автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Стабилизация решения уравнения планетарных волн в неограниченных по пространственным переменным областях

МАТИ - Российский государственный технологический университет км. К. Э. Циолковского (МАТИ - РГТУ)

На правах рукописи

Огородников Игорь Евгеньевич РГб од

2 2 цдй 2008

СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПЕРЕМЕННЫМ ОБЛАСТЯХ

05.13.16 - Применение вычислительной техники:, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических лаук

Москва 2000

Работа выполнена в МАТИ - Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского (МАТИ - РГТУ)

Научный руководитель:

доктор физико-математических на}«, профессор Л. А. Муравей Официальные оппоненты:

доктор фнзико - математических наук, профессор И. М. Петрушко доктор фгоико - математических наук, профессор В. Г. Лежнев

Ведущая организация:

Ростовский Государственный Университет

Защита диссертации состоится « Ъ / » _2000 г.

в /4 часов на заседании спецнализировшшого совета Д 063.53.02 в МАТИ — Российский государственный технологический университет

им. К. Э. Циолковского, по адресу: 121552, г. Москва, ул. Оршанская, д. 3 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАТИ - РГТУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико - математических наук, профессор

Е. В. Метелкин

С&22А 32$ С/^ О

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ктуальность работы. Проблема изучения поведения по времени рвений нестационарных задач для уравнений вращающейся жидкости 'рает важную роль в математической гидродинамике. Необходимость ! решения возникает при анализе математических моделей в различных шастях физики и техники: геофизике, гидротехнике и др. Различным :пектам теории движений вращающейся жидкости посвящено большое хличество монографий, статей, специальных сборников и обзоров (Г. амб, 1932; А.И. Некрасов 1918, 1944; И.Е, Кочин 1926, 1935, 1949; М.В. елдыш 1935; Л.И. Седов 1936, 1967; Л.И. Сретенский 1933, 1977; М.А. аврентьев 1937, 1946, 1958; В.Г. Левич 1948; Дж. Дж. Стокер 1953, )59; Дж. Лайтхил 1959,1981; Дж. Уизем 1950, 1977, С,Л. Соболев 1954, И.Зеленяк 1970, В.П. Михайлов 1970, А. К. Гущин, В. П. Михайлов, А. Муравей 1975, C.B. Успенский, Г.В. Демидепко, В.Г. Перепел-га 1984, A.C. Габов, А.Г. Свешников 1986,1990, Н.Д.Копачевский, С.Г. рейн, Нго Зуй Кал 1989, и др).

В тоже время, крупномасштабные эксперименты по изучению Мирово> океана (программы "Полшои" , "Mode" в северной части Атлантики, др.) подтвердили актуальность изучения достаточно нового объекта атематической гидродинамики - длинных океанических волн, которые >зникают на поверхности Земли вследствии ее вращения и широтного шенения силы Кориолиса.

Математическое описание процессов распространения волн в идеаль-зй жидкости, находящейся на вращающейся сфере большого радиуса, в 1учае, когда вертикальная составляющая частоты вращения линейным >разом зависит от горизонтальной координаты, приводит к изучению юйств решений следующего уравнения (К.Россби 1939, Н.К. Блинова )43, и др.):

AUt(x,t) + UXl = Q (1)

А = Щ + - + х = (Xh Х2'

Уравнение (1) называется уравнением планетарных волн или уравне-яем волн Россбй (Россби-Блиновой).

Получение новых качественных результатов о временном поведен! решений краевых задач для данного уравнения является важным этап* построения теории исследуемого явления.

Цель работы. Целью настоящей работы является изучение повед ния при больших значениях времени решения краевых задач для ург нения (1) в пространственной области с неограниченной границей, г хождение достаточных условий стабилизации решений, получение аси птотических оценок.

Методы исследования. Для решения сформулированных задач I пользованы методы математической физики, качественной теории ди ференциальных уравнения, теории функций, функционального анали: асимптотического анализа, приближенных вычислений.

Научная новизна.

В работе получены следующие новые результаты о свойствах решен краевых задач для уравнения планетарных волн и связанных с ни соответствующих стационарных задач.

1. Доказана стабилизация решения первой краевой задачи для урав] ния планетарных волн в области с неограниченной звездной границ для любого компакта лежащего вне некоторой ограниченной зо* определяемой носителем начального возмущепия.

2. Получены оценки поведения но спектральному параметру решен первой краевой задачи в неограниченной области со звездпой г] ницей для неоднородного уравнения Гельмгольца с правой част нелинейно зависящей от спектрального параметра.

