автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и расчет собственных частот колебаний волновода, проложенного в неоднородном грунте с учетом диссипации

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА ПЕРВАЯ

Обзор известных исследований по изучаемой теме.

ГЛАВА ВТОРАЯ

Математическое моделирование динамики волноводов

§ 1. Волноводные линии связи.

§ 2. Математическая постановка задачи.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

Асимптотическая формула для функции распределения собственных значений колебаний волновода при А,-»±оо.

§ 1. Асимптотика функции Грина операторного пучка.

§ 2. Асимптотика функции G"'(x,^,A) при k-ijn, ju—>+oo.

§ 3. Формула следа оператора Ят+1(Я).

§ 4. Асимптотика следа оператора Rm+1 (Я) при A=ijU, ju—>+ со.

§ 5. Асимптотическое распределение собственных значений.

Большинство наблюдаемых в природе и технике процессов являются колебательными. К колебательным процессам относятся разнообразные явления: от ритмов головного мозга и биения сердца до колебаний звезд, туманностей и других космических объектов; от колебаний атомов или молекул в твердом теле до климатических изменений на Земле, от вибраций звучащей струны до землетрясений.

Исследования колебательных процессов приобретают особое значение в связи с бурным ростом мощностей,, скоростей движения машин и механизмов, требованием уменьшения относительной массы, увеличением их долговечности и надежности, обеспечением устойчивости и управляемости систем. Большое, еще недостаточно изученное влияние оказывают колебания на живые организмы.

В ряде случаев колебания чрезвычайно опасны. Вследствие непредвиденных колебаний возникают погрешности в работе машин и механизмов, увеличивается износ и заметно понижается их надежность, возможны разрушения и аварии. Тогда задача заключается в выяснении причин возникновения колебаний и в их предотвращении, если это возможно.

В других случаях колебания могут оказаться весьма полезными. Целые области современной техники (радиотехника, акустика, вибротранспорт, вибрационная технология) построены на основе использования различных колебательных процессов. Когда колебания желательны, исследования ведутся с целью их регулирования.

Хорошо известно, что в ряде случаев тело, получившее некоторое возмущение, после этого совершает колебания. Хотя такие свободные колебания сами по себе не представляют особенного интереса для техники, знакомство с ними необходимо, поскольку их роль косвенно чрезвычайно важна. Дело в том, что поведение системы при свободных колебаниях характеризует ее "динамическую индивидуальность", которая определяет поведение системы при всех других условиях. Механические системы ведут себя так, как если бы они стремились непрерывно совершать свободные колебания. В нормальных условиях это невозможно из-за наличия трения, однако при действии некоторого возбуждения колебания будут поддерживаться. Здесь имееются две возможности: система может либо получать возбуждение извне, либо сама обеспечивать необходимое возбуждение за счет стремления совершать свободные колебания с собственной частотой.

Точное описание свободных колебаний затруднительно, однако легко видеть, что они обладают следующими свойствами:

- развитие движения во времени зависит от того, как оно началось;

- движение постепенно затухает;

- при движении тело не имеет какой-либо определенной формы, с течением времени форма изменяется (однако в конце движения колебания часто характеризуются более или менее отчетливой формой). Каждой собственной форме соответствуют определенная частота и скорость затухания колебаний.

Эффект затухания свободных колебаний объясняется наличием трения (демпфирования). Существует два типа демпфирования: искуствен-но вводимое и связанное с естественными силами трения. Если искуст-венно вводимое демпфирование в некоторых случаях допускает разумную теоретическую оценку, то естественное трение, как правило, не поддается расчету и должно определяться экспериментально. Следует заметить, что увеличение демпфирования не приводит к заметным изменениям частот и форм свободных колебаний. Собственные формы колебаний системы образуют последовательность, причем каждая форма отличается от всех остальных. На языке математики говорят, что каждая собственная форма "ортогональна" ко всем остальным формам, причем условие ортогональности может быть записано в виде математического соотношения. Это условие играет важную роль в теоретических исследованиях. Поэтому весьма существенно, что условие ортогональности собственных форм колебаний системы без демпфирования оказывается гораздо проще соответствующего условия при наличии затухания.

