автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное исследование математических моделей оптимального измерения

На правах рукописи

Назарова Елена Игоревна

Численное исследование математических моделей оптимального измерения

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 ДЕК 2012

Челябинск - 2012

005056619

005056619

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (НИУ).

Научный руководитель д-р физ.-мат. наук, доц. Келлер Алевтина Викторовна.

Официальные оппоненты:

Кадченко Сергей Иванович, д-р физ.-мат. наук, проф., ФГБОУ ВПО «Магнитогорский государственный университет», зав. каф. прикладной математики и вычислительной техники;

Кризский Владимир Николаевич, д-р физ.-мат. наук, проф., Стерлитамак-ский филиал Башкирского государственного университета, проректор по научной работе и инновационной деятельности.

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет».

Защита состоится 12 декабря 2012 года в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (НИУ), по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76, ауд. 1001.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Южно-Уральскоий государственный университет» (НИУ).

Автореферат разослан « ¿Р» ноября 2012 г.

Келлер Алевтина Викторовна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Повышение требований, предъявляемых к качеству измерений в различных сферах практической и научной деятельности (метрологии1, энергетике2, геофизике3 и др.), определяет необходимость развития математического аппарата для решения основных задач динамики при измерениях, не зависящих от физической природы измеряемых величин. Диссертационная работа посвящена разработке численного метода исследования задачи оптимального измерения с учетом инерционности измерительного устройства (ИУ), являющейся математической моделью задачи восстановления динамически искаженных сигналов; применению представленного метода и алгоритма к задаче оптимального измерения покупательского поведения.

В целом, в измерительных системах отсутствуют связи с выхода на вход, однако, удается создать структуры корректирующих устройств, в которых может быть реализовано модальное управление - управление, при котором достигается требуемый характер переходных процессов за счет обеспечения необходимого расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости. К такому виду относится измерительная система с модальным управлением динамическими характеристиками на основе модели датчика, предложенная профессором A. JI. Шестаковым4. Им и его учениками - M. Н. Бизяевым, Д. Ю. Иосифовым, Е. В. Солдатки-ной и др. - разработаны методы решения задач динамических измерений, позволяющие восстанавливать входной сигнал датчика по его измеренному выходному сигналу. Эти методы основаны на изменении структуры модели датчика или рассмотрении различных режимов его работы, в т.ч. адаптация параметров измерительной системы, применение скользящего режима. При этом решается с математической точки зрения некорректная задача.

Грановский, В. А. Динамические измерения: Основы метрологического обеспечения. - Л.: Энерго-издат. Ленингр. отделение, 1984. - 224 с.

2Ефимов, В. Г., Ложкова, Ю. Н., Митин, А. Г. Ультразвуковая система динамических измерений для исследования твердотопливных энергетических установок // Ползунов, вестн. - Барнаул, 2011. -№ 3/1. С. 184 1S8.

3Кризский, В. Н., Герасимов, И. А., Заваруева, М. Б. Математическое моделирование и оптимизация обратных задач определения геоэлектрических параметров кусочно-однородных сред // Математическое моделирование. - 2000. - Т. 12, № 3. - С. 32-33.

4Шестаков, А. Л. Динамическая точность измерительного преобразователя с корректирующим устройством в виде модели датчика // Метрология. - 1987. - № 2. - С. 26-34.

Методы теории динамических измерений нашли применение и в экономической кибернетике при построении динамических моделей экономических систем5. При этом ставится прямая задача, состоящая в определении выхода по известному входу системы при наличии обратных связей. Предлагаемая в диссертационной работе математическая модель задачи оценки покупательского и потребительского поведения решает ранее не рассматривавшуюся обратную задачу: по задаваемым плановым показателям необходимо оценить, какое количество покупателей различных сегментов требуется привлечь в экономическую систему.

В работах С. А. Аникина рассматриваются задачи идентификации входов динамических систем на основе методов регуляризации и оценивается погрешность применяемых методов. Однако, основополагающим является требование невырожденности матриц при производных, что существенно сужает круг рассматриваемых задач. Отличие представленной работы состоит в том, что разработанные методы решения могут быть применены также в случае вырожденности матрицы при производной.

В работах А. В. Ильина, С. К. Коровина и В. В. Фомичева решаются вопросы робастного (помехоустойчивого) обращения динамических систем. Методы исследования связаны с приведением систем к специальным каноническим видам (с выделением нулевой динамики). При этом на начальных этапах решения определяются точки спектра матриц, что в общем случае является сложной математической задачей. В данной работе предлагается подход, основанный на применении методов теории оптимального управления системами леонтьевского типа, не требующих определения точек спектра, что повышает точность решения задач.

Системы леонтьевского типа являются частным, конечномерным случаем линейных неоднородных уравнений соболевского типа, исследованиями которых активно занимаются как в России, так и за рубежом. Так, уравнения неразрешенные относительно производных рассматривались в работах В. Н. Врагова, Г. В. Демиденко, А. И. Кожанова, М. О. Корпу-сова, С. Г. Крейна, И. В. Мельниковой, С. Г. Пяткова, А. Г. Свешникова, С. Л. Соболева, А. Еаут1, Л. Н. А. Ь^ЬЛоигпе, А. Yagi, и др. Исследованиям начальных задач для дифференциальных уравнений посвящены ра-

5Царьков, В. А. Использование методов теории автоматического управления при построении и анализе динамических моделей экономики производства // Измерения. Контроль. Автоматизация. - 1984. - № 4. - С. 66-78.

боты Н. А. Сидорова, R. Е. Showalter, начальных задач для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений - Ю. Е. Бояринце-ва, В. Ф. Чистякова, М. В. Булатова. Задачи оптимального управления вырожденными системами рассматривают Г. А. Курина, А. А. Щеглова, Р. С. Müller, L. Pandolfi, S. L. Campbell, W. J. Terrell. В основе методов и алгоритмов данного исследования лежит теория уравнений соболевского типа, разработанная Г. А. Свиридюком6 и развитая в работах его учеников

- С. В. Брычева, И. В. Бурлачко, А. А. Ефремова, А. А. Замышляевой, А. В. Келлер, Н. А. Манаковой, В. Е. Федорова, и др.

Предпосылкой для представленного исследования стала работа A. JI. Шестакова и Г. А. Свиридюка7, в которой впервые была сформулирована задача определения входа динамических систем как задача оптимального управления системами леонтьевского типа. В основе численного метода исследования математической модели ИУ и решения задач оптимального измерения с учетом инерционности лежат алгоритмы численного решения систем леонтьевского типа и класса задач оптимального управления для систем леонтьевского типа с начальными условиями Шоуолтера-Сидорова, разработанные А. В. Келлер8. Отметим, что постановка задачи Шоуолтера-Сидороиа является значимой, т.к. позволяет исследовать модели без дополнительных ограничений на начальные условия и размерность исходных данных.

Таким образом, актуальным является исследование и решение задачи оптимального измерения с учетом инерционности ИУ, представляющей собой математическую модель задачи восстановления динамически искаженных сигналов.

Пусть L, М и С - квадратные матрицы порядка п, причем, быть может, det L = 0, матрица М - (L, р)-регулярна, р € {0}üN - порядок полюса точки оо ¿-резольвенты матрицы М, и : [0, г] Rn, т € R+. Рассмотрим пространство состояний х = {х € Ь2 ((0, т),Г):±е Ь2 ((0, т), Кп)}, пространство измерений ü= {u е Ь2 ((0, г), К") : и(р+1> G Ь2 ((0, г), К")} и

"Sviridyuk. G. A., Fedorov V. Е. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators.

- Utrecht - Boston - Tokyo - Köln: VSP, 2003. - 216 pp.

7Шестаков. А. Л., Свиридюк, Г. А. Оптимальное измерение динамически искаженных сигналов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Мат. моделирование и программирование». - 2011. - № 17(234). вып. 8. - С. 7075.

8Келлер, А. В. Об алгоритме решения задач оптимального и жесткого управления // Программные продукты и сж-г^мы. - Тверь, 2011. - № 3.- С. 17Ü-174.

пространство наблюдений 2) = С[х\. Выделим в Д компактное выпуклое подмножество ÍXg — множество допустимых измерений. В качестве допустимых измерений рассматриваются такие, что

Р+1 Т. 2

£ / ||«(,)(*)|| dt<d, „=о {

где d = const - предельно допустимое значение вектор-функции измерений. Требуется найти вектор-функцию v € ílg, минимизирующую значение функционала

= [\\CxM(u,t)-yb\t)fdt, (1)

о

т.е.

