автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Об итерационных методах решения операторных уравнений второго рода

На правахрукописи

ПЛЮТА Алексей Иванович

ОБ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО РОДА

05.13.18. - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь - 2004

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор Стеценко Владислав Яковлевич

Официальные оппоненты: Доктор технических наук, профессор

Червяков Николай Иванович Кандидат технических наук Толпаев Владимир Александрович

Ведущая организация: Вологодский государственный

университет

Защита состоится «12» марта 2004г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.256.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1 физико-математический факультет, ауд. 214

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ по адресу: 355000, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

Автореферат разослан «10 ъфЬл&фХ 2004г.

Ученый секретарь у

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук ^Копыткова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При решении широкого класса задач математического анализа, алгебры, экономики требуется находить решение операторных уравнений. В тех случаях, когда процесс отыскания точного решения является затруднительным, мы используем итерационные методы, позволяющие найти приближенное решение с определенной степенью точности. Соответствующий класс задач можно представить с помощью операторного уравнения вида

с линейным или нелинейным оператором А, действующим в банаховом пространстве Е, и свободным членом f из этого пространства. -

Следует отметить, что такие уравнения, также описывают некоторые экономические модели, например, модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое га которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребности в этом продукте. Отсюда происходит название модели.

Впервые балансовые модели начали использоваться в СССР в 20-х годах. В более или менее законченном виде теория балансовых моделей была разработана американским ученым В.В. Леонтьевым в середине 30-х годов. Однако в те годы ни уровень развития математической науки, ни качество вычислительной техники не позволили широко распространить балансовый метод.

За разработку и внедрение в практику метода межотраслевого баланса группа советских экономистов под руководством академика А.Н. Ефимова в 1968 году была удостоена Государственной премии СССР. В настоящее время большое число работ посвящается этой модели и ее применению для решения различных задач. Такой интерес к балансовой модели определяется тем, что, как оказалось, эта модель хорошо отображает многие существенные особенности современного производства и в то же время легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования.

В связи с появлением ЭВМ большой мощности значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых граничит с проведением вычислительного эксперимента. Потребность в таком подходе к решению задач математической экономики диктуется все усложняющимися запросами практики, а также связана с попыткой создания более рациональных общих теоретических моделей для изучения сложных экономических явлений.

х=Ах+f

0)

РОС,НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

*

Активное использование методов численного моделирования позволяет резко сократить сроки научных и конструкторских разработок.

Поэтому, в качестве довольно распространенных задач такого типа, например, встречается задача о существовании у таких уравнений решения х = х , обладающего свойством. неотрицательности. Процесс отыскания как точного, так и приближенного решения уравнений (1) является весьма затруднительным при достаточно большом количестве неизвестных. Такого рода задачи специфичны в задачах экономики, для которых экономический смысл имеет, как правило, лишь неотрицательные решения. Также важно уметь строить приближения и„ и, соответственно, \>„ к решению х операторного уравнения вида (1), такие что

ип :£ х' £ уп .

При этом, оказывается, параллельно решаются две важные задачи теории приближенных методов решения операторных уравнений - задача об оценке погрешности приближенного решения, а также задача об априорной оценке относительной погрешности приближенного решения.

Цель диссертационной работы - приближенное решение операторных уравнений вида (1) в случаях, когда спектральный радиус г(А) оператора А не обязательно меньше единицы; построение итерационных последовательностей сходящихся к решению уравнения (1), к собственным значениям и собственным векторам оператора А ; разработка новых методов, позволяющих повышать скорость сходимости итераций к решению уравнения (1); разработка соответствующего программного обеспечения, позволяющего реализовать предложенные методы.

Научная задача исследований состоит в разработке новых методов решения операторных уравнений, описывающих экономические модели (модель межотраслевого баланса).

При решении поставленной общей научной задачи получены результаты по ряду частных задач:

1. Проведение анализа известных численных методов построения приближений, сходящихся к спектральному радиусу оператора и к собственным векторам.

2. Разработка и анализ алгоритмов, позволяющих строить приближения, сходящиеся к точному решению операторных уравнений, в тех случаях, когда спектральный радиус оператора не обязательно меньше единицы.

3. Разработка алгоритмов решения операторных уравнений, обладающих высокой скоростью сходимости построенных приближений к точному решению.

4. Разработка соответствующего программного обеспечения, позволяющего реализовать разработанные алгоритмы решения операторных уравнений.

Методы исследований. Для решения поставленных в работе научных задач использованы идеи и методы классического функционального анализа и теории положительных, а также монотонных операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений вида (1) с квадратной матрицей А , в случае, когда наибольшее по модулю собственное значение матрицы А , больше чем единица.

2. Методы получения двусторонних оценок точного решения х* операторного уравнения вида (1), в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы, а также подходы к уточнению полученных оценок.

3. Синтез методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х* уравнения вида (1) и однопараметрического итеративно -го агрегирования.

4.Метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида (1), в случае выбора в качестве начальных приближений вектор||, которые ограничивают точное решение уравнения вида (1) «сверху» и «снизу».

5. Вариант метода Зейделя, позволяющий строить приближения, сходящиеся к точному решению х* уравнения (1) с помощью метода ускорения сходимости.

Научная новизна диссертационной работы. Результаты работы представляют собой развитие теории линейных и нелинейных операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах. Так, например, предложены методы решения операторных уравнений вида (1) в случаях, когда у оператора А спектральный радиус Г(А) не обязательно меньше единицы. Предложен метод построения двусторонних оценок точного решения операторного уравнения вида (1) в случае, когда спектральный радиус не обязательно меньше единицы. Предложены варианты методов, позволяющие строить приближения к решению уравнений вида (1), обладающие достаточно высокой скоростью сходимости. Разработано про-

граммное обеспечение на языке программирования TURBO PASCAL, позволяющее реализовывать предложенные итерационные методы.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в получении новых оценок точного решения уравнения (1), разработке новых методов решения уравнения (1)

Практическая ценность работы заключается в возможности применения полученных методов решения уравнения (1) при решении конкретных задач математики и экономики. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий.

