автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение методов операторных уравнений в математических моделях экономических процессов и теории приближений

На правах рукописи БОСТАНОВА ФАТИМА АХМЕДОВНА

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь - 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа Карачаево-Черкесского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических

наук, профессор

Семенчин Евгений Андреевич

Кубанский государственный технологический университет

доктор физико-математических наук, профессор Боташев Хасан Ибрагимович, доктор экономических наук, кандидат физико-математических наук Попова Елена Витальевна

Защита состоится «23» декабря 2006 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.245.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Кулакова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Северо-Кавказского государственного технического университета по адресу: г. Ставрополь, ул. Кулакова, 2

Автореферат разослан » ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-

математических наук, <417 ' " ' Мезшщева О.С.

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы диссертационной работы.

Многие задачи алгебры, дифференциальных и интегральных уравнений посвящены исследованию вопроса о

существовании неотрицательных решений у некоторых классов алгебраических систем, интегральных уравнений, начально-граничных задач. Это в первую очередь связано с тем, что именно неотрицательные решения таких задач представляют экономический интерес. Поэтому в подобных исследованиях важно выяснить не только сам факт существования неотрицательного решения, но и разработать эффективные методики его построения аналитическими или численными методами. Поэтому тема диссертационной работы, в рамках которой изучаются задачи, аналогичные указанным, являются актуальной и практически значймой.

Данная диссертационная работа направлена на решение следующей важной научной задачи: развить математический аппарат, позволяющий построить

численными методами неотрицательные решения линейных и нелинейных операторных уравнений, и на его основе разработать вычислительные алгоритмы решения известных математических моделей экономических процессов.

Объект и предмет исследования. Объект исследования - операторные уравнения. Предмет исследования - математические модели экономических процессов, приближенные методы решения операторных уравнений.

Цели и задачи исследования заключаются:

- в исследовании проблемы ненакапливаемости погрешности в решении операторного уравнения (линейного, нелинейного), получаемого методом последовательных приближений;

- в применении полученных результатов к исследованию экономических процессов.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы понятия и Методы теории функциональных и операторных уравнений, в том числе уравнений с операторами, действующими в линейных полуупорядоченных банаховых пространствах, численного анализа, теории оптимального управления, обыкновенных дифференциальных уравнений, матричной алгебры. Решение поставленных задач основывается на использовании результатов численных методов и пакета прикладных программ MatCAD Professional.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечивается математически строгой постановкой рассматриваемых задач, логически последовательной формой проведения доказательств рассматриваемых утверждений,

сопоставимостью полученных результатов с результатами, известными из печатных источников.

Научная новизна. С помощью известных результатов теории линейных и нелинейных операторных уравнений с операторами, действующими в полуупорядоченных пространствах, построены оценки скорости сходимости метода последовательных приближений. Разработаны методики построения неотрицательных решений методом последовательных приближений некоторых моделей макро-и микроэкономики.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты исследования вносят определенный вклад в развитие численных методов и могут быть использованы при исследовании математических моделей экономики, теории оптимального управления.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Результаты о ненакапливаемости погрешности в методе последовательных приближений решения линейных и нелинейных операторных уравнений. -

2. Результаты о разрешимости обобщенной математической модели Неймана.

3. Методики построения численными методами неотрицательных решений математических моделей экономического роста (Солоу), динамики развития малого предприятия, роста выпуска дефицитной продукции.

Реализация и внедрение. Математические модели динамики развития малого предприятия, роста дефицитной продукции внедрены в практическую деятельность ЗАО «Карачаевский пивзвод», что подтверждается соответствующим актом о внедрении результатов диссертационных исследований в деятельность этого предприятия.

Отдельные результаты диссертационного исследования, связанные с приближенным решением операторных уравнений, математических моделей макро- и микроэкономики использованы в учебном процессе Карачаево-Черкесского государственного университета при обучении студентов 3-5 курсов специальностей «Информатика», «Математика и информатика» по учебным дисциплинам «Численные методы», «Компьютерное моделирование», «Исследование операций» (об этом свидетельствует акт о внедрении результатов диссертационных исследований в учебный процесс).

Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы докладывались на XIII Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза, 2004 г.); VI Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, 2004 г.); III Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2006 г.); научных конференциях, проводившихся в Карачаево-Черкесском государственном университете 2003-2006 г.г.,

научных семинарах кафедр математического анализа Ростовского государственного университета, математического анализа, информатики Карачаево - Черкесского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 печатных работах: в 5 статьях и 4 тезисах докладов. ,

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 70 наименований. Объем диссертации - 108 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи проводимых исследований, отмечены научная новизна, достоверность, обоснованность,' практическая и теоретическая значимость полученных результатов, сформулированы защищаемые положения, проведен обзор научных публикаций по теме диссертации.

