автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оптимизация нагрева полого цилиндра с учетом фазовых ограничений

Введение.

Глава 1 Оптимальное управление внешним нагревом полого цилиндра с учетом фазовых ограничений.

§ 1 Моделирование процессов одномерного нагрева с учетом фазовых ограничений. Постановка задачи оптимального быстродействия.

§2 Метод интегральных преобразований. Постановка эквивалентной задачи оптимального управления.

§3 Конечномерная аппроксимация модели.

1.3.1 Априорные оценки погрешности аппроксимации по состоянию.

1.3.2 Сходимость конечномерных аппроксимаций.

1.3.3 Оценки точности выполнения фазовых ограничении.

Глава 2 Решение задачи линейного быстродействия.

§ 1 Задача оптимального быстродействия при отсутствии фазовых ограничений.

2.1.1 Постановка линейной задачи оптимального управления

2.1.2 Многошаговый алгоритм корректировки опорной гиперплоскости.

2.1.3 Рабочий вариант многошагового алгоритма.

§2 Задача оптимального быстродействия с линейными фазовыми ограничениями.

2.2.1 Постановка задачи оптимального быстродействия с линейными фазовыми ограничениями. Сведение ее к задаче без ограничений.

2.2.2 Свойства области достижимости.

2.2.3 Многошаговый алгоритм решения задачи линейного быстродействия с линейными фазовыми ограничениями.

2.2.4 Построение нормали разделяющей гиперплоскости.

2.2.5 Построение опорной гиперплоскости с заданной нормалью.

2.2.6 Уточнение нижней оценки времени быстродействия.

2.2.7 Минимизация функционала р(р,тк).

2.2.8 Сходимость многошагового алгоритма.

§3 Вычислительный эксперимент.

Многие технологические процессы в отраслях промышленности связаны с процессами нагрева материалов, деталей, элементов конструкций. Для повышения производительности технологического процесса требуется выбор оптимальных режимов нагрева.

Проблема оптимизации процессов нагрева исследовалась в работах Ю.Н.Андреева, А.Г.Бутковского, Ф.П.Васильева, В.М.Вигака, С.А.Горбаткова, А.И.Егорова, В.И.Плотникова, Э.Я.Раппопорта, Т.К.Сиразетдинова, Р.П.Федоренко; и наряду с этим проблема оптимизации процессов нагрева с учетом фазовых ограничений изучалась в трудах Ю.Н.Андреева, А.Г.Бугковского, Ф.П.Васильева, В.М.Вигака, Э.Л.Раппопорта, Р.П.Федоренко, Д.Шульца. Необходимо отметить, что несмотря на большую практическую значимость задачи оптимизации процессов нагрева с учетом фазовых (технологических) ограничений изучены в значительно меньшей степени, что связано со сложностью их решения.

Условно имеющиеся работы по оптимальному нагреву с учетом фазовых ограничений можно подразделить на две группы. К первой относятся работы, использующие общие методы по решению эти задач; такие как метод штрафных функций [11], метод последовательной линеаризации Р.П.Федоренко [52], градиентные методы.

Применение метода последовательной линеаризации при решении квазилинейных одномерных задач оптимального нагрева описан в работах [2, 3]; полученные результаты носят характер вычислительных экспериментов. В работе [55] исследована двумерная задача оптимального по быстродействию индукционного нагрева цилиндра конечной длины с учетом ограничений на термонапряжения. Уравнения

Максвелла-Фурье, описывающие процесс индукционного нагрева, и уранения Дюамел я -Неймана, описывающие ограничения на термонапряжения, аппроксимируются методом конечных элементов и дифференциальная задача заменяется задачей нелинейного программирования. Последняя решается с использованием градиентных методов в предположении наличия не более двух переключений управляющего параметра. Метод конечных элементов приводит к громоздкому и трудоемкому алгоритму, сходимость которого не доказана.

