автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Монотонные приближения к решению задач математической экономики с монотонно разложимыми операторами и с процедурой ускорения их сходимости

Введение.4

Глава I. Обзор работ ,изучающих модели межотраслевого баланса.10

1.1. Экономические модели.10

1.2. Модель Леонтьева.11

1.3. Модель Леонтьева-Форда.14

1.4. Выводы к I главе.

Глава II. Линейная модель межотраслевого баланса, учитывающая экологический фактор. Алгоритм отыскания решения модели.21

2.1. Понятие решения модели межотраслевого баланса, учитывающей экологический фактор.21

2.2. Признаки разрешимости модели межотраслевого баланса, учитывающей экологический фактор.27

2.3. Априорные оценки приближения к решению модели межотраслевого баланса, учитывающей экологический фактор.31

2.4. Существование положительного решения у модели межотраслевого баланса, учитывающей экологический фактор и утилизацию вредных отходов.35

2.5. Метод ускорения сходимости двусторонних приближений к решению модели межотраслевого баланса, учитывающей экологический фактор и утилизацию вредных отходов.39

2.6. Метод ускорения для априорных оценок приближений к решению модели межотраслевого баланса, учитывающей экологический фактор и утилизацию вредных отходов.51

2.7. Выводы к главе II.

Глава III. Нелинейная модель межотраслевого баланса, учитывающая экологический фактор. Алгоритм отыскания решения модели.57

3.1. Понятие решения нелинейной модели межотраслевого баланса, учитывающей экологический фактор.57

3.2. Алгоритм отыскания решения нелинейной модели межотраслевого баланса, учитывающей экологический фактор.61

3.3. Существование положительного решения нелинейной модели межотраслевого баланса, учитывающей экологический фактор.67

3.4. Метод ускорения сходимости последовательных приближений к решению нелинейной модели межотраслевого баланса.69

3.5. Выводы к главе III.

Глава IV Бесконечномерный аналог линейной модели межотраслевого баланса .72

4.1. Понятие решения бесконечномерного аналог линейной модели межотраслевого баланса.72

4.2. Существование неотрицательного решения у бесконечномерного аналога линейной модели межотраслевого баланса.77

4.3. Оценки приближений к решению бесконечномерного аналога линейной модели межотраслевого баланса.81

4.4. Оценки приближений к решению бесконечномерного аналога линейной модели межотраслевого бала, учитывающей утилизацию вредных отхдов.85

4.5. Выводы к главе IV.

Глава V. Бесконечномерный аналог нелинейной модели межотраслевого баланса.93

5.1. Понятие решения аналога бесконечномерной нелинейной модели межотраслевого баланса.93

5.2. Алгоритм отыскания решения аналога бесконечномерной нелинейной модели межотраслевого баланса, учитывающей экологический фактор.98

5.3. Существование положительного решения.101

5.4. Оценка спектрального радиуса интегрального оператора.105

5.5. Выводы к главе IV.

Актуальность темы. Диссертация посвящена линейной и нелинейной моделям межотраслевого баланса. Взаимозависимость между секторами экономики описывается системой линейных уравнений вида п

7=1 где Аи>О заданные величины (технологические коэффициенты, обозначающие затраты /-го продукта на выпуск одной единицы у-го продукта), (х1,х2,.,хп) - вектор валового выпуска, - так называемый «чистый» выпуск продукции /-ой отрасли.

Загрязнение окружающей среды - побочный продукт обычной экономической деятельности. Побочные продукты (как ценные так и неценные) непосредственно связанны с системой физических взаимодействий, определяющих повседневное функционирование экономической системы. Техническую взаимозависимость между уровнями выпуска желательных и нежелательных продуктов, можно описать в терминах коэффициентов, которые используются для выявления взаимозависимости между всеми обычными отраслями производства и потребления. Поэтому побочные продукты производственной деятельности и потребления следует рассматривать как часть экономической системы. Модель, учитывающая экологический фактор известна как модель Леонтьева-Форда (см. [35]). п xi^ЛA^JXJ+fn г = \2,.т Г1 (О-1)

Х1 =11 Аих j~.fr г = т + 1,.,п

7 = 1

Однако, такая постановка не вполне соответствует содержательному смыслу изучаемой экономико-математической модели, в связи с чем мы, путем соответствующего обоснования предлагаем вместо модели (0.1) модель

7=1

I)

7=1 где Ду - линейные, монотонные по хг, (х/е£г) (г = 1,и ) операторы. При этом Лу-действует из Е, в Еь (г',у = 1,и). - банаховые пространства, полуупорядоченные конусами К\,.,Кп соответственно, каждый из которых мы будем предполагать сильно миниэдральным.

