автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие и модификация метода Зейделя приближенного решения операторных уравнений

На правах рукописи

КИРИЛЛОВА Людмила Николаевна

РАЗВИТИЕ И МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь - 2005

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Стеценко Владислав Яковлевич Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Федорснко Владимир Васильевич кандидат физико-математических наук, доцент Семилетов Владимир Андреевич

Ведушдя организация: Северо-Кавказский государственный

технический университет (г. Ставрополь)

Защита состоится 28 октября 2005г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета ДМ 212.256.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина 1, ауд. 214.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГУ по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина 1

Автореферат разослан « » у2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук,

доцент -ШБ.Копыткова

Ш- ""А*

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие математические модели экономических, физических, инженерных задач могут быть реализованы с помощью операторных уравнений. К операторным уравнениям приводится также широкий класс задач анализа, алгебры, теории интегральных и дифференциальных уравнений. При этом в большинстве случаев соответствующие уравнения приходится рассматривать в полуупорядоченных пространствах. Это объясняется тем, что, как правило, в постановке задачи практического содержания существенную роль играют соображения, связанные с положительностью решения или монотонной зависимостью решения от некоторых входящих в уравнение элементов. Так, например, при вариационном описании упругой струны нас интересует только положительное решение модели, отвечающее реальной форме струны.

Решение операторных уравнений при достаточно большом количестве неизвестных только в исключительных случаях удается найти в явном виде, например, в виде ряда. Поэтому для их решения приходиться использовать итерационные методы, которые позволяют найти приближенное решение с определенной степенью точности.

Актуальной задачей большого теоретического и практического значения является указание способа выбора наиболее рационального метода приближенного решения операторного уравнения При этом важно знать не только то, что выбираемый метод имеет более высокую скорость сходимости, но и иметь возможность провести сравнительный анализ эффективности применения того или иного численного метода, уметь оценить точность найденного приближения, а также оценить «зазор» скорости сходимости применяемых методов (т.е. сравнить выгоду, которую дает скорость сходимости, с трудоемкостью метода).

Исследованию этих вопросов и посвящена данная диссертация, которая продолжает исследования в области теории операторных уравнений и применение к их приближенному решению численных методов, проведенные М.Г. Крейном, О.И. Прозоровской, М.А. Красносельским, В.Я. Стеценко и их учениками.

В диссертации для отыскания приближенного решения операторного уравнения используется метод Зейделя, строятся его различные модификации, и проводится сравнительный анализ с методом последовательных приближений.

Цель и задачи диссертационной работы. Целью диссертационного исследования является указание способа выбора наиболее эффективного метода приближенного решения операторных уравнений посредством сравнения спектральных радиусов двух положительных операторов, разработка новых приемов ускорения сходимости итераций к решению операторных уравнений и их применение, уточнение оценок спектрального о «новатора

и априорных оценок решения операторного уравиения^ц^ иотецд |

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

1. Провести сравнительный анализ скорости сходимости метода Зейделя и метода последовательных приближений (МПП) к точному решению линейных систем алгебраических уравнений, интегральных уравнений, уравнений с абстрактным оператором, действующим в банаховом пространстве с телесным нормальным конусом, интегральных уравнений в пространстве функций с нетелесным конусом с целью указания наиболее рационального метода.

2. Разработать варианты модификации метода Зейделя по ускорению сходимости к точному решению различных классов операторных уравнений.

3. Уточнить двусторонние оценки значений спектрального радиуса линейного оператора.

4. Применить разработанные методы к нахождению приближенных решений операторных уравнений.

5. Создать программное обеспечение, позволяющее реализовать пред ложенные методы.

Научная новизна выполненной диссертации заключается в следующем:

1. При сравнении метода Зейделя с МПП получены достаточные условия, гарантирующие более высолю скорость сходимости метода Зейделя. Приведены формулы, характеризующие величину зазора между приближениями, полученными по методу Зейделя и по МПП при решении различных классов операторных уравнений.

2. Разработаны приемы ускорения сходимости метода Зейделя.

3. Получены более точные, по сравнению с ранее известными, оценки снизу и сверху спектрального радиуса линейного оператора.

4. Выведен алгоритм определения скорости сходимости метода Зейделя для уравнений в гильбертовом пространстве.

5. Предложен метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору х *, отвечающему ведущему собственному значению.

6. Разработаны программы на языке программирования TURBO PASCAL, позволяющие реализовывать некоторые из полученных в данной работе методов и алгоритмов.

Методы исследований. Решение поставленных научных задач основывается на использовании численных методов, математического моделирования, функционального анализа, теории положительных операторов, действующих в полуупорядоченных пространствах.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается строгостью постановки задач и производимых математических выкладок, базирующихся на теории операторных уравнений в полуупорядоченных банаховых пространствах и классическом функциональном анализе.

Эффективность предложенных методов подтверждается результатами ,, вычислительных экспериментов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая ценность заключается в получении новых достаточных условий, гарантирующих более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с МПП к точному решению различных классов операторных уравнений, а также в получении более точных оценок спектрального радиуса линейного оператора При этом появляется возможность установить не только качественную, но и количественную оценку скорости сходимости выбранного метода.

Практическая ценность представляется разработанными алгоритмами монотонных быстросходящихся приближений к решению операторных уравнений, рассматриваемых в различных пространствах, а также в возможности применения результатов исследования при анализе и решении конкретных задач математики (системы линейных алгебраических уравнений, интегральных уравнений), задач математической экономики, математической физики, механики и других задач, сводящихся к операторным уравнениям. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий по численным методам.

На защиту выносятся следующие положения:

1 Достаточные условия, обеспечивающие более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с МПП для различных классов операторных уравнений.

2. Варианты модификации метода Зейделя по ускорению сходимости к точному решению для различных классов операторных уравнений.

3. Уточненные оценки значений спектрального радиуса линейного оператора.

4 Метод построения приближений по недостатку и по избытку к точному решению линейных и нелинейных операторов.

Реализация результатов. Теоретические и практические результаты работы использованы в учебном процессе С ГУ в рамках дисциплин специализации.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002г.), на зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2003г.). На 49-й, 50-й научно-методических конференциях преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2004г., 2005г.). На IV, У-й региональных научно-практических конференциях «Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование» (Ставрополь, 2004г., 2005г.), на XXXIV научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Северо-Кавказского государственного технического университета за 2004 г. (Ставрополь, 2005 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы, 3 приложений.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В работе рассматриваются операторные уравнения вида

х = Ах + /, (1)

где А — оператор, действующий в том или ином (вполне определенном) банаховом пространстве Е, полуупорядоченном некоторым конусом К.

В диссертации используется терминология функционального анализа и, в частности, теории полуупорядоченных пространств.

