автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование оптимального управления системами уравнений леонтьевского типа

На правах рукописи

Бурлачко Илья Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ УРАВНЕНИЙ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА

05.13.18. - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-1 к наук

ЧЕЛЯБИНСК - 2005

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре математического анализа.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Георгий Анатольевич Свиридюк

Официальные оппоненты:

Ведущая организация Институт динамики систем и теории управления РАН, г. Иркутск

Защита состоится 30 ноября 2005 года в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Челябинском государственном университете по адресу: 454021, г. Челябинск, ул. Бр. Кашириных, 129, ЧелГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

доктор физико-математических наук, профессор Эрнст Генрихович Альбрехт

доктор физико-математических наук, доцент Тамара Геннадьевна Сукачева

Автореферат разослан

II

7

г.

Ученый секретарь диссертационного сове доктор физ.-мат. наук, профессор

В.И. Ухоботов

г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы. Пусть Ь и М - квадратные матрицы порядка п, с^ Ь = О, причем матрица М Ь-регулярна (т.е. существует число а 6 С такое, что с1е1;(а:.£, — М) — 0). Фиксируем т € и введем в рассмотрение пространство управлений

где р - порядок полюса в точке оо ¿-резольвенты оператора

о ..

М. Выделим в пространстве Нр замкнутое выпуклое

О «11

множество Нд - множество допустимых управлений.

В качестве множества управлений Нр+1 рассматривается множество многочленов ит степени т > р + 1, причем = 0. В качестве допустимых управлений

рассматриваем такие ит, что

д, - некоторая константа. С экономической точки зрения, множество допустимых управлений необходимо для того, чтобы ограничить воздействие на экономику. Любое управление сопряжено с определенными расходами. Воздействие на экономику может быть ограничено бюджетными расходами. Величина й характеризует предельно допустимую величину таких расходов. Пусть далее В и С - невырожденные квадратные матрицы порядка п, тогда вектор-функция Ви — Ви(Ь) задает управление, а вектор-функция г{Ь) = Сх(£) - наблюдение.

1 (Д) = {« 6 £2(0, Г; Г1) : и<р+1> € ¿2(0,т;Кп),

РОС. --------------

Поставим задачу оптимального управления

J(v) = min J(u) (1)

иен§+1

задачи Коши с начальными условиями

х(0) = х0 (2)

для системы уравнений

Lx = Мх + у + Ви, (3)

где функционал качества J = J(u) имеет вид

J(u)

= Е Г \\zto(t) - #\t)\\yt+

р+1 г

+ Е/ (^(^СОЫ* (4)

д^О-*0

где || • ||)5 и {■; ■)^ - евклидова норма и скалярное произведение в пространстве Мп соответственно, Л^ самосопряженные и положительно определенные матрицы порядка п, </ = 0,1,...,р + 1, = Сх{£) -

обозначает наблюдение, - "желаемое" наблюдение,

то наблюдение, которое необходимо получить в результате управления. С экономической точки зрения, - это

плановые значение некоторого показателя (например, план выпуска продукции).

Целью диссертации является построение численного алгоритма для решения задачи (1) - (3) (задачи оптимального управления) и алгоритма численного решения задачи (2) для системы уравнений

Ьх = Мх + /, (5)

(задачи Коши) где / = f(t) - вектор-функция.

Актуальность темы. Однозначная разрешимость задачи Коши является объектом пристального внимания многих математиков. Исчерпывающий ответ на вопрос о существовании единственного решения задачи Коши дали Л.Кронекер и К.Вейерштрасс. Однако их подход, основанный на концепции регулярности матричного пучка ¡iL — М, в настоящее время невозможно реализовать в численном алгоритме. Тем не менее, многие математики используют предложенный подход для решения задачи Коши (см., например, работы Д.М. Лернера и его учеников). Численным методам решения задачи Коши, основанным на неявной схеме Эйлера, посвящены работы Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова и их учеников.

Несмотря на большое количество задач оптимального управления для уравнений леонтьевского типа, возникших в последнее время в приложениях, современная математическая литература представляет недопустимо мало образцов их решения. Особенно это относится к неоднородным системам дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной. Одной из первых работ, посвященных управлению сингулярными системами, является монография L.Dai, в которой рассматриваются и прикладные аспекты проблемы. В частности, L.Dai рассматривает в качестве примера сингулярной системы динамическую систему "затраты-выпуск" В.В. Леонтьева. Для решения сингулярных систем автор использует алгоритм Вейерштрасса-Кронекера. S.L.Campbell и W.J.Terrell исследовали вопросы наблюдаемости для систем уравнений с вырожденной матрицей при производной по времени. Г.А. Куриной и ее учениками рассмотрена оптимизация квадратичного критерия качества на траекториях дескрипторных систем. Для решения

задачи использовалась прямая схема метода пограничных функций, которая заключается в подстановке в условиях задачи постулируемого асимптотического разложения и построение серии задач оптимального управления. Р.С. Muller рассматривал вопросы оптимального управления дескрипторными линейными системами уравнений. Предложенный им алгоритм решения задачи оптимального управления основан на приведении матричного пучка (sE — А) к канонической форме Вейерштрасса-Кронекера. А.А. Ефремовым было доказано существование и единственность решения задачи оптимального управления.

Методы исследования. Для построения алгоритма численного решения задачи Коши для системы уравнений (5) мы воспользовались методом фазового пространства. Отправной точкой для данного исследования послужила теория относительно р-ограниченных и относительно р-радиальных операторов и вырожденных аналитических и сильно непрерывных групп операторов, разработанная Г.А. Свиридюком и В.Е. Федоровым1 При решении задачи оптимального управления мы опирались на результаты Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова2.

При поиске оптимального управления на пространстве многочленов, выразим решение задачи оптимального управления через коэффициенты многочлена ит степени Tit > р + 1. Затем, при поиске вектор-функции ит (многочлена), минимизирующей функционал J (и), можно воспользоваться методом градиентного спуска, методом

1 Svindyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht-Boston: VSP, 2003.

2Свиридюк Г.А , Ефремов А.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами // Дифференц. уравн. 1995. Т. 31, №11, С. 1912-1919.

