автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование самосогласованных структур в плазме и электронных потоках



На правах рукописи

Алексей Дмитриевич Юнаковский

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ САМОСОГЛАСОВАННЫХ СТРУКТУР В ПЛАЗМЕ И ЭЛЕКТРОННЫХ ПОТОКАХ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород — 2005

прикладной физики РАН,

ведущий научный сотрудник Института вычислительной математики РАН, доктор физико-математических наук, профессор В. И. Агошков

ведущий научный сотрудник НИИ импульсной техники, доктор физико-математических наук С. И. Сафронов

зав. кафедрой ННГУ, доктор физико-математических наук, профессор М. А. Федоткин

Ведущая организация: Факультет вычислительной матема-

тики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 20 октября_ 2005 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.13 при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского (603950 г. Нижний Новгород, просп. Гагарина, 23)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского

Автореферат разослан. и- О Я 2005 г.

Работа выполнена в Институте г. Нижний Новгород

Официальные оппоненты:

Учёный секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

В. П. Савельев

Ш им

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Ни одна область современной науки не обходится без численных расчётов. Задачи изучения процессов, описываемых в физике, технике, экономике, биологии и т. д. уравнениями и системами дифференциальных уравнений, требуют как совершенствования аналитических методов, так и создания достаточно простых дискретных математических моделей изучаемых процессов.

Исследование процессов возникновения пространственных структур и их разрушения — переход к хаосу — является фундаментальной задачей не только для физики плазмы и механики жидкости и газа, но и вообще для нелинейной физики. Изучению структуры газового разряда, структуры поля в волноводах, структуры волн, двигающихся без искажения — солитонов, — структуры пучка электронов и пространственного заряда, создаваемого ими в электронных приборах, структуры каверн при образовании и обрушении коллапсов плазменных волн, составляющих предмет исследования диссертационной работы, посвящено огромное количество работ. Разнообразие назначений и применений подобных структур и значительная математическая сложность описания происходящих в них физических процессов требуют постоянных теоретических и экспериментальных исследований.

Несмотря на большой объем исследований, проведенных к настоящему времени, теория происхождения многих процессов, имеющих место в плазме, остается до конца не разработанной. Решению некоторых из этих задач посвящена значительная часть диссертационной работы.

В мощных высокочастотных приборах черенковского типа с релятивистскими электронными пучками нашли применение электродинамические системы (ЭС) в виде полых плавно гофрированных волноводов с поперечными размерами, сравнимыми и даже превышающими длину волны излучения. Основные преимущества этих ЭС связаны с высокой электропрочностью и возможностью обеспечения благоприятных условий для канализации сильноточных пучков частиц при эффективном их взаимодействии с высокочастотным полем.

Одной из важных задач теории цилиндрических периодически гофрированных волноводов является задача нахождения профиля волновода, обладающего заданной дисперсионной характеристикой на всём или на части диапазона частот. Для реальных приборов требуются профили с так называемыми глубокими гофрами, для которых решение даже прямой задачи требует разработки специальных методов решения.

Создание электрон-позитронных коллайдеров входит в число 27 наиболее значимых международных проектов. Составной его частью явля-

/

ется создание линейной ускорительной структуры. В настоящее время перспективы линейных ускорителей электронов и позитронов связывают с использованием все более высокочастотной накачки. Соответственно становится привлекательным использовать в таких структурах компоненты квазиоптического типа.

Моделирование электродинамических систем нового типа и проведение их оптимизации являются одними из наиболее актуальных задач в области фундаментальных исследований и составляют существенную часть диссертационной работы.

Для теории важными являются не только удачные формулировки соответствующих краевых задач в своих достаточно общих постановках, но и разработка эффективных алгоритмов решения и получения конкретных результатов, которым можно было бы придать четкий и ясный "физический" смысл.

Каждый переход к ЭВМ нового поколения существенным образом меняет наши представления о математических моделях, вычислительных методах, алгоритмах и программах. Однако общие требования простоты, универсальности, эффективности всей цепочки модель — алгоритм — программа оставались всегда актуальными и неизменными.

К важным свойствам алгоритмов относятся удобство и естественность распараллеливания вычислений, простота логической организации процесса вычислений и возможность быстрой визуализации. Успех решения задачи в основном связан с правильным и корректным построением всего цикла алгоритмического процесса получения численного решения и его интерпретации.

Основные цели диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

Целью диссертационной работы является разработка новых подходов к построению эффективных алгоритмов без насыщения, т.е. обладающих свойством увеличивать порядок аппроксимации при увеличении гладкости решения, для нахождения решений как стационарных, так и нестационарных задач, описывающих сложные физические явления физики плазмы и электроники и представляющих теоретический и практический интерес.

Задачей диссертационной работы являлось расширение и углубление понимания процессов, происходящих в плазме при возникновении коллапса ленгмюровских волн, в электронных потоках и при распространении и внутренней дифракции электромагнитных волн в сложных волноведущих системах СВЧ-диапазона, а также выяснение конкретных количественных и качественных закономерностей их протекания.

............... '

«« Г<'

Средством решения всех этих задач и служат новые разработанные алгоритмы.

При решении ряда конкретных физических задач и анализе получаемых результатов ставились следующие цели:

1. Изучение нестационарных нелинейных эффектов самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда и структуры получающихся в результате образований для сравнения с результатами эксперимента.

2. Исследование стационарного разряда в пересекающихся волновых пучках.

3. Учет характерных особенностей поведения решений как скалярных, так и векторных нелинейных уравнений Шредингера (НУШ) для тщательного отбора классов их конечномерных приближений и способов моделирования эволюции этих приближений при возникновении различных пространственно-временных структур.

4. Исследование двумерной сильной ленгмюровской турбулентности, когда самовоздействие потенциальных колебаний сопровождается генерацией вихревых полей, и наоборот. Разработка способа аппроксимации и метода расчета, позволяющих полностью разделить потенциальную и вихревую составляющие поля и избавиться от всех взаимных паразитных влияний, присутствующих в сеточных методах счета.

5. Изучение стационарных состояний трубчатого потока электронов в пролетном пространстве, являющихся исходными при анализе нестационарных процессов в однородных и неоднородных магнитных полях, нахождение класса функций, в котором описание пространственного заряда и процессов ветвления осуществляется минимальным набором данных.

6. Синтез электродинамических систем в виде плавно гофрированных волноводов, обеспечивающих создание благоприятных условий для канализации сильноточных пучков электронов при эффективном их взаимодействии с высокочастотным полем.

7. Синтез структуры электродинамической системы нового типа — секции суперколлайдера, обеспечивающей формирование волнового поля с возможно большей величиной пространственной гармоники, синхронной инжектируемым электронам, и проведение ее оптимизации.

Научную новизну проделанной работы характеризуют следующие основные достижения.

1. Разработаны новые неявные двух- и трехслойные схемы счета с разным числом узлов на слоях для одномерных по пространству систем уравнений, включающих в себя нестационарное уравнение Шредингера,

обладающие свойством "слабой насыщаемости".

2. Разработаны новые схемы счета для двумерных по пространству систем уравнений, включающих в себя нестационарное уравнение Шре-дингера, основанные на комбинации операторного компактного неявного метода с методом Бунемана.

3. Доказана возможность с высокой точностью находить приближенное решение линейных операторных уравнений с переменными коэффициентами с помощью операторной экспоненты от усредненного оператора правой части.

4. Построено аналитическое решение задачи непрерывного спуска для квадратичного функционала на единичной сфере, позволившее найти критерии качества в задачах синтеза электродинамических систем ускорительной секции суперколлайдера.

5. Разработаны новые операторные методы нахождения приближенных решений нелинейного уравнения Шредингера, в том числе и описывающего самовоздействие широкого класса волн, поверхности волновых векторов у которых имеют седловую точку (например, гравитационные волны на глубокой воде, плазменные колебания в замагничен-ной плазме).

6. Показано, что использование приближенной операторной экспоненты, осуществляемое с помощью быстрого преобразования Фурье (ВПФ), может быть интерпретировано как вариант схемы расщепления по физическим процессам. С ее помощью обнаружены кольцевые структуры у вихревой составляющей электрического поля в модели Захарова описания ленгм юровской турбулентности (см. Рис. 1).

7. Разработан новый подход к описанию пространственного заряда, образованного трубчатым электронным потоком в скрещенных полях и найдены необходимые условия ветвлений решений стационарной системы Власова - Пуассона.

8. Разработан новый подход к конструированию и размещению дискретных источников при решении прямых и обратных задач электродинамики волноведущих СВЧ-структур со сложной геометрией, пригод-

Рис. 1. Квадрат модуля образа Фурье поля при £ = 0.8, посчитанного при введённом затухании

ный для описания с высокой точностью эффектов рассеяния в плоских и радиальных волноводных системах.

9. Смоделирована электродинамическая система нового типа (в частности, ускорительная секция электрон-позитронного коллайдера), обеспечивающая формирование волнового поля с возможно большей величиной пространственной гармоники, синхронной инжектируемым электронам, и проведена ее оптимизация.

Научное и практическое значение диссертации определяется следующими обстоятельствами.

Развитие известных и разработка новых эффективных методов аналитического и численного решения краевых задач для системы уравнений, включающих нестационарное уравнение Шредингера, расширяет возможности изучения сложных физических явлений, таких как газовый разряд, коллапс ленгмюровских волн и др.

Исследования, проведенные в дис-с к к Е Ч £ сертации, направлены как на реше-

> " > ние общих вопросов, связанных с за-

дачами распространения и дифракции р.»«.»«*« электромагнитных волн, так и на со-

Брэггиккий

м^иор здание новых математических методов, позволяющих моделировать и маг кетировать широкие классы конкретных задач.

Теоретическое и численное исследования конкретных волноведущих структур, расчет которых проводился с использованием предложенных методов, позволяет конструировать новые и уточнять свойства и возможности существующих систем со сложными периодическими границами, включая случаи плоских и радиальных скачкообразных сочленений (см. Рис. 2).

Разработанные и представленные в диссертации аналитические и численные методы электродинамического анализа волноводных систем в разной геометрии охватывают большое число практически важных конкретных конструкций.

/

пертЮДструпури

Рис. 2. Продольное сечение электродинамической системы ускорительной секции супер-коллайдера

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Новый подход к построению приближенного решения нестационарного уравнения Шредингера, когда приближенное решение на каждом временном шаге удовлетворяет исходному уравнению в начальной и конечной его точках, (см. Рис. 3). Обнаружены кольцевые структуры у образов Фурье вихревых составляющих электромагнитного поля при численном моделировании ленгмюров-ской турбулентности в плазме (см. Рис. 1). Изучены множественные дробления волновых структур в нелинейной среде.

2. Новая схема размещения дискретных источников при решении прямых и обратных задач электродинамики, основой которой является использование неодносвязных контуров при моделировании электродинамических структур с угловыми точками.

3. Новый способ построения сеток при решении нестационарных систем уравнений, включающих уравнение Шредингера, позволивший изучить ряд процессов самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда, при эволюции сферически симметричного распределения продольных плазменных колебаний, в скалярной модели коллапса, в плазме с тепловой нелинейностью.

4. Математическая схема возникновения "волн-убийц" в модели Захарова волн на поверхности глубокой жидкости.

5. Математическая модель стационарного состояния облака электронов в скрещенных полях, описываемая интегральным уравнением относительно "приведенного" пространственного заряда. Указаны классы функций с компактным носителем — всплески Добепга и койфлеты, — в которых ветвление решения осуществляется на минимальном наборе данных.

6. Модель ускорительной секции суперколлайдера. Проведена оптимизация её контуров с целью максимизации ускоряющего градиента электрического поля и минимизации полной микроволновой энергии в рабочем пространстве. Исследована устойчивость формируемых полей к возмущениям параметров контура (см. Рис.4).

7. Спектральные методы исследования математической модели динамики сильной ленгмюровской турбулентности при наличии затухания, использующие разработанные способы регуляризации.

Численные расчеты демонстрируют сохранение кольцевых структур в образах Фурье вихревой компоненты поля при реализации турбулентного режима системы с затуханием.

Отличительной особенностью разработанных методов является простота реализации на всех этапах вычислений и возможность тривиального распараллеливания всех использованных алгоритмов.

Апробация работы и публикации. Диссертация выполнена в ИПФ РАН. Ее результаты опубликованы в работах [1-67]: 34 статьях (го которых 15 в отечественных и 7 в зарубежных рецензируемых журналах, 4 статьях в книгах, 8 статьях в сборниках трудов международных конференций), 4 препринтах ИПФ РАН и 28 аннотациях докладов на всесоюзных и международных конференциях и школах. Результаты некоторых работ, положенных в основу диссертации, вошли в монографию [45], содержащую также ряд не опубликованных ранее результатов. Работы [37-50, 64-67] выполнены автором лично.

Личный вклад автора. Во всех совместных работах вклад автора в разработку методов счета и реализующих алгоритмов является определяющим. Ряд теоретических расчетов и сравнений с экспериментом осуществлены в творческом сотрудничестве с коллегами из ИПФ РАН. Автор выражает всем им искреннюю признательность.

Представленные в диссертации научные результаты обсуждались на семинарах ИПФ РАН, Института космических исследований РАН, Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, Воронежского государственного университета, Института прикладной математики и механики Национальной академии наук Украины.

Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях: Научной сессии НТОРЭиС им. А.С.Попова (Москва, 1968), VI межвузовской конференции по электронике СВЧ (Минск, 1969), Объединенном семинаре по вычислительной физике (Сухуми, 1973), VI, X Всесоюзных симпозиумах по дифракции и распространению волн (Ереван, 1973, Винница, 1990), 2-й Международной конференции по

Рис. 3. Характер построенного приближенного решения, нарисованного жирной линией

теории плазмы (Киев, 1974), X Всесоюзной конференции по нелинейной и когерентной оптике (Киев, 1980), XV Международной конференции по явлениям в ионизованных газах (Минск, 1981), 1П Всесоюзной конференции взаимодействие э-м излучения с плазмой (Алма-Ата, 1982), VI Всесоюзном семинаре по релятивистской ВЧ электронике (Москва, 1984), 12th European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics (Budapest, 1985), X Всесоюзной Школе "Теория прикладных проблем вычислительной математики и математической физики" (Рига, 1985). VI Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач матфизики" (Горький, 1986), Всесоюзном совещании по проблеме цунами (Шушенское, 1987), Крымских осенних математических школах-симпозиумах по спектральным й эволюционным задачам (Симферополь, 1990-1997, 2000), республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики (Донецк, 1991), международной конференции "Нелинейные дифференциальные уравнения" (Киев, 1995), International Conference "Nonlinear partial differential equations"(Kiev, 1997), Третьем Сибирском конгрессе no прикладной и индустриальной математике - ИНПРИМ-98 (Новосибирск, 1998), International conference dedicated to J.P.Schauder (Lviv, 1999), "Андроновских чтениях" (Нижний Новгород, 2001), "Днях дифракции" (С.-Петербург, 2001 - 2004). International Conference on Differential and Functional Differential Equations (Москва, 2002), International Conference on Nonlinear Partial Differential Equations, (Alushta, September 15-21, 2003), VI International Congress on Mathematical Modelling (September 20 - 26, 2004. Nizhny Novgorod), International V.Ya. Skorobohatko Conference (September 27 - October 1, 2004. Drohobych).

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и приложения. Общий объём диссертации составляет 305 страниц, включая 74 рисунка и 4 таблицы. Список литературы содержи* 319 наименований.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №99-02-16399-а, №01-01-00577, №02-02-17277-а), программы поддержки ведущих научных школ, Министерства энергетики США и фирмы "Omega Р".

Краткое содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность темы исследований, формулируется цель работы и кратко излагается ее содержание.

В начале каждой главы определен круг рассматриваемых в ней вопросов и приведен обзор литературы, характеризующий современное

состояние исследований на эту тему.

Первые две главы посвящены исследованию сеточными методами нестационарных нелинейных эффектов самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда в сходящемся параксиальном волновом пучке и в пересекающихся волновых пучках, в теории развитой ленгмюровскоЙ турбулентности. Поведение таких систем описывается одномерными и двумерными по пространственным переменным системами уравнений в частных производных. Для описания поля в таких системах используется нестационарное уравнение Шредингера.

В первой главе рассматриваются сеточные методы нахождения приближенного решения систем уравнений, включающих нестационарное уравнение Шредингера с одной пространственной переменной.

Раздел 1.1 посвящен применению метода сеток для решения нестационарной задачи самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда на первых послепробойных стадиях [57, 58]. Разработаны новые неявные трехслойные схемы счета с разным числом узлов ' на слоях для одномерного по пространству нестационарного уравнения

Шредингера, обладающие свойством "слабой насыщаемости" за счет высокого порядка аппроксимации и обращения только трехдиагональных матриц, доказана их устойчивость.

В разделе 1.2 описана модификация операторного компактного неявного метода, основанного на тождестве Марчука, позволившая организовать алгоритм счета без вычисления разностных аналогов вторых производных, являющихся основным источником накопления ошибки счета, что говорит о "слабой насыщаемости" предложенного метода.

В разделе 1.3 рассмотрены схемы повышенной точности на неравномерных сетках. Приведено формальное доказательство способа наг ращивания длины шагов сетки, предложенного A.A.Самарским, для перехода от области, где необходим мелкий шаг для описания поведения функции, к области, где достаточно использовать аппроксимацию с крупным шагом. При этом сохраняется одинаковый порядок аппроксимации функции и ее первой и второй производных во всех узлах сетки.

Во второй главе рассматриваются сеточные методы нахождения приближенного решения скалярных и векторных нелинейных нестационарных уравнений Шредингера с двумя пространственными перемен» ными.

Раздел 2.1 посвящен исследованию стационарного разряда в пересекающихся волновых пучках методом сеток. Полученная в результате ; расчетов в [28] картина расслоения плотности плазменной структуры

хорошо согласуется с экспериментом, проведенным в ИПФ РАН.

В разделе 2.2 описано применение методики Бунемана в соединении со схемой расщепления по физическим процессам при моделировании скалярной модели сильной ленгмюровской турбулентности. В разделе 2.2.2 изложена идея соединения операторного компактного неявного метода с методом Бунемана, позволяющая находить прямое решение разностных уравнений повышенной точности за (./V к^ Д^)2 операций на прямоугольнике с N узлами по каждому направлению. В разделе 2.2.3 рассмотрена возможность использования изложенных методов в случае цилиндрической симметрии. Раздел 2.3 посвящен численному моделированию векторной двумерной сильной ленгмюровской турбулентности, когда самовоздействие потенциальных колебаний сопровождается генерацией вихревых полей и наоборот. Сделана оценка возможности отделения сеточных потенциальной и вихревой частей поля на схемах повышенной точности, позволившая оценить паразитное влияние потенциальной и вихревой частей поля при их дискретизации.

С помощью изложенного метода изучался эффект стабилизации поперечной неустойчивости ленгмюровского солитона в поле накачки вследствие эффективного бесстолкновительного затухания [60] .