3. Установлены достаточные условия стабилизации решения крае! задачи для уравнения планетарных волн в ограниченной облги со смешанными граничными условиями, получены асимнтотичес! оценки решения, проведен анализ условий стабилизации.

4. Доказана полнота собственных функций и установлено распреде. нис собственных значений спектральной задачи в ограниченной об. сти, являющейся несамосопряженной краевой задачей в специалы:

гильбертовом пространстве.

Исследовано поведение решения краевой задачи для уравнения планетарных волн в области с неограниченной звездной границей и смешанными граничными условиями; доказано убывапие первого приближения решения в любой точке области, приведены его оценки при больших значениях времени.

Практическая ценность. Полученные результаты дают качественно картину временного поведения длинных океапических волн, которые шгакают на поверхности Земли вследствие ее вращения и широтного 1менения силы Кориолиса. Эти знания необходимо учитывать при со-;ании различных гидротехнических сооружений, в частности, при со-;ания оградительных молов при проектировании портов и портовых со->ужений и др.

Установленные асимптотические оценки могут быть непосредственно ¡пользованы при создании програмно-аппаратных комплексов, моде-фующих движение жидкости в рамках линейной теории планетарных

uih.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы жладывались и обсуждались на следующих конференциях, симпозиу-IX и семинарах:

L. XXII - XXVI"ГАГАРИНСКИБ ЧТЕНИЯ" Международные молодежные научные конференции (Москва, 1996-2000)

J. Международный семинар "DAY ON DIFFRACTION'99" (Санкт Петербург, 1999)

J. X - Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ-Х) (Крым, 1999)

L Воронежская весенняя математическая школа СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ "ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - XI" (Воронеж, 2000)

5. Семинар "Задачи устойчивости и управления волновыми процессами" кафедры "Оптимального управления" ф-та ВМК, МГУ (Москва, 1996 - 1999)

6. Семинар "Качественная теория дифференциальных уравнений" кафедры "Прикладной математики" МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского (Москва, 1999)

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 101 с. машинописного текста, содержит введение, три главы, заключение, список литературы из 34 наименований л 1 иллюстрацию.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 6 работ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение

Обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, ее структура и кратко изложено содержание диссертации.

1. Задача в области с неограниченной границей

В первой главе исследованы вопросы стабилизации при больших значениях времени решения первой краевой задачи для уравнения (1) I случае, когда область изменения пространственных переменных имеет неограниченную границу.

Отметим, что ранее поведение решения рассматриваемого уравпеии® исследовалось в неограниченных областях только специального виде (пространство, полупространство, полоса, внешность компакта). За дача Коши изучалась в работах С. В. Успенского, Г. В. Демцценко, И. М. Петрушко, В.Г,Лежнева. Для первой краевой задачи в полупространстве из работы С. В. Успенского, Г. В. Демиденко вытекает оценка: |£7(:М)| < С для любого х £ — {х = (х!,х2, ...,хп)

> 0}, < > ¿о- В случае если пространственная область имеет вид полосы (®х, х') € (—оо, +оо) X С}', где С$' » ограниченная область в Я"-1, тс

граведогаво неравенство |£7(х, ¿)| < С < —* +оо (А. А. Тикиляйпен). работе В.Г.Лежнева рассмотрено решение во внешности круга в Я2 и I некоторой подобласти) получена оценка вида 0(<-1/2). В данной работе рассмотрена следующая первая смешанная краевая ццача для уравнения планетарных волн:

АЩх,г) + иХ1 = 0 гбП, «>0 (2)

*7|Г=0 (3)

ии=о=ио(х) (4)

№ А = + ... + х = (х\,х2, ....,хп), П- неограниченная область из >лупространства И^ = {х 6 -К"; > 0}, п > 2, со звездной относительно пала координат, достаточпо гладкой грашщей Г. Т.е. на Г выполнено ;равепство:

п

Х() < 0

№ и- единичный вектор внешней по отношению к П нормали к Г. На-!Льное возмущение Щ(х) предполагается финитной и достаточно глад->й в (I функцией.

Основным результатом главы является:

еорема 1. Пусть контур Г и начальная функция Щ(х) умеют, доста-очную гладкость. Тогда решение задачи (2)-(4) убывает при £ —»■ +оо, именно, справедливо

\\и(х> ОИХар) 0 приг-*+ оо и любой конечной области V С ^ такойг что

аличие геометрического условия расположения области В связано с ишчием энергетической зоны, находящейся левее носителя начальной ушщии и характеризующейся существенно медленным убыванием рвения даже в случае задачи Коши.

