автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование и оптимизация процессов нагрева с фазовымиорганичениями

РГБ ОД

1 "У г. , -

1 / ■■!:\1

На правах рукописи

М0Р03КИН Николай Данилович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТЮШЗАВДЯ ПРОЦЕССОВ НАГРЕВА С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в нэ/чзшх исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ;/чевой отышни доктора физико-математических наук

}фа •• 1996

Работа выполнена ьа кафедре вычислительной математики математического факультета Башкирского государственного университета

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Ф.П.Васильев

доктор физико-математических наук, профессор

Ю.З.Алешков С.А.Горбатков

доктор технических наук, профессор

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный

в Ч часов на заседании диссертационного совета Д 064.13.02 при Башкирском государственном университете (450074, Уфа, ул.Фрунзе, д.32. Математический факультет)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Башкирского госуниверситета

электротехнический университет

Защита состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Многие современные технологические процессы связаны с нагревом материалов, элементов конструкций, деталей и т.п. При этом повышение производительности технологического процесса требует выбора оптимальных режимов нагрева.

Проблемы оптимизации процессов нагрева исследовались в работах Андреева Ю.Н., Бутковского А.Г., Васильева Ф.П., Вигака В.М., Горбаткова С.А., Егорова A.M., Егорова Ю.В., Плотникова В.И., Рапопорта Э.Я., Сиразетдинова Т.К., Федоренко Р.П., в том числе проблемы оптимизации процессов нагрева с фазовыми ограничениями изучались в работах Андреева Ю.Н., Бутковского А.Г., Васильева Ф.П., Вигака В.М., Рапопорта Э.Я., Федоренко Р.П., Шулъца Д. и др. Вместе с тем задачи оптимизации процессов нагрева с учетом различных технологических (фазовых) ограничений изучены значительно меньше, несмотря на их практическую значимость. Имеющиеся в научной литературе работы по оптимизации процессов нагрева с фазовыми ограничениями либо основаны на общих, достаточно трудоемких алгоритмах решения задач с фазовыми ограничениями таких, как градиентные методы, методы штрафных функций и носят характер вычислительного эксперимента, либо позволяют находить решение задачи лишь в частных случаях при жестких ограничениях на оптимальное управление. В тех же работах, в которых на поведение оптимального управления априорно никаких ограничений не накладывается (кроме естественных требований ограниченности и измеримости), не разработаны методы решения конечномерных дифференциальных задач оптимального управления с фазовыми ограничениями, которыми аппроксишруются исходные бесконечномерные задачи. Не исследованы также вопросы сходимости конечномерных аппроксимаций по состоянию, по функционалу и по управлениям.

Актуальными представляются также проблемы разработки мате-матичеких моделей, более адекватно отражающих реальные физические процессы нагрева с ограничениями на термонапряжения, так как в научной литературе эти ограничения учитываются в упрощен-

ной форме, как правило, через разность минимальной и средней температуры без учета нелинейной зависимости пределов прочности и текучести от температуры и свойств нагреваемого материала.

Целью настоящей работы является построение новых математических моделей задач оптимального нагрева а фазовыми ограничениями, разработка, математическое обоснование и компьютерная апробация новых численных методов их решения.

Научная новизна работы:

- разработана единая концепция поиска оптимального управления в широком круге задач оптимизации, описываемых уравнениями теплопроводности с линейными и нелинейными фазовыми ограничениями;

- предложены новые математические модели зaдa^ оптимального нагрева с ограничениями на термонапряжения, учдтывающие свойства нагреваемого материала и нелинейную зависимость прочностных характеристик от температуры;

- предложен новый алгоритм решения класса задач оптимального быстродействия, описываемых линейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными и нзлинейными ограничениями на фазовые переменные и управление. Доказана теорема о сходимости последовательностей, построенных согласно предложенному алгоритму. Выполнены вычислительные эксгерименты, подтвердившие эффективную работу алгоритма как при наличии так и при отсутствии фазовых ограничений. В последнем случае на контрольных примерах проведено сравнение с алгоритмами других авторов, из которого следует, что предложенный алгоритм менеее трудоемкий и обладает более высокой скоростью сходимости;

- разработана новая методика доказательства сходимости конечномерных аппроксимаций в задачах оптимального убавления с фазовыми ограничениями, на основе которой доказаны теоремы о сходимости конечномерных приближений по функционалам и по управлениям в одномерных и двумерных задачах нагрева с лине:йшми и нелинейными фазовыми ограничениями;

- получены конструктивные оценки погрешностд аппроксимации по состоянию и оценки точности выполнения фазовых ограничений, позволяющие в различных задачах нагрева с фазэвыми ограничениями априорно указать необходимое число членов ряда Фурье для ап-

проксимации решения бесконечномерной задачи конечномерной с заданной точностью;

- предложен новый численно-аналитический метод решения двумерных задач оптимального нагрева тел конечных размеров с линейными и нелинейными ограничениями на термонапряжения, на наибольшую и среднеинтегральную температуры;

- предложен и апробирован на ЭВМ новый алгоритм решения задач параметрической оптимизации процессов нагрева с учетом нелинейных фазовых ограничений и нелинейной зависимости всех входящих в уравнения коэффициентов от температуры. Указан способ построения двухсторонних оценок времени оптимального быстродействия в нелинейной задаче одномерного. нагрева с учетом закона Стефана-Больцмана теплообмена на границе и способ проверки локальной оптимальности экстремальных управлений.

