автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов упорядочения и хаотизации при гидро- и электрогидродинамической термоконвекции в плоских и тороидальных ячейках

На правах рукописи

КУДЕЛИН Олег Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ УПОРЯДОЧЕНИЯ И ХАОТИЗАЦИИ ПРИ ГИДРО - И ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕРМОКОНВЕКЦИИ В ПЛОСКИХ И ТОРОИДАЛЬНЫХ

ЯЧЕЙКАХ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2006

Работа выполнена на кафедре физики Ульяновского государственного технического университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Браже Рудольф Александрович.

Официальные оппоненты:

• доктор физико-математических наук, профессор Вельмисов Петр Александрович;

• кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Шутый Анатолий Михайлович.

Ведущая организация:

Ульяновский филиал Института радиотехники и электроники

Защита состоится «29» июня 2006 в 9 часов 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, Северный Венец, 32, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного технического университета.

Автореферат разослан «Лв » 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор

РАН.

технических наук, профессор

Крашенинников В.Р.

/006 Л

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Конвективные процессы играют большую роль в природе: в атмосфере Земли и планет, в океане, в ядрах планет, в звездах и др. объектах. Велика их роль и в технике: это конвективные неустойчивости в плазме, электронных и других потоковых системах, конвективные процессы в жидких кристаллах и т.п. Конвекция возникает в любом потенциальном поле (гравитационном, электростатическом и др.) при наличии в среде градиентов концентрации частиц или температуры.

Теоретические экспериментальные исследования конвекции ведутся, начиная с классических работ А. Бернара1 и Рэлея2 по конвекции в тонких горизонтальных слоях вязкой жидкости. Огромное влияние на последующие исследования конвективной неустойчивости жидкости оказала работа Э. Лоренца3, открывшего возможность возникновения детерминированных непериодических течений (детерминированного хаоса) в конвекции Бенара-Рэлея. Как выяснилось впоследствии, уравнения Лоренца имеют строгое решение для тороидальных конвективных ячеек и встречаются во многих прикладных задачах гидродинамики и электрогидродинамики.

Одной из важных задач электрогидродинамики является создание полупроводниковых аналогов плоских и тороидальных конвективных ячеек, в которых имели бы место конвективные токи свободных носителей заряда. Такие устройства могут использоваться для определения некоторых физических параметров полупроводниковых материалов, а главное, в качестве генераторов несущей частоты в современных радиотехнических системах связи, основанных на модуляции хаотически детерминированных

'Bernard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide // Revue generale des Sciences, pures et appliques. -1900. - V. 12. - P. 1261-1309.

2Rayleigh. On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side // Phil. Mag. - 1916. - V. 6, № 32. -P. 529-543.

'Lorenz E.H. Deterministic Nonperiodic Flow // Journal of the Atmospheric Sciences. - 1963. -№ 20. - P. 130-141.

сигналов4. Поэтому математическое моделирование процессов упорядочения и хаотизации в такого рода конвективных ячейках представляется актуальным.

Построение подобных математических моделей для полупроводников имеет смысл лишь в том случае, если их известные гидродинамические аналоги приводят к экспериментально подтверждаемым выводам. Как показал С.М. Дроздов5, условия, заложенные в математическую модель, приводящую к уравнениям Лоренца, практически реализовать крайне сложно. Дело в том, что при достаточно больших температурных градиентах, при которых, согласно теоретическим представлениям, в тороиде должны появляться непериодические упорядоченные движения жидкости, велика вероятность появления поперечных по отношению к плоскости тороида движений, что приводит к увеличению числа степеней свободы системы. Кроме того, нарушается ламинар-ность течения.

Поэтому поиски таких сред, таких размеров тороида и таких условий нагревания, при которых возможно экспериментально реализовать все предсказываемые моделью Лоренца режимы регулярной и хаотической конвекции, в том числе, случай детерминированного хаоса, остаются актуальными.

Целью работы является построение математических моделей, сводимых к модели Лоренца, термоэлектрогидродинамиче-ской конвекции в плоских и кольцевых полупроводниковых ячейках и экспериментальная проверка теоретически предсказываемых режимов упорядочения и хаотизации на основе их гидродинамического аналога.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Анализ моделей термоконвекции вязкой жидкости в плоских и тороидальных ячейках, находящихся в поле силы тяжести. Выработка общих принципов построения таких моделей на осно-

4Дмитриев A.C., Старков С.О. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. - 1998. - № 11. - С. 4-32.

5 Дроздов С.М. Моделирование возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом степеней свободы // Изв. РАН. МГ. - 2001. - № 1. - С. 31 -45.

ве уравнений гидродинамики. Анализ линейных и нелинейных режимов конвекции, условий возникновения регулярных и хаотических течений.

2. Построение математической модели термоэлектрогидро-динамической конвекции свободных носителей заряда в тонких полупроводниковых слоях примесных полупроводников на основе кинетического уравнения Больцмана и уравнений Максвелла, сводимых к уравнениям гидродинамики, в которых рассеяние электронов на фононах учитывается через релаксацию импульса.

3. Построение математической модели термоэлектрогидро-динамической конвекции свободных носителей заряда в кольцевых полупроводниковых ячейках. Доказательство ее сведения в трехмодовой аппроксимации к системе уравнений Лоренца. Исследование зависимости параметров модели от материала и размеров кольца, напряженности приложенного электрического поля и градиента температуры.

4. Экспериментальная реализация модели Лоренца в гидродинамической вертикальной тороидальной ячейке и подтверждение теоретически предсказываемых в полупроводниковых ячейках режимов конвекции на основе метода гидродинамической аналогии. Применение методов Фурье-, Херст-, вейвлет-анализов, ОБА и корреляционного анализа для исследования степени хао-тизации в наблюдаемых временных рядах измерений и наличия в них долговременной памяти, в том числе детерминированного хаоса.

Методы исследования. Исследования базируются на использовании методов математического моделирования (построение математической модели для конкретной физической задачи), методов решения гидродинамических, термодинамических, электродинамических задач (решение кинетического уравнения Больцмана и уравнений Максвелла сведением к уравнениям гидродинамики путем усреднения скоростей свободных носителей заряда), численных методов решения системы уравнений (анализ системы уравнений Лоренца для плоской и кольцевой термоконвективной ячейки), методов анализа дискретных временных рядов (математическая обработка экспериментальных данных с по-

мощью Фурье-, Херст-, Вейвлет-, корреляционного анализа и БРА).

Научная новизна. В работе впервые получены следующие новые научные результаты:

• построена и исследована математическая модель термо-электрогидродинамической конвекции в тонких полупроводниковых слоях с учетом столкновительных процессов свободных носителей заряда;

• построена и исследована математическая модель термо-электрогидродинамической конвекции в кольцевой полупроводниковой ячейке с учетом рассеяния свободных носителей заряда на ионах и примесях кристаллической решетки;

• экспериментально реализована модель Лоренца в гидродинамической вертикальной ячейке, которая позволила наблюдать все теоретически предсказанные режимы конвекции;

Практическая значимость работы состоит в следующем:

• из полученных экспериментально значений критических электрических чисел Рэлея можно определить такие параметры полупроводника, как эффективная масса или подвижность свободных носителей заряда, что дает еще один метод нахождения данных параметров;

• кольцевые термоконвективные полупроводниковые ячейки могут быть использованы для генерации несущего сигнала в современных системах связи с использованием детерминированного хаоса.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной математической постановкой задач, применением в ходе исследований строгих математических методов, а также применением в экспериментах сертифицированных средств измерений и заводских термопреобразователей.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В квазибаллистически тонких слоях примесных полупроводников, помещенных в поперечное электрическое поле,

при наличии в них градиента температуры возможно возникновение термоэлектрогидродинамической конвекции свободных носителей заряда, аналогичной конвекции Бе-нара-Рэлея в горизонтальном слое вязкой жидкости.

