автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теория и вычислительные методы для проблемы частичного назначения спектра и собственных векторов в динамических системах, определяемых матричными уравнениями второго порядка или уравнениями в частных производных

1. Введение

1.1. План диссертации.

1.2. Обозначения.

2. Математические модели 19 . 2.1. Малые колебания движущейся струны.

2.2. Малые колебания демпфированного вращающегося гибкого бура

2.2.1. Демпфированная симметричная модель.

2.2.2. Недемпфированная гироскопическая модель.

3. Теория и вычислительные методы проблемы собственных значений для квадратичных матричного и операторного пучков

3.1. Проблема собственных значений для квадратичного матричного пучка . 26 3.1.1. Два стандартных подхода к квадратичной проблеме на собственные значения

3.2. Вычисление небольшой части спектра для квадратичного пучка.

3.2.1. Методы сдвига-и-обращения для квадратичного пучка.

3.2.2. Отношения Релея для квадратичного пучка.

3.2.3. Метод Якоби-Дэвидсона.

3.3. Ортогональные соотношения между собственными векторами.

3.4. Проблема собственных чисел для квадратичного операторного пучка

3.5. Ортогональные соотношения между собственными функциями квадратичного операторного пучка.

4. Существующие методы решения и их вычислительные и инженерные трудности

4.1. Назначение спектра квадратичного матричного пучка с помощью сведения к системе первого порядка.

4.2. Проблема назначения спектра для квадратичных матричных пучков через независимое управление собственными режимами (IMSC подход)

4.3. Назначение собственной структуры.

4.3.1. Решение проблемы назначения собственной структуры для квадратичного матричного пучка.

4.4. Назначение спектра для операторного пучка

4.4.1. Независимое управление собственными режимами в системе с распределёнными параметрами.

5. Предлагаемые методы решения проблем частичного назначения спектра и собственной структуры для квадратичных матричных пучков

5.1. Проблема частичного назначения спектра для квадратичных матричных пучков.

5.1.1. Существование и единственность решения проблемы назначения спектра

5.1.2. Конструктивный метод частичного назначения спектра для системы первого порядка.

5.1.3. Параметрическое решение проблемы частичного назначения спектра

5.1.4. Единообразное доказательство известных результатов.

5.2. Частичное назначение собственной структуры для квадратичных матричных пучков.

6. Предлагаемые методы решения проблем частичного назначения спектра для квадратичных операторных пучков 93 6.1. Параметрическое решение проблемы частичного назначения спектра

6.1.1. Вывод недавних результатов по проблеме частичного назначения спектра для квадратичного операторного пучка.

7. Численные эксперименты

7.1. Вибрации вращающейся оси турбины.

7.1.1. Частичное назначение спектра для вращающейся оси турбины

7.1.2. Частичное назначение собственной структуры для вращающейся оси турбины.

7.2. Вибрации однородной движущейся струны.

Естественными моделями вибрационных систем, которые создаются в разнообразных прикладных исследованиях (особенно при конструировании и изучении таких вибрирующих структур, как мосты, автодороги, высотные здания, самолеты и т.п.), являются системы уравнений в частных производных вида О, (1.1) где М, C = D + GhK - дифференциальные операторы, действующие по пространственным переменным х функции смещения v(t,x), которая при всех значениях временной переменной t принадлежит заданному гильбертовому пространству Н, учитывающему граничные условия (1.1). Операторы М, К, D и G называются, соответственно, операторами инерции, жесткости, демпфирующих сил и гироскопических сил. Во многих прикладных задачах операторы М являются самосопряженными и положительно определёнными, D - самосопряжёнными и G - кососимметрическими. Т.е., для всех ненулевых функций ф(х),-ф(х) е Н выполнено

Мф,ф) > 0,(Мф,ф) = (Ф,Мтр), (DФ,Ф) = {ф,Ъф) и (G0,V) = где (•, •) обозначает скалярное произведение пространства Н.

Проблему гашения вибраций желательно решать в исходной постановке, т.е. для уравнений вида (1.1). Однако зачастую на практике, из-за отсутствия эффективных численных методов, применимых непосредственно для уравнений в частных производных, система (1.1) дискретизируется. В результате получается конечномерная матричная система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида

Mx(t) + Cx(t) + Kx(t) = 0, (1.2) где М,С = D + G, К 6 R"xn, а ±(2) и x(t) обозначают, соответственно, первую и вторую производные вектора x(t) по времени.

Очень часто в вибрационных задачах матрицы М, К, D и (7 являются разрежёнными. Их называют, соответственно, матрицами инерции, жёсткости, демпфирующих сил, и гироскопических сил. Во многих прикладных задачах М = МТ > 0 (т.е. матрица М симметрична и положительно определена), D = DT и G = —GT.

Применяя разделение переменных (см., например, [1]), решение системы (1.2) приводит к задаче на собственные значения для квадратичного пучка

Р{ А) = Х2М + ХС + К. (1.3)

Пучок (1.3) имеет 2тг собственных чисел, которые являются корнями уравнения det(P(A)) = 0, и им соответствуют 2п собственных (и присоединённых) векторов.