Общая методика исследований базируется на математической теории оптимальных процессов, теории численных методов, выпуклого анализа, механики деформируемого твердого тела, теории дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Практическая ценность. Предложенные в работе методы поиска оптимального управления в задачах нагрева с фазовыми ограничениями, а также комплекс разработанных программ могут найти широкое применение в промышленности при решении различных задач, связанных с оптимизацией процессов нагрева.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г.Уфа, 1996), на III Минском международном форуме по тепло- и массообмену (г.Минск, 1996), на международных конференциях NUMDIF-6, NUMDIF-7 (г.Галле, Германия, 1992, 1994 гг.), "Optimization of finite element approximations" (г.Санкт-Петербург, 1995г.), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г.Саранск, 1994г.), на Международной конференции по математическому моделированию (г.Якутск, 1994г.), на! 8-ой конференции СНГ по качественной теории дифференциальных уравнений (г.Самарканд, 1992г.), па Б-ой международной конференции "Сверхпластичность неорганических материалов" (г.Уфа, 1992г.), на всесоюной конференции "Интегрированные системы авто-

матизированного проектирования" (г.Москва, 1989г.), на 4-ой Всесоюзной конференции "Сверхпластичность материалов" (г.Уфа, 1989г.), на Всесоюзном симпозиуме по теории приближения функций (г.Уфа, 1987г.), на Ш-ей Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (г.Киев, 1979г.) и обсуждались на семинарах Ф.П.Васильева на' факультете ВМиК МГУ, на семинарах Н.Е.Кирина на факультете ПМ-ПУ в СПОГУ, на семинарах в Институте математики с ВЦ РАН (г.Уфа), в Башгосуниверсите-те, в Стерлитамакском государственном педагогическом институте.

Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1-32].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и сшска цитированной литературы, содержащего 172 наименования. Объем работы составляет 315 страниц машинописного текста, включая рисунки и таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы, обосновывается актуальность темы исследования, кратко формулируются основные результаты работы.

В главе I исследуются задачи оптимального одномерного нагрева внешними и внутренними тепловыми источниками с учетом ограничений на растягивающие и сжимающие термонапряжения, на максимальную и среднеинтегральную температуры. В первом параграфе рассматриваются задачи нагрева внешними тепловыми источниками. Процесс нагрева в безразмерных координатах описывается следующими соотношениями

99(1,1;; 0 0п,т; ч 39п,"и

■ + ---, я=0, 1,

вх дг2 в(1,0)=0, 1£[0,1], дВ(1,1)

дг

гесо, 1 ),1е(о,т],о<т<со

дг

(1) (2) (3)

1=1

дв(г,%)

гч- =о, 1(.(0,т], ч=о,),

д! 1=о

где ц=о соответствует случаю нагрева неограниченной пластины, нагреву неограниченного цилиндра, г- пространственная переменная, В1=оопз±>о- критерий Био, и(1) - управляющая функция. Будем предполагать, что и(%)ахЮ,т] и почти при всех тЦо,т] принимает значения из отрезка

. (5)

Множество таких управлений обозначим через и.

Решение системы уравнений (1)-(4) понимается в обобщенном смысле в пространстве где о ={(1,1): 1£(0,1),

1£(0,т)}.

В процессе нагрева требуется, чтобы под воздействием термонапряжений нагреваемое тело не получило бы необратимых деформаций и чтобы наибольшая и среднеинтегральная температуры не превосходили бы допустимых значений. В первой главе рассматриваются материалы, разрушающиеся хрупко без сколь-либо заметных деформаций. В этом случае ограничения на термонапряжения записываются в виде

-ас(Э)ф^г,в)фр(в), е|ч=(=г,ф,г, (б)

где ар(в), ос(В)- значения пределов прочности на растяжение и сжатие, ai(l,1)- главные компоненты тензора напряжений, которые находятся из решения квазистатической задачи термоупругости. В рассматриваемом случае эта задача решается аналитически. Аппроксимировав зависимости ос(9), ор(0) линейными функциями

о^в^а^е, ор(-е;=а2+рге,

и выделив из напряжений а(8,г; те, которые в процессе нагрева принимают по абсолютной величине наибольшие значения, а также точки 1, в которых эти значения достигаются, ограничения (6) можно переписать в виде

{г-р^ва.и-сч-и+зсд-иг^всь.т^+бгсд-и^ес^.ъм^, (7)

о

где [о,13- числовой параметр, характеризующий степень защемления краев пластины от поворота. Ограничения на наибольшую и среднеинтегральную температуры записываются в виде

еп,т; $ е9°п, (9)

1

гч+иХ^е^л^ еср. (Ю)

о

Задач а 1.1. Найти управление и°гт;ег7, тего,-с0;, позволяющее за минимальное время 0<п:о$г довести температуру &(1,%)=в(нагреваемого тела до заданной В(1) с фиксированной точностью 1

Хгч[еп,т;0,и0;-ёа;]га1 « е (11)

о

так, чтобы при всех 1£[1р,1а] были бы выполнены ^неравенства (7)-(10), где е>о, ф>о- некоторые константы, 6(и>о, гего,и, 6г1)£\10,П.

Используя метод интегральных преобразований, решение системы уравнений.(1)-(4) можно записать в виде 00

^ ппяпги,тжфп1;, (12)

п-1

где в - коэффициенты, зависящие от р.п,

4=0 4=1

(13)

4=1 Ч=1

корни уравнения

вгкф^-^к/ц^о, п=1,г,з..........(14)

хг1(1)=хп(и,г), п компоненты вектора решений бесконеч-

ной системы дифференциальных уравнений

сЬ (1)

(15)

йх

В работе показано, что функция бп.т.и;, определяемая по формуле (12), является обобщенным решением в У*г'°(От) системы уравнений (1>-(4).

