автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование систем управления с матричными переменными

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.91 + 519.2

Приставко Владислав Тарасович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С МАТРИЧНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в докторантуре факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета на кафедре информационных систем

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Петросян Леон Аганесович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Заика Юрий Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор Овсянников Дмитрий Александрович,

доктор физико-математических наук, Пресман Эрнст Львович.

Ведущая организация:

Вычислительный центр Российской академии наук.

Защита состоится "30

марта

2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.232.50 доктор физико-математических наук, профессор

2005 г.

Г.И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В работе исследуется специальный класс задач математического моделирования систем управления с матричными переменными, описываемых обыкновенными матричными дифференциальными или разностными уравнениями. Здесь рассмотрены: основные постановки задач управления данными системами, вытекающие из конкретных приложений; исследование решений этих задач классическими методами теории управления; разнообразные примеры управляемых систем с матричными переменными в технике, биологии и экономике; направления дальнейших исследований. Системы управления с матричными переменными для краткости изложения результатов исследований будем в дальнейшем называть матричными моделями управления (ММУ).

Задача конструирования матричных моделей управления является одной из общих задач моделирования динамических процессов, рассматриваемых в прикладной математике. К ним приводит широкий класс задач и проблем, изложенных в работах М. Атанса (М. Athans), Р. Беллмана, Р. Калмана, Д.А. Овсянникова, СВ. Подоляна, А.Н. Ширяева. Вполне очевидно, что по сравнению с векторными моделями ММУ обладают большими возможностями описания динамики системы нескольких взаимосвязанных объектов. Например, полет нескольких летательных аппаратов, маневр группы кораблей, прямой и обратный транспорт крови, движение капитала и т.д. ММУ описывается динамика управляемых электронных и ионных пучков (Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков- СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1998, с. 119 - 122).

Впервые задачу управления матричным объектом, динамика которого описывается обыкновенным матричным билинейным дифференциальным уравнением типа Риккати, в классе линейных матричных функций поставил и решил М. Атанс (Athans M. A durect derivation of the Optimal Linear Filters, using the maximal principle // IEEE, Transaction on Automatic Control, v. 6, 1967, P. 690 - 697). Данная работа послужила основой математического моделирования систем управления с матричными переменными.

Необходимость исследования систем управления с матричными переменными возникает, например, в калмановской теории фильтрации и ее приложениях в сингулярных случаях физической реализации фильтров, так как в этой теории не учитываются ограничения на техническую реализацию ММУ. В данной теории в соответствии с классической схемой задач статистики случайных векторных процессов частично наблюдается по второй компоненте yt процесс (Xt, yt), t > 0. Основная задача фильтрации состоит в том, что по наблюдаемым значениям вектора у,, 0 < s < t, требуется дать оценку zt значений первой векторной компоненты xt. В теории вероятностей известны такие оценки: уравнения Колмогорова (1941), уравнения Винера - Хопфа (1953), фильтр Калмана (1961) и нелинейная фильтрация Липцера - Ширяева (1974). Необходимость учета ограничений в прикладных задачах теории калманов-ской фильтрации привела автора данной диссертации к проблеме управления системой, которая описывается обыкновенным билинейным матричным дифференциальным уравнением и представляет собой матричную модель дина-

мики корреляционной матрицы ^ ошибки оценки ге = Хь — ¡Н, С момента создания теории оптимальных фильтров Р. Калманом в 1961 году теория статистической оценки случайных процессов стала находить применение в решениях конкретных задач за счет рекуррентности, простоты и компактности полученных им формул. Но классическая, сугубо теоретическая постановка задачи затрудняет их применение в широком классе задач интерполяции, экстраполяции и последовательной оценки, которые необходимы в решениях прикладных вопросов техники, так как не учитывает технические ограничения возможной приборной реализации. Например, теоретически не учитывается возможное вырождение матрицы, определяющей структуру фильтра, допускаются достаточно большие или малые значения величин, описывающих схему физического фильтра, что приводит к сингулярности и некорректности постановки задачи оценки в условиях технической реализуемости, что было ранее известно.

Значимость приводимых исследований покажем на примере конструирования системы оптимальной нелинейной оценки частично наблюдаемых процессов (Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы,- М.: Наука, 1974.- 696 с). Пусть (П, F, Р) - полное вероятностное пространство, Рь, 0 < t < Т, - неубывающее семейство непрерывных справа а - подалгебр Б. Пусть (х, у) - частично наблюдаемый случайный векторный процесс, где вектор х — (х1;, Ш) - ненаблюдаемая, а вектору = {уг, Л) - наблюдаемая компоненты. Тогда задача оптимальной фильтрации для процесса (х, у) состоит в построении для каждого момента времени 0 < 4 < Г, оптимальной в среднеквадратичном смысле оценки некоторой - измеримой функции Ы (зависящей от (х, у)) по результатам наблюдений уя, з < Ь. Если < оо, то такой оценкой,

очевидно, является апостериорное среднее = Е[/и 11%].

Новый подход к решению задачи оценки был предложен в 1974 году автором данной диссертационной работы на основе решения задач автоматического регулирования и автоматической теории оптимальных регуляторов В.И.Зубова с квадратичным критерием (по Летову) качества их работы, учитывающим технические ограничения на сигналы управления в системах. Задача оптимальной фильтрации для частично наблюдаемого процесса (х, у) состоит в построении для каждого момента времени X, 0 < Ь < Т, оптимальной в смысле минимума обобщенного квадратичного функционала У векторной оценки зависящей от _условно-гауссовского процесса (х(, у^, по результатам наблюдений у а, з

(1)

где матрицы

А, Н и Q (соответствующих размерностей) характеризуют ограничения на векторную ошибку оценки и матричный (соответствующей размерности) сигнал управления II, фильтром * - знак транспонирования. Введение обобщенных квадратичных критериев качества работы фильтров позволило

разработать метод аналитического конструирования оптимальных фильтров. Данный метод (изложенный в главах 3 и 4 диссертации) открыл возможность создания класса технически реализуемых фильтров, способных работать в широком диапазоне прикладных задач в условиях стохастической неопределенности. В работе показано практическое применение данных фильтров в решении таких задач, как оценка и прогноз траектории движения цели при случайных возмущениях и ошибках наблюдения, прогнозирование динамики цен на мировом рынке, оценка и прогноз нелинейного стохастического процесса при технических ограничениях бортовых компьютерных систем (по быстродействию и разрядной сетке). Решение этих задач непосредственно привели к необходимости разработки теоретических основ математического моделирования систем управления с матричными переменными. Это направление является новым в математической кибернетике.

В работе рассмотрены задачи управления линейными и билинейными системами с матричными переменными (БММУ). Под билинейными матричными моделями управления (БММУ) понимается описание динамики объектов следующими матричными обыкновенными дифференциальными (или соответствующими разностными) уравнениями

где t £ [to, Г], X 6 RnX", Ui е RmXn, U2 G Rnxm, моменты времени to и Т, а также начальное Хо = X(to) положение - заданы. Предполагается, что матрицы Ai(t), A2(t), Bi(t), Bz(t), Ci(t), C2(t), Di(t), D2(t), F(t) соответствующих размерностей с непрерывными элементами известны.

Частный случай таких моделей впервые рассмотрел М. Атанс (1967) в задаче синтеза оптимального управления фильтром Р. Калмана посредством принципа максимума Л.С. Понтрягина. Несмотря на то, что обыкновенные матричные дифференциальные уравнения давно известны (см. труды Н.П. Еругина, И.А. Лаппо-Данилевского, A.M. Ляпунова и т.д.), монографии, посвященной обыкновенным матричным дифференциальным и разностным уравнениям и задачам управления, описываемых ими, по известной автору литературе, нет. Автором диссертации опубликована монография [2].

Степень разработанности темы исследований достаточно высокая. На основе данных исследований сконструированы технические системы, рассмотрены некоторые задачи технической кибернетики, математической биологии и экономики, решения которых опубликованы в статьях [1, 3 - 18] и в монографии [2].

Таким образом, разработка методов математического моделирования систем управления с матричными переменными является актуальным направлением теоретической и прикладной математики. В результатах этой работы заинтересованы организации, проектирующие следящие и навигационные системы, системы автоматического управления, системы контроля и управления состоянием здоровья пациентов, системы анализа налоговой базы региона, системы управления движением финансовых средств и т.д.

Цель и задачи исследования. Целью исследования является разработка теоретических основ математического моделирования естественнона-

учных объектов, которые допускают описание в форме систем управления с матричными переменными.

Связь с крупными научными программами, темами. Основополагающие результаты данной работы (глава 3 и 4) получены в ходе научно-исследовательских работ в Конструкторском бюро точного машиностроения (г. Москва, 1969 -1980 гг.) по спецтематике, входящей в ряд важнейших задач народного хозяйства СССР. Основные теоретические результаты (главы 1 и 2) получены в ходе работ по государственной теме (Per. гос. Na01.09. 10017666 - Качественные вопросы теории дифференциальных систем с распределенными параметрами) исследований, проводимых на математическом факультете Витебского государственного университета им. П.М. Машерова (1986 - 2000 гг.) и факультете прикладной математики - процессов управления СПбГУ (2000 - 2004 гг., грант президента РФ НШ-2174.2003.1 и грант РФФИ 03-0100668). Приложения разрабатываемых теоретических основ ММУ (глава 5) тесно связаны с научно - прикладной республиканской программой исследований, проводимых в липидном лечебно-диагностическом центре Республики Беларусь (1993 - 1997 гг. Per. гос. N-1996252 - Экспериментально - клиническое обоснование и внедрение технологий коррекции метаболизма при дисли-попротеинемиях.). Результаты совместной работы опубликованы в статьях и докладах на конференциях, включая международные, которые способствовали становлению основ математической модели липидностей живых систем.