Ко второй группе работ можно отнести методы, направленные непосредственно на решение задачи с фазовыми ограничениями. В работах [12,13,53] поиск оптимального по быстродействию управления сводится к поиску допустимых режимов. В первоначальном варианте был предложен инженерный способ параметрической оптимизации, основанный на аналитическом решении задач теплопроводности и термоупругости с последующим сравнением найденных максимальных температур с допустимыми [53]. В дальнейшем в работах [12,13] этот способ был распространен на одномерные задачи оптимального управления в классе непрерывных функций. В работе [13] рассматриваются задачи одномерного оптимального нагрева с учетом сжимающих и растягивающих термонапряжений и линейной зависимости предела прочности от температуры. Предположив, что оптимальный нагрев можно осуществить, двигаясь только по верхним границам наложенных ограничений, решение исходной задачи на отдельных этапах удается свести либо к обычной, либо к неклассической задаче теплопроводности (вместо условий теплообмена на границе задаются термонапряжения). Таким образом определяется допустимый температурный режим нагрева и с помощью граничных условий находится оптимальное по быстродействию управление. Такой подход опирается на заранее известный вид оптимального управления и на одномерность задачи.

Постановка задачи оптимального по быстродействию управления нагревом при постоянных ограничениях на управление и термоупругие напряжения приводится в работах [1,7-9,16,17]. В них решение одномерной задачи быстродействия сводится к решению задачи оптимального управления системой, описываемой бесконечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными ограничениями на фазовые переменные. Последняя аппроксимируется конечномерной задачей оптимального быстродействия с линейными фазовыми ограничениями, конструктивные методы решения которой указаны лишь для двух-трех уравнений. Вопросы сходимости конечномерных аппроксимаций в этих работах не затрагивались.

Задачи оптимального по быстродействию управления одномерными нестационарными температурными режимами с помощью внутренних источников тепла освещены в работах [6,49,53]. В работах [6,53] приведен инженерный способ, позволяющий в аналитическом виде выписать функцию управления. В работе [49] предложен алгоритм поиска оптимального по быстродействию управления в предположении, что заранее известен вид оптимального управления и что фазовые ограничения действуют лищь в определенной последовательности.

Двумерные задачи оптимального нагрева внутренними источниками для случая неограниченных областей (таких как пространство, полупространство и неограниченный слой) изучались в работе [13]. Пользуясь тем, что для указанных областей зависимость термонапряжений от температуры выписывается явно в виде интегральных соотношений, задача определения управления, минимизирующего функционал определенного вида, была сведена к решению трехмерного интегрального уравнения первого рода.

В работах [36,38] исследуется одномерные задачи оптимального управления внешним и индукционным нагревом неограниченной пластины и неограниченного цилиндра с учетом ограничений на растягивающие и сжимающие термонапряжения с учетом зависимости прочностных характеристик от времени, на наибольшую температуру. В предположении постоянства теплофизических и механических коэффициентов задача сводится к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными фазовыми ограничениями. Предложен алгоритм корректировки опорной гиперплоскости, позволяющий эффективно решать эту задачу. Однако задачи оптимального управления нагревом полого цилиндра в них не рассматривались.

В настоящей работе исследована одномерная задача оптимального управления внешним нагревом неограниченного полого цилиндра с учетом ограничений на термонапряжения и предельно допустимую температуру тела. При этом в соответствии с работами [36,38] учитывается зависимость прочностных характеристик от температуры. Последнее обстоятельство имеет немаловажное значение, т.к. в большинстве работ по оптимизации процессов нагрева с учетом ограничений на термонапряжения прочностные характеристики считались постоянными. Из этого предположения следовало, что при нагреве хрупких тел к разрушению нагреваемого изделия приводят растягивающие напряжения, на которые и накладывались соответствующие ограничения. Однако у многих материалов с увеличением температуры величина предела прочности значительно уменьшается [47]. Так, значение предела прочности сплава ЖС6У при температуре 1150° С почти в 6 раз меньше, чем при 20°С [35]. Поскольку в процессе нагрева внешними источниками поверхностные слои прогреваются значительно быстрее, чем внутренние, то, как правило, такие материалы разрушаются не от растягивающих, а от сжимающих напряжений (хотя по абсолютной величине они остаются меньше растягивающих). В общем случае нельзя заранее утверждать, какие именно напряжения приведут к разрушению тела; это зависит от режима нагрева и свойств нагреваемых материалов.