Рассмотрим последовательность конечномерных задач оптимального управления, порожденных задачей 1.1.

3 а д а ч а 1.2. Найти управление и=имсс;еи, хесо,-х"], переводящее систему

■=~А х +В и (16)

йт

за минимальное время т"его,г; из нулевого начального состяния во

множество

у -т [к,ГЦ $ е

Л |кт»|2 [.» п „ ^ „

при соблюдении на промежутке ограничений

(17)

(18)

Здесь .....- ?/-мерная вектор-функция, а"-

= .....В^с^.....(1н/>

1

| гч9ггжгцпг)аг, п=Г7гГ , (19)

и +в I +а-Ч)т

-;-К'ФП>' (20)

2в1

с"- матрица размерности (4*гО с элементами с.п, зависящими от цп, в = (а(,а2,вдо" 0ср). Неравенство (18) является конечномерным аналогом неравенств (7)-(10).

В п 1.3 рассматриваются вопросы сходимости конечномерных аппрс::симаций. В п. 1.3.1 получены конструктивные априорные оценки нормы погрешности аппроксимации по состоянию, а именно, доказана следующая

ТЕОРЕМА 1.1. Для нормы погрешности

со

в Ь2 (Ог) при любом фиксированном пси справедлива оценка

При я=о выписана также оценка нормы погрешности 7(1.1) в пространстве

Далее в п.1.3.2 установлена справедливость леммы 1.1.

Пусть ь1- минимальный номер, при котором выполнены неравенства

> <с1+1)в1,

> 0.5, (22)

> В{2+В4,

и~е:грГ-Ц*ф.)П+2Ц*ф.> < [и*-2ехр(-0.5)(и*-и~)\.

ЛЕНКА 1.1. Пусть Г=о и выполнены следующие условия

а) (23)

б) и-2ехр(-0.5)(и*-и~)>0. (24)

Тогда существует номер ™ > ь такой, что при всех номерах т, лиг. т+4,... и любых фиксированных и е и справедливы неравенства

ш т 2

2 апх™(и.%) $ £ с.п®™"г('и.и $ ...,1=1,4, т > ф. (25)

п= 1

С использованием приведенной леммы доказана следующая теорема о сходимости конечномерных приближений.

ТЕОРЕМ А 1.2. Пусть задача 1.1 имеет решение. Тогда в условиях леммы 1.1 существует последовательность номеров р=1,2, .... такая, что при любом я=мр, рЯ решение конечномерной

задачи 1.2 существует и справедливы соотношения

N N

а) Чт . .<1°,

м

й) lim t Р-1°,

р-КЗО

в; предел любой слабосходящейся в ъг№,ча] подпоследова-

ы

телыюсти из (и p(i)} является оптимальным управлением.

В п.1.3.3 выписаны априорные оценки точности выполнения фазовых ограничений, позволяющие указать необходимое число членов ряда для выполнения фазовых ограничений с указанной точностью.

В §2 главы I предложен численный метод решения конечномерной задачи 1.2 (типа метода корректировки опорной гиперплоскости). В п.2.1 приведено описание этого метода для решения двухточечной задачи линейного быстродействия без фазовых ограничений, т.е. для следующей задачи: в управляемой линейной системе

сЬ

-=Л(1)а-В(1)и+<1(1), (26)

da

x(0)=xot 0яп (27)

требуется найти минимальное число т*его,г; и управление и*)еи, при которых 1Си*,т:*Ы)яп. Здесь л(%), bcz), асх)- заданные №?0, (N*r), матрицы с кусочно-непрерывными компонентами,

и- множество г-мерных вектор-функций [о,т] со значениями

почти при Teio.rj из г-мерного параллелепипеда. Приведен алгоритм решения указанной задачи и сформулирована теорема 1.3 о сходимости последовательных приближений, построенных согласно этому алгоритму. Алгоритм опирается на идею многошаговости, предложенную для решения задач линейного быстродействия Н.Е.Ки-риным и понимаемую как использование для получения очередного приближения дополнительных точек(базиса), найденных на предыдущих итерациях. В главе предложен новый способ "изменения" базиса на итерациях, позволяющий более полно использовать идею многошаговости и, как показали вычислительные эксперименты , значи-;тельно ускорить скорость сходимости алгоритма по сравнению с

алгоритмом Н.Е.Кирина. Многошаговость выгодно отличает данный алгоритм от алгоритмов других авторов(Д.Х.Итона-Л.У.Нейштадта, Э.Д.Фаддена - Э.Г.Гильберта, Б.Н.Пшеничного-Л.А.Соболенко), также основанных на методе корректировки опорной гиперплоскости, но являющихся по сути одношаговыми. В пункте 2.1.3 приведены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие, что предложенный алгоритм менее трудоемкий и обладает более высокой скоростью сходимости, чем алгоритмы перечисленных выше авторов. Отмечено, что для сходимости прэдоженного алгоритма достаточно выпуклости достижимого множества, в то время как для сходимости алгоритмов Д.Х.Итона-Л.У.Нвйштадта, Э.Д.Фаддена - Э.Г.Гильберта, Б.Н.Пшеничного-Л.А.Соболенко требуется строгая выпуклость множества достижимости.

В п.2.2 §2 предложен алгоритм решения задачи линейного быстродействия, описываемой системой (26), (27) с линейными фазовыми ограничениями вида

С(Х)х < 11(1), 0<Т^Г<оо, (28)

где с со, ней- матрицы размерностей (т*ю и ст*и с кусочно-непрерывными компонентами с^ст; и е.т, ,т , п=1,и .