J(v) = min J{u), (2)

lis

причем x(v) € х почти всюду на (0, г) удовлетворяет системе леонтьевского типа

Lx = Мх + Ви (3)

и при некоторых Хо € R", а € pL{M) условию Шоуолтера Сидорова

[(а/,-М)-Ч]Р+1(2;(0)-а-о) = 0. (4)

Здесь х = col(xхп) и x = col (±ь ..., хп) - вектор-функции состояния и скорости изменения состояния ИУ соответственно; уо(£) = col (yo\(t),..., yoíi(i)) - наблюдение в моменты времени t, полученное в ходе натурного эксперимента; и = col (щ,..., ип) - вектор-функция измерений; у = col (г/i,..., уп) - вектор-функция наблюдений; п - число параметров состояний системы; В - квадратная матрица порядка п, характеризующая взаимовлияние параметров измерения; матрицы М и L характеризуют взаимовлияние состояния и скоростей состояния ИУ соответственно; матрица С характеризует связь между состоянием системы и наблюдением; j| ■ || - евклидова норма пространства R".

Цель и задачи работы. Цель - разработка численного метода и алгоритма программы для решения задач оптимального измерения с учетом инерционности на основе математических моделей динамических систем. Для достижения данной цели поставлены следующие задачи:

1. Численное исследование математической модели ИУ с учетом его инерционности как модели леонтьевского типа.

2. Разработка численного метода решения задачи оптимального измерения с учетом инерционности ИУ, доказательство сходимости приближенных решений к точному.

3. Программная реализация предложенного алгоритма решения задачи оптимального измерения с учетом инерционности ИУ, проведение вычислительного эксперимента.

4. Построение математической модели задачи изучения покупательского поведения на основе задачи оптимального измерения, адаптация численного алгоритма к решению задачи оптимального измерения покупательского поведения.

Методы исследования. В работе используются методы математического моделирования, теории динамических измерений, теории вырожденных (полу)групп и оптимального управления для уравнений соболевского типа, численный метод решения задачи жесткого управления для систем леонтьевского типа.

Научная новизна диссертации заключается в разработке численного метода исследования математических моделей оптимального измерения с учетом инерционности при решении задач:

- восстановления динамически искаженных сигналов;

- определения влияния рассматриваемого ИУ на сигнал (степени его сглаживания и величины запаздывания).

Доказана сходимость по норме приближенных решений к точному. Алгоритм численного решения реализован в виде программы, написанной на языке программирования высокого уровня. Впервые разработана модель оптимального измерения потребительского поведения, для исследования которой применим предложенный в диссертации численный метод. Представленные методы исследования не накладывают ограничений на начальные данные и размерность исходных матриц.

Теоретическая значимость работы заключается в решении актуальных задач измерений с применением современного математического аппарата. Полученные результаты развивают теории динамических измерений и балансовых моделей, расширяют применимость численных методов решения задач оптимального управления и создают основу для дальнейшего развития моделирования в технике и экономике.

Практическая значимость заключается в применении результатов исследования к решению проблем восстановления и изучения динамически искаженных сигналов. Представленные вычислительные эксперименты показывают адекватность проведенного математического моделирования и эффективность выбранного численного метода решения задач оптимального измерения с учетом инерционности, что создает основу для дальнейшего развития численных исследований моделей динамических систем. Реализация алгоритма в виде программы, написанной на языке программирования С++, позволяет в дальнейшем провести распараллеливание процессов для увеличения скорости вычислений.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2009); Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2010); XI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2010); Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики*, посвященном 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (Якутск, 2010); Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики» (Новосибирск, 2010); Международной конференциии «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященной памяти В. К. Иванова (Екатеринбург, 2011), Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2011), Международной научно-практической конференции «Измерения: состояние, перспективы развития» (Челябинск, 2012).

Результаты докладывались на семинарах «Уравнения соболевского типа» профессора Г. А. Свиридюка в ЮУрГУ (г. Челябинск), на семинаре МаГУ под руководством профессора С. И. Кадченко (г. Магнитогорск) и семинаре кафедры математического моделирования факультета математики и естественных наук СГПА им. Зайнаб Биишевой (г. Стерлитамак).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, в их числе 3 статьи в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК, и свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. Список работ приводится в конце автореферата. В совместных с научным руководителем работах научному руководителю принадлежит постановка задачи, в диссертацию вошли

только результаты, полученные ее автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 118 страниц. Список литературы содержит 125 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении представлена постановка задачи, определяются цель и задачи работы, описаны методы исследования, обосновываются актуальность, теоретическая и практическая значимость исследования.

Первая глава состоит из пяти параграфов и содержит формулировки теорем и определения, которые используются при получении основных результатов диссертации. В п. 1.1 приведены определения и теоремы об относительно р-ограниченных операторах, теорема о существовании единственного решения уравнения соболевского типа с условием Шоуолтера-Сидорова. В п. 1.2. представлены определения и теоремы об относительно р-радиальных операторах, теорема о существовании единственного сильного решения задачи Шоуолтера Сидорова для уравнения соболевского типа. В п. 1.3 содержатся сведения об относительно р-регулярных матрицах9. Пусть Ь и М - квадратные матрицы порядка п. Матрица М называется (Ь, р)-регулярной, если За е С такое, что йе^аЬ — М) ^ 0, при этом р € {0} и N - порядок полюса в точке оо ¿-резольвенты (/лЬ — М)~1 матрицы М. В п. 1.4 рассматривается задача Шоуолтера-Сидорова

[(<*£, - МУ1 ¿]Р+1 (а:(0) - ю) = 0 (5)

для системы леонтьевского типа

Ьх — Мх + /, (6)

где с1е1; £ = 0, а £ р1{М), 10 е М", вектор-функция / : [0, т] К", г е Е+. В конечномерном случае (Ь,р)-ограничепный оператор представляет собой (£,р)-регулярную матрицу. В свою очередь, случай (Ь,р)-радиальности оператора является более общим, по сравнению с (¿/^-ограниченностью оператора М, поэтому справедлива теорема

3Свири,';юк. Г. А., Брычев, С. В. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа //' Изв. вузов. Математика. - 2003. - № 8. - С. 46-52.

Теорема 1 (1.4.4)10. Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна, р € {0}1Ш, вектор-функция / : [0, г] —> К". Тогда для любого х0 е Ж" существует единственное решение задачи (5), (6), имеющее вид

к—* оо

- (м-Н п - дк)ьу м~\1 - до/(,)(«)+

<,=0

4

+Х1кХъ + I Н£'(}к/(8)<18

(7)

где

=

к(р+ 1)

Нл. =

/с(р+1)

к(р+1)

м

Ь -

к(р + 1)

(8)

Вектор-функция является приближенным решением задачи (5),

(6) при 4 е [0,1], к > К, где К = тах{/сь к2}:

^+^ **> .Л?21^1 &++1. о)

здесь а^ = (—1)" ' - коэффициенты полинома det(^íL — М) сте-

Г—1

пени (п — р), г = 0, п, - определители, получаемые из определителя матрицы Ь путем замены (п — г) столбцов соответствующими столбцами матрицы М, г - порядковый номер определителя, (п — р) < гапк£.

По виду функционала качества задача оптимального измерения относится к задачам жесткого управления, поэтому в п. 1.5 рассматривается задача жесткого управления для систем леонтьевского типа, сформулирована теорема о существовании единственного решения задачи и описана основа алгоритма нахождения приближенного ее решения.