Выпуклое множество К сг ¿'называется конусом, если вместе с каждой

своей точкой х оно содержит луч, проходящий через х, и если из х, - х е К вытекает, что х ^ 0 (лучом, проходящим через точку X Е Е X Ф 0,

называется совокупность точек X £ (( > 0)).

Конус К, содержащий внутренние элементы, называется телесным Если любой элемент х пространства Е может быть представлен в виде X = и — V (и, V € К), то конус называется воспроизводящим. Конус называется нормальным, если из неравенства 0 < X < у следует, что ||х|| < М ||_у|,гдеМ-сопяг - константа нормальности, не зависящая ни от х нисгту.

Множество К функционалов сопряженного пространства Е , принимающих неотрицательные значения на элементах конуса К а Е, называется сопряженной полугруппой. Для того чтобы полугруппа К была конусом, приходится налагать дополнительные условия на конус К

Будем говорить, что х0 6 К С Е является квазивнутренним элементом, и обозначать х0 » 0 , если для любого / е К* (/^0) выполняется

неравенство 1{х0 ) > 0 .

Положительный линейный оператор А называется неразложимым, если для любого X > 0 из неравенства X > осАх (а > 0) следует, что дг >> 0.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное по норме пространства Е множество в компактное множество.

Почти во всякой задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спектр соответствующего оператора Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Как известно, те значения Я, при которых уравнение

Ах - Ах = /,

где А — рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор ( А - /) 1 ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений Л , не являющихся регулярными, называется спектром оператора Л.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи работы, указаны научная новизна, практическая значимость, приведены основные положения, выносимые на защиту, изложено краткое содержание диссертации.

Глава 1 содержит обзор итерационных методов: МПП и метода Зейделя, решения операторного уравнения (1) Здесь проводится сравнительный анализ скорости сходимости этих методов при решении систем линейных алгебраических уравнений, записанных в операторном виде (1), щеА = (ац), xeR", f е R".

На основе анализа, проведенного по результатам работ М.А. Красносельского и В.Я. Стеценко, обосновываются достаточные условия, при которых метод Зейделя обеспечивает более высокую скорость сходимости к решению линейных систем алгебраических уравнений по сравнению с МПП. Для этого вводится понятие нормы матричных операторов как одной из возможных характеристик скорости сходимости МПП и приводятся точные значения и оценки матричных норм. Т.к. в любом конечномерном пространстве любые две нормы являются эквивалентными, то особый интерес представляет наименьшая из всех возможных норм или некоторая числовая характеристика, являющаяся инвариантом в классе всех эквивалентных норм пространства Е. Этим инвариантом является спектральный радиус линейного оператора.

Спектральным радиусом г (А) линейного оператора А, действующим в банаховом пространстве Е, называется величина

r(A) = lim a/LHI'

л->°о v ii ii

если этот предел существует.

Возможность эквивалентной перенормировки пространства приводит к тому, что норма неотрицательной матрицы будет сколь угодно близкой к значению спектрального радиуса.

Для оператора А в уравнении (1) будем считать выполненным условие г (А) < 1, которое достаточно как для сходимости метода последовательных приближений, так и для сходимости метода Зейделя.

Приведем известный результат (М.А. Красносельский «Положительные решения операторных уравнений». — М.:Физматгиз, 1962): для любого Л , удовлетворяющего неравенству \Я\ > \\Л ||, метод последовательных приближений

Яхт+1 = Ахт + / (т = ОД,...)

при любом начальном приближении xQ е. Е , сходится к точному решению х* (/) уравнения (1) со скоростью, не медленнее, чем геометрическая

'MP

w

• Причем сходится тем быстрее, чем меньше величина

прогрессия Ят ~

г(.Л)

И '

Применение метода Зейделя к системе (1) осуществляется по следующей формуле

где А = А1 + Л2 и

4 =

'о

а21

Vй«!

О

о

ап2

о

А,

*1 п

О а22 ... а

О О

2 п

ш J

(3)

в предположении, что матрица (/ — А{) 1, обратная матрице (/ — А, ) существует. Далее метод Зейделя запишем в виде МПП

*m+l=Dxm+fv (4)

где D = (/ - Ах)-' А2, /, =(/-/4,)-1/ . Это значит, что при соответствующей нормировке пространства Л" скорость сходимости метода Зейделя совпадает со скоростью сходимости Ml 111 (4), которая смоль угодно близка к скорости сходимости геометрической прогрессии со знаменателем близким к значению спектрального радиуса r(D) матрицы D.

Таким образом, в случае, когда

r(D) < г(А), (5)

метод (4) сходится быстрее МПП. При выполнении равенства f"(A ) = г ( D) скорости сходимости двух методов одинаковы.

Достаточные условия того, что метод Зейделя сходится не медленнее МПП, приведены в следующей теореме.

Теорема 1.11. Пусть А2 ^ 0 и выполняется условие г (А) < 1. Тогда выполняется неравенство r(D) < г (А), т.е. метод Зейделя определен и сходится не медленнее, чем метод последовательных приближений для решения уравнения X - Ах + /.

В §2 указаны условия, гарантирующие выполнение строгого неравенства (5), т.е. более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с МПП.

Теорема 1.12. Пусть матрица А; переводит каждый вектор и 0 с положительными координатами в вектор А{и0 с положительными координатами, т.е. из и0 » 0 следует, что А\Ы0 » 0.

Тогда имеет место строгое неравенство < г(А).

Следствием теоремы 1.12 является неравенство

г{А)-г{В)>^. (6)

Неравенство (6) позволяет оценить «зазор» между г( А ) и г (О ) и, тем , самым выяснить эффективность применения метода Зейделя в сравнении с МПП.

1 Этот «зазор» не меньше, чем правая часть неравенства (6).

Теорема 1.12 допускает развитие на случай, когда у матрицыне обязательно все элементы строго больше нуля, но, как и прежде, предлагается,

что А > О и г(А) < 1.

Оператор А называется и0-ограниченным снизу, где и0 > 0 — фиксированный ненулевой элемент конуса К, если для каждого х > 0 можно указать такое натуральное т=т(х) и такое а = С((х) > 0, для которых выполняется неравенство Атх > аи0, и называется и 0 - ограниченным сверху,

если для каждого х > 0 существует такое натуральное п = п(х) и такое

Р = р(х) > 0,что АПХ > /Зий.

Теорема 1.13. Пусть матрица А1 является М0 -ограниченным сверху оператором относительно конуса К^ и для элемента и 0 е К* при некотором

Рх > 0 выполняется неравенство А1и0 > Р\Чй. ТогОа г{П)<г{А).

§3 посвящен ускорению сходимости метода Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений вида (1). Для решения таких уравнений по методу Зейделя строятся приближения и м>п по недостатку и по избытку соответственно, которые являются монотонными и сходятся к единственному решению при этом для каждого п выполняется неравенство уп < х" < \\>п ■ В ряде случаев последовательности \уп } и {и'^ } сходятся к х" недостаточно быстро. В связи с этим указан прием, позволяющий построить новые двусторонние

приближения, сходящиеся кх', вообще говоря, быстрее, чем {уп } и }.

