автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы анализа и оптимизации динамических свойств систем по моделям межотраслевого баланса

На правахрукописи

Бутова Ольга Олеговна

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИСТЕМ ПО МОДЕЛЯМ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь — 2004

Работа выполнена в Ставропольском кооперативном институте филиале Белгородского университета потребительской кооперации

Научный руководитель: доктор экономических наук,

профессор Торопцев Евгений Львович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Стеценко Владислав Яковлевич

Кандидат экономических наук, доцент Гунько Татьяна Ивановна

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет экономики и финансов им. Вознесенского Н.А., г. Санкт-Петербург

Защита состоится 20 мая 2004 года в 16 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.256.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, ауд. 214.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ставропольского государственного университета.

Автореферат разослан «_» апреля 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, /

кандидат физико-математических наук ¿¡^«угА/^ Б. Копыткова

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Характер и динамика экономического развития любой системы (страны, региона и т.д.) традиционно являются предметом самого пристального внимания и всестороннего исследования. Это обуславливает постоянно сохраняющуюся актуальность, совершенствование существующих и разработки новых методик, алгоритмов и инструментального аппарата для анализа состояния и управления экономической динамикой сложных экономических систем, представляемых балансовыми моделями с целью повышения темпов экономического развития (президент РФ поставил задачу удвоения к 2010 году валового внутреннего продукта 2003 года).

Устойчивое развитие макроэкономики является гарантией стабильности экономического роста и высокого жизненного уровня населения: При этом под устойчивостью экономической системы понимают ее апериодическую неустойчивость в классическом смысле. Применительно к линейным моделям, которые анализируются в пространстве состояний, следует рассматривать устойчивость «в малом» в соответствии с классическими теоремами Ляпунова А.М. В настоящей диссертационной работе будем рассматривать замкнутые системы и соответственно свободное движение. Широкие возможности в этом смысле предоставляет динамическая модель межотраслевого баланса В.В. Леонтьева.

Известно, что в рамках модели межотраслевого баланса, основу которого составляют данные о межотраслевых поставках сырья и материалов, может быть получен ответ на вопрос, сколько труда, энергии и ресурсов связано с производством конечной продукции данного вида. Межотраслевой баланс (МОБ) или межотраслевой анализ — это метод систематической установки взаимосвязей между различными секторами сложной» экономической системы. Сама модель МОБ, описывающая экономику, практически может иметь как очень высокую размерность, так и малую. Она может представлять, формально никак не изменяясь, как народное хозяйство страны так и отдельное предприятие (во времена социализма это был матричный техпромфинплан, сейчас такая таблица может быть использована при составлении бизнес-плана).

Цель диссертационного исследования. Целью диссертационной работы является разработка методического подхода, критериев качества переходных процессов сложных экономических систем и программного обеспечения для управления статической устойчивостью и динамическими свойствами экономических систем, представимых балансовыми моделями и описанных в рамках теории В.В. Леонтьева «Затраты — Выпуск».

Научные задачи исследований. Достижение поставленной цели потребовало постановки и решения следующей совокупности задач:

1. Разработки методики численного поиска компонент вектора управления динамическими свойствами макроэкономических систем по балансовым моделям.

2. Практического применения математического аппарата для решения задач управления собственными динамическими свойствами (СДС), включая методику формирования функции качества при многапаоаметрическом поиске в условиях заданного диапазона г^ойрёйападиоаилбмлифк данных модели и ограничений по варьируемым пар шетр§М?ЛНОТЕКА |

^СПтрфгрг ¿¿^ ] з

3. Проведения многопараметрического численного поиска компонент вектора конечного спроса для обеспечения статической устойчивости макроэкономической системы, а также совместное управление монетарным сектором и конечным спросом при оптимизации экономической динамики.

4. Сглаживания негативного влияния экономических циклов на валовые выпуски отраслей народного хозяйства.

5. Разработки практических алгоритмов оптимизации динамических свойств макроэкономических систем.

6. Написания, отладки и тестирования комплекса программ для оптимизации динамических свойств макроэкономических систем.

7. Численного поиска параметров стабилизации и обоснование сигнала управления динамическими свойствами.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе научных задач использованы методы дифференциального и операционного исчисления, математического моделирования и программирования, линейной алгебры и теории автоматического управления.

Теоретической и методологической основами исследования являются научные труды В. В. Леонтьева, его последователей и учеников.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечиваются строгостью производимых математических выкладок, базирующихся на аппарате дифференциального и операционного исчисления, матричных методов. Справедливость выводов относительно эффективности предложенных методов подтверждена математическим моделированием и практическими расчетами.

На защиту выносятся:

1. Методический подход к анализу собственных динамических свойств макроэкономических систем, заключающийся в решении полной проблемы собственных значений для заданной совокупности матриц состояния динамической модели МОБ, что позволяет получать результаты, малочувствительные к статистическим ошибкам в исходных данных и решать нестационарные задачи.

2. Методика поиска единого вектора варьируемых параметров (конечного потребления, запасов и др.) для совокупности условий и режимов функционирования экономики, основанная на численной минимизации функции качества переходных процессов, учитывающая разнообразные ограничения на варьируемые параметры и допускающая одновременную координацию их произвольного числа.

3. Критерии качества для алгоритма численного поиска, позволяющие обеспечить заданные или предельно достижимые собственные динамические свойства макроэкономических систем и формируемые по группе доминирующих корней характеристического уравнения. Обобщение этих критериев при определении оптимального вектора варьируемых параметров для совокупности условий и режимов функционирования экономики.

4. Методика, алгоритм и программный комплекс, позволяющие решать задачу обеспечения статической устойчивости и приемлемых динамических свойств высокоразмерных макроэкономических систем.

4

5. Вычислительные эксперименты по проведению многопараметрического численного поиска компонент вектора управления, которые позволили установить условия и частоту проявления минимизируемой вспомогательной функцией свойств овражности, выявить влияние принимаемых параметров функции качества на процесс и результат оптимизации, определить составляющие монетарного сектора и конечного спроса, которые оказываются наиболее влиятельными при решении задачи экономической устойчивости системы.

Научной новизной работы является разработка методики, алгоритма и комплекса программ «OPTIM», осуществляющих численный поиск произвольной совокупности варьируемых параметров сложных экономических систем, представимых балансовыми моделями с целью организации демпфирования экономических циклов и обеспечения заданного или предельно возможного темпа расширения экономики.

По мнению автора к числу результатов исследования, образующих научную новизну, относятся следующие:

1. Разработана методика одновременного численного поиска компонент вектора управления динамическими свойствами макроэкономических систем по балансовым моделям.

2. Решена задача обеспечения колебательной и апериодической статической устойчивости макроэкономических систем, представленных динамическими моделями межотраслевого баланса.

3. Проведено тестирование математического аппарата и методического подхода к анализу собственных динамических свойств сложных экономических систем, базирующихся на вычислении комплекса показателей, к числу которых относятся частоты и затухания отдельных составляющих движения, их наблюдаемость, возбуждаемость, управляемость, чувствительность к параметрам управления, а также их количественные характеристики.

4. Разработана методика поиска единого вектора конечного спроса для совокупности условий и режимов функционирования экономики. Эффективность метода оценена на примерах решения модельных задач. При расчетах обнаружено, что их трудоемкость лишь линейно зависит от числа режимов.

5. Выполнен многопараметрический численный поиск компонент вектора конечного спроса для обеспечения статической устойчивости макроэкономической системы (на примере 22-отраслевой балансовой модели распределения товаров и услуг в экономике России), а также совместное управление монетарным сектором и конечным спросом при оптимизации экономической динамики.

6. Предложены критерии качества для алгоритма численного поиска, позволяющие обеспечить заданные или предельно достижимые демпферные свойства системы в отношении колебательных составляющих движения. Аналогично возможна оптимизация степени экономического роста по группе вещественных корней. Исследовано влияние параметров критерия качества на эффективность процесса численного поиска, обоснованы рекомендации по выбору их значений. Выполнено обобщение критерия качества для определения оптимального вектора конечного спроса для совокупности режимов экономики,

что позволяет учитывать неопределенность параметров модели МОБ и статистическую ошибку в исходных данных.

7. Показано, что программная реализация рЯ-алгоритма расчета собственных значений обеспечивает достаточную точность для заполнения матриц состояния систем дифференциальных уравнений переходных процессов экономических систем до 1000-го порядка и более. Ограничением его применения для задач численного поиска конечного спроса или других параметров в сложных системах является длительность расчета собственных чисел, зависимость которой от размерности матрицы носит степенной характер с показателем близким к трем.

8. Разработаны алгоритмы практической оптимизации динамических свойств макроэкономических систем.

9. Разработан, отлажен и протестирован комплекс компьютерных программ «ОРТ1М» для оптимизации динамических свойств макроэкономических систем.

10. Выполнено определение параметров стабилизации и сигнала управления динамическими свойствами макроэкономических систем.

Теоретическая значимость исследования. Диссертационная работа вносит определенный вклад в прикладной уровень балансовых исследований и межотраслевой анализ, что весьма актуально в условиях бурного развития средств вычислительной техники и телекоммуникаций. Построение на новом уровне прогнозных сценариев развития экономических систем, как макро, так и микроэкономических должно служить задаче разработки целостной экономической политики.

Практическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что разработанные в работах Торопцева Е.Л. теоретические, методологические и методические положения доведены до практических алгоритмов и программ, позволяющих решать задачу обеспечения статической устойчивости высокоразмерных макроэкономических систем. Они могутиспользоваться при оценках эффективности государственного регулирования конечного спроса и иных показателей и параметров, которые могут входить в динамический межотраслевой баланс.

Апробация работы: основные положения и результаты исследования докладывались на следующих конференциях: II Всероссийской научно-практической конференции «Прогнозирование экономической конъюнктуры в системах маркетинга» (Институт экономики и бизнеса УГУ, Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов, Ульяновск, 1999 г.); первой и второй межрегиональной научно-практических конференциях СКИ БУПК «Социально-экономические проблемы развития потребительской кооперации» (Ставрополь, 2001 г., 2002 г.); межвузовской научно-практической конференции СКИ БУПК «Актуальные социально-экономические проблемы российской кооперации» (Ставрополь, 2003 г.); научно-технической конференции «Развитие средств и комплексов связи» (Новочеркасский военный институт связи, Новочеркасск, 2003 г.).

Публикации. Полученные автором результаты изложены в 6 научных статьях, одном учебно-методическом пособии и в 12 работах, опубликованных в сборниках материалов конференций. Всего по теме работы опубликовано 19 работ общим объемом 8,2 печатных листа. 6

Реализация результатов исследования. Теоретические и практические результаты диссертационной работы внедрены для практического использования: в ООО «ФАРАОН - М» (акт о внедрении от 18 ноября 2003 г.) и в ООО «СМИ - ЛИНК» (акт о внедрении от 7 декабря 2003 г.).

Структура диссертационной работы. Работа состоит из введения, четырех разделов, списка использованных источников, содержащего 115 наименований, заключения и приложений. Основная часть работы содержит 169 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи работы, научная новизна, практическая значимость, указаны основные положения, выносимые на защиту. Изложено содержание четырех глав диссертации.

В первой главе на основе критического анализа теорий и моделей цикла определены их основной недостатки: до настоящего времени статистики и экономисты не смогли дать точные прогнозы конъюнктуры рынка, определяя лишь ее общую тенденцию. В первую очередь это связано с недостаточной информационной обеспеченностью задач анализа экономической динамики, а во вторую—с ограниченностью возможностей математических моделей цикла.

Наиболее эффективным инструментом для численного исследования вопросов устойчивости макросистем с получением количественных результатов является динамический межотраслевой баланс В.В. Леонтьева (МОБ).

Детально составленный динамический МОБ в виде систем дифференциальных уравнений может служить математико-статистической базой для анализа как колебательной, так и апериодической устойчивости макроэкономических систем:

(1-А)Х(0-вХ(0 = Г(0 (1)

здесь и далее использованы леонтьевские обозначения.

Анализ колебательной устойчивости и темпов экономического роста (или спада) производится по собственным значениям матрицы замкнутой динамической модели МОБ, записанной в нормальной форме Коши:

Сам по себе расчет собственных значений непосредственно может быть использован только для анализа собственных динамических свойств системы. Поэтому весьма актуальным является разработка и совершенствование средств синтеза требуемого или желаемого качества переходного процесса в макроэкономических системах посредством выбора стабилизирующего вектора спроса на основе матричных методов. Необходимо рассмотреть вопросы улучшения расположения в комплексной плоскости собственных значений матрицы состояния системы О, используя для этого численные методы минимизации функции качества, разработать для этого соответствующее программное обеспечение, показать принципиальную пригодность и работоспособность такого подхода.

Еще более сложным является определение общего оптимального конечного спроса, обеспечивающего демпфирование системных колебаний и приемлемую динамику расширения экономической системы для возможной совокупности условий и режимов ее работы, т.е. для совокупности матриц технологических коэффициентов и коэффициентов запаса из системы (1).

Во второй главе изложен метод численного поиска оптимального вектора конечного спроса, значительно снижающий вычислительные затраты по сравнению с традиционными. Реализуемая в процедурах численной оптимизации динамическая модель МОБ отражает экономическую динамику, то есть показывает, как связано между собой производство в течение ряда лет.

Сформулированы соответствующие требования для комплекса программ получения оптимальных параметров экономической системы. К ним относятся:

• минимизация специально разработанной функции качества, которая должна быть достаточно гладкой и ориентироваться на совокупность корней, определяющих качество переходного процесса, что обеспечит формализованный численный поиск оптимальных компонент вектора конечного спроса или других заранее заданных параметров;

• поиск единого вектора варьируемых параметров для выбранной совокупности режимов работы экономической системы, т.е. при учете временной зависимости элементов матрицы системы;

• учет ограничений на варьируемые параметры, налагаемые из инженерно-экономических соображений;

• надежность работы алгоритмов минимизации функции качества, особенно в условиях ее возможной овражности;

• исключение из рассмотрения слабоуправляемых и неуправляемых характеристических корней, вследствие чего происходит обоснованное агрегирование динамической модели МОБ при численном поиске вектора спроса.

Структура работы алгоритма программного комплекса, удовлетворяющего предъявленным требованиям, представлена на рис. 1

'исуник 1. — Ашириш численнши шиска элеменшв вемира иирииа

1 — блок задания коэффициентов матриц А и В и приведения уравнений к форме Коши;

2 — блок вычисления собственных значений матрицы;

3 — блок формирования функции качества

4 — блок минимизации функции ¥ и коррекции элементов вектора спроса. Элементы матриц динамической модели МОБ и начальные значения

элементов вектора конечного спроса вводятся в блок 1. Там же создается нормальная форма Коши, матрица коэффициентов которой является результатом проделанной предварительной работы и хранится в блоке 1. Ее собственные числа однозначно характеризуют динамические свойства системы.

На первом шаге оптимизации задаются начальные значения элементов вектора Y(t), которые в общем случае выбираются произвольно из области допустимых значений. В процессе работы в блок 1 передаются текущие значения варьируемых параметров, которые являются результатом очередного этапа оптимизации. Их участие в построении формы Коши корректирует матрицу замкнутой системы и инициирует следующий шаг поиска.

Скорректированная матрица передается в блок 2, где вычисляются ее собственные значения. На их основе в блоке 3 определяется численное значение показателя качества переходных процессов в экономической системе. При поиске оптимального вектора Y(t) можно минимизировать различные функции качества, осуществляя управление одним (например, самым правым) корнем или обеспечивая согласованное смещение в комплексной плоскости целой группы корней характеристического уравнения.

В блоке 4 реализованы один или несколько алгоритмов численного поиска, которые определяют стратегию изменения варьируемых параметров в направлении минимизации функции качества. По результатам работы блока 4 вновь корректируется матрица состояния системы в блоке 1. По окончании процесса минимизации для найденных значений элементов вектора конечного спроса рассчитываются собственные числа, по которым делается окончательное суждение о собственных динамических свойствах системы и темпах экономического развития.

В ряде случаев успешному численному поиску вектора Y(t) могут препятствовать следующие затруднения: негладкость минимизируемой функции качества, овражный характер ее линии уровня, ограничения на диапазон изменения элементов вектора конечного спроса, принимаемые из инженерно-экономических или иных соображений.

Негладкость функции качества. Для успешной работы алгоритмов численного поиска оптимизируемая функция качества должна быть достаточно гладкой, т.е. иметь непрерывные производные по варьируемым параметрам.

