автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие динамических межотраслевых моделей и математические методы их анализа

На правах рукописи

Петлина Елена Михайловна

РАЗВИТИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МЕЖОТРАСЛЕВЫХ МОДЕЛЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0034895 1 1

Ставрополь - 2009

003489511

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, ; профессор

Симоновский Александр Яковлевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Закииян Роберт Гургенович, . г ! р . ; ••, доктор, физико-математических нау^ц , ^ профессор

Толпаев Владимир Александрович

Ведущая организация: Таганрогский технологический институт

Южного федерального университета (г. Таганрог)

Защита состоится «22» января 2010 года в 16 - часов на заседании совета по защите кандидатских и докторских диссертаций Д 212.256.08 при Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, корпус 1а, аудитория 416.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ставропольского государственного университета по адресу: г. Ставрополь, ул.Пушкина, 1.

Автореферат разослан « Ц » декабря 2009 года

Ученый секретарь совета по защите кандидатских и докторских диссертаций

Копыткова Л.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На современном этапе экономического развития общества продолжают оставаться актуальными задачи эффективного прогнозирования, планирования и управления крупными экономическими системами. Большинство современных моделей, имеющих практическую направленность и предназначенных для прогноза основных показателей экономики, построены на расширенных моделях межотраслевого баланса. Наиболее важной и интересной из первых таких моделей является модель Леонтьева

х- Ах /, ' : (1)

где А — технологическая матрица, х - валовой выпуск полезного продукта, / - вектор чистого выпуска полезного продукта.

Исследования Леонтьева способствовали развитию новых направлений экономических исследований и активное развитие экономико-математических методов. Учет технологических особенностей производства, инвестиционной деятельности, экологической ситуации и ряда других особенностей производственной и социальной сфер требуют постоянного развития моделей многоотраслевой экономики. Такого рода исследованиям посвящены работы зарубежных и отечественных ученых: В.В. Леонтьева, Д. Форда, Дж. фон Неймана, П.А. Самуэльсона, P.M. Солоу, Дж. Р. Хикса, М. Моришима, В.Я. Стеценко, Е.В. Рюминой, ЕЛ. Торрпцева и др.

Первая межотраслевая модель, охватывающая взаимосвязи экономики и окружающей среды предложена В. Леонтьевым и Д. Фордом:

x = Anx + AK1y + f„ y = Allx + Any-f1, где л - вектор валового выпуска полезного продукта; у - вектор вредных отходов, возникающих, в процессе производства и подлежащих уничтожению; / - вектор чистого выпуска полезного продукта; /2 - вектор остаточного уровня вредных отходов; А„ - технологическая матрица; Ап - матрица, характеризующая затраты полезного продукта; Л21 - матрица, соответствующая количеству вредных отходов, создаваемых при выпуске полезного продукта; Л22 - матрица, характеризующая уровень вредных отходов в окружающей среде при уничтожении других вредных отходов.

При построении межотраслевой динамической модели, учитывающей экологическое состояние окружающей среды необходимо внести коррективы как в балансовые уравнения выпуска полезного продукта, так и в уравнения, связанные с вектором вредных отходов. Ос-

новное отли>рю. таких моделррлюсроит; в то м, ;что, используя новые современные технологии, в ряде случаев удается снизить выделение побочных продуктов до уровня ниже экологически допустимого. При этом уравнение, соответствующее второму уравнению модели (2) логичнее записать в виде неравенства, что влечет за собой множественность решения. В основе модели проведения прогнозных расчетов таких задач лежит принцип оптимальности, позволяющий при многовариантном прогнозировании выбрать решение доставленной задачи наилучшим образом, т.е., с наименьшими затратами трудовых ресурсов и средств производства Эта идея реализована в построенной автором динамической модели. Рассматриваемая модель и полученные при ее исследовании результаты являются развитием идей д-р физ'.-мат. наук, проф. Стеценко В.Я.

В общей постановке эта модель описывается в виде операторной

системы неравенств: ''"" .....

а) в случае дискретного времени

"и+А ^ У,.И' Х,> У,) -где ^,^ - линейные монотонные операторы, х,, у,, /и,н, /и,н - заданные элементы, унк - неизвестные элементы, А - период прогноза;

''и б) в случае нёпрерьтвного времени

х>Г,(х,у,х,у) + £, ' ^

>•>/•; (л-, ;')-/,, где /• |, ь2 - нелинейные монотонные операторы, /; = /(о, /, = /,(/) -заданные элементы, зависящие от времени /, х = *(/), у = у(0 - неизвестные функции.

Полученные в работе модели является дальнейшим развитием моделей Леонтьева и Леонтьева-Форда. Принципиальное отличие предлб-женных моделей связано с введением в модель нового типа операторов. Более того, модель (3') с непрерывным временем описывается системой дифференциальных уравнений-неравенств; проблема отыскания положительного решения модели (3') сводится к отысканию положительного решения операторного уравнения с дифференциальным'оператором при наличии заданных неотрицательных и отрицательных величин.

Объект исследования — математические модели макроэкономики.

, Предмет диссертационной работы - динамические модели многоотраслевой экономики, учитывающие внесение-инвестиций на развитие производства и утилизацию вредных отходов. !

Цель диссертационной работы - построение и изучение математических моделей, описывающих балансовые соотношения производства с учетом выделения вредных отходов в окружающую среду, возможности их переработки и внесение инвестиций.

В соответствии с поставленной целью в ходе исследования решались следующие задачи: ■ ' • :

- построить обобщенную динамическую балансовую мОдёлУ С учетом инвестиций и экологического состояния окружающей1 срёды; '

- сформулировать алгоритм построения двойственной модели';

- изучить свойства построенных моделей; : ,; , ..- ■,

- предложить методы решения рассмотренных моделей;

- указать способ выбора оптимального решения в случае многовариантности способов достижения заданного уровня производства и ограничений на загрязнение окружающей среды.

Методы исследований. Для решения поставленных в работе научных задач использованы методы классического функционального анализа и теории операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах, теория неотрицательных матриц, методы оптимизации, теория дифференциальных уравнений и численные методы вычислительной математики.

Научная новизна исследования состоит в построении и изучении математических моделей, описывающих многоотраслевое производство: ;

! 1 ! 1. Разработана динамическая модель с дискретным и непрерывным временем с учетом выделения вредных отходов на основе аппарата разностно-дифференциальных уравнений, отличающаяся от существующих введением дополнительных коэффициентов в уравнение образования вредных отходов, что увеличивает информативность модели и позволяет получить более точный прогноз о выбросах вредных отходов в окружающую среду при выборе данной технологии.

2. Построена двойственная модель для динамической модели с учетом выделения вредных отходов, позволяющая прогнозировать розничные цены на полезные продуктй, что необходимо для экономистов-аналитиков, занимающихся прогнозом цен на производимую продукцию. Предложенные алгоритмы базируются на применении теории двойственности и операционного исчисления.

3. Предложен инструментарий исследования динамической модели, описываемой системой дифференциальных уравнений, на основе теории операторов и функционального анализа, что позволяет, не решая системы, определить, является ли построенная модель продуктивной. : ''

4. Для динамической модели адаптированы методы построения двусторонних и векторных! оценок решения, предложен метод улучшения двусторонних оценок. В отличие от методов поиска точного решения, применение метода двусторонних оценок способствует успешному решению задач с большой размерностью обрабатываемых моделей, не прибегая к непосредственному интегрированию.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая ценность работы заключается в дальнейшем развитии математических моделей многоотраслевой экономики, позволяющих точнее описывать производственную, инвестиционную и природосберегающую деятельность. •>>■.<:!.' ■;■<.-:■■;■ - • . п:.;;^:-; ид<>!'.<;.'

