автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование диссипативных процессов на основе асимптотических и операторных методов

На правах рукописи

Математическое моделирование диссипативных процессов на основе асимптотических и операторных методов

Специальность: 05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Самара-2004

Работа выполнена в Ростовском государственном университете путей сообщения

Научный консультант:

академик РАН В.И. Колесников

Официальные оппоненты:

заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Покорный

заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор В.И. Юдович

доктор физико-математических наук, профессор В.П. Радченко

Ведущая организация:

Институт математического моделирования РАН (г. Москва)

Защита диссертации состоится 12 ноября 2004 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.05 при Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С. П. Королева по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного аэрокосмического университета.

Автореферат разослан 10 сентября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

А. А. Калентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В настоящее время диссипативные системы получили самое широкое распространение в различных сферах науки и отраслях техники. В обиход прочно вошел термин «синергетика» как определение специфической синтетической области познания. Не вдаваясь в детали его строгой расшифровки, отметим только, что исследуемые синергетикой системы, как правило, являются диссипативными. Сказанное, безусловно, свидетельствует в пользу актуальности тематики диссертационной работы.

Типичным примером диссипативных систем являются трибосисте-мы. Прогресс современной техники связан с интенсификацией рабочих процессов узлов трения и соответствующим повышением их тепловой напряженности. Проблема снижения тепловой напряженности особенно остро ощущается в меташюполимерных сопряжениях. В реальных узлах трения весьма часто приходится сталкиваться с присутствием отрицательного температурного градиента, когда максимальная температура находится внутри объема трущихся тел. Сложность проблемы еще и в том, что объемы тела, активно участвующие в процессах трения, чрезвычайно малы. А.Ю. Ишлинский отмечает, что нет цельного представления о микромеханизмах процессов, протекающих в поверхностном слое. Наши знания ограничиваются гипотезами о проявлении эффектов пластифицирования и охрупчивания, сформулированными П.А. Ребиндером.

Выяснение особенностей поведения поверхностных слоев металло-полимерного трибоконтакта - одна из центральных задач в триботехнике. Поэтому для более глубокого знания процессов на контакте необходимо разработать не только методы диагностики, но и более полные теоретические модели, специфическое назначение которых, с одной стороны, учитывать изменения, происходящие в объеме и в пограничном слое, а, с другой - приводить к простым инженерным расчетам. Разработка такого метода и составляет одну из задач, решаемых в первой главе диссертации.

Однако знание температурного поля в узле трения и констатация фактов его влияния на физико-механические и трибологические характеристики пластмасс не дают ответа на круг вопросов, которыми озадачены исследователи-трибологи. Необходимо определить механизм этого влияния и найти математически точные или приближенные инженерные описания элементарных фрикционных актов, вытекающих, в первую очередь, из специфики полимерных материалов - их способности генерировать при трении активные продукты деструкции и накапливать электрические заряды. Наличие температурного градиента в трибосопряжении приводит к градиенту механических свойств и развитию диффузионных, трибоэлек-трических и трибохимических процессов в зоне рикционного контакта.

На основе анализа существующих теоретических представлений и экспериментальных данных в области исследования термического трибо-контакта установлено, что не только температура, но и температурный градиент является ключевой характеристикой металлополимерной трибо-системы.

В работе предложен метод расчета температурного поля в металло-полимерных трибосистемах, базирующийся, в отличие от известных, на теории регуляризации сингулярных возмущенных задач, позволивший исследовать характер изменения температуры и температурного градиента в пограничной области фрикционного контакта в зависимости от режимов и характера работы узла трения с учетом изменений свойств материала в поверхностном слое и смены граничных условий. Такой подход к исследованию термического контакта в теории трения и износа предпринят впервые нами совместно с В.И. Колесниковым, и его достоверность подтверждена экспериментально путем принципиально нового метода диагностики температурного поля с применением поверхностных акустических волн Рэлея.

Следует отметить, что в проведенных экспериментах материал предполагался идеально упругим. В действительности же все металлы обладают свойством внутреннего трения. Последнее можно имитировать введением соответствующего коэффициента вязкости, рассматривая модель Кельвина-Фойгта. На практике, как показано в третьей главе диссертационной работе, это может привести к тому, что рэлеевские волны либо вообще не будут возбуждаться гармоническим волнопродуктором, либо дойдут до волноприемника с чрезвычайно малыми амплитудами, сопоставимыми с точностью измерительной аппаратуры.

Для фрикционных материалов основным критерием исключения .повышенного износа и переноса металла на сопряженную поверхность является снижение степени наводороживания металлического контртела путем создания оптимального температурного градиента и положительной три-бозарядки на нем.

Началом систематического изучения термического контакта при трении материалов можно считать выход в свет работ Боудена и Ридлер. Дальнейший вклад в решение проблемы внесли Блок и Иегер, Р. Хольм, М.П. Левицкий, Линг и Сейбл, Арчард, Дайсон, Г.А. Фазекас, М.В. Ко-ровчинский, Л.В. Янковская, B.C. Щедров.

Особенно следует отметить работу А.В. Чичинадзе, который изучил температурные режимы тормозных устройств при трении с применением введенного им параметра-коэффициента взаимного перекрытия и разработанных уравнений тепловой динамики трения.

В настоящее время большинство работ советских и зарубежных специалистов в области термического трибоконтакта посвящено определению температурного поля тонкослойных покрытий узлов трения и многослойных трибосистем при стационарном и нестационарном нагружении, а также при высоких скоростях скольжения.

Так, В.А. Кудинов на основе анализа исследований деформации поверхностных слоев трущихся тел пришел к заключению, что максимальное значение температуры при трении имеет место не на поверхности трения, а на расстоянии, равном половине деформируемого слоя трущейся пары. Существующие методы теплового расчета не позволяют, однако, определить характер изменения температурного поля в тонких поверхностных слоях трибоконтакта с учетом изменений свойств последнего. Кроме того, из анализа работ по расчету температурного поля скользящего контакта можно заключить, что все они выполнены с некоторыми приближениями в постановке граничных условий. Это обусловлено, прежде всего, непростой геометрией фрикционных сопряжений и неполным взаимным перекрытием рабочих поверхностей.

В определяющей четкий план действий при математическом моделировании какого-либо объекта или процесса триаде «модель - алгоритм -программа» под вторым этапом подразумевается, прежде всего, выбор алгоритма для расчета на ЭВМ, иными словами представление модели в виде, удобном для применения численных методов. Между тем наличие широких возможностей, представляемых современными численными методами, не умаляет роли асимптотических методов решения уравнений изучаемой модели. Эффективность асимптотических подходов к решению уравнений, описывающих процессы в различных областях физики, биологии, экономики и т.д. продемонстрирована огромным количеством исследованных задач, имеющих значительную теоретическую и прикладную ценность. Асимптотический подход, основанный на сегодняшний день на широкой палитре методов теории регулярных и сингулярных возмущений, играет фактически роль методологического принципа, позволяющего говорить об «асимптотическом мышлении», способствующем углублешюму пониманию и декомпозиции сложных систем, формированию новых понятий и выявлению иерархических связей между физическими теориями (моделями) различного уровня. Универсальность асимптотических явлений, возможность единых подходов вне зависимости от принадлежности явления той или иной области естествознания оправдывает введение по предложению М. Крускала термина «асимптотология».

Заметим также, что и применение численных методов к решению сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (в контексте настоящей диссертационной работы под последними понимаются уравнения с малым параметром при старших производных или их части, в последнем случае иногда говорят, что малый параметр разделяет старшие производные) требует предварительного асимптотического анализа для построения устойчивых алгоритмов. Более того, даже при наличии точных решений, содержащих естественные большие или малые параметры, но являющихся громоздкими и малообозримыми, переход к их асимптотическому представлению оказывается весьма полезным. Здесь речь идет о так называемом инженерном характере представляемых результатов, когда в понятие "инженерный" включается сочетание необходимой точности с простотой

окончательных расчетных формул, дающих возможность делать непосредственные качественные выводы о зависимости решения от физических параметров. Примечание существенно в ситуациях, когда «прогонка» прямого численного либо точного решения требует больших затрат машинного времени, не совместимых с реальной практической ценностью задачи.

Целью диссертационной работы является:

• разработка единого подхода к модельным задачам теплопроводности твердых тел типа тонких дисков на основе современного метода регуляризации сингулярных возмущений;

• качественное и количественное моделирование процесса одномерной диффузии газа в металле на базе полного уравнения стационарной и нестационарной диффузии, учитывающего факторы термо- и электропереноса, восходящей диффузии и концентрационного расширения;

• включение модельных задач о колебаниях вязкоупругих тел (стержней, слоя) в рамки теории самосопряженных квадратичных операторных пучков с получением соответствующих новых выводов, касающихся, прежде всего, диссипативных свойств' модели. Решение задачи УГД-смазки с рабочим телом максвелловского типа;

• решение на основе строгой математической модели линейных задач о свободных гравитационных колебаниях диссипативной системы, которой является однородная вязкая жидкость бесконечной электрической проводимости в горизонтальных магнитных полях;

• математическое моделирование линейных волновых процессов для невязкой гравитирующей жидкости при наличии кусочно постоянных или линейно стратифицированных магнитных полей, для которой роль дис-сипативного фактора играет конечная электрическая проводимость.

Методология исследований базируется на фундаментальных принципах теории математического моделирования, разработанных А.Н. Тихоновым, А.А. Самарским и другими выдающимися специалистами в области прикладной математики.

Математические методы. В работе использован разнообразный математический аппарат, включающий в себя теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, в том числе и неклассического типа, точных методов их анализа, современных асимптотических (преимущественно метода регуляризации сингулярных возмущений) и численных методов их решения с приведением в большинстве случаев необходимых обоснований; методы функционального анализа, в особенности спектральной теории операторов; апробированные системы программирования и прошедшие тестирование авторские программы.

Научная новизна.

Разработка методики приложения метода регуляризации сингулярных возмущений С.А. Ломова применително к расчету температурного поля тонких цилиндрических дисков в стационарном и периодическом случаях для различных режимов теплоотдачи с торцевых поверхностей.

Построение регуляризовашюго асимптотического разложения решения смешанной периодической краевой задачи для уравнения теплопроводности при торможении колеса бандажными колодками, выявляющего наличие отрицательных подповерхностных радиальных проекций температурного градиента.

Сведение проблемы наличия концентрационного максимума при одномерной диффузии газа в металле с учетом эффектов термо- и электропереноса, «восходящей диффузии», явлений термического и концентрационного расширений к вопросу наличия точки поворота у пространственного оператора диффузии.

Доказательство стабильности спектра указанного оператора и нахождение регуляризованных асимптотик для альтернативного уравнения диффузии. Новым результатом является доказательство асимптотической устойчивости в целом положения равновесия в поверхностной реакции химической кинетики типа Михаэлиса-Ментен и построение асимптотического разложения решения методом С.А. Ломова.

Новый подход к задачам о колебаниях вязкоупругого слоя и о продольных и поперечных колебаниях вязкоупругих стержней из материала Кельвина-Фойгта с сосредоточенными массами состоит в систематическом применении теории самосопряженных квадратичных операторных пучков, нахождении достаточных условий сильной демпфированности и иных общих свойств спектра колебаний.

В области упругогидродинамической теории смазки новыми являются асимптотические формулы для эпюры давления, получаемой из уравнения Рейнольдса в винклеровском приближении в конечной области контакта, а также доказательство теоремы об отсутствии второго пика давления при «классической» постановке задачи в приближении Буссинеска. Элементы новизны содержатся в постановке задачи об УГД-контакте в линейной и нелинейной типа Эйринга моделях с максвелловской вязкоупругой смазкой, для которых впервые найдены регуляризованные асимптотики.

Сформулирована математическая модель, описывающая свободные гравитационные МГД-волны в вязкой жидкости бесконечной электрической проводимости при наличии горизонтального магнитного поля.

Применение теории квадратичных операторных пучков, асимптотических и численных методов впервые позволило построить полную картину спектра колебаний. В случае наличия плотностной стратификации установлен эффект стабилизирующего воздействия наложения горизонтального магнитного поля на намагничивающуюся вязкую жидкость.

Разработана и математическая модель для собственных МГД-колебаний тяжелой невязкой жидкости конечной электропроводности, на-

холящейся под воздействием горизонтального магнитного поля. Особого внимания при этом заслуживает случай его переменности по глубине. Показано, что в математическом аспекте задача вписывается в теорию голоморфных операторных пучков. Выведено общее уравнение баланса энергии, доказаны теоремы о диссипации. Применение асимптотических методов и проведение численных расчетов по авторским программам дало детальное описание спектра, позволившее произвести ранее не приводившуюся классификацию волновых режимов (мод). В случае линейной стратификации магнитного поля, наложенного на жидкость, установлен любопытный факт появления при определенных комбинациях параметров и при малых магнитных числах Рейнольдса неустойчивых волновых мод.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Применение и адаптация к стационарным и периодическим задачам теплопроводности тонких цилиндрических тел (дисков, колец) современного метода регуляризации сингулярных возмущений.

• В случае стационарных задач получение новых асимптотических разложений для различных типов граничных условий на торцах, учитывающих с практической точки зрения степень их загрязнения.

• Решение смешанной периодической задачи о торможении дискового колеса бандажными колодками при равномерном его вращении. Получение нетривиального результата о наличии за пределами колодки подповерхностного максимума температуры в осевом сечении при соблюдении в целом принципа максимума.

2. Исследование модельной задачи об одномерной диффузии газа в металле на основе «альтернативного» уравнения диффузии.

• Доказательство теоремы о стабильности спектра при любых слагаемых дрейфовой составляющей полного диффузионного потока. Применение к анализу указанного уравнения метода С.А. Ломова в задачах с одной и двумя «вязкими» границами. Исследование указанным методом эффекта концентрационного расширения в стационарном случае.

• Доказательство непосредственной связи концентрационных экстремумов с точками поворота пространственного оператора диффузии с переносом. Подтверждение этого факта сравнением с опытными данными.

• Новое решение задачи химической кинетики типа Михаэлиса-Ментен методом регуляризации сингулярных возмущений, позволяющее определить максимум концентрации продукта реакции и время его достижения.

3. Исследование модельных задач для вязкоупругих систем из материалов Кельвина-Фойгта и Максвелла.

• Вывод на основе теории самосопряженных квадратичных операторных пучков достаточного условия отсутствия колебательных мод в слое из материала Кельвина-Фойгта.

• Решение нелинейной задачи о демпфере сухого трения с вязкоупру-гим элементом с использованием техники биортогональных разложений.

• Решение задач о продольных колебаниях цилиндрических вязкоупругих стержней с переменным по времени внутренним радиусом1 (применительно к задачам о горении твердотопливного заряда).

• Доказательство теоремы о единственности пика давления для уравнения Рейнольдса в приближении Буссинеска с граничными условиями Свифта-Стибера и Прандтля-Хопкинса.

• Построение математической модели теории квазистационарного УГД-контакта на основе уравнений равновесия сплошной среды без учета сил инерции. Решение полученных уравнений методом регуляризации сингулярных возмущений для линейной модели и нелинейной типа Эйринга.

4. Построение для диссипативной среды, которой является тяжелая однородная вязкая несжимаемая жидкость бесконечной электрической проводимости, на которую наложено горизонтальное магнитное поле, строгой в математическом плане модели.

• Детальное исследование задачи Ламба (о волнах в жидкости бесконечной глубины, граничащей с вакуумом).

• Сведение задачи о длинных волнах, в том числе и при наличии плотностной стратификации, и переменности магнитного поля по глубине к самосопряженному квадратичному операторному пучку. Анализ поведения спектра численными и асимптотическими методами на основе точного дисперсионного уравнения.

• Имеющая прикладной интерес задача о свободных колебаниях двухлойной жидкости, одна из которых обладает свойством на-магничиваемости.

5. Формулировка математической модели для системы, в которой источником диссипации является конечная электрическая проводимость среды, а молекулярная вязкость равна нулю. В остальном сохраняются условия из п.4.

• Подробное изучение задачи Ламба с магнитной вязкостью.

• Доказательство теоремы о диссипации для длинных волн.

• Детальное численное и асимптотическое исследование точного дисперсионного уравнения, проведение классификации волновых режимов.

• Формулировка задачи о свободных длинных волнах в случае, когда напряженность магнитного поля в жидкости линейно меняется по глубине. Численный анализ полученной спектральной задачи на основе авторских программ. Построение асимптотик, по-

зволяющих провести сравнение с данными численных экспериментов.

• Вывод дисперсионного уравнения для волн произвольной длины в постоянном магнитном поле и его численный анализ.

Достоверность результатов. Достоверность изложенных в работе результатов и адекватность приведенных в ней математических моделей обеспечиваются строгостью применения математического аппарата. Критериями достоверности могут служить и наличие предельных переходов к ранее известным частным случаям, и сопоставление с исследованиями, проведенными другими авторами иными способами, и совпадение результатов непосредственных численных расчетов с численными данными, полученными из асимптотических формул. В целом, все приведенные в диссертации факты не противоречат общепринятым на сегодняшний день физическим представлениям о природе изучаемых процессов. В отдельных случаях оказалось возможным сравнить результаты с данными экспериментов и натурных наблюдений, получено удовлетворительное количественное либо качественное совпадение.

