автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Динамические модели случайных процессов со стационарными приращениями

На правах рукописи

КАЛАДЗЕ Владимир Александрович

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

005061342

1 0 !""'! / "11 ! ■ : ¿'лО

Воронеж-2013

005061342

Работа выполнена в НОУ ВПО «Международный институт компьютер-;

ных технологий».

Официальные оппоненты: Алексеев Владимир Витальевич, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет», профессор кафедры информационных систем и1 защиты информации;

Буховец Алексей Георгиевич, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный университет», профессор кафедры прикладной математики и математических методов в экономике;

Жиляков Евгений Георгиевич, доктор технических наук, профессор, НИУ «Белгородский государственный университет», заведующий кафедрой информационно-телекоммуникационных систем и технологий.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)»

Защита диссертации состоится «27» июня 2013 г. в 11:00 на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 при Воронежском государственном техническом университете по адресу: 394026 г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного технического университета.

Автореферат разослан «27» мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема математического моделирования нестационарных случайных процессов возникает в задачах исследования сложных систем, под которыми понимаются эволюционирующие системы в условиях неполной и статистически неопределённой информации.

Научно-технические работы по математическому моделированию нестационарных случайных процессов в основном не используют конкретную классификацию таких процессов, лишь отрицая их стационарность и указывая на зависимость их параметров от времени. Далее постановка задачи оценивания процессов упрощается до признания их реализаций однородными на интервалах исследований и они исследуются как эргодические процессы без учёта нестационарных особенностей исходных процессов.

Методология моделирования, разработанная в каждой предметной области, всегда выделяется в самостоятельное научное направление, основанное на интеграции поставленных задач и методов смежных дисциплин. Математическое моделирование динамических случайных процессов представляет собой самостоятельное научное направление, основанное на интеграции задач и методов теории случайных процессов, математической статистики, математической теории систем и разностных схем, статистической поисковой оптимизации и вычислительной математики. Для эффективного решения проблемы математического моделирования нестационарных случайных процессов следует учитывать причину возникновения этих процессов, которая связана с исследованиями движения сложных объектов, в биологических и социальных системах, в ГИС, т.е. с исследованием сложных эволюционирующих систем.

Математическое описание нестационарных случайных процессов в условиях статистической определённости к данному моменту хорошо разработано для случая, когда случайный процесс представляет собой отклик линейной динамической системы первого порядка, искажённый несвязным гауссовским шумом. Оптимальной моделью для этих условий является фильтр Калмана, использующий статистически определённую информацию и основанный на учёте ковариационных взаимодействий в последовательности наблюдаемых величин. Но при нарушении указанных условий фильтр Калмана расходится.

В диссертационной работе сформулирована и разрешена актуальная проблема формирования и исследования математических моделей динамических случайных процессов, описывающих поведение сложных эволюционирующих систем в условиях статистической неопределённости результатов наблюдений.

Поэтому становится актуальным развитие аппарата математического моделирования, преобразующего скалярную наблюдаемую информацию в адекватное описание многомерной системы, генерирующей данный процесс.

Для решения этой проблемы в настоящей работе была предложена и реализована методология формализации семейства динамических предикторных моделей с модульной структурой, относящихся к классу алгоритмических моделей. Реализация динамических моделей представляет собой актуальное ре-

шение задачи численной аппроксимации поведения сложных систем в режиме реального времени. Научное направление диссертационной работы актуально, поскольку продиктовано необходимостью разработки единой научной базы создания математических моделей важного класса динамических случайных процессов, отражающих поведение эволюционирующих сложных систем в условиях текущей информационной неопределённости.

Научно-теоретической основой данного исследования послужили труды: в стохастической динамике - К.Ито, Р.Калмана, В.С.Пугачёва, И.П.Бусленко, которые, в свою очередь, опирались на работы А.Эйнштейна, М.Смолуховского и П„Ланжевена в исследованиях броуновского движении и диффузионных процессов; математического моделирования нестационарных случайных процессов и сложных систем в условиях информационной неопределённости с применением компьютерных технологий - В.С.Пугачёва, Л.А.Растригина, Я.З.Цыпкина; формализации алгоритмических моделей — С.В.Емельянова; в классификации, исследовании нестационарных случайных процессов и эволюции объектов -А.Н.Колмогорова, А.МЛглома, А.С.Монина, В.И.Татарского.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с научным направлением НОУ ВПО Международного института компьютерных технологий «Программные модели и системы: программные средства информационно-аналитического описания объектов в системах идентификации и навигации».