Собственные частоты системы, ее собственные формы и скорости затухания являются характеристиками системы, поскольку они не связаны с какими бы то ни было внешними воздействиями. Поэтолму если мы располагаем достаточной информацией относительно них, то можно надеяться, что удастся предсказывать поведение системы в различных условиях. При отсутствии такой информации мы вообще не сможем дать никаких оценок.

Частоты и формы свободных колебаний системы определяются величиной и распределением масс и жесткостей. Увеличение массы системы приводит к снижению, а увеличение жесткости - к возрастанию всех ее собственных частот; при этом различные частоты изменяются в различной степени. Однако, если жесткость системы пропорциональна массе, то увеличение массы не приводит к изменению собственной частоты.

Итак, существуют три основных фактора, определяющих процесс свободных колебаний системы, - масса, жесткость и демпфирование. Все эти характеристики могут изменяться под влиянием многочисленных причин.

Теория свободных колебаний упругих систем может рассматриваться как физическая интерпритация спектральной теории линейных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Операторные обозначения весьма удобны при изложении общих вопросов теории колебаний упругих систем, поскольку они придают предельную краткость и общность.

Задачи о распределении частот собственных колебаний упругих тел впервые были поставлены более 70 лет тому назад.

Но, хотя концепция распределения собственных частот появилась при рассмотрении механической модели, интерес инженеров к этой концепции возник лишь в начале шестидесятых годов, главным образом, в связи с расчетом конструкций на действие широкополосных случайных нагрузок.

Весьма важным с точки зрения разнообразных приложений представляется изучение изгибных колебаний стержней, взаимодействующих с плотной окружающей средой или основанием. В простейшем случае так называемого винклеровского основания уравнение колебаний стержня имеет вид

EI 1 + pF ду J + q(x)U(x,t) =0, (1) где EI - изгибная жесткость стержня (которую мы считаем величиной постоянной), р - плотность стержня, F - площадь поперечного сечения, q(x) - переменный коэффициент упругости основания.

Если в этом уравнении положить равным нулю коэффициент упругости основания при х G (—оо; 4-оо), то получится уравнение свободных колебаний бесконечного стержня. Выполнив условия ограниченности решений на бесконечности, найдем собственные частоты колебаний стержня по формуле [14] где I - любое действительное положительное число, определяющее длину полуволны у собственной формы. На основании формулы (2) можно заключить, что свободные колебания неограниченного и неопертого стержня имеют непрерывный спектр частот и € (0, оо), (рис.1,а).

В случае, когда q(x) = const, спектр частот, оставаясь непрерывным, будет начинаться не с нуля, а с некоторого значения ujq > О (рис. 1,6), определяемого равенством [14] ч У2 ы

Эти случаи типичны для неограниченных упругих тел.

Появление особенностей и неоднородностей в характеристиках основания приводит к усложнению структуры спектра собственных частот. Так, если q{x) - вещественная непрерывная функция и q(x) —> +оо при \х\ —у оо, то спектр становится дискретным, состоит из вещественных собственных частот конечной кратности, причем в спектре собственных частот не будет точек сгущения, кроме бесконечно удаленной точки. Это характерно для большинства прикладных задач теории упругих колебаний. Для функции распределения собственных частот справедлива асимптотическая формула, полученная О.Г. Гайдамак (1995):

N(А) ~ A f \fA2 — q(x) dx при Л ->• ±00,

7Г •> q{x)<\2 где

7F

L0l2 безразмерная частота.