Реализация результатов. Разработанная методика расчета температурного поля колеса при торможении бандажными колодками с неполным охватом, объясняющая вызванный водородным износом эффект «намазывания» применяется на Северо-Кавказской железной дороге, что подтверждено соответствующим актом внедрения. Результаты главы III по продольным колебаниям вязкоупругих стержней и ряд материалов из публикаций по теме диссертации используются в учебном процессе в РВИ РВСН и РГУ, соответственно.

Апробация работы. Различные составные части диссертационной работы докладывались на съездах, конференциях, школах: VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.); IV Европейский Конгресс по нелинейным колебаниям (Москва, 2002 г.); Евроколлоквиум 434 по механике контактного взаимодействия (Москва, 2002 г.); Первая Международная конференция «Энергодиагностика» (Москва, 1995 г.); Международная конференция ИНПРИМ - 98 (Новосибирск, 1998 г.); Всероссийская конференция ТРИБЭНЕРГ - 98 (Москва, 1998 г.); XVII Международная конференция «Математические модели в МСС» BEM@FEM (С. - Петербург, 1999 г.); XIV Международная конференция «Современные проблемы МСС» (Ростов - на - Дону, 1999 г.); VIII Международный семинар «Современные методы и средства неразрушаемого контроля и технической диагностики» (Ялта, 2000 г.); Первая Международная конференция «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике» (Ростов-на-Дону, 2001 г.); Ш Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 1998 г.); Первая и Вторая Международные конференции «Актуальные проблемы развития железнодорожного транспорта (Ростов-на-Дону, 1998, 2000 гг.); II,III Всероссийские симпозиумы по промышленной и прикладной математике (2001,2002, 2003 г.г.); Международный

Симпозиум «О природе трения твердых тел» (Гомель, 2002); V Международная научно-техническая конференция «Новые технологии управления движением технических объектов» (Новочеркасск, 2002 г.); XI, XII, XIII Пермские зимние математические школы с международным участием (Пермь, 1997, 1999, 2003 гг.); Воронежские ВМШ - «Понтрягинские чтения» (Воронеж, 1993, 1998, 1999, 2001, 2002, 2003, 2004 гг.); Международная школа - семинар «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002 г.); VIII Всероссийская школа - семинар «Современные проблемы математического моделирования» (Новороссийск, 1999 г.); VI, VIII, IX, XI, XIII Межвузовские и Всероссйская конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1996, 1998, 1999, 2001, 2003, 2004 гг.); Юбилейная межвузовская научно-техническая конференция Ростовского военного института ракетных войск СН (Ростов-на-Дону, 2001 г.); III Международный семинар по возобновляемым источникам энергии (АНДР, г. Тлемсен, 1989 г.); V Республиканская конференция по обыкновенным дифференциальным уравнениям (АНДР, г. Аннаба, 1989 г.); IV Международный аэрокосмический конгресс (Москва,

август 2003 г.); Международный конгресс МЕХТРИБОТРАНС -2003 (Ростов н/Д); Международная конференция ММТТ - 2003 (Ростов н/Д, Санкт-Петербург, Москва); Международная конференция «Современные проблемы тепловой конвекции» (Пермь, 2003 г.); семинарах, совещаниях: кафедра гидромеханики МГУ (1984, рук. проф. Н.Р. Сибгатуллин); семинар им. Л.А. Галина ИПМ РАН (1985, 1998, рук. проф. В.М. Александров); семинар НИИМ и ПМ РГУ (1997, рук. акад. РАН И.И. Ворович); семинар «Математические проблемы механики сплошных сред» кафедры ВМ и МФ РГУ (1999, 2001, 2003, рук. проф. В.И. Юдович); семинар кафедры теоретической гидроаэромеханики РГУ (рук. д.т.н., проф. А.И. Снопов); семинар кафедры дифференциальных и интегральных уравнений РГУ (рук. д.ф.-м.н., проф. Н.К.Карапетянц); семинар отдела математического моделирования физических процессов ИММ РАН (рук. проф. Е.И. Леванов); объединенный семинар РГУ ПС (1998,1999, рук. чл.-корр. РАН В.И. Колесников); доклад на совещании по координации совместных проектов ИПМ РАН и РГУ ПС (с участием акад. РАН Д.М. Климова); представление материалов диссертации в докладе член-корр. РАН В.И. Колесникова на заседании секции механики ОПММПУ РАН (председатель акад. РАН Д.М. Климов); семинар кафедры математического моделирования КубГУ (2004, рук. акад. РАН, д. ф.-м. н. В.А.Бабешко); представление материалов диссертации в докладе на НТС Самарского государственного аэкосмического университета (июнь 2004, рук. чл.-корр. РАН В.А Сойфер); семинар института электроники университетского центра г.Сетифа (1989, АНДР, рук. - координатор центра д-р Абдельхафид Хелаф).

В 1981-85г.г. в качестве ответственного исполнителя работал над выполнением хоздоговорных работ по важнейшей тематике в рамках Межведомственного проекта «Волна» ГКНТ при Совмине СССР. Получал годичный грант МПС РФ. В настоящее время выполняются исследования по

Федеральной целевой программе «Интеграция науки и высшего образования России 2002-2006» по контракту «Трибология, современные технологии повышения ресурса работы подвижного состава и пути, улучшение экологии на железнодорожном транспорте» № 30371/1377. Участие в открытой НИР «Рымник» №162/НИО РВИ РВСН им. Главного маршала артиллерии М.И. Неделина.

Публикации. Результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 106 научных статьях, из которых 68 включены в автореферат. Примечание. Результаты опубликованных по теме диссертации работ вошли в следующие монографии других авторов:

1. Черкесов Л.В.. Гидродинамика волн. - Киев: «Наукова думка», 1980. -Гл. 10 «Влияние вязкости и горизонтальной диффузии плотности на внутренние волны в непрерывно стратифицированном море», § 10.1, § 10.2: с. 221-242.

2. Евдокимов Ю.А., Колесников В.И., Подрезов С.А. Тепловая задача ме-таллополимерных трибосопряжений. - Ростов н/Д.: изд. РГУ, 1987. Гл. 4 «Применение асимптотических методов для исследования двумерных задач теплопроводности»: с. 67-132.

3. Колесников В.И. Теплофизические процессы в металлополимерных трибосистемах. - М.: Наука. 2003. - 279 с. Гл. 2 «Определение температурного поля в погранслоях металлополимерной трибосистемы»: с. 32- 82.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка использованных источников и трех приложений. Общий объем текста составляет 297 страниц, включая 55 рисунков и 4 таблицы. Перечень литературы составляет 358 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность разработки и анализа математических моделей диссипативных систем. Речь идет о триботехниче-ских системах, диффузионных процессах, вязкоупругих телах, о магнито-гидродинамических волнах в вязкой жидкости бесконечной электрической проводимости, либо в невязкой жидкости, но конечной электропроводности. Изложено краткое содержание диссертации с описанием основных ее результатов. Сформулированы цели и задачи исследования, дана характеристика применяемого математического аппарата, а также основные положения работы, выносимые на защиту.

Всем главам предшествует краткий обзор по излагаемым в них проблемам и по их содержанию.

Глава 1 «Применение метода регуляризации сингулярных возмущений в модельных задачах стационарной теплопроводности для тонких цилиндрических тел» посвящена систематическому применению

метода регуляризации сингулярных возмущений к задачам стационарной и

нестационарной (периодической) теплопроводности для твердых тел типа тонких дисков и колец, моделирующим процессы торможения колес. Следует отметить, что в основополагающей монографии С.А Ломова (1981) метод регуляризации применительно к эллиптическим задачам в областях с угловыми точками детально не разработан, а представлен лишь одним примером из области магниторазведки для прямоугольника. По этой причине даже первая часть главы, посвященная стационарным задачам, содержит ряд новых результатов по сравнению, например, с работой И.Е. Зино и Э.А. Троппа (1978), в которой аналогичные задачи решались методом Вишика-Люстерника. В особенности это касается неоднородных задач с внутренним релаксационным источником, условно моделирующем выделение тепла при трении в процессе деформации бандажными колодками с полным охватом. Кроме того, рассмотрены три типа краевых условий на торцах, что соответствует различным степеням их загрязнения. Для характерного примера формулируется теорема о том, что формальное асимптотическое разложение в соответствующей шкале является асимптотически сходящимся. При асимптотическом решении методом С.А. Ломова периодической по времени задачи с импульсным тепловым потоком «пилообразной» формы в предположении о симметрии задачи относительно серединной плоскости, являющейся частью параболической границы области, выявлен эффект появления на ней близко расположенного к поверхности катания подповерхностного температурного максимума. Иными словами, это означает наличие отрицательного температурного градиента, существенно влияющего, как известно, на снижение износостойкости колеса.

Наиболее интересный, на наш взгляд, результат получен во второй части работы для модельной задачи о торможении равномерно вращающегося колеса двумя бандажными колодками с неполным углом охвата. Речь идет о типичной смешанной краевой задаче со сменой типа граничных условий на поверхности катания. Заметим, что, как и в упоминавшемся ранее случае, на торцевых плоскостях рассмотрены три типа краевых условий, условно названных нами случаями сильного, среднего и слабого загрязнения торцов. Применение метода регуляризации сингулярных возмущений в комбинации с техникой решения смешанных задач механики сплошных сред, развитой И.И. Воровичем, В.А Бабешко, В.М. Александровым и их учениками (как ни странно, на наш взгляд, не нашедшей применения, по имеющимся у нас сведениям, в задачах теплопроводности твердых тел), позволило получить достаточно обозримые аналитические формулы, удобные для физической интерпретации. Стоит сказать о том, что в случае, так называемого, «среднего» загрязнения, когда появляется малый параметр где есть отношение толщины колеса к его радиусу. Процедура метода регуляризации в чистом виде не проходит и требует введения дополнительной «растянутой» переменной, названной М. Ван-Дайком рационализирующей переменной. Мы не загромождали описание первой главы написанием хорошо известных уравнений в сопровождении весьма

громоздких выкладок, но окончательный результат по второй части приведем в виде таблицы и характерных графиков.

Таблица 1

Теплоотдача: в/. Та(г$,в)

Сильная А

Средняя • сА

Слабая егА «0 + ^/^)71

Здесь В11 - критерий Био, характеризующий теплоотдачу с торцов; А - величина, порядка единицы; То(г,0,в) - главный член асимптотики температурной функции на серединной плоскости г=0; в = <р — 1, <р - полярная координата, I - безразмерное время; - стационарная составляющая

температурного поля; Т^^О) , соответственно, нестационарная. Любопытно, что Т^^г^в) - одна и та же для всех трех указанных случаев. Интерес представляет график который мы возьмем для случая

В1=Ае.

Рис. 1.График температурной функции (г,0,0) Рис. 2. Пространственный график для различных значений 9 = р-1, 7^(г,0,6)

Оба графика наглядно демонстрируют выполнение принципа максимума, как видно, наибольшее значение температуры достигается в единственной

точке под колодкой (кстати, угол охвата колодки Наличие же

подповерхностного температурного максимума имеет место лишь в некоторых осевых сечениях, или же обращается под поверхностью в нуль радиальная проекция температурного градиента.

Глава 2 «Математическое моделирование и асимптотический анализ процесса диффузии газа в металле с учетом эффектов переноса».

С явлениями неравномерности температурного поля и поля напряжений в элементах трибосопряжений, с их электризацией в процессе трения тесно связаны диффузионные процессы газа в металле. Упомянем, в частности, известный феномен водородного износа (Гаркунов, 1985, 1999), Результатом компилятивной и авторской работы с монографиями Ландау и Лифшица (1959), Любова (1969, 1985), Гертрикина и Дехтяра (1960) Але-фельда и Фелькля (1981), Фромма и Гебхардта (1980) позволило записать обобщенное (альтернативное по Райченко, 1981) уравнение нестационарной одномерной диффузии в виде

(О

где с - концетрация (атомное отношение), Б - коэффициент диффузии, выбираемый, как правило, по известному закону Аррениуса,

к = 1 +

1 2 Е

асс(х,1), Т(х^) - температурная функция, Е - модуль Юн-

кБТ\~у

га, V- коэффициент Пуассона, ас - коэффициент концентрационного расширения, положительный при диффузии внедрения и отрицательный в «экзотическом» случае диффузии замещения, - постоянная Больцмана. Эффективным коэффициентом диффузии называется = Бкс.

(2)

где - теплота переноса, 2' - эффективный заряд, Ф - потенциал внешнего электрического поля, Р - компонент шарового дипольно-упругого тензора, - первый инвариант тензора внешних (структурных) напряжений, ат - коэффициент температурного расширения.

Первое слагаемое в фигурных скобках в (1) характеризует, так называемый, диффузионный перенос а второе - дрейфовый ( ). Функцию естественно назвать функцией мобильности. Краевые условия для (1) формулируются в зависимости от физического смысла. Это может быть задание концентрации на конце, задание на нем полного потока (при конец - массоизолирован) или, наконец, условие диффузии через тонкую накладку (Подстригач и др.). В последнем случае в граничное условие войдет производная и краевая задача примет неклассический характер. Многочисленные эксперименты показывают, что относительная величина (о^ - не превосходит долей процента и лишь в одном известном экстремальном случае достигает 7 %. Это позволяет считать Dt¡[ = то есть линеаризовать уравнение (1). Нелинейность сохранена нами только в стационарном случае, специально посвященном исследованию влияния эффекта концентрационного расширения.

В параграфе 2.1 решена модельная задача для частного случая т(х,1)з:оп$1 с краевыми условиями типа Дирихле. Реализация метода Фурье потребовала применения техники биортогональных разложений, что в последующем обобщается и на общий случай.

В параграфе 2.2 рассматривается следующий вариант уравнения (1):

д1 дх

».О]

+ т(х,1) , £«1, х е [0;1]

(3)

при произвольных комбинациях названных выше краевых условий. Задача (3) названа С.А. Ломовым задачей с одним «вязким» пограничным слоем, расположенным, естественно, на оси времени.

Доказана теорема о том, что спектр несамосопряженного оператора Ь стабилен, то есть счетен и расположен на отрицательной вещественной оси при любых достаточно гладких т(х,1), где /, понятно, фиксировано. Устанавливается ортогональность собственных функций оператора Ь и сопряженного к нему оператора ¿\ Более того, найдена явная связь между ними. Заметим, что в случае диффузии через тонкую накладку ортогональность имеет место в "нагруженной" (по Тихонову и Самарскому) метрике. Далее построена асимптотика по методу регуляризации сингулярных возмущений.

В 2.3 рассмотрен периодический диффузионный процесс

д1 1ас2 а* к'v 1

хе

м

(4)

с краевыми условиями первого рода

с(0,0=с.(0. с0.0=с,(0

при выполнении требования 2п- периодичности:

Задача названа С.А. Ломовым задачей с двумя «вязкими» пограничными слоями в окрестности точек х=0 и х-1. Заметим, что при постановке усло-

вия Коши оператор Н = ^ не имеет спектра, и остается открытым вопрос

о том, что же отвечает за регулярность разложения. При условии периодичности стабильный спектр легко находится (содержит, правда, нулевую точку, что не противоречит условию стабильности). Техника метода несколько модифицируется по сравнению с примером, приведенным С.А. Ломовым (1981), и строится регуляризованная асимптотика задачи (4). Следующая задача формулируется так

при условии

где xlp - типичная точка поворота (turning point) в смысле определения, приведенного в монографиях М.В. Федорюка (1983), P. Lagerstrom (1988), W. Wasov (1985). Асимптотика построена адаптацией метода, развитого в книге В.Г. Бабского, М.Ю. Жукова, В.И. Юдовича (1983).

В плане исследований влияния эффекта концентрационного расширения методом регуляризации сингулярных возмущений решена следующая нелинейная стационарная задача

de , у(х-хЛ

dx 1+ß(x)c

-+

(6)

2 p l-2v

a.

где

Расчеты по полученным формулам показали, что концентрационный максимум достигается в точке поворота. Эффект концентрационного расширения приводит к некоторому его уменьшению и «размыванию» (к увеличению и обострению при концентрационном сжатии, когда ас < 0).