Овражность. Еще одной трудностью при оптимизации функции качества F(Y) с помощью традиционных алгоритмов может стать медленная сходимость итерационного процесса к точке минимума. Здесь имеет место ситуация, когда линия уровня функционала F(Y) - const носят имеют овражную структуру и носят сильно вытянутый или сильно сплюснутый характер.

В связи с этим в схеме алгоритма численного поиска рис. 1 в блоке 4 наряду с простыми методами использовался метод оптимизации на основе операции вращения пространства, успешно зарекомендовавший себя в овражных ситуациях и реализованный в виде стандартного программного модуля.

Суть работы алгоритма сводится к следующему.

Шаг 1. Строится матрица А вторых производных функции качества F(Y) в начальной точке Y.

Шаг 2. Вычисляются собственные векторы V симметричной матрицы A, например, методом Якоби.

Шаг З. исходный функционал минимизируется методом покоординатного спуска, где в роли координат выступают собственные векторы V Если скорость сходимости на n-й итерации заметно снижается, то полагаем Y0=Yn и возвращаемся к шагу 1.

Залогом успешной работы алгоритма является тот факт, что даже в условиях вычислительной погрешности и неточного определения V. происходит декомпозиция задачи, и минимизация в подпространстве, отвечающем большим собственным числам, происходит отдельно от подпространства дна оврага

Важнейшим фактором, определяющим эффективность процедуры численного поиска, является выбор критерия качества, формируемого в блоке 3 схемы алгоритма, приведенной на рис.1. При его синтезе необходимо удовлетворить следующим основным требованиям. Во-первых, он долженучитывать расположение в комплексной плоскости некоторой группы доминирующих корней, определяющих динамические свойства системы, предоставлять возможность задания желаемой степени экономического роста и степени колебательной устойчивости и быть пригодным для реализации в различных процедурах выбора компонент вектора У^). Во-вторых, он должен обладать свойствами гладкости, т.е. иметь непрерывные производные по варьируемым параметрам, позволяющими использовать его в традиционных алгоритмах численного поиска. Этим требованиям вполне удовлетворяет функция следующего вида

где: Хд — заданная величина степени экономического роста;

X — вещественные корни характеристического уравнения;

01д — заданный показатель демпфирования колебательных составляющих; — вещественные части комплексных корней, взятые с обратным знаком;

V — показатель степени функции.

Задание параметра Хд выделяет группу доминирующих корней, вещественные части которых а меньше Хд. Цель оптимизации заключается в смещении этих корней в комплексной плоскости в направлении уменьшения разности между Хд и (X, и между Хд и X. Таким образом, параметры Хд и (Хд характеризуют желаемые динамические свойства системы.

Вещественные корни характеристического уравнения обеспечат динамику экономического роста, а колебательные составляющие движения будут иметь декремент затухания в соответствии с системными возможностями по управлению ими.

Поясним формирование Б на примере рис. 2. Функция Рзависиткакоткорней (1-4), лежащих левее прямой Хд, так и от комплексно-сопряженных пар (5-7), расположенных правее прямой (Хд. Вклад каждого корня в функцию Б ТЕМ больше, чем дальше от соответствующей прямой он расположен. Важно, что значение минимизируемой функции Б определяется всей группой доминирующих корней, причем их количестве в ходе процесса поиска может меняться. С этой точки зрения корни 0 и 8 не участвуют в суммах (3) до тех пор, пока при варьировании коэффициентов у они не пересекут соответствующие прямые А.0или ао.

Рисунок 2. — Схема расположения корней и формирования функции качества Минимизация ¥ может осуществляться при одновременном варьировании произвольного количества элемента уг При этом проявляется существенное преимущество функции качества (3) по сравнению с критериями степени экономического роста и степени устойчивости. Это преимущество состоит в возможности улучшения расположения группы доминирующих корней при неуправляемости или слабой управляемости вещественной частью, например,-самого правого корня, и если улучшение расположения остальных корней, возможно, то это является целесообразным, т.к., улучшает динамические свойства системы

Функции (3) используются в составе алгоритма (рис. 1), включающего поиск элементов {у}, минимизирующих эти функции качества.

Известно, что собственные значения матрицы, а, следовательно, и ОС, обладают этими свойствами. Таким образом, ими же обладают отдельные слагаемые функционала (3) вида

Поскольку первая и вторая суммы (3) аналогичны, то будем рассматривать только вторую. Обратимся к случаю, когда в процессе минимизации в ней меняется число слагаемых и проведем в связи с этим необходимый анализ производных ¥. Пусть у — варьируемый параметр, а а — вещественная часть корня, который при численном поиске проходит значение = (Х0 и, таким образом, включается во вторую сумму (3) или исключается из нее. Тогда производная слагаемого по у будет иметь вид

а Рч аач

с!у2

йу

(4)

Отсюда видно, что для V > 2 в точке а (у) = а0 первая производная от ^ равна нулю и, таким образом, скачок производной отсутствует при

изменении числа слагаемых в (3). Этого вполне достаточно, если численный метод минимизации не использует вторые производные функционала. В противном случае для обеспечения непрерывности вторых производных, как следует из дифференцирования (4)

(5)

необходимо выбирать так как при скачок производной

йу2

место. При необходимости параметр может выбираться и большим, что обеспечивает требуемое свойство гладкости функции качества ¥ в отличии от критерия степени колебательной устойчивости. Кроме того, F учитывает и частные свойства системы.

На траектории изменения элементов у — и функции качества F в ходе численного поиска некоторое влияние оказывают параметры ад и v минимизируемой функции качества. Это влияние легко обнаруживается в ходе вычислительных экспериментов, которые были проведены для 22-отраслевой балансовой модели распределения товаров и услуг в экономике России.

Изложенная выше процедура оптимизации конечного по условию эффективного демпфирования циклов деловой активности в зоне одного установившегося режима функционирования экономики может быть распространена на решение более сложной задачи выбора общего вектора спроса, обеспечивающего демпфирование циклов для совокупности режимов, это позволяет решать оптимизационные задачи как для нестационарных моделей МОБ, так для моделей в условиях неопределенности их параметров. Последнее весьма важно для получения так называемых робастых результатов, учитывающих статистическую ошибку в исходных данных. При этом обобщенная функция качества F формируется как сумма критериев Fk> для каждого из анализируемых режимов

где: Р1' — функция качества для к-го режима;

и® — параметр, выделяющий группу доминирующих комплексных корней к-го режима;

(Х<ь> — вещественные части комплексных корней к-го режима, взятые с обратным знаком;

и — количество рассматриваемых режимов.

Расчеты по оптимизации спроса с использованием метода покоординатного спуска показали, что это сопряжено с необходимостью вычислений собственных чисел и значений функции ¥ нескольких десятков или даже сотен раз. Причем с увеличением числа оптимизируемых параметров у1 требуемое количество вычислений собственных значений резко возрастает. Известная теоретическая оценка трудоемкости рЯ-алгоритма для вычисления характеристических корней говорит о том, что она приблизительно пропорциональна кубу размерности вектора переменных состояния. В связи с этим выбор эффективного метода оптимизации является важным условием при работе с высокоразмерными балансовыми моделями.

Третья глава диссертационной работы посвящена многопараметрическому численному поиску компонент вектора конечного спроса для обеспечения статической устойчивости экономической системы и возможности совместного управления монетарным сектором и конечным спросом при оптимизации экономической динамики.

Для характеристики уровня демпфирования колебательных составляющих движения были использованы доминирующие, то есть ближайшие к мнимой оси комплексно-сопряженные пары корней характеристического уравнения рассчитанные для вектора конечного спроса и выявлялось влияние на результат оптимизации демпферных свойств рассматриваемой системы следующих 12

(5)

■ V

(6)

параметров: заданного показателя демпфирования колебаний и показателя степени (соответственно ад и V). Это влияние было подтверждено в ходе проведения вычислительных экспериментов для 22-отраслевой балансовой модели распределения товаров и услуг в экономике России.

Сначала был проведен анализ эффективности многопараметрического численного поиска компонент вектора конечного спроса для обеспечения статической устойчивости макроэкономической системы. Проведенные расчеты позволили выявить, что численный поиск компонент вектора конечного спроса методом покоординатного спуска не позволил добиться нужного уровня оптимизации функции качества, поэтому был применен овражный алгоритм, который и обеспечил требуемое затухание и минимизировал величину функционала.

Сопоставительный анализ действительных корней системы, показал, что повышение v до четырех несколько улучшило положение корней на плоскости, но при изменении п до шести снова ухудшило его, что свидетельствует о плохой управляемости действительными корнями. Не смогли мы добиться также смены знака вещественных корней с минуса на плюс, что обусловило бы экономический рост в нашей системе.

Таким образом, численный поиск компонент вектора конечного спроса может применяться для обеспечения статической устойчивости макроэкономической системы, но для оптимизации экономической динамики необходимо применить управление монетарным сектором или совместное управление монетарным сектором и конечным спросом.

Анализ эффективности влияния монетарного сектора при оптимизации экономической динамики и совместного управления монетарным сектором и конечным спросом показал, что степень влияния на результат оптимизации демпферных свойств системы параметров в данном случае является

наименьшей. Все комплексные или действительные пары или неуправляемы или, в лучшем случае, слабо управляемы. Причиной этого является использование при оптимизации большого количества элементов (22 параметра вектора конечного спроса и 43 — монетарного сектора). Поэтому следующим этапом анализа оптимизации системы стало использование при оптимизации не всех элементов вектора конечного спроса и монетарного сектора, а наиболее влияющие на совместное управление при оптимизации экономической динамикой.

Элементами, наиболее влияющими на совместное управление при оптимизации экономической динамикой являются те, которые получают наибольшие приращения при оптимизации. Опытным путем нами были выделены 15 наиболее влиятельных параметров монетарного сектора и онечного спроса. Расчеты показали, что после применения оптимизации все комплексно-сопряженные пары согласованно сместились в направлении что говорит об их хорошей управляемости, а значительное смещение влево первой комплексно-сопряженной пары, которая поменяла свой знак с плюса на минус говорит о повышении колебательной устойчивости системы. Сопоставительныйк анализ действительных корней системы, показал улучшение положения корней на плоскости, что подтверждает хорошую управляемость также и действительными корнями, а изменение знака вещественного корня с плюса на минус, говорит о появлении экономического роста в результате проведенной оптимизации.

Таким образом, управление наиболее влиятельными элементами монетарного сектора и вектора конечного спроса дает наибольший большой эффект при оптимизации экономической динамики, то есть мы добились наилучших результатов как в обеспечении экономической устойчивости системы, так и в достижении наибольшего экономического роста.

В четвертой главе, посвященной разработке комплекса программ расчета устойчивости и оптимизации динамических свойств экономических систем, представимых балансовыми моделями значительное место занимает проблема приведения исходной математической модели к нормальной форме Коши, что сопряжено с проблемой обращения матрицы капитальных коэффициентов, которая может быть как вырождена, так и иметь неполный ранг. Проблема обращения «под контролем» или псевдообращения исследована на примере статической модели. Указанный контроль осуществляется с использованием норм векторов и матриц на основе оценки нормы обращаемой матрицы в соответствии с общим определением нормы линейного оператора. При реализации гаусова исключения осуществляется оценка числа обусловленности обращаемой матрицы по нормам сверху.

Программный комплекс OPTIM предназначенный для расчета устойчивости и оптимизации динамических свойств экономических систем, состоит из 15 программ, написанных на ФОРТРАНе, и работает в визуальной системе программирования Microsoft Fortran POWER-STATION.

В комплексе заложена возможность задания различных методов расчета: покоординатный спуск, овражно-ориентированный алгоритм, покоординатный спуск с переходом на овражно-ориентированный метод при плохой сходимости первого метода.

Основная вычислительная работа и, следовательно, затраты времени приходятся на программу DECOMP, которая реализует LU - разложение исходной матрицы. DECOMP выполняет ту часть гауссова исключения, которая зависит лишь от матрицы. Она сохраняет множители и информацию о ведущих элементах. SOLVE использует эти результаты, чтобы получить решение для произвольной правой части.

DECOMP вычисляет также оценку обусловленности матрицы. Такая оценка является намного более надежной и полезной мерой близости к вырожденности,чем такие величины, как определитель или наименьший ведущий элемент. Эта оценка дает верхнюю границу для действительной обусловленности.

Включенная в состав процедуры численного поиска программа расчета собственных значений состоит из трех модулей, выполняющих следующие операции: масштабирование матрицы (BALANC), приведение матрицы общего вида к верхней форме Хессенберга (ELMHE), нахождение собственных значений матрицы Хессенберга с помощью QR-алгоритма (HQR).

QR-алгоритм является универсальным и общепринятым методом решения полной проблемы собственных значений. Применительно к анализу динамических систем различной природы, сложности и назначения практическое использование QR-алгоритма ограничивается общим числом дифференциальных уравнений модели порядка 500. Этот факт удалось установить в результате проведенного в работе тестирования программной реализации QR-алгоритма. 14

В приложении приведены листинги программных модулей программного комплекса «ОРТ1М», описанного в четвертой главе.

В заключении дана оценка основных результатов работы, которые состоят в следующем:

1. В работе решена важная инженерно-экономическая проблема обеспечения высоких динамических свойств макроэкономических систем по моделям межотраслевого баланса В.В. Леонтьева, в том числе колебательной статической устойчивости и апериодического роста ВВП, за счет нового методического подхода к координации конечного спроса, монетарного сектора, других параметров затратного механизма в широком диапазоне структурно-режимных условий функционирования экономических систем.

2. Наличие в макроэкономических системах циклов деловой активности ставят задачу обеспечения их колебательной устойчивости в отношении низкочастотного самораскачивания в маловозмущенном движении. Для решения подобных задач необходима разработка эффективных экономико-математических методов синтеза управляющих воздействий на детально составленные по статистическим данным модели для обеспечения удовлетворительного демпфирования колебаний.

3. Решение проблемы базируется на предложенном в работах Торопцева Е.Л. математическом аппарате для анализа и управления собственными динамическими свойствами систем и методах определения оптимальных значений варьируемых параметров. Эти методы включают процедуру численного поиска и новые подходы к упрощению динамической модели МОБ для эффективного решения задач управления, а также разработку комплекса компьютерных программ, реализующих эти методы.

4. В ходе вычислительных экспериментов подтверждена эффективность математического аппарата и методического подхода к анализу балансовых моделей и собственныхдинамических свойств (СДС), к числу которыхотносятся частоты и затухания отдельных составляющих движения, наблюдаемость, управляемость и другие показатели, а также их количественные характеристики, включая показатели наблюдаемости и коэффициенты чувствительности к изменении параметров системы.

5. Показана возможность создания высокоэффективных формализованных процедур анализа экономических систем на базе матричных методов.

6. В процессе расчетов было подтверждено, что предложенный метод численного поиска оптимального вектора конечного спроса, значительно снижает вычислительные затраты по сравнению с традиционными и обеспечивает устойчивость и приемлемые динамические свойства экономической системы. Предложены два алгоритма его реализации, базирующиеся на модификации градиентного метода, а также метода сингулярного разложения матрицы чувствительности линейной системы уравнений прогноза изменения вещественных частей корней характеристического уравнения.

7. Проведены расчеты по многопараметрическому численному поиску компонент вектора конечного спроса для обеспечения статической устойчивости макроэкономической системы и вычислительные эксперименты по совместному управлению монетарным сектором и конечным спросом при оптимизации

экономической динамики. Эффективность критериев качества подтверждена на примере балансовой схемы для 22-отраслевой балансовой модели распределения товаров и услуг в экономике России.

8. Обоснована целесообразность использования овражно-ориентированно-го алгоритма в составе процедуры оптимизации вектора конечного спроса по динамической модели межотраслевого баланса наряду с простейшими методами численного поиска типа покоординатного или градиентного спуска.

9. Сформулированы верхние оценки ошибок решения для статистической модели МОБ при возмущении элементов вектора конечного спроса, матрицы системы и совместно в вектор и в матрицу. При этом для хорошо обусловленных систем эффективными оказались как вариант метода Гаусса, реализующий LU-разложение, так и итерационные процедуры. В случае плохо обусловленной или вырожденной матрицы коэффициентов полных затрат для определения устойчивого решения с минимальной нормой надежным вычислительным средством показало себя сингулярное разложение, основанное на устойчивых ортогональных преобразованиях.

10. Показано, что программная реализация QR-алгоритма обеспечивает достаточную точность результатов и приемлемые временные показатели для заполненных матриц дифференциальных уравнений переходных процессов макроэкономических систем размерностью, как минимум, до 1000-го порядка и более на современных IBM PC при работе с балансовыми моделями.

Список основных работ по теме диссертации -

1. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Вопросы устойчивости вычислений и динамической модели межотраслевого баланса. // Компьютерные технологии в оборудовании и предпринимательстве. Материалы междунар. конф. — Чита: СУПК, 1998. — С. 184-189.

2. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Устойчивый алгоритм получения формы Коши в модели межотраслевого баланса // Компьютерные технологии в оборудовании и предпринимательстве. Материалы междунар. конф. — Чита: СУПК, 1998. — С. 198-201.

3. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Численный анализ модели межотраслевого баланса. // Компьют. технол. в оборудовании и предпринимат. Материалы междунар. конф. — Чита: СУПК, 1998. — С. 204-207

4. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Анализ балансовой модели с переменным вектором конечного спроса // Математическое моделирование и компьютерные технологии. Материалы III Всесоюз. симпозиума—Кисловодск: КИЭП, 1999. — С. 153-156.

5. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г, Бутова О.О. Критерий для численной оптимизации динамических свойств макроэкономической системы.// Потребительская кооперация России на пороге третьего тысячелетия. Материалы науч.-практ. конф. — Белгород: БУПК, 1999. — С. 193-195.

6. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Особенности плохо обусловленной матрицы В.В. Леонтьева в балансовых моделях. Материалы III Всесоюз. симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии» — Кисловодск: КИЭП, 1999. — С. 174-179

7. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова 0.0. Оценки ошибок решения для статической модели межотраслевого баланса.// Потребительская кооперация России в условиях перехода к рыночным отношениям. Материалы науч.-практ. конф. — Ставрополь: СКИ БУПК, 1999. — С. 201-206.

8. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Прогнозирование макроэкономической динамики в схеме «Затраты — выпуск».// Прогнозирование экономической конъюнктуры в системах маркетинга. Материалы II Всесоюзн. науч.-практ. конф. — Ульяновск: ЛГУ, 1999. — С. 145-148.

9. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Численный анализ МОБ.// Вузовская наука — Сев-Кавк. региону. Материалы III региональн. науч.-техн. конф. — Ставрополь: Сев.- Кавк. ГТУ, 1999. — С. 193-202.

10. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Функционалы качества переходных процессов сложных экономических систем.// Проблемы развития потребительской кооперации в современных условиях. Материалы 2-ой науч.-практ. конф. — Ставрополь: СКИ БУПК, 2000. — С. 156-160.

11. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Численные методы и балансовые модели в макроэкономике. — Ставрополь: Кавказск. край, 2000. — 76 с.

12. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Численные методы анализа балансовых моделей экономических процессов макроэкономических систем. / / Проблемы развития потреб, кооперации в современных условиях. Мат-лы 3-ей науч.-практ. конф. — Ставрополь: СКИ БУПК, 2001. — С. 183-189.

13.Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Анализ моделей экономических циклов макроэкономических систем. // Проблемы развития потребительской кооперации в современных условиях. Материалы 4-ой науч.-практ. конф. — Ставрополь: СКИ БУПК, 2002. — С. 193-198.

14. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Постановка задачи численного поиска оптимального вектора конечного спроса для динамической модели межотраслевого баланса. // Социально-экономические проблемы развития потребительской кооперации. Материалы межвузовской науч.-практ. конф. — Ставрополь: СКИ БУПК, 2002. — С. 199-204.

15.Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Постановка задачи численного поиска оптимального вектора конечного спроса для динамической модели межотраслевого баланса. // Актуальные социально-экономические проблемы российской кооперации. Материалы межвузовской науч.-практ. конф. — Ставрополь: СКИ БУПК, 2003. — С. 193-201.

16. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Алгоритм численного поиска оптимального вектора конечного спроса для динамической модели межотраслевого баланса. // Актуальные социально-экономические проблемы российской кооперации. Материалы межвузовской науч.-практ. конф. — Ставрополь: СКИ БУПК, 2003. — С. 201-206.

17. Торогщев Е.Л., Бутова О.О. Применение QR-алгоритма для анализа устойчивости и динамики развития сложных систем любой природы матричными методами и его программная реализация. // Развитие средств и комплексов связи. Материалы межвузовской науч.- технич. конф. — Новочеркасск: Новочеркасский военный институт связи, 2003. — С. 172-177.

18. Бутова О.О. Координация конечного спроса и монетарного сектора в сложных моделях экономических систем. // Актуальные социально-экономические проблемы российской кооперации. Материалы межвузовской науч.-практ. конф. — Ставрополь: СКИ БУПК, 2004. — С. 93-97

19. Бутова О.О. Характеристика основных модулей комплекса программ расчета устойчивости и оптимизации динамических свойств экономических систем. // Актуальные социально-экономические проблемы российской кооперации. Материалы межвузовской науч.-практ. конф. — Ставрополь: СКИ БУПК, 2004. — С. 98-102.

Подписано в печать 15.04.2004 г. Заказ №109, тираж 100 экз. Отпечатано в типографии Ставропольского института управления

»-98 22

ВВЕДЕНИЕ.

Балансовый метод как основа анализа устойчивости развития экономических систем.

1.1. Анализ методологических и практических возможностей математических моделей МОБ для исследования переходных процессов и устойчивости экономической динамики.

1.2. Применение матричных методов для оценки устойчивости и демпферных свойств сложных экономических систем.

Оптимизация динамических свойств макроэкономических систем

2.1.Алгоритм численного поиска элементов вектора конечного спроса.

2.2. Формирование вспомогательной функции качества и анализ ее свойств.

2.3. Обобщенная функция качества для условий неопределенности функционирования экономической системы.

Координация конечного спроса и монетарного сектора в сложных моделях экономических систем.

3.1. Многопараметрический численный поиск компонент вектора конечного спроса для обеспечения статической устойчивости макроэкономической системы.

3.2. Совместное управление монетарным сектором и конечным спросом при оптимизации экономической динамики.

Разработка комплекса программ расчета устойчивости и оптимизации динамических свойств экономических систем.

4.1. Характеристика основных модулей комплекса программ.

4.2. Эффективность QR-алгоритма расчета собственных значений матриц высоких размерностей при решении задач устойчивости.

Рост масштабов хозяйственной деятельности и усложнение взаимосвязей между предприятиями, отраслями, регионами, а также значительный временной разрыв между началом подготовки производства и моментом реализации продукции и многие другие факторы значительно усложнили структуру экономических задач и повысили их размерность. Рыночные условия резко расширили возможные режимы функционирования экономических систем всех уровней, в том числе приблизили их к границам по апериодической и колебательной устойчивости. В этих условиях экономико-математическое моделирование и численный анализ моделей имеют возрастающее значение для практики составления прогнозов экономического развития [29, 34,40,42,44, 45, 46 - 49, 62, 77, 71, 88, 89, 96, 126, 132].

Устойчивое развитие макроэкономики является гарантией стабильности экономического роста и высокого жизненного уровня населения. При этом под устойчивостью экономической системы понимают ее апериодическую неустойчивость в классическом смысле. Применительно к линейным моделям, которые анализируются в пространстве состояний, следует рассматривать устойчивость «в малом» в соответствии с классическими теоремами Ляпунова A.M. В настоящей диссертационной работе будем рассматривать замкнутые системы и соответственно свободное движение. Широкие возможности в этом смысле предоставляет динамическая модель межотраслевого баланса В.В. Леонтьева [46 - 49, 89, 96, 102, 126].

Известно, что в рамках модели межотраслевого баланса, основу которого составляют данные о межотраслевых поставках сырья и материалов, может быть получен ответ на вопрос, сколько труда, энергии и ресурсов связано с производством конечной продукции данного вида. Межотраслевой баланс (МОБ) или межотраслевой анализ - это метод систематической установки взаимосвязей между различными секторами сложной экономической системы. Сама модель МОБ, описывающая экономику, практически может иметь как, очень высокую размерность, так и малую. Она может представлять, формально никак не изменяясь, как народное хозяйство страны так и отдельное предприятие (во времена социализма это был матричный тех-промфинплан, сейчас такая таблица может быть использована при составлении бизнес-плана).

Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель процесса воспроизводства обычно в рамках годового цикла. Внешне - это шахматная таблица [48], построенная в разрезе отраслей народного хозяйства. Цифры по вертикали шахматной таблицы показывают процесс формирования стоимости продукции по каждой отрасли народного хозяйства, а горизонтальные строчки цифр дают наглядное представление о том, какое количество продукции каждой отрасли распределяется по всем другим отраслям экономики.

Применение экономико-математических методов и компьютерной техники позволяет строить экономические модели развития народного хозяйства и находить такие варианты структуры общественного производства, которые обеспечивают наиболее эффективное использование имеющихся ресурсов. Математическую основу простых форм межотраслевого анализа составляют линейная алгебра и системы линейных дифференциальных уравнений; более сложные модели межотраслевых связей используют весьма разнообразный аппарат современной математики.

Эффективное использование межотраслевого анализа трудно представить без широкого применения компьютерных технологий, математических методов и численного анализа математических моделей. Этому же способствует бурное развитие средств вычислительной техники и телекоммуникаций, предоставляющее современным экономистам-теоретикам расширяющиеся возможности для конструирования теоретических моделей, способных сохранить тождественность сотен и даже тысяч переменных, необходимых для описания состояния, анализа и прогноза развития современной экономики. При этом существенно снижается острота проблемы «агрегирования» данных, когда детальная первичная информация преобразуется в относительно небольшое число «пакетов», называемых «капитал», «труд», «сырье», «общий уровень цен» и т.д. Если же размерность моделей, тем не менее, слишком велика, то неадекватность агрегирования может быть уменьшена в результате использования менее укрупненных моделей.

Решение задач межотраслевого анализа, особенно при детальном рассмотрении отраслей, производств, видов продукции и ресурсов, осуществляется с использованием высокопроизводительных ЭВМ. Наконец, построение и применение межотраслевых моделей требуют большой работы по сбору и стандартизации информации и являются до сих пор труднейшим испытанием для национальных информационных систем.

Сила и суть межотраслевого анализа В, Леонтьева, по мнению академика РАН А. Гранберга [48], состоит «.в соединении теории функционирования экономических систем, метода математического моделирования, приемов систематизации и обработки экономической информации».

Типичный продукт и вместе с тем предмет межотраслевого анализа -межотраслевой баланс экономики. Это и система показателей, характеризующих соотношения, структуру, связи экономики, и математическая модель, позволяющая не только изучать взаимовлияние множества экономических величин, но и конструировать возможные (альтернативные) состояния экономики.

Межотраслевые балансы производства и распределения продукции характеризуют соотношения, структуру и взаимосвязи в экономических системах. Построение и применение межотраслевых моделей требует большой работы по сбору и стандартизации разнообразной экономической информации, что всегда представляло собой достаточно трудоемкую задачу. Задача эта особенно осложняется включением серии эмпирических исследований, являющихся и до сих пор одним из серьезных испытаний для национальных информационных систем. Говорить о снижении трудоемкости в этом вопросе можно, ссылаясь на громадное количество статистических данных по экономике, доступных через глобальную компьютерную сеть INTERNET.

Настоящая работа посвящена вопросам численного анализа динамической балансовой модели Леонтьева, разработке экономико-математических методов анализа и управления статической устойчивостью и динамическими свойствами экономических систем.

Актуальность темы исследования. Характер и динамика экономического развития любой системы (страны, региона и т.д.) традиционно являются предметом самого пристального внимания и всестороннего исследования. Это обуславливает постоянно сохраняющуюся актуальность, совершенствование существующих и разработки новых методик, алгоритмов и инструментального аппарата для анализа состояния и управления экономической динамикой сложных экономических систем, представляемых балансовыми моделями с целью повышения темпов экономического развития (президент РФ поставил задачу удвоения к 2010 году валового внутреннего продукта 2003 года).

Значимость диссертационной работы может быть существенно снижена при отсутствии достаточного, доступного, актуального, своевременного, достоверного и репрезентативного информационного обеспечения. Современная статистика, как по стране в целом, так и по регионам, а также отдельным отраслям экономики, зачастую, не обеспечивает предоставление данных, удовлетворяющих перечисленным требованиям. В этих условиях прямое применение разрабатываемого в диссертации алгоритмического и программного обеспечения для принятия управленческих решений может оказаться не только бесполезным, но и принести вред. В качестве примера можно сослаться на работу [46], в которой В.В: Леонтьев предсказывал большие перспективы Советскому Союзу и странам Восточной Европы, а как известно этим прогнозам не суждено было сбыться. С другой стороны, качественная исходная информация, леонтьевская корректность постановки задачи и эффективная технология обработки данных позволяют получать результаты расчетов, имеющие экономическую трактовку и смысл.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка методического подхода, критериев качества переходных процессов сложных экономических систем и программного обеспечения для управления статической устойчивостью и динамическими свойствами экономических систем, представимых балансовыми моделями и описанных в рамках теории В.В. Леонтьева «Затраты - Выпуск».

Достижение поставленной цели потребовало постановки и решения следующей совокупности задач:

- разработки методики процедуры численного поиска компонент вектора управления динамическими свойствами макроэкономических систем по балансовым моделям;

- практического применения математического аппарата для решения задач управления собственными динамическими свойствами (СДС), включая методику формирования функции качества при многопараметрическом поиске в условиях заданного диапазона неопределенности исходных данных модели и ограничений по варьируемым параметрам;

- проведения многопараметрического численного поиска компонент вектора конечного спроса для обеспечения статической устойчивости макроэкономической системы, а также совместного управления монетарным сектором и конечным спросом при оптимизации экономической динамики;

- сглаживания негативного влияния экономических циклов на валовые выпуски отраслей народного хозяйства;

- разработки практических алгоритмов оптимизации динамических свойств макроэкономических систем;

- написания, отладки и тестирования комплекса программ для оптимизации динамических свойств макроэкономических систем;

- численного поиска параметров стабилизации и обоснование сигнала управления динамическими свойствами.

Теоретической и методологической основами исследования являются, прежде всего, научные труды В.В. Леонтьева, его последователей и учеников [9, 22,46 - 49, 62, 77, 89, 90, 96, 126, 132].

Василий Леонтьев разработал первую эмпирическую межотраслевую модель, которая могла использоваться для статического анализа. Было положено начало методу межотраслевых связей как формы прикладной экономики. Метод Леонтьева состоял в некотором упрощении модели Вальраса, что позволяло на основе наблюдения за межотраслевыми потоками в экономике получать параметры для модели «Затраты - выпуск». Леонтьев абстрагировался от влияния ограниченности предложения факторов производства и влияния цены на структуру потребительского спроса, закупки полуфабрикатов, предложения рабочей силы и т.п. [49]. Одним словом, модель Леонтьева не имеет никаких ресурсных ограничений. Отсутствие ограничений надо учитывать экономисту-исследователю при введении управляющих параметров в модель и варьировании экономических показателей.

Развитие модели Леонтьева предполагает введение условно-постоянных коэффициентов, т.е. постоянных в течение строго определенного периода экономического развития при обязательном введении в алгоритмы экономического анализа процедур перерасчета и корректировки этих коэффициентов. Тем самым, модель Леонтьева не теряет адекватности при оценке экономической ситуации и ее прогнозировании на длительную перспективу и корректно учитывает влияние цены на предложение факторов производства и структуру потребления.

В своих балансовых построениях Леонтьев следовал и идеям русского экономиста В.К. Дмитриева [27], который несколько иначе, чем Вальрас, записал уравнения равновесия в экономике. В частности, В. Дмитриев впервые предложил систему уравнений для оценки затрат одних продуктов при производстве других.

Модель Леонтьева уравновешивает спрос и предложение путем горизонтального сдвига в функциях спроса каждой отрасли. Здесь предполагается, что производители реагируют на изменение спроса изменением выпуска продукции, а не ценовыми сдвигами, как у Маршалла. Метод межотраслевых связей изначально не ставил своей основной целью оптимизацию поведения производителей и потребителей.

Сравним теперь метод В. Леонтьева с методом общего (агрегативного) анализа Джона Мейнарда Кейнса (1883 - 1946) - основоположника современной макроэкономики. Метод дохода Кейнса заключается в определении уровня производства или дохода посредством исследования зависимостей и пропорций между национальным доходом, сбережениями и накоплениями. В качестве основы экономических процессов в модели выступает психологическая природа человека, стимулирующая изменения в остальных компонентах системы.

Межотраслевой метод определяет уровни производства в каждом секторе на основании оценок «конечного» потребления продукции и предполагаемой структуры производства.

Эти модели имеют сходное математическое описание. Каждой модели Кейнса соответствует определенная модель «Затраты - выпуск», в которой переменные Кейнса дезагрегированы. В отличие от агрегативного метода модель Леонтьева исследует конкретные продукты, что позволяет сделать вывод о том, как воздействует изменение спроса на отдельные продукты на остальные отрасли экономики. В целом можно сказать, что методы частичного равновесия Маршалла, общего анализа Кейнса и межотраслевого баланса Леонтьева дополняют друг друга.

