автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальное управление линейными и квазилинейными системами с фазовыми ограничениями

Введение.

Глава I. Модели оптимального управления процессом погашения инфекционного заболевания.

1. Моделирование процесса инфекционного заболевания в неоднородном сообществе.

2. Дискретная аппроксимация задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями.

3. Численное решение задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями.

Глава II. Линейная задача оптимального управления с фазовыми ограничениями.

1. Постановка задачи.

2. Процесс погашения заболевания в двух социальных группах (аналитическое решение).

3. Построение приближенного оптимального решения задачи численными методами.

4. Анализ результатов численного решения задачи.

Глава III. Нелинейная задача оптимального управления с интегральными и фазовыми ограничениями.

1. Постановка задачи.

2. Квазилинейная задача о распространении эпидемии с учетом смертности населения в однородном сообществе.

3. Модель погашения эпидеми в двух социальных группах.

4. Модель процесса распространения заболевания в однородном сообществе без учета приобретения иммунитета.

На современном этапе развития науки, техники, экономики и экологии большое внимание уделяется развитию математической теории оптимального управления, так как она сочетает в себе фундаментальные математические разработки с актуальными прикладными задачами. Одной из таких актуальных задач является разработка управленческих решений по локализации и погашению инфекционных заболеваний в обществе [8, 10, 74-81]. В настоящее время построено множество математических моделей описывающих динамику процесса эпидемии. Существуют модели для однородного сообщества, разбитого на несколько социальных групп. Модель может учитывать наличие иммунитета (постоянного или временного), факторы естественной рождаемости и смертности и многие другие параметры. На ход процесса заболевания можно влиять различными противоэпидемическими мерами. Наиболее распространенными средствами считаются проведение вакцинации населения, подверженного заболеванию, и медикаментозное лечение инфицированных людей. При некоторых тяжелых заболеваниях контроль за ходом эпидемии осуществляется с помощью изоляции инфицированных людей. Другим методом контроля является проведение программы "Здоровье", которая состоит в организации теле- и радиопередач, лекций и так далее. Эти меры можно рассматривать в качестве управляющих воздействий на ход эпидемии. Работа по созданию, анализу и усовершенствованию моделей ведется постоянно, так как возникают новые жизненные ситуации, которые создают условия и ограничения неучтенные ранее. В диссертационном исследовании разработаны модели:

1) Управление процессом инфекционного заболевания в неоднородном сообществе, состоящего из п социальных групп, с помощью вакцинации.

2) Управление ходом инфекционного заболевания в однородном изолированном сообществе с учетом естественной смертности, при налинии дополнительных ограничений интегрального типа. Контроль над процессом осуществляется с помощью противоэпидемических мер (вакцинация).

3) Управление процессом инфекционного заболевания в однородном сообществе с учетом естественной смертности с помощью вакцинации. При условии, что после перенесенного заболевания иммунитет у населения не приобретается. В основу построения этих моделей положены следующие исходные положения:

• заболевание передается только при встрече инфицированного и здорового человека. Этот процесс характеризуется функцией вида /(х(0> ХО) = Р(х(0> У(0)' х(0" У(0 > гДе функция х(7) - численность населения восприимчивого к заболеванию, функция у((), характеризует количество инфицированных людей в каждый момент времени /. Функция /3{х(1), у(^) характеризует частоту встреч здоровых с больными;

• изменение количества людей, подверженных заболеванию, происходит в результате вакцинации;

• число заболевших людей уменьшается вследствие лечения в условиях карантина;

• в число инфицированных людей не входят люди, которые имеют иммунитет или выздоравливающие в результате какого - либо иного процесса;

• численность людей, подверженных заболеванию, увеличивается вследствие рождаемости населения и убывает из-за естественных причин, не связанных с распространяющимся заболеванием.