Для качественной проверки адекватности предлагаемой в диссертации модели в параграфе 2.4 рассмотрена задача, интерпретирующая опытные данные по диффузии кислорода в тантале, и проведен вычислительный эксперимент. Исходной является система из осредненного по толщине ленты уравнения теплопроводности и одномерного уравнения диффузии

(7)

где jj - малый безразмерный параметр, т(x,t) = тТ + mt + md, при этом Q'(J) Т' eZ\T)(lj Т'\ 2Р \-2v Т'

ксТя 1 -V тТ

Г

\T)(lj ГЛ _

"■s's v" ■* / "s'a

Рассматривались два случая нагрева ленты переменным и постоянным током j. Вид функции mt говорит о том, что в дополнение к (2) учитывается еще и термоэлектрический эффект, обнаруживаемый экспериментально (см. Фромм, Гебхардт, 1980), а, - коэффициент Зеебека. Порядок параметров fin £ таков, что установление температурного поля происходит гораздо быстрее, чем диффузионного. По этой причине в уравнение диффузии подставляется стационарная температурная функция. Теплота переноса Q'(T)vl эффективный заряд Z'(T) интерполируются по таблицам, зависимость ccs(T) выбирается степенной. Далее задача решается методом регуляризации сингулярных возмущений. Результаты расчетов квазистационарной части решений приведены на двух графиках рис.3.

Сравнение с экспериментальными кривыми, приведенными в упомянутой монографии, демонстрирует очень хорошее качественное совпадение. В любом случае точными значениями физических параметров, при

которых проводились опыты, мы не располагаем. Примечательно, что на первом рисунке видно наличие трех точек поворота, а на втором - двух.

Рис. 3 а) - случай переменного тока, Ь) - случай постоянного тока

Пример функции t(x) с ярко выраженным концентрационным максимумом приведен еще Barrer (1941). В проведенных Г.П. Шпеньковым (1991) экспериментах был установлен факт совпадения концентрационного максимума с температурным. Безусловно верный в частном случае термодиффузии вывод получал, порой, излишне широкую трактовку. Проведенные нами исследования позволяют сделать утверждение: концентрационные экстремумы располагаются в непосредственной окрестности точек поворота пространственного оператора диффузии.

В заключительном параграфе 2.5 рассмотрена математическая модель реакции химической кинетики второго порядка типа Михаэлиса-Ментен. Метод С.А. Ломова позволил, в отличие от метода Вишика-Люстерника (Марри, 1983), найти величину максимума продукта реакции и время его достижения. Путем построения функции Ляпунова доказана теорема типа Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости в целом положения равновесия соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Глава 3 «Исследование спектральных свойств и асимптотические решения в математических моделях вязкоупругих тел».

Интерес к математическому моделированию вязкоупругих сред вызван как все более широким распространением в технике композитных материалов, так и в связи с изучением поведения зарядов РДТТ (см., например, В.В. Москвитин, 1972). В параграфе 3.1 изучается плоская линейная задача о нормальных колебаниях слоя жестко сцепленного снизу с абсолютно твердой полуплоскостью и ограниченного сверху свободной поверхностью. Соответствующая краевая задача в безразмерных переменных имеет вид

с краевыми условиями

Здесь г=-, К =

М Ъ-п^ц

и'(0) + 1-к-1У(0) = 0, и(1) = 0, Щ1) = 0.

^ = , о"=сг -А* /— - искомый спектральный па-•Р

раметр, к = 2я—, Л - длина волны, где т} - вязкость по .Кельвину-Л

Фойгту; Д - параметры Ляме, р - плотность.

(*,.*,)=-(адит*;); г е [о,1].

Из (8)-(9) выводится соотношение (уравнение) баланса энергии

» Л 3 }

+ \{и' + ЛЩ' + Р' + 1ки\' + ^»Т + = 0. (10)

в

Функционал диссипации

О = )||С/' + ¡кЖ\2 -||Г+Щ3 + + ,

как показано в диссертации, положителен: Б>0. Теперь видно, что структура (10) типична для самосопряженного квадратичного операторного пучка Ксгг + К£>сг + П^.Ж) = 0. В результате может быть сформулирована следующая теорема о затухании:

Яео< 0.

Условие сильной демпфированное™ пучка имеет вид >4КП.

Применение алгебраических неравенств и неравенств типа Пуанкаре позволяет конкретизировать последнее неравенство, являющееся, иными словами, условием. отсутствия колебательных режимов или, что то же, апериодичности всех мод. В размерной форме оно запишется так

432й1Лг(А + 2//) .... Р—,/-.,

П'Ъ

Р-

я-2(ЗЛ2+64/12) ^'(Л +12А2)

,Л54 Л.

В параграфе 3.2 методом теории квадратичных операторных пучков изучены свободные продольные и поперечные колебания вязкоупругого стержня с сосредоточенными и упруго подвешенными массами, выведены достаточные условия апериодичности движений.

В 3.4 сформулирована и исследована нелинейная математическая модель демпфера сухого трения с вязкоупругим элементом из материала Кельвина-Фойгта. В физическом плане речь идет о стержне, заделанном на одном конце и с сосредоточенной массой на другом. Математическая постановка задачи в безразмерных переменных следующая:

д'иО.х)

----(И)

Ы2

дх7

8(дх3

0<х<1,

с начальными условиями:

и граничными условиями:

И'.о)=о,

у д?

дх В1дх I 5Г

(12)

(13)

где у - отношение массы груза к массе стержня, т - безразмерный коэффициент вязкости, К- коэффициент кулоновского трения. Как видно, краевая задача относится к типу неклассических по причине вхождения производной по времени в граничное условие. Задача решается естественным методом (склеивания) в точках интервалов (?,_,,',), / > 1, / е ЛГ, /0 = 0, а в точках скорость груза обращается в нуль, процесс ведется до тех

пор, пока сосредоточенная масса не попадет в «мертвую зону». На каждом из указанных интервалов применяется обычная процедура метода Фурье, приводящая к аналогу задачи Штурма-Лиувилля

(14)

(15)

где Я фигурирует в ехр(-М). Итог исследования формулируется в виде следующей теоремы:

спектр задачи (14), (15) - дискретный счётный, расположен целиком в правой комплексной полуплоскости, имеет две предельных точки на вещественной оси = (2г) 'и = оо, колебательныхрежимовможет быть лишь конечное число, растущее с уменьшением вязкости т, рождение колебательной моды происходит при переходе через двукратный вещественный корень уравнения частот, которому отвечают собственная и присоединенная функции.

Естественно, что система собственных функций не является ортогональной в пространстве /^(0,1). Дальнейшее разложение ведется по биортогональ-ной системе, техника построения которых детально развита в работах Е.И.

Моисеева и Н.Ю. Капустина (1996-2001). В порядке иллюстрации приведем два рисунка.

В разделе 3.5.1 построена регуляризованная асимптотика для уравнения Рейнольдса для давления в винклеровском приближении. Таковым в безразмерных переменных является уравнение

(16)

(17)

(18)

Условия (17) носят название условий Свифта-Стибера, а (18) - Прандтля-Хопкинса (В.М. Александров, 1981). Вычисляя ер'(а) и сравнивая со вторым из соотношений (18), придем к формуле а(с) = —^сг +0.5. Таким образом, второе из условий (18) выполнено. Тем не менее, поставленная краевая задача является переопределенной и представляет собой своеобразную задачу на собственные значения, в которой роль собственного числа играет координата х=с точки выхода из области УГД-контакта. Она находится специальным численным методом. Регуляризованная асимптотика по методу Ломова строится во внутренней области. В окрестности точки хорошо «работает» линейное приближение, своеобразный вид имеет асимптотика в окрестности точки входа а именно:

где

При £ <, 1 расхождение асимптотического решения с численным, найденным с высокой степенью точности, не превосходит 1 %

Раздел 3.5.2. посвящен доказательству теоремы единственности пика давления в задаче теории УГД-смазки в приближении Буссинеска Проблема существования второго пика давления была поставлена А.И. Петрусе-вичем еще в 1951 г. В ее решении принимали участие С П. Пулькин (1965), М.А. Галахов, И Г. Горячева. Следует отметить, что, на наш взгляд, проведение высокоточных численных расчетов и (или) прецизионных экспериментов не может служить доказательством чисто математического факта. Отсутствие второго пика давления доказано нами совершенно строго на основе теории сингулярных интегральных уравнений в рамках гипотезы о том, что толщина слоя на выходе равна толщине слоя в точке основного максимума давления. Результат опубликован в [60]. Сведения об эпюрах давления могут потребоваться в задачах УГД-контакта с вязкоупругим смазочным материалом

В заключительном параграфе 3.6 рассмотрена задача об УГД-контакте, в котором смазочным материалом является вязкоупругое тело Максвелла В приведенной постановке снимается гипотеза И Г. Горячевой о введении функции кулоновского трения. При равномерном качении вала в пренебрежении силами инерции из общих условий равновесия сплошной среды выведены линейный вариант уравнения

£гг"(х)~ г(д:) = ~Р с граничными условиями г(—1) = т{1) = 0 и нелинейный (модель Эйринга)

£*т'(х)-зИт(х) = ~р с теми же граничными условиями. Обе краевые задачи детально проанализированы методом С. А. Ломова.

Характерные примеры моделирования диссипативных систем в классической гидродинамике дают задачи о собственных линейных колебаниях вязкой жидкости. В магнитной гидродинамике, помимо молекулярной вязкости, добавляется еще один диссипативный фактор — магнитная вязкость, отличная от нуля при конечном значении электропроводности жидкости. Главу 4 предваряет параграф с доказательством теоремы о затухании всех мод при конечных значениях гидродинамичекого и магнитного чисел Рейнольдса. Далее, в главах 4 и 5, раздельно рассматриваются случаи вязкой бесконечно проводящей жидкости и невязкой, но конечной проводимости.

Глава 4 «Построение и анализ математических моделей спектральных задач теории МГД-колебаний вязкой бесконечнопроводя-щен жидкости».

Параграф 4.2 посвящен детальному анализу МГД-задачи Ламба при наложении горизонтального магнитного поля, то есть задачи о волнах жидкости бесконечной глубины со свободной поверхностью, граничащей с вакуумом. Выведено уравнение баланса энергии, характерное для самосопряженных квадратичных операторных пучков, и на его основе доказана

теорема о диссипации. Получено точное дисперсионное уравнение для случая дискретного спектра. На основе его численного анализа в плоскости гидродинамического числа Рейнольдса Rg и числа Альфвена А построена кривая, разграничивающая колебательные и апериодические режимы. Построены асимптотики для собственных чисел для малых и больших чисел Рейнольдса и асимптотика в окрестности точки перехода от апериодического режима к колебательному. Изучен случай сплошного спектра, выявлен новый, по сравнению с классическим случаем, класс волн, названный альфвеновскими вязкими волнами.

Два следующих параграфа посвящены исследованию другого предельного случая длинных волн при наличии горизонтального магнитного поля. Рассмотрены случаи однородной жидкости, вертвертикально.- стратифицированной несжимаемой жидкости и случай стратификации магнитного поля в ней. Во всех случаях задачи вписываются в рамки теории самосопряженных квадратичных операторных пучков. Доказаны теоремы о диссипации с установлением достаточных условий апериодичности всех волновых мод, выявлен стабилизирующий эффект наложения горизонтального магнитного поля. Для случая однородной жидкости и постоянства напряженности магнитного поля выведено точное дисперсионное уравнение. Его численный и асимптотический анализ показал наличие нового класса отсутствующих в неэлектропроводной жидкости волн, названных нами вязкими альфвеновскими волнами.

Случай волн произвольной длины рассмотрен в параграфе 4.4. Исходя из уравнения баланса энергии вновь доказана диссипативная теорема и найдено достаточное условие отсутствия колебательных режимов. Конкретное исследование спектра проведено только асимптотически для случая «малой вязкости» Точное дисперсионное уравнение получено и детально исследовано только для, так называемого, приближения твердой крышки. Завершается глава исследованием имеющей прикладное значение, например, для проблемы очистки водных поверхностей от загрязняющих веществ модельной задачей о колебаниях двухслойной системы вязких жидкостей. Более точно речь идет о системе, в которой слой намагничивающейся вязкой жидкости разлит над бесконечно глубокой. Вся система находится в горизонтальном магнитном поле. Для модели удалось записать точное дисперсионное уравнение, построить детальные картины дисперсионных кривых, выявить интересное явление перехода из дискретного спектра в сплошной и наоборот, вновь подтвердить стабилизирующее влияние наложения магнитного поля на собственные колебания стратифицированных систем.

Глава 5 «Построение и исследование математических моделей задач о собственных МГД-колебапиях невязкой жидкости конечной электрической проводимости».

В параграфе 5.1 подробным образом изучена задача Ламба для случая а магнитное число Рейнольдса конечно В случае

дискретного спектра выявлено наличие двух поверхностных волновых режимов, условно названных высокочастотным и низкочастотным. Установлено наличие кратного комплексного корня, разделяющего поведение вышеназванных мод при Нт~Ю. Обнаружен эффект перехода при определенных значениях Ет(А) из дискретного спектра в сплошной. На основе точного дисперсионного уравнения проведено и асимптотическое исследование собственных чисел. Результат опубликован в достаточно большой статье [26].

В параграфе 5.2 изучаются свободные длинноволновые колебания при постоянной по глубине напряженности внешнего магнитного поля. На основе теории голоморфных операторных пучков вновь доказана теорема о затухании. Приведем точное дисперсионное уравнение модели:

где Х = + , при временной зависимости ехр(-М). Его детальный

численный анализ позволил построить полную картину спектра в правой комплексной полуплоскости. Установлено, что колебательных режимов может быть лишь конечное число. Подразделяются они на высоко- и низкочастотные. Найден кратный комплексный корень, через который проходит сепаратриса, разделяющая характер поведения высоко- и низкочастотных режимов при (они стремятся к некоторой фиксированной точке на мнимой оси). Рождение колебательной моды происходит при прохождении через кратный вещественный корень. На вещественной оси находится счетное множество быстро затухающих и медленно затухающих апериодических режимов. Присутствует, естественно, и класс вязких альфвеновских волн.

В разделе 5.5 изучен и случай волн произвольной длины. Приведем здесь лишь уравнение баланса энергии

' ,4., Ш'), ш\2,

к ) 5

Л {г[Г-

+и

Ят

и полное дисперсионное уравнение

1Ь(Х) , + Ш(к) + Ак'[1 + 1к(к)]} 0 X /и' +к21И(кУ + Ак4[1+1}1(к)1 '

(20)

(21)

где

- безразмерное волновое число, а времен-

ная зависимость имеет характер (разночтение с предыдущим

случаем вызвано ссылками на опубликованные статьи). В принципе вы-

воды идентичны сделанным в предыдущем фрагменте с усложнением, связанным с добавлением зависимости от параметра к.

Наиболее сложной в главе 5 является математическая модель собственных колебаний тонкого слоя при линейном изменении напряженности стационарного горизонтального магнитного поля с глубиной, изложенная в 5.3. Путем нетривиальных выкладок задача сведена к системе интегро-дифференциальных уравнений следующего вида

Ф"(2) + 2Г(х)Ф' ( z ) -2Г(г)Ф(г) + RJU(z)+ XO(z )) = 0; (22)

где безразмерное пропорционально плотности постоянного

тока, пропускаемого через жидкость,

Z(z) - амплитудная часть вертикальной компоненты индуцированного магнитного поля, U(z) — она же для горизонтальной составляющей скорости. Краевые условия имеют вид

Двойственность краевых условий отмечена еще Ландау и Лифшицом (в «Электродинамике сплошных сред»). Таким образом, по числу возможных комбинаций могут быть сформулированы четыре независимые граничные задачи. Обратим внимание на сложный нелинейный характер вхождения спектрального параметра Картины спектра получены в результате расчетов по программе, написанной на языке Turbo Pascal. Для ее тестирования использовался вариант имеющий, как указывалось ранее, точное решение, а также построенные асимптотики для Re_ —>0 И Re_ ->оо. Уравнение баланса энергии ввиду его громоздкости не приводим, заметим только, что при двух комбинациях граничных условий оно предсказывает возможность появления неустойчивых режимов при что и подтверждено численными расчетами.

Подробный вычислительный эксперимент позволил произвести нигде не приводившуюся ранее классификацию волновых режимов.

В 5.4 осуществлен перенос результатов из 5.3 на случай равномерного потока со скоростью . Дело при этом сводится к простой замене то есть к сдвигу спектра вдоль мнимой оси.

Библиографический список основных публикаций автора по теме диссертации

1. Задорожный А.И., Черкесов Л.В. Собственные колебания в непрерывно стратифицированном море при наличии турбулентного обмена // Сб. трудов соисполнителей межведомственного проекта «Волна» ГКНТ

при СМ СССР «Моделирование поверхностных и внутренних волн» - Севастополь: изд. МГИ АН УССР, 1984 - С. 76-82.

2. Задорожный А.И., Колесников В.И., Подрезов С.А. Исследование тепловой задачи трения для диска методом регуляризации сингулярных возмущений. //«Трение и изнашивание», в. 27 - Киев: Техшка, 1985 - С. 13-18.

3. Задорожный А.И., Ковальчук В.Е., Колесников В.И. Асимптотический расчет периодического температурного поля, возникающего в трибо-системах //«Вестник машиностроения» - М., 1986 - № 12 - С. 23-24.