2. В кольцевой полупроводниковой ячейке, находящейся в электрическом поле, ориентированном в плоскости кольца, при наличии градиента температуры возможно возникновение термоэлектрогидродинамической конвекции свободных носителей заряда, аналогичной конвекции Ве-ландера-Лоренца в вертикальной тороидальной гидродинамической ячейке.

3. Экспериментально реализована модель конвективной неустойчивости Лоренца в вертикальной тороидальной гидродинамической ячейке, заполненной глицерином, подтверждающая все предсказываемые режимы конвекции, в том числе, возникновение детерминированного хаоса.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались на школе-семинаре «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники», проводимой Ульяновским филиалом ИРЭ РАН (2001 - 2004 гг.); на школе-семинаре «Материалы нано-, микро и оптоэлектроники: физические свойства и применения» (Саранск, 2002 г.); на Межд. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (Ульяновск, 2006 г.), на ежегодных научно-технических конференциях Ульяновского государственного технического университета; на научных семинарах кафедры «Физика» Ульяновского государственного технического университета под руководством д.ф.-м.н., доцента P.A. Браже (Ульяновск, 2001 - 2006 гг.), на научном семинаре кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета под руководством д.ф.-м.н., профессора П.А. Вельмисова (Ульяновск, 2006 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 научных работ, из них две в журналах, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, четырех приложений, заклю-

чения и списка литературы. Материал изложен на 136 страницах, содержит 55 рисунков, 6 таблиц и список литературы из 144 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранного направления исследования, сформулирована цель работы, ее научная новизна и практическая значимость, определены основные задачи.

В первой главе приведен анализ работ по конвективной устойчивости и неустойчивости в плоских и тороидальных термоконвективных ячейках, Показаны основные режимы, которые возникают при конвективных движениях жидкости. Проведен анализ экспериментальных работ по наблюдению неустойчивых режимов термоконвекции в тороидальных ячейках. Выявлены основные их недостатки, а также сформулированы требования, которые необходимо выполнить для экспериментальной реализации модели Веландера-лоренца.

Во второй главе Построена математическая модель термо-электрогидродинамической конвекции в плоской полупроводниковой ячейке. Решена задача о переносе свободных носителей заряда в полупроводнике, помещенном во внешнее однородное электрическое поле, и рассмотрена проблема конвективной неустойчивости и устойчивости протекания тока. В основе подхода лежит полная система уравнений, описывающих плазму электронного (дырочного) газа в примесных полупроводниках и- или р- типа, включая кинетическое уравнение Больцмана с интегралом столкновений и членом, учитывающим наличие электрического поля, и уравнения Максвелла.

Далее эта система сводится к уравнениям термоэлектрогид-родинамической конвекции, включающим модифицированное уравнение Навье-Стокса, в котором член, учитывающий столкновения носителей заряда с кристаллической решеткой и примесями, выражен через время релаксации импульса носителей заряда; уравнение переноса тепла и уравнение непрерывности:

*

т п

д(

= -Vр + цАх + (С + |)V( Уу) + пе Е -

т «у

т пТ

ск Ы

+

дп

Ы

- -кТ -И + +

+ У(пх) = 0.

* 2 т пу

(О

(2)

(3)

В (1) - (3) т - эффективная масса свободных носителей заряда; п - их концентрация; V - гидродинамическая скорость частиц зарядовой квазижидкости; р - ее давление; Т], % - коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости соответственно; тр - время релаксации импульса; Т - абсолютная температура, 5 - удельная энтропия; к - коэффициент теплопроводности; Е - напряженность приложенного поля; у - энтропия; j - плотность электрического тока; I - время; О - диссипативная функция

,/>. а.. « ^

2

сН>,- ду/г 2 „ .. К™ к Щ 3

+ С(ЛЬпг)4

Из решения этой системы уравнений в приближении Бусси-неска найдены критические значения электрического числа Рэ-лея, определяющие усиление конвективной неустойчивости токовых течений в полупроводнике и возникновение стационарной диссипативной структуры:

1

+ п2я2 + к2

ктР

¡¿п

2+к

(4)

где, п = 1, 2, 3,... - номер моды возмущений; |к| = ^к? + к* - продольное волновое число.

Рассмотрена возможность возникновения рассматриваемого явления в реальных полупроводниковых соединениях. В частности, для кремния, легированного мышьяком, получается, что при толщине слоя А = 0,15 мкм критические значения напряженности электрического поля 2? = 2,46 106В/м, что ниже пробойного значения электрического поля в данном материале.

Затем исходная задача обобщена для нелинейного случая и сведена к системе уравнений Лоренца. Путем численных оценок с использованием данных по реальным полупроводникам исследована и показана возможность возникновения детерминированного хаоса.

В третьей главе рассмотрена термоэлектрогидродинамиче-ская конвекция в кольцевой полупроводниковой термоконвективной ячейке. Структура состоит из тонкой полупроводниковой пленки, которая напылена на диэлектрическую подложку. В данной структуре создается разность температур, и вся она помещается в постоянное однородное электрическое поле. При математическом описании системы использован подход, примененный во второй главе. В итоге, учитывая симметрию задачи, получена система нелинейных уравнений, описывающих явление термо-электрогидродинамической конвекции в полупроводниковой кольцевой ячейке:

тп

+ 4

дг г дг

т пТ

, *<Р | УУ дг г д(р г

1 др г д(р

+

дг2

д<р

д5 УФ 35 дt Гдг

г д(р

г~ д(р г2 = кАТ +

-пеЕ$т<р---

(5)

Л 2

дч: дчк 2 _ . 8хк сЬс,- 3

* 2 т т>

дп дг

+ У(иу)= 0.

(6)

(7)

Полученная система сведена к системе уравнений Лоренца: ат

-^гХ-У-гХ, (8)

с/г

ат

где параметры сг (число Прандля) и г (число Рэлея, нормированное на его критическое значение) определяются из следующих выражений:

h +

J

а -

* 2

am riQwR

/ N > г - / \ / \

J к+4г 2 и J h + —

1 R2) { R2) 1 TPJ

(9)

Остальные переменные выражаются следующим образом:

со

К +

R

2

am*tiQ\vR? Y=-;-rOi;

2 К

/ л

i. J

h + —

TPJ

Z-r-

♦ 2

am riQwR

2 К

o\\

h +

1PJ

(10)

г =

K + -

R'

В (9), (10) 7= 2 rnnnR3- момент инерции электронной квазижидкости, приходящийся на единицу площади сечения кольца; /г = 2 я/? 77- коэффициент трения, обусловленный вязкостью среды; w = еЕ/т* - ускорение, обусловленное электрическим полем; й)- угловая скорость вращения частиц среды; R - средний радиус кольца; or - коэффициент теплового расширения.

Исследованы зависимости параметров модели от материала и размеров кольца, напряженности приложенного электрического поля и градиента температуры. Например, для антимонида индия (InSb), легированного медью (Си) при температурах близких к комнатным (Т= 300 К) и радиусе кольца R ~ 10"3м было установлено, что относительное число Рэлея г ~ \0~5 EAT. Это говорит о том, что режимы, при которых начинается конвективный ток в кольце (r> 1), достигаются при достаточно малых величинах напряженности Е приложенного к образцу электрического поля. Величина напряженности составляет всего Ю3* 104 В/м при разности температур в ячейке ДГ~ 10 - 100 К.

В заключительной части главы рассмотрены проблемы экспериментальной реализации моделей, приведенных во второй и третьей главе. Были выделены трудности технологического характера и сложности визуализации явления конвекции.