Реализация результатов. Теоретические и практические результаты работы использованы в учебном процессе СГУ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной летней школе молодых ученых «Итерационные методы и матричные вычисления» (г. Ростов-на-Дону, 2002), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002), на региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики» (г. Ставрополь, 2002), на зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г.Воронеж, 2003), на региональной школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (п.Абрау-Дюрсо, 2003 г.) и неоднократно на семинарах кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета (руководитель - профессор В.Я. Стеценко).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ [1-7]. Часть результатов диссертации получена автором совместно с научным руководителем профессором В.Я. Стеценко, при этом В.Я. Стеценко в соответствующих результатах принадлежат постановка задач и общие рекомендации относительно метода их решения, а автору диссертации реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих утверждений.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и программного обеспечения, оформленного в приложении. В ней принята сквозная нумерация параграфов, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы в нем. Диссертация изложена на 167 страницах, список использованной литературы содержит 82 наименования.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность д-ру физ.-мат. наук, проф. ВЛ. Стеценко за постановку задач и общие рекомендации к их выполнению, обсуждение полученных результатов, оказанную помощь и поддержку при работе над диссертацией.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Проиллюстрируем обзор содержания работы с кратким обзором некоторых известных результатов, непосредственно связанных с рассматриваемым кругом вопросов. Прежде чем перейти к обзору содержания работы, приведем некоторые определения.

Будем рассматривать банахово пространство Е, полуупорядоченное конусом К, и оператор А произвольной природы, действующий в Е.

Замкнутое выпуклое множество КаЕ называется конусом, если вместе с каждой своей точкой X оно содержит луч (лучом, проходящим через точку х&Е хФв, называется совокупность точек tx (i>0)), проходящий через JC , и если из х,—х е К вытекает, что х = 9.

Конус К называется телесным, если он содержит внутренние элементы. Если любой элемент х пространства Е может бьпь представлен в виде x = u—v (u,vgK), то конус К называется воспроизводящим. Конус К называется нормальным, если из неравенства следует, что где М - const - константа нормальности, не зависящая ни от х, ни от у .

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное по норме пространства Е множество в компактное множество.

Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спектр соответствующего оператора. Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Напомним, что те значения Я, при которых уравнение

где А — рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор (A — I)'1 ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений Л, не являющихся регулярными, называется спектром оператора А и обозначается cr(/l). Спектральным радиусом г(А) оператора называется число, определенное формулой

г(а) = sup|A|, (л е сг(а)).

Во введении обоснована актуальность диссертационных исследований, сформулирована цель работы, показана научная новизна основных результатов, практическая значимость, указаны основные положения, выносимые на защиту.

Глава I посвящена обзору известных итерационных методов решения операторного уравнения вида (1). По изложенным в f лаве I методам

автором составлены программы на языке программирования TURBO PASCAL. При,помощи этих программ реализовывались рассмотренные методы на конкретных примерах.

В § 1 главы I исследуется метод последовательных приближений. Система уравнений

тем или иным методом преобразуется к виду системы уравнения "второго рода", т.е. к виду (1), после чего её решение находится как предел последовательности хт+1:

где А - матрица порядка (лхи), f - свободный в е к т/>фД", х - неизвестный вектор, xeR", Xq- начальное приближение. Этот метод (2) называется методом простой итерации.

При решении уравнения вида (1) методом последовательных приближений (2) по заданной точности вычислений бывает важно определить число итераций "m".

При известных условиях к решению уравнения (1) сходится итерационный процесс (2), при любом начальном приближении Xq, при этом таковыми известными условиями является одно из следующих условий:

Пусть £>0 заданное число, тогда для того чтобы гарантировать неравенство:

'— —h -*oL < е, (/ = 1,2,3) 40 i-Çi

где соответственно одна из норм,

1(/)

положим

тогда достаточно определить т по формуле:

т = [г]+1,

где [г] обозначается значение функции "антье от г", т.е. обозначает целую часть числа г. Напомним, что \г\ - наибольшее целое число, не превосходящее числа г.

На страницах §1 рассмотрены соответствующие примеры, когда по заданной точности е определяется количество приближений к вектору являющимся решением данной системы уравнений, с заданной точностью е.

В §2 рассматривается метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида (1). Предполагается, что спектральный радиус г(т4)<1; поэтому уравнение (1) имеет единственное решение х*, которое является пределом последовательных приближений

при любом начальном приближении х0е Е. Допустим, что начальное приближение выбрано так, что

«0<Л«0+/. (3)

Тогда последовательные приближения

будут удовлетворять соотношениям

щ й щ <.... <> и„ £ ил+1 й... ^ X*.

Аналогично, если начальное приближение х0 = у0 удовлетворяет соотношению

vQ>AvQ+f, (4)

то последовательные приближения

удовлетворяют соотношениям

Таким образом, если удается найти элементы и0 и у0 , удовлетворяющие соответственно соотношениям (3) и (4), то мы получаем монотонные приближения к точному решению х операторного уравнения (1).

В §2 предлагается определение поправочных коэффициентов р{ и д1, таких что выполнены следующие неравенства:

Тогда определим элементы

(6)

Аналогично по u„,v„ строятся приближея^^рторые можно рассматривать как способ уточнения приближений un,V*„ к точному решению х . Формулы (5) и (6) рассмотрены как рекуррентный процесс построения последовательностей

Рассмотренный выше метод ускорения сходимости проиллюстрирован соответствующими примерами.