Первая глава — вводная. В ней изложены известные результаты о существовании положительного решения операторных уравнений. В § 1 приведены теоремы о разрешимости уравнения у — Ту, где Т — вполне непрерывный оператор. В § 2 рассматриваются уравнения с нелинейными вогнутыми операторами и приведены результаты существования и единственности положительного решения у таких уравнений. В § 3 изложены результаты, обобщающие результаты §1,2 этой главы (теоремы 1.6, 1.7, 1.9).

В главе II приведены результаты исследования задачи о ненакапливаемости погрешности при решении линейных и нелинейных операторных уравнений х = Ех + / методом последовательных приближений.

При построении приближенных решений уравнений итерационными методами погрешности, вызванные ошибками округления, применением интерполяционных формул и т.д., имеют тенденцию накапливаться. В связи с этим возникает вопрос об исследовании ненакапливаемости таких погрешностей в решениях, получаемых итерационными методами. В § 1 главы II исследуется вопрос ненакапливаемости погрешности в решении линейного уравнения, получаемого методом последовательных приближений, доказан ряд теорем, в которых получены оценки скорости сходимости метода последовательных приближений. В теореме 2.2 найдены условия, при выполнении которых удается избежать накопления погрешности в решении.

Теорема 2.2. Пусть линейный оператор А удовлетворяет соотношению

- В < А < В,

где В - линейный положительный оператор, В(Е) Е, Е — вещественное банахово пространство, полуупорядоченное при помощи конуса К и для некоторого внутреннего элемента и0 телесного конуса К

Ви0 < аи0, а — const, 0 < а < 1. Тогда в последовательных приближениях

= + IKIN«7'

(<т = const > О, п-1,2,...), / е Е, погрешности сгп не накапливаются :

II3» -*„|| < 2W-Л/Ы. —i—<т, (в<1),

р а

где х„=Ахп_1+/, >7 = 1,2,..., М - постоянная

несплющенности конуса, р - радиус окрестности, с центром и0, принадлежащей конусу К.

Освободится от требования телесности конуса К позволяет теорема 2.4, в которой получена оценка

Л1 yll N

'ML;

, + FO 1 -a

Wn -a

v у

позволяющая судить о скорости сходимости

последовательных приближений к решению

рассматриваемого операторного уравнения х = Ах + f.

Ограничение ||сг„|| < а, а = cows/ > 0, в условиях теорем

2.2, 2.4 можно ослабить и заменить его на следующее ограничение (см. теорему 2.5):

о- =сг(,)-о-(2) СГ(,) О-(2) е К

сг<0 < сш0 , а - const >0; / = 1,2; п - 1,2,....

В этом случае оценка, характеризующая ненакапливаемость погрешностей ап в итерационном процессе, имеет вид:

iV-J^jv.ibi.^

В § 2 основные результаты из § 1 о ненакапливаемости погрешности в решении операторного уравнения методом последовательных приближений с линейным оператором А обобщены на случай, когда А является подлинейным оператором (теоремы 2.7, 2.8).

В главе III рассматриваются различные приложения указанных выше теорем.

В § 1 на основе результатов главы 1 (теоремы 1.9, 1.10) исследуется вопрос о разрешимости двухточечной краевой задачи

-*=■/(/,*(0) = х(1) = 0, (1)

где f(t,x,y) непрерывная по совокупности переменных t, х, у, 0 < / < 1, -oo<jc<co, — оо < д; < оо, функция.

Приведен известный результат (теорема 3.1), позволяющий указать достаточные условия для существования и единственности решения x*(t) операторного уравнения

х - aAx + g

и указать верхнюю и нижнюю оценки для x*(t). Здесь А -линейный положительный и0 -ограниченный сверху оператор:

Ли $ <Л0и0, (Л0 >0),

а = const > 0, и0 -элемент нормального воспроизводящего конуса К, g е Е, Е — вещественное банахово пространство.

С помощью теоремы 3.1 показано, что нелинейная краевая задача (1) при выполнении условия

f{t,x,x)<l + fix2 (2)

разрешима, если выполняются неравенства

2 с* 1

а<7г\ — >-.

" 2,(1- -",) Л"

Для того, чтобы эти неравенства имели место, достаточно положить

л „ Л-3 7Г2 +JTT4 -2/Зтг

0 <0<—, а =--

2 2

Если вместо неравенства (2) выполняется более общее

неравенство

f jc) < с + /Зх2, (с == const >0, р = const > 0),

то, краевая задача (1) имеет по крайней мере одно решение, если

2с

и

7Т1 + л/я-4 - 2 Вж

а =---.