Первые включают в себя сложности изготовления образцов и создания условий для наблюдения явления. Это связано с повышенными требованиями к образцам, так как было показано, что уменьшение времени релаксации квазиимпульса, а, следовательно, увеличением числа столкновений свободных носителей заряда с ионами кристаллической решетки и различными примесями и неоднородностями, приводит к ослаблению, а то и к исчезновению рассматриваемого явления.

Существуют сложности, связанные с наличием простых и надежных способов визуализации рассматриваемых явлений. Несколько лучше ситуация с кольцевыми конвективными ячейками. О наличии ТЭГДК и направлении конвективного тока здесь можно судить по возникающему в кольце и проникающему наружу магнитному полю. Однако, возникающее магнитное поле при этом настолько слабое, что требует очень чувствительных датчиков. Так, например, для полупроводникового кольца из 1п8Ь радиусом Л ~ 1 мм, если его ширина 6-0,1 мм, а толщина ^ ~ 1 мкм, сила тока в кольце I = ]8сеч = еп^ЕЫ ~ 10"7 А. Тогда индукция магнитного поля вблизи центра кругового тока Во = ¡¿¿/(2К) ~ Ю"10 Тл.

Указанные сложности приводят к невозможности экспериментального исследования термоэлектрогидродинамической конвекции в полупроводниковых ячейках, по крайней мере, в настоящее время в условиях научной лаборатории кафедры общей физики рядового технического вуза. Поэтому для подтверждения теоретически исследованных закономерностей термоэлектрогидродинамической конвекции в полупроводниках остается единственный путь - косвенное подтверждение этих закономерностей на экспериментальных макетах с похожей физической картиной явления.

Все теоретически предсказанные режимы ЭГДК в плоских и кольцевых полупроводниковых ячейках могут быть исследованы на гидродинамических моделях. Более того, лабораторные моде-

ли соответствующих гидродинамических ячеек имеют намного большие размеры по сравнению со своими электрогидродинамическими аналогами и в них легче осуществлять визуализацию конвективных течений.

Поскольку из электрогидродинамических конвективных процессов, как было показано в главе 3, наиболее интересен случай ТЭГДК в кольцевых ячейках, то в главе 4 рассмотрена экспериментальная реализация гидродинамической модели именно для такого случая.

В четвертой главе рассматривается экспериментальная реализация модели Лоренца. Эксперимент производился с помощью установки, изображенной на рис. 1. В качестве тепловых резервуаров использованы дюралюминиевые бруски шириной 25 мм. В них просверлены сквозные отверстия диаметром 4 мм,

который равен внутреннему диаметру полипропиленовой трубки. Радиус тороида в установке равнялся кс = 30 мм.

Измерение температуры осуществлялось с помощью термопар К-типа (хромель-алю* мель). Сигнал с термопар сни-у / Ег ^ мался 4-канальным измерителем

температуры Сеп1ег-309, который в реальном времени отправлял значения измеренной температуры на СОМ-порт компьютера. Общая абсолютная погрешность измерения температуры составляла ± 1 К. Отсчеты температуры производились через каждые 5 секунд.

На нижней секции поддерживалась постоянная температура при помощи нагревателя, управляемого компьютером, следующим образом. Специально написанная программа считывала температуру с термопары, которая находилась в нижней секции, и сравнивала полученное значение с заданной температурой включения и выключения. В зависимости от операции сравнения про-

Рис. 1. Схема экспериментальной установки.

грамма подавала или отключала напряжение с ножки ЬРТ-порта компьютера.

В качестве исследуемой жидкости был выбран глицерин, так как теоретические расчеты давали для него положительные результаты в смысле наблюдения всех основных режимов конвекции.

Благодаря достигнутой полной автоматизации, установка могла работать в течение длительного времени и не требовала постоянного присутствия. В наших экспериментах показания с термопар снимались с интервалом в 5 с в течение времени от нескольких часов до 1,5 суток. Измерения проводились в широком диапазоне разностей температур ЛГ^, начиная от 303 К и заканчивая 393 К.

Полученные временные зависимости ДГ12(0 и ЛТАе(0 показаны на рис. 2.

0 3 « в 13 )б 20 23 37 31 34

Рис. 2. Наиболее характерные виды зависимостей ДТп (вверху) и ДГдв (внизу) от времени наблюдения, демонстрирующих неустойчивую конвекцию: а) Д7Ь = 78 К, 6) Д7^= 97,5 К, в) АТ^= 107 К.

Графики приведены в паре, чтобы можно было отследить возможное влияние поддерживаемой разности температур на

исследуемый сигнал. В серии из более чем 20 опытов установлено, что однонаправленная (вправо или влево по случайному принципу) конвекция в описанной установке наблюдается до значений Д Г12» 47 К.

При больших значениях АТ12 наблюдалась неустойчивая конвекция с неожиданными, не связанными с колебаниями ЛГ|2 инверсиями направления течения жидкости в кольце. О скорости течения и его направлении можно судить по значениям АТав. Такого рода скачки становились более частыми и масштабными по достижении ДГ12 « 90 К.

Для полученных зависимостей произведена оценка степени влияния нагревания на исследуемый сигнал. Для этого были проведены его вейвлет- и корреляционный анализы (рис. 3, 4). В качестве базисных вейвлетов использованы гауссианы и вейвлеты Морле. Первые лучше развертывают низкочастотные процессы, а вторые - высокочастотные.

Врой, час Врав,«

Рис. 3. Гауссиан (а)- и Морле (б)- скейлограммы зависимостей ДГ12 (вверху) и АТАВ (внизу) из рис. 3, е.

' Из вейвлет-анализа установлено, что на более низких часто-

тах возмущения обеих зависимостей имеют близкие периоды, что свидетельствует о возможном влиянии условий нагрева на характер нарушения стационарности конвективного движения. Но наиболее низкочастотные (долговременные) изменения несогласованны друг с другом. Отсюда следует, что скачки в направлении и скорости вращения жидкости в тороидальной ячейке обусловлены не флуктуациями нагрева, а являются следствием неус-тойчивостей в характере самой конвекции.

Полученные результаты кросс-корреляционного анализа говорят о том, что, хотя и имеется слабая взаимная корреляция не-устойчивостей в конвективном движении жидкости в тороиде и флуктуаций разности температур в его нижней и верхней точках, тем ни менее, крупномасштабные нарушения стационарности процесса связаны с внутренними свойствами системы. Это вполне согласуется с выводами вейвлет-анализа.

Проведены также Херст-анализ, Фурье-анализ и ББА полученных результатов (рис. 5). Рассчитанный из графиков мощности Фурье-гармоник спектральный показатель р показывает, что оба временных ряда обладают признаками розового шума, причем интересующий нас процесс конвекции по своим шумовым характеристикам приближается к коричневому (броуновскому) шуму, для которого р-2. Показано, что Херст-анализ плохо согласуется с выводами Фурье-анализа, что говорит о его неприменимости для данного типа сигналов. Большей устойчивостью к % шуму и большей статистической достоверностью, по сравнению с Херст-анализом, для временных рядов одинаковой длины обладает БРА.

По экспериментальным данным построен аттрактор Лоренца (рис. 6), демонстрирующий перескоки фазовой траектории из одной области в другую при смене направления вращения жидкости в тороиде.

а)

Рис. 4. Автокорреляционные (а)- и кросс-корреляционные (б) функции зависимостей из рис. 3, в.

а)

6)

в)

о* ¡л Ii гл ¡.I 1

lofet»!

Рис. 5. Результаты Фурье (а)-, Херст-анализа (б) и DFA (в) для зависимости из рис. 3, в.

Рис. 6. Аттрактор Лоренца для зависимости из рис. 3, в.

В приложениях описаны некоторые представляющие интерес экспериментальные результаты, которые не вошли в основную часть из-за большого объема.

