автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Асимптотические задачи линейной гидродинамики

Со

#2? „

«мати» — россиискии государственный

Технологический университет имени к. э. Циолковского т ъ 1

На правах рукописи

Лежнёв Виктор Григорьевич

асимптотические задачи линейной гидродинамики

05.13.16. - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена в Кубанском государственном университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Морозов В. А. доктор физико-математических наук, профессор Муравей Л. А. доктор физико-математических наук, профессор Сказка В. В.

Ведущая организация: Ростовский государственный университет, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики

Защита состоится " ^ V " 1998 г. в часов на за-

седании диссертационного совета Д 063.56.02 в «МАТИ» — Российском государственном технологическом университете имени К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО (103767, г. Москва, К-31, ул. Петровка, 27).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГАТУ им. К. Э. Циолковского.

Автореферат разослан

» 3 •• ^

^^ Ь п? 1998 г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук Е. В. Метёлкин

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Исследование волновых движений жидкости представляет собой фундаментальную проблему и является актуальной как в теоретическом, так и в прикладном смысле. Феноменологическое разнообразие приводит к различным математическим моделям, требующим своих специальных подходов изучения и самых разных математических методов.

Теории волновых движений жидкости посвящено большое количество монографий, статей, специальных сборников и обзоров (Г. Ламб 1879, 1932; А. И. Некрасов 1918, 1944; И. Е. Кочин 1926, 1935, 1949; М. В. Келдыш 1935; Л. И. Седов 1936,1967; Л. Н. Сретенский 1933, 1977; М. А. Лаврентьев 1937,1946,1958; В. Г. Левич 1948; Дж. Дж. Стокер 1953,1959; Дж. Лайтхилл 1955, 1981; Дж. Уизем 1950,1977).

Одним из основных вопросов теории является поведение решений нестационарных задач при больших значениях времени.

В данной работе исследуется поведение при г -> <ю решений и(х, /) уравнений

Ч,(*.0 + ",л(х,0=0, (1) Аи„{х,0 + ихл (х,() + и^ (х,0=0, (2)

Ди,'(*,0 + и11(*,0 = 0, (3) где А - оператор Лапласа, х - (ж,.....х„).

Рассматривается также обратная задача определения начального возмущения по измерениям решения ы(х, г) в дискретных тачках хт для уравнения

(Л'а2)и,(х,{) + ^(х,() = 0. (4)

Уравнение (1) называется уравнением вращающейся жидкости -уравнением Соболева [1], уравнение (2) - уравнением внутренних волн (гравитационной стратифицированной жидкости) [2], уравнение (3) назы-

вается уравнением планетарных волн и, как и уравнение (4), описывает длинные океанические волны, возникающие на сфере большого радиуса вследствие её вращения (приближение "/^плоскости") [3], [4]; уравнения (1)-(4) выводятся из линеаризованных уравнений Эйлера с соответствующей массовой силой без диссипации и трения.

Наиболее полные исследования проведены для уравнения Соболева и эквивалентной ему системы уравнений малых колебаний вращающейся идеальной жидкости, имеется ряд обзоров и монографий (Соболев С. Л., 1954, Зеленяк Т. И., 1970, Зеленяк Т. И., Михайлов В. П., 1970, Лайтхилл Д., 1981, Успенский, С. В., Демиденко Г.В., Перепёлкин В. Г., 1984, Копа-чевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан, 1989, и др.). В частности, известна точная оценка решения задачи Коши системы уравнений вращающейся идеальной жидкости в R3 при f —> ю (Масленникова В. Н., 1971).

Интенсивно изучалось в последние годы уравнение (2), основные результаты и библиография представлены в монографиях Габова С. А. и Свешникова А. Г. (1986,1990), Копачевского Н. Д., Крейна С. Г., Нго Зуй Кана, 1989.

Менее изучено уравнение (3). При t -» со известны оценки сверху решений некоторых краевых задач и задачи Коши (Ильин А. М., 1970, 1972, Петрушко И. М., 1977, Успенский, С. В., Демиденко Г. В., 1980, 1985).

Совместные крупномасштабные эксперименты в северной части Атлантики, проведённые в 70-е годы ведущими державами мира^программы "Полигон" и "Mode"), установили существование медленно меняющихся течений с временными масштабами до нескольких месяцев и с длинами волн порядка десятков и сотен километров. Для понимания динамики этих движений необходимо знать основы линейной теории планетарных волн, или волн Россби [3].

Актуальность темы. Одним из основных вопросов теории является поведение решений нестационарных задач при больших значениях времени.

Уравнение (3) является новым объектом математической гидродинамики и основным предметом исследований в данной работе. Уточнение асимптотических оценок, получение других качественных результатов является важным этапом построения теории исследуемого явления.

Актуальным является также рассмотрение обратных задач, в частности, обратных задач гидродинамики. Вторая часть работы посвящена постановке и исследованию одной из таких проблем.

Цель работы »основные научные задачи.Основной целью диссертационной работы было построение основ асимптотической теории при * -> оо уравнения планетарных волн: асимптотические оценки решений задачи Коти в двумерном и трёхмерном случаях; исследование поведения по / решений первой краевой задачи в ограниченных областях; оценки решений первой краевой задачи для некоторых неограниченных областей.

Кроме этого, к целям работы относилось следующее:

- получение асимптотических разложений при / —> оо интегралов типа преобразований-Бесселя;

- получение равномерных оценок для отношений функций Ганкеля;

- построение приближённых методов решения обратных задач ньютонова потенциала.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы:

- теории функций комплексного переменного, целых функций и специальных функций;

- функционального анализа, спектральной теории линейных операторов;

- обобщённых решений дифференциальных уравнений и теории функциональных пространств математической физики;

- теории потенциала.

Основные научные результаты.

1. Получен главный член асимпютического разложения при / -> оо решения задачи Коши уравнения планетарных волн в Л2, показано существование энергетической зоны. Доказано, что носитель финитной начальной функции формирует полуцилиндр с образующей, параллельной оси Ох1, вне которого решение убывает быстрее.

2. Получена оценка по Iрешения задачи Коши в й3; показано, что вне энергетической зоны убывание решения к нулю сильнее любой степени Г*.

3. Доказана почти периодичность по / решений первой краевой задачи для уравнения планетарных волн в ограниченной области Q с К".

4. Получена оценка 0(Г<12), / -> оо, решений первой краевой задачи во

2

внешности круга в Л ; доказано стремление к нулю при / -> со, решений первой краевой задачи во внешности компакта в Я3 для точек х вне определённой области.

5. Для уравнения Соболева получены главные члены асимптотического разложения решения при г -> «о, также имеющие гидродинамическую интерпретацию.

6. Доказана почти периодичность по t решений первой краевой задачи для уравнения (3) внутренних волн в эллипсоиде и а ограниченной цилиндрической области.