Собственные числа Р(А) связаны с натуральными частотами однородной системы (1.2), а собственные вектора иногда называют также режимами или модами вибраций системы (см. [1], [2]).

Опасное возрастание амплитуды колебаний (называемое резонансом) происходит тогда, когда одно или несколько собственных чисел пучка (1.3) становятся равными или очень близкими к частоте внешней силы, действующей на вибрационную систему (1.2). Одним из возможных способов избежать возникновения таких нежелательных колебаний является приложение к вибрационной системе управляющей силы вида f(t) — Bu(t), где В € Rnxm и u(t) € Rm. Это приводит к рассмотрению управляемой матричной системы второго порядка вида

Mx(t) + Cx{t) + Kx{t) = Bu(t),

1.4) которая в данной работе будет обозначаться как пара (Р(Х),В).

Предполагая, что вектор отклонений x(t) и вектор скорости отклонений x(t) известны, можно выбрать управляющий закон вида u(t) = Fxx{t) +F2x{t), (1.5) с постоянными матрицами Fx,F2 € Rmxm. Тогда система (1.4) становится замкнутой системой

Mx{t) + Cx(t) + Kx{t) = B{F\x{t) + F2x(t)), (1.6) или, в эквивалентной записи,

Mx(t) + (С — BFi)x(t) + (К — BF2)x(t) = 0. (1.7)

В задачах управления вибрациями матрицы В, Fi и F2 известны как В - управляющая матрица

Fi - матрица обратной связи по скорости

F2 - матрица обратной связи по отклонению.

Математически проблема состоит в том, чтобы выбрать матрицы Fx и F2 так, чтобы собственные числа замкнутого пучка

Рс{ А) = Л2М + Х(С - В Fx) + К - BF2 (1.8) могли бы быть изменены так, как это необходимо для борьбы с эффектами резонанса, или для того, чтобы гарантировать либо улучшить стабильность системы. Задача выбора Fx и F2 таким образом, чтобы управляемый пучок РС{Х) имел наперёд заданный спектр, называется задачей назначения спектра для системы (1.8).

К сожалению, известные численные методы [1,3- 14] для задачи назначения полного спектра работают удовлетворительно только при малом отношении п/т. Это происходит из-за роста числа обусловленности вследствие увеличения размерности матриц, входящих в условия задачи. В случае многих входов управления (т > 1) решение перестаёт быть единственным. В этом случае можно применять технику оптимизации для отбора того из решений, при котором собственные числа управляемой системы настолько хорошо обусловлены, насколько это возможно.

Однако реальные системы содержат лишь немного "плохих" собственных чисел. Поэтому имеет смысл изменять только эти "плохие" собственные числа, оставляя весь остальной спектр неизменным. Такой подход приводит нас к следующему варианту задачи назначения спектра:

Проблема 1. (Задача частичного назначения спектра квадратичного матричного пучка).

Дано:

1) Вещественные матрицы М, С, К размера п х п.

2) Вещественная управляющая матрица В размера п х т (т < п).

3) Самосопряжённое подмножество {Ai,., Ар}, р < п множества собственных чисел {Лх,., Агп} неуправляемого пучка (1.3) и множество соответствующих левых собственных векторов {у\,., ур} (определение см. в Главе 3).

4) Самосопряженное множество комплексных чисел {^i,., fxp}. Требуется найти:

Вещественные матрицы обратной связи F\ и F2 размера тхп, такие, что множество S = {fj, 1,. Ap+i,., Агп} является спектром управляемого пучка (1-8).

Хотя Проблема 1 важна сама по себе, заметим, что для изменения ответа вибрационной системы надо рассматривать задачу назначения как спектра, так и собственных векторов. Действительно, если собственные числа определяют скорость, с которой ответ вибрационной системы затухает или растёт, то собственные вектора определяют "форму" этого ответа. Такая задача называется задачей назначения собственной структуры. К сожалению, если управляющая матрица В задана зараннее, то задача назначения собственной стуктуры в общем случае не имеет решения (см. [15]). Что и приводит к следующей, более легко решаемой (но тоже имеющей важные приложения) задаче:

Проблема 2. (Задача частичного назначения собственной структуры для квадратичного матричного пучка).

Дано:

1) Вещественные матрицы М, С, К размера п х п.

2) Самосопряжённое подмножество {Ai,.,Ap}, р < п множества собственных чисел {Ai,., Агп} неуправляемого пучка (1.3) и множество соответствующих левых собственных векторов {yi,., ур}.

3) Самосопряженное множество комплексных чисел {/ii,., /лр} и множество векторов {хС1,. ,хср}, такие, что fij = Щ влечёт xCj = xck.

Требуется найти:

Вещественную управляющую матрицу В размера п х т (т < п) и вещественные матрицы обратной связи и F2 размера т х п, такие, что множество S = {/х 1,., Ap+i,., Агп} является спектром замкнутого пучка (1.8). Причем множество {яс1,., хср\ xp+i,. ,Я2п} соответствующих собственных векторов таково, что xp+i,. ,Х2П - это собственные векторы пучка (1.3), отвечающие собственным числам Ap+i,., Агп

Так же, как и в случае матричных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, системы уравнений в частных производных (1.1), если их решать методом разделения переменных, приводят к задаче частичного назначения спектра для квадратичного операторного пучка следующего вида:

Р(Л) = А2М + АС + К, где М, С и К - это дифференциальные операторы.