10В скобках указана нумерация в диссертации

Вторая глава состоит из пяти параграфов и содержит результаты математического моделирования в задачах динамических измерений. Динамическая модель ИУ описывается системой

х = Ах + Вй, ^^

У = Сх,

где х = col(xi,...,xn) и i = col (¿b ...,х„) - вектор-функции состояния и скорости изменения состояния ИУ соответственно, 2Г0 = col(0,..., 0); ü-col (щ,..., йт) к у = col {у 1, ...,y¡)~ Функции входного (измеряемого) и выходного (наблюдаемого) сигналов соответственно; матрицы ИУ А, датчика В и выхода С размерности соответственно \п х п], [тг х т] и [I х п]. А. Л. Шестаковым и Г. А. Свиридюком11 впервые было предложено применить теорию уравнений соболевского типа и вырожденных (полу)групп операторов для изучения данной модели. В п. 2.1 рассматривается математическая модель ИУ

Lz = Mz + Du, (11)

[{aL - M)-lL}v+l (лг(О) - го) = 0, (12)

где L, М, D - квадратные матрицы порядка h = п + I, строящиеся по матрицам А, В, С следующим образом

г Пп 0\ .. fA 0\ п (В L={o Ог/ \С —1г/ ' = V®

z = col {xu...,xn,yi, ...,yi), го = coi(0,...,0), и = col (üb .. ;úm, 0,..., 0), и : [0, г] ->■ М\ а 6 pL{M), te [0, т], г € R+. Вид точного решения задачи (11), (12) определяется в соответствии с теоремой 1 (1.4.4). В п. 2.2 описан алгоритм численного решения задачи (11), (12). В данном случае задача численного исследования математической модели ИУ состоит в определении степени сглаживания пикообразного значения измеряемого сигнала датчика и величины его запаздывания. Так для динамической модели ИУ (10), заданной матрицами

Ч-^-У'Чл594)^^

11 Шестаков, А. Л., Свиридюк, Г. А. Новь;й подход к измерению динамически искаженных сигналов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Мат. моделирование и программирование». - 2010. - № 16(192). вып. Я. - С. 116-120.

если известно, что

0,594и(4) = 15зт2(7г(), было найдено приближенное значение наблюдаемого сигнала (рис. 1).

Рис.1 Измеряемый сигнал и = и(£) и приближенное значение наблюдаемого сигнала

У = г/ИВ п. 2.1 найдено точное решение этой же задачи, абсолютная погрешность приближенных вычислений порядка не более 10~3, относительная погрешность не превышает 1%. В п. 2.3 сформулирован, основанный на критерии Рауса-Гурвица12, критерий устойчивости модели ИУ. Если измерительный канал обладает свойством устойчивости по отношению к помехам, а модель датчика близка по своим параметрам к датчику, то при близких значениях сигнала на входе от датчика и модели датчика значения на выходе также будут мало различаться.

В п. 2.4 рассматривается математическая модель задачи восстановления динамически искаженных сигналов - задача оптимального измерения с учетом инерционности ИУ (1)-(4). Основные результаты работы базируются на теореме о существовании единственного решения задачи оптимального измерения, являющейся адаптированным на конечномерный случай

12Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

вариантом теоремы о существовании единственного решения задачи жесткого управления для уравнений соболевского типа, доказанной в работах В. Е. Федорова и М. В. Плехановой13.

Теорема 2 (2.4.1). Пусть матрица М (L,p)-регулярна, р £ {0} U N, т € R+, det М ф 0. Тогда для любого х0 € Ж", г/о £ 2) существует единственное решение v 6 ilg задачи (1)-(4), являющееся оптимальным измерением.

В п. 2.5. приведена модель задачи оптимального измерения покупательского поведения. Исходя из экономического смысла слагаемых в (3), вводятся дополнительные условия в постановку задачи.

Третья глава состоит из четырех параграфов и посвящена численным исследованиям задачи оптимального измерения с учетом инерционности. В п. 3.1 описан алгоритм численного решения задачи оптимального измерения, в т.ч. и основные этапы оптимизации функционала качества и процедуры проверки введенного дополнительного условия. В п. 3.2 обосновываются непрерывность, ограниченность функционала качества задачи оптимального измерения и доказывается его сильная выпуклость на множестве допустимых измерений.

Определение. Функция J(-) называется сильно выпуклой на выпуклом множестве it € Rn, если Vu G il, Vv € it, Va E [0,1] и для некоторого числа q > 0 выполняется неравенство

J{au + (1 — a)w) < aJ(u) + (1 - a)J(w) — a(l - a)g||it — w||2.

Доказывается теорема о сходимости по норме приближенных решений задачи оптимального измерения.

Теорема 3 (3.2.2). Пусть матрица М {Ь,р)-регулярна, ре {0}(JN, det М ф 0, функционал (1) является сильно выпуклой функцией на компактном и выпуклом множестве Пд С Я. Тогда, Jk(vlk) —» J{v), v!k —> v, причем выполняется неравенство

q\\v[ - «¡|2 < Jk(v'k) - J(v),

при k > К, I > p.

В п. 3.3 приведено описание программы, реализующей алгоритм численного решения задачи оптимального измерения с учетом инерционности,

u Федоров, В. Е., Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений // И ;в. РАН. Теория и системы управления. - 2004. -Т.9, № 2. - С. 92-102.

приведены и описаны основные блок-схемы алгоритма. В п. 3.4 приводятся результаты вычислительного эксперимента, где динамическая модель ИУ:

/О 1 0 \

:= 0 0 1

\—2 ■ 106 —3,8 • 104 -3,4 -102/

[у={1 0 0)х-

Реализовав четвертый шаг алгоритма при I = 20, получили р = О, к = 88796 и, т.к. с!е1 М ф 0, делаем вывод, что все условия теоремы 2 (2.4.1) выполнены. Значит, существуют как точное решение и, так и последовательность приближенных решений задачи (1)-(4) при к > 88796. Причем ь1к минимизирует функционал на некотором выпуклом компакте Д^, в качестве которого можно взять замкнутый шар в пространстве ®'+1 радиуса 3 с центром в начале координат (учитывая, что значения измеряемого сигнала не превосходят 3). График функции восстановленного сигнала и значения выходного сигнала, полученного в результате натурного эксперимента, представлены на рис. 2.

•я

•,11 «,ог а.оз 1.Ы 1,05 |,к 1,1/ с.м о,м

Рис. 2 Восстановленный сигнал и значения наблюдения у0

В заключении представлены выводы по результатам исследований и соответствие работы паспорту специальности 05.13.18.

В приложении представлено свидетельство о регистрации программы «Optimal measuring problem», реализующей алгоритм численного решения задачи оптимального измерения.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Разработан численный метод решения задач оптимального измерения с учетом инерционности.

2. Доказана сходимость по норме получаемых приближенных решений задачи оптимального измерения к точному.

3. Реализован эффективный численный метод и алгоритм в виде программы, написанной на языке программирования С++.

4. Построена математическая модель задачи оптимального измерения покупательского поведения и адаптирован алгоритм численного решения задачи.

5. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективность предложенных алгоритмов, методов и подходов.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих российских рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Назарова, Е. И. Свойство регуляризуемости и численное решение задачи динамического измерения / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Вестн. Юж-Урал. гос. ун-та. Сер. «Мат. моделирование и программирование». -2010. S"- 16(192), вып. 5. - С. 32-38.

2. Назарова, Е. И. Задача оптимального измерения: численное решение, алгоритм программы / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Изв. Иркут гос. ун-та. Сер. Математика. - 2011. - Т. 4, № 3. - С. 74-82.

3. Назарова, Е. И. Численное решение задачи оптимального измерения / А. Л. Шестаков, А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - С. 107-115.

Другие научные публикации:

4. Назарова, Е. И. Optimal measuring problem (optimeas problem): свидетельство 2010617899 / Келлер А. В., Назарова Е. И. (RU); правообладатель ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет». -210615082; заявл. 16.08.2010; зарегистр. 01.12.2010, Реестр программ для ЭВМ.

5. Назарова, Е. И. Исследование устойчивости решений в моделях леон-тьевского типа / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ / под ред. А. И. Кожанова. -Новосибирск, 2010. - С. 129-135.

6. Назарова, Е. И. Численное решение задачи жесткого стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Обозрение приклад, и пром. математики. - М., 2009. - Т. 16, вып. 6. - С. 1099-1100.

7. Назарова, Е. И. О численном решении задачи динамического измерения как задачи жесткого оптимального управления / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Всероссийский научный семинар «Неклассические уравнения математической физики^-, посвященный 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова. (10-13 ноября 2010 г.): тез. докл. - Якутск, 2010. - Ч. 1 - С. 67-70.

8. Назарова, Е. И. Об устойчивости решений систем леонтьевского типа / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна-2010: тез. докл. - Воронеж, 2010. - С. 78-79.

9. Назарова, Е. И. Об алгоритме решения задачи оптимального измерения / Е. И. Назарова // XI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: тез. докл. - Красноярск, 2010. - С. 33-34.