7. Получены асимптотические разложения при I °о интегралов

учитывающие вклад от левой х = а и правой х = Ь концевых точек для функций g(x) конечной гладкости и некоторых специальных видов функций

8. Доказаны равномерные в полуплоскости {1т г £ 0} оценки отношений функций Ганкеля Я*" (гг) / Н^ (г), 1.

9. Доказано неравенство для целых функций Щг) экспоненциального типа, г = х + ¡у:

¡Г(х)1<М, дт>0=> \Р'(х)\йСМ, х>0.

10. Получен метод приближённого решения краевых задач для уравнения Пуассона в ограниченной области Qc.Il3, основанный на применении обратных задач теории ньютонова потенциала.

Личный вклад автора. Все результаты, оценки и алгоритмы получены автором лично. .

Практическая значимость работы. Практическая значимость работы состоит в следующих основных ргзуль-.татах:

- дохазано существование энергетической зовы для решений задачи Ко-ши уравнения планетарных волн, вне которой решение быстрее стремится к нулю; этот математический результат подтверждает качественные гидродинамические построения и натурные наблюдения;

- установлены асимптотические разложения преобразований Бесселя и обобщение нераг^чства Бернштейна на случай полуоси (полезные для получения оценок решений для некоторых задач математической физики);

- предложена методика локализации начального возмущения в задаче Коши для уравнения (4), опирающаяся на решение обратных задач ньютонова потенциала;

- предложен новый метод приближённого решения краевых задач для уравнения Пуассона.

Апробация работы и публикации. Отдельные результаты диссертации докладывались на региональных конференциях по теории волновых движений жидкости (Майкоп, 1978, Таганрог, 1981), всесоюзных и международных совещаниях и конференциях (Кишинёв, 1975, Донецк, 1986, Севастополь, 1989, Симферополь, 1993,1997, Москва, 1978, 1991, 1996), на семинарах в Московском, Ростовском, Симферопольском университетах, в Математическом Институте им. В. А. Стеклова. По теме диссертации имеется 15 научных публикаций и одна монография (1993), список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объём р а б о т ы. Диссертация состоит из введения и семи глав, образующих две части. Общий объём диссертации - 171 стр., библиографический список содержит 70 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Часть первая работы содержит пять глав.

Первая глава имеет вспомогательную роль, состоит из трёх параграфов и содержит некоторые новые полученные автором оценки общего характера.

В параграфе 1.1 рассматривается поведение при / -> оо интегралов типа преобразования Бесселя ь

5Г(0 = ¡хт8(х)^(х0сЬс, п = 0,1;....

а

Интегралы такого вида исследовались многими авторами (см., например, Тихонов А. Н., 1950, Арсеньев А. А., 1964, Федорюк М. В., 1987), когда Ъ = да, g(x) е С°°[0,оо) и ¿(х) достаточно быстро исчезает на бесконечности. При этом оценки интеграла и члены асимптотического разложения зависят лишь от левого конца * = 0([1], [28], [50], [55], [56]).

Основным результатом параграфа является учёт влияния правого конца х — Ьв асимптотическом разложении (лемма 1.2), что необходимо при использовании для получения оценок и асимптотик решений задачи Коши для некоторых уравнений математической физики. В частности, мы имеем

50°(0 = 1Ш + Шу1(г,0 + О(г5/2), г-»со, (5)

причём могут быть получены все следующие члены асимптотического разложения при / -> со. Используя рекуррентные соотношения для Jn (t), можно получить отсюда непосредственно разложения для S^(t).

В параграфе 1.2 приведена равномерная в полуплоскости оценка для отношения функций Ганкеля Я^'(г) первого рода,

й ехр[-(г -1) Imz] приг>1, п = 0,'±1, ±2,.... ImziO,

что является полезным, например, при получении методом Фурье решений во внешности единичного круга или во внешности кругового цилиндра.

В параграфе 1.3 даётся обобщение неравенства Бернштейна для целых функций Р[г) экспоненциального типа, ограниченных на вещественной оси.

Теорема 1.1. Если Г (г) - целая функция экспоненциального типа, ограниченная на положительной полуоси {х > 0}, то Р' (г) ограничена на {х>0}.

Решения некоторых линейных гидродинамических задач являются целыми функциями экспоненциального типа от времени /. Из теоремы 1.1 следует, что ограниченность (степенное убывание) решения при / > 0 влечёт офаниченность (степенное убывание) производных по I любого порядка.

Глава вторая содержит результаты о поведении при 7 -> со решений задачиКоши для уравнения (3) планетарных волн в /?", п = 2, 3:

4/Мх,/) + ^-и(х,0 = /(х,0, (6)

а ас,

,в0 = »о(*>. (7)

Оценки решений во времени были получены ранее разными авторами (Петрушко И. М.,1975, Успенский С. В., Демиденко Г. В.,1985).

В парафафе 2.1 дана теорема 2.1 об интегральном представлении решения и(х, 0 задачи Коши, х е Я :

к

где и(*,0) = и0(х) - финитная и достаточно гладкая.

Теорема 2.2. Если /(*,') = 0, м0(л) финитна и принадлежит

СИ(Я3), то для решения и(дг, /) задачи Коши (6) - (7) справедлива оценка

5/2

и(*,0 = о(/ ), Г->00, равномерная по * на любом компакте.

Теорема 2.4. Если ¡/„(х) финитная ий(х) еС°°(Л3), /(х,/)зО, то решение и(х, г) задачи (6)-(7) удовлетворяет неравенству

|и(х,0| £ С^/"4, Г >0, для любого натурального к, если точка* лежит вне цилиндрической зоны А

/7= х = (л:,0 -1, дг°, дг3°), (х,°, х\, х°) Г>0}. С-й'е д с т в и е. Благодаря обобщению неравенства Бернштейна (теорема 1.1) получаем, что производные любого порядка по времени от ре-

-к

шения задачи (6)-(7). / и 0, убывают быстрее произвольной степени t при / оо для точек х вне указанной в теореме 2.4 зоны П.

В параграфе 2.2 рассматривается принцип предельной амплитуды при / -> оо для решения следующей задачи Коши:

4 Au(x,t) + -?-u(x,t) = еш f(x), х ей3, f>0, (8)

a at,

,| -о- (9)

|/ = О

Теорема 2.5. ЕслиДх) финитна и принадлежит С*(Л3), ю- вещественное число, ф* 0,то для решения и(х,/) задачи(8)-{9)равномерно йа

любом компакте в R имеем

u(x,f) - ——v(x)e iea

га

= (%Г2), t ► оо,

где у(х) есть решение уравнения Гельмгольца

удовлетворяющее условию излучения при |х| <ю.

В параграфе 2.3 рассматривается асимптотика решения задачи Коши

в R2,

—Au(x,y,t) + — u(x,y,t) = О, (х,у) еЯ\/>0, а ас

/ = 0 = »о(^).