В.В.' Леонтьев создал глубокую и разветвленную теорию межотраслевого анализа экономических систем, являлся крупнейшим экономистом-экспериментатором, организатором и истинным лидером международного содружества экономистов-единомышленников, советником многих правительств последних десятилетий. В.В. Леонтьеву, одному из немногих ученых-экономистов, удавалось совмещать теоретический анализ с прикладными экономическими работами в странах с различными социально-экономическими укладами.

Теория В. Леонтьева оказала большое воздействие на экономико-математические, информационно-аналитические и статистические исследования практически во всех странах мира.

Развитая В.В. Леонтьевым методология теоретического анализа на эмпирической основе придает количественную определенность многим теоретическим конструкциям, позволяет по-новому подходить к теориям структурных сдвигов, экономической динамики, ценообразования, внешней торговли.

Метод межотраслевого анализа В.В. Леонтьева открыл широкую дорогу для количественных исследований структурных и динамических закономерностей и капиталистической, и социалистической, и смешанной экономики. Благодаря этому прояснились многие проблемы экономической теории: природа и измерение «повторного счета» стоимости в кругообороте общественного производства, взаимосвязи между материальными и стоимостными пропорциями, различия между концепциями ценообразования и т.д.

В.В. Леонтьев распространил межотраслевой подход на новые, разнообразные области исследования. Например, при создании модели взаимодействия экономики и окружающей среды в матрицу межотраслевых связей были введены коэффициенты выпуска и уничтожения загрязнителей. При создании глобальной межотраслевой модели он соединил матрицы регионов мира коэффициентами структуры мировой торговли. Ученый смело применял метод межотраслевого анализа в исследовании экономических последствий роста военных расходов, автоматизации производства, развитии транспорта и т.п. Уже одно перечисление областей применения межотраслевого подход говорит об универсальности теории и актуальности ее в настоящем и будущем. Наибольшие перемены произошли в техническом оснащении межотраслевых исследований: теперь применяются быстродействующие компьютеры, большие базы данных, банки моделей и т.п. Особенно хотелось бы отметить, что принципиально расширилась и усложнилась содержательная сторона исследований. Здесь можно выделить три основных направления эволюции: во-первых, включение в анализ новых проблемных аспектов, например, сферу потребления, демосоциальные процессы, природопользование и охрану окружающей среды, военную экономику и т.д., во-вторых, переход от статических к динамическим моделям, от анализа экономических состояний к исследованию процессов, и в-третьих, распространение метода на многорегиональные системы, включая мировую экономику.

Метод экономического баланса продолжает развиваться и распространяться в экономической теории и практике. В последние десятилетия происходит непрерывное расширение и обобщение методологии межотраслевого анализа. Закономерно, что наряду с «классическими», чисто балансовыми моделями появляются межотраслевые модели экономического взаимодействия, частным случаем которых являются модели равновесия, интегрированные модели народного хозяйства, включающие в качестве особого блока межотраслевой баланс.

Серьезные обобщения методологии межотраслевого анализа сделаны соратниками и учениками В.В. Леонтьева. Так, известная модель ИНФО-РУМ, созданная К. Алмоном, объединяет вокруг межотраслевого баланса модели принятия решений в области потребительских расходов, инвестиций, международной торговли, занятости и т.д. Эволюция метода очевидна и в проекте "Будущее мировой экономики" (при участии в нем А. Картер и П. Петри), где модели межотраслевого баланса дополняются экономическими моделями. С другой стороны и иные авторитетные научные школы все чаще используют межотраслевые балансы.

Накануне своего девяностолетия В.В. Леонтьев открыл новую страницу в межотраслевом анализе, опубликовав статью «Предложение об использовании метода «затраты - выпуск» в анализе структуры междисциплинарных связей». Выявив близкое подобие между структурой «затраты - выпуск» в экономике и структурой системы научных знаний, он предлагает строить и шахматную таблицу потоков научных знаний, используя индексы цитирования научных трудов (распространенный на Западе способ оценки значимости и распространенности научных открытий). В подлежащем и сказуемом такой таблицы перечисляются отрасли знаний, а в каждой клетке - индексы цитирования знания, созданного в одной отрасли и используемого в другой.

Важным преимуществом межотраслевого баланса является то, что в нем сочетаются количественные пропорции с качественной характеристикой этих соотношений. В расчеты вводится такая экономическая информация, которая позволяет выявить общий объем затрат труда, фондов и материалов для каждого варианта структуры общественного производства.

Межотраслевой баланс содержит универсальный и удобный инструментарий для экономического анализа структуры народного хозяйства. Он дает возможность определять совершенно новые синтетические показатели, характеризующие степень электрификации и химизации производства, средние затраты топлива и металла на единицу конечного продукта.

Детально составленный динамический МОБ может служить математико-статистической базой для анализа как колебательной, так и апериодической устойчивости макроэкономических систем. Для этого могут широко использоваться матричные методы, основанные на оценке собственных значений матриц коэффициентов динамических МОБ. Собственные значения матриц однозначно характеризуют внутренние, то есть собственные динамические свойства (СДС) экономической системы.

Балансовый метод позволяет анализировать многосторонние внутренние связи, существующие между отдельными отраслями народного хозяйства, и обеспечивать согласованное развитие различных частей национальной или региональной экономики. Исследование Леонтьева и его последователей в области межотраслевого анализа с самого начала были связаны с решением важнейших народохозяйственных задач изучения состояний сложных экономических систем и планирования их развития.

Более глубокое технико-экономическое обоснование необходимых пропорций представляет собой одно из важнейших направлений повышения научного уровня планирования. Развитие этого направления тесно связано с широким применением в планово-экономических расчетах математики и современной электронной вычислительной техники, поэтому одним из современных методов балансовых расчетов, опирающихся на математический аппарат и компьютерную технику, является матричный межотраслевой баланс производства и распределения общественного продукта.

Таким образом, межотраслевой анализ - синтетическое направление в экономической науке и ее приложениях к практике. Однако в зависимости от конкретной исследовательской или практической задачи тот или иной аспект анализа получает различные приоритеты. Аналогично и у специалистов по межотраслевому анализу имеются, как правило, особые области интересов и компетентности.

Применительно к балансовым моделям В.В. Леонтьева широкое распространение могут получить матричные методы, основанные на определении величин и оценок собственных значений матриц, характеризующих динамические свойства системы.

Расчет собственных значений имеет значительные преимущества при решении практических задач анализа устойчивости, а также оптимизации собственных динамических свойств экономических систем. В перечисленных выше методиках и моделях недостаточно учитывались собственные динамические свойства экономических систем и их зависимость от параметров регулирования, в то время как анализ этих свойств необходим, например, для организации автоматизированной процедуры численной оптимизации для обеспечения устойчивого апериодического роста экономики и приемлемого уровня демпфирования колебаний.

Предметом диссертационной работы являются методические и практические проблемы построения программного обеспечения для исследования динамических свойств, переходных процессов и устойчивости экономических систем, обеспечение новых возможностей для проведения вычислительных экспериментов с межотраслевыми моделями.

Объектом и базой исследования является математическая модель межотраслевого баланса В.В. Леонтьева, которая формализует экономику Российской Федерации по данным Государственного комитета по статистики в разрезе двадцати двух отраслей [93].

Научной новизной работы является разработка методики, алгоритма и комплекса программ «ОРТ1М», осуществляющих численный поиск произвольной совокупности варьируемых параметров сложных экономических систем, представимых балансовыми моделями с целью организации демпфирования экономических циклов и обеспечения заданного или предельно возможного темпа расширения экономики.

К числу результатов исследования, образующих научную новизну, относятся следующие:

1. Разработана методика одновременного численного поиска компонент вектора управления динамическими свойствами макроэкономических систем по балансовым моделям.

2. Решена задача обеспечения колебательной и апериодической статической устойчивости макроэкономических систем, представленных динамическими моделями межотраслевого баланса.

3. Проведено тестирование математического аппарата и методический подход к анализу собственных динамических свойств сложных экономических систем, базирующихся на вычислении комплекса показателей, к числу которых относятся частоты и затухания отдельных составляющих движения, их наблюдаемость, возбуждаемость, управляемость, чувствительность к параметрам управления, а также количественные характеристики [96].

4. Разработана методика поиска единого вектора конечного спроса для совокупности условий и режимов функционирования экономики. Эффективность метода оценена на примерах решения модельных задач. При расчетах обнаружено, что их трудоемкость лишь линейно зависит от числа режимов.

5. Выполнен многопараметрический численный поиск компонент вектора конечного спроса для обеспечения статической устойчивости макроэкономической системы (на примере двадцати двух отраслевой балансовой модели распределения товаров и услуг в экономике России), а также совместное управление монетарным сектором и конечным спросом при оптимизации экономической динамики [15].

6. Предложены критерии качества для алгоритма численного поиска, позволяющие обеспечить заданные или предельно достижимые демпферные свойства системы в отношении колебательных составляющих движения. Аналогично возможна оптимизация степени экономического роста по группе вещественных корней. Исследовано влияние параметров критерия качества на эффективность процесса численного поиска, обоснованы рекомендации по выбору их значений. Выполнено обобщение критерия качества для определения оптимального вектора конечного спроса для совокупности режимов экономики, что позволяет учитывать неопределенность параметров модели МОБ и статистическую ошибку в исходных данных.

7. Показано, что программная реализация QR-алгоритма расчета собственных значений обеспечивает достаточную точность для заполнения матриц состояния систем дифференциальных уравнений переходных процессов экономических систем до 1000-го порядка и более. Ограничением его применения для задач численного поиска конечного спроса или других параметров в сложных системах является длительность расчета собственных чисел, зависимость которой от размерности матрицы носит степенной характер с показателем близким к трем.

8. Разработаны алгоритмы практической оптимизации динамических свойств макроэкономических систем.

9. Разработан, отлажен и протестирован комплекс компьютерных программ «ОРТ1М» для оптимизации динамических свойств макроэкономических систем.

10. Выполнено определение параметров стабилизации и сигнала управления динамическими свойствами макроэкономических систем.

Положения выносимые на защиту:

- Методический подход к анализа собственных динамических свойств макроэкономических систем, заключающийся в решении полной проблемы собственных значений для заданной совокупности матриц состояния динамической модели МОБ, что позволяет получать результаты малочувствительные к статистическим ошибкам в исходных данных и решать нестационарные задачи.

- Методика поиска единого вектора варьируемых параметров (конечного потребления, запасов и др.) для совокупности условий и режимов функционирования экономики, основанная на численной минимизации функции качества переходных процессов, учитывающая разнообразные ограничения на варьируемые параметры и допускающая одновременную координацию их произвольного числа.

- Критерии качества для алгоритма численного поиска, позволяющие обеспечить заданные или предельно достижимые собственные динамические свойства макроэкономических систем и формируемые по группе доминирующих корней характеристического уравнения. Обобщение этих критериев при определении оптимального вектора варьируемых параметров для совокупности условий и режимов функционирования экономики

- Методика, алгоритм и программный комплекс, позволяющие решать задачу обеспечения статической устойчивости и приемлемых динамических свойств высокоразмерных макроэкономических систем.

- Вычислительные эксперименты по проведению многопараметрического численного поиска компонент вектора управления, которые позволили установить условия и частоту проявления минимизируемой вспомогательной функцией свойств овражности, выявить влияние принимаемых параметров функции качества на процесс и результат оптимизации, определить составляющие монетарного сектора и конечного спроса, которые оказываются наиболее влиятельными при решении задачи экономической устойчивости системы.

Практическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что разработанные в [96, 102, 103, 119, 126] теоретические, методологические и методические положения доведены до алгоритмов и программ, позволяющих решать задачу обеспечения статической устойчивости высокоразмерных макроэкономических систем. Они могут использоваться при оценках эффективности государственного регулирования конечного спроса и иных показателей и параметров, которые могут входить в динамический межотраслевой баланс.

В ходе вычислительных экспериментов подтверждена эффективность математического аппарата и методического подхода к анализу балансовых моделей и собственных динамических свойств экономических систем.

В работе показана возможность создания высокоэффективных формализованных процедур анализа макроэкономических систем на базе матричных * методов.

В работе решается важная инженерно-экономическая проблема обеспечения высоких динамических свойств макроэкономических систем по моделям межотраслевого баланса В.В. Леонтьева, в том числе колебательной статической устойчивости и апериодического роста ВВП, за счет нового методического подхода к координации конечного спроса, монетарного сектора, других параметров затратного механизма в широком диапазоне структурно-режимных условий функционирования экономических систем.

Апробация работы: основные положения и результаты исследования докладывались на следующих конференциях: II Всероссийской научнопрактической конференции «Прогнозирование экономической конъюнктуры в системах маркетинга» (15-16 января 1999 года Институт экономики и бизнеса УГУ, Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов), Ульяновск 1999 г.; первой и второй межрегиональной научно-практических конференциях СКИ БУПК «Социально-экономические проблемы развития потребительской кооперации» (май 2001 г., апрель 2002 г.), межвузовской научно-практической конференции СКИ БУПК «Актуальные социально-экономические проблемы российской кооперации» (апрель 2003 г.), межвузовской научно-технической конференции «Развитие средств и комплексов связи» (20 ноября 2003 г, Новочеркасский военный институт связи, Новочеркасск).

Публикации. По теме работы опубликовано 19 работ, общим объемом 8,2 печатных листов.

В первой главе диссертаиии «Балансовый метод как основа анализа устойчивости развития сложных экономических систем» отражены анализ методологических и практических возможностей математических моделей МОБ для исследования переходных процессов и устойчивости экономической динамики. В работе показано, что детально составленный динамический МОБ может служить математико-статистической базой для анализа как колебательной, так и апериодической устойчивости макроэкономических систем.

Для этого могут широко использоваться матричные методы, основанные на оценке собственных значений матриц коэффициентов динамических МОБ, записанных в виде систем разностных или дифференциальных уравнений и предварительно приведенных к нормальной форме Коши. Собственные значения матриц однозначно характеризуют внутренние, то есть собственные динамические свойства экономической системы.

Один из этих методов - (2Я-алгоритм имеет широкие возможности при анализе и выборе мероприятий по демпфированию низкочастотных колебаний, давно наблюдаемых в экономических системах и называемых циклами, и максимизации темпов экономического развития [96,126,133].

Расчет собственных значений непосредственно может быть использован только для анализа собственных динамических свойств системы. Поэтому весьма актуальной является разработка и совершенствование средств синтеза требуемого (желаемого) качества переходного процесса в макроэкономических системах посредством выбора стабилизирующего вектора спроса на основе матричных методов. Указывается на необходимость рассмотреть вопросы улучшения расположения в комплексной плоскости собственных значений матрицы состояния системы А, используя для этого численные методы минимизации функции качества, разработать для этого соответствующее программное обеспечение, показать принципиальную пригодность и работоспособность такого подхода.

Ставится еще более сложная задача определения общего оптимального конечного спроса, обеспечивающего демпфирование системных колебаний и приемлемую динамику расширения экономической системы для возможной совокупности условий и режимов ее работы, т.е. для совокупности матриц технологических коэффициентов и коэффициентов запаса.

Во второй главе «Оптимизация динамических свойств макроэкономических систем» содержится алгоритм численного поиска элементов вектора конечного спроса и описание формирования функции качества и анализ ее свойств.

Изложен метод численного поиска оптимального вектора конечного спроса, значительно снижающий вычислительные затраты по сравнению с традиционными. Реализуемая в процедурах численной оптимизации динамическая модель МОБ отражает экономическую динамику,.то есть показывает, как связано между собой производство в течение ряда лет.

Сформулированы требования к комплексу программ оптимизации, удовлетворение которых обеспечивает полностью автоматизированную процедуру численного поиска, а также контроль корректности обращения матрицы капитальных коэффициентов при приведении исходной модели к нормальной.

Разработана структура алгоритма программного комплекса, удовлетворяющего требованиям, изложенным в параграфе 2.1 второй главы.

Предложен метод обработки затруднений препятствующих численному поиску вектора конечного спроса, а именно: негладкость минимизируемой функции качества, овражный характер ее линии уровня, ограничения на диапазон изменения элементов вектора конечного спроса, принимаемые из инженерно-экономических или иных соображений.