В третьей главе рассматриваются методы решения функциональных уравнений, на основе которых в дальнейших главах строятся приближенные численные методы нахождения решений различных физических задач.

В разделе 3.1 проведено доказательство возможности при нахождении приближенного решения задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений использовать усредненный по времени оператор правой части [45] .

В разделе 3.2 найдено общее решение задачи поиска минимума квадратичного функционала на единичной сфере [48, 64, 65, 67]. Минимизация функционалов такого типа проводится в восьмой главе при решении обратных задач конструирования электродинамических систем ускорительных секций суперколлайдеров.

В разделе 3.3 описан метод нахождения приближенного решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, основанный на разложении по системе базисных функций, построенных по многомасштабной системе базисных всплесков (вейвлетов) и удовлетворяющих заданным граничным условиям [66].

В четвертой главе рассматривается применение преобразования Фурье для решения нестационарного уравнения Шредингера в случае одной и двух пространственных переменных, в том числе и описывающего самовоздействие широкого класса волн, поверхности волновых векторов

у которых имеют седдовую точку [41, 42, 43, 45, 46, 52, 56, 59, 60,61, 62]. Показано, что использование приближенной операторной экспоненты, осуществляемое с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ), может быть интерпретировано как вариант схемы расщепления по физическим процессам.

В разделе 4.3 проведен анализ возможности использования БПФ для решения краевых задач для нестационарного уравнения Шредингера с различными типами граничных условий [43, 44, 45].

В разделе 4.3.2 проанализированы численные аналоги первых интегралов движения нестационарного уравнения Шредингера.

В разделе 4.3.3 построено приближенное решение нестационарного уравнения Шредингера путем проведения последовательных операторных замен неизвестной функции [44, 45]. Замена проводится таким образом, чтобы операторы в правой части для новой неизвестной функции обращались в нуль в начальной и конечной точках выбранного временного интервала интегрирования. Следствием является также то, что построенное приближенное решение в начальной и конечной точках этого интервала удовлетворяет исходному уравнению. Поэтому в начальной точке производная по времени приближенного решения совпадает с производной точного решения, а в конечной точке интервала — с соответствующей производной для близкой к решению траектории (см. Рис.3). Сделанные оценки погрешности не только имеют порядок по времени 0(Д<3), но и являются лучшими из известных по пространственным переменным за счет аналитического вычисления с помощью БПФ операторных экспонент.

В разделе 4.4 аналитическими и численными методами исследована неустойчивость периодических решений нестационарного уравнения Шредингера с кубичной нелинейностью, так называемых кноидальных волн [30, 31]. Эти волны оказались устойчивыми по отношению к возмущениям с пространственным периодом задачи, но неустойчивыми по отношению к длинноволновым возмущениям с масштабом много больше периода задачи. Построена математическая схема возникновения "волн-убийц", аналогичная схеме развития так называемых аномалий Вуда. В линеаризованной задаче образуется ячейка Жордана, соответствующая нулевому собственному значению оператора, из присоединенных векторов которой и возникают аномальные решения.

В разделе 4.5 продемонстрирована возможность успешного применения метода, основанного на схеме расщепления с использованием дискретного преобразования Фурье [19,20,61,62} при нахождении решения нелинейного уравнения Шредингера гиперболически-параболического

типа. Обнаружен новый тип самовоздействия волновых полей в нели-.нейных средах — множественное дробление волновых структур в нелинейной среде.

Пятая глава посвящена одному из фундаментальных физических явлений — ленгмюровскому коллапсу, — впервые предсказанному В.Е.Захаровым. Разработан ряд простых эффективных алгоритмов расчета нелинейной системы уравнений, предложенной В.Е.Захаровым для описания явлений турбулентности в плазме.

В разделе 5.1 рассмотрена одномерная система уравнений Захарова. На примере этой системы отрабатывались новые принципы нахождения приближенного решения с использованием операторной экспоненты.

В разделе 5.1.1 предложен метод решения всей системы, обеспечивающий сохранение второго инварианта — интеграла энергии — на больших временных интервалах [45].

В разделе 5.1.2 приведен тестовый пример, демонстрирующий достоинства и возможности предложенного метода. \

В разделе 5.2 рассмотрена система со сферической симметрией. Сферически симметричная модель — так называемый "скалярный коллапс" — описывает процесс самофокусировки трёхмерных квазиоптических пучков света, электрон-фотонное взаимодействие в твёрдых телах и т.п., и поэтому имеет самостоятельное значение.

Разработана методика использования БПФ для счета сверток с функциями с особенностями, позволяющая избавиться от паразитного явления Гиббса (3, 45].

Раздел 5.3 посвящен численному исследованию двумерной по пространственным переменным векторной модели коллапса. В векторной постановке задачи важным является ответ на вопрос, остаётся ли изначально потенциальное пале таковым вплоть до возникновения особенности. Разработана методика счета, позволяющая полностью разделить потенциальную и вихревую составляющие поля, взаимодействие которых в этом случае избавлено от всех взаимных паразитных влияний [45]. Полученные в этом разделе оценки погрешности имеют наименьший из известных для ошибок аппроксимации порядок производных по пространственным переменным, или, что одно и то же, самый низкий порядок роста образов Фурье от номера коэффициента.

В разделе 5.3.1 приведены примеры расчета двумерных систем и проведен анализ возможностей разработанной методики счета. Покат зано, что "звуковые дорожки" плотности плазмы возникают в случае наличия периодической структуры расположения каверн. Локальный

закон сохранения числа квантов в каверне для "решетки" каверн не выполняется.

Раздел 5.4 посвящен анализу способов введения затухания в уравнения Захарова операторами типа операторов свертки с обобщенными функциями. В образах Фурье уравнение с затуханием может быть записано в наиболее общем виде. Разработан метод счета двумерных по пространственным переменным уравнений Захарова с затуханием, обладающий теми же свойствами, что и метод счета консервативной системы [35, 36]. Изучены процессы быстрой хаотизации вихревой части поля на стадии разрушения (схлопывания) каверны. Четко прослежены образование и рост кольцевых структур в образах Фурье у вихревой части поля и проанализирован механизм их образования (см. Рис. 1).

Показана возможность в схеме расщепления по физическим процессам при расчетах нелинейной системы уравнений, предложенной В.Е. Захаровым для описания явлений турбулентности в плазме, использовать одно из уравнений этой схемы в качестве предиктора для всей системы.

Шестая глава посвящена изучению поведения трубчатого пучка электронов в скрещенных полях внутри цилиндрической поверхности. В разделах 6.1.1-6.1.5 рассмотрен случай постоянного магнитного поля. Найденная в работах [6, 38, 40, 49] связь между дифференциалом дуги огибающей семейства характеристик уравнения Власова и так называемого "приведенного пространственного заряда" из уравнения Пуассона позволяет свести задачу к интегральному уравнению относительно приведенного пространственного заряда по границе в области пространства скоростей электронов. Образование петель огибающей семейства характеристик является необходимым условием ветвления решения, определяющим класс функций, в котором представление решения является наиболее эффективным, понимая под этим его представление с минимальным набором данных. Нелокальные граничным условия, которые являются необходимыми условиями ветвления решения, при этом выполняются для всех базисных функций.

Изучение бифуркаций системы сводится к изучению устойчивости решений интегрального уравнения относительно малых возмущений функции распределения, т.е. количества электронов, двигающихся по многопетлевым траекториям.

Тривиальному решению соответствует вырождение огибающей в точку, т.е. равенству нулю в некоторой области приведенного пространственного заряда.

Раздел 6.1.6 посвящен случаю магнитного поля, зависящего от ради-

альной координаты. Рассматривается модель аксиально-симметричного состояния электронного облака в цилиндрическом магнетроне с бесконечными коаксиальными цилиндрическими катодом и анодом. Магнитное поле Я(г) направлено вдоль оси цилиндров и является функцией радиальной координаты. Рассмотренная в разделе 6.1.7 задача нахождения ветвлений решения свелась к изучению системы квазилинейных интегральных уравнений с двумя дополнительными "нелокальными" условиями.

В разделе 6.1.8 для релятивистского случая показано, что приведенный потенциал не является линейной функцией обычного потенциала, а для описания пространственного заряда может быть получена система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.

Один из примеров взаимодействия электронного пучка с электромагнитными полями в лазерах на свободных электронах рассмотрен 1 в разделе 6.2. Он посвящен описанию численного алгоритма решения нестационарных уравнений при импульсной и стационарной инжекции электронов, позволившему не только эффективно просчитать известный ^ Стэнфордский эксперимент (выход на генерацию последовательности идентичных импульсов), но и продвинуться значительно дальше в область периодических и стохастических автомодуляционных режимов. Метод позволяет с высокой точностью находить в области параметров границу срыва в стохастический режим [7, 54].

В разделе 6.3 описан новый способ интегрирования уравнения движения электронов, требующий вдвое меньшего количества массивов в процессе счета, по сравнению с предыдущими, и автоматически сохраняющий два интеграла движения электронов.

Седьмая глава посвящена одной из важных задач теории цилиндрических периодически гофрированных волноводов - задаче нахождения профиля волновода, обладающего заданной дисперсионной характеристикой на всём или на части диапазона частот.

В разделе 7.1 сформулирована общая постановка задачи. В разделе 7.2 задача об азимутально-симметричных собственных волнах в гофрированном волноводе сводится к нахождению спектра одного граничного интегрального уравнения [21, 22, 32]. Представление'решения исходной задачи в виде конечного ряда Фурье позволило построить быстро сходящийся к дисперсионной кривой итерационный процесс. В подразделе , 7.2.2 сделаны оценки электропрочности, а в 7.2.3 — оценки потерь в стенках гофрированных волноводов.

В разделе 7.3 решена задача о возмущении граничного интегрального уравнения для осесимметрических волн электрического типа перио-

дического гофрированного волновода путем возмущения его профиля. Для возмущенной задачи построено интегральное уравнение, а для случая круглого цилиндрического волновода найден явный вид решения. На его основе решена обратная задача о восстановлении профиля волновода по заданной дисперсионной зависимости [33, 34].

Восьмая глава посвящена моделированию ускорительной секции суперколлайдера.

Создание электрон-позитронных коллайдеров входит в число 27 наиболее значимых международных проектов. Составной его частью является создание линейной ускорительной структуры. В настоящее время перспективы линейных ускорителей электронов и позитронов связывают с использованием все более высокочастотной накачки. Соответственно становится привлекательным использовать в таких структурах компоненты квазиоптического типа.

В этой главе смоделирована электродинамическая система нового типа, обеспечивающая формирование волнового поля с возможно большей величиной пространственной гармоники, синхронной инжектируемым электронам, и проведена ее оптимизация. Структура этой системы представляет собой периодический набор металлических колец, облучаемых сходящимся квазицилиндрическим волновым потоком [63] (см. Рис.2). В самой структуре выделяются две основные функциональные части: центральная часть - приосевая область - рабочее пространство, в котором происходит взаимодействие электромагнитного поля с инжектируемыми частицами, и периферия - подводящая часть, которая преобразует поступающую электромагнитную волну в сходящийся и определенным образом сфазированный волновой поток. Приосевой объем ускорительной секции представляет собой резонатор, аккумулирующий энергию в осесимметричной 7г-моде Е-типа.

Смоделированная оптимальная конструкция состоит из одинаковых — что технологично! — металлических колец, на разных сторонах которых сделаны проточки разной ширины. Период структуры состоит из двух колец, расположенных так, что их смежные стороны имеют одинаковые проточки (Рис. 2). В то же время соседние радиальные междисковые каналы имеют разный профиль.

В разделе 8.1 сформулирована постановка математической задачи рассеяния. В разделе 8.2 найдено аналитическое решение обратной задачи рассеяния с неограниченными по радиусу границами.

М.И.Петелиным [63] предложено в линейных ускорителях нового поколения использовать структуру, рассмотренную в предыдущем разделе, но запитывать её сходящимся волновым потоком. В разделе 8.3 для

реализации этой идеи создана конструкция подводящих междисковых каналов с разными проточками в соседних каналах, преобразующая поступающую плоскую волну таким образом, чтобы на выходе из системы каналов (или на входе в резонатор) поля в соседних каналах имели противоположные фазы. В разделе 8.4 приведено найденное в [16, 11] аналитическое решение задачи оптимизации профилей двух соседних вол-новодных каналов в плоской геометрии для создания максимальных по амплитуде, но противоположных по фазе полей на выходах из каналов. Показана возможность с помощью дополнительных проточек достичь любой наперед заданной амплитуды поля на выходе из каналов.

В разделе 8.5 изложены основные идеи метода дискретных источников. Предложен новый принцип конструирования и размещения дискретных источников при решении прямых и обратных задач электродинамики, основой которого является использование неодносвязных контуров при моделировании электродинамических структур с угловыми точками. Создана новая методика расположения дискретных источников как в окрестности регулярных участков границы, так и в окрестности угловых точек. Это позволило избавиться от накопления источников и точек коллокации к угловой точке и существенно сократить их число для описания поля с особенностью в окрестности угловой точки.

В разделе 8.6 определено, при какой предельно допустимой глубине проточки справедливы сделанные оценки погрешности изготовления каналов (ширины, глубины и расположения проточек).

Из результатов расчетов вытекает принципиальная возможность обеспечить синфазность полей на периферии соседних каналов при одновременной их противофазности на входе в резонатор, используя только одну проточку в каждом канале.

В разделе 8.7 приведено решение обратной задачи рассеяния. Проведены расчеты различных классов систем, образующих резонаторы (или обладающими резонансными свойствами) в приосевой области д ля определения качества формируемых ими полей (структуры и величины

Рис. 4. Поведение полей при оптимальном профиле

требуемой составляющей поля, максимума полного поля на границе и т.п.) для сравнения с предложенной в разделе 8.8 системой (см. [53]).

В разделе 8.8 методом дискретных источников смоделирована полная задача рассеяния и достигнут устойчивый режим формирования требуемых электромагнитных полей, когда малые отклонения параметров системы (взаимное расположение проточек и их положение по отношению к внешней кромке колец) не вызывают разрушения требуемой структуры полей.

Разработан и реализован метод поиска размеров и точного расположения дополнительного демпфирующего желоба, предназначенного для минимизации энергии волнового поля в рабочем пространстве. По результатам расчетов в отделе электроники больших мощностей ИПФ РАН изготовлена секция суперколлайдера и проведен "холодный" эксперимент по исследованию электродинамических характеристик полученной системы. Эксперимент подтвердил хорошие резонансные свойства исследуемой системы.

В Заключении перечислены основные результаты диссертации.

Основные результаты работы

1. Разработаны эффективные методы решения систем уравнений, включающих одномерное нестационарное уравнение Шрединге-ра. Основу этих методов составляет тождество Марчука, позволяющее конструировать необходимые для описания моделируемых процессов численные алгоритмы без насыщения как на равномерной, так и на неравномерной сетке. Это приводит к существенному уменьшению числа дискретных переменных.

1.1. Проведено формальное доказательство способа наращивания длины шагов сетки, предложенного А. А.Самарским, для перехода от области, где необходим мелкий шаг для описания поведения функции, к области, где достаточно использовать аппроксимацию с крупным шагом.

1.2. Упрощен вычислительный процесс нахождения приближенного решения с помощью схем операторного компактного неявного метода, который позволяет, не ухудшая повышенного порядка аппроксимации разностной схемы, уменьшить ошибку метода вычислений за счет организации алгоритма без нахождения разностных аналогов вторых производных, являющихся основным источником накопления ошибок.

1.3. Проведено моделирование самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда. Исследованы режимы как быстрого выхода на стационарное состояние, так и развития сложной мелкомасштабной структуры. Полученные численные результаты находятся в хорошем согласии с результатами экспериментальных наблюдений.

2. Разработаны и успешно применялись трехслойные по временной переменной разностные схемы для решения как скалярных, так и векторных нестационарных уравнений Шредингера с двумя пространственными переменными.

2.1. Разработана методика построения схем повышенной точности, предложен экономичный аналога метода Бунемана прямого решения системы разностных уравнений. Метод требует (ЛГ log N)2 ■> действий. Здесь N — число узлов по каэйдой из пространственных координат.

t

2.2. Сделана оценка отделения сеточных потенциальной и вихревой частей поля на схемах повышенной точности.

2.3. Исследована структура стационарного СВЧ разряда в пересекающихся волновых пучках с помощью разработанных методов. Проведено сравнение численных результатов с экспериментальными данными. Показано их хорошее качественное согласие.

2.4. Проведено численное моделирование двумерной сильной ленг-мюровской турбулентности, когда самовоздействие потенциальных колебаний сопровождается генерацией вихревых полей и наоборот. Показано, что лишь введение модельного затухания Ландау дает стабилизацию поперечной неустойчивости солитонов и сохраняет структуру решения.

3. Разработаны теоретические основы методов решения функциональных уравнений, на основе которых найдены критерии методов оптимизации и построены приближенные методы нахождения решений различных физических задач.

3.1. Доказана возможность использования усредненного по времени оператора правой части при решении задачи Коши для получения приближенного решения с точностью 0(Д£3). 1

3.2. Найдено аналитическое решение задачи поиска траектории непрерывного спуска для квадратичной формы самосопряженного оператора на единичной сфере и проведены оценки градиента '

соответствующего функционала. Показано, что различные структуры спектра в окрестности его нижней точки приводят к существенному различию поведения траекторий. В случае непрерывного спектра расходится интеграл от квадратичной формы оператора, взятый вдоль траектории спуска.

3.3. Предложен метод решения краевых задач для ОДУ с помощью преобразования вейвлетов. Он позволяет получить простые формы влияния пограничной области (линейные, не требующие хранения дополнительной информации) на решение во внутренней части области для всех видов граничных условий, включая условия третьего рода. Это открывает перспективы использования многомасштабного преобразования вейвлетов для нахождения структуры решения в погранслое и при распараллеливании процесса решения краевых задач.

4. Показано, что использование приближенной операторной экспоненты, осуществляемое с помощью БПФ, может быть интерпретировано как вариант схемы расщепления по физическим процессам. Проведен анализ возможности использования БПФ для различных типов граничных условий и исследованы возможности получения алгоритмов без насыщения.

4.1. Построено приближенное решение нестационарного уравнения Шредингера путем проведения последовательных операторных замен неизвестной функции. Замена проводится таким образом, что приближенное решение на каждом временном шаге удовлетворяет исходному уравнению в начальной и конечной его точках.

4.2. Исследована неустойчивость периодических решений уравнения Шредингера с кубичной нелинейностью, так называемых кно-идальных волн, построена математическая схема возникновения "волн-убийц", аналогичная схеме развития так называемых аномалий Вуда. В линеаризованной задаче образуется ячейка Жорда-на, соответствующая нулевому собственному значению оператора, из присоединенных векторов которой и возникают аномальные решения.