Цель исследования. Целью диссертационной работы является разработка каскадного подхода к синтезу динамических моделей случайных процессов со стационарными приращениями для обеспечения адекватности моделей.

Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Изучение, анализ и теоретическое обобщение известных задач и методов математического моделирования нестационарных случайных процессов.

2. Разработка целостного научно-методологического подхода в формировании математического описания случайных процессов со стационарными приращениями, содержащих информацию о поведении сложных систем.

3. Формализация семейства динамических моделей, с выводом, в ходе доказательства основных утверждений, их структуры в составе каскадного фильтра, распараллеливающего измеряемую информацию, и динамического ядра, реконструирующего многомерную динамику сложной системы.

4. Анализ конфигурации динамических предикторных моделей, исследование каскадного фильтра, его уровней и модулей динамического ядра.

5. Разработка процедуры последовательного дифференцирования по скалярной последовательности статистически искажённых данных.

6. Определение порядка статистической модели, адекватного порядку случайного процесса со стационарными приращениями.

7. Разработка математического описания динамики случайного процесса с использованием его инерционности.

8. Разработка адаптивных методов статистической поисковой глобальной оптимизации необходимых для параметрической настройки моделей.

9 Обоснование эффективности полученных моделей. Разработка предметно-ориентированного программного комплекса вычислительного эксперимента для исследования свойств и предметной области разработанных моделей.

10. Разработка алгоритмических и программных средств на основе результатов, полученных в диссертации, для внедрения в производство.

Методы исследования. Выполненные теоретические и экспериментальные исследования базируются на использовании методов и теории математического моделирования, теории случайных процессов, вероятности и математической статистики, математической теории систем, математического и функционального анализа, вычислительной математики и поисковой оптимизации.

Тематика работы соответствует п. 1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»; п. 3 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ»; п. 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; п. 7 «Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели» паспорта специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

Научная новизна. Получены результаты, характеризующиеся научной

новизной:

• Теоретически и экспериментально обоснованный методологический принцип формирования динамических моделей случайных процессов со стационарными приращениями, определяющий новое научное направление, отличающийся использованием каскадной архитектуры при построении моделей, что позволяет описывать динамику случайных процессов и сложных систем.

• Семейство новых математических динамических моделей, отличающихся наличием каскадного фильтра и динамического ядра, что позволяет реконструировать многомерную структуру сложной системы по скалярной реализации случайного процесса.

• Динамическое ядро как многоуровневая структура, представленное набором рекуррентных алгоритмов, восстанавливающее вектор многомерного фазового пространства сложной системы.

• Аналитический фильтр, предназначенный для оценивания структурного вектора динамического случайного процесса по его скалярной реализации, основанный на каскадном подходе в соответствии с групповым свойством операторов, с использованием эффективного преобразования, обладающего свойствами фильтрации и динамики одновременно.

• Численная процедура последовательного дифференцирования, работающая на скалярной последовательности статистически искаженных данных, с использованием динамической модели на основе каскадной фильтрации.

• Новый способ определения порядка статистических моделей, отличающийся процедурой сравнения структурных и ковариационных функций,

обеспечивающий совпадение с истинным порядком функции математического ожидания динамического процесса.

• Новый способ статистического описания динамики случайного процесса, обеспечивающий снижение вычислительной сложности процедуры моделирования динамики, отличающийся использованием оригинальной кросс-структурной функции, определяющий статистическую и инерционную взаимосвязь между последовательными приращениями случайного процесса.

• Новый численный метод адаптивного случайного поиска, отличающийся обучением распределения вероятностей в пробном анализе, используемый для настройки параметров каскадного фильтра в условиях глобального оптимума.

