автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное исследование задач оптимального управления для моделей леонтьевского типа

Келлер Алевтина Викторовна

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 7 НОЯ 2011

ЧЕЛЯБИНСК - 2011

005002662

Работа выполнена в Южно-Уральском государственном университете.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Свиридюк Георгий Анатольевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чистяков Виктор Филимонович; доктор физико-математических наук, профессор Кадченко Сергей Иванович; доктор физико-математических наук, доцент Сукачева Тамара Геннадьевна.

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет».

Защита состоится 30 ноября 2011 года в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при Южно-Уральском государственном университете, по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76, ауд. 1001.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южио-Уральского государственного университета.

Ведущая организация:

Автореферат разослан « октября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена разработке новых качественных и приближенных методов исследования математических моделей экономических и технических систем, реализуемых в виде класса задач оптимального управления для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Актуальность обусловлена наличием большого количества прикладных задач и тем, что их решение требует построения алгоритмов, трудно реализуемых в численных расчетах и базирующихся на результатах современных математических теорий. Именно развитие теорий уравнений соболевского типа и оптимального управления позволило поставить вопрос о численном исследовании как существующих задач для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и новых задач в рамках сложившихся направлений математического моделирования, например, моделей межотраслевого баланса.

Балансовые модели, или модели В. Леонтьева1, успешно разрабатывались как сложные межотраслевые модели и модельные комплексы с последующим прогнозным расчетом развития. Широко известны работы А.О. Баранова, Н.И. Ведуты, А.Г. Гранберга, B.JI. Исаева, Ф.Н. Клоцвога, В.И. Маевского, В.К. Озерова, В.Н. Павлова, Н.Ф. Шатилова, Ю.В. Яременко и др. Впервые оптимизационные межотраслевые межрегиональные модели построил А.Г. Гранберг2, им исследовалась задача оптимального управления для динамической балансовой модели с начальным условием Коши, где'в качестве функционала качества принято потребление конечного продукта. Затем в монографии под редакцией В.Ф. Кротова3 аналогичная задача была рассмотрена для вырожденной динамической модели.

В настоящее время теория межотраслевого баланса активно развивается. В нашей стране ведутся исследования в ИЭОПП СО РАН

1 Леонтьев, В.В. Межотраслевая экономика / В.В. Леонтьев,- М.: Экономика, 1997.

2Гранберг, А. Г. Динамические модели иародпого хозяйства / А.Г. Гранберг.

- М.: Экономика, 1985. - 239 с.

3Основы теории оптимального управления / В.Ф. Кротов, Б.А. Лагоша, С.М. Лобанов и др.; под ред. В.Ф. Кротова. - М.: Высш.шк., 1990. - 430 с.

под руководством чл.-корр. В.И. Суслова, в ставропольской школе E.JI. Торопцевым и его учениками Т.Г. Гурнович, О.О. Бутовой, Ма-раховским A.C. и в др. коллективах. За рубежом исследования в области балансовых моделей ведутся К. Алмоном, Д. Найхусом, Р. Хор-стом, Дж. Верлингом, Т. Хасегава, Ш. Ли, Ш. Пэном, Г. Осханом, П. С алмоном, Б. Стовером и Ф. Улрихом и др.

Отметим, что при построении динамической балансовой модели матрица удельных капитальных затрат, т.е. матрица при производной, всегда содержит нулевые строки. Таким образом, изначально динамическая система является вырожденной, но ее решение классическими методами невозможно, поэтому обычно агрегированием она сводится к невырожденной, но при этом требуются специальные методики как для построения матриц, так и для интерпретации результатов с дополнительным анализом их адекватности. Отличие данной работы состоит в том, что предлагаемые в ней подходы позволяют исследовать получаемые вырожденные динамические балансовые модели без дополнительных преобразований.

Вырожденная система обыкновенных дифференциальных уравнений является конечномерным случаем уравнения соболевского типа. Несмотря на то, что систематическое изучение начально-краевых задач для таких уравнений начал С. JI. Соболев в 40-х годах прошлого столетия, теория уравнений соболевского типа активно развивается последние 20 лет. В этой области активно работают P.E. Шо-уолтер, А.Фавини, А.Яги, Г.В. Демиденко, C.B. Успенский, Н.В. Сидоров, М.В. Фалалеев, М.О. Корпусов, И.В. Мельникова, С.Г. Пятков, А.И. Кожанов, Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева, В.Е. Федоров и др. Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свириднжом4. Отметим, что результаты исследования задач с начальным условием Шоуолтера-Сидорова для уравнений соболевского типа, послужившие базой для данного исследования, появились сравнительно недавно.

В работах А.Г. Гранберга показана неустойчивость решений ди-

4Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators ) G. A. Sviridyuk, V. E. Pedorov.- Utrecht: VSP, 2003.- 216 pp.

намической балансовой модели, проявляющаяся в разбалансирован-ности экономической системы. Для того, чтобы избежать этого, необходимо управлять экономической системой. Вместе с тем управление в рыночных условиях предусматривает различное целеполагание, а не только повышение потребления, как в ранее исследуемых задачах. Это актуализирует моделирование экономических систем с построением различных задач оптимального управления для вырожденной динамической балансовой модели.

Теория оптимального управления для неразрешенных относительно производной уравнений активно развивается последние десятилетия. Одной их первых работ, посвященных управлению сингулярными системами, является монография L. Dai5, в которой рассматриваются и прикладные аспекты проблемы. В этой области широко известны работы Ж.-Л. Лионса6, А.В.Фурсикова7, Г.А. Куриной, С.Л. Кэмбелла, В.Д. Террела, П. Мюллера. Теоретической базой данного исследования стали работы Г.А. Свиридюка, A.A. Ефремова, O.A. Рузаковой, H.A. Манаковой, В.Е. Федорова, М.В. Плехановой.

В настоящее время численные методы решения как начальных задач для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и задач оптимального управления для этих систем находятся в стадии формирования. Здесь необходимо отметить работы представителей иркутской математической школы - Ю. Е. Боярин-дева8, В. Ф. Чистякова9, М.В. Булатова, A.A. Щегловой, челябинской математической школы - Г.А. Свиридюка, C.B. Брычева и И.В. Бурлачко. Свиридюком Г.А. впервые было предложено вырожденные

5Dai L. Singular control system: Lecture notes in control and information sciences, 118./ L. Dai - Berlin, Heidelberg. N.Y.: Springler-Verlag, 1989.

6Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе.- М.: Мир, 1972.- 412 с.

7 Фурсиков, A.B. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / A.B. Фурсиков - Новосибирск: Научная книга, 1999 - 350 с.

8Бояринцев, Ю. Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев.- Новосибирск: Наука, 1988257 с.

9 Чистяков, В. Ф. Алгсбро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В. Ф. Чистяков - Новосибирск: Наука, 1996.- 278 с.

системы обыкновенных дифференциальных уравнений называть «системами леонтьевского типа». В процессе моделирования к системе леонтьевского типа, кроме начальных, могут добавляться условия, определяемые реальным объектом, поэтому получаемую модель будем называть в данном исследовании «моделью леонтьевского типа».

Актуальность данного исследования подтверждает и то, что полученные результаты могут быть использованы как в решении существующих задач гидродинамики10, метрологии11, так и в решении новых, например, задач оптимального измерения, предложенных A.JI. Шестаковым и Г.А. Свиридюком. Численные исследования задачи оптимального измерения с учетом инерционности измерительного устройства в настоящее ведутся Е.И. Назаровой, работа включена в тематику направления развития «Энергосбережение в социальной сфере» программы «Национальный исследовательский университет» ЮУрГУ.

Цель и задачи работы Целью данной работы является разработка, исследование и реализация в виде программного комплекса методов и алгоритмов численного решения класса задач оптимального управления для моделей леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера - Сидорова.

Для достижения цели необходимо реализовать следующие задачи:

1. Сформировать класс задач оптимального управления для систем и моделей леонтьевского типа, определить критерии выбора задачи оптимального управления и ввести параметры, необходимые при моделировании экономической системы.

2. Разработать численный метод решения задачи Шоуолтера -Сидорова для систем леонтьевского типа с последующей адаптацией его для вырожденных динамических балансовых моделей (моделей леонтьевского типа)

3. Разработать численный метод решения задач оптимального и

10Зильберглейт Л. С. Спектральная теория регулярных волноводов / A.C. Зильберглейт, Ю.И. Копилевич. - Л.: Изд-во АН СССР ФТИ, 1983. - 301 с.

11 Шестаков, А. JI. Динамическая точность измерительного преобразователя с корректирующим устройством в виде модели датчика / A.JI. Шестаков // Метрология. - 1987. - № 2. - С. 26 - 34.

жесткого управления для систем леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера - Сидорова. Доказать сходимость приближенного решения к точному. Адаптировать результаты для модели леонтьевского типа

4. Разработать численный метод решения задач стартового и стартового жесткого управления для систем леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера - Сидорова. Доказать сходимость приближенного решения к точному. Адаптировать результаты для модели леонтьевского типа

5. Разработать методику построения модели леонтьевского типа для предприятия с учетом управления на основе метода построения балансовой модели с учетом «экспорта - импорта» и данных финансовой отчетности предприятия. Опробировать методику на одном из предприятий г. Челябинска.

6. Спроектировать и реализовать программный комплекс для решения задач Шоуолтера - Сидорова, оптимального и жесткого управления, стартового и стартового жесткого для моделей леонтьевского типа.

7. Провести вычислительные эксперименты на модельных и реальных задачах, подтверждающих эффективность предложенных алгоритмов, методов и подходов.

8. Показать возможность применения полученных результатов для моделей других предметных областей.

Методы исследования В работе используются следующие методы исследования: моделирование с использованием системного подхода, абстрактно-логический с использованием методов теории оптимального управления, теории уравнений соболевского типа, эмпирический с использованием проектного подхода.

В основе построения динамической балансовой модели для экономической системы предприятия лежат методы межотраслевого баланса с учетом экспорта и импорта. Использование системного подхода позволило поставить четыре основных вида задач оптимального управления, при этом введение в рассмотрение различных параметров моделирования дало возможность решения большего количества

видов прикладных задач.

В исследовании в качестве основных используются методы теории оптимального управления и вырожденных полугрупп. Метод численного решения задач оптимального и жесткого управления основан на представлении управления в виде вектор-многочленов.

При построении вырожденной динамической балансовой модели предприятия МУП «Производственное объединение водоснабжения и водоотведения» (ПОВВ) и проведении вычислительных экспериментов на базе этого предприятия использован эмпирический метод. При этом проводились длительные исследования, для организации которых использовались элементы проектного подхода, позволившего определить целостность эксперимента, стадии и порядок его разработки.

Научная новизна. В диссертационной работе предлагаются новые подходы в моделировании экономических и технических задач, основанные на использовании класса четырех задач оптимального управления, а основополагающим математическим объектом которых является система леонтьевского типа. Результаты диссертационной работы содержат подробное численное исследование указанных задач: представлены постановки задач, доказаны теоремы о существовании и единственности решения, разработаны и обоснованы эффективные численные методы решения. Отметим, что предлагаемые в данной работе алгоритмы, в отличие от ранее известных, не накладывают ограничения на размер и вид матриц, входящих в систему леонтьевского типа, что обусловлено использованием в качестве начального условия Шоуолтера-Сидорова. Кроме того предложенные алгоритмы могут быть адаптированы к решению задач оптимального управления для моделей леонтьевского типа. Разработан пакет прикладных программ, позволяющих проведение вычислительных экспериментов на модельных и реальных примерах.

Все результаты, выносимую на защиту, являются новыми и получены автором лично. Обоснованность научных положений и выводов, сформулированных в диссертации, подкрепляется сопоставительным анализом разработанных и уже существующих методов и моделей.

Достоверность полученных результатов обеспечена полными доказательствами всех утверждений, причем математическая строгость доказательств соответствует современному уровню. Адекватность построенных моделей, разработанных программ, основанных на подходе, предлагаемом автором, подтверждается тестовыми расчетами на реальном примере.

Теоретическая значимость. Теоретическая значимость результатов и методов диссертационной работы заключается в возможности их использования в качестве инструментария для моделирования в экономике и технике. В работе определены условия выбора задачи оптимального управления из рассматриваемого класса для экономических приложений, предложены новые параметры, необходимые при моделировании экономической системы предприятия, показаны их значимость и экономический смысл. Разработаны методы численного решения начальной задачи Шоуолтера - Сидорова для системы и модели леонтьевского типа, численного решения задач оптимального, жесткого, стартового, стартового жесткого управления, доказана сходимость по норме получаемого приближенного решения к точному для всех задач.

Практическая значимость заключается в применении полученных результатов исследования к задачам прогнозирования и планирования работы экономических систем различного уровня, и прежде всего работы экономической системы предприятия, на основании моделирования и получаемых результатов численного исследования моделей может быть оценена эффективность планирования; разработке и реализации на примере конкретного предприятия методики построения вырожденной балансовой модели предприятия. Проведенные вычислительные эксперименты с использованием полученной модели показали адекватность проведенного экономико-математического моделирования. Полученные результаты могут быть использованы для решения одной из значимых хозяйственных задач - управления транзакционными издержками при развитии предприятия, и в том числе при реализации инновационных проектов. Данная работа создает основу для развития численных исследований новых задач

теории динамических измерений. Для проведения вычислительных экспериментов численные методы и алгоритмы реализованы в виде комплекса программ (С++), причем использованы такие подходы, которые в дальнейшем позволят провести распараллеливание процессов для увеличения скорости вычислений и решения практических масштабных задач.

Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых по указанным тематикам, а также при разработке специальных курсов в основных образовательных программах подготовки магистров по направлениям 010100 - математика и 010400 -прикладная математика и информатика.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Предложена новая методология моделирования экономической системы предприятия с использованием задач оптимального управления для моделей леонтьевского типа и введением в рассмотрение параметров моделирования, позволяющих на базе одной математической модели решать различные экономические задачи.

2. Разработана методика построения модели леонтьевского типа для предприятия с учетом управления на основе метода построения балансовой модели с учетом «экспорта - импорта» и данных финансовой отчетности предприятия. Опробирована методика на предприятии г. Челябинска МУП ПОВВ.

3. Исследована устойчивость моделей леонтьевского типа. Показано в терминах относительного спектра, что решение вырожденной динамической балансовой модели всегда неустойчиво.

4. Разработан численный метод решения задачи Шоуолтера - Сидорова для систем и моделей леонтьевского типа.

5. Разработан численный метод решения задач оптимального и жесткого управления для систем и моделей леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера - Сидорова. Доказана сходимость по норме приближенного решения задачи оптимального и жесткого управления к точному.

6. Разработан численный метод решения задач стартового и стартового жесткого управления для систем и моделей леонтьевского ти-

па с начальным условием Шоуолтера - Сидорова. Доказала сходимость по норме приближенного решения задачи стартового и стартового жесткого управления к точному.

7. Спроектирован и реализован программный комплекс (три программы) для решения задач Шоуолтера - Сидорова, оптимального и жесткого управления, стартового и стартового жесткого для моделей леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера - Сидорова. Показана эффективность предложенных алгоритмов на основании вычислительных экспериментов, проведенных на модельных и реальных задачах.