Объектом исследования, рассматриваемым в работе, являются модели систем управления с матричными переменными.

Собственным предметом исследований, которые излагаются в диссертационной работе, являются обыкновенные линейные и билинейные матричные дифференциальные или разностные уравнения. Данные уравнения представляют собой абстракцию сложных систем, изучаемых в широком спектре естественных, технических и экономических наук. В работе приводятся решения и ставятся проблемы и задачи данного объекта исследований, имеющего общие аспекты в системах различной природы. При этом предполагается, что явления реального мира описываются набором четырех объектов: входной, выходной и внутренний сигналы в виде матричных переменных, зависящих от времени, функционалы, характеризующие текущие значения внутреннего и выходного сигналов.

Методология и методы проведенного исследования. В основу методологии исследований, приводимых в работе, положена общая методология математической теории кибернетики и математического моделирования. Основными методами проводимых исследований являются методы теории оптимального управления, функций A.M. Ляпунова и теории фильтрации, значительный вклад в развитие которых внесли русские математики: В.Г. Болтянский, В.И. Зубов, Ф.М. Кириллова, А.Н. Колмогоров, А.А. Красовский, Н.Н. Красовский, A.M. Летов, В.М. Миллионщиков, Н.Н. Моисеев, Л.С. Пон-трягин, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов, А.Н. Ширяев, В.А. Якубович и многие другие.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все

основные результаты диссертации являются новыми. Выделим среди них следующие факты. Рассмотрены и всесторонне исследованы линейные и билинейные математические модели систем управления с матричными пере-

менными в непрерывном и дискретном времени с обобщенным линейно-квадратичным функционалом. На основе этих исследований дано, теоретическое обобщение калмановской теории фильтрации и теории нелинейной фильтрации А.Н. Ширяева на случаи обобщенного линейно-квадратичного функционала, характеризующего качество работы фильтра и ограничения на его техническую реализацию. Показано, что впервые данное Р. Беллма-ном фармакокинетическое описание векторными моделями процесса переноса веществ в потоках между компартментами живого организма более полно представляется векторно-матричными моделями управления. В работе обоснована математическая векторно-матричная модель липидностей живых систем, главным достоинством которой является возможность анализа экспериментальных данных поведения живого объекта на шкале жизни. На базе данной модели предложен алгоритм распознавания основного и сопутствующих заболеваний. Показано применение этих моделей в экономике. Разработаны модели и алгоритмы параллельных и последовательных фильтров случайных процессов, позволяющих повысить надежность, например, следящих систем. Новизна и значимость применения данных алгоритмов в следящих системах подтверждены свидетельством на изобретение (в соавторстве).

Приведенные результаты исследований показывают, на взгляд автора, что применение матричных переменных в математических моделях представляет научную проблему для специалистов в области дифференциальных уравнений, математической кибернетики, математической физики, теории вероятностей, математической биологии, экономики и т.д.

Практическая и экономическая значимость полученных результатов, приводимых в диссертации, следует из их непосредственной связи с научными программами и темами, которые были указаны выше.

Полученные результаты могут быть использованы при:

- конструировании систем управления со случайными ошибками измерений и воздействиями;

- решении вопросов проектирования матричных моделей управления;

- синтезе моделей в биологии, медицине, экономики, техники и анализе поведения объектов, описываемых этими моделями в различных режимах функционирования.

В диссертации приводятся решения задач прикладной математики, техники, биологии и экономики, которые имеют практическую и экономическую значимость для науки и производства.

Материалы диссертации использовались при чтении лекций по теории вероятностей и математической статистике и спецкурсов на факультете прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета и на математическом факультете Витебского государственного университета им. П.М. Машерова (Республика Беларусь), а также при выполнении курсовых и дипломных проектов студентами.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту- Научно обоснованный подход, методы и алгоритмы решения прикладных задач описания объектов посредством математических моделей систем управления с матричными переменными. Обоснование проводится введением определений и доказательством теорем и лемм.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

• 1. Предложен метод аналитического конструирования математических моделей систем управления с матричными переменными , который позволяет получить простые расчетные формулы и качественные результаты при наличии ограничений на техническую реализацию объекта в приложениях математической кибернетики, медицины, биологии, техники и экономики, в том числе:

— доказательство необходимых и достаточных условий устойчивости, управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости систем, описываемых матричными обыкновенными линейными дифференциальными или разностными уравнениями;

— решение задачи синтеза оптимального (по отношению к минимуму обобщенного линейно-квадратичного функционала) управления непрерывных и дискретных систем с матричными переменными.

• 2. На основе данного подхода предложен метод аналитического конструирования оптимальных фильтров условно-гауссовских случайных процессов и последовательностей, который является дальнейшим развитием теории калмановской фильтрации на случай обобщенного квадратичного функционала, учитывающего ограничения на их техническую реализацию, в том числе:

— решения прикладных задач в технике (двухканальная следящая система), экономике (прогнозирование динамики цен на мировом рынке), биологии и медицине (оценка риска заболеваемости сердечно-сосудистой системы);

— алгоритм решения задачи оценки чувствительности параметров нелинейных систем управления;

— классификация и технология проектирования оптимальных фильтров.

• 3. Математические основы метода и модели липидностей живых систем, позволяющих дать оценку их положения на шкале жизни, в том числе:

— введение критерия липидности;

— формулировки и доказательства теорем сложения липидностей совместных и несовместных объектов;

— решение задачи синтеза модели радиационно-индуцированного атеросклероза системы крови;

— вывод векторно-матричных уравнений фармакокинетики.

Основные определения, теоремы и леммы, методы анализа и синтеза, алгоритмы и схемы, изложенные в диссертации и выносимые на защиту, позволяют решать известные и малоисследованные прикладные задачи оптимального управления и фильтрации случайных процессов в условиях сингулярности, стохастической неопределенности и технических ограничений, а также

значительно улучшить характеристики существующих приложений математических моделей в целом и значительно расширить область их применения.

Личный вклад соискателя. Основные теоретические положения и практические применения систем управления с матричными переменными, выносимые на защиту, получены автором лично или под его непосредственным научным руководством при выполнении дипломных работ. Большинство прикладных программ численного моделирования написаны лично автором диссертации или с его участием совместно с учениками при работе над проблемами НИР, ОКР и дипломными проектами на языке программирования "Turbo Pascal".

Постановка задач, формулировка определений, формулировка и доказательства лемм и теорем метода аналитического конструирования оптимальных фильтров условно-гауссовских случайных процессов и последовательностей и их решение в стационарном случае сделаны лично автором во время обучения (1971 - 1975) в заочной аспирантуре Ленинградского государственного университета на кафедре теории управления факультета прикладной математики - процессов управления и опубликована в открытой печати [1] в 1980 г. Дальнейшее развитие этого метода принадлежит автору диссертации и его ученикам.

Рассмотренные приложения этих теорий принадлежат и соавторам, с которыми участвовал в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах в течении 12 лет в Конструкторском бюро точного машиностроения (г. Москва).

Биохимическая постановка задачи оценки положения живой системы на шкале жизни математической модели липидностей принадлежит руководителю Республиканского Липидного лечебно-диагностического центра (РЛЛДЦ) проф., д.б.н. Чиркину А.А. и его ученикам: д.б.н., проф. Коневаловой Н.Ю., к.м.н. Рабкину М.С.

Формулировка критерия липидности принадлежит автору диссертации и его ученикам: Чиркиной А.А. и Солдатенко И.В. [б]. Рассмотренные приложения этой модели принадлежат и соавторам, с которыми работал в РЛЛДЦ и Витебском медицинском университете (1992 - 1997 гг.) над медицинскими проблемами, связанными с аварией на ЧАЭС, на научно-экспериментальной базе исследований которых проходила апробация математических исследований автора и его дипломников.

Вывод векторно-матричных уравнений фармакокинетики и применение их в экономике дан лично автором.

Докт. биолог, н., проф. Коневаловой Н.Ю. и докт. биолог, н., проф.Чиркину А.А. - принадлежат базы данных медико-биологических экспериментов и биохимическая постановка проблемы липидности живых систем. К.т.н. Бочкину А.И. принадлежит разработка и написание компьютерной программы "Риск", а к.мед.н. Рабкину М.С. принадлежит база данных пациентов и факторов риска заболеваемости ССС.

Асташонок В.Ф., Гайдуков В.Л., Кремеров Е.В., Демидова A.M., Загала-вец Т.В., Кремеров Е.В., Куриленок А.Ю., Рубашкова А.И., Солдатенко И.В. и Толкачев В.И. на момент публикаций являлись студентами, выполнявшими под руководством автора дипломные проекты.

Стовманенко Л.В., Чиркиной А.А., Шерегову СВ. и Ярвельян А.В.

принадлежат разработки и написание соответствующих компьютерных программ.