Практическая значимость работы заключается в разработанных и компьютерно реализованных методиках математического моделирования динамических случайных процессов, в теоретическом и экспериментальном определении свойств динамических моделей и предметной области их функционирования, в алгоритмическом и программном обеспечении разработанных методик, а также в инструментальных средствах, представляющих собой процедуры и исследовательские технологии вычислительного эксперимента.

Разработан предметно-ориентированный программный комплекс, отличающийся универсальностью области применения и позволяющий проводить исследования в широком круге прикладных задач моделирования стохастической динамики и поисковой статистической оптимизации.

Результаты практических применений подтверждают, что разработанные модели, методы и алгоритмы позволяют получать эффективные оценки поведения сложных систем по реализациям динамических случайных процессов. Основные результаты диссертационной работы алгоритмически и программно представлены в производственных системах оценки качества продукции, контроля и управления персоналом и оперативного оценивания неизмеряемых параметров. Результаты работы востребованы в вузовском и послевузовском образовании и входят в лекции и лабораторные практикумы, учебные пособия и методики послевузовского образования, представлены в докладах и статьях аспирантов, связанных с математическим моделированием, исследованием операций, поисковой оптимизацией и программной реализацией результатов.

Внедрение результатов работы.

Имеются следующие реализации результатов диссертационной работы:

Результаты НИОКР «Разработка эффективной методики расчета моментов смены режущего инструмента на станках с ЧПУ» (исполнитель к.т.н., с.н.с. Каладзе В. А.), основанной на разработанной динамической модели, прошли опытную эксплуатацию и приняты к внедрению в виде подсистемы системы контроля качества на ОАО «АГРОЭЛЕКТРОМАШ», г. Воронеж.

Результаты ОКР «Разработка алгоритмического и программного обеспечения для персональной идентификации собеседника по аудиозаписи в зашум-лённой среде» (руководитель разработки к.т.н., с.н.с. Каладзе В. А.), исполь-

зующей каскадную фильтрацию и разработанную динамическую модель, после испытаний в НПО ООО «Апогей», г. Воронеж, включены в программное обеспечение изделия «Голосовой распознаватель переговоров в кабине тепловоза».

Результаты диссертационного исследования используются в учебном процессе Международного института компьютерных технологий при подготовке инженеров по специальности «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», бакалавров и магистров направления «Информатика и вычислительная техника» и аспирантов по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

На программный комплекс «Предметно-ориентированная среда алгоритмического моделирования динамики нестационарных случайных процессов», для проведения компьютерных исследований по теме диссертации получено Свидетельство о государственной регистрации Федеральной службой по интеллектуальной собственности.

Копии актов о внедрении и Свидетельство о государственной регистрации программного комплекса помещены в Приложении 1.

Апробация работы. Основные результаты исследований по теме диссертации были доложены на международных и всероссийских конференциях: на VII международной конференции «Современные сложные системы управления CCCy/HTCS '2005» (Воронеж, 2005); 2-й международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007); Международной научной конференции «Компьютерные технологии в технике и экономике» (Воронеж, 2007); 6, 7, 8, 9, 10, И, 12-й международной конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии» (Воронеж, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012); 21-й международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2008); Всероссийской научно-практической конференции «Информатизация образования. Информационные технологии в АСУ» (Воронеж,

2008); Международной научно-технической конференции «Информационные и управляющие системы в пищевой и химической промышленности» (Воронеж,

2009); Всероссийская конференция «Интеллектуальные информационные системы» (Воронеж, 2009); Международной научной конференции «Информационные технологии в связи, вычислительной технике и энергетике» (Воронеж,

