автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Теоремы существования и единственности положительного решения у модели Леонтьева нелинейного межотраслевого баланса

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО

БАЛАНСА. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Нелинейная модель Леонтьева.

2. Типы нелинейных моделей межотраслевого баланса.

3. Конус (критерий качества).

4. Принцип Биркгофа неподвижной точки монотонного отображения.

5. Принцип Биркгофа для линейного монотонно разложимого отображения.

6. Принцип Биркгофа для линейного монотонно разложимого оператора.

7. Общие замечания о нелинейном межотраслевом балансе.

8. Существование неотрицательного решения у модели (1.42) для заданного неотрицательного вектора Ъ.

9. Нелинейный межотраслевой баланс с монотонными разрывными нелинейностями.

10. Межотраслевой баланс с монотонно разложимыми аддитивными и однородными операторами.

11. Модель межотраслевого баланса, учитывающая утилизацию вредных отходов.

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА С ВОГНУТЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ.

1. Продуктивность нелинейной модели Леонтьева.

2. О нелинейных системах алгебраических уравнений с равномерно и0 -вогнутыми операторами.

3. Об одном классе вогнутых операторов теории нелинейного межотраслевого баланса.

4. Примеры.

5. Динамика отраслевого дохода.

6. Свойство относительной устойчивости сбалансированно «растущего» решения.

ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ

ВОГНУТЫМИ (ВЫПУКЛЫМИ) ОПЕРАТОРАМИ.

1. Постановка задачи.

2. Вспомогательные факты.

3. Признак продуктивности нелинейной модели с вогнутым оператором затрат.

4. Модифицированный метод Ньютона.

5. Метод Ньютона. Квадратичная сходимость.

6. Нелинейная модель Леонтьева с выпуклым оператором затрат. Сходимость модифицированного метода

Ньютона.

7. Нелинейная модель Леонтьева с выпуклым оператором затрат. Сходимость метода Ньютона.

1. Диссертация посвящена исследованию уравнений вида x = F(x) + c (0.1) с нелинейным оператором монотонным и положительным относительно некоторого множества К положительных элементов, К а Е, являющегося конусом в пространстве Е. Здесь х - неизвестный элемент Е, с > в - заданный элемент К. Как правило, в работе предполагается, что пространство Е конечномерное: Е = Л", в качестве конуса К рассматривается, как правило, любое множество элементов, удовлетворяющее аксиомам конуса Крейна М.Г. [14] (иногда к конусу К предъявляются дополнительные требования, например, требование миниэдральности конуса).

2. В работе используется терминология функционального анализа и полуупорядоченных банаховых пространств. По поводу основных используемых в работе понятий см. [9], [10], [15], [16], [17], [20], эти понятия достаточно хорошо известны.

3. Рассматривая уравнение (0.1) в конечномерном пространстве Е = Я" (хотя результаты работы относятся также и к случаю, когда Е -бесконечномерное пространство), мы в первую очередь имеем в виду класс задач, относящихся к уравнениям межотраслевого баланса, т.е. уравнения вида п х, = / х/ + с,- > (¿ = 1,2,.,и) (0.2) 1 где а,; > 0 заданные величины (технологические коэффициенты, обозначающие затраты /-го продукта на выпуск одной единицы /-го продукта), (х,, х2,., хп) - вектор валового выпуска, с, - так называемый «чистый» выпуск продукции /-ой отрасли.

Система уравнений (0.2) имеет простой экономический смысл и представляет собой балансовое соотношение между валовым выпуском х, в /-ой отрасли и «чистым» выпуском с, этой отрасли и называется моделью Леонтьева межотраслевого баланса [21].

Модель Леонтьева, естественно, была предложена известным экономистом В.В.Леонтьевым в первой трети двадцатого века и явилась основой глубоких исследований этого автора и его последователей в изучении американской экономики. Эту модель называют моделью Леонтьева затраты-выпуск.