В заключении подведены итоги работы. Основные результаты и выводы диссертационного исследования сводятся к следующему:

1. На основе анализа большого числа работ по конвективной неустойчивости жидкости в плоских горизонтальных и тороидальных вертикальных ячейках разработаны общие принципы построения математических моделей таких явлений на основе уравнений гидродинамики. Проанализированы условия возникновения линейной и нелинейной конвекции, регулярной и хаоти-

ческой конвекции, в том числе появления детерминированного хаоса.

2. Построена математическая модель термоэлектрогидроди-намической конвекции свободных носителей заряда в тонком слое примесного полупроводника, находящегося во внешнем однородном электрическом поле. Путем процедуры усреднения скоростей электронов (дырок), в приближении малой вероятности рекомбинационных процессов в масштабе характерных времен наблюдения, кинетическое уравнение Больцмана и уравнения Максвелла сведены к уравнениям конвекции гидродинамического типа. При этом столкновения носителей заряда с кристаллической решеткой и ионами примеси учтены через время релаксации импульса, входящее в эти уравнения.

3. Построена математическая модель термоэлектрогидроди-намической конвекции свободных носителей заряда в кольцевой полупроводниковой ячейке. Показана ее сводимость к уравнениям Лоренца, допускающим появление детерминированных непериодических решений. Исследованы зависимости параметров модели от материала и размеров кольца, напряженности приложенного электрического поля и градиента температуры.

4. Впервые экспериментально реализована модель Лоренца в гидродинамической вертикальной ячейке, позволяющая наблюдать все теоретически предсказываемые режимы конвекции и косвенно подтверждающая справедливость модельных представлений об электрогидродинамической конвекции в полупроводниковых кольцевых структурах. Лабораторный макет такой модели представляет собой тороидальную трубу с диаметром канала 4 мм радиусом 30 мм, заполненную глицерином. Применение такой вязкой жидкости, как глицерин, привело к необходимости значительного увеличения длины временных рядов измерений направления и скорости конвективного потока в тороиде. В проведенных экспериментах оно достигало 36 часов, а сами отсчеты проводились через каждые 5 с.

5. Использование современных методов математической обработки длинных временных рядов измерений: Фурье-, Херст- и вейвлет-анализов, ША и корреляционного анализа позволило установить наличие долговременной памяти и детерминированного

хаоса в вариациях скорости конвективного потока в тороиде с глицерином.

Основные положения диссертации отражены в следующих опубликованных работах:

1. Браже P.A., Куделин О.Н. Термоэлектрогидродинамиче-ская конвекция свободных носителей заряда в полупроводниках // деп. в ВИНИТИ № 2477-В2001.

2. Браже P.A., Куделин О.Н. Условия наблюдения термо-электрогидродинамической конвекции в реальных полупроводниках // Электронная техника. Сб. науч. трудов. - Ульяновск, 2003. - С. 3-6.

3. Браже P.A., Куделин О.Н. Влияние рассеяния свободных носителей заряда на термоэлектрогидродинамическую конвекцию в полупроводниках // Автоматизация процессов управления. - ФГУП «НПО Марс». -2003. -№ 2. - С. 95-97.

4. Браже P.A., Куделин О.Н. Исследование уравнений Лоренца для термоэлектрогидродинамической конвекции в полупроводниках // Электронная техника, Межвуз. сб. науч. трудов. -Ульяновск, 2004. - С. 4-8.

5. Браже P.A., Куделин О.Н. Аттрактор Лоренца в нелинейном режиме термоэлектрогидродинамической конвекции в плоском слое полупроводника // Вестник УлГТУ. - 2004. - С. 1519.

6. Браже P.A., Куделин О.Н. Математическая модель термоэлектрогидродинамической конвекции в полупроводниках с учетом столкновительных процессов // Математическое моделирование. - 2005. - Т. 17, № 2. - С. 109 -118.

7. Браже P.A., Куделин О.Н. Полупроводниковый аналог модели турбулентности Лоренца в кольцевой термоконвективной ячейке // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика . -2005.-Т. 13, № 1-2.-С. 114-122.

8. Браже P.A., Куделин О.Н. Вейвлет-анализ конвективных неустойчивостей жидкости в вертикальной тороидальной ячеке // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Тр. Межд. конф. «Континуальные алгебраические логи-

p1 42 3

ки, исчисления и нейроинформатика в науке и технике». - Ульяновск, 2006. - Т. 4. - С. 59-60.

9. Браже P.A., Куделин О.Н. Корреляционный-анализ конвективных неустойчивостей жидкости в вертикальной тороидальной ячеке // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Тр. Межд. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике». - Ульяновск, 2006. - Т. 4. - С. 61 -62.

10. Браже P.A., Куделин О.Н. Регулярные и хаотические режимы конвекции жидкости в вертикальной тороидальной ячейке // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Тр. Межд. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике». - Ульяновск, 2006. - Т. 4. - С. 63-64.

11. Браже P.A., Куделин О.Н. Херст-анализ конвективных неустойчивостей жидкости в вертикальной тороидальной ячеке // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Тр. Межд. конф. «Континуальные алгебраические логи- * ки, исчисления и нейроинформатика в науке и технике». - Ульяновск, 2006. - Т. 4. - С. 65-66.

12. Браже P.A., Куделин О.Н. Фурье-анализ конвективных неустойчивостей жидкости в вертикальной тороидальной ячеке // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Тр. Межд. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике». - Ульяновск, 2006. - Т. 4. - С. 67-70.

/

/

Подписано в печать 24.05.2006. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Усл.печ.л.1,39. Уч.-изд. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, Сев. Венец, 32.

Введение.

Глава 1. Термоконвекция вязкой жидкости в плоских и тороидальных ячейках (аналитический обзор)

1.1. Конвекция Бенара-Рэлея.

Математическая постановка задачи (11). Приближение Буссине-ска (13). Критические режимы (15).

1.2. Нелинейная теория конвекции Бенара-Рэлея.

Математическая постановка задачи (17). Уравнения Лоренца (18). Аттрактор Лоренца (19).

1.3. Конвекция Веландера-Лоренца.

Математическая постановка задачи (22). Трехмодовая аппроксимация (23). Уравнения Лоренца как точное решение задачи конвекции (24). Критерии регулярных и хаотических режимов (25). Детерминированный хаос (29).

1.4. Проблемы экспериментальной реализации модели Лоренца

Ранние эксперименты по наблюдению неустойчивых режимов термоконвекции в гидродинамических тороидальных ячейках (31). Критерии физической реализации модели Лоренца (33).

Глава 2. Математическая модель термоэлектрогидродинами-ческой конвекции в плоской полупроводниковой ячейке

2.1. Термоэлектрогидродинамическая конвекция свободных носителей заряда в полупроводниках.

Математическая постановка задачи (37). Уравнения ТЭГДК (40). Численные оценки (42).

2.2. Термоэлектрогидродинамическая конвекция в полупроводниках с учетом столкновительных процессов.

Электродинамика реальных полупроводников (43). Математическая постановка задачи (46). Анализ результатов (56).

2.3. Нелинейная теория термоэлектрогидродинамической конвекции в плоской полупроводниковой ячейке.

Математическая постановка задачи (60). Уравнения Лоренца (62). Аттрактор Лоренца. Детерминированный хаос (63).

Глава 3. Математическая модель термоэлектрогидродинамической конвекции в кольцевой полупроводниковой ячейке

3.1. Полупроводниковый аналог гидродинамической модели Лоренца.

Математическая постановка задачи (68). Уравнения Лоренца (72).

3.2. Детерминированный хаос в кольцевой полупроводниковой термоэлектрогидродинамической ячейке.

Анализ устойчивых и неустойчивых режимов ТЭГДК в кольцевой полупроводниковой ячейке (73). Перспективы практического применения ТЭГДК в кольцевых ячейках (77).

3.3. Проблемы экспериментальной реализации полупроводникового аналога модели Лоренца.

