автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процесса распространения волн в жидких и сыпучих средах

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Перегудин Сергей Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ЖИДКИХ И СЫПУЧИХ СРЕДАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена на кафедре управления медико -биотогическими системами факультета прикладной математики -процессов управления Санкт - Петербургского государственного университета

Научный консультант:

доктор физико - математических наук, профессор Алешков Юрий Зосимович

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор Андрианов Сергей Николаевич (СПбГУ),

Ведущая организация:

Вычислительный центр имени А А Дородницына Российской академии наук

Защита диссертации состоится "22" 2005 г в ^ча-

сов на заседании диссертационного совета Д 212 232 50 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора физико - математических наук при Санкт Петербургском Государственном Университете по адресу 199034, г Санкт - Петербург, В О , Университетская наб, д 7/9, Менделеевский Центр

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им А М Горького СПбГУ по адресу 199034, г Санкт - Петербург, В О , Университетская наб , д 7/9, Менделеевский Центр

доктор технических наук,

профессор Максимов Василий Васильевич(БГТУ),

доктор физико - математических наук, профессор Стурова Изольда Викторовна (ИГиЛ)

Автореферат

Ученый секретарь

г

диссертационного совета Д 212 232 50 доктор физико - математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет исследования. Актуальность проблемы

Развитие человечества неразрывно связано с океаном. Водный покров земного шара почти в три раза превосходит по площади часть, занимаемую сушей. Море посылает человеку многообразие растительного и животного мира, даёт огромный энергетический потенциал, по сей день морские пути остаются одним из важных средств общения, прибрежные зоны имеют наиболее благоприятную и устойчивую экологическую обстановку. В будущем человечество ещё в большей степени будет связано с океаном — гидротехнические сооружения дальше продвинутся в море, затаённая энергия водной толщи послужит на пользу человеку.

Данная работа посвящена одному из важных вопросов математического моделирования и прикладной математики — моделированию динамических процессов, описывающих внутренние и поверхностные волны, распространяющиеся в стратифицированной жидкости над твердым и деформируемым дном, а также влиянию внутренних и поверхностных волн на рельеф дна. В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии и физики атмосферы, а также в связи с использованием криогенных жидкостей в технике и рядом других проблем задачи о распространении внутренних волн и колебаний в стратифицированных жидкостях вызывают большой интерес. Мировой океан представляет собой сложную динамическую систему, в частности он вращается вместе с Землёй и стратифицирован по глубине. В связи с этим можно отметить, что экспериментальные исследования и натурные наблюдения внутренних волн представляют собой достаточно сложную в техническом отношении задачу, что особенно повышает роль теоретических исследований.

Исследования явления периодичности деформаций поверхности раздела легко деформируемых сред берут свое начало в работах Гельмгольца. Сформулированная изначально гипотеза только для сред с малым трением — жидкостей и газов, в дальнейшем была обощена для случая, когда величина трения в одной из соприкасающихся сред конечна. Периодические деформации, возникающие на поверхности раздела двух сред можно классифицировать на периодические деформации на поверхности раздела сред с малым трени-

ем — волны на поверхности раздела жидкость-воздух и внутренние волны в жидкости на поверхности скачка плотности и периодические деформации на поверхности раздела сред, в одной из которой величина трения мала, а в другой конечна — наблюдемые в природе песчаные волны, возникающие на границе раздела сыпучей среды с воздухом или жидкостью.

Несмотря на кажущееся внешнее различие форм обоих типов волн, природа причин их возникновения имеет общие закономерности, определяемые схожестью условий формирования и идентичностью сил, действующих на поверхности деформируемой среды. Меньшая степень изученности песчаных волн, в отличие от волн на воде, обусловлена отсутствием законченного математического аппарата для теоретических разработок и незначительным количеством экспериментов в данной области.

Цель работы

Основная цель диссертации состоит в построении математической модели динамического процесса распространения волн в жидких и сыпучих средах и ее аналитическое исследование как задачи прикладной математики, математической физики и теории волн, а именно, — исследование внутренних и поверхностных волн конечной амплитуды в неоднородной жидкости и их взаимодействия с вертикальной преградой, изучение влияния стратификации и рельефа твердого недеформируемого дна на волновой режим, исследование волн на поверхности сыпучей среды, возникающих в результате воздействия длинных и коротких волн в однородной или двухслойной идеальной несжимаемой жидкости. Полученные аналитические решения должны позволить провести сравнение с результатами соответствующего вычислительного эксперимента. Ставятся следующие научные задачи:

1) Анализ процесса распространения поверхностных и внутренних волн в жидкости со скачком плотности.

2) Исследование закономерностей взаимодействия двумерных волн конечной амплитуды с вертикальной стенкой при фронтальном подходе.

3) Изучение математической модели, описывающей течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины.

4) Исследование влияния рельефа дна и стратификации жидкости на параметры распространение внутренних волн.

5) Исследование силового воздействия пространственных стоячих волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при фронтальном подходе.

6) Исследование силового воздействия пространственных бегущих волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при произвольном подходе.

7) Исследование параметров волнового движения в жидкости с непрерывной стратификацией.

8) Построение математических моделей взаимодействия плоских и пространственных коротких волн с сыпучей средой и аналитическое исследование полученных моделей.

9) Исследование волн на поверхности сыпучей среды, возникающих в результате воздействия длинных волн в однородной и двухслойной несжимаемой жидкости.

Методы исследования

В основу исследования названных задач положены законы сохранения механики сплошных сред, гидромеханики и теории внутренних гравитационных волн. При анализе полученных математических моделей используются методы математической физики, в частности, метод возмущений, метод малого параметра, аппарат функций Грина, аналитические и приближённые методы решения краевых задач, методы теории дифференциальных уравнений, методы и коды приложений компьютерной алгебры и системы символьных вычислений Maple 9.01.

Качественный анализ изучаемой проблемы осуществляется по аналитическому выражению решения в одних случаях без использования ЭВМ, в других — произведен с помощью ЭВМ с использованием современных интегрированных сред разработки программных продуктов и комплексов программ.

Научная новизна работы

1) Разработана математическая модель процесса распространения волн на поверхности сыпучей среды под воздействием потока жидкости. Аналитически и с помощью средств компьютерной алгебры (система символьных вычисленией Maple 9.01) проведено комплексное качественное исследование процесса распространения длинных и коротких, внутренних и поверхностных волн в слое однородной и неоднородной идеальной несжимаемой жидкости над твердым и деформируемым основанием.

2) Исследован процесс распространения поверхностных и внутренних волн конечной амплитуды в однородной и неоднородной жидкости Решения соответствующих краевых задач для уравнений с частными производными представлены в виде асимптотических степенных рядов по степеням амплитудного параметра и найдены с точностью третьего приближения

3) В продолжение работ Л Н Сретенского и Ю.З Алешкова исследован процесс взаимодействия двумерных и пространственных волн конечной амплитуды в двухслойной жидкости с вертикальной стенкой при фронтальном подходе Искомые гидродинамические характеристики динамического процесса представлены в виде асимптотических степенных рядов по степеням малого параметра, характеризующего амплитуду волны, и найдены с точностью третьего приближения С этой точностью получены выражения для давления на стенку на произвольном уровне и для погонной нагрузки

4) Аналитические решения системы уравнений математической модели, описывающающей течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины иллюстрируют зависимость параметров внутренних волн от скорости горизонтального потока, параметров стратификации жидкости и неровности твердой границы

5) Получены параметры силового воздействия пространственных бегущих волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при произвольном подходе Выражения для давления и погонной нагрузки на омываемую часть стенки определены с точностью до третьей степени амплитудного параметра

6) Исследованы параметры волнового движения в жидкости с непрерывной стратификацией В частности, исследованы свободные волны в стратифированной жидкости, свободные и вынужденные внутренние волны во вращающейся стратифицированной жидкости, свободные внутренние волны при наличии горизонтального изменения плотности

7) Построена и аналитически исследована математическая модель взаимодействия плоских и пространственных коротких волн с поверхностью сыпучей среды Определены параметры волновой поверхности в жидкости и на поверхности деформируемого дна Представлены дисперсионные соотношения, характеризующие зависимость скорости донной волны от гидродинамики водного слоя

и реологических свойств грунта. Исследован механизм формирования волновой поверхности сыпучей среды, возникающей в результате воздействия длинных волн в однородной и духслойной несжимаемой жидкости. Получены дисперсионные соотношения, иллюстрирующие условия возможной деформации донной поверхности от гидродинамических характеристик жидких слоев и реологии грунтового слоя. Длинноволновая модель реализована как без учета, так и с учетом дисперсии, а также в приближении стратификации двухслойного океана.

8) Представленные модели адаптированы для использования стандартных вычислительных алгоритмов и распространенных комплексов программ (Maple 9.01).

Теоретическая и практическая значимость работы

Проведенные исследования углубляют теоретическое представление о распространении внутренних и поверхностных волн в океане и взаимодействии их с сооружениямия, имеющими вертикальную грань. Представленные математические модели позволяют проводить практическое комплексное исследование прикладных проблем как аналитически, так и с применением современных компьютерных технологий.

Полученные результаты и методы могут быть использованы для расчета силового воздействия волн, для определения волнового режима акваторий с твердым каменистым или песчанным дном, в исследованиях специалистов по гидродинамике, морской гидротехнике и при строительстве морских гидротехнических сооружений на стадии проектирования, а также при решении задач прикладной математике и математической физике. Полученные аналитические решения позволяют проводить сравнение и оценку эффективности различных асимптотических и приближенных методов, в частности, численных. Использованные современные интегрированные среды разработки программных продуктов позволили получить графическую визуализацию представленных решений.

Положения, выносимые на защиту

1) Построена математическая модель процесса распространения волн на поверхности сыпучей среды под воздействием потока идеальной несжимаемой жидкости. Проведено качественное комплексное исследование процесса распространения длинных и коротких, внутренних и поверхностных волн в слое однородной и неоднород-

ной идеальной несжимаемой жидкости над твердым и деформируемым основанием.

2) Представлена математическая модель и теоретический качественный анализ процесса распространения внутренних волн малой амплитуды в слое стратифицированной жидкости переменной ограниченной глубины. Исследован процесс распространения волн конечной амплитуды в двухслойной жидкости.

3) Решена нелинейная задача о течении однородной и стратифицированной жидкости в канале переменной глубины.

4) Исследованы закономерности силового воздействия нелинейных стоячих волн в двухслойной жидкости на вертикальную стенку при фронтальном подходе, а также силового воздействия бегущих пространственных волн при произвольном подходе и стоячих пространственных волн при фронтальном подходе. Получены выражения для давления и погонной нагрузки на омываемую часть стенки.

5) Исследован процесс распространения волн в непрерывно стратифицированной жидкости, решены задачи о распространении свободных волн в стратифицированной жидкости, вынужденных внутренних волн во вращающейся стратифицированной жидкости, а также свободных внутренних волн при наличии горизонтального изменения плотности.