Практическая ценность работы определяется' возможностью применения получениях результатов исследования при решении конкретных задач математики, экономики, биологии и других задач, сводящихся к системе дифференциальных уравнений,> и заключается в применении обоснованного метода выбора оптимального решения в условиях его многовариантности. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий; .

Достоверность полученных результатов исследования вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач,; а также из совпадения ряда полученных ¡результатов, в .частных случаях с известными в литературе.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Обобщенная динамическая модель многоотраслевой экономики с дискретным временем, учитывающая внесение инвестиций, выделение и переработку вредных отходов. 1,1 ^

|!!. ,2.!МодификЙцйк'ДйнамическОй;'мОДЬтш с непрерывным временем, учитываюацей вЙдёлёшш^фе^пЛх'откодов в процессе производства.

3. ¡Двойё¥вёЙЙак.?йБдель дЛй! динамической балансовой модели с учетом эк^йгтеского'Состояния окружающей среды с дискретным и непрерывным' ^ременей.

4.; 'Двусторонние и векторные оценки решения динамической межотраслевой балансовой модели, учитывающей выделение и переработку, врёйных отходов, метод улучшения двусторонних оценок.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на Между нар. школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону,. 2006), XIV Междунар. конф. студентов, аспирантов и молодых 'ученых «Ломоносов» (Москва, 2007), VIII и IX ¡Всерос. конф. молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007

и Кемерово, 2008), VI Всерос. науч.-практич. конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, 2008), IV науч.-практич. конф. «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» (Сочи, 2008); V Междунар. семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2008), IX Всерос. симпоз. по прикладной -и промышленной математике, (Волгоград-Волжский, 2008), науч.-методнч. конф. преподавателей и студентов СГУ «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2006, 2007, 2008, 2009) и неоднократно на научных семинарах кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 работ, из которых 2 в ведущих рецензируемых журналах. Часть результатов диссертации получена совместно с кандидатом физико-математических наук, доцентом Павловой М.Н., при этом в соответствующих результатах ей принадлежат постановка задачи и общие рекомендации относительно методов ее решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

При описании основного содержания диссертации мы будем использовать терминологию функционального анализа, теории полуупорядоченных пространств и теории положительных решений операторных уравнений.

Во введении кратко обоснована актуальность выбранной темы, изложены основные результаты исследования, показана их научная новизна, а также указано место полученных в работе результатов в общей теории.

Первая глава посвящена краткому обзору известных ранее результатов, близких к теме исследования. Более подробно рассмотрены статические модели Леонтьева и Леонтьева-Форда, приведены их основные свойства.

Вторая глава посвящена построению и изучению свойств динамической модели многоотраслевой экономики с дискретным временем:

МА-, + АгУ^ + Вп^^ + ^^Р^ + А.,^

(5)

У,+к =ЛЛ»1 +А22У,+>, -'~ + В22 -"Л.+А»

И Л !

где Ъ — период времени, в течение которого делается прогноз.,..

Модель (5) отличается от модели (2) введением матриц инвестиций Вц (/,/ = 1,2), где Ви - инвестиции на создание дополнительного резерва производства, Вп - инвестиции, идущие на подавление вредных отходов, возникающих при создании дополнительного резерва производства, Лг,х — количество выделяемых вредных отходов при увеличении производства полезного продукта, в21у — количество выделяемых вредных отходов, при подавлении первичных вредных отходов.

; .Более общей по сравнению с моделью (5) является модель

.Л. . А А -¡(¡(¡мни;/;:

в которой валовые выпуски продуктов превосходят затраты на производство, инвестиции и потребление.

Для изучения свойств модели (6) воспользуемся теорией операторов. Матрицы Ау, Ъц (/,/ = 1,2) можно рассмотреть как линейные положительные оператору,, действующие в соответствующих банаховых пространствах, полуупорядоченных конусами неотрицательных векторов Кх и Ку, причем А„, Ви действуют из Л" в Л", Ап, Ви - из Г в й",

А\1 вг\ ~ из й" «¡РсЛг! вп - из Г в Г, где п - количество единиц вьшускаемого «полезного продукта, т - количество единиц вредных отходов, выделяемых в окружающую среду при данной технологии.

Пару элементов , (х. у) о К, х А',., удовлетворяющую системе неравенств (6),: ¡будем, называть таном задачи (6), 77— множеством всех планов этой Зсдачи. Вектор (х-*,у*}, определяемый согласно условию

.{х'^-^.-МДтГМ}, (7)

если он существует, называется решением задачи (6). Точная нижняя грань вводится по всем (х,у)с.11.

Отметим, что векторы ** и у' — «минимально возможные» валовые объемы выпуска полезного продукта и выделения вредных отходов, они являются оптимальными, так как при любой системе цен на единицу производимых полезных продуктов и на стоимость «уничтожения» единицы вредных отходов стоимость производства будет минимально возможной, т.е. производство будет оптимальным в плане затрат на производство и природосберегающую деятельность.

С помощью ряда преобразований модель (6) сводится к виду:

|.у*С21х+Сау-в13

где С\=А¥ + В0 (/,/ = 1,2), &=-Вих,-В1гу,+/1М, g2=B21x¡-Bг2y¡+f2l,l. При этом И считается'равным одному отчетному периоду.

8

Модель (8) обладает следующими основными свойствами:

1) Если множество планов П непустое, то вектор {х* ,у), определяемый согласно (7), является элементом множества П танов, задачи, причем это наименьший га всех планов. .....

2) ITycmьgt>о, /7*0 и модель x = Cnx+g^ — продуктивная. Тогда на решении (х',у) выполняются соотношения

[ x = Cllx + Cl2y + gl,

(9)

I y>C2^x + C22y-g2.

3) Пусть >0. Если для некоторого / = /0 для решения (л',^*) выполняется строгое неравенство

1 >1

то у, = 0.

Интерпретируя свойство 3), можно утверждать, что при выполнении строгого неравенства соответствующая компонента у, вектора вредных отходов не подавляется, поскольку содержание вредных отходов, соответствующих компоненте /0, не превосходит разрешенного уровня й"' .

Свойства 2) и 3) позволяют сводить отыскание решения модели (8) к решению линейной алгебраической системы, если это решение (х', у*) существует, причем х'>0, у*>0, что значительно упрощает решение поставленной задачи. Однако такая модель в общем случае может не иметь не только неотрицательного решения, но и быть вообще неразрешимой. Поэтому необходимы условия, гарантирующие ее положительную разрешимость, т.е. условия, при которых множество планов П непустое. В терминах теории операторов оно может быть сформулировано следующим образом: если р(С) < I, где р(С) -

спектральный радиус оператора С=| 11 1 действующего в пространстве Н"*т, то для любых значений g1 > 0 и $2>0 множество планов П непустое.