Автор глубоко признателен им за добросовестную совместную работу над развитием математических моделей систем управления с матричными переменными.

Апробация результатов диссертации. Результаты докторской диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Математический Институт АН СССР (семинар по стохастическим процессам, рук. проф. А.Н. Ширяев); Вычислительный центр РАН (г. Москва) (семинар по методам нелинейного анализа, рук. проф. Е.А. Гребени-ков); Белорусский государственный университет (семинар по теории оптимального управления, рук. проф. Ф.М. Кириллова); СПбГУ (семинар кафедры информационных систем, рук. проф. Н.Е. Кирин); 3-ий международный семинар "Негладкие и разрывные задачи управления. Оптимизация и их приложения", Санкт-Петербург; Ежемесячное заседание математического общества математиков Республики Беларусь, Институт математики НАНБ; International conference "Deterministic and stohastic modelling of biointeraction", Sofia, Bulgaria; междунар. конф. AMADE-99 "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений", Минск; междунар. конф. VIII Белорусская математическая конференция, Минск; 11-th IFAC International Workshop "Control Applications of Optimization", Saint-Petersburg, Russia; междунар. ма-темат. конф. "Еругинские чтения - IX", Республика Беларусь, Витебск; IX Белорусская математическая конференция, Гродно. Полный список опубликованных тезисов докладов автора на конференциях и семинарах дан на с. 29.

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 71-ой печатной работе (одна монография, 23 работы на правах рукописи, 21 научная статья, 23 тезиса докладов на конференциях, два описания к авторским свидетельствам и одно описание к компьютерной программе). Список основных печатных работ по теме диссертационной работы, опубликованных после защиты кандидатской диссертации приведен на с. 27 (одна монография, 15 научных статей, одна работа на правах рукописи и одно описание к компьютерной программе).

Структура и объем диссертации Диссертация изложена на 286 страницах. Она содержит введение (19 с, в том числе общую характеристику работы (15 с.)), 6 глав (243 с, в том числе 13 рисунков, 7 таблиц), заключение (4 с.) и список литературы, включающий 191 наименование (12 с), Приложение (5 с, 4 табл.).

Краткая характеристика содержания диссертации. Изложение строится по дедуктивной схеме. Во введении изложена цель работы, описан характер и значение ее результатов, а также приведено обсуждение исследований других авторов по соответствующей тематике. В первой и второй главах диссертации формулируются проблемы и задачи математического моделирования систем управления с матричными переменными, которые описываются линейными и билинейными матричными обыкновенными дифференциальными (глава 1) или разностными (глава 2) уравнениями. Вводятся основные математические понятия управляемости, наблюдаемости, устойчивости, стаби-лизируемости, рассматриваются постановки и решения классических задач

теории управления. Третья и четвертая главы посвящены методам аналитического конструирования нелинейных обобщенных линейно-квадратичных фильтров случайных процессов, описываемых стохастическими векторными дифференциальными уравнениями (глава 3), и случайных последовательностей, описываемых стохастическими векторными разностными уравнениями (глава 4). На основании решения задач первой и второй глав показано, что фильтры представляют собой системы управления с матричными переменными. Рассмотрение фильтров как БММУ с учетом условий их технической реализуемости дает обобщение теории фильтрации случайных процессов. Исследован ряд конкретных задач техники и предложено несколько новых технических схем их решения. Рассмотрено применение этих фильтров в задачах распознавания образов. Пятая глава посвящена основным понятиям математической матричной модели липидности живых систем. Приводится ряд задач математической биологии, послуживших основой развиваемого подхода. Выведены компартментальные уравнения фармакокинетики на базе решения задач первой и второй глав и соответствующих уравнений Р. Веллма-на. Рассмотрено применение этих понятий и теорем в задаче оценки развития радиационно-индуцированных дислипопротеинемий у облученных крыс. Предложены алгоритмы распознавания заболевания. В шестой главе рассматриваются пути и направления применения ММУ в экономике. В заключении приводятся кратко основные новые результаты, изложенные в диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность рассматриваемого в диссертации научного направления математического моделирования систем управления с матричными переменными, его научная новизна и практическая значимость, сформулирована цель работы, дана ее общая характеристика, а также приведено краткое обсуждение исследований других авторов.

В первой главе рассматривается постановка проблем и задач исследования динамики управляемого объекта, которая описывается обыкновенным матричным дифференциальным уравнением

Х(1)=Е(1,Х(1),1/(1)), (3)

где Ь € [¿о, Т\, X 6 В."Хп, и € пп"Хт", моменты времени «0 и Г, а также начальное положение Хо = Х(4о) заданы. Элементы /¡¿, г, ] = 1,п,

матричной функции F предполагаются вещественными.

Здесь изложены общие утверждения об устойчивости, приводимости, стабилизации, управляемости и наблюдаемости данного матричного объекта (3) в соответствии с современной теории управления, разработанной для объектов, динамика которых описывается обыкновенным векторным дифференциальным уравнением, и показывается, что описание динамики группы взаимосвязанных объектов матричными уравнениями в отличие от векторных более наглядно с точки зрения прикладной математики, а также позволяет значительно сократить количество необходимых операций вычисления.

Приведем наиболее значимые результаты приводимых исследований в данной главе.

1. Доказана теорема 1.4 об управляемости линейной матричной стационарной системы дифференциальных уравнений общего вида

х = А\Х + ха2 + в1 г/1 + и2в2,

(4)

где г € [¿0, т], X е 1Г,Хп, иг 6 КтХп, и2 е 11пХт, моменты времени Ьо и Т, а также начальное положение Хо заданы, элементы матриц Аи А2 и Ви В2 известны, Аи А2 е КпХп, В1 6 П"хт, В2 £ Птхп. Ограничения на управление не накладываются.

Теорема 1.4. Для полной управляемости системы (4) необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из пар матриц (А1, В г), (А?, В*2) была управляемой.

Под управляемой парой матриц (А, В) в работе понимается такая пара матриц, для которых ранги всех матриц управляемости 1С, (5) равны п.

К. = (В„ АВ„ А2В„ ...

Ап~1В.),

(5)

где В, - столбцы матрицы В, з = 1, т.

Существенной особенностью ММУ является то, что матрица фазовых переменных X — Х(() входит в правую часть уравнения (4) как левосторонний, так и правосторонний множитель. Показано, что матричная запись систем уравнений по сравнению со множеством векторов более проста, существенно экономичнее и более наглядна. Так матричное уравнение (4) представимо в виде векторного, если в качестве вектора фазовых переменных принимается последовательность столбцов матрицы X, а в качестве вектора переменных управления последовательность столбцов матрицы Ух шпос последовательность столбцов матрицы И2. Тогда матричному уравнению (4) будет соответствовать векторное уравнение размерности га2 вида (6)

£ = + йхи,

£тт]> и — [^ц ,

где £ = [хц, х2\, х31, ..., ипт], матрицы А1 И имеют вид

(6)

(1) (2) (2) (2)

» "31 » •••» итп> "11 1 "21 у а31 '

Ах

/

О

О

А.1

В,

О о

/ Вх О

о о

М

+

/ а^Е а\}Е

<®Е

4? Е

\

„(2>

Е

\

Е

ип2

&п1Е

О

Вх

Ь> ьЬЕ

Ъ$Е Ъ%Е

Ще \

(7)

(8)

\ 0 0 ... В1 Ъ^Е Ъ^Е ... ЬтпЕ /

Отсюда для аналитического и численного расчета параметров управляющих сигналов, вполне очевидно, следует то, что применение ММУ (4) по сравнению с математической моделью систем управления с векторными переменными (6) более целесообразно.

2. Для матричного объекта, динамика которого описывается уравнением (4) поставлена и решена задача Гамкрелидзе.

Теорема 1.8. Пусть пара матриц (Ai, А2) является устойчивой парой и система (4) управляемая. Тогда оптимальное по быстродействию управление системой (4) существует и имеет вид

^ = sign(В?Ф(4)) , U2 = sign(Щ)В'2) , (9)

где Ф(t) = —А}Ф(£) — Ф(4)А£ , под функцией sign(e) от матрицы, например С, понимается здесь и далее матрица с элементами sign^).

Под устойчивой парой матриц (Ai, А2) в работе понимается такая пара матриц, собственные числа которых А< и ¡ij (г, j = 1,п) удовлетворяют условию: Re(A< + (ij) < 0.

Применение полученных результатов (теоремы 1.8) рассмотрено на примере управления движением веществ в прямом и обратном транспорте крови живой системы.

3. Синтезирована структура управления линейными дифференциальными матричными системами с возмущением Fw, которая представлена в виде блок-схемы.

4. Доказана теорема 1.14 о достаточных условиях управляемости линейной матричной нестационарной системы дифференциальных уравнений общего вида

X(t) = Ai(t)X(t) + X(t)A2(t) + Bl{t)Ul + U2B2(t), (10)

где t e [to, T], X 6 RnXn, моменты времени to и T, а также начальное положение Хо заданы, элементы матриц А\, А2 и В\, В2 размерностей п х п, пхп и п X m, m X п известны и являются вещественными функциями, непрерывно дифференцируемыми до порядка п — 1 включительно в окрестности некоторой точки г £ [io, Т]. Ограничения на управление не накладываются, Ui G RmX", U2€Rnxm.