10. Назарова, Е. И. Об устойчивости решения задачи динамических измерений / Е. И. Назарова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Междунар. конф., посвящ. памяти В. К. Иванова, Екатеринбург, 31 окт.-5 нояб. 2011 г. - Екатеринбург, 2011. - С. 255-256.

11. Назарова, Е. И. Численное решение одной задачи оптимальных измерений / Е. И. Назарова // СамДиф-2011: конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», Самара, 26-30 июня 2011 г.: тез. докл. - Самара, 2011. - С. 79-80.

12. Назарова, Е. И. Модель оптимального измерения покупательского поведения с учетом инерционности экономической системы / Е. И. Назарова // Измерения: состояние, перспективы развития: тез.докл. междунар. науч.-практ. конф., г. Челябинск, 25-27 сент. 2012 г. В 2 т. - Челябинск, 2012. - Т. 1. - С. 179-181.

Типография «Два комсомольца» Подписано в печать 06.11.12. Формат 60 х 84 1/16.

Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,87. Уч.-изд. л. 2.

_Тираж 100 экз. Заказ 142/456 '

Отпечатано в типографии «Два комсомольца».

454008, г. Челябинск, Комсосольский пр., 2

Обозначения и соглашения

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Относительно р-ограниченные операторы.

1.2 Относительно р-радиальные операторы.

1.3 Относительно р-регулярные матрицы.

1.4 Задача Шоуолтера-Сидорова для систем леонтьевского типа.

1.5 Задача жесткого управления для систем леонтьевского типа.

2 Математические модели динамических измерений

2.1 Математическая модель измерительного устройства

2.2 Численные исследования модели измерительного устройства

2.3 Устойчивость модели измерительного устройства

2.4 Модель оптимального измерения с учетом инерционности

2.5 Модель оптимального измерения покупательского поведения

3 Численный метод и алгоритм программы решения задачи оптимального измерения с учетом инерционности измерительного устройства

3.1 Алгоритм численного метода решения задачи оптимального измерения.

3.2 Сходимость приближенных решений задачи оптимального измерения.

3.3 Описание программы «Optimal measuring problem»

3.4 Результаты вычислительного эксперимента.

Постановка задачи

Пусть Ь и М - квадратные матрицы порядка п, причем, быть может, = 0, матрица М - (Ь,р)-регулярна, р Е {0} и N [115], и : [0, т] —> М?г. Рассмотрим систему уравнений, описывающую измерительное устройство (ИУ) [86]

Ьх = Мх + Ви, (0.1.1) где х = (ж1,., хп) и х = (±1,., хп) - вектор-функции состояния и скорости изменения состояния ИУ соответственно; Ь и М - матрицы, представляющие собой взаимовлияние скоростей состояния и состояния ИУ соответственно; и — (щ,., ип) - вектор-функция измерений; п - число параметров состояний системы; В - квадратная матрица порядка п, характеризующая взаимовлияние параметров измерения.

Одной из основных задач теории динамических измерений является задача восстановления измеряемого сигнала и = и(£) по наблюдаемому у = у(Ь) [18], [20], [26]. Эффективность применяемых методов решения данной задачи основывается на оценке близости значений сигнала на выходе от датчика и модели датчика, т.к. в этом случае значения на входе также будут мало различаться, при этом имеет место соотношение между значениями наблюдаемого сигнала и состоянием ИУ

У = Сх, 6 где у = (у1,.,уп) ~ вектор-функция наблюдений; С - квадратная матрицы порядка п, характеризующая связь между состоянием системы и наблюдением.

Зафиксируем т 6 и введем в рассмотрение пространство состояний х — ^ 1/2 ((0, г), Еп) : х £ ((0, т), М?г)}, пространство измерений 11={ие ((0, г), М71) : € Ь2 ((0, г), К")} и пространство наблюдений — С\х}- Отметим, что не всегда 2) = X) н0 всегда 2} изоморфно некоторому подпространству в х-Выделим в И компактное выпуклое подмножество - множество допустимых измерений. В качестве допустимых измерений рассматриваются такие, что р+1 т

Е [ ||«("м n J 2 dt < d, q=Q 0 где d — const - предельно допустимое значение вектор-функции измерений. Поставим задачу оптимального измерения с учетом инерционности ИУ: требуется найти вектор-функцию г» 6 Да, минимизирующую значение функционала

1 Т

J{u) = £ / \\Cx®(u,t) -^¡V (0.1.2) q=o{ т.е.

J{v) = min J {и), (0.1.3) ueila причем x(v) 6 x почти всюду на (0, т) удовлетворяет системе (0.1.1) и при некоторых х0 € М™, а 6 рь(М) - условию Шоуолтера-Сидорова [58]

1 п р+1 аЬ — М) Ь (я(0) - х0) = 0, (0.1.4) здесь г/о(£) = (ЗАп^)» • • • > УоЛ^)) ~ наблюдение, полученное в ходе натурного эксперимента, т.е. снятое с ИУ в некоторые моменты времени £, || ■ || - евклидова норма пространства Мп.

Задача оптимального измерения (0.1.1)—(0.1.4) является математической моделью задачи восстановления динамически искаженного сигнала [124]. Заметим, что рассматриваемый подход к задаче восстановления входящего сигнала с использованием методов теории оптимального управления учитывает требование близости не только значений сигнала на выходе от датчика и модели датчика, но и скоростей изменения этих значений.

Целью работы является разработка численного метода и алгоритма программы для решения задач оптимального измерения с учетом инерционности на основе математических моделей динамических систем.

Для достижения данной цели в диссертационной работе были поставлены следующие задачи:

1. Численное исследование математической модели ИУ с учетом его инерционности как модели леонтьевского типа.

2. Разработка численного метода решения задачи оптимального измерения с учетом инерционности ИУ, доказательство сходимости приближенных решений к точному.

3. Программная реализация предложенного алгоритма решения задачи оптимального измерения с учетом инерционности ИУ, проведение вычислительного эксперимента.

4. Построение математической модели задачи изучения покупательского поведения на основе задачи оптимального измерения, адаптация численного алгоритма к решению задачи оптимального измерения покупательского поведения.

Методы исследования

В работе используются методы математического моделирования, теории динамических измерений, теории вырожденных (полу)групп и оптимального управления для уравнений соболевского типа, численный метод решения задачи жесткого управления для систем леон-тьевского типа.

В теории динамических измерений можно выделить два подхода к решению задачи восстановления динамически искаженного сигнала. В одном случае определяются динамические характеристики для выбора средств измерений и оценка погрешности измерений с целью определения их влияния на искажение сигнала [18], [20], [38], [102] и решаются вопросы управления динамическими системами [95]. В другом случае, посредством изменения структуры модели измерительного устройства или применения различных режимов ее исследования [5], [26], [67], добиваются близости значений исходящих сигналов модели и датчика, а затем определяют значение входящего сигнала модели, близкое к значению входящего сигнала датчика.

Впервые в измерительных системах А. Л. Шестаковым [84] при решении задачи восстановления динамически искаженного сигнала в качестве динамической модели ИУ было предложено рассматривать систему х = Ах + Вй,

0.2.1)

У = Сх, где х — col (х i,., хп) их = col (х\,., хп) - вектор-функции состояния и скорости изменения состояния ИУ соответственно, причем ж(0) = со/(0,., 0); ü = col (щ,., üm) и у = col (уг,. ,y¡) -вектор-функции входного (измеряемого) и выходного (наблюдаемого) сигналов соответственно; матрицы ИУ А, датчика В и выхода С размерности соответственно [n х n], [п х m], [I х п].

Представимость (0.2.1) в виде модели леонтьевского типа [86]

Lz = Mz + D% (0.2.2) i 1Р+1 aL — M) L (¿(О) - г0) = 0, (0.2.3) где z = (xi,.,xn,yi,.,yi), u = (üb . ,üm,0,. ,0), матрицы L, M и D строятся по А, В и С, позволила для исследования математической модели ИУ применить результаты численного исследования задачи Шоуолтера-Сидорова для систем леонтьевского типа [116], [118], [123]. Поскольку (0.2.2) является частным, конечномерным случаем линейного неоднородного уравнения соболевского типа

Lx = Mx + f, (0.2.3) в банаховых пространствах X и гДе операторы L G С(Х, М ЕС1(Х,$), f - некоторая вектор-функция [60], то в основе исследования как математической модели ИУ, так и задачи оптимального измерения с учетом инерционности ИУ лежат методы теории вырожденных (нолу)групп, разработанной Г. А. Свиридюком [112] и активно развиваемой его учениками [21], [28], [32], [37], [71], [72], [46], [59]. Заметим, что работы по исследованию уравнения вида (0.2.3) проводятся как в России [19], [53], [64], [65], [66], [73], [99] так и за рубежом [91], [92], [93], [94], [96], [97], [100], [101], вследствие широкого практического его приложения [3], [27], [68], [31], [109], [121].