Ньютона или другими методами поиска экстремума функции многих переменных.

Данный метод минимизации функционала отличается от ранее предлагавшихся методов тем, что может быть использован для практических вычислений (текст соответствующей программы на С++ приведен в приложении к работе).

Теоретическая и практическая значимость. Основными результатами диссертации следует считать построение численного алгоритма решения задачи Коши, основанного на теории относительно ^ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов, а так же алгоритма вычисления оптимального управления для задачи (1) - (3). По численному алгоритму создан программный продукт для расчета оптимального управления экономикой коммунального хозяйства малых городов, экономикой многоотраслевых промышленных холдингов.

Апробации. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международной конференции посвященной 100-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова "Общие проблемы управления и их приложения" (Тамбов) 2003 г. [2], Воронежской зимней математической школе 2004 г. [4], Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург) 2004 г. [5], на семинарах проф. Г.А. Свиридюка в Челябинском государственном университете. Программный продукт, разработанный в ходе подготовки диссертации, зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ.

Структура работы. Диссертация кроме трех глав содержит Введение, Список литературы и Приложение. Объем диссертации составляет 122

страницы. Библиография содержит 81 наименование работ российских и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе изложены основные факты теории относительно р- ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов в адаптации к конечномерной ситуации. Необходимо отметить, что первым начал изучать этот класс операторов Г. А. Свиридюк3. Им была обнаружена и классифицирована изолированная особая точка в бесконечности ¿-резольвенты оператора М, построены вырожденные аналитические разрешающие группы операторов и найдены достаточные условия разрешимости задачи Коши.

В п. 1.1 показано, что в конечном случае ¿-спектр оператора М либо совпадает с комплексной плоскостью, либо является конечным множеством точек. Перечислены свойства относительно сг-ограниченных операторов, которые названы здесь (и далее) "относительно регулярными". Замена терминов вызвана тем фактом, что в конечномерном случае относительно <х-ограниченные и относительно р-радиальпые операторы совпадают. В этом же пункте приведены формулы для численного построения проекторов Р и <5, вычислены значения проекторов Р и для примера Леонтьева (см. п.1.4).

В п. 1.2 строятся разрешающие группы операторов.

В п. 1.3 приведена формула единственности решения задачи (2), (5), в явном виде выписано решение задачи

3 Свиридюк Г. А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // ДАН 1991. Т. 318, №4. С. 828-831.

Коши для неоднородного уравнения, обсуждаются оценки сходимости.

Теорема 1. Пусть р - порядок полюса в точке оо Ь -резольвенты оператора М. Пусть вектор-функция / € СР+1([0,Т];3). Тогда для любой точки

х0 € = | х € И : (I - Р)ж = - £ НкМъ\ I - | •

I А;=0 )

существует единственное решение х € С1([0, Т];11) задачи (2), (5) (Ь и М - квадратные матрицы порядка п, причем с^ Ь = 0; вектор-функции х, / : [0, Т] —> которое к тому же имеет вид

х{1) = - £ Нкм^(1 -

atk' к=о

+Ц*х0 + [* tf-aQf(8)da. J о

(6)

Замечание 1. Оператор Н, вообще говоря, очень трудно вычислить. Однако если существует оператор Мто HkMö1ß -Q) = (M-X(I - Q)L)kM~l(I - Q). Теорема 2. Пусть существует оператор М-1 G £(3^11). Тогда, для любой вектор-функции / е Ср+1([0, Т}; и любого вектора хо € Н такого, что

* - Нт(1-(£Я£(М))Р+1)х0 =

к—'оо п

lim M_1(I —(kLfc(M))p+l)fo,

к—> оо п

существует единственное решение задачи (2), (5) которое к тому же имеет вид

х{1) = - Ит

к—>оо '—* п

<7=0

+ Ит М-\{Ь-0+

А:—оо А)(р + 1)

+ Ит 11т Vш%((Ь- .^"^МГ^Цр+^х

>оо т—>оо ' 44 Нр + 1) ¿=1

и 5г - веса и узлы т-точечной квадратурной формулы Гаусса, г = 1,...,ш. р - порядок полюса в точке оо Ь -резольвенты оператора М.

В п.1.4 все абстрактные результаты приложены к расчету примера Леонтьева4.

Приведем точное решение и результаты счета по алгоритму в случае, когда

/= [21,21,21].

4 Леонтьев В. Межотраслевая экономика М : Экономика, 1997.

г Точное решение Результаты счета по алгоритму

XI Х2 хз XI Х2 хз

0 1. 1. 0.76923 1 1 0.76923

1 12 1.07959 1.11512 0.65454 1.07959 1.11512 0.65454

1 6 1.21122 1.26047 0.56982 1.21122 1.26047 0.56982

1 4 1.39926 1.43435 0.51562 1.39926 1.43435 0.51563

1 3 1.64905 1.63449 0.49255 1.64905 1.63449 0.49255

5 12 1.96712 1.85787 0.50121 1.96713 1.85788 0.50121

1 2 2.36152 2.10058 0.54227 2.36153 2.10058 0.54228

7 12 2.84214 2.35752 0.61644 2.84215 2.35753 0.61644

2 3 3.42124 2.62217 0.72446 3.42125 2.62217 0.72446

3 4 4.11399 2.88616 0.86715 4.11401 2.88617 0.86715

5 6 4.93924 3.13887 1.04539 4.93925 3.13887 1.04541

11 12 5.92041 3.36679 1.26018 5.92043 3.36680 1.26019

1 7.08671 3.55286 1.51261 7.08673 3.55286 1.51262

Вторая глава содержит основные результаты диссертации. В ней излагается численный алгоритм решения задачи оптимального управления.

В п.2.1 доказана теорема о непрерывности функционала 1(и), получена оценка сходимости решения задачи оптимального управления.