Вводя вспомогательный управляющий параметр и е V, у= = (и=(и ,... ,ит): о, 1=1 ) и рассматривая гиль-

бертово пространство Р с элементами

р-(h(t),у)7 на)аъ™[о,т], и с нормой

т

о

задачу с фазовыми ограничениями можно переписать в 1Р как задачу без ограничений в виде: найти наименьший момент времени и управление ы°еО такие, что Орея<"с°) и ргш°,ао)=0р,где ыс,=си%°;е 8(1°) - область достижимости в пространстве 1Р в момент времени 1°. Для решения этой задачи предлагается алгоритм, основанный на методе разделяющих гиперплоскостей. Последнее возможно в силу выпуклости множества зси, установленного в п.2.2.2. Доказана следующая теорема о сходимости последовательных приближений, полученных с помощью предложенного алгоритма.

ТЕОРЕМА 1.4. Последовательности, построенные согласно операциям алгоритма, таковы, что

1) если на некоторой итерации с номером ь) выполнено неравенство то решение задачи на со,т] не существует;

2) если Уа, т^г, то

г 1т 1 = Т <г, к

к-и»

тГ = 1° и по любым е4, в2>о можно указать номер ксе1,е ) такой, ЧТО при к>к(е1,ег)

а) Ля" n

б) при всех 1 = 1 ,т И ПОЧТИ

п-1

при всех тесо.т;^,

в) предел ТГ(1) любой слабосходящейся в ь2Го,г_/ подпоследовательности из {и^с1}) является оптимальным управлением.

Предложенный алгоритм решения задач линейного быстродействия с линейными фазовыми ограничениями апробирован на компьютере. В п.2.2.9 приведены результаты расчетов для задачи оптимального по быстродействию нагрева неограниченной пластины с учетом ограничений на растягивающие и сжимающие термонапряжения, а также на температуру поверхности. Конечномерная задача 1.2 решалась при различных значениях N. Вычислительные эксперименты показали высокую скорость сходимости алгоритма. Отмечена также возможность применения указанного алгоритма для поиска оптимального по быстродействию управления, переводящего систему (26),

(27) в множество |агб* С>о при соблюдении ограничений (28).

В §3 исследуется задача индукционного нагрева. Процесс нагрева описывается уравнением

дв(1,т) д2в(г,1) ч Вв(%,х)

■—--- =---+-=--+игтж (1), (29)

<31 01 1 Ог 4

г его,о, ъе(о,т]

с начальным условием (2). При х=о задается соотношение (4), а при 1=1 граничное условие второго

два,1) * «

-=Bt g Ci), g CÎ)(.L[0,T], (30)

вг

или третьего рода два.Х)

--Btf0 rt;-8ri,D), (31)

ôi

где вс(1)£Ьг[о,1]- известная функция (температура окружающей среды). Управление нагревом осуществляется с помощью функции u(D, которая представляет собой безразмерное значение напряженности магнитного поля на поверхности нагреваемого тела. Предполагается, что и(Ч)еи, где и множество функций, суммируемых с квадратом на [о,т] и почти при всех ieio,T] принимающих значения из отрезка [о, и. Функция q=o, i характеризует распределе-

ние тепловых источников в нагреваемом теле и находится из решения системы уравнений Максвелла. В указанной постановке ограничения на растягивающие термонапряжения по-прежнему будут иметь вид (8), а ограничения на сжимающие напряжения и наибольшую температуру учитываются приближенно в виде

1 1 ( t-p^eci^rj-iq+i+ecq-i )r)f {яв(£,1)<1£+бГ(с1-1 )f ,

(32)

en.,T^63I>n, г.^о, t=i7tT.

В пунктах 3.1 и 3.2 осуществляется постановка задачи и ее трансформация к задаче оптимального управления бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с ограничениями на фазовые переменные. Бесконечномерная задача аппроксимируется конечномерной задачей оптимального управления, которая может быть решена с помощью алгоритма, описанного в §2. В теоремах 1.5 и 1.6 даны конструктивные априорные оценки погрешности аппроксимации по состоянию соответственно при граничных условиях (30) и (31). Выписаны оценки погрешности выполнения фазовых ограничений. Получены условия (лемма 1.3, теорема 1.Т), при которых конечномерные приближения сходятся по функционалу быстродействия и слабо в ь2 сходятся по управлениям.

В §4 рассматриваются задачи оптимального нагрева с фазовыми ограничениями, в которых требуется в фиксированный момент времени г минимизировать функционал

¿(и( 1ч^0(-г,г,и;-егг^ аг. (33)

о

Доказана теорема 1.8 о сходимости конечномерных приближений, точнее, в теореме 1.8 утверждается, что в условиях леммы 1.1 справедливы соотношения

n n

1 ) .7(и '(• 2( • .

N

2) 11т ¿(и Р(-))^(и°С )),

р-Ч»

3) предел любой слабосходящейся в ъ2[о,т] подпоследователь-

N

ности из Си р(1)) является оптимальным управлением.

В главе 2 исследуются задачи оптимального управления про цессами внешнего и индукционного нагрева цилиндра конечной длины и неограниченной призмы прямоугольного сечения с учетом ограничений на растягивающие и сжимающие термонапряжения, среднеин-тегральную и максимальную температуры. В п.1.1 §1 делается постановка задачи внешнего нагрева. Процесс нагрева описывается соотношениями

зегр.г.т; в2вф,1,и ч Звгр,1,х.> дгв( р,г,%)

-1---5-+ —----, (34)

5х Вр р др дг

о<р<1, оа<1, о<%^т, <г=о,/,

9ф,г,о;=о, (35)

5бп,1,х;

ар

авср.г.х;

■= В1 (и (1)-В(1,г,\>), (36)

р"

ар

в9ф,),х; дг

=0, <з=о, 1, (ЗТ)

р=о

=В{ (и(1)-В(р, 1,1)), (38)

вв(р,0,х)

=0, (39)

01

где ч=о соответствует случаю нагрева призмы, ч=1- случаю нагрева цилиндра конечной длины, н^, В11, В1г - положительные константы, и1и2(,1)~ Управляющие параметры. Будем предполагать, что и(%)=(и1сх),и2(%))^ь1[о,т] и почти при всех 1 е со,г}

0<и~Чи. 1=1,2.

