo, д р. = , , р-р, + PI.

/det(sro/J)

В отличие от теории Ландау энтропия переносится обеими компонентами. Полученная система уравнений представляет математическую модель совместного движения деформируемого тела с проникающей сквозь него жидкостью. Ограничений на величину деформаций и скоростей движения нет. Полученную систему уравнений можно представить в эквивалентном виде, определив метрит-'.с- ий тензор деформаций выражением

9ik - efef 6ар, gik = 9ki-

В этом случав приходим к обобщению известных формул Мурнагана для тензора напряжений

г L с л

&ik = -Piik ~ ПгпЗтк — ~Р -Х-Ш ~ ¿P9im-Z-•

ар ддтк

Здесь энергня е0 отнесена к единице массы. Уравнение состояния в термодинамической теории не вычисляется. Однако для широкого класса систем уравнение состояния нохет быть построено в гуковском приближении путем разложения энергии по степеням термодинамический переменных, описывающих отклонения системы от произвольно выбранного термодинамического равновесного состояния. С указанной точностью уравнение состояния имеет вид

Л К

eo(p,s,'h,gik) = const + —If + —-I2 - TTi^iP ~ A>) + ~ opo 4p0 2 pi

+J(<*3 + ~){p - A>)2 + ^(i - s0)2 + ei(P ~ Po){s ~ so) + ^-vj7. ¿Pt 2 2P

Кинетическая добавка определяется из первого начала термодинамики. Коэффициенты разложения выражаются через экспериментально измеримые термодинамически равновесные величины. Уравнение состояния замыкает предложенную модель.

Линейный анализ полученных уравнений обнаруживает три типа акустических колебаний в системе: одну поперечную звуковую волну и две продольные. В диссертации получена связь измеряемых трех скоростей звуков с коэффициентами разложения в уравнении состояния. Но зависимость коэффициентов разложения от устройства подсистем, входящих в рассматриваемую систему, может быть определена только из соответствующей композиционной теории. Тем не менее из общих соображений показано, что скорость дополнительной продольной звуковой волны исчезает с уменьшением содержания жидкости в порах при соблюдении условия насыщенности пор, а скорость двух

остальных акустических колебаний стремится к известным значениям скоростей звуков в изотропном твердом теле. Существенным предсказанием теории является наличие дополнительной продольной моды, недавно обнаруженной в эксперименте (T.J.Plone, 1980).

Динамические уравнения полученного обратимого приближения можно представить в форме уравнений импульсов

+ дк{ргщик + hoßetf) = - ^(и - v)2 +

ot р ¿р 1р

Щр + = -pjaiP+- v)2 - 0 w'.

Лугко заметить, что величина

является силой реакции. Также можно показать, что ее аналог в уравнениях движения фаз представляется разницей субстанциональных производных скоростей. Развитый аппарат указывает, что для каждой системы силы реакции самосогласованно вычисляются. Имеет место ситуация аналогичная классической механики, в которой введенные силы обратимой реакции однозначно вычисляются из уравнений движения (принцип д'Аламбера).

Построением двухскоростной обратимой гидродинамики и ее линейным анализом заканчивается первая глава диссертации. Математическая модель является базовой для построения последующих моделей, представляющих основу для моделирования геологических процессов.

Вторая глава представляет построенные в диссертации три дис-сипативных модели, три модели, лежащих в основе моделирования динамики эндогенных геологических процессов: движение вязкой жидкости сквозь упругодеформированный остов -модель гидродинамического переноса вязких магматических расплавов как основа моделирования динамики интрузий, динамического разделения компонентов, формирования базитовых магм; максвелловская нелинейная модель с релаксацией пористого остова, являющаяся основой для математического моделирования динамики высокотемпературных магм, а также геодинамических двухскоростных течений. Третья модель главы рассматривает нелинейную модель движения расплавов сквозь трещино-ватопористые упругодеформируемые среды. Такая модель позволяет также моделировать численно течения в специфических нефтеносных

I

10

коллекторах. Широкий класс магматических систем относится к типу трещиноватопористых.

