автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Восстановление метеорологических полей по данным наблюдений

На правах рукописи

Климова Екатерина Георгиевна

ВОССТАНОВЛЕНИЕ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ПО ДАННЫМ НАБЛЮДЕНИЙ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий СО РАН.

оппоненты:

Официальные

доктор физико-математических наук Крупчатников Владимир Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор Черных Геннадий Георгиевич,

доктор физико-математических наук Шлычков Вячеслав Александрович

Ведущая организация: Главная геофизическая обсерватория

им. А.И. Воейкова, г. Санкт-Петербург.

Защита диссертации состоится 01 июля 2005 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск, проспект академика М.А.Лаврентьева, 6, конференц-

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном зале вычислительной математики и информатики научного отделения ГПНТБ (проспект академика М.А.Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан 24 мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного сове™ доктор физико-математических наук,

зал ИВТ.

профессор

Чубаров Л.Б.

Общая характеристика работы.

При изучении процессов, происходящих в атмосфере, важнейшей задачей является обработка данных натурных наблюдений за ее состоянием. В настоящее время обработка данных наблюдений в большинстве гидрометеорологических центров мира осуществляется на основе систем усвоения данных. Усвоением данных (в зарубежной литературе "data assimilation") принято называть процедуру совместного учета данных наблюдений и прогностической модели для получения пространственно-временного распределения метеорологических полей. Задача усвоения метеорологических данных является обобщением проблемы численного анализа, при этом численным анализом принято называть интерполирование значений метеоэлементов, полученных на нерегулярной сети пунктов наблюдений, на сеть регулярную. Первые оперативные системы усвоения метеорологических данных представляли собой 6-или 12-часовой цикл прогноз-анализ. Современные системы усвоения разработаны на их основе и базируются либо на вариационном подходе (4DVAR), либо на динамико-стохастическом (фильтр Калмана). Все современные оперативные системы усвоения используют вариационный подход, т.к. он более легко реализуем на ЭВМ. Недостатком этого подхода является то, что изменчивость со временем ковариаций ошибок прогноза либо совсем не учитывается, либо учитывается очень приближенно, в отличие от алгоритма фильтра Калмана, в котором изменение со временем ковариаций ошибок прогноза вычисляется автоматически. Кроме того, при вариационном подходе производится оценка начального состояния по данным наблюдений за ограниченный интервал времени, в то время как фильтр Калмана состоит в последовательном оценивании состояния атмосферы по вновь поступающим данным.

Цель работы состоит в разработке численных методов и вычислительных алгоритмов для актуальной в научном и практическом плане задачи усвоения данных наблюдений с помощью прогностической модели атмосферы на основе теории фильтра Калмана, построении и апробации новых алгоритмов усвоения на основе фильтра Калмана.

Актуальность темы. Хотя в мировой практике системы усвоения существуют уже более 20 лет, разработка эффективных методов и алгоритмов усвоения данных метеорологических наблюдений остается актуальной задачей. Это связано со все возрастающими требованиями к информации о начальных полях метеорологичес

ки'х jjitMiMtt'uiLi, нопсин/зуемых в численном

юс. национальная!

БИБЛИОТЕКА I

прогнозе погоды. Уровень современных теоретических моделей прогноза погоды, постоянное повышение их пространственно-временного разрешения и расширение сети пунктов наблюдений требует постоянного усовершенствования и развития новых методов численного анализа и усвоения метеорологических данных.

Созданные автором алгоритмы усвоения данных метеорологических наблюдений основаны на теории фильтра Калмана. Фильтр Калмана позволяет по ряду данных наблюдений и прогностической модели получить оптимальную в смысле минимума дисперсии ошибки оценку состояния атмосферы к заданному моменту времени. Он является последовательным (рекурсивным), т.е., на каждом временном шаге используются данные, имеющиеся в этот момент времени. Алгоритм усвоения, основанный на фильтре Калмана, естественным образом обобщает системы усвоения, представляющие собой цикл прогноз - анализ. Существенным отличием фильтра Калмана от этих систем является то, что к этому циклу добавляется процедура расчета ковари-аций ошибок оцениваемых полей. Размерность матрицы ковариаций ошибок прогноза для современных глобальных прогностических моделей достигает значений от сотен тысяч до миллиона, что является основной технической трудностью в реализации алгоритма фильтра Калмана па ЭВМ. Поэтому в настоящее время изучаются различные подходы к организации вычислений ковариаций ошибок оцениваемых полей.

Автором разработаны субоптимальные алгоритмы усвоения данных, в которых для вычисления ковариаций ошибок прогноза используются упрощенные модели. Применимость алгоритма фильтра Калмана в задаче усвоения метеорологических данных активно изучается многими исследователями, в основном зарубежными. Большей частью эти работы посвящены ансамблевому подходу к вычислению ковариационных матриц. Подход, связанный с созданием субоптимальных алгоритмов, изучается на простых 1- и 2-мерных моделях. Поэтому разработка субоптимальных алгоритмов усвоения данных метеорологических наблюдений, основанных на фильтре Калмана, является актуальной задачей.

Работа выполнялась в соответствии с планами Сибирского регионального научно-исследовательского гидрометеорологического института Комитета по гидрометеорологии и мониторингу окружающей среды Российской Федерации (ЗапСибНИИ) и ИВТ СО РАН по темам "Исследовать методы учета

асинхронной информации в численных моделях атмосферы" (№ гос. регистрации 78038028), "Разработать версию базовой модели атмосферы с высоким разрешением для заданного региона и систему регионального четырехмерного анализа" (№ гос. регистрации 01860055727), по программе ГКНТ "Перспективные информационные технологии"(1991-1995 гг.), по темам "Численное моделирование процессов в атмосфере, ионосфере и магнитосфере" (№ гос. регистрации 01960011629), "Математическое моделирование и вычислительные технологии в задачах гидродинамики, физики плазмы, микроэлектроники и экологии"(№ гос. регистрации 01.00.001291), "Математическое моделирование и вычислительные технологии в задачах гидродинамики, физики плазмы, микроэлектроники и экологии" (.№ гос. регистрации 01.2.00313335), поддерживалась грантами РФФИ (гранты 95-05-15581, 98-05-65302, грант ведущих научных школ России 00-015-98543, грант 04-05-64481).

Методика работы. В диссертации используется динамико-стохастический подход к задаче усвоения данных наблюдений, применяются результаты теории оценивания а также классической теории турбулентности. Методология исследования опирается на вычислительный эксперимент с использованием адекватных математических моделей динамики атмосферы.

На защиту выносятся:

• Система усвоения метеорологических данных для Сибирского региона, представляющая собой цикл "прогноз-анализ-инициализация", реализованная в виде комплекса прикладных программ, предназначенных для решения широкого круга задач математического моделирования процессов в атмосфере.

• Схема численного анализа метеорологических данных, основанная на бокс-варианте метода трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции.

• Методы математического моделирования для задачи усвоения данных метеорологических наблюдений, основанные на теории фильтра Калма-на:

- субоптимальный алгоритм усвоения метеорологических данных, использующий для вычисления ковариаций ошибок прогноза упрощенные модели;

- упрощенные модели для расчета матриц ковариаций ошибок прогноза, основанные на методе расщепления по физическим процессам, свойствах вертикальных нормальных мод модели и квазигеострофическом приближении;

- упрощенные модели для вычисления ковариаций ошибок прогноза в однородном и изотропном случае при условии соленоидальности вектора скорости ветра.

• Адаптивный алгоритм усвоения метеорологических данных, основанный на фильтре Калмана, позволяющий производить уточнение матриц ковариаций ошибок прогноза, вычисляемых в субоптимальном алгоритме.

• Оценка асимптотического поведения алгоритма усвоения метеорологических данных, основанного на фильтре Калмана, в зависимости от свойств динамической системы, ошибок наблюдений и прогноза.

Научная новизна. Автором разработаны новые методы математического моделирования в задаче усвоения данных метеорологических наблюдений и получены следующие новые научные результаты.

• Предложен новый алгоритм усвоения метеорологических данных, основанный на теории фильтра Калмана. Алгоритм является обобщением традиционной схемы усвоения данных наблюдений, представляющей собой цикл прогноз-анализ. В предлагаемом алгоритме рассматриваются упрощенные модели для расчета ковариаций ошибок прогноза; вводимые упрощения основаны на методе расщепления по физическим процессам, свойствах вертикальных нормальных мод модели и квазигеострофическом приближении.

• Впервые по аналогии с теорией турбулентности выведены уравнения для ковариаций ошибок прогностической модели в однородном изотропном случае при условии соленоидальности вектора скорости ветра. На основе этих уравнений показано, что в однородном изотропном случае для описания поведения ошибок модели (на малом временном интервале) может быть использована упрощенная модель переноса по траекториям частиц.

• Впервые выполнено аналитическое исследование асимптотического поведения алгоритма усвоения метеорологических данных, основанного на

фильтре Калмана (для непрерывной постановки задачи оптимальной фильтрации). Получена оценка асимптотического поведения алгоритма фильтра Калмана в зависимости от свойств динамической системы, ошибок наблюдений и шумов модели.

• Предложен новый адаптивный алгоритм фильтра Калмана. В этом алгоритме производится оценка дисперсий ошибок прогноза по данным наблюдений и прогностической модели с привлечением вектора "невязок "(отклонение данных наблюдений от прогноза). Показано с помощью численных экспериментов с моделируемыми данными, что этот алгоритм позволяет предотвращать "расходимость"фильтра Калмана со временем.

Практическая значимость. Задача улучшения качества анализа метеорологических данных имеет большое практическое значение. От точности анализа зависят как оценка состояния погоды на данный момент времени, так и точность прогноза по данным анализа с использованием математической модели атмосферы. В свою очередь повышение качества систем усвоения позволит получать более точное описание пространственно-временного распределения метеополей.

Разработанная система усвоения метеорологических данных для Сибирского региона является базовой технологической линией "прогноз-анализ-инициализация "для исследования новых методов усвоения в квазиоперативном режиме и расчетов на ее основе фоновых полей для задач охраны окружающей среды. Разработанная методика усвоения данных наблюдений на основе обобщенного субоптимального фильтра Калмана не ограничивается рамками задач краткосрочного прогноза погоды. Она может быть применена в задачах усвоения данных наблюдений в океане и для задач усвоения данных об аэрозолях. Предлагаемый динамико-стохастический подход позволяет использовать полученные результаты в климатических исследованиях.

Разработанные модели для расчета ковариационных матриц ошибок прогноза имеют самостоятельное значение и могут быть использованы в изучении проблем предсказуемости и оценки областей, в которых требуется производить дополнительные наблюдения. Кроме того, современные оперативные схемы усвоения, основанные на вариационном подходе (40УАЯ), в настоящее время модифицируются, при этом в качестве весовых матриц используются ковариации ошибок прогноза, меняющиеся со временем. В связи с этим раз-

работанные упрощенные модели могут быть использованы для расчета поведения ковариаций ошибок прогноза со временем в схемах, основанных на 4DVAR.

Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением результатов, полученных с помощью разработанного комплекса программ, с реальными данными наблюдений и также данными анализов и прогнозов ведущих гидрометеорологических центров мира.

Апробация работы. Материалы, вошедшие в диссертационную работу, обсуждались на семинарах ИВТ СО РАН, ИВМиМГ СО РАН, Гидрометцентра России. Они докладывались на Международной конференции АМСА-95 (Новосибирск, 1995), Втором Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ЙНПРИМ-96 (Новосибирск, 1996), Международной конференции "Математические модели и методы их использования" (Красноярск, 1997), Первой Международной конференции по Реанализу (Silver Spring, Maryland, USA, 1997), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-98 (Новосибирск, 1998), Третьем международном симпозиуме по усвоению данных наблюдений в метеорологии и океанологии (Quebec City, Canada, 1999), Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000), Международной конференции "Моделирование, базы данных и информационные системы для атмосферных HayKnMODAS (Иркутск, 2001), VIII Международном Симпозиуме "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы"(Иркутск, 2001), Международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды ENVIROMIS-2002 (Томск, 2002), Рабочем совещании NATO "Air pollution processes in regional scale" (Kallithea, Halkidiki, Greece, 2003), Международной конференции "Вычислительно-информационные технологии для наук об окружающей среде"Сйев-2003 (Томск, 2003), Международной конференции "Математические методы в геофизике"(Новосибирск, 2003), Международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды ENVIROMIS -2004 (Томск, 2004), Международной конференции "Вычислительно-информационные технологии для наук об окружающей среде"Cites-2005 (Новосибирск, 2005), Четвертом международном симпозиуме по усвоению данных наблюдений в метеорологии и океанологии (Prague, Czech Republic, 2005).

Основные результаты опубликованы в 24 работах: 13 - в ведущих отечественных журналах [1] - [б], [8], [9, 10, 13, 14, 18, 19], 4 - в трудах международного симпозиума и международного рабочего совещания [7, 20, 23, 24], 7 - в трудах институтов РАН и Госкомгидромета [11] - [12], [15] - [17], [21, 22].

Личный вклад автора. В совместных публикациях по теме диссертации [10] - [11], [20], [21], [22] автором выполнялись разработка алгоритмов усвоения, проведение численных экспериментов, анализ результатов. В работах [12] - [19], посвященных численным экспериментам по усвоению данных, созданию схемы анализа, основанной на методе трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции, а также разработке на ее основе системы усвоения данных в Сибирском регионе, исследования проводились совместно с Г.С.Ривиным, авторский вклад равный. В работе [9] автору принадлежит постановка задачи, разработка алгоритмов, анализ полученных результатов.

Публикации. Список основных работ автора по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения. Список литературы содержит 152 наименования. Объем диссертации 233 страницы, включая 29 рисунков и 13 таблиц.

Содержание работы

Во введении приводится постановка задачи усвоения и анализа данных, обзор современных работ по усвоению данных.

В I главе описывается разработанная совместно с Г.С.Ривиным базовая схема численного анализа для Сибирского региона. При разработке схемы анализа использован опыт ЕЦСПП (Европейского центра среднесрочных прогнозов), Гидрометцентра СССР и ЗапСибНИГМИ Госкомгидромета. Численный анализ ЕЦСПП в 80-е годы прошлого века являлся одним из лучших в мире по качеству. Схема основана на бокс-варианте метода трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции.

Параграф 1.1 является вводным. В параграфе 1.2 приводится подробное описание метода анализа, а также моделирования статистических характеристик ошибок наблюдений и первого приближения (прогноза). Анализ полей высоты, скорости ветра и относительной топографии производится для 15 стандартных уровней по вертикали, по горизонтали анализ осуществляется для широтно-долготной сетки. Относительной топографией здесь называется разность значений высоты г и высоты го на некотором фиксированном

уровне, обычно 1000 мбар. Организация контроля данных и всех вычислений в процедуре анализа такова, что все эти операции не зависят от сетки но горизонтали. Интерполяция производилась для отклонений данных наблюдений от первого приближения (в качестве первого приближения брались соответствующие поля прогноза).

Для того, чтобы ограничить порядок системы интерполяционных уравнений до разумных размеров, вся анализируемая область была разбита на подобласти (боксы) 6° по широте и приблизительно 660 км по долготе. Анализ осуществлялся для каждой подобласти отдельно, причем по вертикали рассматривается весь объем для областей с редкой сетью точек наблюдений и одна треть толщи атмосферы — в случае большого количества информации.