2

Если функция f не зависит от у и монотонна по х: /(/,*,) < /(/,х2) при х{ < х2, то решение x*(t) краевой задачи

-* = /(*,:с), х(0) = х(1) = 0, (3)

можно получить методом последовательных приближений

1

*Л+. (О = ¡Git, s)f[sy хп (s)]ds, (и = 0,1,2,...), о

выбрав в качестве начального приближения x0(t) функцию -jtj(f), где - решение уравнения

/г2 1 1

x(t) = — JG(/, + с • ,

о

G(t,s) - функция Грина. При этом на конусном отрезке

(-*i(0»*40) решение задачи (3) единственно.

В § 2 изучается вопрос о существовании и единственности оптимальной траектории для управляемого динамического объекта при заданном оптимальном управлении. Пусть динамический объект описывается в п — мерном вещественном пространстве R" системой дифференциальных уравнений

*(0 = f{t,x,u),

x(t) = (x](/),;с2(/),...,дгЛ(0) - траектория изучаемого объекта, u(t) ~ (w,(/),m2 (/),...,wf(0) вектор-функция из г-мерного вещественного пространства Ur, кусочно-непрерывная в Ur, называемая управлением, t- время, /€[f0,f,]. Требуется

перевести объект из начальной точки x(tQ) = х0 в конечную *(/,) = Xj (считаем, что моменты времени t0 и tx заданы) таким образом, чтобы заданный функционал

J = J/e (х(г),м(0)Л, ( f° ([(t),u(t))dt - заданные функции)

'о

на Ur принял наименьшее значение

Пусть и0 - оптимальное управление данной задачи, и0 е Ur, которое построено с помощью принципа максимума

Понтрягина. В данном параграфе указаны условия, при выполнении которых решение задачи

*(0 = /(*,х,и0), х(0) = х0, = х{, существует и единственно (т.е. когда существует и единственна оптимальная траектория управляемого процесса).

В § 3 исследуется задача оптимизации распределения капитальных вложений между отраслями.

Для математической постановки задачи используется модель роста основных фондов:

К2=-/*2К2+У2,

= О, п = сот(, V, =^.(0, / = /€[0,Г].

Здесь //,- коэффициенты выбытия основных фондов; Реинвестиции; К,' основные фонды отраслей, I = 1,2,..., я. На величины У) накладываются ограничения

у,+у2+ ... + Уп ¿ут9 У, >0,1 = 1,...,«. где Ут - максимально допустимая величина инвестиций во все отрасли одновременно. Требуется распределить инвестиции по годам в течение времени [0,7] (заданный период планирования), чтобы сделать, возможно, большими величины основных фондов отраслей на конечный момент времени Т и при этом минимизировать общее количество инвестиций за весь рассматриваемый промежуток времени, т.е. требуется при наиболее экономном расходовании ресурсов добиться максимального эффекта капиталовложений в момент Т. Для решения этой задачи оптимального управления привлекается принцип максимума Понтрягина, построено оптимальное управление.

В § 4 исследуются свойства обобщенной модели Неймана

Вх — Ах > f, (4)

где В, А - линейные ограниченные операторы, действующие из одного банахова пространства в другое банахово пространство Ег. Пространства Ех и Е2 полуупорядочены соответственно конусами К} и К2, ВКХ с. К2, АКХ с:К2, / -некоторый заданный элемент конуса К2, х - искомый элемент конуса АГ,.

В этом же параграфе приведено несколько вариантов обобщения понятия неразложимости пары операторов, действующих в банаховых пространствах, анализируются известные определения неразложимых пар операторов и предлагаются два новых определения неразложимости. Для всех рассмотренных определений при весьма общих предположениях доказывается совпадение так называемых чисел Неймана и Фробениуса. На основе этих результатов предложен критерий разрешимости модели Неймана (4) в операторном случае.

Теорема 3.7. Пусть конус К2 телесен, пара

(А, В) 3-неразложима. Тогда для того, чтобы модель Неймана Вх — Ах > / была разрешима для всякого / е К2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Л\А,В)< 1,

где Л*(А,В)- совпадающие числа Неймана и Фробениуса неразложимой пары операторов (А,В).

В § 5 - результаты главы II используются для построения итерационным методом положительных решений математической модели Солоу, модели малого предприятия, роста выпуска дефицитной продукции, приводятся примеры построения таких решений.

Пусть состояние односекторной экономики задается-», следующими эндогенными (рассматриваемыми в системе) переменными, изменяющимися с течением времени Г, Ге[0,Т]: X — валовой общественный продукт, С — объем

непроизводственного потребления, I — инвестиции, Ь — людские ребурсы, К — производственные фонды (капитал). Кроме того, в модели используются следующие экзогенные (заданные вне системы) показатели, являющиеся постоянными величинами: V- годовой темп прироста людских ресурсов, занятых в сфере производства, р - доля выбывших за год основных производственных фондов, а -коэффициент прямых затрат (доля промежуточного продукта ВОП), р - норма накопления. Предполагается, что

-1<^<1, 0<//<1, 0<а<1, 0<р<1.