4.3. Продемонстрирована возможность успешного применения метода, основанного на схеме расщепления с использованием дискретного преобразования Фурье при нахождении решения нелинейного уравнения Шредингера гиперболически-параболического

типа. Обнаружен новый тип самовоздействия волновых полей в нелинейных средах — множественное дробление волновых структур в нелинейной среде.

5. Предложен и реализован метод расчета уравнений Захарова, основанный на аналитическом вычислении операторных экспонент с помощью ВПФ.

5.1. Для случая сферически симметричной системы уравнений, имеющей самостоятельное значение, например, для самофокусировки трехмерных квазиоптических пучков света, дополнительно разработана методика использования БПФ для счета сверток с обобщенными функциями, позволяющая избавиться от паразитного явления Гиббса.

5.2. Разработана методика счета двумерной по пространственным переменным векторной системы уравнений Захарова, основанная на БПФ и позволяющая полностью разделить потенциальную и вихревую составляющие поля, взаимодействие которых в этом случае избавлено от всех взаимных паразитных влияний.

5.3. Разработан метод счета векторных уравнений Захарова с затуханием, обладающий теми же свойствами, что и метод счета консервативной системы.

5.4. Изучен механизм влияния друг на друга соседних каверн, образующихся при численном моделировании ленгмюровской турбулентности. Показано, что в случае наличия периодической структуры расположения каверн возникают "звуковые дорожки" плотности плазмы. Локальный закон сохранения числа квантов в каверне для "решетки" каверн не выполняется.

5.5. Изучены процессы быстрой хаотизации вихревой части поля на стадии разрушения (схлопывания) каверны. Четко прослежены образование и рост кольцевых структур в образах Фурье у вихревой части поля и проанализирован механизм их образования.

6. Найдена связь между дифференциалом дуги огибающей семейства характеристик уравнения Власова и так называемым "приведенным пространственным заряда" в уравнении Пуассона, что позволяет свести задачу описания структуры стационарного пространственного заряда, создаваемого потоком электронов в скрещенных полях, к граничному интегральному уравнению относительно приведенного пространственного заряда по границе в области пространства скоростей электронов.

6.1. Образование петель огибающей семейства характеристик приводит к ветвлению решений. Точки внутри петли огибающей соответствуют электронам со сложным многопетлевым движением.

6.2. Изучение бифуркаций системы сводится к изучению устойчивости решений интегрального уравнения с дополнительными нелокальными условиями относительно малых возмущений функции распределения, т.е. количества электронов, двигающихся по многопетлевым траекториям.

7. Рассмотрено взаимодействия электронного пучка с электромагнитными полями в лазерах на свободных электронах. Построен численный алгоритм решения нестационарных уравнений при импульсной и стационарной инжекции электронов, позволивший исследовать структуру автомодуляционных режимов и с высокой точностью находить в области параметров границу срыва в стохастический режим.

8. Получено граничное интегральное уравнение для нахождения ази-мутально симметричных мод и дисперсионных кривых периодически гофрированных волноводов. Выделена сингулярная часть ядра интегрального оператора, действие соответствующего оператора от которой на функции, представимые рядом Фурье, считается аналитически. Это позволяет проводить вычисления с небольшим числом гармоник даже для глубоких гофр.

9. Рассмотрена задача о возмущении граничного интегрального уравнения для азимутально симметричных мод азимутально симметричных волноводов с плавной периодической гофрировкой путем гармонических возмущений его профиля. Для исходного круглого волновода найдена явная связь между гармониками возмущенной плотности и возмущенного профиля волновода, а также выражение для возмущенного волнового числа.

10. Решена обратная задача нахождения профиля волновода по заданному отрезку дисперсионной кривой Результаты сведены в таблицу, которая позволяет прогнозировать точность изготовления волновода.

11. Создана модель ускорительной секции суперколлайдера, проведена оптимизация профиля составляющих ее металлических колец для максимизации ускоряющего градиента электрического поля и

минимизации полной микроволновой энергии в рабочем пространстве (см. Рис.4). Смоделированная оптимальная конструкция состоит из одинаковых металлических колец, на разных сторонах которых сделаны проточки разной ширины. Период структуры состоит из двух колец, расположенных так, что их смежные стороны имеют одинаковые проточки (см. Рис.2). То, что все кольца одинаковы, является технологически выгодным.

11.1. Найдено аналитическое выражение для внутреннего профиля системы колец, составляющих ускорительную секцию супер-коллайдера, обеспечивающих формирование требуемой структуры поля в приосевой области. Для подвода энергии в такой системе используются неоднородные междисковые каналы. Найдено аналитическое решение задачи оптимизации профилей двух соседних волноводных каналов в плоской геометрии для создания максимальных по амплитуде, но противоположных по фазе палей на выходах из каналов. Продемонстрирована принципиальная возможность использовать только одну проточку в каждом канале.

11.2. Разработан и реализован алгоритм метода дискретных источников решения двумерного эллиптического уравнения типа уравнения Гельмгольца в цилиндрической геометрии. В качестве источников предложено выбирать функцию Грина задачи рассеяния минимальной объемлющей области. Данный алгоритм использован для расчетов параметров секции суперколлайдера в проведенном в ИПФ РАН эксперименте.

11.2. Предложен новый принцип конструирования и размещения дискретных источников при решении прямых и обратных задач электродинамики, основой которого является использование неод-носвязных контуров при моделировании электродинамических структур с угловыми точками.

11.3. Предложено использовать дополнительный демпфирующий желоб не только для предотвращения пробоя, но и как дополнительный резонатор на используемой основной временной частоте. Была сконструирована система связанных резонаторов различной конфигурации на одну и ту же частоту. По результатам расчетов в отделе электроники больших мощностей Института прикладной физики РАН изготовлена секция суперколлайдера и проведен "холодный "эксперимент по исследованию электродинамических характеристик полученной системы. Эксперимент подтвердил хорошие резонансные свойства синтезированной связанной системы.

Список работ по теме диссертации

1. Абрамян Л.А., Фрайман Г.М., Юнаковский А.Д. Трехмерные ленг-мюровские мультиполя// Тез.докл.Ш Всесоюзной конф. Взаимодействие э-м излучения с плазмой.- Алма-Ата. - 1982. С. 134136.

2. Абрамян Л.А., Фрайман Г.М., Юнаковский А.Д. Трехмерные ленг-мюровские мультиполи// Физика плазмы. -1985.11. ."V* 12. С. 14861490.

3. Барышев М.Ю., Юнаковский А.Д. Численное моделирование скалярной модели ленгмюровского коллапса.// Препринт №105. Горький: ИПФ АН СССР. -1984. 20с.

4. Белов В.Е., Родыгин Л.В.. Юнаковский А.Д. Токораспределение на виртуальном квазикатоде.// Электроника сверхвысоких частот: тезисы докладов VI межвузовской конференции по электронике СВЧ/ МРТИ.- Минск. -1969. С. 125.

5. Белов В.Е., Родыгин Л.В., Фильченков С.Е., Юнаковский А.Д. Применение метода интегральных уравнений к расчету электродинамических характеристик периодически гофрированных волноводов// Изв. ВУЗ-ов. Радиофизика. -1988. -Т.31. № 2. С. 180-189.

6. Белов В.Е., Родыгин Л.В., Юнаковский А.Д. К анализу статических режимов магнетрона с учетом разброса скоростей электронов // Изв. ВУЗ-ов, Радиофизика. -1973. XVI. № 2. С. 281-294.

7. Богомолов Я.Л., Братман В.Л., Гинзбург Н.С., Петелин М.И., Юнаковский А.Д. Нестационарные процессы в лазерах на свободных электронах// Автомодуляционные режимы в электронных генераторах элекромагнитных колебаний. Тезисы докл. X Всесоюзной конф. по нелинейной и когерентн. оптике. Киев, ч.П. -1980. С. 298-299.

8. Богомолов Я.Л., Демехов А.Г., Трахтенгерц В.Ю., Шер Э.М., Юнаковский А.Д. Численное моделирование эволюции двумерной функции распределения электронов при адибатическом магнитном сжатии плазмы.// X Всесоюзная школа 'Теории прикладных проблем вычислительной математики и математической физики". Рига. -1985. С. 182.

9. Богомолов Я.Л., Демехов А.Г., Трахтенгерц В.Ю., Шер Э.М., Юнаковский А.Д. Об эффекте "убегания" при адибатическом магнитном сжатии плазмы.// Физика плазмы. -1988. -Т.14. ДО 5. С.

539-546.

10. Богомолов Я.Л., Пелиновский Е.Н., Юнаковский А.Д. Сравнение различных вариантов спектрального метода расщепления для решения нелинейного уравнения Шредингера. Препринт №275. Нижний Новгород: ИПФ АН СССР. 1990. 32с.

11. Богомолов Я.Л., Петелин М.И., Тай M.JL, Юнаковский А.Д. О синтезе Брэгговских резонаторов для электронных ускорительных структур с квазиоптическим вводом информации// Известия вузов. Радиофизика. -2003. -Т.46. № 5-6. С. 472-481.

12. Богомолов Я.Л., Петелин М.И., Юнаковский А.Д. Метод расчета электродинамических систем типа ускорительной секции супер-коллайдеров// Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. - ИНПРИМ-98. - Тез. докл., ч. II, С. 7.

13. Богомолов Я.Л., Петелин М.И., Юнаковский А.Д. Синтез брэгговских рефлекторов для электронных ускорителей с квазиоптическим вводом излучения// Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. (Воронеж, 20-27 января 2000.), Тез. докл. С. 29.

14. Богомолов Я.Л., Юнаковский А.Д. Численное моделирование нестационарных многомодовых процессов в МЦР с квазиоптическими резонаторами// Тез. докл. VI Всесоюз. семинара по реля-тив. В Ч электронике. Москва. -1984. С. 39.

15. Богомолов Я.Л., Юнаковский А.Д. Исследование спектрального метода расщеплениия в приложении к нелинейному уравнению Шредингера// Тез. докл. VI Всесоюзн. конф. Взаимодействие электромагнитных излучений с плазмой. Душанбе. 1991. С. 75.

16. Богомолов Я.Л., Юнаковский А.Д. Моделирование электродинамических систем накопления энергии// Сборник трудов Воронежской весенней школы "Понтрягинские чтения-XI". I часть. Воронеж. ВГУ. 2000. С. 37-47.

17. Богомолов Я.Л., Юнаковский А.Д. Рассеяние электромагнитных волн в каналах коллайдера/ / Нелинейные граничные задачи. Сб. научн. трудов. Вып. 13, Донецк. 2003. С. 18-30

18. Вихарев А.Л., Гильденбург В.Б., Голубев C.B., Еремин Б.Г., Иванов О.А., Литвак А.Г., Степанов А.Н., Юнаковский А.Д. Нелинейная динамика свободнолокализованного СВЧ разряда в пучке электромагнитных волн// ЖЭТФ. 1988. -Т.94. № 4. С. 136-145.

19. Жарова Н.А., Литвак А.Г., Петрова Т.А., Сергеев А.М., Юнаковский А.Д. О новом типе самовоздействия плазменных колебаний//

Письма в ЖЭТФ. 1986. -Т.44. № 1. С. 12-15.

20. Жарова H.A., Литвак А.Г., Петрова Т.А., Сергеев A.M., Юнаков-ский А.Д. Коллапс и множественные дробления нелинейных волновых структур.// Изв. ВУЗ-ов. Радиофизика. 1986. -Т.29. № 9. С. 1137-1142.

21. Ковалев Н.Ф., Фильченков С.Е.. Юнаковский А.Д. Электродинамические системы релятивистских карсинотронов. Препринт №268. Горький: ИПФ АН СССР. 1990. 34с.

22. Ковалев Н.Ф., Фильченков С.Е., Юнаковский А.Д. Системы интегральных уравнений для описания волн в гофрированных волноводах, частично заполненных преломляющей средой.// Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. (Воронеж, 20-27 января 2000.), Тез. докл., С. 114.

23. Литвак А.Г., Миронов В.А., Фрайман Г.М., Юнаковский А.Д. Тепловое самлвоздействие волновых пучков в плазме с нелокальной нелинейностью // Физика Плазмы. 1975. -Т.1. ."V« 1. С.60-71.

24. Литвак А.Г., Петрова Т.А., Сергеев A.M., Юнаковский А.Д. Об одном типе самовоздействия в плазме// Физика плазмы. 1983. -Т.9. № 3. С. 495-500.

25. Литвак А.Г., Фрайман Г.М., Юнаковский А.Д. О самофокусировке аксиально симметричных пучков электромагнитных волн.// Доклады VI Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн. кн.2. Ереван, 1973. 301 С.

26. Литвак А.Г., Фрайман Г.М., Юнаковский А.Д. О самофокусировке ленгмюровских колебаний// Письма в ЖЭТФ. 1974. -Т.19. № 1. С. 23-28.

27. Литвак А.Г., Фрайман Г.М., Юнаковский А.Д. Самофокусировка ленгмюровских колебаний// Тезисы докладов 2-ой Международной конф. по теории плазмы, г. Киев -1974. С. 77.

28. Петрова Т. А., Юнаковский А.Д. Исследование стационарного разряда в пересекающихся волновых пучках методом сеток. Препринт №68. Горький: ИПФ АН СССР. 1983. 16с.

29. Петрова Т.А., Юнаковский А.Д. Численное моделирование динамики коллапса ленгмюровских волн.// Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. - ИНПРИМ-98. - Тез. докл., ч. II, С. 120.

30. Фильченков С.Е., Фрайман Г.М., Юнаковский А.Д. Неустойчивость периодических решений нелинейных волновых структур. // Физика плазмы. 1987. -Т.13. Л* 8. С. 961-966.

31. Фильченков С.Е., Фрайман Г.М., Юнаковский А.Д. Численное исследование устойчивости поверхностных волн// Тез. докл. Всесоюз. совещания по проблеме цунами, сент. 1987. Шушенское. Красноярск. 1987. С. 119-121.

32. Фильченков С.Е., Юнаковский А.Д. Применение интегральных уравнений к расчету характеристик периодических волноводов// Спектральт г еволюцШнг задачи Teзi доповгдей. Кигв. 1991. С. 45.

33. Фильченков С.Е., Юнаковский А.Д. Применение спектральных возмущений к расчету периодических волноводов// Спектральт г еволюцШт задачи Тез г доповгдей. Випуск 2 Омферополь. 1993. С. 66.

34. Фильченков С.Е., Юнаковский А.Д. Применение гармонических возмущений к расчету периодически гофрированных волноводов// Изв. ВУЗов, Радиофизика,. 1995. -Т.38. № 5. С. 467-480.

35. Шер Э.М., Юнаковский А.Д. Исследование поведения решений системы Захарова затуханием// Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. - ИНПРИМ-98. - Тез. докл., ч. 1,. С. 32-33.

36. Шер Э.М., Юнаковский А.Д. Построение численного алгоритма для векторной системы Захарова с затуханием// Мат. моделирование. 2000. -Т. 12. ДО 11. С. 70-77.

37. Юнаковский А.Д. О структуре трубчатого потока электронов, движущихся по винтовым траекториям в однородном магнитном поле с учетом пространственного заряда// Электроника сверхвысоких частот /тезисы докладов VI межвузовской конференции по электронике СВЧ. МРТИ, Минск. 1969. С. 98.

38. Юнаковский А.Д. Изучение статических режимов магнетрона// Материалы объеденного семинара по вычислительной физике. Сухуми, 1973. изд. Тбилисского ун-та. Тбилиси 1976. С. 323-327.

39. Юнаковский А.Д. Построение аксонометрической проекции поверхности. ГФАП инв. №п000581 от 5/ 11-1974.

40. Юнаковский А.Д. Статические режимы магнетрона с учетом разброса скоростей электронов// Спектральт » еволюцшт задачи Тезг допов1дсй. Кшв. 1991. С. 83-84.

41. Юнаковский А.Д. Падение волны на неоднородный слой плазмы// VI республ. конф. Нелинейные задачи математической физики и задачи со свободной границей. Тез. докл. Донецк. 1991. С. 128.

42. Юнаковский А.Д. Численное моделирование волновых коллапсов// Там же,. С. 162.

43. Юнаковский А.Д. Применение приближенной операторной экспоненты для нелинейного уравнения Шредингера// Спектралъм i еволюцгйт задачи Teei donoeideû. Випуск 2 Сшферополь. 1993. С. 141-142.

44. Юнаковский А.Д. Методики аппроксимации нелинейного уравнения Шредингера. Нижн.Новгород: ННГУ. 1994. -87с.

45. Юнаковский А.Д. Моделирование нелинейного уравнения Шредингера. ИПФ РАН. Нижний Новгород. 1995. -160с.

46. Юнаковский А.Д. Принципы построения приближенного решения нелинейного уравнения Шредингера// Тез. докл. междунар. конф. "Нелинейные дифференциальные уравнения". - Киев, август. 1995.

47. Юнаковский А.Д. Приближенное решение системы Захарова// Тезисы докладов международной математической школы КРОМШ-5.- Симферополь, октябрь. 1995.

48. Юнаковский А.Д. Аттракторы траекторий непрерывного спуска для квадратичной формы полуограниченного оператора на единичной сфере// Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. - ИНПРИМ-98. - Тез. докл., ч. 1,. С. 40-41.

49. Юнаковский А.Д. Ветвление решений стационарной системы Власова-Пуассона.// Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. - ИНПРИМ-98. - Тез. докл., ч. 1,. С. 40.

50. Юнаковский А.Д. Всплески и граничные задачи// Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. (Воронеж, 20-27 января 2000.) Тез. докл. С. 238.

51. Bogomolov Ya.L., Bratman V.L., Ginzburg N.S., Petelin M.I., Yunakovsky A.D. Nonstationary Generation in Free Electron Lasers// Optics Communications. February 1981. -V.36. 3. p.209-212.

52. Bogomolov Ya.L., Litvak A.G., Feigin A.M., Fraiman G.M. Sergeev A.M., Yunakovsky A.D. Strong Langmuir turbulence in the External High-Frequency Field.// Труды XVМеждународной конф. появлениям в ионизированных газах. Минск. 1981. С. 211-212.

53. Bogomolov Ya.L., Semenov E.S., Yunakovsky A.D. Singular Value Decomposition as a Tool for Solving of Spectral Problems Arisen in Supercollider Simulation// Day of diffraction'2003. Proceedings of International seminar. Saint Peterburg. 2003. p. 22-31.

54. Bogomolov Ya.L., Yunakovsky A.D. Numercal Simulation of Nonstationary Processes in Free Electron Lasers.// Journal of

Comput. Physics. March 1985. -V.58. № 1. p.80-95.

55. Bogomolov Ya.L., Yunakovsky A.D. Scattering of Electromagnetic Waves in a Canal with a Step-like Boundary// Day of diffraction '2001. Proceedings of International seminar.. Saint Peterburg. 2001. p. 2637.

56. FraimanG.M., SherE.M., LaedkeW., Yunakovsky A.D. Long-term evolution of strong 2-D NSE turbulence//Physica £>.1995.-V.87.p.325-334.