Полученные результаты соответствуют следующим областям исследования специальности:

1) разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений;

2) развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей;

3) разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий;

4) реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации были представлены на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (Воронеж, 1995,1997,1998, 2010), Всесоюзной научно-технической конференции «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач» (Екатеринбург, 1995, 1998, 2009), Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1995), VI межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1996), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998), Ninth Internationa] Colloquim on Differential Equations (Bulgaria, 1998), 10-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Москва, 2003), Международной конферен-

ции, посвященной 100-летию со дня рождения И.Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск, 2007), Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, 2008), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008), XIV Байкальской школе-семинаре (Северобайкальск, 2008), X-XII, XV Всероссйских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, Сочи, Казань, 2009 - 2011), Третьей Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (Москва, 2010), Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики», посвященный 65-летию со дня рождения В.Н. Врагова (Якутск, 2010), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория эксперимент, практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2011), Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2011)

Также результаты докладывались на семинарах по уравнениям соболевского типа профессора Г. А. Свиридюка в ЮУрГУ (г. Челябинск), на семинаре ИММ УрО РАН под руководством чл.-корр. РАН В.В. Васина (г. Екатеринбург), на семинарах ИПУ РАН под руководством академика С.Н. Васильева и профессора В.Ф. Кротова (г. Москва), на семинаре МаГУ под руководством профессора С.И. Кадченко (г. Магнитогорск), на семинаре ИМ СО РАН под руководством профессора А.И. Кожанова (г. Новосибирск).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 34 научных работах и приведены в конце автореферата, в том числе 10 - в изданиях, включенных в перечень российских рецензируемых научных журналов ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, списка литературы и приложений. Объем диссертации составляет 249 страниц. Библиография содержит 212 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дастся обзор литературы по исследуемой проблематике, определяется цель работы.

Первая глава состоит из семи параграфов и содержит формулировки теорем и определения, которые используются для получения основных результатов диссертации. Первый параграф содержит определения и теоремы об относительно р-ограниченных операторах, теорему об относительном спектре. В п.1.2 приводятся определения и теоремы об инвариантных пространствах линейного уравнения соболевского типа и дихотомиях решений такого уравнения. В п.1.3 приводятся определения и теоремы об относительно р-радиальных операторах. В п.1.4. приводятся постановки класса задач оптимального управления для линейного уравнения соболевского типа и теоремы о существовании и единственности решений таких задач. В п.1.5. содержатся определения и теоремы об относительно р-регулярных матрицах. Пусть Ь и М - квадратные матрицы порядка п, ¿еЬЬ = О, матрица М называется (£, р)-регулярной, если существует А € С такое, чю йеЬ{\Ь—М) ф 0, а оо является полюсом порядка р е {0} и N. В п. 1.6 ставится задача Шоуолтера- Сидорова

[Л^(М)]р+1(г(0)-а;о)=0 (1)

для системы леонтьевского типа

Ьх = Мх + у, (2)

где йеЬЬ = 0, а вектор-функция у : [0;т] -4 Кп, т € К+. На основании существования и единственности решения задачи Шоуолтера -Сидорова (1) для уравнения соболевского типа вида (2) в банаховых пространствах справедлива

Теорема 1.(1.6.1)12. Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна, р е {0} и М, кроме того ¿еШ ф 0. Тогда для любой вектор-функции

12В скобках указана нумерация в диссертации.

У е Ср+1 ([0;т] ,КП) и любого вектора х0 € К" такого, что существует единственное решение х = х(Ь) задачи (1), (2), которое к тому же имеет вид

x(t) = lim xk (у, t) = lim

k—too

k-+oо

- £(М-!(/ - Qk)L)qM-\l - Qk)y"(t)+

q=0

+Xlx0 + f Rl {kLLk {M))*ly{a)da Jo

(3)

Здесь — L (j.iL - M) 1 - левая L-резольвента матрицы M,

/ —1 \ Qk = (M))p+1, Lj

Цр+1)

t-

k(P+i)-i

t-s k(p+l)'

M ] , a I - единич-

А(р + 1) ная матрица порядка п.

При нахождении приближенного решения для вычисления определенного интеграла используется квадратная формула Гаусса. С учетом этого в условиях теоремы 1 приближенное решение задачи (1), (2) примет вид

& (у, о = - Е (M_1 v ~ (/ - Qk) y(,)(i)+

9=0

(4)

где tj = - + -Sj, iOj - веса, Sj - узлы квадратурной формулы Гаусса, а к> К, такого что К = тпаж {fci; fc2}, где t G [0,1],

>Eм(p+и-+1,

щ - коэффициенты многочлена detijiL- M), q - степень многочлена.

В седьмом параграфе представлен алгоритм численного решения задачи (1), (2). Отметим, что результаты, представленные в параграфах 1.6. и 1.7. являются новыми, выносятся на защиту, но являются вспомогательными для численного исследования задач оптимального управления.

Вторая глава состоит из пяти параграфов и посвящена численному решению задач оптимального и жесткого управления для систем леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера - Сидорова. В п.2.1 приводится постановка этих задач, определяются их решения, для чего вводятся в рассмотрение пространства управлений

И = {и € Ь2 ((0, т); Г1): и(р+1> € Ь2 ((0, т); К"), р € {0} и Ы}

В пространстве Я выделим компактное выпуклое множество Ид -множество допустимых управлений.

Задача оптимального управления для системы леонтьевского типа заключается в нахождении пары (и, х(у)) ^¡Хдх X, почти всюду на (0, г), удовлетворяющей системе леонтьевского типа

и состояний

X = {г 6 Ь2 ((0, г); К"): х € Ь2 ((0,т) ;МП)}.

Ьх = Мх + f + Ви

(5)

с начальным условием Шоуолтера-Сидорова (1), при этом

J(v) = шш J(u)

иеив

(6)

Здесь || -¡| и {•) - норма и скалярное произведение в Кп соответственно, С - квадратная матрица порядка п, Аг, - симметричные положительно определенные матрицы, д = 0,1, —,р + 1,6-0,1, ...,р +1. В качестве множества допустимых управлений принимается

Задача жесткого управления заключается в нахождении пары (у,х{у)) е Да х X почти всюду на (0, г), удовлетворяющей системе леонтьевского типа (5) с начальным условием Шоуолтера-Сидорова (1), при этом выполняется (6), где функционал качества имеет вид

На основании результатов о существовании и единственности решения задач оптимального и жесткого управления для уравнений соболевского типа вида (5) в гильбертовых пространствах справедливы теоремы 2 и 3. В отличие от более общих результатов в данной работе приводится вид решения исследуемых задач.

Теорема 2 (2.1.1). Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна, р € М0, т € М+, причем (Ш.М ф 0. Тогда для любых х0 € К", / 6 Яр+1(К'1) существует единственное решение (ь,х(у)) € Да х X задачи оптимального управления (1), (5) - (7), где v - точка минимума функционала качества (7), а х{ь) определяется формулой

<И.

(9)

х(и) = 1ш1 Хк{ г>,£) =

т

Теорема 3 (2.1.2). Пусть матрица М (L,p) -регулярна, р € N0, т е R+, причем detM 0. Тогда для любых х0 е X, f е Hv+1(WJl) существует единственное решение (v,x{v)) G Но х X задачи жесткого управления (1), (5), (б), (9), где v - точка минимума функционала качества (9), a x(v) определяется формулой (10).

В п.2.2 обосновываются непрерывность, ограниченность функционалов качества задач оптимального и жесткого управления. Дается определение сильно выпуклой функции на выпуклом ограниченном множестве и доказывается, что функционалы качества (7) и (9) задач оптимального и жесткого управления являются сильно выпуклыми функциями на множестве допустимых управлений, т.е. для любых и, w в А, для любого а £ [0,1] и для некоторого числа Т > 0 выполняется неравенство

J(au + (1 - а)ш) < а J(u) + (1 - a)J{w) - а(1 - а)Т ||u - w||2 .

В п.2.3 приводятся основные идеи, формулы и этапы алгоритма численного решения задач оптимального и жесткого управления. На примере задачи оптимального управления для систем леонтьевского типа изложим суть метода. Пусть выполнены условия теоремы о существовании и единственности решения, пространство управлений И заменяется на конечномереное пространство it' вектор-мношчленов и1 вида

Подставив и1 - и'(0 вместо и в (7), используя представление (10) и квадратурную формулу Гаусса, получим

(П)

J(4) = min Jfc(u')

u' РНя

ul€Ua

JkW) = £ u E H'V, ч) - ^

?=0 \ >=1

+

Вычислив необходимые для нахождения приближенного решения константы р и К, задачу нахождения оптимального управления в виде (11) сводим к задаче минимизации функционала качества (12) при условиях

р+1 } ||2

E/I^Wf dt<d, (13)

<¡=4

относительно неизвестных коэффициентов оу.

Затем, зная vk, получаем х'к = хк(г>1, t). В результате пара (vlk,xlk) является численным решением задачи (1), (5)-(7).

Алгоритм численного решения задачи жесткого управления аналогичен алгоритму задачи оптимального управления, отличие которого заключается в рассмотрение функционала качества (9).

Сложность алгоритма, вид функционала качества не позволили использовать стандартные численные методы выпуклого программирования, например градиентные, а разработать собственный численный метод для поиска точки минимума и минимума функционала качества.

В п.2.4 доказывается теорема о сходимости по норме приближенных решений задачи оптимального управления.

Теорема 4 (2.4.1). Пусть матрица М (L,p)-регулярна, р € N0, detM ф 0. Функционал (7) является непрерывной, сильно выпуклой, ограниченной на выпуклом компактном множестве iig С il. Пусть (v,x(v)) - точное, а (vlk,xlk) - приближенное решение задачи оптимального управления (1), (5) - (7). Тогда последовательность {й[.} сходится к v по норме ИХ, последовательность {ij.} сходится к x(v) по норме X при к —У со, I —^ оо так, что Jk(v[) —> J{v), причем выполняется неравенство

q\H-v\\2<Mvlk)-J(v).

Доказывается существование повторных пределов v = lim lim vi,

fc->ooi-»oo

x — lim lim xlk. Из (10) следует, что достаточно показать сходимость

fc-+oo 1-»оо

vk —> v при k, I -» оо. Сходимость vlk —>■ vl и v1 —> v доказывается на

основании указанных свойств множества допустимых управлений и функционала качества.

В п. 2.5. доказывается теорема о сходимости по норме приближенных решений задачи жесткого управления.

Теорема 5 (2.5.1). Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна, р 6 ¿еШ ф 0. Функционал (9) является непрерывной, сильно выпуклой, ограниченной на выпуклом компактном множестве На. Пусть (у,х(у)) - точное, а {у1к,хк) - приближенное решение задачи жесткого управления (1), (5), (6), (9). Тогда последовательность {£'{.} сходится ку по норме Н, последовательность {а;^} сходится к х(у) по норме X при к оо, I ос так, что Ый1к) -+ J(v), причем выполняется неравенство

Третья глава состоит из пяти параграфов и посвящена численному решению задач стартового и стартового жесткого управления для систем леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера -Сидорова. В п.3.1 приводится постановка этих задач, определяются их решения, для чего вводятся в рассмотрение пространства

% = {У € Ь2 ((0,т) ;1Г): г/(р+1) € Ь2 ((0,т) ;КП), р е {0} и М}, состояний

ЛГ = {х £ Ь2 ((0,г) ;КП) :хеЬ2 ((0,т) ;КП)}

и управлений И = К". В пространстве 11 выделим замкнутое выпуклое множество Яд - множество допустимых управлений

1Ы12 < А.

Задача стартового управления заключается в нахождении пары (г>о, х(ио)) 6 Ид X X почти всюду на (0,г), удовлетворяющей системе леонтьевского типа (2) с начальным условием Шоуолтера-Сидорова

[Д£(М)]Р+1(х(0)-Ыо) = 0, (14)

при этом

J(v0) - тт J(uo),

(15)

Задача стартового жесткого управления заключается в нахождении пары (г>0, х(у0)) еЯ^хЛ' почти всюду на (0, т), удовлетворяющей системе леонтьевского типа (2) с начальным условием Шоуолтера-Сидорова (14), при этом выполняется (15), а функционал качества имеет вид

На основании результатов о существовании и единственности решения задач стартового и стартового жесткого для уравнений соболевского типа вида (2) в гильбертовых пространствах справедливы теоремы 6 и 7. В отличие от более общих результатов в данной работе приводится вид решения исследуемых задач.

Теорема 6 (3.1.1). Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна, р £ г £ Е+, причем ¿сЬМ Ф 0. Тогда для любой у € 2) существует единственное решение (ио)®(г>ь)) 6 И^хД" задачи стартового управления (2), (Ц) - (16), где ь0 - точка минимума функционала качества (Ц), а ж(г>о) определяется формулой

(17)

х(уо) = Иш Хк(у,у0,1) =

р

к-*+оо

иш - V (м~\1 - як)ь)чм~х{1 - дй)г/(?)(<)+

Теорема 7 (3.1.2). Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна, р £ г 6 К+, причем йеШ ф 0. Тогда для любой у £ 2) существует единственное решение (и0,х(ь0)) € х X задачи стартового жесткого управления (2), (Ц), (15), (17), где г;0 - точка минимума функционала качества (17), а х(ьо) определяется формулой (18).

В п.3.2 обосновываются непрерывность, ограниченность функционалов качества зад&ч стартового и стартового жесткого управления. Доказывается, что функционалы качества задач стартового и стартового жесткого управления являются сильно выпуклыми функциями на множестве допустимых управлений. В п.3.3 приводятся основные этапы алгоритма численного решения задач стартового и стартового жесткого управления. В п.3.4 доказывается теорема о сходимости по норме приближенных решений задачи стартового управления.

Теорема 8 (3.4.1). Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна, р € N0, сЫМ ф 0. Функционал (16) является непрерывной, сильно выпуклой, ограниченной на выпуклом компактном множестве С К". Пусть (г?о,а;(ио)) - точное, а {ук,хк) - приближенное решение задачи стартового управления (1), (Ц) - (16). Тогда последовательность Н} сходится к ъ<а по норме К", последовательность {х*} сходится к х(и0) по норме X при к оо так, что Л{Ък) -»■ ¿М и выполняется неравенство

9||«*-г»||2 < Мъ) -

В п.3.5 доказывается теорема о сходимости по норме приближенных решений задачи стартового жесткого управления.

Теорема 9 (3.5.ы). Пусть матрица М (Ь,р)-регулярпа, р € Ы0, йеЬМ ф 0. Функционал (17) является непрерывной, сильно выпуклой, ограниченной на выпуклом компактном множестве Я^ С К". Пусть (щ,х{у0)) - точное, а (ьк,хк) - приближенное решение задачи стартового жесткого управления (1), (Ц), (15), (17). Тогда последовательность {Ък} сходится к г>о по норме К", последовательность {хк} сходится к агЦ) по норме X при к оо так, что J{щ) « выполняется неравенство

дрк-иоИ2 < Jk(vk) - JЫ■

Четвертая глава состоит из семи параграфов и посвящена моделям леонтьевского типа. В п.4.1 представлено общее описание моделей леонтьевского типа, имеющих экономическое и техническое приложения. В п.4.2 представлены основные положения методики составления вырожденной динамической балансовой модели для предприятия. В п.4.3 с использованием методики, изложенной в предыдущем параграфе, на примере МУП ПОВВ построена модель леонтьевского типа. В качестве производительных видов деятельности в модели приняты: очистка стоков, водоотведение, водоочистка, доставка воды. К обслуживающим видам деятельности в модели отнесены: перекачка сточных вод, подъем воды, отопление (котельные), услуги транспорта и спедтехники, услуги по ремону оборудования, автоматизация производства, диспетчерские службы, анализ качества воды (лаборатории), услуги охраны, столовая, обслуживание зданий и сооружений, работа с клиентами (СП Водосбыт), информационные услуги (СП вычислительный центр), газоспасательная служба, социальная сфера (дом культуры, база отдыха, и пр.), приведение в порядок территорий после ремонта, энергообеспечение, Администрация (инженерные службы, картографические службы, финансово-управленческие службы и т.д. в том числе договорные работы со сторонними организациями). К внешним отраслям отнесены домашние хозяйства и корпоративные клиенты. Таким образом, квадратные матрицы, входящие в состав системы, имеют порядок равный 24.