Теорема 1.14. Если существует такая точка г G [to, Г], в которой ранг хотя бы одной из матриц управляемости K(Ai,Bi), К(А2,В2), определяемых уравнением (11), был равен п, то система (10) полностью управляема на интервале времени [to, Г].

Матрица управляемости К для пары матриц (A(t), B{t)) имеет вид

К = (Ки К2, ..., Кп), (11)

где Ki = B(t), Ki = A(t)Ki~i(t) - i = 2, ..., n.

5. Поставлена и решена (теорема 1.19) задача оптимального управления Больца для объекта, динамика которого описывается матричным билинейным дифференциальным уравнением вида

X = AiX + ХА\ + B1U + U*B\ + U*C\X + XCiU + U'DU + F, (12)

где t £ [0, Т\, X £ R"Xn, U £ RmXn; Ai(t), 5i(t), Ci(t), D(t), F(t) -матрицы с заданными вещественными непрерывными элементами размерностей п х п, п х m, п х яг, га х 771, п х п соответственно; Хо - симметрическая

положительно определенная матрица начальных условий; U - матрица управляющих воздействий; Ci - матрица согласования сигналов управления U и фазовых координат системы Х\ В\ и D - матрицы весовых значений сигналов управления; F - матрица сигналов внешних возмущений; F a D - симметрические неотрицательно определенные матрицы. Симметричность матрицы X следует из симметричности матрицы Хо и правой части уравнения (12).

В качестве критерия оптимальности принят обобщенный линейно-квадратичный функционал

гт

У(Т, Хо, U) = Sp(X(T)0(T) + / eai(X(A + BUQ+

J о

+eu*B*)+irQue)dt), (13)

где 0(Т) - заданная вещественная ограниченная симметрическая положительно определенная матрица размерности п х п; 0(t) - матрица вспомогательных переменных определеяется в доказательстве теоремы; A(t), B(t), Q(t) - матрицы, характеризующие ограничения на управление U, с заданными вещественными непрерывными элементами размерностей пхп, п X m, m х m соответственно; А и Q - симметрические неотрицательно и положительно определенные матрицы; Sp - след матрицы; а £ R. Правый конец траектории Х(Т) свободен.

С целью получения простой технически реализуемой системы управления (12) в функционал (13) введена вспомогательная матричная переменная ©(i) размерности п х п в соответствии с принципом "обобщенной работы" (Красовский A.A. Развитие принципа обобщенной работы// Автом. и те-лем.: 1987, N-1, С. 13 - 23). Данный критерий качества (13) неклассического типа позволяет конструировать допустимое управление U более простым, но менее эффективным по сравнению с управлением, доставляющим минимум классическому функционалу.

Функционал (13) был рассмотрен автором в статье ([4], 1990). Коэффициент дисконтирования eai был введен по аналогии с известными работами. С точки зрения решения поставленной задачи введение данного коэффициента незначимо, так как параметры функционала (13) зависят от времени. Ввиду того, что он представляет интерес для инженеров-конструкторов систем управления, в диссертации считается целесообразным рассматривать этот критерий качества управления системой. Уравнение (12) с критерием (13) называется в диссертации билинейной матричной квадратичной системой управления (БМКСУ).

Теорема 1.19. В классе линейных матричных функций U оптимальное управление Uo существует и определяется формулой

Uo(t, X) = -(D + Qeat)-\{C{ + B*eat)X(t) + ВI). (14)

При этом движение БМКСУ определяется решением матричного дифференциального уравнения Риккати (12) при U(t) — Uo, а оптимальное значение функционала (13) дается формулой

У(т, Хо, Uo) = Sp(x0e(o) + v?(0)). (15)

Здесь 0(0) и <р(0) являются решениями обыкновенных матричных дифференциальных уравнений

0 = -Л3в - вЛ; - Ае"\ (16)

ф = -(А4 + А*4)Э, (17)

вдоль движения БМКСУ, 0(4) = 0(Т) и ф) = <р(Т) = 0 при i = Т, где А3 = А* + Схи0 + Ви0еа*, Л4 = ВхЩ + Щ(В + Яеа*)и0)/2.

Сложность вычисления управляющего сигнала в случае классического квадратичного функционала рассматривается в теореме 3.3.

Результаты приведенных в данной главе исследований, опубликованы в статьях [I, 4, 5,8,17], в монографии [2] и доложены на конференциях [24, 33, 34, 35, 36, 39, 40].

Во второй главе рассматривается постановка проблем и задач исследования динамики управляемого объекта, которая описывается обыкновенным матричным разностным уравнением

= Хи и(1)), (18)

где * = 0, 1, 2, ..., ЛГ; X € Н.пхп, и 6 К"1«*"1«, моменты дискретного времени ¿о £ I и N € 14, а также начальное положение Хо заданы. Элементы /у, », ] = 1,п, матричной функции Г предполагаются вещественными. Дискретное время £ связано с непрерывным временем и соотношением

и-ь-и, Ь>0, Ь,еИ.

К проблемам билинейных матричных систем управления приводит, в частности, метод аналитического конструирования оптимальных квадратичных фильтров (глава 3). Для дискретных систем такое приведение рассмотрено автором данной работы в 1974 году (опубликовано в открытой печати [1], 1980).

В этой главе изложены общие утверждения об устойчивости, приводимости, стабилизации, управляемости и наблюдаемости данного матричного объекта (18) в соответствии с современной теорией управления, разработанной для объектов, динамика которых описывается обыкновенным векторным разностным уравнением.

1. Доказана теорема 2.3 об устойчивости линейной матричной стационарной системы разностных уравнений общего вида

Х<+1 = АЛ + ХхА7, (19)

где моменты времени ¡о и ( = а также начальное положение Хо заданы, элементы матриц А1 размерности п х п и Аг размерности п х п известны и являются действительными числами.

Теорема 2.3. Для асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (19) необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матриц А1 и А2 (Л» и Ц]) удовлетворяли условию | Л; |- щ |< 1.

Пара матриц (Л1, А2), с собственными числами, удовлетворяющими условию теоремы (| А; + щ |< 1), называется в работе устойчивой.

2. Доказаны теорема 2.5 об управляемости и теорема 2.7 о наблюдаемости линейной матричной стационарной системы разностных уравнений общего вида

XHi = AiXt + XtAi + BiUi + U2B2, (20)

где t € [i0, N], Xt e RnXn, Ux 6 RmXn, U2 € RnXm; моменты времени to и N, а также начальное положение Xo заданы, элементы матриц Ai, Ai и Вх, В2 размерностей пхп, пхпипхт, т х п известны и являются действительными числами. Ограничения на управление не накладываются.

3. Поставлена и решена (теорема 2.8) методом динамического программирования Р. Беллмана линейно-квадратичная задача управления линейной разностной нестационарной матричной системой

Xt+i = A(t)Xt + B(t)U(t) + F(t), (21)

где N - заданный конечный момент времени, N > тах(тг, г); Xt - матрица фазовых координат размерности (пх г); U - матрица управления размерности (mxr); A(t), B(t), F(t) - матрицы размерностей (nх п), (пх т), (п хг) соответственно, элементы которых суть известные вещественнозначные функции скалярного аргумента t, определенные для каждого i = 0, 1, ..., N — 1. Наг чальное положение А'о задано. Предполагается в работе, что система (21) управляемая.

В качестве критерия оптимальности принимается минимизация на траекториях системы (21) функционала

ЛГ-1

J(N, Xo, U(t))=Sp(X*NQNXx+Yl eai{X;G{t)Xt + U(tYQ(t)U(t))), (22)

t=o

где &n ~ вещественная ограниченная симметрическая положительно-определенная матрица размерности (п х п); G(t), Q(t) - матрицы размерностей (пхп), (ш х т) соответственно, характеризующие ограничения на фазовые координаты и управление, элементы которых известные вещественнозначные функции скалярного аргумента t, определенные для каждого t. При этом G(t) - симметрическая неотрицательно-определенная матрица, a Q(t) - симметрическая положительно-определенная матрица для каждого i; а £ R. Теорема 2.8. В классе допустимых управлений системой (21) существует оптимальное управление Uopt, которое определяется формулой

U°pi(t) = -R^B'WewAMXt + ©t+iiX*) + 3>t+i), (23)

где B(t) = B*(t)Bt+iB(t) + eaiQ(t). При этом движение объекта управления определяется решением рекуррентного матричного уравнения (21), о минимальное значение функционала (22) дается формулой

Jmm = J(Uopt(t)) = Sp(A'o0oXo + Л'0*Фо + Ф'оХо + 7о). (24)

Матрицы ©t, Фt, 71 - матрицы размерностей (пхп), (п х г) и (г х 7-) определяются рекуррентными уравнениями в обратном времени

©t - A*(t)(&t+1 - е(+1В(1)1Г1(1)В*(1)01+1)А(1) + eatG(t),

Фt = А*(0(Ф«+1 + *t+iF(t) - 0t+iS(i)/i:_1(i)S*(i)($t+i +0t+iF(i)), 7t = 7t+i + F4t)(^t+iF{t) + Фе+i) + $UiF(t)--(F*(i)0t+i +e«+iF(t))

с начальными условиями 0t=jv = Q.\'i Фдг = = 0.