Необратимость в модель вводится стандартным путем, -в законы сохранения к обратимым потокам входят аддитивные добавки, инвариантные относительно преобразований Галилея. Это гостаю'П'о общее свойство для слабо неоднородных систем, обладаюшчх свойством пространственного ослабления корреляций (А.И.Ахиезер, С.В.ТТелетминс-кий, 1977). Последнее принимается в качестве постулата. Ссгласуя законы сохранения между собой, определяем диссипативную функцию, посредством которой в приближении линейной термодинамики дисси-пативных процессов однозначно вычисляются необратимые добавки к соответствующим обратимым частям потоков, также определяется сила трения в уравнении движения жидкой компоненты. Введенные кинетические коэффициенты к, А,т?,С1,2,к представляют уравнения (с диссипативными потоками) первой модели в виде

~ + дк(р,щ и* + р№к +р6я + Наре?ек) =

= + д^к - + - ри) + Сг&ул'),

-АЭ;Т - - рщ) + -дк (т){ды + дрк - з ¿¿¿Дуу)) +

+—Э.-С^а^ - ри) + СзсИуу), Р1

где Я -диссипативная фикция. Получена замкнутая математическая модель (совместно с уравнениями , в которые не входят диссипатив-ные добавки) самосогласованного вязкого гидродинамического взаимодействия упрутодеформирующегося остова и ньютоновской жидкости. Легко заметить справедливость закона Дарси, которое не было как-либо использовано в изначальных предположениях. Теория предсказывает закон Дарси в качестве предельной ситуации, при этом выясняется связь проницаемости с кинетическим коэффициентом к. В этом смысле имеем обратную ситуацию по отношению к теориям, в которых часто за исходные посылки в построениях двухскоростных моделей принимается закон Дарси.

Исследование линейного дисскпативного приближения указывает, что акустические колебания строго затухают в системе.

Введенные кинетические характеристики позволяют исследовать широкий класс геологических задач. В качестве интересных приложений дополнительно можно указать на задачи, связанные с быстролротека-ющими процессами в нефтеносных пластах, обусловленными взрывными воздействиями. Построенная модель помимо самостоятельных приложений позволяет сформулировать модель с релаксацией касательных напряжений несущего остова, такая континуальная модель была предложена в серии работ С.К.Годунова и Е.И.Роменского для случая односкоростной среды. Авторами было определено понятие тензора эффективных упругих деформаций. Построение аналогичной модели для случая двухскоросткой среды в диссертации проведено иным путем. В односкоростном пределе получаем теорию С.К.Годунова и Е.И.Роменского.

Для максвелловского обобщения дисеипативной двухскоросгной модели обратимому деформационному уравнению необходимо придать эквивалентный с точки зрения обратимой теории вид яе?

+ А'(е^) = К?к = ¿К - ¿>*е?.

Необратимому приближению соответствуют потоки, включенные под знак градиента и в правую часть

де*

+ дЫе% + Фке°к) = iMI + К?кщ.

Приведенные уравнения совместно с остальными уравнениями дисси-пативной двухскоростной модели описывают релаксацию касательных напряжений в пористом остове.

Уравнение описывает эволюцию метрического тензора напряжений с релаксационными членами и представимо в форме, используемой в работе С.К.Гсоунова и Е.И.Роменского

-gj- + ffijdtUj + gkj&iVj + ujdjgu, = ~T)23[ffji (ftvj + djVi - ^¿,-jdiwj + gji (dkVj + djVk - -

-li^gjk (d{Uj + djui - jj<5,jdivuj + дц {дьи; + djUk - j^divuj -

-ЧззАт; (9}kHim + дцНы) •

Тензор IIопределяется по уравнению состояния

релаксационные члены описывают взаимодействие вязкой жидкости с упруговязким остовом. Эта модель имеет широкое применение з классе магматических задач, связанных с динамикой высокотемпературных магм, а также в задачах нефтяной технологии.