В п.4.4 представлены отличия в постановке и решении задачи Шо-уолтера - Сидорова для моделей леонтьевского типа, имеющей экономический смысл, по сравнению с результатами п.1.6 и 1.7. Так, необходимо добавить условия

х(0 > о, /(¿)<о, *.е[0,т]. (19)

Неотрицательность валового выпуска х(Ь) обусловлена экономическим смыслом, а неположительность /(<) - редукцией динамической балансовой модели к системе леонтьевского типа и учитывается при задании вектор-функции конечного спроса.

В п.4.5 представлены отличия в постановке, решении и алгоритме решения задач оптимального и жесткого управления для моделей

леонтьевского типа, имеющих экономический смысл, по сравнению с результатами второй главы. Рассматривая в (1), (5)-(7) модель леонтьевского типа - динамическую балансовую модель предприятия -будем полагать:

(С1) рассмотрение уже работающего предприятия, начальное состояние системы - есть валовый выпуск продукции предшествующего периода;

(С2) критерием эффективности управления является достижение плановых значений некоторого показателя CxQ(t) с учетом величины управляющего воздействия.

В силу экономического смысла функционал качества примет вид

j т

= [\\Cx^(u,t)-Cx^(t)fdt+ 9=° О

В т

/(iV,uW(i),u<«>(t))tf, (20)

/3 - весовые коэффициенты целей управления, в = 0,1. Кроме того, добавляются условия

Xi(v,t) >Wi >0, i = 1,2,... ,n, (21)

M < 0. (22)

Именно ограничения (21) обусловили необходимость введения дополнительных операций в вычислительный алгоритм.

Так как значения управления могут быть как отрицательными, так и положительными (отрицательные показывают прибыльную, а положительные убыточную отрасль или вид деятельности), значение d не является величиной с точной экономической интерпретацией, хотя общий смысл заключается в ограничении средств, выделяемых для управления. Учитывая (13), определение величины d при рассмотрении экономико-математических моделей является самостоятельной экономической задачей.

Рассматривая задачу жесткого управления (1), (5), (6), (9) для модели леонтьевского типа будем полагать выполнение (С1) и

(СЗ) критерием эффективности управления является только достижение плановых значений показателя Схо(£), при этом величина управляющего воздействия в текущий момент времени может быть любой, обеспечивающей план.

С учетом экономического смысла добавляются условия (21) и (22).

Кроме того, для задачи жесткого управления имеет место техническое приложение, открывающее перспективное направление исследований в теории и практике динамических измерений.

В п.4.6 представлены отличия в постановке, решении и алгоритме решения задач стартового и стартового жесткого управления для моделей леонтьевского типа, имеющих экономический смысл, по сравнению с результатами третьей главы.

Рассматривая задачу стартового управления (2), (14)-(16) для модели леонтьевского типа будем полагать выполнение (С2) и

(С4) рассмотрение либо вновь созданного предприятия, либо выходящего из кризисного состояния, тогда начальное состояние системы - есть внешнее воздействие, обеспечивающее необходимый на предстоящий период запас материальных благ для работы предприятия, которого у него нет.

В силу экономического смысла добавляются условия (21) и (22), а функционал качества примет вид

! г

.7(«о)=/з£ [ \\СхЫ(у,ио,Ь) М + Р)№и0\\2. (23)

9=0 О

Рассматривая задачу стартового жесткого управления (2), (14), (15), (17) для модели леонтьевского типа будем полагать выполнение (СЗ) и (С4). С учетом экономического смысла добавляются условия (21) и (22).

В п.4.7 представлены результаты исследования устойчивости решений вырожденной динамической замкнутой балансовой модели на основании исследования относительного спектра.

Теорема 10 (4.7.1). Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна, р 6 No, detM Ф 0, матрица LM~l положительна и ß наибольшее по модулю среди точек относительного спектра число ( ß = шах \щ\). Тогда

(i) ß является вещественным и строго положительным;

(ii) ß является простым корнем многочлена det(ßL — М);

(iii) minLj <ß< maxij.

Причем величина 1 /Д есть технологический темп прироста в модели леонтьевского типа как межотраслевой динамической модели. Кроме того, показано, что для такой модели всегда существует хотя бы одна точка относительного спектра, находящаяся в правой полуплоскости. Известно, для устойчивости решений необходимо и достаточно, чтобы все точки спектра находились в левой полуплоскости. Следовательно, решения начальных задач для модели леонтьевского типа как динамической балансовой модели неустойчивы, причем при наличии точек относительного спектра и в левой и правой полуплоскости решения имеют экспоненциальную дихотомию.

Пятая глава содержит описание комплекса программ и состоит из четырех параграфов. В п. 5.1 представлено описание программы, реализующей алгоритм численного решения задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей леонтьевского типа, приведены обобщенная блок-схема алгоритма и блок-схемы основных процедур. В п.5.2 приведено описание программы, реализующей алгоритм численного решения задач оптимального и жесткого управления для моделей леонтьевского типа. Приведены обобщенная блок-схема алгоритма и блок-схема основных процедур поиска приближенного решения, описан модуль ввода начальных данных. В п.5.3 приведено описание программы, реализующей алгоритм численного решения задач стартового и стартового жесткого управления для моделей леонтьевского типа. Приведены обобщенная блок-схема алгоритма и блок-схема основных процедур поиска приближенного решения, описан модуль ввода начальных данных.

В п.5.4 приводится анализ эффективности алгоритма вычисления на основании изменения входных параметров расчета. Проведены расчеты для примера Гранберга при различных параметрах из-

менения шага прямой схемы расчета по строкам матрицы коэффициентов вектор-многочленов: г = 0,5, г = 0,2 г = 0,1; и при г = 0,5 обратной схемы. Результаты, отличаясь на более чем на 0,1 процента, показывают высокую эффективность предложенного алгоритма.

Шестая глава состоит из пяти параграфов и посвящена обзору ряда результатов, полученных в ходе вычислительных экспериментов. В п.6.1 приводятся результаты решения задачи Шоуолтера -Сидорова для трех примеров: Гранберга, небольшого предприятия и основного (для МУП ПОВВ). В каждом из примеров показано разба-лансирование модели с течением времени. Рассмотрим пример Гранберга, матрицы удельных капитальных затрат Ь и удельных прямых затрат М имеют вид:

/1,5 1,6 0,9\ / 0,9 -0,116 —0,075\

¿= 0 0 0 , М= -0,5 0,452 -0,425 \ 0 0 0 / \ 0 0 \ )

Определены начальное состояние системы х0 = ео/(18, 50, 32) и значения валового продукта </(£) = со1(0, 0, -35 - КМ). На рис. 1. приведено решение задачи Шоуолтера-Сидорова для примера Гранберга.

Рис.1. Решение задачи Шоуолтера- Сидорова (пример Гранберга)

На оси абсцисс отмечены значения в рамках периода, равного 1 году, значение 1 /12 соответствует первому месяцу и т.д. На оси ординат отмечены значения валового выпуска продукции в усл. ден. ед.

В п.6.2 приводятся результаты вычислительных экспериментов при решении задачи оптимального управления для двух примеров: Гранберга и основного. На рис. 2. представлены плановые значения Хо(£) и приближенные решения Хк{у1,1) задачи оптимального управления для модели леонтьевского типа (пример Гранберга).

Рис.2. Результаты решения задачи оптимального управления для модели леонтьевского типа (пример Гранберга)

Вектор-многочлены управления имеют вид

у1к1 = 0,001316071 - 2,5396544 + Ы2 - 0,502224£3 + 0,239257844—0,0185203647,

Ц'к2 = -0,00007629395 + 4,3745234 - 0,344944И3 + 0,135498*4

+0,15625t6- 0,02653122t7, vlk3 = -0,021286011t + 0,625i2 - 0,7441521t3+ +0,2758789t4 - 0,0094604491t7.

Для обоих примеров дается интерпретация полученного решения. Затем на примере Гранберга приводятся и интерпретируются результаты для задачи оптимального управления с единичной и отличной от нее матрицы В. Однако определение элементов матрицы В для реальной модели требует самостоятельной экономической методики. В п.6.3 приводятся результаты вычислительных экспериментов при решении задачи жесткого управления для двух примеров: Гранберга и основного. Для каждого из примеров дается интерпретация полученного решения. В п.6.4 на базе основного примера проводится сравнение результатов решения задачи оптимального и жесткого управления для каждого из 22 видов деятельности, построены графики решения, позволяющих наглядно сопоставить и решения и их интерпретации, поясняются особенности практического использования решений задач. Так, значимым аспектом при моделировании является выбор плановых значений. Результаты эксперимента показывают, что для нескольких видов деятельности плановые значения определены руководством некорректно и требуют изменения, т.е. для достижения плановых показателей производительных видов деятельности необходимо предполагать большее, а не пропорциональное увеличение работ в обслуживающих видах деятельности. В п. 6.5 приводятся результаты вычислительных экспериментов при решении задачи стартового и стартового жесткого управления для примера Леонтьева. Для него дается интерпретация полученных решений.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых мучных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Келлер, A.B. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса лин. уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, A.B. Келлер // Изв. ВУЗов. Матем. - 1997. - № 5(420). - С. 60-68.

2. Келлер, A.B. Алгоритм численного решения задачи Шоуолтера-Сидорова для систем леонтьевского типа / A.B. Келлер // Вестиик Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. - 2009. - № 26, Вып.Ю. - С. 82-86.

3. Келлер, A.B. Свойство регуляризуемости и численное решение задачи динамического измерения / A.B. Келлер, Е.И. Назарова // Вестник Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2010 - № 16(192), Вып. 5. - С. 32-38.

4. Келлер, A.B. Алгоритм решения задачи Шоуолтера-Сидорова для моделей леонтьевского типа / A.B. Келлер // Вестник Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия Мат. моделирование и программирование.

- Челябинск, 2011. - № 4, Вып. 7. - С. 40-46.

5. Келлер, A.B. О сходимости численных решений задач оптимального управления для систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, A.B. Келлер // Вестник СамГТУ: серия Физ.-мат. науки. - 2011. - № 2(23). - С. 22-31.

6. Келлер, А. В. Задача стартового управления для моделей леонтьевского типа. Численное решение и вычислительный эксперимент / А. В. Келлер // Наука и бизнес: пути развития (раздел Математические методы и модели). - Москва, 2011. - № 4.- С. 65-72.

7. Келлер, А. В. Об алгоритме решения задач оптимального и жесткого управления / А. В. Келлер // Программные продукты и системы. - Тверь, 2011. - № 3.- С. 170-174.

8. Келлер, A.B. Численное решение задачи стартового жесткого управления для моделей леонтьевского типа. Вычислительный эксперимент / A.B. Келлер // Естественные и технические науки. - 2011.

- № 4 - С. 476-482.

9. Келлер, А. В. Алгоритм численного решения задачи жесткого управления для моделей леонтьевского типа / А. В. Келлер // Глобальный научный потенциал (раздел Математические методы и модели). - Санкт-Петербург, 2011. - № 8. - С. 84-92.

10. Келлер, A.B. Задача оптимального измерения: численное решение, алгоритм программы / A.B. Келлер, Е.И. Назарова // Известия ИГУ. Серия математика. - Иркутск, 2011. - Т.4, № 3. - С.74-82.

Другие научные публикации:

11. Келлер, A.B. SHOWOLTER-SIDOROV PROBLEM (SHOSID PROBLEM) / А. В. Келлер // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010616865.- 14 октября 2010.

12. Келлер, A.B. Численное решение обобщенной задачи Шоуол-тера-Сидорова для системы леонтьевского типа / A.B. Келлер // Диф. уравнения, теория функций и приложения. Межд. конф., тез. докладов. - Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007. - С. 193.

13. Келлер, A.B. Алгоритм численного решения задачи стартового управления для системы леонтьевского типа / A.B. Келлер // Диф.ур-ния. Функциональные пространства. Теория приложений. Межд. конф., ИМ СО РАН. - С. 157-158.

14. Келлер, A.B. Алгоритм решения задачи оптимального управления системой леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера-Сидорова / A.B. Келлер // Дифференциальные и смежные проблемы: труды межд. конф. - Стерлитамак, 2008. - Т. III. С 31-36.

15. Келлер, A.B. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / A.B. Келлер // Обозрение прикладной и промышленной математики.- М., 2009.- Т.16, Вып.2 - С.345-346.

16. Келлер, A.B. Численное решение задачи жесткого управления для системы уравнений леонтьевского типа / A.B. Келлер // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М., 2009. -Т. 16, Вып. 4. - С. 666-667.

17. Келлер, A.B. Численное решение задачи стартового жесткого управления для системы уравнений леонтьевского типа / A.B. Келлер, Е.И. Назарова // Обозрение прикладной и промышленной математики.-М., 2009.- Т.16, Вып.6. - С.1099-1100.

18. Келлер, A.B. Об устойчивости решений систем леонтьевского типа / A.B. Келлер // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна- 2010: тез. докл. - Воронеж, 2010. - С. 78-79.

19. Келлер, A.B. Системы леонтьевского типа: классы задач с начальным условием Шоуолтера-Сидорова и численные решения / A.B. Келлер // Известия ИГУ. Серия Матемематика. - Иркутск,

2010.-ДО 2.-С.30-43.

20. Келлер, А. В. О динамике замкнутой системы уравнений леон-тьевского типа / А. В. Келлер // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М., 2010. - Т. 17, выпуск 2. - С. 271-272.

21. Келлер, А. В. Динамическая балансовая модель как задача оптимального управления / А. В. Келлер // Труды Третьей межд. конф. «Математическое моделирование социальной и экономической динамики». - М.: ЛЕНАНД, 2010. - С. 131-133.

22. Келлер, А. В. О численном решении задачи динамического измерения как задачи жесткого оптимального управления / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Всероссийский научный семинар «Неклассические уравнения математ. физики», Часть I: Тез. докл. / Якутск: Филиал Изд-ва СВФУ:ИМИ, 2010. - С. 67-69.

23. Келлер, А. В. Исследование устойчивости в моделях леон-тьевского типа / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Неклассические уравнения математической физики: Сб.науч. работ. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2010. - С.129-135.

24. Келлер, A.B. О численном решении класса задач оптимального управления для систем леонтьевского типа / A.B. Келлер // Межд. конф. «Совр. проблемы приклад, математики и механики: теория, эксперимент, практика», Тез. Докл. - Новосибирск, 2011. - С.119.