В первой главе изучается задача оптимального нагрева внешними источниками неограниченного полого цилиндра с учетом ограничений на термонапряжения и предельно допустимую температуру тела. В предположении постоянства теплофизических и механических коэффициентов за исключением пределов прочности и текучести, которые аппроксимируются линейными функциями, исходная задача при помощи метода интегральных преобразований сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными фазовыми ограничениями. Бесконечномерной задаче ставится в соответствие конечномерная. Показано, что конечномерные приближения сходятся по функционалу быстродействия, соответствующие им управления слабо в Ь2 сходятся к множеству оптимальных управлений. Выписаны оценки погрешности нормы по состоянию в пространстве L2.

Во второй главе изложен алгоритм корректировки опорной гиперплоскости. Этот алгоритм позволяет эффективно решать задачи линейного быстродействия, описанные системой п дифференциальных уравнений как при отсутствии, так и при наличии фазовых ограничений. Приведены результаты вычислительных экспериментов, которые подтверждают эффективную работу алгоритма корректировки опорной гиперплоскости как при наличии, так и при отсутствии фазовых ограничений.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Н.Д.Морозкину за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения; профессору Ф.В.Лубышеву за внимание и поддержку.

Заключение

В результате выполненной работы получены следующие основные результаты:

- предложена математическая модель оптимального управления внешним нагревом неограниченного полого цилиндра с учетом ограничений на термонапряжения и предельно допустимую температуру тела;

- получены конструктивные оценки сходимости аппроксимаций по состоянию и оценки выполнения фазовых ограничений, позволяющие априорно определять необходимое число членов ряда Фурье для аппроксимации бесконечномерной задачи конечномерной;

- на основе многошагового алгоритма корректировки опорной гиперплоскости разработан комплекс программ, выполнены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективную работу алгоритма при наличии и отсутствии фазовых ограничений.

1. Андреев Ю.Н., Огульник М.Т. Оптимальный по быстродействию нагрев пластины при ограниченных температурных напряжениях. // Кибернетика и управление. М.: Наука, 1967,с.43-52

2. Андреев Ю.Н., Федоренко Р.Г., Черняховский Е.З. Опыт применения приближенных решений задач оптимального управления в инженерно-конструкторских разработках. I // Автоматика и телемеханика, 1980, №8, с. 16-26

3. Андреев Ю.Н., Федоренко Р.Г., Черняховский Е.З. Опыт применения приближенных решений задач оптимального управления в инженерно-конструкторских разработках. II // Автоматика и телемеханика, 1980, №9, с.5-12

4. Боли Б., Уайнер Дж. Теория термоупругих напряжений. -М.: Мир, 1964.-517с.

5. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.гНаука, 1969. -408 е., с.85

6. Бурак Я.И., Гачкевич А.Р. Оптимальные по термонапряжениям режимы индукционного нагрева электропроводного слоя. // Прикладная механика, 1976, т.12, №11, с.62-68

7. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М: Наука, 1965. -476 с.

8. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. М.: Металлургиздат, 1972. -440 с.

9. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. управление нагревом металла. М.: Металлургия, 1981, -272 с.

10. Варгафтик Н.Б. Теплофизические свойства веществ. М. -Д.: Техноэнергоиздат, 1956. -357с.

11. Васильев Ф.П. Методы решения эксремальных задач. М.: Наука, 1981.-400 с.

12. Вигак В.М. Оптимальное управление нестационарными температурными режимами. Киев: Наукова Думка, 1979. -360 с.

13. Вигак В.М. Управление температурными напряжениями и перемещениями. Киев: Наукова Думка, 1988. -313 с.

14. Владимиров B.C. Уравнения математической физики М.: Наука, 1967.-436с.

15. Голичев И.И., Дульцев А.В., Морозкин Н.Д. Об одном итерационном методе решения задачи оптимального нелинейного нагрева с фазовыми ограничениями. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000, т.40, №11, с.1615-1632

16. Голубь Н.Н. Управление нагревом "линейно"-вязко-упругой пластины при ограничении температурных напряжений. // Автоматика и телемеханика, 1966, №2, с. 18-27

17. Голубь Н.Н. Оптимальное управление симметричным нагревом массивных тел при различных фазовых ограничениях. // Автоматика и телемеханика, 1967, №4, с.38-57

18. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления. Л.:ЛГУ, 1968. -144с.

19. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем. Л.:ЛГУ, 1975. -160с.

20. Кирин Н.Е., Морозкин Н.Д. Численное приближение экстремалей управляемых динамических систем. Учебноепособие. Уфа, 1989. -89с.

21. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. -544с.