Исследование фильтршцш в трещииоватопористых средах в гидромеханике всегда представляло особый интерес, и вызывало значительные трудности при построении дифференциальных уравнений, управляющих переносом в таких средах. Вопрос имеет актуальное значение не только в эндогенной геологии, но а з яефгянлй технологии в сзя?и с исследованием отдачи нефтяных пластов, представляющих собой в ряде случаев трещиковагопорнстые среды. Ряд рудообразующих геологических систем также имеют трещннсвато-лористую структуру. Такие среды подвержены деформациям, могут содержать газовые компоненты, а также могут служить зона ¿га с протекающими в них химическими реакциями. При полу« глин динамических уравнений, описывающих перенос, возникают известные трудности с введением термодинамических переменных я получением гидродинамических уравнений, описывающих их эволюцию. В известной работ« Г.И.Баренблатта введением двух давлений на базе соотношения Дар-си сделана попытка построения теории фильтрации в трещиновато-пористых средах. Эта простейшая теория трудна для обобщений. В диссертации предлагается принципиально иной метод построения уравнений переноса в трещиновато-пористых средах, основанный на континуальном подходе. Предложенный подход позволил ввести в рассмотрение термодинамические переменные, характеризующие локальное термодинамическое состояние и установить связи между ними. Теория носит общий характер и не содержит внутренних противоречий. Последовательно допускается введение вязкости, силы трения, в одном из предельных случаев выполняется соотношение Дарси. В теории легко учитывается сжимаемость, что принципиально при газированных нефтях, теплоперенос, взаимное увлечение компонент. Получены следующие нелинейные уравнения динамики вязкой жидкости

р*и'=р,г1+р\\и, р* = р.

де" 1

— + У(и*,еа) =0, .7 = со»Ы(йг)-», д =

+ <Цу(р4и) = 0, р = р. + р,, ^ + =

§ + * (П* 4- К,е?4 + *а) = 0, § + Лу + Я) = |,

^ + «Ну + Ла/?еа(«Л и) + = О,

^ + = -У(/х + Л) - —УТ + Г®.

сИ р

В модель введена скорость и* континуума, представляющего пористые блоки с жидкостью, скорость и твердого материала, скорость жидкости в блоках у^ и скорость жидкости в межблочном пространстве <3 и П;* -обратимые потоки. В приведенных уравнениях также р;1' -парциальная плотность жидкости, находящейся в порах блоков, V® -континуальная скорость этой жидкости, 1 означает количество блоков в единице объема. Линейные диссипативные соотношения наряду с аддитивностью' импульса жидкости, находящейся в порах и трещинах

вводят кинетические коэффициенты и замыкают гидродинамическую часть задачи. Уравнение состояния может быть получено воспроизведением метода, с помощью которого в диссертации получено уравнение состояния двухскоростного континуума. Линейный анализ привел к совпадению с модифицированной теорией Г.И.Баренблатта. Установлено, что коэффициенты пропорциональности в линейной связи скоростей жидкости в блоках и межблочном пространстве с соответствующими градиентами давлений выражаются через кинетические коэффициенты Аи,А22 согласно формулам

у« = АгЛ + VP„

Глава заканчивается исследованием дисперсии продольных звуковых колебаний в первой диссипативной модели. Характер дисперсии продольных скоростей звуков качественно совпадает с теорией Био. При этом низкочастотные асимптотики воспроизводятся точно

и2(ы) =

л/257

«о

\

Ш О?,'

Здесь и -частота, смысл величины щ очевиден из первой формулы. В приведенных формулах никак не используется ииформация о локальном устройстве системы. Формулы носят универсальный характер. Располагая соответствующей композоционной георией, коэффициенты разложения могут быть уточнены. В настоящем подходе целесообразнее в теорию константы разложения вводить из экспериментов.