Определения полупростого собственного числа, левой собственной функции и дважды полной системы собственных функций, которые мы используем в нижеследующей формулировке, даются в Главе 3.4. Операторный аналог Проблемы 1 формулируется так:

Проблема 3. (Задача частичного назначения спектра квадратичного операторного пучка).

Дано:

1) Невырожденный оператор М и операторы С и К такие, что квадратичный операторный пучок

Р(А) = Л2М + ЛС + К (1.9) имеет дискретный спектр без конечных точек накопления; каждое собственное число пучка (1.9) полупростое и система собственных функций пучка (1-9) дважды полна.

2) т вещественных управляющих функций Ьх,., bm.

S) Самосопряжённое подмножество {Ai,., Ар}, р < п множества собственных чисел {Ai, А2,.} неуправляемого пучка (1.9) и множество соответствующих левых собственных функций {vi,., vp}.

4) Самосопряженное множество комплексных чисел {/лi,., цр}.

Требуется найти:

Вещественные функции обратной связи fn,., fim и f2l,., f2m такие, что множество S = {/Ui,. •, /Up; Ар+1, Ар+2,.} является спектром управляемого пучка

Гс(Х)ф = \2Мф + \(сф-^Г({1к,ф)Ък^ + (1.10)

Операторный аналог Проблемы 2 может быть сформулирован аналогично. Мы не будем рассматривать эту задачу в данной работе.

Теоретический вклад

• Для всех трех задач, сформулированных выше, в данной работе получены теоремы существования и единственности. Кроме того, доказаны новые теоремы существования и единственности для соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Как следствия этих теорем получены результаты для Проблем 1 и 2.

• Недавно были опубликованы решения частных случаев задач частичного назначения спектра и собственной структуры для квадратичных матричных пучков, а также задачи частичного назначения спектра для квадратичных операторных пучков [16 -21]. В диссертации все эти частные решения выведены как следствия общих теорем существования и единственности.

• Доказаны новые ортогональные соотношения между собственными векторами квадратичного матричного пучка и между собственными функциями квадратичного операторного пучка. Несколько уже известных ортогональных соотношений [16, 18] выводятся из них как частные случаи. Помимо важной роли, которую доказанные соотношения играют в решении трех сформулированных выше задач, они представляют и самостоятельный интерес для линейной алгебры и теории операторов.

Вычислительный вклад

• Разработан новый, прямой и частично модальный подход к численному решению Проблем 1, 2 и 3. Частично модальным мы называем наш подход потому, что для своего применения он требует знания лишь части собственной структуры рассматриваемого пучка. Мы называем наш подход прямым потому, что каждая из проблем решается в своей исходной форме. Это значит, что Проблемы 1 и 2 решаются без переформулировки их для систем ОДУ первого порядка. Использование исходной формы позволяет избежать удвоения порядка системы и обращения матрицы (которая может быть плохо обусловлена); а также сохранить структуру матриц (симметрию, положительную определённость, разрежённость и ленточную форму), которая требуется для применения алгоритмов, более эффективных, чем те, что могут работать с матрицами общего вида. Аналогично, применяя предложенный подход, Пробдему 3 можно решить без дискретизации входящих в неё дифференциальных операторов. Таким образом, из решения устраняются погрешности, привносимые дискретизацией, точная оценка которых в практических задачах чаще всего неизвестна.

При применении предлагаемого подхода для вычисления точного решения достаточно знания лишь части собственной структуры рассматриваемого пучка. Так как для больших разрежённых квадратичных пучков существующие методы позволяют вычислять только небольшую часть спектра, то предлагаемый подход хорошо применяется ко многим вибрационным задачам для больших гибких структур, систем элекроснабжения, компьютерных сетей и т.п. Особенно значительную пользу предлагаемый подход приносит в Проблеме 3, позволяя сводить решение бесконечномерной проблемы к решению малоразмерной системы линейных уравнений.

1.1. План диссертации

Диссертация выстроена по следующему плану:

Глава 2 посвящена моделированию вибраций реальных механических систем с помощью систем уравнений в частных производных. На конкретных примерах показано, как при дискретизации этих моделей получаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Проблема собственных значений для квадратичного матричного и операторного пучков рассматривается в Главе 3. Эта же глава включает описание новых ортогональных соотношений как между собственными векторами матричных пучков, так и между собственными функциями для операторных пучков.

Краткий обзор существующих методов назначения спектра и собственной структуры даётся в Главе 4, при этом описываются сопутствующие инженерные и вычислительные сложности.

Главы 5 и б излагают новый подход к решению задач назначения спектра и собственной структуры для квадратичных матричных пучков и квадратичных операторных пучков соответственно.

Результаты численных экспериментов для предложенного нового подхода приводятся в Главе 7.

Выводы и возможные направления дальнейших исследований содержатся в последней Главе 8 диссертации.