22. Коробчинская О.Г. Задача оптимизации нагрева неограниченного полого цилиндра с учетом фазовых ограничений // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, Уфа 1-2 июня 2001г., с.43

23. Красовский Н.Н. Управление динамической системой.: Задача о минимуме гарантир. результата. М.: Наука, 1985. -518с.

24. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М: Высшая школа, 1965.-423 е., с.145

25. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. -408с.

26. Ли Э.Б., Маркус П. Основы теории оптимального управления. М.:Мир, 1972. -574с.

27. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.:Наука, 1975. -478с.

28. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М. Высшая школа, 1967. -600с.

29. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.:Наука, 1979. -512с.

30. Морозкин Н.Д. К задаче оптимизации процесса нагрева. // Численные методы решения краевых задач математической физики. -Уфа, БФАН СССР, 1979, с.103-105

31. Морозкин Н.Д. Об одном методе оценки времени оптимального быстродействия в нелинейной задаче управления нагревом // Математические методы моделирования и анализа управляемых процессов. -Ленинград: ЛГУ, 1981, вып 4, с.101-108

32. Морозкин Н.Д. О сходимости некоторых алгоритмов решения задачи линейного быстродействия // Математические методы анализа управляемых процессов. Ленинград:Лгу, 1986, вып.8, сЛ47-154.

33. Морозкин Н.Д., Шапиро С.В. Оптимизация индукционного нагрева сплошного цилиндра с учетом зависимости предела прочности от температуры // Электричество, 1993, №4, с.61-64.

34. Морозкин Н.Д. Оптимальный по быстродействию нагрев массивных тел с учетом фазовых ограничений // Математическое моделирование, 1995, т.7, №5, с.86

35. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление одномернымо нагревом с учетом фазовых ограничений // Математическое моделирование , 1996, т.8, №3, с.91-110

36. Морозкин Н.Д. О сходимости конечномерных приближений по в задаче оптимального одномерного нагрева с учетом фазовых ограничений // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1996, №10, с. 12-22

37. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений: Учебное пособие / Изд-е Башкирск. Ун-та, 1997, 114с.

38. Морозкин Н.Д., Коробчинская О.Г. Оптимизация индукционного нагрева цилиндра с учетом зависимости теп-лофизических коэффициентов от температуры // Тезисы докладов международной конференции ", Саранск, 1994, с.87

39. Морозкин Н.Д., Коробчинская О.Г. Оптимизация индукционного нагрева цилиндра с учетом зависимости теплофизических коэффициентов от температуры // Математическое моделирование, 1995, т.7, №5, с.87

40. Морозкин Н.Д., Коробчинская О.Г. Задача оптимизации нагрева неограниченного полого цилиндра с учетом фазовых ограничений // Тезисы 4 Международной конференции " Дифференциальные уравнения уравнения и их приложения", г. Саранск,2000,с. 87

41. Морозкин Н.Д., Коробчинская О.Г. Задача оптимизации нагрева неограниченного полого цилиндра с учетом фазовыхограничений // Математическое моделирование, 2000,т.12, №3, с37-38

42. Морозкин Н.Д., Коробчинская О.Г. Выбор оптимального режима нагрева неограниченного полого цилиндра с учетом фазовых ограничений // Труды средневолжского математического общества, 2002, т. 3-4, № 1, с. 195-204.

43. Мотовиловец И.А., Козлов В.И. Термоупругость. Киев: Нау-кова Думка, 1987. -264с.

44. Писаренко Г.С. и др. Сопротивление жаропрочных материалов нестационарным силовым и температурным воздействиям. Киев: Наукова Думка, 1974. -199с.

45. Понтрягин JI.C. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.:Наука, 1976. -332с.

46. Раппопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1993. -278с.

47. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1972. -739с.

48. Филоненко-Бородич М.И. Механические теории прочности. М.: МГУ, 1961.-92с.

49. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1979. -488 с.

50. Шевелев А.А. Температурные напряжения в цилиндре и выбор оптимальных условий нагревания // Известия вузов. Авиационная техника, 1966, №2, с.44-48

51. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.:Наука. 1977.-314с.

52. Hitzchke R.-P., Shulze D. Berechnung van Zeitplansteuerungen fur induktive Erwarmungsprozesse. //Elektrowarme international 48 (1990) B4 Oktober, p.192-198