Пусть п т ' ~ некоторое конечномерное подпространство пространства Нр+] (скажем, Нгп^ - пространство вектор-функций из Нр+1, каждая компонента которых есть многочлен от I степени не больше т, т > р + 1). Пусть Нгп1 всюду плотно в

о „, }

Нд при всех т > то > р + 1, тогда, пользуясь формулами (6) и (4), можно со сколь угодно большой точностью (зависящей только от числа итераций) найти

о , .

приближенное оптимальное управление ит еНРт ■ Нами установлена

Теорема 3. J(vm) —> J(v) при т —► оо, где

1{ут) = Ю1П 3{ит)

ит€нй1

■р+ 1

В п.2.2 рассматривается алгоритм решения задачи оптимального управления.

В качестве множества допустимых управлений рассматривается выпуклое множество многочленов вида

п-1-1

где ит(£) = Е?=р+1 Яг? ~ вектор-функция допустимого управления (многочлен), т - максимальная степень многочлена, с? - неотрицательная константа, аг - вектор коэффициентов многочлена.

Алгоритм решения задачи оптимального управления состоит из двух основных этапов

1) Поиск проекции произвольных начальных условий на фазовое пространство. Для этого решаем задачу

где х - произвольные начальные условия, ж о проекция начальных условий на фазовое пространство уравнения (5), которую необходимо найти.

2) Поиск многочлена, минимизирующего функционал. Для этого воспользуемся теоремами (1), (3) и запишем функционал (4) в виде в виде функции от переменных аг - коэффициентов многочлена допустимого управления. Затем, для минимизации функционала воспользуемся алгоритмом минимизации функции многих переменных. В процессе минимизации будем учитывать условие о

(В)

Н^о — х\\2 —*

шш,

(9)

принадлежности многочлена управления множеству допустимых управлений. Таким образом, вычислив коэффициенты аг, при которых функционал (4) минимален, мы нашли многочлен степени тв, минимизирующий функционал на множестве многочленов степени т.

В п.2.3 полученные результаты приложены к примеру Леонтьева. Приведем здесь сравнение оптимального управления (у) и управления, вычисленного по алгоритму (V).

1 Точное решение х(Ь, ь) Точное решение х{1, у)

XI х2 хя Х\ Х2 хз

0 2.50000 3. 2.15384 2.50000 3. 2.15384

1 12 2.52962 3.08383 2.29412 2.52936 3.08345 2.29377

1 6 2.63865 3.25791 2.50179 2.63769 3.25641 2.50062

1 4 2.81435 3.50816 2.76643 2.81240 3.50501 2.76410

1 3 3.04381 3.82023 3.07743 3.04073 3.81507 3.07377

5 12 3.31402 4.17945 3.42404 3.30980 4.17216 3.41898

1 2 3.61183 4.57087 3.79530 3.60663 4.56152 3.78893

7 М 3.92402 4.97918 4.18008 3.91811 4.96807 4.17264

2 3 4.23732 5.38870 4.56706 4.23111 5.37637 4.55893

3 4 4.53846 5.78337 4.94474 4.53247 5.77061 4.93645

5 6 4.81418 6.14670 5.30144 4.80903 6.13453 5.29367

11 12 5.05136 6.46168 5.62526 5.04776 6.45144 5.61885

1 5.23708 6.71079 5.90414 5.23578 6.70408 5.90008

В третьей главе приводятся расчеты экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска. В п.3.1 дается общая историко-географическая характеристика города. В п.3.2 приводятся матрицы капитальных и текущих затрат, построенные по данным, полученные в администрации г. Еманжелинска. Здесь же приводятся промежуточные результаты расчетов. В п.3.3 приводятся окончательные результаты. Рассмотривается прогноз

развития коммунального хозяйства в отсутствии внешнего финансирования и под действием оптимального управления, направленного на удвоение доходов за год. Расчеты выполнены с допущением, что возможность государства влиять на коммунальное хозяйство ограничено суммой 1 700 млн. руб.

В результате вычислений получен следующий прогноз развития коммунального хозяйства под действием оптимального управления.

Прогнозируемый период Среднегодовые доходы, тыс. руб.

Жилье Вода Тепло Прочие Труд

декабрь 2004 г. 26488 44652 45788 4643 35981

январь 2005 г. 26678 45136 46443 5028 41443

февраль 2005 г. 27182 46583 48784 5462 47034

март 2005 г. 27970 48969 52692 5934 52715

апрель 2005 г. 29000 52241 58000 6434 58455

май 2005 г. 30226 56310 64495 6954 64232

июнь 2005 г. 31593 61049 71916 7489 70032

июль 2005 г. 33038 66287 79949 8034 75847

август 2005 г. 34495 71805 88229 8586 81671

сентабрь 2005 г. 35887 77327 96335 9145 87503

октябрь 2005 г. 37133 82522 103791 9708 93343

ноябрь 2005 г. 38144 86994 110061 10276 99191

декабрь 2005 г. 38825 90276 114552 10850 105046

Из таблицы видно, что в результате управления за 12 месяцев удалось значительно увеличить оплату труда и прочие доходы. В наименьшей степени подвержены внешнему воздействию доходы по статье "Жилье". Полученный результат говорит о том, что для достижения поставленных целей в короткие сроки необходимо изменение технологии производства - внесение изменений в матрицы Ь и М.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бурлачко И.В., Свиридюк Г.А. О численном решении задачи Коши для вырожденной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. 2003. Т.8, вып. 3, С.353-354.

2. Бурлачко И.В., Свиридюк Г.А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // ЖВМиМФ. 2003. Т. 43, №11, С. 1677-1683.

3. Бурлачко И. В. О численном решении задачи Коши для неоднородной системы уравнений Леонтьева // Воронежская зимняя математическая школа. 2004. С.27-29.

4. Бурлачко И.В. Алгоритм решения неоднородной системы уравнений Леонтьева / / Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тезисы докладов всероссийской конференции. Екатеринбург. 2004. С.149-150.