Предпосылкой для представленного исследования, стала работа A.JI. Шестакова и Г. А. Свиридюка, в которой впервые была сформулирована задача определения входа динамических систем как задача оптимального управления уравнениями леонтьевского типа [87]. Что же касается применения методов теории оптимального управления для уравнений соболевского типа, то впервые в работах Г.А. Свиридюка и A.A. Ефремова была рассмотрена задача оптимального управления для уравнения (0.2.3) с начальным условием Коши ж(0) = х0 (0.2.4) в гильбертовых пространствах [23], [55]. Дальнейшее развитие данное направление исследований получило в работах Н. А. Манако-вой [47], [46], В. Е. Федорова, М. В. Плехановой [74]. В. Е. Федоров и О. А. Рузакова рассмотрели вопросы управляемости уравнениями соболевского типа [50]. В [49] доказано существование единственного решения в гильбертовых пространствах задач стартового, жесткого, стартового жесткого управления для уравнений соболевского тина с начальным условием Шоуолтера-Сидорова.

Начальная задача

L(x(0) - жо) — 0, (0.2.5) для (0.2.3) была поставлена и изучена независимо друг от друга Р. Е. Шоуолтером [107], [108] и Н. А. Сидоровым [61], [62], [63], поэтому была названа задачей Шоуолтпера - Сидорова [54], [58]. Отметим, что постановка задачи Шоуолтера-Сидорова является значимой, т.к. позволяет исследовать модели без дополнительных ограничений на начальные условия и размерность исходных данных.

С развитием математической теории разрабатываются и совершенствуются численные методы решения задач [70], [98], [102], [110], в том числе и во многих направлениях прикладных исследований [27], [51], [52]. Первые результаты ио численным методам решения задачи Коши для систем леонтьевского типа были получены в работах Г.А. Свиридюка и C.B. Брычева [8], [56], по численным решениям задачи оптимального управления для систем леонтьевского тина с начальным условием (0.2.4) - в работах Г.А. Свиридюка и И.В. Бурлачко [13], [57]. В основе численного метода исследования математической модели ИУ и решения задач оптимального измерения с учетом инерционности лежат алгоритмы численного решения систем леонтьевского типа и класса задач оптимального управления для систем леонтьевского типа с начальными условиями Шоуолтера,- Сидорова, разработанные А. В. Келлер [29], [30].

Так, поиск измерения осуществляется в виде вектор-функции многочленов что позволяет выразить вектор-функцию состояний ИУ, а значит, и функционал качества задачи оптимального измерения, через коэффициенты г = 1,п, ] — 0,1 многочленов и дает возможность применить алгоритмы минимизации функции нескольких переменных относительно данных коэффициентов при поиске наименьшего значения функционала качества [121]. Кроме того, представление (0.2.6) обеспечивает плотность множества многочленов в пространстве измерений и сходимость приближенных решений к точному.

Актуальность темы диссертации

Динамические измерения, в общем случае, это измерение величин быстро меняющихся с течением времени. Повышение требований, предъявляемых к качеству измерений в различных сферах практической и научной деятельности (метрологии [84], энергетике [22], геофизике [35] и др.), определяет необходимость развития математического аппарата для решения основных задач динамики при измерениях, не зависящих от физической природы измеряемых величин.

Первоначально теория динамических измерений возникла и развивалась в рамках теории некорректных задач, впоследствии, уже в теории автоматического управления (ТАУ), стали появляться новые методы решения задач динамических измерений. Структурное

0.2.6) отличие систем автоматического управления от измерительных систем состоит в том, что последние имеют на входе первичный преобразователь (датчик), входной сигнал которого недоступен ни для непосредственного измерения, ни для коррекции. Измерительные системы, в целом, не содержат возможности охватить себя обратными связями с выхода на вход. Поэтому невозможно непосредственное использование результатов модального управления (управление, при котором достигается требуемый характер переходных процессов за счет обеспечения необходимого расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости) и других методов ТАУ в измерительных системах, но возможно создать специфические структуры корректирующих устройств, в которых идея модального управления может быть реализована. К такому виду относится измерительная система с модальным управлением динамическими характеристиками на основе модели датчика, предложенная профессором А.Л. Шестаковым [84] и исследуемая его учениками [5], [25], [67], [85]. Разработанные методы позволяют находить измеряемый сигнал по наблюдаемому (применение скользящего режима, адаптация параметров измерительной системы и т.д.), однако, решают с математической точки зрения некорректную задачу.

Методы теории динамических измерений нашли применение и в экономической кибернетике при построении динамических моделей экономических систем [78]. В этом случае ставится прямая задача, состоящая в определении выхода по известному входу системы при наличии обратных связей. Предлагаемая в диссертационной работе математическая модель задачи оценки покупательского и потребительского поведения решает ранее не рассматривавшуюся обратную задачу: по задаваемым плановым показателям необходимо оценить, какое количество покупателей различных сегментов требуется привлечь в экономическую систему.

В работах С. А. Аникина [1], [2] рассматриваются задачи идентификации входов динамических систем на основе методов регуляризации и оценивается погрешность применяемых методов. Однако, основополагающим является требование невырожденности матриц при производных, что существенно сужает круг рассматриваемых задач. Отличие представленной работы состоит в том, что разработанные методы решения могут быть применены также в случае вырожденности матрицы при производной.

В работах А. В. Ильина, С. К. Коровина и В. В. Фомичева [24] решаются вопросы робастного обращения динамических систем (устойчивость алгоритмов обращения к различным факторам неопределенности: погрешности измерения выхода системы, различным классам параметрических возмущений, неидеальностям в работе элементов системы обращения (например, релейных элементов) и т.д.). Методы исследования связаны с приведением систем к специальным каноническим видам (с выделением нулевой динамики). При этом на начальных этапах решения определяются точки спектра матриц, что в общем случае является сложной математической задачей. В данной работе предлагается метод, не требующий нахождения точек спектра, что повышает точность решения поставленных задач.

А. Л. Шестаковым и Г. А. Свиридюком был предложен новый подход к восстановлению динамически искаженных средствами измерения сигналов [86], согласно которому система (0.2.1) записывается в виде системы уравнений леоитьевского типа с условиями Шоуолтера-Сидорова. Тогда, применяя методы теории вырожденных (полу)груип, возможно найти наблюдение по входному сигналу. Основываясь на этом подходе и алгоритме решения задачи Шоуолтера-Сидорова. для систем леоитьевского типа, разработанного А. В. Келлер [29], в диссертационной работе была решена задача определения влияния рассматриваемой модели на сигнал: степень искажения и запаздывания исходящего сигнала.

В настоящее время активно развиваются численные методы решения как начальных задач для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и задач оптимального управления для этих систем. В этом направлении исследований отметим работы Ю. Е. Бояринцева [6], В. Ф. Чистякова [80], [81], М. В. Булатова [9], [10], [11], А. А. Щегловой [88], [89], [90]. В монографии Ю. Е. Бояринцева и В. Ф. Чистякова [7] изучаются алгебро-диффе-ренциальные неоднородные системы вида (0.2.3) с прямоугольной или вырожденной при всех £ Е [0, X1] матрицей Ь(Ь). Доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для (0.2.3) с регулярной и сингулярной парой постоянных (т х п)-матриц Ь и

М. В работах В.Ф. Чистякова [79], [82], [83], посвященых исследованию решений задачи

Щх = /(х,$, х(Ь0)=х0 (0.3.2) отмечено, что задача (0.3.2) имеет решения не для любого начального вектора жо, вследствие чего вводится понятие допустимого для системы (0.3.2) начального условия жо и критерий «ранг-степень» (ненулевой многочлен 6еЬ(ХЬ — М) удовлетворяет критерию «ранг-степень», если степень многочлена равна рангу матрицы Ь). На основе этого доказываются теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши (0.3.2) и задачи Коши для системы (0.2.3) в предположении, что индекс пучка матриц не превышает двух.