Доказана следующая теорема.

Теорема 2.5. Если и0(дг,у) финитна и принадлежит С*(Я2),то для решения задачи (10)-(11) при / оо имеем

(10) (П)

Это равенство показывает, что существует энергетическая зона перед финитным носителем начальной функции иа(х,у), вне которой решение при Г -> да убывает быстрее.

В третьей главе рассматривается первая краевая задача для уравнения планетарных волн в ограниченной области Q с Я":

^Ли(х,0 + -|-фс,0 = 0, хеО, Г>0, (12) а <Эс,

„ = 0, (13)

, = 0=%(Л)- (14)

А. М. Ильин (1970,1972) получил оценки роста решения ц(х, г) и среднего по времени от решения в случаях Л1 и К2 для неоднородного уравнения и с неоднородным граничным условием. В монографии Успенского С. В., Демиденко Г. В., Перепелкина В. Г. (1984) доказаны теоремы существования и единственности в классах Соболева, доказана ограниченность по г

решения при и0 (х) еЯ'(0-

В параграфе 3.1 исследуется вспомогательная спектральная задача:

ЯЛу(х)-1~ф) = 0, (15) <Эс,

= 0. (16)

¿в у '

Задача (15)-('6) является спектральной задачей для оператора

В -» н>, определённого в пространстве Н (0 комплекснозначных

функций и такого, что для у(ж) еН1((2) образ определяется как решение задачи

А,

в"'0-

Лемма 3.1. Оператор В является самосопряжённым и компактным

• I

в комплексном пространстве Н (£?).

В параграфе 3.2. определяете г обобщённое решение и(х, Г) задачи (12)-(14), и доказывается теорема существования и единственности.

Функцию^*, 0 будем называть почти периодической по / в пространстве Я1 (0, если

1

где Лт - вещественные, \т образуют базис в Я'(0 •

2 * I

Теорема 3.2. Если <32 еС , г/э (*) е Н ((?), то обобщённее решение и(х, /) задачи (12)-(14) является почти периодической функцией по Г в

• I

н\0).

Это утверждение следует из того, что дня и(х, /) справедливо представление

«о

I

где у„ и Л„ являются соответственно собственными функциями и числами оператора В.

Решение Г) может быть также представлено в виде ряда

00 ,т

—! „•т!

где

оо ^т

«(*>о=«и*)»

Следствие. Если к ¿[n/2] +1, то в условиях теоремы 3.2 решение и(х, /) непрерывно по всем аргументам и является при любом xeQ равномерной почти периодической функцией t.

Доказывается также, что в случае J?1, Q = (0, 1), интеграл от решения

по времени

U(x,t) = )u(x,T)dr о

есть почти периодическая функция / в пространстве И (Q).

Справедливо следующее утверждение (теорема об управлении в пер-

• j

вой краевой задаче): для любой F(x) е Н (Q) и любого Т> О существует • 1

такая функция u0(x) е Н (Q), что для решения и(х, /) задачи (12)-(14) имеем и{х,Т) = F{x).

Глава четвёртая посвящена краевым задачам для уравнения планетарных волн в неограниченных областях. Известны оценки (Успенский С. В., Демиденко Г. В., 1985) »■-1

|«(*,/)|£Сг" 2

для решений и(х, I) первой краевой задачи для случая полупространства

R" = {х: xeR', х, >0}. Известна также оценка i

\и(х,0\*Сг~г

для решения и(х, /) задачи (12}-{14), когда Q - бесконечный цилиндр с образующими, параллельными оси Ох,, имеющий в поперечном сечении ограниченную область Q' с Я*"' с достаточно гладкой границей (Тикиляй-нен А. А., 1988).

-15В параграфе 4.1 диссертации рассматривается в Я2 внешность единичного круга £> = {(х, ,х2): х* + х\ > 1} с границей 5, и первая краевая за-

дача:

4мх,0+4~и(х>*> = 0' * eD,t>0, (17)

а ае,

s-0, (18)

í = Q = «o(x). , (19)

Теорема 4.1. Если «0М финитна bD и принадлежит C2(D), и{х, О - решение задачи (17>(19). то

«(*,/) = 0(Г1/:2), /-» оо, для любой точки х е£>0 = {г; +х\ >2 + х,} n D.

Решение и{х, /) представляется суммой решения задачи Коши с начальной функцией ид(х) и функции

l

где внутренняя сумма есть решение соответствующей краевой задачи в круговой области D для уравнения Гельмгольца, контур L - прямая, параллельная мнимой оси, L = {А: Л = а + ico, а = аQ>0, - ® < а> < <п}. Контур L может быть заменён на мнимую ось. Исследование функции z(x, t) использует результаты параграфа 1.3 и другие свойства специальных функций.

В параграфе 4.2 рассматривается поведение при t да решения и(х, t) второй краевой задачи в неограниченной области Q с Я3,

4м*.0 + -£-*(*,0-0, х eQ,t>0, (20)

dt асх

4/ дп

1 = 0

= ИоОО»

(21 (22

где область 0 является дополнением некоторой ограниченной области £> в Л3.

Теорема 4.2. Если <32 - звёздная и является поверхностью Ляпунова, ы0(х) финитна в 0 и принадлежит С3(0. то решение и(х, 0 задачи (20)-(22) стремится к нулю при /->» в любой точке дг = (х,, х2, хг) та. о

кои, что х, < д:. = тш х..

гее

Б главе пятой рассматриваются решения уравнений (1) и (2). В параграфе 5.1 для уравнения Соболева получены главные члены асимптотического разложения при / -> ® решения и(х, ?) задачи Коши с финитными достаточно гладкими начальными функциями:

д1 а

? = 0

(2:

(2-

Теорема 5.1. Если функции £0(х), финитны я принадлежат С* (Я3) , то для решения и(х, /) задачи (23X24) имеем

сое/

У1)2Н*1-Уг)г 2я*

/ \-Гг81(У1,Уг,Хг)<*У1<*У1

при г ® равномерно по х ва любом компакте.

Из формулировки теоремы следует, что, если, например, я^х) = 0, то при / оо остаточное возмущение находится в основном в горизонтальном слое, содержащем носитель Бцрр g0 начального возмущения.

Доказательство теоремы опирается на результаты параграфа 1.1. Отметим, что аналогичным образом можно получить асимптотические разложения для решения системы линеаризованных уравнений вращающейся невязкой жидкости, используя интегральные представления этого решения (Масленникова В. Н., 1971).

В параграфе 5.2 рассматривается первая краевая задача для уравнения внутренних гравитационных волн стратифицированной жидкости в огра- • ниченной области £?с /?3,

+ + = (25)

& екг )

= 0, (26)

42

, = 0=*.(*). (27)

Доказывается теорема существования и единственности обобщённого решения, принадлежащего пространству Н (0) при любом г > 0.

