автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное дифференцирование временных рядов с использованием фильтра Калмана-Бьюси

На правахрукописи

Гончарова Елена Николаевна

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФИЛЬТРА КАЛМАНА - БЬЮСИ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь-2004

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор

Семенчин Евгений Андреевич доктор технических наук, профессор ¡Колосов Леонид Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Стеценко Владислав Яковлевич доктор технических наук, профессор Федоренко Владимир Васильевич Ведущая организация: Северо-Кавказский государственный технический университет (г. Ставрополь)

Защита состоится 5 ноября 2004 г. в 1630 часов на заседании диссертационного совета Д 212.256.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина 1, ауд. 214.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ по адресу: г. Ставрополь, ул. Пушкина 1.

Автореферат разослан «4» октября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

Л. Б. Копыткова

2,005-4 9ЩБ10

& О Ъ 8 8 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Решение задачи численного дифференцирования имеет большое значение при обработке результатов измерений параметров движущихся объектов; в геологии при обработке измерений, получаемых в процессе бурения скважин, когда необходимо определить скорость и ускорение, с которыми бур проходит различные по плотности слои грунта; в экологии при решении обратных задач; в численных методах решения скалярных уравнений, когда функция, входящая в уравнение является слишком сложной для аналитического дифференцирования и многих других задачах. В этих случаях решение задачи дифференцирования связано с обработкой и интерпретацией результатов физических экспериментов, когда входная информация задана с ошибкой. Если численное интегрирование сглаживает ошибки исходных данных, устраняет «шум» эксперимента, то на результат численного дифференцирования этот «шум» оказывает очень большое влияние: даже относительно небольшие ошибки входных данных заметно искажают результаты численного дифференцирования. Целесообразно разработать надежные методы, позволяющие одновременно сглаживать ошибки эксперимента и вычислять приближения производных. Поэтому тема диссертации актуальна.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка математических методов и программных средств для решения задачи численного дифференцирования таблично заданных функций со случайными помехами и применение этих методов при решении конкретных прикладных задач.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

1. Разработать устойчивый вычислительный алгоритм решения задачи численного дифференцирования временных рядов.

2. Разработать компьютерную программу реализации алгоритмов численного дифференцирования.

3. Применить разработанные методы к решению конкретных задач.

Методы исследований. Решение поставленных задач основывается на

использовании аппарата теории интерполирования функций, теории опта-мальной фильтрации случайных процессов, математической статистики.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулировок обеспечивается корректным применением аппарата математического анализа, теории аппроксимации, математической статистики. Эффективность предложенных методов подтверждается результатами вычислительных экспериментов.

На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Метод численного дифференцирования детерминированных временных рядов в узловых точках с использованием наблюдателя Льюинбергера.

2. Метод наилучшего (в среднеквадратическом смысле) приближения функции, заданной таблично и ее производных в узловых точках, основанный на использовании оптимального линейного фильтра Калма-на - Бьюси.

3. Методика решения обратной задачи об источнике примеси в турбулентной атмосфере, основанная на численном дифференцировании временных рядов с. помощью фильтра Калмана - Бьюси.

4. Методика применения разработанных методов к численному решению алгебраических уравнений модифицированным методом Ньютона.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

1. Разработан метод численного дифференцирования детерминированных временных рядов с использованием наблюдателя Льюинбергера, не требующий вычисления конечных разностей.

2. Разработан метод численного дифференцирования временных рядов со случайными ошибками, основанный на оптимальной линейной фильтрации случайных помех.

3. Предложенные методы использованы для решения обратной задачи об источнике примеси в турбулентной атмосфере и решения алгебраических уравнений методом Ньютона.

4. Указанные методы реализованы в виде комплекса программ на ЭВМ.

Практическая полезность полученных результатов. Разработаны математические методы и алгоритмы для решения задачи численного дифференцирования временных рядов. На базе предложенных методов и алгоритмов разработан программный комплекс (Delphi 6.0), позволяющий решать задачу численного дифференцирования временных рядов, возможно содержащих случайные ошибки измерения, который может быть использован при решении задач прикладной математики, физики и других областей, при решении которых необходимо определять численные значения производных временных рядов.

Реализация результатов. Результаты работы реализованы в учебном процессе СГУ в рамках дисциплин «Численные методы и математическое моделирование», «Вычислительный эксперимент», а также при разработке тематики курсовых и дипломных работ; программный комплекс, созданный в работе, используется в ОАО «Рыбопромысловое предприятие «Каспрыба-1» и ЗАО «Севкавэнергоэлектроника» для обработки и анализа результатов наблюдений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, МГУ, РГУ, 1996 и 1998 гг.), на четвертом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003 г.), на 47, 49-й научно-методических конференциях преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2003,2004 гг.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 работах, указанных в списке литературы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы (содержащего 66 наименований), 3 приложений. Основная часть работы изложена на 107 страницах машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи работы, указаны научная новизна, практическая значимость, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе сделан обзор известных методов численного дифференцирования, т.е. нахождения производных заданной функции у-/(х) в заданных точках х. В прикладной математике имеется ряд моментов, делающих эту задачу актуальной: это типичное для прикладных задач незнание аналитического вида функции f[x), когда она представляет собой таблицу значений, полученных как результаты измерений, как правило, зашумленных ошибками; сложный вид функции для аналитического дифференцирования и т.д.