Двусторонние приближения уцобны, так как они одновременно содержат ^ апостериорные оценки погрешностей: приближения хп,м>п, локализуют

неизвестное решение X * уравнения (1) в конусном отрезке (уп, Ц>п У

В §4 рассматривается модификация метода Зейделя, также позволяющая ускорить процесс нахождения приближенного решения систем линейных алгебраических уравнений.

Присоединим к матрице А1 (3) главную диагональ, в этом случае метод Зейделя примет вид неявной схемы, при которой для определения (т+1)-то приближения по компоненте с номером /, необходимо решить для каждого /

одно скалярное уравнение с неизвестным у\т+^ Этот метод называем методом

Зейделя первого порядка. Соответственно, если в А] включить еще одну выше расположенную диагональ, параллельную главной, то для определения

придется решать систему двух уравнений с двумя неизвестными у Iт +1) и у ^^+1 -1

. Соответствующий метод называем методом Зейделя второго поряОка По аналоги вводятся методы Зейделя третьего и более высокого порядков. Теоретические результаты и вычислительные эксперименты свидетельствуют об увеличении скорости сходимости метода Зейделя с возрастанием «порядка» этого

метода. Несмотря на то, что с «ростом» матрицы Ах реализация метода Зейделя усложняется, эксперименты подтверждают, что чем выше порядок метода Зейделя, тем выше скорость сходимости приближений к точному решению. При

этом необходимо учитывать величину «зазора» между г(1У) и г (А): при незначительном отклонении этих величин, увеличивать порядок метода становиться нецелесообразно.

В этом же параграфе предлагается еще один вариант метода Зейделя, представляющий собой синтез метода Зейделя и метода однопараметрического итеративного агрегирования: решение уравнения X = (/ — )-1 А2х + (I — А1 )-1/ различных порядков ищется с помощью метода однопараметрического итеративного агрегирования Последовательность

= и...).где (т= V,

О ("*■»!) — — 1) А2Хт)

определяет алгоритм метода однопараметрического итеративного агрегирования в случае линейного операторного уравнения.

Глава 2 посвящена развитию метода Зейделя на случай интегральных уравнений и операторных уравнений произвольной природы.

В §1 этой главы исследуется применение метода Зейделя в пространстве для решения интегральных уравнений вида ь

*(/)= + Ь( о (7)

а

с непрерывным по совокупности переменных I и х, неотрицательным ядром К{1,5). Для этого класса уравнений применим как МПП

ь

Хт+1{г)= \К{1,*)хп{*)с1* + Ь{г) о = ОД,...)

так и метод Зейделя, который в данном случае может быть представлен в виде ь ь

= + + (от = 0,1,...) (8)

а а

где ^(¿,5) и ^2(/,5)тановы,что

= *2(/,5), (9)

К,(1,*)> 0, к2{1,8)> 0.

Тем самым, метод (8) можрго трактовать как достаточно полный аналог метода Зейделя решения линейных систем алгебраических уравнений. При этом в представлении (9) в качестве ядра К] (?, $) удобно брать вырожденное ядро, так как при построении приближений по методу Зейделя (8) необходимо на каждом (тл 1)-ом шаге решать интегральное уравнение (8) относительно неизвестной функции у т+] ( 5 ), что достаточно просто реализовывать в случае интегрального уравнения с вырожденным ядром. Это связано с тем, что такие уравнения можно свести к решению линейной системы алгебраических уравнений.

Уравнение (7) представимо в виде операторного уравнения (1), где

А = А1 + А2 ,и А1 —интегральный оператор с ядром К: >0 (г = 1,2).

Для интегральных операторов с неотрицательным ядром являющихся вполне непрерывными операторами в пространстве С [в], имеет место аналог теоремы Перрона: число Л = г(А) является собственным значением интегрального оператора А, и этому числу соответствует неотрицательная функция ь

х = х*^)>0: = г{А)х* (I), т.е. г(А) является

а

собственным значением ядра К (г, я).

Как и в случае решения линейных систем алгебраических уравнений, основой для сравнения этих двух методов служит сравнение спектральных радиусов исходного и вспомогательного интегральных операторов.

Теорема 2.1. Пусть для ядер Кх (/, 5) и К л) интегральных операторов А1 и А выполняется условие 0 < ^(/,5) < АГ(/,Л'), а также условие: г(А)<1, тогда метод Зейделя

Ут+1=Оут+(1-А1Г1Ь (т = 0,1, .),

ще £> = (/— А,)' А 2 > сходится, и имеет место неравенство /"(£)) < Т{А\

Естественно здесь, как и для случая линейных алгебраических систем, возникает вопрос о том, когда будет иметь место строгое неравенство

г(й) < г(А) (10)

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема

Теорема 2.2. Пусть интегральный оператор

а

переводит каждую положительную функцию и0 (?) в положительную

функцию А^и^^). Тогда справедливо неравенство (10).

Замечание. Полученное при доказательстве теоремы неравенство

. п, г(А) - р г(А)( 1-р) г(В)< ^^ < ^^> = г(А) (И)

позволяет оценить эффект ускорения сходимости метода Зейделя по сравнению с МПП. Этот эффект определяется величиной «зазора» между величинами г(Т)) и

г(А). Согласно оценке (11) он не меньше, чем Г\Л) \ - р 1 - 0 'и тем

больше, чем больше р. Величина /? > О определяется в соответствии с

неравенством Ахи0{1) > /?И0(/).

Отсюда следует «качественный» вывод: чем большая часть оператора А/ включена в оператор £>, тем заметнее будет эффект ускорения сходимости метода Зейделя в сравнении с МПП.

Предложенный в §3 плавы 1 метод ускорения сходимости двусторонних приближений к неизвестному решению X , полученных по методу Зейделя, в случае систем линейных алгебраических уравнений допускает дальнейшее развитие на случай решения линейных интегральных уравнений и систем таких уравнений. В пункте 1.4 § 1 главы 2 указаны приемы ускорения сходимости метода Зейделя.

В §2 исследуется применение метода Зейделя для уравнений (1) с абстрактным оператором, действующим в банаховом пространстве с телесным нормальным конусом. Более быструю сходимость метода Зейделя в сравнении с МПП подтверждает следующая теорема

Теорема 2.5. Пусть оператор А1 переводит множество К внутренних элементов К в себя• А1 К а К , конус К нормален и телесен Тогда

гф)<г{А).

Более того, если для и() е К выполняется неравенство А1и0 > /Зи(),

где р > 0 , то г( - В

г{В)<Г^[ <г{А) (12)

Неравенство (12), наряду с информацией качественного характера о более быстрой сходимости метода Зейделя, позволяет провести количественные исследования о том, насколько метод Зейделя сходится быстрее, чем МПП.