4. На основании данной теоремы 2.8 находится (теорема 2.9) квазиоптимальное управление по отношению к функционалу (22) линейной разностной нестационарной матричной системой общего вида

Xi+i = AiWX, + XtA2(t) + Bi(i)C/i(£) +U2(t)B2(t), (25)

где Xt 6 RnX\ Ui e RmX\ I72 € R"xr; N > max(n, к), и начальное положение Xo заданы; элементы матриц j4i(i), Аг(£) и Bi(t), Bi{t) размерностей га X га, к У. к ипХтп, г X к известны и являются вещественнозначными функциями скалярного аргумента £, определенные для каждою t = 0, 1, ..., N— 1; система (25) управляемая.

5. Поставлена и решена (теорема 2.10) задача оптимального управления объектом, динамика которого описывается матричным билинейным разностным уравнением

Xtn=AiXtAl+ UB1X1G' + GXtBl U* + UDU* + CU* + UC" + F, (26)

где t e [0,ЛГ|; Xo, G{t), A^t), Bi{t), C(t), D{t), F(t), U{t) - матрицы с заданными вещественными элементами размерностей га х га, га х п, п х га, тХга, гахт, m х т, га х n, n X m соответственно; Хо - симметрическая неотрицательно-определенная матрица начальных условий; U(t) -матрица управляющих воздействий; G и Bi - матрицы согласования сигналов управления U и фазовых координат системы Xt; С и D- матрицы весовых значений сигналов управления; F - матрица сигналов внешних возмущений; F и D - симметрические неотрицательно-определенные матрицы. Симметричность матрицы Xt следует из симметричности матрицы Хо и правой части уравнения (26).

В качестве критерия оптимальности ММУ (26) принимается обобщенный линейно-квадратичный функционал

N-1

y(U) = Sp(XNeN + Y, eat(Xt(A + BU*@t+1 + ©t+iUB')+

t=a

+UQWQt+i)), (27)

где 0jv - заданная вещественная ограниченная симметрическая положительно - определенная матрица размерности га х га; матрица вспомогательных переменных 0( определяется в ходе доказательства теоремы аналогично функционала (20); At, Bt,Qt- матрицы, характеризующие ограничения на управлении U(t), с заданными при каждом t вещественными элементами размерностей га X n, га X го, го X го, соответственно; А и Q - симметрические неотрицательно-и положительно-определенные матрицы; а е R.

Уравнение (26) с критерием (27) называется в диссертационной работе билинейной матричной квадратичной системой управления (ВМКСУ). Теорема 2.10. В классе допустимых управлений оптимальное управление U существует и определяется формулой

V°pi(t) = -(GXtBl + eatXtB + C)(D + eaiQ)-\ (28)

При этом движение БМКСУ определяется решением рекуррентного уравнения (26), а оптимальное значение функционала (27) дается формулой

y(N, Хо, Uopt) = Sp(X0ea + <р0), (29)

где 0о и <ро являются решениями рекуррентных уравнений

0t - A[Qt+iAi + G"&t+iUcpi(t)Bi + BlUtopt(t)et+iG+

+eatA + eatBU*opt(t)@t+l + eat®t+1 Uopt (t)B*\ (30)

<fH = (U°pi(t)DU*opi(t) + CU*opt(t) + Uopt(t)C*+

+F + eatUopt(t)QU*opi(t))Qt+1; (31)

вдоль движения БМКСУ, 0« = @n и <pt = <pn = 0 при i = N.

Результаты приведенных в данной главе исследований, опубликованы в статьях [1, 8, 15], в монографии [2] и доложены на конференциях [25, 33, 35, 39].

В третьей главе рассматривается применение ММУ (глава 1) в теории калмановской фильтрации случайных процессов. Теоретическим и прикладным вопросам фильтра Р. Калмана посвящено большое количество теоретических и практически значимых работ. Постановка задачи управления коваг риационной матрицей ошибки фильтрации в целях учета ограничений на техническую реализацию матричных систем управления послужила основой дая метода аналитического конструирования оптимальных квадратичных фильтров [1, 2].

1. При выполнении сформулированных в монографии (Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы - М.: Наука, 1974.- 696 с.) условий и ограничений на n+m-мерный случайный процесс (32 - 33) диффузионного типа разработан метод аналитического конструирования оптимальных квадратичных фильтров [1, 2]. Обоснование метода изложено в доказательстве теорем 3.1, 3.2, 3.3 и леммы 3.1.

Пусть на некотором полном вероятностном пространстве (Î2, F, Р) с неубывающим непрерывным справа семейством о- - подалгебр (Ft), 0 < t < Т, задан (xt, yi) = [(ziM. -, zn(i)), (yi(t), -, ym(t)), Ft)-n + m — мерный случайный процесс диффузионного типа

dxt — (aixt + а2) àt + bi dwt + Ь2 dvt, (32)

dyt = (Aixt + A2) dt + Bi dwt + B2 dvt, (33)

где шг = [^1(0, ..., гур(4)] и г^ = [г)х(£), ..., г>р(4)], по предположению, представляют два независимых между собой винеровских процесса, (хо, у о) - гауссов вектор начальных условий, не зависящий от процессов шг и хо = Е[хо|^| и 7° = сои(хо, х0) = Е[(х0 — ¿о)(хо — хо)*!^) заданы и конечны, ненаблюдаемые значения ц процесса гц) вполне наблюдаемы по уь■ При этом предполагаются измеримыми неупреждающими функционалами на {[О, Т\ х Су, В[о, т] х }> У € Су, элементы вектор-функций счН, уь) и А2{Ь, уг) и элементы матриц а\(£, уг), А\{Ь, у(), ¿>1 уг), Уг), 62(4, Уг),В2(Ь, г/г) соответствующих размерностей.

Задача конструирования фильтра состоит в синтезе уравнений вектора = Е[х(|^7] и матрицы 7< = со\(еге1\Р^), которые доставляли бы минимум обобщенно-квадратичному функционалу У г фильтра 2

У, =Е[е}в(Т)еГ+ Г еа\£;(А +HU;@t +вгЩН*)а+

J о

+8р(игси;вг)Щ, (34)

где Н(1) — п х тп - мерная известная матричная функция; С(1) - симметрическая известная положительно-определенная матрица размерности тп х тгц А(Ь) - симметрическая неотрицательно-определенная матрица размерности п X га; величина а коэффициента дисконтирования известна (а 6 И), элементы матриц Я({), С(£) и 6< являются измеримыми ограниченными функциями

Даны следующие определения и формулировка задачи фильтрации. Определение 3.1. Линейным фильтром заданной структуры называется такой фильтр Z, изменение состояния которого описывается на вероятностном пространстве (П, Е, Р) случайным процессом гь, определяемым стохастическим дифференциальным уравнением вида (35)

<1гь = (/<\г, + 1'2)<и + Щ<1У(, (35)

где уь) = \\FS\t, и,)!»*«, Р2{1, У() = ..., ..., »01.

= || £/у(4, у^Ипхт - неизвестные функции, удовлетворяющие условиям существования единственного сильного решения; го - неизвестное, но не случайное начальное условие; принадлежит классу линейных детерминированных функций времени вида Щ — 7^(4) + ?](<), где ^ - ковариационная матрица ошибки оценки е«, ег—ц — При этом матрица 73 такова, что Зр(7о) < оо (Р-п.н.).

Определение 3.2. Управление Щ состоянием фильтра 2, для которого система уравнений (32), (33), (35) имеет единственное сильное решение, будем называть допустимым.

Задача фильтрации. Требуется найти в классе ^-измеримых функций оптимальные параметры {го, р1, Р2, 1/г} фильтра 2, для которых функционал Уг = У(Т, 70, 1/() принимал бы наименьшее возможное значение и ошибка £( фильтрации была бы несмещенной.

Теорема 3.1. Для того, чтобы оценка гь = была несмещенной,

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

Рк =ан — иьАк, к = 1,2; 20 = Е[х0] = х0. (36)

Лемма 3.1. Ковариационная матрица 74 = ошибки оценки явля-

ется единственным непрерывным, Р? - измеримым при каждом £ решением обыкновенного матричного дифференциального уравнения

Чг - аг7< + - ЫАщ - цАЦК - - Вли; + ЩВ.2и? + В.3 (37)

с начальным условием 70 = Е[(хо - го)(хо — го)!^] = 7°> где П1 = Ь1В1+Ъ2В1, Н2 = В1В*1 + В2В*2, П3 =Ъ1Ъ{+Ь2Ц.

Отсюда следует, что при сделанных предположениях матричную систему дифференциальных уравнений (37) можно рассматривать как ВМКСУ (12) с критерием качества в виде (13).

Теорема 3.2. Если выполняются указанные выше предположения о функциях правых частей уравнений (32) - (33), то вектор и ковариационная матрица ошибки оценки являются единственными, непрерывными I''? ~ измеримыми при каждом Ь решениями системы уравнений

¿■¿1 = (Яг, + + Щ ¿уи

7« = 7^Г + ¿17* - и0Я1 - В.1 ио + ЩВ.2 и,0* + Яз (38)

с начальными условиями го = ¿0,70 = 70. При этом в классе допустимых управлений Щ оптимальное по отношению к функционалу (34) управление С/о существует и определяется формулой

и0 = ЫА1 - Неа') + Вл)(В.2 + Се*1)'1, (39)

а оптимальное значение функционала Уг (34) имеет вид

Уг = У(Т, 7°, и0) = Зр(7°е(0) + ^(0)), (40)

где 0(0) и <р(0) - решения матричных дифференциальных уравнений ©е = -С10, - 0,СГ - АеаЬ, фь = -(С2* + С2)©,,

С1 = а{ - А\Щ + НЩеа\ С2 = -ВД + (Яз + и0СЩеа'+ +иоВ.2и^)/2 вдоль движения ВМКСУ с начальными условиями ©о - 0(7')> <+>о = <р(Т) = 0.