Зависимость стабилизации решения краевых задач для (1) в неограни ченных областях от пространственного расположения носителя началь пого возмущения проявляется и во второй краевой задачи во внешно сти компакта в Я2. При этом играет роль геометрическое расположены зиррЛо и компактного препятствия. При выполнении требуемого распо ложения, для любой точки из рассматриваемой пространственной обла сти имеем оценку:

№,*)!< ^г пРи *->+«>

Существование решения задачи (2)-(4) устанавливается в результат предельного перехода при Д —* +оо в первой смешанной краевой задач для (1) в области вида Г2д = О П {|я| < Я}, его единственность следуе из получаемых равномерных по t (Е (0, +оо) оценок:

/ \ЪхЩх,г)\2(1х < / \VUq\4x

П гиррОо

¡\ъхЩх,г)\Чх<с \ \чщЧх

П гиррОа

где константа С зависит только от размерности пространства п и началь ной функции 17о(х).

Доказательство теоремы основано на изучении свойств соответств> ющей стационарной для (2)-(4) задачи, которая после проведения ряд замен переменных сводится к первой краевой задаче для неоднородног уравнения Гельмгольца:

^{х,к) + кЧ{х,к) = е-*ъ&Щ хеП, 1т{к) > О (Е

и|г = о (е

Решение и(я, к) задачи (5)-(6) аналитически продолжается по спектраш ному параметру к = ш + г/х на всю замкнутую верхнюю полуплоскост /х > 0, где для него устанавливается равномерная оценка: / ¡^ < С(В,п ио)

1ох 1 — 1 + М ¡пррОа1 1 £) С ^произвольная ограниченная область.

2. Задача в ограниченной области со смешанными граничными условиями

Вторая глава посвящена получению достаточных условий стабилиза-ш при больших значениях времени решепий краевых задач для урав-;пия (1) в ограниченных по пространственным переменным областях [ециалъпого вида (в областях типа цилиндра с произвольным сечени-

О-

Как известно из результатов В.Г. Лежнева, для первой краевой за-1ЧИ для уравнения планетарных волп в ограниченных областях общего ща из Rn решение является почти периодической функцией по време-ц В случае, когда область измепения пространственных переменных шяется прямоугольником, в работах A.M. Ильина установлены оцен-[, показывающие убывание среднего по времени решения для этой же »аевой задачи.

Особенностью данной работы является введение на части границы ласти краевого условия, обеспечивающего поглощение кинетической [ергии движения жидкости, и как следствие, убывание решения при

ременных.

В качестве модельной мы исследуем следующую краевую задачу для (авнения планетарных волн:

+ = 0 х£<Э, *>0 (7)

ди

dv

= 0 (8) г/|г2 = 0 (9)

ии=о=ио(х) (10)

е х = (XI, Х2,...., хп) = (XI, х'), х' = (#2, •—Я С Яп, п >2 - ограни-нная область вида — (0,1) х С?' и С Дп-1 связная, ограниченна ласть с достаточно- гладкой границей Г7. Участки границы Гх и Г2 ределяются следующим образом:

Гг = {х е дЯ : сов{», Охх) <0} и Г2 = дС} \ Гх

v- единичный вектор внешней по отношению к Q нормали в точке х Е dQ В этом случае, физическая интерпретация краевого условия на Fj со стоит в возможности движения жидкости через данный участок границы а краевое условие на остальной части границы, паоборот, обеспечиваем непротекание участка Гг-

Указанный подход к выбору граничных условий позволяет установит] следующий результат, который является основным в даппой главе:

Теорема 2. Пусть контур Г7 умеет достаточную гладкость, а фут ция начального возмущения Uq(x) принадлежит специальному гилъбер товому пространству H(Q). Тогда, для энергии задачи (7)-(10) имеем,

E(t) 0 при t -» +оо

Кроме того, если начальное возмущение имеет заданное представление то для энергии E(t) справедлива оценка:

Q

E(t) < -^==={-1 + о(1)] при t -> +оо

где константа С зависит только от Uo(x).

В тоже время, анализ выбора места на dQ для введения поглощающег энергию граничного условия (8), позволяет сделать вывод о том, что пр расположении участка Гх на части границы, удовлетворяющей условш Г1 = {х 6 dQ : cos(f, Ох{) = 0} - энергия задачи E(t) будет оставатьс: постоянной при больших значениях времени, а при задании его условие) Ti = {х € SQ : cos(i/,Oxi) > 0}, v- внешняя нормаль, она может имет растущую при t —► +оо составляющую.