Трудности технологического характера (78). Трудности визуализации конвективных токов (78). Метод гидродинамической аналогии (80).

Глава 4. Экспериментальная проверка модельных представлений

4.1. Описание экспериментальной установки и методики измерений.

Схема экспериментальной установки (81). Методика эксперимента (85).

4.2. Результаты экспериментальных исследований. ф Временные характеристики температурного градиента в ячейке и конвективного потока (86). Анализ результатов (86).

4.3. Математическая обработка результатов эксперимента.

Фурье-анализ (88). Херст-анализ (90). DFA (92). Вейвлет-анализ (92). Корреляционный анализ (97). Аттрактор Лоренца (99).

Конвективное перемещение сплошной среды (газа, жидкости или плазмы) широко распространено в природе. Это и движение воздушных масс в атмосфере Земли и других планет, и конвективные процессы в ядрах планет, и конвективные движения в звездах, и вертикальные перемещения водных масс в морях и океанах. Свободная конвекция возникает в поле силы тяжести или ином потенциальном поле при наличии в среде градиентов концентрации частиц или температуры.

Интерес к исследованию конвекционных процессов не прекращается со времен классических экспериментов А. Бенара(1900) с подогреваемым снизу тонким горизонтальным слоем вязкой жидкости (спермацета). Теоретическое объяснение этому явлению было дано Рэлеем (1916). К настоящему времени подробно изучено влияние на конвективную устойчивость среды различных осложняющих факторов: магнитного поля, вращения, диффузии, модуляции параметров источников тепла, внутренних источников тепла, просачивания через проницаемые границы, капиллярных явлений и др. Помимо плоского слоя изучена неустойчивость равновесия в полостях разной формы. Имеются работы по изучению электродинамической конвекции в жидких кристаллах, находящихся во внешнем электрическом поле, а также электрогидродинамической конвекции свободных носителей заряда в полупроводниках. Большая заслуга в исследовании конвективной устойчивости и неустойчивости жидкости принадлежит пермской школе гидродинамиков, возглавлявшейся долгие годы Г.З. Гер-шуни и Е.М. Жуховицким.

Огромное влияние на последующие исследования по конвективной неустойчивости жидкости оказала работа Э. Лоренца (1963), открывшего возможность появления детерминированных непериодических течений (детерминированного или динамического хаоса) в конвекции Бенара-Рэлея. Как выяснилось впоследствии, уравнения Лоренца соответствуют такой конвекции лишь при весьма ограничивающих предположениях относительно параметров системы. Дж. А. Иорк и др. (1987) показали, что уравнения Лоренца являются точными решениями задачи о конвекции жидкости в вертикальной тороидальной трубе (модель Веландера, 1965) при использовании трехмодовой аппроксимации. Однако, как показал С.М. Дроздов в ряде своих работ, выполненных в 90-х гг. прошлого века и в последние годы, в реальных экспериментах по конвекции жидкости в тороидальных ячейках условия, заложенные в математическую модель, приводящую к уравнениям Лоренца, реализовать очень сложно. Дело в том, что при достаточно больших температурных градиентах, при которых, согласно теоретическим представлениям, в тороиде должны появляться непериодические упорядоченные движения жидкости, велика вероятность появления поперечных по отношению к плоскости тороида движений, что приводит к увеличению числа степеней свободы системы. Кроме того, нарушается ламинарность течения. Справедливости ради, следует отметить, что еще раньше известный специалист по теории самоорганизации Г. Хакен в своей книге «Синергетика», обсуждая применимость модели Лоренца к тороидальной конвективной ячейке, утверждал, что «. число Прандтля должно быть столь большим, что для жидкости эта ситуация оказывается нереальной».

Тем не менее, поиски таких сред, таких размеров тороида и таких условий нагревания, при которых возможно экспериментально реализовать все предсказываемые моделью Лоренца режимы регулярной и хаотической конвекции, в том числе, случай детерминированного хаоса, продолжает оставаться актуальными.

В связи с этим важно отметить еще одно обстоятельство. Во второй половине XX в. появился ряд новых методов математического анализа особенностей длинных временных рядов измерений, существенно расширивших возможности установления долгопериодических закономерностей в этих рядах по сравнению с ранее почти единственно применявшемся Фурье-анализом. Это Херст-анализ или анализ нормированного размаха отклонений от среднего значения ряда, DFA-анализ (detrended fluctuation analysis) - анализ флуктуаций ряда с вычетом трендов, вейвлет-анализ, основанный на разложении сигнала по перемасштабированным волновым всплескам - вейвлетам, что позволяет наглядно представить временную динамику разночастотных деталей временного ряда и др. Применение этих современных математических методов существенно облегчает анализ и интерпретацию экспериментальных данных, в том числе и по исследованию конвективных процессов.

Цель настоящей работы - построение математических моделей, сводимых к модели Лоренца, термоэлектрогидродинамической конвекции в плоских и кольцевых полупроводниковых ячейках и экспериментальная проверка теоретически предсказываемых режимов упорядочения и хаотизации на основе их гидродинамического аналога.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Анализ моделей термоконвекции вязкой жидкости в плоских и тороидальных ячейках, находящихся в поле силы тяжести. Выработка общих принципов построения таких моделей на основе уравнений гидродинамики. Анализ линейных и нелинейных режимов конвекции, условий возникновения регулярных и хаотических течений.

2. Построение математической модели термоэлектрогидродинамической конвекции свободных носителей заряда в тонких полупроводниковых слоях примесных полупроводников на основе кинетического уравнения Больцмана и уравнений Максвелла, сводимых к уравнениям гидродинамики, в которых рассеяние электронов на фононах учитывается через релаксацию импульса.

3. Построение математической модели термоэлектрогидродинами-ческой конвекции свободных носителей заряда в кольцевых полупроводниковых ячейках. Доказательство ее сведения в трехмодовой аппроксимации к системе уравнений Лоренца. Исследование зависимости параметров модели от материала и размеров кольца, напряженности приложенного электрического поля и градиента температуры.

4. Экспериментальная реализация модели Лоренца в гидродинамической вертикальной тороидальной ячейке и подтверждение теоретически предсказываемых в полупроводниковых ячейках режимов конвекции на основе метода гидродинамической аналогии. Применение методов Фурье-, Херст-, вейвлет-анализов, DFA и корреляционного анализа для исследования степени хаотизации в наблюдаемых временных рядах измерений и наличия в них долговременной памяти, в том числе детерминированного хаоса.

Основные результаты и выводы работы сводятся к следующему:

1. На основе анализа большого числа работ по конвективной неустойчивости жидкости в плоских горизонтальных и тороидальных вертикальных ячейках разработаны общие принципы построения математических моделей таких явлений на основе уравнений гидродинамики. Проанализированы условия возникновения линейной и нелинейной конвекции, регулярной и хаотической конвекции, в том числе появления детерминированного хаоса.

2. Построена математическая модель термоэлектрогидродинамической конвекции свободных носителей заряда в тонком слое примесного полупроводника, находящегося во внешнем однородном электрическом поле. Путем процедуры усреднения скоростей электронов (дырок), в приближении малой вероятности рекомбинационных процессов в масштабе характерных времен наблюдения, кинетическое уравнение Больцмана и уравнения Максвелла сведены к уравнениям конвекции гидродинамического типа. При этом столкновения носителей заряда с кристаллической решеткой и ионами примеси учтены через время релаксации импульса, входящее в эти уравнения.

3. Построены математическая модель термоэлектрогидродинамической конвекции свободных носителей заряда в кольцевой полупроводниковой ячейке. Показана ее сводимость к уравнениям Лоренца, допускающем появление детерминированных непериодических решений. Исследованы зависимости параметров модели от материала и размеров кольца, напряженности приложенного электрического поля и градиента температуры.