Разработанная схема численного анализа реализована в виде комплекса программ, свойства схемы проверены с помощью численных экспериментов с реальными данными наблюдений.

В параграфе 1.3 описывается технологическая цепочка обработки данных наблюдений в схеме численного анализа Общая блок-схема реализации задачи численного анализа описывается в параграфе 1.4 .

Результаты численных экспериментов по анализу реальных данных приводятся в параграфе 1.5 . Для оценки качества и возможностей разработанной схемы численного анализа был проведен ряд экспериментов с фактическими данными [13, 14]. В этих экспериментах область анализа для Сибирского региона была взята ограниченной параллелями 38,75° и 81,21° с ш. и меридианами 38,75° и 146,66° в. д. Шаг сетки по меридиану был равен 1,25°, а по параллели -1,66°. По вертикали рассматривались 15 стандартных поверхностей.

Корреляционные функции ошибок прогноза задавались исходя из предположения, что случайная ошибка прогноза является однородной и изотропной относительно горизонтальных переменных. В качестве горизонтальной корреляционной функции была использована функция Гаусса.

В табл.1 приведены среднеквадратические отклонения анализов, проведенных по предлагаемой схеме, от приходящих в Новосибирск в коде GRID анализов Национального метеорологического центра США (НМЦ США), ос-редненные по 13 экспериментам для весенних данных 1991 г. и по 12 экспериментам для летних данных 1991 г.

В табл. 1 в столбце "А"приводятся оценки анализов для бокса (подоблас-

ти), содержащего данные Новосибирска, а в столбце "В"для боксов из одного широтного пояса, включающего этот бокс. Величины средних отклонений анализов, полученных по разработанной схеме от анализов НМЦ США близки к ошибкам наблюдения на этих высотах. К примеру, ошибки наблюдений данных радиозондирования для высот 1000, 500 и 100 мбар составляют 0,5, 1,2 и 7,3 дам, соответственно.

Уровень, мбар А В

Весна Лето Весна Лето

1000 0,9 1,0 0,6 0,6

500 1,2 1,3 0,8 0,9

100 2,2 2Д 1,3 1Д

Таблица 1. Среднеквадратические отклонения объективного анализа высот изобарических поверхностей (дам) для Сибирского региона от объективного анализа НМЦ США (весна-лето 1991 г.)

В параграфе 1.6 сформулированы основные результаты I главы.

Во II главе описываются численные эксперименты по усвоению данных наблюдений с фильтрованной моделью атмосферы, а также система усвоения, основанная на цикле прогноз-анализ-инициализация.

Параграф 2.1 носит вводный характер. В параграфе 2.2 приводятся результаты численных экспериментов с бароклинной квазигеострофической моделью по усвоению метеорологических данных. В квазигеострофической модели всего одна неизвестная функция - высота изобарической поверхности. Благодаря этому нет необходимости проводить процедуру согласования различных полей при усвоении метеорологической информации. Кроме того, прогноз по квазигеострофической модели не требует больших машинных ресурсов. Все это явилось причиной того, что квазигеострофическая модель была выбрана для проведения методических экспериментов по усвоению данных.

В пункте 2.2.4 описываются эксперименты, в которых исследовалась применимость нормальных мод при многоэлементном динамическом анализе. Во всех экспериментах использовались реальные данные архива DST-6 уровней II и III. Для усвоения были использованы данные аэрологических измерений, заданные с интервалом 6 ч. Перед подстановкой данные ва станциях о геопотенциале и ветре подвергались процедуре контроля, основанной

на сравнении с соответствующими прогностическими значениями. Интерполяция данных измерений в узлы регулярной сетки производилась с помощью метода экспоненциальной интерполяции. Считалось, что в начальный момент времени поля ветра и геопотенциала геострофически согласованы. Дополнительные данные о ветре (и, и) и геопотенциале Ф предполагались известными в моменты времени tj,j — 1,..., J. В прогностическое поле Ф, полученное к моменту времени t3 и в поле ветра

V = (u,v) = (g/f)V<S>

производилось усвоение данных наблюдений. В полученных таким образом полях й,д и Ф с помощью нормальных мод выделялась медленно меняющаяся часть атмосферного движения, и это поле будем считать уточненным прогностическим полем Ф в момент времени tr Описаиная методика основана на приближении атмосферы к квазигеострофическому состоянию и теории взаимного приспособления полей геопотенциала и ветра в случае нарушения геострофического равновесия.

С помощью квазигеострофической модели проводился динамический анализ для периодов 3-5 и 4-6 февраля 1976 г. с усвоением каждые б ч аэрологических данных о геопотенциале, а также с усвоением данных о геопотенциале и ветре. Поле геопотенциала, полученное в результате такого анализа, сравнивалось с данными уровней II и III DST-6.

1 2 3 4

1 6/491 2/215 8/65 24/4

2 6/504 2/133 6/54 12/48

Таблица 2. Осредненные значения улучшения среднеквадратической

ошибки анализа.

В табл. 2 приведены осредненные по указанным выше срокам значения улучшения средней квадратической ошибки анализа (в метрах) за счет усвоения данных о ветре по сравнению с анализом, при котором осуществлялось усвоение данных о геопотенциале без учета данных о ветре. В первой строке таблицы приведены разности среднеквадратических ошибок анализа, найденных по данным на станциях (в знаменателе указано число станций), а во второй строке — по данным уровня III в узлах сетки (в знаменателе - число узлов). В первой графе приведены оценки, которые вычислялись для всей

территории Северного полушария, ограниченной снизу параллелью 15° с. ш., во второй графе - для территории СССР-Европа (40 — 70° с. ш. и 0° — 180° в. д.), в третьей - для территории США (30 — 70° в. ш. и 240 — 290° с. д.), в четвертой - для Атлантического океана (25 — 60° и 300 — 360° в. д.).

Проведенные численные эксперименты позволили сделать вывод о том, что привлечение данных о поле ветра повышает качество динамического анализа поля геопотенциала.

В параграфе 2.3 описывается система усвоения метеорологических данных для Сибирского региона. При разработке системы усвоения учитывалась возможность ее модификации с учетом современных методов усвоения данных, в частности, основанных на теории оценивания. Описываемая система усвоения метеорологических данных состоит из следующих блоков:

- численный (объективный) анализ данных наблюдений;

- инициализация;

- модель атмосферы;

- интерпретация результатов.

В системе усвоения используется бароклинная адиабатическая модель атмосферы для Сибирского региона (Ривин Г.С., Медведев С.Б. "Гидродинамическая модель атмосферы для региона с применением метода расщепления". -Метеорология и гидрология, 1995, №5, с.13-22.). На этапе "ини-циализация"используется блок нелинейной инициализации, разработанный С.Б.Медведевым (Медведев С.Б. Инициализация региональной модели атмосферы с использованием вариационного метода. - Метеорология и гидрология, 1998, №6, с.35-44.). Численный анализ данных проводился с помощью метода трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции, описанной в главе I.

Численные эксперименты с системой усвоения описываются в параграфе 2.4 . Свойства системы усвоения оценивались с помощью расчетов пространственно-временного распределения метеополей на 4 суток с 30 марта 1991 г. по 3 апреля 1991 г., дискретное усвоение данных осуществлялось в основные синоптические сроки с интервалом 12 часов. В качестве первого приближения для анализа за срок 30.03.91 бралось поле 12-часового прогноза Национального метеорологического центра США, дальше усвоение шло циклически по схеме: прогноз - анализ - инициализация. В численных экспериментах была использована центрированная относительно Новосибирска

26 х 22 X15 - сетка с тагом 300 км по горизонтали для 15 стандартных уровней по вертикали. Шаг по времени брался равен 1 часу. В модели использованы боковые граничные условия с усвоением информации о тенденции геопотенциала в окрестности боковых границ и заданием остальных полей по данным о 12-часовом прогнозе Национального метеорологического центра США.

Рис. 1: Относительная ошибка и коэффициент корреляции для поверхности 1000 мбар.

Рис. 2: Относительная ошибка и коэффициент корреляции для поверхности 500 мбар.

На рис.1 и рис.2 приводятся графики изменения по времени значений относительной ошибки е (три нижние ломаные линии для каждой поверхности) и коэффициента корреляции г (три верхние ломаные линии) прогностических тенденций для поверхностей 1000 и 500 мбар, соответственно, полученных в следующих экспериментах: в первом эксперименте усвоение осуществлялось без процедуры инициализации (е,г), во втором эксперименте (ед,г9) также инициализация не проводилась, но в качестве начального поля ветра для проведения 12-часового прогноза брался геострофический ветер, вычисленный по проанализированному полю геопотенциала (на основе многоэлементного анализа), в третьем эксперименте усвоение проводилось с использованием процедуры инициализации {е^п).

Проведенные численные эксперименты подтвердили, что разработанная система усвоения позволяет с хорошей точностью воспроизвести пространственно-временное распределение метеорологических полей. Важ-

ным свойством системы усвоения является ее экономичность. В параграфе 2.5 приводятся основные результаты II главы. III глава посвящена субоптимальным алгоритмам усвоения данных наг блюдений, основанным на теории фильтра Калмана. В этих алгоритмах используются упрощенные модели для вычисления ковариаций ошибок прогноза.

Параграф 3.1 является вводным. В параграфе 3.2 приводится описание алгоритма фильтра Калмана.

Предположим, что линеаризованная численная модель атмосферы может быть записана в общем виде:

х{ = *k-ixak_v (1)

где х[ - вектор размерности п прогнозируемых значений в момент времени ifc, заданных в сеточных узлах либо в виде коэффициентов разложения по некоторому базису,

- вектор размерности п проанализированных значений в момент времени tk-1,

- матрица размерности (n х п). Пусть "истиниое"состояние атмосферы можно представить в виде :

4 = (2)

где rfk - случайный вектор размерности п "шумов"модели, при этом

Н = 0, (3)

ЕШЫ)Т = Ях0ы, (4)

Оператор Е - означает математическое ожидание, Т - операцию транспонирования, Ski - символ Кронекера. Представим данные наблюдений в виде

у1 = Мкх\ + й, (5)

где уI - вектор размерности ш наблюдений в момент времени tk,

Мк - матрица размерности (n х т), осуществляющая интерполяцию из узлов сетки в точки наблюдений,

$ - случайный вектор размерности тп ошибок наблюдений, при этом

Е& = 0, (6)

= RAi, (7)

Щ°кШ = 0. (8)

При сделанных выше предположениях требуется по данным наблюдений в моменты времени tk,k = О,..., К получить оценку состояния атмосферы в момент времени минимизирующую функционал

J = E{x°K-xtK)т{xaK-xtK). (9)

Решением этой задачи является алгоритм фильтра Калмана:

4 = 1*2-1, (Ю)

= Ф^^ФГх + ^-ь (П)

Кк = Р[Мтк{МкР1м1 + Яку\ (12)

Р£ = (1-КкМк)Р{, (13)

хак = 4 + Кк{у1 - Мкх{), (14)

для к — 0,..., К. В этих формулах

Р/'° = Е(х{>° - х\)(х{'а - 4)т

В случае, если Р[ не меняется со временем, алгоритм (10)—(14) описывает традиционную систему усвоения прогноз - анализ, а формулы анализа (12) -(14) эквивалентны алгоритму оптимальной интерполяции.

Одним из наиболее распространенных обобщений на нелинейный случай является обобщенный фильтр Калмана, в котором вместо (10) рассматривается нелинейное прогностическое уравнение

х{ = Фк-^г), (15)

а вместо в формулах (11) -(14) берется

ох

(16)

Таким образом, для нелинейной модели алгоритм усвоения данных описывается формулами (11)-(14), (15).

Как видно из формул фильтра Калмана, наиболее трудоемким в этом алгоритме является вычисление матриц ковариаций ошибок прогноза Р[ из-за чрезвычайно большой размерности этой матрицы. В субоптимальных алгоритмах, основанных на фильтре Калмана, на шаге вычисления матрицы Р[ вместо оператора Ак~\ используется оператор упрощенной модели Ак~\

(меньшей размерности). В III главе рассматривается только этот этап алгоритма фильтра Калмана. Все упрощенные модели были получены на основе региональной бароклинной модели, являющейся частью системы усвоения, описанной во II главе.

В параграфах 3.3—3.5 описываются упрощенные модели для расчета матриц ковариаций ошибок прогноза, основанные на геострофическом приближении. Представим систему прогностических уравнений, описывающих математическую модель атмосферы, в виде

^ = А1ф + А2ф,

где ф = (и, v, z, Т)т - вектор прогнозируемых метеоэлементов (компонентов скорости ветра, высоты изобарической поверхности и температуры, соответственно). При этом оператор А\ описывает адвекцию полей массы и температуры вдоль траекторий движения частиц, оператор A<i - адаптацию полей ветра и геопотенциала.

Ниже опишем модели, которые могут применяться для вычисления матриц ковариаций ошибок прогноза и которые были использованы в численных экспериментах.

Модель 0 - модель, основанная на полных уравнениях гидротермодинамики. Будем считать, что эта модель описывает "истинное"состояние атмосферы.

Модель 1 - модель для расчета ковариаций ошибок прогноза в субоптимальном алгоритме фильтра Калмана, основанная на следующих предположениях:

i. оценка состояния атмосферы в алгоритме фильтра Калмана осуществляется для вертикальных нормальных мод прогностической модели; под вертикальными нормальными модами будем понимать собственные векторы конечно-разностного аналога "вертикального"оператора Lp = m2 = m2(p)' Р' давление; как было показано Г.И.Марчуком, область влияния вертикальных нормальных мод уменьшается с увеличением их номера п, более того, горизонтальные масштабы вертикальных мод существенно отличаются и поэтому имеет смысл анализ данных метеорологических наблюдений проводить для коэффициентов разложения по вертикальным нормальным модам независимо; для п начиная с некоторого значения п область влияния становится меньше, чем шаг сетки и

поэтому анализ следует осуществлять для первых п — 1 вертикальных мод;

вычисление ковариаций ошибок прогноза основано на предположении, что ошибки вертикальных нормальных мод не коррелируют между собой; известно, что собственные векторы конечно-разностного аналога вертикального оператора Ьр близки к естественному ортогональному базису и поэтому можно предположить, что они статистически независимы;

ковариации ошибок прогноза вычисляются только для поля высоты изобарической поверхности, а ковариации ошибок поля ветра вычисляются исходя из геострофических соотношений; поскольку исходная прогностическая модель основана на методе расщепления по физическим процессам. то для вычисления ковариаций используется только шаг адвекции, при этом в операторе А\ оставляется только адвекция температуры;

IV. поля скорости ветра в операторе адвекции А\ не зависят от вертикальной координаты р (т.е., фоновый поток близок к баротропному); при этом условии можно вычислять ковариации ошибок прогноза для каждой вертикальной моды отдельно.

При сделанных выше предположениях для расчета ковариаций ошибок полей высоты и скорости ветра может быть использована следующая упрощенная модель.