В §3 главы I рассматривается метод однопараметрического итеративного агрегирования применительно к линейным операторным уравнениям. Данный метод проиллюстрирован соответствующими примерами, реализованными на программах на языке программирования TURBO PASCAL. Вычислительная практика свидетельствует о высокой сходимости метода однопараметрического итеративного агрегирования и при нарушении известных условий.

В §4 главы I рассматривается одно обобщение метода однопарамет-рического итеративного агрегирования в случае применения к нелинейным уравнениям. Данный метод также проиллюстрирован соответствующими примерами, реализованными на программах, на языке программирования TURBO PASCAL. Многочисленные примеры выявили некоторые «интересные» особенности рассматриваемого метода.

Глава II посвящена исследованию итерационных методов построения приближений, сходящихся к спектральному радиусу и собственному вектору линейного оператора.

Так в §5 главы II рассмотрены различные способы построения приближений, сходящихся к спектральному радиусу

Алгоритм получения оценок как сверху так и снизу для значений спектрального радиуса г(А) оператора А базируется на следующей теореме:

Теорема 5.2 Пусть u0 е - вектор у которого все компоненты (м0), Сï—1,2,..) являются положительными числами: (и0)1 > 0. Пусть aèO и Р^О таковы, что

аи0 £ Аи0 £ /Зи0

(здесь и далее запись xty, x,yeR" означает, что для всех i = \,n выполняются неравенства (х), "¿.(у),). Тогда а£г(А)</3.

При этом если ап, Д, соответственно таковы, что

а„ = таху

.1

pn = mm\p:Anu0<puQ\

соответст-

и при этом последовательности jû^'"! И ^л'"} сходятся, венно монотонно возрастая и монотонно убывая, кг(А).

По предложенному алгоритму в теореме 5.2 автором была разработана соответствующая компьютерная программа на языке программирования TURBO PASCAL. Данная программа была апробирована на большом количестве примеров, которые представлены в §5.

Этот алгоритм в аналогичной форме приемлем для получения оценок снизу, соответственно сверху для спектрального радиуса линейного оператора вида

с неотрицательным непрерывным ядром K(t,s) .

Также в §5 указаны признаки, обеспечивающие выполнение условия r(A)< 1.

Получены соответствующие признаки для случая; когда А - интегральный оператор вида. Ах (i) = , в котором Î2 - ограничен -ное замкнутое множество из евклидова пространства функ-

ция, для которой при некоторых

выполняется условие:

(7)

При выполнении условия (7) оператор А , как известно, действует в пространстве Ьр{П) и является вполне непрерывным оператором в этом

пространстве.

Предварительно напомним определение неразложимости оператора. Положительный линейный оператор А назовем неразложимым, если из того, что х > в,х 2: ссАх (а > 0), следует, что х» в.

Введем в рассмотрение следующие функции

P(t) = J| K(t,s) | ds, Q(t) = J| K(s,t) | ds.

Теорема 5.3. Пусть для некоторого а е [0,l] выполняется следующее неравенство

Pa{t)Qx-a{t)<\, {ten) (8)

и, кроме того, выполняется одно из двух следующихусловий:

1°) в неравенстве (8) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль;

2°) в неравенстве (8) строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого множества О) €^3, meso>>0, оператор А - неразложим в пространстве

Тогда спектральный радиус г(А) интегрального оператора А в пространстве Lp{i2) меньше чем единица:

r(A)< 1.

В §6 главы II рассмотрены различные способы построения приближений сходящихся к собственному вектору оператора^, отвечающего собственному значению г(А).

Оператор А будем предполагать при этом не только положительным, но и фокусирующим. Напомним определение фокусирующегося оператора.

Определение 6.1. Оператор А называется фокусирующим на конусе К, если он щ -положительный и если для всех х > в,у > в существует постоянная к2, такая что

0(Ах,Ау)<к2.

При этом число к назовем постоянной фокусирования. Приведем критерий фокусирования.

Утверяедение 6.1. Для того чтобы положительный оператор А был фокусирующим, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие щеК, р — const, что для каждого хв К выполняетсянеравенство Л(х)и0 <4х< рЛ(х)и0.

Здесь и0 - фиксированный элемент конуса К. Это утверждение означает, что

Тогда алгоритм построения приближений,- сходящихся к собственному вектору оператора А определяется следующей теоремой:

Теорема 6.3. Пусть А - фокусирующий оператор с постоянной к. Тогда А имеет в К„о собственный вектор X , которому отвечает собственное значение \ . Кэтому вектору X сходится метод

при любом х0 € К„о,Х0 ^ в . При этом справедлива оценка близости

где q удовлетворяет неравенству

. к — i

АГ + 1

<1.

К собственному вектору х такжесходятсяпоследовательности и„ и v„, которыеудовлетворяют следующему неравенству

ипйх <V„

где

а постоянные а и Ъ таковы, что

ах0 < Ах0 < Ьх^

Рассмотренные в §6 методы накладывают на оператор; А дополнительные условия и ограничения.

Также рассмотрены и построены приближения, ведущие к собственному вектору х для некоторых классов нелинейных операторов F(x) . Здесь выделен соответствующий класс нелинейных операторов F(x), действующих в полуупорядоченном банаховом пространстве, являющимся монотонным относительно нормального конуса К и таким, что

F(ax)<aMF(x)

для всех

В главе III рассмотрены новые конструкции и алгоритмы построения приближений, сходящихся к точному решению х операторного уравнения вида (1).

Так в §7 главы III рассмотрен метод перехода от уравнения вида (1) с матрицей А, к уравнению

с матрицей В, спектральный радиус которой меньше, чем спектральный радиус матрицы

Этот прием основан на предварительном преобразовании уравнения (1) к новому уравнению вида (9), для которого будет выполнено неравенство:

r(B)< 1

и, следовательно, для решения которого может быть использован метод последовательных приближений:

при любом начальном приближении

Соответствующий метод основан на результатах работ В.Я Стецен-ко, Т.А. Костенко, В.А. Семилетова и заключается в следующем.