6) Построена и аналитически исследована математическая модель распространения плоских и пространственных волн малой амплитуды на поверхности сыпучей среды, вызванных движением жидкости. Рассмотрены случаи потенциального и вихревого движения одного и двух слоев однородной и неоднородной жидкости. Для каждого случая исследована зависимость рельефа дна от реологии донного вещества и гидродинамических характеристик потока жидкости.

7) Построена и аналитически исследована математическая модель взаимодействия длинных волн в однородной и неоднородной жидкости с деформируемым дном.

8) Представленные модели адаптированы для использования стандартных вычислительных алгоритмов и распространенных комплексов программ (Maple 9.01).

Достоверность

Достоверность основных научных положений диссертации и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задач

и используемого математического аппарата, проведением вычислительного эксперимента, сопоставлением некоторых положений и следствий с результатами, известными в литературе.

Апробация работы

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на:

- восьмой международной сессии Рабочей Группы "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане"на тему "Пограничные эффекты в стратифицированной и/или вращающейся жидкости"(С.-Петербург, июнь 1995);

- международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, декабрь 1994, май 1998, май 2001, май 2002, май 2003, май 2004);

- международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем "(Прикладная механика) (Киев, май 1995, май 1996, май 1997);

- 7 Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением"(Казань, июнь 1997);

- межрегиональном симпозиуме "Методы обнаружения краткосрочных предвестников землетрясений и спорадических и антропогенных выбросов в атмосферу (АЭС)"(Санкт-Петербург, ноябрь 2000);

- межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи, (Математические модели механики, прочность и надежность конструкций)"(Самара, май 2001—2005 гг);

- научных конференциях Мордовского государственного университета (Саранск, 1997-2004 гг);

- международных конференциях "Прикладные технологии гидрофизики и гидроакустики "(Санкт-Петербург, май 2002, июнь 2004);

- научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" (Санкт-Петербург, апрель 2003, 2004 гг);

- научно-технической конференции "ХЫ Крыловские чтения (Проблемы мореходных качеств судов и корабельной гидромеханики) "(Санкт-Петербург, ноябрь 2003);

- международных конференциях "Современные проблемы математики, механики, астрономии (Механика)"(Тула, ноябрь 2003, ноябрь 2004);

- всероссийской конференции, приуроченной к 85-летию акаде-

мика Л .В. Овсянникова "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, май 2004);

- международной конференции "Четвертые Окуневские чтения" (Санкт-Петербург, июнь 2004);

- XX всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (СаМГОП)" (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2004);

- V международной конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки "(Самара, сентябрь 2004);

- международной научной конференции "Проблемы экологической безопасности и природопользования "(Москва, 2004);

- семинарах аэродинамической лаборатории НИИММ СПбГУ, кафедры гидроаэромеханики математико—механического факультета, кафедры высшей математики и кафедры управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики -процессов управления Санкт-Петербургского университета (19912005 гг);

- семинарах отдела методов нелинейного анализа вычислительного центра имени А.А. Дородницына Российской академии наук (Москва, 2002-2005 гг);

В целом работа докладывалась на семинарах кафедры управления медико—биологическими системами факультета прикладной математики-процессов управления СПбГУ (рук. д. ф.-м. н., профессор Ю.З. Алешков) и семинарах отдела методов нелинейного анализа вычислительного центра имени А.А. Дородницына Российской академии наук (рук. д. ф.-м. н., профессор ЕА Гребеников).

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в монографии "Волновые движения в жидких и сыпучих средах", объемом 288 страниц, и в 62 публикациях, 29 из которых приведены в библиографическом списке, в том числе 10 содержатся в журналах из перечня рекомендованных ВАК Министерства образования РФ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, одиннадцати глав, Заключения, списка литературы и Приложения. Работа без Приложения изложена на 334 страницах машинописного текста, из них 22 страницы — список литературы, содержащий 193 наименования.

СОДБРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение

Во введении обосновывается актуальность разработки и анализа математических моделей поставленных задач. Речь идет о волнах малой амплитуды в стратифицированной жидкости над неровным дном, двумерных и пространственных внутренних и поверхностных, прогрессивных и стоячих волнах в двухслойной жидкости, двумерных и пространственных волнах в неоднородной жидкости над сыпучей средой, длинных волнах в неоднородной жидкости над сыпучей средой. Изложено краткое содержание диссертации с описанием основных ее результатов. Произведен обзор современного состояния вопроса, сформулированы цели и задачи представленного научного исследования.

Глава 1. Внутренние волны малой амплитуды над неровным дном

Первая глава посвящена волнам малой амплитуды и их распространению над неровным дном. Первый параграф содержит вывод основных уравнений и граничных условий. В декартовой прямоугольной системе координат представлена система уравнений

с граничными условиями

здесь у,р,д,],р(х,1),т](х,1,),Н(х,1) — скорость и плотность жидкости, ускорение силы тяжести, единичный орт оси ординат, давление, ординаты свободной поверхности и поверхности дна соответственно. Данная система уравнений с граничными условиями описывает движение несжимаемой и невязкой стратифицированной жидкости со свободной поверхностью над твёрдым дном. В

дН

предположении малости амплитуды и малости

исходная система приводится к уравнению в частных производных

для вертикальной скорости т = ги(х, у, £)

-С2

д2и> № дм д2и> ду2 9 ду дх2

+ С

(сРи _ дш'

\йу2 д йу) дх_

,д2У

дх2'

с неоднородными условиями на границе

где ./V2 = -г

9 др

,. . _ — квадрат частоты Вяйсяля—Брента, р = /5(и) + Р(У) ду

+ р'(х,у,С) и стратификация предполагается устойчивой, то есть < 0. Коэффициенты уравнения для ю(х, у, переменны и за-

¿у

висят от скорости набегающего потока и (у) и квадрата частоты Вяйсяля - Брента

Далее в параграфах 1.2, 1.3 и 1.4 рассматриваются частные решения граничной задачи для и)(х,у), соответствующие самостоятельным задачам теории внутренних гравитационных волн.

Так, § 1.2 рассматривает случай, когда движение установившееся. Данному случаю соответствует совокупность первой и третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца. Для некоторых частных видов стратификации и скорости и(у) решение представляется в виде ряда Фурье. Анализ полученного решения позволяет судить о влиянии рельефа дна на основные гидродинамические характеристики.

В §1.3 рассматривается случай, когда движение носит чисто волновой характер, то есть и(у) = 0. При гармонической зависимости от времени и экспоненциальном уменьшении плотности с высотой, решение, представленное рядом Фурье, позволяет сделать выводы о параметрах волны за препятствием.

Рассматриваемый в § 1.4 общий случай начально-краевой задачи о распространении волн на течении при наличии постоянно действующих возмущений, приложенных к свободной поверхности в случае экспоненциального распределения плотности, позволяет построить решение, зависящее от рельефа дна.

В заключительном параграфе первой главы исследуется установившееся движение неоднородной жидкости со свободной поверхностью над горизонтальным дном. В отличие от предыдущей, в данной задаче вместо эйлеровых переменных (х,у) используются переменные (х,ф), ф — функция тока, связанная со скоростью соотношением ьх = = —и стратификация плотности характеризуется функцией р{ф), а не квадратом частоты Вяйсяля -Брента. В результате замены искомыми функциями становятся горизонтальная и вертикальная составляющие вектора скорости а = = у/рлт в силу уравнения неразрывности, модифицированного уравнения Дюбрейль—Жакотен

2

и граничных условий. Здесь функция = 3^+р+др{Ф)у характеризует распределение завихренности.

Для малых отклонений линий тока от горизонтального положения задача в терминах вертикальной скорости сводится к смешанной краевой задаче для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом, зависящем от изменения плотности по линиям тока. Решение полученной задачи представлено для случаев постоянной и кусочно-постоянной плотности. Для случая произвольного распределения плотности построена функция Грина соответствующего интегрального уравнения. Для экспоненциального убывания плотности с высотой построено приближённое решение при помощи метода Галёркина. Качественный анализ полученных решений позволяет судить о влиянии стратификации плотности на волновой режим.

Глава 2. Течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины

Во второй главе рассматривается вопрос о движении жидкости в канале переменной глубины, когда свободная поверхность отсутствует, т.е. вместо нее твердая крышка, а дно имеет неровность. В первом параграфе исследуется краевая задача безвихревого движе-

ния жидкости с постоянной плотностью

дх2 ду2 '

-0, у = 0,

+ У=~Н(х),

где <р(х, у) — потенциал скорости, у = —Н{х) — уравнение дна, оси ХОУ — оси прямоугольной декартовой системы координат, причём, твёрдая крышка совпадает с осью абсцисс. В случае почти ровного дна потенциал скорости ищется в виде суммы потенциала набегающего потока и и возмущения Ф, вносимого препятствием:

Краевые условия на нижней границе представлены рядом Тэйлора в окрестности равновесного состояния; возмущения набегающего потока Ф(х,у,е) находятся в виде степенного ряда

где £ — малый параметр, характеризующий отклонение дна от горизонтального положения. Для коэффициентов Хх получена рекуррентная последовательность краевых задач. Вычислено первое приближение х1, по которому можно вычислить все последующие. Решение краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа получено в виде ряда Фурье по ортогональной системе функций. Аналогичным методом исследована краевая задача в случае, когда твёрдая крышка имеет неровность. Получено, с учётом первого приближения, выражение для потенциала скорости потока. Учёт остальных членов асимптотического разложения не приводится по причине подобия и громозкости вычислений. Анализ предельной скорости потока позволяет судить о функциональной зависимости скорости от рельефа дна.

В §2.2 рассматривается установившийся поток стратифицированной жидкости в канале с неровным дном при условии, что твёрдая крышка может иметь неровность. Следовательно, имеем уравнения для а =

<р{х,у) = их + Ф(х,у,е).

00

и граничные условия

ап~ 0, у = а(х), ап = 0, у = /?(х),

где Н — глубина жидкости, с — характерная скорость. Рассматриваемая задача приводится в терминах вертикальной скорости к задаче Дирихле для уравнения Гельмгольца, коэффициент которого зависит от скорости потока и распределения плотности вдоль линий тока. Представленное для частных случаев скорости и плотности решение позволяет судить о влиянии рельефа дна и стратификации жидкости на параметры волнового движения.

Глава 3. Волновые движения неоднородной жидкости со скачкообразным изменением плотности

В третьей главе рассматривается задача безвихревого движения двух слоев идеальной несжимаемой жидкости над твёрдым дном. Жидкость в каждом слое предполагается однородной и считается, что слои не перемешиваются.

В § 3.1 рассматривается общая постановка задачи в переменных Эйлера. Используется декартова система координат, в которой ось абсцисс направлена вдоль невозмущенной поверхности раздела, ось ординат — вертикально вверх. Поставленная задача моделируется следующей системой уравнений с граничными условиями

<р} — потенциал скорости, у = -Н(х, ¿) —уравнение дна, у = щ (х, <) — уравнение поверхности раздела, р3 — давление, р3 — плотность, /,(£) — произвольная функция времени, — давление, приложенное к свободной поверхности у = Яг 4- т)2(х, ¿) , Яг — глубина верхнего слоя в невозмущённом состоянии. Величины, относящиеся к нижней жидкости, отмечены индексом 1, к верхнему слою — индексом 2.