EI

Можно сконструировать примеры упругих систем, где наряду с участками непрерывного спектра имеются точечные частоты. Так, добавляя к бесконечному стержню на основании Винклера сосредоточенную массу М, получим смешанный спектр, изображенный на рис. 1,в. а) А ш zz

О U}H Ш Ыт Ш <Уда <*>

Pic, 1. Примеры спектров •■с.обствэдиых частот: а ~ сплошной; $ - сплошной, начинающийся с некоторой частоты ©о; в - свешанный; г —'шяосово*

При этом точечная частота иом является действительным корнем уравнения [14] ш2М pFtd

2Л 3/4

8EJ \ 4 Е а непрерывный спектр начинается с частоты 9 \1/2 как и в случае стержня на упругом основании без сосредоточенной массы.

На рис.1,г. показан спектр частот, состоящий из счетного множества отрезков при 0 < и> < оо. Такой полосовой спектр имеет, например, бесконечный неразрезной стержень с равными пролетами. Стержень, перекрывающий несколько пролетов и имеющий несколько опор, называется неразрезным многопролетным. Нижняя частота для каждой полосы частот равна собственной частоте однопролетного стержня с опертыми концами, верхняя частота - собственной частоте однопролетного стержня с защемленными концами.

Бели рассматривать неограниченные системы как предел систем конечных размеров, то в результате предельного перехода получим системы с точечным, хотя и сколь угодно плотным спектром. С теоретической точки зрения вопрос о структуре спектра является весьма существенным. Например, если спектр непрерывный, то вместо разложения в ряд по собственным элементам необходимо использовать аналогичное интегральное преобразование. С практической точки зрения, начиная с некоторого достаточно плотного спектра, различие между этим спектром и сплошным спектром становится несущественным. Из-за наличия демпфирования и конечной разрешающей способности виброизмерительных приборов, из-за случайного дрейфа частот и т.п. при эксперименте не всегда удается разделить, вклад близких собственных частот в вибрационное поле.

В общем случае динамической системы операторный пучок имеет вид полинома

Р(А) - Р0 -I- XPi + • •. + AmPm, где Л - спектральный параметр, Pj, j — 0,1,., т - линейные дифференциальные операторы в гильбертовом пространстве Н.

Основы теории полиноминальных операторных пучков были заложены М.В. Келдышем. Для шйрокого класса пучков (в современной терминологии - пучков Келдыша) им были доказаны важнейшие теоремы о кратной полноте системы собственных и присоединенных векторов и об асимптотике собственных значений. В своем исследовании М.В. Келдыш опирался на развитые им новые аналитические методы, основанные на оценках резольвенты.

Теорема об асимптотике спектра пучка Келдыша может быть применена при исследовании распределения собственных значений некоторых полиноминальных пучков, порожденных дифференциальными операторами ([23], теорема 5, [31] теорема 21.1).

Однако в ряде случаев, связанных с рассмотрением уравнений колебаний различных упругих тел, возникают полиноминальные операторные пучки с совершенно иными, чем у пучков Келдыша свойствами. Остановимся на этом вопросе подробнее.

Пучок Келдыша - полиноминальный операторный пучок следующего вида гп—1

К{А) = 1+ £ \JKjH:i + ЛтНт, (3) i=о где Kj, j = 0,1,., т — 1 - компактные операторы; Н - компактный нормальный оператор с нулевым ядром такой, что Нт - самосопряженный оператор.

Оказывается (и в этом, по-существу, состоит теорема М.В.Келдыша об асимптотике спектра пучка (3)):

- собственные векторы (и присоединенные) п - кратно полны;

- пучок К(А) можно рассматривать как возмущение простейшего двучленного пучка

К0( Л) = I + Л тНт, причем собственные значения К(Л) и Kq(\) ведут себя асимптотически одинаково;

- спектр располагается в сколь угодно малых секторах около лучей (за исключением конечного числа собственных значений).

К пучку именно такого вида приводится уравнение (1), записанное в безразмерных координатах, после разделения переменных.