4. Задорожный А.И., Колесников В.И., Подрезов С.А. Применение метода регуляризации сингулярных возмущений в задачах теплопроводности //Изв. СКНЦ ВШ, сер. «Технические науки», № 3 - Ростов н/Д.: 1987 -С. 128-131.

5. Задорожный А.И. Спектральные свойства длинных МГД-волн в вязкой жидкости //Тезисы докладов школы «Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании». Воронеж 25 ян-варя-3 февраля 1993. Изд. ВГУ, 1993. - С. 58.

6. Задорожный А.И., Колесников В.И., Мясникова Н.А. Акустическая диагностика трибосопряжений и пути повышения их износостойкости //Труды 1 Международной конференции «Энергодиагностика» - М.: «Газовая промышленность» - № 8 - 1995 - с. 35-37

7. Задорожный А.И., Колесников В.И., Мясникова Н.А Акустическая диагностика трибосопряжений и пути повышения их износостойкости //Первая международная конференция «ЭНЕРГОДИАГНОСТИКА» (сборник трудов). Москва, сентябрь 1995. Т. 3 «Трибология». - С. 52-58.

8. Задорожный А.И. Задача Ламба о волнах в вязкой жидкости бесконечной проводимости /Яр. VI межвуз. конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», ч. 2, Самара, 29-31 мая 1996. СГТУ. - С. 36-38.

9. Задорожный А.И. О спектре одного полиномиального пучка, возникающего в теории длинных магнитогидродинамических волн //Тезисы докладов международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения», ч. 2, - Самара, 25-29 июня 1996 , СГУ.- С. 21.

10. Задорожный А.И., Коцуконь С.Н. О спектре пучка, возникающего в теории МГД-волн в вязкой стратифицированной жидкости //Тезисы докладов XI Международной зимней школы по механике сплошных сред. Кн. 1. Пермь, 27 февр. - 1 марта 1997, Екатеринбург: УрО РАН. - С. 133.

11. Задорожный А.И. О спектре одного интегро-дифференциального оператора, возникающего в теории длинных МГД-волн //«Интегро-дифференциальные операторы и их приложения», вып. 2 - Ростов-на-Дону: ДГТУ, 1997. - С. 79-88.

12. Задорожный А.И., Колесников В.И. О затухании свободных колебаний расплавленного металла в магнитном поле //Межвуз. сб. науч. тр. «Современные проблемы энергетики» - Ростов н/Д.: РГУ ПС, 1998. - С. 6976.

13. Задорожный А.И. Анализ спектра дифференциального оператора задачи о длинных МГД-волнах в неоднородной вязкой жидкости //Третья международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» - Саранск, 19-21 мая 1998. - Мордовский'ГУ, 1998 - С. 137138.

14. Задорожный А.И. Некоторые свойства спектра колебаний вязко-упругого слоя //Современные методы в теории краевых задач «Понтря-гинские чтения-1Х»,- Воронеж, 3-9 мая 1998. - С. 79.

15. Задорожный А.И., Ковальчук В.Е., Колесников В.И. О влиянии степени загрязнения торцов на температурный режим колеса в процессе торможения // Сб. научных трудов «Вопросы долговечности и работоспособности элементов пути и подвижного состава» - Ростов н/Д: РГУ ПС, 1998-С. 5-10.

16. Задорожный А.И., Коцуконь С.Н. Спектральные и асимптотические свойства волн рэлеевского типа в вязкоупругом слое //Груды VIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», ч. 3. - Самара, 26-28 мая 1998. - С. 49-51.

17. Задорожный А.И., Углич П.С. Нестационарная термодиффузия водорода в металле // В сборнике «Тезисов докладов Международной конференции Строительство-98» - Ростов-на-Дону: 1998-С. 171

18. Задорожный А.И. Собственые колебания потока жидкого металла в неоднородном магнитном поле //Тезисы докладов XII зимней школы по МСС, Пермь, 25-31 января 1999. - С. 147.

19. Задорожный А.И., Грунтфест Р.А., Колесников В.И. Собственные колебания тонкого слоя жидкого металла конечной электропроводимости при наличии внешнего магнитного поля - Известия ВУЗов, Сев.-Кав. Регион, ест. Науки, № 3 - 1999. - С. 35-39.

20. Задорожный А.И. Нормальные колебания кондукционно удерживаемого слоя электропроводной жидкости //Тр. IV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», т.1. От-ветств. редактор И.И.Ворович. Ростов н/Д, 27-28 октября 1998. Изд. СК1Щ ВШ. - С. 155-159.

21. Задорожный А.И. Свободные колебания кондукционно подвешенной полосы жидкого металла в магнитном поле //Труды IX Межвуз. конф. «Мат. моделирование и краевые задачи», ч.1, Самара - 1999. - С. 91-95.

22. Задорожный А.И. Квадратичный операторный пучок в теории длинных гравитационных волн //Труды IX Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», ч.З, Самара - 1999. -С. 60-64.

23. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Спектр нормальных колебаний слоя электропроводной жидкости в магнитном поле //Тезисы докладов. Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы в теории краевых задач» - Воронеж: «Понтрягинские чтения-Х», 1999. - С. 103.

24. Задорожный А.И., Колесников В.И. Асимптотический и численный анализ интегро-дифференциального оператора теории свободных МГД-волн в электропроводных средах //Тезисы докл. XVII Международной конференции «Математические модели в МСС» В ЕМ @ FEM - СПб: 1999. - С. 75-76.

25. Задорожный А.И. Применение метода регуляризации сингулярных возмущений в задачах теплопроводности, термодиффузии и теории магнитогидродинамических волн для тонких областейУ/Известия РАН, МТТ. - 2000. - № 4. - С. 191-192.

26. Задорожный А.И., Грунтфест Р.А. Собственные колебания жидкости конечной электропроводимости при наличии внешнего магнитного поля - Новосибирск: ПМТФ. Т. 41, № 2 - 2000. - С. 3-10.

27. Задорожный А.И., Елманов И.М., Колесников В.И. Теоретическое распределение давления жидких смазочных материалов в некомфортных сопряжениях УГД-контакта, Ростов/Д, Веста. РГУПС, № 3 - 2000. - С. 132-135.

28. Задорожный А.И., Грунтфест Р.А. Собственные колебания тонкого слоя жидкости конечной электропроводимости при наличии внешнего магнитного поля - Новосибирск: ПМТФ. Т.41, № 6 - 2000. - С. 27-35.

29. Задорожный А.И., Колесников В.И. Асимптотическое и численное решения интегро-дифференциального уравнения свободных МГД-волн в потоке электропроводной жидкости //Известия Высших учебных заведений Северо-Кавказский регион, Естественные науки - Спецвыпуск «Математическое моделирование» - 2000. - С. 97-98.

30. Задорожный А.И. Колебания двухслойной намагничивающейся вязкой жидкости и отвечающий им квадратичный операторный пучок //Тезисы докл. Воронежской весенней мат. шк. «Современные методы в теории краевых задач» - Воронеж: ВГУ «Понтрягинские чтения-ХИ», 2001. - С. 73-74.

31. Задорожный А.И., Лиховидова Л.В. Свободные продольные колебания вязкоупругого стержня с сосредоточенной и упруго подвешенной массами // Труды XI межвуз. конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», часть 1 - Самара, 29-31 мая 2001, СамГТУ. - С. 6063.

32. Задорожный А.И., Колесников В.И. Применение метода Ломова в одной задаче нестационарной электротермоэластодиффузии // Труды XI межвуз. конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», часть 3 - Самара: СамГУ, 2001. - С. 61-66.

33. Задорожный А.И. Диссипативные эффекты в линейной теории свободных магнитогидродинамических волн //Тезисы докл. VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике - Пермь: 2001. С. 267.

34. Задорожный А.И., Колесников В.И. Анализ спектра колебаний намагничивающейся жидкости в диффузионном приближении //Обозрение прикладной и промышленной математики - Т.8 - М.: ТВП, 2001 - 1 с.

35. Задорожный А.И., Колесников В.И. Моделирование процесса термоэлектроэластодиффузии с учетом эффекта концентрационного расширения металла //Обозр. прикл. и промышл. матем. - Т.8 - М.: ТВП, 2001.-С. 226.

36. Задорожный А.И., Колесников В.И. Регуляризованная асимптотика в модельной задаче о восходящей диффузии водорода в металле //Обозрение прикл. и промышленной математики - Т. 10 - М: ТВП, 2001. -С. 611-613.

37. Задорожный А.И., Елманов И.М., Колесников В.И. К вопросу неустойчивости решения задачи эластогидродинамической смазки // Вестник машиностроения - № 3 - 2002. - С. 37-40.

38. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Квадратичный операторный пучок в одной задаче о колебаниях жидкости в магнитном поле //Воронежская весенняя математическая школа: Современные методы в теории краевых задач - «Понтрягинские чтения-ХШ» - 3-9 мая 2002 -ВГУ,2002.-С.217

39. Задорожный А.И., Колесников В.И. Квадратичный операторный пучок в задаче о поперечных колебаниях вязкоупругого стержня //Стойкость, контроль технического состояния, эксплуатация ракетного вооружения: Тр. научно-техн. конф. РВИ РВ, секц, №3, 1 ноября 2001 -РВИРВ,2002.-С.110-111.

40. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Модельная задача о продольных колебаниях вязкоупругого твердотопливного заряда при горении //Стойкость, контроль технического состояния, эксплуатация ракетного вооружения: Тр. научно-техн. конф. РВИ РВ, сек. №2,1 ноября 2001 - РВИ РВ, 2002. - С. 72-73.

41. Задорожный А.И., Елманов И.М., Колесников В.И. Модель аналитического расчета вязкоупругого состояния ЖСМ в контакте абсолютно твердых тел //Новые технологии управления движением технических объектов: Сборник статей по материалам V Междунар. НТК - 18-20 декабря 2002 г. - Т.1 - вып. 3 - Новочеркасск-Ростов н/Д: СКНЦ ВШ, 2002. - С. 7887.

42. Задорожный А.И., Ильичев В.Г. К моделированию динамики групп //Математическое моделирование - № 12 - Т.14 - 2002. - 13 с. - С. 72-84

43. Задорожный А.И. Спектральные свойства длинных магнитогид-родинами-ческих волн в идеально проводящей вязкой жидкости в вертикально стратифицированном магнитном поле //Труды XIII междунар. зимней школы по механике сплошных сред, 24 февраля - 1 марта 2002. -Пермь.-С. 161.

44. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Спектр операторного пучка

теории длинных МГД-волн в вязкой жидкости в вертикально стратифицированном магнитном поле // ВЗМШ: «Современные методы теории функций

и смежные проблемы», 26 января - 2 февраля 2003, Воронеж, изд. ВГУ. -С. 103-105.

45. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Квадратичный операторный пучок в одной задаче о колебаниях жидкости в магнитном поле // Воронежская ВМШ: Современные методы в теории краевых задач-«Понтрягинские чтения - XIV», 3-9 мая 2003, изд. ВГУ. - С. 55-56.

46. Задорожный А.И. Численно-аналитическое решение уравнения Рейнольдса в винклеровском приближении // Тр. XVI Международной конференции ММТТ, 27-29 мая 2003, Москва - С.-Петербург - Ростов-на-Дону, изд. СПб ГТИ (ТУ).- С. 122-127.

47. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Продольные колебания нагруженного вязкоупругого стержня: спектр, базисность и двукратная полнота //XXIII Российская школа по проблемам науки и технологий. Краткие сообщения. Екатеринбург, изд. УрО РАН. 2003. - С. 104-107.

48. Задорожный А. И. Асимптотические подходы к исследованию одномерной диффузии газа в металле // Международный конгресс "МЕХТРИБОТРАНС-03". Т.1, Ростов н/Д, 10-13 сентября 2003.- С. 348354.

49. Задорожный А.И., Елманов, Кротов В.Н. Особенности решения задач вязкоупругости жидкого смазочного материала для эластогидроди-намического контакта // Международный конгресс "МЕХТРИБОТРАНС-03". Т.1, Ростов-на-Дону, 10-13 сентября 2003.- С. 330-333.

50. Задорожный А.И., Колесников В.И. Структура спектра и классификация волновых мод в тонком слое электропроводной жидкости в горизонтальном магнитном поле // IV Аэрокосмический конгресс !АС03, Москва, 18-23 августа 2003, МФП МГАТУ им. Циолковского, 15ВК-5-89354-182-0.-4 с.

51. Задорожный А.И., Колесников В.И. Модельная задача и вычислительный эксперимент, интерпретирующие опытные данные по диффузии в системе ТА-0 // IV Всеросс. симпозиум по прикл. и промышл. математике, Сочи, 1-7 октября 2003 г., Москва, ОПиПМ. Т.10, вып. 2, 2003. - С. 397400.

52. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Регуляризированная асимптотика решения системы дифференциальных уравнений реакции Михаэлиса-Ментен // IV Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Сочи, 1-7 октября 2003 г., Москва, ОПиПМ. Т.10, вып. 2, 2003. -С. 392-393.

53. Задорожный А.И. Свободные длинноволновые колебания тонкого слоя жидкости конечной электрической проводимости при наличии внешнего магнитного поля // Наука и технол. Сер. «Итога диссертац. исследований». Тр. XXIII Росс. шк. Миасс, РАН, УрО РАН, ВАК РФ, М.: 2003. -С. 93-103.

54. Задорожный А.И., Базов И.А. Математическая теория демпфера сухого трения с вязкоупругим элементом // Вестник РГУПС, № 3, Ростов-на-Дону, 2003. - С. 99-104.

55. Задорожный А.И. Эффект стабилизации собственных гравитационных колебаний двухслойной электропроводной вязкой жидкости горизонтальным магнитным полем // Вестник РГУ ПС, № 1, Ростов-на-Дону, 2004. - С. 87-92.

56. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Диссипативная теорема для длинных МГД-волн в вязкой жидкости конечной электрической проводимости // Воронежская Современные методы в теории краевых задач -«Понтрягинские чтения - XV», 3-9 мая 2004, изд. ВГУ. - С. 90-92.

57. Задорожный А.И., Артамонова Е.А. Модельная задача нестационарной одномерной диффузии газа в металле // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Транспорт-2004», ч.2, 25-27 мая 2004, г.Ростов н/Д, изд. РГУ ПС. - С. 24-27.

58. Задорожный А.И. Регуляризованная асимптотика для уравнения Рейнольдса в винклеровском приближении // Труды Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (ММ-2004), чЛ, 27-28 мая 2004, г. Самара, изд. СамГТУ. - С. 79-84.

59. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Асимптотическая устойчивость в целом модели фермент-субстратной реакции химической кинетики // Труды Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (ММ-2004), ч.2,27-28 мая 2004, г. Самара, изд. СамГТУ. -С. 89-91.

60. Задорожный А.И. Теорема единственности пика давления в задаче теории ЭГД-смазки в приближении Буссинеска // Труды Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (ММ-2004), ч.3,27-28 мая 2004, г. Самара, изд. СамГТУ. -С. 110-113.

Переводы и публикации на иностранных языках

1.. Zadorojnyi A., Koulickov L. Analyse asymptotique (Tun systeme de Michaelis-Menten type et son application dans la morphologies de tumeurs //Recueil d'articles Des Medicins de l'Est de l'Algerie: Batna, RDPA, 1988 - P. 47.

2. Zadorojnyi A., Mostefa N. Sur l'effet d'autogravitation des planetes // 3eme Seminaire National sur l'energie Solaire a Tlemcen, 07-08 mars, Recueil d'articles RDPA, 1989 - 10 p.

3. Zadorojnyi A., Khellaf A. Application de la methode de regularisation des perturbations singulaires pour l'etude des antennes "lames imprimees" //5eme conference National sur les Equations Differentielles Ordinaires, Programme, 13-15 mai, Annaba,RDPA, 1989 - P. 16.

4. Zadorojnyi A., Zadorojnaia N. Stabilite et proprietes asymptotiques d'un systeme type Michaelis-Menten //5™ Conference National sur les Equations Differentielles Ordinaires, Programme, 13-15 mai, a Annaba, RDPA, 1989 -P. 19.

5. Zadorozhnyi A.I., Gruntfest RA Natural oscillations of a liquid of f-nite electrical coduction In the presence of an external Magnetic field //J. of

p 1 6 6

Appl. And Tech. Phys. Vol. 41, No. 2, Kluwer Academ/Plenum Publishers-2000-P. 205-211.

6. Zadorozhnyi A.I., Gruntfest R.A. Free oscillations of a thin fluid layer of finite electrical conductivity under the action of an ex-temal magnetic field //Journal of Appl. Mech. And Tech. Phys. Vol. 41, No. 6, Kluwer Academic/Plenum Publishers - 2000. - P. 982-989.

7. Zadorozhnyi A.I., Kolesnikov V.I. One-dimentional nonstationary thermoelectroelastic diffusion of a gas in the metallic coated bodies //Contact Mechanics of Coated Bodies: EUROMECH Colloquium 434, 21-23 may -Moscow: Institute for Problems In Mechanics. Russian Academy of Sciences, 2002.-P. 40.