Рассмотрим исходную прогностическую модель (модель 0) на малом временном интервале (Ьп, ¿п+О- Пусть компоненты скорости ветра в операторе адвекции заданы в момент времени £п. Тогда модель будет линейна на данном временном интервале. Запишем г, и, ь:

где дп — собственные векторы конечно-разностного аналога оператора Ьр, г, и, V - поля высоты изобарической поверхности и компоненты скорости ветра, соответственно. При сделанных выше предположениях имеем следующую

N

N

N

модель для п-х коэффициентов гп, ип, уп (модель 1 ):

дг„. _дг„ _дг„

п„ = (18)

ддгп

* = 7 л' (19)

где й(х,у), ь(х, у) — поля скорости ветра в момент времени такие, что

Эй _ ЭЙ _г\

др~ др~и'

Эта модель может быть использована для расчета ковариаций ошибок прогноза, при этом предположение о некоррелируемости собственных функций дп существенно уменьшает количество операций для расчета Р[, так как в этом случае матрица ковариаций ошибок прогноза коэффициентов гп будет блочно-диагональной.

Рассмотрим теперь более общий случай, при котором упрощенная модель получается также исходя из предположения о геострофичности, но в операторе Ах адвекция субстанции не опускается.

Тогда получим еще две модели, которые основаны на квазигеострофичес-ком уравнении вихря:

модель 2 представляет собой нелинейную квазигеострофическую модель, описываемую уравнением

§-■>, (20)

где П - Ьрг + %Аг + /, £ = | + + и9 = ь9 = /0 -

среднее по области значение параметра Кориолиса;

модель 3 квазилинейная модель, описываемая уравнением переноса ква-зигеострофического потенциального вихря (20), где ^ — ^ + йщ +- ущ, при условии 1 = 1=0.

Оценка возможности применения упрощенных моделей 1 и 3 для расчета матриц ковариаций ошибок прогноза в субоптималыгом алгоритме, основанном на фильтре Калмана, проводилась с помощью численных экспериментов по прогнозу ансамблей. Предполагалось, что ошибка прогноза зависит только от ошибки в начальных данных. На исходное начальное поле высоты изобарической поверхности накладывалась случайная ошибка, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0 и дисперсией, соответствующей величине ошибки наблюдений аэрологических данных. На

начальные поля скорости ветра щ, «о накладывалась ошибка, полученная из ошибки поля высоты с помощью геострофических соотношений. Таким способом было получено 50 начальных полей и сделано 50 прогнозов по моделям 0, 1, 2, 3 на сроки 1, 3 и 6 часов. Все модели рассматривались в Сибирском регионе, была использована равномерная сетка 26 X 22 с шагом 300 км и 15 стандартных уровней по вертикали. Такое грубое по современным понятиям разрешение позволяет провести методические расчеты по прогнозу ковариационных матриц. В качестве "истинного"значения матриц ковариаций брались их значения, рассчитанные для момента времени £п по модели 0. Прогноз матриц ковариаций по моделям 1,2,3 сравнивался с "истинным"значением.

Матрицы вычислялись по ансамблю прогностических значений только для поля высоты изобарической поверхности ^¡к),к = 1, ...,50). Здесь г - номер узла сетки Обозначим через = г^ — где г\ - "истинное"значение в г -м узле. Тогда

к=1

Гяе е-'Г" е(к) ГДе «г — дг 1 ег ■

Рис. 3: Первый собственный вектор матрицы Р1 для момента времени I =6 час. (а,б)

Выли сделаны различные оценки качества прогноза матриц ковариаций по упрощенным моделям, показано, что предлагаемые упрощенные модели могут быть использованы для вычисления ковариаций ошибок прогноза.

На рис.3 (а,б) приведены графики компонент первого собственного вектора матрицы Р1 (матрица ковариаций ошибок прогноза для первой вертикальной моды), полученной с использованием упрощенных и "истинной"моделей для Ь = 6 часов (а,б) (по оси абсцисс отложен номер компонента). Первый собственный вектор находился с помощью метода Люстерника для части ковариационной матрицы, не включающей значения ковариаций на границе

региона. Как видно из приведенных графиков, первые собственные векторы матриц, вычисленных по исходной и упрощенной моделям, практически совпадают.

В параграфе 3.6 рассматривается модель для расчета ковариаций ошибок прогноза, основанная па расщеплении по физическим процессам.

Представим исходную систему прогностических уравнений в виде

где ф - вектор прогнозируемых метеорологических величин, А\ - конечно-разностный аналог дифференциального оператора уравнений переноса но траекториям частиц, Лг - конечно-разностный аналог оператора уравнений адаптации. В дискретно-непрерывном варианте алгоритма фильтра Калма-на матрица ковариаций ошибок оценивания Р описывается непрерывным по времени уравнением. Решение этого уравнения на малом временном интервале т и при отсутствии "шумов модели"имеет вид:

Р(*0 + г) = е(А1+А^тР(^)е{л'+л*)Тт = еАгТ(ел'тР(г0)еА^т)ел^т + 0(т2).

Из этой формулы следует, что можно осуществлять расчет ковариационной матрицы Р с помощью алгоритма расщепления на шаг переноса по траекториям частиц и шаг адаптации.

Для расчета ковариаций ошибок прогноза на этапе переноса будем использовать упрощающие предположения 0)-(ш). Тогда для п-х коэффициентов %и гп разложения по собственным функциям вертикального оператора получим систему уравнений переноса по траекториям, аналогичную (17).

Если рассмотреть вектор прогнозируемых величин ф = (ип, г>„, гп)т, то полная матрица ковариаций ошибок прогноза имеет вид

и алгоритм расчета состоит в последовательном применении шагов переноса и адаптации к матрице Р.

Возможность применения описанной выше упрощенной модели, основанной на расщеплении по физическим процессам, для расчета матриц ковариаций ошибок прогноза в субоптимальном алгоритме усвоения была исследована с помощью численных экспериментов по прогнозированию ансамблей.

— = Ахф + А2ф,

Проведенные эксперименты позволили сделать вывод, что предлагаемая модель для расчета ковариационной матрицы, использующая расщепление по физическим процессам, позволяет получить матрицу, более близкую к истинной, чем матрица, вычисленная по модели 1.

В параграфе 3.7 приводится вывод дифференциальных уравнений для расчета ковариаций однородных изотропных случайных полей ошибок прогноза при условии соленоидальности вектора скорости ветра. Уравнения получены для ковариаций прогноза исходной математической модели атмосферы (модель 0) по аналогии с выводом уравнений для структурных функций в теории турбулентности. Показано, что для описания ковариаций ошибок прогноза в однородном изотропном случае может быть использована упрощенная модель, представляющая собой шаг переноса по траекториям. Вывод уравнений основан на том, что однородное изотропное соленоидальное векторное поле не коррелирует ни с каким скалярным полем. Строго говоря, свойство некоррелируемости векторного соленоидального и скалярного полей выполнено для ортогональной системы координат. Система (х, у, р), где р - давление, не является ортогональной. Но, поскольку условие однородности и изотропности для метеорологических полей выполняется на малых расстояниях, то локальную систему координат для точек, в которых оценивается ковариация, можно считать ортогональной с большой степенью точности.

Аналогичные выкладки проведены в предположении, что соленоидальным является горизонтальный вектор скорости и поля ошибок являются однородными и изотропными только для горизонтальных направлений. Показано, что в этом случае, при условии независимости фонового ветра скорости от вертикальной координаты, для расчета ковариаций ошибок прогноза может быть использована упрощенная модель, описываемая уравнениями переноса для ип,ьп, гп (коэффициентов разложения по собственным функциям вертикального оператора). В случае, если ошибки полей высоты и скорости ветра связаны геострофическими соотношениями, получим описанную выше модель 1.

Поскольку первые вертикальные моды являются наиболее крупномасштабными, для них условие однородности и изотропности нарушается. Поэтому для расчета ковариаций ошибок прогноза этих мод следует привлекать модель, включающую как этап переноса по траекториям частиц, так и этап адаптации. Таким образом, в данном параграфе обосновывается примени-

мость рассмотренной ранее упрощенной модели 1 для вычисления ковариа-ций ошибок прогноза в случае, если они однородны и изотропны.

В параграфе 3.8 сформулированы основные результаты и выводы III главы.

Алгоритм фильтра Калмана состоит в последовательном оценивании состояния атмосферы по данным наблюдений, при этом важно исследовать вопрос поведения ошибки оценки, получаемой в этом алгоритме, в частности, при использовании субоптимальных алгоритмов.

В IV главе рассматривается вопрос асимптотического поведения алгоритма фильтра Калмана в непрерывной по времени постановке.

Параграф 4.1 является вводным. Непрерывная постановка задачи оптимальной фильтрации приводится в параграфе 4.2 .

Алгоритм оптимального фильтра Калмана для непрерывной системы состоит в решении уравнений для условного среднего и матрицы ковариаций Р (предполагается, что шумы модели задаются для всех компонентов вектора оцениваемого состояния, а данные наблюдений присутствуют во всех точках рассматриваемой области). При этом матрица ковариаций Р описывается матрично-дифференциальным уравнением Риккати:

~ = A{t)P{t) + P{t)A{tf + Q(t) - P(t)fí(í)-1P(í), (21)

P(ío) = Po,

где Q(t),R(t) - матрицы ковариаций шумов модели и ошибок наблюдений, соответственно.

Из теории оценивания известно, что решение этого уравнения сходится при ряде условий к некоторому предельному значению, при этом начальное значение не влияет на величину стационарного решения. В работе получен конкретный вид стационарного решения матричного дифференциального уравнения Риккати для отдельных частных случаев (параграф 4.3 ).

Цель систем усвоения данных - восстановление пространственно-временного распределения метеополей. Преимуществом систем усвоения перед схемами анализа является то, что для получения оптимальной оценки состояния атмосферы в некоторый момент времени привлекаются данные за предыдущие моменты времени. Ошибка оценивания должна убывать со временем (иначе проводить усвоение не имеет смысла, достаточно ограничиться процедурой анализа данных) и в идеале стремиться к нулю.

Исследование асимптотического поведения алгоритма фильтра Калмана в IV главе проводится на основе анализа решения матричного дифференциального уравнения Риккати. Поскольку решение этого уравнения в общем случае затруднительно, рассматриваются некоторые частные случаи.

В частности, если Q — qln, R = rln. А = —А* решение матричного дифференциального уравнения Риккати имеет будет иметь вид P(t) = Pi{t)Pt{t), где

Pj(i) = ((0,5Р0 - /„)е"2^4 + Р0еА1е-^' + 0,5+ 0,5Р0), и Р0о = limtf^oo ||P(i)|| = <Jqг, так как Re(\(A)) = 0 и, следовательно,

\\eA(t-to)fi < оо.

Условие Q = qln, R — rln является сильным ограничением. Известно, однако, что, если Q(t) < Qc{t), R(t) < Rc{t), то P(t) < Pc(t). Здесь под Pc(t) имеется в виду решение матричного дифференциального уравнения Риккати с соответствующими матрицами Qc(t), Rc(t). Таким образом, если Q = diag(qi), R - diag(r,) и rmin < rt < rmax,qmm < qi < qmax, то Pmm(i) < P(t) < Pmax(t) (где Pmm(t), Pmax(t) - решения матричного дифференциального уравнения Риккати с матрицами Qmin = qmmIn, Rmtn = rmmIn и Q

max — Qmaxlni R-max — rmarJm соответственно). Следовательно, можно получить оценку значений элементов P(t) в случае диагональных матриц R и

Q-

Сходимость алгоритма фильтра Калмана очевидным образом зависит от устойчивости основного решения решения динамической системы.

В параграфе 4.4 вопрос сходимости алгоритма фильтра Калмана в случае неустойчивости основного решения динамической системы исследуется аналитически (имеется в виду асимптотическая устойчивость по Ляпунову). На основе аналитического решения матричного дифференциального уравнения Риккати в работе рассмотрен также вопрос разработки субоптимальных алгоритмов, основанных на теории фильтра Калмана (параграф 4.5 ).

В параграфе 4.6 рассматривается связь оценок, полученных в субоптимальных алгоритмах усвоения, с оптимальной оценкой фильтра Калмана. В параграфе 4.7 приведены основные результаты IV главы.

В V главе приводятся результаты численных экспериментов по усвоению данных наблюдений с использованием субоптимального алгоритма усвоения, основанного на фильтре Калмана.

Параграф 5.1 носит вводный характер. Численные эксперименты по усвоению данных наблюдений проводились с бароклинной адиабатической моделью атмосферы для региона. Для вычисления ковариаций ошибок прогноза в субоптимальном алгоритме усвоения были использованы две упрощенные модели (параграф 5.2 )

Рассмотрим исходную прогностическую модель на малом временном интервале Пусть компоненты скорости ветра в операторе адвекции заданы в момент времени tk■ Тогда модель будет линейна на данном временном интервале. Произведем дискретизацию по вертикальной переменной. Если считать, что поля скорости ветра й(х,у), Ъ(х, у) в операторе переноса по траекториям не зависят от вертикальной координаты р (т.е., фоновый поток близок к баротропному), можно рассчитывать ковариации ошибок прогноза для каждой вертикальной моды отдельно. Как показано в главе III, если поля ошибок прогноза однородны и изотропны, для их описания на малом временном интервале может быть использована система уравнений переноса по траекториям для коэффициентов разложения по вертикальным нормальным модам (при условии соленоидальности горизонтального вектора скорости). Если ошибки прогноза полей высоты и скорости ветра связаны геострофическими соотношениями, имеем модель 1.

Однако свойство однородности и изотропности нарушается для атмосферных движений больших масштабов. В то же время известно, что крупномасштабные движения хорошо описываются с помощью квазигеострофического приближения. Поскольку область зависимости коэффициентов разложения по вертикальным нормальным модам от расстояния уменьшается с возрастанием их номера, будем считать, что для описания ошибок первых п < п коэффициентов используется линеаризованное квазигеострофическое уравнение вихря. Про ошибки оставшихся п > п коэффициентов предположим, что они однородны и изотропны и для их вычисления может быть использована модель 1.

Исходя из вышесказанного, рассмотрим две модели для расчета матриц ковариаций ошибок прогноза. Первая модель совпадает с моделью 1 (глава III). Вторая модель (назовем ее модель 4) для ошибок первых п < п коэффициентов разложения по вертикальным нормальным модам представляет собой линеаризованное квазигеострофическое уравнение вихря для п-й вер-

тикалыюй моды :

Л '

где О, = Хпгп + %Агп + /, | = | + йд£ + йд = г>д =

/о - среднее по области значение параметра Кориолиса, а для остальных -совпадает с моделью 1.

В параграфе 5.3 приведены результаты экспериментов по усвоению моделируемых метеорологических данных для региональной бароклинной модели атмосферы. Для усвоения применялся субоптимальный алгоритм, основанный на фильтре Калмана, в котором для вычисления ковариаций ошибок прогноза использовались модели 1, 4 ■ Шаг сетки по горизонтали в модели был равен 300 км, по вертикали рассматривалось 15 стандартных уровней. В этих экспериментах считалось, что ошибка прогноза зависит только от случайной ошибки в начальных полях. Прогноз на 48 часов с помощью региональной бароклинной модели по исходным полям считался "ис-тинным"состоянием атмосферы. Затем на начальные поля высоты накладывалась случайная ошибка, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, соответствующей уровню ошибок прогноза. Ошибки прогноза полей скорости ветра в начальный момент времени задавались с помощью геострофических соотношений. Данные наблюдений моделировались с помощью наложения на "истинное"поле случайной ошибки, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, соответствующей уровню ошибок данных аэрологических наблюдений. При проведении экспериментов предполагалось, что ошибки наблюдений между собой не коррелируют. Считалось, что данные наблюдений о ноле высоты содержатся в 143 равномерно распределенных по области интегрирования точках, в узлах регулярной сетки. В численных экспериментах были использованы данные архива объективных анализов для региональной модели атмосферы за 01-03 апреля 1991 г.