Множество таких управлений обозначим через и.

Предположив, что нагреваемые материалы разрушаются хрупко и аппроксимировав зависимость предела прочности от температуры линейными функциями, ограничения на термонапрякения можно записать в виде

-^е-^^о.гр.г.е^е^, 1|ч=0= р,г, «|ч=1=р,ф,г, (40)

где о^р, 1,9;-нормальные компоненты тензора напряжений.

Ограничения на среднеинтегральную и наибольшую температуры имеют вид

.Гр1,Эгр,1,т;.)с1р£л«:еср, (41)

о о

вп,о,а;«£9оп, вс1,1,х^взоп, всо, 1,1X6®°". (42)

3 а д а ч а 2.1. Найти управление и°сти, 1С[о,1°], позволяющее за минимальное время 1°£(о,т] довести температуру нагреваемого тела до заданной 6ф,Iвгр,1)>о, с фиксированной точностью

11 „2

о о

так, чтобы почти при всех были бы выполнены неравенст-

ва (41), (42) и в заданных точках (рв,1в), а=1,а1 неравенства (40), где £о>0- некоторые константы.

В п.1.2 ставится задача оптимального нагрева призмы и цилиндра конечной длины внутренними тепловыми источниками.

В §2 рассмотрено применение метода интегральных преобразований для расчета тепловых полей. В п.2.1 найдено решение системы уравнений, описывающей процесс внешнего нагрева. Это решение можно записать в виде

та

в(р,г,%)= ^ 1\^кга.р.>созгрл), (43)

где а , -положительные корни уравнений

вiíк«l^) - а^га. в12соэ(@.) - (3,)=о,

£,./-»,г,з,..., компоненты решения бесконечной системы дифференциальных уравнений

йх. . а. р

г» V (44)

{,¿=»,2,...,

п.- коэффициенты, зависящие от а,

В п.2.2 в виде ряда типа (43) выписано решение системы уравнений, описывающей процесс нагрева внутренними тепловыми источниками при граничных условиях второго и третьего рода.

В п.2.3 показано, что найденные решения являются обобщенными решениями соответствующих систем уравнений в пространстве

1 ,о

72 (от) и, что при каждом фиксированном управлении эти решения единственны.

В §3 осуществляется расчет термонапряжений. В п.3.1 выписаны формулы для расчета термонапряжений, возникающих в призме прямоугольного сечения. В квазистатической постановке задача сводится к решению следующей системы уравнений относительно перемещений и^н^

» &в 2(1-У) 38

Аи„+ •

Р Зр ~ 1-г» Ар

[ <3-8 2(1-v) Зв

* а? »-21» а?

(45)

а* а2 0ип Зи,

где Д=—+—,, '9-—Е. + —

зр* д%г ар а?

При этом часть граничных условий задается в перемещениях

Ирф.ь.е.) = ирГр.-л.е;, и^а.^.в) =

а часть в напряжениях

ОрФ.е.е^ =ор?ф.С,е;[р=1 =0,

Решение системы уравнений (45) выписывается в виде рядов, коэффициенты которых находятся из бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Указаны способы ускорения сходимости этих рядов. Показано(с учетом свойств решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений), что ограничения на термонапряжения (40) можно записать в вида бесконечной системы линейных неравенств

сх в, (46)

где с,в - матрицы с постоянными коэффициентами, х =

компоненты решения бесконечной системы линейных дифференциальных уравнений. В случае внешнего нагрева эта система имеет вид (44).

В п.3.2 §3 приведены формулы расчета термонапряжений в цилиндре конечной длины в виде бесконечных рядов. Предложены способы ускорения сходимости этих рядов и установлена возможность записи ограничений на термонапряжения в виде (46).

В §4 исследуются вопроса, связанные с аппроксимацией исходной бесконечномерной задачи оптимального нагрева призмы и цилиндра конечной длины с ограничениями на термонапрякения, на наи-

большую и среднеинтегральную температуры последовательностью конечномерных задач оптимального управления, описываемых линейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными фазовыми ограничениями. В случае минимизации функционала быстродействия эти конечномерные задачи могут быть решены с помощью многошагового алгоритма корректировки опорной гиперплоскости, изложенного в п.2.2 §2 главы I.

В п.4.2 получены конструктивные априорные оценки погрешности аппроксимации по состоянию в норме пространства как в задаче внешнего нагрева, так и в задаче нагрева внутренними тепловыми источниками (теоремы 2.1, 2.2, 2.3). Приведем одну из указанных теорем.

ТЕОРЕМА 2.3. В задаче нагрева внутренними источниками при граничных условиях второго рода для нормы погрешности аппроксимации по состоянию 7<2>ф,1,х; в пространстве ь2Шт) справедлива оценка

/"^'Кг** у ч,' К у чг2

Ь2<ОтЛ то^ I 90 п* ) б б п=1 пг Л *

где и) I, рз-константа.