2010); Всероссийской конференции «Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах» (Москва-С-Петербург-Воронеж, 2010); 1-й Всероссийской конференции «Критические технологии вычислительных и информационных систем» (Воронеж, 2011); Всероссийской конференции «Новые технологии в научных исследованиях» (Воронеж, 2011).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 50 печатных работ, из них: 15 статей в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК РФ, 1 монография (изд-во «Lorman, MS, USA: Science Book Publishing House»), 1 Российское Свидетельство о государственной регистрации Федеральной службой по интеллектуальной собственности Программного комплекса.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в автореферате: [5-7,23,36,41,42] - математическая модель; [1-4, 10, 24, 35,40, 43, 46, 49] - методы и алгоритмы моделирования; [34, 44, 47. 50] - проведение вычислительного эксперимента; [44,47, 50] - постановка задачи и алгоритмическое обеспечение программных модулей; в [17-22] - постановка задачи, алгоритмическое обеспечение и программная реализация каскадного фильтра; [10,48,49] - методика проведения инженерных расчётов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, библиографического списка и приложений. Общий объем работы - 320 страниц текста, из них 309 страниц - основное содержание, включая 34 рисунка и 5 таблиц.

Содержание работы. В диссертации обобщены результаты научно-исследовательских работ, выполненных автором по теме исследований, краткое содержание которых приводится далее.

Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулирована цель работы, определены задачи исследований и выносимые на защиту научные положения, обоснована научная новизна, практическая значимость полученных результатов, изложено краткое содержание глав диссертационной работы.

В первой главе в ходе обзора научных работ рассмотрены изначальные способы математического описания статистической динамики в классическом случае непрерывного времени, вытекающие из них задачи оптимальной и субоптимальной фильтрации, а также особенности перехода от непрерывного к дискретному времени в математическом описании случайных процессов. С позиций системного подхода провёден научный анализ современных постановок задач и используемых в настоящее время математических моделей нестационарных случайных процессов (НСП). Составлен краткий исторический обзор по этапам математического моделирования и фильтрации стационарных случайных процессов, связанных с работами А. Лежандра, К. Гаусса, А.Н Колмогорова., Н. Винера, Р.Фишера, АЛ. Хинчина, В.А. Котельникова и др.

Представлены стадии формирования теории стохастической динамики, начиная с уравнения ПЛанжевена до дифференциальных принципов К.Ито, основанных на диффузионности исследуемых случайных процессов. Приведён разработанный РЛ. Стратоновичем теоретический вариант описания стохастической динамики, использующий принцип дискретизации времени.

Приведена постановка классической задачи оптимальной фильтрации динамических по Ито случайных процессов и метод её решения в виде классического фильтра Капмана. Описана задача субоптимальной динамической фильтрации, формирование субоптимальных фильтров и, как пример, описан обобщённый фильтр Калмана-Бьюси. Рассмотрена проблема условно-оптимальной фильтрации и подход к её решению на базе фильтров В.С. Пугачёва.

Исследованы концептуальные особенности фильтра Р. Калмана х,=(1-К1Н,)х1Л + К1у„ К, = Р,Н11С\

где v, - измерения, К, - коэффициент усиления фильтра, а Н> - матрица наблюдений в /-момент времени, PuR-ковариационные матрицы вектора состояния системы и шума соответственно. Показана структурная эквивалентность фильтра Р. Калмана оператору экспоненциальной фильтрации.

Представлены современные эконометрические методы, используемые для математического описания, анализа и прогнозирования временных рядов, в том числе авторегрессионные модели ARMA(p, q) (или АРСС (р, q))

h„=aa+s„+ -

i»i i-i

и ARIMAip, d, q) (или АРПСС (p, d, q))

¡«1 i.i ^ где pi — регулярный тренд, &хп = x„ - xn.\, h„ = Ax„.

Получение значения х„ модели ARIMA(p, d, q) выполняется обратным к оператору Д преобразованием значений h„ модели ARMA(p, q).

Приведена переходная к алгоритмическим моделям, модель Р. Брауна, описывающая поведение временного ряда полиномом до второй степени включительно по переменной t: P{t) = а0 + a,t + а/ с расчётом коэффициентов

а0(/) = 33(0-30(0+ Л(0,

а,(0 = а((б - 5a)S(t) - 2(5 - 4a)Q(l) + (4 - За) R(t))l 2(1 - а)1,

a2(t) = a2 (S(0 - ШО + Я(0)/0 - . по последовательной фильтрации экспоненциального среднего 5(0, 2(0. ДО- и вывод модели методом наименьших квадратов реализованный Брауном.

