автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Спектральные свойства квадратичных операторных пучков и их приложения в механике

V 1 о и и

1 7 ОКТ 193В

На прпвах рукописи

ГАЙДАМАК ОЛЬГА ГРИГОРЬЕВНА

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ ПУЧКОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

65.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов я научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученом степени кандидата физико - математических наук

Уфа - 1996

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Султанаеп Я.Т.

Официильиые оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Байков В.А. кандидат физико-математических наук, доцент Урманчеев С.Ф.

Ведущая организация: Институт механики УНЦ РАН.

Защита состоится " ЛУ' СлнГсс^м/1996 года в час. на заседании диссертационного совета Д-064.13.02 прл Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, матемигический факультет.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан " . 1996 года.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью, просим высылать по указанному адресу на имя ученого секр. гаря диссертационного совета Д-064.13.02 Морозкина Н.Д.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д-064.13.02 ___ Морозкин Н.Д

Общая характеристика работы

Актуальность Темы, Задачи о распределении частот собственных колебании упругих тел опорные были поставлены более, 70 лет тому назад. Но, хотя концешпш распределения собственных частот появилась при рассмотрении механической модели, интерес-инженеров к :лпй концепции возник. лишь в Начале шестидесятых годов, главным образом, н связи с расчетом конструкций на действие широкополосных случайных нагрузок. . Некоторые результаты, относящиеся к распределению собственных частот для тонкостенных систем представлены в работах В.Б. Лндского, A.JI. Гольденвейзера, П.Е. Товстпка.

Оесьма важным с точки прения разнообразных приложений является изучение изгнбиых колеба¡mil стержней, взаимодействующих с плонюй oi:pyHcni;uHeit средой или основанием. D npocTeiimcM случае так называемого пннклеропского основания уравнение колебаний стерши имеет вид

d4U d2U

где El - нзгибиая жесткость стержня (которую Mbl считаем величиной постоянной), р - плотность стержня, F - плошадь поперечного сечсння, q{x) - переменный коэффициент упругости основания. Если и этом уравнении положить рапПмм пулю коэффициент'упругости основания при х 6 (—оо,+оо), то получится уравнение свободных колебаний бесконечного стержня. Хорошо известно, что свободные колебания неограниченного п псопер-того стержня имеют непрерывный спектр частот ш 6 (0,со). В случае когда q{x) — const, спектр частот, оставаясь непрерывным, будет начинаться не с пул я, а с Некоторого значения wo,

1/2

I ч .'

определяемого равенством а-'о '

-ш

Появление особенностей и неоднородностей в характеристиках основания приводит к усложнению структуры спектра собственных частот. ' Так, если q{x) - вещественная непрерывная функция и <j(.tj —> -fco при |.т| —> оо. То спектр становится дпе-

кретным. Для функици распределения собственных частот справедлива следующая асиМ0Т°ТИчегкая формула

■ ~ - / у/Хя - ч(х) йх при А -> ±оо,

V 3

,(*)<А>

где Д - безразмерная частота, равная ^

Исследование спектра собственных частот колебаний некоторой упруго!! системы тестю связана с исследованием спектральных свойств полиноминальных операторных пучков, то есть операторных полиномов

где А - спектральный параметр, Р}, ) = 0,1,...,ш - линейные дифференциальные операторы В гильбертовом пространстве Н.

Основы теории пшшюминатьных операторных пучков были заложены М.В. Келдышем в фундаментальных работах [1] и [2]. Для широкого класса пучков (н современной терминологии -пучков Келдыша) им были доказаны важнейшие теоремы о крат-,1|0Й полноте системы собственных П присоединенных векторов и об асимптотике собственных значений. В своем исследовании М.В. Келдыш опирался на развитые им ПоВые аналитические методы, основанные на оценках резольвенты. Теорема об асимптотике спектра пучка Келдыша Может быть применена при исследовании распределения собственных значений некоторых полиПоминальНЫх пучков, порожденных дифферещ'лалыШми операторами ([1], Теорема 5). Однако в ряде случаев, связанных с рассмотрением уравнений колебаний различных упругих »ел, возникают поднноМиПальные операторные пучки с совершенно

[1] Келдыш М.В. С) онкгигипмх шачениях м гибсщгННых функциях некоторых клаггон кссамосонряжмшых уравнении.//ДикЛ. ЛН СССР, т.77, 1951, N 1, 11-14.