В работе отмечается, что в случае сингулярности матрицы В,2 калманов-ская теория фильтрации теряет смысл, а "регуляризованный" фильтр, синтезированный по методу решения некорректных задач, заключающийся в добавлении к вектору наблюдаемых параметров ;/< (33) гауссового процесса (х^зд) невырожденного шума малой интенсивности определяет не оптимальную оценку, при этом ставится задача подбора методом проб и ошибок "оптимального" значения малого параметра е(£). Более того, как известно в технике, введение "искусственного" шума может привести к срыву систем управления, так как в сложных технических системах влияние всех параметров реализаций совокупности различных теорий учесть практически невозможно, в то время как в предлагаемом фильтре 2 матрица В,2 + СеаЬ всегда имеет обратную, поскольку матрица С(£) симметрическая, положительно-определенная для каждого Ь, 0 < ( < Т.

Теорема 3.3. Если выполняются указанные выше ограничения на функции правых частей уравнений (33 - 34), то вектор ъ и ковариационная матрица ошибки оценки являются единственными непрерывными, - измеримыми при каждом £ решениями системы уравнений (38). При этом в классе допустимых управлений оптимальное по отношению к функционалу (1) управление Vо существует и определяется решением уравнения

СМ + и&^Сз, (41)

где = 0(; С2 = СВ^еа1\ С3 = (047«А* - -цНеаЬ +0вД1)Л^1, а оптимальное значение функционала У имеет вид Бр(-у0&(0) + <р(0)), где 0(0) и 1/5(0) - решения матричных дифференциальных уравнений

ët = —а*0{ - 0(ах + А\и№ + в^оАх - (А + НЩ + и0Н*)еа\

фь = и0Влвь + Пли№г - %Д2[/о0( - - £/0<Л70*еа', (42)

вдоль движения БМКСУ с начальными условиями 0о = 0(Г), <р0 — = р(Г) = 0.

Очевидна трудоемкость технической реализации алгоритма вычисления управляющих параметров ио данного фильтра 2 с критерием (1) (с.4), так как кроме решения непрерывного алгебраического уравнения Ляпунова (41) необходимо решать матричные дифференциальные уравнения методом последовательных приближений. Следовательно, введение вспомогательной переменной 0« в критерий Уг (38) целесообразно.

2. Предложена для фильтрации нелинейных случайных процессов система параллельных фильтров.

3. Приводится решение задачи оценки и прогнозирования динамики цен на мировом рынке и задачи идентификации отпечатка пальца в дактилоскопии с использованием алгоритма оптимальной фильтрации по обобщеному квадратичному критерию качества (34).

Результаты приведенных в данной главе исследований опубликованы в статьях [1, 3, 4, 5], в монографии [2] и доложены на конференциях [27, 32, 33, 34, 35, 39, 40].

В четвертой главе рассматривается применение дискретных ММУ (глава 2) в теории калмановской фильтрации случайных последовательностей.

1. При выполнении сформулированных в указанной выше монографии (Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н.) условий и ограничений на п+то-мерную частично наблюдаемую случайную последовательность (хг, у г) разработан метод аналитического конструирования оптимальных квадратичных рекуррентных фильтров [1, 2]. Обоснование метода изложено в доказательстве теорем 4.1, 4.2 и леммы 4.1. В виду аналогичности разработки данного метода с вышеуказанным методом (глава 3) и теоремой 2.10 (с. 18) формулировки этих теорем и леммы опустим. Уравнения фильтрации случайных последовательностей имеют вид:

Уь+1-А2{г, 2/0+У^И+В^, г/0»4+1 + В2(1, уг)щ+и = </0^ + й) + 1, ¿о = Е[х0] = х0, = г/*) — г/4). г/0 = <12(4, 2/«) - у«)>

7°, г/о =Е[£^е(^)£лг + еа((£;(л 4 1=0

+04+1г/ея*)£, + 8р([/(дг/44е<+1))|/?] =

ЛГ-1

£4+1 = хе+х - 24+1 = Рх£« + + Ьг^+х - ЩВ^г+г - ЩВгЬг+и 71+1 = 11711* - (В.1 +ах74А1)«7/ - [^(Дх + ах^А^Ч

+[/»№ + АтА1)Я + В.3, 70 = 7° = соу(х0, х0),

/?1 = ЬхВ? + ъ2в*2, в.2 = В!в; + в2в*2, в.3 = ад +

и°р1 = (а171А{ + В.1- еы7гН)(П.2 + АгпА1 + У(ЛГ, 7°, ^) = 8р(7ое0 + Ы. где 0о и <ро являются решениями рекуррентных уравнений

01 = а*0(+хах - 0101+хиор*А1 - Л1([/ор4)*9«+1«1 + 11(иорг)*Оц.1еа*+ +вь+1иор'Н*еа*+Аеа\ = (иор\Н.2+АПгА1 + (¿еа'){и°гу - - ЯЦ1Г*)* + Яз)©1+х,

вдоль движения БМКСУ с начальными условиями: 0« = 0лг и уч = (ры = О при t = N.

2. Предложена для фильтрации нелинейных случайных процессов система параллельных (раздел 4.3) и система последовательных (раздел 4.4) дискретных фильтров. В 1974 - 1980 гг. получено [2, 14] работоспособное сочетание последовательности непрерывного и дискретного фильтров, которое рассматривается на примере оценки параметров движения объекта, динамика которого описывается следующими уравнениями

¿г« =ох(4, х4, у^М + ЦЬ, х(, у^ймь, «¿У1 = Ах(<, XI, 2/0Л + XI, уг)<Ь>и

ах(х4)

/ х4ф \ 1 0 0 0 \

Х5 (¿) 0 0 0

Х6М 0 0 0

— /хХ4(<)Х7 ; К«») - Ьх 0 0

/2X5(^X7 0 Ь2 0

/зх6(4)х7 0 0 Ьз

\ 0 / \ 0 0 0 )

0 0 0 0 0 0 \ / Вх 0 0

1 0 0 0 0 о ; в 0 в2 0

0 10 0 0 о) V 0 0 в3

(43)

(44)

(45)

Рис. 4.3. Принципиальная схема автоматической системы слежения со СЦВМ.

В первом канале (РЛС) фильтрация случайной последовательности сигнала осуществляется посредством дискретного фильтра (с. 21 - 22), а во втором

канале (ОКГ) — непрерывного фильтра (38) (с. 20). Выходной сигнал первого фильтра является входным сигналом второго фильтра. Образно говоря, второй фильтр "работает" в пределах угловых ошибок первого фильтра.

Главная проблема поставленной и решенной задачи заключается в том, что требуется обеспечить высокую степень точности слежения за различными типами маневрирующих целей. Точные оценки требуют много времени на обработку сигналов измерительных устройств быстродействующими цифровыми вычислительными машинами с достаточно большой разрядной сеткой. Исследования автора, более подробно изложенные в кандидатской диссертации, показали достаточно надежную работоспособность данной следящей системы за счет учета технических ограничений посредством обобщенного квадратичного функционала. Срыва слежения при различных маневрах цели не наблюдалось, а ошибка слежения не превосходила "трех сигм" случайного процесса воздействий на динамику ее движения. При этом максимальные ошибки слежения наблюдались по результатам математического моделирования, в основном, в зоне "пролета" цели с максимальной угловой скоростью.

4. Дана новая технология построения 150 модификаций возможных технически реализуемых фильтров случайных процессов, которая является основой создания системы автоматизированного проектирования (САПР) оптимальных фильтров.

Результаты приведенных в данной главе исследований, опубликованы в статьях [1, 9, 14], в монографии [2] и доложены на конференциях [26, 27, 29].

В пятой главе излагается постановка задачи конструирования модели прямого и обратного транспорта холестерина и оценка их баланса. Решение задачи послужили основой для метода расчета липидностей живых систем и синтеза матричной модели взаимодействия между компартментами организма. Данная матричная модель динамики обмена веществ в организме обобщает фармакокинетические уравнения Р. Беллмана (Веллман Р. Математические методы в медицине- М.: Мир, 1987.- 200 с). В результате исследовательских работ, докладов и обсуждений на различных конференциях работа коллектива авторов в этом направлении получила признание и опубликована в 1999 году в журнале "Автоматика и телемеханика" РАН [б].

Наиболее значимые результаты приводимых исследований в данной главе.

1. Дано математическое обоснование критерия липидности. На основе вводимого критерия получены простые вероятностные оценки жизнеспособности сложных систем. Метод иллюстрируется примером оценки функционирования липидтранспортной системы крови при однократном воздействии внешнего гамма-облучения.

Считается, что Фо характеризует начальное положение множества А, а Ф1 — конечное. Вводится обозначение части множества А, принадлежащей множеству Ф0, как А<ца, а части множества А, принадлежащей множеству Ф1, как А»!. S1 = Фо (JФ1, ФоГ|Ф1 = 0- Дается определение липидности.