Результаты проведенного исследования показали, что решение рассматриваемой модели можно находить с помощью метода последовательных приближений: если р(С)< 1 и вектор = таков, что |: + (5>0, то решение г'=(х',у') системы

Г* = Сп.* + С12у+&, \у = С21х + С22у-81 неотрицательно и представимо в виде

9

Из вредных отходов за счет соответствующих технологических решений можно получите полезные ингредиенты. Такая переработка связана с определенными затратами полезных продуктов, а в процессе ее реализации возможно появление дополнительных вредных отходов. В этой связи рассмотрено обобщение модели (5), в которой учитывается утилизация отходов:

= А А* + ■- 42)к„+

У,+Ь=А,ХН1.+А2У«Ь+В2Г

У,*-У,

(11)

А,

Л А

Здесь 4? 11 в>2 имеют тот же смысл, что и Ап и Вп в модели (5), а 42>у - вектор полезных продуктов, затрачиваемых на переработку вектора у вредных отходов, В'^у — вектор инвестиций, высвобождаемых за счет утилизации вредных отходов.

Обозначим Са = 4, +вп, С^А^+в^, = ^ + ^ (¿ = 1,2), ^^-Ал-ВпУ.+ А,^ & = В21х, - Вг2у, + /2, и. Тогда при А = 1 последняя система имеет вид

[х = Сих + {с$-С{?)у + 8„ (12)

и: * и!,,\у = Спх + С22у-^2. ^ ..... _ ' '.....

В работе получены'условия, при которых система операторных уравнений (12) имеет неотрицательное решение (*',/) при заданных неотрицательных векторах #,>(), g2>0: если оператор

продуктивен и существуют векторы и„ -V, (¿ = 1,2), такие, что 0<и, <и2, о<; < V, и

и^С.л+С^-С^+г,, vl<C2lu1+C22v1-g2, v2¿Cnu2 + C22v2-g2, то система (12) имеет единственное решение {х*,у'), причем

Для динамической модели с дискретным временем построена двойственная модель, которая позволяет прогнозировать цены на продукцию отраслей при известных значениях величин норм добавленной стоимости и величины выплат за выброс вредных отходов в окружающую среду:

р = С'ир + С'1й + у1,

-д<с;2р+с:1д-у2, (13)

реЕ1,ч<£Е'у,р>0,д>0. Множество р пар функционалов (р,я), удовлетворяющих (13), будем называть множеством планов двойственной задачи. Вектор {р,д'), удовлетворяющий условию:

(Р'^'Ы^рМ^РЫ)' (/'.</)

если он существует, назовем обобщенным решением двойственной задачи.

Двойственная модель обладает свойствами, аналогичными свойствам прямой модели:

1) Если оператор С - продуктивен в Е = Е\х£*, т.е. р(С)< 1, Р±0, то обобщенное решение (р',д*) этой задачи, если оно существует, является планом: (р\<?')<=Л\ т.е. множество планов задачи (13) имеет точную верхнюю грань, а значит существует вектор оптимальных цен.

2) Если оператор С продуктивен, а вектор v2 удовлетворяет неравенству

у2<с;2(/-с;,)~Ч, то множество планов Р1 модели

|р<С1> + С2*1? + V,, ^

непустое и существует решение этой модели.

3) Если [р',д*) — решение модели (13), то ни для какого ; = /0 строгое неравенство

невозможно.

Полученные свойства позволяют сводить решение двойственной модели к решению системы алгебраических уравнений

[Р = С;> + С2',<7+У1,

г* г' (15)

Если (х',у') - решение модели (10), а (р\д') - решение модели (15), то справедливо неравенство

(р'.&ЬЬ'.М^-Ь'.Ъ)- (16)

Последнее означает, что совокупный национальный продукт с учетом оплаты за остаточный уровень вредных отходов в окружающей среде не превосходит полный национальный доход с учетом расходов по уничтожению вредных отходов, возникающих в процессе производства.

Неравенство (16) переходит в равенство в случае, если для вектора (х*,/) соотношения (10) выполняются со знаком равенства. В частности, знак равенства в (10) имеет место, если g2 = 0. Если одновременно g2 = 0 и v2 = 0, то неравенство (16) переходит в равенство

V>£i)=(**'vi)> ,,

которое означает, что совокупный национальный продукт (p',g,) равен полному национальному доходу (x'.v,).

В третьей главе построена и изучена динамическая модель с непрерывным временем, учитывающая воздействие производства на окружающую среду;,u. m,¡; ,

Г *(/) = л, АО + АгУС)+вх + Bny(t)+f,(í),

Модель (17) приводится к виду

x(t) = ~CnX(:)+~Cny(í)+&(t),

dt dt (18)

'y{f) = 4Qi*(0-+ ^C22y(t)-g2i(0, dt dt

где Ht Й- H-f}

Обобщенной моделью для (18) является модель вида

x{t) > ^-Cnx{t)+4-Wl+ ft С). dt dt

y(t) > %-C2lx(t) +^C22y(t)-g2(t). dt dt

Введем в рассмотрение положительные операторы C:lx(t) = ^rC¡lx(t)

dt

и Cry{t) =—Ci2y(t) (/ = 1,2), действующие в пространстве непрерывных dt

функций. При этом операторы cv действуют из с[о, г] в С [о, 7'], где т -промежуток времени, в течение которого делается прогноз. Будем предполагать, что операторы са монотонно возрастают по х, а с,, — по у (i = 1,2) соответственно, т.е.

Тогда последняя модель примет вид í i Uí) > cux(t)+c12y(f)+g,(0, (j 9-)

Предположение о том, что функции х(() и y(f) неубывающие, является естественным: с течением времени в стабильном и развивающемся обществе валовой выпуск продукции и выброс вредных отхо-

12

дов в окружающую среду при данной технологии и имеющемся перечне товаров не уменьшается.

Как и ранее назовем множеством планов модели (19) множество неотрицательных функций {*(0,>•(/)}, / е [0; Г], удовлетворяющих системе неравенств (19) и обозначим это множество функций через 77, а решение {х(/),у(/)} из 77, удовлетворяющее условию

...... (20)

будем называть решением динамической модели (19).

Построенные модели обладают следующими свойствами:

1) Если множество 77 планов непустое, то вектор {х'^Ху'Щ,определяемый согласно условию (20), является элементом множества 77 планов задачи, причем это наименьший из всех планов.

2) Если П*0и оператор Сп, непрерывен и компактен, то модель (19) однозначно разрешима, причем первое соотношение модели выполняется со знаком равенства:

Ш ш

ш ш

3) Во всех точках / е[0;7'], для которых справедливо строгое неравенство , .. . ..

у\()>^С2,х(1)+?-С22у(!)-82(1), (21)

т т

имеет место равенство:

/(г) = 0.

С экономической точки зрения выполнение неравенства (21) означает, что в период времени [о,г] нет необходимости подавлять вредные отходы, так как в этот период времени содержание вредных отходов в окруэ/сающей среде не превышает допустимого уровня g2.

Полученные результаты позволяют сводить отыскание решения модели (19) к решению системы (18), если это решение {л'(7),у'(г)} существует, причем **(/)>0,/(0^0. Это решение может быть найдено методом последовательных приближений: если множество танов 77 задачи (18) с операторами Сл и Сп, действующими в пространстве непрерывных неубывающих функций, содержит хотя бы один элемент {/(*)>/(')} и существует такой элемент £(/).' ..у- ,,,

()«№<>у(1), что ~С2/(1) + ^С22у(1) - > у(0,

то последовательность

к = 0,1,2,..., х„(0 = **(0, л(0 = /(0 монотонно сходится к решению системы (18), т.е.