В §3.2 для волн малой амплитуды в случае горизонтального недеформируемого дна и постоянного давления, приложенного к свободной поверхности, потенциалы скорости находятся в виде плоской стоячей волны. Учёт граничных условий порождает дисперсионное соотношение, зависящее от плотности и относительной глубины каждого слоя. Отличие рассмотренного случая от аналогичного случая для однородной жидкости состоит в том, что здесь существуют два вида частот, соответствующие двум семействам волн. Анализ отношения амплитуд колебаний внутренней и поверхностной волн выявляет возможность существования двух различных типов волнового процесса. В заключение параграфа приведено выражение для фазовой скорости бегущей волны.

В §3.3 задача §3.2 рассматривается в подвижной системе координат для установившихся волн. Использование безразмерных переменных позволяет преобразовать задачу в систему уравнений с малым параметром е, характеризующем крутизну волны. При £ = 0 решение задачи схоже с решением из §3.2. При е Ф 0 решение ищется при помощи первого метода Стокса, состоящего в представлении искомых функций в виде степенного ряда по малому параметру е и аппроксимации граничных условий на свободной поверхности и поверхности раздела рядом Тэйлора в окрестности соответствующего невозмущённого уровня. Для первого, второго и третьего приближений искомого решения получены соответствующие краевые задачи.

В §3.4 найдены первые три приближения искомого решения. Качественный анализ решения, полученного с точностью до е3, показывает, что изменение формы волны проявляется с учетом коэффициентов при е2 — гребень уже, впадина шире, изменение фазовой скорости наблюдается только с учетом коээфициентов при е3 В заключение параграфа приведены выражения для высоты внутренней и поверхностной волны в случае конечной или бесконечной

глубины жидкости.

Глава 4. Воздействие волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при фронтальном подходе

В четвёртой главе рассматривается задача о стоячих волнах в двухслойной жидкости и их взаимодействии с вертикальной стенкой.

В первом параграфе в размерных переменных представлены основные уравнения и граничные условия задачи набегания внутренней и поверхностной волны на вертикальную стенку (А — длина волны):

В случае горизонтального дна рассматривается задача о волнах малой амплитуды и приведен качественный анализ полученного решения.

В §4.2 при помощи первого метода Стокса исследуется влияние нелинейности на каждый тип волн. С точностью до е3 получены выражения для потенциалов скорости, ординаты свободной поверхности и поверхности раздела.

В заключительном параграфе четвёртой главы исследовано взаимодействие волн с вертикальной стенкой. Выражения для давления, найденные из интеграла Лагранжа—Коши

2

/э, к' сК

к =

2

2тг

+ 2тг

й?)'

а =

где

уз; = е^о + 1 + е3<Р,2 + • • • , и погонной нагрузки на омываемую часть стенки

ещ Нг+ет

кР- J ! р2с1у,

ец 1

определены с точностью до

Глава 5. Воздействие трехмерных волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при фронтальном подходе

В данной главе исследуется задача о воздействии трехмерных стоячих волн в двухслойной жидкости на вертикальную стенку при фронтальном подходе.

В первом параграфе сформулирована постановка краевой задачи уравнений с частными производными для потенциалов скорости в каждом слое. В безразмерных переменных краевая задача, описывающая колебания пространственных волн, имеет вид:

Решение поставленной задачи в предположении твердого недефор-мируемого дна, постоянства давления, приложенного к свободной поверхности, а также представлении функций из интеграла Ла-гранжа—Коши в виде

найдено для £ = 0, что соответствует случаю волн малой высоты. Для данного класса волн получены выражения потенциалов скорости, формы свободной поверхности и поверхности скачка плотности, частоты колебаний а, а также отношение амплитуд колеблющихся поверхностей.

В § 5.2 при помощи первого метода Стокса с точностью третьего приближения построено решение исходной нелинейной задачи. Проведен анализ влияния нелинейности на каждый тип волн. В §5.3 вычислено давление в жидкости вблизи вертикальной стенки.

Глава 6. Воздействие пространственных волн произвольного направления на вертикальную стенку.

В шестой главе исследуются пространственные волны конечной амплитуды и их взаимодействие с вертикальной стенкой при произвольном подходе. При решении краевой задачи, моделирующей описанное физическое явление, используются методы предыдущей главы — сначала исследуется линеаризованная система уравнений с частными производными, описывающая распространение волн малой амплитуды, затем при помощи первого метода Стокса с точностью третьего приближения строится решение нелинейной задачи. С такой точностью определено гидродинамическое давление вблизи стенки и выражение для погонной нагрузки на омываемую часть стенки. Используемая точность качественно описывает допустимые изменения параметров волны.

Глава 7. Волновые движения в непрерывно стратифицированной жидкости

В главе 7 исследуются волны малой амплитуды в жидкости с непрерывной стратификацией. В §7.1 получена система уравнений с частными производными (горизонтальная массовая сила — сила Кориолиса)

моделирующая задачу о волнах малой амплитуды в безграничном слое идеальной несжимаемой жидкости постоянной глубины, с граничными условиями

В этом случае профиль свободной поверхности £ определяется по известной функции p1, характеризующей динамический добавок давления, формулой

ЯР

В § 7.2 рассматривается случай распространения свободных волн. Искомое решение, периодическое по времени и горизонтальным координатам, ищется в классе функций

\ = \{г)егв, Р1=Мг)е

гв

Р1 = в — тх + пу — аЬ.

В этом случае исходная система уравнений с частными производными допускает преобразование к обыкновенному линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка относительно вертикальной компоненты скорости жидкости с соответствующими граничными условиями. Данное уравнение после преобразований может быть приведено к уравнению Абеля второго рода, допускающему интегрирование в квадратурах, если

В случае экспоненциальной стратификации дисперсионное соотно-

Л +пг , , —\

шение имеет вид I Оо = —2—4"~2 _ ' I

В § 7.3 рассматриваются внутренние волны с учетом вращения Земли. При эт | ^"'щолагается, что, согласно стратификации океана, в е л и ч и л я е т с я величиной малой, а граничное условие на свободной поверхности заменено условием твердой крышки, т.е. происходит отфильтровывание поверхностных волн.

Дисперсионное соотношение для внутренних волн в океанографическом приближении имеет вид

Таким образом, в экспоненциально стратифицированной жидкости при условии \fgk > а > любому фиксированному значению о отвечает счетное множество волновых чисел

Волновым числам тп, пп соответствует волновое движение с вертикальной составляющей скорости

В силу линейности задачи вертикальную составляющую скорости, соответствующую фиксированному значению частоты а, можно представить в виде суммы первых N мод:

В виде суммы первых N мод можно записать остальные искомые компоненты исследуемого динамического процесса.

В § 7.4 рассматриваются вынужденные внутренние волны, генерируемые периодическими перемещающимися колебаниями дна бассейна, происходящими по закону

Вертикальная компонента скорости имеет вид

Отсюда следует, что при ш = т„,п= тгп,а = ап, где тп,пп,<гп —

любая тройка значений, удовлетворяющих условию = 0, ам-

плитуда вертикальной скорости обращается в бесконечность, т. е. когда частота колебаний дна совпадает с одним из значений частот колебаний жидкости, возникает резонанс.

В § 7.5 изучаются свободные внутренние волны при наличии горизонтального изменения плотности. Линеаризованные уравнения и граничные условия в этом случае принимают вид

где Ki,(z) — коэффициент горизонтального изменения плотности — известная непрерывная функция глубины, выражаемая в квадратных метрах в секунду.

При ро = const решение ищется в виде, соответствующем периодическому по времени t и координатам х, у движению. Исходная система уравнений в результате преобразований допускает представление в виде обыкновенного дифференциального уравнения

(1)

J_(dpA2 _

1 cPpo 2po dz2

с соответствующими граничными условиями

(2)

В случае KL = const q будет постоянной величиной, если изменение плотности с глуби R(po) = —— я е т с я решением уравне-

dz

ния Абеля второго рода

RR' = /2ЫЯ2 + h(po)R + fo(po)-

При q2 = const общее решение уравнения (1) имеет вид

u(z) = D\ sill qz + D2 cos qz. (3)

Учет граничных условий приводит к дисперсионному соотношению

q(tт2 - 4ю'2)

tg qH =

д(тп2 + п2) - <т(<т2 - 4w2)'

В случае движения жидкости в канале условие на свободной поверхности изменится на условие твердой крышки, исходная задача принимает вид

решение которой строится аналогичным образом.

Глава 8. Плоские волны в двухслойной жидкости над сыпучей средой

В данной и последующей главах рассматриваются задачи о взаимодействии потока жидкости с дном, состоящим из сыпучего материала. В §8.1 описывается механизм образования песчанных волн, основанный на класических гипотезах.

В § 8.2 рассматривается плоская задача о потенциальном движении двух слоев однородной жидкости над дном, состоящим из сыпучего вещества. Данная задача описывается уравнениями

с граничными условиями

дт)2 дт)2 ду>2 дф2

дх дх ду

дщ = ^£2

дЬ дх дх ду дг) дг/ дг/ д(}

Р\{х,УЛ) =Р2(х,уЛ), У = Щ(ХЛ),

+

дЬ дх дх ду дЬ дх

О, у= -Я0+т/(х,(),

где — давление в каждом слое, — ат-

мосферное давление. Кроме того, в каждом слое жидкости имеет место интеграл Лагранжа—Коши

д — ускорение свободного падения, — произвольная функция времени.

В предположении потенциалов скорости в виде возмущения, наложенного на горизонтальный поток

задача о волнах малой амплитуды при произвольной зависимости расхода донного вещества Q от придонной скорости

в классе функций вида

= (Ле-С + ЯеС) ЯП*,

(С, С)= (Се-С + ДеС)

имеет нетривиальное решение, если выполняется дисперсионное соотношение

р2ксг(кс2 sh кН2 - д ch кН2) {(U + с) sh кНа + хек ch кН0) + +{дshкН2 - кс2 chкН2) (g{pi - p2)(U + с) shкН0 - pikc2{U + с) х

Здесь Hq,H2 — высота верхнего и нижнего слоев жидкости, с — относительная скорость донной волны. В случае достаточно большой высоты жидких слоев, выражения для фазовой скорости значительно упрощаются:

Анализ представленных выражений показывает, что в первом случае относительная скорость волны зависит лишь от волнового числа и расхода жидкости через вертикальное сечение донного слоя; направленне скорости волны противоположно направлению скорости потока. Во втором случае причем направление

скорости волны может совпадать с направлением скорости потока,

2

а может быть прямо противоположным. В третьем случае С = = C2(fc) — относительная скорость волны ведет себя так, как будто жидкость однородная и влияние сыпучести среды донного слоя полностью отсутствует. Два последних варианта рассмотрены в задаче о волнах конечной амплитуды в двухслойной жидкости. Отношение амплитуды внутренней волны к амплитуде поверхностной волны определяется равенством

В § 8.3 рассматривается задача о движении слоев жидкости с разными скоростями. В этом случае потенциалы скорости можно представить в виде <p}(x,y,t) = U3x + ip'}[x,y,t). По изложенной выше схеме получены следующие дисперсионные соотношения

+ *2xpi(0r)3shfeffo] + крг{в^)2в2 (gchkH2 - Щ)2 shkH2) х

0± = {и + с)±ии в} = (и + с)±и2.