57. Gil'denburg V.B., LitvakA.G., Yunakovsky A.D. The Dynamics of a High Frequency Discharge in a Wave Beam//J.Phys.l979-V.40JV* c.7.pp.215-216.

58. Gildenburg V.B., Petrova T.A., Yunakovsky A.D. Steady-state gas discharges in focused wave beams//Pkysica D. 1995. -V.87. pp.335338.

59. Litvak A.G., Fraiman G.M., Sher E.M., Yunakovsky A.D. Filamentation of Quasioptical Beams of Elektromagnetic Waves in Isotropic Plasma// Nonlinear World. Proc. IV International Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes in Physics Edited by A.G.Sitenko, V.E.Zakharov, V.M.Chernousenko. Kiev: Naukova Dumka. 1989 v.l. pp.379-382.

60. Litvak A.G., Petrova T.A., Fraiman G.M., Sher E.M., Yunakovsky A.D. Numerical simulation of wave collapses//Phys D. 1991.-V/52. № 1. p.36-48.

61. LitvakA.G., Petrova T. A., SergeevA.M., Yunakovsky A.D. On The Self-effect of Two-dimentionai Gravity Wave Packets on The Deep Water Surface.//Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. Edited by R.Z. Sagdeev. Harwood Academic Pablishers New York. Vol.n. 1984. pp.861-871.

62. Litvak A.G., Petrova T.A., Sergeev A.M., Zharova N.A., Yunakovsky A.D. Self-interaction of Plasma Oscillations with Anomalous Dispersion.// Montvai Contributed Papers vol 9F, part II. 1985. p.346.

63. Petelin M.I., Caryotakis G., Tolkachev A.A., Kuzikov S.V., Postoenko G.K., Tai M.L., Yunakovsky A.D. Quasi-optical components for MMW Fed Radars and Particle Accelerators. American Institute of Physics; Woodbury, New York. i998. pp.304-315

64. Yunakovsky A.D. About attractors of trajectories of continuons descent for a square-law form of semibounded operator on a unit sphere// Spectral and Evolutional Problems.- vol.8, Symferopol. 1998. pp.166-170.

65. Yunakovsky A.D. Attractors of trajectories of a continuous descent for a square-law form of semibounded operator on a unit sphere// Nonlinear boundary value problems. 1998. № 8. pp.243-252.

66. Yunakovsky A.D. Wavelets and boundary value problems.// Nonlinear boundary value problems. Book of abstracts. International conference Dedicated to J.P.Schauder, Lviv, August 23-29 1999. p.218.

67. Yunakovsky A.D. Attractors of trajectories of a continuous descent for a quadratic form generated by a semibounded operator on a unit sphere.// Progress in Nonlinear Science. International Conference dedicated to the 100th Anniversary of A.A.Andronov. Nizhny Novgorod, Russia, July 2-6, 2001. Vol 1. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics, Nizhny Novgorod, Russia, 2002 p.379-384

Содержание

1 Сеточные методы решения одномерного нестационарного уравнения Шредингера.

1.1 Применение метода сеток для решения нестационарной задачи самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда.....................

1.2 Применение операторного компактного неявного метода для решения нестационарного уравнения Шредингера . . .

1.3 Схема повышенной точности..................

2 Сеточные методы для двумерного нестационарного уравнения Шредингера

2.1 Исследование стационарного разряда в пересекающихся волновых пучках методом сеток................

2.2 Применение метода Бунемана для решения нестационарного уравнения Шредингера..................

2.2.1 Применение метода Бунемана в схеме расщепления при решении нестационарного уравнения Шредингера ..........................

2.2.2 Соединение операторного компактного неявного метода с методом Бунемана...............

2.2.3 Случай цилиндрической симметрии.........

2.3 Численное моделирование двумерной сильной ленгмюров-

ской турбулентности......................

Основные используемые функциональные методы

3.1 Метод осредненной операторной экспоненты для решения задачи Коши...........................

3.2 Проблемы атракторов траекторий непрерывного спуска для квадратичной формы полуограниченного оператора на единичной сфере.......................

3.3 Применение преобразования всплесков при решении краевых задач............................

3.3.1 Обозначения и определения конструкций всплесков

3.3.2 Постановка задачи ...................

3.3.3 Модельная задача....................

3.3.4 Краевая задача с правой частью из IV, .......

3.3.5 Краевая задача с правой частью из ........

Применение быстрого преобразования Фурье для решения нестационарного уравнения Шредингера

4.1 Приближенное решение НУШ во всём пространстве ....

4.2 Приближённая операторная экспонента и схема расщепления по физическим процессам ...............

4.3 Краевые задачи для нестационарного уравнения Шредингера ................................

4.3.1 Постановка краевых задач...............

4.3.2 Сохранение интегралов движения ..........

4.3.3 Приближенная операторная экспонента, оценка погрешности ........................

4.4 Неустойчивость периодических решений одномерного нелинейного уравнения Шредингера................

4.5 Множественное дробление волновых структур в нелинейной среде .............................

Численное моделирование уравнений Захарова

5.1 Одномерные уравнения Захарова...............

5.1.1 Сохранение интеграла энергии............

5.1.2 Тестовый пример....................

5.2 Уравнения Захарова со сферической симметрией......

5.3 Двумерные векторные уравнения Захарова.........

5.3.1 Примеры и их анализ..................

5.4 Моделирование уравнений Захарова с затуханием.....

5.4.1 Анализ способов введения затухания в уравнения Захарова .........................

5.4.2 Уравнения Захарова с модельным затуханием Ландау .............................

5.4.3 Построение приближенного решения уравнений Захарова с затуханием методом расщепления по физическим процессам...................

5.4.4 Построение алгоритма с предиктором........

5.4.5 Численный пример...................

5.4.6 Анализ результатов...................

Моделирование пространственно-временных структур электронных потоков и ЭМ полей

6.1 Пространственные структуры электронных потоков в скрещенных полях ..........................

6.1.1 Постановка математической задачи..........

6.1.2 Ветвление решения...................

6.1.3 Бриллюэновский поток электронов..........

6.1.4 Виртуальный катод...................

6.1.5 Решение в пролетном пространстве..........

6.1.6 Случай магнитного поля, зависящего от радиальной координаты.....................

6.1.7 Ветвление решения в случае переменного магнитного поля.........................

6.1.8 Релятивистский случай.................

6.2 Численное моделирование нестационарных процессов в лазерах на свободных электронах................

6.2.1 Уравнение взаимодействия электронного пучка с электромагнитной волной...............

6.2.2 Вычислительная схема "FOAM" для интегрирования уравнения движения электронов.........

6.2.3 Численное интегрирование уравнения для волны. .

6.2.4 Результаты тестирования и вычислительных экспериментов ........................

6.3 Вычислительная схема "FRO AM" для интегрирования уравнения движения электронов..................

Обратные задачи для периодически гофрированных волноводов

7.1 Общая постановка задачи ...................

7.2 Азимутально-симметричный случай.............

7.2.1 Сопротивление связи..................

iFOC. НАЦИОНАЛЬНАЯ , СИМ ПОТЕКА I СПстсгвург I

• OS W m

■ ii ■ г/ я

7.2.2 Нормальная составляющая электрического поля на поверхности гофрированного волновода.......

7.2.3 Потери в стенках гофрированных волноводов.... 7.3 Применение метода гармонических возмущений к расчету

периодически гофрированных волноводов..........

7.3.1 Постановка задачи...................

7.3.2 Круглый волновод....................

7.3.3 Численные результаты.................

7.3.4 Обратная задача ....................

8 Моделирование ускорительной секции суперколлайдера

8.1 Постановка математической задачи рассеяния.......

8.2 Проблемы аналитического решения .............

8.3 Задачи рассеяния в подводящих каналах..........

8.3.1 Самосогласованная задача в каналах.........

8.4 Оптимизация профиля каналов в асимптотическом пределе плоской геометрии.....................

8.5 Основные идеи метода дискретных источников и особенности их применения для расчетов ускорительных секций суперколлайдеров ........................

8.6 Функции Грина объемлющей области............

8.6.1 Случай граничных условий первого рода......

8.6.2 Случай граничных условий третьего рода......

8.6.3 Случай условий излучения Зоммерфельда.....

8.6.4 Случай плоской геометрии...............

8.7 Модельная задача рассеяния электромагнитных волн в канале коллайдера в случае плоской геометрии.......

8.7.1 Метод дискретных источников в модельной задаче рассеяния.........................

8.7.2 Процедура регуляризации...............

8.7.3 Численные результаты и выводы...........

8.8 Обратная спектральная задача................

8.8.1 Тестовая задача.....................

8.8.2 Численные Результаты.................

8.9 Оптимизация структуры поля в параксиальной области . .

9 Заключение

10 Приложение. Введение в теорию пространств

Алексей Дмитриевич Юнаковский

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ САМОСОГЛАСОВАННЫХ СТРУКТУР В ПЛАЗМЕ И ЭЛЕКТРОННЫХ ПОТОКАХ

Автореферат

Подписано к печати 12.09.2005 г. Формат 60 х 90 '/и. Бумага офсетная № 1. Усл. печ. л. 2,25. Тираж 120 экз. Заказ №90(2005). Бесплатно

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН, 603950 Н. Новгород, ул. Ульянова, 46

1714'

РНБ Русский фонд

2006-4 11261

«

1 Сеточные методы решения одномерного нестационарного уравнения Шредингера.

1.1 Применение метода сеток для решения нестационарной задачи самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда.

1.2 Применение операторного компактного неявного метода для решения нестационарного уравнения Шредингера.

1.3 Схема повышенной точности.

2 Сеточные методы для двумерного нестационарного уравнения Шредингера

2.1 Исследование стационарного разряда в пересекающихся волновых пучках методом сеток.

2.2 Применение метода Бунемана для решения нестационарного уравнения Шредингера.

2.2.1 Применение метода Бунемана в схеме расщепления при решении нестационарного уравнения Шредингера

2.2.2 Соединение операторного компактного неявного метода с методом Бунемана.

2.2.3 Случай цилиндрической симметрии.

2.3 Численное моделирование двумерной сильной леигмюровской турбулентности

3 Основные используемые функциональные методы

3.1 Метод осредненной операторной экспоненты для решения задачи Коши.

3.2 Проблемы атракторов траекторий непрерывного спуска для квадратичной формы полуограниченного оператора на единичной сфере

3.3 Применение преобразования всплесков при решении краевых задач.

3.3.1 Обозначения и определения конструкций всплесков

3.3.2 Постановка задачи.

3.3.3 Модельная задача.

3.3.4 Краевая задача с правой частью из W,L.

3.3.5 Краевая задача с правой частью из Vj.

4 Применение быстрого преобразования Фурье для решения нестационарного уравнения Шредингера

4/1 Приближенное решение НУШ во всём пространстве.

4.2 Приближённая операторная экспонента и схема расщепления по физическим процессам

4.3 Краевые задачи для нестационарного уравнения Шредингера

4.3.1 Постановка краевых задач.

4.3.2 Сохранение интегралов движения.

4.3.3 Приближенная операторная экспонента, оценка погрешности

4.4 Неустойчивость периодических решений одномерного иели

Ф иейного уравнения Шредингера.

4.5 Множественное дробление волновых структур в нелинейной среде.

5 Численное моделирование уравнений Захарова

5.1 Одномерные уравнения Захарова.

5.1.1 Сохранение интеграла энергии.

5.1.2 Тестовый пример.

5.2 Уравнения Захарова со сферической симметрией.

5.3 Двумерные векторные уравнения Захарова

5.3.1 Примеры и их анализ.

5.4 Моделирование уравнений Захарова с затуханием.'

5.4/1 Анализ способов введения затухания в уравнения Захарова 5.4.2 Уравнения Захарова с модельным затуханием Ландау

5.4.3 Построение приближенного решения уравнений Захарова с затуханием методом расщепления по физическим процессам.

5.4.4 Построение алгоритма с предиктором

5.4.5 Численный пример

5.4.6 Анализ результатов.

6 Моделирование пространственно-временных структур электронных потоков и ЭМ полей

6.1 Пространственные структуры электронных потоков в скрещенных полях.

6.1.1 Постановка математической задачи.

6.1.2 Ветвление решения.

6.1.3 Бриллюэновский поток электронов.

6.1.4 Виртуальный катод.17.

6.1.5 Решение в пролетном пространстве.

6.1.6 Случай магнитного поля, зависящего от радиальной координаты.

6.1.7 Ветвление решения в случае переменного магнитного поля.

6.1.8 Релятивистский случай.

6.2 Численное моделирование нестационарных процессов в лазерах на свободных электронах.

6.2.1 Уравнение взаимодействия электронного пучка с электромагнитной волной.

6.2.2 Вычислительная схема "FOAM" для интегрирования уравнения движения электронов.

6.2.3 Численное интегрирование уравнения для волны

6.2.4 Результаты тестирования и вычислительных экспериментов

6.3 Вычислительная схема "FROAM" для интегрирования уравнения движения электронов.

7 Обратные задачи для периодически гофрированных волно

Ш водов

7.1 Общая постановка задачи.

7.2 Азимутально-симметричный случай.

7.2.1 Сопротивление связи.

7.2.2 Нормальная составляющая электрического поля на поверхности гофрированного волновода.

7.2.3 Потери в стенках гофрированных волноводов

7.3 Применение метода гармонических возмущений к расчету периодически гофрированных волноводов.

7.3.1 Постановка задачи.

7.3.2 Круглый волновод.

7.3.3 Численные результаты.

7.3.4 Обратная задача.

8 Моделирование ускорительной секции суперколлайдера

Ъ 8.1 Постановка математической задачи рассеяния

8.2 Проблемы аналитического решения.

8.3 Задачи рассеяния в подводящих каналах.

8.3.1 Самосогласованная задача в каналах.

8.4 Оптимизация профиля каналов в в асимптотическом пределе плоской геометрии.

8.5 Основные идеи метода дискретных источников и особенности их применения для расчетов ускорительных секций суперкол-лайдеров

8.6 Функции Грина объемлющей области.

8.6.1 Случай граничных условий первого рода.

8.6.2 Случай граничных условий третьего рода.

8.6.3 Случай условий излучения Зоммерфельда

8.6.4 Случай плоской геометрии фк 8.7 Модельная задача рассеяния электромагнитных волн в канале коллайдера в случае плоской геометрии.

8.7.1 Метод дискретных источников в модельной задаче рассеяния

8.7.2 Процедура регуляризации.

8.7.3 Численные результаты и выводы

8.8 Обратная спектральная задача.

8.8.1 Тестовая задача

8.8.2 Численные Результаты.

8.9 Оптимизация структуры поля в параксиальной области

Ни одна область современной науки не обходится без численных расчётов. Задачи изучения процессов, описываемых в физике, технике, экономике, биологии и т. д. уравнениями и системами дифференциальных уравнений, требуют как совершенствования аналитических методов, так и создания достаточно простых дискретных математических моделей изучаемых процессов. Оба пути имеют одну цель - получение содержательных численных результатов современными ограниченными вычислительными средствами. Особенно важно уметь использовать всю вычислительную мощь современных компьютеров.

Можно в самом общем случае сформулировать основные трббовннIIм. предъявляемые к алгоритмам при численном моделировании. К ним относятся: универсальность метода и его высокая разрешающая способность, что позволяет от идеализированных задач переходить к более реальным: высокая скорость при снижении точности и принципиальная возможность повышения точности до любой необходимой величины; алгоритмическая простота, удобство для программирования, доступность для программистов любой квалификации. Конечно, переход к ЭВМ нового поколения всякий раз существенным образом меняет наши представления о математических моделях, вычислительных методах, алгоритмах и программах. Однако общие требования простоты, универсальности, эффективности всей цепочки модель - алгоритм - программа оставались всегда неизменными. Менялись только пути их достижения. Упрощались алгоритмы и программы и совершенствовались модели, приближаясь к реальным физическим условиям.

Отнюдь не праздной является проблема поиска оптимального алгоритма, т.е. обеспечивающего минимальность вычислительных ресурсов, необходимых для решения заданного класса задач с требуемой точностью на компьютерной системе определенного типа. Смысл понятия "алгоритм" очевиден, но используется в математической литературе по-разному. Строго говоря, определение алгоритма или метода не ограничивается описанием его формулы, а распространяется вплоть до конкретной программной реализации. Различия в теоретических оценках эффективности различных вычислительных процессов могут совершенно нивелироваться или искажаться расхождениями в качестве их программных текстов.

К другим важным свойствам относятся удобство и естественность распараллеливания вычислений, простота логической организации процесса вычислений и возможность быстрой визуализации. Успех решения задачи в основном связан с правильным и корректным построением всего цикла алгоритмического процесса получения численного решения и его интерпретации.

В некотором смысле построение реалистичных дискретных математических моделей является простым. Реалистичные модели имеют, однако, неприятную особенность быстро исчерпывать память и скоростные возможности современных вычислительных машин. Прогресса можно достичь либо при искусном упрощении математической модели, позволяющем проводить содержательные численные исследования, либо когда аналитические достижения позволят изучить структуру решения и расширить класс процессов, которые ранее считались слишком сложными.

Предметом исследования в диссертации являются задачи физики плазмы, электроники, электродинамики и теории рассеяния. В диссертации проведено изучение структуры решения ряда таких задач, проведен поиск новых, неизвестных ранее структур решения и осуществлен синтез электродинамических структур, формирующих поля заданной конфигурации.

Слово "структура" происходит от латинского устройство, построение. Понятие структуры широко распространено в химии, биологии, физике и т.п. Исследование процессов возникновения пространственных структ)ф и их разрушения — переход к хаосу — является фундаментальной задачей не только для физики плазмы и механики жидкости и газа, но и вообще для нелинейной физики. Изучению структуры газового разряда, структуры поля в волноводах, структуры волн, двигающихся без искажения - солитонов, -структуры пучка электронов и пространственного заряда, создаваемого ими в электронных приборах, структуры каверн при образовании и обрушении коллапсов плазменных волн, составляющих предмет исследования диссертационной работы, посвящено огромное количество работ. Разнообразие назначений и применений подобных структур и значительная математическая сложность описания происходящих в них физических процессов требуют постоянных теоретических и экспериментальных исследований. Если удается описать такую структуру аналитически, то полученное выражение является решением линейного или нелинейного уравнения или системы уравнений в частных производных. Чаще всего получившаяся функция обладает свойством бесконечной дифференцируемое™ или аналитичности. При создании эффективных алгоритмов поиска приближенного решения этих уравнений необходимо учитывать эту колоссальную априорную информацию. Традиционные методы конечных разностей и конечных элементов, применяемые при этом, почти не используют информацию о гладкости решения, т.е. это так называемые методы с насыщением.

Термин "насыщение" введен К.И.Бабенко [20] . Явление насыщения метода приближения характеризуется тем, что пока гладкость приближаемой функции невелика, приближение в некотором выбранном классе по порядку равно наилучшему, т.е. улучшить порядок приближения нельзя. Этот класс является тем рубежом, при переходе через который дальнейшее увеличение гладкости не может повлиять на порядок приближения, и он остается таким же, как для функций этого класса. Его называют классом насыщения, а величину порядка приближения -порядком насыщения метода приближения.