Произведен выбор критерия качества, который является важнейшим фактором, определяющим эффективность процедуры численного поиска. Сформулированы требования, которым необходимо удовлетворить при его синтезе. Отмечено, что минимизация F может осуществляться при одновременном варьировании произвольного количества элемента упри этом проявляется существенное преимущество функции качества по сравнению с критериями степени экономического роста и степени устойчивости, а именно, появляется возможность улучшения расположения группы доминирующих корней при неуправляемости или слабой управляемости вещественной частью. Это является целесообразным, так как улучшает динамические свойства системы. В подобных условиях оптимизация качества переходных процессов в макроэкономических системах по критерию степени экономического роста или степени устойчивости невозможна, и его использование может явиться причиной неверной оценки системной эффективности управления конечным спросом.

Третья глава «Координация конечного спроса и монетарного сектора в сложных моделях экономических систем» посвящена многопараметрическому численному поиску компонент вектора конечного спроса для обеспечения статической устойчивости макроэкономической системы и возможности совместного управления монетарным сектором и конечным спросом при оптимизации экономической динамики.

Проведен анализ эффективности многопараметрического численного поиска компонент вектора конечного спроса для обеспечения статической устойчивости макроэкономической системы. Для характеристики уровня демпфирования колебательных составляющих движения были использованы доминирующие, то есть ближайшие к мнимой оси комплексно-сопряженные пары корней характеристического уравнения, рассчитанные для вектора конечного спроса, и выявлялось влияние на результат оптимизации демпферных свойств рассматриваемой системы следующих параметров: заданного показателя демпфирования колебаний и показателя степени (соответственно ао и v).

Выполненные расчеты позволили выявить следующее. Численный поиск компонент вектора конечного спроса методом покоординатного спуска не дает возможности добиться нужного уровня оптимизации функции качества, поэтому необходимо применить овражный алгоритм, который и обеспечивает требуемое затухание и уменьшает величину функционала.

При увеличении показателя степени функционала растет относительная чувствительность функционала к изменению расположения самого правого в комплексной плоскости корня характеристического уравнения. Вместе с тем, в этом случае возрастает и вероятность проявления функцией F овражных свойств, наблюдаемых при встречном движении корней. Опыт расчетов показал, что необходимым условием возникновения овражной ситуации является наличие кратных пар корней.

Таким образом, численный поиск компонент вектора конечного спроса может применяться для обеспечения статической устойчивости макроэкономической системы, но для оптимизации экономической динамики необходимо применить управление монетарным сектором или совместное управление монетарным сектором и конечным спросом.

Анализ совместного управления монетарным сектором и конечным спросом показал, что степень влияния на результат оптимизации демпферных свойств системы параметров ао и v в данном случае является наименьшей. Все комплексные или действительные пары или неуправляемы или, в лучшем случае, слабо управляемы. Причиной этого является использование при оптимизации большого количества элементов (22 параметра вектора конечного спроса и 43 - монетарного сектора). Поэтому следующим этапом анализа оптимизации системы стал этап использования при оптимизации не всех элементов вектора конечного спроса и монетарного сектора, а наиболее влияющих на совместное управление при оптимизации экономической динамикой.

Элементами, наиболее влияющими на совместное управление при оптимизации экономической динамикой, являются те, которые получают наибольшие приращения при оптимизации: Опытным путем нами были выделены 15 наиболее влиятельных параметров монетарного сектора и конечного спроса. Анализ собственных значений матрицы системы показал, что после применения оптимизации все комплексно-сопряженные пары согласованно сместились в направлении щ, что говорит об их хорошей управляемости, а значительное смещение влево первой комплексно-сопряженной пары, которая поменяла свой знак с плюса на минус, говорит о повышении колебательной устойчивости системы. Сопоставительный анализ действительных корней системы показал улучшение положения корней на плоскости, что подтверждает хорошую управляемость также и действительными корнями, а изменение знака вещественного корня с плюса на минус, говорит о появлении экономического роста в результате проведенной оптимизации.

Таким образом, управление наиболее влиятельными элементами монетарного сектора и вектора конечного спроса дает наибольший большой эффект при оптимизации экономической динамики, то есть мы добились наилучших результатов как в обеспечении экономической устойчивости системы, так и в достижении наибольшего экономического роста.

В четвертой главе «Разработка комплекса программ расчета устойчивости и оптимизации динамических свойств экономических систем» приведена характеристика основных модулей комплекса программ «ОРТ1М» для расчета устойчивости и оптимизации динамических свойств экономических систем и проведен анализ эффективности QR-алгоритма расчета собственных значений матриц высоких размерностей при решении задач устойчивости.

Вопросы анализа динамических свойств макроэкономических систем тесным образом связаны с решением полной проблемы собственных значений матрицы замкнутой по потреблению системы. Для решения этой задачи в работе использовалась хорошо зарекомендовавшая себя на практике программная реализация QR-алгоритма из пакета EISPACK [133] на Фортране. Аналогичный программный модуль содержит среда MATLAB.

QR-алгоритм является универсальным и общепринятым методом решения полной проблемы собственных значений. Применительно к анализу динамических систем различной природы, сложности и назначения практическое использование QR-алгоритма ограничивается общим числом дифференциальных уравнений модели порядка 500. Кроме этого проведено исследование точностных и временных характеристик QR-алгоритма для систем размерности до 1000 и более.

На реализацию QR-алгоритма приходятся основные вычислительные затраты как при анализе колебательной устойчивости, так и при оптимизации вектора конечного спроса или других параметров. В этом случае решающее значение приобретают не только временные характеристики алгоритма, но и достоверность и точность получаемых результатов.

Программный комплекс OPTIM, предназначенный для расчета устойчивости и оптимизации динамических свойств экономических систем, состоит из 15 программ, написанных на ФОРТРАНе, и работает в визуальной системе программирования Microsoft Fortran POWERSTATION.

В комплексе заложена возможность задания различных методов расчета: покоординатный спуск, овражно-ориентированный алгоритм, покоординатный спуск с переходом на овражно-ориентированный метод при плохой сходимости первого метода.

Оценка погрешности QR-алгоритма при вычислениях с двойной точностью (под число отводится 8 байт) по отношению к заданному точному решению. Такая оценка выполнена для двух реализаций QR-алгоритма - стандартной процедуры из пакета IESPACK [133], работающей в визуальной системе программирования Microsoft Fortran POWERSTATION, а также для реализации этой же процедуры в пакете MATLAB for WINDOWS [64,65].

Полученные результаты показывают, что абсолютная погрешность в оценке степени колебательной устойчивости хотя и увеличивается с ростом N, но вполне удовлетворительна даже для матриц высокой размерности. Относительная погрешность для размерности 200 -300 частично связана с тем, что в этом примере была задана низкая степень устойчивости а = 0,1. Кроме того, набор корней характеризовался большим количеством кратных или близких корней, что с точки зрения точности наиболее неблагоприятно для исследуемого алгоритма вычисления собственных чисел матрицы. Отметим также, что погрешность расчета крайней правой комплексно-сопряженной пары корней оказалась наибольшей, т. е. остальные корни вычислялись с большим количеством верных разрядов. Точность расчета мнимых частей корней во всех вариантах была достаточно высокой.

1. БАЛАНСОВЫЙ МЕТОД КАК ОСНОВА АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

выводы

1. Вопросы анализа динамических свойств макроэкономических систем лежат на путях решения полной проблемы собственных значений матрицы замкнутой по потреблению системы. Для решения этой задачи была использована хорошо зарекомендовавшая себя на практике программная реализация QR-алгоритма из пакета EISPACK [133] на Фортране. Аналогичный программный модуль содержит среда MATLAB. Использование устойчивых ортогональных преобразований положительно сказывается на надежности и точности решения и делает алгоритм свободным от многих традиционных недостатков.

2. Программный комплекс OPTIM предназначенный для расчета устойчивости и оптимизации динамических свойств экономических систем, состоит из 15 программ, написанных на современном ФОРТРАНе, и работает в визуальной системе программирования Microsoft Fortran POWERSTATION

3. В комплексе заложена возможность задания различных методов расчета: покоординатный спуск, овражно-ориентированный алгоритм, покоординатный спуск с переходом на овражно-ориентированный метод при плохой сходимости первого метода.

4. Основная вычислительная работа и, следовательно, затраты времени приходятся на программу DECOMP, которая реализует LU - разложение исходной матрицы. DECOMP выполняет ту часть гауссова исключения, которая зависит лишь от матрицы. Она сохраняет множители и информацию о ведущих элементах. SOLVE использует эти результаты, чтобы получить решение для произвольной правой части.

DECOMP вычисляет также оценку обусловленности матрицы. Такая оценка является намного более надежной и полезной мерой близости к вырожденности, чем такие величины, как определитель или наименьший ведущий элемент. Эта оценка дает верхнюю границу для действительной обусловленности

5. Сингулярное разложение (SVD) - это специальная процедура регу

156 ляции, мощное вычислительное средство для анализа матриц и такой задачи, связанной с матрицами, как численный анализ статической модели МОБ. SVD - также наименование подпрограммы для вычисления сингулярного разложения матрицы произвольной формы. SVD является единственным известным методом, на надежность которого можно положиться. Он наиболее эффективен в том, что касается ошибок исходных данных, округления и линейной зависимости строк матрицы А.

6. Включенная в состав процедуры численного поиска программа расчета собственных значений состоит из трех модулей, выполняющих следующие операции: масштабирование матрицы (BALANC), приведение матрицы общего вида к верхней форме Хессенберга (ELMHE), нахождение собственных значений матрицы Хессенберга с помощью QR-алгоритма (HQR).

7. QR-алгоритм является универсальным и общепринятым методом решения полной проблемы собственных значений. Применительно к анализу динамических систем различной природы, сложности и назначения практическое использование QR-алгоритма ограничивается общим числом дифференциальных уравнений модели порядка 500.

На реализацию QR-алгоритма приходятся основные вычислительные затраты как при анализе колебательной устойчивости, так и при оптимизации вектора конечного спроса или других параметров. В этом случае решающее значение приобретают не только временные характеристики алгоритма, но и достоверность и точность получаемых результатов.

8. В параграфе 4.2 проведено исследование точностных и временных характеристик QR-алгоритма для систем размерности до 1000 и более. Которое было выполнено в двух направлениях.

Оценка погрешности QR-алгоритма при вычислениях с двойной точностью (под число отводится 8 байт) по отношению к заданному точному решению. Такая оценка выполнена для двух реализаций QR-алгоритма - стандартной процедуры из пакета IESPACK [120] на ФОРТРАНе, работающей в визуальной системе программирования Microsoft Fortran POWERSTATION, а также для реализации этой же процедуры в пакете MATLAB for WINDOWS [18]. Сравнение погрешности вычислений с одинарной точностью (под число отводится 4 байта) по сравнению с расчетами с двойной точностью.

9. Полученные результаты показывают, что абсолютная погрешность в оценке степени колебательной устойчивости хотя и увеличивается с ростом N, но вполне удовлетворительна даже для матриц высокой размерности. Относительная погрешность для N=200 и N=300 частично связана с тем, что в этом примере была задана низкая степень устойчивости а = 0,1. Кроме того, набор корней характеризовался большим количеством кратных или близких корней, что с точки зрения точности наиболее неблагоприятно для исследуемого алгоритма вычисления собственных чисел матрицы. Отметим также, что погрешность расчета крайней правой комплексно-сопряженной пары корней оказалась наибольшей, т. е. остальные корни вычислялись с большим количеством верных разрядов. Точность расчета мнимых частей корней во всех вариантах была достаточно высокой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Материал, изложенный в четырех главах диссертации, убедительно доказывает, что идеи и взгляды работы В.В. Леонтьева, теория, практика и методология межотраслевого анализа представляют широкие возможности для народнохозяйственного планирования и управления макроэкономическими системами. Современный уровень развития вычислительной техники и прикладного программного обеспечения позволяют реально разработать план, начиная с конкретной формулировки конечной цели производства - увеличения народного благосостояния, с последующим проведением многовариантных расчетов по межотраслевой модели, выбор варианта, наилучшим образом отвечающего поставленным социальным целям.

1. В работе решена важная инженерно-экономическая проблема обеспечения высоких динамических свойств макроэкономических систем по моделям межотраслевого баланса В.В. Леонтьева, в том числе колебательной статической устойчивости и апериодического роста ВВП, за счет нового методического подхода к координации конечного спроса, монетарного сектора, других параметров затратного механизма в широком диапазоне структурно-режимных условий функционирования экономических систем.

2. Наличие в макроэкономических системах циклов деловой активности ставят задачу обеспечения их колебательной устойчивости в отношении низкочастотного самораскачивания в маловозмущенном движении: В условиях отсутствия возможности проведения масштабных практических экспериментов единственный выход для решения подобных задач — разработка эффективных экономико-математических методов синтеза управляющих воздействий на детально составленные по статистическим данным модели для обеспечения удовлетворительного демпфирования колебаний.

3. Решение проблемы базируется на предложенном в [96, 102, 103, 119, 126] математическом аппарате для анализа и управления собственными динамическими свойствами систем и методах определения оптимальных значений варьируемых параметров, включающих процедуру численного поиска и новые подходы к упрощению динамической модели МОБ ДйЯ и новые подходы к упрощению динамической модели МОБ для эффективного решения задач управления, а также на комплексе компьютерных программ, реализующих эти методы.

4. В ходе вычислительных экспериментов подтверждена эффективность математического аппарата и методического подхода к анализу балансовых моделей и собственных динамических свойств (СДС), к числу которых относятся частоты и затухания отдельных составляющих движения, наблюдаемость, управляемость и другие показатели, а также их количественные характеристики, включая показатели наблюдаемости и коэффициенты чувствительности к изменении параметров системы.

5. В работе показана возможность создания высокоэффективных формализованных процедур анализа макроэкономических систем на базе матричных методов.

6. Так же в процессе расчетов было подтверждено, что предложенный метод численного поиска оптимального вектора конечного спроса, значительно снижает вычислительные затраты по сравнению с традиционными и обеспечивает устойчивость и приемлемые динамические свойства экономической системы. Предложены два алгоритма его реализации, базирующиеся на модификации градиентного метода, а также метода сингулярного разложения матрицы чувствительности (вариации собственных чисел замкнутой балансовой модели к вариации оптимизируемых параметров) линейной системы уравнений прогноза изменения вещественных частей корней характеристического уравнения. Покоординатный и градиентный спуски позволяют получить полностью автоматизированные процедуры оптимизации динамических свойств, а подход на базе сингулярного разложения матрицы чувствительностей позволяет получить квазиизбирательное уравнение демпфированием заданной совокупности экономических колебаний.

7. Расчет собственных значений имеет значительные преимущества при решении практических задач анализа устойчивости, а также оптимизации собственных динамических свойств экономических систем. В перечисленных выше методиках и моделях недостаточно учитывались собственные динамические свойства экономических систем и их зависимость от параметров регулирования, в то время как анализ этих свойств необходим, например, для организации автоматизированной процедуры численной оптимизации для обеспечения устойчивого апериодического роста экономики и приемлемого уровня демпфирования колебаний.

8. Проведены расчеты по многопараметрическому численному поиску компонент вектора конечного спроса для обеспечения статической устойчивости макроэкономической системы и вычислительные эксперименты по совместному управлению монетарным сектором и конечным спросом при оптимизации экономической динамики. Эффективность критериев качества подтверждена на примере балансовой схемы для 22 отраслевой балансовой модели распределения товаров и услуг в экономике России 1995 года. Подтверждено влияние задаваемых параметров критериев качества на эффективность процесса численного поиска и обоснованы рекомендации по выбору их значений. Так, завышение степени экономического роста по сравнению с реально достижимым ведет к более значительному смещению вправо в комплексной плоскости наиболее управляемых корней. Приближение ее к максимально возможной степени роста обуславливает согласованное смещение вправо вещественных доминирующих корней характеристического уравнения, а увеличение степени колебательной устойчивости - согласованное смещение влево вещественных частей комплексных корней характеристического уравнения, отвечающих за колебательную устойчивость системы. В свою очередь большие величины степенного показателя функции качества в большей степени ориентирует стратегию численного поиска на управление крайне правым корнем , называемым степенью экономического роста. Однако при этом возрастает вероятность возникновения овражной ситуации в ходе минимизации.

9. Обоснована целесообразность использования овражно-ориентированного алгоритма в составе процедуры оптимизации вектора конечного спроса по динамической модели межотраслевого баланса наряду с простейшими методами численного поиска типа покоординатного или градиентного спуска.

10. Сформулированы верхние оценки ошибок решения для статистической модели МОБ при возмущении элементов вектора конечного спроса, матрицы системы и совместно в вектор и в матрицу. При этом для хорошо обусловленных систем эффективными оказались как вариант метода Гаусса, реализующий LU-разложение, так и итерационные процедуры. В случае плохо обусловленной или вырожденной матрицы коэффициентов полных затрат для определения устойчивого решения с минимальной нормой надежным вычислительным средством показало себя сингулярное разложение, основанное на устойчивых ортогональных преобразованиях.