5. Бурлачко И.В. Об алгоритме решения задачи оптимального управления для систем уравнений леонтьевского типа // Рук. деп. ВИНИТИ, №1046-В2005 от 18.07.05.

6. Бурлачко И.В. О численном решении задачи оптимального управления для неоднородной системы уравнений леонтьевского типа. // Вестник МаГУ. Математика. - Выи. 8. - Магнитогорск: МаГУ, 2005. С. 4 - 14.

РНБ Русский фонд **

2006-4 21789

Подписано в печать 28.10.05. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ сС'7 .

Челябинский государственный университет 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

Полиграфический участок Издательского центра Челябинского государственного университета 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 576

ф, Обозначения и соглашения

Введение

1 Алгоритм решения задачи Коши для неоднородных систем уравнений леонтьевского типа

1.1 Проекторы ф 1.2 Разрешающие группы операторов.

1.3 Разрешимость задачи Коши.

1.4 Пример Леонтьева.

2 Задача оптимального управления

2.1 Постановка задачи оптимального управления.

2.2 Алгоритм решения задачи оптимального управления

2.3 Пример Леонтьева.

3 Коммунальное хозяйство малого города

0 (г. Еманжелинск Челябинской области)

3.1 Историко-географическая и экономическая характеристика Еманжелинска .v

3.2 Построение матриц L и М

Постановка задачи. Пусть L и М - квадратные матрицы порядка п, det L = 0, причем матрица М L-регулярна (т.е. существует число a G С такое, что det(o;L — М) = 0). Фиксируем т £ R+ и введем в рассмотрение пространство управлений

Нр+1 (Я) = {и е L2(0,r;]Rn) : и^ £ L2(0, т; Е"), «<«>(0) = 0,

9 = 0,1,.,р} р - порядок полюса в точке оо L-резольвенты оператора М (подробное определение дано в п. 1.1. данной работы), верхний индекс (р + 1) и (q) обозначает порядок производной по t. Выделим в пространстве Нр+1 замкнутое выпуклое множество о

Hq ~ множество допустимых управлений. В качестве множества управлений Нр+1 рассматривается множество многочленов ит степени т > р + 1, причем «^(0) = 0 (т.е. коэффициенты многочлена и при Р (j < р+1) равны нулю). В качестве допустимых управлений рассматриваем такие ит, что d - некоторая константа. С экономической точки зрения, множество допустимых управлений необходимо для того, чтобы ограничить воздействие на экономику. Любое управление сопряжено с определенными расходами. Воздействие на экономику может быть ограничено бюджетными расходами. Величина d характеризует предельно допустимую величину таких расходов. Пусть далее В и С - невырожденные квадратные матрицы порядка п, тогда вектор-функция Ви = Bu(t) задает управление, а вектор-функция z(t) =

Cx{t) - наблюдение. Поставим задачу оптимального управления

J(v)= min J {и) (0.1) иен?1 задачи Коши с начальными условиями

0) = х0 (0.2) для системы уравнений

Lx = Мх + у + Ви, (0.3) где функционал качества J = J (и) имеет вид

0.4) где || • ||jj и (•,•)# ~ евклидова норма и скалярное произведение в пространстве Ш1 соответственно, Nq - самосопряженные и положительно определенные матрицы порядка п, q = 0,+ 1, z(t) = Cx(t) - обозначает наблюдение, zo(t) - "желаемое" наблюдение, то наблюдение, которое необходимо получить в результате управления. С экономической точки зрения, zo{t) - это плановые значение некоторого показателя (например, план выпуска продукции).

Целью диссертации является построение численного алгоритма для решения задачи (0.1) - (0.3). Однако прежде необходимо построить алгоритм численного решения задачи Коши с начальными условиями (0.2) для системы уравнений

Lx = Мх + у. (0.5)

В диссертации С.В. Брычева [11] (см. также [48]) разработан алгоритм решения задачи (0.2), (0.5) в случае, когда свободный

1 рТ Р+1 р а=0 J0 (1=0 J0 член у - постоянный вектор. Поэтому нужно распространить эти результаты на случай, когда у = y(t) есть вектор-функция. Отправной точкой здесь должна стать теория относительно р-ограниченных и относительно /^радиальных операторов и вырожденных аналитических и сильно непрерывных групп операторов, разработанная Г.А. Свиридюком и В.Е. Федоровым [75], гл. 4 (см. также [44], [51]). При решении задачи (0.1) - (0.3) необходимо опираться на результаты Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова [75], гл. 7 (см. также [45], [46]).

При решении задачи Коши для неоднородной системы уравнений (0.5) будем применять метод фазового пространства, метод построения разрешающих групп операторов, аналогичный использовавшемуся в диссертации С.В. Брычева, а так же метод Гаусса для численного интегрирования.

С.В. Брычев рассматривает однородное уравнение

Ьх = Мх + /.

Так как в исследовании С.Брычева / = const, то фазовое пространство можно записать как я0 е = {х е Я : (I - Р)х = (I - Q) (Мх + /)} .

В работе С.В. Брычева не рассматриваются методы, позволяющие получить xq проекцию произвольного начального условия х на фазовое пространство уравнения таким образом, чтобы жо — х\\2 —> min.

Погрешность экономических измерений достаточно велика (зачастую в отчетах округляют значения показателей до тысяч или миллионов рублей), и полученные начальные условия х могут не принадлежать фазовому пространству. Поэтому важным этапом вычислений является построение указанной проекции.

В данном исследовании мы рассматриваем неоднородное уравнение, где / = y(t) + Bu(t), y(t) - некоторое внешне воздействие на экономическую систему, зависящее от времени t (например, экспорт и импорт товаров, которые зависят от сезонных факторов), u(t) - управляющее воздействие государства на экономическую систему, постоянная матрица В - характеризует правила, по которым осуществляется перераспределение бюджетных средств. Из-за неоднородности рассматриваемого уравнения, его фазовое пространство имеет более сложный вид, чем в работе С.В. Брычева х0 е Щ = < хей:(1 -P)x = -J2 нкМъ\1 - Q)^f( 0) к=0 .