Тогда указанные переменные связаны соотношениями (динамическая модель Солоу односекторной экономики):

= + р{ 1 - о)Х, АГ(0) =-К0;

ш

Х=Р(К}Ь)\ / = р( 1 - а)Х ; С = (1 - р)(I - а)Х; Ь = Ь0 • еуч ;

В относительных (удельных) показателях (для однородной функции Е(КгЬ), удовлетворяющей условию

Ь) = Ь - F(—Д) эта модель выглядит следующим образом:

ли К

- = -Лк + р{\-а)/(к), Я = // + V , ¿(0) = Аг0=-Ч (5) Ш ¿0

* = Ак), « = р{ 1 - а)/{к), с = (1 - р)( 1 - *)/(*),

где к = — - фондовооруженность, х = — - народно//

. /

хозяйственная производительность труда, * = — - удельные

1а

инвестиции (на одного занятого), с — — - среднедушевое

Ь

потребление (на одного занятого),

Уравнение (5) эквивалентно интегральному уравнению

• КО = \к{?)(к + р(1 - а) |/(А;0))<&. (6)

о о

Воспользовавшись теоремой 2.4 можно показать, что (6) имеет единственное неотрицательное решение лг*(/), к которому сходятся последовательные приближения

/ I

о О

£(0) = к0, и = 1,2,.... Хорошо известно, что математическая модель динамики развития малого предприятия имеет вид: ИЛ

^ = аА(0 + 7(0, *е[/0,Г], А(^) = А0 (7)

ш

где

(1-с-г,)^

« = /

1 + г2Лл(1-#)

/- показатель фондоотдачи;

- стоимость основных производственных фондов; с — удельная себестоимость выпуска продукции в стоимостном выражении;

г, ,г2 - ставки налогообложения на объем выпуска и прибыль соответственно;

к, 0 < кл < 1 - коэффициент, оцениваемый по выборочным данным, и отражающий долю реинвестируемых средств прибыли, не имеющих льгот по налогообложению;

£, 0 < £ < 1 - доля чистой прибыли, отчисляемой на реинвестирование;

1(1 )- внешние инвестиции, полученные малым предприятием от государства на безвозмездной основе.

Уравнение (7) эквивалентно интегральному уравнению

t t

Ait) = A0+a ¡A(s)ds + J7(s)cfc. (8)

о 0

На основании теоремы 2.4 заключаем, что (8) имеет единственное неотрицательное решение A*(t), к которому сходятся последовательные приближения

г /

А (0 = А + « JA-! + pW*,

о о

A(0) = A0f п = 1,2....

В § 5 главы 3 проведен также анализ математической модели роста выпуска дефицитной продукции. Эта модель позволяет указать, как можно быстро добиться значительных объемов производства в условиях постоянных инвестиций в производство и ненасыщаемости рынка сбыта продукции. Она представляет собой линейное дифференциальное уравнение (называемое уравнением естественного роста) с заданным начальным условием:

к = аР/т' У(0 = Уо (9)

а = const > 0, р = const > 0, m = const > 0. Здесь y(t) - количество продукции, произведенной в момент времени t, р - цена единицы продукции, а — коэффициент пропорциональности между скоростью выпуска y\t) и увеличением инвестиций /(/), m - доля дохода, идущего на

инвестирование производства. Предполагается, что единица продукции продается по фиксированной цене р и моментально реализуется.

Уравнение (9) эквивалентно интегральному уравнению

t

У(0 = Уо +kjy(s)ds. (10)

о

На основании теоремы 2.4 можно заключить, что (10)

имеет единственное неотрицательное решение у* (0, к

которому сходятся последовательные приближения

/

У п (0 " У о +к\Уп-1(#.

о

У(Р) = Уо> л = 1,2.....

Предложена программная реализация процессов построения неотрицательных решений указанных математических моделей методом итераций с помощью пакета прикладных программ Ма1САБ-2000.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании приведенных выше результатов исследования можно сделать следующие выводы:

1. Предложены оценки сверху для нормы разности между приближёнными и точными решениями операторного уравнения. Это позволило построить эффективные алгоритмы построения неотрицательных решений по методу последовательных приближений не только операторных уравнений, но и алгоритмы построения неотрицательных решений классических моделей макро- и микроэкономики: Солоу, малого предприятия, роста выпуска дефицитной продукции.

2. Указаны условия разрешимости задачи построения оптимальной траектории в управляемых динамических системах.