Определение 5.1. На вероятностном пространстве (П, Г, Р) липидно-стью множества А, А £ F, будем называть отношение меры части множества А, принадлежащей множеству Ф1, к сумме мер всех частей множества А

Отсюда Ьр(А) = 0 при А С Фо и Ьр(А) = 1 при А С Фь

Таким образом, значение Ьр(А) в различные фиксированные моменты времени £ определяет положение множества А на отрезке [0, 1], который называется в работе шкалой жизни. Доказана теоремы 5.3 и 5.4 липидности суммы двух несовместных и совместных множеств. Приведем здесь только теорему 5.4.

Теорема 6.4. Липидностъ суммы двух совместных множеств А и В (А, В £ Пьр) определяется формулой

Ьр{А + В) --Ьр(А + В)-' (47)

Далее даны методы вычисления математического ожидания и дисперсии липидности. Приводится ряд примеров расчетов этих величин. Расчеты иллюстрируются рисунком и таблицей. В примере 5 рассматривается задача анализа экспериментальных результатов исследования транзиторной дисли-попротеинемии (ДЛП), приводящей к нарушению липидно-транспортной системы (ЛТС) крови крыс-самцов под воздействием изолированного радиационного фактора (внешнее гамма-облучение), по лабораторным данным двух групп крыс-самцов (1-ая - интактная, т.е. необлученная, 2-ая - экспериментальная). Результаты статистического анализа представляются в виде таблицы в приложении. Обосновывается здесь основной вывод этих исследований: " Через 7месяцев у крыс, облученных в дозах 0,25 и 0,5Гр, выявлено увеличение значений Lp(A), вероятно, связанное с недостаточной эффективностью ЛХАТ-системы. Эти данные обосновывают целесообразность гепатотроп-ной терапии в условиях воздействия относительно низких доз ионизирующего излучения".

На примерах показано, что в случае адекватности описания модели реальной живой системы (объекта) известным методам теории вероятностей и математической статистики, то их применения предпочтительней.

2. Дан вывод фармакокинетической ММУ живой системой обобщающей фармакокинетическую векторную модель Р. Беллмана. Вывод иллюстрируется рисунком и примером управления оптимальным по быстродействию (теорема 1.8, с. 13) обменом веществ в ЛТС крови. Ставятся проблемы и задачи дальнейших исследований в этом направлении.

3. На основе метода дискриминирующей гиперплоскости Р. Фишера и понятия липидности построена модель расчета риска заболеваемости сердечнососудистой системы (ССС) человека тесно связаного с факторами, способствующими развитию этих патологических явлений. Модель проиллюстрирована примером исследования липидности ССС 31 пациента. За основные факторы риска были приняты: возраст, пол, артериальное давление, избыточный вес, курение, гиподинамия, психоэмоциональное напряжение, употребление алкоголя, диабет или нарушение толерантности к глюкозе, отягощенная наследственность, изменения ЭКГ, повышение уровня холестерина и тригли-церидов, снижение содержания а-холестерина. Показано, что для данной иллюстративной популяции больных наибольший вклад в развитие заболевания ССС вносят: а-холестерин - 19,92% ; нарушение толерантности к глюкозе (диабет) - 15,65% ; злоупотребление алкоголя - 12,77% и стресс - 9,71% .

Результаты приведенных в данной главе исследований, опубликованы в статьях [б, 7, 11, 16, 18], в монографии [2], доложены на конференциях [19 -23,28, 30, 37, 38]. Компьютерная программа "Риск" зарегистрирована в фонде медицинских программ Республики Беларусь [13].

В шестой главе рассматривается применение ММУ в экономике, позволяющие качественно решать задачи налоговой политики в условиях становления рыночной экономики. Выполнен анализ литературных источников, который показал низкую степень статистической обработки экономических показателей налоговой базы региона посредством компьютерной техники и отсутствие в ее экономическом анализе применения новых достижений теории вероятностей и математической статистики, что определяет актуальность приводимых в работе результатов исследования.

Наиболее значимые результаты приводимых исследований в данной главе.

1. Дано описание динамической матричной модели налоговой базы региона, а также рекомендации для экономических оценок и прогноза развития региона. Полной налоговой базой X [2] называется объединение множеств1 стоимостных (или количественных) показателей объектов налогообложения субъектов. Из определения следует, что налоговая база является таблицей (матрицей) баз данных, находящихся в районных налоговых инспекциях. Таким образом, матрица X является матричной моделью налоговой базы. Это представление, как показано в работе, позволяет сконструировать динамическую матричную модели налоговой базы региона в соответствии с результатами, изложенными в главах 1 и 3, в виде стохастических матричных дифференциальных уравнений

dXt = F(t, Xt, U(t, Xt, Y,))di + bidwt + b2dvt (48)

dT = Ф(*, Xt)dt + Bidwt + B2dvt, (49)

или стохастических матричных разностных уравнений (главы 2 и 4)

Xt+1 = F(t, Xt, U(t, Xt, Yt)) + hwt+i + fcvt+i (50)

где матрица фазовых переменных X представляется случайными матричными процессами _(48) или случайными матричными последовательностями

описывает динамику системы, управление соответствует воздействию налоговой функции на субъекты хозяйствования, матрицы bi и Ьг характеризуют интенсивность возмущения действующих факторов wt и vt на налоговую базу, матрицы Вх и Вг характеризуют интенсивность ошибок наблюдения за изменением налоговой базы региона ("сокрытие дохода" и т.п.), а Ф — является матрицей состава измерений. Измеримая матрица Т содержит всю доступную информацию о системе (48) или (50). За глобальный критерий качества регулирования экономического состояния региона принимается сумма У реального потока денежных поступлений доходной части местного (МБ) и республиканского

х). Количество субъектов равно п. Количество показателей объектов налогообложения равно ш.

(РБ) бюджетов с нарастающим итогом. Такая формализация заслуживает особого внимания из-за перспективы повышения оперативности управления и повышения скорости реагирования органов самоуправления на все нюансы быстро меняющихся условий коньюктурного рынка в условиях переходного периода.

Показано, что в случае описания динамики налоговой базы региона стационарной линейной матричной системой уравнений параметры этой модели могут быть определены методом наименьших квадратов.

2. Развивая принцип потока финансовых средств и методологические подходы на основе известного уравнения Ирвинга Фишера, применяя математические методы фармакокинетических моделей (глава 5), в работе сконструирована компартментальная матричная модель движения капитала. На основе исследований данной модели в работе сделан вывод, что ММУ прямым и обратным потоками финансовых и других средств должна способствовать качественно новому решению задачи выбора оптимальных регулирующих воздействий органов государственной власти с целью сбалансированного и стабильного развития государства в условиях рыночной экономики.

3. На основе ММУ движением капитала (раздел б.З) в работе синтезирована матричная модель для решения задачи макроэкономического равновесия (раздел 6.4). Показано, что достоинством данной модели является однородность описания движения денежных средств субъектов хозяйствования всех региональных уровней. При этом практическая реализация данного решения задачи становится не сложнее известных задач в технике.

Приведенные в данной главе результаты исследований опубликованы в монографии [2].

В заключении к диссертации сформулированы выводы и перечислены основные результаты работы. Полученные результаты показали необходимость постановки и решения задачи аналитического конструирования систем управления с матричными переменными. Это направление является новым в математической кибернетике и может успешно применяться к решению широкого класса задач техники, медицины, экономики и т.д.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Петросяну Леону Аганесо-вичу за полезные обсуждения, постоянную поддержку и внимание к работе.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1]. Приставко В.Т. Аналитическое конструирование оптимальных фильтров // Кн. Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением.- Саранск, 1980, С. 81-92.

[2]. Приставко В.Т. Матричные модели управления. СПб: НИИ Химии СПбГУ, 2001- 255 с.

[3]. Приставко В.Т. Прогнозирование динамики цен на мировом рынке // Динамические системы.- Киев, 1985, С. 15-20.

[4]. Приставко В.Т., Шерегов СВ. Билинейные матричные квадратичные системы управления // ДАН БССР, Минск, 1990, Том 34, N-2, С. 105-108.

[5]. Приставь» В.Т., Толкачев В.И. Стохастические дифференциальные уравнения нелинейного квадратичного фильтра // Дифференциальные уравнения.- Минск, 1996, N-3, С. 509-514.

[6]. Коневалова Н.Ю., Чиркин А.А., Приставко В.Т., Солдатенко И. В., Чирки-на А.А. Критерий липидности живых систем // Автом. и телемех.: 1999, N-11, С. 138-144.

[7]. Чиркин А.А., Приставко В.Т., Чиркина А.А. Интегральная характеристика липидтранспортной системы плазмы крови при развитии радиационно-индуцированной дислипопротеинемии /1 ДАН Беларуси.- Минск, 1996, Том 40, №3, С. 90-93.

[8]. Pristavko V.T. Bilinear Matrix Control Models // Control Applications of Optimization 2000 (CAO 2000). A Proceedings volume from the 11-th IFAC Workshop, Saint-Petersburg, Russia, 3-6 July, 2000. IFAC by PERGAMON An Imprint of Elsevier Science, v.2, P. 505-510.

[9]. Асташонок В.Ф., Приставко В.Т., Толкачев В.И. Технология проектирования фильтров случайных процессов II Вестн. Витебского ун-та.- 1997. - Т. 3, NM.- С. 85-93.