Для динамической модели (17) с непрерывным временем, учитывающей воздействие производства на окружающую среду, построена двойственная модель

р(0 = 4,р(0+4М0+£, ¡МО + ЯгЖО+V,, . «КО < Аир(1)+Апф)+впМ0+вгт - V,, (22)

р(0>0,9(0>0, решение которой определяется по формуле:

Й0,?*(0)=(хир(М0Ьир{<?(/)}). (23)

Более общей моделью по сравнению с (22) является модель вида Ы0 < 4 ,р(0+4,9(0+Впр(0+В,Ж0+V,, [<7(0 < 4 2М0+42д(/)+В12М0+Вшт-- у2, которая равносильна модели

19(0<С12р(0 + С22<7(/)-у2,

где 0,у = 1,2).

Множеством планов модели (24) называется множество неотрицательных функций о}, /е[0;г], удовлетворяющих системе неравенств (24). Обозначим это множество функций через Р, а решение {р(0М0} из Р, удовлетворяющее условию (23), будем называть решением двойственной модели к динамической модели многоотраслевой экономики.

Тогда для двойственной модели с непрерывным временем можно сформулировать следующие свойства:

1) Если множество Р планов непустое, то вектор {р*(0>9*(0}>определяемый согласйд условию (23), является элементом множества Р планов задачи.

2) Если Р*0и оператор Сп непрерывен и компактен, то модель (24) однозначно разрешима, причем первое соотношение модели выполняется со знаком равенства:

т т

3) Во всех точках г е [0; Т\, для которых справедливо строгое неравенство

ш т

имеет место равенство:

</*(') = 0-

Глава 4 посвящена получению оценок решения динамической модели. Поиск точного решения нелинейной динамической балансовой модели представляет некоторые трудности, связанные как с достаточно большим количеством данных, так и с методами решения таких моделей. Кроме того, в ряде случаев при построении и исследовании модели на начальном этапе не требуется знать точное решение, а достаточно иметь некоторую его оценку, позволяющую судить об адекватности модели и внести своевременную корректировку в ее построение. В этой связи представляют Интерес легко реализуемые методы получения оценок решения нелинейной модели. 'НЛ» .V

Для получения оценок решения представим модель (10) в виде операторного уравнения

-.гм: Z = Cz + g, (25)

где с = (С" СА-(А»+В" Г

Если найдутся неотрицательные числа л.,., а,, Д (/ = 1,2), удовлетворяющие неравенствам:

А». 5 СЯ0 <, и «Я £ Cg^ < Д.^о, то справедлива двусторонняя оценка решения г' уравнения (25):

Поскольку с экономической точки зрения интерес представляют только неотрицательные решения, то необходимы признаки его существования. На этом пути получен отрицательный результат, который, тем не менее, дает важную в экономической интерпретации информацию о модели: если для некоторого вектора и0 е. К выполняется неравенство Cua+g<ul!, где С - продуктивный оператор, то (25) не Имеет решения, принадлежащего К.

Предложен метод ускорения сходимости двусторонних оценок к решению г задачи (25). Итерационный процесс строится следующим

образом. Выбираются начальные приближения и„ и у0, удовлетворяющие соотношениям

Ы0<у0, щ<Си0 + ё, Cv0+g<vQ. Последовательные приближения «„ ^ и ук находятся по формулам:

"м = Сик + $, = (26)

= -—■—(«Ы + ЛЛ«)> —(п+1 + &+]«А+1), к= 1,2,...

1 Ал< 1

Здесь неотрицательные параметры рк^, qk+] выбираются так, чтобы на

каждом шаге были выполнены соотношения

Получаемые последовательные приближения сходятся к решению г' задачи (25). При этом процесс (26) монотонен. Более того, если в итерационном,процессе (26) параметры рк, qk определены соотношениями

qt=msx{q:q>0,vt^-vk¿q(uk-йk_¡)}, то имеет место оценка г

у-1

П+1-и1+1<--С(ик-ук),

X • 1

где &(Сх,Су) = ■Х~СУ) <%г, у — константа фокусирования, т.е. име-8ир(с: с.т < у)

ется возможность оценить точность найденных приближений.

Предположим, что найдено несколько первых элементов последовательности =Сг,+% (¡ = 0,1,2,...). Тогда, используя лишь найденные приближения, можно получить более точные приближения к решению г : если для последовательных приближений где кир — фиксиро-

ванные натуральные числа (к>р), выполняются неравенства

причем 0<г<1 и 0</?<1, то для решения г' уравнения (25) справедливы оценки

Обозначим через г* и г* приближения к решению г по избытку и недостатку соответственно, т.е.

1~/к 1~Ук

При выполнении условия, (1 > 2(г+Р) справедливо неравенство:

х-1 Х + 1

К-4

дающее оценку точности найденных приближений (здесь % — константа фокусирования).

Процесс получения двусторонних оценок может быть ускорен. Если числа пцитг удовлетворяют неравенствам:

где uk+,=Ct^k + g, vш=Cvl+g и

Гт, = шах{т,: (ц4>, -и,)»»!,^ ^ | 2

[т2 = тах{«2: (ук -у4+1) 5 т2(и4+) - иД

а П=г,+-

1-Г

(гк ~ п-1) > "к = + —~ ) > тогда можно оценить бли-

1 -р

зосгь найденного приближения:

у-Р

(1-ГХ1-Л

х-\ х+1

При выполнении условия (1 - ^ур)2 > 2(у+р) верно неравенство

ЛГ.-1

х-1

Х + 1

о с<? о о

где %, х\ - константы фокусирования ( &(ик А - и„, vЫi ,в(- ¡) <х;).

Рассмотрен метод построения двусторонних приближений к решению динамической модели с учетом утилизации вредных отходов.

Модель (11) можно переписать в виде:

z = (Cl-C2)z + g,': (27)

Сп; <П С2 С21 С2 2)

Укажем условия, позволяющие построить, двусторонние монотонные приближения, сходящиеся к решению V быстрее по сравнению с методом последовательных приближений: пусть С,, С2 вполне непрерывные операторы, тогда при выполнении условий Г (С,"0 - СЛ + §)-«О ^ тк> - - С2и0 + £))> ■ 1 к - (ОЬ - С2и0 + §)) > тЦрра - СЛ "с) решение г' уравнения (26) принадлежит отрезку

: :с /С,щ - С2у0 + g + т(С|у0 - С2и0 + g) . С,у0- С2и0 + g + m(Clu{)-C2v0 + g)\ \ 1 • т 1+т ■ /'

Эффект ускорения сходимости этого метода в предположении, что оператор (С, +с2) фокусирует с константой % определяется условиями: если

иш = са -Qn + g, v,+1=c,vt -cA И.А+1—---, VA+1---,

где m. = max{m:- >m(vt -vt4l), vt-vt+l >m(iit+1-«*)},

то при выполнении условия ||С,+С2|<1 имеют место неравенства

u0<^<u¡<...<z'<...<v¡<v'<v0 и либо метод сходится за конечное число шагов, либо верна оценка:

vV,-иш +C2Xv,-щ).

Z + 1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построена обобщенная динамическая модель многоотраслевой экономики с дискретным временем на основе аппарата разностных уравнений, в которой введены дополнительные коэффициенты в уравнение образования вредных отходов, что позволяет получить более точную информацию о выбросах.

2. Изучена динамическая модель с непрерывным временем с учетом выделения вредных отходов в процессе производства, описываемая системой дифференциальных уравнений.

3. Построена двойственная модель для динамической модели многоотраслевой экономики с учетом экологического состояния окружающей среды с дискретным и непрерывным временем, сформулированы ее свойства.