Доказательство теоремы основывается на изучении свойств спектр ал! ной для (7)-(10) задачи, которая является соответствующей песамосопря желной краевой задачей для уравнения А Ди(х)+иц = 0. Определяюще значение при получении асимптотических оценок энергии E(t) играю установленные в работе полнота в пространстве H(Q) собственных фупк ций и распределение соответствующих им собственных значений.

3. Стабилизации решения в областях с неограниченной границей и смешанными граничными условиями

третьей главе изучены вопросы нахождения достаточных условий ста-лизации решения краевых задач для уравнения (1) в пространствен-ix областях с неограниченной грапицей.

Стабилизацию решения за счет поглощающего энергию граничного ловия и звездности границы мы рассмотрим на примере задачи для авнения планетарных волн в пространственной области специального

з х = (х\,Х2), П = {а; € Л2 : > го > 0, 0 < агд(х) < Участки гницы Г} и Г2 определяются следующим образом:

единичный вектор внешней по отношению к Г2 нормали в точке х £ ЗП. «дтголагаем, что начальное возмущение Щ(х) задается финитной и гтаточпо гладкой в О функцией.

Анализ поведения при больших значениях времени решепия задачи :)-(14) проводится на основе устананливаемых свойств первого при-яжения решения стационарной задачи, являющимся решением соот-гствующей краевой задачи для неоднородного уравнения Гельмгольца [равой частью РмЬ(е~г,СХ1Аио), где Ь - липеаризущий по к оператор, [ оператор конечномерного проектирования. 3 этом случае справедлива:

да.

дг/<(х, <) + иХ1~о х е п, о о

и\т2 — о

г/|ы,= и0{х)

(и) (12)

(13)

(14)

Г1 = {х € дЯ : соб^, Ох1) <0} и Г2 = дС} \ Гх

Теорема 3. Пусть начальная функция Ц0(2) имеет достаточную глад кость. Тогда для соответствующего приближения 11м{х, £) решения за дачи (11)-(14), для любого хЕЙ будем иметь:

17м(х, {) — олК^") пРи 1 ~у где ом-("о-малое") при I —> 4-ос.

Таким образом, введение условия вида (12) в краевой задаче для урав нения планетарных волн в областях с неограниченной звездной границе! позволяет получить стабилизацию решения независимо от простраствен ного расположения рассматриваемых точек относительно носителя на чального возмущения. Кроме того, полученное убывание решения явля ется более быстрым, при тех же требованиях гладкости начальной функ ции, по сравнению с убыванием задачи Коши.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе выполнен анализ поведения при больших значениях време ни решений актуальных краевых задач для уравнения плапетарпьг волн (или волн Россби) в пространственных областях с неограничен ной границей. Данное уравнение описывает длинные океанически волны, которые возникают на поверхности Земли вследствие ее вра щения и широтного изменения силы Кориолиса.

2. Исследована первая краевая задача для уравнения планетарны волн в области с неограниченной звездной границей. Доказана стаб* лизация решения на любом компакте лежащим вне некоторой огрг ниченпой зоны, определяемой носителем начального возмущения.

3. Изучена новая по постановке краевая задача для уравнения план« тарных волн в ограниченной области со смешанными граничным условиями. Установлены достаточные условия стабилизации реш( ния, получены его асимптотические оценки, проведен анализ услови стабилизации.

4. Исследована новая для уравнения планетарных воли краевая задача в области с неограниченной звездной границей и смешанными граничными условиями. Доказано убывание первого приближения решения в любой точке области, приведены его оценки поведения при больших значениях времени.

5. В рамках применяемой методики для исследования краевых задач для уравнения планетарных волн в областях с неограниченной звездной границей получены новые результаты для соответствующих краевых задач для неоднородного уравнепия Гельмгольца с правой частью нелинейно зависящей от спектрального параметра.

6. Доказана полнота собственных функций и установлено распределение собственных значепий спектральной задачи в ограпичеппой области, являющейся несамосопряжепной краевой задачей в специальном гильбертовом пространстве.