В том случае, когда скорость сходимости окажется не достаточно высокой исследуется возможность ускорения сходимости метода Зейделя.

В §3 предлагается развитие метода Зейделя на случай пространств с нетелесным конусом. Здесь преследуются интересы изучения интегральных уравнений в пространствах измеримых функций, суммируемых по абсолютной величине со степенью/7, те. в пространствах Ь р[а,Ь], а также интересы изучения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений в пространствах последовательностей 1р . При этом, прежде всего, имеются в виду пространства, в которых конус А'не обладает свойством телесности.

В таких пространствах важную роль играют уравнения с и0 -ограниченным снизу (соответственно, М0 -ограниченным сверху) оператором.

Оператор А называется и0-положительным, если для каждого х > 0 , существуют р = р(х), а = а(х) >0, Р — Р{х) > 0 такие, что выполняется неравенство

ахи0 < Арх < ^последующая теорема является развитием теоремы 2.5 на пространства функций с нетелесным конусом.

Теорема 2.6. Пусть операторы А и А1 являются и0положительными вполне непрерывными операторами относительно нормального и

воспроизводящего конуса К, пусть г(А) < 1. Тогда г (И) < г {А).

Оценка величины зазора между /*(/)) и г(А) приведена в следующей теореме.

Теорема 2.А Пусть операторы А и А1 являются и0 -положительными и для некоторого р > 0 выполняется условие Ахщ > /?и0 . Тогда

г (А) - г{П)> —Р— к ' 1 - р ■

Обоснование многих приближенных методов решения линейных операторных уравнений (в том числе метода Зейделя), а также различные теоретические вопросы требуют эффективных оценок спектрального радиуса линейных операторов.

Глава 3 посвящена уточнению ранее известных и получению новых оценок спектрального радиуса линейного оператора и их применению к оценке приближенного решения операторного уравнения. Основная идея метода получения оценок спектрального радиуса, развиваемая в этой главе и восходящая к П С. Урысону, О. Перрону, М.Г. Крейну, М А. Красносельскому и В.Я. Стеценко, состоит в том. что для достаточно широкого класса линейных положительных операторов оценку спектрального радиуса можно получить, исходя из характеристик поведения оператора на одном фиксированном элементе конуса К.

В § 1 главы 3 оценки спектрального радиуса матрицы, полученные в работах В.Я. Стеценко, распространены на более общий случай, в том числе, на случай интегральных операторов вида

Ax(t)= \K{t,s)x(s)ds (13)

с непрерывным или, в более общем случае, измеримым квадратично суммируемым неотрицательным ядром K(t,S). Здесь П-ограниченное замкнутое множество в R , а интеграл понимается в смысле Лебега.

Через г(А) обозначается спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K(t,s) , относительно которого предполагается выполненным условие

/иаДОМ*) ^ K(t,s) < Мах (s), ще ax(t), bx(s) € L2(Q), причем а,(Г), bx(s) > 0 (i,jeQ), тиМ — положительные постоянные В этих условиях оператор (13), действующий в пространстве L2(Wj, оставляет инвариантным монус К неотрицательных функций этого пространства и является неограниченным сверху оператором, где

и, = а^/).

Пусть для некоторой функции

и0 (0 * 0, и0 (/) > 0, щ (0 е L2 (Q), щ (/) >еах (/), где е^О, выполняется неравенство Atl0(t) < A0u0(t) и v0(0 = \uQ{t) — Au^it). Тогда продолжая исследования М А. Красносельского дающие оценку г (А ) < Л0, мы пришли к получению оценок снизу и сверху для величины [Я0 - г( А)\которые, в свою очередь, с одной стороны привели к двусторонним оценкам для г ( А ), а с другой стороны позволили уточнить ранее известные оценки для г (А)-

В перечисленных выше условиях справедлива теорема. Теорема 3.1. Справедлива двусторонняя оценка для спектрального радиуса г (А) оператора А:

jbi(t)v0(t)dt г ^bx{t)vQ(t)dt

Л°~Р llbl(t)uo{t)dt " Г(А) ~Л°~ Р ij>Muo(t)dt где функция v0 = v0 (t) определена формучой v0(t) = А$ид({) —Аи0(?).

Полученные оценки были развиты на случай абстрактных операторов, в том числе операторов, действующих в банаховом пространстве, полуупорядоченном воспроизводящим конусом К, при этом предполагалось, что конус К содержит квазивнутренние элементы.

Теорема 3.3. Пусть А — линейный вполне непрерывный положительный

на воспроизводящем конусе К оператор, обладающий свойством: г (А) > 0 ,

и для каждого элемента /, е К' существует а = а(1{) > 0 такое, что а10 < А */, < ар10, где /0 — фиксированный ненулевой элемент из К* , а р > 0 постоянная.

Пусть для некоторого квазивнутреннего элемента х0 6 К выполняется неравенство м>0 = Ах0 — а0х0 > О. Тогда справедлива двусторонняя оценка для г (А)

аа + 11^1<г{А)<ай+р1^А

р1 о(*о) 'оЮ

В §2 получены новые оценки сверху спектрального радиуса интегрального оператора вида (13).

Введем в рассмотрение функции РЦ) = ||а:(/,5)|й?5, 0,(1) = |[АГ(л',/)[<^5.

о а

Теорема 3.4. Пусть для некоторого а е [0;1] выполняется следующее неравенство

Ра{ ОеП) (14)

и, кроме того, выполняется одно из двух условий:

1°) в неравенстве (14) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль;

2°) в неравенстве (14) строгое неравенство выполняется для всех ( из некоторого множества ^ей, те$ч/ > 0, оператор А неразложим в

пространстве ¿р(С1).

Тогда спектральный радиус г(А) оператора А в пространстве Ь р(0.)

меньше, чем единица: Г (А) < 1 .

В §3 оценки спектра чьного радиуса полученные в предыдущих параграфах, используются дчя нахождения оценок решения операторного уравнения с чинейным почожительным и неразложимым оператором А, действующим в пространстве Е с телесным и нормальным конусом К. Рассмотрим уравнение

Лх = Ах + /. (15)

Теорема 3.5. Пусть и 0 внутренний элемент конуса К, а Л0 таково, что Л0и0 — Аи0 > 0- Тогда г(А) < Л0 и уравнение (15) имеет, и притом

единственное,решение х* = х*(/) для каждого X: \Л\> Л0прилюбом/еЕ.

00

Это решение преОставимо рядом Неймана х* - ^ т+1 , причем при

* т=оЛ

Л > Л^для решения X справедлива априорная оценка

~ ~(Ли0 -у0)<х'< Щ (Ли0 - у0)

.Л (А — Л0) А0)

Полученная оценка всегда лучше аналогичной оценки

*"> «0 < ** <

А --Л'

известной ранее (В.А. Галкина «Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений»)

В §4 предложен алгоритм определения скорости сходимости метода Зейделя для уравнений в гильбертовом пространстве. Мы опираемся на метод решения уравнения вида

Вх = Ь, _ (16)

где В — самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, предложенный С.Г. Крейна и О И. Прозоровской: если при выполнении ряда условий окажется, что спектральный радиус г(С) оператора С = (В1 + В2)~х В*2 меньше,чем 1, то к уравнению (16) применим М1111, быстрота сходимости которого определяется величиной НС).