Эта задача решалась многими авторами. При этом предполагается, что некоторая функция задана таблицей значений в равноотстоящих узлах /0, tu t2, ..., tN Я'оЫ^Ы'г)»—и предлагается строить интерполяционный многочлен та-

ким образом, чтобы соблюдалось приближенное равенство

= (1) Значение т -й производной интерполяционного многочлена P„{t) принимается за приближенное значение т -й производной функции y(t), т.е.

y(m\t)^P^{t\ т< п. (2)

Для случая равноотстоящих узлов Т = t,~ интерполяционный многочлен задается формулой Ньютона:

+ = (3)

где Д^/д) - конечная разность к-то порядка от функции y(t).

При этом известно, что m-я производная от интерполяционного многочлена (3)в точке t = t0 равна

к—т

где ,(т<к = 1,2,3...) - целые числа, называемые числами Стерлинга первого рода. Аналогичными выражениями записываются соответствующие производные от интерполяционного многочлена для любого

узла Недостатком такого подхода является то, что для опре-

деления производной (4) необходимо вычислять конечные разности от т-то до п-то порядков. Операция вычисления конечных разностей высокого порядка сопровождается значительными ошибками округления. Эти ошибки существенно возрастают, если временной ряд содержит случайные ошибки измерений.

В первой главе указаны наиболее используемые формулы аппроксимации производных различного порядка точности, отмечено влияние ошибки в задании значений функции на погрешности в конечных разностях и показано, что при многократных погрешностях в узловых точках таблично заданной функции классические методы численного дифференцирования неприемлемы к решению данной задачи.

Отмеченные выше недостатки численного дифференцирования таблично-заданных функций классическими методами подтверждают необходимость разработки новых подходов к решению данной задачи.

Во второй главе предлагается подход к решению задачи численного дифференцирования временных рядов, основанный на представлении временного ряда однородными конечно-разностными уравнениями в пространстве состояний. Показано, что временной ряд, допускающий аппроксимацию полиномом п -й степени вида

может быть представлен в виде системы однородных дифференциальных уравнений, заданной в матричной форме:

у(1) = а0+ + а2р- + а3Р +... + а/

,п

(5)

'*(/) = Ах{(\

= ох(0;

(6)

где

0 о о ... О О

1 о о ... о о

А= 0 2 0 ... О 0 ; (7)

(7)

.......О

О 0 0 ... и О

*(0 = [*1(0,*2(0> *з(0.....^л+КОГ; а = [а0, а„ а2,..., а„\; (8)

•я

*,(0 = 1,х2(0 = ?,дг3(г) = г2,...,хл+1(0 = г".

(9)

В теории управления первое уравнение системы (6) называют век-торно-матричным уравнением состояний, а второе - уравнением наблюдений, которое связывает вектор состояний с выходным процессом

у((). При этом матрица А называется переходной матрицей состояний, а строка а - строкой вывода. Однако система (6) не позволяет решать задачу дифференцирования полинома (5) как в силу самой структуры этой системы, так и в силу того, что коэффициенты а, (/' = 0,«) неизвестны.

Далее показывается существование преобразования подобия, приводящего систему (5) с неизвестной строкой вывода и известными начальными условиями к эквивалентной по выходу системе с неизвестными начальными условиями, но с заданной строкой вывода

где Q квадратная невырожденная матрица подобия порядка (и + 1). При этом эквивалентную систему следует искать в виде:

¿(0 = ^(01 >-(0 = аЩ

Матрица перехода ^ размера (л+1)х(и+1) и строка с размера 1 х (и+1) должны иметь вид:

(П)

/г =

'о 1 0 . . 0 о"

0 0 1 . . 0 0

0 0 0 . . 0 0

0 0 0 . . 0 1

0 0 0 . . 0 0

; с = [100...00}

(12)

Доказана теорема:

Теорема. Бефг А+ат а]>0. Кроме того, показано существование матрицы подобия, определяемой

выражением Q = [лтА + а7^]4 • И, и позволяющей определить ные условия для системы (11) в виде

началь-

2(0) = £~'*(0) = 0~1\лтА + ата\- х(0), (13)

исследована наблюдаемость системы (11), построен алгоритм численного дифференцирования детерминированных временных рядов, использующий наблюдатель Льюинбергера, который с учетом дискретной формы записывается следующим образом:

г(к +1) = Ф • ¡(к) + к ■ \у(к) - с ■ !(*)].