25. Келлер, А. В. О сильной выпуклости функционала качества в задачах оптимального управления для систем леонтьевского типа / А. В. Келлер // Межд. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тез.докл. - Самара, 2011. - С. 68.

26. Келлер, А. В. Инвариантные пространства линейных уравнений типа Соболева с относительно р-секториальными оператором / Г. А. Свиридюк, А. В. Келлер // Тез. докл. Всесоюзной науч.-тех. конф. «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач». - Екатеринбург, 1995. - С. 111.

27. Келлер, А. В. Линейные неавтономные уравнения типа Соболева / Г. А. Свиридюк, А. В. Келлер // Тез.докл. Сибирской конф. по неклассическим уравн. мат. физики. - Новосибирск, 1995. - С. 86.

28. Келлер, А. В. Относительная спектральная теорема / А. В.

Келлер // Вестник Челяб. гос. университета, сер. Матем.Мех. - 1996. - № 1(3). - С. 62-66.

29. Келлер, А. В. Об оптимальном управлении системами леон-тьевского типа / А. В. Келлер // Оптимизация, управление, интеллект.- Иркутск, Ин-т динамики систем и теории управления СО РАН, -2006. - № 1(12). - С. 82-89.

30. Келлер, А. В. Численное решение задачи оптимального управления вырожденной линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями Шоуолтера-Сидорова / А. В. Келлер // Вестник Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2009. - №27 (127), Выпуск 2. - С.50-56.

31. Келлер, А. В. ЗадачаКоши для неавтономных уравнений типа Соболева / А. В. Келлер // Тез. Докл. VI межвуз. Конф. «Матем. Моделирование и краевые задачи». - Самара, 1996. - С. 50-51.

32. Келлер, А. В. Задача Коши для линейного неавтономного уравнения типа Соболева с относительно р-секториальным оператором / А. В. Келлер // Вестник Челяб.гос.пед. университета, сер. Физ.-мат. науки. - 1998. - № 2. - С. 103-105.

33. Келлер, А. В. Об ограниченности решений одного класса нестационарных уравнений соболевского типа / А. В. Келлер // Тез. докл. Третьего Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. - Новосибирск, 1998. - С. 22.

34. Keller, А. V. The Cauchy problem and bounded Solutions of Sobolev-type equations / A. V. Keller // Ninth International Colloquim on Differential Equations, Bulgaria. - 1998.-P.145.

Типография «Два комсомольца» Подписано в печать 18.10.11. Формат 60 х 84 1/16. Печать трафаретная. Усл. иеч. л. 1,87. Уч.-изд. л. 2.

_Тираж 140 экз. Заказ 142/456_

Отпечатано в типографии «Два комсомольца». 454008, г. Челябинск, Комсосольский пр., 2

Обозначения и соглашения

Введение

1 Вспомогательные результаты

1.1 Относительно р-ограниченные операторы.

1.2 Инвариантные пространства и экспоненциальные дихотомии

1.3 Относительно сильно р-радиальные операторы

1.4 Задачи оптимального управления

1.5 Относительно р-регулярные матрицы.

1.6 Численное решение задачи Шоуолтера-Сидорова для систем леонтьевского типа.

1.7 Алгоритм численного решения задачи Шоуолтера-Сидорова для систем леонтьевского типа.

2 Численный метод решения задачи оптимального и жесткого управления для систем леонтьевского типа

2.1 Существование и единственность решений задач оптимального и жесткого управления

2.2 Свойства функционалов качества задач.

2.3 Алгоритм численного решения задач.

2.4 Сходимость приближенного решения задачи оптимального управления.

2.5 Сходимость приближенного решения задачи жесткого управления.

3 Численный метод решения задачи стартового и стартового жесткого управления для систем леонтьевского типа

3.1 Существование и единственность решений задач ста-тртового и стартового жесткого управления

3.2 Свойства функционалов качества задач.

3.3 Алгоритм численного решения задач.

3.4 Сходимость приближенного решения задачи стартового управления

3.5 Сходимость приближенного решения задачи стартового жесткого управления.

4 Модели леонтьевского типа

4.1 Модели леонтьевского типа в экономике и естествознании

4.2 Методика составления модели леонтьевского типа для предприятия

4.3 Пример модели леонтьевского типа для предприятия

4.4 Задача Шоуолтера - Сидорова для модели леонтьевского типа.

4.5 Задачи оптимального и жесткого управления для модели леонтьевского типа.

4.6 Задачи стартового и стартового жесткого управления для модели леонтьевского типа.

4.7 Относительный спектр в анализе динамики моделей леонтьевского типа.

5 Описание комплекса программ

5.1 Программа решения задачи Шоуолтера-Сидорова для моделей леонтьевского типа.

5.2 Программа численного решения задач оптимального и жесткого управления для моделей леонтьевского типа.

5.3 Программа численного решения задач стартового и стартового жесткого управления для моделей леонтьевского типа.

5.4 Анализ эффективности алгоритма вычислений

6 Вычислительные эксперименты для моделей леонтьевского типа

6.1 Задача Шоуолтера - Сидорова.

6.2 Задача оптимального управления

6.3 Задача жесткого управления.

6.4 Сравнительный анализ результатов решения задач оптимального и жесткого управления.

6.5 Задача стартового и стартового жесткого управления

Постановка задач

Пусть Ь и М - квадратные матрицы порядка п, ¿еЬЬ = О, М -(Ь,р)~регулярна [208]. Рассмотрим задачу Шоуолтера-Сидорова

М)]Р+1 (х( 0)-х0) = 0 (0.1.1) для неоднородной линейной системы

Ьх = Мх + у, (0.1.2) где (1еЬЬ = 0, а вектор-функция у : [0; г] —>• Мп, т € М+.

Системы вида (0.1.2) при условии ¿еЬЬ = 0 не имеют единого, принятого всеми, названия, так в [4], [130] их называют алгебро-дифференциальными, в [156], [159], [168] - дифференциально-алгебраическими, в [3], [105] - вырожденными системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые системы вида (0.1.2) было предложено называть системой леонтъевского типа в [81], имея в виду ее прототип - знаменитую балансовую модель В. Леонтьева с учетом запасов [48]. Позже аналогичные системы возникли в задачах гидродинамики [30], метрологии [136] и др. [21],[59]. Однако, впервые системы вида (0.1.2) неразрешенные относительно производной в прикладном аспекте исследовал В. Леонтьев, поэтому, отдавая дань соотечественнику, будем в данной работе следовать названию - системы леонтъевского типа, считая, что оно и все приведенные выше являются синонимами. Вместе с тем, системы леонтьевского типа являются частным случаем уравнений соболевского типа [72], поэтому такое название, с одной стро-ны, позволяет кратко отмечать условие вырожденности системы, с другой - сохраняет некоторые терминологические традиции [10], [15], [189]. Здесь же отметим, что в термины «системы леонтьевского типа» и «модели леонтьевского типа» вложен разный смысл: термин «системы леонтьевского типа» будем употреблять по отношению к (0.1.2) как к математическому объекту, в случае сведения к системе леонтьевского типа конкретной прикладной задачи, будем говорить уже не о системе, а о модели леонтьевского типа. Так при при постановке задачи Шоуолтера-Сидорова для модели леонтьевского типа - вырожденной динамической балансовой модели - необходимо добавить условия x(t)> 0, /(£)< 0, t G [0, т]. (0.1.3)

Заметим, что неотрицательность Xj(t) обусловлена экономическим смыслом - выпуск продукции отрасли j, j = 1 , п, неположительность fi(t) = —gi(t) обусловлена неотрицательностью конечного спроса gi(t) на продукцию отрасли г, г = 1, гг и приведением динамической балансовой модели x(t) = Ax(t) + Lx + g(t) к системе леонтьевского вида.

Для постановки задач оптимального и жесткого управления введем в рассмотрение пространство управлений

U={ueL2 ((0, г); Мп) : и{р+1) G Ь2 ((0, г); Rn) , р G {0} U N}. и пространство состояний

Х = {хеЬ2 ((0, т); En) : х £ Ь2 ((0, г); Rn)}.

В пространстве И выделим компактное выпуклое множество Hg - множество допустимых управлений.

Поставим задачу оптимального управления для системы леон-тьевского типа. Найти пару (v,x(v)) £ Ug х Л? почти всюду на (О, г), удовлетворяющую системе леонтьевского типа

Lx = Mx + f + Bu, (0.1.4) с начальным условием Шоуолтера-Сидорова (0.1.1), при этом

J(v) = min J(u), (0.1.5) и ейэ

1 Г

J(u) = Сх^(и, t) - Cx$\t)

--n J 2 dt+ q=0 0 в T q=0 0

Здесь ||-|| и (•) - норма и скалярное произведение в Мп соответственв Т

Y^ / (Nqu{q){t),u{q\t)}dt. (0.1.6) но, С - квадратная матрица порядка п, Nq - симметричные положительно определенные матрицы, д = 0,р+ 1, 9 — 0,р+ 1. Рассматривая задачу (0.1.1), (0.1.4)—(0.1.6) как модель леонтьевского типа - динамическую балансовую модель предприятия - будем полагать: 1) рассмотрение уже работающего предприятия, начальное состояние системы - есть валовый выпуск продукции предшествующего периода; 2) критерием эффективности управления является достижение плановых значений некоторого показателя Схо(£) с учетом величины управляющего воздействия. В силу экономического смысла функционал качества примет вид

Ли) = 11Са^(М) " Сх$\г) д=о{ и+ д=о{

0.1.7)

3 и 1 — ¡3 - весовые коэффициенты целей управления достижения плановых показателей и минимизации управляющего воздействия соответственно, 9 = 1. Кроме того, добавляются условия

Х{(у, £) > ги{ > 0, г = 1, 2,., п, < о,

0.1.8) (0.1.9) где г^ - нижние границы значений валового выпуска, минимально необходимые для обеспечения деятельности экономической системы. В качестве множества допустимых управлений принимается

Р+1 Тг [

9=0 П

М < ±

0.1.10)

Задача жесткого управления. Найти пару (г>, х(у)) £ Цэ х X почти всюду на (0, т), удовлетворяющую системе леонтьевского типа (0.1.4) с начальным условием Шоуолтера-Сидорова (0.1.1), при этом выполняется (0.1.5), где функционал качества имеет вид

1 }

9=0 {

П.

0.1.11)

Рассматривая задачу жесткого управления (0.1.1), (0.1.4), (0.1.5), (0.1.11) для модели леонтьевского типа - вырожденной динамической балансовой модели предприятия - будем полагать: 1) рассмотрение уже работающего предприятия, начальное состояние системы - есть валовый выпуск продукции предприятия предшествующего периода; 2) критерием эффективности управления является только достижение плановых значений показателя Схо(£), при этом величина управляющего воздействия в текущий момент времени может быть любой, обеспечивающей план. С учетом экономического смысла добавляются условия (0.1.8) и (0.1.9), множество допустимых управлений имеет вид (0.1.10). Кроме экономического приложения для задачи жесткого управления имеет место техническое приложение, открывающее перспективное направление исследований в теории и практике динамических измерений [137], [187].

Для постановки задач стартового и стартового и жесткого управления введем в рассмотрение пространство

0, т); К») : уМ е Ь2 ((0, г); К»), ре {0} и М} и пространство состояний

X = {х 6 Ь2 ((0, г); Мп) : х € Ь2 ((0, г); ШГ)}.

Пространство управлений 11 = Мп. В пространстве 11 выделим замкнутое выпуклое множество И^ - множество допустимых управлении

Р\\2(И<<1. и

Задача стартового управления. Найти пару (уо,х(уо)) е х X почти всюду на (0, г), удовлетворяющую системе леонтьевского типа (0.1.2) с начальным условием Шоуолтера-Сидорова

М)]Р+1 (х(0) - щ) = 0, (0.1.12) при этом

J(vo) = пип Дио), (0.1.13) ио€Иэ

1 г

1{щ) = [ \\Сх^(у,щ,1) - + \\щ\\2 . (0.1.14)

Рассматривая задачу стартового управления (0.1.2), (0.1.12)—(0.1.14) для модели леонтьевского типа - вырожденной динамической балансовой модели предприятия - будем полагать: 1) рассмотрение либо вновь созданного предприятия, либо выходящего из кризисного состояния, тогда начальное состояние системы - есть внешнее воздействие, обеспечивающее нееобходимый на предстоящий период запас материальных благ для работы предприятия, которого у него нет; 2) эффективности управления является достижение плановых значений некоторого показателя Схо(£) с учетом величины управляющего воздействия. В силу экономического смысла добавляются условия (0.1.8) и (0.1.9), множество допустимых управлений имеет вид (0.1.10), а функционал качества примет вид

Задача стартового жесткого управления. Найти пару (г>о5 ^ х X почти всюду на (0, т), удовлетворяющую системе леон-тьевского типа (0.1.2) с начальным условием Шоуолтера-Сидорова (0.1.12), при этом выполняется (0.1.13), а функционал качества имеет вид

Рассматривая задачу стартового жесткого управления (0.1.2), (0.1.12), (0.1.13), (0.1.16) для модели леонтьевского типа - вырожденной динамической балансовой модели предприятия - будем полагать: 1) рассмотрение либо вновь созданного предприятия, либо выходящего из кризисного состояния, тогда начальное состояние системы -есть внешнее воздействие, обеспечивающее нееобходимый на предстоящий период запас материальных благ предприятия; 2) критерием эффективности управления является только достижение плановых значений показателя Схо(£), при этом величина управляющего воздействия в начальный момент времени может быть любой, позволяющей обеспечить план. С учетом экономического смысла добавляются условия (0.1.8) и (0.1.9), множество допустимых управлений имеет вид (0.1.10).

0.1.16)

Целью данной работы является разработка, исследование и реализация в виде программного комплекса методов и алгоритмов численного решения класса задач оптимального управления для моделей леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера -Сидорова.

Для достижения цели необходимо реализовать следующие задачи:

1. Сформировать класс задач оптимального управления для систем и моделей леонтьевского типа, определить критерии выбора задачи оптимального управления и ввести параметры, необходимые при моделировании экономической системы.

2. Разработать численный метод решения задачи Шоуолтера -Сидорова для систем леонтьевского типа с последующей адаптацией его для вырожденных динамических балансовых моделей (моделей леонтьевского типа)

3. Разработать численный метод решения задач оптимального и жесткого управления для систем леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера - Сидорова. Доказать сходимость приближенного решения к точному. Адаптировать результаты для модели леонтьевского типа

4. Разработать численный метод решения задач стартового и стартового жесткого управления для систем леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера - Сидорова. Доказать сходимость приближенного решения к точному. Адаптировать результаты для модели леонтьевского типа

5. Разработать методику построения модели леонтьевского типа для предприятия с учетом управления на основе метода построения балансовой модели с учетом «экспорта - импорта» и данных финансовой отчетности предприятия. Опробировать методику на одном из предприятий г. Челябинска.

6. Спроектировать и реализовать программный комплекс для решения задач Шоуолтера - Сидорова, оптимального и жесткого управления, стартового и стартового жесткого для моделей леонтьевского типа.

7. Провести вычислительные эксперименты на модельных и реальных задачах, подтверждающих эффективность предложенных алгоритмов, методов и подходов.

8. Показать возможность применения полученных результатов для моделей других предметных областей.

Методы исследования

В работе используются следующие методы исследования: моделирование с использованием системного подхода, математический как абстрактно-логический, эмпирический с использованием проектного подхода.