Предельное значение относительной скорости при Но —> оо имеет вид

2 к{рх + р2)

А» = к2р\{их - Щ)2 - к2{р\ - - Щ)2 + 4дк{р\ - р\)

В случае значения относительной скорости совпадают

с соответствующими их значениями предыдущего параграфа.

В § 8.4 рассматривается линеаризованная задача о вихревом движении двух слоев стратифицированной жидкости. Представляя решение поставленной задачи в виде бегущей волны с частотой ш и волновым числом к, полученную краевую задачу удается свести к дифференциальному уравнению второго порядка, имеющему аналитические решения для частных соотношений скорости набегающего потока и плотности, а также для случая экспоненциального уменьшения плотности с высотой.

Глава 9. Пространственные волновые движения на поверхности сыпучих сред

В девятой главе рассматриваются пространственные задачи о взаимодействии потока жидкости с сыпучей средой. При решении этих задач используются методы предыдущей главы. В первом параграфе изложен вывод основных уравнений и граничных условий, во втором параграфе — задача о непотенциальном движении двух слоев неоднородной жидкости, в третьем параграфе — задача о потенциальном движениии слоя однородной жидкости, в третьем и четвертом параграфах — задача о потенциальном движении двух слоев однородной жидкости, в заключительном пятом параграфе — задача о внутренних волнах малой амплитуды в канале с деформируемым основанием.

Глава 10. Длинные волны над сыпучей средой В данной главе рассматривается задача о воздействии плоских длинных волн в слое однородной жидкости на сыпучее дно. Слой жидкости снизу ограничен дном г = —Но +7](х, <), сверху — свободной поверхностью 2 = Исходная задача в безразмерных

с =

2

переменных имеет вид

В результате преобразований, используемых в теории длинных волн, задача приведена к системе уравнений с частными производными, включающей в себя частные случаи — линейные модели без дисперсии и с дисперсией, нелинейную модель без дисперсии. В первом случае система имеет вид

и преобразуется в волновое уравнение для вертикальной скорости вида

решение которой представимо в форме

где — дважды непрерывно дифференцируемые функ-

ции по каждому из аргументов.

Полагая в задаче о волнах малой амплитуды при наличии дисперсии

получим соотношение

Здесь квадрат частоты является положительной величиной при любых к, что можно считать благоприятным фактором при численной реализации полной модели процесса распространения длинных волн. Полученное соотношение совпадает с аналогичным дисперсионным соотношением для случая распространения длинных волн над твердым дном.

Глава 11. Пространственные длинные волны в неоднородной жидкости над деформируемым дном

В заключительной, одиннадцатой, главе рассматривается задача о воздействии пространственных длинных волн в двухслойной жидкости на рельеф дна

Исходная система уравнений с частными производными допускает преобразование к системе пяти уравнений относительно неизвестных функций а,Р,Щ,Г}\,Т1 — горизонтальных компонент потенциала скорости в каждом слое, ординат свободной, поверхности скачка плотности и донной поверхностей, включающей в себя частные задачи — линейные модели без дисперсии и с дисперсией, нелинейную модель без дисперсии В случае линейной модели без диспер-

сии

X [(xi + Но) /Зхххх + (xi +Х-2 + 2#о) Рххуу + (*2 + #о) Рушу\

для реального океана (разность плотностей на поверхности скачка не превышает 5%, 7 —» 1), построено аналитическое решение

Решение задачи о волнах малой амплитуды при наличии дисперсии построено для искомых функций в виде бегущей волны. Представленное дисперсионное соотношение обобщает дисперсионные соотношения распространения длинных волн над твердым дном. В заключение параграфа представлена система уравнений, описывающая распространение трехмерных волн в двухслойной жидкости над деформируемым дном с учетом нелинейности и дисперсии.

Построенные модели допускают дальнейшую модификацию с целью более детального учета физических параметров исследуемого динамического процесса. Они имеют теоретическое значение для дальнейшего развития методов моделирования процесса распространения волн над твердым и деформируемым дном и прикладное — при проектировании и расчете волновых нагрузок на опоры причальных сооружений. Модели могут быть использованы при разработке комплекса методов и программ по защите акваторий от возможного морского волнения, что в настоящий момент является актуальным. Сформированный пакет прикладных Maple-программ позволяет проводить аналитическое исследование рассмотренных моделей с возможной визуализацией или конвертацией аналитических выражений в коды языков Fortran и С для дальнейшей оптимизации и увеличения быстродействия элементов вычислительного эксперимента. Полученные результаты и выводы можно использовать в научно—педагогическом процессе на факультетах прикладной математики—процессов управления, математике— механическом и физическом в СПбГУ, на механико—математиче-

ском и физическом факультетах МГУ, на физико-техническом факультете СПбГТУ, в СПбГМТУ и других высших учебных заведениях и академических институтах. Заключение

В заключении приводятся основные результаты и выводы выполненного исследования, приведенные в пункте Положения, выносимые на защиту на страницах 7-8.

Основные результаты работы изложены в следующих публикациях.

Библиографический список основных публикаций автора по теме диссертации

1. Перегудин СИ. Волновые движения в жидких и сыпучих средах. СПб.: Изд-во С-Петерб. ун-та, 2004. 288 с.

2. Перегудин СИ. Внутренние волны установившегося вида в стратифицированной жидкости // Вопросы механики и процессов управления. СПб., 1995. Вып. 17. С. 160-167.

3. Перегудин СИ. Об установившихся волнах в канале переменной глубины // Междунар. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем. (Прикл. мех.)", 19-23 мая 1997 г. Киев, С. 37.

4. Перегудин СИ. Течение стратифицированной жидкости над неровным дном // Диф. уравнения и их приложения: Тез. докл. меж-дунар. конф., 19-21 мая 1998 г., Саранск. С. 19.

5. Перегудин СИ., Холодова СЕ. Взаимодействие трехмерных волн конечной амплитуды в двухслойной жидкости с вертикальной стенкой при произвольном подходе // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. № 3. С. 38-39.

6. Перегудин СИ., Холодова СЕ. Волновые движения в непрерывно стратифицированной жидкости // Труды Средневолжск. мат. об-ва. 2002. Т. 3-4. Ж> 1. С. 309-319.

7. Перегудин СИ., Холодова СЕ. Волны в непрерывно стратифицированной вращающейся жидкости // Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики (ГА 2002): Тез. докл. междунар. конф., 28-31 мая 2002 г. СПб. С. 231-234.

8. Перегудин СИ. Пространственные волновые движения на поверхности сыпучих сред // Труды Средневолжск. мат. об-ва. 2003. Т. 5. № 1. С. 130-138.

9. Перегудин СИ., Холодова СЕ. Взаимодействие пространственного потока жидкости с сыпучей средой // Проблемы мореходных качеств судов и корабельной гидромеханики (ХЫ Крыловские чтения): Тез. докл. научно-тех. конф., 2003 г. СПб. С. 152.

10. Перегудин СИ. Пространственные волны малой амплитуды в неоднородной жидкости // Современные проблемы математики, механики, информатики. Механика: Тез. докл. междунар. конф., 18-21 ноября 2003 г. Тула. С. 216-219.

11. Баринов В.А., Перегудин СИ. Пространственные волны малой амплитуды в двухслойной жидкости над деформируемым дном // Вести. Тюменского ун-та. 2003. № 5. С. 184-190.

12. Перегудин СИ. Волны в двухслойной жидкости над сыпучей средой // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2003. Вып. 4. № 25. С. 97106.

13. Перегудин СИ. Длинные волны над деформируемым дном // Процессы управления и устойчивость: Тез. докл. науч. конф., 14-16 апр. 2004 г. СПб. С. 248-250.

14. Перегудин СИ. Длинные волны над сыпучей средой // Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение: Тез. докл. всерос. конф., приуроченной к 85-летию акад. Л.В. Овсянникова, 10-14 мая 2004 г. Новосибирск. С. 111-112.

15. Перегудин СИ. Внутренние волны малой амплитуды над деформируемым дном // Труды Средневолжск. мат. об-ва. 2004. Т. 6. № 1. С. 155-161.

16. Перегудин СИ. Двумерная модель распространения длинных волн над деформируемым дном // Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики (ГА-2004): Тез. докл. междунар. конф., 8-10 июня 2004 г. СПб. С. 247-250.

17. Перегудин СИ. Воздействие длинных волн на рельеф дна // Четвертые Окуневские чтения: Тез. докл. междунар. конф., 22-25 июня 2004 г. СПб. С. 39-40.

18. Перегудин СИ. Течение жидкости над сыпучей средой // Математическое моделирование. 2004. Т. 16. № 8. С. 70-76.

19. Перегудин СИ. Длинные волны в двухслойной жидкости над деформируемым дном // Тезисы доклада XX Всероссийской школы-семинара "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа"(САМГ0П) 4-7 сентября 2004. Росия, Абрау-Дюрсо, с. 60-61.

20. Перегудин СИ. Математическое моделирование физических процессов как компонент образования // Интеграция образования. 2004. № 3, С. 162-167.

21. Перегудип СИ., Холодова СЕ. Волны Кортевега—де Вриза над сыпучей средой // Математическое моделирование и краевые задачи. Математические модели механики, прочность и надежность конструкций: Тез. докл. межвуз. конф., 2004 г. Самара. С. 161-164.

22. Перегудин СИ. Распространение волн малой амплитуды в канале с деформируемым основанием // Известия Тульского Государственного Университета. Серия Математика. Механика. Информатика. 2004. Том 10. Выпуск. 2. С. 171-177.

23. Перегудин СИ. Волны малой амплитуды в двухслойной жидкости над деформируемым дном // Известия РГПУ им. А.И. Герцена, № 4 (8), 2004, С. 27-34.

24. Перегудин СИ. Длинные волны в однородной жидкости над деформируемым дном // Математическое моделирование, том 16, № 12/2004, С. 123-128.

25. Перегудин СИ. Математическое моделирование процесса распространения длинных волн над деформируемым дном // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2004. Вып. 4. С. 87-92.

26. Перегудин СИ. Трехмерные волны малой амплитуды над деформируемым дном // Проблемы экологической безопасности и природопользования: Тез. докл. междунар. научно—практ. конф. Москва. 2004. С. 134-138.

27. Баринов В. А., Перегудин СИ. Пространственные длинные волны в неоднородной жидкости над деформируемым дном // Вестн. Тюменского ун-та. 2004. № 4. С. 250-256.

28. S.I. Peregudin. Internal waves of finite amplitude in nonhomoge-neous fluid. - Abstracts The Eighth meeting of the working group "Laboratory modelling of dynamic processes in the ocean":"Boundary effects in stratified and/or rotating fluid". St.Petersburg, June 6-8, 1995. Moscow. 1995. P. 126.

29. S.I. Peregudin. Spatial wave movements in a non-homogeneous liquid above the loose medium. // Abstracts of the International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection", Perm, Russia, 24-27 November, 2003. P. 196-197.