Для спектральных задач расширение этого понятия сделано С.Д.Алгази-ным [6]. Если скорость стремления к нулю невязки при нахождении спектра зависит от гладкости собственной функции и чем выше гладкость, тем быстрее невязка стремится к нулю, то это и означает, что алгоритм поиска собственного значения не имеет насыщения.

Цитируя доклад Ингрид Добеши на Международном конгрессе математиков в Цюрихе, 1999г., можно сказать: "У математиков есть разные способы оценки новых теорий и конструкций. Одним важным критерием является эстетика - некоторые разработки просто "ощущаются" правильными, подходящими и красивыми. . Другим важным показателем ценности того или иного раздела математики является мера его полезности в приложениях: это почти единственный критерий, используемый нематематиками'.

Целью диссертационной работы является является разработка новых ♦ принципов построения эффективных алгоритмов без насыщения для нахождения решений как стационарных, так и нестационарных задач, описывающих сложные физические явления физики плазмы и электроники и представляющих теоретический и практический интерес.

Задачей диссертационной работы являлось также выяснение конкретных количественных и качественных закономерностей протекания ряда процессов, возникающих в плазме при возникновении коллапса ленгмюровских волн и при распространении и внутренней дифракции электромагнитных волн в сложных волноведущих системах СВЧ-диапазона.

Средством решения всех этих задач служат новые разработанные алгоритмы, обладающие указанным свойством "ненасыщаемости".

Отличительной чертой алгоритма без насыщения является минимально возможное число дискретных переменных, необходимых для нахождения п. естественно, для описания искомых структур. Под термином " ненасыщаемость" или "слабая насыщаемость" в применении к поиску решений несга-^ ционарных задач будем понимать использованное в [228] понятие "долгоживучесть" алгоритма. Оно обозначает, что для достижения эффекта "иена-сыщаемости" необходимо должна использоваться аппроксимация высокого порядка. Однако при нахождении численного решения получившейся достаточно "заполненной" системы быстро копится ошибка метода поиска решения. Поэтому "слабо насыщаемыми" являются развиваемые в диссертации методы, когда алгоритм поиска решения достаточно прост и медленно копит ошибку. В сеточных методах, рассмотренных в первой и второй главах, "слабо насыщаемым" является,например, алгоритм, при реализации которого при нахождении решения уравнения, аппроксимированного на пятиточечном по одной пространственной координате шаблоне, обращать приходится только трехдиагональную матрицу. Такой алгоритм достаточно медленно копит ошибку метода вычислений и позволяет вести процесс счета до больших времен.

Л Переход к расчетам в образах Фурье и использование свойств этого математического аппарата делают его эффективным средством решения как нестационарных, рассмотренных в четвертой и пятой главах, систем уравнений в частных производных, так и стационарных, рассмотренных в седьмой главе. "Ненасыщаемость" алгоритма или, более точно, "слабая насыщаемость" алгоритма вычислений является следствием того факта, что при удвоении, как это принято в численном анализе, числа дискретных точек с N до 2N, точность нахождения, например, последнего из коэффициентов конечной суммы, пропорциональная отброшенному ряду, резко возрастает и для iV-ro коэффициента становится пропорциональной коэффициенту с номером 3N [208, 225]. Это свойство позволяет считать нестационарные задачи с большим числом шагов по времени. Для задач, рассмотренных в четвертой и пятой главах, где изучаются структура решения с особенностью, развивающейся за конечное время, число шагов возрастает за счет дробления при приближении к точке особенности. Подобные характерные особенности поведения решений этого уравнения требуют тщательного отбора классов их конечномерных приближений и способов описания эволюции этих прмбли-■■0 жений. Кроме того, выяснилось, что структуры у решений с особенностью особенно ярко проявляются именно в образах Фурье решения, где можно изучать возникающий "структурированный хаос".

При изучении структуры пространственного заряда, рассмотренного в шестой главе, была найдена "ненасыщаемая" аппроксимация, т.е. найдено подпространство, базис которого состоит из всплесков с компактным носителем - всплесков Добеши и Койфлетов [253, 254]. Процесс: ветвления решения в этом базисе сводится к переходу главной части соответствующего решения на более высокий уровень всплесков и обращению в нуль некоторых коэффициентов разложения на новом уровне. Краткое изложение кратномасштабного анализа всплесков приведено в разделе 3.3.

При решении как прямых, так и обратных спектральных задач, рассмотренных в седьмой главе, свойство "слабой насыщаемости" позволяет находить дисперсионные характеристики гофрированных волноводов, используя практически минимальное (^32) число гармоник даже для глубоких гофр.

В восьмой главе при решении обратной спектральной задачи рассеяния, т.е. нахождения такой поверхности рассеивателя, которая преобразует падающую плоскую волну в стоячую волну заданной структуры, эффект "ненасыщаемости" был достигнут при моделировании полей с особенностями в окрестности угловых точек. Решение задачи рассеяния ищется там методом дискретных источников. В окрестности угловых точек или ребер поверхности. источники размещаются на петле сдвинутого контура, как бы моделируя диполь в точке интегралом по окружающему его контуру. Таким образом односвязному участку периодической границы области ставится в соответствие внутренний контур с петлей на нем или двусвязный контур. Это позволило избавиться от накопления источников к угловой точке и существенно сократить их число для описания поля с особенностью,

В третью главу вынесены методы решения функциональных уравнений, на основе которых в дальнейших главах строятся приближенные численные методы нахождения решений различных физических задач. Основы их конструирования, изложенные вместе с решением прикладных задач, затруднили бы восприятие последних. Отметим также, что свойства траекторий непрерывного спуска, рассмотренные в разделе 3.2, позволяют не только прогнозировать поведение обратной задачи рассеяния, рассмотренной в восьмой главе, но и находить критерий оценки качества проведенного синтеза границы рассеивателя.

Принципы построения приближенного решения, развиваемые в диссертационной работе

Нелинейное Уравнение Шредингера (НУШ) обладает чрезвычайно высокой универсальностью и применяется для описания волновых процессов во многих областях физики. Для многих систем уравнений, характерным примером которых служит система уравнений Захарова, в которые оно входит составной частью, именно оно определяет скорость протекающих процессов.

Существует много разных методов и численных схем нахождения приближенного решения нестационарных систем уравнений в частных производных, начиная от классического метода прямых (см., например, [211]), когда дифференциальный оператор по пространственным переменным заменяется конечно-разностным, а получившаяся при этом конечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений решается методом типа Рунге-Кутта (сюда же относится и схема предиктор - корректор), - и кончая комбинированным или гибридным методом, когда на конечной стадии образования особенности моделирование ведётся методом многих частиц [257|.

В случае двух пространственных переменных часто используется метод переменных направлений. Применение этого метода к нестационарному уравнению Шредингера описано в книге [186]. Однако у этого метода есть явно выделенное "первое" пространственное направление, что мешает на больших временных интервалах сохранять заложенную в начальных данных симметрию, а также контролировать результаты, когда структура получаемого решения теряет изначальную симметрию и становится слоистой. Пример такого поведения решения рассмотрен в разделе 2.1

При решении нестационарных задач рассматривались лишь некоторые методы - "слабо насыщаемые" или "долгоживущие," - дающие возможность при численном моделировании произвести очень большое число шагов по времени. Немаловажную роль при выборе метода счета играет простота реализации взятого алгоритма, возможность сделать это, не привлекая себе в помощь коллектива сотрудников для программирования. Проблема правильного составления большой программы так и остаётся нерешённой. Начиная с некоторого уровня сложности появление непредвиденной ошибки становится неизбежным. Поэтому речь идёт о том, чтобы остаться в допустимых пределах.

Использованный в работе метод "расщепления по физическим процессам" [161] состоит в сведении исходной эволюционной задачи, описывающей сложный физический процесс, к решению последовательности задач, описывающих процессы более простой физической природы. Приближённо это удаётся сделать на основе аддитивности рассматриваемых процессов в малом. В четвертой и пятой главах показано, что схема "расщепления по физическим процессам" строится путем последовательных операторных замен неизвестной функции на малом интервале. Как спектральные методы, развиваемые в четвертой и пятой главах, так и сеточные, применявшиеся в первой и второй главах, могут быть использованы для реализации отдельных операторов схемы расщепления. Этот путь позволяет наиболее просто сделать обобщения на случай двух пространственных переменных. При проведении замен на первом этапе мы стремимся осуществить переход от уравнения или системы уравнений с неограниченными по пространственным координатам операторами к уравнениям с ограниченными операторами. Такой переход существенно расширяет возможности последующего численного моделирования.

Реализация схемы расщепления сводится к последовательному решению задач Коши для достаточно простых и, - что немаловажно, - знакомых уравнений. За начальные данные для последующего уравнения берутся результирующие значения предыдущего. Каждая из этих задач может быть решена отдельно. Необходимо следить лишь за тем, чтобы решение каждого из уравнений в схеме расщепления удовлетворяло граничным условиям исходного уравнения.

На заданном малом отрезке (to,to + At) мы стремились построить такое приближенное решение задачи, которое кроме высокого порядка аппроксимации обладает ещё и тем свойством, что в начальной и конечной точках рассматриваемого интервала производные по времени приближенного решения совпадают с производными точного решения, определяемыми по исходному уравнению. Естественно, что в конечной точке t0 + At мы попадём на другую, близкую траекторию, но с производной, соответствующей Е h 2 t0 +А/

Рис. 0.1 Характер построенного приближенного решения именно этой траектории ( см. рис. 0.1. ). При этом ошибка на шаге, т.е. разность между точным и приближенным решением обладает в начальной и конечной точках шага счета нулевой производной по времени. В сочетании с высоким порядком аппроксимации это свойство, как и при сплайн - аппроксимации, существенно уменьшает накопление ошибки. При этом если у решения уравнения Е(т) , to < т < to + At есть инвариант 1(Е(т)) = const , то автоматически выполняются равенства для приближенного решения Еар{т) в начальной и конечной точках рассматриваемого интервала.

При построении неявного алгоритма мы стремились в случае нелинейного уравнения получить в точке tQ + At наиболее простую алгебраическую (трансцендентную) систему уравнений относительно E(to + At) и отыскать ее решение. Наиболее эффективными являются алгоритмы, в которых удается найти аналитическое решение каждого уравнения схемы расщепления.

Ненасыщаемые" или "слабо насыщаемые" алгоритмы позволяют достаточно эффективно находить и изучать сложные структуры, возникающие при развитии различных физических процессов, используя минимально возможное количество дискретных переменных. Описанные выше принципы их построения вырабатывались при разработке алгоритмов решения ряда конкретных физических задач и анализе получаемых результатов. При этом ставились следующие цели:

1. Изучение нестационарных нелинейных эффектов самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда, для чего требовалось разработать ряд сеточных методов, преследуя цель нахождения "дол-гоживущего" метода, обладающего свойствами "слабой насыщаемости", что позволило бы вести счет до больших времен и изучить структуру получающихся в результате образований и сравнить ее со структурой разряда. 0 получаемой в результате эксперимента.

2. Исследование стационарного разряда в пересекающихся волновых пучках, для чего потребовалось разработать ряд двумерных по пространству сеточных методов, преследуя цель получения алгоритма с повышенной точностью аппроксимации, но требующего в то же время минимального возможного числа операций при нахождении численного решения.

3. Одной из целей диссертационной работы являлся учет характерных особенностей поведения решений НУШ уравнения для тщательного отбора классов их конечномерных приближений и способов моделирования эволюции этих приближений. Изучение получаемых в результате эволюции структур является еще одной целью, для достижения которой потребовалсь разработка целого ряда "слабо насыщаемых" алгоритмов, дающих возможность реализации большого числа временных шагов.

4. Исследование двумерной сильной ленгмюровской турбулентности, когда самовоздействие потенциальных колебаний сопровождается генерацией вихревых полей и наоборот. Для этого потребовалось разработать такой способ аппроксимации и метод расчета, который позволил бы полностью разделить потенциальную и вихревую составляющие поля, взаимодействие которых в этом случае было бы избавлено от всех взаимных паразитных влияний, всегда присутствующих в сеточных методах счета.

5. Изучение стационарных состояний трубчатого потока электронов в пролетном пространстве, являющихся исходными при анализе нестационарных процессов в однородных и неоднородных магнитных полях, нахождение класса функций, в котором описание пространственного заряда и процессов ветвления осуществляется минимальным набором данных.

6. Синтез электродинамических систем в виде плавно гофрированных волноводов, обеспечивающих создание благоприятных условий для канализации сильноточных пучков электронов при эффективном их взаимодействии с высокочастотным полем.

7. Синтез структуры электродинамической системы нового типа - секции суперколлайдера, обеспечивающей формирование волнового поля с возможно большей величиной пространственной гармоники, синхронной инжектируемым электронам, и проведение ее оптимизации.

Особое внимание в диссертации обращается на выявление самого пути построения метода приближённого решения задачи, в конце которого найти решение новой поставленной дискретной задачи может компьютер.

Повышение эффективности программ - важнейшая задача, решение которой невозможно без новых алгоритмов. Часто бывает так, что построить алгоритм легче, чем понять, как он работает и что он может дать в результате. Обычно проверка работы алгоритма начинается с изучения его устойчивости. Приходится особенно опасаться даже небольшой неустойчивости, которая, приводя к росту хотя бы даже одной из компонент решения, может понизить точность и вообще испортить все численные результаты. Важным свойством алгоритма является удобство и естественность распараллеливания вычислений, простота логической организации процесса вычислений и возможность быстрой визуализации. Успех решения задачи в основном связан с правильным и корректным построением всего цикла алгоритмического процесса получения численного решения и его интерпретации. 11 У нас жалуются на неэффективность использования вычислительной техники. Как правило, вина сваливается на недостаточность программного обеспечения. Но если проанализировать ситуацию внимательнее, то обнаружится, что причина кроется в отсутствии алгоритмического обеспечения. При наличии алгоритмов разработка программы - это уже вопрос времени, но без алгоритмов сдвинуться с места вообще нельзя." 1

Экономичность вычислительного процесса в широком смысле слова может быть понята только в рамках всей технологической цепочки вычислительной математики. Главный недостаток ЭВМ состоит в том, что каждая задача, для которой она может быть применена, должна быть приведена, часто довольно утомительным способом, к последовательности арифметических задач. С учётом больших затрат на программирование, окончательная оценка качества алгоритма должна определяться не только количеством времени расчёта на ЭВМ, но и затратами человеческого времени на программирование, отладку, тестирование и усовершенствование программы. Кроме того, работа программиста, отлаживающего большую программу, напоминает работу авиадиспетчера: и тот и другой должны обладать способностью видеть "картинку" целиком, интуитивно предвидя возможные ослол<нения. Особенно важно наличие такого "диспетчера" при работе коллектива программистов над программным комплексом.

Научная новизна результатов диссертации относится к моменту их опубликования и состоит как в разработке новых принципов и оригинальных подходов при численном моделировании, так и в обнаружении новых, не исследованных физических эффектов и свойств рассмотренных моделей.

Научную новизну проделанной работы характеризуют следующие основные достижения:

1. Разработаны новые методы построения неявных двух и трехслойных разностных схем счета с разным числом узлов на слоях для одномерных по пространству систем уравнений, включающих в себя нестационарное уравнение Шредингера, обладающие свойством "слабой насыщаемости" за счет высокого порядка аппроксимации, обращения только трехдиагональ-ных матриц и организации алгоритма счета без вычисления разностных аналогов вторых производных, являющихся основным источником накопления ошибки счета.

2. Разработаны новые схемы счета для двумерных по пространству систем уравнений, включающих в себя нестационарное уравнение Шредингера, обладающие свойством "слабой насыщаемости" за счет комбинации операторного компактного неявного метода с методом Бунемана, что позволило повысить порядок аппроксимации, сохранив минимальное число операций (NlnN) на каждом временном шаге.

3. Доказана возможность с высокой точностью находить приближенное решение линейных операторных уравнений с переменными коэффициентами с помощью операторной экспоненты от усредненного оператора правой части.

4. Построено аналитическое решение задачи непрерывного спуска для квадратичного функционала на единичной сфере, позволившее найти критерии качества в задачах синтеза электродинамических систем ускорительной секции суперколлайдера.

Дородницын А.А. Информатика: предмет и задачи. - Природа, 1985. No 2, с. 26 - 29.

5. Разработаны новые операторные методы нахождения приближенных решений нелинейного уравнения Шредингера, в том числе и описывающего самовоздействие широкого класса волн, поверхности волновых векторов у которых имеют седловую точку (например, гравитационные волны на глубокой воде [110] , плазменные колебания в замагниченной плазме [152] ).

6. Показано, что использование приближенной операторной экспоненты, осуществляемое с помощью БПФ, может быть интерпретировано как вариант схемы расщепления по физическим процессам. С ее помощью обнаружены кольцевые структуры у вихревой составляющей электрического поля в модели Захарова описания ленгмюровской турбулентности.

7. Разработан новый подход к описанию пространственного заряда, образованного трубчатым электронным потоком в скрещенных полях и найдены необходимые условия ветвлений решений стационарной системы Власова - Пуассона.

8. Разработан новый принцип конструирования и размещения дискретных источников при решении прямых и обратных задач электродинамики сложных волноведущих СВЧ-структур, пригодный для описания с высокой точностью эффектов рассеяния в плоских и радиальных волноводных систем.

9. Смоделирована электродинамическая система нового типа (в частности, ускорительная секция электрон - позитронного коллайдера), обеспечивающая формирование волнового поля с возможно большей величиной пространственной гармоники, синхронной инжектируемым электронам, и проведена ее оптимизация. Предложен новый способ размещения источников, позволяющий эффективно рассчитывать системы со сложной геометрией.

Отметим ещё раз, что в диссертационной работе отражено стремление получить просто реализуемый алгоритм, хотя способ его получения может оказаться достаточно сложным. Однако весьма важным является то, что понимание этих алгоритмов не вызывает затруднений. Они легко программируются и просты в употреблении. Простота реализации существенно ускоряет процесс написания программ, сокращает число ошибок программирования и в конечном итоге быстрее приводит к успеху.

Диссертация состоит из введения, восьми глав и заключения.

Выводы и перспективы гл. 8

1. Найдено аналитическое выражение для внутреннего профиля системы колец, составляющих ускорительную секцию суперколлайдера, обеспечивающих формирование требуемого поля в приосевой области, для подвода энергии в такой системе используются неоднородные междисковые каналы. Найдено аналитическое решение задачи оптимизации профилей двух соседних волноводных каналов в плоской геометрии для создания максимальных по амплитуде, но противоположных по фазе полей на выходах из каналов. Показана возможность с помощью дополнительных проточек достичь любой наперед заданной амплитуды поля на выходе из каналов. Из результатов расчетов вытекает, во-первых, принципиальная возможность обеспечить синфазность полей на периферии соседних каналов при одновременной их противофазности на входе в резонатор, используя только одну проточку в каждом канале.