(14)

Здесь

г(к) - оценка вектора состояний;

т(п-1)

Ф =

Т_ 2!

1 Т ---

0 1 т -—

7_ 3!

Т1 2!

(П-1). т(П-2)

т(п-1)

(и-2) (и-1)

(15)

0 0 0 0 ... 1 т 0 0 0 0 ... 0 1 с = [ЮО...ОО];

к - векторный коэффициент передачи, за счёт выбора которого обеспечивается устойчивость алгоритма численного дифференцирования.

Вектор к выбирается таким образом, чтобы все собственные числа матрицы (ф-кс) находились в круге единичного радиуса комплексной плоскости. Тем самым обеспечивается устойчивость алгоритма (14), и любая ошибка в задании начальных условий будет аннулирована за (« + 1) шаг.

Далее во второй главе решена задача определения вектора к, в случае, когда временной ряд аппроксимируется степенным полиномом второй степени. Тогда

"1.2 1

Л

-2 _2 -1-1-1-1-

О 100 200 300 400 500

0 ' 500

Рис. 1. Приближения первой и второй производной функции у = соз(д:), полученные по алгоритму с использованием наблюдателя Льюинбергера с шагом 0.01. \Vj_2 - приближения первой производной; у11 - точные значения первой производной; \Vj_3 - приближения второй производной; y2¡ - точные значения второй производной.

Аналогичные алгоритмы разработаны для временных рядов, аппроксимированных ортогональными полиномами.

Разработана программа, реализующая построенные алгоритмы и приведены примеры ее применения. Результат работы программы представлен на рис. 1. Из рисунка видно, что ошибки в задании начальных значений аннулируются, начиная с 3 шага.

В третьей главе предложены методики сглаживания случайных ошибок в таблично заданных функциях и численного дифференцирования временных рядов, содержащих случайные ошибки с помощью фильтра Калмана - Бьюси.

Будем считать, что сигнал может быть представлен в виде:

где - случайные ошибки измерения, искажающие истинный

сигнал,

является нормальным белым шумом, для которого

А, х((), а определяются выражениями (7 - 9).

Используя преобразования подобия и переход к дискретной форме, система (17) может быть приведена к дискретному виду:

(18)

Предполагается, что £ изменяется во времени медленно, т.е. на малом интервале времени к-п,к + п (п - количество точек усреднения) можно положить %(к) = const.

Учитывая, что система однородна, в нашем случае имеем следующий алгоритм фильтрации:

£(к +1) = Ф£(к) + К(к +1 )[у{к +1) - с • Ф • £(*)] (19)

- оценка вектора состояний;

(20)

- коэффициент передачи фильтра;

(21)

- априорная матрица ошибок оценивания; Р(к + \) = [Е-К(к + 1)с]Р(к + \/к)] (22)

- матрица ошибок оценивания. При этом оценка вектора х(к) имеет вид:

x(k) = c-i(k). (23)

Цк +1) = Р(к + \/к)ст[сР(к +1/к)ст + Dv(k +1)]

Р(к + \/к) = Ф-Р(к)-Фт

Алгоритм (19)-(23) представлен в матричной форме. Компонентами вектора в каждый момент времени являются сглаженное значение функции и приближения всех ее производных до порядка, определяемого размерностью фильтра.

Данный алгоритм реализован в виде программного продукта. Результаты работы программы представлены на рис. 2.

Т I I I I 1 I I г

-0.5 -

-0.7 _I__I_I_I_I_I-1_I-

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Рис. 2. Результаты работы программы оценивания значений функции и ее производной с использованием фильтра Калмана-Бьюси. ><*,) = /&) + *„ 1 = 0,1.Л, ЛГ = 2000; х, = ¡1, / = 0.01; /(*,) = 5т(х,);

g - вектор N случайных чисел, имеющих нормальное распределение; >у0 - оценки функции;

- оценки первой производной;

- значения первой производной, вычисленные аналитически.

Рассмотрено влияние степени аппроксимирующего полинома на точность решения задачи дифференцирования. Показано, что при решении задачи дифференцирования методом параметров состояний погрешно-

сти метода возникают в том случае, если степень полинома, аппроксимирующего вектор состояний выбрана ниже фактической. Этот факт не является неожиданным и лишь указывает на то, что прежде чем решать задачу оценивания значений функции и ее производных, необходимо осуществить процедуру определения размерности вектора состояния системы.

Четвертая глава посвящена решению практических задачи с использованием разработанных алгоритмов и программ.