Исследования в этом направлении были продолжены М А Красносельским и В .Я. Стеценко Ими установлено, что для таких уравнений метод Зейделя является сходящимся. Скорость сходимости метода определяется величиной спектрального радиуса оператора С, для которого установлена оценка

где у а определяется соотношением У {) = Бир !((./?, + Вг}х,х)| - л! I.

№

Так как у0 определено неявно, мы поставили задачу установить фактическое

значение величины г (С) или, по крайней мере, ее фактическую оценку сверху по определенным характеристикам тех операторов, которые входят в выражение оператора С.

Если в неравенстве (17) постоянную у0 заменить положительным числом 30, полученным по формуле 30 = |( В1 + В2 )ЗГ0, хи )| - |(52*, )| > где

Х0 —произвольный элемент конуса, нормированный условием , х0)= 1,

то при вьшолнении тех же условий имеем оценку сверху «отрыва» числа г ( С ) от числа 1.

В §5 излагается метод построения приближений по недостатку и по избытку

к положительному собственному вектору X*, отвечающему ведущему собственному значению.

В пункте 5.1. рассмотрен случай линейного положительного оператора. При решении задачи на отыскание собственных значений уравнения Лх = Ах алгоритм построения приближений по недостатку и и по избытку Уп , определяется теоремой 3.10.

Оператор А будем предполагать не только положительным, но и фокусирующим.

Оператор А называется фокусирующим на конусе К, если он2М0 — положительный и если дня всех X > 0, у > 0 существует постоянная X такая, что

0(Ах,Ау)<Ж2

При этом число X называется постоянной фокусирования.

В случае, когда А — линейный оператор с матрицей А из положительных элементов постоянная фокусирования определяется следующим образом (Красносельский М.А. и др. «Позитивные линейные системы: метод положительных операторов». — М.' Наука, 1985). Константа форсирования относительно конуса К + с: Я" линейного оператора А с матрицей А из положительных элементов определяется равенством

Х(А,К+)=тах р^-.

А А

Для всех х е Ки определим оператор А : Ах = ti—¡j—, который

lAxl0

рассмотрим на множестве Ех = К „о n Sx, где Sx = {х: х е EUg, |[х||я =1} •

Тогда рассматриваемая полуметрика S(x, у) является метрикой в Ех Всамом деле, из равенства д(х, у) = 0 (х, у е Ех) следует,что х = /иу, ц > 0, нотаккак = = 1, то // = 1, т.е. х = у .

Теорема 3.10. Пусть А — фокусирующий оператор с постоянной % ■

Тогда А имеет в Ки собственный вектор X , которому отвечает собственное значение Л1 = f( А) К этому вектору X сходится метод

Ах

хп+1 = ii-и— (« = 0,1,2,...) при любом х0 е Ки , х0 * 0. При этом

КИц.

п

справедлива оценка близости S(x*,xn)<-,jc0) , где q

1 - q

удовлетворяет неравенству (J ^-< 1. К собственному вектору X

% + 1

также сходятся последовательности Ип и Vп , причем и„ < х* < vn , где

2 > _ w2 w >

un- A Xq, xn— А

\bJ {a J

A

Оператор А является оператором сжатия, а постоянные aub таковы, что axQ < Ах0 < bx0 .

Если вместо оператора Л взять сопряженный оператор А* то аналогичным образом получаем способ построения приближений к собственному функционалу оператора А" ■

Здесь же предлагаются алгоритмы построения собственных векторов X * и

Г операторов Л и А* , соответствующих значению Л1 = г (А).

В процессе исследований оказалось, что приближения, сходящиеся

к вектору х*, можно построить для некоторых классов нелинейных операторов F(x). Этот случай рассматривается в пункте 5.2 Здесь выделен соответствующий класс нелинейных операторов F(x), действующих в полуупорядоченном банаховом пространстве, являющихся монотонными относительно нормального

конуса К и такими, что F (ах) < а м F(x), длявсех х е К и а е [1; + оо ],

где JU < 1, fj, - const.

Будем говорить, что хиу принадлежат одной составляющей С к (х) конуса

К, если существуют такие конечные числа X и // , что X < Лу, у < fjx, а сами элементы х и у в этом случае будем называть связными

Теорема 3.11. Пусть конус К нормален и пусть для некоторого и0 > О элементы и0 и F (и0) принадлежат одной составляющей конуса К. Тогда для всех Л > О оператор F(x) имеет на составляющей Ск (и0) собственный вектор х* (Я), отвечающий собственному значению X Этот вектор может быть построен методом последовательных приближений

= ~yF(xm при любом начальном приближении

л

Х0 е С к (и0) При этом справедлива оценка близости

ит

d(x*W,xm+](X))<f—d(XlW, х0(Л)). 1 - ц

По выше приведенным методам автором диссертации созданы программные продукты, позволяющие не только проиллюстрировать, но и значительно расширить результаты теоретических исследований. В частности, автором применялись язык программирования TURBO PASCAL, математические среды MathCad В результате расчетов накоплен большой экспериментальный материал, часть из которого приведена в настоящей диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты диссертации представляют собой развитие теории операторных уравнений и численных методов, в частности метода Зейделя для нахождения приближенного решения различных классов операторных уравнений, действующих в полуупорядоченных пространствах.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Проведен сравнительный анализ скорости сходимости метода Зейделя с МПП Получены достаточные условия, гарантирующие более высокую скорость сходимости метода Зейделя. Приведены формулы, характеризующие величину зазора между приближениями, полученными по методу Зейделя и по МПП при решении различных классов операторных уравнений.

2. Разработаны приемы ускорения сходимости метода Зейделя, позволяющие строить двусторонние приближения к точному решению уравнения вида х = Ах + /.

3. Разработан и апробирован на большом количестве примеров алгоритм ускорения сходимости метода Зейделя в зависимости от «порядка» метода.

4. Предложен синтез методов Зейделя и однопараметрического итеративного агрегирования ускорения сходимости монотонных приближений к решению систем линейных алгебраических уравнений.

5. Получены более точные, по сравнению с ранее известными, двусторонние оценки спектрального радиуса линейного оператора.

6. Предложен метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору х* отвечающему ведущему собственному значению.

7. Разработано программное обеспечение для ряда методов и алгоритмов, полученных в данной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ

В РАБОТАХ:

1 Стеценко В.Я , Кириллова JT.H , Плюта А.И Новые оценки сверху спектрального радиуса матричных и интегральных операторов // Международная ткола-семинар по геометрии и анализу памяти H В Ефимова Труды участников. -Ростов-на-Дону, 2002. — С.160-161.