• учитывается смертность инфицированных людей, связанная с болезнью. Динамика управляемого процесса хода заболевания в сообществе, состоящем из п социальных групп, описывается следующей системой дифференциальных уравнений: = -2 м (0 л (0 - шл- (0+у. (о у, (о+л,- (о - и, / = 1, п, у г (О = £ РуЛ- (О^у (0 - У/(О я (О - (У! (О(О - V/ Я ,Р)л (0, = М ■ (1)

7 = 1

Здесь уг(?) >0, / = 1,/1 - коэффициент, характеризующий относительную скорость естественного выздоровления в / группе. Слагаемое Уг(0.Уг(0> ¿ = выражает число людей, которые имеют иммунитет или выздоравливают в результате какого-либо иного процесса, величина у~1, 1 = \,п может изменяться от 10 дней до нескольких недель или месяцев, в зависимости от болезни. Л,(/), / = \,п - скорость рождения людей в / социальной группе, цп - коэффициент смертности населения, от естественных причин. Ц-2г(.Уг(0) - коэффициент смертности инфицированных людей в / группе. Функция >,[3), 1 = 1 ,п характеризует скорость введения вакцины в момент времени г1. Функция Р), ¿ = 1,п показывает интенсивность введения карантина в / группе. Слагаемое vJ.(Y,>^,P) 1 = \,п характеризует количество людей, находящихся на лечении в условиях карантина в / социальной группе в момент времени I.

Процесс рассматривается на фиксированном отрезке времени [0,Т].

Ввиду ограниченности технических и финансовых средств на функции управления могут быть наложены ограничения. у(^9Р)бКсй"9 *е[0,Т]. (2)

В силу физического смысла задачи должны выполняться фазовые ограничения 0, ^[0,Т], 1 = 1п. (3)

Целью управления ходом процесса заболевания является выполнение следующих требований:

• количество больных людей не должно превышать заданного числа за все время процесса инфекционного заболевания т

О£\у{(и,уА/В)(й<М{, / = 1,и; (4) о

• минимизация цены заболевания, которая складывается из цены ухода за инфицированными людьми, затратами на вакцинацию и затратами на введение карантина.

Запишем общую стоимость эпидемии за фиксированное время Т:

Е (Р, У, (0 + С» Х> У > Р) + V, У» Р)Уг (0) ;=1

5)

Здесь р{ ,1 = \,п, есть стоимость лечения одного больного в / социальной группе. Обычно относительная стоимость вакцинации с,- , г = 1 ,п, достаточно мала. Цена ухода Ы , / = \,п, за инфицированным, находящимся на карантине, больше, чем лечение инфицированного человека.

Процесс, описанный дифференциальными уравнениями (1), можно назвать управляемым, где управляющими параметрами распространения эпидемии являются вакцинация и введение карантина. Поэтому для решения проблемы можно применить методы теории оптимального управления.

Итак, в диссертационной работе ставится и исследуется актуальная научная задача, формализованная запись которой представлена выражениями

0)-(5).

Эта задача отличается от известных математических моделей погашения инфекционных заболеваний в обществе введением дополнительного ограничения (4).

В связи с введенными ограничениями интегрального типа (4) анализ задачи усложняется, так как фазовые функции и имеют разрывы. Разработанные ранее методы теории оптимального управления для такой постановки требуют уточнения. Поэтому основное внимание в работе сконцентрировано на построении необходимых и достаточных условий оптимальности и их применении для построения численных методов поиска приближенного решения.

Положения, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1) Вычислительные алгоритмы и численные методы нахождения оптимальных решений, построенные на основе применения необходимых и достаточных условий оптимальности для задач оптимального управления с фазовыми и интегральными ограничениями;

2) приложения методов теории оптимального управления к задачам, моделирующим процесс погашения инфекционного заболевания в однородном и неоднородном сообществе.

Диссертационное исследование состоит из 3 глав.

В первой главе формулируется общая математическая постановка исследуемой задачи в виде задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. Рассматриваются свойства этой задачи. Выписан общий вид необходимых и достаточных условий оптимальности для задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. Необходимые условия - в форме принципа максимума Понтрягина, достаточные условия - в форме неравенства Гамильтона - Якоби.

Приводится схема построения дискретной аппроксимации непрерывной задачи. Показано, что предельный переход в условиях оптимальности для дискретной задачи приводит к условиям оптимальности для непрерывной задачи.

Рассматриваются численные методы для приближенного решения задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями: метод штрафных функций, метод проекции градиента, метод сопряженного градиента.

Во второй главе приводится аналитическое решение линейной задачи оптимального управления процессом эпидемии в неоднородном сообществе. Для этого используются необходимые и достаточные условия оптимальности. Исследуются численные методы решения поставленной проблемы путем сравнения. Иллюстрируется эффективность различных численных методов, в зависимости от выбранных параметров задачи.