4. Впервые экспериментально реализована модель Лоренца в гидродинамической вертикальной ячейке, позволяющая наблюдать все теоретически предсказываемые режимы конвекции и косвенно подтверждающая справедливость модельных представлений об электрогидродинамической конвекции в полупроводниковых кольцевых структурах. Лабораторный макет такой модели представляет собой тороидальную трубу с диаметром канала 4 мм радиусом 30 мм, заполненную глицерином. Применение такой вязкой жидкости, как глицерин, привело к необходимости значительного увеличения длинны временных рядов измерений направления и скорости конвективного потока в тороиде. В проведенных экспериментах оно достигало 36 часов, а сами отсчеты проводились через каждые 5 с.

5. Использование современных методов математической обработки длинных временных рядов измерений: Фурье-, Херст- и вейвлет-анализов, DFA и корреляционного анализа позволило установить наличие долговременной памяти и детерминированного хаоса в вариациях скорости конвективного потока в торои-де с глицерином.

Заключение

В теоретической части данной работы на основе методов математического моделирования доказана возможность существования термоэлектрогидродинамической конвекции в тонких полупроводниковых слоях (аналог конвекции Бенара-Рэлея в жидкости) и в кольцевых полупроводниковых ячейках (аналог модели Веландера-Лоренца для жидкости). Экспериментальное доказательство существования такой конвекции, особенно в кольцевых полупроводниковых структурах, как показано в работе, открывает широкие возможности для ее практического применения, например, в устройствах стохастического кодирования сигналов. Однако из-за сложностей технологического и финансового характера автору пришлось отказаться от идеи экспериментальной проверки полученных результатов и подтвердить их косвенным путем - на основе метода гидродинамической аналогии. С этой целью была экспериментально реализована модель Лоренца конвективной неустойчивости жидкости в вертикальной тороидальной конвективной ячейке, заполненной глицерином.

1. Nield D.A. Geophysical and astrophysical applications of thermal instability theory // New Zealand Science Review. - 1965. - V. 23, № 6. -P. 86-93.

2. Miner R.W. Convection Patterns in the atmosphere and ocean // Annals of the New-York Academy of Sciences. 1947. -№ 5. - P. 48-56.

3. Пруса Я. Теплообмен между эксцентричными горизонтальными цилиндрами в режиме свободной конвекции // Труды амер. об-ва инж.-мех. Сер. С. Теплопередача. -1983. -Т. 105, № 1. - С. 103-114.

4. Чо, Чан, Парк Численное моделирование свободной конвекции в зазорах между горизонтальными концентрическим и эксцентрическим цилиндрами // Труды амер. об-ва инж.-мех. Сер. С. Теплопередача. - 1982. - Т. 104, № 4. - С. 47-54.

5. Пау, Карли, Каррут. Численное решение задачи о свободной конвекции в цилиндрических каналах кольцевого сечения // Труды амер. об-ва инж.-мех. Сер. С. Теплопередача. - 1971. - Т. 93, № 2. -С. 78.

6. Bernard Н. Les tourbillons cellulaires dane une nappe liquide // Revue generaldes Sciences, pures et appliquess. 1900. - V. 12. - P. 12611309.

7. Bernard H. Les tourbillons cellulaires dane une nappe liquide transportant de la chaleur par convection en regime permanent // Ann. Chim. Phys. 1901. - № 7. - P. 23-62.

8. Rayleigh. On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature in on the side // Phil. Mag. 1916. - V. 6, №32.-P. 529-543.

9. Koschmieder E.L. On convection under an air surface // J. Fluid Mach. 1967. - V. 30, № 1. - P. 9-23.

10. Hurle D.T.J., Jareman E., Pike E.R. On the solution of the Benard problem with boundaries of finite conductivity // Proc. Roy. Soc. 1967. -A 296, № 1447.-P. 469-481.

11. Sparrow E.M., Coldstein R.J., Jonsson V.K. Thermal instability in a horizontal fluid layer: effect of boundary condition and nonlinear temperature profile // J. Fluid Mech. 1964. - V. 18, № 4. - P. 513-533.

12. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Семакин И.Г. О конвективной неустойчивости жидкости в горизонтальном слое, разделяющем массивы разной теплопроводности // Уч. зап. Пермского ун-та. -1971. -№ 247, Гидродинамика, вып. 3.- С. 18-24.

13. Schmidt R.J., Milverton S.W. On the instability of a fluid when heated from below //Proc. Roy. Soc. 1935,-A 152.-P. 586-607.

14. Silverston P.L. Warmedurchgang in waagerechten Fliissigkeitss chicbten // Forsch. Ing. Wes. 1958. - V. 24. - P. 29-59.

15. Goldstein R.G. Graham D.J. Stability of a horizontal fluid layer with zero shear boundaries //Phys. Fluids. 1969.-V. 12, № 6.-P. 11331181.

16. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи.- M.-JL: Гос. издательство техникотеор. литературы, 1952. -256 с.

17. Остроумов Г.А. Математическая теория конвективного теплообмена в замкнутых вертикальных скважинах // Изв. ЕНИ при Пермском ун-те.-1949.-Т. 12, № 9.-С. 385-418.

18. Остроумов Г.А. Естественная конвективная теплопередача в замкнутых вертикальных трубах // Изв. ЕНИ при Пермском ун-те.-1947.-Т. 12, № 4. — С. 113-152.

19. Овчинников А.П., Шайдуров Г.Ф. Конвективная устойчивость однородной жидкости в шаровой полости // Уч. зап. Пермского унта.- 1968.-№ 184, Гидродинамики, вып. 1.-С. 3-35.

20. Овчинников А.П. Конвективная устойчивость жидкости в кубической полости//ПМТФ. 1967. -№3.- С. 118-143.

21. Овчинников А.П., Шайдуров Г.Ф. Конвективные возмущения жидкости в кубической полости // Уч. зап. Пермского ун-та.- 1968. — № 184, Гидродинамика, вып. 1. С. 41 -59.

22. Шадуров Г.Ф. Тепловая неустойчивость жидкости в горизонтальном цилиндре // Инж.-физ. журнал.- 1961.- Т. 4, № 11.-С. 109140.

23. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Устойчивость равновесия жидкости в горизонтальном цилиндре, подогреваемом снизу // ПММ.- 1961.-Т. 25, № 6.- С. 1033-1057.

24. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная неустойчивость жидкости в вертикальном цилиндре конечной высоты // Уч. зап. Пермского ун-та. 1970. - № 216, Гидродинамика, вып. 2. - С. 39-82.

25. Gallagher А.Р., Mercer А. Мс D. On the behavior of small disturbances in plane conette flow with a temperature gradient // Proc. Roy. Soc. 1965. - A 286, № 1404.-P. 117-159.

26. Deardorff J.W. Gravitational instability between horizontal plates with shear//Phys. Fluids. 1965.-V. 8,№ 6.-P. 1027-1043.

27. Roberts P.H. Convection in horizontal layers with internal heat generation. Theory // J. Fluid Mech. 1967. - V. 30, № 1. - P. 33-71.

28. Tritton D.J., Zarraga M.N. Convection in horizontal layers with internal heat generation. Experiments // J. Fluid Mech.- 1967.- V. 30, № 1.-P. 21-43.

29. Шварцблат Д.Л. О спектре возмущений и конвективной неустойчивости плоского горизонтального слоя жидкости с проницаемыми границами //ПММ. 1968.-Т. 32, № 2.-С. 276-305.

30. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шварцблат Д.Л. О спектре конвективной неустойчивости в вертикальном канале с проницаемыми границами // ПММ. 1970. - т. 34, № 1. - С. 150-183.

31. Pearson J.K.F. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Mech. 1958. - V. 4, № 5. - P. 489-519.

32. Бабский В.Г., Скловская И.Л. Гидродинамика в слабых силовых полях. Возникновения стационарной термокапиллярной конвекции в шаровом слое жидкости в условиях невесомости // Изв. АН. СССР, МЖГ. 1969. - № 3. - С. 92-126.