Задача об источнике примеси. Функция, описывающая изменения концентрации примеси ц — д{1,х,у,г), / = [0,°°), в пространстве

4 = {{х,у,г):х,уе (-°°,оо),ге [о,»)}, удовлетворяет следующей задаче:

д( дх

^ + и--м>—=—К —+—К —+—К —+ /, Л дг дх х дх ду у ду дг 1 дг

д(0,х,у,г) = <р(х,у,г),

(24)

(25)

(26) (27)

где

ц((,х,у,г) -> 0, хг + уг + г1 г > 0, и - средняя скорость ветра вдоль оси Ох; и/ - скорость осаждения частиц примеси на подстилающую поверхность;

Кх,Ку,К2 - коэффициенты турбулентной диффузии соответственно вдоль осей Ох, Оу, Ог; / - функция, описывающая источник примеси; (р - фоновая концентрация;

Р - величина, характеризующая взаимодействие примесей с

подстилающей поверхностью. Рассматривается точечный источник примеси, сосредоточенный в точке тогда зависит только от

аргумента /, причем если источник мгновенный, то

Легко убедиться, что если в (24) функцию источника / заменить на функцию мощности этого источника <2, то аналитический вид q от этого не измениться.

Рассматривается обратная задача: по заданным q, и, м>, Кх,Ку,К2,<р,/3 восстановить Q. Формально значение Q может быть определено из соотношения:

Предполагается, что для q в (28) условия (25) - (27) выполнены.

Как видно из уравнения (28), для решения поставленной задачи необходимо находить численные значения частных производных первого и второго порядков. Предложена методика решения задачи вычисления значений Q по формуле (28) для случая, когда источник примеси является точечным источником непрерывного действия. Значения концентрации примеси д = д(1,х,у,г) (мг/м3) расположены в узлах сетки (х,,^,!*), где /=0..п,у=0..п1, А=0..п2 с шагом Ъм вдоль осей ОХ, ОУ, 02.

Решение уравнения модифицированным методом Ньютона. Рассмотрим задачу приближенного нахождения нулей функций одной переменной, т.е. задачу нахождения корней уравнений вида

/(*)=■ 0, (29)

где - алгебраическая или трансцендентная функция,

некоторые множества из (-00,00).

При решении таких уравнений часто используется итерационный метод Ньютона, позволяющий существенно ускорить процесс сходимости приближенных значений хк к корню X уравнения (29) при к —» °°. Итерационный процесс Ньютона определяется следующим образом:

где к = 0,1,2,..., и предполагается, что, по крайней мере, на элементах последовательности первая производная данной функции в нуль не обращается.

Иногда возникают ситуации, когда при аналитическом дифференцировании функции получаемая производная имеет достаточно сложный аналитический вид, что затрудняет нахождение ее значений с высокой точностью. В этом случае предлагается заменить значение /'(хк) в (30),

ее численным приближением, получаемом на интервале

Для этой цели предлагается использовать методы, разработанные в главах 2,3 диссертационного исследования.

Непосредственное применение методов фильтрации случайных помех при вычислении значений хк осложняется тем фактом, что точки

хк, к = 1,2,... расположены на числовой прямой не равномерно (т.е.

Предложенные методы в главах 2, 3 предполагают равномерное расположение на числовой прямой. Для устранения подобных трудностей использования метода фильтрации, предлагается следующий алгоритм вычислений, который для удобства терминологии называем «модифицированным методом Ньютона».

1. Зададим х0 е [а,Ь] - начальное приближение для итерационного процесса (30) ([а, Ь] - отрезок локализации корня).

2. Выбираем некоторый шаг дискретизации к > 0, строим равномерную сетку

~Ъ-а

x't =х'0+ ih, i = 1,2..«, п =

> х0 " х0 '

(31)

вычислим значения j, = /(*,) и оценим значения производных f'(xk) по алгоритму, использующему наблюдатель Льюинберге-ра или фильтр Калмана - Бьюси. Тогда для вычисления прибли-

жения хк к корню по методу Ньютона будем использовать рекуррентную формулу

где в качестве точки х\ выбирается ближайшая точка к хк из совокупности (31).

В приложениях приведен листинг комплекса программ численного дифференцирования, примеры реализации методов; результаты сравнения программной реализации разработанных методов дифференцирования таблично заданных функций с классическими методами; результаты сравнения с коммерческими программами Microsoft Excel, MathCad; документы, подтверждающие внедрение результатов диссертационной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в диссертационной работе исследования направлены на разработку альтернативных методов численного дифференцирования детерминированных временных рядов и временных рядов, содержащих случайные ошибки измерения. Получены следующие научные и практические результаты.

1. Предложен новый метод численного дифференцирования временных рядов, основанный на представлении временного ряда однородными конечно-разностными уравнениями пространства состояний. Он отличается от известных методов тем, что не требует вычисления конечных разностей. Приводятся примеры, иллюстрирующие эффективность предложенного метода.

2. Разработана программная реализация метода численного дифференцирования детерминированных временных рядов.

3. Разработан метод численного дифференцирования временных рядов, содержащих случайные ошибки измерений на основе использования фильтра Калмана - Бьюси, позволяющий получить не только оценки значений временного ряда, но и приближения производных различного порядка.