В третьей главе диссертационной работы рассмотрен ряд моделей процесса распространения инфекционного заболевания в обществе. Формализация данных моделей представляет собой квазилинейную задачу оптимального управления с фазовыми и интегральными ограничениями. Все задачи решены численно. Проанализирована зависимость оптимального решения от параметров задачи.

Основные результаты диссертационного исследования и отдельные положения работы опубликованы в восьми печатных работах (1999 - 2001 гг.) и были представлены на трех региональных научных конференциях и одной международной, а также на постоянно действующих научных семинарах кафедры информатики и методов оптимизации ТвГУ (1998 - 2002 гг.) и ВЦ РАН (2001 -2002 гг.).

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Разработана математическая модель, описывающая управляемый процесс распространения заболевания в однородном и неоднородном сообществах с учетом дополнительных ограничений интегрального типа и влияния управляющих параметров.

2. Построена и изучена модель управления процессом погашения инфекционного заболевания в однородном сообществе с учетом естественной смертности населения, в предположении, что иммунитет после перенесенного заболевания не приобретается.

3. Исследована зависимость численных методов решения сформулированных задач от их параметров. Численные методы основаны на необходимых и достаточных условия оптимальности, для линейных и квазилинейных задач оптимального управления с интегральными и фазовыми ограничениями.

4. Проведено сравнение используемых численных методов решения поставленных задач.

5. Определены значения параметров, при которых в рассмотренных задачах может существовать режим особого оптимального управления.

6. Проанализировано влияние параметров модели, описывающей процесс заболевания, на оптимальное решение.

1. Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи. М.: Наука, 1984.

2. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. Алексеев Н. К. Зависимость множества управляемости от параметра. Иркутск: ИГУ, 1987.

4. Андреева Е. А. Оптимальное управление динамическими системами. Тверь: ТвГУ, 1999.

5. Андреева Е. А., Бенке X. Оптимизация управляемых систем. Тверь: ТвГУ, 1996.

6. Андреева Е. А., Надь Е. Двойственность в теории экстремальных задач. Калинин: КГУ, 1985.

7. Андреева Е. А., Пустарнакова Ю. А., Семыкина Н. А. и др. Модели управляемых систем. Тверь: ТвГУ, 1999.

8. Андреева Е. А., Цирулева В. М. Исследование управляемого процесса распространения эпидемии с помощью введения вакцинации, карантина и программы "Здоровье". Тверь, 1995. Деп. в ВИНИТИ 29.03.95, № 856-В95.

9. Андреева Е. А., Цирулева В. М. Методы оптимизации. Тверь: ТвГУ, 1995.

10. Антипин А. С. О дифференциальных градиентных методах прогнозного типа для вычисления неподвижных точек экстремальных отображений II Дифференц. уравнения. 1995, Т. 31, № 11, С. 1786 -1795.

11. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. Н.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическаятеория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.

12. Берщанский Я. М. Численный метод решения задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями // Управление многосвязных систем: Сб. научн. тр. Ин-т проблем управления. М.: 1988, С. 50 -59.

13. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

14. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

15. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

16. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

17. Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967. 21 .Габасов Р., Кириллова Ф. М. Дискретный принцип максимума II

18. ДАН СССР. 1973. Т. 213, № 1.

19. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

20. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации. Минск: БГУ, 1981.

21. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: 1974.

22. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: ТГУ, 1975.

23. Гноенский Л. С., Каменский Г. А., Эльсгольц Л. Э. Математические основы теории управляемых систем, М.: Наука, 1969.

24. Голиков А. И., Евтушенко Ю. Г. Нетрадиционные условия экстремума в задачах линейного программирования. Тверь: ТвГУ, 2000.

25. Голынтейн Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971.

26. Дмитрук А. В. Квадратичные условия локального минимума для особых граничных управлений. М.: ВЦ АН, 1999.

27. Дмитрук А. В. Квадратичные необходимые и достаточные условия слабого минимума для особых режимов. // Материалы всесоюзного симпозиума по оптимальному управлению и дифференциальным играм. Тбилиси: Мецниереба, 1977 С. 95-100.

28. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Экстремальные задачи при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1965. 5, С. 393-453.

29. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М. Наука, 1982.

30. Евтушенко Ю. Г., Жадан В. Г. К вопросу о систематизации численных методов нелинейного программирования. М.: ВЦ АН, 1988.

31. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М., Наука, 1975.

32. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. С,- Пб., Судпромгиз, 1959.

33. Зубов Н. В. Математические модели и методы исследования динамических систем. Докторская диссертация. М. , 1998.

34. Зубов С. В., Зубов Н. В. Математические методы стабилизации динамических систем. С- Пб., СПбГУ, 1996.

35. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.

36. Калиткин Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

37. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М., Мир, 1977.

38. Колмановский В. Б. Об аппроксимации линейных управляемых систем с последствием II Проблемы управления и теория информации. 1974. Т. 3, № 1.

39. Колмановский В. Б. Оптимальное управление некоторыми нелинейными системами с малым параметром.// ДУ, 1975, Т. XI, вып. 9, С. 1584- 1594.

40. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1989.

41. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

42. Левитин Е. С., Милютин А. А., Осмоловский Н. П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями. II Успехи математических наук, 1978, Т. 33, вып. 6(204), С. 85 148.

43. Милютин А. А. Принцип максимума в общей задаче оптимального управления. М.: Физматлит, 2001.

44. На Цунг-Иен Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. М.: Мир, 1982.

45. Ногин В. Д., Протодьяконов И. О., Евлампиев И. И. Основы теории оптимизации. М.: Высшая школа, 1986.

46. ПолакЭ. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974.

47. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.

48. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р., В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.

49. Пропой А. И. Необходимые условия оптимальности в дискретных задачах. М.: Наука, 1975.

50. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973.

51. Пшеничный Б. Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1969.

52. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике. М. Наука, 1978.

53. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.

54. Романовский И. В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1977.

55. Самарский А. А. Введение в численные методы. М., Наука, 1982.

56. Семыкина Н. А. // «Понтрягинские чтения X». Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ, 1999. С. .

57. Семыкина Н. А. Задача оптимального управления с ограничениями интегрального типа.II Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления: Сб. научн. тр. ВЦ РАН, ТвГУ. Тверь, 2000. С. 78-85.

58. Семыкина Н. А. Задача оптимального управления с ограничениями интегрального типаП Моделирование сложных систем: Сб. научн. тр. Тверь: ТвГУ, 2000. С. 94-97.

59. Семыкина Н. А. Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями// Ученые записки Тверского гос. Ун-та: Сб. научн. тр. Тверь: ТвГУ, 1999. Т.5. С. 45-48.

60. Семыкина Н. А. Линейная задача оптимального управления с фазовыми ограничениями// Тверь: ТвГУ, 2001.(в печати).

61. Семыкина Н. А. Оптимизация квазилинейной системы с интегральным ограничением// Ученые записки Тверского гос. Ун-та: Сб. научн. тр. Тверь: ТвГУ, 2000. Т.6. С. .

62. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М., Наука, 1978.

63. Фиакко А, Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М., Мир, 1972.

64. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

65. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования.// Вестник МГУ, 1959, № 2, с. 25- 32.

66. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1979.

67. Черноусько Ф. JI., Колмановский В. Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

68. Эрроу К., Гурвиц Д., Удзава X. Исследования по линейному и нелинейному программированию. М.: Изд-во ин. лит., 1962.

69. Andersson Н., Djehiche В. A thereshold limit theorem for the stochastic logical epidemic//. Appl. Probab. 1998. 35. № 3. P. 651-661.

70. Behncke H. The control og Deterministic Epidemics // Math. Biosciences. 1992. V.2. P. 101-112.

71. Behncke H. The control og Deterministic Epidemics // Math. Appl. Sci. 1993. V.3.P. 298-311.

72. Morton R., Wickwire K.H. On the optimal control of a deterministic epidemics // Adv. Appl. Prob. 1974. V.6. P. 622-635.

73. Sethi S. Dynamical optimal control models in advertisihg a survey!I SIAM Review. 1977. V.19. P.685-725.

74. Wickwire K.H. A note on the optimal control of carrier-barne epidemics //J. Appl. Prob. 1975. V.12. P. 565-568.

75. Wickwire K.H. Mathematical models for the control of pests and infections diseases//Theor. Popul. Biol. 1977. 11. P. 182-238.

76. Wickwire K.H. Optimal isolation policies for deterministic and stochastic epidemics////Math. Biosciences. 1975. 26. P. 325-346.