Третья глава представляет численный анализ двухскоростной континуальной модели. За основу взята известная схема С.К.Годунова. Численно исследуется двумерная задача о нестационарном нагнетании жидкости в пористую упругодеформирующуюся пробку, вставленную в трубу прямоугольного поперечного сечения. Задача является модельной и призвана для анализа характера нестационарности течения в системе, а также для исследования внутренней непротиворечивости теории. Уравнения выписаны в терминах метрического тензора деформаций, связанного с локальным репером сверткой да — е°е?к6ар. Из диссипативных членов сохранена лишь сила, обусловленная межкомпонентным трением. Численно решается следующая система двумерных уравнений (в безразмерном виде)

ЁЕ + Е?к + 2к = о. 9Е | сдЯх I аС1у --

о,

+ £-

т дх ду зг дх ду

дь , ап„ . ап

"Яхх . "УXX

ИГ еи"~дх

ду дд,

2 = 0,

д]у Э1

+ е-

ап„

ЗдХу

т

<>9уу

м

дд,

а9ху ддху ддт , .. дд,

дх

Я"»

+

ЭП

»V

+ еих~дх + ++9тп

дил дх

ду = 0, дип

= 0,

ду

= 0,

ду

дтх

■ + ешп

дт„

+ £ПХ

дих

■ + иу

дих

ш ' """ дх ' — дх ,иуду~ ~ "»'ду

+—РККХ - — Пкп-£— -I------1----—- = 0,

Р. 2 р, дх р, дх р, ду

дгх 1

дму

■ +

ди>п

ду

+ еих

диу дх

+ и„

диу

ду

— ег.

ду„ 'дх

д*у

* ду

, Р1 - 1 , ддкп , с дЛуаЗлх , 1 8Ъ.упдлу

-I—рки}у - —йь-т—-1---1-+--1—- = 0.

Р. 2 р, Эу р, дх р, ду

В приведенной системе уравнений с = Ь/а-отношение поперечных размеров области прямоутолиного сечения. Обозначения соответствуют обозначениям двухскорнстной диссипативной модели. Безразмерная энергия и потоки определяются из соотношений

ри2

Е = ре0 - — + (V. .))> j = ру + р,те, и = те + V,

<?«=-(*> + Е)и + —(те, и)»,- + ЫлдякЩ, Р Р

ПЙ = р^и.и;. + Р'УШ + Н;-д-к + р6{к.

На правой границе расчетной области задаются неотражающие граничные условия. Условия имитируют бесконечность и заключаются (при решении задачи о граничном распаде разрыва) в равенстве нулю инвариантов Римана, переносимых характеристиками, уходящими во внутрь расчетной области. На левой границе задаются условия нагнетания жидкости

их = О, Т = Т0, аХу — 0) у = (УО)0).

На верхних и нижних границах выполняются условия прилипания пористого остова и отсутствие ортогональной к поверхности составляющей скорости жидкости.

Используется модифицированная разностная схема С.К.Годукова, в которой все величины относятся к точкам сетки, а не к ячейкам (Е.И.Роменскин, 1990), аппроксимирующая дивергентные уравнения разностями

<Г = Ъ - - - -

где в качестве А выступает плотность, плотность энергии и компоненты плотности импульса, а в качестве Г -потоки из соответствующих законов сохранения. Для недивергентных уравнений разностные аналоги выбираются в форме

(9тх)^1 = (Эгх)Г,; - - (Зхг)".^)-

Аналогичные соотношения имеем для всех компонент метрического тензора деформаций. Разностным аналогом уравнения на разность скоростей уг является выражение

гм;1 = ыь - - («Хы)-

- («*>и,) - а^къМм -

. _А* чг. , чп \

Аналогичное равенство имеем на поперечную компоненту скорости. В приведенных формулах определено г = 1 + Д*,

Дх;, Ду,- - шаги по времени и по пространству. Индекс п указывает номер временного слоя, а индексы (»,;') -номера расчетных ячеек. Величины с полуцелыми индексами на оси х типа •/¿+1^ являются решениями одномерной задачи о распаде заданного в начальный момент времени (на нижнем временном слое) разрыва. Разрывы привязаны к точкам с полуцелыми индексами. Задача о распаде разрыва решалась численно в акустическом приближении. Также численно решалась задача о граничном распаде разрыва. Численно находились римановы инварианты и характеристики линеаризованной обратимой двухско-ростной гидродинамики.