8. Zadorozhnyi A.I., Kolesnikov Vladimir I. Nonstationary thermal diffusion of hydrogen in metal in view jf nonlinear Dufour and concentration expantion effects //4th Euromech Nonlinear Oscillation Conference. August 1923 - Moscow: Institute for Problems In Mechanics. Russian Academy of Sciences-2002.-P. 95.

9. Zadorozhnyi A.I., Elmanov I.M., Kolesnikov V.I. On the instability of the solution of the EHD lubrication problem // Russian Engineering Research. Vol. 22, No 3, pp. 39-44,2002.

10. Zadorozhny A.I., Krotov V.N., Yelmanov I.M. The particularities of doing the tasks on the elastic viscosity of liquid lubricant for elasto-hydrodynamic contact // International congress Mechanics and tribology of transport systems "MECHTRIBOTRANS - 2003". Book of reports. Book 2. September 10-13,2003. Rostov-on-Don. - Pp. 341 -344.

11. Zadorozhnyi A.I. The asymptotic approaches to a research of one-dimensional diffusion of gas in metal // International congress Mechanics and tribology of transport systems "MECHTRIBOTRANS - 2003". Book of reports. Book 2. September 10-13,2003. Rostov-on-Don. - Pp. 348-353.

12. Zadorozhnyi A.I. Stabilizing effect of horizontal magnetic field on natural oscillations of two-layer electrically conducting viscous liquid // International Conference "Advanced problems in thermal convection". Abstracts. Perm, 24-27 November 2003. - Pp. 258-259.

13. Zadorozhnyi A.I. Stabilizing effect of horizontal magnetic field on natural oscillations of two-layer electrically conducting viscous liquid // International Conference "Advanced problems in thermal convection". Abstracts. Perm, 24-27 Nov., 2003. - 6 p.

Заказ №540. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе. Самарский государственный технический университет Отдел типографии я оперативной полиграфии. ^ 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейсхая, 244.

Глава

I. Применение метода регуляризации сингулярных возмущений в модельных задачах стационарной теплопроводности для тонких цилиндрических тел

1.1. Асимптотическое решение задачи о распределении температурно-го поля в сплошном диске

1.2. Асимптотический анализ стационарного температурного поля в тонком кольцевом диске методом А, Ломова

1.3. Асимптотическое определение температурного поля в тонком кольце с учетом релаксационного источника тепла

1.4. Применение метода регуляризации сингулярных возмущений в задаче теплопроводности при нестационарном нагружении

1.5. Асимптотический расчет периодического температурного поля в колесе при торможении бандажными колодками

Глава

II. Математическое моделирование и асимптотический анализ процесса диффузии газа в металле с учетом эффектов переноса

2.1. Моделирование процесса водородной диффузии в нестационарно нагруженном узле трения

2.2. Применение метода А. Ломова в одной задаче нестационарной электротермоэластодиффузии в образце с тонкой накладкой

2.3. Асимптотические подходы к исследованию одномерной диффузии газа в металле

2.4. Модельная задача и вычислительный эксперимент, интерпретирующие опытные данные по диффузии в системе Та-

2.5. Регуляризованная асимптотика и устойчивость в целом решения системы дифференциальных уравнений реакции химической кинетики типа Михаэлиса-Ментен ,

Глава

III. Исследование спектральных свойств и асимптотические решения в математических моделях вязкоупругих тел

3.1. Квадратичный операторный пучок плоской задачи о собственных колебаниях вязкоупругого слоя

3.2. Свободные продольные и поперечные колебания вязкоупругого стержня с соредоточенными и упруго подвешенными массами

3.3. Модельные задачи о продольных колебаниях вязкоупругого твер-дотоплиБНОго заряда при горении

3.4. Математическая теория демпфера сухого трения с вязкоупругим элементом

3.5. Расчет эпюры давления в задаче упрутогидродинамической тео-рии смазки численным и асимптотическим методами

3.6. Модель аналитического расчета вязкоупругого состояния ЖСМ в контакте абсолютно твердых тел

Глава

IV. Построение и анализ математических моделей спектральных задач теории МГД-колебаний вязкой бесконечнопроводящей жидкости

4.1. Теорема о диссипации

4.2. Задача Ламба о волнах в вязкой жидкости бесконечной проводимости в горизонтальном магнитном поле _^

4.3. Исследование спектральных свойств длинных МГД-волн в вязкой яшдкости методом теории квадратичных пучков и на основе дисперсионного уравнения

4.4. Математическая модель демпфирования собственных колебаний произвольной длины в вязкой жидкости бесконечной электропроводности

4.5. Эффект стабилизации собственных гравитационных колебаний двухслойной электропроводной вязкой жидкости горизонтальным магнитным полем

Глава

V. Построение и исследование математических моделей задач о собственных МГД-колебаниях невязкой жидкости конечной электрической проводимости

5.1. Собственные колебания жидкости конечной электропроводимости при наличии внешнего магнитного поля (задача Ламба)

5.2. Собственные колебания тонкого слоя жидкости конечной электропроводимости при постоянной по глубине напряженности внешнего магнитного поля

5.3. Собственные колебания тонкого слоя жидкости конечной электропроводимости при наличии переменного по глубине внешнего магнитного поля

5.4. Собственные колебания потока жидкого металла в неоднородном магнитном поле

5.5. Расчет затухания нормальных колебаний слоя при произвольной длине волны

В настоящее время диссипативные системы получили самое широкое распространение в различных сферах науки и отраслях техники. В обиход прочно вошел термин «синергетика» как определение специфической синтетической области познания. Не вдаваясь в детали егогой расшифровки, отметим только, что исследуемые синергетикой системы, как правило, являются диссипативными. Сказанное, безусловно, свидетельствует в пользу актуальности тематики диссертационной работы.

Типичным примером диссипативных систем являются трибосистемы. Прогресс современной техники связан с интенсификацией рабочих процессов узлов трения и соответствующим повышением их тепловой напряженности. Проблема снижения тепловой напряженности особенно остро ощущается в ме-таллополимерных сопряжениях. Это обусловлено тем, что интенсификация режимов работы узлов трения, а также низкая теплопроводность полимерных материалов предопределяют возникновение в них значительного температурного градиента, механизм влияния которого на физико-механические и трибологиче-ские характеристики пока еще не достаточно выяснен.

Однако как в теоретическом, так и в экспериментальном изучении эта проблема требует дальнейшего исследования. Действительно, несмотря на большие теоретические достижения в области исследования термического три-боконтакта, отсутствуют работы, позволяющие осуществить расчет температуры в тонком поверхностном слое фрикционного взаимодействия. Более того, в исследованиях рассматривались только случаи положительного температурного градиента, когда максимальная температура трущихся тел возникает на поверхности. В реальных узлах трения весьма часто приходится сталкиваться с присутствием отрицательного температурного градиента, когда максимальная температура находится внутри объема трущихся тел. Сложность проблемы еще и в том, что объемы тела, активно участвующие в процессах трения, чрезвычайно малы. А.Ю. Ишлинский [185] отмечает, что нет цельного представления о микромеханизмах процессов, протекающих в поверхностном слое. Наши знания ограничиваются гипотезами о проявлении эффектов пластифицирования и охрупчивания, сформулированными П.А. Ребиндером, а также некоторыми сведениями о протекании тех или иных химических или физических реакций.

Выяснение особенностей поведения поверхностных слоев металлополи-мерного трибоконтакта - одна из центральных задач в триботехнике. Поэтому для более глубокого знания процессов на контакте необходимо разработать не только методы диагностики, но и более полные теоретические модели, специфическое назначение которых, с одной стороны, учитывать изменения, происходящие в объеме и в пограничном слое, а, с другой - приводить к простым инженерным расчетам. Разработка такого метода и составляет одну из задач, решаемых в первых двух главах данной диссертации.

Однако знание температурного поля в узле трения и констатация фактов его влияния на физико-механические и трибологические характеристики пластмасс не дают ответа на круг вопросов, которыми озадачены исследователи-трибологи. Необходимо определить механизм этого влияния и найти математически точные или приближенные инженерные описания элементарных фрикционных актов, вытекающих, в первую очередь, из специфики полимерных материалов - их способности генерировать при трении активные продукты деструкции и накапливать электрические заряды. Наличие температурного градиента в трибосопряжении приводит к градиенту механических свойств и развитию диффузионных, трибоэлектрических и трибохимических процессов в зоне фрикционного контакта.

На основе анализа существующих теоретических представлений и экспериментальных данных в области исследования термического трибоконтакта установлено, что не только температура, но и температурный градиент является ключевой характеристикой металлополимерной трибосистемы.

В работе предложен метод расчета температурного поля в металлополи-мерных трибосистемах, базирующийся, в отличие от известных, на теории регуляризации сингулярных возмущенных задач путем перехода в пространство безрезонансных решений, позволивший исследовать характер изменения температуры и температурного градиента в пограничной области фрикционного контакта в зависимости от режимов и характера работы узла трения с учетом изменений свойств материала в поверхностном слое и смены граничных условий. Такой подход к исследованию термического контакта в теории трения и износа предпринят впервые В.И. Колесниковым [197], и его достоверность подтверждена экспериментально путем принципиально нового метода диагностики температурного поля с применением поверхностных акустических волн Рэлея.

Следует отметить, что в проведенных экспериментах материал предполагался идеально упругим. В действительности же все металлы обладают свойством внутреннего трения. Последнее можно имитировать введением соответствующего коэффициента вязкости, рассматривая модель Кельвина-Фойгта. На практике, как показано в третьей главе диссертационной работе, это может привести к тому, что рэлеевские волны либо вообще не будут возбуждаться гармоническим волнопродуктором, либо дойдут до волноприемника с чрезвычайно малыми амплитудами, сопоставимыми с точностью измерительной аппаратуры.

Показано, что суммарный эффект от воздействия температуры и температурного градиента резко отклоняется от правила аддитивности и имеет оптимум, в пределах которого процесс трения характеризуется минимальными устойчивыми значениями сил трения и интенсивности изнашивания.

Раскрыта физическая природа и определены закономерности влияния температуры и температурного градиента на трибоэлектрические и диффузионные процессы, происходящие в зоне контакта металлополимерной трибосисте-мы. Для фрикционных материалов основным критерием исключения повышенного износа и переноса металла на сопряженную поверхность является снижение степени наводороживания металлического контртела путем создания оптимального температурного градиента и положительной трибозарядки на нем.

Задача теории теплопроводности заключается в отыскании температуры в отдельных точках тела в любой момент времени. В математическом смысле задача сводится к нахождению распределения температуры в теле в виде непрерывно дифференцируемой функции.

Началом систематического изучения термического контакта при трении материалов можно считать выход в свет работ Боудена и Ридлер. Дальнейший вклад в решение проблемы внесли Блок и Иегер.

Расчет температур на единичном пятне контакта провел Р. Хольм.

Последующие исследования только уточнили уже известные результаты. Из них можно отметить следующие работы: М.П. Левицкого, Линга и Сейбла, Арчарда, Дайсона, Г.А. Фазекаса.

С совершенно иных позиций рассматривает задачу термического контакта при трении для случая, когда область соприкосновения мала по сравнению с характерным размером тел, М.В. Коровчинский.

Следует сказать о работе Л.В. Янковской, в которой сделана попытка распространить метод Блока на случай макроконтакта.

Таким образом, все работы по расчету поверхностных температур сводятся к естественному обобщению методов определения последних на микро- или макроконтактах.

B.C. Щедров решил тепловую задачу трения, в которой устранены вышеуказанные недостатки.

В машиностроении с теплообразованием при трении как фактором, ограничивающим работоспособность деталей машин, исследователи столкнулись в условиях особо высоконагруженного контакта, прежде всего при ужесточении рабочих параметров тормозов.

Особенно следует здесь отметить работу A.B. Чичинадзе [257], который изучил температурные режимы тормозных устройств при трении с применением введенного им параметра-коэффициента взаимного перекрытия и разработанных уравнений тепловой динамики трения.

В настоящее время большинство работ советских и зарубежных специалистов в области термического трибоконтакта посвящено определению температурного поля тонкослойных покрытий узлов трения и многослойных трибосистем при стационарном и нестационарном нагружении, а также при высоких скоростях скольжения.

Так, В.А. Кудинов на основе анализа исследований деформации поверхностных слоев трущихся тел пришел к заключению, что максимальное значение температуры при трении имеет место не на поверхности трения, а на расстоянии, равном половине деформируемого слоя трущейся пары.

Существующие методы теплового расчета не позволяют, однако, определить характер изменения температурного поля в тонких поверхностных слоях трибоконтакта с учетом изменений свойств последнего. Кроме того, из анализа работ по расчету температурного поля скользящего контакта можно заключить, что все они выполнены с некоторыми приближениями в постановке граничных условий. Это обусловлено, прежде всего, непростой геометрией фрикционных сопряжений и неполным взаимным перекрытием рабочих поверхностей.

Перечень работ упомянутых выше авторов приведен в вышедшей в 2003 г. в издательстве «Наука» монографии В.И. Колесникова [197], явяляющимся научным консультантом диссертанта, раздел 2.2 которой написан, к слову, по материалам совместных с диссертантом статей [88,96,101, 104,105,114].

Методологической основой представляемой диссертационной работы является математическое моделирование, основополагающие концепции которого сформулированы в [19,235,236,251,274,290] и, безусловно, в ряде других работ.

Математический аппарат диссертации включает в себя: линейные уравнения математической физики, линейные и нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, широкий набор асимптотических методов, из которых основное внимание уделяется наиболее современному по времени своего появления методу регуляризации сингулярных возмущений С.А. Ломова, нелинейную спектральную теорию операторов, разнообразные численные методы, базирующиеся как на стандартных пакетах прикладных программ, так и на оригинальных вычислительных программах, использующих системы языки и программирования MathCad, Mathematica, Pascal.

В определяющей четкий план действий при математическом моделировании какого-либо объекта или процесса триаде «модель - алгоритм - программа» [274] под вторым этапом подразумевается, прежде всего, выбор алгоритма для расчета на ЭВМ, иными словами представление модели в виде, удобном для применения численных методов. Между тем наличие широких возможностей, представляемых современными численными методами, не умаляет роли асимптотических методов решения уравнений изучаемой модели. Эффективность асимптотических подходов к решению уравнений, описывающих процессы в различных областях физики, биологии, экономики и т.д. продемонстрирована огромным количеством исследованных задач, имеющих значительную теоретическую и прикладную ценность. Асимптотический подход, основанный на сегодняшний день на широкой палитре методов теории регулярных и сингулярных возмущений, играет фактически роль методологического принципа, позволяющего говорить об «асимптотическом мышлении», способствующем углубленному пониманию и декомпозиции сложных систем, формированию новых понятий и выявлению иерархических связей между физическими теориями (моделями) различного уровня. Универсальность асимптотических явлений, возможность единых подходов вне зависимости от принадлежности явления той или иной области естествознания оправдывает введение по предложению М. Крускала термина «асимптотология» [13,233].

Заметим также, что и применение численных методов к решению сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (в контексте настоящей диссертационной работы под последними понимаются уравнения с малым параметром при старших производных или их части, в последнем случае иногда говорят, что малый параметр разделяет старшие производные) требует предварительного асимптотического анализа для построения устойчивых алгоритмов [67]. Более того, даже при наличии точных решений, содержащих естественные большие или малые параметры, но являющихся громоздкими и малообозримыми, переход к их асимптотическому представлению оказывается весьма полезным. Здесь речь идет о так называемом инженерном характере представляемых результатов, когда в понятие "инженерный" включается сочетание необходимой точности с простотой окончательных расчетных формул, дающих возможность делать непосредственные качественные выводы о зависимости решения от физических параметров. Примечание существенно в ситуациях, когда «прогонка» прямого численного либо точного решения требует больших затрат машинного времени, не совместимых с реальной практической ценностью задачи.

Выводы:

1) В случае, когда потенциал релаксационного источника тепла имеет порядок O(s) и Biz = О(е) (т.е. при слабой теплоотдаче с торцов) главный член асимптотики порождён релаксационным потенциалом, фрикционный же тепловой поток проявляется в следующем приближении, т. е. при -Js. 2) Тепловое поле фактически одномерное, так как зависимость температуры от координаты z проявляется только в членах порядка е. 3) В случае, когда потенциал релаксационного источника имеет порядок 0(d/2) (т.е. мощность релаксационного источника тепла мала) влияние фрикционного и релаксационного источников тепла проявляется уже в главном члене асимптотики. 4) В случае сильной теплоотдачи с торцов подшипника Biz = 0(1) эффект фрикционного, разогрева проявляется только в погранслойных членах, т.е. носит локальный характер. 5) В случае сильной теплоотдачи с торцов подшипника и достаточно большой толщине его, эффект фрикционного разогрева проявляется только вблизи поверхности трения.