7. В целом полученные результаты дают качественную и количественную картину временного поведения волн в идеальной жидкости, находящейся на вращающейся сфере большого радиуса, а случае, когда вертикальная составляющая частоты вращения линейным образом зависит от горизонтальной координаты. Эти знания необходимо учитывать при создании различных гидротехнических сооружений.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Огородников И. Е. Асимптотика по времени для уравнения планетарных воля. // "XXI Гагарипские чтения": Тез. докл. молодежной науч. конф. М.1996., Ч.4., С. 16-17

2. Ogorodnikov Igor. Е. The asymptotic behavior for large values of the time of energy of boundary value problem with mixed boundary conditions for Rossby wave equation. // Proceedings of the Intemation Seminar "Day on Diffraction-99"., St. Peterburg., 1999., p. 157-166

3. Огородников И. Е. Стабилизация решения уравнения планетарны волн в прямоугольнике в случае смешанных граничных условий./ "XXV Гагаривские чтения": Тез. докл. Междунар. молодежно науч. конф., M Л999., Т.1., С. 162-163

4. Ogorodnikov I. Е. The stabilization of the solution of boundary valu problem with mixed boundary conditions for Rossby wave equation. / Труды "X - Крымской Осенней Математической Школы - Симпози} ма по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ-Х)"., Chv ферополь, 2000, с. 44 - 57

5. Огородников И. Е. Стабилизация решения первой краевой задач для уравнения планетарных волн в области с неограниченной граш цей. //"XXVI Гагаринские чтения": Тез. докл. Междунар. мол< дежной науч. конф., М.2000., Т.1., С. 297-298

6. Огородников И. Е. Стабилизация решения краевой задачи для ypai нения волн Россби в неограниченной области со звездной границе] // "Понтрягинские чтения - XI" на Воронежской весенней матемаи ческой школе "Современные методы в теории краевых задач": Те: докл., Воронеж, 2000, с. 49

В заключение выражаю свою глубокую благодарность моему научном руководителю Леониду Андреевичу Муравью за предложенную тему постоянное внимание при выполнении работы.

Введение

1 Задача в области с неограниченной границей

§ 1,1 Постановка задачи

§ 1.2 Существование решения и интегральные тождества.

§ 1.3 Преобразование Лапласа и свойства решения краевой задачи для неоднородного уравнения Гельмгольца

§ 1.4 Стабилизация решения задачи.

2 Задача в ограниченной области со смешанными граничными условиями

§ 2.1 Постановка задачи.

§ 2.2 Существование и единственность решения, оценка энергии

§ 2.3 Полнота системы собственных функций спектральной задачи

§ 2.4 Асимптотическое поведение решения.

3 Стабилизации решения в области с неограниченной границей и смешанными граничными условиями

§ 3.1 Построение и свойства решения стационарной задачи

§ 3.2 Оценка поведения решения при больших значениях времени

Выводы

Список основной использованной литературы

Диссертация посвящена исследованию поведения при больших значениях времени решений некоторых краевых задач для уравнения, описывающего длинные океанические волны, которые возникают на поверхности Земли вследствие ее вращения.

Проблема изучения поведения по времени решений нестационарных задач для уравнений вращающейся жидкости играет важную роль в математической гидродинамике. Необходимость ее решения возникает при анализе математических моделей в различных областях физики и техники: геофизике, гидротехнике и др. Различным аспектам теории движений вращающейся жидкости посвящено большое количество монографий, статей, специальных сборников и обзоров (Г. Ламб, 1932; А.И. Некрасов 1918, 1944; И.Е. Кочин 1926, 1935, 1949; М.В. Келдыш 1935; Л.И. Седов 1936, 1967; Л.Н. Сретенский 1933, 1977; М.А. Лаврентьев 1937, 1946, 1958; В.Г. Левич 1948; Дж. Дж. Стокер 1953, 1959; Дж. Лайтхил 1959, 1981; Дж. Уизем 1950, 1977, С,Л. Соболев 1954, Т.И.Зеленяк 1970,

B.П. Михайлов 1970, А. К. Гущин, В. П. Михайлов, Л. А. Муравей 1975,

C.B. Успенский, Г.В. Демиденко, В.Г. Перепелкин 1984, A.C. Габов, А.Г. Свешников 1986,1990, Н.Д.Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан 1989, и др).

Математическое описание процессов распространения волн в идеальной жидкости, находящейся на вращающейся сфере большого радиуса, в случае когда вертикальная составляющая частоты вращения линейным образом зависит от горизонтальной координаты приводит к изучению свойств решений следующего уравнения (К.Россби 1939, Н.К. Блинова 1943, и др.):

AUt(x,t) + UXl — О (В.1) где Д = щг + . + щ-, х = (хих2,.:,хп).

Уравнение (В.1) называется уравнением планетарных волн или уравнением волн Россби (Россби-Блиновой) [10,11] и является основным предметом исследований в работе.