Пусть у оператора А среди собственных значений только одно больше единицы, тогда:

1°) нормируем собственные векторы х* И I* матрицы А и А*, соответственно условием

2°) по матрице «JI строим матрицу В согласно формуле

где Aj = г(А). При этом явный вид матрицы В может быть найден по виду матрицы А и виду векторов х и /'. Спектр матрицы В расположен внутри круга с центром в начале координат и радиусом равным единице, что позволяет применять для решения уравнения с матрицей В метод последовательных приближений.

На самом деле этот метод обладает существенно большими потенциальными возможностями, в силу которых предлагается прием решения уравнений вида (1) с матрицами А , необязательно являющихся неотрицательными матрицами. Этот метод был реализован на языке программирования TURBO PASCAL для матриц А , спектральный радиус которых больше единицы. В §8 главы III рассмотрен метод получения оценок вида: ий X* ¿V,

где неизвестное решение линейного операторного уравнения вида (1).

Соответствующие оценки базируются на следующих теоремах: Теорема 8.1. Пусть хп_р,х„,хп+р (« = 0,1,2,...) соответствующие приближения к решению х метода последовательных приближений

Подчеркнем, что при этом сходимость этих последовательных приближений к х заранее не предполагается.

Пусть постоянная у такова, что у б [0;1) и при этом выполнено неравенство

Тогда для решения X уравнения (1) (если это решение существует) справедлива следующая оценка

которую естественно назвать априорной оценкой "сверху"неизвестного решениях .

Теорема 8.2. Пусть х„_р,х„,Хп+р (и = 0,1,2,...)соответствующие

приближения к решению методапоследовательныхприближений.Пусть постояннаяр такова, что ¡3 < 1 иприэтомвыполняетсянеравенство

то справедлива следующая априорная оценка "снизу" для неизвестного решения

р

Х ^ Хп + р~*~ | р\хп+р хп)-

Отметим тот факт, что предложенный метод получения оценок точного решения х операторного уравнения вида (1) эффективен и в том случае, когда т-(Л)>1.

В §9 главы Ш рассмотрены подходы к уточнению границ решения операторных уравнений вида (1) в случае, когда спектральный радиус г(А) не обязательно меньше единицы. Соответствующие уточнения базируются на следующих теоремах.

Теорема 9.1. Пусть оператор Ар является и0 - ограниченным снизу. Пусть выполнено неравенство

хп+р-хг,£ г{хп - хп-р ) (10)

и у > 80.

Тогда имеет место следующее уточнение оценки "сверху" для решения х уравнения (1):

У , 3

щ,

(И)

1 -Г

где у и 30 определяются согласно (8) и

(¿о >°).

а

Теорема 9.2. Пусть оператор Ар является и0 - ограниченным снизу. Пусть для последовательных приближений хп+р,хп,хп„р, где пир фиксированные натуральные числа (п>р), выполняется неравенство

причем 0<у9<1 и р>8§.

Тогда имеет место следующее уточнение оценки "снизу" для решения х уравнения (1):

-х„)+-

-«0,

где /3 и 30 определяются в соответствии с неравенствами и (11), а

В §10 главы III предлагается один вариант метода, позволяющего строить приближения к решению системы линейных уравнений вида (1), обладающего достаточно высокой скоростью сходимости. Предлагаемый вариант по существу представляет собой сочетание методов итеративного агрегирования (см. §3) и использует идею ускорения сходимости для известного варианта ускорения сходимости метода последовательных приближений (см. §2). Предлагаемый в данном параграфе метод по существу гарантирует достаточно высокую степень сходимости к исходному решению и отличается простотой в его реализации. Немаловажной особенностью этого метода является то, что этот метод способен сходится к решению уравнения вида (1) и в случае, когда спектральный радиус матрицы А больше единицы г(А) > 1, чего не могут себе позволить хорошо из-

вестные итерационные методы решения операторных уравнении, например метод наискорейшего спуска. Преимущества предлагаемого метода также проиллюстрированы соответствующими примерами и графиками.

В §11 главы III приближения "снизу" и "сверху" к точному решению

х* операторного уравнения вида (1), строятся по методу ускорения сходимости монотонных приближений (см. §2) к точному решению х* уравнения вида (1) по следующим формулам:

Здесь в качестве начальных приближений Mq'vo предлагается выбрать векторы, полученные по следующим формулам:

где х„^р,х„,хп+р {п = 0,1,2,...) соответствующие приближения к решению х метода последовательных приближений:

*»+1 = Ахп +/>(" = 0,1,2,...)

постоянная /? такова, что ¡i < 1 и при этом выполняется неравенство: Р^л-Хв-р^Хя+р-Хп

постоянная у такова, что у е [0,1) и при этом выполнено неравенство:

В §12 главы III рассмотрен вариант метода Зейделя. Одна из возможных интерпретаций метода Зейделя решения линейных алгебраических систем и более общих операторных уравнений заключается в следующем. Если требуется решить уравнение вида (1), то при условии, что

а=а,+а2

и в предположении, что существует обратный оператор к оператору (i-a¡), уравнение (1), можно переписать в эквивалентном виде

после чего к полученному уравнению применить метод последовательных приближений

который можно также записать в виде

Т.е. по сути, применять метод последовательных приближений для решения операторного уравнения вида

x = Dx + h, (12)

Именно такую интерпретацию допускает классический метод Зейде-ля решения линейных систем алгебраических уравнений.