Результаты данного параграфа изложены в публикациях [93,94,95]. е = IR;] = ОД 11; Bit = alX1 = 0,2.

Рис. 1.1. Расчетная схема для подшипника

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании изложенного в диссертационной работе можно сделать вывод о том, что ее логическое единство и целостность определяются общностью подходов и математических методов к объектам и их моделям различной физической природы. Эта общность позволила получить новые результаты и выводы даже в, казалось бы, достаточной степени исследованных классических областях. Так, например, в задаче стационарной теплопроводности для тонких дисков получены асимптотические формулы не для одного, а для различных типов граничных условий на торцах. С физической точки зрения это позволяет оценивать степень их загрязнения на распределение температурного поля внутри диска (колеса).

Существенным результатом является асимптотическое решение методом регуляризации сингулярных возмущений модельной смешанной задачи о торможении колеса бандажными колодками. В итоге доказано существование подповерхностного максимума радиальной проекции температурного градиента. Полученный вывод имеет непосредственное прикладное значение, что и зафиксировано актом внедрения на СКЖД (см. приложение 1).

Неравномерность температурных полей и функций механических напряжений наряду с явлениями электропереноса и концентрационного расширения создают сложную диффузионную картину в металлических образцах. Наличие концентрационных максимумов примесей является источником водородного и других видов износа. Проведенный в диссертации строгий математический анализ альтернативного уравнения диффузии позволяет ответить на ряд перечисленных вопросов. Существенно новыми математическими результатами являются доказательство теоремы о стабильности спектра при любых функциях переноса, что необходимо для корректного применения метода регуляризации сингулярных возмущений С.А. Ломова, составляющего весьма существенную часть применяемого в диссертации математического аппарата.

Вне всякого сомнения, новым результатом является ^впервые сформулированная связь концентрационных экстремумов с точками поворота дифференциального оператора стационарной диффузии^Элементом новизны обладает и теоретическое обоснование известного эксперимента Г. Фромма и др. по ч диффузии кислорода в тантале. Помимо того, в области химической кинетики именно применение метода Ломова позволило получить аналитические выражения для максимального значения продукта фермент-субстратной реакции и время его достижения.

Для диссипативной среды, каковой является слой из материала Кельвина^ Фойгта, методом теории самосопряженных квадратичных операторных пучков впервые получено достаточное условие апериодичности всех мод, что означает / ^ невозможность возбуждения колебаний никаким гармоническим волнопродук-тором.^Несомненно, новыми результатами, имеющими впшше15чевидный прикладной аспект, являются решение задач о продольных колебаниях нагружен- | ? ного вязкоупругого стержня с кулоновским трением на конце и при горении | ' полого цилиндрического твердотопливного заряда (имеется акт использования ) последних работ в курсе, читаемом автором, в РВИ РВСН, см. приложение 2). ^ В классической задаче теории УГД-смазки в винклеровском приближении реа-~~7 ^ лизован новый подход к проблеме как к специфической задаче на собственные ^ значения. Кроме того, построена не встречавшаяся ранее регуляризованная асимптотика, дающая хорошее совпадение с данными численных расчетов. В случае, когда смазка является максвелловским телом, в работе дана строгая постановка задачи на основе приближенных уравнений равновесия сплошной среды. Методом Ломова проведен детальный анализ задач в линейном случае и для модели Эйринга, давший хорошее совпадение с физическими представлениями о сущности процесса. В области многолетней проблемы существования второго «пичка» задачи УГД-контакта в приближении Буссинеска доказана теорема о его отсутствии при выполнении условия Свифта-Стибера. ■-^

В четвертой и пятой главах объектами изучения являются волны в бесконечно проводящей вязкой жидкости и в невязкой жидкости конечной проводи мости, соответственно. В обоих случаях модели разбиваются на два типа: коротковолновые и длинноволновые. Автор берет на себя смелость утверждать, что ^строгие с математической точки зрения модели для указанных сред сформулированы впервые. Более того, приведенные в указанных главах результаты являются не набором разрозненных примеров, а классифицированы в рамках теории самосопряженных квадратичных операторных пучков в главе IV и более общих голоморфных операторных пучков в главе V. Существенным представляется выделение в обоих случаях нового класса волн, названного в работе вязкими альфвеновскими волнами. Чисто аналитическими методами в диссертации подтвержден стабилизирующий эффект наложения на электропроводящую/ жидкость горизонтального магнитного поля, | что по имеющимся у нас данным может иметь приложения в металлургии и в экологии водных систем (при удалении загрязнений с поверхности акватории). Сугубо авторскими следует при знать вывод уравнения длинных волн в жидкости с "линейно "меняющимся по' глубине магнитным полем, сведение полученных уравнений к сложной спектральной задаче для системы интегро-дифференциальных уравнений. Выпол-/ нение трудоемких численных расчетов для различных комбинаций граничных условий на поверхностях раздела сред позволило провести полную классификацию возникающих волновых режимов^Особо следует отметить вывод в главе V общего уравнения баланса энергии. Это позволило в случае переменности по глубине магнитного поля, которая вызывается пропусканием через жидкость постоянного электрического тока, предсказать, а затем и численно и аналитиче- / * ски подтвердить при определенных краевых условиях возможность возникжи вения неустойчивости в области малых магнитных чисел Рейнольдса.

1. Абугов Д.И., Бобылев В.М. Теория и расчет ракетных двигателей твердого топлива. М.: «Машиностроение», 1987. - 272 с.

2. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. - 832 с.

3. Александров В.М. О постановке задач гидродинамической теории смазки // ДАН СССР. -1981. Т. 258, № 4. - С. 819-822.

4. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. -336 с.

5. Александров В.М., Кудиш И.И., Никулинская JI.K. О постановке и решении контактно-гидродинамических задач теории смазки 7/ Трение и износ. Т. III, № 1.-1982-С. 51-63.

6. Алексенко В.М., Колесников В.И., Насельский П.Д., Фигурнов Е.П. Экспертно-информационные системы тепловой диагностики транспорта. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 1999. - 240 с.

7. Антонюк П.Н. Дисперсионное уравнение для плоской капиллярно-гравитационной волны на свободной поверхности вязкой несжимаемой жидкости // ДАН СССР. 1986. - т. 286, № 6. - с. 1324-1326.

8. Аскеров Н.К., Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Задача о колебаниях вязкой жидкости и связанные с ней операторные уравнения // Функциональный анализ и его приложения. 1968. - Т. 2, № 2. - С. 21-32.

9. Ахвердиев К.С., Котельницкая Е.И., Демидова H.H. Расчет упорных подшипников с эффективной работой на смазке с расплавом в турбулентном режиме // Вестн. Ростовского гос. ун-та путей сообщения. 2002. - №2. - С. 5-9.

10. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1968.-560 с.

11. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая теория электрофореза. Применение к методам фракционирования биополимеров. -Киев: Наукова думка, 1983. 204 с.

12. Балабух Л.И., Колесников К.С., Зарубин B.C., Алфутов H.A., Усюкин В.И., Чижов В.Ф. Основы строительной механики ракет. М.: Высшая школа,1969.-496 с.

13. Баранцев Р.Г. Об асимптотологии // Вестник Ленинградского университета. 1976. №1. С. 69-76.

14. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1967. - 224 с.

15. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1970.-240 с.

16. Бардзюкас Д.И., Кудрявцев Б.А., Сеник H.A. Распространение волн в электромагнитоупругих средах. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 336 с.

17. Баринов В.А., Тактаров Н.Г. Математическое моделирование магни-то- гидродинамических поверхностных волн. Саранск: Изд-во Мордовского ГУ, 1991.-96 с.

18. Баштовой В.Г., Тайц Е.М. О возможности приближения «мелкой воды» в механике магнитных жидкостей // Магнитная гидродинамика. 1985. - № 4.-С. 46-52.

19. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механики и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. -360 с.

20. Блум Э.Я., Майоров М.М., Цеберс А.О. Магнитные жидкости. Рига: Зинатне, 1989. - 386 с.

21. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1987. - 256 с.

22. Богородский А.Ф. Магнитная гидромеханика. Издательство Киевского университета, 1966. - 148 с.

23. Брагинский С.И. К магнитной гидродинамике слабо проводящих жидкостей// ЖЭТФ. 1959. - Т.37. Вып.5(11). - С. 1417-1430.

24. Бутенин Н.В. Механические автоколебания системы с гироскопическими силами // Прикл. матем. и мех. 1942. - Т. 6. - С. 327-346.

25. Бэррер Р. Диффузия в твердых телах. М.: Гос. изд-во иностранной литературы, 1948. - 504 с.

26. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: «Мир», 1968. - 464 с.

27. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. - 296 с.

28. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1969. - 528 с.

29. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: «Мир», 1967.-312 с.

30. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1973.-272 с.

31. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд. Моск. ун-та, 1978. - 106 с.

32. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. О методе пограничных функций // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т. XXI, № 10. - С. 1659-1669.

33. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. - 208 с.

34. Васильева А.Б., Винокурова В.А., Ломов С.А., Митропольский Математическая школа, «Метод малого параметра и его применение». УМН. -1978. - Т. ХХХШ. - Вып. 3. - С. 207-213.

35. Васильева А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М.: Изд-во Моск. ун-та,1989. - 156 с.

36. Велихов Е.П. Устойчивость течения идеально проводящей жидкости между вращающимися цилиндрами в магнитном поле// ЖЭТФ. 1959. - Т.36. Вып.5(10). - С. 1398-1404.

37. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы программы. Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1986. - 544 с.

38. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Ламба в технике. М.: Наука, 1966. - 168 с.

39. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. -М.: Наука, 1981.-287 с.

40. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. - Т.12, вып. 5(77). - С. 3-122.

41. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений //1. УМН. 1960. - Т. 15, вып. 3(93). - С. 3-80.

42. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями // УМН. 1960. - Т. 15, вып. 4(94). - С. 27-95.

43. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1958. -Т. 121. №5.-С. 778-781.

44. Водород в металлах. Т.2. / Г.Алефельд, Б.Барановский и др.; под ред. Г. Алефельда и И. Фёлькля. М.: «Мир», 1981. - 430 с.

45. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. М.: Изд-во МФТИ, 1997. - 240 с.

46. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Фетисов С.А. Автомодельные решения задач нагрева и динамики плазмы. М.: Изд-во МФТИ, 2001. - 256 с.

47. Воробьев Е.М. Введение в систему «МАТЕМАТИКА». М.: «Финансы и статистика», 1998. - 265 с.

48. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. - 455 с.

49. Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. М.: Вузовская книга, 2000. - 320 с.

50. Галахов М.А. К вопросу о существовании второго максимума давления в слое смазки // Машиноведение. 1973. - №5. - С. 80-81.

51. Галахов М.А., Гусятников П.Б., Новиков А.П. Математические модели контактной гидродинамики. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985 - 296 с.

52. Галахов М.А., Усов П.П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической теории трения. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 280 с.

53. Галицын A.C., Жуковский А.Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. Киев: Наукова думка, 1976.-284 с.

54. Гаркунов Д.Н. Триботехника. М.: Машиностроение, 1985. - 424 с.

55. Гаркунов Д.Н. Триботехника /пособие для конструктора/. М.: Машиностроение, 1999. - 336 с.

56. Гегузин Я.Е. Диффузионная зона. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.-340 с.

57. Гидромеханика невесомости / Бабский В.Г., Копачевский Н.Д. и др.; под ред. А.Д.Мышкиса. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 504 с.

58. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001.-478 с.

59. Госсард Э., Хук У. Волны в атмосфере. М.: «Мир», 1978. — 532 с.

60. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. - 448 с.

61. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-матю лит., 1971. - 1108 с.

62. Гуляев А.П. Металловедение. М.: Металлургия, 1966. - 480 с.

63. Дикий JT.A. Теория колебаний земной атмосферы. Л.: Гидрометеорологическое издательство, 1969. - 196 с.

64. Дородницын A.A. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // Успехи матем. наук. 1952. - Т. 7. Вып. 6. - С. 3-96.

65. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: «Мир», 1983. - 200 с.

66. Евдокимов Ю.А., Колесников В.И., Подрезов С.А. Тепловая задачаметаллополимерных трибосопряжений. Издательство Ростовского университета, 1987. - 168 с.

67. Евдокимов Ю.А., Колесников В.И., Тер-Оганесян В.И. // Тез. докл. Всесоюз. семинара / Влияние качества поверхности на эксплуатационные свойства подвижных сопряжений машин. Рыбинск. - 1979. - С. 96-98.

68. Елманов И.М., Колесников В.И. Термовязкоупругие процессы три-босистем в условиях упругогидродинамического контакта. Ростов н/Д: Издательство Северо-Кавказского научного центра высшей школы, 1999. - 173 с.

69. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Сдвиговая поверхностная волнана границе раздела упругого полупространства и проводящей вязкой жидкости в магнитном поле // Дефектоскопия. 1997. - № 5. - С. 37-43.

70. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Поверхностная сдвиговая волна на границе упругого тела с микрополярной жидкостью // ПММ. 1999. - Т. 63. -Вып. 2.- С. 288-294.

71. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. СМБ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968.-448 с.

72. Задорожный А.И. О волнах на поверхности шара вязкой жидкости //"Механика сплошных сред в сельхозмашиностроении". Ростов-на-Дону: РИСХМ, 1973-С. 68-85.

73. Задорожный А.И. Собственные длинноволновые колебания шарового слоя вязкой несжимаемой жидкости //«Математика, некоторые приложения и методика преподавания». Ростов-на-Дону: РГПИ, 1973 - С. 89-92.

74. Задорожный А.И. Длинные цилиндрические волны в неоднородной вязкой жидкости //«Динамика и прочность сельхозмашин». Ростов н/Д.: РИСХМ, 1974 - С. 87-92.

75. Задорожный А.И. Затухание длинных волн в экспоненциально стратифицированном море //«Морские гидрофизические исследования». Севастополь: МГИ АН УССР, № 3/70, 1975 - С. 96-109.

76. Задорожный А.И. О затухании длинных волн на поверхности вращающегося шарового слоя //«Морские гидрофизические исследования». Севастополь: МГИ АН УССР, № 4/71, 1975 - С. 68-71

77. Задорожный А.И., Хартиев С.М., Черкесов Л.В. О влиянии вязкости на вынужденные волны в непрерывно стратифицированном море //«Поверхностные и внутренние волны» Севастополь: МГИ АН УССР, 1978 -С. 178-191.

78. Задорожный А.И., Хартиев С.М. Длинные внутренние волны в непрерывно стратифицированной вязкой жидкости, вызванные колебаниями атмосферного давления //«Поверхностные и внутренние волны». Севастополь: МГИ АН УССР, 1979-С. 153-162.

79. Задорожный А.И. Исследование влияния вязкости на поверхностные и внутренние гравитационные волны в океане: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.04.12. МГИ АН УССР. - Севастополь, 1980 - 185 с.

80. Задорожный А.И. Исследование влияния вязкости на поверхностные и внутренние гравитационные волны в океане /Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.04.12 / МГИ АН УССР. Севастополь, 1980 - 16 с.

81. Задорожный А.И. О затухании свободных поверхностных и внутренних волн в поле силы Кориолиса //«Автоматизация научных исследований морей и океанов». Севастополь.: МГИ АН УССР, 1980 - С. 304.

82. Задорожный А.И., Черкесов Л.В. Затухание длинных волн малой амплитуды в непрерывно стратифицированном море // «Теоретические исследования волновых процессов в океане» Севастополь: МГИ АН УССР, 1983. - С. 91-100.

83. Задорожный А.И., Канович М.Э., Колесников В.И., Подрезов С.А. Асимптотическое решение задачи теплопроводности для неоднородных полимерных материалов //«Применение полимерных материалов в народном хозяйстве республики» Нальчик: 1983 - 1 с.

84. Задорожный А.И., Черкесов JI.B. Собственные колебания в непрерывно стратифицированном море при наличии турбулентного обмена //«Моделирование поверхностных и внутренних волн» Севастополь: МГИ АН УССР, 1984-С. 76-82.

85. Задорожный А.И., Колесников В.И., Подрезов С.А. Исследование тепловой задачи трения для диска методом регуляризации сингулярных возмущений //«Трение и изнашивание», в. 27 Киев: Техшка, 1985 - С. 13-18.

86. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Устойчивость одной модели кинетики водной экосистемы //Тезисы докладов конференции «Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования» Новороссийск, Ростов-на-Дону: 1985 - С. 73-74.

87. Задорожный А.И., Подрезов С.А. Асимптотический анализ периодического температурного поля в тонком диске //«Вопросы механики в сельскохозяйственном машиностроении»: Межвузовский сборник. Ростов н/Д.: РИСХМ, 1985 - С. 117-127.

88. Задорожный А.И., Подрезов С.А. Построение асимптотического решения температурной задачи для кольца // Деп. ВИНИТИ, 28.04. 1986, № 3099-В 22 с.