Численный анализ установил существование трех характерных нестационарных режимов течения. В области высокопроницаемых сред наблюдается движение с четко выделенным волновым фронтом, причем, за фронтом волны импульс жидкости практически не претерпева-

рис.1 рис.2

На рис.1,2,3 представлена эволюция профилей продольной скорости течения жидкости. На рис.1 скорость достигает сразу граничного значения. На рис.2,3 скорость асимптотически стремится к граничному условию.

рис.3

ент последующих изменений (рис.1). В области средних значений проницаемости формируется волновой прифиль с постоянным пространственным градиентом за фронтом (рис.2). Постоянное значение градиента медленно дрейфует к своему граничному значений.

При низких значениях проницаемости промежуточный профиль не формируется - формируется резко спадающий у границы профиль скорости течения жидкости (рис.3). В этом случае, например, для реали-заци скоростей фильтрации около 10 см/сек с необходимостью развиваются сдвиговые напряжения порядка 0.7 кбар. Другими словами в высокоскоростной области течения необходимо учитывать релаксацию касательных напряжений.

В результате численного решения задачи о распаде разрыва установлена гиперболичность исходной линеаризованной относительно произвольного фона системы одномерных дифференциальных уравненй.

Предложенная эффективная разностная схема позволяет решать широкий класс геологических задач нефтеной технологии, связанных со взравными воздействиями па пласты, а учет релаксационных членов в уравнении на метрический тензор деформаций путеч незначительных изменений в разностной схеме позволяет численно анализировать максвелловскую релаксационную модель.

Глава 4. Равноправие компонент вдвухскоростнсй модели обеспечивается уравнением состояния для которого

Ык =

Можно сказать, что в этом случае располагаем теорией с двумя давлениями р и р,. Численный анализ показал гиперболичность линеаризованной относительно ненулевого гидродинамического фона системы уравнений в обратимом приближении. Существует мнение, что гиперболичность является следствием наличия в системе двух давлений. Первый параграф четвертой главы иллюстрирует систему уравнений с одним давлением, линеаризованный вариант которой представляется гиперболической системой уравнений в частных производных

5?;

+ = 0, П;4 = Р,щик + ртюк + р6Л)

, { Г7\ , Р'а 2

р = р(р, з, и>2), Р=Р,+Р1, } = ру+р,у/, УУ = 1] - V.

Уравнения получены из двухскоростной модели при р, = 0. В модели выключено упругое взаимодействие между частицами. Регуляризи-рующим фактором, приводящим к гиперболичности, выступает член рАгчг/2р.

В параграфе 2 главы представленная система уравнений служит основой для построения математических моделей двухскоростных растворов. В частности обсуждена модель разделения компонентов, описывающих дифференциацию охлаждающихся гранитоидных магм на основе наиболее полно изученной диаграммы состояния АЬ— <5 — Я-¡О. В отличие от известных уже решений задач разделения компонентов в многофазной зоне интрузивов для нестационарных процессов "ликвидус-солидус", когда учитывается дифференциальное оттеснение или термоконвекция, рассмотрена более общая модель трехкомпо-

нентного двухскоростного фазового разделения. В данном параграфе построена обратимая и необратимая модели процесса.

Феноменологические уравнения модели имеют вид законов сохранения и отдельного уравнения движения несушей фазы

§ + <иу|- 0, ^ + <Иу(р,и) = 0, ^-ьамсл + ь^ о, в^ + амсу + ъно,

~ + (V,У)у = -У(> + Л) - -УГ + —УС, 4- —УС2 + о! р р р

Необратимые векторные потоки и сила трения вычисляются совместно посредством введения кинетических коэффициентов. В линейном варианте теории соотношения упрощаются и имеют вид

УУ = Ч + Л(] - ри) + (тгМ.и) + (ХЧУ),

и = —о - /») - -^ут - -у (-) - -у ,

а41 «42„„ а43 /ЯЛ а44 /22\

= --5Г0 - А») - "у" - "г V - ТУ ,

Ч = -аг^О - ри) - а22ТУГ - а23ГУ - а24ГУ ,

= 4- дкщ - ^сПуи) + Г)22{дрк + дм - +

+— 3;(&1<1т1 + + Ьз^у^ - ри)) - апЦ - ри);-

Р1

{РТ1 ЛрТ) В уравнениях и линейных связях С1<2 и ^¿-соответственно массовые концентрации и сопряженные им термодинамические потенциалы. Тензорные потоки определяются введением трех сдвиговых вяз-костей. Скалярные потоки вводятся 6 независимыми объемными вяз-костями. Таким образом общее число кинетических коэффициентов