2. Кириллова Л.Н. Принцип максимума относительного и абсолютного приращения в теории линейных интегральных уравнений и краевых задач // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н В Ефимова Труды участников. - Ростов-на-Дону, 2002. — С. 125-127.

3. Кириллова Л.Н. Об одном алгоритме определения скорости сходимости метода Зейделя //Современные методы теории функций и смежные проблемы' Материалы конференции. - Воронеж: ВГУ, 2003. — С. 121-122.

4. Кириллова Л.Н. Метод Зейделя решения интегральных уравнений в * операторной записи //Материалы 49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука — региону». — Ставрополь, 2004. — С. 162-167.

5. Черняев В.В., Кириллова Л.Н. Общие проблемы адекватности математических моделей экономическим процессам //Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование Сборник материалов IV региональной научно-практической конференции.—Ставрополь, 2004 —С. 117-121.

6. Стеценко В.Я., Кириллова Л.Н. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору линейных и нелинейных операторов //Вестнйк СГУ. — Ставрополь: Изд-во СГУ.— №38. — 2004, —С.5-13.

7. Кириллова Л.Н. Достаточное условие, гарантирующее более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений //Материалы 50-й юбилейной научно-методической конференции преподавателей и студентов СГУ «Университетская наука — региону». — Ставрополь 2005. — С. 167-172.

8. Стеценко В.Я., Кириллова Л.Н., Плюта А.И. Синтез методов Зейделя и однопараметрического итеративного агрегирования //Материалы 50-й юбилейной научно-методической конференции преподавателей и студентов СГУ «Университетская наука — региону». — Ставрополь 2005. — С. 172-176.

9. Кириллова Л.Н. Модификация метода Зейделя //Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование Сборник материалов V региональной научно-практической конференции. — Ставрополь, 2005. — С. 121-125.

10. Кириллова Л.Н., Стеценко В.Я. Возможность реализации метода Зейделя для абстрактных уравнений в банаховом пространстве с телесным и нормальным конусом //Материалы XXXIV научно-технической конф. по результатам работы профес.-препод, состава, аспирантов и студентов Сев.-Кав ГТУ за 2004 г. — Ставрополь: Сев.-Кав. ГТУ, 2005. — С. 95.

Подписано в печать 20.09.2005 г. Заказ № 195, тираж 100 экз. Отпечатано в типографии Ставропольского института управления

г*

РНБ Русский фонд

2006-4 16621

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Метод Зейделя и его развитие.

§1. Сравнительный анализ метода Зейделя с методом последовательных приближений.

1.1. Метод Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений.

1.2. Норма оператора как одна из возможных характеристик скорости сходимости метода последовательных приближений.

1.3. Точные значения и оценки матричных норм.

1.4. Спектральный радиус и его оценки.

1.5. О возможности эквивалентной перенормировке пространства, при которой норма неотрицательной матрицы будет сколь угодно близкой к значению ее спектрального радиуса.

1.6. Операторная форма записи метода Зейделя. Обобщение метода Зейделя.

§2. Достаточное условие, гарантирующее более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений.

§3. Ускорение сходимости метода Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений.

§4. Некоторые варианты модификации метода Зейделя.

4.1. Связь скорости сходимости метода Зейделя с его порядком.

4.2. Синтез метода Зейделя с методом однопараметрического 69 итеративного агрегирования.

ГЛАВА 2. Развитие метода Зейделя на случай интегральных уравнений и операторных уравнений произвольной природы.

§1. Метода Зейделя для приближенного решения интегральных уравнений.

1.1. Распространение метода Зейделя на класс интегральных уравнений.

1.2. Вспомогательные факты теории конусов.

1.3. Сравнение спектральных радиусов г(А) и r(D) интегральных операторов А и D = (I - А{ )-1 А2, где А = А{ + Аг.

1.4. Ускорение сходимости метода Зейделя.

§2. Метод Зейделя для уравнений с абстрактным оператором в банаховом пространстве с телесным и нормальным конусом.

2.1. Полуупорядоченное пространство.

2.2. Реализация метода Зейделя в случае абстрактного оператора.

2.3. Достаточное условие более быстрой сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений.

2.4. Ускорение сходимости метода Зейделя.

§3. Развитие метода Зейделя на случай пространств с нетелесным конусом.

ГЛАВА 3. Оценки спектрального радиуса линейного оператора.

§ 1. Двусторонние оценки спектрального радиуса линейных операторов.

1.1. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора.

1.2. Оценки спектрального радиуса абстрактного оператора.

1.3.Уточнение оценок спектрального радиуса.

§2. Новые оценки сверху спектрального радиуса интегрального оператора.

§3. Двусторонние оценки решения операторного уравнения.

§4. Алгоритм определения скорости сходимости метода Зейделя для уравнений в гильбертовом пространстве.

§5. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору лс*, отвечающему ведущему собственному значению.

5.1. Случай линейного положительного оператора.

5.2. Случай нелинейного оператора.

Многие математические модели экономических, физических, инженерных задач могут быть реализованы с помощью операторных уравнений. К операторным уравнениям приводится также широкий класс задач анализа, алгебры, теории интегральных и дифференциальных уравнений. При этом в большинстве случаев соответствующие уравнения приходится рассматривать в полуупорядоченных пространствах. Это объясняется тем, что, как правило, в постановке задачи практического содержания существенную роль играют соображения, связанные с положительностью решения или монотонной зависимостью решения от некоторых входящих в уравнение элементов.

Решение операторных уравнений при достаточно большом количестве неизвестных только в исключительных случаях удается найти в явном виде, например, в виде ряда. Поэтому для их решения приходиться использовать итерационные методы, которые позволяют найти приближенное решение с определенной степенью точности.

В последнее время с развитием электронно-вычислительной техники и увеличением ее быстродействия значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам. Это связано с тем, что численные методы являются важнейшим связующим звеном между постановкой задачи и ее реализацией на ЭВМ.

Актуальность темы. Актуальной задачей большого теоретического и практического значения является указание способа выбора наиболее рационального метода приближенного решения операторного уравнения. При этом важно знать не только то, что выбираемый метод имеет более высокую скорость сходимости, но и иметь возможность провести сравнительный анализ эффективности применения того или иного численного метода, уметь оценить точность найденного приближения, а также уметь оценить «зазор» скорости сходимости применяемых методов (т.е. сравнить выгоду, которую дает скорость сходимости, с трудоемкостью метода).

Исследованию этих вопросов и посвящена данная диссертация, которая продолжает исследования в области теории операторных уравнений и применение к их приближенному решению численных методов, проведенные М.Г. Крейном, О.И. Прозоровской, М.А. Красносельским, В.Я. Стеценко и их учениками.