4. Получены двусторонние и векторные оценки решения динамической модели, предложен метод улучшения двусторонних оценок, что позволяет анализировать модель, не прибегая к непосредственному интегрированию.

Основные результаты опубликованы в работах: из перечня ведущих реферируемых журналов:

1. Костенко Т.А., Петлина Е.М. Динамическая модель межотраслевого баланса, учитывающая выделение вредных отходов, и двойственная к ней модель. - Известия вузов. Северокавказский регион. Естественные науки. - 2008. - № 2. - С. 11-16.

2. Петлина Е.М., Павлова М.Н. Динамическая модель многоотраслевой экономики с учетом выделения вредных отходов в процессе производства // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2009.-Т. 16,-Вып.З.-С. 551-552.

международные и всероссийские конференции:

3. Павлова М.Н., Петлина Е.М. Динамическая модель межотраслевого баланса // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. - Ростов-на-Дону, 2Р06. — С. 201-202. У-

4. Петлина Е.М. Двойственная модель к динамической модели межотраслевого баланса с учетом, экологического фактора и внесения инвестиций // Материалы докладов XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» / Отв. ред, Ц.А. Алещ-ковский, П.Н. Коростылев. [Электронный ресурс] - М,: Издательски^ центр Факультета журналистики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. — Режим доступа: Ьйрт,/шчУ№;Ьтопозоу-т5и.ги/2007/13/Ре(Ппа_ЕМ.рс)Г

5. Петлина Е.М. ,Оценка решения двойственной модели к динамической модели с учетом экологического фактора // VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Программа и тезисы докладов. — Новосибирск, 2007. - С. 66.

6. Петлина Е.М. Использование динамической модели межотраслевого баланса для анализа состояния окружающей среды // Молодежь и современные информационные технологии. Сборник ¡трудов VI Всероссийской научно-практической, конференции студентов, аспирантов и молодых ученых — Томск, 2008. - С. 133—134.

7. Павлова М.Н., Петлина Е.М. Двойственная модель к динамической модели Леонтьева-Форда с непрерывным временем // Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» — Сочи: Соч. гос. ун-т туризма и курорт, дела, 2008. — С. 63-65.

8. Петлина Е.М. Метод ускорения сходимости двусторонних оценок к решению динамической модели с учетом выделения вредных отходов // Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Кемерово, 28-30 октября 2008 г. Программа и тезисы докладов. - Новосибирск, 2008. - С. 60.

9. Павлова М.Н., Петлина Е.М. Об одном методе построения двойственной задачи к динамической модели Леонтьева-Форда // Физико-математическое моделирование систем: материалы V Международного семинара. - Воронеж: ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2008. -Ч. 2. - С. 204-208. региональные конференции:

10. Павлова М.Н., Петлина Е.М. О методе нахождения решения динамической модели межотраслевого баланса // Физико-математические науки на современном этапе развития Ставропольского государствен-

ного университета: Материалы 51-й научно-методической конференции преподавателей и студентов СГУ «Университетская наука - региону». — Ставрополь: Изд-во С ГУ, 2006. — С. 140—141.

11. Петлина Е.М. Динамическая модель межотраслевого баланса с учетом инвестиций // Научно-инновационные достижения ФМФ в области физйко-математических и технических дисциплин: Материалы 52-й научнб-методической конференции преподавателей и студентов СГУ «Университетская наука - региону». - Ставрополь: Ставропольское книжное издательство, 2007. - С. 213.

12. Павлова М.Н., Шихвалиева З.Б., Петлина Е.М. Численные методы решения динамической модели Леонтьева-Форда // Научно-инновационные достижения ФМФ в области физико-математических и технических дисциплин: Материалы 53-й научно-методической конференции преподавателей и студентов СГУ «Университетская наука - региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2008. - С. 68-70.

13. Павлова М.Н., Петлина Е.М., Ковбан Т.С. Двусторонние оценки решения нелинейной модели межотраслевого баланса с неразложимыми операторами// Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных и прикладных наук на физико-математическом факультете: Материалы 54-й научно-методической конференции преподавателей и студентов СГУ «Университетская наука - региону». -Ставрополь: Изд-во СГУ, 2009. - Ч. 1. - С. 147-149. :

Подписано в печать 1.12.2009 Формат 60x84 1/16 Усл.печ.л. 1,22 Уч.-изд.л. 1,04

Бумага офсетная Тираж 100 экз. Заказ 407

Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственного университета. 355009, Ставрополь, ул.Пушкина, 1.

Введение.

Глава 1. Математические модели макроэкономики.

1.1. История развития моделей общественного производства.

1.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

1.3. Модель Леонтьева-Форда.

1.4. Динамическая модель Леонтьева.

1.5. Двойственные задачи линейного программирования.

1.6. Двойственная модель к модели Леонтьева.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Обобщенная динамическая балансовая модель с дискретным временем, учитывающая выделение вредных отходов.

2.1. Постановка задачи. Понятие решения модели.

2.2. Свойства решения динамической модели с учетом экологического состояния окружающей среды.

2.3. Условие разрешимости динамической модели.

2.4. Динамическая модель, учитывающая возможность утилизации вредных отходов.

2.5. Двойственная модель к динамической модели с дискретным временем.

2.6. Обобщенная модель для двойственной модели с дискретным временем.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Динамическая модель с непрерывным временем, учитывающая выделение вредных отходов, и математический аппарат ее исследования.

3.1. Динамическая модель с непрерывным временем, учитывающая выделение вредных отходов.

3.2. Свойства динамической модели с непрерывным временем, учитывающей выделение вредных отходов.

3.3. Метод последовательных приближений для решения динамической межотраслевой балансовой модели.

3.4. Двойственная модель для случая с непрерывным временем.

3.5. Свойства двойственной модели с непрерывным временем.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Априорные оценки решения динамической балансовой модели.

4.1. Оценка решения динамической модели многоотраслевой экономики.

4.2. Метод ускорения сходимости двусторонних оценок к решению динамической модели.

4.3. Метод ускорения сходимости векторных оценок к решению динамической балансовой модели.

4.4. Метод ускорения сходимости уточненных двусторонних оценок к решению динамической модели.

4.5. Метод построения двусторонних приближений к решению динамической балансовой модели с учетом утилизации вредных отходов.

Выводы по главе 4.

Актуальность темы исследования. На современном этапе экономического развития общества продолжают оставаться актуальными задачи эффективного прогнозирования, планирования и управления крупными экономическими системами. При построении математических моделей таких систем получают статические и динамические модели, по-разному учитывающие фактор времени. Статика изучает состояния экономических объектов, относящиеся к определенному моменту времени или периоду времени. Изменения параметров состояния изучаемых объектов во времени при этом не учитывается. В динамических моделях учитывается не только зависимость параметров и переменных от времени, но и изменение их взаимосвязей с течением времени. Например, динамика инвестиций определяет динамику величин основного капитала, что, в свою очередь, является важнейшим фактором изменения объема выпуска.

Большинство современных моделей, имеющих практическую направленность и предназначенных для прогноза основных показателей экономики, построены на расширенных моделях межотраслевого баланса. Наиболее важной и интересной из первых таких моделей является модель Леонтьева х = Ах + у, (0.1) где А - технологическая (неотрицательная) матрица, х - валовой выпуск полезного продукта (неизвестный элемент), / - вектор чистого выпуска полезного продукта (заданный элемент). При неотрицательном векторе/экономический смысл имеют только неотрицательные решения х' модели (0.1).