в модели равно 19. На нелинейный по скоростям случай представлены более общие соотношения. Б построенной модели парциальные плотности сохраняются. В заключении третьего параграфа четвертой главы анализируется случай локально равновесного фазового перехода на медленном гидродинамическом фоне. Получены соответствующие уравнения.

В настоящее время в приложениях теории магматических рудных месторождений наиболее актуальна, но в то же время наименее разработана, с точки зрения математического моделирования, проблема надликвидусной и подликвидусной ликвации магм на рудную и силикатную жидкости. Учитывая это, в диссертации разработана математическая модель гидродинамической ликвации базитовой магмы для случая барбатирования сероводорода через расплав.

Для этого случая в четвертом параграфе главы получена трехско-ростная модель. Уравнения модели представляют основу гидродинамического описания сложноустроенных рудообразуюгцих ликвацион-ных систем, которые для своего описания требуют не мение трех фаз, движение каждой из которых описывается собственным скоростным полем. В частности в обратимом приближении уравнения, определяющие поле скорости газовой компоненты Уг с парциальной плотностью рд и второй жидкой несущей компонентой и с парциальной плотностью р„ имеют симметричный относительно соответствующих перестановок вид

Модель построена на случай растворения в каждой из фаз трех компонент. Модель гидродинамически замкнута и представляет основу для построения теории надликвидусного ликвационного рудообраз'ования в базитовых магмах.

В пятом параграфе конкретно рассматривается процесс ликвационного рудообразования в дифференцированных тралповых интрузивах по указанной ниже схеме. Тале в расплав фаялита^егЗгС^) подается извне газообразный сероводород (Н^З). При этом фаялитовая жидкость диссоциирует по двухступенчатой схеме

FeзSiO^ Д- 2ГеО + БЮз FeO Н Ре2+ + О2"

2РеО + ЯЮъ и Fe2S£04, Р'е5"'- + 02~ Н РеО.

Сероводород растворяется в жидкости согласно реакции

H2S<^ h E2S H2S + 02~ h Sff~ + OH~

E2S Н3&\ SH~ + OE~ H4 H2S + 02~.

Чтобы в магме накапливалась рудная жидкость, необходим механизм удаления продуктов последней реакции. Одним из таких процессов может быть локальный стох слабо растворимой в магме воды из силикатной системы в газовую фазу

2ОН-hH20 + О2- ЕгО ^ Н20^ Н20 + 02-^20Н~, H2O^UE2O

с последующим гидродинамическим выносом газа за пределы реакционной зоны. Это обеспечивает образование сульфида железа

Fe2+ + SH~ + О2" ^ ОЕ- + FeS ОН- + FeS. Fe2+ + SH~ + О2".

Неравновесность в последней реакции поддерживается кинетикой лм-квационного процесса

FeS h FeS« FeS№ k-=t FeS,

В процессе ликвационного распада барбатируемого расплава сульфид железа (FeS) отделяется в виде капель в широком масштабном спектре и путем гидродинамического переноса уходит из зоны реакции, где может формировать массивные рудные тела. Предложенная модель позволяет объяснить образование месторождений Норильского рудного района, в том числе Талнахского.

Математическая модель динамики сепарации рудной магмы строится по следующему принципу. Вводятся средние поля концентраций, которые управляются уравнениями трехскоростной (по количеству фаз) многокомпонентной гидродинамики. С другой стороны эти поля концентраций определяют квазистатические условия равноваесия в системе "ликвационные капли-пузыри пара и сероводорода- расплав фаялита". Квазистатическая модель определяет эволюцию функции распределения капель и пузырьков по размерам. Это позволяет, в свою очередь, определить источники масс в гидродинамических уравнениях переноса средних концентраций. Самосогласованная модель, определяющая средние поля концентраций, тем самым замкнулась. В

основу фазового распада положена схема Лифшица-Слезова (1958). В диссертации этот подход распространен на системы с химическими превращениями. Получены дифференциальные уравнения модели ли-квационного рудообразования. Подобная гадродинамическая модель разделения типа "жидкость-жидкость-газ" сформулирована впервые.