11. Показано, что программная реализация QR-алгоритма обеспечивает достаточную точность результатов и приемлемые временные показатели для заполненных матриц дифференциальных уравнений переходных процессов макроэкономических систем размерностью, как минимум, до 1000-го порядка и более на современных IBM PC при работе с балансовыми моделями. Высокая точность результатов сохраняется даже при одинарной точности вычислений стандартной реализации алгоритма на FORTRANe и в MATLABe. Ограничением его применения для задач оптимизации экономической динамики по балансовым моделям является длительность расчета собственных чисел, зависимость которой от размерности матриц носит степенной характер с показателем, близким к трем.

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1969. - 193 с.

2. Арене В.Д. и др. Динамика систем управления ракет с бортовыми цифровыми вычислительными машинами. М.: Машиностроение, 1972. -265 с.

3. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. - С. 324.

4. Балабанов И.Т. Основы финансового менеджмента. Как управлять капиталом? М.: Финансы и статистика, 1995. - 253 с.

5. Баранов Э.Ф., Межотраслевой баланс методическая база моделирования народнохозяйственных процессов, М.: Экономика, 1973. С. 232.

6. Барбашки Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. -169 с.

7. Бартеньев О.В. Современный Фортран. М.: Диалог-МИФИ, 1998. -397с.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат. Лит-ры, 1969.- 387с.

9. Бергман А.К., Экономико-математическое моделирование производственных систем, М.: МАДИ, 1987.- 198 с.

10. Беренс В., Хавранек П. Руководство по подготовке промышленных технико-экономических исследований. М.: АОЗТ «Интерэксперт», 1995. -169 с.

11. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. -М.: Наука, 1969. 265 с.

12. Бродин В.Б., Шаругин И.И. Микропроцессор i 486. Архитектура, программирование, интерфейс. М.: Диалог-МИФИ, 1993. — 240 с.

13. Боярский А .Я. Статистика и оптимальное планирование, М., Статистика, 1977.

14. Боярский А .Я. и Щепинов М.Г. Математические методы анализа экономики, М.: МГУ, 1967. 187 с.

15. Былов Б.Ф., Виноградов Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. - 282 с.

16. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Ассимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. - 195 с.

17. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 193 с.

18. Воркуев Б.Л. Анализ решений экономико-математических моделей, М.: Изд-во МГУ, 1987. 179 с.

19. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. - 298 с.

20. Гладилин А.В., Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Численный анализ высокоразмерных моделей экономической динамики.//Вопросы статисти-ки.1998. №8. С. 32-34.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 399 с.

22. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985 - 274 с.

23. Груздев И.А., Торопцев Е.Л., Устинов С.М. Исследование эффективности расчета корней характеристических уравнений высоких порядков при решении задач устойчивости // Изд. Вузов СССР. Энергетика. 1986. №4. С. 7-10.

24. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1988. - 196 с.

25. Дорнбуш Р., Фишер С. Макроэкономика. М.: Изд-во МГУ, 1997. -495 с.

26. Дэвид Гейл, Теория линейных экономических моделей, М.: Иностранная литература, 1963. 278 с.

27. Дэвид Гейл, Замкнутая линейная модель производства, М.: Иностранная литература, 1959. 197 с.

28. Ефимов А.Н. Экономика и планирование советской промышленности, М., Экономика 1970. 284 с.

29. Ефимов А.Н. Оптимизация процессов первичной обработки информации в АСУ, Киев: Техника, 1976. С. 193-200

30. Картвелишвили Н.А., Галактионов Ю.И. Идеализация сложных динамических систем. М.: Наука, 1977. - 287 с.

31. Кассель Г. Основные идеи теоретической экономики. М. - JI., 1929. -398 с.

32. Кенэ Ф. Избранные экономические произведения. М.: Соцэкгиз, 1960. - 195 с.

33. Кабулов В.К. Алгоритмизация в социально- экономических системах, АН Уз.ССР, Узб. Научн.-практ. объединение кибернетики, ин-т кибернетики, Ташкент: Фан. 1989.

34. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: Юнити, 1998. - 194 с.

35. Колемаев В.А. Математические модели макроэкономической динамики. М.: ГАУ им. С. Орджоникидзе, 1996. - 265 с.

36. Колемаев В.А., Константинова JI.A. Статистика трехсекторной экономики // Вопросы статистики. 2000. - № 4. С. 86-88.

37. Колемаев В.А., Малыхин В.И., Калинина В.И. Математическая экономика в примерах и задачах. М.: ГАУ им. С. Орджоникидзе, 1995. -199 с.

38. Канторович JI.B. и Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике, М. Наука, 1972. 234 с.

39. Красовский А.А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974. - 175 с.

40. Кремер Н.Ш. Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в экономике. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. 392 с.

41. Кублановская В.Н. О некоторых алгоритмах для решения полной проблемы собственных значений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961. - Т. 1, - № 4. - С. 555 -570.

42. Курс переходной экономики. Под ред. академика Л.И. Абалкина. М.: Финстатинформ, 1997. 572 с.

43. Курс экономики: Учебник под ред. Б.А. Райзберга. М.: ИНФА-М, 1997. 657 с.

44. Леонтьев В.В. и др. Будущее мировой экономики. М.: Международные отношения, 1979. - 375 с.

45. Леонтьев В.А., Реализация математических моделей на ЭВМ, М.: Энергия, 1981.- 198 с.

46. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика: Пер. с англ./Автор предисл. и науч. ред. Гранберг.- М.: ОАО Издательство «Экономика», 1997. -287 с.

47. Леонтьев В.В. Экономические эссе. М.: Изд-во полит, лит-ры, 1990. - 325 с.

48. Лингер Р., Миле X., Уит Б. Теория и практика структурного программирования. М.: Мир, 1988. - 408 с.

49. Любимский Э.З., Мартынюк В. В., Трифонов Н.П. Программирование. -М.: Наука, 1992.- 608 с.

50. Майерс Г. Искусство тестирования программ. М.: Финансы и статистика, 1985.-176 с.

51. Математические методы и информационные технологии обработки социально-экономических систем: Сборник научных трудов, АН УССР, Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова, Киев, ИК, 1989. 168 с.

52. Меткалф М., Рид Дж. Описание языка программирование Фортран. -М.: Мир, 1995.-302 с.

53. Милнер Б.З. Организация программно-целевого управления. М.: Наука, 1980,-358 с.

54. Модели развития региональных систем в изменяющихся условиях: Сборник научных трудов, АН УССР, Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова, Киев: ИК, 1991. 197 с.

55. Мороз А.И. Курс теории систем. М.: Высшая школа, 1987. 289 с.

56. Ошибки округления в алгебраических процессах: Сб. докладов / Под ред. В.В. Воеводина. М.: ВЦ МГУ, 1968. - С. 38-59.

57. Немчинов B.C. Избранные произведения в 6-ти томах, т.З Экономика и математические методы и модели, М.: Наука, 1967. 345 с.

58. Немчинов B.C. Избранные произведения в 6-ти томах, т.5 Планирование и народнохозяйственные балансы, М.: Наука, 1968. 297 с.

59. Немчинов B.C., О дальнейшем совершенствовании планирования и управления народным хозяйством, М.: Экономика, 1965. 196 с.

60. Немчинов B.C., Экономико-математические методы, М., Мысль, 1965. 298 с.

61. Обен Ж.-П., Нелинейный анализ и экономические приложения. М.: Мир, 1988. 286 с.

62. Потемкин В.Г. Система MATLAB, справочное пособие, М.: Диалог-МИФИ, 1997.- 350 с.

63. Потемкин В.Г. MATLAB для студентов, справочное пособие, М. Диалог-МИФИ, 1997. 314 с.

64. Применение математических методов в экономике и социологии, Новосибирск: ГПНТБ, 1989, №№ 1-7.

65. В.Плюта, Сравнительный многомерный анализ в экономическом моделировании, М.: Финансы и статистика, 1989. 192 с.

66. Плюта А.И. Об одном варианте ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнений вида x=Ax+f // Теоретические и прикладные проблемы современной физики. Материалы Региональной научной конференции. Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002. - С. 255-262.

67. Плюта А.И., Стеценко В.Я. Об одном варианте метода Зейделя // Журнал "Математическое моделирование". 2003. - Т. 15, № 12. - С. 255262.

68. Простяков И.Н. Руководство по компиляции и линкованию на Microsoft Fortan 5.0. Черкасск: А.В.С., 1991. 42 с.

69. Райзберг Б.А., Фатхутдинов Р.А. Управление экономикой. М.: ЗАО «Бизнес-школа «Интел-Синтез», 1999. 782 с.

70. Райзберг Б.А., Голубков Е.П., Пекарский JI.C. Системный подход в перспективном планировании. М.: Экономика, 1985. 282 с.

71. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.- 388 с.

72. Резенвассер Е.Н., Юсупов P.M. Чувствительность систем управления. -М : Наука,1981.- 276 с.

73. Сакс Дж., Ларрен Ф. Макроэкономика. Глобальный подход. М.: Дело,1993.-285 с.

74. Селищев А.С. Макроэкономика: Серия «Базовый курс». СПб.: Питер, 2000.-320 с.

75. Сениченков Ю.Б. Программная реализация линейных моделей // Сб. тр. ЛПИ. 1983. - № 391. - С. 84 - 87.

76. Сениченков Ю.Б. Программные средства сравнительного исследования численных методов линейной алгебры и решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Автореф. Дис. Канд. Физ.-мат. наук.-Л., 1984. 16 с.

77. Система обработки макроэкономической информации: Сборник статей, АН СССР, М.: Наука, 1987. С. 193-200

78. Слуцкий Е. Проблемы экономических условий М.: Изд-во Конъюнктурного ин-та, 1927. - 149 с.

79. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т IV. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1974. - 386 с.

80. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981. - 192 с.

81. Соболь И.М., Статников Р.Б. Наилучшие решения где их искать. -М.: Наука, 1981.- 258 с.

82. Соловьев П.В. Фортран для персонального компьютера. М.: Арист, 1997.-223 с.

83. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1987. - С. 138.

84. Стеценко В .Я., Птота А.И. Обзор и реализация на ЭВМ методов решения систем линейных и нелинейных уравнений. Учебное пособие. -Ставрополь: Изд-во СГУ, 2003. 71 с.

85. Стеценко В .Я., Кириллова JI.H., Плюта А.И. Новые оценки сверху спектрального радиуса матричных и интегральных операторов // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Труды участников, Ростов-на-Дону, 2002. - С. 160-161.

86. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение. М.: Мир, 1980. - С. 283.

87. Таблицы «Затраты Выпуск» России за 1995 год (по краткой схеме): Стат. сб./Госкомстат России - М.:2002. - С. 193-214.

88. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. об. 31 (73). 1952. - № 3. -С. 93-100

89. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Гладилин А.В. Численный анализ высокоразмерных моделей экономической динамики // Вопросы статистики, 1998,-№8.-С. 32 -34.

90. Торопцев Е.Л. Моделирование процессов экономической динамики макросистем. Монография. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского государственного университета экономики и финансов, 2001. - 135 с.

91. Торопцев Е.Л. Методика модального управления динамическими свойствами макроэкономических систем. // Материалы НПК проф. преп. состава Сев.-Кав. ГТУ, Ставрополь, 2001. - С. 173-181.

92. Торопцев E.J1., Гурнович Т.Г. Агрегирование жестких моделей межотраслевого баланса. // Материалы IV Всесоюз. симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (20-22 апреля 2000 г.) Кисловодск: КИЭП, 2000. - С. 197-205

93. Торопцев ЕЛ., Гурнович Т.Г. Избыточность динамической модели межотраслевого баланса при решении задач устойчивости. // Материалы IV Всесоюз. симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии» Кисловодск: КИЭП, 2000. - С. 206-211.

94. Торопцев E.JL, Гурнович Т.Г. Математический аппарат для исследования собственных динамических свойств макроэкономических систем. Материалы Всесоюз. симпозиума Математическое моделирование в научных исследованиях» Ставрополь: СГУ, 2000. - С. 193200

95. Торопцев ЕЛ., Гурнович Т.Г. Оценка и оптимизация статической устойчивости макроэкономических систем. Ставрополь: Кн. Изд-во, 1999.- 190 с.

96. Торопцев E.JL, Гурнович Т.Г. Прикладной анализ балансовых моделей В. Леонтьева. Ставрополь: Кн. Изд-во, 1999. 224 с.

97. Торопцев ЕЛ., Гурнович Т.Г. Системный анализ макроэкономических циклов и управление ими. Материалы науч.-практ. конф. «Системный анализ в проектировании и управлении» (14-16 июня 2000 г.) — Санкт-Петербург. СПбГТУ, 2000. С. 193-200

98. Торопцев ЕЛ., Гурнович Т.Г. Управление собственными динамическими свойствами макроэкономических систем. Материалы Всерос. симпозиума «Математическое моделирование в научных исследованиях» Ставрополь. СГУ, 2000. - С. 136-140.

99. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Численная оптимизация динамических свойств макроэкономической системы. // Вопросы статистики. -2000, №4.-С. 81-86.

100. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Явление жесткости динамических моделей межотраслевого баланса. Ставрополь: Кавказский край, 2000. 183 с.

101. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Анализ балансовой модели с переменным вектором конечного спроса. Материалы III Все-союз. симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии» Кисловодск: КИЭП, 1999. - С. 153-158.

102. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Вопросы устойчивости вычислений и динамической модели межотраслевого баланса. // Компьютерные технологии в оборудовании и предпринимательстве. Материалы междунар. конф. Чита: СУПК, 1998. - С. 184-189.

103. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Особенности плохо обусловленной матрицы В.В. Леонтьева в балансовых моделях. Материалы III Всесоюз. симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии» Кисловодск: КИЭП, 1999. - С. 174-179.

104. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Устойчивый алгоритм получения формы Коши в модели межотраслевого баланса.// Компьютерные технологии в оборудовании и предпринимательстве. Материалы междунар. конф. Чита: СУПК, 1998. - С. 198-201.

105. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Численный анализ модели межотраслевого баланса. // Компьют. технол. в оборудовании и предпринимат. Материалы междунар. конф. Чита: СУПК, 1998. - С. 204-207.

106. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Численный анализ межотраслевого боланса.// Вузовская наука Северо-Кавказскому региону. Материалы III региональн. науч.-техн. конф. - Ставрополь: Сев,-Кавк. ГТУ, 1999. - С. 193-202.

107. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Численные методы и балансовые модели в макроэкономике. Ставрополь: Кавказский край, 2000. - 76 с.

108. Торопцев E.JI., Гурнович Т.Г. Численные методы анализа и преобразования балансовых моделей В.В. Леонтьева. М.: Финансы и статистика, 2002. 256 с.

109. Точилин В.А. Корректность экономико-математических моделей, АН УССР, Ин-т экономики, Киев: Наук, думка, 1989 г. С. 198.

110. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970.-289 с.

111. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматтиз, 1960. -196 с.

112. Фадеева В.Н., Колотилина Л.Ю. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ (вычислительные модели линейной алгебры. Набор матриц для тестирования). Л.: Изд-во ЛО математического ин-та АН СССР, 1982.- 165 с.

113. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и модели в маркетинге. М.: Финстатинформ, 1996. -286 с.

114. Фишер С., Дорнбуш Р., Шмалензи Р. Экономика. М.: Дело ЛТД, 1993.-282 с.

115. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 297 с.

116. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.- 198 с.

117. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ / Пер. с англ. Х.Д. Икрамова и др.; под ред. Х.Д. Икрамова М.: Мир, 1989. - 359 с.

118. Хохлов В.А., Устинов С.М., Ракитский Ю.В. Определение комплексов параметров при идентификации математических моделей // Теор. основы химич. технологий. XX т, 1986, - С. 224 - 229.

119. Черноруцкий И.Г. Метод оптимизации на основе операции вращения пространства. // В кн.: Труды ЛПИ. № 381, 1982, С. 35 - 37.

120. Черноруцкий И.Г. Оптимальный параметрический синтез: Электротехнические устройства и системы. Л.: Энергоатомиздат, 1987. -196 с.

121. Эйнарссон Б., Шокин Ю.И. Фортран 90. Книга для программирующих на языке Фортран. Новосибирск: Изд-во СО РАН «Инфолио», 1995. -185 с.