Исследования Леонтьева способствовали развитию новых направлений экономических исследований и активное развитие экономико-математических методов. Учет технологических особенностей производства, инвестиционной деятельности, экологической ситуации и ряда других особенностей производственной и социальной сфер требуют постоянного развития моделей многоотраслевой экономики. Такого рода исследованиям посвящены работы зарубежных и отечественных ученых: В.В. Леонтьева, Д.

Форда, Дж. фон Неймана, П.А. Самуэльсона, P.M. Солоу, Дж. Р. Хикса, М. Моришима, В.Я. Стеценко, Е.В. Рюминой, E.JI. Торопцева и др. [3; 12; 16; 1921; 24; 32; 35; 46-49; 51-53; 58; 76; 88-90; 92].

Подавляющее большинство известных технологий производств связано с появлением в процессе их реализации побочных продуктов, в том числе приводящих к загрязнению окружающей среды. Учитывая объемы производства, масштабы загрязнения носят угрожающий характер. В этой связи правительствами стран принимаются все более жесткие меры по предотвращению деградации природы, переработке вредных отходов и сведению антропогенного влияния к минимуму.

Борьба с загрязнением окружающей среды требует постоянно возрастающих затрат. Это приводит к созданию новых производств по переработке и уничтожению вредных отходов. В результате расширяется сама сфера общественного производства: она включает не только создание материальных благ, но и разные виды деятельности, связанные с уменьшением загрязнения окружающей среды и возобновления природных ресурсов.

Первая межотраслевая модель, охватывающая взаимосвязи экономики и окружающей среды предложена В. Леонтьевым и Д. Фордом [49]: x = Anx + Any + fx, y = A2Xx + A22y-f2, где х - вектор валового выпуска полезного продукта; у — вектор вредных отходов в окружающей среде, возникающих, в частности, в процессе производства и подлежащих уничтожению; /х - вектор чистого выпуска полезного продукта; /2 - вектор остаточного уровня вредных отходов; Ап — технологическая матрица; Ап - матрица, характеризующая затраты полезного продукта; А1Х — матрица, соответствующая количеству вредных отходов, создаваемых при выпуске полезного продукта; А22 - матрица, характеризующая уровень вредных отходов в окружающей среде при уничтожении других вредных отходов.

По сравнению с моделью (0.1) модель Леонтьева-Форда охватывает не только две группы отраслей (отрасли материального производства и отрасли, которые уничтожают вредные отходы), но и обладает некоторыми свойствами, существенно отличающимися от свойств модели межотраслевого баланса. Это связано, в первую очередь, с тем, что модель (0.2) содержит величины, измеренные в натуральных единицах (отходы производства по каждому виду загрязнения) наряду с величинами, выраженными в стоимостной форме (векторы валового и конечного продукта, технологическая матрица и т.д.).

Приведенные модели являются статическими. Однако при изучении реальной экономики можно выделить такие ее элементы, в которых причина переходит в следствие не мгновенно, а с некоторым запозданием [31-32]. Поэтому динамические модели, как правило, являются более адекватными изучаемым экономическим явлениям.

В работе [47] для модели Леонтьева построена динамическая модель с дискретным х = Ах + В X'+h ~Х> + f "S+A ~ U . ^ J t+h ' п и непрерывным временем x(t) = Ax(t) + Bx(t) + f(t).

Последняя модель стала классическим примером использования систем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического роста. Со времени своего появления модель Леонтьева претерпела значительное развитие и модификации. Здесь следует отметить работы таких авторов как Дж. фон Нейман, П.А. Самуэльсон, В.Я. Стеценко, Е.Л. Торопцев, A.C. Мараховский, Т.Г. Гурнович, М.В. Бойчук и др. [3; 12; 51-52; 55; 88-90].

Озабоченность экологической ситуацией заставляет правительство разных стран субсидировать новые достаточно «чистые» технологии, выделять дополнительные инвестиции на переработку вредных отходов и борьбу с загрязнением окружающей среды. Все это влияет на отдельные производства и экономическую ситуацию в целом. Поэтому при построении межотраслевой динамической модели, учитывающей экологическое состояние окружающей среды, необходимо внести коррективы как в балансовые уравнения выпуска полезного продукта, так и в уравнения, связанные с вектором вредных отходов. Основное отличие таких моделей состоит в том, что, используя новые современные технологии, в ряде случаев удается снизить выделение побочных продуктов до уровня ниже экологически допустимого. При этом уравнение, соответствующее второму уравнению модели (0.2) логичнее записать в виде неравенства, что влечет за собой множественность решения. В основе модели проведения прогнозных расчетов таких задач лежит принцип оптимальности, позволяющий при многовариантном прогнозировании выбрать решение поставленной задачи наилучшим образом, т.е. с наименьшими затратами трудовых ресурсов и средств производства. Эта идея реализована в построенной автором динамической модели, учитывающей экологическое состояние среды и возможную переработку выделяемых в эту среду в процессе производства вредных отходов с целью понижения уровня их содержания до экологически допустимого. Рассматриваемая модель и полученные при ее исследовании результаты являются развитием идей доктора физико-математических наук, профессора Стеценко В .Я.

В общей постановке эта модель описывается в виде операторной системы неравенств: а) в случае дискретного времени

У 1+11 — СХ!+>1' У/+И > ' УI ) /'2,1+1, •> где ^, - линейные монотонные операторы, х,, у,, , /2 ,+й - заданные элементы, х1+/1, у,+11 - неизвестные элементы, к — период прогноза; б) в случае непрерывного времени х1+/1

0.3) х>Г1(х,у,х,у) + у>Р2(х, у,х,у)~/2

0.3') где ^ - нелинейные монотонные операторы, =/(/)> /2 = /2(0 - заданные элементы, зависящие от времени I, х = , = ХО — неизвестные функции.

Пару элементов {х(1),у(()}, удовлетворяющих системе неравенств'(0.3) или (0.31), будем называть планом соответствующей задачи. Множество всех планов задачи, следуя Стеценко В.Я. [79; 88], будем обозначать через П. Если множество планов задачи не пустое, то оно содержит бесконечное множество элементов. Положим х(0 = тфСО}, /(/) = и*{у(0}, (0-4) где точная нижняя грань вводится по всем {х^),у(1)}еП. Вектор {х*(/),1у*(/)}, определенный согласно (0.4), если он существует, назовем решением рассматриваемой задачи.

Полученные в работе модели является дальнейшим развитием моделей Леонтьева и Леонтьева-Форда. Принципиальное отличие предложенных моделей связано с введением в модель нового типа операторов.- Более того, модель (0.3') с непрерывным временем описывается системой дифференциальных уравнений-неравенств; проблема отыскания положительного решения модели (0.3') сводится к отысканию положительного решения операторного уравнения с дифференциальным оператором при наличии заданных неотрицательных и отрицательных величин.

Изучение динамической модели межотраслевого баланса с учетом экологического состояния окружающей среды проводится в двух интерпретациях, поскольку время в экономической динамике может рассматриваться как непрерывное или как дискретное. Непрерывное время удобно для моделирования, так как позволяет использовать аппарат дифференциального исчисления и дифференциальных уравнений. Дискретное время удобно для приложений, поскольку статистические данные всегда дискретны и относятся к конкретным единицам времени. Для модели с дискретным временем представляется возможность воспользоваться аппаратом разностных уравнений.