Однако основной интерес представляет исследование асимптотики функции распределения собственных значений пучка (3) в случае, когда операторы Kj не являются компактными. В этом случае асимптотическое поведение собственных значений пучка К(А) будет, вообще говоря, зависеть от всех операторов Kj.

Настоящая работа посвящена исследованию функции распределения собственных значений iV(A) пучка вида где А, В - дифференциальные операторы в ос; +оо). Причем мы рассматриваем случай, когда (4) не является пучком Келдыша, т.е. на поведение функции N(Л) влияет оператор В.

Диссертация состоит из настоящего введения, трех глав, заключения, приложения и списка использованной литературы из 55 названий.

Во введении кратко определяется объект исследования. Излагается суть поставленной научной задачи, цель собственного исследования. Приведено краткое содержание работы.

Первая глава содержит обзор известных исследований по изучаемой теме.

Вторая глава разбита на два параграфа. Первый параграф дает представление о волноводных линиях связи, применяемых для высококачественной передачи цифровой информации. Второй параграф посвящен построению математической модели колебаний волноводов, прокладываемых в неоднородном грунте. При этом волновод трактуется как бесконечный стержень, лежащий на сплошном сложном упругом основании. Изгибная жесткость стержня полагается величиной постоянной. Для учета диссипации используется принцип Вольтерра [38].

При этих предположениях уравнение колебаний стержня, записанное в безразмерных координатах имеет вид

L(А) = А + ХВ- А2/,

4) dAU дх4 + где д(х), f(x),p(x), q(x) - локальные безразмерные коэффициенты, характеризующие взаимодействие стержня с основанием. После подстановки

U(x,t) = у(х) exp(i\t) в уравнение (5) получается следующая задача на собственные значения у^ + Xl-(2p(x)y'" + 3f(x)y" + д(х)у') + q(x)y - Х2у = 0. (6)

Обозначим через А - самосопряженный дифференциальный оператор, порожденный в —со, +оо) дифференциальным выражением г/(4) + q(x)y с положительной функцией q{x).

В - оператор, порожденный в Ц выражением l-(2p(x)y"' + 3f(x)y" + g(x)y'), где р{х) - дважды непрерывно дифференцируемая положительная функция, f{x) - непрерывно дифференцируемая положительная функция, д{х) - непрерывная положительная функция.

Коэффициенты, характеризующие диссипативные свойства неоднородного основания не являются независимыми и подчинены условиям связи д(х) = f{x) =р"{х).

Итак, мы привели уравнение колебаний стержня на неоднородном основании типа винклеровского к исследованию операторного пучка (0.4)

Далее будет показано, что при определенных условиях на коэффициенты спектр пучка L{А) дискретен и получена асимптотическая формула для функции распределения собственных значений при Л —> ±оо.

В §1 третьей главы исследуется асимптотическое поведение функции Грина Л) пучка (4) при Л = г/л, ц +оо. При этом на функции р(х) и q{x) наложены следующие условия: q{x) +00 при \х\ —> оо, (7) р(х) -р(у)\ < ср{х)\х - у\, \q(x) - q(y)\ < cq5/4~£l(x)\x - у\, (8) при \х - у\г(у) < 1, где г (у) = qx(y), 0 < х < £1 > О, р{х) < q1/4-£(x), £ > 0. (9)

В §2 получена равномерная по х и £ на всей числовой прямой асимпdzG{x,Z, А) , . тотика функции -^ 3—L при л — г р., р —^ -f оо.

В §3 с помощью теоремы о голоморфной оператор-функции доказывается дискретность спектра пучка (4). В прстранстве Н х Н вводится линеаризатор пучка L(А) - оператор Р, заданный на своей области определения с помощью матрицы

Р = О

И В j

Собственные значения пучка L(А) и оператора Р совпадают и имееют одинаковые кратности.