Актуальность изучения данного уравнения подтверждена крупномасштабными экспериментами в северной Атлантике (программы " Полигон" и "Mode"), установившими существование медленно меняющихся течений, которые описываются с помощью линейной теории планетарных волн. Получение новых качественных результатов для решений краевых задач для уравнения (В.1) является важным этапом построения теории исследуемого явления.

Цель работы. Целью настоящей работы является изучение поведения при больших значениях времени решения краевых задач для уравнения (В.1) в пространственной области с неограниченной границей, нахождение достаточных условий стабилизации решений, получение асимптотических оценок.

Объем и структура работы. Работа содержит три главы, заключение, содержащее перечень основных результатов и список цитированной литературы. В состав работы входит 1 иллюстрация. Объем работы — 101

ЛИСТ;

Перейдем к изложению содержания работы по главам.

Первая глава посвящена вопросам стабилизации при больших значениях времени решения первой краевой задачи для уравнения (В.1) в случае, когда область изменения пространственных переменных имеет неограниченную границу.

Отметим, что ранее поведение решения рассматриваемого уравнения исследовалось в неограниченных областях только специального вида (пространство, полупространство, полоса, внешность компакта). Задача Коши изучалась в работах С. В. Успенского, Г. В. Демиденко [28], И. М. Петрушко [24], В.Г.Лежнева [12]. Для первой краевой задачи в полупространстве из работы С. В. Успенского, Г. В. Демиденко [29] вытекает оценка: \11(х,{)\ < С £(п1)/2 для любого х Е — {х = {хХ1х21 .•■■,хп) : х\ > 0}, £ > ¿о- В случае если пространственная область имеет вид полосы (жья') <Е (—ос,+ос) х где - ограниченная область в Д"-1, то справедливо неравенство \и(х, г)| < С £~1//2, £ —> +оо (А. А. Тикиляйнен [27]). В работе В.Г.Лежнева [12] рассмотрено решение во внешности круга в Л2 и (в некоторой подобласти) получена оценка вида 0(£~1//2).

§1.1 Постановка задачи. Рассматривается первая смешанная краевая задача для уравнения (В.1) в области О. С Ип, лежащей в правом полупространстве и имеющей неограниченную звездную (относительно начала координат) границу Г. Начальное возмущение 17о(х) предполагается финитной и достаточно гладкой в О функцией.

§1.2 Существование решения и интегральные тождества. Строится обобщенное решение, сформулированной в §1.1, задачи и доказывается его единственность. Здесь же устанавливаются равномерные по t Ç: (0, +оо) оценки:

I\VxU(x, t)\2dx ^ I \VUo\2dx

О euppUç,

J\VxUt(x,t)\2dx^C f \VU0\2dx il supplia где константа С зависит только от размерности пространства п и начальной функции Uq(x).

§1.-3 Преобразование Лапласа и свойства решения краевой задачи для неоднородного уравнения Гельмгольца. Обосновывается применение преобразования Лапласа к решению и изучаются свойства соответствующей стационарной задачи, которая после проведения ряда замен переменных сводится к первой краевой задаче для неоднородного уравнения Гельмгольца:

Av + k2v = e~ikxiAU0i Im(k) > О, (B.2) для решения которой устанавливается оценка: равномерная в замкнутой верхней полуплоскости Im(k) > 0.

§1.4 Стабилизация решения задачи. Из результатов разделов §1.2 и §1.3 вытекает убывание решения при t —» -foo, а именно,

U{x,t)\\Lm 0 на любом компакте ß С О, лежащем правее, по отношению к оси Охi, носителя начальной функции Supp U{). Наличие геометрического условия расположения области D связано с наличием энергетической зоны, находящейся левее носителя начальной функции и характеризующейся существенно медленным убыванием решения даже в случае задачи Коши (см., например, [12]).

Зависимость стабилизации решения краевых задач для (В.1) в неограниченных областях от пространственного расположения носителя начального возмущения проявляется и во второй краевой задачи во внешности компакта в R2. При этом играет роль геометрическое расположение suppUo и компактного препятствия. При выполнении требуемого расположении, для любой точки из рассматриваемой пространственной области имеем оценку (см. [18]):

1гт/ М С(х) -¿174- ПРИ

Вторая глава посвящена получению достаточных условий стабилизации при больших значениях времени решений краевых задач для уравнения (В.1) в ограниченных по пространственным переменным областях специального вида (в областях типа цилиндра с произвольным сечением).