Отпечатано копировально-множительным участком отпела обслуживания учебного процесса физического факультета СШГУ. Лрика] JA 511/1 от 14 05 0] Подписано в печать 17 03 05 с оригинал-макгга заказчика. Ф-т 30.42/4, Усл. печ. л. 2 Тираж 180 зкз, Заказ № 213/с 19JS04, СПб, Ст. Петергоф, ул Улышонскав.я 3, тел. 428-43-00

Oô~Ji'OSJ3

/ 1187

16 i.irwi

Введение. Состояние вопроса и краткий обзор работы

Глава 1. Внутренние волны малой амплитуды над неровным дном

§ 1.1. Основные уравнения и граничные условия.

§ 1.2. Течение над неровным дном при наличии свободной поверхности.

§ 1.3. Прохождение волны над неровным дном.

§ 1.4. Распространение волн на течении при наличии постоянно действующих возмущений, приложенных к свободной поверхности.

§ 1.5. Внутренние волны установившегося вида в стратифицированной жидкости.

Глава 2. Течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины

§ 2.1. Потенциальное обтекание неровного дна потоком однородной жидкости.

§ 2.2. Обтекаппе неровного дна потоком стратифицированной жидкости.

Глава 3. Волновые движения неоднородной жидкости со скачкообразным изменением плотности

§ 3.1. Основные уравнения и граничные условия.

§ 3.2. Линейный вариант задачи.

§ 3.3. Построение нелинейной модели.

§ 3.4. Внутренние волны конечной амплитуды.

3.4.1. Первое (линейное) приближение.

3.4.2. Второе приближение.

3.4.3. Третье приближение.

Глава 4. Воздействие волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при фронтальном подходе

§ 4.1. Постановка задачи в переменных Эйлера и метод ее решения

§ 4.2. Стоячие волны конечной амплитуды в двуслойной жидкости.

§ 4.3. Высота волн у стенки и нагрузка на нее.

Глава 5. Воздействие трехмерных воли конечной амплитуды на вертикальную стенку при фронтальном подходе

§5.1. Постановка задачи и метод её решения.

§ 5.2. Стоячие волны конечной амплитуды в двухслойной жидкости.

5.2.1. Первое (линейное) приближение.

5.2.2. Второе приближение.

5.2.3. Третье приближение.•.

§5.3. Вычисление давления вблизи стенки.

Глава 6. Воздействие пространственных волн произвольного направления на вертикальную стенку

§6.1. Построение математической модели.

§ 6.2. Решение задачи о волнах малой амплитуды.

§6.3. Решение задачи о волнах конечной амплитуды

§ 6.4. Расчет нагрузки па вертикальную стенку

Глава 7. Волновые движения в непрерывно стратифицированиой жидкости

§7.1. Основные уравнения и граничные условия.

§ 7.2. Свободные волны в стратифицированной жидкости.

§ 7.3. Внутренние волны во вращающейся стратифицированной жидкости.

§ 7.4. Выпужденые внутренние волны во вращающейся стратифицированной жидкости.

§ 7.5. Свободные внутренние волны при наличии горизонтальной диффузии плотности.

Глава 8. Плоские волны в двухслойной жидкости над сыпучей средой

§ 8.1. Волны па поверхности сыпучей среды. Условия и механизм их образования.

§ 8.2. Потенциальное движение двух слоев однородной жидкости.

§ 8.3. Потенциальное движение двух слоев однородной жидкости, движущихся с разными скоростями.

§ 8.4. Непотенцнальпое движение двух слоев неоднородной жидкости

Глава 9. Пространственные волновые движения на поверхности сыпучих сред

§ 9.1. Основные уравнения и граничные условия.

§ 9.2. Непотепцпальпое движение двух слоев однородной жидкости.

§ 9.3. Воздействие потенциального потока однородной жидкости на рельеф дна.

§ 9.4. Движение двух однородных слоев с одинаковой скоростью.

§ 9.5. Движение двух однородных слоев с разными скоростями

§ 9.6. Внутренние волны малой амплитуды в канале с деформируемым основанием.

Глава 10. Длинные волны над сыпучей средой

§ 10.1. Длинные волны в слое однородной жидкости

Глава 11. Пространственные длинные волны в неоднородной жидкости над деформируемым дном

§ 11.1. Построение математической модели.

§ 11.2. Воздействие длинных воли на рельеф дна.

Развитие человечества неразрывно связано с океаном. Водный покров земного шара в два раза превосходит по площади часть, занимаемую сушей. Море посылает человеку многообразие растптелыюго и животного мира, дает огромный энергетический потенциал, по сей день морские пути остаются одним из важных средств общения, прибрежные зоны имеют ианболее благоприятную и устойчивую экологическую обстановку. В будущем человечество еще в большей степени будет связано с океаном — строительные сооружения дальше продвинутся в море, затаенная энергия водной толщи послужит на пользу человеку. Однако для этого необходимо глубокое знание сущности происходящих в океане процессов.

Во все времена волновые явления были и остаются необыкновенно привлекательными для исследователей благодаря богатству и разнообразию видимых форм движения наряду с труднодоступпостыо управляющих ими законов и актуальностью практических рекомендаций.

Взаимодействие океана и атмосферы влияет на погоду п климат различных регионов земного шара. Морские волны деформируют берега, оказывают силовое воздействие па прибрежные и морские гидротехнические сооружения, влияют на мореходность судов п условия базирования морского транспорта. В связи с этим проблеме динамики морей и океанов уделяется большое внимание.

Природа волн очень многообразна. По форме могут различаться периодические волны, уедппеипые п стоячие волны, боры, гидравлические прыжки и волны поппжепня уровня, внутренние волны в стратифицнрованной среде, приливные, корабельные волны и многие другие. Существуют волны малой и большой амплитуды, отмечаются заострение и обрушение вершин ветровых волн, перемешивание скользящих слоев разной плотности, деформация волн, вызванная неровностью дна, наличием берегов или плавающих тел, частично или полностью погруженных в жидкость. Для инженерной практики важно знать параметры, ответственные за механизмы возникновения и роста воли, законы их распространения, взаимодействия и действия на твердые тела, уметь использовать естественные и создавать искусственные сооружения, ограждающие акватории от морского волнения. Таков далеко не полный перечень задач, составляющих предмет теории волн.

Основу теории воли образуют методы математического моделирования и результаты качественного анализа моделей, методы изучения асимптотических форм движения, учета силовых и энергетических балансов. Для описания воли используются их относительные высоты п длины, дисперсионные соотношения, переносимые волнами импульс, энергия п другие параметры, выделяющие те или иные конкретные свойства. Ряд критериев подобия позволяет изучать волновые движения стратифицированной жидкости экспериментально: в природных или искусственных каналах и водоемах. Однако большая трудоемкость и высокая стоимость физического моделирования, условность переноса лабораторных результатов на натуру, а иногда и непреодолимые сложности в постановке опыта позволяют выделить методы теоретической гидродинамики в ряд наиболее перспективных.

Основы теории волн на воде были заложены, классиками теоретической гидродинамики — Л. Эйлером, Ж. Лагранжем, О. Кошп, Д. Бериулли, С. Пуассоном и другими исследователями. Упрощение задачи о волнах, положенное в основу теории бесконечно малых волн, предложено О. Коши [172]. Теория волновых движений развивалась главиым образом в связи с вопросами качки корабля, волнового сопротивления, а также теории приливных волн в каналах и реках. Среди лиц, способствовавших развитию теории волн малой амплитуды, следует отметить П. Лапласа, М.В. Остроградского, Дж. Эри, Дж. Стокса, У. Кельвина, Дж. Рэлея, Г. Ламба, У. Рэнкина и других ученых. Большой вклад в теорию гидравлики внесли Б. Сеи-Венан и Ж. Буссинеск. Позднее А. Пуанкаре представил свои исследования, в особенности в теории фигур равновесия вращающихся н гравитиру-ющпх жидкостей. В этой же области еще ранее значительный вклад был внесен A.M. Ляпуновым. Теорию упрощенных судовых форм создали Дж. Митчелл и независимо от него Н.Е. Жуковский.

В силу сложности исходной задачи о волнах на воде были рассмотрены различные упрощенные модели — линейные начально-краевые задачи с различного вида граничными условиями. Однако для описания волн большой высоты требовалось рассматривать задачу в нелинейной постановке, и Дж. Стоке [191, 192] в 1847 г. предложил метод последовательных приближений для описания коротких воли большой высоты. Следует отметить, что одно из наиболее выдающихся достижений в теории волн с чисто математической точки зрения — доказательство существования прогрессивных волн конечной амплитуды — было получено А. И. Некрасовым [81] в 1921 г. и, независимо от пего, другим методом Т. Леви-Чивнта [186] в 1925 г. Большую роль в развитии теории волновых движений жидкости сыграли труды Н.Е. Кочина [65], Л. Н. Сретенского [147], Л. PI. Седова [139], Дж. Стокера[148] и других. Их методы исследования позволяют решать новые задачи морской гидротехники и гидродинамики судна. Я. И. Секерж-Зенькович [140, 141] построил полную теорию стоячих волн. Одновременно развивалась теория длинных волн [G8, 7G, 83, 143, 154, 170, 177]. Большой круг задач распространения нелинейных длинных волн описывается уравнением Кортевега— де Вриза (КдВ) [49, 184]. Уравнение КдВ допускает солнтонпые решения [180|, которые описывают классические уединенные волны, затухающие на бесконечности. Примером среды, где уравнение КдВ адекватно описывает решения типа бегущих поверхностных волн малой амплитуды, служит тяжелая идеальная несжимаемая жидкость конечной глубины без учета поверхностного натяжения [49, 69,169,178]. В монографин [73] представлено исследование ряда задач нелинейной теории распространения длинных поверхностных и внутренних волн в неоднородной жидкости с учетом эффектов стратификации, вихревых образований, слоя смешения, а также обобщены известные уравнения мелкой воды.

Настоящая диссертация посвящена одному из важных вопросов теории волн — внутренним волнам, распространяющимся в стратифицированной жидкости. Внутренние волны были описаны теоретически еще в середине прошлого столетия, а обнаружены в океане только на рубеже прошлого и нынешнего столетий [66]. Поначалу эти волны воспринимались как досадная помеха, нарушающая «правильное» поведение океанских вод. Потребовалось еще более полувека, чтобы осознать широкую распространенность и важную роль внутренних воли в жизни океана. Сегодня ясно, что волны внутри океана в существенной мере определяют изменчивость толщи вод в широком диапазоне пространственных и временных масштабов.

Общеизвестные трудности исследования задач теории поверхностных и внутренних гравитационных воли связаны, в первую очередь, с существенной нелинейностью граничных условий па свободной поверхности и поверхностях раздела относительно однородных слоев, а также с тем, что сами эти поверхности суть функции неизвестные и подлежат определению. Кроме того, в случае дна, имеющего неровности, краевое условие пепротекания через дно будет линейным, но с переменными по горизонтальным координатам коэффициентами, а в случае деформируемого дна — и по времени. Учет граничных условий соприкосновения тел с жидкостью также вносит существенные трудности. Поэтому нелинейная задача теории внутренних и поверхностных гравитационных волн не была решена, несмотря на усилия выдающихся ученых на протяжении двух веков. Трудности на этом пути оказались чрезмерно большими, и это обстоятельство обусловило переход к решению упрощенных волновых задач, ведущих свое начало от исследований Ж. Лагранжа.