Г. А. Куриной и X. А. Овезовым рассмотрена оптимизация квадратичного критерия качества [39] т о на траекториях дескрипторной системы

А + = С{Ь)х(Ь) + £(*М£), х{0) = х°.

СЬб

Для решения данной задачи используется прямая схема метода пограничных функций, которая заключается в подстановке в условиях задачи постулируемого асимптотического разложения и построении серии задач оптимального управления.

В работе [40] Г. А. Куриной приведены достаточные условия существования ограниченного обратного оператора для линейного оператора, появляющегося в теории оптимального управления линейными системами в гильбертовом пространстве. Обратимость исследуемого оператора используется для доказательства однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи, возникающей из условий оптимальности управления. Схожая проблема рассматривается в статье [41], [42].

В [103], [104] P.C. Müller рассматривает дескрипторную линейную систему уравнений

Ex(t) = Ax(t) + Bu{t) y(t) = Cx(t) + Du{t) где x - вектор размерности n, и - n-мерный вектор управления, у - вектор наблюдения размерности т. Матрицы Е, А размерности п х п, а матрицы В, С, D имеют размерность пхг,тхпптхг соответственно. Основное свойство системы заключается в том, что гапкЕ < п.

Для данной системы уравнений определен функционал качества

•ч о г- Т г- -1

X QZ X dt - min и ZTR и и где

R > 0,

QZ ZTR 0.

Алгоритм решения сформулированной задачи основан на приведении матричного пучка (вЕ — А) к канонической форме Кронекера-Вейерштрасса.

Работы Ж.-Д. Лионса [44], [45] и А.В.Фурсикова [75], [76] посвящены исследованию задач оптимального управления для распределенных систем, описываемых некорректными краевыми задачами. При этом выразить функцию состояния через функцию управления, вообще говоря, не представляется возможным, и для установления разрешимости задачи используются свойства самого функционала, а также условия нетривиальности, коэрцитивности и для нелинейных по функции состояния систем - так называемое условие компактности.

Функционал качества поставленной в диссертационной работе задачи оптимального измерения с учетом инерционности учитывает основной критерий эффективности применяемых методов решения задачи восстановления сигнала - близость исходящих значений сигналов модели и датчика, а также близость скоростей изменения этих сигналов. Кроме того, в предложенном методе решения задачи функция состояния выражается через функцию управления, что и дает возможность определить минимум функционала (0.1.2) [87] относительно коэффициентов полиномов в (0.2.6) как минимум функции нескольких переменных. Таким образом, задача оптимального управления сводится к задаче выпуклого программирования.

Работы Г.А. Свиридюка, C.B. Брычева и И.В. Бурлачко явились предпосылкой для представленного в работе численного исследования. В [8], [56] основные результаты теории относительно р-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов были адаптированы к конечномерной ситуации и был построен алгоритм для численного решения задачи Коши для системы (0.1.2) в случае, когда свободный член у - постоянный вектор. В [13], [57] исследовано численное решение одной задачи оптимального управления для системы леонтьевского типа с начальным условием Коши. Численные эксперименты, проведенные с использованием предложенного в работе алгоритма показали хорошую согласованность не только с точным решением, которое в некоторых случаях удается получить аналитическим путем, но и с натурными экспериментами, что подтверждает как эвристическую ценность модели, так и правильность выбора метода ее численного анализа [122].

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в решении актуальных задач измерений с применением современного математического аппарата. Задача оптимального измерения покупательского поведения, впервые поставленная в диссертации, является основой для моделирования экономических систем, не содержащих обратных связей. Полученные результаты развивают теории динамических измерений и балансовых моделей, расширяют применимость численных методов решения задач оптимального управления и создают основу для дальнейшего развития моделирования в технике и экономике.

Практическая значимость работы заключается в применении результатов исследования к решению проблем восстановления и изучения динамически искаженных сигналов. Представленные вычислительные эксперименты показывают адекватность проведенного математического моделирования и эффективность выбранного численного метода решения задач оптимального измерения с учетом инерционности, что создает основу для дальнейшего развития численных исследований моделей динамических систем. Реализация алгоритма в виде программы, написанной на языке программирования С++ [120], позволяет в дальнейшем провести распараллеливание процессов для увеличения скорости вычислений.

Апробация

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2009); Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2010); XI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2010); Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики», посвященном 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (Якутск, 2010); Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики» (Новосибирск, 2010); Международной конференциии «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященной памяти В. К. Иванова (Екатеринбург, 2011), Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2011), Международной научно-практической конференции «Измерения: состояние, перспективы развития» (Челябинск, 2012).

Результаты докладывались на семинарах «Уравнения соболевского типа» профессора Г. А. Свиридюка в Южно-Уральском государственном университете (г. Челябинск), на семинаре под руководством профессора С. И. Кадченко в Магнитогорском государственном университете (г. Магнитогорск) и семинаре кафедры математического моделирования факультета математики и естественных наук Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой (г. Стерлитамак).

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 125 наименований, и приложения.

Заключение

В диссертационной работе проведено численное исследование математических моделей оптимального измерения с учетом инерционности. Основываясь на представленных материалах аналитических методов решения и вычислительных экспериментов, сформулируем следующие ее результаты:

- реализованы аналитические методы исследования математической модели ИУ;

- разработан метод численного исследования математической модели ИУ и метод численного решения задачи оптимального измерения с учетом инерционности ИУ;

- доказана сходимость по норме получаемых приближенных решений задачи оптимального измерения с учетом инерционности к точному;

- построены математические модели задач оптимального измерения в экономике при изучении покупательского и потребительского поведения и технике при восстановлении динамически искаженных сигналов;

- реализован эффективный численный метод и алгоритм в виде программы, написанной на языке программирования С++, для проведения вычислительного эксперимента, показавшего адекватность проведенного моделирования.

Таким образом, в работе решены все поставленные выше задачи и достигнута цель исследования, что позволяет говорить о соответствии диссертационной работы следующим областям исследования паспорта специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ:

2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

1. Аникин, С. А. Методы регуляризации в задачах идентификации входов динамических систем: дис. . канд. физ.-мат. наук / С. А. Аникин. Екатеринбург, 2002. - 116 с.

2. Аникин, С. А. Идентификация входов квазилинейных систем / С. А. Аникин // Автоматика и телемеханика. 2007. - № 11 -С. 12-30.

3. Баязитова, А. А. Задача Штурма Лиувилля на геометрическом графе / А. А. Баязитова // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Мат. моделирование и программирование». - 2010. - № 16(192), Вып. 5. - С. 4-9.

4. Бизяев, М. Н. Динамические модели и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов измерительных систем в скользящем режиме: дис. . канд. техн. наук / М. Н. Бизяев. Челябинск, 2004. - 179 с.

5. Бизяев, М. Н. Измерительный преобразователь в скользящем режиме с блочной структурой модели датчика / М. Н. Бизяев, А. Л. Шестаков // Информационно-управляющие и радиоэлектронные системы: Тем. сб. научн. тр. Челябинск, 2003. -С. 9-15.

6. Бояринцев, Ю. Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальых уравнений / Ю. Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука, 1988. - 257 с.

7. Бояринцев, Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука, 1998.- 224 с.

8. Брычев, С. В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. . канд. физ.-мат. наук / С. В. Брычев. Челябинск, 2002. - 124 с.

9. Булатов, М. В. Метод возмущения дифференциально-алгебраических систем / М. В. Булатов // Изв. вузов. Математика. 1997. - № 11. - С. 3-9.

10. Булатов, М. В. Об одном классе разностных схем для численного решения дифференциально-алгебраических систем / М. В. Булатов // ЖВМиМФ. 1998. - Т. 38, № 10. - С. 16411650.

11. Булатов, М. В. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений / М. В. Булатов, В. Ф. Чистяков // ЖВМиМФ. 2002. - Т. 42, № 4. - С. 459-470.

12. Булатов, М. В. Об интегро-дифференциальных системах с вырожденной матрицей перед производной / М. В. Булатов // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38, № 5. - С. 692-697.

13. Бурлачко, И. В. Исследование оптимального управления системами уравнений леонтьевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / И. В. Бурлачко. Челябинск, 2005. - 1.22 с.

14. Вайнберг, М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг. М.: Наука, 1972. - 415 с.

15. Раевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. М., 1978. - 336 с.

16. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гаитмахер. М.: Наука, 1966. - 576 с.