1.2. Обозначения

Для единообразия во всей диссертации используются следующие обозначения: п - размерность матриц в модели второго порядка и в квадратичном матричном пучке Р(А) (заметим, что соответствующая стандартная модель (Л, В) имеет размерность 2гг);

М - невырожденная матрица инерции размера п х п в модели второго порядка для симметричной или гироскопической модели М предполагается симметричной и положительно определённой);

D - симметричная матрица демпфирующих сил размера n х п в модели второго порядка;

G - кососимметричная матрица гироскопических сил размера пхпв модели второго порядка;

С - С — D + G (в симметричной модели предполагается G = 0 и в недемпфированной гироскопической модели предполагается D = 0);

К - матрица жёсткости размера пхпв модели второго порядка (для симметричной или гироскопической модели К предполагается симметричной); x(t) - вектор состояния размера fix 1, входящий в уравнение модели второго порядка Mx(t) + Cx(t) -I- Kx(t) = 0; m - размерность вектора входного сигнала, который используется для управления системой (система с одним входом означает, что т = 1; система с несколькими входами означает, что т > 1);

В - управляющая матрица размера п х т в модели второго порядка; h(t) - вектор входного сигнала размера тх 1, входящий в уравнение управляемой модели второго порядка Mx(t) + Cx(t) + Kx(t) = Bh(t);

Fi,F2 - матрицы обратной связи по скорости и по уклонению размера т х п, входящие в уравнение замкнутой модели второго порядка (предполагается пропорциональный закон обратной связи h(t) — F\x{t) + F2x(t))-,

Р{Л) - (разомкнутый, неуправляемый) квадратичный (матричный) пучок

Р(А) = А 2М + ХС + К)

Рс{А) - управляемый (замкнутый) квадратичный (матричный) пучок РС(Х) = А2М + А (C-BF1) + (K-BF2)-,

Aj - собственные числа квадратичного пучка Р(А), т.е. 2п решений уравнения det(P(Aj)) = 0, j = 1,2,., 2п;

Xj - (правые) собственные вектора квадратичного пучка Р(А), соответствующие собственным числам A j, т.е. удовлетворяющие уравнению P(Xj)xj = XjMxj+XjCxj+ Kxj = 0; yj - левые собственные вектора квадратичного пучка Р(А), соответствующие собственным числам A j, т.е. удовлетворяющие уравнению y*P(Xj) = Щу*М-\-Х^у*С-\

У* К = 0;

Л - диагональная матрица Л = diag(Ai,., Хщ) размера 2п х 2п\

X - матрица размера п х 2п, столбцы которой состоят из правых собственных векторов, т.е. X = (д^,., Х2П), удовлетворяющая уравнению Р(А)Х = МХА2 + СХА + КХ = 0;

Y - матрица размера п х 2п, столбцы которой состоят из левых собственных векторов, т.е. Y = (j/i,. ,у2п)> удовлетворяющая уравнению Y*P(A) = A2Y*M + AY*C + Y*K = 0; p - первые p собственных чисел Ai,., Xp, где p < n, которые необходимо переместить;

Ai, Л2 - матрица Л разбивается на блоки Л = diag(Ai, Л2), где Ai = diag(Ai,., Ар) и Л2 = diag(Ap+b.,A2n);

XUX2 - матрица X разбивается на блоки X = (Хх,Хг), где Х\ = (жх,. ,хр) и Х2 = яр+ъ • • • >

Ух,У2 - матрица У разбивается на блоки Y = (1^., V2), где Y\ = (3/1,. ,ур) и У2 = (ур+Ь- ■ • ,У2п); дх,., /хр - заданные значения первых р собственных чисел -РС(А);

- самосопряжённое множество комплексных чисел {hi, ., /ир, Ар+х,., А2п}, которое должно быть спектром замкнутого пучка РС(А) ;

Лс - диагональная матрица Лс = diag(/ix, • • •, Ap+i,., Л2п) размера 2n х 2п ;

Асх? Ас2 - матрица Лс разбивается на блоки как Лс = diag(Acl, Лс2), где Ad = diag(^X) • • •, и Лс2 = diag(Ap+1,., Л2„);

Хс - матрица размера п х 2п, столбцы которой состоят из правых собственных векторов как Хс = (хс1,., хс2п), удовлетворяющая уравнению Р(АС)ХС = МХСАС2+ (С - ВFx)Хс\ + (К - BF2)Xc = 0;

Хс\, Хс2 - матрица Хс разбивается на блоки Хс = (-АГс1,Хс2), где Хс1 = (хс1,. ,хср) и Хс2 = Х2\

Yc - матрица размера п х 2п, столбцы которой состоят из левых собственных векторов Yc = (ус1,., ус2п), удовлетворяющая уравнению YC*P(AC) = AC2YC*M + ЛсУДС - BFi) + Y*{K - BF2) = 0;

Yc1,Yc2 - матрица Yc разбивается на блоки Yc = iycuYc2), где Ус1 = (ус1,., уСр) и УС2 = (Уср+1, • • • ) Ус2п)! 0 1 \

А - матрица состояния стандартной модели размера 2п х -м~хк -м~хс )