Во-вторых, фазовые отклонения численного решения от асимптотического при dmin < А/8 составляют проценты.

2. Найдено аналитически и подтверждено численными расчетами для возмущений границы минимальное значение внутреннего диаметра колец суперколлайдера, при котором максимум полного электрического поля находится в нижней точке поперечного сечения кольца, т.е. на максимальном удалении от соседней секции, обладающей зарядом противоположного знака. Вероятность пробоя при этом минимальна.

3. Разработан и реализован алгоритм метода дискретных источников решения двумерного эллиптического уравнения типа уравнения Гельмгольца в цилиндрической геометрии для установления возможности создания конструкции системы колец с одной проточкой в канале. В качестве источников предложено выбирать функцию Грина задачи рассеяния минимальной объемлющей области. Данный алгоритм использован для расчетов параметров секции суперколлайдера в проведенном в ИПФ РАН эксперименте.

4. Методом дискретных источников смоделирована полная задача рассеяния и достигнут устойчивый режим формирования требуемых электромагнитных полей, когда а) малые отклонения параметров системы (взаимное расположение проточек и их положение по отношению к внешней кромке колец) не вызывают разрушения требуемой структуры полей. б) возможна оптимизация параметров структуры, т.е. выход на такие их значения, когда формируемые поля содержат только требуемые составляю-4 гцие, а вклад паразитных составляющих сведен к минимуму.

Создана новая методика расположения дискретных источников как в окрестности регулярных участков границы, так и в окрестности угловых точек. Это позволило избавиться от накопления источников и точек коллокации к угловой точке и существенно сократить их число для описания поля с особенностью в окрестности угловой точки.

5. На основе численных расчетов определено, при какой предельно допустимой глубине проточки справедливы сделанные в проекте оценки погрешности изготовления каналов (ширины, глубины и расположения проточек), а также определен предельный поперечный размер более широкого канала, при котором сохраняется прочность конструкции. Широкий канал соответствует проточке в диске. Остающаяся при двух встречных проточках толщина диска должна быть достаточно большой.

6. Предложено использовать дополнительный демпфирующий желоб не W только для предотвращения пробоя, но и как дополнительный резонатор на используемой основной временной частоте. Расположенная на достаточно малом радиусе, верхняя граница этого желоба сможет минимизировать полную микроволновую энергию в получившейся системе из двух резонаторов, не уменьшая амплитуды требуемой гармоники. В качестве конечного результата вычислительного эксперимента была сконструирована система связанных резонаторов различной конфигурации на одну и ту же частоту. По результатам расчетов в отделе электроники больших мощностей Института прикладной физики РАН изготовлена секция суперколлайдера и проведен "холодный" эксперимент по исследованию электродинамических характеристик полученной системы. Эксперимент подтвердил хорошие резонансные свойства исследуемой связанной системы резонаторов.

7. Проведено исследование возможности появления аномалии Вуда во внешней по отношению к системе колец области и вносимые ею изменения в

• структуру полей. При ее появлении во внешней части колец только у магнитного поля образуется стоячая волна большой амплитуды. У электрического поля этой составляющей нет.

8. Создана методика решения спектральной задачи на основе сингулярного разложения матрицы системы линейных алгебраических уравнений. Для системы связанных резонаторов потребовалось разработать более тонкую и быстродействующую методику нахождения границ области с дополнительным резонатором, а также изменившимся в связи с этим положением уступов в подводящих каналах.

В окрестности углов проточек решение является неоднородным по продольной координате z, однако при удалении от угловой точки по радиальной координате г эта неоднородность экспоненциально спадает. Это спадание тем быстрее, чем уже канал (см. Рис. 8.9). Вычислительные эксперименты по сглаживанию острия скруглениями различных радиусов показывают, что сама особенность исчезает, а решение вне малой окрестности острия меняется незначительно, что и даёт основание утверждать, что сглаживание профилей канавок слабо влияет на решение.

• При этом в случае, когда зазоры узкого и широкого каналов dmin и dmax стремятся к нулю, имеет место сходимость численного решения задачи рассеяния к асимптотическому (см. Рис. 8.10).

9 Заключение

Основные научные результаты работы заключаются в следующем:

1. Разработаны эффективные методы решения систем уравнений, включающих одномерное нестационарное уравнение Шредингера. Основу этих методов составляет тождество Марчука, позволяющее конструировать необходимые для описания моделируемых процессов численные алгоритмы без насыщения как на равномерной, так и на неравномерной сетке. Это приводит к существенному уменьшению числа дискретных переменных.

• Проведено формальное доказательство способа наращивания длины шагов сетки, предложенного А.А.Самарским, для перехода от области, где необходим мелкий шаг для описания поведения функции, к области, где достаточно использовать аппроксимацию с крупным шагом. Оно основано на интегральной форме записи ошибки аппроксимации. При этом сохраняется одинаковый порядок аппроксимации функции и ее первой и второй производных во всех узлах сетки.

• Упрощен вычислительный процесс нахождения приближенного решения с помощью схем операторного компактного неявного метода, который позволяет, не ухудшая повышенного порядка аппроксимации разностной схемы, уменьшить ошибку метода вычислений за счет организации алгоритма без нахождения разностных аналогов вторых производных, являющихся основным источником накопления ошибок.

• Проведено моделирование самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда с помощью разработанных методов. Исследованы режимы как быстрого выхода на стационарное состояние, так и развития сложной мелкомасштабной структуры. Полученные численные результаты находятся в хорошем согласии с результатами экспериментальных наблюдений.

2. Разработаны и успешно применялись трехслойные по временной переменной разностные схемы для решения как скалярных, так и векторных нестационарных уравнений Шредингера с двумя пространственными переменными.

• Разработана методика построения схем повышенной точности, предложен экономичный аналога метода Бунемана прямого решения системы разностных уравнений. Метод требует (N\ogN)2 действий. Здесь N - число узлов по каждой из пространственных координат. Экономичность предложенного метода делает его перспективным для работы в непрямоугольных областях, где возможно применение альтернирующего метода Шварца.

• Сделана оценка возможности отделения сеточных потенциальной и вихревой частей поля на схемах повышенной точности.

• Исследована структура стационарного СВЧ разряда в пересекающихся волновых пучках с помощью разработанных методов . Проведено сравнение численных результатов с экспериментальными данными. Показано их хорошее качественное согласие.

• Проведено численное моделирование двумерной сильной ленгмюровской турбулентности, когда самовоздействие потенциальных колебаний сопровождается генерацией вихревых полей и наоборот. Показано, что лишь введение модельного затухания Ландау дает стабилизацию поперечной неустойчивости солитонов.

• Разработанные сеточные методы использовались в качестве контроля для всех уравнений и систем глав 3-5 на начальной стадии рассматриваемых процессов.

3. Получены теоретические основы методов решения функциональных уравнений, на основе которых найдены критерии методов оптимизации и построены приближенные методы нахождения решений различных физических задач.

• Доказана возможность использования усредненного по времени оператора правой части при решении задачи Коши для получения приближенного решения с точностью О (At3). Этот теоретический результат используется в главах 4 и 5 при построении приближенной операторной экспоненты.

• Найдено аналитическое решение задачи поиска траектории непрерывного спуска для квадратичной формы самосопряженного оператора на единичной сфере и проведены оценки градиента соответствующего функционала. Показано, что в случае, когда нижняя точка спектра взятого оператора принадлежит непрерывному спектру, градиент функционала может быть столь мал, что расходится интеграл от рассматриваемого функционала, взятый вдоль траектории спуска. Подобные функционалы используются в гл.8 при поиске оптимальных границ электродинамических систем ускорительных секций суперколлайдеров.

• Предложен метод решения краевых задач для ОДУ с помощью преобразования вейвлетов. Он позволяет получить простые формы влияния пограничной области (линейные, не требующие хранения дополнительной информации) на решение во внутренней части области для всех видов граничных условий, включая условия третьего рода. Это открывает перспективы использования многогмас-штабного преобразования вейвлетов для нахождения решения в по-гранслое и при распараллеливании процесса решения краевых задач. При этом получаются линейные алгебраические системы уравнений с сильным диагональным преобладанием, что существенно облегчает поиск решения.

4. Проведено исследование применения БПФ для решения нестационарного уравнения Шредингера. Показано, что использование приближенной операторной экспоненты, осуществляемое с помощью БПФ, может быть интерпретировано как вариант схемы расщепления по физическим процессам. На каждом временном слое строится в каждой пространственной точке независимое нелинейное уравнение, что существенно упрощает алгоритм счета и сокращает обьем вычислений.

• Проведен анализ возможности использования БПФ для различных типов граничных условий и исследованы возможности получения алгоритмов без насыщения.

• Проанализированы численные аналоги двух первых интегралов движения нестационарного уравнения Шредингера.

• Построено приближенное решение нестационарного уравнения Шредингера путем проведения последовательных операторных замен неизвестной функции. Замена проводится таким образом, чтобы в начальной точке производная по времени приближенного решения совпадала с производной точного решения, а в конечной точке интервала с соответствующей производной для той близкой к решению траектории, на которую выходит приближенное решение. Поэтому разность между точным и приближенным решениями в начальной и конечной точках временного шага обладает нулевой производной по времени. Сделанные оценки погрешности не только имеют порядок по времени 0(Д£3), но и являются лучшими из известных по пространственным переменным за счет аналитического вычисления с помощью БПФ операторных экспонент. Предложенный подход применен для нахождения приближенного решения систем уравнений, включающих нестационарное уравнение Шредингера.

• Исследована неустойчивость периодических решений уравнения Шредингера с кубичной нелинейностью, так называемых кноидальных волн, построена математическая схема возникновения "волн-убийц", аналогичная схеме развития так называемых аномалий Вуда. В линеаризованной задаче образуется ячейка Жордана, соответствующая нулевому собственному значению оператора, из присоединенных векторов которой и возникают аномальные решения.

• Продемонстрирована возможность успешного применения метода, основанного на схеме расщепления с использованием дискретного преобразования Фурье при нахождении решения нелинейного уравнения Шредингера гиперболически — параболического типа. Обнаружен новый тип самовоздействия волновых полей в нелинейных средах — множественное дробление волновых структур в нелинейной среде.

5. Предложен и реализован метод расчета уравнений Захарова, основанный на аналитическом вычислении операторных экспонент с помощью БПФ. Метод достаточно хорошо сбалансирован по временной и пространственным переменным, что невозможно сделать при использовании традиционных сеточных методов. В случае одной пространственной переменной метод протестирован на известном примере системы сталкивающихся солитонов.

• Для случая сферически симметричной системы уравнений, имеющей самостоятельное значение, например, для самофокусировки трехмерных квазиоптических пучков света, дополнительно разработана методика использования БПФ для счета сверток с функциями с особенностями, позволяющая избавиться от паразитного явления Гиббса и достигнуть с помощью просто реализуемых алгоритмов тех лее превышений значения поля в каверне над начальным значением, какие достигаются специально разработанными сложными методами массовой переменной.

Разработана методика счета двумерной по пространственным переменным векторной системы уравнений Захарова, основанная на БПФ и позволяющая полностью разделить потенциальную и вихревую составляющие поля, взаимодействие которых в этом случае избавлено от всех взаимных паразитных влияний, всегда присутствующих в сеточных методах счета. Ее численная реализация аналогична алгоритму метода разделения по физическим процессам.

Проведен анализ методики введения затухания в векторные уравнения Захарова на плоскости, а также проанализированы методы счета интегральных характеристик системы (инвариантов при отсутствии затухания).

Разработан метод счета векторных уравнений Захарова с затуханием на плоскости, обладающий теми же свойствами, что и метод счете консервативной системы, т.е. тогда, когда в начальной и конечной точках на шаге счета приближенное решение удовлетворяет исходной системе уравнений. Разность точного и приближенного решений в этих точках обладает нулевой производной по времени, а траектория приближенного решения касается близкой к искомому решению траектории.

Изучен механизм влияния друг на друга соседних каверн, образующихся при численном моделировании ленгмюровской турбулентности. Показано, что "звуковые дорожки" плотности плазмы возникают в случае наличия периодической структуры расположения каверн, что является весьма маловероятным событием. Локальный закон сохранения числа квантов в каверне для "решетки" каверн не выполняется.

Изучены процессы быстрой хаотизации вихревой части поля на стадии разрушения (схлопывания) каверны. Четко прослежены образование и рост кольцевых структур в образах Фурье у вихревой части поля и проанализирован механизм их образования. Это говорит о том, что для адекватного описания вихревой части поля необходимо вести его моделирование в образах Фурье. Более точно - при распараллеливании процесса вычислений требуется использовать локализованные тригонометрические базисы типа базисов Габора где функции wk(t) - оконные функции, хорошо локализованные в пространстве [94]. Применение этих базисов стало развиваться с появлением вейвлет - преобразований.

Перспективным является использование Быстрого Преобразования Ханкеля [228] .

Показана возможность в схеме расщепления по физическим процессам при расчетах нелинейной системы уравнений, предложенной В.Е.Захаровым [111] для описания явлений турбулентности в плазме, использовать одно из уравнений этой схемы в качестве предиктора для всей системы.

Отличительной особенностью построенного алгоритма является простота реализации на всех этапах вычислений и возможность распараллеливания процесса вычислений.

6. Найдена в работах [217, 31, 221, 231] связь между дифференциалом дуги огибающей семейства характеристик уравнения Власова и так называемым "приведенным пространственным заряда" в уравнении Пуассона, что позволяет свести задачу описания стационарного пространственного заряда, создаваемого потоком электронов в скрещенных полях к граничному интегральному уравнению относительно приведенного пространственного заряда.

• Случай монотонного движения огибающей соответствует единственному решению задачи. Образование петель огибающей семейства характеристик приводит к появлению дополнительных интегральных соотношений на приведенный пространственный заряд,-так называемым нелокальным граничным условиям (6.25), - которые являются условиями ветвления решения. Точки внутри петли огибающей соответствуют электронам со сложным многопетлевым движением.

• Изучение бифуркаций системы сводится к изучению устойчивости решений интегрального уравнения с дополнительными нелокальными условиями относительно малых возмущений функции распределения, т.е. количества электронов, двигающихся по многопетлевым траекториям. Тривиальному решению соответствует вырождение огибающей в точку, гарантирующее, что пучек электронов не "рассыпается" до внешних границ области, а остается локализованным в той области пространства, где приведенный пространственный заряд равен нулю.

Изложенный подход к задаче является новым. Для установления существования и исследования устойчивости решения системы квазилинейных интегральных уравнений с дополнительными нелокальными граничными условиями адекватным задаче кажется аппарат теории всплесков (wavelets). Компактность носителя образующей всплесков и возможность построения такой системы всплесков, для которой дополнительные нелокальные граничные условия являлись бы естественной связью всплесков разных уровней, позволяют надеяться на построение конечномерной приближенной модели задачи с виртуальным катодом при небольшом числе моделирующих элементов (базисных всплесков). Постоянное число элементов, связанных дополнительным нелокальным условием, облегчает проведение предельных переходов. Это высказывание хорошо согласуется с утверждением (см. [196]), что плотность пространственного заряда, как и всплесков Добеши, обладает сплошным широким спектром.

• Рассмотрено взаимодействия электронного пучка с электромагнитными полями в лазерах на свободных электронах. Построен численный алгоритм решения нестационарных уравнений при импульсной и стационарной инжекции электронов, позволивший не только эффективно просчитать выход на генерацию последовательности идентичных импульсов, реализованных в Стэнфордском эксперименте [255], но и продвинуться значительно дальше в область периодических и стохастических автомодуляционных режимов. Метод позволяет с высокой точностью находить в области параметров границу срыва в стохастический режим.

7. Получено граничное интегральное уравнение для нахождения азиму-тально симметричных мод и дисперсионных кривых периодически гофрированных волноводов. Выделена сингулярная часть ядра интегрального оператора, действие соответствующего оператора от которой на функции, представимые рядом Фурье, считается аналитически. Численный алгоритм нахождения дисперсионных кривых, использующий БПФ, не имеет насыщения, т.е. его точность тем выше, чем большим условиям гладкости удовлетворяет граница и, следовательно, искомое решение. Это позволяет проводить вычисления с небольшим числом гармоник даже для глубоких гофр.

• Рассмотрена задача о возмущении граничного интегрального уравнения для азимутально симметричных мод азимутально симметричных волноводов с плавной периодической гофрировкой путем гармонических возмущений его профиля. Найдено уравнение для возмущения плотности азимутального магнитного тока на граничной поверхности. Для исходного круглого волновода найдена явная связь между гармониками возмущенной плотности и возмущенного профиля волновода, а также выражение для возмущенного волнового числа.

• Решена обратная задача нахождения профиля волновода по заданному отрезку дисперсионной кривой на основании найденной связи между гармониками профиля волновода и возмущенного волнового числа с помощью метода наименьших квадратов. Результаты сведены в таблицу, которая позволяет прогнозировать точность изготовления волновода.

8. Создана модель ускорительной секции суперколлайдера, проведена оптимизация профиля составляющих ее металлических колец для максимизации ускоряющего градиента электрического поля и минимизации полной микроволновой энергии в рабочем пространстве. Смоделированная оптимальная конструкция состоит из одинаковых металлических колец, на разных сторонах которых сделаны проточки разной ширины. Период структуры состоит из двух колец, расположенных так, что их смежные стороны имеют одинаковые проточки (Рис. 8.1). То, что все кольца одинаковы, является технологически выгодным.

• Найдено аналитическое выражение для внутреннего профиля системы колец, составляющих ускорительную секцию суперколлайдера, обеспечивающих формирование требуемого поля в приосевой области. Для подвода энергии в такой системе используются неоднородные междисковые каналы. Найдено аналитическое решение задачи оптимизации профилей двух соседних волноводных каналов в плоской геометрии для создания максимальных по амплитуде, но противоположных по фазе полей на выходах из каналов. Показана возможность с помощью дополнительных проточек достичь любой наперед заданной амплитуды поля на выходе из каналов. Из результатов расчетов вытекает, во-первых, принципиальная возможность обеспечить синфазность полей на периферии соседних каналов при одновременной их про-тивофазности на входе в резонатор, используя только одну проточку в каждом канале.

Во-вторых, фазовые отклонения численного решения от асимптотического при c/min < А/8 составляют проценты.

Найдено аналитически и подтверждено численными расчетами для возмущений границы минимальное значение внутреннего диаметра колец суперколлайдера, при котором максимум полного электрического поля находится в нижней точке поперечного сечения кольца, т.е. на максимальном удалении от соседней секции, обладающей зарядом противоположного знака. Вероятность пробоя при этом минимальна.