4. Разработана программная реализация метода численного дифференцирования стохастических временных рядов на основе применения фильтра Калмана - Бьюси.

5. Приведены примеры сравнений результатов численного дифференцирования предложенными методами и известными.

6. Предложенные методы численного дифференцирования использованы при решении конкретных прикладных задач (задача об источнике примеси, численное решение алгебраических уравнений и др.)

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Колосов Л.В., Гончарова Е.Н. Об одном методе численного дифференцирования // Международная геометрическая школа-семинар памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, МГУ, РГУ. - Ростов-на-Дону, 1996.-С. 111-112.

2. Колосов Л.В., Гончарова Е.Н. Об одном методе численного дифференцирования временных рядов // Вестник СГУ. - Ставрополь: Изд-во СГУ. - № 7. - 1996. - С. 9 -18.

3. Колосов Л.В., Душейко А.Г., Гончарова Е.Н. Математическое моделирование радиопрозрачного антенного укрытия // Вестник СГУ. -Ставрополь: Изд-во СГУ. -№11.- 1996. - С. 41 - 50.

4. Колосов Л.В., Гончарова Е.Н., Бибарсов М.Р. Преобразование полиномиальных функций к системе однородных дифференциальных уравнений // Международная геометрическая школа-семинар памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, МГУ, РГУ. - Ростов-на-Дону, 1998.-С. 194-195.

5. Колосов Л.В., Гончарова Е.Н., Бибарсов М.Р. Решение задачи численного дифференцирования // Международная геометрическая школа-семинар памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, МГУ, РГУ. - Ростов-на-Дону, 1998.-С. 196-197.

6. Колосов Л.В., Гончарова Е.Н. Численное дифференцирование функций, допускающих аппроксимацию ортогональными полиномами Эрмита // Вестник СГУ. - Ставрополь: Изд-во СГУ. - № 20. - 1999. -С. 21-27.

7. Колосов Л.В., Гайчук Д.В., Гончарова Е.Н. Метод синтеза ансамблей сигналов с заданными свойствами // Вестник СГУ. - Ставрополь: Изд-во СГУ. - № 20. - 1999. - С. 104 -111.

8. Гончарова Е.Н. Применение фильтра Калмана для решения задачи численного дифференцирования при случайных ошибках измерений // Вестник СГУ. - 2003. - № 34. - С. 24 - 27.

9. Семенчин ЕА, Гончарова Е.Н. Один способ решения обратной задачи для источника примеси // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: Редакция журнала «ОПиПМ», 2003. - Т. 10. -С. 738 - 740.

Ю.Гончарова Е.Н. Решение задачи оценивания функции и ее производных при случайных ошибках измерения // Материалы 49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону», 5-27 апреля 2004 г. - С. 117-120.

Изд. лиц.серия ИД № 05975 от 03.10.2001 Подписано в печать 30.09.2004 Формат 60x841/16 Усл.печ.л. 1,01 Уч.-изд.л. 0,63

Бумага офсетная Тираж 100 экз. Заказ 221

Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственного университета. 355009, Ставрополь, ул.Пушкина, 1.

«18672

РНБ Русский фонд

2005-4 20388

Введение

СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. Методы численного дифференцирования функций дискретного типа.

1.1. Численное дифференцирование временных рядов.

1.2. Анализ методов численного дифференцирования.

1.3. Некорректность задачи численного дифференцирования.

1.4. Выводы.

Глава II. Алгоритмы численного дифференцирования детерминированных временных рядов.

2.1. Представление полиномиальных функций уравнениями в пространстве состояний.

2.1.1. Представление полиномиальных функций в виде решения системы линейных дифференциальных уравнений.

2.1.2. Преобразование системы линейных дифференциальных уравнений к уравнениям в пространстве состояний.

2.1.3. Условия дифференцируемости полиномиальных функций и наблюдаемость уравнений состояний.

2.2. Оценка производных детерминированных временных рядов по результатам наблюдений.

2.3. Численное дифференцирование дискретных функций, аппроксимированных ортогональными полиномами.

2.4. Выводы.

Глава III. Численное дифференцирование временных рядов при случайных ошибках измерений.

3.1. Фильтрация случайных помех по методу Калмана - Бьюси.

3.2. Фильтр Калмана - Бьюси с фиксированным запаздыванием.

3.3. Точность решения задачи численного дифференцирования.

3.4. Выводы.

Глава IV. Некоторые приложения методов численного дифференцирования временных рядов со случайными ошибками.

4.1. Решение обратной задачи для источника примеси методами оптимальной фильтрации.

4.2. Оценка скорости и ускорения движения снаряда по результатам наблюдений.

4.3. Численное решение уравнений модифицированным методом

Ньютона.

4.3. Численное решение уравнений модифицированным методом

Ньютона.

Выводы.