Пусть А - регулярная точка пучка L{A), -R(A) - резольвента оператора Р, G(x, щ) - ядро оператора L'(X)L~1(X). Здесь же доказывается, что оператор R(А) при А = ip не является ядерным. оо ~

В §4 ввиду того, что интеграл f G(x,x,ip)dx расходится, то оо

Q7П ~ мы берем вместо функции G(x,£,ip) ее итерации ^ mG(x, гр).

На основании полученной асимптотики для функции 0О f дт и формулы

J dyJ

00 spRm+1(X) = sp(L'{ A)L"1(A))(m) доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть функции р(х) и q{x) удовлетворяют условиям (7)~ (9), тогда при ц —> оо выполнено следующее асимптотическое равенство мгп! sPRm+1(w) ~ст J оо а' г/л) \all2(x, i/j,) dx,

10) где функция a(x,ifi) определяется равенством .

16

1/3

16' 4V

16

27

1/3

16^

27 8

Обозначим через A±i, А±2, ■ • •, А±п, . собственные значения пучка L(А), расположенные в порядке возрастания их абсолютных величин и положим

N+(*)= £ 1, Е 1.

0<Л„<Л А<А„<0

В §5 исследуется поведение этих функций при А —> ±оо. Легко видеть, что если L(X]y = 0, то L{—\)y — 0. Это означает, что спектр пучка L(А) симметричен, поэтому функции N+(А) и iV(А) в исследуемом случае совпадают.

В начале пятого параграфа доказывается следующая лемма. Лемма. Пусть функции р(х) и q(x) удовлетворяют условиям (7)-(9). Тогда при z = г/л справедливо равенство

00 дт ,, . ? dN(X)

J = ml J p^j сю —оо V 0 где m > ---1,

4б f JV+(A), A > 0, -7V(A), A < 0. Обозначим через О множество в пространстве переменных х, s для которых выполнено 27s4:p4(x) > 27(<?(ж) — s2) и введем в рассмотрение функцию 'ф(Х), определяемую следующим равенством где А{т) = 5 + 2ш - (-1)т+1^ = д >

Далее на основании предыдущей леммы и теоремы с использованием формулы обращения Стилтьеса доказывается, что при z — ър, р, —> оо

00 7 л г / \ \ оо dN(X) °f Щ А)

А - (А

После применения к последнему равенству тауберовой теоремы получается следующая теорема.

Теорема. Пусть функции р(ж) и д(сс). удовлетворяют условиям (7)-(9), а для функции ^(А), определяемой равенством (11) выполнено следующее условие: каково бы ни было С > 1 существуют константы у и iV, m<7<m-fl,iV>0 такие, что для х > у > N те) \у/

15

Тогда при Л —У ioo справедливы асимптотические формулы

12)

Считаю своим долгом выразить глубокую признательность доктору физико-математических наук, профессору Я.Т.Султанаеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Заключение

Пусть спектр собственных частот - дискретный. Точная функция распределения собственных частот вводится следующим образом:

N(u) = Е - шк]-> где t](uj) - единичная функция Хевисайда. N(cj) - принимает целочисленные значения, которые равны числу собственных частот, меньших, чем со.

Производная dN(u) м = ~лг представляет собой обобщенную функцию

М = Л - щ),

Wk<CO где 6 (а;) - функция Дирака. Функция v(u) называется точной плотностью собственных частот. Функции N{lu),v(uj) являются характеристиками данного упругого тела и полностью определяют весь спектр.

Для качественных и некоторых количественных выводов о динамическом поведениии упругих систем достаточно иметь приближенные сведения о распределении собственных частот.

Предположим, что спектр собственных частот достаточно плотен в том смысле, что в интересующем нас диапазоне (например, в разрешающем диапазоне измерительной аппаратуры) содержится достаточно большое число частот. Тогда знание точного распределения перестает быть необходимым. Вместо точного распределения целесообразно использовать приближенные распределения, в частности как в данной работе.