Аналитическое решение уравнения (и однородного, и неоднородного) имеет вид р Г* u(t) = - £ Н*М^—№ + U% + / R^mds

U dtQ ^

При численном решении однородного уравнения, которое рассматривает С.В. Брычев, не требуется применять численное дифференцирование в первом слагаемом, нет необходимости вычислять подынтегральный оператор Rt, применять методы численного интегрирования. В случае неоднородного уравнения, для решения применяются методы численного дифференцирования и интегрирования, вычисляется подынтегральный оператор RК Далее, указанные методы решения неоднородного уравнения используются при решении задачи оптимального управления. В работе С.В. Брычева вопросы оптимального управления не рассматриваются.

Решение задачи оптимального управления исследуется на множестве многочленов. Это дает несколько преимуществ:

1) Множество многочленов степени не менее р + 1, с нулевыми коэффициентами при степенях менее р + 1 всюду плотно в Нр+1

2) Решение неоднородного уравнения на множестве многочленов степени т можно выразить через коэффициенты этих многочленов (в любой заданной точке Т). Таким образом, подставляя в полученное для множества многочленов степени тп решение значения коэффициентов, легко находим решение для любого соответствующего многочлена степени т.

3) Выразив решение неоднородного уравнения через коэффициенты многочленов, подставляем это решение в функционал. Теперь функционал зависит от коэффициентов многочлена.

4) Так как функционал представляет собой в результате функцию многих переменных, то для его минимизации пользуемся известными методами поиска экстремума функции многих переменных. Найденные коэффициенты будут коэффициентами многочлена управления, минимизирующего функционал.

Данный метод минимизации функционала отличается от ранее предлагавшихся методов тем, что может быть использован для практических вычислений (текст соответствующей программы на С++ приведен в приложении к работе).

Терминология. В диссертации С.В. Брычева [11] уравнения (0.5) с L-регулярными матрицами М названы уравнениями леонтъевского типа. Происхождение термина восходит к динамической системе межотраслевого баланса В. В. Леонтьева "затраты-выпуск" с учетом запасов [32], [33]. В дальнейшем мы будемм пользоваться этим термином наряду с терминами "вырожденная (сингулярная) система обыкновенных дифференциальных уравнений" [5], [19], [12], "дескрипторная система обыкновенных дифференциальных уравнений" [68], [72], [74], [64], [65], [60], "алгебро-дифференциальные уравнения" [6], [8], [15], [10], [24], [71], "уравнения типа Соболева" [3], [45], [49].

Актуальность темы диссертации. Однозначная разрешимость задачи (0.2), (0.5) является объектом пристального внимания многих математиков. Исчерпывающий ответ на вопрос о существовании единственного решения задачи (0.2), (0.5) дали Л.Кронекер и К.Вейерштрасс (цит. по [17]). Однако их подход, основанный на концепции регулярности матричного пучка цЬ—М, в настоящее время невозможно реализовать в численном алгоритме. Тем не менее, многие математики используют предложенный подход для решения задачи (0.2), (0.5), в частности [2], [69], [70], [34]. Численным методам решения задачи (0.1), (0.3), основанным на неявной схеме Эйлера, посвящены многие из работ Ю.Е. Бояринцева, М.В. Булатова, В.Ф. Чистякова, А.А. Щегловой. Главные принципы этого подхода изложены в монографиях Ю.Е. Бояринцева [9], [5], [7], [4], В.Ф. Чистякова [53], [54], [55].

Цикл работ [37], [38], [39] посвящен методу решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, основанный на вычислении матричной экспоненты и интеграла от нее с помощью реккурентных соотношений. Приводятся формулы для вычисления глобальной погрешности численного решения.

М.В. Булатов в своей статье [13] (1997 г.) рассматривает линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной. В работе предложен алгоритм возмущения при решении задачи Коши для исходной системы. Доказывается теорема об оценке разности решений исходной и возмущенной систем.

В статье М.В. Булатова [14] (1998 г.) рассмотрена задача Коши для дифференциально-алгебраических систем. Для характеристики степени некорректности дифференциально-алгебраических систем вводится понятие индекса. Предложен класс разностных схем высокого порядка точности для численного решения рассматриваемых задач. Если входные данные заданы с погрешностью, то указаны условия, при выполнении которых предложенные разностные схемы являются регуляризующим оператором, причем параметром регуляризации является шаг дискретизации.

В работе В.Ф. Чистякова и М.В. Булатова [15] (2002 г.) предлагается класс разностных схем для численного решения дифференциально-алгебраических уравнений высокого индекса. Получена оценка сходимости к решению исходной задачи. Доказано, что в некоторых случаях предложенные разностные схемы позволяют вычислять точное решение уравнений в узлах сетки.

В работе М.В. Булатова [16] (2002 г.) выделен класс интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с вырожденной матрицей перед производной вида t

A{t)x'(t) + B{t)x{t) + J K(t, т, x{r))dr = f(t), fe[0,l], о с заданным начальным условием х(0) = а, где A(t), B(t) - заданные (n х п)-матрицы, К(-) : Rn+2 —f(t) - заданная, x(t) - искомая n-мерные вектор-функции и det A(t) = 0. Приведены достаточные условия существования и единственности непрерывного решения данной задачи. Для рассматриваемых систем предложен численный метод решения, основанный на неявном методе Эйлера и квадратурной формуле левых прямоугольников.

А.А. Щеглова в статьях [57], [56] (2002 г.) исследует возможность построения обобщенного в смысле Соболева—Шварца решения задачи

A(t)x'(t) + B(t)x(t) = f(t), t e T = [0, +oo), z(0) = a, с вырожденной для любого t G T (n x п)-матрицей при производных в условиях, когда классического решения x(t) £ С1(Т) не существует (начальные данные не согласованы, а правая часть - недостаточно гладкая вектор-функция). Доказана сходимость последовательности классических решений задачи Коши для системы с постоянными коэффициентами, полученных методом возмущения, к обобщенному решению.