122. Экономический анализ и оптимизация развития и функционирования сложных систем: Сборник научных трудов, АН УССР, Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова, Киев: РЖ, 1991 г. С. 193-200

123. Экономико-математические модели и методы: Сборник научных трудов, посвященный памяти Канторовича Л.В., Воронежский Гос. Ун-т, Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, 1989 г. С. 193-199.

124. Arrow К., Debreu Y. Existence of an eguilibrium for a competitive economy. Econometrica, 1954, 22.

125. Hollis B.Chenery, Paul G. Clark. Interindustry Economics. London. 1959.

126. Wald A. Uber die Produktionsgleichungen der okonomischen Wertlehre. -Ergebn. Math. Collog. 1934 1935, 7.

127. Wald A. Uber die eindentige positive Ljsbarkeit der neuen Produktionsgleichungen. -Ergebn. Math. Collog. 1933 1934, 6.

128. Головная программа комплекса OPTIM

129. FORMAT(/1OX,'размерность балансовой модели -', I4/10X,'общее число параметров -',I3/10X,'число режимов -',13) MASKA вектор целых значений NR элементов. MASKA(I)=0 - режим с номером (I) игнорируется при. минимизации

130. READ(10,*)(MASKA(NOMR),NOMR=l,NR) ВЕС вектор вещественных значений NR элементов, отражающий вклад каждого режима в функционал READ(10,*)(ВЕС(NOMR),NOMR=l,NR)

131. ALFA, LAMBDA вещественные векторы значений NR эл-тов, отражающие требуемые уровни демпфирования и степени экономического роста для каждого режима READ (10,*) (ALFA (NOMR) ,NOMR=l,NR) READ(10, *) (LAMBDA(NOMR),NOMR=l,NR)

132. NPAR, NUMBR(NK) число варьируемых параметров и порядок их следования при.минимизации READ(10,*)(NPAR(NOMR),NOMR=l,NPAR)

133. GAMMA(NDIM) варьируемый при оптимизации вектор норм потребления

134. TRUD(NDIM) нормы трудоемкости

135. К(NPAR) вектор начальн. значений варьируемых парам-ров1. К(1.NDIM)=GAMMA(1.NDIM)

136. READ(10,*)(GAMMA(I),1=1,NDIM)

137. READ(10,*)(TRUD(I),1=1,NDIM)

138. NU степенной показатель функции качества

139. NFM число вычислений функции качества до контролясходимостии промежуточной печати

140. NSTOP предельное число вычислений функции качества STEP - начальный шаг по параметрам

141. С EPS требование по сходимости

142. READ(10,*) NU,NFM,NSTOP,STEP,EPS,PRT,METOD С PRT=0 печатаются собственные значения конечногорезультата

143. С поиска и значения параметров через NFM функционалов

144. С PRT=1 дополнительно печатаются собственные значениячерез С NFM шагов

145. С PRT=2 дополнительно печатаются исходные матрицы А и В

146. С PRT=3 дополнительно печатаются исходные матрицы А и В

147. С и собственные значения через NFM шагов

148. С METOD=l покоординатный спуск

149. С METOD=2 овражно-ориентированный алгоритм

150. С METOD=3 покоординатный спуск с переходом на

151. С овражно-ориентированный метод при плохой сходимостипервого

152. С NOGR(NK) целочисленный вектор для учета ограничений попараметрам

153. С NOGR(I)=0 для 1-го параметра нет ограничений

154. С N0GR(I)=1 значения 1-го параметра положительны

155. С NOGR(I)=2 значения 1-го параметра принадлежат заданномуинтервалу

156. READ (10,*) (NOGR(I),1=1,NK) С OGRMIN(I), OGRMAX(I) границы изменения 1-го параметра1. С NOGR(I)=2

157. READ (10,*) (OGRMIN(I),OGRMAX(I),1=1,NK) С NUMKA, ANUMK адреса индексы и значения параметров

158. С в матрице А монетарный сектор

159. С NUMKA(3*NK) номер строки, номер столбца, номер1. С коэффициента матрицы А

160. С ANUMK(NK) значение коэффициента для окончания ввода

161. С в последней строке последние элементы NUMKA(I) д.б.нулевыми

162. DO 3 1=1,6*NDIM 3 NUMKA(I)=0 DO 4 1=1,2*NDIM4 ANUMK(I)=0.0 NPRTA=01. K1 = 0

163. READ (10, 6) ( (NUMKA( (J-l) *3 + I+NPRTA) , 1=1, 3) ,ANUMK(J+K1) , J=l, 4) Kl=Kl+41. NPRTA=NPRTA+121. (NUMKA(NPRTA) .NE.0) GO TO 56 FORMAT(4(313,G10.3))

164. С ввод данных окончен, теперь печать данных (кроме А, В)1. WRITE(15,7)

165. FORMAT(40Х,'используемые режимы'/)

166. WRITE (15, 8) (NOMR, MASКА (NOMR) , NOMR, ВЕС (NOMR) , NOMR, ALFA (NOMR) , NOMR /1.MBDA(NOMR)),NOMR=1,NR)

167. FORMAT (5X, 'MASKA(',I2, ,) = M2,5X/ 'ВЕС(',12, ')=',E8.2, *5Х, 'ALFA(',I2, ')=',E8.2,5X, 'LAMBDA (',12, ')=',E8.2) WRITE(15, 9) (NPAR(NUMBR(I) ),1=1, NPAR)

168. FORMAT(IX,'минимизация no NPAR=',12,'параметрам',IX, *'NUMBR=',1013/(4OX,1013)1. WRITE(15,10)(К(I),1=1,NK)

169. FORMAT(IX,'начальные значения параметров K=',4G10.3/(ЗЗХ,4G10.3))

170. WRITE(15,11)NU,NFM,NSTOP,STEP,EPS,PRT,METOD

171. FORMAT(/2X, 'NU=',I12X, 'шаг печати итераций NFM=',I3,2Xпредельное число итераций NSTOP=',I5/5X,начальный шаг по параметрам STEP=',Е10.3/2Х,условие сходимости EPS=',ЕЮ.3/5Х,признак полноты печати PRT=',I1,2X,индекс метода оптимизации METOD=',I2)

172. WRITE(15,12)(TRUD(I),1=1,NDIM)

173. FORMAT(IX, 'норм трудоемкости TRUD=',3G10.3/(IX,8G10.3) WRITE(15,13)(NOGR(I),1=1,NK)

174. FORMAT(/IX, 'учет ограничений:', 3012/(18X, 3012) WRITE(15,14)(OGRMIN(I),OGRMAX(I),1=1,NK)

175. FORMAT(IX, 'границы:',7Е10.3/(10X,7E10.3)) PRT1=01.(PRT.GT.l) PRT1=1 WRITE(15, 15)

176. FORMAT(IX,'адреса и индексы параметров монетарного сектораиз матрицы А) WRITE (15, 16)

177. FORMAT(2Х,'Стр. Столб. Инд.коэфф. Коэффициент Стр. Столб.

178. Инд.коэфф. Коэффициент') К1=01.017 WRITE(15,18)((NUMKA((J1. *3+ I + L) ,1=1,3) , ANUMK (J+Kl) ,3=1,2) Kl=Kl+2 L=L+ 61.(NUMKA(L).NE.0) GO TO 17

179. FORMAT (2X, 2 (13, 3X, 13, 6X, 13, 5X, G10 . 3, 2X) )

180. С ввод и печать матриц А и В модели Леонтьева

181. CALL BBODAB(NDIM,NR,PRT1,А,В) С формирование векторов варьируемых параметров K(NK)1. DO 19 1=1,NDIM19 К(I)=GAMMA(I)1. DO 20 I=NDIM+1,NK20 К(I)=ANUMK(I-NDIM) NFUN=01.LAG=1

182. DO 24 1=1,NPAR I1=NUMBR(I) J=NOGR(I)+11. GO TO (21,22,23),J121 P(I)=K(I1) GO TO 2422 P(I)=SQRT(K(I)) GO TO 24

183. P (I)=ARSIN( (2*K(I1)-OGRMAX(II)-OGRMIN(Il) )/(OGRMAX(II)-OGRMIN(II)))24 CONTINUE1.(METOD.EQ.2) GO TO 5025 CALL

184. SPUSK(NDIM,NPAR,P,F0, STEP, E, VR, VI, K, NFM, NF, IFLAG, A,B,NR,

185. NUMBR, NOGR,MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD, G, * WORK, ANUMK, NUMKA, IPVT) NFUN=NFUN+NF

186. WRITE(15, 26)NFUN, F0(I,P(I),1=1,NPAR)

187. FORMAT(/2X,'вычислено функционалов NFUN=1,14,2X, *'величина функционала F0='G15.7///20X,варьируемые параметры'/(3(4X,'P(', 13,') = ',G10.3))) 100 Q=ABS(E(1) ) DO 27 1=2,NPAR1.(ABS(E(I)).GT.Q) Q=ABS(E(I))27 CONTINUE

188. DO 31 1=1,NPAR I1=NUMBR(I) Jl=NOGR(I)+1 GO TO (28,29, 30) , J128 K(I1)=P(I) GO TO 3129 K(I1)=P(I) **2 GO TO 31

189. К (11) = (OGRMIN(II)+OGRMAX(II))/2+(( OGRMAX(Il)-OGRMIN(II))/2)*SIN(P(I))31 CONTINUE

190. WRITE (15, 32) (I,K(I) , 1=1,NK)

191. FORMAT(3(4X, 'K(',I3, ') = ',G10.3))1.(NFUN.GE.NSTOP.OR.ABS(F0).EQ.0) INDEX=1 IF(Q.LE.EPS.AND.METOD.NE.3) INDEX=11. (PRT .NE.1.AND.PRT.NE.2.AND.PRT.NE.3.AND.INDEX.NE.1) GO1. TO 351. DO 33 NOMR=l,NR1.(MASKA(NOMR).EQ.0) GO TO 33

192. CALL MATRI(NDIM,К,A,B,GAMMA,TRUD,G,NOMR,NR,NK, *WORK, ANUMK, NUMKA, ) WRITE(15,34) NOMR

193. CALL EV(NDIM,IER,VR,VI,G,IPVT,WORK) CALL PREV(NDIM,IER,VR,VI)33 CONTINUE

194. FORMAT(//2OX,'режим номер (',12,')')35 IF(INDEX.EQ.1) STOP1. (METOD.EQ.l) GO TO 25 IF (METOD.EQ.3) IFLAG=1 METOD=250 CALL OV

195. RAG(NDIM,NPAR,NK,P,F0,STEP,E,VR,VI,K,NFM,NF,IFLAG, A, B,NR,

196. NUMBR, NOGR, MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD, G, *WORK,ANUMK, NUMKA, AS, U, R, AH, D, BS, IPVT) NFUN=NFUN+NF WRITE (15, 36) 36 FORMAT(IX, 'овражный метод')

197. WRITE (15,26) NFUN, F0, (I,P(I) , 1=1, NPAR) GO TO 100 ENDsubroutine bbodab(ndim,nr,prt, a, в)

198. С программа вводит и по признаку печатает матрицы А и В

199. С балансовой модели обращением к программе 'BBOD'

200. TEGER PRT,NR,NOMR REAL A (NDIM,NDIM,NR),В(NDIM,NDIM,NR) DO 3 NOMR=1,NR1.(PRT.NE.0) WRITE(15,5) NOMR CALL BBOD(A,NDIM,NOMR,NR,PRT IF(PRT.NE.0) WRITE(15,10) NOMR CALL BBOD(B,NDIM,NOMR,NR,PRT3 CONTINUE

201. FORMAT(2X,'элементы матрицы А, режим номер(',12,')') 10 FORMAT(2X, 'элементы матрицы В, режим номер(',12, ') ') RETURN END

202. SUBROUTINE BBOD (A,NDIM,NOMR,NR, PRT)

203. С программа ввода и печати квадратной матрицы

204. С балансовой модели (ввод бесформатный)

205. TEGER 11(3),Jl(3)PRT,Т REAL A (NDIM,NDIM,NR),SI(3) DO 1 1=1,NDIM DO 1 J=1,NDIM1 A (I,J,NOMR)=0.01.(PRT.EQ.0) GO TO 3 WRITE(15,2)

206. FORMAT(2X, 70(•-')/' I•,3(2(4X,'I'),12X, 'I')/* I', *3(' II J I величина I')/'1. , 3(24X, ' I'),12X, 'I' )/2Х,70('-')/' I',3(2(4X,'I'),12X,'I'))3 DO 4 KP=1,3 II (KP)=01. J1(KP)=04 S1(KP)=0.0

207. READ(10,*)(II(KP),J1(KP),S1(KP),KP=1,3) DO 6 KP=1,3 T=I1(KP) IF (T) 12,17,7 17 IF(PRT.EQ.0) GO TO 100 GO TO 87 I=T J=J1 (KP)1.(PRT.EQ.0) GO TO 100

208. WRITE(15, 9) (II(KP),J1(KP),S1(KP),KP=1,3)

209. FORMAT(' I',3 (2 (13, 'I'),IX,CIO.3, 'I') ) 100 CONTINUE12 WRITE(15, 13)

210. FORMAT(IX,'имеются отрицательные номера строк матриц') STOP10 CONTINUE1.(PRT.EQ.0) RETURN

211. WRITE(15, 11) 11 FORMAT(' I',3(2(13, 'I'),12X, 'I')/2Х,70 ( RETURN ENDsubroutine spusk (n,npar,x,fo,step,e,vr,vi,k,nfm,nf,iflag,1. A, B,NR,

212. NUMBR, NOGR, MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD, G, *WORK,ANUMK,NUMKA,IPVT) INTEGER

213. VT(N),NUMBR(NPAR) , NOGR(NPAR) , MASKA(NR),NUMKA(N)

214. REAL A (N, N, NR) , В (N, N, NR) ,X(N) ,VR(N) , VI (N) ,K(N) , E (N) ,G(N,N)

215. ALFA(NR) ,LAMBDA(NR),ВЕС(NR) , OGRMIN(N),OGRMAX(N),GAMMA (N), *WORK(N),TRUD(N),ANUMK(N) IF(IFLAG.EQ.1) GO TO 5 DO 1 1=1,NDIM DO 1 J=1,NDIM

216. A (I, J, NOMR) =0 . 0 IF(PRT.EQ.O) GO TO 3 WRITE(15,2)

217. FORMAT(2X,7 0('-')/' I'/3(2(4X, 'I'),12X, 'I' ) / ' I' , *3(' II J I величина I')/'1.,3 (24X, 'I'),12X, 'I')/2Х,70 ('-')/' I',3(2(4X, ' I' ) ,12X, ' I' ) )3 DO 4 KP=1,3 II(KP)=01. J1(KP)=04 S1(KP)=0.0

218. READ(10,*)(II(KP),J1(KP),S1(KP),KP=1,3) DO 6 KP=1,3 T=I1(KP) IF (T) 12,17,7 17 IF(PRT.EQ.0) GO TO 100 GO TO 87 I=T J=J1(KP)1.(PRT.EQ.O) GO TO 100

219. WRITE(15, 9) (II(KP),J1(KP),SI(KP),KP=1,3)

220. FORMAT(' I',3 (2 (13, 'I'),IX,CIO.3, 'I')) 100 CONTINUE12 WRITE(15,13)

221. FORMAT(IX,'имеются отрицательные номера строк матриц') STOP10 CONTINUE1.(PRT.EQ.0) RETURN WRITE(15,11)

222. FORMAT(' I',3(2(13,'I'),12X,'I')/2X,70('-')) RETURN1. ENDsubroutine ovrag(ndim,npar,nk,x,fo,step,e,vr,vi,k,nfm,nf,1.FLAG, AA, BB,NR,

223. NUMBR, NOGR,MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD, G,

224. WORK,ANUMK,NUMKA,A,U,R,AH,D,B,IPVT) INTEGER

225. R(NDIM) , NUMBR (NPAR) ,MASKA (NR) , NOGR (NPAR) , NUMKA(NDIM) , IPVT (INDIM) REAL

226. AA(NDIM,NDIM,NR),BB(NDIM,NDIM,NR),X(NPAR),GAMMA(NDIM),TRUD(NDIM) /

227. G (NDIM, NDIM) , VR (NDIM) ,VI (NDIM) , OGRMIN (NPAR) , OGRMAX (NPAR) *

228. ВЕС(NR),AL FA(NR) ,LAMBDA(NR),К(NDIM),ANUMK(NDIM),A(NDIM) ,В(NDIM), *

229. U (NDIM, NDIM) , E (NPAR) , WORK (NDIM) , D (NDIM) ,U(50, 50) , AH (NDIM, NDIM) NFM=2*NDIM*NDIM+1 IF (IFLAG.EQ.1) GO TO 5 NF=0 GO TO 65 5 IFLAG=2 CALL