Представлены основы фундаментальной теории эволюционного движения А.Н. Колмогорова через действие однопараметрического семейства операторов Kst, = KSK„ отвечающего аксиомам теории групп с введением понятия каскада, как динамической системы с дискретным временем.

Описаны введённые А.Н. Колмогоровым два важных понятия: класс случайных процессов со стационарными приращениями, эквивалентных динамическим случайным процессам, и структурная функция - показатель, в отличие от ковариационной, оценивающий характеристики НСП. Использование этого класса нестационарных случайных процессов позволяет, на основе группового закона эволюции, сформировать в дискретном времени математические (алгоритмические) модели динамических случайных процессов, через каскадное представление динамики в условиях статистической неопределённости.

В нестационарных случайных процессах, в отличие от стационарных, отсутствует само понятие генеральной совокупности и фундаментальная основа математической статистики - однородность данных, в связи с чем невозможно применять традиционные статистические методы, в т.ч. операцию среднего арифметического. Следовательно, отсутствует математический аппарат оценивания функции математического ожидания НСП по его реализации.

И возникает необходимость в учёте динамических особенностей данного класса случайных процессов при расчёте их вероятностных характеристик.

На основе проведённого анализа научных источников определены цели дальнейшего исследования, сделан вывод о необходимости построения в алгоритмической форме математических моделей динамических случайных процессов, что позволяет провести реконструкцию многомерного фазового описания сложной системы, генерирующей данный процесс. Решение этих проблем и определяет научное направление настоящего исследования.

Во второй главе исследуется предметная область, вводятся необходимые понятия и обосновывается разрешимость проблемы математического моделирования динамических случайных процессов У(/), содержащих сведения о поведении сложных систем Э в фазовом пространстве состояний IV" \ представляющих собой трудноформализуемые эволюционирующие системы в условиях информационной неопределённости.

Движение сложного объекта, искажённое случайностью, описывается как эволюционное в классе случайных процессов со стационарными приращениями П(/) = П[Г(0] = Г(/)-Г(*-г), (I)

которые описываются разностными схемами и в соответствии с классификацией К. Ито закономерно определяются как динамические случайные процессы (ДСП). При этом они структурировано содержат

Г(г) = *(/) +Н(/)

Х(1) - основную тенденцию У((), как информацию о сложной системе £>.

В данном исследовании основная тенденция (ОТ) процесса рассматривается как сложный эволюционирующий объект, выделение которого на фоне искажающего шума Е(г) проводится по значениям скалярной выборочной функции {>>,}" процесса У(/), измеренной в дискретном времени.

При оценке математического ожидания используется оператор экспоненциального среднего

5,00 = 0-«КцСО + в*. (2)

при 5в -уо и с параметром а е (0,1), настраиваемым как на характеристики искажающего шума Е(Г), так и на динамику основной тенденции Х(1).

В основу исследования колмогоровского класса случайных процессов К(/) со стационарным поведением их приращений П(0 положен структурно-статистический анализ А.Н. Колмогорова, в котором структурная функция

С(/,Г-г) = А/[Г(0-Г(/-г)]2, (3)

характеризует связь как между значениями случайного процесса У(/) так и между значениями его приращения П(/) и оценивает интенсивность их флуктуаций.

Структурная функция более устойчива сравнительно с ковариационной: на точность оценок последней существенно влияет использование оператора среднего арифметического при обработке неоднородных данных. В условиях нестационарности случайных процессов она наиболее приемлемый статистический показатель для практических расчётов.

Математическое описание сложных систем не должно зависеть от начальных условий. Эти задачи в классической постановке считаются необусловленными. В таких условиях востребованы рекуррентные алгоритмические модели t, = ф(у,,У,'->У,-р)> построенные на разностных схемах.