17. Граиберг, А. Г. Динамические модели народного хозяйства / А. Г. Гранберг. М.: Экономика, 1985. - 239 с.

18. Грановский, В. А. Динамические измерения: Основы метрологического обеспечения / В. А. Грановский. Л.: Энергоиздат. Ленингр. отделение, 1984. - 224 с.

19. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский Новосибирск: Науч. кн., 1998. - 438 с.

20. Деруссо, П. Пространство состояний в теории управления / П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз. М.: Наука, 1970. - 620 с.

21. Дудко, Л. Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. . канд. физ.-мат. наук / Л. Л. Дудко. Новгород, 1996. - 88 с.

22. Ефимов, В. Г. Ультразвуковая система динамических измерений для исследования твердотопливных энергетических установок / В.Г. Ефимов, Ю.Н. Ложкова, А.Г. Митин // Ползу-новский вестник. Барнаул, 2011. - № 3/1. - С. 184-188.

23. Ефремов, А. А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / А. А. Ефремов. Челябинск, 1996. - 102 с.

24. Ильин А. В. Обращение управляемыми динамических систем / А. В. Ильин, С. К. Коровин, В. В. Фомичев // Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. -2006. № 3 - С. 49-58.

25. Иосифов, Д. Ю. Динамические измерительные системы с измеряемым вектором параметров состояния датчиков / Д. Ю. Иосифов, А. Л. Шестаков // Приборостроение: Тем. сб. научн. тр. Челябинск, 2002. - С.98-102.

26. Иосифов, Д. Ю. Динамические модели и алгоритмы восстановления сигналов измерительных систем с наблюдаемым вектором координат состояния: дис. . канд. техн. наук / Д. Ю. Иосифов. Челябинск, 2007. - 162 с.

27. Казак, В. О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / В. О. Казак. Челябинск, 2005. - 99 с.

28. Келлер, А. В. Алгоритм численного решения задачи Шоуолтера-Сидорова для систем леонтьевского типа / А. В. Келлер // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». 2009. - № 26, Вып. 10. - С. 82-86.

29. Келлер, А. В. Динамическая балансовая модель как задача оптимального управления / А. В. Келлер // Труды Третьей межд. конф. «Мат. моделирование социальной и экономической динамики». М., 2010. - С. 131-133.

30. Келлер, А. В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук /

31. A. В. Келлер. Челябинск, 1997. - 115 с.

32. Келлер, А. В. Об алгоритме решения задач оптимального и жесткого управления / А. В. Келлер // Программные продукты и системы. Тверь, 2011. - № 3.- С. 170-174.

33. Келлер, А. В. Численное решение задачи жесткого управления для системы уравнений леонтьевского типа / А. В. Келлер // Обозрение приклад, и пром. математики. М., 2009. - Т. 16, вып. 4. - С. 666-667.

34. Кризский, В. Н. Математическое моделирование и оптимизация обратных задач определения геоэлектрических параметров кусочно-однородных сред / В. Н. Кризский, И. А. Герасимов, М. Б. Заваруева // Математическое моделирование. -2000. Т. 12, № 3. - С. 32-33.

35. Кротов, В. Ф. Основы теории оптимального управления /

36. B. Ф. Кротов, Б. А. Лагоша, С. М. Лобанов и др. / под ред. В. Ф. Кротова. М., 1990. - 430 с.

37. Кузнецов, Г. А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. . канд. физ.-мат. наук / Г. А. Кузнецов. Челябинск, 1999. - 105 с.

38. Кузовков, Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / Н.Т. Кузовков. М.: Машиностроение, 1976. - 184 с.

39. Курина, Г. А. Асимптотический анализ матрично сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управления / Г. А. Курина, X. А. Овезов // Изв. вузов. Мат. -1996. № 12. - С. 63-74.

40. Курина, Г. А. Обратимость оператора, возникающего в теории управления линейными системами / Г. А. Курина // Мат. заметки. 2001. - 70, № 2. - С. 230-236.

41. Курина, Г. А. Обратимость неотрицательно гамильтоновых операторов в гильбертовом пространстве / Г. А. Курина // Дифференц. уравнения. 2001. - 37, № 6. - С. 839-841.

42. Курина, Г. А. Приводимость одного класса оператор-функций к блочно-диагональной форме / Г. А. Курина, Г. В. Мартынен-ко // Мат. заметки. 2003. - 74, № 5. - С. 789-792.

43. Леонтьев, В. В. Межотраслевая экономика / В. В. Леонтьев.- М.: Экономика, 1997. 315 с.

44. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе.- М.: Мир, 1972.-412 с.

45. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе М.: Наука, 1987 - 456 с.

46. Манакова, Н. А. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики: дис. . канд. физ.-мат. наук /H.A. Манакова. Челябинск, 2005. - 124 с.

47. Манакова, H.A. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера-Сидорова для одного уравнения соболевского типа / H.A. Манакова, Е.А. Богонос // Изв. ИГУ. Сер.: Математика. Иркутск, 2010. - Т.З, № 1. - С.42-50

48. Ниренберг, JI. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг. М.: Мир, 1977. - 232 с.

49. Плеханова, М. В. Оптимальное управление распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени: дисканд. ф.-м. наук. / М. В. Плеханова. Челябинск, 2006. - 154 с.

50. Рузакова, О. А. Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа: дис. .канд. ф.-м. наук. / О. А. Рузакова. Екатеринбург, 2004. - 110 с.

51. Сапронов, Ю. И. Конечномерные редукции в экстремальных задачах / Ю. И. Сапронов // Успехи мат. наук,- 1996,-Т.51, № 1.- С. 101-132.

52. Сапронов, Ю. И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариавционных задачах / Ю. И. Сапронов, С. Л. Царев // Математические заметки 2000 - Т. 200.-С. 745-754.

53. Свиридюк, Г. А. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений / Г. А. Свиридюк // ДАН СССР. 1989. - Т. 304, № 2. - С. 301-304.

54. Свиридюк, Г. А. Об одной задаче 31ю\Уо11ег / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения. 1989. - Т. 25, № 2. - С. 338-339.

55. Свиридюк, Г. А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31, № 11. - С. 1912-1919.

56. Свиридюк, Г. А. Численное решение систем уравнений леон-тьевского типа / Г. А. Свиридюк, С. В. Брычев // Изв. вузов. Математика. 2003. - № 8. - С. 46-52.

57. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера-Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Изв. ИГУ. Сер.: Математика. Иркутск, 2010. - Т.З, № 1. - С.51-72.

58. Свиридюк, Г. А. Относительная сг-ограниченность линейных операторов / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева, Л. Л. Дудко // Изв. вузов. Математика. 1997. - № 7,- С. 68-73.

59. Свиридюк, Г. А. Линейные уравнения соболевского типа: учеб. пособие / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров.- Челябинск: ЧелГУ, 2003. 179 с.

60. Сидоров, Н. А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н. А. Сидоров // Мат. заметки. 1984. - Т. 25, № 4. - С.569-578.

61. Сидоров, Н. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н. А. Сидоров, О. А. Романова //Дифференц. уравнения. -1983. Т. 19, № 9. - С. 1516-1526.

62. Сидоров, Н. А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения.-1987,- Т. 23, № 4,- С. 726-728.

63. Скрипник В. П. Вырожденные линейные системы /

64. B. П. Скрипник // Изв. вузов. Математика. 1982. - № 31. C. 62-67.

65. Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. -Т. 18. - С. 3-50.

66. Соболев С. Л. Применение функционального анализа к математической физике / С. Л. Соболев. Л.: Наука, 1961. - 255 с.

67. Солдаткина, Е. В. Алгоритмы адаптации параметров измерительной системы к минимуму оценки динамической погрешности: дис. . канд. техн. наук / Е.В. Солдаткина. Челябинск, 2000. - 161 с.

68. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т.Г.Сукачева // Дифференц. уравнения,- 2000.- Т. 36, №8.- С. 1106-1112.

69. Суслов, В. И. Измерение эффектов межрегиональных взаимодействий: модели, методы, результаты / В. И. Суслов / отв. ред. А. Г. Гранберг, ИЭОПП СО АН СССР. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1991. - 252 с.

70. Трибелъ, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель. -М.: Мир, 1980. 664 с.

71. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп уравнений типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / В. Е. Федоров. Челябинск, 1996. - 104 с.

72. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространствах: дис. . д-ра физ.-мат. наук / В. Е. Федоров. Челябинск, 2005. - 271 с.