Решение задачи численного дифференцирования имеет большое значение при обработке результатов измерений параметров движущихся объектов, в геологии при обработке измерений, получаемых в процессе бурения скважин, когда необходимо определить скорость и ускорение, с которыми бур проходит различные по плотности слои грунта; в экологии при решении обратных задач, в численных методах решения скалярных уравнений, когда функция, входящая в уравнение задана таблично или является слишком сложной для аналитического дифференцирования и многих других задачах. Решение задачи численного дифференцирования в этих случаях может быть связано с обработкой и интерпретацией результатов физических экспериментов, когда входная информация задана с ошибкой. Поэтому желательно получение значений производных с помощью однотипных вычислительных процессов, не привлекающих аналитических выкладок, и позволяющих одновременно сглаживать исходные данные и строить приближения производных.

В [2, 49] показано, что средние скорости, которые обычно используются для изучения экологических процессов, имеют ряд недостатков: чрезмерная чувствительность к ошибкам в исходных данных, зависимость от величины интервала времени, в течение которого проводится определение. Они слишком грубы для изучения динамики процесса. Мгновенные скорости лишены недостатков средних скоростей и способны отразить тонкую структуру динамики процессов.

Ю. Одум в своем классическом руководстве по экологии [48] писал: «Мгновенную скорость дХИй нельзя измерить непосредственно; точно так же нельзя непосредственно вычислить величину dN'/(ЫЖ)». В практических задачах значения экспериментальных данных подвержены погрешностям измерения, или погрешностям, возникающим при округлении полученных результатов измерения до данного числа знаков, или на некоторых временных участках наблюдения могут отсутствовать. В первых двух случаях эти ошибки могут нарастать в процессе определения аппроксимирующего полинома, а, следовательно, и при определении производных, а в третьем его вообще не представляется возможных построить. Поэтому на практике очень часто применяют специальные приемы для сглаживания значений функции или ее восстановления. Эти приемы разрабатываются в теории оценивания. Задача теории оценивания далеко не нова и относится, по крайней мере, к временам Лежандра и Гаусса. Гауссу приписывают первое употребления понятия оценивания на основе его высказывания о том, что наиболее вероятным значением оцениваемого данного является такое, при котором минимизируется сумма квадратов разностей между действительно наблюдаемым сигналом и вычисленными значениями [55, 64]. Этим по сути дела был сформулирован принцип среднеквадратической ошибки.

Значительный вклад в развитие теории оценивания был внесен А.Н. Колмогоровым и Н. Винером. В 1941 г. А.Н. Колмогоров и в 1942 г. Н. Винер предложили статистический метод оптимальной линейной фильтрации стационарных процессов, который с успехом многие годы применялся для оценивания сообщений [3, 31]. Первая фундаментальная работа в области оптимального оценивания принадлежат В.А. Котельникову [38], в которой был получен ряд практически важных результатов принципиального характера. Дальнейшее развитие вопросы теории оценивания получили в работах Р. Калмана, Р. Бьюси, Р. Стратоновича, В. Тихонова и других ученых [50,28].

В диссертационной работе разработаны методы, представляющие собой сочетание классического статистического анализа и вероятностного подхода, позволяющие оценивать производные (следовательно, мгновенные скорости) из выборок ограниченного объема. В данной работе мы стремились объединить возможности применения современной теории оценивания, основанной на описании сигналов в пространстве состояний и фильтров Калмана - Бьюси, для решения практических задач оценивания значений функций и ее производных.

В данной работе предлагается подход к решению задачи численного дифференцирования с равноотстоящими узлами, не требующий вычисления конечных разностей, основанный на аппроксимации экспериментальных данных решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и применении фильтра Калмана - Бьюси как для построения оценок значений самой функции, заданной таблично и содержащей случайные ошибки измерений так и для определения приближений производных функций различного порядка.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются дискретно заданные функции, которые интерпретируются как результаты физических экспериментов, когда входная информация задана с ошибкой, предметом исследования является математический аппарат на основе интерполирования функций степенными и ортогональными полиномами, теория фильтрации.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является разработка математических методов и программных средств для решения задачи численного дифференцирования таблично заданных функций. Эти функции являются результатами наблюдения некоторого процесса. Процессы могут быть как детерминированными, так и стохастическими. Использование этих методов для решения некоторых задач.

Поставленная цель требует решения следующих задач:

1. Разработать устойчивый по отношению к ошибкам входных данных вычислительный алгоритм решения задачи численного дифференцирования временных рядов.

2. Разработать компьютерную программу, реализующую алгоритмы численного дифференцирования.

3. Применить разработанные методы к решению конкретных задач.

Методология и методы проведенного исследования. Решение поставленных задач основывается на использовании аппарата интерполирования функций, теории фильтрации, математической статистики, объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Разработан метод численного дифференцирования детерминированных временных рядов с наблюдателем Льюинбергера, не требующий вычисления конечных разностей.