Заметим, что большинство известных моделей экономической динамики существуют как в непрерывном, так и дискретном вариантах. В обоих вариантах для них могут быть получены, как правило, аналогичные результаты, уровень сложности самих моделей примерно одинаков [25].

Объект исследования — математические модели макроэкономики. Предмет диссертационной работы - динамические модели многоотраслевой экономики, учитывающие внесение инвестиций на развитие производства и утилизацию вредных отходов.

Цель диссертационной работы - построение и изучение математических моделей, описывающих балансовые соотношения производства с учетом выделения вредных отходов в окружающую среду, возможности их переработки и внесение инвестиций.

В соответствии с поставленной целью в ходе исследования решались следующие задачи:

- построить обобщенную динамическую балансовую модель с учетом-инвестиций и экологического состояния окружающей среды;

- построить двойственную модель, дать экономическую интерпретацию модели;

- изучить свойства построенных моделей;

- предложить методы решения рассмотренных моделей;

- указать способ выбора оптимального решения в случае многовариантности способов достижения заданного уровня производства и ограничений на загрязнение окружающей среды.

Методы исследований. Для решения поставленных в работе научных задач использованы методы классического функционального анализа и теории операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах, теория неотрицательных матриц, методы оптимизации, теория дифференциальных уравнений и численные методы вычислительной математики.

Научная новизна исследования состоит в построении и изучении математических моделей, описывающих многоотраслевое производство:

1. Разработана динамическая модель с дискретным и непрерывным временем с учетом выделения вредных отходов на основе аппарата разностно-дифференциальных уравнений, отличающаяся от существующих введением дополнительных коэффициентов в уравнение образования вредных отходов, что увеличивает информативность модели и позволяет получить более точный прогноз о выбросах вредных отходов в окружающую среду при выборе данной технологии.

2. Построена двойственная модель для динамической модели с учетом выделения вредных отходов, позволяющая прогнозировать розничные цены на полезные продукты, что необходимо для экономистов-аналитиков, занимающихся прогнозом цен на производимую продукцию. Предложенные алгоритмы базируются на применении теории двойственности и операционного исчисления.

3. Предложен инструментарий исследования динамической модели, описываемой системой дифференциальных уравнений, на основе теории операторов и функционального анализа, что позволяет, не решая системы, определить, является ли построенная модель продуктивной.

4. Для динамической модели адаптированы методы построения двусторонних и векторных оценок решения, предложен метод улучшения двусторонних оценок. В отличие от методов поиска точного решения, применение метода двусторонних оценок способствует успешному решению задач с большой размерностью обрабатываемых моделей, не прибегая к непосредственному интегрированию.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая ценность работы заключается в дальнейшем развитии математических моделей многоотраслевой экономики, позволяющих точнее описывать производственную, инвестиционную и природосберегающую деятельность.

Практическая ценность работы определяется возможностью применения полученных результатов исследования при решении конкретных задач математики, экономики, биологии и других задач, сводящихся к системе дифференциальных уравнений, и заключается в применении обоснованного метода выбора оптимального решения в условиях его многовариантности. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий.

Достоверность полученных результатов исследования вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Обобщенная динамическая модель многоотраслевой экономики с дискретным временем, учитывающая внесение инвестиций, выделение и переработку вредных отходов.

2. Модификация динамической модели с непрерывным временем, учитывающей выделение вредных отходов в процессе производства.

3. Двойственная модель для динамической балансовой модели с учетом экологического состояния окружающей среды с дискретным и непрерывным временем.

4. Двусторонние и векторные оценки решения динамической межотраслевой балансовой модели, учитывающей выделение и переработку вредных отходов, метод улучшения двусторонних оценок.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2006); XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2007); VIII и IX Всероссийских конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007 и Кемерово, 2008); VI Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, 2008); IV научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий»

Сочи, 2008); V Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2008); IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, (Волгоград-Волжский, 2008); научно-методических конференциях преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука — региону» (Ставрополь, 2006, 2007, 2008, 2009) и неоднократно на научных семинарах кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 работ, из которых 2 в ведущих рецензируемых журналах. Часть результатов диссертации получена совместно с кандидатом физико-математических наук, доцентом Павловой М.Н., при этом в соответствующих результатах ей принадлежат постановка задачи и общие рекомендации относительно методов ее решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения.

Выводы по главе 4:

1. Получена оценка решения динамической модели многоотраслевой экономики с учетом выделения вредных отходов.

2. Предложены приемы ускорения сходимости двусторонних и векторных монотонных приближений к решению модели.

3. Разработан метод ускорения сходимости уточненных двусторонних оценок к решению предлагаемой модели.

4. Предложен метод построения двусторонних приближений к решению динамической модели с учетом утилизации вредных отходов.

122

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассматривается развитие динамической межотраслевой балансовой модели, учитывающей экологический фактор с дискретным и непрерывным временем, а также двойственные к ним модели. Все рассмотренные модели можно представить в виде операторного уравнения: где С - неразложимый или монотонно разложимый оператор, а / - заданный, не обязательно положительный элемент.

Для каждой модели поставлены и решены следующие задачи:

1) для данного операторного уравнения указать условия существования положительного решения при соответствующем обобщении понятия решения этой модели;

2) построить двойственную модель;

3) сформулировать и доказать свойства рассматриваемой модели;

4) предложить методы построения достаточно близких приближений к решению модели.

Таким образом, в диссертационной работе:

1. Построена обобщенная динамическая модель многоотраслевой экономики с дискретным временем на основе аппарата разностных уравнений, в которой введены дополнительные коэффициенты в уравнение образования вредных отходов, что позволяет получить более точную информацию о выбросах.

2. Изучена динамическая модель с непрерывным временем с учетом выделения вредных отходов в процессе производства, описываемая системой дифференциальных уравнений.

3. Построена двойственная модель для динамической модели многоотраслевой экономики с учетом экологического состояния окружающей среды с дискретным и непрерывным временем, сформулированы ее свойства.

4. Получены двусторонние и векторные оценки решения динамической модели, предложен метод улучшения двусторонних оценок, что позволяет анализировать модель, не прибегая к непосредственному интегрированию.

1. Bonsall F.F. Linear operators in complete positive cones // Proc. London Math. Soc. 8.- 1958.- P. 53-75.

2. Karlin S. Positive operators // T. Math. Mech. 1995. - №8. - P. 907-938.

3. Samuelson P.A. An Extension of the LeChatelier Principle // Econometrica. -XXVIII. 1960. - P. 368-379.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория нелинейных операторов в гильбертовом пространстве. -М.: Наука, 1966. 136 с.

5. Баранов А.О., Гильмундинов В.А., Павлов В.Н. Исследование экономики России с использованием межотраслевых моделей. М.: Наука, 2001. -352 с.

6. Баранов Э.Ф. Межотраслевой баланс: методическая база моделирования народнохозяйственных процессов. М.: Экономика, 1973. - 232 с.

7. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: дис. . д-ра физ.-мат. наук. Л., 1967. - 102 с.

8. Бахтин И:А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский, математический журнал. 1961.-Т. 2-№3.-С. 313-330.

9. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности положительных операторов // Сибирский математический журнал. 1962. -Т. 3 - № 1. - С. 8-17.

10. Ю.Беленький В.З., Арутанян И.И., Трофимова H.A., Френкин Б.Р. Полипродуктовая динамическая межотраслевая модель народного хозяйства с оптимизируемым блоком внешней торговли // Экономика и математические методы. 2001. - Т. 37. — Вып. 2.