2п, полученная после переформулировки модели второго порядка; А(Л) - спектр матрицы А\ о

В - управляющая матрица | | стандартной модели размера 2п х тп,

-м-1 В полученная после переформулировки модели второго порядка;

F - матрица обратной связи размера т х2п для стандартной модели. Заметим, что F = (F2, Fi);

Ас - замкнутая матрица состояния Ас — A — BF для стандартной модели размера

2n х 2п ;

X - матрица размера 2п х 2п, составленная по столбцам из правых собственных векторов матрицы А стандартной модели как X = (xi,. .,Х2П)- Заметим, что з = I 3 I' 3 = 1»---»2п, и X = I I;

V ) \ Xh )

Y - матрица размера 2п х 2п, составленная по столбцам из левых собственных векторов матрицы А стандартной модели как Y — (yi,., у2п). Заметим, что

Уз = C*Vj Х j = 1,., In, и Y* = (AY*M + Y*C, Y*M);

V M*Vj

Xc - матрица размера 2n x 2n, составленная как Xc = (xci,. ,xc2n) из правых собственных векторов Д.;

- матрица размера 2п х 2п, составленная как У^ = (yci, • ■., уС2п) из левых собственных векторов Ас\

Для операторных пучков используются следующие дополнительные обозначения:

М - невырожденный оператор инерции в модели с распределённым параметром для симметричной или гироскопической модели М предполагается самосопряжённым и положительно определённым);

D - самосопряжённый оператор демпфирующих сил в модели с распределённым параметром;

G - кососимметрический оператор гироскопических сил в модели с распределённым параметром;

С - С = D + G (для симметричной модели G = 0 и для недемпфированной гироскопической модели D = 0);

К - оператор жёсткости в модели с распределённым параметром (в симметричной или недемпфированной гироскопической модели К предполагается самосопряжённым); t,x - временная и пространственная переменные в модели с распределённым параметром ; v(t,x) - функция смещения в модели с распределённым параметром ; т - размерность вектора входного сигнала, который используется для управления системой (система с одним входом означает, что т = 1; система с многими входами означает, что m > 1); bfc - управляющая функция в модели с распределённым параметром, 1 < k < т ; fifcjfb*; - функции обратной связи по скорости и по уклонению в замкнутой модели с распределённым параметром;

Р(^) " (разомкнутый, неуправляемый) квадратичный операторный пучок;

РС(А) - замкнутый квадратичный операторный пучок; wj, Wj - правые и левые собственные функции, соответствующие собственному числу Aj в проблеме собственных значений для квадратичного операторного пучка Р(А); wcj-,vcj- - правые и левые собственные функции, соответствующие собственному числу //j, если j < р, или собственному числу A j, если j > р, в проблеме собственных значений для квадратичного операторного пучка РС(А);

Глава 2.

Математические модели

В этой главе мы покажем, как, используя системы уравнений в частных производных с операторами инерции, жёсткости и демпфирующих и гироскопических сил, можно смоделировать вибрации некоторых известных физических систем. Такие системы называются системами с распределённым параметром. Мы проиллюстрируем это на примере недемпфированной гироскопической системы, описывающей малые колебания движущейся струны, и демпфированной гироскопической системы, описывающей малые колебания вращающегося бура.

На практике система с распределённым параметром зачастую дискретизируется, давая систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Мы очень кратко упомянем метод конечных элементов, который используется для такой дискретизации, т.к. предлагаемый в данной работе метод может быть применён не только к дискретизированным системам второго порядка, но и к исходным системам с распределённым параметром.

2.1. Малые колебания движущейся струны

Рассмотрим малые колебания струны, равномерно протягиваемой со скоростью 7 между двумя фиксированными опорами в i = 0 и а: = L. Этот пример достаточно простой, чтобы проиллюстрировать предлагаемый метод без излишних технических сложностей, и одновременно достаточно общий, чтобы моделировать суть таких задач, как стабилизация протягиваемого распределённого микрофона или гашение волн, создаваемых высокоскоростными поездами. Вибрации движущейся струны, показанной на Рисунке 2.1, удовлетворяют уравнению в частных производных vtt + l-yvxt + iri2-с2)ихх = О, где 0 < х < L, t > 0, 72 < с2, с граничными условиями f(0 ,t) = v{L,t) = О, см. например [22].

Рис. 2.1. Малые колебания движущейся струны.

Определим операторы М, G и К как ^ dv ,9 9ч д2у

Mv = v, Gv = 2j—, Kv = (>y2-с2)-^.

Тогда, определяя скалярное произведение rL v,w) = / v(x)w(x) dx, J о мы получим

Ми, w) = / w(x)v(x) dx = (Мгу, v) = (v, Mw), Jo tL

Mv,v) = / Их)|2 oh > 0. Jo

Интегрирование по частям даёт

Ku, w) = — f (72 — с2)ги"(х)г;(х) dx = (u, Kio) , Jo

2.1)

2.2)

2.3) и

K«,v) = Гь2 -c2)\v'(x)\2 dx>0, Jo с учётом граничных условий (2.2). Так как v'(x) не равно нулю тождественно, оператор К самосопряжённый и положительно определённый. Еще одно интегрирование по частям даёт

Gu, w) = — f 2jw'(x)v(x) dx = —(v, Gw). Jo

Таким образом, система (2.1) и (2.2) может рассматриваться как операторная система с самосопряженными операторами М и К и кососимметрическим оператором G. Такие системы называются недемпфированными гироскопическими операторными системами.