73. Федоров, В. Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Федоров // Вестн. ЮУр-ГУ. 2008. - № 15(115). - С. 89-99.

74. Федоров, В. Е. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Изв.РАН. Теория и системы управления. 2004. -Т.9,2. С. 92-102.

75. Фурсиков, A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье Стокса и Эйлера / A.B. Фурсиков // Мат. сб.- 1981,- Т.115, № 2,- С.281-307.

76. Фурсиков, A.B. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / A.B. Фурсиков,- Новосибирск: Научная книга, 1999 350 с.

77. Хатсон, В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В. Хатсон, Дж. Пим. М.: Мир, 1983. - 432 с.

78. Царьков, В. А. Использование методов теории автоматического управления при построении и анализе динамических моделей экономики производства / В. А. Царьков // Измерения. Контроль. Автоматизация. 1984. - № 4 - С. 66-78.

79. Чистяков, В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В. Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука, 1996. - 278 с.

80. Чистяков, В. Ф. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской / В. Ф. Чистяков, О. В. Бормотова // Журн. вычислит, мат. и мат. физики. -2004. Т. 44, № 8. - С. 1380-1387.

81. Чистяков, В. Ф. О системах не типа Коши-Ковалевской индекса (1,к) / В. Ф. Чистяков, С. В. Гайдомак // Вычислительные технологии 2005,- Т. 10, № 2 - С. 45-59.

82. Чистяков, В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. Новосибирск: Наука, 2003. - 320 с.

83. Чистяков, В. Ф. О понятии индекса сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Чистяков // Дифференциальные уравнения и численные методы. -Новосибирск, 1986. С. 123-128.

84. Шестаков, А.Л. Динамическая точность измерительного преобразователя с корректирующим устройством в виде моделидатчика / А.Л. Шестаков // Метрология. 1987. - № 2. -С. 26-34.

85. Шестаков, А.Л. Нейросетевая динамическая модель измерительной системы с фильтрацией восстанавливаемого сигнала / А.Л. Шестаков, A.C. Волосников // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Комп. технологии, управление, радиоэлектроника». 2006. -Л'2 14(69), вып 4 - С. 21-26.

86. Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Мат. моделирование и программирование». -2010. № 16(192), вып. 5. - С. 116-120.

87. Шестаков, А.Л. Шестаков, А. Л. Оптимальное измерение динамически искаженных сигналов / А. Л. Шестаков, Г. А. Свиридюк // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Мат. моделирование и программирование». 2011. - № 17(234), вып. 8. - С. 70-75.

88. Щеглова А. А. Линейные алгебро-дифференциальные системы с переменным отклонением аргумента / А. А. Щеглова // Изв. вузов. Математика. 2002. - № И. - С. 69-77.

89. Щеглова А. А. К вопросу об обобщенном решении алгебро-дифференциальных систем / А. А. Щеглова // Сиб. мат. ж. -2002. 43, № 4. - С. 964-973.

90. Щеглова А. А. Устойчивость линейных алгебро-дифференциальных систем / А. А. Щеглова, В. Ф. Чистяков // Дифферент уравнения. 2004. - 40, № 1. - С. 47-57.

91. Berger М. S. Folds and cups in Banach spaces, with applications to nonlinear partial differential equations. I /М. S. Berger, P. T. Church, J. G. Timorian // Indiana Univ. Math. J. 1985. -V. 34, №1.-P. 1-19.

92. Berger M. S. Folds and cups in Banach spaces, with applications to nonlinear partial differential equations. II /М. S. Berger, P. T. Church, J. G. Timorian // AMS. 1988. - V. 307, № 1. - P. 227-244.

93. Cahn I. W. Free energy of a nonuniform system. 1. Interfacial free energy /I. W. Cahn, I. E. Hillard // J. Chem. Physics. 1958. -V. 28. - P. 258-267.

94. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. N. Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999. - 236 pp.

95. Fernandes, B. R. Control of multivariable non-linear systems by the sliding mode method / B. R. Fernandes, K. J. Hedrick // International Journal of Control. 1987. - Vol. 46, № 3 - P. 10191040.

96. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev's problem. I / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994. - V. 4, № 1. - P. 18-51.

97. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev's problem. II / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994. - V. 4, № 2. - P. 16-53.

98. Hairer E. The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods / E. Hairer, C. Lubich, M. Roche// Rep CH-1211.-Dept. de Mathemat., Universite de Geneve, Switzerland, 1989. -152 pp.

99. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov.-Utrecht: VSP, 1999 171 p.

100. Lamour, R. How Floquet-theory applies to differential-algebraic equations / R. Lamour, R. März, R. Winkler. Berlin: Institut für Mathemaatik der Humboldt Universität zu Berlin, 1996.- (Prepr. № 96-15).

101. Lightbourne, J. H. A. Partial functional equations of Sobolev type / J. H. A. Lightbourne // J. Math. Anal. Appl.- 1983,-V. 93, № 2,- P. 328-337.

102. Litvinov, G. L. Error auto-correction in rational approximation / G.L. Litvinov // Interval Computations. 1992. - № 4(6). - P. 1418.

103. Miiller P. С. Linear control design of linear descriptor systems / P. C. Muller // 14th Triennial world congress, Beijing, P.R. China, 1999.

104. Miiller, P. C. Stability and optimal control of nonlinear descriptor systems: A survey / P. C. Muller // Appl. Math, and Сотр. Sci.- 1998. Vol. 8, № 2. - P. 269-286.

105. Pyatkov, S. G. Operator theory. Nonclassical problems / S. G. Pyatkov. Utrecht, Boston, Tokyo: VSP, 2002.

106. Rheinboldt W. C. Differential-algebraic systems an differential equation on manifolds / W.C. Rheinboldt // Math. Сотр. 1984.- Vol.43, № 168. P. 473-482.

107. Showalter, R. E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R. E. Showalter // Pacific J. Math. 1963. - V. 31, № 3. -P. 787-794.

108. Showalter, R. E. Hilbert space methods for partial differential equations / R. E. Showalter. Pitman, London, San Francisco, Melbourne, 1977. - 152 pp.

109. Sidorov, N. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. -Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. -548 pp.

110. Silverman, L. M. Optimal approximation of linear systems / L. M. Silverman, M. Bettayeb // JACC, San Francisco. 1980.

111. Stefany G. Asymptotic behavior of a phase-field system with dynamic boundary conditions / G. Stefany, A. Miranville // Differential Equations Inverse and Direct Problems. Ser. Lect. Notes Pure Appl. Math. 2006. - P. 149-170.

112. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. -Utrecht Boston - Tokyo - Köln: VSP, 2003. - 216 pp.

113. Whithey, H. Mappings of the plane into the plane / H. Whithey // Ann. Math. 1955. - V. 62. - P. 374-410.

114. Келлер, А. В. Численное решение задачи жесткого стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Обозрение приклад, и пром. математики. М., 2009. - Т. 16, вып. 6. - С. 1099-1100.

115. Келлер, А. В. Об устойчивости решений систем леонтьевского типа / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна-2010: тез. докл. Воронеж, 2010. - С. 78-79.

116. Келлер, А. В. Свойство регуляризуемости и численное решение задачи динамического измерения / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Вестн. Юж-Урал. гос. ун-та.

117. Сер. «Мат. моделирование и программирование». 2010. -№ 16(192), вып. 5. - С. 32-38.

118. Келлер, А. В. Исследование устойчивости решений в моделях леонтьевского типа / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ / под ред. А. И. Кожанова. Новосибирск, 2010. - С. 129-135.

119. Назарова, Е. И. Об алгоритме решения задачи оптимального измерения / Е. И. Назарова //XI Всероссийская конференция молодых ученых по мат. моделированию и информационным технологиям: тез. докл. Красноярск, 2010. - С. 33-34.

120. Келлер, А. В. Задача оптимального измерения: численное решение, алгоритм программы / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер.: Математика. 2011. - Т. 4, № 3. - С. 74-82.

121. Назарова, Е. И. Численное решение одной задачи оптимальных измерений / Е. И. Назарова // СамДиф-2011: конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», Самара, 26-30 июня 2011 г.: тез. докл. Самара, 2011. - С. 79-80.

122. Шестаков, А. Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А. Л. Шестаков, А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Автоматика и телемеханика. 2012. - № 1. - С. 107-115.