[2] Келдыш М.В. О полной- гибгшеннцх функций некоюрых классов нсгамосонряжсннмх .ш1к Иных ш|ер;нс||>|>ь.//УМН, 1971. т.2С. N 4, 15 41.

иными, чем у пучков Келдыша свойствами. Изучении) именно таких операторных пучков посвящена данная работа.

Цель работы. Построение математической модели колебаний волновода, проложенного в неоднородном грунте с учетом диссипации. Изучение спектральных свойств полученного квадратичного операторного пучка в зависимости от коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. Получение асимптотической формулы для функции распределения собственных значений при Л —» ±эо.

В диссертации исследуется спектр пучка

£0(А).= A -h АД, - А2/,

где А - самосопряженный дифференциальный оператор, порожденный п Я = L2{—оо, +оо) дифференциальным выражением у14'1 — {/(х)у'У + q(x)y, D0 - оператор, порожденный п Н дифференциальным выражением í[2p(x)y' + y(.t);/]. Этот пучок получается после подстановки U(x,t) = у{х) exp(í'Af) в уравнение колебаний волновода.

Методика нсследоаанш!. Используемый в данной работе метод состоит в исследовании асимптотического поведения при А = i/i, /i —» +оо матричного следа резольвенты 7?(А) лннеари-затора пучка L(А). Далее на основании теоремы О.Б. Лидско-го о совпадении матричного следа и спектрального следа ядерного оператора и тауберовоЙ теоремы, получается асимптотическая формула для функции распределения собственных значений пучка L(А). Этот метод использовали в своих работах Л.Г. Костюченко, A.C. Маркус, Я.Т. Султанаев. D пашем случае резольвента 7?(А) не является ядерным оператором и мы исследуем матричный след оператора И2(А). ■ •

Научная новизна. Построена математическая модель колебаний волновода, проложенного в неоднородном грунте при достаточно общих предположениях.

Исследован характер спектра квадратичного операторного пучка и Получены его количественные оценки в ситуации, не укладывающейся в рамки теории М.В. Келдыша

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений БГУ

(под руководством профессора Я.Т. Султанаева), па семинаре кафедры механики сплошных сред ВГУ (под руководством профессора И.Ш. Ахатова), На семинаре кафедры математического моделирования БГУ (под руководством профессора С.И. Спивала), па 1-ой научно-практической конференции молодых ученых-физиков (Уфа, 1994), на между народно!! конференции студентов и аспирантов "Ленинские горы - 95" (Москва, 1995).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации, Диссертация состоит из введения, семи параграфов и епш'ка литературы. Общий объем работы «Рб страниц. Библиография содержит 30 названий.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор работ по изучаемой теме и приведено краткое содержание работы.

Первый параграф посвящен математическому моделированию колебаний волноводов, прокладываемых, в неоднородном грунте. При этом волновод трактуется как бесконечный стержень, лежащий на сложном неоднородном упругом основании. Предполагается ниже, что изгибная жесткость стержня постоянна по его длине, а упругие свойства грунта описываются некоторыми непрерывными функциями. Учет диссипатнвных свойств грунта осуществляется на основе приПцнна Вольтерра. Уравнение колебаний стержня выводится из уравнений равновесия элемента стержня и в безразмерных переменных имеет следующий вид:

где д(х), /(х), д(х) и р(х) - локальные безразмерные коэффициенты, характеризующие взаимодействие стержня с основанием и свойства основания.

После Подстановки {/(ж, = ;/(.;:} сх]>(г'А() в уравнение (1) получается следующая задача на собственные значения

у{4) - (А*)у'У + + + - А2у = 0.

Обозначим череч .1 самосопряженный дифференциальный оператор, порожденный п Н — L'-(—oo, +00) дифференциаль; ■■мм выражением у(|) - (f(x)y')' + q(x)y с непрерывно дифференцируемой положительной функцией /(х) и положительной функцией fj(.i ), В0 - оператор, порожденный в II выражением i{2j>(x}tj' +у(х)у], где, ji(j-) - непрерывно дифференцируемая положительная функция, ij(.i) - непрерьшная вещественная функция.