Как известно из результатов В.Г. Лежнева [12], для первой краевой задачи для уравнения планетарных волн в ограниченных областях общего вида из IIй решение является почти периодической функцией по времени. В случае, когда область изменения пространственных переменных является прямоугольником, в работах A.M. Ильина [5, 6] установлены оценки, показывающие убывание среднего по времени решения для этой же краевой задачи.

Особенностью данной работы является введение на части границы области краевого условия, обеспечивающего поглощение кинетической энергии движения жидкости E(t), и как следствие, убывание решения при больших значениях времени в каждой точке области пространственных переменных,

В качестве модельной мы рассмотрим следующую краевую задачу для уравнения планетарных волн в ограниченной цилиндрической области Q из Е'\ имеющей произвольное сечение и образующую параллельную оси Ох 1. Тогда на части Ti границы dQ = Ti U Г2, Г1ПГ2 = 0, удовлетворяющей условию:

Гг = {х 6 dQ\cos(i/, Охг) < 0} (В.З) где v - внешняя нормаль к dQ в точке х £ 8Q, ставится краевое условие = 0, физическая интерпретация которого состоит в возможности движения жидкости через данный участок границы. На остальной части границы (Г2) требуем выполнение первого однородного краевого условия, обеспечивающего непротекание этого участка.

При достаточной гладкости начальной функции, из полученных в разделе § 2.3 свойств спектральной задачи, вытекает убывание энергии: E(i) —* 0 при больших значениях времени t. Кроме того, при дополнительном условии на вид начальных данных справедлива оценка; С <-==[1 + о(1)1 при г -)■ +оо \tnit

В тоже время, анализ выбора места на для введения поглощающего энергию граничного условия, позволяет сделать вывод о том, что при расположении участка Г\ на части границы, удовлетворяющей условию Г! — {х £ : сое (г/, Ох\) — 0} - энергия задачи Е{€) будет оставаться постоянной при больших значениях времени, а при задании его условием Г\ = {х Е соОжх) > 0}, v- внешняя нормаль, она может иметь растущую при £ —> +оо составляющую - раздел § 2 Л Асимптотическое поведение решения.

Третья глава посвящена вопросам нахождения достаточных условий стабилизации решения краевых задач для уравнения (В.1) в пространственных областях с неограниченной границей.

Стабилизацию решения за счет поглощающего энергию второго краевого условия на участке границы, удовлетворяющего (В.З) и звездности границы мы рассмотрим на примере задачи для уравнения планетарных волн в пространственной области специального вида.

Исследование временного поведения решения задачи будем проводить по его первому приближению, для которого, при достаточной гладкости начальной функции, будет доказана асимптотическая оценка вида о( 1/£) ("о-малое") для х £ О, при £ —» +оо.

Этот результат показывает, что, во-первых, введение второго краевого условия на (В.З) в краевой задаче для уравнения планетарных волн в

- 10 областях с неограниченной звездной границей позволяет получить стабилизацию решения независимо от пространственного расположения рассматриваемых точек относительно носителя начального возмущения. Во-вторых, полученное убывание решения является более быстрым, при тех же требованиях гладкости начальной функции, по сравнению с убыванием задачи Коши.

При этом также отметим, что изученная в данной главе математическая модель позволяет анализировать поведение движения вращающейся жидкости, описываемого уравнением (В,1), при так называемом искусственном сужении береговой линии, выраженном в распространенной практике создания оградительных молов при проектировании портов и портовых сооружений [25].

Выводы

Я ПЯ^ПТР ТТГИТЛГХТРТТТ^Т Г ТТРЧТЛТ-ТОТТТТ/ТР ТТГЛ}Т,ТР> ПР^ЛГ ТТТ.ТЯТТ^Г Г» ПРТТТРТП/Г^Г краевых задач для уравнения планетарных волн и связанных с ними соответствующих стационарных задач.

1. Доказана стабилизация решения первой краевой задачи для уравнения планетарных волн в области с неограниченной звездной границей для любого компакта лежащего вне некоторой ограниченной зоны, определяемой носителем начального возмущения.

2. Получены оценки поведения по спектральному параметру решения первой краевой задачи в неограниченной области со звездной бесконечной границей для неоднородного уравнения Гельмгольца, с правой частью нелинейно зависящей от спектрального параметра.

3. Установлены достаточные условия стабилизации решения краевой задачи для уравнения планетарных волн в ограниченной области со смешанными граничными условиями, получены асимптотические оценки решения.