33. Thompson W.B. Thermal convection in a magnetic field // Phil. Mag.- 1951.- V. 42, № 335.-P. 1417-1442.

34. Chandrasekhar S. On the inhibition of convection by a magnetic field, I // Phil. Mag. 1952.- V. 43, № 7.- P. 501-532.

35. Chandrasekhar S. On the inhibition of convection by a magnetic field, II//Phil. Mag.- 1954.-V. 45, № 370.-P. 1177-1192.

36. Жуховицкий E.M. Об устойчивости неравномерно нагретой электропроводящей жидкости в магнитном поле // ФММ.- 1958.Т. 6, №3.-С. 383-411.

37. Turnbull R.J. Effect of dielectrophoretic forces on the Benard instability // Phys. Fluids. 1969. - V. 12, № 9. - P. 800-831.

38. Finlayson B.A. Convective instability of a ferromagnetic fluids // J. Fluid Mech., 1970. V. 40, № 4. - P. 753-774.

39. Takashiman M., Hamabata H. The stability of natural convection in a vertical lager of dielectric fluid in the presence of a horizontal ac electric field//J. Pnys. Soc. Japan. 1984.-V. 53, №5.-P. 1728-173 6.

40. Ландау Л. Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика: Гидродинамика. Т. 6.-М.: Наука, 1986.-736 с.

41. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Устойчивость конвективных течений.-М.: Наука, 1983.-318 с.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред.-М.: Гостехиздат, 1953.-626 с.

43. Брили У.Р., Макдональд X. Неявный метод решения уравнений Навье-Стокса для трехмерных сжимаемых течений.-М.: Мир, 1977. — 431 с.

44. Браиловская И.Ю. Разностная схема для численного решения двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа // Докл. АН СССР. 1965. - Т. 160, №5.-С. 1042-1045.

45. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках // Мат. моделирование. -1997.-Т. 9, №4.-С. 85-114.

46. Мак-Кормак Р.В. Численный метод решения уравнений вязких сжимаемых течений // Аэрокосмическая техника. 1983.- Т. 1, № 4. -С.114-123.

47. Бим P.M., Уорминг Р.Ф. Неявная факторизованная разностная схема для уравнений Навье-Стокса течений сжимаемого газа // РТК. -1978.-Т. 16, №4.-С. 145-156.

48. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью, М.: Наука, 1978. -351 с.

49. Boussinesq J. Theorie analytique de la chaleur.-V. 2.-Paris. -1903.

50. Spiegel E.A., Veronis G. On the Boussinesq approximation for a compressible fluid//Astrophys. J. I960.-V. 131.-P. 442-464.

51. Mihaljan J.M. A rigorous exposition of the Boussinesq approximations applicable to a thin layer of fluid // Astrophys. J. 1962. - 138, № 3.-P. 1126-1142.

52. Шапошников И.Г. О термоэлектрических и термомагнитных конвективных явлениях // Уч. зап. Пермск. ун-та.- 1954.- 8, № 8.-С. 81-104.

53. Сорокин B.C. Вариационный метод в теории конвекции // ПММ.- 1953.-Т. 17, № 1.-С. 39-54.

54. Гетлинг А.В. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея-Бенара // УФН. 1991. - Т. 161, № 9.-С. 1-5.

55. Гершуни Г.З. Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

56. Cristopherson D.G. Note on the vibration of membranes // Quart. J. Math.- 1940.-V. 11.-P. 63-70.

57. Bisshopp F.E. On two-dimensional cell patterns // Journ. Math. Analysis and Appl. 1960. - V. 1. - P. 373-389.

58. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны.- М.: Наука, 1997.-418 с.

59. Неймарк Ю.И. Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания.-М.: Наука, 1987.-512 с.

60. Lorenz Е.Н. Deterministic Nonperiodic Flow // Journal of the Atmospheric Sciences.- 1963.-№ 20.-P. 130-141.

61. Saltzman B. Finite amplitude free convection as an initial value problem //1. J. Atmos. Sci. 1962. - № 19. - P. 329-340.

62. Афраймович B.C., Быков B.B., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР.- 1977.- Т. 234, №2.-С. 336-339.

63. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. Dynamical Systems and Turbulence // Lect. Notes Math. 1980.- P. 898-912.

64. Mandelbrot B.B. Les objets fractals: forme, hasard, et dimension.-Paris: Flammarion, 1975.-632 p.

65. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Comm. Math. Phys.- 1971.-№ 20.-P. 167-173.

66. Guckenheimer J. Structural stability of the Lorenz attractor // Insti-tut des Hautes Etudes Scietifiques. Publication Mathematiques. 1980.-№ 50.-P. 119-126.

67. Guckenheimer J., Williams R.F. The structure of Lorenz attractors // APP1. Math. Sci.- 1976.-№ 19.-P. 368-179.

68. Марсден Дж., Мак-Какен M. Бифуркации рождения цикла и их приложения. Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. - 368 с.

69. Welander P. On the oscillatory instability of a differentially heated fluid loop // J. Fluid Mech. 1965. - № 67. - P. 65-80.

70. Мищенков Ф. M., Моторова Б.М., Моторова Э.А. Устойчивость естественного тепломассопереноса. М.: Атомиздат, 1976.358 с.

71. Моторова Э.А., Неймарк Ю.И. Об устойчивости нелинейной распределенной модели естественной циркуляции // Автомеханика и телемеханика. 1974. - № 3. - С. 28-36.

72. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.- НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.560 с.

73. Creveling H.F., De Paz J.F., Baladi J.Y., Schoenhals R.I. Stability characteristics of a single phase free conventional loop // J. Fluid Mech. -1975. - V. 67. Part 1. - P. 65-77.

74. Gorman M., Widman P.J., Robbins K.A. Chaotic flow regimes in a convection loop // Phys. Rev. Lett. 1984. - V. 52, № 25. - P. 2241-2244.

75. Дроздов C.M. Экспериментальное исследование конвекции жидкости в замкнутом тороидальном канале // МЖГ.- 1995.- № 4.-С. 20-28.

76. Дроздов С.М. Моделирование возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом степеней свободы // Изв. РАН. МГ. 2001. - № 1. - С. 31-45.

77. Браже Р.А. Электрогидродинамическая конвекция свободных носителей заряда в полупроводниках // ФТТ.- 1997.- Т. 39, № 2.-С. 280-283.

78. Аскеров Б.М. Электронные явления переноса в полупроводниках.-М.: Наука, 1985.-318 с.

79. Блекмор Д. Статистика электронов в полупроводниках.-М.: Мир, 1964.-285 с.

80. Блатт Ф. Теория подвижности электронов в твердых телах.— M.-JL: Физматгиз.- 1963.-224 с.

81. Шалимова К.В. Физика полупроводников. М.: Энергоатомиз-дат, 1985.-319 с.

82. Цидильковский И.М. Электроны и дырки в полупроводниках. Энергетический спектр и динамика.-М.: Наука, 1972.-640 с.

83. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука, 1978.-615 с.

84. Фистуль В.И. Введение в физику полупроводников.-М.: Высшая школа, 1984.-352 с.

85. Браже Р.А., Куделин О.Н. Термоэлектрогидродинамическая конвекция свободных носителей заряда в полупроводниках. 2001.7 с. - Деп.-рукоп в ВИНИТИ, № 2477-В2001.

86. Займан Дж. Электроны и фононы. Теория явлений переноса в твердых телах. М.: Наука, 1962. - 488 с.

87. Смит Р. Полупроводники. М.: Мир, 1962. - 467 с.

88. Шокли В. Теория электронных полупроводников.- ИЛ, М., 1953.-523 с.