В статье В.Ф. Чистякова и А.А. Щегловой [58] (2004 г.) исследуется устойчивость в смысле Ляпунова тривиального решения алгебро-дифференциальной системы (АДС) вида

A{t)x'{t) + B(t)x{t) = /(*), t G T = [0, +оо), где A(t), B(t) - (n х п)-матрицы; detA(t) = 0, t G T.

На базе развитой в последнее десятилетие теории регуляризирующих операторов получены признаки устойчивости решений АДС произвольно высокого индекса неразрешенности г < п, доказаны аналоги теорем Еругина и Флоке. Сформулированы и доказаны утверждения об устойчивости решений АДС с ш-периодическими коэффициентами. Допускается случай, когда матрица A(t) имеет на Т переменный ранг.

Несмотря на большое количество задач оптимального управления для уравнений леонтьевского типа, возникших в последнее время в приложениях, современная математическая литература представляет недопустимо мало образцов их решения. Особенно это относится к неоднородным системам дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной. Рассмотрим основные из имеющихся на данный момент результатов в этой области.

Одной из первых работ, посвященных управлению сингулярными системами, является монография L.Dai [68] (1989 г.), в которой рассматриваются и прикладные аспекты проблемы. В частности, L.Dai рассматривает в качестве примера сингулярной системы динамическую систему "затраты-выпуск" В.В. Леонтьева. Для решения сингулярных систем автор использует алгоритм Вейерштрасса-Кронекера.

S.L.Campbell и W.J.Terrell [77], [76], [61], [62], [63] (1990 - 1994 г.г.) где Е, F - квадратные матрицы. Е идентично сингулярна на интервале т, х £ Rп, и - гладкая вещественнозначная исследовали вопросы наблюдаемости для системы

E(t)x' + F(t)x = B{t)u, У = C(t)x,

0.6) (0.7) функция входа, C(t) - гладкая матричная функция I х п, определяющая выход системы у. В одной из статей [77] W.J.Terrell применил метод разложения системы (0.9), (0.7) в прямую сумму -ненаблюдаемого подпространства и его наблюдаемого дополнения. Декомпозиция системы относительно наблюдаемости получена с помощью построенного автором естественного завершения системы (0.9), (0.7), т.е. системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

D + G)x = Y/Ri(t)(Dib)(t)1 (0.8) г=0 где

D = jt,b(t) = B(t)u(t),

G и Ri(t) - матрицы п х п, и ассоциированного с ним проектора Р. Доказана единственность такой декомпозиции для данной конкретной системы в пространстве Ж.4.

Г.А. Куриной и Х.А. Овезовым в работе [27] (1996 г.) рассмотрена оптимизация квадратичного критерия качества на траекториях дескрипторной системы

А + еВ) ^ = C(t)x(t) + D{t)u{t), х(0) = х°. ис

Для решения задачи используется прямая схема метода пограничных функций, которая заключается в подстановке в условиях задачи постулируемого асимптотического разложения и построение серии задач оптимального управления.

Р.С. Muller в статье [73] (1999 г.) рассматривает дескрипторную линейную систему уравнений

Ex(t) = Ax(t) + Bu(t) 14 y(t) = Cx(t) + Du(t) где x - вектор размерности n, и - n-мерный вектор управления, у - вектор наблюдения размерности т. Матрицы Е, А размерности n х го, а матрицы В, С, D имеют размерность п х г, т х п и т х г соответственно. Основное свойство рассматриваемой системы заключается в том, что rank Е < п.

Для рассматриваемой системы уравнений определен функционал качества J 1 Г°° 2 Уо х и где

R> О,

Q Z ZT R

Q Z ZT R х и dt —> min и 0.

Алгоритм решения сформулированной задачи основан на приведении матричного пучка (sE — А) к канонической форме Вейерштрасса-Кронекера.

Г.А. Куриной в работе [28] (2001 г.) приведены достаточные условия существования ограниченного обратного оператора для линейного оператора, появляющегося в теории оптимального управления линейными системами в гильбертовом пространстве и имеющего матричное представление вида

Fi 0 F2

F* -F; Fb где F3, F4 — неотрицательные самосопряженные операторы. Обратимость исследуемого оператора используется для доказательства однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи, возникающей из условий оптимальности управления. Схожая проблема рассматривается в статье [29], [1], [31].

Особо в этом кратком обзоре следует отметить работы Г.А. Свиридюка [40] и Г.А. Свиридюка и Т.Г. Сукачевой [41], [42], в которых метод фазового пространства применяется к исследованию задачи (0.2), (0.3) при условии, что вектор-функция / = f(u). При некоторых дополнительных условиях на вектор-функцию / показано, что фазовым пространством уравнения (0.3) является гладкое С°°-многообразие.

Предпосылкой для данного исследования стали работы Г.А. Свиридюка и С.В. Брычева [И], [47], [48] и Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова [45], [46].

В работах Г.А. Свиридюка и С.В. Брычева основные факты теории относительно р-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов были адаптированы к конечномерной ситуации. Был построен численный алгоритм для решения задачи (0.2), (0.3) в случае, когда свободный член у - постоянный вектор. Алгоритм основан на теории относительно р-радиальных операторов и вырожденных сильно непрерывных полугрупп операторов.

Важное место в данном обзоре занимают работы Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова [45], [46], где доказано существование и единственность решения задачи (0.1) - (0.3).

В работе В.Е. Федорова и М.В. Плехановой [52] (2004 г.) используется подход, аналогичный [45], [46]. От указанных результатов, результаты [52] отличаются отсутствием ограничений на начальные условия задачи Коши Xq и гораздо более существенными ограничениями, накладываемыми на множество допустимых управлений.