На рис.4-5 приводятся результаты экспериментов, в которых для расчета матриц ковариаций ошибок прогноза использовалась упрощенная модель 4 ■ Эксперименты проводилась с ковариационной матрицей Ро, заданной в виде

рп _ 2 т

где I - единичная матрица, Сп - среднеквадратичекая ошибка прогноза п-й вертикальной моды. Были проведены расчеты на 48 часов с усвоением мо-

делируемых данных о поле геопотенциала через каждые 12 часов (в 0 часов усвоение не проводилось), при этом применялся субоптимальный алгоритм фильтра Калмана. Ковариации ошибок поля ветра и совместные ковариа-ции ошибок ветра и геопотенциала задавались с помощью геострофических соотношений. Матрица "шумов модели" Qk считалась нулевой. На рис. 4 изображен график поведение теоретической ошибки алгоритма усвоения на основе фильтра Калмана - следа матрицы ковариаций ошибки прогноза (для первой вертикальной моды). Как видно из этого рисунка, величина ошибки понижается каждые 12 часов, то есть, в моменты, когда происходит усвоение данных наблюдений. На рис. 5 приведен график зависимости от времени среднеквадратических отклонений рассчитанных полей геопотенциала от "истинных"для поверхности 500 мбар. На этом рисунке sj обозначает ошибку прогноза при использовании в усвоении традиционного метода анализа - метода оптимальной интерполяции, a s% - ошибку прогноза при использовании субоптимального алгоритма, основанного на фильтре Калмана. Здесь методом оптимальной интерполяции называется метод численного анализа данных по формулам фильтра Калмана, при этом матрица ковариаций ошибок прогноза считается не меняющейся со временем (шаг (11) в алгоритме фильтра Калмана опускается), ковариационные матрицы ошибок наблюдений R^ и Pq задаются такими же, как в субоптимальном алгоритме, основанном на фильтре Калмана. so обозначает ошибку прогноза по исходным начальным данным (усвоение данных наблюдений не производится). Как видно из рисунка, усвоение данных наблюдений позволяет существенно улучшить качество прогноза, при этом предлагаемый субоптимальный алгоритм усвоения на основе фильтра Калмана имеет преимущество по сравнению с традиционным усвоением.

Для реализации алгоритма фильтра Калмана необходимо задание ковариационной матрицы "шумов модели"(матрица Qk-1 в формуле (11)), которая заранее неизвестна. Оценить ее можно, используя дополнительные предположения. В случае, если матрица ковариаций шумов модели задаегся нулевой, происходит быстрое убывание теоретической ошибки оценивания алгоритма фильтра Калмана и, как следствие, весовые коэффициенты при данных наблюдений на этапе анализа становятся со временем неоправданно малыми. Этот эффект называют в литературе расходимостью алгоритма фильтра Калмана. В классической работе Язвинского (Jazwinski А.Н. Stochastic

5Q00Q0 4ШЮ0 ' ГШ) ! ш ПВО

12 24 36 «

Рис. 4: Теоретическая ошибка алгоритма Рис. 5: Среднеквадратичегкая ошибка фильтра Калмана (след ковариационной прогноза в алгоритме усвоения, матрицы).

processes and filtering theory. - Academic Press, New York, 1970, 377 p.) предлагается алгоритм оценки шумов модели по данным наблюдений с использованием вектора "невязок"(разности между наблюденными и спрогнозированными значениями) в процессе оценивания в процедуре фильтра Калмана. Такая процедура названа адаптивным фильтром Калмана.

В параграфе 5.4 предлагается адаптивный алгоритм, основанный на фильтре Калмана. В этом алгоритме элементы матрицы Qh-\ (в случае, если эта матрица диагональная) оцениваются с помощью векторов "невязок":

фк = У°к- Мкх[. Случайный вектор фк обладает следующими свойствами:

Ефк = 0,

Е(фкШТ = 1 + Qk-i)M? + Rk.

Как видно из уравнения для ковариаций ошибок прогноза (11), векторы невязок содержат информацию о матрице Р[ в точках наблюдений. Предположим, что для ковариаций элементов вектора фк выполнено соотношение:

<Иад(Е(фк)(фк)Т) = сИад((фк)(фк)Т))-

Результат вычисления матрицы ковариаций ошибок прогноза по некоторой модели Ак-г, которая может отличаться от исходной модели, как в субоптимальном алгоритме, будем считать некоторой предварительной оценкой

этой матрицы Р/ (первым приближением). Полагаем также, что матрица <3*-1 диагональная, а матрица Як известна. Обозначим а[ = <Иад(Р£). Если предположить, что

((Фк)ШТ)ыо = {4 + *ад<Як-\))ьь +

где г0 - точка наблюдений, = <Иад(Р[), то получим задачу восстановления вектора <т[ по данным {{Фк){Ф\))чч - = и оценке сг{ . Для восста-

новления (Иад{Р1), т.е., дисперсии ошибок оценивания, будем использовать метод последовательных коррекций. Полную матрицу Р/ будем восстанавливать, считая, что корреляции вычисляются точно.

Следует заметить, что такой алгоритм позволяет уточнить значения всей матрицы Р/, включающей в себя прогноз по упрощенной модели и матрицу <Зк-1, как правило, неизвестную.

Свойства предлагаемого алгоритма были исследованы с помощью численных экспериментов с моделируемыми данными для региональной бароклин-ной модели атмосферы. Численные эксперименты проводились с ковариационной матрицей Ро, заданной в виде

Р" — г1 Т м> — V >

где I - единичная матрица, с„ - среднеквадратическая ошибка прогноза п-й вертикальной моды.

В численных экспериментах моделировались как случайные ошибки начальных данных и наблюдений, так и "шумы модели". "Истипное"состояние атмосферы моделировалось с помощью прогноза по возмущенному начальному полю, при этом на каждом шаге прогноза к полям высоты и скорости ветра добавлялась случайная ошибка распределенная по нормальному закону с дисперсией, соответствующей среднеквадратической ошибке Ьп = 0, Зс„. Данные наблюдений моделировались с помощью наложения на "истинное"поле случайной ошибки, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, соответствующей уровню ошибок данных аэрологических наблюдений.

В первом эксперименте проводилось усвоение данных с помощью субоптимального алгоритма, основанного на фильтре Калмана В качестве упрощенной модели для расчета Р/ бралась модель 4• Матрица (¿к-1 считалась нулевой. При этом значения матрицы Р[ уточнялись с помощью адаптивного алгоритма. Во втором эксперименте матрица Р/ вычислялась с учетом

матрицы <дк~ 1 (11), для п- й вертикальной моды <Эк-1 = При этом уточнение матрицы Р( не проводилось. В третьем эксперименте производилось усвоение данных, в котором матрица Р[ рассчитывалась без уточнения и при условии <5^-1 = 0.

На рис.6 приводятся значения среднеквадратических отклонений рассчитанных полей геопотенциала от "истинньгх"для поверхности 500 мбар для прогноза с усвоением для 1-го, 2-го и 3-го экспериментов(з1, дЗ, соответственно). Из рисунка видно, что оценки прогноза, полученные при усвоении во 2-м и 3-м экспериментах близки между собой. Это означает, что процедура адаптивного уточнения матрицы Р[ позволяет компенсировать задание матрицы С}к-\ , значение которой, как правило, неизвестно.

5 1111 и 11 м 1111 1111 и 111 и | п н > | II11111111 т и 11

цишде

Рис. 6: Результаты экспериментов по усвоению данных: среднеквадратическая ошибка прогноза (м) в алгоритме усвоения (эксперименты типа "кузенов").

Таким образом, проведенные численные эксперименты показали, что предлагаемый адаптивный алгоритм является эффективным и может позволить избежать "расходимости "процедуры усвоения, основанной на фильтре Кал-мана.

В параграфе 5.5 описываются работы по применению методики усвоения данных в задачах, связанных с моделированием циркуляции в океане и переносом и диффузией пассивной примеси. Вышеперечисленные проблемы обширны и, сами по себе, представляют отдельные самостоятельные области исследования. В описываемых экспериментах используются исследованные автором методики усвоения, связанные с субоптимальными алгоритмами, ос-

нованными на фильтре Калмана.

В параграфе 5.6 содержатся основные результаты и выводы V главы.

В Заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты

В работе проведено комплексное исследование проблемы восстановления метеорологических полей по данным наблюдений и математической модели атмосферы с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Разработаны вычислительные алгоритмы усвоения данных метеорологических наблюдений на основе динамико-етохастического подхода и получены следующие основные результаты в соответствии с поставленными целями.

1. Разработана система усвоения метеорологических данных для Сибирского региона. Частью системы усвоения является схема численного анализа метеорологических данных, основанная на бокс-варианте метода трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции. Система усвоения предназначена для расчетов на ее основе фоновых полей в задачах охраны окружающей среды и исследования новых методов усвоения дополнительной информации в квазиоперативном режиме.

Предложен новый алгоритм усвоения метеорологических данных, основанный на теории фильтра Калмана. Алгоритм обобщает традиционную систему усвоения данных наблюдений, представляющую собой цикл прогноз-анализ. В предлагаемом субоптимальном алгоритме усвоения рассматриваются упрощенные модели для расчета ковариаций ошибок прогноза; вводимые упрощения основаны на методе расщепления по физическим процессам, свойствах вертикальных нормальных мод модели и квазигеострофическом приближении.

Предложен новый адаптивный алгоритм усвоения данных, основанный на теории фильтра Калмана; алгоритм позволяет произвести уточнение матрицы ковариаций ошибок прогноза, вычисленной в субоптимальном алгоритме с помощью упрощенной модели, а также оценить ошибки прогностической модели по данным наблюдений.

2. Получены оценки асимптотического поведения алгоритма усвоения метеорологических данных, основанного на фильтре Калмана, со временем в

зависимости от свойств динамической системы, ошибок наблюдений и прогностической модели; дана оценка применимости в задаче усвоения метеорологических данных субоптимальных фильтров.

Для субоптимального алгоритма усвоения метеорологических данных, основанного на фильтре Калмана, получены уравнения для описания ковари-аций ошибок прогноза в однородном изотропном случае при условии солено-идальности вектора скорости ветра.

3. С помощью вычислительных экспериментов с имитируемой и фактической метеорологической информацией показана эффективность предложенных в работе методов математического моделирования в задаче усвоения данных метеорологических наблюдений. Эксперименты проводились с региональной моделью атмосферы, основанной на полных уравнениях и бароклин-ной полусферной квазигеострофической моделью атмосферы.

Проведенные численные эксперименты по прогнозированию ансамблей позволили оценить точность упрощенных моделей для вычисления ковариа-ций ошибок прогноза в субоптимальных алгоритмах усвоения. Расчеты показали, что предлагаемые упрощенные модели позволяют вычислять ковариационные матрицы ошибок прогноза и могут быть использованы в процедуре усвоения данных метеорологических наблюдений.

С помощью численных экспериментов с бароклинной региональной моделью атмосферы показано, что субоптимальный алгоритм усвоения, основанный на фильтре Калмана, имеет преимущество по сравнению с традиционной системой усвоения, основанной на цикле прогноз-анализ. Показано с помощью численных экспериментов, что предлагаемый адаптивный алгоритм является эффективным и позволяет избежать "расходимос-ти"процедуры усвоения, основанной на фильтре Калмана.

4. Разработанные численные алгоритмы реализованы в виде комплекса прикладных программ, предназначенных для решения задач восстановления метеорологических полей по данным наблюдений. С помощью созданного комплекса программ решен большой круг важных в научном и практическом плане задач математического моделирования процессов в атмосфере.

Основные публикации автора по теме диссертации

[1] Климова Е.Г. Методика усвоения данных метеонаблюдений на основе обобщенного субоптимального фильтра Калмана. - Метеорология и гидрология, 1997, №11, с.55-65.

[2] Климова Е.Г. Асимптотическое поведение схемы усвоения метеорологических данных, основанной на алгоритме фильтра Калмана. - Метеорология и гидрология, 1999, №8, с.55-65.

[3] Климова Е.Г. Упрощенные модели для расчета ковариационных матриц в алгоритме фильтра Калмана. - Метеорология и гидрология, 2000, №6, с. 18-30.

[4] Климова Е.Г. Модель для расчета ковариаций однородных изотропных случайных полей ошибок прогноза. - Метеорология и гидрология, 2001, №10, с.24-33.

[5| Климова Е.Г. Модель для расчета ковариаций ошибок прогноза в алгоритме фильтра Калмана, основанная на полных уравнениях. Метеорология и гидрология, 2001, №11, с.11-21.

[6] Климова Е.Г. Численные эксперименты по усвоению метеорологических данных с помощью субоптимального фильтра Калмана. - Метеорология и гидрология, 2003, №10, с.54-67.

[7] Климова Е.Г. Методика усвоения данных наблюдений на основе адаптивного субоптимального фильтра Калмана. - Математические методы в геофизике. Труды Международной конференции, часть II, Новосибирск, 2003, с.400-404.

[8] Климова Е Г. Алгоритм усвоения данных наблюдений на основе адаптивного субоптимального фильтра Калмана. - Метеорология и гидрология, 2005, №3, с.24-35.

[9] Климова Е.Г., Воронина П.В. Модификация модельных корреляционных функций в схеме многоэлементного объективного анализа для Сибирского региона. - Метеорология и гидрология, 1994, №1, с.18-24.

[10] Климова Е.Г., Ривин Г.С. О решении уравнения Булеева-Марчука. - Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1978, т. 15, N4, с.368-383.

1 31

[11] Климова Е.Г., Ривин Г.С. О краткосрочном прогнозе погоды на полусфере по квазигеострофической модели. - Труды ЗСРНИГМИ, 1979, вып.45, с.34-36.

[12] Климова Е.Г., Ривин Г.С. Численные эксперименты по четырехмерному анализу с квазигеострофической моделью атмосферы. - Труды ЗапСиб-НИИ, 1981, вып.53, с.53-59.

[13] Климова Е.Г., Ривин Г.С. Уточнение первого приближения для численного анализа метеорологических полей. - Метеорология и гидрология, 1985, №10, с.29-36.

[14] Климова Е.Г., Ривин Г.С. Схема численного трехмерного многоэлементного анализа для Сибирского региона. - Метеорология и гидрология, 1992, №3, с.16-23.

[15] Климова Е.Г., Ривин Г.С. Численный анализ метеоданных. - Изд. ИВТ СО РАН, Новосибирск. В сб.: "Вычислительные технологии", т.1, №3, 1992, с.235-240.

[16] Климова Е.Г., Ривин Г.С. Восстановление полей метеоэлементов по данным наблюдений. - Изд. ИВТ СО РАН, Новосибирск. В сб.: "Вычислительные технологии", т.2, №4, 1993, с.111-116.

[17] Климова Е.Г., Ривин Г.С. Объективный анализ метеоданных на полусфере. - Изд. ИВТ СО РАН, Новосибирск. В сб.: "Вычислительные технологии", т.2, №7, 1993, с. 156-164.