3. Найден критерий разрешимости обобщенной модели Неймана в банаховых пространствах.

4. Предложены методики построения неотрицательных приближенных решений динамической модели экономического роста Солоу, малого предприятия, роста выпуска дефицитной продукции, реализованные в виде

программных продуктов ! с помощью пакета прикладных программ МагСАБ - 2000. :

Полученные результаты научных исследований дают основание считать, что поставленные в диссертационной работе задачи выполнены.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Бостанова Ф.А. Оценки спектрального радиуса неразложимого оператора // Вестник КЧГУ. Научно-методический журнал. -Карачаевск, 2004. -С. 257-263.

2. Бостанова Ф.А. Признаки существования положительного решения для нелинейных операторных уравнений и некоторые их применения // Кар.-Чер. гос. ун-т. -Карачаевск, 2004. -30 с. Деп. В ВИНИТИ. № 395-В2004.

3. Бостанова Ф.А., Стеценко В.Я. Признаки существования положительного решения у нелинейного интегрального и операторного уравнения // Вестник КЧГУ. Научно-методический журнал. -Карачаевск, 2004. -С. 235-242.

4. Стеценко В.Я., Бостанова Ф.А. Неразложимые модели Неймана // Известия ВУЗов. Ростов-на-Дону, 2004. № 11/4. -С. 27-35.

5. Бостанова Ф.А. Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для линейных уравнений // Вестник КЧГУ. Научно-методический журнал. -Карачаевск, 2003. № 3. -С. 219-228.

6. Бостанова Ф.А. Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для нелинейных уравнений // Алиевские чтения: Материалы научной сессии преподавателей и аспирантов университета. -Карачаевск, 2004. -С. 413-414.

7. Бостанова Ф.А. Операторные уравнения с вогнутыми операторами // Материалы XIII Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». -Пенза, 2004. -С. 415-419.

8. Семенчин Е.А., Бостанова Ф.А. Метод построения положительного решения математической модели Солоу экономического роста // Обозрение прикладной и промышленной математики. VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. — М: Редакция журнала «ОПиПМ», 2006, Т. 14

9. Семенчин Е.А., Бостанова Ф.А. О разрешимости задачи построения оптимальной траектории в управляемых системах // Труды III Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах». Краснодар: Просвещение-Юг, 2006. —С. 175176."

Подписано в печать 15.11.2006 Бумага типографская. Печать офсетная. Формат 60x84/16. Усл. печ. 1,22. Уч.-изд.л. 1.16. Тираж 100.

Отпечатано в типографии Карачаево-Черкесского государственного университета 369200, г. Карачаевск, ул. Ленина, 46.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1.1 Теоремы о существовании положительною решения для нелинейных операторных уравнений.

1.2 Существование решений уравнения х-Ах с нелинейным вогнутым оператором.

1.3 Обобщение некоторых результатов о существовании положительных решений нелинейных операторных уравнений.

ГЛАВА II. НЕНАКАПЛИВАЕМОСТЬ ПОГРЕШНОСТИ В МЕТОДЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ.

2.1 Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для линейных уравнений.

2.2 Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для нелинейных уравнений.

2.3 Оценка поведения ошибок округления в методе последовательных приближений.

ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ, ОСНОВАННЫХ НА ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЯХ, В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКИ.

3.1 Применение теорем существования к доказательству разрешимости одной нелинейной двухточечной краевой задачи.

3.2 О разрешимости задачи построения оптимальной траектории в управляемых системах.

3.3 Задача оптимизации распределения капитальных вложений между отраслями.

3.4 Уравнения с неразложимыми операторами. Неразложимые модели Неймана.

3.5 Методики построения положительных решений некоторых математических моделей экономических процессов.

Многие задачи алгебры, дифференциальных и интегральных уравнений посвящены исследованию вопроса о существовании неотрицательных решений у некоторых классов алгебраических систем, интегральных уравнений, начально-граничных задач. Это в первую очередь связано с тем, что именно неотрицательные решения таких задач представляют экономический интерес. Поэтому в подобных исследованиях важно выяснить не только факт существования неотрицательного решения, но и разработать эффективные методики его построения аналитическими или численными методами. Поэтому тема диссертационной работы, в рамках которой изучаются аналогичные задачи, является актуальной.

Данная диссертационная работа направлена на решение важной научной задачи: развить математический аппарат построения неотрицательных решений линейных и нелинейных операторных уравнений и на его основе разработать вычислительные алгоритмы решения известных математических моделей экономических процессов.