Теорема 5.3. Если граница области () - эллипсоид, функции £0(х) и g,(x) принадлежат С* (0 и финитны в Q, то решение и(х, г) задачи (25)-(27) почти периодично по и

Аналогичное утверждение о почти периодичности решения по времени / справедливо, когда область <2 представляет собой ограниченный прямой цилиндр с образующими, параллельными оси СЬс,.

Заключает часть I теорема об асимптотике решения задачи Коши для уравнения (2),

—Дк(*,0 +

а

«(*,/) = 0, хеЯ3,<> о,

(28

= 0 = и<г = 0 = 8,{ху'

(29

для краткости взято £0(х)я О-

Теорема 5.4. Если £0(х)^0, йДх) финитна и бесконечно дифференцируема, и(х, /) - решение задачи (28X29), то «(*,/) = ^(ОаМ + ОСГ1), Доказательство теоремы непосредственно следует из оценки (5), леммы 1.1 и интегрального представления решения (Габов С. А., Свешников А.Г., 1986).

В части II (главы 6 и 7) на примере задачи Коши

по измерениям решения, для чего исследованы обратные задачи ньютонова потенциала.

Указаны классы единственности частных обратных задач поверхностного потенциала двойного слоя и обратной задачи объёмного потенциала при заданном носителе плотности.

Получены алгоритмы приближённого решения этих задач и теоремы сходимости приближений. При этом данные алгоритмы имеют простые вычислительные реализации. Пройдены численные эксперименты, которые показали хорошую точность.

Использование аппроксимационных задач и алгоритмов для обратных задач поверхностных потенциалов позволяет сформулировать задачу локализации носителя плотности объёмного потенциала, т. е. задачу локали-

(Л - а2 )и, (*,<) + «„, =0, хеЯ3, *>0,

(30

(31

рассматривается обратная задача определения начальной функции и°(х)

зации начального возмущения в задаче Коши. Исходными данными в этой задаче является дискретный набор и(х", /) решений задачи Коши на последовательности хт (на конечном наборе точек хт, т = 1, 2, для с:> проксимационных задач).

Использование аппроксимационных алгбритмов для частных обратных задач потенциала даёт также новый метод решения краевых задач для уравнения Пуассона в ограниченных областях.

Предполагается, что а > 0, носитель ()0 = ¿ирр и0(х) - ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей 50 = с%)0 и что заданы при /> О функции и(хт на некоторой последовательности точек хт, т= 1, 2, ..., лежащих вне ()0. Предполагается также, что последовательность точек хя, т = 1, 2, ..., удовлетворяет условию единственности гармонических функций в Я3 (если гармонические функции и(х) и у(*) совпадают на всех х = хт, то они тождественны), что 50 6 С1,

= 0. Требуется найти носитель <2й начального воз-

мущения н°(х) или его некоторую локализацию О'э <2о> определить функцию н°(дг) или некоторую её аппроксимацию «" (г), к"(х)«и°(х).

Обозначим А - преобразование Лапласа по г функции и(х, г) через й(х,Л).

л,

Полагая = е 2/|?7(л\Я), /Я = (2а)"'.получим, что у(дг) удовлетворяет уравнению Пуассона

где

Ду(дг) = -4л^(лг>, лг€/г},

4ле(х) = а а ехр(-мх, )(Л -а )«0( х). (32)

-20В указанных предположениях выполняется равенство

Ч*)=Г (33)

где бабо-

Обозначим через £>+ дополнение множества й до всего пространства, =й3 В дополнении 0О+ = Я3 \0О функция у(х) является гармонической и регулярной на бесконечности, искомая граница £0 является естественной границей гармонической функции у(дс). В точках х" , и = 1, 2, ..., известны значения vя =у(лг").

Рассматриваемая проблема определения начальной функции н0(лг) эквивалентна следующей обратной задаче потенциала: найти область 0 и плотность ^х) в представлении (33) гармонической и регулярной в окрестности бесконечно удалённой точки функции у(х), если заданы её значения vм = у(х"), т= 1, 2, ..., на последовательности точек х".

Функция и°(х) восстанавливается далее как решение неоднородного уравнения Гельмгольца (32) в ограниченной области () с нулевым граничным условием.

Общая обратная задача ньютонова потенциала распадается на две задачи - задачи 2)0 и 03.

Задача £>0 (задача локализации): найти ограниченную односвяз-ную область £?. такую что &з&о> <32о" естественная граница гармонической в окрестности £/м бесконечно удалённой точки функции К*), если заданы значения Vя1 =у(хт) на последовательности точек х",т = 1, 2, ..., удовлетворяющих условию единственности гармонических функций в Д3, лежащих в бо и отделённых от с%)0 является поверхностью Ляпунова.

Задача Оэ (задача аппроксимации): найти функцию или её приближение в представлении (33) гармонической в IIх функции у(х), если задана область ограниченная и односвязная, и заданы значения v* = v(x'") на последовательности х", удовлетворяющей указанным выше условиям.

Предварительно рассматриваются частные обратные задачи теории потенциала, исследованию которых посвящена глава 6. В параграфе 6.1 доказано, что системы функций

1 д \ -у\ &у |* -у]

являются линейно независимыми и замкнутыми соответственно в пространствах ¿2(4?) и ¿г (¿2(^6) = ¿2 ® ¿{1}). если последовательность точек хт е О* удовлетворяет условию единственности гармонических

функций в Л3 и отделена от границы 8Q, /я = 1,2,....

Решение частной обратной задачи потенциала двойного слоя (т. е. задачи определения поверхностной плотности потенциала на заданной поверхности 30 существует и единственна в , если у(х) регулярна в Q*, у(х) б Ь^{дО) и заданы значения у(х™).

Теорема единственности частной обратной задачи ньютонова потен-' циала (33) (область Q задана и односвязна) вытекает из следующей леммы Новикова (Новиков П. С., 1938).

Лемма 6.3. Если (2 - ограниченная односвязная область в Я" с границей сЦ е С2, то для пространства Ь2 ( О) имеет место разложение в прямую сумму

¿2 (0=ВД©ЛЧ0,

где Я(0 - подпространство гармонических в Q функций, а функция #(у) принадлежит N(0 тогда и только тогда, когда

| 8(у)и(х-у)с{у~ О, хеБ,

е

где и(х) - фундаментальное решение уравнения Лапласа.

Для решения задачи локализации может быть использована частная обратная задача потенциала двойного слоя, задача Бг. Формулируется эквивалентная задаче £>2 вариационная задача, которая приводит к простым аппроксимационным алгоритмам.

Аналогичный вариационный подход используется для задачи £>3. Теорема 6.2. Система функций /«(З') Н _ уГ*»У е (2, т = 1, 2, ..., полна и линейно независима в подпространстве Н(0), если последовательность точек хп eQ* удовлетворяет условию единственности гармонических функций.