[18] Климова Е.Г., Ривин Г.С. Система усвоения метеоданных для Сибирского региона: численные эксперименты с реальными данными. - Метеорология и гидрология, 1996, №12, с.19-26.

[19] Климова Е.Г., Ривин Г.С. Задача усвоения данных метеорологических и аэрозольных наблюдений. - Химия в интересах устойчивого развития, 2002, №10, с.601-608.

[20] Курбаткин Г.П., Зулунов С.М., Ривин Г.С., Климова Е.Г. Нормальные моды и многоэлементный анализ (численные эксперименты с данными ПГЭП). - В кн.: "Первый глобальный эксперимент ПИГАП", т.8. Общая циркуляция атмосферы и численные эксперименты по данным ПГЭП, Гидрометеоиздат, Ленинград, 1985, с.27-34.

[21] Ривин Г.С., Климова Е.Г., Слуднов А.В. Изучение усвоения дополнительной метеорологической информации с помощью численных экспериментов типа близнецов и кузенов. - В кн.: Математические модели атмосферных движений. Новосибирск, ВЦ СО РАН, 1980, с.100-113.

[22] Ривин Г.С., Климова Е.Г., Медведев C.B., Фомин В.М., Воронина П.В., Куликов А.И. Математическое моделирование процессов в атмосфере для проведения экологических экспертиз. - В кн: Математические проблемы экологии. Новосибирск, ИМ СО РАН, 1994, с.90-95.

[23] Klimova E.G. The suboptimal data assimilation algorithm based on the Kalman filter theory. - Proceedings of the Third WMO International Symposium on Assimilation of Observations in Meteorology and Oceanography, June 7-11, 1999, Québec City, Canada, Programme and Abstracts, Thechnical Document WMO/TD - No.986, p.379-382.

[24] Klimova E.G. Estimation of a state of an environment by the use of the observations and mathematical models. - In: Air Pollution Processes in Regional Scale, NATO Science Series, IV. Earth and Environmental Sciences - Vol.30,2003, p. 185-190.

Ответственный за выпуск Е.Г. Климова

17.05.2005 Объем 2 п. л. Заказ №341

Подписано в печать Формат бумаги 60 х 86 х 1/16 Тираж 100 экз.

Отпечатано в ЗАО РИД "Прайс-Курьер", 630090, г. Новосибирск, проспект академика Лаврентьева, 6

•11216

РНБ Русский фонд

2006-4 28252

ч

Введение

1 Схема численного анализа данных метеорологических наблюдений

1.1 Введение.

1.2 Метод интерполяции.

1.2.1 Система координат.

1.2.2 Обработка данных наблюдений.

1.2.3 Основные уравнения, используемые при интерполяции

1.2.4 Объединение близко расположенных данных в одно обобщенное наблюдение.

1.2.5 Контроль данных наблюдений с помощью статистической интерполяции

1.2.6 Уравнение анализа по данным, оставшимся после контроля

1.2.7 Моделирование статистических характеристик ошибок прогноза

1.2.8 Корреляционная функция ошибок прогнозы высоты и относительной топографии.

1.2.9 Корреляционная функция ошибок прогноза скорости ветра

1.2.10 Корреляции между ошибками прогноза полей высоты и скорости ветра.

1.2.11 Статистические характеристики ошибок наблюдений

1.3 Обработка данных наблюдений в схеме объективного анализа

1.3.1 Предварительные замечания.

1.3.2 Организация вычислений.

1.3.3 Контроль данных в схеме объективного анализа, основанной на методе трехмерной многоэлементной статистической интерполяции.

1.4 Общая блок-схема реализации задачи объективного анализа на основе метода трехмерной многоэлементной интерполяции полей ветра, геопотенциала и относительной топографии.

1.4.1 Предварительные замечания.

1.4.2 Подготовка данных наблюдений.

1.4.3 Преданализ.

1.4.4 Контроль данных с привлечением метода статистической интерполяции

1.4.5 Список исключенных данных.

1.4.6 Анализ.

1.4.7 Постанализ.

1.5 Численные эксперименты.

1.6 Основные результаты.

2 Система усвоения данных метеорологических наблюдений

2.1 Введение.

2.2 Численные эксперименты по усвоению данных с бароклинной квазигеострофической моделью атмосферы.

2.2.1 Квазигеострофическая бароклинная полусферная модель

2.2.2 Численные эксперименты по усвоению моделируемых данных с квазигеострофической моделью атмосферы

2.2.3 Численные эксперименты по усвоению реальных данных (данных ПГЭП) с квазигеострофической моделью атмосферы

2.2.4 Нормальные моды и численные эксперименты по усвоению данных.

2.3 Система усвоения метеорологических данных для Сибирского региона

2.3.1 Введение.

2.3.2 Анализ данных наблюдений.

2.3.3 Региональная модель краткосрочного прогноза погоды

2.3.4 Нелинейная инициализация для региональной модели атмосферы

2.4 Численные эксперименты с системой усвоения.

2.5 Основные результаты

3 Субоптимальные алгоритмы, основанные на фильтре Калма-на

3.1 Введение.

3.2 Фильтр Калмана.

3.3 Задача оптимальной фильтрации и субоптимальные алгоритмы

3.4 Упрощенные модели для расчета матриц ковариаций ошибок прогноза.••

3.5 Численные эксперименты по сравнению свойств упрощенных моделей

3.6 Модель для расчета ковариаций ошибок прогноза в алгоритме фильтра Калмана, основаная на полных уравнениях.

3.6.1 Методика расчета ковариаций, основанная на расщеплении по физическим процессам

3.6.2 Численные эксперименты.

3.7 Модель для расчета ковариаций однородных изотропных случайных полей ошибок прогноза.

3.7.1 Вывод уравнений для ковариаций ошибок прогноза

3.7.2 Расчет ковариаций ошибок прогноза в однородном изотропном случае

3.7.3 Численные эксперименты.

3.8 Основные результаты

4 Асимптотическое поведение алгоритма фильтра Калмана

4.1 Введение.

4.2 Задача оптимальной фильтрации (непрерывная постановка

4.3 Решение матричного дифференциального уравнения Риккати

4.4 Асимптотическое поведение фильтра Калмана.

4.5 Субоптимальные алгоритмы

4.6 Связь оценок, полученных в субоптимальных алгоритмах, с оптимальной оценкой фильтра Калмана.

4.7 Основные результаты.

5 Численные эксперименты по усвоению метеорологических данных

Оглавление б

5.1 Введение.

5.2 Упрощенные модели, используемые в численных экспериментах.

5.3 Численные эксперименты по усвоению моделируемых метеорологических данных с региональной бароклинной моделью атмосферы

5.4 Адаптивный алгоритм усвоения, основанный на фильтре Калмана

5.4.1 Введение.

5.4.2 Адаптивный алгоритм фильтра Калмана.

5.4.3 Численные эксперименты.

5.5 Применение методики усвоения данных в задачах моделирования циркуляции в океане и охраны окружающей среды.

5.5.1 Введение.

5.5.2 Численные эксперименты по усвоению данных о температуре поверхности океана в модели циркуляции Японского моря .•.

5.5.3 Применение субоптимального алгоритма, основанного на фильтре Калмана, в задаче усвоения данных наблюдений о пассивной примеси

5.6 Основные результаты

При изучении процессов, происходящих в атмосфере, важнейшей задачей является обработка данных фактических наблюдений за состоянием атмосферы.

В мире в настоящее время имеется обширная сеть наблюдательных станций. Наземные аэрологические станции и станции на кораблях передают данные радиозондирования. Эти данные передаются через каждые 6 часов в основные синоптические сроки: 00 час. СГВ, Об час. СГВ, 12 час. СГВ, 18 час. СГВ (СГВ - среднегринвичское время). Данные радиозондирования содержат информацию на изобарических поверхностях, до 10 мбар включительно. Синоптические данные передают наземную информацию. Эта информация также поступает в основные синоптические сроки наблюдений. Большой объем информации поступает со спутников. Спутниковые данные поступают практически непрерывно и поэтому их называют асиноптическими. Кроме основной сети наблюдений метеорологические данные передают также самолеты, дрейфующие буи. Для всех типов данных наблюдений характерно их неравномерное распределение по пространству и наличие случайных ошибок измерений.

Задача численного моделирования атмосферных процессов требует как можно более точного задания начальных данных для решения системы уравнений гидротермодинамики. Одним из наиболее распространенных способов численного решения системы прогностических уравнений является использование дискретной сетки в трехмерном пространстве и построение на этой сетке соответствующей конечно-разностной схемы. Кроме того, разрабатываются так называемые спектральные модели, в которых прогноз производится для коэффициентов разложения по некоторому базису.

Пусть вектор ж", заданный на сетке в момент времени tn (либо состоящий из коэффициентов разложения по некоторому базису), имеет размерность N. Задача прогноза может быть символически записана в виде задачи Коши: zf1 = А(х]), = д.

Здесь А - прогностический оператор. При этом считаем, что граничные условия учтены в операторе А. Пусть в момент времени tn имеются данные наблюдений у о в М точках, вообще говоря, отличных от узлов сетки.

Определение 1.

Задачей численного (объективного) анализа будем называть задачу получения по данным наблюдений "наилучшего "в некотором смысле значения х) [Ц, 123, ИЗ, 112].

Поскольку данные наблюдений известны неточно и содержат информацию не во всех точках рассматриваемой области, то для решения задачи анализа требуется привлечение дополнительной информации о восстанавливаемых полях. В качестве такой информации обычно используют:

- климатические данные;

- "persistence"(анализ за предыдущий момент времени);

- прогноз по данным анализа за предыдущий момент времени.

Такую априорную информацию принято называть первым приближением.

Существующие к настоящему времени методы численного анализа можно условно разбить на 4 группы:

- эмпирические методы;

- спектральные методы (приближение искомого значения в виде ряда по некоторому множеству функций);

- вариационный анализ (3DVAR - 3-Dimensional Variational);

- статистическая (оптимальная) интерполяция (ОИ).

Первые методы анализа данных были эмпирическими. В работах [88, 95] был предложен метод последовательных коррекций для проведения объективного анализа метеоданных. Математическая постановка задачи анализа была предложена в работе Л.С.Гандина [113] и в работе Сасаки [142]. Л.С.Гандиным был предложен метод оптимальной интерполяции, состоящий в минимизации средней по множеству реализаций ошибки анализа, при этом учитываются статистические характеристики ошибок наблюдений и некоторого поля, называемого "первым приближением". Сасаки был предложен вариационный подход к решению задачи анализа. В [124] было показано, что все известные методы численного (объективного) анализа метеорологических данных эквивалентны между собой. Что касается эмпирического метода последовательных коррекций, то в [92] показана сходимость итераций метода последовательных коррекций к методу оптимальной интерполяции при соответствующем выборе весовых функций.

С конца 70-х годов прошлого века во всех мировых прогностических цетрах мира лидирующее место занял предложенный Л.С.Гандиным метод оптимальной интерполяции [13, 15]. Лучшим по качеству был признан бокс-вариант метода трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции, разработанный в Европейском Центре Среднесрочных Прогнозов Погоды

ECMWF, Reading) А.Лоренком [123]. В Национальном Метеорологическом Центре США (NMC, в настоящее время NCEP - Национальный Центр Прогнозов Окружающей Среды) был разработан спектральный метод статистической интерполяции [129]. Оперативной схемой анализа в Гидрометцентре России до настоящего времени является схема, основанная на трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции [4, 6, 7]. В настоящее время в NCEP, ECMWF, Meteo-France (Франция) и метеослужбе UK (Великобритания) разработан и применяется оперативно вариационный метод анализа с привлечением статистической информации об ошибках данных наблюдений и первого приближения [104].

В работе [124] была предложена обобщенная формулировка задачи численного анализа данных и получено уравнение анализа в общем виде. Анализом в этой работе называется оценка состояния атмосферы либо с помощью метода максимального правдоподобия, либо "наименьших квадратов". Автор анализирует полученные им обобщенные формулы и показывает, что все известные методы численного анализа могут быть сведены к этим формулам. В этой работе сформулированы условия, при которых ОИ и 3DVAR эквивалентны.

Задача анализа данных позволяет восстанавливать метеорологические поля по данным наблюдений за один момент времени. С 70-х годов 20 века появились наблюдательные средства, делающие замеры непрерывно (асиноп-тические данные наблюдений, например, спутниковые). Кроме того, данных наблюдений за конкретный срок может быть недостаточно для получения адекватной картины распределения метеополей. В связи со всем вышесказанным в настоящее время принято проводить пространственно-временную обработку данных с привлечением прогностических моделей для описания распределения метеополей в пространстве и во времени [112, 113].

Определение 2.

Задачу совместного учета данных наблюдений и прогностической модели для наиболее точного описания пространственно-временного распределения метеополей принято называть задачей усвоения данных (в зарубежной литературе "data assimilation").

В настоящее время обработка данных метеонаблюдений в большинстве прогностических центров мира осуществляется на основе систем усвоения данных [140]. Существуют два основных типа систем усвоения: непрерывные и дискретные. В непрерывных системах усвоение данных наблюдений (шаг анализа) проводится в момент времени, соответствующий моменту наблюдения, а в дискретных системах - в моменты времени, соответствующие основным синоптическим срокам наблюдений.

В мировых прогностических центрах, таких как Европейский Центр Среднесрочных Прогнозов Погоды (ECMWF, Рэдинг) и Национальный Центр Прогнозов Окружающей Среды (NCEP, США) с 80-х годов 20 века стали действовать системы усвоения данных, которые представляли из себя 6-часовой цикл прогноз-анализ-инициализация [127, 129]. В этом цикле шаг "анализ"осуществляется в основные синоптические сроки каждые 6 часов по данным наблюдений из "окна"± 3 часа от основного синоптического срока наблюдения, для подавления ложного роста инерционно- гравитационных мод производится инициализация проанализированных данных [128], а затем прогноз на 6 часов. На этапе "анализ"при этом чаще всего используется метод трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции.

В последнее время такие системы усвоения, основанные на цикле прогноз-анализ-инициализация, усовершенствуются с привлечением общей вариационной постановки задачи и использованием сопряженной модели для минимизации соответствующего функционала, основываясь на известных результатах теории оптимального управления [62, 101, 114, 123]. В то же время в ряде работ рассматривается постановка задачи усвоения данных в терминах теории оценивания с привлечением алгоритма фильтра Калмана [107, 114]. Следует заметить, что задачи оптимального управления и оптимальной фильтрации связывает принцип двойственности и, кроме того, существуют алгоритмы совместного оценивания и управления процессом [10, 113, 107].

Вариационная постановка в задаче усвоения в настоящее время очень популярна в мире. Следует подчеркнуть, что впервые такая постановка задачи усвоения была предложена в 1976 г. в работе В.В.Пененко, Н.Н.Образцова [65]. Популярный в настоящее время алгоритм фильтра Калмана также исследовался в 70-х годах прошлого века нашими отечественными авторами (Д.М.Сонечкин, [77]). В работе Д.М. Сонечкина [78] показана эквивалентность постановок задачи оптимальной фильтрации и вариационного усвоения при ряде условий (в частности, при нормальном распределении ошибок наблюдений и прогноза). В работах В.В.Пененко [63, 135] показано, что алгоритм вариационного усвоения алгебраически эквивалентен процедуре обобщенного фильтра Калмана. В настоящее время теоретическое исследование проблем усвоения (в вариационной постановке) рассматривается в работах [145, 146].