[10]. Разработка математических моделей и алгоритмов для цифровой идентификации образов (объектов) в недетерминированной среде: Отчет о НИР (итоговый) / Витебский госуниверситет им. П.М. Машерова; Рук. А.С. Ключников. - Инв. N-B477733. - Витебск, 1999. - 177 с.

[11]. Приставко В.Т.,Чиркина А.А. Статистическая модель липидных систем If Тр. 3 международный семинар: "Негладкие и разрывные задачи управления. Оптимизация и их приложение". Санкт-Петербург, 1995, Ч. 2, С. 111-114.

[12]. Приставко В.Т., Шерегов СВ. Билинейные матричные системы управления с квадратичными критериями // ВИНИТИ, N26953-B88, 1988, С. 1-22.

[13]. Приставко В.Т., Бочкин А.И., Рабкин М.С. Компьютерная программа "Риск". Регистрационное свидетельство В-15-ВИ N-1401/95 от 14 июня 1995г., Минск, Фонд Медицинских Программ Республики Беларусь, Министерство Здравоохранения.

[14]. Приставко В.Т., Стовманенко Л.В. Последовательность фильтров в задаче оценки If Межвуз. сб. Математические методы оптимизации и управления в сложных системах.- Калинин, 1982, С. 166-172.

[15]. Приставко В.Т., Куриленок А.Ю. Оптимальное управление линейным матричным объектом // Николай Ефимович Кирин. Сб. статей под ред. В.В. Жука и В.Ф. Кузютина. СПб.: «ААСПИН», 2003. С. 265-274.

[16]. Чиркин А.А., Приставко В.Т., Солдатенко И.В., Чиркина А.А. К математической теории липидных систем // Вестник Витебского гос.универси-тета-Витебск, 1996, ВГУ, Т. 1, Nal, С. 107-112.

[17]. Демидова A.M., Приставко В.Т. Критерии управляемости матричных систем // Процессы управления и устойчивость: Тр. 35-ой научн. конф. аспирантов и студентов СПбГУ под ред. Н.В. Смирнова и В.Н. Старкова.- СПб.: СПбГУ, 2004- С. 31-33.

[18]. Приставко В.Т., Ярвельян А.В. Методы разделяющей гиперплоскости в медико-биологических задачах // Процессы управления и устойчивость: Тр.

35-ой научн. конф. аспирантов и студентов СПбГУ под ред. Н.В. Смирнова и В.Н. Старкова,- СПб.: СПбГУ, 2004. С. 331-333.

ТЕЗИСЫ ВЫСТУПЛЕНИЙ АВТОРА НА КОНФЕРЕНЦИЯХ

[19]. Приставко В.Т., Чиркин А.А., Рабкин М.С. и др. Липидно-математическая модель радиационно-индуцированного атеросклероза / IV Республиканская конференция "Научно-практические аспекты сохранения здоровья людей, подвергшихся радиационному воздействию в результате аварии на Чернобыльской АЭС".- Могилев, 1994, Ч. 2, С. 158-160.

[20]. Приставко В.Т., Чиркин А.А., Рабкин М.С, Коневалова Н.Ю. Математическая модель радиационно-индуцированных дислипопротеинемий для системы печень-сыворотка крови / Кн. Актуальные вопросы гепатологии. / Белорусский симпозиум гепатологов- Гродно, 1994, С. 46-47.

[21]. Приставко В.Т., Чиркин А.А., Коневалова Н.Ю. Статистике - математические подходы к изучению и моделированиюрадиационно - индуцированных дислипопротеинемий / Актуальные проблемы современной медицины .Витебск, 1994, Т. 1, С. 44.

[22].Приставко В.Т.,Рабкин М.С,Чиркин А.А. Метод интегральной оценки уровней факторов риска сердечно-сосудистых заболеваний / Первая республиканская конференция: Информатика в медицине. Минск, 1992, С 51.

[23].Приставко В.Т., Рабкин М.С. Изменение функционального состояния сердечно-сосудистой системы в зависимости от интегральной оценки уровня факторов риска сердечно-сосудистых заболеваний / Всесоюзный симпозиум по кардиомиопатиям. Минск, 1987, С. 67.

[24]. Приставко В.Т. Аналитическое конструирование билинейных матричных квадратичных систем управления / VI конференция математиков Беларуси.- Гродно, 1992, Ч. 4, С177.

[25]. Приставко В.Т., Чиркина А.А, Гайдуков В.Л., Кремеров Е.В. Билинейные матричные квадратичные разностные системы управления / Республ. конф.: "25 лет факультета прикладной математики и информатики БГУ". Минск, 1995, Ч. 1, С. 194.

[26]. Приставко В.Т., Чиркина А.А., Толкачев В.И. и др. Проектирование фильтров случайных процессов / Республ. конф.: "25 лет факультета прикладной математики и информатики ВГУ" Минск, 1995, Ч. 1, С. 208.

[27]. Приставко В.Т., Асташонок В.Ф., Солдатенко И.В. и др. Диалоговая система автоматизации проектирования фильтров случайных процессов / 3-ий Всесоюзный семинар "Применение средств вычислительной техники в учебном процессе кафедр физики, высшей и прикладной математики", Ульяновск, УлГТУ, 1995, С 83.

[28]. Приставко В.Т., Коневалова Н.Ю., Чиркин А.А., Чиркина А.А. Математическая модель липидтранспортной системы сыворотки / II съезд Белорусского общества фотобиологов и биофизиков. Молекулярно-клеточные основы функционирования биосистем. Минск, 1996, С. 208.

[29]. Приставко В.Т., Рубашкова А.И. Калмановская оценка чувствительности параметров систем управления / V Межгосударственная конференция "Информатика-96".- Минск, 1996, БГУ, С. 113.

[30]. Приставко В.Т., Солдатенко И.В., Чиркина А.А. Математическая модель липидности системы / V Межгосударственная конференция "Инфор-матика-96".- Минск, 1996, БГУ, С. 213.

[31]. Приставко В.Т., Загалавец Т.В., Чиркина А.А. Алгоритм обнаружения разладки при малых объемах выборки / V Межгосударственная конференция "Информатика-96".- Минск, 1996, БГУ, С. 212.

[32]. Приставко В.Т. Параллельная и последовательная фильтрация нелинейных случайных процессов / Сб. докл. 7-ой Белорусской Математической Конф.- Минск, 1996, БГУ, Ч- 3, С- 26-27.

[33]. Приставко В.Т., Прохожий СА. Задачи и проблемы управления билинейными матричными системами / Тез.- докл. Междунар. Математич. конф. "Еругинские чтения - IV", Витебск, Витебский гос.университет, 1997, С. 80-81.

[34]. Приставко В.Т. Билинейные матричные дифференциальные уравнения и их приложения / Тез. докл. Междунар. конф. AMADE-99 "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений".- Минск, БГУ, 1999, С. 174.

[35]. Приставко В.Т. Билинейные матричные модели управления / Тез. докл. Междунар. конф. VIII Белорусская Математическая Конференция. 19 - 24 июня 2000 г. Минск, Институт Математики НАНБ, 2000, С. 83-84.

[36]. Приставко В.Т. Оптимальное управление по быстродействию матричным объектом / Тезисы докл. Межд. Математ. Конф. "Еругинские чтения -IX". Республика Беларусь. Витебск.-2003. ВГУ им. П.М. Машерова.- С. 125.

[37]. Pristavko V., Chirkin A., Konevalova N., Iadroitzeva I., Chirkina A. Laboratory computerized, diagnoztk of radiation-ecologicaldyslipoproteinevias/ Procedings of Hie Laboratory medicine '95 11th IFCE European Congress of clinical Chemistry, Tampere, Finland, 27 juli, 1995, N 567.

[38]. Pristavko V.T., Soldatenko I.V. Mathematical model of lipidity in biology I International Conference "Deterministic and Stohastic Modelling of Biointeraction". Sofia, Bulgaria, 28-31 August, 1997, P. 95.

[39]. Pristavko V.T. Bilinear matrix control models / 11-th IFAC International Workshop "Control Applications of Optimization". Saint-Petersburg, Russia, 3-6 July, 2000, P. 206-207.

[40]. Приставко В.Т. Стохастические дифференциальные уравнения нелинейной фильтрации / Весцг АНБ. Серыя фгзг'ка-матэматычных навук, Минск, 1996, N4, С. 133-134.

[41]. Приставко В.Т. Математическое моделирование систем управления с матричными переменными / Тезисы докл. ГХ Белорусская математическая конф. 3-6 ноября 2004 г. Республика Беларусь. В 3-х ч. Ч. 3. Гродно: ГрГу, 2004. С. 132.

Отютггеяе юмяроцимЕ-мяетедалым участком «пела обслужпашп учебного яроцесс* фжзпюеого факультета СШГУ. I^nin M 571/1 от 144543. Педахсаио в печать 02.02AS с оржгжнал-макгга мшям. Ф-т 30x42/4, Усл. печ, л. 2. Tiput IOO эта, 3mi M 194/с 198504, СПб, Cr. Петергоф, ул. Удьаяоккая, д. 3, тел. 42М340.

Of,/2-OS,/3

г t i ' * * " 1

î ? m < i ; *

n ^ * ?-4 - - /

1185