Пусть g0 Су) - решение задачи Эг из Н(&). Для определения- приближённого решения gйf/(y) используется подпространство £.ч ={>.О')}ГсЯ(0;

обозначим через gs (у) функции этого подпрогп- гнетва.

м

Для функционала Ф3(£л) = ,Г.) - Vм]

т.| ШУ)

рассматривается вариационная задача . Задача найти

цы = М"

Е»

и минимизирующую функцию Ад. (у).

Теорема 6.3. Если М 2N, то lim =0.

В последней главе 7.2 приведены некоторые численные результаты.

Для решения и(х, у, z, /) задачи Коши (6)-(7), п = 3, численно постр но решение для некоторых одномерных сечений по явной формуле (теорема 2.1). Непосредственные вычисления, представленные на графиках, идентичны основным асимптотическим результатам для уравнения планетарных волн (теоремы 2.2 и 2.4).

Разработаны и реализованы алгоритмы приближённого решения обратных задач потенциала в R3. Результаты некоторых пробных расчётов приведены в таблицах.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1954. Т. 18. N 7. С. 3-50.

2. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981.

3. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Т. 1, 2. М.: Мир, 1981.

4. Монин А. С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. М.: Наука, 1988.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лежнев В. Г. Об асимптотическом поведении при t -» оо решения одной внешней краевой задачи для уравнения Соболева // Диф. ур., 1969, т. 5, №1. С. 159-173.

2. Лежнев В. Г. О стабилизации решений первой краевой задачи для уравнения вращающейся жидкости в неограниченной области // Тр. Всесоюзной конф. по уравнениям с частными производными. М.: Изд-во МГУ, 1978.

3. Лежнев В. Г. Убывание решения первой краевой задачи для уравнения Ди, +их = 0 во внешности круга // Тез. Всесоюзной конф. по качественной теории дифф. уравнений. Кишинёв, Ин-т математики АН МССР, 1979.

4. Лежнев В. Г. К неравенству Бернштейна для целых функций. Деп. ВИНИТИ, 1983, № 44-53-84,3 с.

5. Зиповенко С. Н., Лежнев В. Г. Задача Дирихле для уравнения внутренних волн // Волновые движения жидкости: теория и эксперимент. Краснодар, 1984. С. 75-80.

6. Лежнев В. Г. Почти периодичность по времени решений одной краевой задачи II Применение функциональных методов и методов теории функций к задачам математической физики: IX Советско-чехословацкое созещаниг. Донецк, 1986.

7. Лежнев В. Г., Малыхин К. В. Асимптотика решения задачи Коши уравнения длинных волн // Вопросы волновых дтажений жидкости. Краснодар, 1987. С. 71-75.

8. Лежнев В. Г. Вычисление некоторых интегралов от функций Бесселя // Численный анализ: методы, алгоритмы, программы. М.: МГУ, 1988. С. 133-138.

9. Лежнев В. Г. Одна обратная задача для гармонических функций // Методы и алгоритмы численного анализа. М. МГУ, 1989. С. 182-187.

10. Лежнев В. Г., Чижиков В. И. К задаче геопотенциала И Некорректно поставленные задачи в естественных науках: Тез. междувдр. конф. М., 1991. С. 189.

11. Лежнев В. Г. Асимптотика решений задачи Коши уравнений вращающейся жидкости // Волновые движения жидкости и смежные вопросы. Краснодар, 1989. С. 67-75.

12. Лежнев В. Г. Асимптотические задачи линейной гидродинамики. Краснодар, 1993,91 С.

13. Lezhnev V. G. Asymptotic as / да ot solutions of some hydrodynamic equations // Spectral and evolutional problem. V. 5. Simferopol, 1996.

14. Lezhnev V. G. Approximation of inverse problems of Newtonian potential II Обратные и некорректно поставленные задачи. Тез. междунар. конф., М. МГУ, 1996, С. 117.

15. Lezhnev V. G. Estimate of solution for Kuramoto-Sivashinsky equation. II Spectral and evolutionaiy problem. V. 7. Simferopol, 1997. P. 59-60.

16. Лежнев В. Г. Аппроксимация обратных задач ньютонова потенциала. // Численные методы анализа. М.: МГУ, 1997. С. 52-67.

17. Лежнев В. Г. Метод решения краевых задач уравнения Пуассона. // Численные методы анализа. М.: МГУ, 1998 (в печати).

//\''лучепую степогь ДОК.'; •

FT

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

-ч.

На правах рукописи

Лежнёв Виктор Григорьевич

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

05.13.16. - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов

в научных исследованиях

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Краснодар 1998

Содержание

Введение..........................................................................................................................4

I Асимптотика решений при больших значениях времени 11

1 Общие оценки 11

1.1 Асимптотика интегральных преобразований Бесселя.....11

1.2 Оценки в полуплоскости функций Ганкеля..........23

1.3 Неравенство Бернштейна для целых функций, ограниченных на полуоси.....................28

2 Задача Коши для уравнения Ащ 4- их = 0 34

2.1 Оценка решения в случае Л3 . . .................35

2.2 Принцип предельной амплитуды ................45

2.3 Асимптотика решения задачи Коши в й2............48

3 Первая краевая задача в ограниченной области для уравнения волн Россби 61

3.1 Спектральная задача.......................61

3.2 Почти периодичность по £ решений первой краевой задачи . 64

3.3 Управление в первой краевой задаче..............71

4 Внешние краевые задачи для уравнения Ащ + иХ1 = 0 73

4.1 Первая краевая задача во внешности круга..........73

4.2 Оценка решения для внешности компакта в В3....... . 91

5 О решениях уравнения Соболева и уравнения внутренних

волн 108

5.1 Асимптотика решения задачи Коши уравнения Соболева . . 108

5.2 Почти периодичность решений уравнения внутренних волн

в простых областях........................115

II Задача определения начального возмущения 122

6 Обратные задачи ньютонова потенциала 123

6.1 Системы точечных потенциалов.................126

6.2 Задача о плотности потенциала двойного слоя.........133

6.3 Определение плотности объемного потенциала.........140

7 Определение начального возмущения 148

7.1 Локализация носителя и аппроксимация начальной функции 148

7.2 Алгоритмы и численный анализ.................157

Литература

164

Введение

Математическое изучение движений жидкости приводит к различным математическим моделям, требующим своих специальных подходов изучения и самых разных математических методов.

Теории волновых движений жидкости посвящено большое количество монографий, статей, специальных сборников и обзоров (Г. Ламб, 1932; А.И. Некрасов 1918, 1944; И.Е. Кочин 1926, 1935, 1949; М.В. Келдыш 1935; Л.И. Седов 1936, 1967; Л.Н. Сретенский 1933, 1977; М.А. Лаврентьев 1937, 1946, 1958; В.Г. Левич 1948; Дж. Дж. Стокер 1953, 1959; Дж. Лайтхил 1959, 1981; Дж. Уизем 1950, 1977).