В п.4.3 рассмотрены вопросы сходимости конечномерных аппроксимаций в задаче оптимального внешнего нагрева при ограничениях (41), (42), которые с учетом формулы (43) можно переписать в виде

^ п „ ^ ^ 7~ь

> а..X й е, Л ~ 1, ч .

А ч ч >

Доказана лемма 2.1, утверждающая, что если выполнены неравенства

ги~( иехр(-0.5))-и.* ( 1+гехр(-0.5))>0,

2и.~ ( 1 +ехр(-0.5)С 1 +2ехр(~0.5)

то существует номер т такой, что при всех номерах т, т+г,... и любых фиксированных и со е V справедливы соотношения

т т + 2

у « У а".хтг2(1) < .... п=ТГ4, "&1>0,

¿.ММ £1 Ч Ч °

V. ¿ = 1 I . 1=1

где (%)-компоненты решения конечномерной системы, полученной из бесконечной системы (44). В условиях леммы 2.1 доказана теорема 2.4 о сходимости конечномерных приближений по функционалу быстродействия и слабой сходимости соответствующей подпоследовательности управлений к множеству оптимальных управлений. Отмечено также, что в условиях теоремы 2.4 имеет место сходимость конечномерных аппроксимаций в задаче минимизации среднеквадратичного отклонения.

В §5 на примере задачи оптимального нагрева цилиндра с учетом ограничений на осевые термонапряжения, на максимальную и среднеинтегральную температуры показано, как с помощью методики §3 и §4 аппроксимировать бесконечномерную задачу конечномерной экстремальной задачей и выписать компоненты матриц с и в в неравенстве (46).

В третьей главе исследуются нелинейные задачи оптимального . нагрева. Нагреваемые материалы подразделяются на два типа: хрупкие и пластичные. В случае пластичных материалов ограничения на термонапряжения записываются в виде

(а -о -о )2+(а -о )х+б(о 2 +о 2+о (в), (47)

X у и у з: X ху УК Х2 0.2 4 '

гдв ох, оу, ог, оху, оуа, о^- компоненты тензора термонапряжений (в декартовой системе координат), о02-предел текучести, 8-температура.

В §1 рассмотрены одномерные задачи нагрева внешними тепловыми источниками. Показано, что в случае нагрева неограниченной пластины и неограниченного цилиндра ограничения (6) и (47) могут быть записаны в одинаковой форме. Это позволяет осуществлять поиск оптимального управления по одной методике независимо от свойств нагреваемого материала.

В п.1.2 §1 делается постановка задачи оптимального быстродействия с учетом нелинейной зависимости предела прочности и предела текучести от температуры. Бесконечномерная задача аппроксимируется последовательностью конечномерных, описываемых линейными системами дифференциальных уравнений с нелинейными фазовыми ограничениями вида

n (48)

lc.nxn(1) Ц f., 1^3,4,

n = l

где с , Dn- коэффициенты, зависящие от цо, /., t=з,4- константы, at(a)=a (а)-, огга;=осга;- в случае хрупкого разрушения, 01(а)=г0о2еа;, а2«х)=ао 2(а)~ в случае, когда нагреваемые

материалы обладают пластическими свойствами.

В n.i. 3 исследованы вопросы сходимости конечномерных аппроксимаций. Доказана следующая

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть исходная бесконечномерная задача при Г-о имеет решение и справедливо неравенство (24). Пусть при t j о функции o.ft;, i=f,2- равномерно непрерывны, ai(t)+t- монотонная, а a2ftj- невозрастающая функции. Тогда существует последовательность номеров fNp>, p=iтакая, что при любом р > 1 решение конечномерной задачи существует и справедливы соотношения

n n n

б) Xim Т Р*Т°,

р-КХ>

в) предел любой слабосходящейся в х2Го,т°; подпоследова-

ы

твльности из (и рсш является оптимальным управлением. Здесь время быстродействия.

В п.1.4 рассмотрена задача нагрева неограниченной пластины с нелинейными фазовыми ограничениями и с краевыми условиями, описывающими теплообмен на границе по линейному закону Ньютона и нелинейному закону Стефана-Больцмана. Конечномерная аппроксимация осуществляется методом прямых. Для полученной нелинейной конечномерной задачи предлагается способ построения двухсторонних оценок времени оптимального быстродействия, основанный на выпуклых аппроксимациях множества, получающегося из разностного аналога граничных условий и фазовых ограничений. Доказана

k/i.

ЛЕММА 3.2. Для оптимальности управления %с[о,т]

в р-окрестности траектории 1Г(и достаточно существования функции v(i,x) такой, что при всех teío.rj выполнены условия

1. Функция v(x,x) достигает своей точной верхней грани по

x=®cc;+pq е g(%), (íeío.p;, |q|=» в точке х-

2. v(%,~x(D) < v(1,x]"'") при всех Т £ [О.Т),

где х(Т)=х"*п, c,(D - область достижимости в момент времени т. " На основании данной леммы указан конструктивный аппарат проверки экстремальных управлений на оптимальность в задаче нагрева неограниченной пластины с нелинейными граничными условиями.

В §2 рассмотрены задачи наискорейшего индукционного нагрева с учетом нелинейных фазовых ограничений, представляющих собой ограничения на термонапряжения, на наибольшую и среднеинтеграль-ную температуры. Показано, что при аппроксимации зависимости предела прочности (предела текучести) от температуры вогнутыми, невозрастающими функциями бесконечномерная задача аппроксимируется конечномерной, представляющей собой задачу оптимального быстродействия линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с "выпуклыми" ограничениями на фазовые переменные. В случав нагрева неограниченной пластины в лемме 3.3 и в теореме 3.2 установлены условия сходимости конечномерных приближений по функционалу и слабой в i сходимости соответствующей подпоследовательности управлэний к множеству оптимальных управлений.