Необходимо отметить, что точные результаты составляют наименьшую часть всех известных достижений в теории волн. Доказанные теоремы существования стационарных решений относятся к плоским задачам, а по неустановившимся движениям до недавнего времени таких теорем не было вообще. Новые точные результаты по трехмерным стационарным волнам и задаче Коши—Пуассона отражены в монографиях Л.В. Овсянникова [82], С.А. Габова [38] и А.Г. Свешникова [40], а также В.Ю. Ляпидевского и В.М. Тешукова [73].

К настоящему времени получено большое число приближенных решений. Лидирует линейная теория, наиболее разработанная в рамках всех моделей: для плоской и пространственной постановок, для неустановившихся и стационарных движений, для конечнослойпой (в частности, однослойной) и непрерывной стратификации, для поверхностных и внутренних волн, причем во всем диапазоне длин воли. Очень важное нелинейное приближение дает теория мелкой воды, предназначенная для описания длинных волн. К ней примыкает приближение Буссинеска [24, 78], вообще говоря, нелинейное, но чаще всего используемое в линейном варианте. Исторически первыми были стоксовы асимптотические разложения решений в ряды по степеням малой амплитуды. Широкое применение приобрели волны КдВ (Кортевега — де Врпза) [184, 185[, приближенно описывающие распространение воли второго приближения, распространяющихся в одном направлении. Названы лишь крупные модели, носящие общин характер, т. е. не зависящие от конкретных постановок. Вместе с тем имеется много частных приближенных методов исследования тех или. иных специальных задач.

В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии и физики атмосферы, а также с использованием криогенных жидкостей в технике и рядом других проблем наибольший интерес вызывают задачи о распространении внутренних волн в стратифицированных жидкостях. Под стратифицированной жидкостью принято понимать жидкость, физические характеристики которой (плотность, теплоемкость, динамическая вязкость и другие) в стационарном состоянии изменяются непрерывно пли скачком лишь в одном выделенном направлении. Иначе говоря, в стационарном состоянии жидкости ее физические характеристики являются лишь функцией одной пространственной переменной [40]. Стратификация жидкости может быть вызвана различными физическими причинами. Наиболее часто встречающейся из них является сила тяжести. Эта сила создает в жидкости такое распределение ее частиц, растворенных в ней солей и взвешенных суспензий, при котором возникает неоднородность жидкости вдоль направления гравитационного поля. Стратификация плотности, как показывают экспериментальные наблюдения, оказывает наиболее существенное влияние (ио сравнению с другими видами стратификации) на динамические свойства жидкости и процессы распространения в ней внутренних воли. Поэтому в дальнейшем, говоря о стратифицированной жидкости, будем подразумевать жидкость со стратификацией плотности, вызванной силой тяжести.

Наличие стратификации жидкости по плотности и силы тяжести приводит к появлению новых динамических свойств жидкости. Взаимодействие силы тяжести и архимедовой силы вызывает возникновение квазиунругон силы вдоль направления гравитационного поля.

Колебательпые свойства жидкости, обусловленные этой квазиупругой силой, характеризуются частотой Вяйсяля — Брента соо, являющейся основной частотной характеристикой динамических свойств стратифицированной жидкости. Детальный анализ физических основ появления этой квазиупругой силы и связанной с пей частоты Вяйсяля — Брепта содержится в работах [24, 66, 78, 153].

Внутренние волны могут распространяться и во вращающихся однородных жидкостях, где наличие силы Кориолиса создает условия, необходимые для существования этих воли. Оказывается, что между внутренними волнами, распространяющимися во вращающихся и стратифицированных жидкостях, существует аналогия [40]. В математическом плане данная аналогия проявляется в общности уравнений, описывающих эти волны, структуры их фундаментальных решений и в других свойствах. Рассмотрению вопросов как математического, так и физического характера, связанных с наличием указанной аналогии, посвящены работы [39, 41, 44, 183].

Реальный Мировой океан представляет собой сложную динамическую систему, в частности он вращается вместе с Землей и стратифицирован по глубине. Наряду с акустическими, поверхностными и планетарными волнами, а также волнами Россбн внутренние волны участвуют в создании сложных волновых полей в океане. Следовательно, правильное описание этих полей невозможно без учета внутренних воли [25, 51, 72, 156]. В связи с этим следует отметить, что экспериментальные исследования и натурные наблюдения внутренних воли представляют собой достаточно сложную в техническом отношении задачу. Таким образом, значение теоретических исследовании в данной области многократно возрастает.

Одним из первых, строгих в математическом отношении исследований по теории внутренних воли, следует считать исследование С.Л. Соболева [140| по теории вращающихся жидкостей, в котором было выведено уравнение, описывающее малые колебания однородной вращающейся жидкости и получившее в дальнейшем название уравнения Соболева. Основное уравнение динамики внутренних волн в стратифицированной жидкости по своему характеру относится к тому же типу уравнений, что и уравнение Соболева. Упомянутое исследование C.JI. Соболева было продолжено P.A. Александряном [2]; В.Н. Масленниковой [74], В.П. Масловым [75], Т.И. Зеленяком [46], Н.Д. Копачевскнм [56, 57] и рядом других авторов [35, 36, 37, 47, 54, 145]. В работах М.И. Вишика [33] и С.А. Гальперна [42, 43] рассматривались начально-краевые задачи, обобщающие уравнение Соболева.

Что касается задач динамики внутренних воли в стратифицированной жидкости, то в настоящее время, несмотря иа их органическую связь с задачами теории вращающихся жидкостей, они в математическом плане изучены значительно слабее, хотя и здесь имеется довольно обширная литература, среди которой можно выделить работы С.Я. Секерж-Зеньковича [142], Н.Д. Копачевского и его учеников [58, 59, 60, 149], С.А. Габова [38] и А.Г. Свешникова [39].

Сказанное выше относится к линейной теории внутренних воли. История строгих исследований по нелинейной теории восходит к классической работе М. Дюбрейль-Жакотен [174], подробное изложение которой содержится в монографии [147]. Из современных исследователей следует отметить.работы JI.B. Овсянникова п ряда других авторов, составивших содержание монографии [82], Ю.З. Миропольского [78], А.М. Тер-Крикорова, К.А. Бежанова [16 - 19], [151], JI.B. Черкесова [27] н ряда других авторов. Асимптотическому анализу нелинейных воли в непрерывно стратифицированной жидкости посвящены работы С.Я. Секерж-Зеньковича [142]. Исследования Дюбрейль-Жакотеп по теории стационарных внутренних волн продолжены A.B. Бп-цадзе [22, 23].

Таким образом, задачи теории внутренних гравитационных волн в стратифицированной жидкости в настоящее время составляют один из важных вопросов теории волн, механики, прикладной математики и математической физики.

Перейдем к краткому изложению содержания работы.

Основные результаты выполненного исследования изложены в монографии [113] и опубликованы в работах [12, 15, 16, 84—132, 187, 188].

Заключение

В настоящей работе изучен процесс распространения внутренних волн малой амплитуды в слое стратифицированной жидкости переменной ограниченной глубины при наличии течения. Для конкретных случаев стратификации получено точное решение краевой задачи, в частности, для случая, когда плотность экспоненциально убывает с высотой.

Проведен анализ процесса распространения волн конечной амплитуды в двухслойной жидкости. Рассмотрены случаи конечной и бесконечной глубины жидкости. Представлены дисперсионные соотношения и аналитические решения, позволяющие выявить общие закономерности изучаемого процесса.

Исследованы закономерности силового воздействия нелинейных стоячих воли в двухслойной жидкости на вертикальную стенку при фронтальном подходе. Приведены выражения для давления и погонной нагрузки на омываемую часть стенки.

С помощью асимптотических методов построено решение нелинейной задачи о течении однородной жидкости в канале переменной глубины. Решена аналогичная задача для стратифицированной жидкости. Для конкретного случая изменения плотности и скорости набегающего потока представлено точное решение краевой задачи, позволяющее оценить влияние стратификации и рельефа на волновой режНхМ.

Исследованы закономерности силового воздействия бегущих пространственных воли конечной амплитуды в двухслойной жидкости на вертикальную стенку при произвольном подходе и стоячих пространственных волн в двухслойной жидкости при фронтальном подходе.

Установлена зависимость фазовой скорости от амплитуды волны, выведены выражения для давления и погонной нагрузки на омываемую часть стенки.

Изучен процесс распространения воли в непрерывно стратифицированной жидкости. Сформулированы и исследованы задачи распространения свободных волн в стратифицированной жидкости, вынужденных внутренних волн во вращающейся стратифицированной жидкости а также свободных внутренних волн при наличии горизонтальной диффузии плотности.

Построена математическая модель распространения плоских и пространственных волн малой амплитуды на поверхности сыпучей среды, вызванных движением жидкости. Рассмотрены частные задачи о потенциальном движении одного и двух слоев однородной жидкости и о вихревом движении одного и двух слоев неоднородной жидкости. В каждой задаче исследована зависимость рельефа дна от реологии донного вещества и гидродинамических характеристик потока жидкости.

В нелинейной постановке рассмотрена двумерная задача о распространении длинных волн в однородной жидкости над деформируемым дном. Поставленная краевая задача приведена к системе трех уравнений с частными производными для горизонтальной скорости жидкости и ординат свободной и донной поверхностей, допускающей для некоторых частных случаев аналитические решения.

В нелинейной постановке рассмотрена пространственная задача о распространении длинных воли в двухслойной жидкости над деформируемым дном. Поставленная краевая задача приведена к системе пяти уравнений с частными производными для горизонтальной компоненты потенциала скорости жидкости в каждом слое и ординат свободной, поверхности скачка плотности и донной поверхностей, допускающей для некоторых частных случаев аналитические решения.

Результаты проведенного исследования могут быть использованы в гидродинамике, морской гидротехнике и при строительстве морских гидротехнических сооружений на стадии проектирования, а также в сравнении и оценке эффективности различных приближенных методов, в частности, численных.

1. Абрашкин A.A., Зенъкович Д.А. О новом классе стационарных внутренних волн на сдвиговом течении. // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1993. Т. 29. JV°3. С. 377 - 385.

2. Александрии P.A. Спектральные свойства операторов, порожденных системой дифференциальных уравнений типа С.Л.Соболева. // Тр. Моск. мат. об ва. 1960. Я°9. С. 455 - 505.

3. Алексеенко C.B., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. — Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 2003. 504 с.

4. Алешков Ю.З. Теория волн на поверхности тяжелой жидкости. JL: Изд-во ЛГУ, 1981. 196 с.

5. Алешков Ю.З. Теория взаимодействия волн с преградами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. 372 с.

6. Алешков Ю.З. Воздействие длинных волн на группу вертикальных цилиндров. // Л.: Вестник ЛГУ. 1987. Сер. 1. Вып. 1. АГ°15. С. 43 46.