Объектом диссертационных исследований являются приближенные методы решения различных классов операторных уравнений, а предметом -сравнительный анализ скорости сходимости метода последовательных приближений и метода Зейделя, различные модификации последнего.

Цель и задачи диссертационной работы. Целью диссертационного исследования является указание способа выбора наиболее эффективного метода приближенного решения операторных уравнений посредством сравнения спектральных радиусов двух положительных операторов, разработка новых приемов ускорения сходимости итераций к решению операторных уравнений и их применение, уточнение оценок спектрального радиуса линейного оператора и априорных оценок решения операторного уравнения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

1. Провести сравнительный анализ скорости сходимости метода Зейделя и метода последовательных приближений (МПП) к точному решению линейных систем алгебраических уравнений, интегральных уравнений, уравнений с абстрактным оператором, действующим в банаховом пространстве с телесным и нормальным конусом, интегральных уравнений в пространстве функций с нетелесным конусом, с целью указания наиболее рационального метода.

2. Разработать варианты модификации метода Зейделя по ускорению сходимости к точному решению различных классов операторных уравнений.

3. Уточнить двусторонние оценки значений спектрального радиуса линейного оператора.

4. Применить разработанные методы к нахождениям приближенных решений операторных уравнений.

5. Создать программное обеспечение, позволяющее реализовать предложенные методы.

Научная новизна выполненной диссертации заключается в следующем:

1. При сравнении метода Зейделя с МПП, получены достаточные условия, гарантирующие более высокую скорость сходимости метода Зейделя. Приведены формулы, характеризующие величину зазора между приближениями, полученными по методу Зейделя и по МПП при решении различных классов операторных уравнений.

2. Разработаны приемы ускорения сходимости метода Зейделя.

3. Получены более точные оценки, по сравнению с ранее известными, снизу и сверху спектрального радиуса линейного оператора.

4. Выведен алгоритм определения скорости сходимости метода Зейделя для уравнений в гильбертовом пространстве.

5. Предложен метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору х*, отвечающему ведущему собственному значению.

6. Разработаны программы на языке программирования С++, позволяющие реализовывать некоторые из полученных в данной работе методов и алгоритмов.

Методы исследований. Решение поставленных научных задач основывается на использовании численных методов, математического моделирования, функционального анализа, теории положительных операторов, действующих в полуупорядоченных пространствах.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается строгостью постановки задач и производимых математических выкладок, базирующихся на теории операторных уравнений в полуупорядоченных банаховых пространствах и классического функционального анализа.

Эффективность предложенных методов подтверждается результатами вычислительных экспериментов.

Практическая значимость работы. Практическая ценность представляется разработанными алгоритмами монотонных быстросходящихся приближений к искомому решению операторных уравнений, рассматриваемых в различных пространствах, а также в возможности применения результатов исследования при анализе и решении конкретных задач математики (системы линейных алгебраических уравнений, интегральных уравнений), задач математической экономики, математической физики, механики, и других задач, сводящихся к операторным уравнениям. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий по численным методам.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Достаточные условия, обеспечивающие более высокую сходимость метода Зейделя по сравнению с МПП для различных классов операторных уравнений.

2. Варианты модификации метода Зейделя по ускорению сходимости к точному решению различных классов операторных уравнений.

3. Уточненные оценки спектрального радиуса линейного оператора.

4. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к точному решению линейных и нелинейных операторов.

Реализация результатов. Теоретические и практические результаты работы использованы в учебном процессе СГУ в рамках дисциплин специализации.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002г.), на зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2003г.). На 49-й, 50-й научно-методических конференциях преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2004г., 2005г.). На 1У,У-й региональных научно-практических конференциях «Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование» (Ставрополь, 2004г., 2005г.), на XXXIV научно-технической конф. по результатам работы профес.-препод. состава, аспирантов и студентов Сев.-Кав. ГТУ за 2004 г. (Ставрополь, 2005 г.)

Диссертация состоит из введения, трех глав и приложений. В ней принята нумерация параграфов по главам, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер главы и порядковый номер утверждения или формулы.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Проведен сравнительный анализ скорости сходимости метода Зейделя с методом последовательных приближений. Получены достаточные условия, гарантирующие более высокую скорость сходимости метода Зейделя. Приведены формулы, характеризующие величину зазора между приближениями, полученными по методу Зейделя и по методу последовательных приближений при решении различных классов операторных уравнений.

2. Разработаны приемы ускорения сходимости метода Зейделя, позволяющие строить двусторонние приближения к точному решению уравнения вида х = Ах + /.

3. Разработан и апробирован на большом количестве примеров алгоритм ускорения сходимости метода Зейделя в зависимости от «порядка» метода.

4. Предложен синтез методов Зейделя и однопараметрического итеративного агрегирования ускорения сходимости монотонных приближений к решению систем линейных алгебраических уравнений.

5. Получены, более точные по сравнению с ранее известными, двусторонние оценки спектрального радиуса линейного оператора.

6. Предложен метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору х*, отвечающему ведущему собственному значению.

7. Разработано программное обеспечение для ряда методов и алгоритмов, полученных в данной работе.

Таким образом, результаты диссертации позволяют провести сравнение скорости сходимости различных вариантов метода Зейделя к приближенному решению операторных уравнений с целью выбора наиболее выгодного, т.е. такого варианта, который гарантирует наиболее высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с имеющимися. Более того, в тех случаях, когда соответствующая скорость сходимости окажется не достаточно высокой на основе изложенных результатов можно рассматривать вопрос о конструировании новых приближений, обеспечивающих более быструю сходимость.

140

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты диссертации представляют собой развитие теории операторных уравнений и численных методов, в частности метода Зейделя для нахождения приближенного решения различных классов операторных уравнений, действующих в полуупорядоченных пространствах.

1. Ando Т. On fundamental properties of a Banach space with a cone //Pacific T. Math. 12. - 1962. - №4. - S. 1-12.

2. Albrecht J. Numerische Math. 1962. V. 4. №3. P. 196-208.

3. Асимова Д.М. Об абстрактном методе Зейделя //ДАН Тадж. ССР. -1981. Т.24. № 10. - С. 587-591.

4. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. - 624 с.

5. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Ленинград, 1967. - 320с.

6. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. 1961.- Т.2, №3. - С.313-330.

7. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности положительных операторов //Сибирский математический журнал. -1962. Т.З, №1. - С.8-17.

8. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968. - 270с.

9. Вен В.Л., Эрлих А.И. Некоторые вопросы агрегирования линейных моделей //Известия АН СССР. Сер.техническая кибернетика. 1970.-№5. - С.3-8.

10. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000. - 266с.

11. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Наука, 1961.-407с.

12. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Физматгиз, 1967. -415 с.

13. Вулих Б.З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах: Учебное пособие. Калинин: Издательство калининского университета, 1978. - 84с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М: Наука, 2000. - 576с.