Теперь вкратце покажем, как дискретизировать эту операторную систему, чтобы получить матричную систему второго порядка. Пусть {^(х)}]^ образуют полную систему функций и пусть каждая фк(х) удовлетворяет граничным условиям (2.2). Например, возьkirx \

1. Тогда существуют коэффициенты {vjt(£)}fcLi такие, что

КМ) = к=1

Требуя, чтобы рО. о 0, for j = l,2,.,n, (2.4) где

2.5) мы получаем систему из п уравнений с п неизвестными vi,., vn. Интегрируя по частям {ф^,Кип) и переписывая (2.4) в виде (1.2) , мы получаем

Mv(t) + Gv(t) +Kv{t) = 0, where v(t) = (Vl(t), v2(t),., vn(t))T, где jkUB элементы матриц M, G и К будут, соответсвенно, , 2у(Ф), Ц), и <с' - . (2.6)

Заключение

Подведём итоги нашего исследования по следующему плану. В Параграфе 8.1 определяется место данной работы в теории управления и показывается её теоретическая значимость. В Параграфе 8.2 намечается проблематика дальнейших возможных исследований. Наконец, в Параграфе 8.3 представляется область практического применения результатов диссертации.

8.1. Теоретическая значимость

В данной работе представлен новый подход, названый "прямым и частично модальным," для двух важных проблем управления с обратной связью. Это - проблемы частичного назначения спектра и частичного назначения собственной структуры для управляемых систем, моделируемых конечномерными матричными системами второго порядка.

Предложенный подход обобщён на проблему частичного назначения спектра для систем с распределёнными параметрами, которые естественно моделируют вибрации структур и для которых матричные системы второго порядка являются их дискретизирован-ными версиями, полученными применением метода конечных элементов. Предложенный подход обладает следующими важными особенностями. Во-первых, проблемы решаются в своей исходной постановке; то есть, если проблема задана матричной моделью второго порядка, то она решается без сведения к системе первого порядка. Если модель представляет собой систему с распределёнными параметрами, то проблема решается без дискретизации до матричной системы второго порядка. Преимуществом такого решения является то, что свойства модели, такие как симметрия, положительная определённость, разрежённость и т.п., используются при вычислении матриц и функций обратной связи.

Во-вторых, предлагаемый подход требует знания лишь нескольких собственных чисел и собственных векторов соответствующего квадратичного пучка. Это позволяет применять его даже к очень большим разрежённым системам, используя современные итеративные алгоритмы для матричных вычислений. Эта особенность подхода очень важна для случая систем с распределёнными параметрами, так как с её помощью бесконечномерная операторная задача точно решается с использованием нескольких собственных чисел и собственных функций.

В-третьих, для каждой проблемы строго доказываются математические результаты, гарантирующие, что собственные числа и собственные вектора, которые должны оставаться инвариантными, не будут изменены под действием обратной связи.

Кроме вычислительных алгоритмов диссертация содержит новые теоретические результаты, касающиеся существования и единственности решения проблем частичного назначения спектра и собственной структуры для матричных уравнений как первого, так и второго порядков. Также новыми являются результаты, связанные с отношениями Рэлея и ортогональными соотношениями между собственными векторами квадратичных пучков.

Эти результаты, в дополнение к важной роли при выводе алгоритмов данного исследования, представляют также и самостоятельный интерес для линейной алгебры и прикладной математики.

8.2. Направления будущих исследований

Основываясь на теоретических изысканиях и численных экспериментах, мы предлагаем следующие направления для будущих исследований:

• Назначение спектра, устойчивое к возмущениям.

Хорошо известно, что одним из основных факторов, определяющих чувствительность управляемых собственных чисел, является число обусловленности матрицы собственных векторов. В предложенном нами параметрическом решении присутствует возможность произвольного выбора матрицы параметров Г, которую можно использовать для уменьшения числа обусловленности матрицы собственных векторов. Мы полагаем, что число обусловленности матрицы Z\, появляющейся в каждом из наших алгоритмов, будет играть для этого критическую роль. Проведённые численные эксперименты по определению чувствительности управляемых собственных чисел под влиянием возмущений системы и матриц обратной связи как функции числа обусловленности матрицы Z\, похоже, подтверждают наши предположения. Но это требует точного доказательства.

• Прямой и частично модальный подход к проблеме частичного назначения собственной структуры для систем с распределённым параметром.

Прямой и частично модальный подход к проблеме частичного назначения собственной структуры для матричных уравнений второго порядка, скорее всего, может быть распространён на системы с непрерывным параметром.

• Коррекция моделей, полученных методом конечных элементов.