В п.2.4 исследуются двумерные процессы оптимального нагрева с учетом ограничений на нормальные термонапряжения в случае хрупкого разрушения и ограничений на интенсивность термонапряжений в случае перехода нагреваемого тела в пластическое состояние. Установлено, что если зависимость от температуры предела прочности и квадрата предела текучести аппроксимировать вогнутыми невозрастающими функциями, то бесконечномерную задачу можно аппроксимировать конечномерной с "выпуклыми" фазовыми ограничениями.

В §3 предложен конкретный метод решения задач оптимального быстродействия, описываемых линейными система™ обыкновенных! дифференциальных уравнений типа (26) с нелинейными ограничениями!

на фазовые переменные и управление вида

У. (х,и.,1)^0, 1=/7з~.

где р (х,и,1), 1=1 ,з,- кусочно-непрерывны по т и выпуклы по совокупности переменных (х,и). Управление и. = и(1) е ь'2[о,т] и почти при всех %£[о,т] принимает значения из некоторого г-мерного параллелепипеда.

В п.3.2 сформулирована эквивалентная экстремальная задача без фазовых ограничений. В пунктах 3.3 и 3.4 доказана выпуклость достижимого множества и указан конкретный способ построения, опорной гиперплоскости с заданной нормалью методом условного градиента. Выписаны требования на функции ? (х,и,1), «=>,з, при которых метод условного градиента сходится. В п.3.5 подробно, описан алгоритм решения рассматриваемой нелинейной конечномерной задачи быстродействия и сформулирована теорема 3.3, утверждающая, что решение этой задачи на [о,т.7 не сущестует, если на некоторой ^-ой итерации т.^т, если же V ,2,з,..., то решение задачи существует и

1°= 11т \ ь-+«> '

предел и°(Ч), 1е[о,т°] любой слабосходящейся в ьТ2[о,1а ] подпоследовательности из Си^си) является оптимальным управлением. Здесь тк, и^ст; время и управление, полученные на ь-ой итерации алгоритма.

В §4 главы 3 исследуются задачи одномерного наискорейшего индукционного нагрева с фазовыми ограничениями, с учетом нелинейной зависимости прочностных характеристик от температуры и с учетом зависимости от температуры и напряженности магнитного поля всех коэффициентов, входящих в уравнения, описывающие процесс нагрева. Управление ищется в классе постоянных функций. Предложен алгоритм расчета оптимального значения управляющего параметра, обеспечивающего достижение заданного значения температуры на оси за наименьшее время с учетом растягивающих и сжимающих термонапряжений и ограничений на температуру поверхности. Алгоритм предусматривает разбиение интервала нагрева на этапы. В пределах каждого этапа коэффициенты (за исключением предела прочности (текучести)) считаются постоянными, что позволяет вы-

писать решение уравнений Максвелла, теплопроводности и квазистатической задачи термоупругости аналитически. Определив моменты перехода с этапа на этап по достижению среднеинтегральной температурой заданной величины, задачу поиска оптимального управления независимо от количества этапов удается свести к решению системы двух трансцендентных уравнений. Отметим, что обычно при таком подходе (см., например, работы А.И.Егорова) приходится решать систему из трансцендентных уравнений, где я - число этапов. Приведены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие, что алгоритм прост: в реализации на ЭВМ и по трудоемкости мало отличается от случая, когда все коэффициенты, входящие в уравнения, постоянны. Отмечена возможность применения алгоритма для расчета оптимального значения управляющего параметра в задаче внешнего нагрева. „ -

В заключении подводятся итоги работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Морозкин Н.Д. К вопросу оптимизации систем с распределенными параметрами //Труды вычислительного центра. Саранск, 1978. Деп. в Информэлектро 17.08.78 № 150-Д/78.

2. Кирин Н.Е., Морозкин'Н.Д. Нелинейные оценки экстремальных траекторий //3-я Всесоюзная конференция по оптимальному управлению в механических системах. Киев,1979,тЛ,с.226

3. Морозкин Н.Д. Об одной задаче оптимального управления нагревом //Управление, надежность и навигация. Саранск, 1979, с.36-39.

4. Морозкин Н.Д. К задаче оптимизации процесса нагрева //Численные методы решения краевых задач математической физики. -Уфа, БФАН СССР, 1979, с.103-105.

5: Морозкин Н.Д. Алгоритм поиска оптимального управления в задачах с выпуклыми ограничениями //Методы и средства измерения параметров магнитного шля. 2-ая Всесоюзная конференция. Тезисы докладов. Ленинград, 1980, с.114-115. 6. Морозкин Н.Д. О достаточных условиях оптимальности по быстродействию в нелинейной задаче управления нагревом // Вест-

ник Ленинградского университета. Серия: Математика, механика и астрономия, ÄI3, вта.З, 1980, сЛ34 (деп. в ВИНИТИ М800/Д-80 в мая 1980 г., 18 е.).

7. Морозкин Н.Д. Об одном методе оценки времени оптимального быстродействия в нелинейной задаче управления нагревом //Математические методы моделирования и анализа управляемых процессов. Ленинград: ЛГУ, 1981, вып 4, с.ЮГ-108.

8. Морозкин Н.Д. О достаточных: ' условиях оптимальности по быстродействию в задачах управления нагревом //Управление, надежность, навигация. Саранск, 1981, с.72-78.

9. Морозкин Н.Д. О численном алгоритме поиска оптимального по быстродействию управления в одном классе нелинейных задач //Управление в динамических системах. Ленинград: ЛГУ, 1982, вып.2, с.107-123. Деп. в ВИНИТИ 18 июня 1981 г. Jfö9I6-8I деп.