Суть излагаемого в данном параграфе варианта метода Зейделя, для построения приближений, сходящихся к точному решению операторного уравнения, состоит в том, что к полученному уравнению (12) предлагается применить метод ускорения сходимости приближений рассмотренный в §2. Здесь также исследовано влияние порядка метода Зейделя на скорость сходимости приближений.

По всем вышеприведенным методам автором диссертации созданы программные продукты, позволяющие не только проиллюстрировать, но и значительно расширить результаты теоретических исследований. В частности, автором применялись язык программирования TURBO PASCAL, математические среды MathCad. В результате расчетов накоплен большой экспериментальный материал, заметная часть из которого приведена в настоящей диссертации.

Заключение

Проведенные в диссертационной работе исследования направлены на разработку новых методов решения операторных уравнений, описывающих экономические модели (модель межотраслевого баланса). Получены следующие научные и практические результаты.

1. Разработан и апробирован на большом количестве примеров итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений вида х = Ах + / с квадратной матрицей А , в случае, когда наибольшее по модулю собственное значение матрицы А , больше чем единица.

2. Предложен метод получения двусторонних оценок точного решения X операторного уравнения видах = Ах + f, в случае, когда спектральный радиус не обязательно меньше единицы, а также подходы к уточнению полученных оценок. Метод проиллюстрирован соответствующими примерами.

3. Получен синтез методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению je* уравнения вида х = Ax + f и однопараметриче-ского итеративного агрегирования.

4. Разработан и апробирован на большом количестве примеров вариант метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х = Ах + f, в котором упрощена задача поиска начальных приближений.

5. Разработан и апробирован на большом количестве примеров вариант метода Зейделя, позволяющий строить двусторонние приближения к точному решению уравнения вида

6. Составлена библиотека программ на языке программирования TURBO PASCAL, которая позволяет реализовывать полученные в данной работе методы и алгоритмы.

Таким образом:

- Разработаны новые методы решения операторных уравнений, описывающих экономические модели (модель межотраслевого баланса), обладающих высокой скоростью сходимости последовательностей к точному решению данных уравнений, а также способностью сходится к точному решению даже в тех случаях, когда спектральный радиус оператора больше единицы.

- Разработан комплекс программ на языке программирования TURBO PASCAL, реализующих эти алгоритмы.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Плюта А.И. Об одном варианте метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х = Ax+f //Теоретические и прикладные проблемы современной физики: Материалы Региональной научной конференции. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002. - С.255-262.

2. Плюта А.И. О некоторых методах получения оценок точного решения х операторных уравнений вида х = Ах + / в случае, когда спектральный радиус р(А) не обязательно меньше единицы// Международная летняя школа молодых ученых «Итерационные методы и матричные вычисления». Лекции приглашенных лекторов и тезисы докладов молодых ученых. -Ростов-на-Дону: РГУ, 2002. - С.482-486.

3. Плюта А.И., Стеценко В.Я. «Гибрид» методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида и однопараметрического итеративного агрегирования//Ученые записки физико-математического факультета Ставропольского государственного университета. - Ставрополь: СГУ, 2002. - С.79-85.

4. Плюта А.И., Стеценко ВЛ. Об одном варианте метода Зейделя. //Журнал «Математическое моделирование». - 2003.—Т. 15, №12. - С29-36

5. Стеценко В.Я., Плюта А.И. Обзор и реализация на ЭВМ методов решения систем линейных и нелинейных уравнений. Учебное пособие. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2003 .-71с.

6. Стеценко ВЛ., Плюта А.И. О некоторых методах построения монотонных приближений к решению линейных операторных уравнений.// Теоретические и прикладные проблемы современной физики. Материалы региональной научной конференции. - Ставрополь, 2002.-С.281-284.

7. Стеценко В.Я., Плюта А.И. Об одном итерационном методе решения систем линейных алгебраических уравнений вида с квадратной матрицей А //Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. - Воронеж: ВГУ, 2003. -С.250-251.

8. Стеценко В.Я., Кириллова Л.Н.,Плюта А.И. Новые оценки сверху спектрального радиуса матричных и интегральных операто-ров//Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Труды участников. -Ростов-на-Дону, 2002.-С. 160-161.

Изд. лицхерия ИД № 05975 от 03.10.2001 Подписано в печать 9.02.2004

Формат 60x84 1/16 Усл.печ.л. 1,22 Уч.-изд.л. 0,77

Бумага офсетная Тираж 100 экз. Заказ 8

Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственного университета. 355009, Ставрополь, ул.Пушкина, 1.

¡i-зиб

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Обзор литературы.

§ 1. Метод последовательных приближений.

§2; Метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида * = /& + /.

§3. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения линейных операторных уравнений вида х = Ах + /, где оператор А - матрица п- го порядка.

§4. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения нелинейных операторных уравнений вида д: = ^(х)+ /, где Р(х) - нелинейный оператор.

ГЛАВА 2. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу и собственному вектору линейного оператора.

§5. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу линейного оператора.

§6. Построение приближений, сходящихся к собственному вектору линейного оператора.

ГЛАВА 3. Развитие методов построения приближений, сходящихся к точному решению операторного уравнения вида Ах+ /.

§7. Об одном итерационном методе решения системы линейных алгебраических уравнений вида х = Ах+ / с квадратной матрицей А, в случае, когда спектральный радиус матрицы А, больше чем единица.

§8. Получение двусторонних оценок точного решения х' операторного уравнения вида х - Ах + /, в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы.

§9. О некоторых подходах к уточнению, границ решения операторных уравнений вида х =• Ах + / в случае, когда спектральный радиус операто- 73 ра А не обязательно меньше единицы.

§10. "Гибрид" методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х' уравнения вида х = Ах + / и однопараметрического итеративного агрегирования.

§11. Об одном варианте метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х = Ах + /.

§ 12. Об одном варианте метода Зейделя.