2. Разработан метод численного дифференцирования временных рядов со случайными ошибками, основанный на оптимальной линейной фильтрации случайных помех.

3. Предложенные методы использованы для решения обратной задачи об источнике примеси в турбулентной атмосфере и решения алгебраических уравнений методом Ньютона.

4. Указанные методы реализованы в виде комплекса программ на

ЭВМ.

Практическая значимость полученных результатов.

1. Предложенные математические методы могут быть использованы для решения практических задач из различных областей прикладной математики, для решения которых необходимы численные значения производных различных порядков.

2. Разработанный на базе полученных результатов комплекс программ позволяет решать задачи численного дифференцирования, как детерминированных временных рядов, так и временных рядов, содержащих ошибки измерения.

3. Результаты работы внедрены в учебный процесс в СГУ.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Метод численного дифференцирования детерминированных временных рядов в узловых точках с использованием наблюдателя Льюинбергера.

2. Метод наилучшего (в среднеквадратическом смысле) приближения функции, заданной таблично и ее производных в узловых точках, основанный на использовании оптимального линейного фильтра Калмана -Бьюси.

3. Методика решения обратной задачи об источнике примеси в турбулентной атмосфере, основанная на численном дифференцировании временных рядов с помощью фильтра Калмана - Бьюси.

4. Методика применения разработанных методов к численному решению алгебраических уравнений модифицированным методом Ньютона.

Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались на Международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, МГУ, РГУ, 1996 и 1998 гг.), на четвертом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003 г.), на 47,49-й научно-методических конференциях преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2003, 2004 гг.).

Опубликованностъ результатов. Материалы диссертации опубликованы в 10 научных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованных источников и приложений. Работа изложена на 107 страницах, содержит 10 рисунков и 6 таблиц.

Выводы

В данной главе показано практическое применение разработанных в диссертационном исследовании методов к различным задачам. Здесь разработана методика решения обратной задачи об источнике примеси в турбулентной атмосфере. Также предлагается использовать алгоритм численного дифференцирования детерминированных временных рядов при решении алгебраических уравнений методом Ньютона, для случая, когда функция, входящая в уравнение является достаточно сложной для аналитического дифференцирования. Также показано применение рассмотренных методов для других практических задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в диссертационной работе исследования направлены на разработку альтернативных методов численного дифференцирования детерминированных временных рядов и временных рядов, содержащих случайные ошибки измерения. Получены следующие научные и практические результаты.

1. Предложен новый метод численного дифференцирования временных рядов, основанный на представлении временного ряда однородными конечно-разностными уравнениями пространства состояний. Он отличается от известных методов тем, что не требует вычисления конечных разностей. Приводятся примеры, иллюстрирующие эффективность предложенного метода.

2. Разработана программная реализация метода численного дифференцирования детерминированных временных рядов.

3. Разработан метод численного дифференцирования временных рядов, содержащих случайные ошибки измерений на основе использования фильтра Калмана - Бьюси, позволяющий получить не только оценки значений временного ряда, но и приближения производных различного порядка.

4. Разработана программная реализация метода численного дифференцирования стохастических временных рядов на основе применения фильтра Калмана - Бьюси.

5. Приведены примеры сравнений результатов численного дифференцирования предложенными методами с классическими.

6. Предложенные методы численного дифференцирования использованы при решении конкретных прикладных задач (задача об источнике примеси, численное решение алгебраических уравнений и др.)

1. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows: Пер. с англ. М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1996. - 712 с.

2. Parchevsky K.V. Using regularizing algorithms for the reconstruction of growth rate from the experimental data // Ecol. modelling. 2000.

3. Wiener N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series. N.Y.: Wiley, 1949.

4. Балакришнан A.B. Теория фильтрации Калмана. М., 1988.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции / Пер. с англ. Виленкина Н.Я. М.: Наука, 1974. - 296 с.

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2 т. М.: Физмат-гиз, 1962.

9. Берлянд М.Е. К теории турбулентной диффузии // Труды ГКО, 1963. -Вып. 185.-С. 15-25.

10. Бокс Дж., Дженкинкс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.-М.: Мир, 1974.

11. Бриллинджер Д. Временные ряды. М.: Мир, 1080.

12. Бриллюэн Л. Наука и теория информации. М.: Физматгиз., 1960.

13. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. -М.: Наука, 1979.

14. Вапник В.Н., Глазкова Т.Г., Кощеев В.А., Михальский А.И., Червонен-кис А.Я. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. М.: Наука, 1984.-815 с.

15. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). М.: Высшая школа, 2000.

16. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Высшая школа, 2001.

17. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. - 448 с.

18. Гаусс К.Ф. Теория движения небесных тел. 1809.

19. Геймер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.-384 с.