7. Алешков Ю.З. Моделирование волновых движений неоднородной жидкости. // JL: Вестник ЛГУ. 1989. Сер. 1. Вып. 3. TV015. С. 39 42.

8. Алешков Ю.З. Течения и волны в океане, С-Пб.: Изд-во С-Пб. Ун-та, 1996. 226 с.

9. Алешков Ю.З. Волны на поверхности сыпучих сред, вызванные потоком жидкости // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 4 (Л/*°25). С. 35 43.

10. Алешков Ю.З. , Перегудин С.И. Внутренние волны конечной амплитуды. // Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1994 г., с. 17.

11. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. школа, 1994. 544 с.

12. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 432 с.

13. Барииое В.А., Перегудин С.И. Пространственные волны малой амплитуды в двухслойной жидкости над деформируемым дном. // Вестник Тюменского государственного университета. 2003. Я°Ъ. С. 184-190.

14. Баринов В.А., Перегудин С.И. Пространственные длинные волны в неоднородной жидкости над деформируемым дном //

15. Бежанов К.А., Онуфриев А.Т., Тер-Крикоров A.M. Пространственная задача обтекания неровности дна потоком слоистой жидкости. // Докл. АН СССР. 1987. Т. 296. №2. С. 303 306.

16. Бежанов К.А., Онуфриев А. Т., Тер-Крикоров A.M. Пространственная задача обтекания керовностидна потоком экспоненциально стратифицированной жидкости конечной глубины. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. №?>. С. 101 111.

17. Бежанов К.А., Тер-Крикоров A.M. Многослойные установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости над неровным дном. // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 5. С. 750 760.

18. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. школа, 1991. 303 с.

19. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

20. Бицадзе A.B. Волны в потоке жидкости переменной глубины. и Дпф. уравн. 1978. Т. 14. С. 1053 1059.

21. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982. 336 с.

22. Бреховских Л.М., Гончаров В.В., Наугольных К.А., Рыбак С.А. Волны вы океане. // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19. Л/"°5, 6. С. 842 863.

23. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1965. 608 с.

24. Букатов А.Е., Черкесов Л.В. Волны в неоднородном море. Киев, 1983. 224 с.

25. Букатов А.А. Математическое моделирование процесса распространения длинных волн: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. СПб., 1992. 14 с.

26. Валландер C.B. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. 296 с.

27. Великанов М.А. Движение наносов. М., 1948.

28. Великанов М.А. Динамика русловых потоков. М., 1954.

29. Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров. — М.: Химия, 1977. 439 с.

30. Вишик М.И. Задача Кошн для уравнения с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения. // Мат. сб. 1956. Т. 39. С. 51 148.

31. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Кршценко. — М.: Изд во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 700 с.

32. Габов С.А. О спектре одной задачи С.Л.Соболева. // ДАН СССР. 1980. Т. 253. 3. С. 521 624.

33. Габов С.А. Спектр и базисы из собственных функций одной задачи об акустических колебаниях вращающейся жидкости. // ДАН СССР. 1980. Т. 254. JV°4. С. 777 779.

34. Габов С.А. О спектре и базисах из собственных функций одной задачи, связанной с колебаниями вращающейся жидкости. // Мат.сб. 1981. Т. 116. №2. С. 245 252.

35. Габов С. А. Новые задачи математической теории волн. М.: Наука. Физматлит, 1998. 448 с.

36. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифициро-ваииых жидкостей. М.: Наука, 1986. 288 с.

37. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990. 344 с.

38. Габов С.А., Свешников А.Г. О некоторых задачах, связанных с колебаниями стратифицированных жидкостей. // Диф. уравн. 1982. Т. 18. С. 1150 1156.

39. Галъперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными. // Тр. Моск. мат. об-ва. 1960. №9. С. 401 423.

40. Галъперн С.А. Задача Коши для уравнения С.Л.Соболева. // Сиб. мат. жури. 1963. Т. 4. №4. С. 758 773.

41. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. Л.: Гидрометео-издат, 1992. 272 с.

42. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М.: Физматлит, 1995. 560 с.

43. Знаменская Н.С. Грядовое движение наносов. Л.: Гидрометео-издат, 1968.

44. Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. — М.: Физматлит, 2003. 256 с.

45. Йи Чиа-шун. Волновые движения в слоистых жидкостях. // Нелинейные волны. М., 1977. С. 271 296.

46. Каменкович В.М. Основы динамики океана. Л.: Гидрометеоиз-дат, 1973. 240 с.

47. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1976. 576 с.

48. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М. Л.: ГИТТЛ, 1962. 708 с.

49. Капитонов Б. В. Теория потенциала для уравнения малых колебаний вращающейся жидкости. // Мат. сб. 1979. Т. 109. Л/"°4. С. 607 628.

50. Коняев К.В., Сабинин К.Д. Волны внутри океана. С-П.: Гндро-метеонздат, 1992. 272 с.

51. Копачевский Н.Д. Малые движения и нормальные колебания системы тяжелых вязких вращающихся жидкостей. Препринт /ФТИНГ АН УССР. Харьков, 1978. ЛГ°33 - 77. 60 с.

52. Копачевский Н.Д. Малые движения и собственные колебания идеальной вращающейся жидкости. Препринт /ФТИНГ АН УССР. Харьков. 1978. №38 - 71. 54 с.

53. Копачевский Н.Д., Попуреева Л.Д., Сигал A.B. К задаче о колебаниях стратифицированной жидкости в цилиндрическомбассейне. // Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений« их приложения. Ашхабад, 1985. С. 52 66.

54. Копачевский Н.Д., Темное А.Н. Колебания стратифицированной жидкости в бассейне произвольной формы. //ЖВМиМФ. 1986. Т. 26. Я°Ъ. С. 734 755.

55. Копачевский Н.Д., Темное А.Н. Свободные колебания идеальной стратифицированной жидкости в сосуде. //ЖВМиМФ. 1984. Т. 24. 1. С. 109 123.

56. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры. М: Физ-матлит, 1994. 320 с.

57. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 832 с.

58. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965. 560 с.

59. Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963, Т. 1. 584 с.

60. Кочин Н.Е. Собр. соч. в 2-х т. М. Л., 1949. Т. 1. 616 е., Т. 2. 538 с.

61. Краусс В. Внутренние волны. Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 270 с. 67| Курош А.Г. Курс.высшей алгебры. М.: Наука, 1971. 432 с.

62. Лаврентьев М.А. К теории длинных воли. // Прикл. мех. и теор. физика. 1975. М°Ъ. С. 3 46.

63. Лаврентьев М.А. До теорп довгих хвиль. // 36. праць 1нст. матем. АН УССР. 1946. ЛЛ>8. С. 13-69.

64. Ламб Т. Гидродинамика. М. Л., ГИТТЛ, 1947. 928 с.

65. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Т.б. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

66. Ле Блон, Майсек Л. Волны в океане. М.: Мир, 1981. 845 с.

67. Ляпидевский В.Ю., Тешуков В.М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости: Монография. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. — 420 с.

68. Масленникова В.Н. Математические вопросы гидродинамики вращающейся жидкости и системы С.Л.Соболева.: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1971. 28 с.

69. Маслов В. П. О существовании убывающего при £ —» оо решения уравнения С.Л.Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области. // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9. Я%. С. 1351 1359.

70. Марчук Ан.Г., Чубарое Л.Б., Шокин Ю.И. Численное моделирование волн цунами. Новосибирск: Наука, 1983. 176 с.

71. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. 608 с.

72. Мирополъский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 384 с.

73. Михайлова Н. А. Перенос твердых частиц турбулентными потоками воды. Л.: Гидрометеоиздат. 1966.

74. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.

75. Некрасов А.И. Собрание сочинений в 2-х томах. — М.: Физмат-гнз, 1961. С. 358 439.82| Овсянников Л.В. и др. Нелинейные проблемы теории поверх-постных и внутренних воли. Новосибирск: Наука, 1985. 318 с.

76. Пелииовский Е.Н. Нелинейная динамика волы цунами. Горький, 1982. 226 с.

77. Перегудин С. И. Потенциальное обтекание неровности дна потоком однородной жидкости. Деп. в ВИНИТИ, 08.07.94, ЛЛТ699 -В 94.

78. Перегудин С.И. Внутренние и поверхностные волны в слоисто неоднородной жидкости. - В кн.: Материалы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", 22 - 24 декабря 1994 года, Саранск. Саранск. 1995, С. 269 - 276.

79. Перегудин С.И. Волны в неоднородной жидкости со скачкообразным изменением плотности. // Сборник тезисов Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем "(Прикладная механика), 15 19 мая 1995 года, Киев. С. 93.

80. Перегудин С. И. Внутренние волны установившегося вида в стратифицированной жидкости. // Вопросы механики и процессов управления. С-Пб., 1995. Вып. 17. С. 160-167.

81. Перегудин С. И. Волны конечной амплитуды в. неоднородной жидкости. Автореф. дис. . капд. фнз.-мат. наук. С-Петербург: СПбГУ, 1995. 16 с.

82. Перегудин С.И. Внутренние волны в неоднородной жидкости. // Сборник тезисов Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем "(Прикладная механика), 20 24 мая 1996 года, Киев. С. 17.

83. Перегудин С. И. ' Об установившихся волнах в канале переменной глубины. //Сборник тезисов Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем "(Прикладная механика), 19 23 мая 1997 года, Киев. С. 37.

84. Перегудин С. И. Течение стратифицированной жидкости над неровным дном. // Труды III международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", 19 21 мая 1998 г., Саранск, 1998. С. 19.

85. Перегудин С. И. Трехмерные стоячие волны малой амплитуды в неоднородной жидкости. // Материалы научной конференции Мордовского гос. университета (XXVIII Огаревские чтения), Саранск, декабрь 1999 г. С. 46 49.

86. Перегудин С. И. Пространственные волновые движения на поверхности сыпучих сред. // Труды Средпеволжского Математического Общества. 2003. Т. 5. С. 130 138.г

87. Перегудин С. И. Математическое моделирование распространения волн малой амплитуды над деформируемым дном. // Естественно- технические исследования: теория, методы, практика. (Межвузовский сборник научных трудов). — Вып. III. Саранск. 2003. С. 140-145.

88. Перегудин С. И. Волны в двухслойной жидкости над сыпучей средой. // Вестник СПбГУ. 2003. Сер. 1. Вып. 4. Я°2Ъ. С. 97106.

89. Перегудин С.И. Длинные волны над деформируемым дном. // Труды XXXV научной конференции "Процессы управления и устойчивость", Санкт-Петербург, 14-16 апреля 2004 г.: Санкт-Петербург: НИИ Химии СПбГУ. С. 248-250.

90. Перегудин С.И. Внутренние волны малой амплитуды над деформируемым дном. // Труды Средневолжского Математического Общества. Т. 6. Я° 1. Саранск. 2004. С. 155 161.

91. Перегудин С.И. Двумерная модель распространения длинных волн над деформируемым дном. // Труды седьмой международной конференции "Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики (ГА-2004)". С-Петербург, 8-10 июня 2004. С. 247-250.