230. FUN(NDIM,NPAR,X, FO,STEP, VR, VI, K, NFM, NF, IFLAG,AA,BB,NR,

231. NUMBR, NOGR, MAS KA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD, G,

232. WORK, ANUMK, NUMKA, IPVT) NF=1

233. DO 30 1=1,NPAR E(I)=STEP 30 CONTINUE1. H=STEP 35 CALL

234. HESS (NDIM, NPAR, X, FO, H, AH, VR, VI, K, NFM, NF, IFLAG, AA, BB, NR,

235. NUMBR, NOGR, MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD, G,

236. WORK,ANUMK,NUMKA,IPVT,NK) NF=NF+NFH

237. CALL JACOB (NK, NPAR, AH, D, U, KROT, A, B, R, 40 DO 50 1=1,NPAR D(I)=X (I)1.(E(I).EQ.0.0) E(I)=STEP 50 A(I)=2.0 60 DO 130 1=1,NPAR1.(NF.GE.NFM) RETURN 65 L=R(I)

238. DO 7 0 J=1,NPAR B(J)=X(J) 70 X(J)=X(J)+E(I)*U(J,L) CALL

239. FUN(NDIM,NPAR,X,F1, STEP, VR, VI, K,NFM,NF, IFLAG,AA,BB,NR,

240. NUMBR, NOGR, MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD, G,

241. WORK,ANUMK,NUMKA,IPVT) NF=NF+11.(Fl-FO) 80, 80, 90 80 E (I)=3.0*E(I) F0=F185 IF(A(I) .GT.1.5) A(I)=1.0

242. GO TO 110 90 DO 100 1=1,NPAR 100 X(J)=B(J)

243. E(I)=-0.5*E(I) IF (A(I) .LT.1.5) A(I) =0 . 0 110 DO 12 0 J=1,NPAR1.(A(J).GE.0.5) GO TO 130 120 CONTINUE GO TO 135 130 CONTINUE1. GO TO 60 135 H=0.0

244. DO 140 1=1,NPAR 140 H=H+(D(I)-X(I))**2 H=SQRT(H) *0.1 IF(H.EQ.0.0) H=STEP GO TO 35 END

245. NUMBR, NOGR,MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD, G,1. WORK,ANUMK,NUMKA,IPVT)

246. С программа вычисления функции качества переходных процессов

247. С в экономических системах1.TEGER

248. VT(N),NUMBR(NPAR) , NOGR(NPAR) , MASKA(NR) , NUMKA(N)

249. REAL A (N, N, NR) , В (N, N, NR) ,VR(N) , VI (N) ,K(N) , P (N) ,G(N,N)

250. ALFA (NR) , LAMBDA (NR) , ВЕС (NR) , OGRMIN (NPAR) , OGRMAX (NPAR) , GAMMA (N) , *WORK (N) , TRUD (N) , ANUMK (N) DO 50 1=1,NPAR I1=NUMBR(I) Jl=NOGR(I)+1 GO TO (47,48,49),J147 К(II)=P(I) GO TO 5048 K(I)=P(I)**2 GO TO 50

251. К (II) = (OGRMIN(II)+OGRMAX(II))/2+((OGRMAX(II)-OGRMIN(II))/2*SIN(P(I))50 CONTINUE F=0 .01. DO 100 NOMR=l,NR1.(MASKA(NOMR).EQ.0) GO TO 1001. CALL MA

252. TRI (N, NK, К, A, B, NR, NOMR, GAMMA, TRUD, G, WORK, ANUMK, NUMKA, I PVT) CALL EV(N,VR,VI,IER, G,WORK,IPVT) IF(IER.EQ.O) GO TO 2 WRITE (15,4) IER STOP2 CONTINUE F1=0.01. DO 3 1=1,N1.(VI(I).NE.0.0.AND•VR(I)+ALFA(NOMR).GT.0.)

253. F1 = F1+(ALFA(NOMR)+VR(I) )**NU1.(VI(I).EQ.0.0.AND.LAMBDA(NOMR)-VR(I).GT.0.)

254. F1 = F1+(LAMBDA(NOMR)+VR(I))**NU3 CONTINUE GO TO 4 0

255. F=F+BEC(NOMR)*F1 100 CONTINUE RETURN4 FORMAT(2X,'IER=',13) ENDsubroutine matri (n,k,nfm,a,b,nr,nomr,nk,gamma., trud , g,

256. WORK,ANUMK,NUMKA,IPVT) С программа приведения модели к нормальной форме

257. TEGER IPVT(N),NUMKA(N) REAL

258. A(N,N,NR), В (N, N,NR), G(N,N),GAMMA(N),WORK(N),TRUD(N),ANUMK(N) DATA KEY/0/1. (KEY.NE.O) GO TO 10 DO 1 1=1,N DO 1 J=1,N1.G (I, J)=B (I, J,NOMR)

259. CALL DECOMP(N,N,COND,G,WORK,IPVT) IF (COND.GT.1.0E+15) WRITE (15,2.00) COND IF (COND.GT.1.OE+15) STOP DO 5 1=1,N DO 3 J=1,N3 WORK(J)=0.0 WORK(I)=1.0

260. CALL SOLVE(N,N,G,WORK,IPVT) DO 4 11=1,N4 В(II,I,NOMR)=WORK(II)5 CONTINUE1. (NOMR.GE.NR) KEY=5 10 CONTINUE DO 11 1=1,N

261. GAMMA(I)=K(I) DO 12 I=N+1,NK12 ANUMK(I-N)=K(I) JJ1 = 1

262. DO 50 L=3,NK,3 II1=NUMKA(JJl) IF(III.EQ.0) GO TO 55 JJ1=JJ1+1 II2=NUMKA(JJl) A (III,II2,NOMR)=ANUMK(N/3) JJl=JJl+2 50 CONTINUE 55 CONTINUE

263. DO 60 1=1,N 60 WORK(I)=GAMMA(I)* TRUD(I) DO 65 1=1,N DO 65 J=1,N 65 G(I,J)=-A(I,J,NOMR)

264. DO 70 1=1,N 70 G(II)-G(I,I)+1.O-WORK(I) DO 100 L=1,N DO 8 0 J=1,N WORK(J)=0.0 DO 80 1=1,N

265. WORK (J) =WORK (J) +B (J, I, NOMR) *G(I,L)80 CONTINUE

266. DO 90 II,N 90 G(I1,L)=WORK(II) 100 CONTINUE RETURN ENDsubroutin decomp(n,ndim,a,cond,ipv,work)

267. ПРОГРАММА, РЕАЛИЗУЮЩАЯ МЕТОД ГАУССА С ОЦЕНКОЙ ЧИСЛА ОБУСЛОВЛЕННОСТИ МАТРИЦЫ А INTEGER NDIM,N,IPVT(N),NM1,I,J,К,KP1,KB,KM1,M REAL A(NDIM,N),WORK(N) ,COND,EK,T,ANORM,YNORM,ZNORM IPVT(N)=11.(N.EQ.l) GO TO 80 NM1=N-1 ANORM= 0.0 DO 10 J=1,N T=0.0

268. DO 5 1=1,N T=T+ABS(A(I,J) 5 CONTINUE1. (T.GT.ANORM) ANORM=T 10 CONTINUE DO 35 K=1,NMl KP1=K+1 M=K

269. DO 15 I=KP1,N IF(ABS(A(I,K)).GT.ABS(A(M,K)))M=I 15 CONTINUE IPVT(K)=M1.(M.NE.K) IPVT(N)=-IPVT(N) T=A(M,K) A (M, К) =A (К, K) А (К, K) =T1.(T.EQ.O.O) GO TO 35 DO 20 I=KP1,N A(I,К)=-A(I,К)/Т 2 0 CONTINUE

270. DO 30 J=KP1, N T=A(M, J) A (M, J) =A(K, J) A (K, J)=T1.(T.EQ.O.O) GO TO 30

271. DO 25 I=KP1,N A(I,J)=A(I,J)+A(I,K)*T 2 5 CONTINUE 30 CONTINUE 35 CONTINUE DO 50 K=l, N T=0. 01.(K.EQ.l) GO TO 45 KM1=K-1 K=KM1+11. DO 40 1=1,KM1? ?

272. T=T+A(I, K)*WORK(I) 40 CONTINUE45 ЕК=1.О1.(Т.LT.О.О)ЕК=-1.О IF(A(K,K) .EG.0.0) GO ТО 90 WORK(К)=-(ЕКТ)/А(К,К) 50 CONTINUE

273. DO 60 КВ=1,NM1 K=N-KB T=WORK(К) KP1=K+1 DO 55 I=KP1, N T=T+A(I,K)*WORK(I) 55 CONTINUE WORK(K)=T M=IPVT1.(M.EQ.K) GO TO 60 .T=WORK(M) WORK(M)=WORK(K) WORK(K)=T 60 CONTINUE YNORM=0.0 DO 65 1=1,N

274. YNORM=YNORM+AB S(WORK(I) )65 CONTINUE?

275. CALL SOL(N,NDIM,A,WORK,IPVT) ZNORM=0.0 DO 70 1=1,N

276. ZNORM=ZNORM+ABS(WORK(I)) 70 CONTINUE

277. COND=ANORM*ZNOPM/YNORM IF(COND.LT.1.0)COND=l.0 RETURN 8 0 COND=l.01.(A(1,1).NE.0.0)RETURN 90 CONTINUE1. COND=0.OE+18 RETURN ENDsubroutin sol(n,ndim,a,b,ip)

278. DIMENSION A(NDIM,N),B(N),IP(N) РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ A*X=B ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: N ПОРЯДОК МАТРИЦЫ; NDIM - ОБЪЯВЛЕННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ МАССИВА А;

279. А МАТРИЦА, ПРИВЕДЕННАЯ К LU ВИДУ ПРОГРАММОЙ DEC; В - ВЕКТОР ПРАВОЙ ЧАСТИ; IP - ВЕКТОР ПЕРЕДАННЫЙ DEC. ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: В - ВЕКТОР РЕШЕНИЯ. IF(N.EQ.l) GO ТО 50 NM1=N-1 DO 20 К=1,NM1 КР1=К+1 M=IP(K) Т=В(М) В(М)=В(К) В(К)=Т

280. DO 10 I=KP1,N 10 В (I)=В(I)+А(I, К) * Т 20 CONTINUE

281. DO 4 0 КВ=1,NM1 KM1=N-KB К=КМ1+1

282. В (К) =В (К) /А (К, К) Т=-В(К) DO 30 1=1,КМ1 30 В (I)=В(I)+А(I, К)*Т 40 CONTINUE 50 В(1)=В(1)/А (1,1) RETURN ENDsubroutine hess (nd ,n,npar,x, fo , s, h,vr, vi, к,nfm,nf,aa,bb,nr,

283. NUMBR, NOGR,MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD,

284. WORK, ANUMK, NUMKA, IPVT,G,NK)

285. TEGER IPVT(ND),NUMBR(N),NOGR(NK),MASKA(NR),NUMKA (ND) REAL

286. AA (ND, ND, NR) , В (ND, ND, NR) , X (NK) , VR (ND) , VI (ND) , К (NK) , E (N)

287. ALFA (NR) , LAMBDA (NR) , ВЕС (NR) , OGRMIN (NK) , OGRMAX (NK) , GAMMA (ND) , *WORK(ND) , TRUD(ND) ,ANUMK(ND),G(ND,ND) S2=2.0*S

288. CALL FUN (ND, N, GO, X, K, VR, VI, K, NFM, NF, IFLAG, AA, BB, NR,

289. NUMBR, NOGR, MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD,

290. WORK, ANUMK, NUMKA, G,IPVT) G2=2 . 0*S DO 190 1=1,N DO 190 J=1,N RI=X(I) RJ=X(J) IF(I.NE.J) GO TO 130 X(I)=RI+S2

291. CALL FUN (ND, N,G1,X,K, VR, VI, K, NFM, NF, IFLAG, AA, BB, NR,

292. NUMBR, NOGR, MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD,

293. WORK, ANUMK, NUMKA, G, IPVT) X(I)=RI-S2

294. CALL FUN(ND,N,G2,X,K,VR,VI,K,NFM,NF,IFLAG,AA,BB, NR,

295. NUMBR, NOGR, MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD,

296. WORK,ANUMK,NUMKA,G,IPVT) H(I,I)=G1-G0+G2 GO TO 185 130 X(I)=RI+S X(J)=RJ+S

297. CALL FUN(ND,N,G1,X,K,VR,VI,K,NFM,NF, I FLAG, AA, BB, NR,

298. NUMBR, NOGR, MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD,

299. WORK,ANUMK, NUMKA, G,IPVT) X(I)=RI-S

300. CALL FUN(ND,N,G2,X,K,VR,VI,K,NFM,NF, IFLAG,AA,BB,NR,

301. NUMBR, NOGR, MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD,1. WORK,ANUMK, NUMKA,G,IPVT)1. X(I)=RI+S X(J)=RJ-S

302. CALL FUN (ND, N, G3, X, K, VR, VI, K, NFM, NF, IFLAG, AA, BB, NR,

303. NUMBR, NOGR, MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD,

304. WORK,ANUMK,NUMKA,G,IPVT) X(I)=RI-S

305. CALL FUN(ND,N,G4,X,K,VR,VI,K,NFM,NF, I FLAG, АА, BB, NR,

306. NUMBR, NOGR,MASKA, ALFA, LAMBDA, NU, ВЕС, OGRMIN, OGRMAX, GAMMA, TRUD, *WORK,ANUMK,NUMKA, G,IPVT) H(I,I)=G1-G2-G3+G4 H (J. I) =H (I, J) X (I)=RI 185 X(J)=RJ 190 CONTINUE RETURN ENDsubroutine jacob(n,np,a,u,r,rot,d,b,z)

307. DO 20 Q=P1,NP 20 SM=SM+ABS(A(P,Q))1.(SM.EQ.0.0) GO TO 1005 TRESH=0.01.(I.LT.4) TRESH=0.2*SM/NP**21. DO 900 P=1,N11. P1=P+1

308. DO 900 Q=P1,NP ABSPQ=ABS(A(P,Q)) G=ABSPQ

309. ABSDP=ABS(D(P)) ABSDQ=ABS(D(Q))1.( (I.GT.4) .AND. ((ABSDP+G) .EQ.ABSDP) .AND.*((ABSDQ+G) .EQ.ABSDQ))G О TO 40

310. GO TO 50 40 A(PQ)=0.0 GO TO 900 50 IF(ABSPQ.LE.TRESH) GO TO 900 H=D(Q)-D(P)1.((ABS(H)+G).EQ.ABS(H))GO TO 70 THETA=0.5*H/A(P,Q)

311. T=1.0/(ABS(THETA)+SQRT(1.0+THETA**2)) IF (THETA.LT.0.0) T=-T GO TO 80 70 T=A(P,Q)/Н 80 C=1/SQRT(1.0+T**2) S=T*C

312. TAU=S/(1.0+C) H=T*A(P, Q) Z(P)=Z(P)-H Z (Q)=Z (Q)+H D(P)=D(P)-H1. D(Q)=D(Q)+H1. A(P,Q)=0.01. PM1=P-11.(PMl.LT.l) GO TO 95 DO 90 J=1,PM1 G=A (J, P) H=A(J,Q)

313. A(J,P)=G-S*(H+G*TAU) A(J,Q)=H+S*(G-H*TAU) 90 CONTINUE 95 QM1=Q-11.(QMl.LT.Pl) GO TO 105 DO 100 J=P1, QM1 G=A (P, J) H=A(J,Q)

314. A(P,J)=G-S*(H+G*TAU) A(J,Q)=H+S*(G-H*TAU) 100 CONTINUE 105 Q1=Q+11.(Ql.GT.Pl) GO TO 115 DO 110 J=Q1,NP G=A (P, J) H=A (Q, J) A(P,J)=G~S*(H+G*TAU) A(Q,J)=H+S*(G-H*TAU) 110 CONTINUE 115 DO 120 J=1,NP G=U(J,P) H=U {J, Q)

315. U(J,P)=G-S*(H+G*TAU) U(J,Q)=H+S*(G-H*TAU) 120 CONTINUE ROT=ROT+l 900 CONTINUE

316. С программа вычисления собственных значений квадратнойматрицы А

317. С NDIM объявленная размерность А;

318. С NA истинная размерность А;1. С А сама матрица А;

319. С VR массив вещественных частей собственных значений;

320. С VI массив мнимых частей собственных значений

321. С IER выходной параметр (IER=0 отвечает нормальному выходу) ;

322. С BALAN, ELMHE, HGR внутренние программы из пакета1. EISPACK.1.TEGER IP(NA)