Элементы /¿, ( / = 1 ,п .) - заданные элементы конусов К, соответственно, элементы Xj - неизвестные элементы из К,

Множество векторов (х/, х2, ■••хп ) <е К1хК2х.хКп удовлетворяющих системе неравенств (I) называется планом 77 задачи (I). Если множество планов задачи (I) не пустое множество, то оно, как правило, содержит бесконечное множество элементов.

Решением задачи (I) назовем вектор такой что х*,.,х*„) = М{(х|,.хн),(х,,.х„) е 77} (0.2) где операция ш/ берется по конусу К = (К, х К2 х. х!й) в пространстве Е.

Естественно, что в наиболее простом случае система неравенств (I) имеет вид системы уравнений: п х. = У А.х. + /"., г = 1,2,.т

I ' ' у ] ^ г * * "

7=1 X = 'УА-.х. - /"., г = т + 1,.,

0.1)

77

7=1 которую можно записать в виде одного векторного уравнения вида: г =А1 + / где А - операторная матрица

Аи Ап .А1т.А[п ^ х, ,х2,.х„), / - /2,.,/т, /ш+1,., /п).

0.3)

0.4)

В результате система (0.1) сводится к обычному операторному уравнению (0.3) с неотрицательной оператор-матрицей А и с полуположительным вектором /. В связи с этим модель (0.3) представляет «нетрадиционную» модель теории положительных операторных уравнений, т.к. в ней ставится вопрос о существовании неотрицательного решения т, при условии, что свободный вектор / полу положителен. Напомним, что основные проблемы теории положительных операторов заключаются в изучении вопроса существования неотрицательного решения модели (0.3) при неотрицательном свободном члене /.

Более существенный отход от традиционных задачах теории положительных операторных уравнений мы получим в том случае, когда будем рассматривать модель Леонтьева-Форда при дополнительном предположении о том, что в процессе подавления вредных отходов применяемая при этом технология позволяет выделять из вредных отходов положительные ингридиен-ты. В этом случае вместо модели (0.1) мы получим модель вида г=Аг + / (0.5) где А есть блочный оператор-матрица вида: А к А Л у

0.6)

2 — (-*■] 5 Х2 )

-/2)> где х, — (х1,х2.хт), х2 - (хш+],хт+2.хп) , = (Л' /г • • -/т ) ' /г = (■Хт+1 ' Хт + 2 • • •Х„ )

А.А, Л

А, ,. .А,

1ш+1 1 п

Л2 = у, А .А , тт+1 тп у

4 =

А ,, . .А , ш + \ 1 ?)! \-\т А .А / п 1 пт /

А А г + 1 т-\-\ '' * »/ + 1 и

А„

V А .А ,

НП1 + 1 пп /

А , .А п 1 тт причем АпА,,А3,А4 >0.

Модель (0.5), в отличии от модели (0.3), есть модель с полуположительным оператором А и с полуположительным свободным вектором / . Понятно, что это еще сильнее осложняет проблему исследования существования неотрицательного решения у модели (0.5).

Именно таков круг рассматриваемых в диссертации задач.

Цель работы- разработка новых методов и алгоритмов отыскания неотрицательного решения моделей межотраслевого баланса, учитывающих экологический фактор и утилизацию вредных отходов.

Научная задача- доказательство теорем существования и единственности положительного обобщенного решения у системы операторных и интегральных уравнений-неравенств, описывающих модели межотраслевого баланса; отыскание эффективных методов решения таких систем, получение двухсторонних оценок решения, а также разработки метода ускорения сходимости к решению, исследование бесконечномерных аналогов обобщенной модели Леонтьева - Форда.

Методические основы исследования. В работе наряду с использованием классических методов функционального анализа, предлагаются некоторые развития этих методов для операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах.

Научная новизна. Она определяется новизной постановки описанных задач теории линейных и нелинейных операторов, действующих в полуупорядоченных пространствах. А также тем, что наряду с теорией межотраслевого баланса, учитывающего экологический фактор, определенный интерес представляет задача межотраслевого баланса, предусматривающего переработку вредных отходов с целью утилизации. Исследуется система нелинейных уравнений-неравенств, как бесконечномерный аналог описанной модели Леонтьева - Форда.

Теоретическая и практическая ценность. Заключается в постановке задач нового типа в теории операторных уравнений и неравенств, разработке методов их решения с указанием возможных конкретных приложений при исследовании задач межотраслевого баланса, учитывающих экологический фактор. Практическая ценность представляется разработанными алгоритмами быстросходящихся монотонных приближений к искомому решению операторного уравнения, а также в возможности применения результатов исследования при анализе и решении конкретных задач математической экономики (разрешимость модели Леонтьева), биологии, экологии и других задач, сводящихся к операторным уравнениям. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий.

Достоверность исследований вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы и приложения.