89. Фэн Г. Фотон-электронное взаимодействие в кристаллах в отсутствии внешних полей.-М.: Мир, 1969.- 127 с.

90. Fischetti M.V., Laux S. Monte Carlo study of electron transport in silicon inversion layers // Phys. Rev. B. 1993. - V. 48. - P. 2244-2274.

91. Tomizawa R. Numerical simulation of sub micron semiconductor devices. Artech House, Boston, 1993. - 327 p.

92. Haensch W. The drift-diffusion equation and its application in MOSFET modeling. Springer-Verlag: Wien, 1991. - 427 p.

93. Stratlon R. Diffusion of hot and cold electrons in semiconductor barriers//Phys. Rev. В. 1962.-V. 126.-P. 2002-2014.

94. Blotekjaer K. Transport equations for electron in two-valley semiconductors // IEEE Trans, on Electron Devices.- 1970.- ED-17.- P. 3847.

95. Markowich A., Ringhofer C.A., Schmeiser C. Semiconductors equations. Springer-Verlag, Wien, 1990.-279 p.

96. N. Ben Abdallah, P.Degond, S. Genieys An energy transport model for semiconductors derived from the Boltzmann equation // J. Stat. Phys. -1996.-V. 84.-P. 205-235.

97. Кинетические и оптические явления в сильных электрических полях в полупроводниках и наноструктурах. Под ред. JI.E. Воробьева. - СПб: Наука, 2000. - 522 с.

98. G. Baccarani, M.R. Wordeman. An investigation on steady-state velocity overshoot in silicon // Solid-State Electronics.- 1982.- V. 29.-P. 970-977.

99. Mucato O., Pidatella R.M., Fischetti M.V. Monte Carlo and hydrodynamics simulation of a one dimensional n+ n - n+ silicon diode // in Proceeding of the Fourth International Workshop on Computation Electronics and VLSI Design, Carl Gardner ed.- 1996.

100. Lee S.-C., Tang T.-W. Transport coefficients for a silicon hydro-dynamical model extracted from inhomogeneous Monte-Carlo simulation // Solid-State Electronics. 1992.-V. 35, №4.-P. 561-569.

101. Ю1.0решкин П.Т. Физика полупроводников и диэлектриков.— М.: Высш. шк., 1977.-448 с.

102. Jacoboni С., Reggiani L. The Monte Carlo method for the solution of charge transport in semiconductors with applications to covalent materials // Rev. Mod. Phys.- 1983.- V. 55.- P. 645-705.

103. Бонч-Бруевич В.JI., Калашников С.Г. Физика полупроводников.-М.: Наука, 1990.-685 с.

104. Джонс Г. Теория зон Бриллюэна и электронных состояний в кристаллах. М.: Мир, 1968.-264 с.

105. Займан Дж. Принципы теории твердого тела.-М.: Мир, 1974.472 с.

106. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика: Физическая кинетика. Т. 10.-М.: Наука, 1979.-528 с.

107. Anile A.M., Romano V., Russo G. External hydrodynamical model of carrier transport in semiconductor // Siam J. on Applied Mathematics.-1999.-№ 4.-P. 12-35.

108. Anile A.M., Pennisi S. Thermodynamic derivation of the hydrodynamical model for charge transport in semiconductors // Physical review В.-1992.-V. 46, № 20.-P. 13186-13193.

109. Епифанов Г.И. Физика твердого тела.- М.: Высшая школа, 1977.-288 с.

110. Емцев В.В. Примеси и точечные дефекты в полупроводниках. -М.: Радио и связь, 1981.-248 с.

111. Кикоин К.А. Электронные свойства примесей переходных металлов в полупроводниках. -М.: Энергоатомиздат, 1991.-302 с.

112. Браже Р.А., Куделин О.Н. Математическая модель термоэлектрогидродинамической конвекции в полупроводниках с учетом столкновительных процессов // Мат. моделирование. 2005.- Т. 17, №2.-С. 109-118.

113. Куделин О.Н. Компьютерная модель термоэлектрогидродинамической конвекции свободных носителей заряда в полупроводниках // Тез. докладов школы-семинара «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» . У О ИРЭ РАН. - 2003. - С. 28.

114. Браже Р.А., Куделин О.Н. Влияние рассеяния свободных носителей заряда на термоэлектрогидродинамическую конвекцию в полупроводниках // Автоматизация процессов управления. ФГУП «НПО Марс». 2003. - № 2. - С. 95-97.

115. Браже Р.А., Куделин О.Н. Условия наблюдения термоэлектрогидродинамической конвекции в реальных полупроводниках // Электронная техника. 2003. - С. 3-6.

116. Anile A.M., Muscato О. Improved hydrodynamical model for charge transport in semiconductors // Physical review В.— 1995,- V. 51.-P 16728- 16740.

117. Pennisi S., Trovato M. Field equations for charge conducting fluids in electromagnetic fields // Cont. Mech. Thermod.- 1995.- V. 7.- P. 489520.

118. Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики.-М.: Наука, 1973.-423 с.

119. Хакен Г. Синергетика.-М.: Мир, 1980- 532.

120. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.— 1997,- № 10,-С. 4-29.

121. Дмитриев А.С., Стархов С.О. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.- 1998.-№ 11.-С. 4-32.

122. Померанцев Н.М., Рыжков В.М., Скроцкий Г.В. Физические основы квантовой магнитометрии.-М.: Наука., 1972.-425 с.

123. Сивухин В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1974.-520 с.

124. Фейман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике. Т. 7 . Физика сплошных сред. М.: Мир, 1977. - 288 с.

125. Фейман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике. Т. 5 . Электричество и магнетизм. М.: Мир, 1977. - 304 с.

126. Эдварде Р. Ряды в современном изложении. Т.1.- М.: Мир, 1985.-260 с.

127. Cooley, J. W., Tukey J. W. An algorithm for the machine computation of the complex Fourier series // Mathematics of Computation.-1965. V. 19, № 4 - P. 297-301.

128. Duhamel, P., Vetterli M. Fast Fourier Transforms: A Tutorial Review and a State of the Art // Signal Processing. 1990.- V. 19, № 4.- P. 259-299.

129. Hurst Н.Е. Long-term storage capacity of reservoirs // Trans Am. Soc. Civ. Eng. 1951. -V. 116. - P. 770-808.

130. Hurst H.E., Black R.P., Simaika Y.M. Long-term storage: an experimental study. Constable, London, 1965., 325 p.

131. Шредер M. Фракталы, хаос, степенные шумы. Миниатюры из бесконечного рая,- НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.-537 с.

132. Peng С-К, Buldyrev SV, Havlin S, Simons M, Stanley HE, Gold-berger AL. Mosaic organization of DNA nucleotides // Phys Rev E. -1994.-V. 49.-P. 1685-1689.

133. Peng C-K, Havlin S, Stanley HE, Goldberger AL. Quantification of scaling exponents and crossover phenomena in nonstationary heartbeat time series // Chaos. 1995. - V. 5. - P. 82-87.

134. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.-464 с.

135. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения //УФЫ. 1996. - Т.166, № 11. - С. 1145-1170.

136. Antoniadis A., Pham D.T. Wavelet regression for random or irregular design // Сотр. Stat, and Data Analysis.- 1998.- V. 28.-P. 353-369.

137. Donoho D.L. Johnstone I.M., Kerkyacharian G., Picard D. Wavelet shrinkage: asymptopia // Jour. Roy. Stat. Soc., series В.- 1995.- V 57, Ж2.-Р. 301-369.

138. Hamilton, J.D. Time Series Analysis. Princeton University Press, 1994.-352 p.

139. Box G.E.P., Jenkins G.M., Reinsel G.C. Time Series Analysis: Forecasting and Control, third edition. Prentice Hall, 1994. - 421 p.