Одним из основных вопросов теории является поведение решений нестационарных задач при больших значениях времени.

В данной работе исследуется поведение при £ —> оо решений и(х^) уравнений

Аии(х^) + иХзХз(х^) = 0, (1)

Аии(х^) + иХ1Х1(х,г) + иХ2Х2(х,Ь) = 0, (2)

Ащ{х,Ь) + иХ1(х,г) = 0, (3)

где А - оператор Лапласа, х = ..., хп); рассматривается также обратная задача определения начального возмущения по измерениям решения и(х^) в дискретных точках хт на примере задачи Коши для уравнения

(А - а2)щ{х,Ь) = 0. (4)

Уравнение (1) называется уравнением вращающейся жидкости -

уравнением Соболева [57], уравнение (2) - уравнением внутренних волн (гравитационной стратифицированной жидкости) [14], уравнение (3) называется уравнением планетарных волн и, как и уравнение (4), описывает длинные океанические волны, возникающие на сфере большого радиуса вследствие ее вращения (приближение "/3-плоскости") [30], [65]; уравнения (1)-(4) выводятся из линеаризованных уравнений Эйлера с соответствующей массовой силой без диссипации и трения.

Наиболее полному исследованию подвергнуто уравнение Соболева и эквивалентная ему система уравнений малых колебаний вращающейся идеальной жидкости, имеется ряд обзоров и монографий (Соболев С.Л., 1954, Зеленяк Т.И., 1970, Зеленяк Т.И., Михайлов В.П., 1970, Лайтхилл Д., 1981, Успенский C.B., Демиденко Г.В., Перепёлкин В.Г., 1984, Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан, 1989, и др.). В частности, известна точная оценка решения задачи Коши системы уравнений вращающейся идеальной жидкости в Л3 при t —> оо (Масленникова В.Н., 1971).

В диссертационной работе получены первые члены асимптотического разложения при t —> оо; методика позволяет получать все последующие члены асимптотического разложения.

Интенсивно изучалось в последние годы уравнение (2), основные результаты и библиография представлены в монографиях Габова A.C. и Свешникова А.Г. (1986, 1990), Копачевского Н.Д., КрейнаС.Г., Нго Зуй Кана, 1989.

В диссертационной работе доказана почти периодичность по t решений первой краевой задачи для уравнения (2) в специальных областях.

Менее изучено уравнение (3). При t оо известны оценки сверху решений некоторых краевых задач и задачи Коши (Ильин A.M., 1972, Успенский C.B., Демиденко Г.В., 1985).

Совместные круп помаештабн ые эксперименты в северной части Атлантики, проведенные в 70-е годы ведущими державами мира (программы "Полигон" и "Mode"), установили существование медленно меняющихся течений с временными масштабами до нескольких месяцев и с длинами волн порядка десятков километров.у,Для понимания динамики этих движений необходимо знать основы линейной теории планетарных волн, или волн Россби [30].

Уравнение (3) является новым объектом математической гидродинамики и основным предмептом исследований в данной работе. Уточнение асимптотических оценок, получение других качественных результатов является важным этапом построения теории исследуемого явления.

Актуальным является также рассмотрение обратных задач, в частности, обратных задач гидродинамики, Вторая часть работы посвящена постановке и исследованию одной из таких проблем [54], [7 D]

Часть первая состоит из пяти глав. Первая глава имеет вспомогательную роль, состоит из трех параграфов и содержит некоторые новые полученные автором оценки общего характера.

В параграфе 1.1 рассматривается поведение при t —> оо интегралов типа преобразования Бесселя

S£(t) = f\mg(x)Jn(xt)dx, п = 0,1,... .

Интегралы такого вида исследовались многими авторами (см., например, Тихонов А.Н., 1950, Арсеньев A.A., 1964, Федорюк М.В., 1987), когда b — оо, д(х) € С00[0, ос) и д(х) достаточно быстро исчезает на бесконечности. При этом оценки интеграла и члены асимптотического разложения зависят лишь от левого конца х = 0([1],[29],[61],[67]).

Основным результатом параграфа 1.1 является учет влияния правого конца х = b в асимптотическом разложении (лемма 1.2), что необходимо при использовании для получения оценок и асимптотик решений задачи Кош и для некоторых уравнений математической физики. В частности, мы имеем

sjw = Ш + á&,h т + 0{t-V\ t оо,

V v

причем могут быть получены все следующие члены асимптотического разложения при t —» оо. Используя реку рентные соотношения для J„(f), можно получить отсюда непосредственно разложение для <S®(¿).

В параграфе 1.2 дается равномерная в полуплоскости {fmz > 0} оценка отношений функций Ганкеля (гz) ¡Н^ (z), г > 1 полезная для задач во внешности круга [31],[56].

В параграфе 1.3 доказывается, что неравенство Бернштейна для целых функций экспоненциального типа может быть распространено на функции, ограниченные на полуоси. Известны различные обобщения этого неравенства ([2],[3],[4],[22]), данное обобщение особенно удобно при исследовании решений некоторых уравнений. Отметим, что формулировка данного обобщения вытекает из одной теоремы [8] об аппроксимации на полуоси целыми функциями (конечной полу степени

и конечной степени), а доказательство, приведенное здесь, опирается на результаты и технику теории рядов экспонент [42].

Вторая глава содержит результаты по асимптотике решений задачи Коши. Оценки решения в общем случае пространства К1 указывались, в частности, в [65], поведение интеграла по Ь от решения задачи Коши в Я3 рассматривалось в [52], »

Получен главный член асимптотического разложения при ¡£ —> оо решения задачи Коши уравнения планетарных волн в Я3, показано существование энергетической зоны.

Получена оценка по Ь решения задачи Коши в показано, что вне энергетической зоны убывание решения к нулю сильнее любой степени

гК

В главе 3 рассматривается поведение по Ь решений краевых задач для (3) в ограниченной области С

В случае Я1 и Я2 поведение решений первой краевой задачи для уравнения (3) и неоднородного уравнения изучались в [24], [25] где указаны оценки роста решений при Моо и оценки среднего по времени от решения. В общем случае ограниченной области С Я3 ъ [64] доказывается разрешимость первой краевой задачи и оценка решения.

В параграфе 3.2 доказывается, что решение и(х,£) для ограниченной области € С1, является почти периодической функцией £ в

о

пространстве Н1 Интегралы по времени также являются почти

периодическими функциями в случае Я1.