При решении широкого класса задач математического анализа, алгебры, экономики требуется находить решение операторных уравнений.В тех случаях, когда процесс отыскания точного решения является затруднительным, на помощь приходят итерационные методы, позволяющие найти приближенное решение с определенной степенью точности. Соответствующий' класс задач можно представить с помощью операторного уравнения вида х=Ах+/ (1) с линейным или нелинейным оператором Л, действующим в банаховом пространстве Е, и свободным членом / из этого пространства.

Большое практическое значение приобретает возможность строить приближения ип и, соответственно, у„ к решению лг* операторного уравнения вида (1), такие что и„ £ X* £ у„ п п

При этом, оказывается, параллельно решаются две важные задачи теории приближенных методов решения операторных уравнений — задача об оценке погрешности приближенного решения, а также задача об априорной оценке относительной погрешности приближенного решения.

Использование современных ЭВМ открывает широкие возможности для решения таких задач. Математическое моделирование стало активно внедряться в практику научных и прикладных разработок при исследовании сложных явлений и процессов, происходящих в экономике. Лишь с помощью современных ЭВМ удается проводить численное моделирование достаточно сложных экономических процессов.

Существенные прикладные преимущества, проведенные исследования практической скорости сходимости итерационных процессов к точному решению х* операторного уравнения вида (1), возможность контроля результатов в процессе решения и наличие математических обоснований, дают повод обратить серьезное внимание на итерационные методы не только как на объект интересных теоретических исследований, но и как на новые подходы к организации и проведению реальных расчетов плановых задач большой размерности и сложной структуры.

Актуальность проблемы. Балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребности в этом продукте. Отсюда происходит название модели.

Впервые балансовые модели начали использоваться в СССР в 20-х годах. В более или менее законченном виде теория балансовых моделей была разработана американским ученым В.В. Леонтьевым в середине 30-х годов. Однако в те годы ни уровень развития математической науки, ни качество вычислительной техники не позволили широко распространить балансовый метод.

За разработку и внедрение в практику метода межотраслевого баланса группа советских экономистов под руководством академика А.Н. Ефимова в 1968 году была удостоена Государственной премии СССР. В настоящее время большое количество работ посвящается этой модели и ее применению для решения различных задач. Такой интерес к балансовой модели определяется тем, что, как оказалось, эта модель хорошо отображает многие существенные особенности современного производства и в то же время легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для: экономического анализа, планирования и прогнозирования.

В связи с внедрением ЭВМ в научные разработки, значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых граничит с проведением вычислительного эксперимента. Потребность в таком подходе к решению задач математической экономики диктуется все усложняющимися запросами практики, а также связана с попыткой создания более рациональных и более общих теоретических моделей для изучения сложных экономических явлений.

Активное использование методов численного моделирования позволяет резко сократить сроки научных и конструкторских разработок.

Цели работы - приближенное решение операторных уравнений вида (I) в случаях, когда спектральный радиус р(л) оператора А не обязательно меньше единицы; построение итерационных последовательностей сходящихся к решению уравнения к собственным значениям и собственным векторам оператора а; разработка новых методов, повышающих скорость сходимости итераций к решению уравнения разработка соответствующего программного обеспечения, позволяющего реализовать предложенные методы.

Научная новизна результатов работы. Развитие теории линейных и нелинейных операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах. Так, например, предложены развития методов решения операторных уравнений вида (1) в случаях, когда у оператора А спектральный радиус г(а) не обязательно меньше единицы. Предложен метод построения двусторонних оценок точного решения /операторного уравнения вида (1) в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы. Предложены варианты методов, позволяющие строить приближения к решению уравнений вида (1), обладающие высокой скоростью сходимости. Разработано программное обеспечение на языке программирования TURBO PASCAL, реализующее предложенные итерационные методы.

Достоверность результатов работы вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных методов решения уравнения (1) при решении конкретных задач математики и экономики. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий.

На защиту выносятся следующие положения:

- итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений вида (1) с квадратной матрицей'Л, в случае, когда наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, больше чем единица;

- методы получения двусторонних оценок точного решения л:* операторного уравнения вида (1), в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы, а также подходы к уточнению полученных оценок;

- синтез методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х* уравнения вида (1) и однопараметрического итеративного агрегирования;

- метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида (1), в случае выбора в качестве начальных приближений векторов, которые ограничивают точное решение х* уравнения вида (1) «сверху« и «снизу»;

- вариант метода Зейделя, позволяющий строить приближения, сходящиеся к точному решению ** уравнения (1) с помощью метода ускорения сходимости.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, заключения, списка литературы и приложения. В ней принята сквозная нумерация параграфов, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы в нем. Диссертация изложена на 167 страницах, список использованной литературы содержит 82 наименования.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Проведенные в диссертационной работе исследования направленные на разработку новых методов решения операторных уравнений, описывающих экономические модели (модель межотраслевого баланса). Получены следующие научные и практические результаты.

1. Разработан и апробирован на большом количестве примеров итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений вида х = Ах + / с квадратной матрицей Л , в случае, когда наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, больше чем единица.

2. Предложен метод получения двусторонних оценок точного решения /операторного уравнения вида х = + в случае, когда спектральный радиус не обязательно меньше единицы, а также подходы к уточнению полученных оценок. Метод проиллюстрирован соответствующими примерами.

3. Получен синтез методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х' уравнения вида х = Ах + / и однопараметрического итеративного агрегирования.

4. Предложен вариант метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х- Ax + f, в котором упрощена задача поиска начальных приближений.

5. Разработан и апробирован на большом количестве примеров вариант метода Зейделя, позволяющий строить двусторонние приближения к точному решению уравнения вида х = Ах + /.

6. Составлена библиотека программ на языке программирования TURBO PASCAL, которая позволяет реализовывать полученные в данной работе методы и алгоритмы.