Объектом исследования в работе является вырожденная динамическая балансовая модель предприятия. Прежде всего необходимо отметить, что в основе построения такой модели лежат методы межотраслевого баланса с учетом экспорта и импорта. Основной идеей при составлении и исследовании динамической балансовой модели предприятия является выделение трех групп «отраслей»: внутренние производительные и обслуживающие и внешние. Среди внешних «отраслей» выделены домашние хозяйства и сторонние предприятия. В случае отсутствия управления такой системой, с течением времени в ней начнется расбалансирование. Поэтому использование методов теории оптимального управления в динамических балансовых моделях позволяет перейти к более адекватным моделям леонтъевского типа с учетом управления. Использование системного подхода позволило поставить четыре вида задач, при этом введены в рассмотрение такие параметры, при различных значениях которых возможно получение на порядок большего количества прикладных задач.

Системы леонтьевского типа являются частным, конечномерным случаем линейного неоднородного уравнения соболевского типа (0.1.2) в банаховых пространствах X и В исследовании в качестве основных используются методы теории оптимального управления и методы теории вырожденных полугрупп [173]. Начальная задача вида

L(x(0)-x0) = 0, (0.2.1) была поставлена и изучена в работах P.E. Шоуолтера [170] и, независимо от него, H.A. Сидорова [102], [103], [104]. Впоследствии она стала называться задачей Шоуолтера - Сидорова [98]. К настоящему времени условия однозначной разрешимости задачи Шоуолтера-Сидорова вида (0.1.1) для уравнения (0.1.2) достаточно хорошо изучены [173]. В частности если оператор М (Ь,р) - сильно ра-диален [173], то пространства X и $ расщепляются в прямые суммы 11 = 11° 0 Я1, # = 0 д1 так, что действия операторов Ь и М тоже расщепляются, т.е. Ь Є £{Х°,$°) П ЦЗЄ1,^1) и М Є С1{Х°, $°)ПС1{Х\ 3а). Это обстоятельство дает возможность уравнение (0.1.2), где, возможно, кегЬ ф {0}, редуцировать к регулярному уравнению определенному, возможно, не на всем пространстве X, а только на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство уравнения (0.1.2). Использование же начального условия Шоу-олтера-Сидорова позволяет не проводить проверку принадлежности начальных условий фазовому пространству.

Кроме того, если оператор (£,р)-радиален, тогда посредством аппроксимаций типа Поста-Уиддера может быть построена разре-шающающая полугруппа уравнения (0.1.2) вида

В случае (£, ^-ограниченного оператора существует разрешающая группа уравнения (0.1.2) вида х = Бх + <7,

0.2.2)

0.2.3).

0.2.4)

Отметим, что в конечномерном случае группа (0.2.4) и полугруппа (0.2.3) совпадают, что позволяет при построении численных алгоритмов использовать свойства и тех и других. При построении решения задач оптимального управления, поставленных в предыдущем пункте введения, используются все приведенные выше подходы.

Вместе с тем основной идеей метода численного решения задач оптимального и жесткого управления является поиск управления в виде вектор-многочленов

Именно такое представление обеспечивает: 1) сходимость приближенного решения к точному; 2) плотность множества многочленов в пространстве управлений; 3) выражение решения задачи оптимального управления через коэффициенты многочленов; 4) возможность применения алгоритмов минимизации функции нескольких переменных относительно коэффициентов многочленов при поиске наименьшего значения функционала качества.

При построении вырожденной динамической балансовой модели предприятия МУП «ПОВВ» и проведении вычислительных экспериментов на базе этого предприятия использовался эмпирический метод для проверки теоретических положений работы. При этом проводились длительные и достаточно большие исследования, для организации которых использовались элементы проектного подхо

0.2.5) да, что позволившего определить целостность эксперимента, стадии и порядок его разработки.

Актуальность темы диссертации

Актуальность исследования связана с развитием четырех научных направлений: теория уравнения соболевского типа, теория оптимального управления, численные методы решения вырожденных линейныых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, теория межотраслевых балансовых моделей.

Впервые уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, появились в работе А.Пуанкаре в 1885 году. Первым, кто начал систематическое изучение начально-краевых задач для линейных уравнений вида (0.2.1), где Ь и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы в частных произодных по «пространственным», переменным, а оператор Д^ = О, был С. Л. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. В 1954 году в работе [106] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Результаты этой работы стали началом систематических исследований в данном научном направлении.

В настоящее время теория уравнений соболевского типа переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. С.Л. Соболев, в основном, занимался линейными уравнениями, и его нынешние ученики и последователи составляют обширную и разветвленную научную школу [29], [154], [155]. Наибольший прогресс был достигнут в области линейных уравнений соболевского типа, именно здесь находится большинство из вышедших монографий. Среди них выделим монографии В.Н. Врагова [18], А. Фавини и А. Яги [153], Г.В. Демиденко и C.B. Успенского [22], И. Е. Егорова, С. Г. Пят-кова и С. В. Попова [166], И.В. Мельниковой и А.И. Филенкова [161].

В монографии А.Г. Свешникова, A.B. Алыпина, М.О. Корпу-сова, Ю.Д. Плетнера [72] рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости, как в классическом, так и в сильном и слабом обобщенном смыслах, широких классов задач Коши и начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных высоких порядков, включая псевдопараболические уравнения и уравнения соболевского типа. В случае локальной разрешимости для ряда классов задач получены двусторонние оценки времени разрушения решений. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы решений конкретных задач.

Теорию уравнений в частных производных составного типа распространяет на уравнения нечетного порядка А.И. Кожанов [157].

Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свиридюком. В его совместной с В.Е. Федоровым монографии [173] вводятся и изучаются относительно спектрально ограниченные операторы и порождаемые ими разрешающие группы, выделяются достаточные (а в некоторых случаях и необходимые) условия относительно спектральной ограниченности. Также вводятся в рассмотрение относительно р - секториаль-ные операторы и порождаемые ими аналитические разрешающие полугруппы и относительно р - радиальные операторы и порождаемые ими сильно непрерывные разрешающие полугруппы. В эту монографию вошли результаты Т.А. Бокаревой [5], Т.Г. Сукачевой [110], Л.Л. Дудко [23], В.Е. Федорова [117], A.A. Ефремова [24], Г.А. Кузнецова [42], а также результаты автора данного исследования [37]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации М.М. Якупова [141], С.А. Загребиной [25], C.B. Брычева [10], A.A. Замышляевой [27], И.В. Вурлачко [15], В.О. Казака [35], В.В. Шеметовой [134], О.Г. Китаевой [38], Д.Е. Шафранова [133] и докторская диссертация В.Е. Федорова [118].

Несмотря на большое количество задач оптимального управления для уравнений леонтьевского типа, возникших в последнее время в приложениях, современная математическая литература представляет недопустимо мало образцов их решения. Особенно это относится к неоднородным системам дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной. Рассмотрим основные из имеющихся на данный момент результатов в этой области.

Одной их первых работ, посвященных управлению сингулярными системами, является монография L. Dai [151], в которой рассматриваются и прикладные аспекты проблемы. В частности, L. Dai рассматривает в качестве примера сингулярной системы динамическую систему «затраты-выпуск» В.В. Леонтьева, а для решения сингулярных систем использует алгоритм Вейерштрасса-Кронекера.

S.L. Campbell и W.J. Terrell [174], [175], [148], [149], [150] исследовали вопросы наблюдаемости для системы

E(t)x' + f(t)x = B(t)u, 0.3.1 у = C(t)x, 0.3.2 где Е, F - квадратные матрицы, Е идентично сингулярна на интервале г, х € Мп, и - гладкая вещественнозначная функция входа, C(t) - гладкая матричная функция I х п, определяющая выход системы у. В одной из статей [174] W.J. Terrell применил метод разложения системы (0.3.1), (0.3.2) в прямую сумму ненаблюдаемого подпространства и его наблюдаемого дополнения. Декомпозиция системы относительно наблюдаемости получена с помощью построенного естественного завершения системы (0.3.1), (0.3.2), т.е. системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида з i=0 где

D = jt, b(t) = B(t)u(t),

G и Ri(t) - матрицы (n х п), и ассоциированного с ним проектора Р. Доказана единственность такой декомпозиции для данной конкретной системы в пространстве Е4.

Г.А. Куриной и Х.А. Овезовым в работе [43] рассмотрена оптимизация квадратичного критерия качества на траекториях де-скрипторной системы

А + еВ= С(г)х(г) + £>(*)«(*), ж(0) = х°.

ЛЬ

Для решения задачи используется прямая схема метода пограничных функций, которая заключается в подстановке в условиях задачи постулируемого асимптотического разложения и построение серии задач оптимального управления.

В работе [44] Г.А. Куриной приведены достаточные условия существования ограниченного обратного оператора для линейного-оператора, появляющегося в теории оптимального управления линейными системами в гильбертовом пространстве и имеющего матричное представление вида

Fi 0 f2 \ det F3 -Fi f5 f2 -f4J где F3, F4 - неотрицательные самосопряженные операторы. Обратимость исследуемого оператора используется для доказательства однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи, возникающей из условий оптимальности управления. Схожая проблема рассматривается в статье [45], [46].

P.C. Muller в статье [163] рассматривает дескрипторную линейную систему уравнений

Ex(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) - Cx(t) + Du(t) где x - вектор размерности n, и - n-мерный вектор управления, у - вектор наблюдения размерности т. Матрицы Е, А размерности п х п, а матрицы В, С, D имеют размерность п х r} т х п и тхг соответственно. Основное свойство рассматриваемой системы заключается в том, что гапкЕ < п.

Для рассматриваемой системы уравнений определен функционал качества ч оо г- -| Т г- -1 г -і

X QZ X dt —> min и ZTR и и где

R> О,

QZ ZTR 0.

Алгоритм решения сформулированной задачи основан на приведении матричного пучка (бЕ—А) к канонической форме Вейерштрасса-Кронекера.

Монография Ж.-Л. Лионса [50] и работы А.В.Фурсикова [123, 124] посвящены исследованию задач оптимального управления для распределенных систем, описываемых некорректными краевыми задачами. При этом выразить функцию состояния через функцию управления, вообще говоря, не представляется возможным, и для установления разрешимости задачи используются свойства самого функционала, а также условия нетривиальности, коэрцитивности и для нелинейных по функции состояния систем - так называемое условие компактности.

Важное место в данном обзоре занимают работы Г.А. Свиридю-ка и A.A. Ефремова [96], [97], где доказано существование и единственность решения задачи (0.1.4) - (0.1.6) с начальным условием Коши для случая (L, ^-ограниченности оператора М. Вопросы управляемости для таких задач были решены в работах В.Е. Федорова и O.A. Рузаковой [119]. В диссертации H.A. Манаковой [53] исследовались достаточные условия разрешимости задачи Шоуол-тера - Сидорова (0.1.1) оптимального управления для некоторых полулинейных уравнений соболевского типа. Посредством метода Галеркина в ней построены приближенные решения задач оптимального управления. В работах В.Е. Федорова и М.В. Плехановой [121], [69] используется подход, аналогичный [96], [97]. От указанных результатов, результаты [121] отличаются отсутствием ограничений на начальные условия задачи Коши xq и гораздо более существенными ограничениями, накладываемыми на множество допустимых управлений.

Во многих направлениях исследований с развитием математической теории разрабатываются и совершенствуются численные методы решения прикладных задач, например [34], [73], [74]. В настоящее время численные методы решения как начальных задач для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и задач оптимального управления для этих систем находятся в стадии формирования. Здесь, прежде всего, отметим работы представителей иркутской математической школы - Ю. Е. Бояринцева [3], В. Ф. Чистякова [128], [129], М.В. Булатова [11], [12], [14], A.A. Щегловой [138], [139], [140]. В монографии Ю. Е. Бояринцева и В. Ф. Чистякова [4] предметом изучения является алгебро-дифференциальные неоднородные системы вида (0.1.2) с прямоугольной или вырожденной при всех t G [0, Т] матрицей L(t). Доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для алгебро-дифференциальных систем вида (0.1.2) с регулярной и сингулярной парой постоянных (га х п)-матриц L и М. Исследованию решений задачи

L(t)x = f(x, t), x{t0) = x0 (0.3.3) посвящено большое количество работ В.Ф. Чистякова [127], [130], [131]. Он отмечает, что задача (0.3.3) имеет решения не для любого начального вектора xq. Поэтому В.Ф. Чистяков вводит понятие допустимого для системы (0.3.3) начального словия reo и критерий «ранг-степень» (ненулевой многочлен det(XL — М) удовлетворяет критерию «ранг-степень», если степень многочлена равна рангу матрицы L), на основе этого и доказывает теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши (0.3.3). Наряду с квазилинейным уравнением (0.3.3), В.Ф. Чистяков исследовал уравнение (0.1.2). На основе введенного им понятия индекса системы доказана теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для системы (0.1.2) в предположении, что индекс пучка матриц не превышает двух.

Предпосылкой для данного исследования стали работы Г. А. Сви-ридюка и C.B. Брычева [81], [99], Г.А. Свиридюка и И.В. Бурлачко [82],

В работах Г.А. Свиридюка и C.B. Брычева основные результаты теории относительно р-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов были адаптированы к конечномерной ситуации. Был построен численный алгоритм для решения задачи Коши для системы (0.1.2) в случае, когда свободный член у - постоянный вектор.

Численное решение одной задачи оптимального управления для системы леонтьевского типа с начальным условием Коши впервые исследовано в работах Г.А. Свиридюка и И.В. Бурлачко [82]. Проверка условий принадлежности начальных условий фазовому пространству существенно ограничила размер матирц, входящих в состав системы. Использование в качестве начального условия Шоуолтера - Сидорова (0.1.1) позволяет купировать эту проблему.

На возможность построения динамической балансовой модели для предприятия указывал основоположник метода межотраслевого анализа В.Леонтьев. Для ее изучения в данной работе использовались методы построения межотраслевого баланса с учетом экспорта и импорта. Впервые таблица, описывающая связи между отраслями народного хозяйства, была построена в 1925 году при составлении отчётного баланса народного хозяйства СССР за 1923-1924 хозяйственный год в ЦСУ СССР под руководством П. И. Попова и опубликована ЦСУ СССР в 1926 г. [1]. Будущий нобелевский лауреат В. В. Леонтьев написал статью об этом балансе, положившую начало работе учёного над методологией «затраты -выпуск», которую он в полной мере реализовал затем при построении первых таблиц «затраты - выпуск» для США. Но в 1929 г. И.В. Сталин в речи на конференции марксистов аграрников подверг критике отчетный баланс ЦСУ СССР и работы по составлению межотраслевых балансов возобновились только в конце 50-х годов под руководством академика B.C. Немчинова [61]. А отчетный баланс производства и распределения продукции в народном хозяйстве СССР был разработан в 1959 г и опубликован в 1961 г. В то же время в 1950-х годах в США, Франции, Нидерландах и других развитых странах метод «затраты - выпуск» уже широко применялся на практике. В нашей стране балансы, начиная с 1966 г., стали строить в разрезе союзных республик с пятилетней периодичностью. Последним отчётным балансом советской эпохи стал баланс 1987 г.