Заключительный параграф диссертации посвящен введению нестационарного ньютоновского потенциала в уравнения переноса двухско-ростных сред. Такого рода модель позволяет описать отделение капель базальтовой жидкости от частично подплавленного мантийного субстрата. Развитая модель весьма актуальна, поскольку в известных геодинамических моделях обсуждается лишь случай линейной или сосредоточенной дрены (скважины). К таким моделям также приходится обращаться при рассмотрении процессов перераспределения (седиментации) компонент в мантийных условиях. Получены уравнения движения с учетом поля тяжести.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертации разработан регулярный метод построения с единых позиций математических моделей гидродинамической эволюции эндогенных геологических систем с указанием эффективного численного алгоритма, позволяющего численно анализировать нестационарные задачи двухскоростной двумерной гидродинамической модели. Разработанный на случай двух- и трехскоростных систем общий метод гидродинамического описания конденсированных сред с локально неравновесными термодинамическими степенями свободы привел к построению в диссертации:

1) внутренне непротиворечивой двухскоростной обратимой и необратимой модели классического континуума, однозначно фиксируемого законами сохранения, преобразованиями Галилея, неравновесной энтропией по Леонтовичу- полученные уравнения феноменологической модели,, не конкретизируют вида взаимодействия в системе и способны описывать в силу универсальности широкий класс геологических систем;

2) максвелловской нелинейной модели релаксации касательных напряжений в двухскоростном континууме, описывающей процессы взаимного проникновения магматических расплавов в горные породы, проявляющие свойства упруговязких систем;

3) нелинейную модель взаимодействия магматических расплавов с

системой пористых упруговзаимодействующих блоков;

4) трехскоростиую модель растворов, допускающую введение локально равновесных и неравновесных фазовых переходов, определяющую механизм динамического перераспределения компонентов в многофазных системах и на ее основе модель ликвационного рудообразо-вание в процессе сульфидизации базитовой магмы.

5) В диссертации предложена эффективная разностная схема для численного анализа ряда построенных математических моделей и при численном эксперименте обнаружено три характерных динамических режима в нестационарной двумерной задаче о нагнетании жидкости в пористое упругодеформируемое тело.

В результате проведенных исследований создано цельное принципиально новое направление в построении математических моделей эволюции эндогенных геологических систем.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Доровский В.Н. Континуальная теория фильтрации. // Геология и геофизика. -1989. -С.39-45.

2. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В. Феноменологическое описание двухскоростных сред с релаксирующими касательными напряжениями. // ПМТФ, -1992. -Af°3. -С.56-62.

3. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В. Реология фильтрационных систем. // Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск. -1989. -С.86-99.

4. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В., Роменский Е.И. Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформируемых средах. // ФГВ, -1993. -ЛР1. -С.100-111.

5. Доровский В.Н. Гидродинамические уравнения фильтрации трещиновато-пористых сред в континуальном приближении. // Фильтрация многофазных сред. Ин-т теоретической и прикладной механики СО АН СССР. -Новосибирск, 1991. -С.11-18.

б Доровский В.Н., Аверкин Ю.А. Уравнения термогидродинамики макроскопической объемной кристаллизации. // Геология и геофизика. -1989. -Af° 11. -С.51-62.

7. Доровский В.Н., Аверкин Ю.А. Гидродинамика трехфазной объемной кристаллизации многокомпонентных сред. // Геология и геофизика. -1991. -Ai'8. -С.79-90.

8. Доровский В.Н. К гидродинамической теории ликвационного

рудообразования. // Геология и геофизика. -1991. -Л/*°3. -С.37-50.

9. Дсровский В.Н., Перепечко Ю.В. Теория частичного плавления. // Геология и геофизика. -1989. -М"9. -С.56-64.