Цели и задачи исследования заключаются: -в исследовании проблемы ненакапливаемости погрешности в решении операторного уравнения (линейного, нелинейного), получаемого методом последовательных приближений;

-в применении полученных результатов к исследованию экономических процессов.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы понятия и методы теории функциональных и операторных уравнений, в том числе уравнений с операторами, действующими в линейных полуупорядоченных банаховых пространствах, численного анализа, теории оптимального управления, обыкновенных дифференциальных уравнений, матричной алгебры. Решение поставленных задач основывается на использовании результатов численных методов и пакета прикладных программ MathCad Professional.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечивается математически строгой постановкой рассматриваемых задач, логически последовательной формой проведения доказательств рассматриваемых утверждений, сопоставимостью полученных результатов с результатами, известными из печатных источников.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Результаты о ненакапливаемости погрешности в методе последовательных приближений решения линейных и нелинейных операторных уравнений.

2. Результаты о разрешимости обобщенной математической модели Неймана.

3. Методики построения численными методами неотрицательных решений математических моделей экономического роста (Солоу), динамики развития малого предприятия, роста выпуска дефицитной продукции.

Научная новизна. С помощью известных результатов теории линейных и нелинейных операторных уравнений с операторами, действующими в полуупорядоченных пространствах, построены оценки скорости сходимости метода последовательных приближений. Разработаны методики построения неотрицательных решений методом последовательных приближений некоторых моделей макро- и микроэкономики.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты исследования вносят определенный вклад в развитие численных методов и могут быть использованы при исследовании математических моделей экономики, теории оптимального управления.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на XIII Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза); VI Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск); III Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа); научных конференциях, проводившихся в Карачаево-Черкесском государственном университете 2003-2006 г.г. научных семинарах кафедр математического анализа Ростовского государственного университета, математического анализа, информатики Карачаево-Черкесского государственного университета.

Публикации. Материалы диссертации подробно опубликованы в 9 научных работах: в 5 статьях и 4 тезисах докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 73 наименования. Объем диссертации - 108 страниц машинописного текста.

Выводы.

Таким образом, в главе III рассмотрено применение методов решения операторных уравнений в задачах экономики. В частности, получены условия разрешимости двухточечной краевой задачи

-x = f(t,x,x), х(0) = *(1) = 0, где f{t,x,y), у = х непрерывная по совокупности переменных в области 0 < / < 1, -оо<дг<оо, -оо<^<оо функция, получен критерий разрешимости обобщенной модели Неймана, изучен вопрос о существовании и единственности оптимальной траектории для управляемого динамического объекта при заданном управлении, исследована задача оптимизации распределения капитальных вложений между отраслями, предложены методики численного решения динамической модели Солоу экономического роста, модели динамики развития малого предприятия с привлечением государственных инвестиций, модели роста выпуска дефицитной продукции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе сделан подробный анализ (см. гл.1) известных результатов о разрешимости операторных уравнений, допускающих положительные решения, о методах численного решения таких уравнений. Сделан достаточно подробный обзор научных публикаций по этим проблемам. Все это позволяет сделать очевидными актуальность темы диссертационной работы, значимость (научную и практическую) полученных в ходе проведенных исследований и изложенных в диссертации результатов, направленных на решение научной задачи, сформулированной в диссертационной работе.

В ходе проводившихся исследований был получен ряд интересных результатов, изложенных в главе 2, позволяющих строить методом последовательных приближений положительные решения макроэкономических моделей, при описании которых используются операторные уравнения. Особое внимание при разработке этих методов было уделено вопросу о ненакапливаемости погрешностей в ходе проводимых вычислений. Предложены оценки сверху для нормы разности между приближенными и точными решениями операторного уравнения. В конечном счете, это позволило построить эффективные алгоритмы построения неотрицательных решений по методу последовательных приближений не только операторных уравнений, но и решений классических моделей экономики: Солоу, малого предприятия и других, рассмотренных в главе 3.

Анализ известных результатов и результатов, полученных в ходе проведенных исследований, позволил указать условия разрешимости задачи построения оптимальной траектории управляемых динамических систем, приведенных в главе 3.

В ходе проведенных исследований были обобщены модели Неймана на случай банаховых пространств. Найден критерий разрешимости такой модели.

Предложенные в главе 3 методики построения положительных решений динамических моделей экономического роста Солоу, малого предприятия, роста выпуска дефицитной продукции и реализованные с помощью пакетов прикладных программ Mathcad, могут быть использованы при анализе конкретных экономических объектов.

Отмеченные выше результаты позволяют констатировать, что поставленные научные задачи и цель диссертационного исследования приведенные во введении, полностью решены.

Полученные в диссертационной работе результаты можно использовать в научных исследованиях, проводимых Карачаево-Черкесском государственном университете, Карачаево-Черкесской технологической академии, Кабардино-Балкарском государственном университете, Кубанском и Ставропольском государственных университетах, Северо-Кавказском государственном технологическом университете и других вузах и научных центрах, где проводятся научные исследования по тем темам, которые затрагиваются в диссертационной работе.