Асимптотические распределения представляют интерес не только потому, что они более удобны в аналитическом отношении, чем точные распределения. Во многих задачах теории упругих колебаний мы встречаемся с такой ситуацией, что среди параметров задачи оказываются такие, которые слабо влияют на распределение собственных частот. Например, при определенных условиях расположение собственных частот упругих оболочек мало изменяется при изменении граничных условий. Для упругих пластин при достаточно высоких частотах среднее число частот, приходящихся на единицу частотного диапазона, слабо зависит от формы пластины и т.д.

Пусть асиптотическое распределение частот содержит только существенные параметры задачи и не содержит несущественных. Тогда оно приобретает дополнительную ценность благодаря тому, что может быть применено к некоторому классу упругих систем, в то время как точное распределение является характеристикой лишь данной конкретной системы.

Существует полезная аналогия между понятиями теории распределения собственных частот и некоторыми основными понятиями теории вероятностей и математической статистики. Функция распределения собственных частот соответствует функции распределения вероятности, а плотность собственных частот - плотности вероятности. Аналогия станет более близкой, если ограничить спектр некоторой предельной частотой оос и нормировать функции распределения частот к единице так, чтобы

N{cuc) = N{LVc) =1.

N(ujc) - асимптотическая функция распределения собственных частот. Тогда она может быть интерпретирована как вероятность случайного события, состоящего в том, что наугад взятая частота из диапазона

О, со?с] окажется меньшей, чем со.

Важно отметить, что в отличие от точного распределения, асимптотическое распределение не вводится единственным образом. Для одного и того же класса систем могут быть использованы разные асимптотические приближения.

Итак, в данной работе построена математическая модель колебаний волновода, проложенного в неоднородном грунте при достаточно общих предположениях о характере взаимодействия волновода с грунтом. Также для него получена асимптотика функций распределения собственных частот.

Указанные в приложении численные исследования, выполненные на ЭВМ явились иллюстрацией к аналитическим результатам, приведенным в работе.

1. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин - М.: Наука, 1979.- 296 с.

2. Асланян А.Г., Лидский В.Б. Рапределение собственных частот тонких упругих оболочек.- М.: Наука, 1974.- 284 с.

3. Аткинсон Ф.В. Дискретные и непрерывные граничные задачи.-М.: Мир, 1968.- 326 с.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.- М.: Наука, 1966.- 342 с.

5. Бабаков И.М. Теория колебаний.- Ы".: Наука, 1958.- 628 с.

6. Бишоп Р. Колебания.- М.: Наука, 1979 160 с.

7. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости для оператора Штурма -Лиувилля // Математические заметки 1973.- T.14.-N3.- с. 349-360.

8. Болотин В.В. Об упругих деформациях подземных трубопроводов, прокладываемых в статически неоднородном грунте / / Строительная механика и расчет сооружений.- 1965 N1.- с.4-8.

9. Болотин В.В. Об упругих колебаниях, возбуждаемых силами с широким спектром,- М.: Машиностроение.- 1963.- N4.- с.168-172.

10. Болотин В.В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек // ПММ,- 1963.- Т. 27.- N2,- с.362-364.

11. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем.- М.: Наука, 1979.- 336 с.

12. Болотин В.В. Теория распределения собственных частот упругих тел и ее применение к задачам случайных колебаний // Прикладная механика.- 1972.- Т.8.- N4.- с.3-29.

13. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики.- М.: Наука, 1965.- 214 с.

14. Вибрации в технике, Т.1 / Под ред. Болотина В.В.- М.: Машиностроение, 1978.- 352 с.

15. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1967.- 436 с.

16. Гайдамак О.Г. Спектральные свойства квадратичных операторных пучков и их приложения в механике: Дис. кандидата ф.-м. наук: 05.13.16 / Башкирский государственный университет. Уфа, 1995.- 86 с.

17. Гольденвейзер A.JL, Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек.- М.: Наука, 1979.-384 с.

18. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов.- М.: Наука, 1965 448 с.

19. Гулгазарян Г.Р. Формула распределения частот цилиндрической оболочки с произвольной направляющей // Механика твердого тела.-1972.- N2.- с.161-163.

20. Гулгазарян Г.Р., Лидский В.Б. Плотность частот свободных колебаний тонкой анизотропной оболочки, составленной из аназатропных слоев // Механика твердого тела.- 1982.- N3 с.171-174.

21. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред.- М.: ИЛ, 1954,336 с.

22. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Прочность, устойчивость, и динамика оболочек с упругим заполнителем.- М.: Наука, 1977.332 с.

23. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР.-1951.- Т.77.- N1,- с.11-14.

24. Келдыш М.В. О полноте собственных функции некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН 1971.- Т.26.-N4(160).- с.15-41.

25. Корнев В.М. Сравнение спектров задач устойчивости однородных и трехслойных оболочек // Прикладная механика.- 1976.- Т. 12,-N9.- с.51-57.

26. Костюченко А.Г. Асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженных эллиптических операторов // Четвертая летняя математическая школа, Киев, 1968.- с.42-117.

27. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979.- 400 с.

28. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики.- М.: Гостехиздат, 1951 402 с.

29. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика.- М.: Наука, 1964.- 362 с.

30. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию.-М.: Наука, 1970.- 484 с.

31. Маркус А.С. Введение в спектральную теорию полиноминальных операторных пучков.- Кишинев: Штииница, 1986 398 с.

32. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы М.: Наука, 1969.- 426 с.

33. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Rn // Труды МИ АН СССР.- 1983.- CLXI-с.195.-217.

34. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем.- М.: Наука, 1987.- 352 с.

35. Пановко Я.Г. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1985.- 288 с.

36. Прочность. Устойчивость. Колебания, Т.1 / Под ред. Биргера И.А., Пановко Я.Г.- М.: Машиностроение, 1968.- 382 с.

37. Ржаницын А.Р. Теория расчета строительных конструкций нанадежность М.: Стройиздат, 1978.- 244 с.

38. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1988.- 712 с.

39. Седов ЛИ. Механика сплошной среды, Т. 2.- М.: Наука, 1976.576 с.

40. Светлицкий В. А. Механика гибких-стержней и нитей.- М.: Машиностроение, 1978.- 498 с.

41. Султанаев Я.Т. Об асиптотике спектра некоторых пучков дифференциальных операторов // Asymptotische methoden in der analysis-Halle, 1988. с.85-96.

42. Тихонов A.H., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.- 736 с.

43. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем.- М.: Машиностроение, 1970.- 548 с.

44. Хроматов В.Е. Плотность частот собственных колебаний тонких сферических оболочек при безмоментном напряженном состоянии // Труды Московского энерг. института.- 1972.- N101.- с.148-153.

45. Хроматов В.Е. Свойства спектров собственных колебаний пологих трехслойных оболочек // Механика твердого тела- 1982.- N2. с.130-137.

46. Хроматов В.Е. Свойства спектров тонких круговых цилиндрических оболочек, колеблющихся в окрестности безмоментного напряженного состояния // Механика твердого тела 1972.- N2.- с.103-108.

47. Цихистави З.Э. Об асимптотическом распределении спектра полиноминальных пучков дифференциальных операторов: Дис. кандидата ф.-м. наук: 01.01.01 / Московский государственный университет. М., 1989.- 102 с.

48. Цытович Н.А. Механика грунтов.- М.: Высшая школа, 1983456с.

49. Цытович Н.А., Тер-Мартиросян З.Г. Основы прикладной геомеханики в строительстве.- М.: Высшая школа, 1981 384 с.

50. Султанаев Я.Т., Силова Е.В. Асимптотика спектра одного квадратичного пучка дифференциальных операторов // Дифференциальные уравнения (принята в печать).