4. Доказана полнота собственных функций и установлено распределение собственных значений спектральной задачи в ограниченной области, являющейся несамосопряженной краевой задачей в специальном гильбертовом пространстве.

- 96

5. Исследовано поведение решения краевой задачи для уравнения планетарных волн в области с неограниченной границей и смешанными граничными условиями: доказано убывание первого приближения решения, приведены его оценки при больших значениях времени. Установлены аналитические свойства решения соответствующей краевой задачи для неоднородного уравнения Гельмгольца, получены оценки решения по спектральному параметру.

1. Бари Н. К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве. // Учен. зап. МГУ., 1951., Т.4, вып.148

2. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч.1., М., 1949

3. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М., 1963

4. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений., М., 1962

5. Ильин А. М. Об асимптотике решения одной краевой задачи. // Матем. заметки., 1970., Т.8., N3

6. Ильин А. М. О поведении решения одной краевой задачи при £ —* оо. // Матем. сборник., 1972., Т.87., N4

7. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. // ДАН СССР., 1951, т.77., 1

8. Келдыш М. В. О полноте собственных некоторых классов несамосопряженных операторов. // Успехи мат. наук., 1971, т.26., N4

9. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики., М., 1973

10. Jle Блон П., Мойсек Л. Волны в океане., М., 1981.

11. Монин А. С. Теоретические основы геофизической гидродинамики., М., 1988.

12. Лежнев В. Г. Асимптотические задачи линейной гидродинамики., Краснодар., 1993

13. Михаилов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных., М., 1976

14. Муравей Л. А. Волновое уравнение и уравнение Гельмгольца в неограниченной области со звездной границей. // Труды матем.ин-та им.В.А.Стеклова, М., 1988., Т.185.

15. Муравей Л. А. Асимптотическое поведение при больших значениях времени решений второй и третьей внешних краевых задач для волнового уравнения с двумя пространственными переменными. // Труды матем.ин-та им.В.А.Стеклова, М., 1973., Т.129.

16. Muravei L.,Filinovskii A. Wave equation and Helmholtz equation in domains with pertubed star-shaped boundary. // Russian journal of mathematical physics., 1998., v.5, no.4

17. Наймарк M. А. Линейные дифференциальные операторы., M., 1968

18. Огородников И. Е. Асимптотика по времени для уравнения планетарных волн. // "XXI Гагаринские чтения": Тез. докл. молодежной науч. конф. М.1996., Ч.4., С. 16-17

19. Огородников И. E. Стабилизация решения уравнения планетарных волн в прямоугольнике в случае смешанных граничных условий.// "XXV Гагаринские чтения": Тез. докл. Междунар. молодежной науч. конф., М.1999., Т.1., С. 162-163

20. Огородников И. Е. Стабилизация решения первой краевой задачи для уравнения планетарных волн в области с неограниченной границей. //"XXVI Гагаринские чтения": Тез. докл. Междунар. молодежной науч. конф., М.2000., Т.1., С. 297-298

21. Петрушко И. М. О поведении по t решения задачи Коши для уравнения Aut — их — 0 при большом времени. // Исследования по уравнениям матем.физики. Труды МЭИ., М., 1975., N250

22. Порты и портовые сооружения. / 4.1, Под редакцией H.H. Джунковский, М., 1964

23. Справочник по специальным функциям. / Под редакцией М.Абрамовича и И.Стиган, М., 1979

24. Тикиляйнен А. А. Об одной задаче, связанной с теорией планетарных волн. // ЖВМ и МФ., 1988., Т.28., N 4.

25. Успенский С. В.,Демиденко Г. В. О смешанных краевых задачах для одного класса уравнений, неразрешенных относительно старшей производной. // Дифф.уравнения с частными производными: Труды семинара Соболева., 1980., N2.

26. Успенский С. В.,Демиденко Г. В. О поведении при t —»• оо решений некоторых задач гидродинамики. // ДАН СССР, 1985., Т.280., N.5

27. Федорюк М. В. Асимптотика, интегралы и ряды., М., 1987

28. Филиновский А. В. Стабилизация решений волнового уравнения в неограниченных областях. // Матем.сборник., 1996., Т.187., N6

29. Shkalikov A., Tretter С. Kamke problems. Properties of the eigenfunctions. // Math.Nachr., 1994., v.170.- 101

30. Shkalikov A., Tretter C. Spectral analysis for linear pencils N — XP of ordinary differential operators. // Math.Nachr., 1996., v.179.

31. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. // Труды сем. им. И.Г. Петровского., М., 1983., вып.9