89. Задорожный А.И., Подрезов С.А. Асимптотическое решение периодической температурной задачи в тонком круглом диске //Деп. ВИНИТИ, 07.08.1986, № 5650-В 24 с.

90. Задорожный А.И., Ковальчук В.Е., Колесников В.И. Асимптотический расчет периодического температурного поля, возникающего в трибосистемах //«Вестник машиностроения» М., 1986 - № 12 - С. 23-24.

91. Задорожный А.И., Колесников В.И., Подрезов Е.С. Условия возникновения температурного градиента в трибосистемах с нестандартным нагружени-ем //Деп. ЦНИИТЭИ МПС, № 3466, 1986 26 с.

92. Задорожный А.И., Грунтфест P.A. Отчет по теме № 2437 «Исследование внутренних волн в неоднородной жидкости, вызванныхдвижущимся телом» Ростов-на-Дону: РГУ; Севастополь: МГИ АН УССР, 1986 - 43 с.

93. Задорожный А.И., Колесников В.И., Подрезов Е.С. Применение метода регуляризации сингулярных возмущений в задачах теплопроводности //Изв. СКНЦ ВШ, сер. «Технические науки», № 3 Ростов н/Д.: 1987 - С. 128-131.

94. Задорожный А.И., Колесников В.И., Подрезов Е.С. Исследование температурного поля радиального армированного подшипника //Деп. ВИНИТИ МПС, № 4076, 1987 26 с.

95. Задорожный А.И., Кириченко В.П., Ковальчук В.Е., Колесников В.И. Асимптотический расчет температуры во фрикционном сопряжении //Деп. ЦНИИТЭИ МПС, № 4660, 1988 20 с.

96. Задорожный А.И. Численный анализ процесса генерации внутренних волн в непрерывно стратифицированном океане //В кн. «Информационные технологии и системы. Технологические задачи механики сплошных сред» Воронеж: ВГУ, 1992 - С. 74.

97. Задорожный А.И. Спектральные свойства длинных МГД-волн в вязкой жидкости //Тезисы докладов школы «Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании». Воронеж 25 января-3 февраля 1993. Изд. ВГУ, 1993. С. 58.

98. Задорожный А.И., Колесников В.И., Мясникова И.А. Акустическая диагностика трибосопряжений и пути повышения их износостойкости //Труды 1 Международной конференции «Энергодиагностика» М.: «Газовая промышленность» - № 8 - 1995 - с. 35-37

99. Задорожный А.И., Колесников В.И., Мясникова И.А. Акустическая диагностика трибосопряжений и пути повышения их износостойкости //Первая международная конференция «ЭНЕРГОДИАГНОСТИКА» (сборник трудов). Москва, сентябрь 1995. Т. 3 «Трибология». С. 52-58.

100. Задорожный А.И. Задача Ламба о волнах в вязкой жидкости бесконечной проводимости //Тр. VI межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», ч. 2, Самара, 29-31 мая 1996. СГТУ. С. 3638.

101. Задорожный А.И. О спектре одного полиномиального пучка, возникающего в теории длинных магнитогидродинамических волн //Тезисы докладов международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения», ч. 2, Самара, 25-29 июня 1996 , СГУ.- С. 21.

102. Задорожный А.И. О глобальной устойчивости одной модели динамики цен //Тезисы докл. 5-ой Международной конференции женщин-математиков «Математика. Экономика» Новороссийск - Ростов н/Д: 1997 -С. 126-127.

103. Задорожный А.И. О спектре одного интегро-дифференциального оператора, возникающего в теории длинных МГД-волн //«Интегро-дифференциальные операторы и их приложения», вып. 2 Ростов-на-Дону: ДГТУ, 1997.-С. 79-88.

104. Задорожный А.И., Колесников В.И. О затухании свободных колебаний расплавленного металла в магнитном поле //Межвуз. сб. науч. трудов «Современные проблемы энергетики» Ростов н/Д.: РГУ ПС, 1998. - С. 69-76.

105. Задорожный А.И. Некоторые свойства спектра колебаний вязкоупру-гого слоя //Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чте-ния-IX»,— Воронеж, 3-9 мая 1998. С. 79.

106. Задорожный А.И., Коцуконь С.Н. Спектральные и асимптотические свойства волн рэлеевского типа в вязкоупругом слое //Труды VIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», ч. 3. -Самара, 26-28 мая 1998. С. 49-51.

107. Задорожный А.И. Регуляризованная асимптотика нестационарного процесса одномерной гетеродиффузии в металле //Тезисы докл. 57-ой научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава РГУПС -Ростов-на-Дону: 1998.-С. 167-168.

108. Задорожный А.И., Углич П.С. Нестационарная термодиффузия водорода в металле // В сборнике «Тезисов докладов Международной конференции Строительство-98» Ростов-на-Дону: 1998 - С. 171

109. Задорожный А.И., Колесников В.И. Пограничные слои и установившаяся само-гетеродиффузия водорода в тонких металлополимерных трибосоп-ряжениях // Материалы международной конференции «ТРИБЭНЕРГ-98» М.: 1998- 1 с.

110. Задорожный А.И. Собственые колебания потока жидкого металла в неоднородном магнитном поле //Тезисы докладов XII зимней школы по МСС, Пермь, 25-31 января 1999. С. 147.

111. Задорожный А.И., Грунтфест P.A., Колесников В.И. Собственные колебания тонкого слоя жидкого металла конечной электропроводимости при наличии внешнего магнитного поля Известия ВУЗов, Сев.-Кав. Регион, ест. Науки, № 3 - 1999. - С. 35-39.

112. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Асимптотический анализ одномерной инвестиционной модели с запаздыванием //Тезисы докл. 7-ой Международной конференции женщин-математиков «Математика. Экономика» Новороссийск - Ростов н/Д: 1999. - С. 157-158.

113. Задорожный А.И. Свободные колебания кондукционно подвешенной полосы жидкого металла в магнитном поле //Труды IX Межвуз. конф. «Мат. моделирование и краевые задачи», ч.1, Самара 1999. - С. 91-95.

114. Задорожный А.И. Квадратичный операторный пучок в теории длинных гравитационных волн //Труды IX Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», ч.З, Самара 1999. - С. 60-64.

115. Задорожный А.И. Внутренний пограничный слой в задачах стационарной теплопроводности для цилиндрических тел //Материалы 58 научной конференции профессорско-преподавательского состава РГУПС, 20-22 апреля1999,- Ростов н/Д. С. 69.

116. Задорожный А.И. Применение метода регуляризации сингулярных возмущений в задачах теплопроводности, термодиффузии и теории магнито-гидродинамических волн для тонких областей//Известия РАН, МТТ. 2000. -№4.-С. 191-192.

117. Задорожный А.И., Грунтфест P.A. Собственные колебания жидкости конечной электропроводимости при наличии внешнего магнитного поля Новосибирск: ПМТФ. Т. 41, № 2 - 2000. - С. 3-10.

118. Задорожный А.И., Елманов И.М., Колесников В.И. О распределении давления жидких смазочных материалов в некомфортных сопряжениях УГД-контакта Научная мысль Кавказа, № 7(12) - СКНЦ ВШ - 2000. - С. 63-68.

119. Задорожный А.И., Лиховидова Л.В. Моделирование процесса одномерной периодической термоэлектродиффузии водорода в металле //В сб. Актуальные проблемы развития ж/д транспорта РГУ ПС - 2000. - С. 25-26.

120. Задорожный А.И., Елманов И.М., Колесников В.И. Теоретическое распределение давления жидких смазочных материалов в некомфортных сопряжениях УГД-контакта, Ростов-на-Дону, Вестник РГУ ПС, № 3 2000. - С. 132-135.

121. Задорожный А.И., Грунтфест Р.А. Собственные колебания тонкого слоя жидкости конечной электропроводимости при наличии внешнего магнитного поля Новосибирск: ПМТФ. Т.41, № 6 - 2000. - С. 27-35.

122. Задорожный А.И., Колесников В.И. Применение метода Ломова в одной задаче нестационарной электротермоэластодиффузии // Труды XI межвуз. конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», часть 3 Самара: СамГУ, 2001. - С. 61 -66.

123. Задорожный А.И. Диссипативные эффекты в линейной теории свободных магнитогидродинамических волн //Тезисы докл. VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике Пермь: 2001. С. 267.

124. Задорожный А.И., Колесников В.И. Анализ спектра колебаний намагничивающейся жидкости в диффузионном приближении //Обозрение прикладной и промышленной математики Т.8 - М.: ТВП, 2001 - 1 с.

125. Задорожный А.И., Колесников В.И. Моделирование процесса термо-электроэластодиффузии с учетом эффекта концентрационного расширения металла //Обозрение прикладной и промышленной математики Т.8 - М.: ТВП, 2001.-С. 226.

126. Задорожный А.И., Колесников В.И. Регуляризованная асимптотика в модельной задаче о восходящей диффузии водорода в металле //Обозрение прикладной и промышленной математики Т.10 - М.: ТВП, 2001. - С. 611-613.

127. Задорожный А.И., Елманов И.М., Колесников В.И. К вопросу неустойчивости решения задачи эластогидродинамической смазки // Вестник машиностроения № 3 - 2002. - С. 37-40.

128. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Оптимизация в обобщенной одно-секторной модели экономической динамики Солоу : Вестник РГУ ПС № 3 -2002-8 с. -С. 91-98

129. Задорожный А.И., Ильичев В.Г. К моделированию динамики групп //Математическое моделирование № 12 - Т. 14 - 2002. - 13 с. - С. 72-84

130. Задорожный А.И., Елманов И.М. Асимптотический анализ модели Эйринга в задаче ЭГД-контакта твердых тел // Тр. научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава «Транспорт-2003», апрель 2003,ч. 1,изд. РГУПС.-С. 131-134.

131. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Квадратичный операторный пучок в одной задаче о колебаниях жидкости в магнитном поле // Воронежская ВМШ: Современные методы в теории краевых задач-«Понтрягинские чтения -XIV», 3-9 мая 2003, изд. ВГУ. С. 55-56.

132. Задорожный А.И. Численно-аналитическое решение уравнения Рей-нольдса в винклеровском приближении // Тр. XVI Международной конференции ММТТ, 27-29 мая 2003, Москва С.-Петербург - Ростов-на-Дону, изд. СПб ГТИ(ТУ).-С. 122-127.

133. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Продольные колебания нагруженного вязкоупругого стержня: спектр, базисность и двукратная полнота // Тезисы докладов XXIII Российской школы по проблемам науки и технологий, 2426 июня 2003, г. Миасс, изд. МСНТ. С. 29.

134. Задорожный А.И. Асимптотические подходы к исследованию одномерной диффузии газа в металле // Международный конгресс "МЕХТРИБОТРАНС-ОЗ". Т.1, Ростов н/Д, 10-13 сентября 2003.- С. 348-354.

135. Задорожный А.И., Елманов, Кротов В.Н. Особенности решения задач вязкоупругости жидкого смазочного материала для эластогидродинамического контакта // Международный конгресс "МЕХТРИБОТРАНС-ОЗ". Т.1, Ростов-на-Дону, 10-13 сентября 2003.- С. 330-333.

136. ТА-0 // IV Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Сочи, 1-7 октября 2003 г., Москва, ОПиПМ. Т.10, вып. 2, 2003. С. 397400.

137. Задорожный А.И., Базов И.А. Математическая теория демпфера сухого трения с вязкоупругим элементом // Вестник РГУ ПС, № 3, Ростов-на-Дону, 2003.-С. 99-104.

138. Задорожный А.И. Эффект стабилизации собственных гравитационных колебаний двухслойной электропроводной вязкой жидкости горизонтальным магнитным полем//Вестник РГУ ПС, № 1, Ростов-на-Дону, 2004.-С. 87-92.

139. Задорожный А.И., Артамонова Е.А. Модельная задача нестационарной одномерной диффузии газа в металле // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Транспорт-2004», 25-27 мая 2004, ч.2, изд. РГУ ПС.-С. 24-27.

140. Задорожный А.И., Задорожная Н.С. Диссипативная теорема для длинных МГД-волн в вязкой жидкости конечной электрической проводимости // Воронежская Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения - XV», 3-9 мая 2004, изд. ВГУ. - С. 90-92.

141. Задорожный А.И. Регуляризованная асимптотика для уравнения Рей-нольдса в винклеровском приближении // Труды Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (ММ-2004), ч. 1, 26-28 мая 2004, г. Самара, изд. СамГТУ. С. 79-84.

142. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Точные решения. М.: Наука. Физматлит, 1995.-560 с.

143. Зино И.Е., Тропп Э.А. Асимптотические методы в задачах теплопроводности и термоупругости. Д.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. - 224 с.

144. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 336 с.

145. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Самосопряженные операторы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. - 368 с.

146. Ишлинский А.Ю., Крагельский И.В., Алексеев Н.М. и др. Проблемы изнашивания твердых тел в аспекте механики // Трение и износ. -1986. Т.7, № 4. - С. 5811-592.

147. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О спектральных задачах со спектральным параметром в граничных условиях // Дифференциальные уравнения. 1997.-Т. 33, №1.-С. 115-119.

148. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О сходимости спектральных разложений функций из класса Гёльдера для двух задач со спектральным параметром в граничном условии// Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36, № 8. - С. 1069-1074.

149. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О базисности в пространстве ^систем собственных функций, отвечающих двум задачам со спектральнымпараметром в граничном условии // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36, № 10.-С. 1357-1360.

150. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. К проблеме сходимости спектральных разложений для одной классической задачи со спектральным параметром в граничном условии // Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37, № 12. - С. 1599-1604.

151. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Т.1 -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. 704 с.

152. Карпинский Д.Н., Санников C.B. Расчет пластифицирующего влияния растворенного в кристалле водорода на эволюцию пластической деформации у вершины трещины // Физика твердого тела. 2000. - Т. 42. Вып. 12.-С. 2171-2174.

153. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. - 550 с.

154. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958. - 508 с.

155. Кирко И.М. Жидкий металл в электромагнитном поле. М.-Л.: Энергия, 1964. - 160 с.

156. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка, 1970.-308 с.

157. Коднир Д.С. Контактная гидродинамика смазки деталей машин. -М.: «Машиностроение», 1976. 304 с.

158. Колесников В.И. Теплофизические процессы в металлополимер-ных трибосистемах. М.: Наука, 2003. - 279 с.

159. Колесников В.И., Ковальчук В.Е., Колесников В.В., Хрипун В.И. // М.: Машиностроение. Долговечность трущихся деталей машин. 1990. - Вып. 5.-С. 308-318.

160. Колесников К.С. Продольные колебания ракеты с жидкостным ракетным двигателем. -М.: «Машиностроение», 1971. 260 с.

161. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. - 504 с.

162. Конобеевский С.Т. К теории фазовых превращений. II.Диффузия в твердых растворах под влиянием распределенных напряжений // ЖЭТФ. 1943. - Т. 13. - Вып. 6. - С. 200-214.

163. Копачевский Н.Д. О колебаниях несмешивающихся жидкостей // ЖВМиМФ. 1973. - Т. 13, № 5. - С. 1249-1263.

164. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1989. - 416 с.

165. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. -288 с.

166. Коровин В.М. Длинные волны в двухслойной магнитной жидкости// Изв. РАН, МЖГ. 1993. - № 3. - С. 126-133.

167. Коротков В.Б. Об интегральных уравнениях первого и третьего рода // В кн.: Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: 1978.-С. 61-68.

168. Коротков В.Б. Методы решения интегральных уравнений. Новосибирск: Изд. Новосибирского ун-та, 1985. - 94 с.

169. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: «Мир», 1972.-278 с.

170. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. - 712 с.

171. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. 500 с.

172. Краусс В. Внутренние волны. Л.: Гидрометеорологическое издательство, 1968. - 272 с.

173. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: «Мир», 1974.-338 с.

174. Крылов Н.В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гёльдера, Новосибирск: Научная книга, 1998. - 178 с.

175. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1962. -248 с.

176. Кухлинг X. Справочник по физике. М.: «Мир». 1982. - 520 с.

177. Кухта К.Я., Кравченко В.П. Нормальные фундаментальные системы в задачах теории колебаний. Киев: Наукова думка, 1973. - 208 с.

178. Лаврентьев М.А. До теорй довгих хвиль // 36. Праць 1нст. Матем. АН УРСР. 1946. - № 8. С. 13-69.

179. Ладиков Ю.П., Ткаченко В.Ф. Гидродинамические неустойчивости в металлургических процессах. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. - 248 с.

180. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: ОГИЗ. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. - 928 с.

181. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гос-техиздат, 1954. — 795 с.

182. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика.Теоретическая физика. Т.VI. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1988. - 736 с.

183. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости.Теоретическая физика. Т. VIL М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1965. - 204 с.

184. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Теоретическая физика. Т.VIII. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит.,1959. - 532 с.

185. Лариков Л.Н., Исайчев В.И. Диффузия в металлах и сплавах. Структура и свойства металлов и сплавов. Справочник. Киев: Наукова думка, 1987.-509 с.