Методы исследования. Для построения алгоритма численного решения задачи (0.2), (0.5) воспользуемся методом фазового пространства. Суть его вкратце сводится к следующему. Сингулярное уравнение (0.5) редуцируется к регулярному х = Sx, (0.9) определенному однако не на пространстве Rn, а на некотором его подмножестве ф С Еп, понимаемом нами как фазовое пространство исходного уравнения (0.5). Затем ищется разрешающая (полу)группа уравнения (0.9), которая оказывается разрешающей (полу)группой уравнения (0.5). Необходимо отметить, что начал строить такие полугруппы A.Favini [66], затем его результаты были развиты A.Favini и A.Yagi [67]. Независимо от них другое решение задачи (0.2), (0.3) дали И.В. Мельникова и М.А. Алыпанский [35], [36]. И, наконец, третий способ был разработан Г.А. Свиридюком [43].

При поиске оптимального управления на пространстве многочленов, выразим решение задачи (0.1) - (0.3) через коэффициенты многочлена ит степени т > р + 1. Затем, при поиске вектор-функции ит (многочлена), минимизирующей функционал J (и), можно воспользоваться методом градиентного спуска, методом Ньютона или другими методами поиска экстремума функции многих переменных.

Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме трех глав содержит Введение, Список литературы и Приложение. Отметим сразу, что Список составлен только с учетом личных вкусов и пристрастий автора, содержит только работы, непосредственно относящиеся к теме диссертации, и не претендует на полноту. В Приложении приводится исходный текст на языке С++ программного продукта, предназначенного для вычисления оптимального управления для систем уравнений леонтьевского типа.

1. Азизов Т.Я., Кириакиди В.К., Курина Г.А. Индефинитный подход к задаче о приводимости неотрицательно гамильтоновой оператор-функции к блочно-диагональной форме. // Функц. анал. и его прил. 2001. Т. 35, №3, С. 73-75.

2. Бахилина И.М., Лернер Д.М. Алгоритм решения дифференциальных уравнений, не приведенных к форме Коши // Изв. ЛЭТИ. 1980. №269, С.80-84.

3. Бокарева Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1993.

4. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. -Новосибирск: Наука, 1980.

5. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

6. Бояринцев Ю.Е., Данилов В.А., Логинов А.А., Чистяков В.Ф. Численные методы решения сингулярных систем. Новосибирск: Наука, 1989.

7. Бояринцев Ю.Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1996.

8. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы численного решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998.

9. Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы. Новосибирск : Наука , 2000.

10. Брычев С. В. Исследование задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2001.

11. Булатов М.В., Чистяков В. Ф., Щеглова А.А. Многошаговые разностные схемы для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений .// Численные методы анализа и оптимизации. Новосибирск: Наука, 1992. С.90-96.

12. Булатов М.В. Метод возмущения дифференциально-алгебраических систем. // Изв ВУЗ. Матем. 1997. №11, С. 3-9.

13. Булатов М.В. Об одном классе разностных схем для численного решения дифференциально-алгебраических систем. // ЖВМиМФ. 1998. Т. 38, №10, С.1641-1650

14. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений. // ЖВМиМФ. 2002. Т. 42, №4, С. 459-470.

15. Булатов М.В. Об интегро-дифференциальных системах с вырожденной матрицей перед производной. // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, №5, С. 692-697

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, 4-ое изд. М.: Наука, 1988.

17. Гранберг А. Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985.

18. Данилов В.А. Двухшаговая схема для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей перед производными // Приближенные методы решения операторных уравнений и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1982. С.84-93.

19. Дудко JI.JI. Исследование полугрупп операторов с ядрами. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Новгород, 1996.

20. Ефремов А.А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1996.

21. Келлер А.В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1997.

22. Кузнецов Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1999.

23. Куликов Г.Ю. Численное решение задачи Коши для системы дифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Рунге-Кутты с нетривиальным предиктором // ЖВМиМФ. 1998. Т.38, №, С. 68-84.

24. Курина Г.А. О полной управляемости разнотемповых сингулярно возмущенных систем. // Мат. заметки. 1992. 52, №4, С. 56-61.

25. Курина Г.А. О поведении множеств достижимости линейных матрично сингулярно возмущенных систем. // Тр. МИРАН. 1995. 211, С. 316-325.

26. Курина Г.А., Овезов Х.А. Асимптотический анализ матрично сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управления. // Изв. вузов. Мат. 1996. №12, С. 63-74.

27. Курина Г.А. Обратимость оператора, возникающего в теории управления линейными системами. // Мат. заметки. 2001. 70, №2, С. 230-236.

28. Курина Г.А. Обратимость неотрицательно гамильтоновых операторов в гильбертовом пространстве. // Дифференц. уравнения. 2001. 37, №6, С. 839-841, 863-864.

29. Курина Г.А. Асимптотика решения задач оптимального управления для дискретных слабоуправляемых систем. // ПММ. 2002. 66. №, С. 214-227.

30. Курина Г.А., Мартыненко Г.В. Приводимость одного класса оператор-функций к блочно-диагональной форме. // Мат. заметки. 2003. 74, №5, С. 789-792.

31. Леонтьев В. Экономические эссе. М.: Изд. полит, литер., 1990.

32. Леонтьев В. Межотраслевая экономика. М.: Экономика, 1997.

33. Матвеева И. И. Задача Коши для систем с вырожденной матрицей при производной по времени. Новосибирск, 1996. -(Препринт // РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т матем.; №34).

34. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // ДАН. 1994. Т.336., Ш. С.17-20.

35. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Обобщенная корректность задачи Коши и интегральные полугруппы // ДАН. 1995. Т.343., №4. С.448-451.

36. Павлов Б.В., Повзнер А.Я. Об одном методе численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ЖВМиМФ. 1973. Т.13., №4, С.1056-1059.

37. Павлов Б.В., Родионова О.Е. Метод локальной линеаризации при численном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ЖВМиМФ. 1987. Т.27, №5, С.688-699.

38. Павлов Б.В., Родионова О.Е. Численное решение систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // ЖВМиМФ. 1994. Т.34, №4, С.622-627.