При анализе вибраций и построении моделей проблема коррекции моделей, полученных методом конечных элементов, заключается в таком изменении модели, при котором заданное небольшое множество предсказанных моделью собственных чисел и соответствующих собственных векторов заменяется на заданное множество измеренных в эксперименте собственных чисел и собственных векторов. Остальные собственные числа и собственные вектора, для которых нет данных измерений, должны остаться неизменными, а сама модель - симметричной.

Предлагаемый нами метод частичного назначения собственной структуры для квадратичных матричных пучков решает данную проблему, но не сохраняет симметрии модели. Будущие исследования могут быть направлены на выяснение того, как модель, изменённую применением управления с обратной связью, снова сделать симметричнои.

8.3. Возможные области практического применения результатов диссертации

Надеемся, что результаты, полученные в данной диссертации, откроют новое направление в исследовании теории управления для матричных систем второго порядка и систем с распределёнными параметрами. Следует ожидать, что результаты окажут влияние на многие отрасли экономики, включая автомобильную, аэрокосмическую, энергетическую промышленность и т.п.

1. 1.man D. J., Vibrations: Control, Measurement and Stability, Prentice Hall, Engle-wood Cliffs, NJ, 1989.

2. Datta B. N., Numerical Linear Algebra and Applications, Brook/Cole Publishing Co., Pacific Grove, California, 1998.

3. Calvetti D., Lewis В., Reichel L., On the solution of the single input pole placement problem, in Mathematical Theory of Networks and Systems, eds. A. Beghi, L. Finesso and G. Picci, II Poliografo, Padova, 1998, 585-588.

4. Calvetti D., Lewis В., Reichel L., On the selection of the poles in the single input pole placement problem, Lin. Alg. Appl., 1999, vol. 302/303, 331-345.

5. Chu E. K., Datta B. N., Numerically Robust Pole Assignment for the Second-Order Systems, Int. J. Control, 1996, vol. 4, 1113-1127.

6. Chu M. Т., Inverse Eigenvalue Problems, SIAM Rev., 1998, vol. 40, no. 1, 1-39.

7. Datta B. N., Numerical Methods for Linear Control Systems Design and Analysis, Academic Press, New York, 2003.

8. He C., Laub A. J., Mehrmann V., Placing plenty of poles is pretty preposterous, Report, TU, Chemnitz, Department of Mathematics, Chemitz, Germany, 1995.

9. Kautsky J., Nichols N. K., van Dooren P., Robust pole assignment in linear state feedback, Int. J. Contr., 1985, vol. 41, no. 5, 1129-1155.

10. Keel L. H., Fleming J. A., Bhattacharyya S. P., Minimum norm pole assignment via Sylvester equation, Contemporary Mathematics, 1985, vol. 47, 265-272.

11. Mehrmann V., Xu H., An analysis of the pole placement problem I. The single-input case, Electron. Trans. Numer. Anal., 1996, vol. 5, 89-105.

12. Mehrmann V., Xu H., An analysis of the pole placement problem II. The multi-input case, Electron. Trans. Numer. Anal., 1997, vol. 5, 77-97.

13. Mehrmann V., Xu H., Choosing the poles so that the single-input pole placement problem is well-conditioned, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 1998, vol. 19, 664-681.

14. Meirovitch L., Dynamics and Control of Structures, Wiley Interscience, New York, 1990.

15. Inman D. J., Kress A., Eigenstructure Assignment via inverse eigenvalue methods, AIAA J. Guidance, Control and Dynamics, 1995, vol. 18, 625-627.

16. Datta B. N., Elhay S., Ram Y. M., Orthogonality and Partial Pole Assignment for the Symmetric Definite Quadratic Pencil, Lin. Alg. Appl., 1997, vol. 257, 29-48.

17. Datta B. N., Elhay S., Ram Y. M., Sarkissian D. R., Partial Eigenstructure Assignment for the quadratic Pencil, Journal of Sound and Vibration, 2000, vol. 230, no. 1, 101110.

18. Datta B. N., Ram Y. M., Sarkissian D. RM Spectrum modification for gyroscopic systems, ZAMM, 2001, vol. 82, 191-200.

19. Datta B. N., Sarkissian D. R., Multi-input Partial Eigenvalue Assignment for the Symmetric Quadratic Pencil, Proceedings of the American Control Conference, 1999, 2244-2247.

20. Ram Y. M., Pole assignment for the vibrating rod, Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1998, Vol. 51, no. 3, 461-476.

21. Saad Y., A projection method for partial pole assignment in linear state feedback, IEEE Trans. Auto. Control, 1988, vol. 33, no. 3, 290-297.

22. Ram Y.M., Caldwell J., The free vibrations of an axially moving string in a bounded region, Canadian Applied Mathematics Quarterly, 1995, vol. 3, no. 4, 445-471.

23. Parlett B. N., The Symmetric Eigenvalue Problem, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1980.

24. Lancaster P., Lambda Matrices and Vibrating Systems, Pergamon Press, 1964.

25. Lancaster P., Tismenetsky M., The Theory of Matrices with Applications. 2nd ed., New York: Academic Press, 1985.

26. Ostrowski A. M., On the Convergence of the Rayleigh Quotient Iteration for the Computation of the Characteristic Roots and Vectors. I-VI, Arch. Rational Mech. Anal., 1958, vol. 1, 233-241;

27. Sleijpen G. L. G., van der Vorst H. A., Bai Z., Jacobi-Davidson algorithms for various eigenproblems A working document, 1999, доступна в электронном виде http://www.math.uu.nl/people/sleijpen/.