В нашей стране огромная роль а разработке методов межотраслевого баланса принадлежит научным коллективам Института экономики и организации промышленного производства СО РАН, Новосибирск. В 1960-е годы под руководством Н.Ф. Шатилова [132], а затем и В.К. Озерова в институте была создана и эксплуатировалась одна из первых в СССР динамических межотраслевых моделей. Примерно в то же время А.Г. Гранберг [21] предложил строить оптимизационные межотраслевые межрегиональные модели (ОМММ), в которых региональные межотраслевые модели объединяются с помощью учёта межрегиональных связей, исходя из необходимости выравнивания региональных уровней потребления населения. Исследования с применением таких моделей успешно ведутся в институте и в настоящее время под руководством чл.-кор. В.И. Суслова [111]. Также широко известны работы исследователей национальной экономики на основе моделей межотраслевого баланса, помимо уже названных, Баранова А.О. [143], Иван-тера В.В. (модель доход-товары) [32], Исаева Б.Л. [33], Клоцвога Ф.Нединамические модели, НИЭИ при Госплане СССР) [39], Ма-евского В.И. (ИЭ РАН) [57], Павлова В.Н. [64], Шатилова Н.Ф.[132], Яременко Ю.В. (модель межотраслевых взаимодействий, ИЭП НТП АН СССР) [60] и др.

Библиометрический анализ (проведённый М.В. Лычагиным на базе метасистемы EconLit по состоянию на начало 2011 г. [52]) показал, что относительное количество публикаций, отнесённых к подразделу «Input-output models», сократилось с 1991г. почти в два раза. Это вполне естественно: сюда включаются работы, в которых развивается метод, а модели «затраты - выпуск» уже весьма развиты. Зато относительное число публикаций, которые в библиографическом описании просто имели словосочетание «input-output» (т.е. использующих метод), не сократилось нисколько. Более того, абсолютное число работ, применяющих этот метод в таких актуальных областях, как энергетика, охрана окружающей среды, дефицит воды, оценка последствий природных и общественных катаклизмов, моделирование эффектов выбросов углекислого газа и т.п., в последние годы растет лавинообразно. Библиометрический анализ прямого и косвенного влияния метода «затраты - выпуск» на другие научные дисциплины, представленный Б. Лосом (Нидерланды) на 17-й Конференции IIOA в Сан-Паулу, дал количественное подтверждение того, что анализ «затраты - выпуск» стал мультидисциплинарной областью [112].

В настоящее время активные исследовательские работы по изучению экономико-математических моделей межотраслевого баласа и их свойств ведутся и в Ставропольской школе Е.Л. Торопцевым [113] и его учениками Т.Г. Гурнович [114], О.О. Бутовой [115], Ма-раховским А.С. [55].

За рубежом исследования в области балансовых моделей ведутся К. Ал моном, Д. Найхусом, Р. Хорстом (Университет шт. Мэриленд, США), Дж. Верлингом (Фонд межотраслевых экономических исследований, США), Т. Хасегава (Университет ЧОУ, Токио),

Ш. Ли (Центр исследований и разработок при Госсовете КНР), Ш. Пэном (Центральный университет экономики и финансов КНР), Г. Осханом (Европейский университет Лефке, Турция), П. Сал-моном (франция), Германии - Б. Стовер, Ф. Улрих (Институт исследований экономических структур университета г. Оснабрюкк, Германия) и др. [71]. Здесь хотелось бы отметить результаты исследования динамики энергоемкости китайской экономики Д. Най-хуса. В ходе аналитической работы им были разработаны методы интеграции межотраслевых балансов и балансов энергоресурсов в натуральном выражении. Ноу-хау работы состоит в использовании вместо обычной «равномерной» переменной времени ^=1 в начальный момент наблюдения, для каждого следующего года) ее «ускоренной» модификации. Такая модификация позволила отразить в регрессионных уравнениях скачкообразный рост энергоэффективности китайской экономики, который обгонял динамику всех макроэкономических показателей.

Подчеркнем, что во всех работах, связанных с построением динамических балансовых моделях отмечается наличие вырожденной матрицы капитальных затрат. Для исследования такой модели классическими способами применяют различные методы агрегирования модели, начиная от разработки специальных методик перехода от вырожденной матрице к невырожденной [56] до разрешения последующих проблем интерпретации получаемых результатов [21].

Особо выделим исследование задач оптимального управления для моделей межотраслевого баланса. Такие задачи ставились и изучались А.Г. Гранбергом [21], В.Ф. Кротовым, Б.А. Лагошей, С.М. Лобановым, Н.И. Данилиной и С.И. Сергеевым [63]. В обоих случаях рассматривался функционал качества максимизирующий функцию потребления.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость результатов и методов диссертационной работы заключается в возможности их использования в качестве инструментария для моделирования в экономике и технике. В работе определены условия выбора задачи оптимального управления из рассматриваемого класса для экономических приложений, предложены новые параметры, необходимые при моделировании экономической системы предприятия, показаны их значимость и экономический смысл. Разработаны методы численного решения начальной задачи Шоуолтера - Сидорова для системы и модели леонтьевского типа, численного решения задач оптимального, жесткого, стартового, стартового жесткого управления, доказана сходимость по норме получаемого приближенного решения к точному для всех задач.

Практическая значимость заключается в применении полученных результатов исследования к задачам прогнозирования и планирования работы экономических систем различного уровня, и прежде всего работы экономической системы предприятия, на основании моделирования и получаемых результатов численного исследования моделей может быть оценена эффективность планирования; разработке и реализации на примере конкретного предприятия методики построения вырожденной балансовой модели предприятия. Проведенные вычислительные эксперименты с использованием полученной модели показали адекватность проведенного экономико-математического моделирования. Полученные результаты могут быть использованы для решения одной из значимых хозяйственных задач - управления транзакционными издержками при развитии предприятия, и в том числе при реализации инновационных проектов. Данная работа создает основу для развития численных исследований новых задач теории динамических измерений. Для проведения вычислительных экспериментов численные методы и алгоритмы реализованы в виде комплекса программ (С++), причем использованы такие подходы, которые в дальнейшем позволят провести распараллеливание процессов для увеличения скорости вычислений и решения практических масштабных задач.

Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых по указанным тематикам, а также при разработке специальных курсов в основных образовательных программах подготовки магистров по направлениям 010100 - математика и 010400 - прикладная математика и информатика.

Апробация

Результаты, изложенные в диссертации были представлены на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (Воронеж, 1995, 1997, 1998, 2010), Всесоюзной научно-технической конференции «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач» (Екатеринбург, 1995, 1998, 2009), Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1995), VI межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1996), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998), Ninth International Colloquim on Differential Equations (Bulgaria, 1998), 10-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Москва-Пущино, 2003), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения И.Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (г. Новосибирск, 2007), Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (г. Стер-литамак, 2008), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (г. Новосибирск, 2008), XIV Байкальской школе-семинаре (г. Иркутск -г. Северобайкальск, - 2008), X-XII, XV Всероссйских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (г. Санкт-Петербург, г. Сочи, г. Казань, 2009 - 2011), Третьей Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (г. Москва, 2010), Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики», посвященный 65-летию со дня рождения В.Н. Врагова (г. Якутск, 2010), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория эксперимент, практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2011), Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2011)

Также результаты докладывались на семинарах по уравнениям соболевского типа профессора Г. А. Свиридюка в ЮУрГУ (г. Челябинск), на семинаре ИММ УрО РАН под руководством чл.-корр/ РАН В.В. Васина (г. Екатеринбург), на семинарах ИПУ РАН под руководством академика С.Н. Васильева и профессора В.Ф. Кротова (г. Москва), на семинаре МаГУ под руководством профессора С.И. Кадченко (г. Магнитогорск), на семинаре ИМ СО РАН под руководством профессора А.И. Кожанова (г. Новосибирск).

Краткое содержание диссертации

Диссертация, кроме введения и списка литературы, содержит шесть глав, три приложения. Список литературы содержит 212 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике.

Первая глава состоит из семи параграфов и содержит формулировки теорем и определения, которые используются при получении основных результатов диссертации. Первый параграф содержит определения и теоремы об относительно р-ограниченных операторах, теорему об относительном спектре. Во втором параграфе приводятся определения и теоремы об инвариантных пространствах линейного уравнения соболевского типа и дихотомиях решений такого уравнения. В третьем параграфе приводятся определения и теоремы об относительно р-радиальных операторах. В четвертом параграфе приводятся постановки класса задач оптимального управления для линейного уравнения соболевского типа и теоремы о существовании и единственности решений таких задач. В пятом параграфе содержатся определения и теоремы об относительно р-регулярных матрицах. В шестом параграфе содержится теорема о существовании и единственности решения задачи Шо-уолтера - Сидорова (0.1.1) для уравнения (0.1.2), приводится вид приближенного решения этой задачи. В седьмом параграфе представлен алгоритм численного решения задачи (0.1.1), (0.1.2). Отметим, что результаты, представленные в параграфах 1.6. и 1.7. являются новыми, выносятся на защиту, но являются вспомогательными для численного исследования задач оптимального управления.

Вторая глава состоит из пяти параграфов и посвящена численному решению задач оптимального и жесткого управления. В первом параграфе вводятся постановка, понятия решения задач оптимального и жесткого управления для систем леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера - Сидорова, приводятся теоремы о существовании и единственности решения этих задач. Во втором параграфе обосновываются непрерывность, ограниченность функционалов качества задач оптимального и жесткого управления. Дается определение сильно выпуклой функции на выпуклом ограниченном множестве и доказывается, что функционалы качества задач оптимального и жесткого управления являются сильно выпуклыми функциями на множестве допустимых управлений Дд- В третьем параграфе приводятся основные идеи, формулы и этапы алгоритма численного решения задач оптимального и жесткого управления. В четвертом параграфе доказывается теорема о сходимости по норме приближенных решений задачи оптимального управления для систем леонтьевского типа. В пятом параграфе доказывается теорема о сходимости по норме приближенных решений задачи жесткого управления для систем леонтьевского типа.

Третья глава состоит из пяти параграфов и посвящена численному решению задач стартового и стартового жесткого управления. В первом параграфе вводятся постановка, понятия решения задач стартового и стартового жесткого управления для систем леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера - Сидорова, приводятся теоремы о существовани и единственности решения этих задач. Во втором параграфе обосновываются непрерывность, ограниченность функционалов качества задач стартового и стартового жесткого управления. Доказывается, что функционалы качества задач стартового и стартового жесткого управления являются сильно выпуклыми функциями на множестве допустимых управлений В третьем параграфе приводятся основные идеи и этапы алгоритма численного решения задач стартового и стартового жесткого управления. В четвертом параграфе доказывается теорема о сходимости по норме приближенных решений задачи стартового управления для систем леонтьевского типа. В пятом параграфе доказывается теорема о сходимости по норме приближенных решений задачи стартового жесткого управления для систем леонтьевского типа.

Четвертая глава состоит из семи параграфов и посвящена моделям леонтьевского типа. В первом параграфе представлены модели леонтьевского типа, имеющие экономическое и техническое приложения. Во втором параграфе представлены общие положения методики составления вырожденной динамической балансовой модели для предприятия. В третьем параграфе с использованием методики, изложенной в предыдущем параграфе, на примере Муниципального унитарного предприятия «Производственное объединений водоснабжения и водоотведения» (г. Челябинск) построена модель леонтьевского типа. В четвертом параграфе представлены отличия в постановке и решении задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей леонтьевского типа, имеющей экономический смысл, по сравнению с результатами пп.1.6 и 1.7. В пятом параграфе представлены отличия в постановке, решении и алгоритме решения задач оптимального и жесткого управления для моделей леонтьевского типа, имеющих экономический смысл, по сравнению с результатами второй главы. В шестом параграфе представлены отличия в постановке, решении и алгоритме решения задач стартового и стартового жесткого управления для моделей леонтьевского типа, имеющих экономический смысл, по сравнению с результатами третьей главы. В седьмом параграфе представлены результаты исследования устйчивости решений вырожденной динамически замкнутой балансовой модели на основании исследования относительного спектра.

Пятая глава содержит описание комплекса программ и состоит из четырех параграфов. В первом параграфе представлено описание программы, реализующей алгоритм численного решения задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей леонтьевского типа, описывающих экономическую систему, приведены обобщенная блок-схема алгоритма и блок-схемы основных процедур. Во втором параграфе приведено описание программы, реализующей алгоритм численного решения задач оптимального и жесткого управления для моделей леонтьевского типа - вырожденных балансовых динамических моделей. Приведены обобщенная блок-схема алгоритма и блок-схема основной процедуры поиска приближенного решения, описан модуль ввода начальных данных. В третьем параграфе приведено описание программы, реализующей алгоритм численного решения задач стартового и стартового жесткого управления для моделей леонтьевского типа - вырожденных балансовых динамических моделей. Приведены обобщенная блок-схема алгоритма и блок-схема основных процедур поиска приближенного решения, описан модуль ввода начальных данных. В четвертом параграфе приводится анализ эффективности алгоритма вычисления на основании изменения входных параметров расчета, прямой схемы расчета на обратную. Результаты показывают высокую эффективность предложенного алгоритма.

Шестая глава состоит из пяти параграфов и посвящена обзору ряда результатов, полученных в ходе вычислительных экспериментов. В первом приводятся результаты решения задачи Шоуолтера - Сидорова для трех примеров: А.Г. Гранберга, небольшого предприятия и основного (для предприятия г. Челябинска). Во втором параграфе приводятся результаты вычислительных экспериментов при решении задачи оптимального управления для двух примеров: А. Г. Гранберга и основного. Для примеров дается интерпретация полученного решения. В третьем параграфе приводятся результаты вычислительных экспериментов при решении задачи жесткого управления для двух примеров: А.Г. Гранберга и основного. Для примеров дается интерпретация полученного решения. В четвертом параграфе на базе основного примера проводится сравнение результатов решения задачи оптимального и жесткого управления. Для каждого из 22 видов деятельности, построены графики решения, позволяющих наглядно сопоставить и решения и их интерпретации, поясняются особенности практического использования решений задач. Так, значимым аспектом при моделировании является выбор плановых значений. Результаты эксперимента показывают, что для нескольких видов деятельности плановые значения определены руководством некорректно и требуют изменения, т.е. для достижения плановых показателей производительных видов деятельности необходимо предполагать большее, а не пропорциональное увеличение работ в обслуживающих видах деятельности. В пятом параграфе приводятся результаты вычислительных экспериментов при решении задачи стартового и стартового жесткого управления для примера В.В. Леонтьева. Для него дается интерпретация полученных решений.

В приложениях представлены свидетельства о регистрации программ, реализующих алгоритмы.

Благодарности

Автор выражает искреннюю и глубокую благодарность своему научному консультанту профессору Г.А. Свиридюку за ценные советы и констуктивную критику в ходе работы над диссертацией; руководству ЮУрГУ за финансовую поддержку участия в конференциях и семинарах; коллективам международного факультета и кафедры уравнений математической физики ЮУрГУ за профессиональную и дружескую поддержку, руководству МУП ПОВВ, особенно Е.В. Ковальчуку и Ю.В. Ивановой, за сотрудничество в организации эксперимента. Особую благодарность выражаю моей семье: маме Надежде Стефановне, мужу Юрию Владимировичу, моим детям Ане и Марине, сестре Ирине Викторовне за понимание, терпение и веру в успех.

1. Архангельский, Ю. С. Межотраслевой баланс / Ю. С. Архангельский, И. И. Коваленко.- К.: Выща шк. Головное издательство, 1988.- 248 с.