Результаты проведенных исследований внедрены в учебный и производственные процессы, что подтверждается соответствующими актами (справками) о внедрении.

1. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. -М., 1984. -296 с.

2. Ахтямов A.M. Математика для социологов и экономистов. -М.: Физматгиз, 2004. -464 с.

3. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами // Дисс. доктора физ.-мат. наук. -Ленинград. 1967. -320 с.

4. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с вогнутыми и равномерно вогнутыми операторами//ДАН СССР. 1959.-Т. 126. №1.

5. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с равномерно вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. 1963. -Т.4, №2. -С. 268286.

6. Бахтин И.А., Красносельский М.А. К теории уравнений с вогнутыми операторами //ДАН СССР. 1958. -Т.123. №1.

7. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. 1961, -Т.2, №3. -С313-330.

8. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности линейных положительных операторов // Сибирский математический журнал. 1962. -Т.З. №1. -С8-17.

9. Боташев Х.И. О построении квазипериодических решений сгарантированной точностью методом малого параметра // Журнал «Вычислительной математики и математической физики». 2006. Т. 46, № 1.

10. Ю.Боташев Х.И. О построении периодических решений с гарантированной точностью для квазилинейной математической модели методом малого параметра // Журнал «Вычислительной математики и математической физики». 2001. Т. 41, № 6. -С.938-946.

11. КБоташев Х.И. О построении периодических решений с заданной точностью методом малого параметра // Журнал «Вычислительной математики и математической физики». 1998. Т. 38, № 5. -С.729-733.

12. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.- М.: Наука, 1961.-407 с.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1966. -576 с.

14. Данфорд Н., Дж. Шварц. Линейные операторы. Общая теория. -М.: Издательство иностранная литература, 1962. -895с.

15. Дементьев Н.П. Об одном обобщении модели Неймана. В кн.: Методы моделирования и обработка информации. -Новосибирск, 1976, -С. 93-95.

16. Денисенко Т.И., Стеценко В.Я. Элементы математической экономики. Учебное пособие. -Ставрополь. 2000. -176 с.

17. Есаян А.Р. Применение теории конусов к оценке спектра неположительных операторов // Кандидатская диссертация. -Воронеж. 1964.

18. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. О разрешимости уравнений второго рода // Труды семинара по функциональному анализу. ВГУ. -1963. -Вып.7.

19. Имомназаров Б. О некоторых теоремах существования решения у нелинейного операторного уравнения // ДАН Таджикской ССР. -1966. -Т.9. №11.

20. Имомназаров Б. Об априорной оценке погрешности округления в методе последовательных приближений // ДАН Таджикской ССР. -1965. -Т.8. №11.

21. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Госиздат физико-математической литературы. 1961.

22. Канторович JI.В. Функциональный анализ и вычислительная математика. УМН. 1948. -Т.З.

23. Канторович Л.В., Акимов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. -М.: Физматгиз, 1959. -684 с.

24. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. -М.: Гостехиздат, 1956. -546 с.

25. Колемаев В.А. Математическая экономика. -М.: ЮНИТИ, 1998. -240 с.

26. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Мир, 1969. -421 с.

27. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. -М.: Физматгиз, 1962. -394 с.

28. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. -М. 1956. -392 с.

29. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. -М.: Наука, 1969. -456с.

30. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покорный В.В., Стеценко В.Я. Положительные обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений // ДАН Тадж. ССР, 1974. -T.XVII, № 1. -С.12-15.

31. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. -М.: Наука, 1985. -256 с.

32. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. -М.: Физматгиз. 1963.

33. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. К теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10, № 3. -С. 565572.

34. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи математических наук, -1948. №. 3, -Вып. 1.-С 3-95.

35. Кротов В.Ф., Лагоша Б.А., Лобанов С.М. и др. Под ред. В.Ф. Кротова. Основы теории оптимального управления. -М.: Высшая школа, 1990. -432с.

36. Куркалова Л.А. Неразложимые модели Неймана и Леонтьева: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Душанбе, 1990.-131с.

37. Левин А.Ю., Бессемертных Г.А. О некоторых оценках дифференцируемых функций одной переменной // ДАН СССР. 1962. -Т. 144. №3.

38. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965. -520 с.40.0стровский A. J. Res. Nat. Bur. Staudards. 1954. v. 52.41 .Пароди M. Локализация характеристических чисел матрицы. ИЛ. 1960.

39. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. -М.: Наука, 1976. -392с.

40. Стеценко В.Я. О спектральных свойствах неразложимых операторов // ДАН ССР. 1968. -Т. 178, №3, -С. 552-554.

41. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс. д-ра физ.-мат. наук Воронеж, 1968. -307с.

42. Стеценко В.Я. Критерии неразложимости линейных операторов // Успехи математических наук. 1966. -Т. 21. -Вып. 5 (131).

43. Стеценко В.Я. Критерий неразложимости линейных операторов // Успехи математических наук. 1966. -Т. 21. №5. -С. 165-167.

44. Стеценко В.Я. Об одном итерационном методе отыскания спектрального радиуса линейных положительных операторов // Математический сборник. 1965. -Т.67 (109). №2.

45. Стеценко В.Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов//ДАН СССР, 1968. Т.178,№5.С. 1021-1024.

46. Стеценко В.Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора // Успехи математических наук. 1967. -Т. 22. №3. -С. 242-244.

47. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений: Учебное пособие. -Ставрополь: Издательство СГУ, 1998. -168 с.

48. Стеценко В.Я., Есаян А.Р. К вопросу о разрешимости уравнений второго рода // Известия АН Таджикской ССР, 1964. -Т.2 (15). -С. 13-35.

49. Стеценко В.Я., Есаян А.Р. О сходимости последовательных приближений для уравнений второго рода // ДАН Таджикской ССР, 1964. -Т.7. №2.

50. Стеценко В.Я., Имомназаров Б. Об одном принципе неподвижной точки // ДАН Таджикской ССР, 1967. -Т. 10. №2. -С. 8-11.

51. Стеценко В.Я., Костенко Т.А. Новые оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора // Сб. Современные методы в теории краевых задач. Понтрягиновские чтения VIII. -ВГУ, МГУ, 1977. - С. 78.

52. Урысон П. С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений // Труды по топологии и другим областям математики. M.-JL: ГИТТЛ. 1951. -Т.1. -320 с.

53. Хачатрян С.Р., Пинегина М.В., Буянов В.П. Методы и модели решения экономических задач. -М.: Экзамен, 2005. -384 с.

54. Стеценко В.Я., Бостанова Ф.А. Неразложимые модели Неймана // Известия ВУЗов. Сев.-Кав. регион. Ростов-на-Дону, 2004. №11.- С.27-35.

55. Бостанова Ф.А. Оценки спектрального радиуса неразложимого оператора // Вестник КЧГУ. Научно-методический журнал. Карачаевск, 2004. -С. 257263.

56. Бостанова Ф.А. Признаки существования положительного решения для нелинейных операторных уравнений и некоторые их применения // Кар.-Чер. гос.ун-т. -Карачаевск, 2004. -30 с. Деп. В ВИНИТИ. № 395-В2004.

57. Бостанова Ф.А., Стеценко В.Я. Признаки существования положительного решения у нелинейного интегрального и операторного уравнения // Вестник КЧГУ. Научно-методический журнал. Карачаевск., 2004. -С. 235-242.

58. Бостанова Ф.А. Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для линейных уравнений // Вестник КЧГУ. Научно-методический журнал. Карачаевск , 2003. № 3. -С. 219-228.

59. Бостанова Ф.А. Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для нелинейных уравнений // Алиевскиечтения: Материалы научной сессии преподавателей и аспирантов университета. Карачаевск, 2004. -С. 413-414.

60. Бостанова Ф.А. Операторные уравнения с вогнутыми операторами // Материалы XIII Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». Пенза, 2004. -С. 415-419.

61. Bohl Е. Die Theorie einer Klass linearer Operatoren und Existenzsatze fur Zosungen nichtlinearer Probleme in hallgeordneten Banach Raumen. Archive Ration Mech. And Analysis. 1964. № 4.

62. Collatz L. Eigenwertaufgateben mit technischen Anwendungen Leipzig. 1963.

63. Collatz L. Zur Fehlerrabschatzung bei linearen Gleichungsystemen Z. angew. Math. Mech, 34. 1954.

64. Karlin S. Positive Operators. J. Math. And Mech., 8, № 6. 1959.

65. Schaefer H. Neue existenzsatze in der theorie nichtlinearer inegrlleichungen. Berichte uber die Verhandlungen der sachsichen Akademie der Wissen zu Leipzig Math. Nat Klasse 101, H.7 (1955).

66. Schmidt J. Об оценке погрешности при приближенном решении уравнений в полуупорядоченном пространстве.

67. Schroder J. Anwendung von Fixpunktsatzen bei der numerischcn Behandlung nichtlinearer Cleichungen in halbgeordneten Raurneri. Arch. Rational Mech. Annal. 4,1959.

68. Thompson A.C. On certain centaction mappungs in a partially ordered vector space // Proc. Amer. Math. Soc. 14, № 3. -1963. -C. 438-443.