5.5. Выводы к главе V .

1. Для нелинейного бесконечномерного аналога обобщенной модели Леонтьева-Форда, представляющий систему линейных интегральных уравнений-неравенств (IV) установлены теоремы существования и единственности неотрицательного решения.

2. Указан алгоритм отыскания неотрицательного решения модели.

3.Доказана сходимость метода последовательных приближений к решению модели(Ш).

4. Получены оценки сверху для спектрального радиуса интегрального оператора.

Заключение

Таким образом, предлагаемая диссертационная работа посвящена модели межотраслевого баланса, учитывающей экологический фактор. Во всех постановках возникает задача следующего вида: для данного операторного неравенства

2>Ф(2) + У,

Ф не обязательно положительный оператор, а / - заданный не обязательно положительный элемент, выяснить возможность существования положительного решения при соответствующем обобщении понятия решения этой модели, указать способы построения достаточно близких приближений к этому решению и, в частности, разработки метода двусторонних приближений к решению, который можно рассматривать как метод ускорения сходимости двусторонних приближений в случае уравнения с монотонно разложимым оператором.

На наш взгляд данная работа содержит ответы на эти вопросы.

Таким образом, на защиту выносятся следующие основные положения:

1. Обобщенная модель Леонтьева -Форда, которая является моделью межотраслевого баланса, учитывающей экологический фактор и представляет собой систему линейных уравнений-неравенств. Признаки существования и единственности неотрицательного решения, а также алгоритм отыскания решения.

2. Новая модель межотраслевого баланса, которая, наряду с экологическим фактором, учитывает утилизацию вредных отходов. Необходимые и достаточные признаки существования неотрицательного решения для этой модели.

3. Двусторонние оценки приближений к решению модель межотраслевого баланса, которая учитывает утилизацию вредных отходов.

4. Метод ускорения сходимости двусторонних приближений к решению системы.

5. Нелинейная модель межотраслевого баланса, учитывающая экологический фактор. Теоремы существования и единственности неотрицательного решения модели.

6. Сходимость метода последовательных приближений и приемы ускорения сходимости соответствующих двусторонних монотонных приближений к решению нелинейных моделей.

7. Линейный бесконечномерный аналог модели межотраслевого баланса с учетом экологического фактора, представляющий систему линейных интегральных уравнений-неравенств. Существование и единственность неотрицательного решения модели.

8. Ускорение сходимости двусторонних приближений к решению бесконечномерного аналога модели межотраслевого баланса с учетом утилизации вредных отходов.

9. Нелинейный бесконечномерный аналог обобщенной модели Леонтьева-Форда.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на весенних математических школах. «Понтрягинские чтения X» . (г.Воронеж, 1999), «Понтрягинские чтения XII» . (г.Воронеж, 2001), на научно-методических конференциях Ставропольского государственного университета ( 1999, 2000, 2001), на IV Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии» ( г. Кисловодск, 2000) и неоднократно на семинарах кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета (руководитель - профессор В.Я. Стеценко).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ [1-7] . Часть результатов диссертации получена автором совместно с научным руководителем профессором В.Я. Стеценко. При этом в соответствующих результатах Стеценко В.Я. принадлежат постановка задачи и общие рекомендации относительно метода их решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.

1. Ando T. On fundamental properties of a Banach space with a cone. // Pacific T. Math. 12. - 1962. - №4. - S. 1-12.

2. Bonsall F. F. Linear operators in complete positive cones. // Proc. London Math. Soc. 8,- 1958,- S. 53-75.

3. Karlin S. Positive operators. // T. Math. Mech. 1955. №8. - C. 907-938.

4. Thompson A. C. On certain centraction mappungs in a partitally ordered vector space // Proc. Amer. Math. Soc. 14. 1963. - №3. - S. 438-443.

5. Ахнезер Н.И., Елизман И.М. Теория нелинейных операторов в гильбертовом пространстве. // М.: Наука, 1966. 136 с.

6. Бахтин H.A. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. JL, 1967. с.

7. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с равномерно вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. 1963. Т.4, № 2. С.268-286.

8. Бахтин И.А. об одном критерии нормальности конуса. // Тезисы семинара по функциональному анализу. Вып.6. Воронеж, 1958.

9. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал . 1961.- Т.2, № 3.- С.313-330.

10. Ю.Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности положительных операторов. // Сибирский математический журнал . 1962.-Т.З, № 1.- С.8-17.

11. ЬБеллман Р., Колаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. -М.: Мир, 1968. -270 с.

12. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Наука, 1961.-407 с.

13. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ,- М.: Физматгиз, 1967. -415с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 576 с.

15. Есаян А.Р. Применение теории конусов к оценке спектра неположительных операторов: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1964. - 13 с.