Таким образом:

- Разработаны новые методы решения операторных уравнений, описывающих экономические модели (модель межотраслевого баланса), обладающих высокой скоростью сходимости последовательностей к точному решению данных уравнений, а также способностью сходится к точному решению даже в тех случаях, когда спектральный радиус оператора больше единицы.

- Разработан комплекс программ на языке программирования TURBO PASCAL, реализующих эти алгоритмы.

1. Архангельский, Ю.С. Численные исследования методов итеративного агрегирования для решения задачи межпродуктового баланса /Ю.С. Архангельский, И.А. Вахутинский, J1.M. Дудкин и др. //Автоматика и телемеханика. - 1975. - №7. - G.75-82.

2. Ашманов, С.А. Введение в математическую экономику /С.А. Ашма-нов. М.:Наука, 1984. - 296с.

3. Бабаджанян, A.A. О скорости сходимости метода однопараметриче-ского итеративного агрегирования/А.А. Бабаджанян //Автоматика и телемеханика. 1982. - №11. - G. 171-173.

4. Бахвалов Н. Численные методы /Н. Бахвалов, Н. Жидков, Г. Кобельков М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. — 624 с.

5. Бахтин, И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук /И;А. Бахтин. Ленинград, 1967. — 320с.

6. Бахтин, И.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами /И.А. Бахтин, MIA. Красносельский // Сибирский математический журнал . 1961.- Т.2, № 3.- С.313-330.

7. Бахтин, И.А. О непрерывности положительных операторов /И.А. Бахтин, М.А. Красносельский, В.Я; Стеценко // Сибирский математический журнал . 1962.- Т.З; № 1.- С.8-17.

8. Белдман Р.' Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи /Р.1 Беллман, Р. Калаба. М.: Мир, 1968. - 270с.

9. Вен, В.Л. Некоторые вопросы агрегирования линейных моделей /В.Л: Вен, А.И. Эрлих //Известия АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1970.- №5. - С.3-8.

10. Ю.Вержбицкий, В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. Пособие для; вузов /В.М; Вержбицкий. -М.: Высш. шк., 2000. -266 с.

11. П.Вулих, Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств /Б.З. Вулих. М.: Наука, 1961. - 407 с.

12. Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ /Б.З. Вулих. М.: Физматгиз, 1967 - 415с.

13. П.Вулих, Б.З. Специальные вопросы геометрии конусов; в нормированных пространствах: Учебное пособие /Б.З. Вулих. — Калинин: Издательство калининского университета, 1978. 84 с.

14. М.Гантмахер, Ф.Р.г Теория матриц /Ф-PJ Гантмахер. М: Наука, 1966. -576с.

15. Гробова, Т.А. О методе однопараметрического итеративного агрегирования для решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, интегральных уравнений /Т.А. Гробова

16. Ставропольский государственный университет, Ставрополь, 2001. 24с. - Деп. в ВИНИТИ 19.11.01 №2392 - В2001.

17. Гробова, Т.А., Об одном аналоге метода однопараметрического итеративного агрегирования /Т.А. Гробова, В;Я. Стеценко //Вестник СГУ. -2001. Выпуск 28. - С.12-16.

18. Гробова, Т.А. Об одной новой схеме реализации вариантов метода Зейделя /Т.А. Гробова, В.Я. Стеценко // Вестник молодых ученых. -Санкт Петербург, 2001. - С.34-39.

19. Данфорд Н:, Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория /Н. Данфорд, Дж. Шварц. М.: Иностранная литература, 1962. - 895с.

20. Демиденко, H.A. Применение метода итеративного агрегирования к расширенной модели межотраслевого баланса /H.A. Демиденко //Экономика и математические методы. 1977. - Т.13, №3. - С.594-598.

21. Дудкин, JI.M. Межотраслевой баланс и материальные балансы отдельных продуктов /JI.M; Дудкин, Э.Б. Ершов // Плановое хозяйство. 1965. - №5. - С.59-63.

22. Есаян, А.Р; Локализация спектра линейного оператора /А.Р. Есаян, В.Я. Стеценко //Междунар. Конгресс математиков (1966; Москва). Тезисы кр. науч. сообщений Междунар. Конгресса математиков. Секция 5. М., 1966. - С.45-74.

23. Есаян, А.Р. О разрешимости уравнений второго рода /А.Р. Есаян, В:Я. Стеценко // Труды семинара по функциональному анализу. Воронежский гос. ун-т. Воронеж, 1963. - Вып. 7. - С.36-41.

24. Есаян, А.Р. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц /А.Р. Есаян, В.Я. Стеценко // Докл. АН СССР. 1964. -Т. 157, №2.-С.12-19.

25. Итеративное агрегирование и его применение в планировании /Под ред. Л.М. Дудкина. М.: Экономика, 1979. - 328 с.

26. Канторович, Л.В. Функциональные анализ в нормированных пространствах /Л.В1 Канторович, Г.П. Акилов. М.: Наука, 1977. - 496 с.

27. Канторович, Л.В. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах /Л.В. Канторович, Б.З. Вулих, А.Г. Пинскер. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

28. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа /Л.В. Канторович, В.И. Крылов. М.-Л.: Физматгиз, 1962. - 708с.

29. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика /Л. Коллатц. М.: Мир, 1969. - 421с.

30. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций-и функционального анализа/А.Н. Колмогоров, С.В; Фомин. -М.: Наука, 1981. - 543с.31 .Коршунова Н. Математика в экономике /Н. Коршунова, В. Плясунов. М. ¡Издательство «Вита-Пресс», 1996. - 368с.

31. Красносельский, М:А. Положительные решения операторных уравнений /М.А. Красносельский. М.: Физматгиз, 1962. - 394с.