Из зарубежных авторов особого внимания заслуживает А.Лоренк (A.Lorenc, Англия), посвятивший целый ряд работ теоретическим проблемам задачи усвоения данных. Так, в работе [125] обобщенный метод анализа был распространен автором на пространственно-временной случай. Полученные им формулы при определенных предположениях (некоррелируемость ошибок наблюдений по времени, гауссовские функции распределения для ошибок наблюдений и прогноза) могут быть сведены к вариационной постановке задачи усвоения, а также к динамико-стохастической. Поскольку алгоритм фильтра Калмана требует обращения матриц очень высокого порядка, авторы предложили свой подход к решению задачи - итерационный метод минимизации функционала, обобщающий метод последовательных коррекций [126].

Таким образом, в настоящее время существуют два подхода к задаче усвоения данных: вариационный(4DVAR - 4-Dimensional Variational) и дина-мико-стохастический (фильтр Калмана). Современные системы усвоения, основанные на вариационном подходе (4DVAR) более легко реализуемы на ЭВМ, но они

1). не учитывают изменчивость со временем ковариаций ошибок прогноза;

2). производят оценку начального состояния по данным наблюдений за ограниченный интервал времени, в то время как фильтр Калмана состоит в последовательном оценивании состояния атмосферы по вновь поступающим данным.

Как отмечается в [113, 125, 137], все задачи усвоения в принципе можно свести к задаче статистического оценивания. В этих работах задачу усвоения связывают с минимизацией квадратичного функционала. При этом, если ищется начальное значение, прогноз по которому доставляет минимум функционалу, имеем вариационное усвоение. Если осуществляется последовательное оценивание по времени за необходимый период, имеем фильтр Калмана. В случае линейной точной (без ошибок) модели оба алгоритма приведут к одному и тому же результату в конце периода усвоения. Если модель линейная, но имеет ошибки, тогда также можно установить соответствие между двумя подходами, если уравнение модели ввести в функционал в качестве слабого условия. Однако в этом случае 4DVAR будет так же сложно реализуем, как и фильтр Калмана.

В настоящее время задача усвоения данных исследуется отечественными авторами в основном в вариационной постановке [64, 132]. Следует отметить монографию [76], в которой рассматривается применимость алгоритма фильтра Калмана для проведения усвоения в океане. В Гидрометцентре России разработана коллективом автором система усвоения, основанная на цикле прогноз-анализ-инициализация [82, 106] и исследуются вопросы, связанные с ее развитием в виде применения обобщенной постановки задачи усвоения [149, 150].

В ECMWF метод 4DVAR используется в настоящее время оперативно [152], кроме того, рассматривается упрощенный вариант фильтра Калмана RRKF (Reduced Rank Kalman Filter), состоящий в аппроксимации ковариаций ошибок прогноза в 4DVAR с помощью сингулярных векторов [104]. В NCEP оперативно работает система усвоения типа 3DVAR со статистическим методом анализа PSAS (Physical-Space Statistical Analysis System) [151].

Отметим, что общие постановки задач анализа в обоих ведущих центрах близкие, различия систем усвоения состоят в их практической реализации. Поскольку задача усвоения в полной постановке нереализуема на современных ЭВМ, особенности технологии систем усвоения связаны с различными вводимыми упрощениями.

Система усвоения метеорологической службы Франции (Meteo-France) представляет собой реализацию глобального многоэлементного 4-мерного вариационного анализа (4DVAR), аналогичную системе усвоения ECMWF. В метеорологической службе Германии (NMC Offenbach) схема усвоения представляет собой 3-часовой цикл прогноз-анализ-инициализация со схемой анализа, основанной на методе 3-мерной многоэлементной оптимальной интерполяции. В метеорологической службе Канады в настоящее время работает глобальная система усвоения, представляющая собой 6-часовой цикл прогноз-анализ-инициализация с методом анализа 3DVAR. При этом в Канаде действует система прогнозирования ансамблей (16 member Ensemble Prediction System - EPS). В этой системе планируется заменить метод анализа, основанный на оптимальной интерполяции, на ансамблевый фильтр Калмана.

Данная работа посвящена во многом исследованию применимости алгоритма фильтра Калмана к задаче усвоения данных метеорологических наблюдений. Алгоритм фильтра Калмана был предложен Р.Е.Калманом в 1960 г. для дискретного случая и Р.Е.Калманом и Р.С.Бьюси в 1961 г. для непрерывного по времени случая для линейной динамической системы со случайным шумом. Разработаны также обобщения фильтра Калмана на нелинейный случай [107].

Алгоритм фильтра Калмана позволяет по ряду данных наблюдений и прогностической модели получить оптимальную в смысле минимума дисперсии ошибки оценку состояния атмосферы к заданному моменту времени [107]. Алгоритм фильтра Калмана является последовательным (рекурсивным), т.е., на каждом временном шаге используются данные за этот момент времени. Поскольку прогностические модели являются нелинейными, обычно алгоритм фильтра Калмана заменяется на вариант обобщенного фильтра Калмана, предложенный в [107].

Алгоритм усвоения, основанный на фильтре Калмана, естественным образом обобщает системы усвоения, представляющие собой цикл прогноз -анализ [114]. По-существу к этому циклу добавляется процедура расчета ковариаций ошибок оцениваемых полей. В то же время, этот алгоритм требует больших машинных ресурсов и в своей полной постановке не может быть реализован в настоящее время даже на супер - ЭВМ, так как для современных глобальных моделей порядок ковариационных матриц составляет сотни тысяч. Кроме того, при определенных условиях фильтр Калмана может расходиться со временем. Тем не менее, применимость теории фильтра Калмана к задаче усвоения данных в настоящее время исследуется многими авторами.

Применение алгоритма фильтра Калмана в задаче усвоения данных интенсивно исследуется в течение последних 10 лет в основном за рубежом, однако первые работы по динамико-стохастическому подходу к задаче усвоения данных были опубликованы в нашей стране еще в семидесятые годы [11, 139]. В этих работах предложен ряд алгоритмов усвоения данных на основе обобщенного фильтра Калмана, в [11] приведены результаты численных экспериментов с баротропной прогностической моделью по динамико-стохастическому усвоению модельных данных.

Большой обзор по применимости алгоритма фильтра Калмана в задачах усвоения данных метеорологических и океанических наблюдений приведен в - работах [112, 113].

При применении алгоритма фильтра Калмана к задаче усвоения метеорологических данных основными проблемами являются:

- высокий порядок матрицы ковариаций ошибок прогноза;

- обращение на этапе анализа ковариационной матрицы высокого порядка (размерность матрицы определяется размерностью вектора данных наблюдений);

- нелинейность системы уравнений, описывающих метеорологические процессы.

В настоящее время существует несколько подходов к преодолению проблемы большой размерности ковариационной матрицы ошибок прогноза. Один из них состоит в аналитическом описании ковариаций. Так, в работе [94] рассматриваются способы получения дифференциальных уравнений для локальных ковариаций ошибок прогноза. Второй подход состоит в использовании для расчета ковариаций упрощенной модели (меньшей размерности). Такой алгоритм предложен в [99] и называется субоптимальным алгоритмом, основанным на фильтре Калмана. Варианты субоптимальных алгоритмов рассмотрены в [99, 148]. Третий подход, приобретающий все большую популярность, состоит в применении метода Монте-Карло для расчета поведения ковариаций ошибок прогноза со временем. Это так называемый ансамблевый алгоритм фильтра Калмана. Такой подход предложен в [111]. Ансамблевый подход позволяет рассчитывать ковариации ошибки прогноза для нелинейных моделей. Однако он тоже содержит ряд сложностей. В частности, размерность ансамбля прогнозов для получения хорошо обусловленной ковариационной матрицы должна быть порядка размерности этой матрицы. Отметим здесь работу [132], в которой по существу также предлагается вариант ансамблевого фильтра Калмана. В работе [121] рассматривается комбинированный алгоритм, в котором используется метод ансамблей и при этом рассматривается оператор меньшей размерности (разложение по естественно-ортогональному базису).

Современные схемы, основанные на вариационном подходе (4DVAR), в настоящее время модифицируются, при этом в качестве весовых матриц используются ковариации ошибок прогноза, меняющиеся со временем. Для вычисления ковариационных матриц в этих схемах используется либо ансамб-левыц подход [117], либо разложение по естественно - ортогональному базису сингулярные векторы) [104].

Для успешной реализации алгоритма фильтра Калмана требуется задание матрицы ковариаций "шумов"прогностической модели. Точное значение элементов этой матрицы неизвестно. Если считать ее нулевой, элементы матрицы ковариаций ошибок прогноза в алгоритме фильтра Калмана убывают со временем, что приводит к эффекту, называемому "расходимостью "фильтра Калмана [107, 10]. В этом случае данные наблюдений входят в процедуру анализа со все меньшими весовыми коэффициентами и фактически перестают "усваиваться". Матрица "шумов"прогностической модели может быть оценена с помощью адаптивного алгоритма по данным наблюдений. Все предлагаемые к настоящему времени адаптивные алгоритмы основаны на идее, предложенной в [108]. Алгоритм основан на использовании свойств вектора "невязок"(разности между наблюденным значением и прогнозом).

Адаптивные алгоритмы усвоения, основанные на использовании вектора "невязок"и его статистических свойств предлагаются во многих работах [90, 100, 130]. В [77] предлагается полуэмпирический алгортм усвоения, также основанный на использовании векторов "невязок". Следует отметить работу [149], посвященную проблеме оценки ошибок модели и исследованию природы этих ошибок.

В [100] был предложен алгоритм адаптивного фильтра Калмана для усвоения метеорологических данных, в котором для "шумов модели"и ошибок наблюдений рассматривается дополнительный алгоритм оценивания. В работе [130] предложен адаптивный алгоритм, основанный на ансамблевом подходе. В [90] рассмотрен ряд адаптивных алгоритмов и исследована их применимость для задачи усвоения в океане.

Цель диссертационной работы состоит в развитии методов математического моделирования для актуальной в научном и практическом плане задачи усвоения данных наблюдений с помощью прогностической модели атмосферы на основе теории фильтра Калмана, построение и апробация новых алгоритмов усвоения на основе фильтра Калмана. В частности, сюда входят:

- разработка схемы численного анализа метеорологических данных на основе бокс-варианта метода трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции для Сибирского региона; апробация свойств схемы на реальных данных;

- исследование методов усвоения данных наблюдений с помощью численных экспериментов с имитируемыми и реальными данными наблюдений с фильтрованной (квазигеострофической) моделью атмосферы; исследование методики совместного учета данных о геопотенциале и ветре с помощью нормальных мод;

- разработка системы усвоения метеорологических данных для Сибирского региона на основе цикла прогноз-анализ-инициализация, исследование ее свойств на реальных данных (данные OA ГМЦ России); создание технологической линии, реализующей эту систему;

- обобщение системы усвоения, представляющей собой цикл прогноз-анализ, на основе динамико-стохастического подхода (фильтр Калмана); разработка субоптимальных алгоритмов усвоения на основе фильтра Калмана, использующих упрощенные модели для описания поведения матриц ковари-аций ошибок прогноза по времени;

- аналитическое исследование асимптотического поведения алгоритма фильтра Калмана со временем;

- разработка адаптивного алгоритма фильтра Калмана, позволяющего получать оценку шумов модели по данным наблюдений; проведение численных экспериментов с моделируемыми данными по оценке свойств предложенного адаптивного алгоритма.

Научная новизна результатов диссертационной работы.

1). Предложен новый алгоритм усвоения метеорологических данных, основанный на теории фильтра Калмана. Алгоритм является обобщением традиционной схемы усвоения данных наблюдений, представляющей собой цикл прогноз-анализ. В предлагаемом алгоритме рассматриваются упрощенные модели для расчета ковариаций ошибок прогноза; вводимые упрощения основаны на методе расщепления по физическим процессам, свойствах вертикальных нормальных мод модели и квазигеострофическом приближении.

2). Впервые по аналогии с теорией турбулентности выведены уравнения для ковариаций ошибок прогностической модели в однородном изотропном случае при условии соленоидальности вектора скорости ветра. На основе этих уравнений показано, что в однородном изотропном случае для описания поведения ошибок модели (на малом временном интервале) может быть использована упрощенная модель переноса по траекториям частиц.

3). Впервые проведено аналитическое исследование асимптотического - поведения алгоритма усвоения метеорологических данных, основанного на фильтре Калмана, со временем (для непрерывной постановки задачи оптимальной фильтрации). Дана оценка асимптотического поведения алгоритма фильтра Калмана в зависимости от свойств динамической системы, ошибок наблюдений и шумов модели.

4). Предложен новый адаптивный алгоритма фильтра Калмана, состоящий в оценке дисперсий ошибок прогноза по данным наблюдений и прогностической модели с привлечением вектора "невязок" (отклонение данных наблюдений от прогноза), показано с помощью численных экспериментов с моделируемыми данными, что этот алгоритм позволяет предотвращать "расходимость" фильтра Калмана со временем.

Научная и практическая значимость.

Задача улучшения качества анализа метеорологических данных имеет большое практическое значение. Использование более качественных схем анализа и систем усвоения позволит получать более точное описание пространственно-временного распределения метеополей.

Разработанная система усвоения метеорологических данных для Сибирского региона является базовой технологической линией "прогноз-анализ-инициализация "для исследования новых методов усвоения в квазиоперативном режиме и расчетов на ее основе фоновых полей для задач охраны окружающей среды.

Разработанная методика усвоения данных наблюдений на основе обобщенного фильтра Калмана не Ограничивается рамками задач краткосрочного прогноза погоды. Она может быть применена в задачах усвоения данных наблюдений в океане и для задач охраны окружающей среды (усвоение данных об аэрозолях).

Предлагаемый динамико-стохастический подход позволяет использовать полученные результаты в климатических исследованиях.

Разработанные модели для расчета ковариационных матриц ошибок прогноза имеют самостоятельное значение и могут быть использованы в изучении проблем предсказуемости и оценки областей, в которых требуется производить дополнительные наблюдения. Работающие в настоящее время оперативно схемы схемы усвоения, основанные на вариационном подходе (4DVAR), в настоящее время модифицируются, при этом в качестве весовых матриц используются ковариации ошибок прогноза, меняющиеся со временем. В связи с этим разработанные упрощенные модели могут быть использованы для расчета поведения ковариаций ошибок прогноза со временем в схемах, основанных на 4DVAR.

Материалы, вошедшие в диссертационную работу, обсуждались на семинарах ИВТ СО РАН, ИВМиМГ СО РАН, Гидрометцентра России, Главной Геофизической обсерватории. Они докладывались на Междуведомственном семинаре по научным результатам ПГЭП (Москва, 1983), Всесоюзной конференции "Статистическая интерпретация гидродинамических прогнозов с целью прогноза элементов и явлений погоды"(Одесса, 1991), Всесоюзном совещании по природным и антропогенным катастрофам (Томск, 1991), Международной конференции АМСА-95 (Новосибирск, 1995), Втором Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-96 (Новосибирск, 1996), Международной конференции "Математические модели и методы их использования"(Красноярск. 1997), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-98 (Новосибирск, 1998), Первой Международной конференции по Реанализу (Silver Spring, Maryland, USA, 1997), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-98 (Новосибирск, 1998), Третьем международном симпозиуме по усвоению данных наблюдений в метеорологии и океанологии (Quebec City, Canada, 1999), Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000), Международной конференции "Моделирование, базы данных и информационные системы для атмосферных HayK"MODAS (Иркутск, 2001), VIII Международном Симпозиуме "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы" (Иркутск, 2001), Рабочем совещании NATO "Air pollution processes in regional scale"(Kallithea, Halkidiki, Greece, 2003), Международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды ENVIROMIS-2002 (Томск, 2002), Международной конференции "Вычислительно-информационные технологии для наук об окружающей среде"Cites-2003 (Томск, 2003), Международной конференции "Математические методы в геофизике"(Новосибирск, 2003), Международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды ENVIROMIS -2004 (Томск, 2004).