92. Перегудин С. И. Воздействие длинных волн на рельеф дна. // Сборник тезисов международной конференции "Четвертые Окуневские чтения". — С-Петербург, 22-25 июня 2004. С. 39-40.

93. Перегудин С. И. Течения жидкости над сыпучей средой. // Математическое моделирование. 2004. Т. 16. JV°8. С. 70-76.

94. Перегудин С.И. Волны малой амплитуды в канале с твердым и деформируемым основанием. // Технические и естественные науки: проблемы, теория, эксперимент: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. III. Саранск. 2004. С. 35-48.

95. Перегудин С.И. Распространение воли малой амплитуды в канале с деформируемым основанием. // Известия Тульского Государственного Университета. Серия Математика. Механика.,Информатика. 2004. Том 10. Выпуск. 2. С. 171-177.

96. Перегудин С.И. Математическое моделирование физических процессов как компонент образования. // Интеграция образования. 2004. № 3, С. 162-167.

97. Перегудин С. И. Длинные волны в однородной жидкости над деформируемым дном. // Математическое моделирование, том 16, N 12/2004, С. 123-128.

98. Перегудин С.И. Волны малой амплитуды в двухслойной жидкости над деформируемым дном. // Известия РГПУ им. А.И. Герцена, N 4 (8), 2004, С. 27-34.

99. Перегудин С.И. Математическое моделирование процесса распространения длинных волн над деформируемым дном // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета, Сер. 10, 2004, вып. 4, С. 187-192.

100. Перегудин С.И Волновые движения в жидких и сыпучих средах. Изд-во СПбГУ, 2004. 288 с.

101. Перегудин С.И. Трехмерные волны малой амплитуды над деформируемым дном // Проблемы экологической безопасности и природопользования: Тез. докл. междунар. научно—практ. конф. Москва. 2004. С. 134-138.

102. Перегудин С.П., Холодова С.Е. О силовом воздействии нелинейных стоячих волн на вертикальную стенку при фронтальном подходе. // 7-я Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань, 1997. С. 156.

103. Перегудин С.И., Холодова С.Е. Взаимодействие трехмерных волн конечной амплитуды в двухслойной жидкости с вертикальной стенкой при произвольном подходе. // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. Я°3. С. 38 39.

104. Перегудин С.И., Холодова С.Е. Волны во вращающейся стратифицированной жидкости. // Межвузовский сборник научных трудов. Саранск: СВМО. 2000. С. 93-95.

105. Перегудин С.И., Холодова С.Е. Волновые движения в непрерывно стратифицированной жидкости . // Труды Средневолжского Математического Общества, Т. 3-4. №\. Саранск. 2002. С. 309 319.

106. Перегудин С.П., Холодова С.Е. Воздействие пространственных волн малой амплитуды на рельеф дна. // Сборник тезисов конференции "Процессы управления и устойчивость"С-Петербургского гос. ун-та. С-Петербург. 2003. С. 222 225.

107. Перегудин С.И., Холодова С.Е. Течения и волны во вращающейся жидкости между концентрическими полусферами. // Динамика систем и управление. (Межвузовский сборник научных трудов). Саранск. 2003. С. 46-50.

108. Повало-Швейковский Н.Т. К вопросу о происхождении дюн. // Изв. АН СССР, серия геофиз. 1938. Я°2Ъ.

109. Пушкарев В.Ф. Движение влекомых наносов. // Труды ГГИ, 8(62). Л, 1948.135| Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965. 224 с.

110. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: Физматлит, 1994. 336 с.

111. Ребиндер П.А. Избранные труды. Поверхностные явления в дисперсных системах. Физико-химическая механика. — М.: Наука, 1979. 382 с.

112. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд во МГУ, 1993. 352 с.

113. Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2-х т. М. 1983. Т. 1. 528 е.; 1984. Т. 2. 560 с.

114. Секерэю-Зенькович Я.И. К теории стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости конечной глубпиы. // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1951. Т. 15. С. 57-73.

115. Секерж-Зенькович Я.И. Трехмерные стоячие волны конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости бесконечной глубины. // Труды Морск. гидрофиз. ин-та АН СССР. 1959. Я°18. С. 3 39.

116. Секерж-Зенькович С.Я. Неустановившиеся волновые движения стратифицированной несжимаемой жидкости: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. паук. М., 1986. 26 с.

117. Селезов И.Т., Сидорчук В.Н., Яковлев В.В. Трансформация воли в прибрежной зоне шельфа. Киев.: Наук, думка. 1983. 208 с.

118. Синха С. Р. П. Точная теория установившихся волн на свободной поверхности и поверхности раздела двух жидкостей. // ДАН СССР. 1966. Том 168.

119. Сказка В. В. Асимптотика при t —> оо решений одной задачи математической физики. // Мат. сб. 1985. Т. 126. М° 1. С. 3 40.

120. Соболев C.JI. Об одной новой задаче математической физики. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18.ЛЛ>1. С. 3 50.

121. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука. 1977. 816 с.

122. Стокер Дою. Волны на воде. М.: Иностранная литература. 1959. 618 с.

123. Темное А.Н. Колебания стратифицированной жидкости в ограниченном объеме: Дне. . канд. физ.-мат. наук. М., 1985. 192 с.

124. Тер-Крикоров A.M. О внутренних волнах в неоднородной жидкости. ПММ. 1962. Т. 26. Вып. 6. С. 1067-1076.

125. Тер-Крикоров A.M. Пространственные установившиеся течения слоистой жидкости и внутренние волны. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. ЛЛ>3. С. 127 132.

126. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М. 1997, 720 с.

127. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир. 1977. 431 с.

128. Уизем Дэ/с. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 622 с.

129. Уилкинсон У. Л. Неныотоновские жидкости. — М.: Мир, 1964. 216 с.

130. Филлипс О. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометеоиз-дат, 1980. 320 с.

131. Фихтенголъц Г. M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970. Т. 3. 656 с.

132. Франклъ Ф.И. О движении песчаных волн // Докл. АН СССР, 1953. Т. 89. М° 1. С. 29 32.

133. Хасанов М.М., Булгакова Г. Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически сложных средах. — Москва-Ижевск: Инт компьютерных исследований. 2003. 288 с.

134. Черкесов J1.B., Иванов В.A., Xapmuee С.М. Введение в гидродинамику и теорию волн.— С-Петербург: Гидрометеоиздат. 1992. 264 с.

135. Шуляк Б. А. К вопросу о динамике песчаных микроформ в береговой зоне моря. // Труды Ин-та океанологии АН СССР. 1958. Т. 28.

136. Шуляк Б. А. Периодические донные структуры волнового потока. // Океанология. 1961. Т. 1, вып. 5.

137. Шуляк Б. А. Некоторые вопросы взаимодействия водного потока с деформируемым дном. // Труды Ин-та океанологии АН СССР. 1961. Т. 48.

138. Шуляк Б.А. Кинематика волнового потока, распространяющегося над рифельной поверхностью дна. // Океанология. 1961. Т. 1, вып. 3.

139. Шуляк Б. А. Физика воли на поверхности сыпучей среды и жидкости. М.: Наука, 1971. 400 с.

140. Amick С. J., Toland J.F. On solitary waves of finite amplitude // Arch. Rat. Mech. Annal. 1981. V. 76. P. 9 95.

141. Amick C.J., Toland J.F. On periodic water waves in the longwave limit // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. — 1981. V. 303. P. 633 -673.

142. Bagnold R. Motion of waves in shallow water. // Proc. Roy. Soc. London A. 1946. V. 187. Af°1008.

143. Beale J.T. The existence of solitary water waves. // Comm. Pure Appl. Math. 1977. V. 30. P. 373-389.

144. Boussinesq J. Théorie de lintumescence liquide appelée onde solitaire ou de translation se propageant dans un canal rectangulaire. // Compt. rend. Acad. sei. 1871. V. 72. P. 755 759.

145. Candoll C. Rides formées à la surface du Sable depose au fond de l'eau. // Arch. sei. phys. et natur. Gènève. 1883. V. 9. Af°3.

146. Cauchy A. Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie, Oeuvres Complètes d'Augustin Cauchy. 1815. S. 1. V. P. 5 318.

147. Darvin G.H. On the formation of rippelmarks in sand. // Proc. Roy. Soc. London. 1883. V. 36, Af°228.

148. Dubreil-Jacotin M.L. Sur la détermination rigoureuse des ondes permanentes périodiques dempleur finie. // Math. Pures appl. Paris. 1934. V. 13. P. 217 291.

149. Exner F. M. Uber die Wecheselwirkung zwischen Wasser und Geschibe in Flübe. // Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien. 1925. H. 3-4.

150. Forel F.A. Les rides de fond étudiés dans le Las Léman. // Arch, sei. phys. et natur. Gènève. 1883. V. 10. №3.

151. Friedrichs K.O. On the derivation of the shallow water theory. // Comm. Pure Appl. Math. 1948. V. 1. №\. P. 1 87.

152. Friedrichs K.O., Hyers D.H. The existence of solitary waves. // Comm. Pure Appl. Math. 1951. V. 7. P. 517-550.

153. Greenhill. Wave motion in hydrodynamics. // Amer. Journ. of Math. 1887. V. 9.

154. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg de Vries equation. // Phys. Rev. Lett. — 1967. V. 19. P. 1095-1097.

155. Hamman G. Die. Bildung von Sanddünen bei gleichmäbigen Strömung. // Ann. Phys. 1912. Bd. 39. Af°13.

156. Helmholtz H., Piotrovski G. Uber Reinbug tropbarer Flubigkeiten. Wiss. Abhandl., Bd. 1, IX, 1860.

157. Holm D.D. Gyroscopic analogy for collective motion of a stratified fluid, // J. Math. Anal, and Appl. 1986. V. 11. №l. P. 57 80.

158. Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves. // Philos. Magazine. S. 5. 1895. V. 39. Af°240. P. 422-443.

159. Laitone E. V. The second approximation to cnoidal and solitary waves. J. Fluid Mech. 1960. V. 9. Af°3. P. 430 444.

160. Levi Civita J. Détermination rigoureuse des ondes permanents d'ampleur finie. // Math. Ann. 1925. V. 93. P. 264 - 314.

161. S.I. Peregudin Spatial wave movements in a non-homogeneous liquid above the loose medium. // Abstracts of the International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection", Perm, Russia, 24-27 November, 2003. P. 196-197.

162. Polia C. Zur Kinematik der Geschiebebewegung. // Mit. Versuchsanst. Wasserbau und Erdbau, Techn. Hochschule. 1967. Zürich.

163. Stokes G.G. On the theory of oscillatory waves. // Cambridge. Trans. 1847. V. 8. P. 1 212.

164. Stokes G. G. On the theory of oscillatory waves. // Math, and Phys. Papers. Cambridge. 1880. V. 1. P. 197 229.

165. Stokes G.G. Supplement to a paper on the theory of oscillatory waves. // Math, and Phys. Papers. Cambridge. 1880. V. 1. P. 314 326.

166. Webb. Math. Tripos. Papers, 1884.