10. Морозкин Н.Д. О достаточных условиях оптимальности по быстродействию в линейных системах с нелинейными ограничениями //Математическая теория управления техническими объектами. Ленинград:ЛГУ, 1982, с.80-85.

11. Кирин Н.Е., Морозкин Н.Д. Об одном методе проверки экстремальных траекторий на оптимальность //Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением. Саранск, 1983, с.112-118.

12. Морозкин Н.Д. Алгоритм построения двухсторонних оценок времени оптимального быстродействия в нелинейной задаче нагрева //Применение ЭВМ в решении научно-технических и народнохозяйственных задач. Тезисы докладов. Уфа, 1985, с.62.

13. Морозкин Н.Д. Способ поиска оптимального по быстродействию управления в линейной системе с нелинейными ограничениями //Динамика систем и управление. Саранск, 1986, с.91-96.

14. Морозкин Н.Д. О сходимости некоторых алгоритмов решения задачи линейного быстродействия //Математические методы анализа управляемых процессов. Ленинград:ЛГУ, 1986, вып.8, с. 147-154.

15. Морозкин Н.Д. Об одном численном методе проверки оптимальности экстремальных траекторий //Всесоюзный симпозиум по

теории приближения функций. Тезисы докладов. -Уфа, 1987, с.87.

16. Мороэкин Н.Д., Башкатов А.Ф. Применение двойственных методов для получения оценок времени быстродействия в задаче нагрева //Численные методы в прикладной математике. Уфа: УрО АН СССР, 1988, с.73-79.

17. Морозкин Н.Д. Об одном методе проверки оптимальности экстремалей Л.С.Понтрягина //Вычислительная и прикладная математика. Уфа, 1988, с.67-75.

18. Морозкин Н.Д., Шапиро C.B. Моделирование термомеханических процессов в осесимметричных проводящих средах, возникающих под воздействием переменного электромагнитного поля //Тезисы докладов 4-ой Всесоюзной конференции "Сверхпластичность металлов", 2 ч. Уфа, 1989, с.180.

19. Морозкин Н.Д., Башкатов А.Ф. Оптимизация индукционного наг-" рева цилиндра конечной длины с учетом ограничений на термонапряжения //Интегрированные системы автоматизированного проектирования. Тезисы докладов. Москва, 1989, O.II2-II3.

20. Кирин Н.Е., Морозкин Н.Д. Численные приближения экстремалей управляемых динамических систем. Учебное пособие.Уфа, 1989. -89 с.

21. Морозкин Н.Д. Об одной задаче оптимального управления индук-

ционным нагревом с ограничениями на термонапряжения //Математические методы моделирования и анализа управляемых процессов. Ленинград: ЛГУ, 1989, с.63-69.

22. Морозкин Н.Д., Гафуров М.Б. Об одной методике математической обработки результатов эксперимента на одноосное растяжение в режиме сверхпластичности //Тезисы докладов 5-ой международной конференции "Сверхпластичность неорганических материалов". Уфа, 1992, с.36.

23. Морозкин Н.Д. Об одной задача оптимального управления индукционным нагревом //8-ая конференция СНГ по качественной теории дифференциальных уравнений. Самарканд, 1992, с.75.

24. Морозкин Н.Д., Шапиро C.B. Оптимизация индукционного нагрева сплошного цилиндра с учетом зависимости предела прочности от температуры // Электричество, 1993, J64. с.61-64.

25. Морозкин Н.Д. Оптимальный по быстродействию нагрев сплошного цилиндра с учетом ограничений на термонапряжения //Международная конференция по математическому моделированию. Якутск,

1994, с.41-42.

2S. Morozkin N.D. Application of finite elements' method of calculation of layer's pressure // International Conference. Optimization of finite element approximations. St. Petersburg, 1995, p.73-74.

27. Морозкин Н.Д. Оптимальный по быстродействию нагрев массивных тел с учетом фазовых ограничений // Математическое моделирование, 1995, т.7, J65, с.86.

28. Морозкин Н.Д. Оптимизация высокотемпературного индукционного нагрева сплошного цилиндра с учетом ограничений на термонапряжения // Электричество, 1995, J®. с. 56-60.

29. Морозкин Н.Д., Коробчинская О.А. Оптимизация индукционного нагрева цилиндра с учетом зависимости теплофизических коэффициентов от температуры // Математическое моделирование,

1995, т.7, т, с.87.

30. Морозкин Н.Д. О сходимости конечномерных приближений в задаче наискорейшего нагрева одномерных тел с учетом фазовых ограничений // Вестник Башкирского университета, 1996, И, с.20-23.

31. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление одномерным нагревом с учетом фазовых ограничений // Математическое моделирование,

1996, т. 8, J6B. с.91-110.

32. Морозкин Н.Д. Об одном алгоритме поиска оптимального управления в задаче одномерного нагрева с учетом фазовых ограничений //Тепломассообмен ММФ-96. Вычислительный эксперимент в задачах теплообмена и теплопередачи. Том IX, часть I, Минск, 1996, с.132-136.

Морозкин Николай Данилович

ШМА1ИЧЕСК0Е МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ НАГРЕВА С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

3 К 3 ЛР ü 020259 от 30.10.91

Подписано к печати 2I.Ü8.96. Формат 60x84/16. Бумага типографская JS I. Усл.печ.л. 1,63. Уч.-изд.л. 1,51. Заказ 381. Тираж 100.

Редакционно-издательский отдел Башкирского университета Множительный участок Башкирского университета. 450074. Уфа, ул.Фрунзе,32