2. Бахилина, И. М. Алгоритм решения дифференциальных уравнений, не приведенных к форме Коши / И. М. Бахилина, Д. М. Лернер // Изв. ЛЭТИ. 1980. - № 269. - С. 80-84.

3. Бояринцев, Ю. Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальых уравнений / Ю. Е. Бояринцев.- Новосибирск: Наука, 1988.- 257 с.

4. Бояринцев, Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1998.- 224 с.

5. Бокарева, Т. А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис. . канд. физ.-мат. наук / Т. А. Бокарева; ЛГПИ им. А.И. Герцена.- СПб., 1993.- 107 с.

6. Бокарева, Т. А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева / Т. А. Бокарева, Г. А. Свиридюк // Матем. заметки,- 1994 Т. 55, № 3-С. 3-10.

7. Бояринцев, Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев // Новосибирск: Наука, 1980.

8. Бояринцев, Ю. Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений / Ю. Е. Бояринцев // Новосибирск: Наука, 1996.

9. Бояринцев, Ю. Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю. Е. Бояринцев // Новосибирск: Наука, 2000.

10. Брычев, С. В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. . канд. физ.-мат. наук / С. В. Брычев; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2002.- 124 с.

11. Булатов, М. В. Метод возмущения дифференциально-алгебраических систем / М. В. Булатов // Изв. ВУЗ. Матем. 1997. - № 11. - С. 3-9.

12. Булатов, М. В. Об одном классе разностных схем для численного решения дифференциально-алгебраических систем / М. В. Булатов // ЖВМиМФ. 1998. - Т. 38, № 10. - С. 16411650.

13. Булатов, М. В. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений / М. В. БулаTOB, В. Ф. Чистяков // ЖВМиМФ. 2002. - Т. 42, № 4. -С. 459-470.

14. Булатов, М. В. Об интегро-дифференциальных системах с вырожденной матрицей перед производной / М. В. Булатов // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38, № 5. - С. 692-697.

15. Бурлачко, И. В. Исследование оптимального управления системами уравнений леонтьевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / И. В. Бурлачко; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2005.- 122 с.

16. Вайнберг, М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг М.: Наука, 1972 - 415 с.

17. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев.- М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.- 552 с.

18. Врагов, В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В. Н. Врагов,- Новосибирск: НГУ, 1983.- 179 с.

19. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц, 4-ое изд. / Ф.Р. Гантмахер- М.: Наука, 1988 592 с.

20. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Гре-гер, К. Захариас- М.: Мир, 1978 336 с.

21. Гранберг, А. Г. Динамические модели народного хозяйства / А.Г. Гранберг. М.: Экономика, 1985. - 239 с.

22. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский.- Новосибирск: Науч. кн., 1998.- 438 с.

23. Дудко, Л. Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. . канд. физ.-мат. наук / Л. Л. Дудко Новгород, 199688 с.

24. Ефремов, А. А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / А. А. Ефремов; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 1996.102 с.

25. Загребина, С. А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис. . канд. физ.-мат. наук / С. А. Загребина; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2002.- 100 с.

26. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера-Сидорова / С.А. Загребина // Изв. ВУЗ. Матем., 2007.- № З.-С. 22-28.

27. Замышляева, А. А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. . канд.физ.-мат. наук / А. А. Замышляева; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2003.- 101 с.

28. Замышляева, A.A. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска-Лява / A.A. Замышляева, A.B. Юзеева // Вестник Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия Мат. моделирование и программирование. Челябинск, 2010. - № 16(192). - С. 23-31.

29. Зеленяк, Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными / Т. И. Зеленяк.- Новосибирск, 1970. 164 с.

30. Зилъберглейт, А. С. Спектральная теория регулярных волноводов / A.C. Зильберглейт, Ю.И. Копилевич. Л.: Изд-во АН СССР ФТИ, 1983. - 301 с.

31. Зубова, С. П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С. П. Зубова, К. И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их применение. 1976. - N14. - С.21-39.

32. Ивантер, В. В. Модификация балансовой модели "доход-товары" в равновесную / В.Д. Белкин, В.В. Ивантер, H.H. Константинова, В.Я. Пан // Экономика и математические методы. 1975.- Т. XI. - Вып. 6. - С. 1037-1048.

33. Исаев, В.Л. Интегрированные балансовые системы в анализе и планировании экономики / Б.Л. Исаев. М.: Наука, 1969.

34. Казак, В. О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / В. О. Казак.- Челябинск, 2005.- 99 с.

35. Квадарос, Б. О разрешимости задачи Коши для вырожденного квазилинейного дифференциального уравнения / Б. Квадарос // Литовский мат. сб.- 1980 Т. 20, № 3.- С. 51-55.

36. Келлер, А. В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / А. В. Келлер.- Челябинск, 1997.- 115 с.

37. Китаева, О. Г. Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / О. Г. Китаева.-Магнитогорск, 2006.- 111 с.

38. Клоцвог, Ф.И. Экспериментальные расчеты упрощенной динамической модели межотраслевого баланса / Ф.И. Кло-цворг, В.И. Новичков //Проблемы моделирования народного хозяйства. Новосибирск: Наука, 1970.

39. Корпусов, М. О. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии /Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г.// Журн. вычислит, мат. и мат. физики.-2000.- Т. 4, № 8.- С. 1237-1249.

40. Костюченко, А. Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна / А. Г. Костюченко, Г. И. Эскин // Тр. Моск. матем. об-ва.- 1961.- Т. 10.- С. 273-285.

41. Кузнецов, Г. А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. . канд. физ.-мат. наук / Г. А. Кузнецов; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 1999 105 с.

42. Курина, Г. А. Асимптотический анализ матрично сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управления / Г. А. Курина, X. А. Овезов // Изв. вузов. Мат. 1996. - № 12. - С. 63-74.

43. Курина, Г. А. Обратимость оператора, возникающего в теории управления линейными системами / Г. А. Курина // Мат. заметки 2001. - 70, № 2. - С. 230-236.

44. Курина, Г. А. Обратимость неотрицательно гамильтоновых операторов в гильбертовом пространстве / Г. А. Курина // Дифференц. уравнения. 2001. - 37, № 6. - С. 839-841.

45. Курина, Г. А. Приводимость одного класса оператор-функций к блочно-диагональной форме / Г. А. Курина, Г. В.Мартыненко // Мат. заметки. 2003. - 74, № 5. - С. 789-792.

46. Ленг, С. Введение в теорию дифференциальных многообразий / С. Ленг.- Волгоград: Платон, 1997.- 203 с.

47. Леонтьев, В.В. Межотраслевая экономика / В.В. Леонтьев.-М.: Экономика, 1997.

48. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе,- М.: Мир, 1972,- 412 с.

49. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе М.: Наука, 1987.- 456 с.

50. Лионе, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес М.: Мир, 1971 - 371 с.

51. Манакова, Н. А. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики: дис. . канд. физ.-мат. наук / Н. А. Манакова; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2005.- 124 с.

52. Манакова, H.A. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера-Сидорова для одного уравнения соболевского типа / H.A. Манакова, Е.А. Богонос // Известия Иркут.гос.унта. Сер. Математика. Иркутск, 2010. - Т.3,№ 1. - С.42-50

53. Мараховский A.C. Моделирование, анализ и синтез оптимальных динамических свойств и траекторий развития экономических систем / A.C. Мараховский Ставрополь: Изд-во СГУ, 2008. - 216с.

54. Маевский, В. И. Межотраслевые пропорции общественного производства / В.И. Маевский. М.: Экономика, 1986.

55. Матвеева, И. И. Задача Коши для систем с вырожденной матрицей при производной по времени / И. И. Матвеева // Новосибирск, 1996. (Препринт // РАН. Сиб. отд-ние. Ин-е матем.; № 34).

56. Медведева, Н. Б. Устойчивость монодромных особых точек векторных полей на плоскости : дис. . доктора физ.-мат. наук / Н. Б. Медведева; Мат. ин-т им. В.А. Стеклова РАН. -Москва, 2004. -227 с.

57. Моделирование межотраслевых взаимодействий: монография / Ю. В.Яременко, А. А.Нечаев, В. Е.Мамаев и др.; Ред. Ю. В.Яременко ; ЦЭМИ. М. : Наука, 1984. - 278 с.

58. Немчинов, В. С. Экономико-математические методы и модели. / B.C. Немчинов. М.: Мысль, 1965. - 375 с.

59. Осколков, А. П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С. J1. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ.- 1991.- Т. 198.- С. 31-48.

60. Основы теории оптимального управления / В.Ф. Кротов, Б.А. Лагоша, С.М. Лобанов и др.; под ред. В.Ф. Кротова. М.: Высш.шк., 1990. - 430 с.

61. Павлов, Б. В. Об одном методе численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Б. В. Павлов, А. Я. Повзнер // ЖВМиМФ 1973. - Т. 13. - №4.-С. 1056-1059.

62. Павлов, Б. В. Метод локальной линеаризации при численном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Б. В. Павлов, О. Е. Родионова // ЖВМиМФ- 1987. Т. 27. - 5. - С. 688-699.

63. Павлов, Б. В. Численное решение систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Б. В. Павлов, О. Е. Родионова // ЖВМиМФ- 1994. Т. 34. - № 4. - С. 622-627.

64. Плеханова, М. В. Оптимальное управление распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени: дис. . канд. физ.-мат. наук / М. В. Плеханова; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2006.- 154 с.

65. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Изв. РАН. Теория и системы управления,- 2004-№ 5.- С.40-44.

66. Половинкин, Е. С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа / Е.С. Половинкин, М.В. Балашов.- М.: Физматлит, 2004.

67. Савчишина, К. Е. Итоги XVII Международной конференции по межотраслевому моделированию INFO RUM/ К.Е. Савчишина // Проблемы прогнозирования. 2010. - № 3. - С. 149151.

68. Свешников А. Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Алынин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.-736 с.

69. Сапронов, Ю. И. Конечномерные редукции в экстремальных задачах / Ю. И. Сапронов // Успехи мат. наук.- 1996.- Т.51, № 1.- С. 101-132.

70. Сапронов, Ю. И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариавционных задачах / Ю. И. Сапронов, С. Л. Царев // Математические заметки.- 2000.- Т. 200.-С. 745-754.

71. Свиридюк, Г. А. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений / Г. А. Свиридюк // ДАН СССР.- 1989.- Т. 304, № 2.- С. 301-304.

72. Свиридюк, Г. А. Об одной задаче Showolter / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения,- 1989,- Т. 25, № 2.- С. 338-339.

73. Свиридюк, Г. А. Разрешимость задачи термоконвекции вяз-коупругой несжимаемой жидкости / Г. А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика 1990.- № 12.- С. 65-70.

74. Свиридюк, Г. А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк // Изв. РАН, сер. матем- 1993,- Т. 57, № 3 С. 192-207.

75. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ.- 1994Т. 6, № 5.- С. 252-272.

76. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши Дирихле для одного неклассического уравнения / Г. А. Свиридюк, А. В. Анкудинов // Дифференц. уравнения.- 2003.- Т. 39, № 11. С. 1556 -1561.

77. Свиридюк, Г. А. Численное решение систем уравнений леон-тьевского типа / Г. А. Свиридюк, С. В. Брычев // Изв. вузов. Математика. 2003.- № 8.- С. 46-52.

78. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк Г. А., A.A. Ефремов // Изв. ВУЗ. Матем,- 1996.- № 12-С. 75-83.

79. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, В. О. Казак // Мат. заметки.- 2002.- Т. 71, № 2.- С. 292-297.

80. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для одной обобщенной модели Осколкова / Г. А. Свиридюк, В.О. Казак // Сиб. мат. журн- 2003.- Т.44, № 5.-С.1124-1131.

81. Свиридюк, Г. А. Неустойчивое инвариантное многообразие уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, О. Г. Китаєва // Мат. заметки,- 2006.-Т. 79, № 2.- С. 440-444.

82. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Изв. вузов. Математика.-2003.- № 9.- С. 36-41.

83. Свиридюк, Г. А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Сиб. мат. журн,- 1990.- Т. 31, № 5.- С. 109-119.

84. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева //Дифференц. уравнения.- 1990.— Т. 26, № 2.- С. 250-258.

85. Свиридюк, Г. А. Медленные многообразия одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. математика, механика.- 1991.- № 1- С. 3-20.

86. Свиридюк, Г. А. О разрешимости нестационарной задачи динамики вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Мат. заметки. 1998. - Т.63, N5. - С.442-450.

87. Свиридюк, Г. А. Линейные уравнения соболевского типа: учеб. пособие / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров,- Челябинск: ЧелГУ, 2003. 179 с.

88. Свиридюк, Г. А. Об одной сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений / Г. А. Свиридюк // Дифферент уравн. 1987. - Т. 23. - № 9. - С. 1637-1639.

89. Свиридюк, Г. А. О галеркинских приближениях уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Изв. ВУЗ. Матем. 1989. - № 10. - С. 44-47.

90. Свиридюк, Г. А. О разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравн. (Качеств, теор.). Рязань, 1990. С. 108-115.

91. Свиридюк, Г. А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальнымиоператорами / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // Дифферент уравн. 1995. - Т. 31. - С. 1912-1919.

92. Свиридюк, Г. А. Задача оптимального управления для одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // Изв. ВУЗ. Матем. 1996. - № 12.

93. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загреби-на // Известия Иркут.гос.ун-та. Сер. Математика. - Иркутск, 2010. - Т.3,№ 1. - С.51-72

94. Свиридюк, Г. А. Существование неотрицательных решений системы уравнений Леонтьева / Г. А. Свиридюк, С. В. Бры-чев // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1996. С. 14-17.

95. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство одной неклассической модели / Г. А. Свиридюк, В. В. Шеметова //Изв. вузов. Математика,- 2005.- № 10.- С. 47-52.

96. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г. А. Свиридюк, М. М. Якупов // Дифференц. уравнения.- 1996.- Т. 32, №11.- С. 1538-1543.

97. Сидоров, Н. А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н. А. Сидоров // Мат. заметки,- 1984.- Т. 25, № 4.- С.569-578.

98. Сидоров, Н. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н. А. Сидоров, О. А. Романова //Дифференц. уравнения-1983.- Т. 19, № 9.- С. 1516-1526.

99. Сидоров, Н. А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения.-1987.- Т. 23, № 4.- С. 726-728.

100. Скрипник В. П. Вырожденные линейные системы / В. П. Скрипник // Изв. вузов. Математика 1982 - № 3 - С. 62-67.

101. Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем 1954Т. 18.- С. 3-50.

102. Соболев С. Л. Применение функционального анализа к математической физике / С. Л. Соболев.- Л.: Наука, 1961.- 255 с.

103. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т. Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика 1998 - № 3 - С. 47-54.

104. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости /Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравнения 2000 - Т. 36, № 8-С. 1106-1112.

105. Сукачева, Т. Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / Т. Г. Сукачева. Новгород: НГПИ, 1990.-112 с.

106. Суслов, В. И. Измерение эффектов межрегиональных взаимодействий: модели, методы, результаты / В. И. Суслов, отв. ред. А. Г. Гранберг ; ИЭОПП СО АН СССР. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-е, 1991. - 252 с.