Разработан и реализован алгоритм метода дискретных источников решения двумерного эллиптического уравнения типа уравнения Гельмгольца в цилиндрической геометрии для установления возможности создания конструкции системы колец с одной проточкой в канале. В качестве источников предложено выбирать функцию Грина задачи рассеяния минимальной объемлющей области. Данный алгоритм использован для расчетов параметров секции суперколлайдера в проведенном в ИПФ РАН эксперименте.

Методом дискретных источников смоделирована полная задача рассеяния и достигнут устойчивый режим формирования требуемых электромагнитных полей, когда а) малые отклонения параметров системы (взаимное расположение проточек и их положение по отношению к внешней кромке колец) не вызывают разрушения требуемой структуры полей. б) возможна оптимизация параметров структуры, т.е. выход на такие их значения, когда формируемые поля содержат только требуемые составляющие, а вклад паразитных составляющих сведен к минимуму.

Предложен новый принцип конструирования и размещения дискретных источников при решении прямых и обратных задач электродинамики, основой которого является использование неодно-связных контуров при моделировании электродинамических структур с угловыми точками. Создана новая методика расположения дискретных источников как в окрестности регулярных участков границы, так и в окрестности угловых точек. Это позволило избавиться от накопления источников и точек коллокации к угловой точке и существенно сократить их число для описания поля с особенностью в окрестности угловой точки.

На основе численных расчетов определено, при какой предельно допустимой глубине проточки справедливы сделанные в проекте оценки погрешности изготовления каналов (ширины, глубины и расположения проточек), а также определен предельный поперечный размер более широкого канала, при котором сохраняется прочность конструкции. Широкий канал соответствует проточке в диске. Остающаяся при двух встречных проточках толщина диска должна быть достаточно большой.

Предложено использовать дополнительный демпфирующий желоб не только для предотвращения пробоя, но и как дополнительный резонатор на используемой основной временной частоте. Расположенная на достаточно малом радиусе, верхняя граница этого желоба сможет минимизировать полную микроволновую энергию в получившейся системе из двух резонаторов, не уменьшая амплитуды требуемой гармоники. В качестве конечного результата вычислительного эксперимента была сконструирована система связанных резонаторов различной конфигурации на одну и ту же частоту. По результатам расчетов в отделе электроники больших мощностей Института прикладной физики РАН изготовлена секция суперколлайдера и проведен "холодный"эксперимент по исследованию электродинамических характеристик полученной системы. Эксперимент подтвердил хорошие резонансные свойства исследуемой связанной системы резонаторов.

Проведено исследование возможности появления аномалии Вуда во внешней по отношению к системе колец области и вносимые ею изменения в структуру полей. При ее появлении во внешней части колец только у магнитного поля образуется стоячая волна большой амплитуды. У электрического поля этой составляющей нет.

Создана методика решения спектральной задачи на основе сингулярного разложения матрицы системы линейных алгебраических уравнений. Для системы связанных резонаторов потребовалось разработать более тонкую и быстродействующую методику нахождения границ области с дополнительным резонатором, а также изменившимся в связи с этим положением уступов в подводящих каналах.

1. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики// М.: Физматлит. -2002. -320с.

2. Айдагулов Г.Р. Метод подвижной сетки для решения нестационарного уравнения Шредингера // Вычислительные методы и программирование. -2004. -Т.5. № 1. С. 22-34.

3. Алгазин С.Д. Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математической физики// М.: Научный мир. -2002. -156с.

4. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач// М.: Наука. -1991. 352с.

5. Альшина Е.А., Калиткин Н.Н., Панченко С.Д. Численное решение краевых задач в неограниченной области // Мат. моделирование. -2002. -Т.14. № 11. С. 10-22.

6. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Неавтономные колебания электронного потока с виртуальным катодом в плоском диодном промежутке // Изв.вузов "ПНД". -1997. -Т.5. № 6. С.61-75.

7. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Исследование колебаний в электронном потоке с виртуальным катодом в виркаторе и виртоде // Изв. вузов "ПНД". -1999. -Т.7. № 2,3. С. 33-55.

8. Арансон И,С., Горшков К.А., Рабинович М.И., Юнаковский А.Д. Стохастизация и расплывание волновых пакетов в осциллирующем потенциале.

9. Препринт № 256. Горький, ИПФ АН СССР. 1989. 20с.

10. Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметров// Успехи мат. наук. -1971. Т. 26. С. 101-114.

11. Арсеньев А.А. Об особенностях продолжения и резонансных свойствах решения задачи рассеяния для уравнения Гельмгольца // ЖВМиМФ. -1972. -Т.12. № 1. С.112-138.

12. Арсеньев А.А. Глолбальное существование слабого решения системы уравнений Власова // ЖВМиМФ. -1975. -Т.15. № 1. С. 131-143.

13. Арсеньев А.А. О существовании резонансных полюсов и резонансов при рассеянии в случае краевых условий II и III рода // ЖВМиМФ. -1976. -Т.16. № 3. С.718-724.

14. Арсеньев А.А. Об асимптотике энергии: переданной почти периодическим источником колебаний открытому резонатору за большое время // Мат. сборник. -2004. -Т. 195. № 3. С. 3-14.

15. Архипов А.В., Богданов Л.Ю., Воскресенский С.В., Левчук С.А., Лукша О.И., Сомин-ский Г.Г. Исследование колебаний объемного заряда и формирования пространственных структур в электронном потоке с магнитным удержанием. Часть II // Известия вузов

16. Звездочкой помечены работы по теме диссертации.

17. ПНД" -1995. -Т. 3 №5. С. 35-54.

18. Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов Р.В. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде // УФН. -1967. -Т.93. № 1. С. 19- 70.

19. Бабенко К.И. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики// М.: Наука. -1979. -744с.

20. Бахвалов Н.С. Жидков Е.П. Каданцева Е.П. Рубин С.Б. Сердюкова С.Н. Численное решение модельной самосогласованной электродинамической задачи // ЖВМиМФ. 1979. -Т.19. № 6. С. 1228-1236.

21. Беллюстин С.И. ЖЭТФ. -1939. -Т.9. № 7. С.840.

22. Белов В.Е., Родыгин Л.В., Родыгина Л.С., Юнаковский А.Д. Явления на минимуме потенциала // Электроника сверхвысоких частот /тезисы докладов VI межвузовской конференции по электронике СВЧ. МРТИ, Минск. -1969. С.124. '

23. Белов В.Е., Родыгин Л.В., Юнаковский А.Д. К теории статического режима магнетрона с учетом начальных скоростей // Аннотации и тезисы докладов секции электроники Всесоюзной научн. сессии НТОРЭ и С им. А. С. Попова,. Москва. -1968. С.14.

24. Белов В.Е. Юнаковский А.Д. Задача дифракции акустических волн на упругом цилиндре в слоистом волноводе // Спектральш i еволюцшш задачь Тез! доповщей. Випуск 2 С1мферополь. -1993. С. 156-157.

25. Бесараб М.А. Кравченко В.Ф. Численно-аналитические методы решения задач дифракции и рассеяния электромагнитных волн на объектах сложной формы // Успехи современной радиоэлектроники. -2004. . № 4. С.4-71.

26. Богомолов Я.Л., Демехов А.Г., Трахтенгерц В.Ю., Шер Э.М., Юнаковский А.Д. О динамике квазилинейной релаксации быстрых частиц в плазме при наличии источников и стока частиц и волн// Препринт № 211. Горький, ИПФ АН СССР. 1988. 30с.

27. Богомолов Я.Л., Сергеев А.С., Юнаковский А.Д. Построение схем численного интегрирования для обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида// Препринт №125. Горький, ИПФ АН СССР. 1985. 32с.

28. Богомолов Я.Л., Юнаковский А.Д. Метод построения явных разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // X Всесоюзная школа "Теории прикладных проблем вычислительной математики и математической физики". Рига 1985г. С. 183.

29. Братман В.Л., Гинзбург Н.С., Петелин М.И. Лазеры на свободных электронах: перспективы продвижения классических электронных генераторов в коротковолновые диапазоны // Известия АН СССР, серия физическая. 1980. -Т.44. С. 1593-1602.

30. Бугаев С,П., Ильин В.П., Кошелев В.И. и др. Формирование сильноточных релятивистских электронных пучков для мощных генераторов и усилителей СВЧ.// Горький, ИПФ АН СССР. 1979. С. 5.

31. Бургейн Ж. Недавний прогрес в квазипериодических решеточных операторах Шредингера и Гамильтоновых дифференциальных уравнениях с частными производными // Успехи мат. наук. 2004. -Т.59. № 2. С.37-52.

32. Быков Н.М., Губанов В.П., Гунин А.В. и др. Релятивистские импульсно-периодические СВЧ-генераторы сантиметрового диапазона длин волн.// Релятивистская высокочастотная электроника, -вып.5/ Горький, ИПФ АН СССР. 1988. С.115.

33. Быковский В.А. О вычислительной сложности Дискретного Преобразования Фурье // ДАН. -2003. -Т.389. № 3. С. 293-298.

34. Вайнштейн Л,А. Электро-магнитные волны// М.: Радио и связь. 1988. 440с.

35. Веденяпин В.В. Граничные задачи для стационарного уравнения Власова // ДАН СССР. 1986. -Т.290. С. 777-780.

36. Вихарев А.Л., Гильденбург В.Б., Иванов О.А., Степанов А.И. СВЧ разряд в пересекающихся пучках электромагнитных волн // Физика плазмы. 1984. -Т.19. № 1. С. 165-168.

37. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1960. -Т. 15. № 1. С. 3-80.

38. Владимиров B.C. Уравнения математической физики// -М.: Наука,. 1976. -528с.

39. Власенко В.А., Лаппа Ю.М. Метод анализа погрешностей вычисления в алгоритмах Быстрого Преобразования Фурье // Радиотехника и электроника. 1986. -Т.31. № 7. С. 1348-1351.

40. Власов С.Н., Петрищев В.А., Таланов В.И. Усреднённое описание волновых пучков в линейных и нелинейных средах (метод моментов) // Изв. вузов Радиофизика. 1971. -Тю14. 9. С. 1353 -1364.

41. Власов С.Н., Таланов В,И. Распределённый волновой коллапс в модели нелинейного уравнения Шредингера// В кн. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. /Отв.ред. акад. А.В.Гапонов-Грехов, д.ф.-м.н. М.И.Рабинович.// М.: Наука,. 1989. С. 218 - 227.

42. Габдулхаев Ю.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Казань: изд-во Казанского ун-та. 1994. 288с.

43. Гадылыпин P.P. Об амплитуде колебаний для резонатора Гельмгольца // ДАН СССР. 1990. -Т.310. № 5. С.1094-1097.

44. Гадылыпин P.P. О квазистационарном режиме резонатора Гельмгольца // Прикладная матем. и механика. 1993. -Т.57. № 5. С.52-59.

45. Гадылыпин P.P. Расщепление полюсов резонатора Гельмгольца // Изв. РАН Сер. матем. 1993. 57. № 5. С.44-74.

46. Гадылыпин P.P. Системы резонаторов // Изв. РАН Сер. матем. 2000. -Т.64. № 3. С.51-96.

47. Гадылыпин P.P. О рассеянии плоской волны на ловушке в критическом случае // Прикладная математика и механика. 2002. -Т.66. № 1. С.52-61.

48. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф, кн. 1,2/1 М.: Мир,. 1984. -352с., 288с.

49. Гильденбург В.Б. Неравновесный высокочастотный разряд в полях электромагнитных волн// В кн. / Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие. М.: Наука. 1981. С. 87-96.

50. Гильденбург В.Б., Жарова Н.А., Позднякова В.И. Нелинейная динамика волновых пучков и пакетов в ионизируемой среде // Изв. вузов. Радиофизика. 2003. -Т.46. № 5-6. С. 360-376.

51. Гинзбург Н.С., Кузнецов С.П., Федосеева Т.Н. Теория переходных прцессов в релятивистских JIOB // Изв.вузов. Радиофизика. 1978. -Т.21. № 7. С. 1037-1045.

52. Годунов С.К. Уравнения математической физики// М.: Наука. 1971. -365с.

53. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры// Новосибирск: Научная книга. 1997. -390с.

54. Головнин Б.А. Параллельные вычислительные системы// М.: Наука. 1980. -520с.

55. Горбачук В.И., Горбачук M.JI. Граничные задачи для дифференциально операторных уравнений// - Киев: Наук, думка. 1989. - 284с.

56. Горшков К.А., Островский Л.А., Папко В.В. Журн. Эксперим. и теорет. физики. 1976. -Т.71. С. 585.

57. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов// М.: Наука. 1965. -448с.

58. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблице интегралов, сумм, рядов и произведений// М.: ГИФМЛ. 1963. -1100с.

59. Григорьев Ю.Н., Вшивков В.А. Численные методы "частицы-в-ячейках"// Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН. 2000. -184с.

60. Громов Е.Н., Тютин В.В. Короткие солитоны огибающей, изотропные и анизотропные среды // Изв. вузов. Радиофизика. 2003. -Т.46. № 5-6. С. 429-442.

61. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики// М.: ГИТТЛ. 1953. -416с.

62. Давыдов А.С. Теория твердого тела// М.: Наука. 1976.

63. Дегеярёв Л.М., Захаров В.Е., Рудаков Л.И. Два примера коллапса ленгмюровских волн // ЖЭТФ. 1975. -Т.66. № 1. С.115 126.

64. Дегтярёв Л.М., Копа-Овдиенко А.А. Скалярная модель ленгмюровского коллапса. // Физика плазмы. 1984. -Т. 10. № 1. С. 9 -20.

65. Дегтярёв JI.M., Крылов В.И. Метод численного решения задач динамики волновых полей с особенностями // ЖВМиМФ. 1977. -Т.17. № 6. С. 1523 1530.

66. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения// -М.: Мир. 2001. -430с.

67. Джеффрис В., Джонсон Г.В. Операторное исчисление Фейнмана для семейств некомму-тирующих операторов: тензорные произведения, упорядоченные носители и выпутывание экспотенциального множителя // Мат. заметки. 2001. -Т.70. № 6. С. 815-838.

68. Ингрид Добеши. Всплески и другие методы локализации в фазовом пространстве// В кн. Международный конгресс математиков в Цюрихе 1994■ М.: Мир. 1999. С. 84-108 .

69. Додд Р., Эйлвен Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения// М.:Мир,. 1988. -696с.

70. Дубинов А.Е. Особенности динамики электронов в виркаторе с магнитной пробкой // Радиотехника и электроника. 2000. -Т.45. № 7. С. 875-879.

71. Дубинов А.Е., Ефимова И.А. Колебания сжатого состояния электронных пучков в виркаторе на встречных потоках // Электромагнитные волны и электронные системы. 2003. № 11 -12. С. 55-57.

72. Дубинов А.Е., Сайков С.К., Селемир В.Д. К динамике метастабильных электронов в виртуальном катоде // Изв.вузов.Радиофизика. 2002. -Т.45. № 4. С. 349-353.

73. Жаблон К. Симон Ж.К. Применение ЭВМ для численного моделирования в физике// -М.: Наука,. 1983. -238с.

74. Жарова Н.А., Литвак А.Г., Миронов В.А. Самовоздействие сверхкороткого лазерного импульса в среде с нормальной дисперсией групповой скорости // Изв. вузов. Радиофизика. 2003. -Т.46. № 5-6. С. 331-341.

75. Жиженкова Е.Ф. Жислин Г.М. О существовании минимума некоторых квадратичных функционалов в неограниченной области // Труды Московского матеметического общества. 1960. -Т.9. С. 121 129.

76. Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // ПМТФ-. 1968. -Т.6. № 3. С. 86 -94.

77. Захаров В.Е. Коллапс плазменных волн // ЖЭТФ. 1972. -Т.62. № 5, С. 1745 1759.

78. Захаров В-Е., Кузнецов Е.А. Квазиклассическая теория трёхмерного волнового коллапса. // ЖЭТФ. 1986. -Т.91. № 4(10). С. 1310 1324.

79. Захаров В.Е., Рубенчик A.M. Журн. эксперим. и meopem. физики. 1973. -Т.65. С. 997.

80. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций// М.: Наука, Гл. ред. физ.мат. лит. 1974. -400с.

81. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики/ / М.: Высшая школа. 1991. - 224с.

82. Инфельд Э. Письма в ЖЭТФ. 1980. -Т.32. С. 97.

83. Кадомцев Б.Б. Колллективные явления в плазме М.:Наука. 1988. -304с.

84. Калинин Ю.А., Кузнецов Н.Н., Украинская Т.Н. Исследование широкополостных шумо-подобных колебаний в интенсивных пучках заряженных частиц в режиме образования виртуального катода // Изв. вузов "ПНД'Ш2. -Т.10. № 5. С.32-35.

85. Камоцкий И.В., Назаров С.А. Аномалии Вуда и поверхностные волны в задаче рассеяния на периодической границе. 1. // Мат. сборник. 1999. -Т.190. № 1. 109-138.

86. Камоцкий И.В., Назаров С.А. Экспонентно затухающие решения задачи дифракции на жесткой периодической границе // Мат.заметки. 2003. -Т.73. № 1. С.138-140.

87. Канторович J1.B. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН. 1948. -Т.З. № 6. С.89-185.

88. Кашкин В.Б., Носков М.В., Осипов Н.Н. Вариант Дискретного Преобразования Фурье на параллелепипедальных сетках // ЖВМиМФ. 2001. -Т.41. № 3. С. 355-359.

89. Ким Ы., Ковалев Н.Ф., Фильченков С.Е. Коаксиальный волновод с прорезями на внутреннем проводнике Радиотехника и электроника 2003. -Т.48 №4 С. 1-9.

90. Кингсеп А.С. Сильная ленгмюровская турбулентность и турбулентный нагрев плазмы// В кн. Итоги науки и техники, серия "физика плазмы." /Под ред. Шафранова В.Д. вып. 4 М.: ВИНИТИ. 1983. С. 48-113.

91. Кингсеп А.С. Введение в нелинейную физику плазмы// М.: МЗ Пресс. 2004. -264с.

92. Кириленко А.А., Сенкевич C.JI. Сравнение эффективности четырех методов решения волноводных задач // Радиотехника и электроника. 1984. -Т.29. № 6. С. 1089-1097.

93. Кирпичев С.Б., Поляков П.А. Постановка начальной задачи для системы релятивистских заряженных частиц // Электромагнитные волны и электронные системы. 2004. -Т.9. № 6. С. 8-13.

94. Ковалев Н.Ф., Петелин М.И., Райзер М.Д. и др. Приборы типа О, основанные на индуцированном черенковском и переходном излучениях релятивистских электронов.// В кн. Релятивистская высокочастотная электроника Горький ИПФ АН СССР. 1979. С. 76.

95. Колоколов А.А., Суков А.Н. О векторной теории самофокусировки. // ПМТФ. 1977. № 6. С. 3 5.

96. Копосова Е.В., Петелин М.И. Изв. вузов. Радиофизика. 1989. Т.32. №2 С. 1178.

97. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений// М.: Наука. 1979. -400с.