Известны некоторые результаты о поведении решений первой краевой задачи для уравнения (3) в неограниченных областях. Для случая

полупространства в Rn указывается оценка [65]

\u(x,t)| < СГ^ Ух = (xi,x2,... ,хп) G R\ = {х : х\ > 0},£ > ¿о;

если область имеет вид Q — (—оо, оо)xQ' Э (rci, х'), где Q' - ограниченная область в Яп_1, то имеет место неравенство \u(x,t)\ < Ci_1//2, t —у оо [59]

(начальные функции Мо(я) финитны и достаточно гладкие, wq — 0).

dQ

В главе 4 рассматривается решение первой краевой задачи во внешности круга в R2 получена оценка вида 0(£~1//2) для точек некоторой подобласти Q. В параграфе 4.2 доказывается убывание и для случая, когда дополнением к области, в которой решается задача, является ограниченная область в i?3.

Глава 5 содержит некоторые результаты для уравнений (1) и (2). Известны оценки решения задачи Коши для уравнения Соболева ([43],[66]); в параграфе 5.1 определяются главные члены асимптотики. Используются результаты раздела 1.1. В 5.2 показано, что для случая параллелепипеда и эллипсоида в Л3 решение первой краевой задачи для уравнения (2) является почти периодической функцией t. Доказательство следует идеям, используемым в [18].

В части II, состоящей из двух глав, ставится проблема определения начального возмущения. Данная задача сводится к обратным задачам теории потенциала и рассматривается на примере задачи Коши для уравнения (4), возникающего в динамической океанографии при описании планетарных волн в стратифицированной жидкости.

В главе 6 построена определенная методика исследования обратных задач ньтонова потенциала. Используется вариационный подход,

исследуются свойства систем точечных потенциалов, получены теоремы единственности.

В главе 7 рассматривается задача локализации носителя начальной функции и ее аппроксимации в норме ¿2-

Данный подход позволяет строить достаточно простые аппроксимирующие алгоритмы.

Проведены численные эксперименты по аппроксимации и локализации, приводятся численные результаты. Дополнительно излагается и иллюстрируется на примере задачи Неймана применение методики, изложенной в главах б и 7, для решения краевых задач уравнения Пуассона в ограниченных областях Я3.

Часть I

Ассимптотика решений при больших значениях времени

1 Общие оценки

В первом разделе получены некоторые асимптотические оценки при £ —» оо преобразований Бесселя. Второй раздел посвящен оценкам в полуплоскости отношений функций Ганкеля, в последнем разделе главы рассмотрены оценки целых функций экспоненциального типа, ограниченных на оси или полуоси.

1.1 Асимптотика интегральных преобразований Бесселя

Рассматривается поведение при £ —У оо следующих интегралов, содержащих функции Бесселя 1-го рода

где ш, п = 0,1,2,...

Доказываются следующие утверждения. Лемма 1.1. Если д(х) £ С1 [0,6], то

Ь > 0.

(1.1)

Лемма 1.2. Если д(х) G С2[0,Ь], то

50 = ¡g(x)J0(xt)dx = ^(1 - L(bt)) +

(L2)

где

/ОО 1

L(x) = /

.'Ж íí

у

1

а для функции (.г;) имеем <?i(0) = -<?' (0),

хд'(х) -д(х) +д(0)

gi(x) = д (ж)

х2

Эта лемма позволяет получить произвольное число членов асимптотического разложения при t —> со для So с достаточно гладкой //(х), учитывающего влияние обоих концов отрезка [0,6]. Разложим функцию L(x). Так как [17] L(0) = 1, то

roo 1 roo 1

¿(ж) = / -J^yjdy = ~ / -dj0(y) =

Jx у Jxу

Jq(X) j-oo 1

roo I i

х •Гх У в частности,

|£(.т)| < Сг3'2.

Используя уравнение Бесселя

Мх) = -4'М -

и интегрируя по частям, получим следующие члены разложения:

Ь{х)

Мх) «Мж) 3 гоо 1

+ -V - "з^о(ж) + 9 / —АМу)йу.

X X1 X6 -¡х У4

Следствие 1.1. Положим = 1, £ = 1, получим, используя указанное разложение для Ь{х).

X

I Му)(1у = Щх) + Ь(х) =

= 1 + ^(х) - ¿/о(ж) - + 0(ж3), X оо.

ж

ж

Следствие 1.2. Если

£ е С2к+,'+1[0,Ь], ¿ = 0,1,

/¿(ж) вместе с ее производными до порядка 2А; + г обращается в нуль при ж = 5, то

+

x2f(x2)Jl(xt)dx

<

С

¿2^+3/2'

Следствие 1.3 Если д(х) £ С3[0,6], то из лемм 1.2 и 1.1 получаем

+Ы - ^ -1 =

+ 0(1/4»/«);

£ £

если дополнительно = </(&) = 0, то

=

з(0) 1/(0)

£ 2 ¿3

+ 0

при Ь —> оо. В частности,

¿3

¿7/2 ; •

1

Следствие 1.4 Если д(х) £ С°°[0,6], = 9к(Ь) = О, Л:

0,1, 2,... , то для любых целых неотрицательных п и к имеем

<%, ¿>0.

го

уо д(х)Зп{хг)йх

Лемма 1.3 Если д(х) £ С3[0,6], д(Ь) — д'(Ъ) = 0, то при £ —»■ оо

п = 1,2,....

В следующей лемме рассматриваются интегралы

5

^ хк/(х)^(х^(1х.

Лемма 1.4. Если

1(х)еск+1{о,ь], /(")(&) = о,п = о,1,...

то

'0 —

Я2к _ —

¿2Л+1

(—1)^ ((2А: — I)!!)2

(/'(0) + 0(^/2)), *>0, (/(0) + 0(Г1/2)).

Лемма 1.5. Если /г(ж) 6 С^О,!], то при £ —оо

^ ■= /о

1 хЫх) т . . , , . . , о/,,

Ех :=/■

70

(1.3)

оценка равномерна по г £ Б на замкнутом множестве Б С Дт, если

д

к — к(х, г) и функция — г) непрерывна по (ж, г) £ [0,1] х I).

1/Х

Укажем также следующие асимптотики при £ оо [35]:

}}^(гху)йхйу = + о (г1),

1 1 1 _ . ч , , , ^ ^(х) - Г1 т ( \ 7

//—и1иху)ахау = 1п£ / —-—ах— -ЛНжшж,

о о XV ->о х -10 х

оо ху

а Ь 1 1

¡¡-^ху)ёх4у = Ь - — + 0(Г2). оо ж

Обратимся к доказательству лемм. Отметим прежде всего, что из оценок

если д{х) £ С[о, 6], непосредственно получаем

J д(х),1п(х1)(1х о

Представим 5о в виде

< С'„± I > 0.