39. Свиридюк Г.А. Об одной сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. 1987. Т.23, №9, С.1637-1639.

40. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О галеркинских приближениях уравнений типа Соболева // Изв ВУЗ. Матем. 1989. №10, С.44-47.

41. Свиридюк Г.А., Сукачева Т. Г. О разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. (Качеств, теор.). Рязань, 1990. С.108-115.

42. Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // ДАН. 1991. Т. 318, №. С. 828-831.

43. Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп операторов // УМН. 1994. Т. 49, Ш. С. 47-74.

44. Свиридюк Г.А., Ефремов А.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами // Дифференц. уравн. 1995. Т. 31, №11, С. 1912-1919.

45. Свиридюк Г.А., Ефремов А.А. Задача оптимального управления для одного класса линейных уравнений типа Соболева // Изв ВУЗ. Матем. 1996. №12.

46. Свиридюк Г.А., Брычев С.В. Существование неотрицательных решений ситемы уравнений Леонтьева // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2000. С. 14-17.

47. Свиридюк Г.А., Брычев С. В. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа // Изв ВУЗ. Матем. 2003. №8, С.46-52.

48. Федоров В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1996.

49. Федоров В.Е. Группы и полугруппы операторов с ядрами. Учеб. пособ. Челябинск: ЧелГУ, 1998.

50. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, вып.З, С. 173-200.

51. Федоров В.Е., Плеханова М.В. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, №11, С. 1548-1556.

52. Чистяков В. Ф. О понятии индекса сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // В кн. Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск. 1986. С. 123-128.

53. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. Новосибирск: Наука, 1996.

54. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро- дифференциальных систем. Новосибирск: Наука, 2003.

55. Щеглова А.А. К вопросу об обобщенном решении алгебро-дифференциальных систем. // Сиб. мат. ж. 2002. 43, №4, С. 964-973.

56. Щеглова А.А. Линейные алгебро-дифференциальные системы с переменным отклонением аргумента. // Изв. ВУЗ. Матем. 2002, №, С. 69-77.

57. Щеглова АА., Чистяков В. Ф. Устойчивость линейных алгебро-дифференциальных систем. // Дифференц. уравнения. 2004. 40, №1, С. 47-57.

58. Якупов М.М. Исследование фазовых пространств некоторых задач гидродинамики. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1999.

59. Arevalo С., Soderlind G. Convergence of multistep discretizations of DAE's // BIT(35) 1995, P.143-168.

60. Campbell S.L., Petzold L.R. Canonical forms and solvable singular systems of differential equations // SIAM Alg. Discr. Methods. 1983. V.4., Ш. P.517-521.

61. Campbell S.L., Nichols N., Terrell W.J. Duality, observability and controllability/or linear time-varying descriptor systems // Circuits, Systems Signal Process. 1991. V.10, P.455-470.

62. Campbell S.L., Terrell W.J. Observability of linear time varying descriptor systems // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1991. V.3, P.484-496.

63. Chu De-lin, Cai Da-yong Stable computation for controllability and R-controllability related to generalized systems // J. Numer Methods and Comput. Appl. 1992. V.12, №3, P. 189-196.

64. Chu De-lin, Саг Da-yong A stable algorithm for computing controllability related to descriptor systems //J. Numer Methods and Comput. Appl. 1992. V.12, №2, P.145-151.

65. Favini A. An operational method for abstract degenerate evolution equations of hiperbolic type // J. Funct. Anal. 1988. V.76, P.432-456.

66. Favini A., Yagi A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations // Ann. Mat. pur. ed appl. 1993. V.163. P353-384.

67. Dai L. Singular control systems. Lecture notes in control and information sciences. Berlin: Springer, 1989.

68. Devdariani E. N., Ledyaev Yu. S. Maximum Principle for Implicit Control Systems. // Appl. math, optim., 1999, №40. P. 79-103

69. Kunkel P., Mehrmann V., Rath W. Analysis and numerical solution of control problems in descriptor form. // Math. Control singular systems. 2001, №14, P. 29-61.

70. Maerz R. Progress in handling differential-algebraic equations. // Annals of Numerical Mathematics. 1994. №1, P. 279-292.

71. Muller P. C. Stability and optimal control of nonlinear descriptor systems: a survey. // Appl. math, and сотр. sci. 1998. Vol. 8, №2, P. 269-286.

72. Muller P. C. Linear control design of linear descriptor systems. // 14th Triennial world congress, Beijing, PR. China, 1999.

73. Muller P. С. Descriptor systems: pros and cons of system modelling by differential-algebraic equations. // Mathematica and computers in simulation. 2000, №53, P. 273-279.

74. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht-Boston: VSP, 2003.

75. Terrell W.J. Observability and external description of linear time varying singular control systems Ph. D. thesis, Department of Mathematics, North Carolina State University, Raleigh, NC. 1990.

76. Terrell W.J. The output-nulling space, projected dynamics, and system decomposition for linear time-varying singular systems. // SIAM J. Contr. and Optimiz. 1994. V.32, №3, P.876-889.

77. Бурлачко И.В., Свиридюк Г.А. О численном решении задачи Коши для вырожденной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. 2003. Т.8, вып. 3, С.353-354.

78. Бурлачко И.В., Свиридюк Г.А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // ЖВМиМФ. 2003. Т. 43, №11, С.1677-1683.

79. Бурлачко И. В. О численном решении задачи Коши для неоднородной системы уравнений Леонтьева // Воронежская зимняя математическая школа. 2004. С.27-29.

80. Бурлачко И.В. Алгоритм решения неоднородной системы уравнений Леонтьева / / Алгоритмический анализнеустойчивых задач. Тезисы докладов всероссийской конференции. Екатеринбург. 2004. С.149-150.

81. Бурлачко И. В. Об алгоритме решения задачи оптимального управления для систем уравнений леонтьевского типа // Рук. деп. ВИНИТИ, ДО1046-В2005 от 18.07.05.