Рассматривается операторный пучок

Далее будет покачано, чн> при определенных условиях на коэффициенты спектр пучка £о(А) дискретен и получена асимптотическая формула для функции распределения "собственных тна-чринй при А —> ±оо.

Обочначим череч Б самосопряженный оператор, порожденный в Я выражением »[(р(.г)г/)' + И-т).1/]- В § 2 исследус-и л асимптотическое поведение функции Грима <?(.!',£, А) пучка //(А) = Л + АЛ — А21 при А = (/I, ¡1 —* 4-оо. При чтом на функции /(ж), !>(.г) и <](х) наложены следующие условия:

(3) </(х) —» +оо при |х| —»'оо,

(4) in , Us и I 111)11 К-аИи

где / (у) = г;Му), 1/22 < х < 1/11,

(и) <-T<jl/V') 0 < '■i4V-2~"'(x), 0 < с"') < 3/41,

(2)

¿о( А) = Л + \Ва — X'J.

(0)

/(•г) < Ч1/А(х), |/'(х)| < г(.г)/(х),

• Применяемый здесь метод исиользорался Я.Т. Султанаевым в работе [3].

В § 3 получена равномерная по .г и £ на pceli числовой прямой

асимптотика функции —А) при Л = »/<, ц -* +оо. ох

13 §4 с помощью теоремы о голоморфной операто]1-функции [4] доказывается дискретность спектра пучка Ь(А). В пространстве Я х Я вводится линеаризатор пучка ЦХ) - оператор V, заданный на своей области определении с помощью матрицы

-CU)-

Собственные значения ручка £(А) н оператора Р совпадают и цмеют одинаковые кратности.

Пусть А - регулярная точка пучка ЦХ). Обозначим через И(Х) резольвенту оператора V, В Ü4 доказывается, что оператор ■Ji2(A) при А =- гц япляется ядерным и справедлива следующая формула для следа оператора 1Z1 (А)

(8) sp7l2(A) — sp(i,'(A)£_1(A)L'(A)X~I(A) +- 2L~l (А)),

где L'( А) = В - 2X1.

Обозначим через А) ядро оператора L'(X)I.~l (А), тогда

Ядром оператора L'(X}L~l (X)L'(X)L~l (А) будет функция

оо

A'fijf,А) = J G(jc,y,\)G(v,t,\)du.

— ос

В §5 получено асимптотическое равенство для функции JT0о U1) Лх "РИ /х —» +оо и на оснсШапии а того равенства и

формулы (8) доказана Следующая теорема

|3) Султанаер П-Т. Ofi poifMiliuiНкн гиектра некоторых пучки» дифференциальных ошратороп. // Asjlijptotisilio iiietliodeu in der ;ша]уы.ч, Halle, 1988, cl|>.85-9G: . . ,

|4) Гохберг П.Ц., K|)i flH М.Г. Вп'Дсйис u теорию линоНных нссамш опря-жгнных onrpaiop >в. М.:Наука, 19G5

Теорема 5.7. Пусть функции f(x), р{х) и qix) удовлетворяют условиям (3) - (7), тогда при /I —► +оо выполнено следующее асимптотическое ¡¡¿тенетно

ос

где функция п(х, ¡/1) определяется равенством

Обозначим через А±|, А±з, ..., А±„, ... собственные значения пучка Ь(А), расположенные в порядке возрастания их абсолютных величин и положим

В §С исследуется поведение этих функций при А —» ±оо. Легко видеть, что если Ь(Х)у — 0, то Ц—\)у = 0. Это означает, что спектр пучка £,(А) симметричен, шнкщу функции АГ.(.(А) и ^-(А) в исследуемом случае совпадают. '

В начале шестого параграфа доказывается следующая лемма.

Лемма 6.1. Пусть функции /(х). р(х) и </(.:■) удовлетворяют условиям (3) - (7). Тогда при г .= (/( справедлива равенство

:V+(A)= Y, Ь Л-(А)= Е L

0<а„<л

Л<Л„<0

• Обозначим через О множество а пространстве переменных х и s такое, что для (х, а) 6 П выполнено ^s4j>4 (я) > ^(</(х) - з2)3 и введем в рассмотрение функцию i/'(A), определяемую следующим равенством

.Л

(Ю) .