(1.4)

ь 1 ж 50 = / д{х)-й(!(¿^сЫ, о ж о используя известное равенство [17]

х

/X

о *

имеем

Iд(х)Мхг)<1х = - -/(^Уж^^АЕ. (1.5)

Так как «Тц = —-/¡(ж), /0(0) = 1, то

ъ -11 ь

= $ д{х)<1хАо(^)(—) = -~[д(х)^(хЬ)

О Ъ Ъ

ь

- !д'(х)^(хг)<1х],

ж=0

и получаем следующее равенство

гЬ

]0 =

^ - 9^МЫ) + ± 1*д'(х)1оИ^. (1.6)

Доказательстволеммы 1.1. Пусть д{х) 6 С1[а,Ь]. Воспользуемся основным равенством (1.5),

Зо = ^ЫЫ) - \ [Ьд'(х)Мх^х+

I £

+- /о -(д{х) - д(Ъ))^{хЬ)йх + ^ /0 ~Мх^х.

Для первых двух интегралов справедлива оценка (1.4), так как х~1(д(х) — д(0)) £ С[0,Ь]. Для последнего интеграла имеем

гь 1

I /о -Ш)йх-1\ =

У

отсюда следует утверждение леммы для ¿>о

Оценка (1.1) для непосредственно следует из (1.6).

Рассмотрим п > 2. Воспользуемся общим равенством для бесселевых

/

функций

2^Л(ж) = Jn-l{x) - Л+1(х),

следовательно,

2 й

/„(я*) = -

и получаем

2 2 ь

= 5п_2 - -0(Ь)«7П_1(Ь£) + - /0 ^(ж)1(6^¿ж,

мы воспользовались тем, что /„(0) = 0, п > 1. Так как

150-^(0)^1 < С0Г3/2,

и справедливы оценки

то оценка (1.1) для четных п >2 доказана.

Для нечетных п > 1 эта оценка следует аналогичным образом из неравенства

1^1-^(О)Г1! < СХГЪ'\ ¿>0

. Лемма 1.1. доказана.

Доказательстволеммы 1.2. Из уравнения Бесселя получаем

= ж "

подставим в 5о,

Обозначим интегралы в квадратных скобках через 5о1 и ¿02 • Имеем

(1 0 О,

^01 = д(х) — 10(ж£) - Уо д'(х)—^(хЬ)<1х =

йх

-/о '(¡1

= -1д{Ъ)^(Ы) - д'(х)Мх^ + [ д"(х)^(х1)<1х = - д'(0) - д'(Ъ)МЫ) - Ьд(Ь)Л(Ы) + £д"(х)Х мы воспользовались равенствами

Ш = -МУ), ^О(О) = 1, Л(0)=0.

Рассмотрим функцию Н{х), такую что д{х) = д(0) + хк(х), при этом /¿(0) = #'(0), к(х) Е С[0, Ь]. Слагаемое ¿02 записывается следующим образом

гЬ с1 [Ъ 1 (I

5о2 = /0 Нх)—^(хг)<1х + д(0) уо /оМ^ =

= h{b)J0(bt) - д'(0) - / h'(x)J0(xt)dx - tg(0)L(bt).

J о

Подставляя Sqi и Sq2 в So, получим (1.2). Лемма доказана. Доказательство следствий. Следствие 1.1 непосредственно вытекает из леммы 1.2. Обозначим д{х) = xf(x2), пусть

S = J^ xf(x2)jQ(xt)dx,

используя (1.2) получим

n 1 гЬ d'2 dh.

Пусть знак "штрих" обозначает здесь дифференцирование по переменной х2,

-T29-~h = xf(x2)) - ~f(x2) = ~{f{x2) + dx2 dx dx2K K n dx dxK y 1

+2x2f'(x2)) - ~f(x2) = 4xf'(x2) + 4x3f"(x2).

Обозначим

/1(х2)=4/'(х2)+4х2У(х%

имеем

1 гЬ

5 = "75/о Х^{х2)^{х1)йх

¿2

Функция /\(х2) обладает теми же свойствами, что и /(ж2) - зависит от ¿к

х2 и = О У к > 0, следовательно,

1 гЬ — 1 гЬ

где /2(ж2) определяется по следующей формуле при п = 1 -

Продолжая реккурентно, имеем

^ - 10Ь хЬ(х2)Мх^х = (1.8)

Последняя оценка имеет место вследствие (1.5), Е С^О,^]. Используя (1.6), аналогично доказывается, что

1^х2/(х2)^(х^х = 0(Г^+3/2)) £ оо.

Доказательство леммы 1.3 Пусть сначала п = 1,

З^) := ^ хд{х)1\(х£)йх = — -^ хд{х)<и§(х1) —

б

к К ^ у ) ь2 '

Рассмотрим теперь п = 2. Воспользуемся равенством 2/^(х) Л_1(ж) - /п+1(я), откуда

2 с1

= /оМ - ^ ¿¡У1^)'

и мы имеем, используя следствие 1.3,

1 Гь

^(О = У0 хд(х) д'{ о)

Г , N 2 (I т . /

Мхч -

йх =

*«>) / 1

£

¿3/2

¿3 ' ~ \£7/2/ t

Общий случай докажем по индукции. Пусть утверждение леммы выполняется для п — 1 и п (для п = 1, п = 2 это доказано), покажем, что оно выполняется и для п + 1,

М = /0 хд(х)^+1(х^х = 1о хд(х)

2 /

¿х = -

(од)' </п(ж£)сЫ =

2 (1 т , ч

¿2

(п- 1)^ + 0 1^1 +т

1 \ 2 ^(0) + 0 ( 1

¿3/2

,¿5/2; 1 £ \ £ лемма доказана.

Доказательстволеммы 1.4.

Обозначим /р(х) = /(х). Используя равенство 1.5 и лемму 1.1, имеем

гЬ

йоШ ■= /0 х'/р(х)МхЬ)<1х =

1=6 У*(хр-*/р)'хА(хЬ)<1х = - 1*(х{х'-1/р)'УМх$<1х

£2

где

/р_2(ж) = /р(ж) 4-

2р-1 ,,

(р-1)2 р

ж

ж /^ж

(Р - 1):

г/Л*);

1

следовательно, /р_2(0) = /р(0), и имеют место равенства

Ш) = -¿(р - 1)25Ги-2)-

Продолжая рекурентно пор и используя (1.1) для четныхр = 2к, имеем

Ш) = = фъ -1 ПР - з)я^гг*(/р_4) =

= ^-(Р - !)2(р - З)2... 1 ¡*х>-иМх)Мхг)с1х =

для этого достаточно, чтобы fv Е С2*+1[0,6], '/^"'ЦЬ) = 0, т = 0,1,..., 2& — 1.

Для нечетных р = 2к + 1 получаем

БШр) = ^(2Л:)25Г2(/р_2) = (^)2(2А:)2(2А; - 2)2бГ4(Л-4) =

= ^-[2к(2к-2)...2}'310(/1). Рассмотрим 5,3, используя полученные равенства, имеем

^оЧ/О = ^ £шмхг)<1х = -1(/;(0) +

Так как

Л(о) = (|)2Л(о) = =

то подставляя в и ¿о, получаем утверждение леммы для нечетных р = 2к + 1. Лемма доказана.

Замечани