11. П.Бергман А.К. Экономико-математическое моделирование произвольных систем. М.: МАДИ, 1987. - 198 с.

12. Бойчук М.В., Шмурыгина Н.М. Динамическая обобщенная модель межотраслевого баланса с учетом контроля над загрязнением с лагами // Вестник МСУ. Экономические науки. 2006. - T. IX. - № 2. - С. 78-84.

13. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: учебник для вузов / под ред. B.C. Зарубина, А.П. Кри-щенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. - 228 с.

14. М.Воркуев Б.Л., Грачева М.В., Лукаш E.H. Математические методы анализа экономики. Модели межотраслевого баланса. — М.: МГУ, 1990. 250 с.

15. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. — М.: Наука, 1961.-407 с.

16. Галкина В.А., Омарова А.Д. Еще раз о существовании неотрицательного решения модели Леонтьева-Форда // Известия Северо-Кавказского технического университета. Серия физико-химическая. 2005. - Вып. 6. -С. 74-79.

17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1966. 576 с.

18. Гейл Д. Замкнутая линейная модель пространства. М.: Иностранная литература, 1959. -197 с.

19. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М:: Экономика, 1985. - 274 с.

20. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. М.: Экономика, 1988.-487 с.

21. Гурман В.И., Рюмина Е.В. Моделирование социо-эколого-экономической системы региона. -М.: Наука, 2001. 175 с.

22. Дорнбуш Р., Фишер С. Макроэкономика. М: Изд-во МГУ, 1997. - 495 с.

23. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

24. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

25. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальное решение в экономике. -М.: Наука, 1972.-234 с.

26. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. - 907 с.

27. Кенэ Ф. Избранные экономические произведения. М.: Соцэкгиз, 1980. -195 с.

28. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. -356 с.

29. Колемаев В.А. Математические модели макроэкономической динамики. -М.: ГАУ им. С. Орджоникидзе, 1996. 265 с.

30. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Мир, 1969.-421 с.

31. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. - 544 с.

32. Коробова М.В. Динамические оптимизационные и балансовые модели взаимодействия экономики и окружающей среды: дис. . канд. физ.-мат. наук. Киев, 2002. - 102 с.

33. Костенко Т.А., Петлина Е.М. Динамическая модель межотраслевого баланса, учитывающая выделение вредных отходов, и двойственная к ней модель // Известия' вузов. Северокавказский регион. Естественные науки.-2008. №2.-С. 11-16.

34. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. - 396 с.

35. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Сте-ценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.-455 с.

36. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покорный В.В., Стеценко В.Я. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений // ДАН Тадж. ССР. 1974. - Т. XVII. - № 1. - С. 12-15.

37. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. М.: Наука, 1985. - 256 с.

38. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи математических наук. -1948. № 3 - Вып. 1. - С. 3-95.

39. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / под ред. проф. Н.Ш. Кремера -2-е изд., перераб. и доп. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. - 471 с.

40. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в экономике: учебное пособие для вузов / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. - 407 с.

41. Курс переходной экономики / под ред. акад. Л.И. Абалкина. М.: Фин-стинформ, 1997. - 572 с.

42. Курс экономики: учебник / под ред. Б.А. Райзберга. М.: ИНФА-М, 1997.-657 с.

43. Леонтьев В. Будущее мировой экономики. М.: Международные отношения, 1979.-375 с.

44. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика / пер. с англ. / автор предисловия и научный редактор Гранберг А.Г. М.: ОАО Издательство «Экономика», 1997. - 479 с.

45. Леонтьев В.В. Экономические эссе. М.: Изд-во полит, лит-ры, 1990.

46. Леонтьев В.В., Форд Д. Межотраслевой анализ воздействия структуры экономики на окружающую среду // Экономика и математические методы. 1972. - Т. 8. - Вып. 3. - С. 370-400.

47. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. — М.: Наука, 1972. — 179 с.

48. Мухтаров С.Н., Стеценко В.Я. О некоторых свойствах уравнений с неразложимыми операторами // ДАН Тадж. ССР. 1965. - Т. 8. - № 2 - С. 1927.

49. Нейман Дж., Моргенштейн О. Теория игр и экономическое поведение. -М.: Наука, 1970.

50. Немчинов B.C. Экономико-математические методы. -М.: Мысль, 1965. — 298 с.

51. Островский А.Ю. О сходимости монотонных итерационных процессов // Вычислительная математика и математическая физика. 1977. - Т. 17. — № 1.-С. 233-238.

52. Университетская наука региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2008. -С. 68-70.

53. Петлина Е.М., Павлова М.Н. Динамическая модель многоотраслевой экономики с учетом выделения вредных отходов в процессе производства // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. - Т. 16. -Вып. З.-С. 551-552.

54. Радченко В.В., Стеценко В.Я. Применение метода Ньютона-Канторовича для расчета нелинейного межотраслевого баланса // Модели и методы экономических целенаправленных систем. Новосибирск, 1977. - С. 160— 166.

55. Рюмина Е.В. Экологический фактор в экономико-математических моделях.-М.: Наука, 1980.

56. Сакс Дж., Ларрен Ф. Макроэкономика. Глобальный подход. М.: Дело, 1995.-285 с.

57. Сергеева Т.С. Исследование систем линейных и нелинейных уравнений-неравенств, связанных с моделью Леонтьева-Форда: дис. . канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 2000. - 83 с.

58. Стеценко В.Я. Исследования по теории линейных и нелинейных положительных операторов в пространстве с конусом: дис. . д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. - 307 с.

59. Стеценко В.Я. О неизвестных точках нелинейных отображений // Сибирский математический журнал. 1969. - Т. 10. - № 3. - С. 642-652.

60. Стеценко В.Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов // ДАН СССР. 1968. - Т. 178. - № 5. - С. 1021-1024.

61. Стеценко В.Я., Галкина И.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений: учебное пособие. Ставрополь: СГУ, 1998. - 168 с.

62. Стеценко В.Я., Имомназаров Б. Об одном принципе неподвижной точки // ДАН Тадж. ССР. 1967. - Т. 10. - № 2. - С. 3-11.

63. Стеценко В.Я., Павлова М.Н. О сходимости монотонных итерационных процессов для нелинейных операторов. Современные методы в теории краевых задач // Понтрягинские чтения XII: Тезисы доклада. Воронеж:1. ВГУ, 2001.-С. 145-146.

64. Стеценко В.Я., Павлова М.Н., Кубекова Б.С. Об одном методе построения двусторонних приближений к решению операторного уравнения с монотонно разложимым оператором // Вычислительная математика и математическая физика. 2001. - Т. 41. - № 6. - С. 846-854.

65. Стеценко В.Я., Сергеева Т.С., Павлова М.Н. Модель межотраслевого баланса, учитывающая выделение вредных отходов и их утилизацию.' Математическое развитие модели: учебное пособие. Ставрополь: Изд-во СГУ, 2004. - 127 с.

66. Торопцев E.JI. Моделирование процессов экономической динамики макросистем. Монография. — СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского государственного университета экономики и финансов, 2001. — 135 с.

67. Торопцев E.JL, Гурнович Т.Г. Прикладной анализ балансовых моделей В. Леонтьева. Ставрополь: Кн. изд-во, 1999. - 154 с.

68. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Физматгиз, 1963. 612 с.

69. Чернухина И.С. Об одном итерационном методе решения линейной модели Леонтьева-Форда // Успехи современного естествознания. 2002. -№6.-С. 10-11.