Основные результаты опубликованы в 24 статьях: 13 статьях в ведущих отечественных журналах [21] - [26], [28], [29, 31, 34, 35, 39, 40], 4 докладах в трудах международного симпозиума и международного рабочего совещания [27, 45, 119, 120], 7 статьях в трудах институтов Академии Наук и Госкомгид-ромета [32] - [33], [36] - [38], [71, 72].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержит 29 рисунков и 13 таблиц. Каждая глава разбита на разделы.

5.6 Основные результаты

Ниже перечислены основные результаты и выводы, полученные в V главе.

• Предложен алгоритм усвоения данных метеорологических наблюдений для бароклинной региональной модели атмосферы. Усвоение осуществляется с помощью субоптимального алгоритма, основанного на фильтре Калмана, предложенного в [21, 23, 24, 25]. Показано, что усвоение данных наблюдений позволяет существенно улучшить качество прогноза, при этом предлагаемый алгоритм усвоения имеет преимущество по сравнению с традиционным усвоением.

• Предложен адаптивный алгоритм усвоения данных, основанный на теории фильтра Калмана. Алгоритм позволяет произвести уточнение матрицы ковариаций ошибок прогноза, вычисленной в субоптимальном фильтре с помощью упрощенной модели а также оценить "шумы"прогностической модели по данным наблюдений.

• Предлагаемый алгоритм адаптивного фильтра Калмана

- позволяет получать дополнительное уточнение прогноза с усвоением;

- позволяет компенсировать отсутствие информации о матрице ковариаций "шумов модели "Qk-i при вычислении матрицы ковариаций ошибок прогноза Р[\

- позволяет получать более реалистичные значения весовых коэффициентов в процедуре анализа.

• Приведены предварительные результаты работ по применению методики усвоения в области моделирования динамики океана и для задач охраны окружающей среды.

Заключение

В заключение приведем основные результаты работы, являющиеся одновременно положениями, выносимыми на защиту.

В работе проведено комплексное исследование проблемы восстановления метеорологических полей по данным наблюдений и математической модели атмосферы с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Разработаны вычислительные алгоритмы усвоения данных метеорологических наблюдений на основе динамико-стохастического подхода и получены следующие основные результаты в соответствии с поставленными целями:

1. Разработана система усвоения метеорологических данных для Сибирского региона. Частью системы усвоения является схема численного анализа метеорологических данных, основанная на бокс-варианте метода трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции. Система усвоения предназначена для расчетов на ее основе фоновых полей в задачах охраны окружающей среды и исследования новых методов усвоения дополнительной информации в квазиоперативном режиме.

Предложен новый алгоритм усвоения метеорологических данных, основанный на теории фильтра Калмана. Алгоритм обобщает традиционную систему усвоения данных наблюдений, представляющую собой цикл прогноз-анализ. В предлагаемом субоптимальном алгоритме усвоения рассматриваются упрощенные модели для расчета ковариаций ошибок прогноза; вводимые упрощения основаны на методе расщепления по физическим процессам, свойствах вертикальных нормальных мод модели и квазигеострофическом приближении.

Предложен новый адаптивный алгоритм усвоения данных, основанный на теории фильтра Калмана; алгоритм позволяет произвести уточнение матрицы ковариаций ошибок прогноза, вычисленной в субоптимальном алгоритме с помощью упрощенной модели, а также оценить ошибки прогностической модели по данным наблюдений.

2. Проведено аналитическое исследование свойств алгоритма усвоения метеорологических данных, основанного на фильтре Калмана.

Получены оценки асимптотического поведения алгоритма усвоения метеорологических данных, основанного на фильтре Калмана, со временем в зависимости от свойств динамической системы, ошибок наблюдений и прогностической модели; дана оценка применимости в задаче усвоения метеорологических данных субоптимальных фильтров.

Получены уравнения для описания ковариаций ошибок прогноза в однородном изотропном случае при условии соленоидальности вектора скорости ветра.

3. С помощью вычислительных экспериментов с имитируемой и фактической метеорологической информацией показана эффективность предложенных в работе методов математического моделирования в задаче усвоения данных метеорологических наблюдений. Эксперименты проводились с региональной моделью атмосферы, основанной на полных уравнениях и бароклинной полусферной квазигеострофической моделью атмосферы.

Проведенные численные эксперименты по прогнозированию ансамблей позволили оценить точность упрощенных моделей для вычисления ковариаций ошибок прогноза в субоптимальных алгоритмах усвоения. Расчеты показали, что предлагаемые упрощенные модели позволяют вычислять ковариационные матрицы ошибок прогноза и могут быть использованы в процедуре усвоения данных метеорологических наблюдений.

С помощью численных экспериментов с бароклинной региональной моделью атмосферы показано, что субоптимальный алгоритм усвоения, основанный на фильтре Калмана, имеет преимущество по сравнению с традиционной системой усвоения, основанной на цикле прогноз-анализ. Показано с помощью численных экспериментов, что предлагаемый адаптивный алгоритм является эффективным и позволяет избежать "расходимости"процедуры усвоения, основанной на фильтре Калмана.

4. Разработанные численные алгоритмы реализованы в виде комплекса прикладных программ, предназначенных для решения задач восстановления метеорологических полей по данным наблюдений. С помощью созданного комплекса программ решен большой круг важных в научном и практическом плане задач математического моделирования процессов в атмосфере.

Проведенное сравнение результатов, полученных с помощью разработанного комплекса программ, с данными наблюдений и данными анализов и прогнозов ведущих прогностических центров мира подтвердило достоверность полученных результатов. Это дает основание сделать вывод о возможности использования алгоритмов и комплекса программ для решения задач моделирования процессов в атмосфере, океане а также для задач охраны окружающей среды.

1. Алдухов О.А. Комплексный контроль аэрологических данных ПГЭП уровня 1.. - Метеорология и гидрология, 1983, N12, с.94-103.

2. Анцыпович В.А. Комплексный контроль геопотенциала и температуры на стандартных изобарических поверхностях. Труды Гидрометцентра СССР, 1980, вып.217, с.67-82.

3. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. Москва, Наука, 1971.

4. Багров А.Н. Оперативная схема объективного анализа аэрологической информации для Северного полушария. труды Гидрометцентра СССР, 1978, вып. 196, с.3-30.

5. Багров А.Н., Локтионова Е.А. Восполнение недостающих данных геопотенциала и температуры на уровнях 300 и 10 мб. Труды Гидрометео-центра СССР, 1978, вып.212, с.42-46.

6. Багров А.Н., Локтионова Е.А. Оперативная схема объективного анализа барической топографии по данным аэрологического и спутникового зондирования атмосферы. Метеорология и гидрология, 1982, N9, с.25-33.

7. Багров А.Н., Гордин В.А., Цырульников М.Д. Оперативная схема объективного анализа в тропосфере и стратосфере. Метерология и гидрология, 1990, N8, с.37-45.

8. Балакришнан А.В. Теория фильтрации Калмана. Москва, Мир, 1988, 168 с.

9. Беллман Р. Введение в теорию матриц. Москва, Наука, 1969, 368 с.

10. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. Москва, Наука, 1982, 257 с.

11. Вейль И.Г., Кордзахия Г.И., Машкович С.А., Сонечкин Д.М. Численные эксперименты по четырехмерному анализу на основе динамико-статистического подхода. Метеорология и гидрология, 1975, №7, с.11-19.

12. Гандин J1.C. Объективный анализ метеорологических полей. J1., Гид-рометеоидат, 1963, 287 с.

13. Гандин JI.C. Четырехмерный анализ метеорологических полей. JI.: Гид-рометеоиздат, 1976. - 61 с.

14. Гордин В.А. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Вычислительные аспекты. J1.: Гидрометеоиздат, 1987. - 264 с.

15. Дымников В.П., Контарев Г.Р. Объективный анализ поля геопотенциала с помощью собственных функций динамического оператора. В кн.: Статистические методы в метеорологии. 4.1, Новосибирск, ВЦ СО РАН СССР, 1969, с.123-138.

16. Дымников В.П. О связи естественных ортогональных составляющих полей метеоэлементов с собственными функциями динамических операторов. Известия АН СССР, сер.ФАО, 1988, том 24, №7, с.675-679.

17. Каленкович Е.Е., Пененко В.В. Численная схема прогноза полей метеоэлементов для Северного полушария. В кн.: Численные методы решения задач прогноза погоды и общей циркуляции атмосферы. Новосибирск, 1970, с.7-42.

18. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва, Наука, 1976, 576 с.

19. Ким В.Ф. Некоторые результаты численного эксперимента по квазигео-строфической модели прогноза геопотенциала на полусфере.- Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1968, т.4, N2, с. 115-124.

20. Климова Е.Г. Методика усвоения данных метеонаблюдений на основе обобщенного субоптимального фильтра Калмана. Метеорология и гидрология, 1997, №11, с.55-65.

21. Климова Е.Г. Асимптотическое поведение схемы усвоения метеорологических данных, основанной на алгоритме фильтра Калмана. Метеорология и гидрология, 1999, №8, с.55-65.

22. Климова Е.Г. Упрощенные модели для расчета ковариационных матриц в алгоритме фильтра Калмана. Метеорология и гидрология, 2000, №6, с.18-30.

23. Климова Е.Г. Модель для расчета ковариаций однородных изотропных случайных полей ошибок прогноза. Метеорология и гидрология, 2001, №10, с.24-33.

24. Климова Е.Г. Модель для расчета ковариаций ошибок прогноза в алгоритме фильтра Калмана, основанная на полных уравнениях. Метеорология и гидрология, 2001, №11, с.11-21.

25. Климова Е.Г. Численные эксперименты по усвоению метеорологических данных с помощью субоптимального фильтра Калмана. Метеорология и гидрология, 2003, №10, с.54-67.

26. Климова Е.Г. Методика усвоения данных наблюдений на основе адаптивного субоптимального фильтра Калмана. Математические методы в геофизике. Труды Международной конференции, часть II, Новосибирск, 2003, с.400-404.

27. Климова Е.Г. Алгоритм усвоения данных наблюдений на основе адаптивного субоптимального фильтра Калмана. Метеорология и гидрология, 2005, №3, с.24-35.

28. Климова Е.Г., Воронина П.В. Модификация модельных корреляционных функций в схеме многоэлементного объективного анализа для Сибирского региона. Метеорология и гидрология, 1994, №1, с. 18-24.

29. Климова Е.Г., Ривин Г.С. О решении уравнения Булеева-Марчука. Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1978, т.15, N4, с.368-383.

30. Климова Е.Г., Ривин Г.С. О краткосрочном прогнозе погоды на полусфере по квазигеострофической модели. Труды ЗСРНИГМИ, 1979, вып.45, с.34-36.

31. Климова Е.Г., Ривин Г.С. Численные эксперименты по четырехмерному анализу с квазигеострофической моделью атмосферы. Труды ЗапСиб-НИИ, 1981, вып.53, с.53-59.

32. Климова Е.Г., Ривин Г.С. Уточнение первого приближения для численного анализа метеорологических полей. Метеорология и гидрология, 1985, №10, с.29-36.

33. Климова Е.Г., Ривин Г.С. Схема численного трехмерного многоэлементного анализа для Сибирского региона. Метеорология и гидрология, 1992, №3, с.16-23.

34. Климова Е.Г., Ривин Г.С. Численный анализ метеоданных. Изд. ИВТ СО РАН, Новосибирск. В кн.: "Вычислительные технологии", т.1, №3, 1992, с.235-240.

35. Климова Е.Г., Ривин Г.С. Восстановление полей метеоэлементов по данным наблюдений. Изд. ИВТ СО РАН, Новосибирск. В кн.: "Вычислительные технологии", т.2, №4, 1993, с.111-116.

36. Климова Е.Г., Ривин Г.С. Объективный анализ метеоданных на полусфере. Изд. ИВТ СО РАН, Новосибирск. В кн.: "Вычислительные технологии", т.2, №7, 1993, с.156-164.

37. Климова Е.Г., Ривин Г.С. Система усвоения метеоданных для Сибирского региона: численные эксперименты с реальными данными. Метеорология и гидрология, 1996, №12, с. 19-26.

38. Климова Е.Г., Ривин Г.С. Задача усвоения данных метеорологических и аэрозольных наблюдений. Химия в интересах устойчивого развития, 2002, №10, с.601-608.

39. Кондратьев К.Я. Влияние использования данных зондирования атмосферы со спутников на оправдываемость краткосрочного прогноза погоды. В кн.: Итоги науки и техники. Метеорология и климатология,т.5, М., ВИНИТИ, 1979.

40. Крупчатников В.Н., Крылова А.И. Численное моделирование распределения метана по данным наблюдений на поверхности Земли. Оптика атмосферы и океана, 2000, 13, №6-7, с.622-626.

41. Курбаткин Г.П., Зулунов С.М. Исследование проблемы геострофической адаптации метеорологических полей на сфере. Новосибирск, 1980. -34с. (Препринт /ВЦ СО АН СССР: 221).

42. Курбаткин Г.П., Зулунов С.М. Геострофическое согласование метеорологических полей с помощью собственных решений линеаризованной системы полных уравнений. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1982. т.13, N2, с.82-97.

43. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Москва, Наука, 1986, 736 с.

44. Либерман Ю.М. Параметры статистического контроля вертикальных профилей геопотенциала и температуры. Труды ЗапСибНИГМИ, 1978, вып.296 с.62-67.

45. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды, Гидрометеоиздат, Ленинград, 1967, 356 с.

46. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. - 319 с.

47. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. -535 с.

48. Марчук Г.И., Курбаткин Г.П. и др. Оперативная квазигеострофическая схема краткосрочного прогноза погоды для пяти уровней атмосферы. -Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1965, т.1, N1, с.119-135.

49. Марчук Г.И., Контарев Г.Р., Ривин Г.С. Краткосрочный прогноз погоды по полным уравнениям для ограниченной территории. Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1967, т.З, N11, с.1166-1178.

50. Машкович С.А. О четырехмерном анализе данных наблюдений. Метеорология и гидрология, 1971, N11, с.97-102.

51. Машкович С.А. О многоэлементном объективном анализе метеорологических элементов. Метеорология и гидрология, 1980, N5, с.5-14.

52. Машкович С.А. Многоэлементный трехмерный объективный анализ метеорологических величин. Метеорология и гидрология, 1988, N12, с. 1424.

53. Медведев С.Б. Инициализация региональной модели атмосферы с использованием вариационного метода. Метеорология и гидрология, 1998, №6, с.35-44.