15. Гробова Т.А. Об одном новом варианте метода Зейделя //Материалы 46 научно-методической конференции преподавателей и студентов «XXI век век образования». - Ставрополь, 2001. - С.4-9.

16. Гробова Т.А., Стеценко В.Я. Об одной новой схеме реализации вариантов метода Зейделя //Вестник молодых учёных. Санкт-Петербург, 2001. - С.34-39.

17. Дзядыка В.К. О приближении функции линейными положительными операторами и сингулярными интегралами //Матем. сборник, 1966, т.70, №4.- с.508-517.

18. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. Локализация спектра линейного оператора // Междунар. Конгресс математиков (1966; Москва). Тезисы кр. науч. сообщений Междунар. Конгресса математиков. Секция 5. М., 1966 — С.45-47.

19. Есаян А.Р., Стеценко В.Я Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц //Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157, №2. - С. 12-19.21.3абрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.- 448 с.

20. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Наука, 1977. - 496с.

21. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684с.

22. Канторович JI.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962. - 708с.

23. Кириллова JI.H. Об одном алгоритме определения скорости сходимости метода Зейделя //«Современные методы теории функций и смежные проблемы», конф. (2003; Воронеж). Материалы конф-Воронеж, 2003.-С. 121-122.

24. Коровкин П.П. Линейные операторы и теория приближений. М.: Физматгиз, 1959.

25. Костенко Т.А. О разрешимости операторных уравнений второго рода линейными и нелинейными операторами // Материалы XLIII научно-методической конференции «Университетская наука региону».-Ставрополь: Изд.СГУ, 1998.- CI 11-122.

26. Коршунова Н., Плясунов В. Математика в экономике. М.: Издательство «Вита-Пресс», 1996. -368с.

27. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. - 394с.

28. Красносельский М.А. Правильные и вполне правильные конусы //Докл. АН СССР. 1960. - Т. 135. - №2. - С.241-255.

29. Красносельский М.Л., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. -456с.

30. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1965. - 624с.

31. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев В.И. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. М.: Наука, 1985.-256с.

32. Красносельский М.А. Лифшиц, Е.А., Покорный В.В., Стеценко В.Я. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений //Докл. АН Таджикской ССР. 1974. - T.XVII, №1. - С. 12-15.

33. Красносельский М.А. Островский А.Ю., Соболев А.В. О сходимости метода однопараметрического агрегирования //Автоматика и телемеханика. 1978. - №9. - С. 102-109.

34. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. Замечания о методе Зейделя // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. -Т.9, №1. - С.177-182.

35. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха //Успехи математических наук. 1948. - Т. 1, №3. - С.3-95.

36. Крейн С.Г., Прозоровская О.И. Аналоги метода Зейделя для операторных уравнений //Труды семинара по функциональному анализу, вып.5. 1957. - С. 117-124.

37. Кириллова JI.H. Модификация метода Зейделя //Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование. Сборник материалов V региональной научно-практической конференции. — Ставрополь, 2005. С. 117-121.

38. Кубекова Б.С., Стеценко В.Я., Гробова Т.А. О методе однопараметрического итеративного агрегирования // «Математика. Компьютер. Образование». Тезисы докладов восьмой междунар. конф. (31янв. 5 февр., 2001г.).- Пущино, 2001. - С.230-232.

39. Кузнецов Ю.А. К теории итерационных процессов //Докл. АН СССР. -1969. Т. 184, №4, - С.863-866.

40. Леонтьев В.В., Форд Д. Экономика и математические методы. М.: Наука, 1972.-242с.

41. Лифшиц Е.А. К теории полуупорядоченных банаховых пространств // Функциональный анализ и его приложения, 1969. Т.З, №1. - С.91-92.

42. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965.-520с.

43. Моришима М. Равновесие устойчивость рост. М.: Наука, 1972. -179с.

44. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.-518с.

45. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 327с.

46. Павлова М.Н., Стеценко В.Я., Кубекова Б.С. Об одном методе построения двусторонних приближений к решению операторногоуравнения с монотонно разложимым оператором.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 2001.- Т.41, №6.- С.846-854.

47. Павлова М.Н. Развитие второго метода Островского для интегральных операторов //Сборник научных трудов. IV Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Т.2, 4.II. - Кисловодск, 2000. - С.53-54.

48. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: «Наука», 1965.- 127с.

49. Плюта А.И. Об одном варианте метода Зейделя //Журнал «Математическое моделирование».- 2003.- т.15, №12.- С.79-85.

50. Стеценко В.Я. Критерий неразложимости линейных операторов // УМН.- 1966.-Т. 21. Вып.5 (131).- С. 265-666.

51. Стеценко В.Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора//УМН.- 1967. Т. 22. Вып. 3 (135). С. 242-244.

52. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов впространствах с конусом: Дисс.д-ра физ.-мат. наук. Воронеж,1968.-307с.

53. Стеценко В.Я. Об одном методе сходимости итерационных процессов //Докл. АН СССР. 1968. - Т. 178, №3. - С. 1021 -1024.

54. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений: Учеб. пособие. Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998. - 168с.

55. Стеценко В.Я., Костенко Т.А. Квалифицированные двусторонние оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора //

56. Ставропольский государственный университет, Ставрополь. 1997. -1 Зс. Деп. в ВИНИТИ 14.11.97. №3321 - В97.

57. Стеценко В.Я., Костенко Т.А. Метод ускорения сходимости приближений к спектральному радиусу линейного положительного оператора и к решению линейного операторного уравнения //Вестник СГУ. 1999. - Вып.20. - С.З - 13.

58. Стеценко В.Я., Кириллова Л.Н., Плюта А.И. Новые оценки сверху спектрального радиуса матричных и интегральных операторов //Труды участников «Междунар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова». Ростов-на-Дону, 2002.-С.160-161.

59. Стеценко В.Я., Кириллова Л.Н. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору х* линейных и нелинейных операторов //Вестник Ставропольского государственного университета. Ставрополь, 2004.- №38. - С. 5-13.

60. Стеценко В.Я. Об одном итерационном методе отыскания спектрального радиуса линейных положительных операторов //Матем. сб.- 1965. Т. 67 (109): №2. С. 210-219.

61. Стеценко В.Я., Плюта А.И. О некоторых методах построения монотонных приближений к решению линейных операторных уравнений //Материал региональной науч. конф. «Теоретические и прикладные проблемы современной физики». Ставрополь, 2002. -С.281-284.

62. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М:. Наука, 1964.-304с.

63. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М:. Физматгиз, I960. - 656с.

64. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.:. Мир, 1969. - 354с.

65. Функциональный анализ /Под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1972. -544с.

66. Шаабан М. Обобщенная норма интегральных операторов и матриц // Изв. АН Таджикской ССР. 1998. - Т.108, №2. - С.3-12.

67. Щенников Б.А. Применение метода итеративного агрегирования для решения систем линейных уравнений //Экономика и математические методы. 1966. Т.2, №5. - С.723-731.