16. Есаян А.Р. Стеценко В.Я. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц. // ДАН СССР. 1964. - Т. 157. №2. - С. 12-19.

17. Есаян А.Р. Стеценко В.Я. Локализация спектра линейного оператора // Тезисы кр. науч. сообщений Междунар. Конгресса математиков, секция 5. -ML, 1966.-С. 45-74.

18. Канторович Л.В., Акилов Е.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

19. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

20. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.;Л.: Физматгиз, 1962. -С. 907-938.

21. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.-421 с.

22. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. - 544 с.

23. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. -М.: Физматгиз, 1962.-396 с.

24. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. -М.: Гостехиздат, 1956. 372 с.

25. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Сте-ценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.- 455 с.

26. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покорный В.В., Стеценко В.Я. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений.// ДАН Тадж.ССР. -1974. T.XVII, № 1. с. 12-15.

27. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные нелинейные системы. М.: Наука, 1985,- 256 с.

28. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. К теории уравнений с вогнутыми операторами. . // Сибирский математический журнал . 1969.- Т. 10, № 3.-С.565-572.

29. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. // Успехи математических наук. -1948. -№ 3. Вып. 1. -С.3-95.

30. Леонтьев В.В., Форд Д. // Экономика и математические методы. 1972. -№3.

31. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.- 520 с.

32. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. - 179с.

33. Мухтаров С.Н., Стеценко В.Я. О некоторых свойствах уравнений с неразложимыми операторами. .// ДАН Тадж.ССР. Т.8, № 2. - 1965. -С.19-27.

34. Островский А.Ю. О сходимости монотонных итерационных процессов. -Ж. ВММФ.Д977.-Т.17, №1.-С.233-238.

35. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения.-М.: ИЛ., 1960.-270 с.

36. Радченко В.В., Стеценко В.Я. Применение метода Ньютона-Канторовича для расчета нелинейного межотраслевого баланса // Модели и методыэкономических целенаправленных систем.- Новосибирск, 1977. С. 160166.

37. Стеценко В .Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс. д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. -307 с.

38. Сергеева Т.С.Исследование систем линейных инелинейных уравнений-неравенств, связанных с моделью Леонтьева-Форда: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 2000. - 83 с.

39. Стеценко В.Я. Теоремы Островского и новые оценки спектрального радиуса матрицы и интегральных операторов. // Вестник Ставропольского государственного университета, вып. 18 физ.-мат. науки, 1999,-с.З-14.

40. Стеценко В.Я. О банаховых пространствах с двумя конусами. // Л.: ЛГПИ, 1962.-7с.

41. Стеценко В.Я. О неизвестных точках нелинейных отображений. // Сибирский математический журнал. 1969. - Т. 10, № 3. - С.642-652.

42. Стеценко В.Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов // ДАН СССР. 1968. - Т. 178, № 5. - С. 1021-1024.

43. Стеценко В.Я., Имомназаров Б. Об одном принципе неподвижной точки // ДАНТадж. ССР. 1967.-Т. 10, №2.-С. 3-11.

44. Стеценко В.Я. Исследования по теории линейных и нелинейных положительных операторов в пространстве с конусом. Дисс. д-ра физ.-мат. наук. -Воронеж, 1968. -307 с.

45. Стеценко В.Я., Галкина И.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. Учебное пособие. Ставрополь.-СГУ, 1998.-168 е.

46. Урысон П.С. Труды по топологии и другим областям математики. М.;Л.: ГИТТЛ, 1951. -Т.1.- 320 с.

47. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.;Л.: Физматгиз, 1963. - 612 с.

48. Шаабан М. Обобщенная норма интегральных операторов и матриц // Изв. АН Тадж. ССР. 1998. - Т. 108, №2. - С. 3-12.

49. Павлова М.Н. Оценка спектрального радиуса интегрального оператора. I. // Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения X: . Тезисы доклада. Воронеж, В ГУ, МГУ 1999, с. 192.

50. Павлова М.Н. Оценка спектрального радиуса интегрального оператора. II. // Материалы XLIV научно-методической конференции «Университетская наука региону». Ставрополь, 1999, с. 21.

51. Павлова М.Н. Развитие второго метода Островского для интегральных операторов. // Сборник научных трудов. IV Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Т 2, Ч II. Кисловодск, 2000

52. Стеценко В.Я., Павлова М.Н. О сходимости монотонных итерационных процессов для нелинейных операторов. // Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения XII: . Тезисы доклада. Воронеж, ВГУ, МГУ 2001, с.145-146.

53. Стеценко В.Я., Павлова М.Н., Кубекова Б.С. Об одном методе построения двусторонних приближений к решению операторного уравнения с монотонно разложимым оператором.-Ж. ВММФ.,2001.-Т.41, №6.-С.846-854.