54. Монин А.С. Прогноз погоды как задача физики. Москва, Наука, 1969, 184 с.

55. Монин А.С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1988, 424 с.

56. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Часть 2. Москва, Наука, 1967, 720 с.

57. Образцов Н.Н. Процедура быстрого преобразования Фурье, (инв. номер П-001147).- Инф. бюлл.ВНТИЦ Алгоритмы и программы, 1975, N2, с.12.

58. Окиншевич Р.И., Ривин Г.С., Уразалина З.К. Об оценке результатов численных экспериментов. Труды ЗСРНИГМИ, 1978, вып. 29, с.85-91.

59. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1981, 351 с.

60. Пененко В.В. Системная организация математических моделей для задач физики атмосферы, океана и охраны окружающей среды. Новосибирск, 1985, 43 с. (Препринт/АН СССР, Сиб. отделение, ВЦ; 619).

61. Пененко В.В. Теоретические основы совместного использования данных наблюдений и моделей для исследования процессов гидротермодинамики и переноса примесей в атмосфере. Оптика атмосферы и океана, 1999, т.12, N5, с.485-462.

62. Пененко В.В., Образцов Н.Н. Вариационный метод согласования полей метеорологических элементов Метеорология и гидрология, 1976, N11, с.3-16.

63. Пененко В.В., Образцов Н.Н. Вариационно-разностный метод объективного анализа Метеорология и гидрология, 1978, N6, с. 15-25.

64. Пененко В.В., Ривин Г.С. Полная проблема собственных значений яко-биевой матрицы. В кн.: Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск, ВЦ СО РАН СССР, 1969, с. 62-68.

65. Ривин Г.С. Численное моделирование фоновых атмосферных процессов и проблема переноса аэрозолей в Сибирском регионе. Оптика атмосферы, 19966 т.9, т, с.780-785.

66. Ривин Г.С., Бузова З.С., Смирнова А.И. Оперативная схема численного анализа для Сибирского региона. Метеорология и гидрология, 1990, N4, с.42-49.

67. Ривин Г.С., Климова Е.Г., Слуднов А.В. Изучение усвоения дополнительной метеорологической информации с помощью численных экспериментов типа близнецов и кузенов. В кн.: Математические модели атмосферных движений. Новосибирск, ВЦ СО РАН, 1980, с.100-113.

68. Ривин Г.С., Климова Е.Г., Медведев С.Б., Фомин В.М., Воронина П.В., Куликов А.И. Математическое моделирование процессов в атмосфере для проведения экологических экспертиз. В кн: Математические проблемы экологии. Новосибирск, ИМ СО РАН, 1994, с.90-95.

69. Ривин Г.С., Медведев С.Б. Гидродинамическая модель атмосферы для региона с применением метода расщепления. -Метеорология и гидрология, 1995, №5, с.13-22.

70. Ривин Г.С., Слуднов А.В. Модули доступа к данным DST-6 и ПГЭП на ЭВМ ЕС. Препринт ОВМ АН СССР, Москва, 1982, N29, 23 с.

71. Ривин Г.С., Сакулин В.Н., Слуднов А.В. Банк данных DST-6 и доступ к нему на ЭВМ серии ЕС. Новосибирск, 1980. - 26 с. (Препринт/ВЦ СО АН СССР: 240).

72. Саркисян А.С. Моделирование динамики океана. Санкт-Петербург, Гидрометеоиздат, 1991, 259 с.

73. Сонечкин Д.М. Обоснование четырехмерного (непрерывного) усвоения данных метеорологических наблюдений на основе динамико-стохастического подхода. Метеорология и гидрология, 1973, Ng4, с. 13-20.

74. Сонечкин Д.М. Динамико-стохастический подход к задаче объективного анализа данных разнородных метеорологических наблюдений. Труды Гидрометцентра СССР, 1976, вып. 181. с.54-76.

75. Толстых М.А. Полулагражева модель атмосферы с высоким простран-ственым разрешением для численного прогноза погоды. Метеорология и гидрология, 2001, №4, с.5-16.

76. Уилкинсон Д., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. М., Машиностроение, 1976, 389 с.

77. Филатов А.Н., Шершков В.В. Асимптотические методы в атмосферных моделях. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1988, 270 с.

78. Цырульников М.Д., Толстых М.А., Багров А.Н. Зарипов Р.Б. Развитие глобальной системы усвоения данных с переменным разрешением. Метеорология и гидрология, 2003, №4, с.5-24.

79. Шокин Ю.И., Ривин Г.С, Хакимзянов Г.С., Чубаров Л.Б. Вычислительный эксперимент как инструмент для исследования природных явлений.- Вычислительные технологии, 1992, т. 1, № 3, с. 12 33.

80. Bengtsson L. Four-dimensional asimilation of meteorological observations.-GARP Publ. Ser., 1975, N15, 76 p.

81. Bengtsson L., Kanamitsu M., Kallberg P., Uppala S. FGGE 4-dimensional data assimilation at ECMWF. Bui. of Amer.Met.Soc., 1982, v.63, N1, p.29-43.

82. Bergman K.H. Multivariate analysis of temperatures and winds using optimum interpolations. Monthly Weather Review, 1979, v. 107, N11, p. 1423-1444.

83. Bergman K.H. Role of observational errors in optimum interpolation analysis.- BAMS, 1978, v.59, N12, p.1603-1611.

84. Bergtorsson P., Doos B.R. Numerical weather map analysis. Tellus, 1955, 7, p.329-340.

85. Bermejo R., Staniforth A. The conversion of semi-lagrangian advection scheme to quasi-monotone scheme. Monthly Weather Review, 1992, v.120, p.2622-2632.

86. Blanchet I., Frankignoul C. A comparison of adaptive Kalman filters for a Tropical Pacific Ocean Model. Short-term dynamics of forecast error covariances. - Monthly Weather Review, 1997, v. 125.

87. Blumen W. Geostrophic ajustment. Rev. of Geoph. and Space Phys. - 1972. -Vol.10, /No2, p.485-528.

88. Bratseth A.M. Statistical interpolation by means of successive corrections. -Tell us, 1986, 38A, p.439-447.

89. Catz G.J. A method for solving a system of linear equations efficiently in order to optimize the analysis code: operational implementation. ECMWF Technical Memorandum, 1981, N33.

90. Cohn S.E. Short-term dynamics of forecast error covariances. In: Proceedings of ECMWF, Workshop "Variational assimilation, with special emphasis on three-dimensional aspects". - Nov. 9-12, 1992, p.157-170.

91. Cressman G.P. An operational objective analysis system. Monthly Weather Review, 1959, 87, p.367-374.

92. Courtier P., Talagrand 0. Variational assimilation of meteorological observations with the direct and adjoint shallow-water equation. Tellus, 1990, JVM2A, p.531-549.

93. Daley R., Menard R. Spectral characteristics of Kalman filter systems with application to the equatorial beta-plane. Proceedings of a Workshop

94. Variational assimilation, with special emphasis on three-dimensional aspects", ECMWF, June 1993, p.207-235.

95. Data asimilation methods. Seminar 1980. ECMWF, 1981, 454 p.

96. Dee D.P. Simplification of the Kalman filter for meteorological data assimilation. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, v. 117, 1991. P.365-384.

97. Dee D.P., Cohn S.E., Dalcher A., Ghil M. An efficient algorithm for estimating noise covariances in distributed systems. IEEE Transactions on automatic control, 1985, v. AC-30, No.ll, p. 1057-1065.

98. Le Dimet F.-X., Talagrand O. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological observations. Tellus, №38A, 1986. P. 97-110.

99. ECMWF data assimilation. Research manual, 1983, N1, 103 p.

100. Ehrendorfer M., Tribbia J. Optimal prediction of forecast error covariances throuh Singular Vectors. Journal of the Atmospheric Sciences, 1997, v. 54, p.286-313.

101. Fisher M., Andersson E. Development in 4D-Var and Kalman Filtering. -Technical Memorandum No.357, ECMWF, Reading, England, 2001, 36 p.

102. Forester C.K. Higher oder monotonic convective difference schemes. J. of Computational Physics, 1977, vol.23, p.1-22.

103. Jazwinski А.Н. Stochastic processes and filtering theory. Academic Press, New York, 1970, 377 p.

104. Jazwinski A.H. Adaptive filtering. Automatica, 1969, vol.5, p.475-485.

105. Heemink A.W., Segers A.J. Modeling and prediction of environmental data in space and time using Kalman filterin. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, 2003, 16, p.225-240.

106. Hollingsworth A. Objective analysis for numerical weather prediction. In: Short- and medium-range numerical weather prediction. Collection of papers presented at the WMO/IUGG NWP Symposium, Tokio, 4-8 August 1986. Tokyo, 1988, p.11-61.

107. Houtekamer P.L., Mitchell H.L. Data assimilation using an ensemble Kalman Filter Technique. Monthly Weather Review, 1998, v. 126, p.796-811.

108. Ghil M. Meteorological data assimilation for oceanographers. Part I: description and theoretical framework. Dynamics of Atmospheres and Oceans, 1989, v.13, N 3-4, p.171-218.

109. Ghil M., Malanotte-Rizzolli P. Data assimilation in meteorology and oceanography. In: Advances in Geophysics, v. 33, Academic Press, 1991, p.141-266.

110. Ghil M., Todling R. Tracking atmospheric instabilities with the Kalman filter. Part II: Two-layer results. Monthly Weather Review, v.122, 1994, p.2340-2352.

111. Kalnay E., Park S.K., Pu Z., Gao J. Application of quasi-inverse method to data assimilation. Monthly Weather Review, v. 128, 2000, p.864-878.

112. Kalnay Е. Atmospheric modelling, data assimilation and predictability. -Cambridge, University Press, 2003, 341 p.

113. Kalnay E., Hunt B.R., Kostelich E.J., Ott E., Patil D.J., Sauer Т., Szunyogh I., Yorke J.A., Zimin A.V. Four-dimensional ensemble Kalman filtering. -Tellus, 2004, 56A, pp.273-277.

114. Keppenne C.L., Rienecker M.R. Initial testing of a massive parallel ensemble Kalman filter with the Poseidon Isopycnal Ocean General Circulation Model.- Monthly Weather Review, v. 130, 2002, p.2951-2965.

115. Klimova E.G. Estimation of a state of an environment by the use of the observations and mathematical models. In: Air Pollution Processes in Regional Scale, NATO Science Series, IV. Earth and Enviromental Sciences- Vol.30,2003, p.185-190.

116. Lermusiaux P.E.J., Robinson A.R. Data assimilation via error subspace statistical estimation. Part I: Theory and schemes. Monthly Weather Review, 1999, v. 127, p.1385-1407.

117. Li Y. A note on the uniqueness problem of variational adjustment approach to four-dimensional data assimilation. Journal of Meteorological Society of Japan, 1991, v.69, N5, p.581-585.

118. Lorenc А.С. A global three-dimensional multivariate statistical interpolation scheme. Monthly Weather Review, 1981, v. 109, N4, p.701-721.

119. Lorenc A.C. Analysis methods for numerical weather prediction. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 1986, 112, p.1177-1194.

120. Lorenc A.C. Optimal nonlinear objective analyses. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 1988, v. 114, p.205-240.

121. Lorenc A.C., Bell R.S., Macphersson B. The Meteorologocal office analysis correction data assimilation scheme. Optimal nonlinear objective analyses. - Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 1991, v.117, p.59-89.

122. Lorenc A., Rutherford I., Larsen G. The ECMEF analysis and data assimilation scheme analysis of mass and wind fields. - Technocal Report N6, 1976, ECMWF. -45p.

123. Manabe S., Holloway I.L., Spellman M.I. GFDL global 9-level atmospheric model. In: Modelling for the first GARP global experiment- GARP Publ.Ser., 1974, N14, p.7-26.

124. McPherson R.D., Bergman K.H., Kistler R.E., Rash G.E., Gordon D.S. The NMC operational global data assimilation system. Monthly Weather Revier, 1979, v.107, N11, p.1445-1461.

125. Mitchell H.L., Houtekamer P.L. An adaptive ensemble Kalman filter. -Monthly Weather Review, 2000, v. 128, p.416-433.

126. North G.R. Empirical ortogonal function and normal modes, Journal of the Atmospheric Sciences, 1984, v.41, N5, p.879-887.

127. Ogorodnikov V.A., Protasov A.V. Dynamic probabilistic model of atmospheric processes and variational methods of data assimilation. -Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1997, Vol.12, N5, p.461-479.

128. Phillips N.A. On the completness of multivariate optimum interpolation for large-scale meteorological analysis. Monthly Weather Review, 1982, v. 110, N 10, p.1329-1334.

129. Phillips N.A. The spatial statistics of random geostrophic modes and first-guess errors. Tellus, 1986, vol.38A, p.314-332.

130. Penenko V.V. Some aspects of mathematical modeling using the models together with observational data. Bull.Nov.Сотр.Center, Num.Model, in Atmosph., etc., 1996, N4, p.31-52.

131. Platov G.A., Golubeva E.N. The Japan Sea circulation modelling with data assimilation and analysis of deep water strucrure. Математические методы в геофизике. Труды Международной конференции, часть II, Новосибирск, 2003, с.374-379.

132. Rabier F., J-N Thpaut, Courtier P. Extended assimilation and forecast experiments with a four-dimensional variational assimilation system, Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 1998, 124, p. 18611887.

133. Research Activities in Atmospheric and Oceaning Modelling fed. A. Staniforth. 1995, Rep. 21, WMO/TD-No.665.

134. Rivin G.S. Modern computational technologies for the estimaton of atmospheric processes on regional scales. In: Air Pollution Processes in Regional Scale, NATO Science Series, IV. Earth and Enviromental Sciences - Vol.30,2003, p.241-248.

135. Rutherford I. An operational multi-variate statistical objective analysis scheme. In: The GARP Programme on Numerical Experimentation. Rep. N11, p.98-121.

136. Sasaki Y. An objective analysis based on the variational method. -J.Meteor.Soc.Japan, 1958, 36, p.77-88.

137. Shlatter T.W. Some experiments with a multivariate statistical optimum interpolation. Monthly Weather Revie, 1975, v.103, N3, p.246-257.

138. Schlatter T.W., Branstator G.W. Estimation of errors in Nimbus-6 temperature profiles and their spatial correlation. Monthly Weather Review, 1979, v.107, N10, p.1402-1413.

139. Shutyaev V. Data assimilation for the time-dependent transport problem.-Evolution equations: existence, regularity and singularities, Banach center publications, vol.52, Institute of mathematics Polish Academy of Sciences, Warshawa, 2000, p.213-220.

140. Shutyaev V. Some properties of the control operator in the problem of data assimilation and iterative algorithms. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1995, N10, p.357-371.1. Литература 233

141. Talagrand О., Courtier P. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equation. I: Theory. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 1987, 113, p.1311-1328.

142. Todling R., Cohn S. Suboptimal shemes for atmospheric data assimilation based on the Kalman filter. Monthly Weather Review, 1996, v. 124, p.2530-2557.

143. Tsyroulnicov M.D. Model-error models: identification and estimation. -EGS-AGU-EGU Joint Assembly, Nice, France, 6-11 April 2003.

144. Tsyroulnicov M.D. An isotropy-like property of meteorological fields. -Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 2000, 126, p. 1-10.151. http://gmao.gsfc.nasa.gov152. http://www.ecmwf.int