28. Saad Y., Iterative Methods for Sparse Linear Systems, PWS, Boston, MA, 1996.

29. Fokkema D. R., Sleijpen G. L. G., van der Vorst H. A., Jacobi-Davidson style QR and QZ algorithms for the reduction of matrix pencils, SIAM J. Sci. Cmput., 1998, vol. 20, no. 1, 94-125.

30. Sleijpen G. L. G., Booten A. G. L., Fokkema D. R., van der Vorst H. A., Jacobi-Davidson type methods for generalized eigenproblems and polynomial eigenproblems, BIT, 1996, vol. 36, no. 3, 595-633.

31. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, М.: Наука, 1965.

32. Markus A. S., Introduction to the spectral theory of operator polynomials, Transl. of Math. Monographs, vol. 71, Amer. Math. Soc., Providence, 1988.

33. Келдыш М. В., О полноте системы собственных функций для некоторых классов несамосопряжённых линейных операторов, Успехи Мат. Наук, 1971, том. 27, вып. 4(160), 15-41

34. Barkwell L., Lancaster P., Markus A. S., Gyroscopically Stabilized Systems: A Class of Quadratic Eigenvalue Problems with Real Spectrum. Canadian J. of Math., 1992, vol. 44, no. 1, 42-53.

35. Bottcher A. et al., Lectures on operator theory and its applications, Edited by Lancaster P., Fields Institute Monographs, 1996, vol. 3, Amer. Math. Soc., Providence.

36. Gohberg I., Lancaster P., Rodman L., Matrix Polynomials, Academic Press, New York, 1982.

37. Krein M. G., Langer H., On some mathematical principles in the linear theory of damped oscillations of continua, Integral Equations and Operator Theory, 1978, vol. 1, 364-399 and 539-566.

38. Lancaster P., Skhalikov A., Damped vibrations of beams and related spectral problems, Canadian Applied Mathematics Quarterly, 1994, vol. 2, no. 1, 45-90.

39. Lancaster P., Skhalikov A., Ye Q., Strongly definitizable linear pencils in Hilbert space, Integral Equations and Operator Theory, 1993, vol. 17, 338-360.

40. Rodman L., An Introduction to Operator Polynomials, Operator Theory: Adv. Appl., 1989, vol. 38, Birkhauser Verlag, Basel.

41. Parlett B. N., Chen H. C., Use of indefinite pencils for computing damped natural modes, Lin. Alg. Appl., 1990, vol. 140, 53-88.

42. Sleijpen G. L. G., van der Vorst H. A., van Gijzen M., Quadratic Eigenproblems Are No Problem, SIAM News, 1996, vol. 29, 8-9.

43. Terray J., Lancaster P., On the Numerical Calculation of Eigenvalues and Eigenvectors of Operator Polynomials, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1977, vol. 60, no. 2, 370-378.

44. Andry A. N. Jr, Shapiro E.Y., Chung J.C., Eigenstructure Assignment for Linear Systems, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1983, vol. 19, no. 5, 711-729.

45. Mudge S. K., Patton R. J., An Analysis of the Technique of Robust Eigenstructure Assignment with Application to Aircraft Control, IEEE Proceedings (Part D): Control Theory and Applications, 1988, vol. 135, no. 4, 275-281.

46. Patel Y., Patton R. J., Burrows S. P., Design of Insensitive Multirate Aircraft Control Using Optimized Eigenstructure Assignment, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1993, vol. 16, no 1, 118-123.

47. Sobel К. M., Shapiro E. Y., Robustness/Performance Tradeoffs in Eigenstructure Assignment with Flight Control Application, Proceedings of the American Control Conference, 1987, 380-385.

48. Yu W., Sobel К. M., Robust Eigenstructure Assignment with Structured State Space Uncertainty, J. Guidance, 1991, vol. 14, no. 3, 621-628.

49. Moore В. C., On the flexibility offered by state feedback in multivariable systems beyond closed loop eigenvalue assignment, IEEE Trans. Automat. Contr., 1976, vol. 21, 689692.

50. Chen С. Т., Linear System Theory and Design, CBS College Publishing, New York, 1984.

51. Kailath Т., Linear System, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1980.

52. Datta B. N., Elhay S., Ram Y. M., An algorithm for the partial multi-input pole assignment problem of a second-order control system, Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control, 1996, 2025-2029.

53. Datta B. N., Sarkissian D. R., Theory and Computations of Some Inverse Eigenvalue Problems for the Quadratic Pencil, Contemporary Mathematics, 2001, vol. 280, 221240.

54. Benner P., Laub A. J., Mehrmann V., A collection of benchmark examples for the numerical solutions of algebraic Riccati equations I: Continuous-time case, 1995, доступна в электронном виде http://www.tu-chemnitz.de/~pester/sfb/spc95pr.html.