V',(-A) = -ф{А), А > 0.

Далее на оснований леммы 6-1.и теоремы 5.7 с использованием формулы обращения Стидьтьеса доказывается, что при z = ifi, /1 +со

OD ОО

/ dN(А) 7 dHА) J (А~ J (А-2)2'

—ОО —ОО

После применения к последнему равенству тауберовой теоремы получается следующая теорема.

Теорема 6.3. Пусть функции f(x), р(х) и q{x) удовлетворяют условиям (3) - (7), а Для функции v(A), определяемо!! равенствами (10), выполнено следующее условие: каково бы. ни было ' С > 1 существуют константы -у и N, 1 < 7 < 2, JV > 0 такие, что для х> у > N

• • ' iifl ccf-V

Тогда при А —♦ ±оо справедливы аси.мшкш'кпиг </юрмулы

•> О 11

В седьмом параграфе исследуется спектр пучка (2). Доказывав ня

Теорема 7.1. Пусть функции /(х), р(х) и д(ж) удовлетворяют условиям (3) - (7), для функции д(х) выполнено следующее условие

Тогда спектр пучка ¿о (А) дискретен н, какоио бы ни было е > О, собственные значения пучка £0(,\), креме, быть ггоясет, конечного числа, лежат в углах

—г < arg А < е, 7Г - е < arg А < ж + е.

В §7 доказьшается лемма 7.2. Пусть Л^, Aj-j,..., А±„,... -последовательность собственных значений пучка Lо(А), занумерованная п порядке возрастания модулей, Причем 3?А+П > О, J?A_n < 0. Пусть А„ = 4- irn. Введем п рассмотрение функцию

22 i>'0'

- 22 ^ f<°- .

«U<o ■

Из леммы 7.2 следует, что при z ~ ifi, /t —»-f-oo выполнено соотношение

i dNnit) ■

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема 7.3. Пусть для функций }(х), д(.г), р(х) а д{х) вы- . полнены условия теоремы 7.1, я функция ф(А), заданная равенством

х

о л

ф(-\) = -ф(\), х> о,

удовлетворяет сле/утошелгу условию: каково бы пи было С > 1, существуют кянствпты у и Аг, 1 < 7 < 2, N > 0 такие, что для я > у > N

т

Тогда справедлива асимптотическая формула

Лгя(Л) ~ ^(А) при А —» оо. 5

В заключении автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору Я.Т.Султанаеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Гайдамак О.Г., Асимптотика дискретного спектра одного пучка сингу.гярных дифференциальных операторов, деп. п ВИНИТИ, 21.01.93, № 129-В93.

2. Гайдамах О. Г., Асимптотика спектра квадратичного операторного пучка, Материалы региональной научно-практической конференции. Тезисы докладов, Нижневартовск, 1994, с. 217-219.

3. Гайдамак О.Г., Математическое моделирование колебаний ■ упругой пластины на оязкоупругом основании, Материалы

1-ой научио-практической конференции молодых ученых физиков республики- Башкортостан. Тезисы докладов, Уфа, 1995, с. 38.

4. Султанаев-Я.Т., Гайдамак О.Г., Асимптотика функции Грина одного квадратичного пучка дифференциальных операторов, Вестпк Башкирского университета, 1996, № 1, с. ¡Ч-Ц}

Гайдамак Ольга Григорьевна

СПЕКТРАЛЫШЕ СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНЫХ ОПЕРАТОНШХ ПУЧКОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Автореферат диссертации на ооискание ученой степени кандидата фнзико-математичеоких наук

ЗКЗ .4 020259 от 30.10.91 г.

¡юдписано в печать 15/П-96 г. Фермат 60x84/16.'Бумага типографская Л I.Печать офоетная.Уол.печ.л,• 0,7 , Уч.-изд.л. 0,6 . Тирая 100 экз. Заказ Д 62.

Редакционно-иэдательский отдел Башкирокого университета Ротапринт Башкирского университета, 450074. г.Уфа, ул.Фрунзе, 32. '