32. Красносельский, М.А. Правильные и вполне правильные конусы /М.А. Красносельский // Докл. АН СССР.-1960. Т.135. - № 2. -С.241-255.

33. Красносельский, М;А. Приближенное решение операторных уравнений /М:А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. — М: Наука, 1969.-456с.

34. Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа /М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1965. - 624с.

35. Красносельский, М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов* /М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, В.И: Соболев. М: Наука, 1985. - 256с:

36. Красносельский, М.А. Положительно обратимые линейные-операторы и разрешимость линейных уравнений /М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, В.В; Покорный, В;Я. Стеценко // Докл. АН Таджикской ССР. -1974. Т.ХУН, № 1. - С. 12-15.

37. Красносельский, М.А. О сходимости метода однопараметрического агрегирования /М.А. Красносельский, А.Ю. Островский, А.В; Соболев // Автоматика и телемеханика. 1978. - №9. - С. 102-109.

38. Красносельский, М.А. Замечания о методе Зейделя /М.А. Красносельский, В.Я. Стеценко // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. - Т.9, №1. - С. 177-182.

39. Крейн, М.Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха /М:Г. Крейн, М.А. Рутман // Успехи математических наук. 1948. - Т.1, №3. - С.3-95.

40. Крукиер, Л.А. Численные методы решения задач конвекции-диффузии со смешанными производными /Л1А. Крукиер, Т.С. Мартынова. г. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2003. -156с.

41. Кузнецов, Ю.А. К теории итерационных процессов /Ю.А. Кузнецов //Докл. АН СССР.- 1969. Т.184, №4, -С.863-866.

42. Леонтьев, В.В. Экономика и математические методы /В.В. Леонтьев, Д. Форд. М: Наука, 1972. - 242с.

43. Лифшиц, Е.А. К теории полуупорядоченных банаховых пространств /Е.А. Лифшиц// Функциональный анализ и его приложения, 1969. -Т.З, №1. С.91-92.

44. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа /Л.А. Люс-терник, В.И. Соболев. М: Наука, 1965. - 520с.

45. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост /М. Моришима. М.: Наука, 1972. - 179с.

46. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика /X. Никайдо. М.: Мир, 1972. - 518с.54.0ртега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными /Дж. Ортега, В. Рейнболдт. -М.: Мир, 1975. 327с.

47. Островский, А.Ю. О сходимости монотонных итерационных процессов /А.Ю. Островский //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. - Т. 17, №1. - G.233-238.

48. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения /М. Пародии. М.: Иностранная литература, 1960. -270с.

49. Плюта, А.И. Об одном варианте метода Зейделя /А.И. Плюта, В.Я. Стеценко //Математическое моделирование. — Москва. — 2003г. — Т. 15, №12! С.29-36

50. Радченко, В В. Применение метода Ньютона-Канторовича для расчета нелинейного межотраслевого баланса/В.В: Радченко, В.Я. Стеценко // Модели и методы экономических целенаправленных систем.» Новосибирск, 1977. С. 160-166.

51. Самарский, A.A. Численные методы /A.A. Самарский, A.B. Гулин -М.: Наука, 1989. 187с.

52. Стеценко, В.Я. Исследование сходимости метода многопараметрического итеративного агрегирования при решении линейных алгебраических систем и интегральных уравнений /В.Я. Стеценко

53. Теория и практика использования методов агрегирования в планировании и управлении», совещание (Киев). Материалы совещания «Теория и практика использования методов агрегирования в планировании и управлении». Киев, 1984. - С. 74-81.

54. Стеценко, В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс. . д-ра физ.-мат. наук /В.Я. Стеценко.- Воронеж, 1968. 307с.

55. Стеценко, В.Я: Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов /В.Я; Стеценко //Докл. АН СССР. 1968. - Т.178, №3. - С. 1021-1024.

56. Стеценко, В.Я. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений: Учеб. пособие /В.Я. Стеценко, В:А. Галкина. Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998. -168с.

57. Стеценко, В.Я. О методе однопараметрического итеративного агрегирования для нелинейных уравнений /В.Я. Стеценко, Т.А. Гробова // Воронежская зимняя математическая школа: Тезисы докладов. Воронеж, 2001.- С.254-256.

58. Стеценко, В.Я. Квалифицированные двусторонние оценки для спектрального радиуса линейного положительного оператора /В:Я. Стеценко, Т.А. Костенко //Ставропольский государственный университет, Ставрополь. 1997. - 13с. Деп. в ВИНИТИ 14.11.97 №3321 -В97.

59. Стеценко, В.Я. Метод ускорения сходимости приближений к спектральному радиусу линейного положительного оператора и к решению линейного операторного уравнения /В:Я: Стеценко, Т.А. Костенко //Вестник СГУ. -1999. Вып. 20. - С.3-13.

60. Стеценко, В.Я. Обзор и реализация на ЭВМ методов решения систем линейных и нелинейных уравнений: Учебное пособие /В.Я. Стеценко, А.И. Плюта. — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2003 .-71с.

61. Фаддеев, Д.К. Сборник задач по высшей алгебре /Д.К. Фаддеев, И: С. Соминский. М.: Наука, 1964. - 304с.

62. Фаддеев, Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры /Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. М.: Физматгиз, 1960. - 656с.

63. Форсайт Дж. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений /Дж. Форсайт, К. Молер. М.: Мир, 1969. - 354с.

64. Функциональный анализ /Под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1972. -544с.

65. Хомяков, В.А. Обобщение одного доказательства сходимости процесса итеративного агрегирования для решения систем линейных уравнений /В.А. Хомяков // Автоматика и телемеханика. — 1973.-№7. — С.15-23.

66. Щенников, Б.А. Применение метода итеративного агрегирования для решения систем линейных уравнений /Б.А. Щенников // Экономика и математические методы. 1966. - Т.2, №5. - С.723-731.121