За разработку этой модели и ее применение к анализу американской экономики В.В.Леонтьеву была присуждена Нобелевская премия в области экономики.

Для нас эта модель важна и интересна еще и потому, что она явилась одной из первых экономико-математических моделей производства, привела к многочисленным исследованиям и важным результатам в математической экономике. Более того, она стимулировала развитие новых экономико-математических методов и с ней связаны новые направления исследования. Эта модель позволила с новых позиций осмыслить многие ранее известные в математике результаты и указать неожиданно новое их применение (примером может, в частности, служить теория Перрона-Фробениуса, теория неразложимых матриц и др. (см. [6], [23], [25])).

Работы Леонтьева стимулировали исследования математических моделей экономики, что привело к появлению целого ряда блестящих результатов Хикса, Ле-Шателье, Самуэльсона и др., каждый из которых, в свою очередь, был удостоен Нобелевской премии в области экономики (см. [22]). Без преувеличения можно сказать, что за последние несколько десятилетий ряд ярких результатов в области экономики был получен благодаря использованию тонких математических методов, без которых эти результаты вряд ли были бы возможны (именно это обстоятельство способно объяснить почему среди созвездия Нобелевских лауреатов достаточно много математиков - Канторович Л.В., Самуэльсон и др.).

В настоящее время не только математика является источником идей и методов исследования в экономике, но и достижения в экономике приводят к постановке новых содержательных математических задач и новым результатам, примером может служить принцип максимума Хикса относительного приращения решения в теории линейных и нелинейных интегральных уравнений, краевых задач и др.

4. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы.

Заключение

В диссертации изучается нелинейная модель Леонтьева межотраслевого баланса вида х = F(x) + с (1) с нелинейным оператором F(x). Это уравнение в основном изучается в конечномерном пространстве, что, как правило, представляет интерес для экономико-математических моделей. Здесь х - валовый выпуск (неизвестный элемент), с - чистый выпуск.

Модель (1) изучается при разных предположениях относительно оператора F(x) на предмет выяснения условий существования положительного решения у этого уравнения, ибо, как правило, именно такие решения представляют интерес при исследовании экономических моделей. При этом диапазон изучаемых моделей от уравнений с монотонными непрерывными дифференцируемыми (по Фреше) операторами F(x) до уравнений с разрывными монотонно-разложимыми операторами, т.е. операторами, допускающими представление в виде разности F(x) = Fx (х) - F2 (х) двух монотонных операторов. Изучены уравнения с вогнутыми (выпуклыми) операторами F(x). Столь значительное различие в свойствах изучаемых операторов объясняется стремлением охватить возможно большее число моделей, представляющих практический интерес. Например, модель Леонтьева, предусматривающая не просто уменьшение содержания вредных отходов в окружающей среде до заданного уровня, а утилизацию вредных отходов, сводится к уравнению с монотонно-разложимым оператором.

Для большинства рассматриваемых моделей

1. Устанавливаются условия продуктивности моделей, т.е. условия существования неотрицательного решения для всех с>9, либо для векторов с из некоторого класса неотрицательных векторов.

2. Условия единственности неотрицательного решения модели

3. Изучается вопрос о сходимости различных алгоритмов приближенного решения этой модели (метод последовательных приближений, модифицированный метод Ньютона, метод Ньютона-Канторовича) и проводится сравнительный анализ разных методов с точки зрения простоты реализации, а также скорости сходимости.

4. Устанавливается квадратичная скорость сходимости метода Ньютона.

5. Рассмотрена модель поведения во времени отраслевого дохода при изменяющемся во времени внешнем потреблении, заданном в денежном выражении при наличии лага в расходовании отраслевого дохода. В частности, доказано существование сбалансированно-растущего решения, находящегося в резонансе с внешнем потреблением, а также свойство относительной устойчивости сбалансированно-растущего решения этой модели.

6. Указано развитие принципа неподвижной точки Биркгофа для уравнения с немонотонным разрывным оператором.

1. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с равномерно вогнутыми операторами//Сибирский математический журнал. 1963. Т.4, № 2. С.268-286.

2. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал . 1961. Т.2, № 3. С.313-330.

3. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968. 270 с.

4. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Физматгиз, 1967. 415 с.

5. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. -М.: Наука, 1961. 407 с.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

7. Задорская Н.И., Радченко В.В. Исчисление полных трудовых затрат с учетом нелинейности функции отраслевых издержек // В кн. методы моделирования и обработки информации. Новосибирск: Наука, 1976. С.23-38.

8. Канторович Л.В., Акилов Т.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. 684 с.

9. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Гостехиздат, 1956. 546 с.

10. Ю.Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

11. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. 421 с.

12. Функциональный анализ. Под ред. С.Г.Крейна. М.: Наука, 1972. 544 с.

13. И.Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 544 с.

14. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. К теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. -1969. Т.10, № 3. С.565-572.

15. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 с.

16. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 396 с.

17. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные нелинейные системы. М.: Наука, 1985. 256 с.

18. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покорный В.В., Стеценко В.Я. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений. ДАН Тадж.ССР, 1974. T.XVII, № 1. С.12-15.

19. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи математических наук. 1948, № 3. Выпуск 1. С.3-95.

20. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

21. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. 279 с.

22. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972. 518 с.23.0пойцев В.И., Хурадзе Т. А. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Тбилиси: изд-во Тбилисского ун-та, 1984. 269 с.

23. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 327 с.

24. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения. М.: ИЛ., 1960. 270 с.

25. Радченко В.В., Стеценко В.Я. Применение метода Ньютона-Канторовича для расчета нелинейного межотраслевого баланса // В сб. Модели и методы экономических целенаправленных систем. Новосибирск: Наука, 1977. С. 160-166.

26. Стеценко В.Я., Есаян А.Р. К вопросу о разрешимости уравнений второго рода // Известия АН Таджикской ССР. 1964. Т.2 (15). С.13-35.

27. Стеценко В.Я. О неподвижных точках нелинейных отображений // Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10, № 3. С.642-652.

28. Стеценко В.Я. Критерии неразложимости линейных операторов // Успехи математических наук. 1966, № 21. Выпуск 5. С.265-267.

29. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс. д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. 307 с.

30. Стеценко В.Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов // ДАН СССР. 1968. Т.178, № 5. С.1021-1024.

31. Стеценко В.Я. Теоремы устойчивости разностных уравнений в нормированном кольце // В сб. Методы моделирования и обработки информации. Новосибирск: Наука, 1976. С.53-61.

32. Стеценко В .Я. Нелинейная задача о собственных векторах // ДАН Таджикской ССР. 1973. T.XVI, № 4. С.5-8.

33. Стеценко В.Я. Критерии неразложимости линейных операторов // Успехи математических наук. 1966. Т.21. Вып.5 (131). С.265-266.

34. Стеценко В.Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора // Успехи математических наук. 1967. Т.22. Вып.З (135). С.242-244.

35. Стеценко В.Я., Филин В.А. Признаки разрешимости нелинейной задачи на собственные значения и нелинейного резольвентного уравнения // ДАН Таджикской ССР. 1974. Т.17, № 8. С.12-16.

36. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. M.-JL: Физматгиз, 1963. 612 с.

37. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору линейных и нелинейных положительных операторов // Ставрополь: СтГТУ, 1993. 26 с. Деп. В ВИНИТИ, 1069-В-93.

38. Стеценко В.Я. О банаховых пространтсвах с двумя конусами // Л.: ЛГПИ, 1962. 7 с.

39. Thompson A.C. On certain centaction mappungs in a partially ordered vector space // Proc. Amer. Math. Soc. 14, № 3. 1963. C.438-443.

40. Урысон П.С. Труды по топологии и другим областям математики. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. Т.1. 320 с.