98. Кудряшов В.Р., Михайловский А.Б. ЖЭТФ. 1986. -Т.90. С. 1656.

99. Кузнецов Е.А. Коллапс электромагнитных волн в плазме // ЖЭТФ. 1974. -Т.66. № 6. С. 2037 2047.

100. Кузнецов Е.А. Интегральные критерии волновых коллапсов // Изв. вузов. Радиофизика. 2003. -Т.46. № 5-6. С. 342-359.

101. Купрадзе В.Д. О приближенном методе решения задач математической физики // Успехи мат. наук. 1967. -Т.22. № 2. С.58-109.

102. Кураев А.А. Мощные приборы СВЧ. Методы анализа и оптимизации// М.: Радио и связь. 1986. 208с.

103. Курант Р. Уравнения с частными производными// М.: Мир. 1964. -822с.

104. Кучмент П.А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных // УМН. 1982. -Т.37. № 4. С. 3 52.

105. Кюркчан А.Г., Минаев С.А. Решение задач дифракции с использованием техники вейвлетов // Радиотехника и электроника. 2003. -Т.48. № 5. С.552-557.

106. Кюркчан А.Г., Минаев С.А., Соловейчик A.JI. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особенностях дифракционного поля // радиотехника и электроника. 2001. -Т.46. № 6. С.666-672.

107. Кюркчан А.Г., Суков А.И., Клеев А.Г. Особенности волновых полей и численные методы решения краевых задач для уравнения Гельмгольца. // Успехи современной радиоэлектроники. Зарубежная электроника. 2000. № 5. стр . 14-33.

108. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред// М.: Наука. 1982. -620с.

109. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа// М,: ГИФМЛ. 1961. -524с.

110. Леонтович М.А Изв. АН СССР, Сер. физич. 1944. -Т.8. С. 16.

111. Леус В.А. О временной сложности параллельной реализации численного преобразования Фурье // Мат. моделирование. 1995. -Т.7. № 5. С. 99-110.

112. Сергеев А.С., Литвак А.Г. Сб. Высокочастотный нагрев плазмы// Горький, ИПФ АН СССР. 1983.

113. Литвак А.Г., Таланов В.И. Изв. высш. уч. зав., сер. Радиофизика. 1967. -Т.9. № 10. С. 539.

114. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент// -М.: ТОО "Янус". 1995. -520с.

115. Малкин В.М. ЖЭТФ,. 1984. -Т.87. С. 433.

116. Вычислительные процессы и системы. Под ред. Марчука Г.И.// № 2. М.: Наука. 1985.

117. Марчук Г.И. Методы расщепления// -М.: Наука,. 1988. -264с.

118. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики// -М.: Наука. 1989. -608с.

119. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем// М.: Наука. 1979. -320с.

120. Месяц Г.А. Импульсная энергетика и электроника// М.: Наука. 2004. -704с.

121. Миллер Р. Введение в физику сильноточных пучков заряженных частиц// М.: Мир. 1984. -432с.

122. Молотков И.А. Аналитические методы в теории нелинейных волн// М.: Физматлит. 2003. -208с.

123. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях// В кн. Вопросы теории плазмы, вып. 2 /Под ред. Леонтовича М.А. М.: Атомиздат. 1963. с. 177.

124. Назайкинский В., Стернин В., Шаталов В. Методы некоммутативного анализа// М.: Техносфера. 2002. -234с.

125. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков, // УМН. 1998. -Т.53. № 6. С. 55-128.

126. Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков// Издательство Санкт-Петербургского университета. 1998. -276с.

127. Окуно Ю., Икуно X. Метод Ясууры для решения граничных задач уравнения Гельмгольца в однородных средах // Радиотехника и электроника. 1992. -Т.37. № 10. С. 1744-1763.

128. Павленко В.Л., Петвиашвили В.И. Физика плазмы. 1982. -Т.8. С. 206.

129. Парангишвили И.В., Виленкин С.Я., Медведев И.Д. Параллельные вычислительные системы с общим управлением// М.: Энергоиздат. 1983. 312с.

130. Пелиновский Е.Н., Слюняев А.В., Талипова Т.Г., Хариф К. Нелинейное параболическое уравнение и экстремальные волны на морской поверхности // Изв,вузов.Радиофизика. 2003. -Т.46. № 7. С.499-512.

131. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.: Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность.// М.:Мир. 1987. -400с.

132. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.: Т.2. Анализ операторов.// М.:Мир. 1982. -430с.

133. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач// М.: Мир. 1972. -420с.

134. Рошаль А.С. Моделирование заряженных пучков// М.: Атомиздат. 1979. -234с.

135. Рудаков Л.И. Торможение электронных пучков в плазме с высоким уровнем лэнгмюров-ской турбулентности // ДАН. 1973. -Т.207. № 4. 821 824.

136. Савостьянов Д.В., Тыртышников Е.Е. О случае алгебраической эквивалентности метода коллокаций и метода Галеркина // ЖВМиМФ. 2004. -Т.44. № 4. С.686-693.

137. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и их производные дробного порядка// Минск: Наука и техника. 1987. 688с.

138. Самарский А.А. Теория разностных схем// М.: Наука. 1989. -616с.

139. Самарский А.А., Гулин А.Н. Устойчивость разностных схем// -М.: Наука. 1973. -416с.

140. Сидоров Н.А., Синицын А.В. Стационарная система Власова Максвелла в ограниченных областях// В кн. Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. -М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. С. 50-88.

141. Сигалов А.Г. Уравнение непрерывного спуска для квадратичной формы полуограниченного оператора на единичной сфере. // ЖВМиМФ. 1971. -Т.П. № 4. С. 809 828.

142. Скубачевский А.Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Мат. сб. 1986. -Т.181 № 2. С.179-202.

143. Скубачевский А.Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах // Дифференциальные уравнения. 1990. -Т.26. № 1. С.120-131.

144. Сыровой В.А. Геометризованная теория пространственных электростатических электронных пучков // Радиотехника и электроника. 2002. -Т.47. № 3. С. 372-382.

145. Таланов В.И. О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах // Письма ЖЭТФ-. 1965,. -Т.2. № 5. С. 218 -222.

146. Тарасов Р.П. Счетная устойчивость граничных уравнений I рода в задачах дифракции вблизи резонансов. // ЖВМиМФ. 1999. -Т.39. № 6. С. 943-969.

147. Теория магнетрона (по Бриллюэну). Сборник переводов -М.: Сов. радио. 1946.

148. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики// М.: ГИТТЛ. 1953. 68с.

149. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по высокочастотной электронике для физиков т. /.// М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. -496с.

150. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений// М.: Наука. 1970. -564с.

151. Финк Л.М. Сигналы, помехи, ошибки.// М.: Радио и связь. 1984. -256с.205. под ред. проф. Я.Н.Фельда. Справочник по волноводам, пер. с англ.// -М.: Советское радио. 1952. -432с.

152. СМБ Функциональный анализ. Под ред. С.Г.Крейна// -М: Наука. 1964. -424с.

153. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и прило

154. Новосибирск: Научн. кн. 1999 . -352с.

155. Хемминг Р.И. Численные методы// М.: Наука. 1968. -400с.

156. Хокни Р., Джессхоуп К. Параллельные ЭВМ// М.: Радио и связь. 1986. -392с.

157. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц// М.: Мир. 1987. -640с.

158. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей// М.:Мир. 1991. 365с.

159. Шварц JI. Комплексные многообразия. Эллиптические уравнения.// М.: Мир. 1964. -212с.

160. Юнаковский А.Д. Математическое моделирование взаимодействия электромагнитного излучения с плазмой: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.16 /ИПФ АН СССР. Горький, 1988,- 214с.

161. Юнаковский А.Д. Математическое моделирование физических процессов /вычислительные аспекты/ Методические указания для студентов специальностей 0645, 2001. Часть I Нижегородский политехнич. ин-т. Нижн. Новгород,. -1990,

162. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики// Наука. Сибирское отделение. Новосибирск. -1967. -196с.

163. Abramyan L.A., Yunakovsky A.D. Application of Petviashvili's Method for Determination of Three-dimentional Langmuiere's Multipoles // Spectral and evolutional problems. Vol.4, Simferopol. 1996. Crimea, Ukraine. 1996. C.153

164. Ahner J.F. A scattering trinity: the reproducing kernel, null field equations and modified Green's Function. // Quart. J.Mech. and Appl. Math. 1986. -V.39. № 1. p.151-162.

165. Akhiezer N.I., Glazman I.M. Theory of Linear Operators in Hilbert Space// Frederick Ungar Publishing Co., New York. Vol.1 1961., Vol.11 1963.

166. Al-Abawi H., Hopf F.A., Moore G.T., Scully M.O. Lasers: Laser Letqargy and Coherence Brightening // Optics Communications. 1979. -V.30. № 2. p. 231-235.

167. Batt J., Berestycki H., Deyond P. Parthame В/. Sjme Families of Solutions of the Vlasov -Poisson System // Arch. Rational Mech. Anal. 1977. -V.104. p.79-103.

168. Batt J. Fabian K. Stationary Solutios of the Relativistic Vlasov- Maxwell System of Plasma Physics // Chin. Ann. Math, (ser В.) 1993. -V.14. p.253-278.

169. Beale J.T. Scattering Frequencies of Resonators // Comm. Pure and Appl. Math. 1973. -V.26. № 4. p.549-563.

170. Luc Berge. Dynamical stability analysis of strong/weak wave collapses // Journal of Mathematical Physics. 1994. -V.35. № 11. p.5765 5781.

171. Beylkin G., Coifman R., Rokhlin V. Fast wavelet transforms and numerical algorithms. // Comm. Pure Appl. Math. 1991. -V.44. p.141-183.

172. Beylkin G. Keiser J.M. On the Adaptive Numerical Solution of Nonlinear Partial Gifferential Equations in Wavelet Bases // Journ. of Сотр. Phys. 1997. -V.133. p.233-259.

173. Chiao R.Y., Garmire E., Townes C.H. Self-Trapping of Optical Beams // Phys.Rev.Lett. 1964. -V.13. p.469 472.

174. Ciment Melvyn, Leventhal Stephen H., Weinberg Bernard C. The Operator Compact Implicit method for parabolic equations. // Journ. of Сотр. Phys. 1978. -V.28. № 1. p.135 166.

175. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets, // Comm. Pure Appl. Math. 1988. -V.41. p.909-996.

176. Daubechies I. The wavelet transform, time-frequency lokalisation and signal analysis, // IEEE Trans. Inform Theory. 1990. -V.36. p.961-1005.

177. Deacon D.A.G,. Elias L.R., Madey J.M.J., Ramian G.J., Schwettmah H.A., Smith T.I. First Operation of Free Electron Lasers // Phys. Rev. Lett. 1977. -V.38. p. 892-894.

178. DiPerna R.J., Lions P.L. Global Weak Solutions of Vlasov Maxwell System // Comm. Pure and Appl. Math. 1989. V. 42. №6. p. 729-757.

179. Dyachenko A.I., Pushkarev A.N., Shvets V.E., Zakharov V.E. Computer simulation of Langmuir collapse // Physica D. 1991. -V.52. p.78 102.

180. Fadeev D.K., Fadeeva V.N. Computational Methods of Linear Algebra. Freeman, San Francisco, California. 1963.

181. Feit M.D., Fleck Y.A., Steiger. Solution of the Schrodinger Equation by a Spectral Method. // J. Сотр. Phys. 1982. -V.47. № 4. p.412 433.

182. Feynman R. An operator calculus having applications in quantum electrodynamics // Phys. Rev. 1951. -V.84. p.108-128.

183. Hardin R.H., Tappert F.D. Application of the split-step Fourier method tj the numerical solution of nonlinear and variable coefficient wave equation // SI AM Rev. Chronicle. 1973. -V.15. p.423.

184. Infeld E, Rowlands G. Z. Phys. B. 1980. -V.37. p.277.

185. Infeld E., Ziemkiewicz J. Acta Phys. Polonica. 1981. -V.59. p.255.

186. Keller J.B. Singularities and Rayleigh's hypothesis for diffraction gratings // J. Opt. Soc. Am. A. 2000. -V.17. № 3. p. 456-457.

187. Kosmatov N.E., Shvets V.E., Zakharov V.E. Computer simulation of wave collapses in the nonlinear Schrodinger equation // Physica D. 1991. -V.52. № 1. p.16 35.

188. Kovalev N.F., Nechaev V.E., Petelin M.I., Zaitsev N.I. A Scenario for Output Pulse Shorteningm Microwave Generators Driven by Relativistic Electron Beams // IEEE Trans, on Plasma Science. 1998. -V.26. № 3. pp. 246-251.

189. Lonngren K.E., Pecseli H.L., Juui.Rasmussen J., Thomsen K. Transient effects of nonlinear wave propagation in magnetized plasmas. // Phys. Scr. 1982, T2: 2: Int. Conf. Plasma Phys., Goteborg, June 9 15. 1982. pp.541 - 545.

190. Lonngren K.E., Pecseli H.L., Juui.Rasmussen J. On the transient effects of nonlinear wave propagation in magnetized plasmas. // Ibid, pp.546 547.

191. Mallat S.G. Multifrequency channel decomposition of images and wavelets models. // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal processes. 1989. -V.37. № 12. pp. 2091-2110.

192. Mallat S.G., Hwang W.L. Singularity detection and processing with wavelets // IEEE Trans, of Information Theory. 1991. -V.31. № 3. .

193. Marcuvitz N. Waveguide. Handbook./j Dover Publications Inc. 180 Varick Street New York, N.Y. 10115. -951. 428p.

194. Mesyats G.A., Proskurovsky D.I. Pulsed Electrical Discharge in Vacuum// Springer, Heidelberg. 1989.

195. Рецензии. Meyer Y. Ondelettes et operateurs // Алгебра и анализ. 1991. -Т.З. № 2. С. 253-264.

196. Meyer Y. Ondelettes sur rintervalle. // Rev.Mat. Iberoamericana. 1992, -V.7. pp.115-133.

197. Meyer Yves. Wavelets Algorithms & Applications// SIAM Philadelphia. 1993. 134p.

198. Myra J.R., Liu C.S. Phys. Fluids. 1980. -V.23. p.2258.

199. Newton P.K. Wave Interaction in the Singular Zakharov Sistem // J. Math. Phys. 1991. -V.32. № 2. .

200. Payne G.L., Nicholson D.R., Downie R.M. Numerical solution of the Zakharov Equations. // J. Сотр. Phys. 1983. -V.50. № 1. pp.482 498.

201. Petelin M.I. High power sources of coherent microwave radiation (gyrotrons, free electron lasers) and their applications // Annales des Journees Maxwell, Bordeaux. 1995. pp.277-286.

202. Petelin M.I. Quasi-Optical Collider Concept.// American Institute of Physics. 2002. pp. 459-468.

203. Petelin M.I., Suvorov E.V., Kovalev N.F., Filchenkov E.C., Smirnov A.I. Quasi optical Diffraction Gril for Exitation of Lower - hybrid Waves in Tokamaks// Plasma Phys. Control. Fusion 1996/, -V.38 pp. 593-610.

204. Petit R., Cadilhac M. Sur la difraction d'une onde plane par un reseau infiniment conducteur // C.R Acad.Sci, Paris, Ser. B. 1966. -V.262. pp. 468-471.

205. Richtmyer Robert D. Principles of Advanced Mathematical Physics. Vol. 1// Springer-Verlag New York Inc. 1978.

206. Ruth R. D. et. al. The Next Linear Collider Test Accelerator // Proc. of the IEEE Particle Accelerator Conference, Washington DC, May 1993,. Washington DC. 1993. pp.543-545.

207. Sack Ch., Schamel H. SUNION An Algorithm for One - Dimentional Laser Plasma Interaction. // J. Сотр. Phys. 1984. -V.53. № 3. pp.395 - 428.

208. Sami G., Tantawi et. al. The Next Linear Collider Test Accelerator's RF pulse Compression and Transmission Systems // Advanced Accelerator Concepts workshop, Lake Tahoe, California, October 12-18, 1996. 398. AIP proceedings. 1996. pp.229-317.

209. Schauder J.Zur. Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen // Math. Zeitschr. 1927. -V.26. pp.47-65.

210. Shwinger J. Discontinuites in waveguardes// Gordon Breach Science publischers, N -Y., London, Paris. 1969.

211. Simon B. Schrodinger operators in the twentieth century // J. Math. Phys. 2000. -V.41. № 6. pp.3523-3555.

212. Skubachevskii A.L. Nonlokal Elliptic Problems and Multidimentional Diffusion Prjcesses // Russian Journal of Mathematical Physics. 1995. -V.3. pp.327-360.

213. Steinberg J. Numerical Treatment of Singularities in Elliptic Problems. // J. Inst. Math. Applies. 1980. -V.26. pp.349-368.

214. Swartz В.К. The Construction of Finite Difference Analjgs of Some Finite Elements. Mathematical Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations, ed. by G.De Boor. Academic Press, New York. 1974. pp.412 433.

215. Tarakanov V.P. User's manual for code Karat. Bercley Research Associate Inc., Springfield, VA. 1992.

216. Weitzner Harold Longitudinal plasma oscillations // Proceedings of a Symposium in Appl. Math, of AMS, New York City, April 13-15 1965. ed.by Harold Grad. pp. 127-151.

217. Weitzner Harold. Initial Value-Boundary Value Problem for Bernstein Modes // Comm. Pure and Appl. Math. 1969. XXII. № 4. pp. 415-455.

218. Wilson P.V. Application of High-Power Microwave Sources to TeV Linear Colliders. 229-317. Artech House, Boston к London. 1994.

219. Wilson P.V. В кн: Proceedings ofthe ITP Conferenceon Future High EnergyColliders. University of California, Santa Barbara. 1996.

220. Yunakovsky A.D. Mathematical Simulation of Pitch-angular Diffusion in Raduiative Fields // Спектральные и эволюционные задачи вып. 3 Симферополь -. 1993. Крым, Украина. 1993. С. 104-106.

221. Yunakovsky A.D. Approximate Evaluation of Operator Exponential by Operator Compact Implicit Method // Spectral and evolutional problems. Vol.5, Simferopol. 1996. Simferopol, Crimea, Ukraine. 1996. C. 202-203.

222. Yunakovsky A.D. Simulation of the electromagnetic field collapse dynamics. // Ibid. C. 143-145.

223. Yunakovsky A.D. About attractors of trajectories of continuons descent for a square-law form of semibounded operator on a unit sphere // Spectral and Evolutional Problems.- vol.8, Symferopol. 1998. pp.166-170.

224. Yunakovsky A.D. Attractors of trajectories of a continuous descent for a square-law form of semibounded operator on a unit sphere // Nonlinear boundary value problems. 1998. № 8. pp.243-252.

225. Yunakovsky A.D. Wavelets and boundary value problems, j j Nonlinear boundary value problems. Book of abstracts. International conference Dedicated to J.P.Schauder, Lviv, August 23-29 1999. p.218.