20. Гончарова E.H. Применение фильтра Калмана для решения задачи численного дифференцирования при случайных ошибках измерений // Вестник Ставропольского государственного университета. — 2003. -№ 34. С.24-27. - 152 с.

21. Гончарова E.H. Решение задачи оценивания функции и ее производных при случайных ошибках измерения // Материалы 49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука региону» 5-27 апреля 2004 г.

22. Гутер P.C., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. М.: Наука, 1970.

23. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1970.

24. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М.: Советское радио, 1978.

25. Зальцер Дж. М. Частотный анализ вычислительных машин в реальном времени // Частотные методы в автоматике. -М.: Изд-во ин. лит., 1957.

26. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1986.

27. Иванов Е.С., Колосов Л.В. Современные методы обработки сигналов в системах связи и управления. Ставрополь: СВВИУС, 1988.

28. Калман Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания // Техн. механика. Сер. Д. 1961. Т. 83, № 1.

29. Квакирнаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

30. Колмановский В.Б. Задачи оптимального управления // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. - № 6. - С. 121-127.

31. Колмогоров А.И. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Известия АН СССР. Т.5. -№1.-1945.

32. Колосов JI.B., Гончарова E.H. Об одном методе численного дифференцирования // Труды участников Международной геометрической школы-семинара памяти Н.В. Ефимова Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета«Лиманчик» 27.09-04.10, 1996.-С. 147-148.

33. Колосов Л.В., Гончарова E.H. Об одном методе численного дифференцирования временных рядов // Вестник СГУ. — Ставрополь: Изд-во СГУ.-№7.-1996.-99 с.

34. Колосов Л.В., Гончарова E.H., Бибарсов М.Р. Решение задачи численного дифференцирования // Международная геометрическая школа-семинар памяти Н.В. Ефимова Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета «Лиманчик» 27.09 04.10,1998.

35. Колосов Л.В., Гончарова E.H. Численное дифференцирование функций, допускающих аппроксимацию ортогональными полиномами Эрмита // Вестник СГУ. Ставрополь: Изд-во СГУ. - №20. - 1999. - С. 21-27.

36. Колосов Л.В., Суйменбаев В.Т. Об одном подходе идентификации нестандартных систем // Информационно-измерительные устройства. -М.: МАИ им С. Орджоникидзе, 1979.

37. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Госэнергоиздат, 1956.

38. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. -763 с.

39. Ларри Леви. Применение фильтра Калмана в навигационной аппаратуре // GPS World. Сентябрь, 1997.

40. Медич Дж. Статистичеси оптимальные линейные оценки и управление. -М.: Энергия, 1973.

41. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. ВИНИТИ, 1973. - С.129 - 178.

42. Морозов В.А. О задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации // Вычислительные методы и программирование. 1970. — Вып. 14. — С. 46-62.

43. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во Мгу, 1974. - 360 с.

44. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.

45. Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование MATLAB. 3-е издание.: Пер. с ангд. М.: Издательский дом «Вильяме», 2001.-720 с.

46. Наац В.И. Аппроксимация искомого решения и его производных в вычислительной модели явления переноса // V региональная научно-техническая конференция "Вузовская наука Северо-Кавказскому региону". www.ncstu.ru.

47. Одум Ю. Экология. М.: Мир, 1986. - 2 т. - 376 с.

48. Парчевский К.В., Парчевский В.П. Определение мгновенных скоростей роста с помощью аппроксимирующих кубических сплайнов // Ж. общ. биол. 1998. - № 4. - С. 424-437.

49. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1992.

50. Ройтенберг Я.Н. Некоторые задачи управления движением. М.: Физ-матгиз, 1963.

51. Румшский JI.3. Математическая обработка результатов эксперимента. -М.: Наука, 1971.

52. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004. -480 с.

53. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.

54. Сейдж Э.П., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Энергия, 1973.

55. Семенчин Е.А. Аналитические решения краевых задач в математической модели атмосферной диффузии. Ставрополь: Изд-во СКИУУ, 1993.-141 с.

56. Семенчин Е.А., Гончарова E.H. Один способ решения обратной задачи для источника примеси // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Редакция журнала «ОПиПМ», 2003. - Т. 10. - С. 738740.

57. Скарборо Дж. Численные методы математического анализа. — M;JI.: ГТТИ, 1934.

58. Сулицкий В.Н. Вычисление производной на основании дискретно поступающей информации // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т.9. - №3. - М.: Наука, 1969.

59. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976.-248 с.

60. Тихонов А.Н., Арсенин В.А. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.-223 с.

61. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

62. Тихонов А.Н., Иванов В.К., Лаврентьев М.М. Некорректно поставленные задачи / Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1970. - С. 224 - 238.

63. Трис Г. Ван. Теория обнаружения, оценок и модуляции. М.: Сов. Радио, T.I - 1972, Т. 2- 1975, Т. 3. - 1977.

64. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. - 428 с.

65. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1968.