107. Суслов, В. И. Без баланса в стране без царя в голове / В. И. Суслов // Всероссийский экономический журнал ЭКО. - 2011, Ш (443). - С. 5-15.

108. Торопцев E.JI. Моделирование процессов экономической динамики макросистем. Монография / E.J1. Торопцев СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского государственного университета экономики и финансов, 2001. - 135 с.

109. Торопцев E.JI. Прикладной анализ балансовых моделей В. Леонтьева / E.J1. Торопцев, Т.Г. Гурнович. Ставрополь: Кн. Изд-во, 1999.- 224 с.

110. Торопцев E.JI. Численные методы и балансовые модели в макроэкономике / E.JI. Торопцев, Т.Г. Гурнович, О.О.Бутова Ставрополь: Кавказский край, 2000. - 76 с.

111. Трибель, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель.- М.: Мир, 1980.- 664 с.

112. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп уравнений типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / В. Е. Федоров.- Челябинск, 1996.- 104 с.

113. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространств: дис. . д-ра физ.-мат. наук / В. Е. Федоров.- Челябинск, 2005.- 271 с.

114. Федоров, В. Е. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах / В. Е. Федоров, О. А. Рузакова// Мат. заметки 2003 - Т. 74, № 4.- С. 618-628.

115. Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле-Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. матем. журн.- 2005.- Т. 46, № 2.- С. 426-428.

116. Федоров, В. Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения. 2004. - Т 40, № 11. - С. 1548-1556.

117. Федоров, В. Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Федоров // Вестн. ЮУрГУ. 2008.- № 15(115).- С. 89-99.

118. Фурсиков, A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье Стокса и Эйлера / A.B. Фурсиков // Мат. сб.- 1981.- Т.115, № 2,- С.281-307.

119. Фурсиков, A.B. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / A.B. Фурсиков.- Новосибирск: Научная книга, 1999.- 350 с.

120. Хатсон, В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В. Хатсон, Дж. Пим.- М.: Мир, 1983.- 432 с.

121. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри.- М.: Мир, 1985.- 376 с.

122. Чистяков, В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В. Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1996.- 278 с.

123. Чистяков, В. Ф. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской / В. Ф. Чистяков, О. В. Бормотова // Журн. вычислит, мат. и мат. физики.-2004.- Т. 44, № 8,- С. 1380-1387.

124. Чистяков, В. Ф. О системах не типа Коши-Ковалевской индекса (1,к) / В. Ф. Чистяков, С. В. Гайдомак // Вычислительные технологии 2005,- Т. 10, № 2.- С. 45-59.

125. Чистяков, В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. Новосибирск: Наука, 2003.- 320 с.

126. Чистяков, В. Ф. О понятии индекса сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Чистяков // В кн. Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск. 1986. - С. 123-128.

127. Шафранов, Д. Е. Задача Коши для уравнений соболевского типа на римановых многообразиях: дис. . канд. физ.-мат. наук / Д. Е. Шафранов,- Челябинск, 2006. 95 с.

128. Шеметова, В. В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графа: дис. . канд. физ.-мат. наук / В. В. Шеметова,- Магнитогорск, 2005. 109 с.

129. Шестаков, А. Л. Динамическая точность измерительного преобразователя с корректирующим устройством в виде модели датчика / А.Л. Шестаков // Метрология. 1987. - № 2.- С. 26 34.

130. Шестаков, А. Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. 2010. - № 16(192). - С. 116 - 120.

131. Шестаков, А.Л. Динамические измерения как задача оптимального управления / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк, Е.В. Захарова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. - Т. 16, № 4. - С. 732 - 733.

132. Щеглова А. А. Линейные алгебро-дифференциальные системы с переменным отклонением аргумента / А. А. Щеглова // Изв. ВУЗ. Матем. 2002. - № 11. - С. 69-77.

133. Щеглова А. А. К вопросу об обобщенном решении алгебро-дифференциальных систем / А. А. Щеглова // Сиб. мат. ж.- 2002. 43, № 4. - С. 964-973.

134. Щеглова А. А. Устойчивость линейных алгебро-дифференциальных систем / А. А. Щеглова, В. Ф. Чистяков // Дифференц. уравнения. 2004. - 40, № 1. - С. 47-57.

135. Якупов, М. М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики: дис. . канд. физ.-мат. наук / М. М. Якупов; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 1999.- 83 с.

136. Abdelazis N. Н. Degenerate abstract Cauchy problems /N. H. Abdelazis, F. Neubrander // Seminar notes in Funct. Anal, and Part. Dif.Eq. Louisiana Stat Univ. 1991-1992.- P. 1-12.

137. Berger M. S. Folds and cups in Banach spaces, with applications to nonlinear partial differential equations. I /М. S. Berger, P. T. Church, J. G. Timorian // Indiana Univ. Math. J.- 1985.- V. 34, № 1.- P. 1-19.

138. Berger M. S. Folds and cups in Banach spaces, with applications to nonlinear partial differential equations. II /М. S. Berger, P. T. Church, J. G. Timorian // AMS 1988,- V. 307, №- 1.- P. 227244.

139. Brenan К. E. Numerical solution of initial-vaue problems in differential-algebraic equations (ckassics in applied mathematics; 14)/K. E. Brenan, S. L. Campbell, L. R. Petzold // Philadelphia: SIAM 1996.

140. Campbell S. L. Singular system of differential equations. 2. /S. L. Campbell.- San-Francisco: Plitman, 1982.

141. Campbell S. L. Canonical forms and solvable singular systems of differential equations / S. L. Campbell, L. R. Petzold // SIAM Alg. Discr. Methods. 1983. - V.4., № 4. - P. 517-521.

142. Campbell S. L. Duality, observability and controllability or linear time-varying descriptor systems / S. L. Campbell, N. Nichols, W. J. Terrell // Circuits, Systems Signal Process. 1991. - V.10. - P. 455-470.

143. Campbell S. L. Observability of linear time varying descriptor systems / S. L. Campbell, W. J. Terrell // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1991. - V.3. - P. 484-496.

144. Dai L. Singular control system: Lecture notes in control and information sciences, 118./ L. Dai Berlin, Heidelberg. N.Y.: Springier-Verlag, 1989.

145. Devdariani E. N. Maximum Principle for Implicit Control Systems / E. N. Devdariani, Yu. S. Ledyaev // Appl. math, optim. 1999. - № 40. - P. 79-103.

146. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi.- N. Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999.- 236 pp.

147. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev's problem. I / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994.- V. 4, № 1.- P. 18-51.

148. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev's problem. II / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994.- V. 4, № 2.- P. 16-53.

149. Hairer E. The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods / E. Hairer, C. Lubich, M. Roche// Rep CH-1211-Dept. de Mathemat., Universite de Geneve, Switzerland, 1988.

150. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov.-Utrecht: VSP, 1999,- 171 p.

151. Kunkel P. Analysis and numerical solution of control problems in descriptor form / P. Kunkel, V. Mehrmann, W. Rath // Math. Control singular systems. 2001. - № 14. - P. 29-61.

152. Lamour, R. How Floquet-theory applies to differential-algebraic equations / R. Lamour, R. März, R. Winkler. Berlin: Institut für Mathemaatik der Humboldt Universität zu Berlin, 1996.-(Prepr. № 96-15).

153. Lightbourne, J. H. A. Partial functional equations of Sobolev type / J. H. A. Lightbourne //J. Math. Anal. Appl 1983 -V. 93, № 2,- P. 328-337.

154. Melnikova I. V. The Cauchy problem. Three approaches Monograhps and Surveys in Pure and Applied Mathematics / I. V. Melnikova, A. L. Filinkov.- London; N.Y.; Washington, 2001,- 240 p.

155. Miranville A. Exponential attractors for the Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions / A. Miranville, S. Zelik // Math. Meth. Appl. Sci. 2005. - № 28. - P. 709-735.

156. Muller P. C. Linear control design of linear descriptor systems / P. C. Muller // 14th Triennial world congress, Beijing, P.R. China, 1999.

157. Pandolfi, L. Controllability and stabilization for linear systems of algebraic and differential equations / L. Pandolfi //J. Optimiz. Theory and Appl.- 1980.- Vol. 30, № 4.- C.601-620.

158. Pandolfi, L. On the regulator problem for linear degenerate control systems / L. Pandolfi //J. Optimiz. Theory and Appl-1981.- V. 33, № 2,- P.241-254.

159. Pyatkov, S. G. Operator theory. Nonclassical problems / S. G. Pyatkov.- Utrecht; Boston; Tokyo: VSP, 2002.

160. Racke R. The Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions / R. Racke, S. Zheng // Adv. Diff. Eqns. 2003. -№ 8. - P. 83-110.

161. Rheinboldt W. C. Differential-algebraic systems an differential equation on manifolds / W.C. Rheinboldt // Math. Comp. -1984. Vol.43, № 168. - P. 473-482.

162. Showalter, R. E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R. E. Showalter // Pacific J. Math.- 1963.- V. 31, № 3.- P. 787-794.

163. Showalter, R. E. Hilbert space methods for partial differential equations / R. E. Showalter Pitman; London; San Francisco; Melbourne, 1977.-152 pp.

164. Sidorov, N. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev.-Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002.548 pp.

165. Stefany G. Asymptotic behavior of a phase-field system with dynamic boundary conditions / G. Stefany, A. Miranville // .2006.- P. 149-170.

166. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov.-Utrecht: VSP, 2003.- 216 pp.

167. Terrell W. J. Observability and external description of linear time varying singular control systems / W. J. Terrell // Ph.D. thesis, Department of Mathematics, North Carolina State University, Raleigh, NC, 1990.

168. Terrell W. J. The output-nulling space, projected dynamics, and system decomposition for linear time-varying singulat systems / W. J. Terrell // SIAM J. Contr. and Optimiz. 1994. - V.32., № 14. - P.876-889.

169. Whithey, H. Mappings of the plane into the plane / H. Whithey //Ann. Math.- 1955,- V. 62.- P. 374-410.

170. Wu H. Convergence to the equilibrium for the Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions / H. Wu, S. Zheng // J. Diff. Eqns. 2004. - № 204. - P. 511-531.

171. Келлер, А. В. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса лин. уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, А. В. Келлер // Изв. ВУЗов. Матем. 1997. -№ 5(420). - С. 60-68

172. Келлер, А. В. Алгоритм численного решения задачи Шоуолтера-Сидорова для систем леонтьевского типа / А. В. Келлер // Вестник Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. 2009. -№ 26, Выпуск 10. - С. 82-86.

173. Келлер, А. В. Свойство регуляризуемости и численное решение задачи динамического измерения / А. В. Келлер, Е.И. Назарова // Вестник Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия Мат. моделирование и программирование. Челябинск, 2010.-№ 16(192), Выпуск 5. - С. 32-38.

174. Келлер, А. В. Алгоритм решения задачи Шоуолтера-Сидорова для моделей леонтьевского типа / А. В. Келлер // Вестник Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия Мат. моделирование и программирование. Челябинск, 2011. - № 4, Выпуск 7. - С. 40-46.

175. Келлер, А. В. О сходимости численного решения задач оптимального управления для систем уравнений леонтьевского типа / Г. А. Свиридюк, А. В. Келлер // Вестник СамГТУ: серия Физ.-мат. науки. 2011. - № 2(23). - С. 22-31.

176. Келлер, А. В. Алгоритм численного решения задачи жесткого управления для моделей леонтьевского типа / А. В. Келлер // Глобальный научный потенциал (раздел Математические методы и модели). Санкт-Петербург, 2011. - № 8. - С. 84-92.

177. Келлер, A.B. Задача оптимального измерения: численное решение, алгоритм программы / A.B. Келлер, Е.И. Назарова // Известия ИГУ. Серия математика. Иркутск, 2011. - Т.4, № 3. - С.74-82.

178. Келлер, А. В. SHOWOLTER-SIDOROV PROBLEM (SHOSID PROBLEM) / А. В. Келлер // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2010616865. 14 октября 2010.

179. Келлер, А. В. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / А. В. Келлер // Обозрение приклад, и пром. математики. М., 2009. -Т. 16, выпуск 2. - С. 345-346.

180. Келлер, А. В. Численное решение задачи жесткого управления для системы уравнений леонтьевского типа / А. В. Келлер // Обозрение приклад, и пром. математики. М., 2009. -Т. 16, выпуск 4. - С. 666-667.

181. Келлер, А. В. Численное решение задачи стартового жесткого управления для системы уравнений леонтьевского типа /А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Обозрение приклад, и пром. математики. М., 2009. - Т. 16, выпуск 6. - С. 1099-1100.

182. Келлер, А. В. Об устойчивости решений систем леонтьевско-го типа / А. В. Келлер // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2010: тез. докл. - Воронеж, 2010. -С. 78-79.

183. Келлер, А. В. Системы леонтьевского типа: классы задач с начальным условием Шоуолтера-Сидорова и численные решения / А. В. Келлер // Известия ИГУ. Серия Математика. Иркутск, 2010. - № 2. - С. 30-43.

184. Келлер, А. В. О динамике замкнутой системы уравнений леонтьевского типа / А. В. Келлер // Обозрение приклад, и пром. математики. М., 2010. - Т. 17, выпуск 2. - С. 271-272.

185. Келлер, А. В. Динамическая балансовая модель как задача оптимального управления / А. В. Келлер // Труды Третьей межд. конф. «Математическое моделирование социальной и экономической динамики». М.: ЛЕНАНД, 2010. - С. 131133.

186. Тез. докл. / Якутск: Филиал Изд-ва СВФУ:ИМИ, 2010. -С. 67-69.

187. Келлер, А. В. Исследование устойчивости в моделях леон-тьевского типа / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Неклассические уравнения математической физики: Сб.науч. работ. -Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2010. C.vl29-135.

188. Келлер, А. В. О сильной выпуклости функционала качества в задачах оптимального управления для систем леонтьевского типа / А. В. Келлер // Межд. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тез.докл. Самара, 2011. - С. 68.

189. Келлер, А. В. Линейные неавтономные уравнения типа Соболева / Г. А. Свиридюк, А. В. Келлер // Тез.докл. Сибирской конф. по неклассическим уравн. математ.физики. Новосибирск, 12.09.-15.09., 1995. - С. 86.

190. Келлер, А. В. Относительная спектральная теорема / А. В. Келлер // Вестник Челяб. гос. университета, сер. Матем.Мех.- 1996. № 1(3). - С. 62-66.

191. Келлер, А. В. Об оптимальном управлении системами леон-тьевского типа / А. В. Келлер // Оптимизация, управление, интеллект.- Иркутск, Ин-т динамики систем и теории управления СО РАН, -2006. № 1(12). - С. 82-89.

192. Келлер, А. В. Задача Коши для неавтономных уравнений типа Соболева / А. В. Келлер // Тез. Докл. VI межвуз. Конф. «Матем. Моделирование и краевые задачи». Самара, 29.05.31.05., 1996. - С. 50-51.

193. Келлер, А. В. Задача Коши для линейного неавтономного уравнения типа Соболева с относительно р-секториальнымоператором / А. В. Келлер // Вестник Челяб.гос.пед. университета, сер.4 Физ.-мат. науки. 1998. - № 2. - С. 103-105.

194. Keller, А. V. The Cauchy problem and bounded Solutions of Sobolev-type equations / A. V. Keller // Ninth International Colloquim on Differential Equations, Bulgaria, 18-23 of August. 1998.