186. Лисейкин В.Д. О численном решении сингулярно возмущенных задач с точками поворота // ЖВМиМФ. 2001. - Т. 41. № 1. С. 57-85.

187. Лифшиц А.Е., Федоров E.H. Колебательные режимы в идеальной и неидеальной магнитной гидродинамике // ЖТФ. 1985. - Т. 55. - Вып. 4. -С. 770-772.

188. Ломов С.А. Степенной пограничный слой в задачах с малым параметром // ДАН СССР. 1963. - Т. 148. № 3. с. 516-519.

189. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 400 с.

190. Ломов С.А. Теорема Тихонова о предельном переходе и метод регуляризации // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т. XXI. № 10. - С. 1669-1679.

191. Лыков A.B. Тепломассообмен. Справочник. М.: «Энергия», 1978.-479 с.

192. Любов Б.Я. Кинетическая теория фазовых превращений. М.: Металлургия, 1969. - 264 с.

193. Любов Б.Я. Диффузионные изменения дефектной структуры твердых тел. М.: Металлургия, 1985. - 207 с.

194. Маневич Л.И. От теории возмущений к асимптотологии // Соро-совский образовательный журнал. 1996. - № 9. - С. 113-121.

195. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: «Мир», 1983. - 400 с.

196. Математические модели и вычислительные методы / Сборник. По Под ред. А.Н. Тихонова, A.A. Самарского. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 270 с.

197. Математическое моделирование. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1989. - 312 с.

198. MATHCAD 6/0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1997.-712 с.

199. Механика контактных взаимодействий / С.М.Айзикович, В.М. Александров и др.; под ред. И.И.Воровича и В.М.Александрова. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2001.-672 с.

200. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. 512 с.

201. Мишина A.B., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра. СМБ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965.-300 с.

202. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром ирелаксационные колебания. М.: .: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975.-248 с.

203. Моделирование морских систем / Г. Голдберг, Р. Дагдейл идр.; под ред. Ж. Ниуля. Л.: Гидрометеоиздат. - 1978. - 280 с.

204. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. М.: «Мир», 1991.-560 с.

205. Моисеев H.H. О краевых задачах для линеризованных уравнений Навье-Стокса в случае, когда вязкость мала // ЖВМиМФ. 1961. - Т. 1,№ 3, -С. 548-550.

206. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. -400 с.

207. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. - 440 с.

208. Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих материалов (при-менительнок зарядам ракетных двигателей на твердом топливе). М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. - 328 с.

209. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: «Мир», 1984.535 с.

210. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний. -М.: «Мир», 1988.-448 с.

211. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. - 528 с.

212. Неймарк Ю.И. Математика как операционная система и модели // Соросовский образовательный журнал. 1996. - № 1. - С. 82-85.

213. Никольский В.В., Никольская Т.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 544 с.

214. Новацкий В. Теория упругости. М.: «Мир», 1975. - 872 с.

215. Оборотов И.П. Волны на поверхности вязкой жидкости конечной глубины: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 / Ростовский гос. ун-т. Ростов-на-Дону: 1962. - 117 с.

216. Оборотов И.П. Гравитационные волны на поверхности вязкой жидкости конечной глубины/Юкеанология. 1963. - Вып.З. - № 4. - С. 619-625.

217. Оборотов И.П. Длинные цилиндрические волны в вязкой жидкости // ПММ. 1965. - Вып. 29. - № 1. с. 181-187.

218. Основы трибологии / A.B. Чичинадзе, Э.Д. Браун, Н.А.Буше и др.; под ред. A.B. Чичинадзе. -М.: Машиностроение, 2001. 664 с.

219. Пановко М.Я. Плоские и пространственные задачи контактно-гидродинамической теории смазки // Механика контактного взаимодействия /под ред. И.И.Воровича и В.М.Александрова. М.: Физматлит, 2001. - Гл. 5, § 6. С. 499-522.

220. Повх И.Л. Техническая гидромеханика. -Л.: Машиностроение. 1969. 524 с.

221. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем.- М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1960. 196 с.

222. Петрусевич А.И. Основные выводы из контактно-гидродинамической теории смазки // Изв. АН СССР. Отделение технических наук. 1951. - № 2. - С. 209-223.

223. Подрезов С.А. Асимптотическое решение некоторых задач теплопроводности и термоупругости: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.04 / Азербайджанский гос. ун-т. Баку, 1988. - 141 с.

224. Подстригач Я.С., Шевчук П.Р. О влиянии поверхностных слоев на процесс диффузии и на обусловленное им напряженное состояние в твердых телах // Физ. -хим. мех. материалов. 1967. - № 5. - С. 75-83.

225. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. М.:Высшая школа. 1964. - 569 с.

226. Полянин А.Д., Вязьмин A.B., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М.: Факториал, 1998. - 368 с.

227. Полянин А.Д., Манжиров A.B. Справочник по интегральным уравнениям М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 608 с.

228. Половин Р.В., Демуцкий В.П. Основы магнитной гидродинамики.- М.: Энергоатомиздат, 1987. 208 с.

229. Потетюнко Э.Н. Волновые движения жидкости со свободными границами. Ростов-на-Дону: Изд. Ростовского отделения Всесоюзного об-ва информатики и выч. тех., 1993. - 317 с.

230. Потетюнко Э.Н., Срубщик Л.С. Асимптотический анализ волновых движений вязкой жидкости со свободной границей // ПММ. 1970. -Т. 34. Вып. 5.-С. 891-910.

231. Проблемы дегазации металлов (феноменологическая теория) / Л.Л.Кунин, A.M. Головин и др.; ответственный ред. А.П. Виноградов. М.: Наука, 1972.-327 с.

232. Пулькин С.П. К вопросу о существовании второй пики давления в смазочном слое // ДАН СССР. 1965. - Т. 164. № 4.

233. Радченко В.П., Еремин Ю.А. Реологическое деформирование и разрушения материалов и элементов конструкций. М.: Машиностроение-1. 2004.-264 с.

234. РайченкоА.И. Математическая теория диффузии в приложениях. -Киев: Наукова думка, 1981. 396 с.

235. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры М.: Физматлит, 2001. - 320 с.

236. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т.1. -М.: Изд-во иностранной литературы, 1953. 348 с.

237. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. M.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. -492 с.

238. Словарь-справочник по трению, износу и смазке деталей машин / Е.Л. Шведков, Д.Я. Ровинский и др.; ответственный редактор И.М.Федорченко. Киев: Наукова думка, 1979. - 188 с.

239. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. -444 с.

240. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР. Гл. ред. общетехн. лит. и номографии,1936. - 204 с.

241. Сретенский Л.Н. О волнах на поверхности вязкой жидкости // Тр. ин-та / ЦАГИ 1941. - № 541. - С. 1-34.

242. Срубщик Л.С., Юдович В.И. Об асимптотическом интегрировании уравнения равновесия жидкости с поверхностным натяжением в поле тяжести // ЖВМиМФ. 1966. - Т. 6, № 6. - С.

243. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. - 620 с.

244. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 504 с.

245. Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю.П. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1990.-352 с.

246. Тер-Оганесян В.И., Колесников В.И. Исследование электризации капрона при трении о сталь в маслах с полимерными присадками // Трение и износ. 1980. - Т. 1. - № 5. С. 915-917.

247. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. - 576 с.

248. Тимошенко С.П., Янг Д.Х. Уивер У. Колебания в инженерном деле- М.: Машиностроение, 1985. 472 с.

249. Тихонов А.Н. Методы малого параметра и их применение // Дифференциальные уравнения. 1985. - T. XXI. - № 10. С. 1659-1661.

250. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения М.: Наука, 1979. - 222 с.

251. Тихонов А.Н., Костомаров Д.С. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 192 с.

252. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. 736 с.

253. Треногин В.А. Развитие и приложение асимптотического метода Вишика-Люстерника// УМН. 1970.- T. XXV. - Вып. 4(154). - С. 123-156.

254. Фахрутдинов И.Х., Котельников A.B. Конструирование и проектирование ракетных двигателей твердого топлива. М.: Машиностроение, 1987. -328 с.

255. Федорюк М.В.Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. СМБ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983.-352 с.

256. Федорюк М.В. Обыкновенные диференциальные уравнения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. - 448 с.

257. Фелдмане Э.Г. О расчете линейного УГД-контакта с учетом неньютоновских свойств смазки // Тр. ин-та / Рижский политех, ин-т. 1987. - Вып. 16. - С.11-21.

258. Фертман В.Е. Магнитные жидкости. Справ. Пособие. Минск: Вышая школа, 1988. - 184 с.

259. Фещенко С.Ф., Луковский И.А., Рабинович Б.И., Докучаев Л.В. ф. Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных полостях.

260. Киев: Наукова думка, 1969. 252 с.

261. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1966.-252 с.

262. Физические величины. Справочник / Под ред. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976. - 1008 с.

263. Френкель Я.И. Введение в теорию металлов. Л.: Наука. Ленингр. отд., 1972.-424 с.

264. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: «Мир», 1968. - 428 с.

265. Фридрихе К.О. Асимптотические явления в математической физике // Математика. 1957. - Вып. 1. - № 2. - С. 79-94.

266. Фрик П.Г. Турбулентность: подходы и модели. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 292 с.

267. Фромм. Е., Гебхардт Е. Газы и углерод в металлах. М.: Металлургия, 1980.-712 с.

268. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: «Мир», 1979. - 312 с.

269. Черкесов Л.В. Гидродинамика поверхностных и внутренних волн. -Киев: Наукова думка, 1976. 364 с.

270. Черкесов Л.В. Гидродинамика волн. Киев: Наукова думка, 1980.260 с.

271. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими жидкость. М.: ВЦ АН СССР, 1968.

272. Шмидт А.Г. Гравитационные и капиллярные волны на поверхности шарового слоя вязкой гравитирующей жидкости // ЖВМиМФ. 1964. - Т. 4, № 1.-С. 183-189.

273. Шпеньков Г.П. Физикохимия трения. Минск: Университетское, 1991.-397 с.

274. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Гос. изд-во физю-мат. лит., 1962. - 128 с.

275. Юдович В.И. О границе монотонной и колебательной конвективной устойчивости горизонтального слоя жидкости // ПМТФ, 1991. № 6. - С. 44-50.

276. Юдович В.И. Лекции об уравнениях математической физики. Ч. 2. -Ростов-на-Дону: Изд. «Экспертное бюро», 1999. 256 с.

277. Юдович В.И. Длинноволновая асимптотика в кинематической проблеме магнитного динамо // Изв. вузов. Сев.- Кав. регион. Естественные науки. Спецвыпуск,2001. С. 155-160.

278. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы). М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. 344 с.

279. Яцкив А.И. Напряженное состояние неравномерно нагретого полого цилиндра с покрытием при диффузионном насыщении. М., 1988. - Деп. ВИНИТИ, № 6308-В88. - С. 235-240

280. Adda Y., Philibert J. La diffusion dans les solides. Institut national des sciences et techniques nucléaires. Presses universitaires de France -Saclay; Paris-VI, 1966. T. 1.-665 pp.

281. Alefeld G., Vôlkl J., Schaumann G. Elastic diffusion relaxation//Berlin: Physica status solidi. 1970. - Vol.37. No 1. - P. 337-351.

282. Barrer R.M. Diffusion in and through solids. Cambidge: 1941. - 502pp.

283. Сапу С. Calcul de l'amortissement d'une houle dans un liquide visqueux en profondeur finie // Houille Blanche. 1956. Vol.11. Nu 1. P. 75-79.

284. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Calderon Press, 1961. - 690 pp.

285. Chandrasekhar S. The Oscillations of a Viscous Liquid Globe // Proc. London Math. Soc. 1959. - V. 9, No 33. P. 141-149.

286. Cheng H.S. A Refined Solution of the Thermal Elastohydrodynamic Lubrication of Rolling and Sliding Cylinders // ASLE Tans. 1965. - No 8.

287. Crank J. The mathematics of diffusion. Oxford: Calderon Press, 1975.-444 pp.

288. Dieudonné J. Calcul infinititésimal. Paris: Hermann. Collection Méthodes, 1980. -480 pp.

289. Dore B.D. Viscous damping of small amplitude waves in non-homogeneous fluid of infinite depth//Deep Sea Res. 1968. Vol.15. No 3. P. 259-266.

290. Dore B.D. Double boundary layers in standing interfacial waves // J. Fluid Mech. 1976. Vol. 76. No 4. P. 819-828.

291. Dowson D.A. A Numerical Procedure for the Solution of the EHD Problem on Rolling and Sliding Contacts Lubricacated by a Newtonian Fluid // Proc. Instn. Mech. Egrs. 1965,1966. - 180 Pt 3B.

292. Dowson D., Higginson G.R. Elastohydrodynamic Lubrication. L.: Pergamon Press, 1965-1966.

293. Duffin R.J. A minimax theory for overdamped networks // Journal of Rational mechanics and analysis. 1955. Vol. 4. No 2. P. 221-233.

294. Eyring H. Viscosity, plasticity and diffusion as examples of absolute reaction rates // J. Chem. Phys. 1936. Vol. 4. P. 283 - 291.

295. Friedrichs K.O. On the derivation of the shallow water theory. Appendix to the formation of breakers and bores by J.J.Stoker // Comm. Pure Appl. Math. -1948.-No l.-P. 81-85.

296. Hamilton G.M., Moore S.L. Deformation and Pressure in an Elastohy-drodynamic Contact // Proc. Roy. Soc. 1971. - A322.

297. Kirchheim R., Fromm E. // Acta Met. 1974. No 22. 1543, 1937 p.

298. Lagerstrom P.A. Matched asymptotic expantion. Ideas and techniques.

299. New-York, Berlin, Heidelberg, London, Paris: Springer-Verlag, 1988. 264 pp.

300. Lehner B. On the behavoir of an electrically conductive liquid in a magnetic field // Ark. Fys. 1952. - Vol. 5, No 5.

301. Lundquist S. On the stability of magneto-hydrostatic fields // Phys. Rev. 1951.-Vol 83. No 2.

302. Miche R. Amortissement des houles dans le domaine de l'eau peu profonde // Houille Blanche. 1956. Vol. 11. Nu 5. P. 726-745.

303. Reid W.H. The oscillations of a viscous liquid globe with a core // Proc. London Math. Soc. 1959. - V. 9, No 35. P. 388 - 396.1. V V

304. Sevcik S., Brestensky J., Simkanin J. MAC waves and related instabilités influenced by viscosity in dependence of boundary conditions // Elsevier: Physics of the Ears and Planetary Interiors. 2000. - No 122. P. 161-174.

305. Youdelis W.V., Colton D.R., Cahoon J. On the theory of diffusion in a magnetic field // Canadian Journal of Physics. 1964. - Vol. 42. P. 2217 - 2237.

306. Wasov W. Linear turning point theory. New-York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: Springer-Verlag, 1985. - 246 pp.

307. Zadorojnyi A., Mostefa N. Sur l'effet d'auto gravitation des planetes // 3eme Seminaire National sur l'energie Solaire a Tlemcen, 07-08 mars, Recueil d'articles RDPA, 1989 10 p.

308. Zadorojnyi A., Zadorojnaia N. Stabilité et propriétés asymptotiques d'un systeme type Michaelis-Menten //5eme Conference National sur les Equations Différentielles Ordinaires, Programme, 13-15 mai, a Annaba, RDPA, 1989 P. 19.

309. Zadorozhnyi A.I.,Gruntfest R.A. Natural oscillations of a liquid of finite electrical coduction In the presence of an external Magnetic field //J. of Appl. And Tech. Phys. Vol. 41, No. 2, Kluwer Academ./Plenum Publishers 2000 - P. 205-211.

310. Zadorozhnyi A.I., Elmanov I.M., Kolesnikov V.I. On the instability of the solution of the EHD lubrication problem // Russian Engineering Research. Vol. 22, No 3, pp. 39-44, 2002.

311. Примечание. Результаты опубликованных по теме диссертации работ вошли в следующие монографии других авторов:

312. Черкесов JI.В. Гидродинамика волн. Киев: «Наукова думка», 1980. - Гл. 10 «Влияние вязкости и горизонтальной диффузии плотности на внутренние волны в непрерывно стратифицированном море», § 10.1, § 10.2: с. 221-242.

313. Евдокимов Ю.А., Колесников В.И., Подрезов С.А. Тепловая задача металлополимерных трибосопряжений. Ростов н/Д.: изд. РГУ, 1987. Гл. 4 «Применение асимптотических методов для исследования двумерных задач теплопроводности»: с. 67-132.

314. Колесников В.И. Теплофизические процессы в металлополимерных трибосистемах. М.: Наука. 2003. - 279 с. Гл. 2 «Определение температурного поля в погранслоях металлополимерной трибосистемы»: с. 32- 82.

315. УТВЕРЖДАЮ» юректор Ростовского ^ственного университета1учной работе Гссор1. А.Н. Гуда ЛЪ 2004 г.