Альтернирование системы рассматривается как ситуация рассогласования между системой и моделью, возникающая после относетельно кратковременного их соответствия, связанная с изменением формы эволюционной закономерности поведения системы, или с неизоморфным её описанием. Моделирование ДСП следует проводить в режиме реального времени, так как с течением времени измеряемая информация меняет своё смысловое содержание, равно как данные, в ней содержащиеся, теряют свою информационную ценность. __

Результатом мониторинга сложной системы является реализация случайного процесса, при этом в измеряемой информации отсутствуют сведения о возмущающих входных факторах. Поэтому модель поведения процесса локально может описываться автономной системой дифференциальных уравнений

dt

В этом случае динамика случайного процесса и системы представима упорядоченным набором характеристик 7 = {/} q " вектором фазового пространства И""1. Фазовое (л+1)-мерное пространство состояний модели, ДСП и сложной системы является общим геометрическим понятием и определяется аналогично пространству дифференциальной системы как риманово пространство с евклидовой метрикой. Поведение ДСП, как функции времени, рассматривается в расширенном фазовом пространстве определяемом в виде

прямого декартового произведения И""1 х Т.

Математическая модель ДСП, основная тенденция которого обладает аналитическими свойствами, в дискретном времени формируется по принципу каскада в соответствии с теорией А.Н. Колмогорова, описывающей движение как действие однопараметрической группы операторов

S"=s(S"-l) = St+,,,=St(S'") (4)

с оператором S, являющимся эффективным преобразованием каскада. Такая модель как динамическая система с дискретным временем, в моменты альтернирования может реагировать преобразованием своих характеристик В случае финального П" приращения и-го порядка (A.M. Яглом)

П"(г) = П" [Г(0] = ¿(-1)ыСЛ' - кг), (5)

динамика случайного процесса имеет л-й порядок и задача моделирования такого процесса связана с восстановлением многомерной структуры п-го порядка сложной системы по скалярной случайной временной последовательности.

В конце Главы 2 определены требования, определяющие условия формирования адаптивной системы математического моделирования динамических случайных процессов, использующей динамические методы статистического анализа при обработке нестационарной измеряемой информации.

В третьей главе представлено решение проблемы математического моделирования динамических случайных процессов в виде семейства динамических предикторных моделей (ДПМ). Формализация моделей проводится по данным скалярной выборочной функции динамического случайного процесса, эволюционирующая основная тенденция которого допускает краткосрочное представление в форме дифференциального или разностного уравнения.

Далее приводится теоретическое обоснование методологического принципа формирования динамических моделей случайных процессов со стационарными приращениями, определяющего новое научное направление, отличающегося использованием каскадной архитектуры при построении моделей, что позволяет описывать динамику случайных процессов и сложных систем.

Для процесса Ц/), сформулирована задача аппроксимации его основной тенденции в каждый момент времени, как аналитической функции ф((), конечным отрезком разложения Тейлора

ф(1 + А(,у) = Ф(Г,у) + ±1^тШу Д,)<. (6)

1,1 т. да

С целью снижения влияния искажающего шума, обработки данных, теряющих с течением времени свою информационную ценность и учВта динамики объекта при формализации его модели используется оператор (2).

Формирование семейства ДПМ определено в процедурах пяти доказанных формальных утверждений.

Ход доказательств представлен на примере первых двух утверждений.

Поскольку (2) при <* = Уп эквивалентно рекуррентному оператору среднего арифметического, то для постоянного сигнала его модель имеет вид

/,(у) = Я,(у). (7)

Процедура формирования семейства алгоритмических моделей случайного процесса, с основной тенденцией, аппроксимируемая, как аналитическая функция, разложением Тейлора, строится на повышении порядка модели, равного порядку старшей производной в разложении.

Модель первого порядка формализуется по двум членам в разложении (6)

фЦ + Ь1,у) = ф(иу) + Ш?У±ы. (8)

Л к '

Квантованием А/ = 1 переходим к дискретному времени / = /.

В Утверждении 1 показано, что алгоритмическая модель в дискретном времени для (8) имеет вид

(У) = Ш + /,(У) = Р,(У) + а/{х_ а)¥, (У),

Ш = V, (у) = 25, (у) - Б! (у), ¿(у) = Я, (у) -Б! (у). Величина отклонения модели (7) по отношению к текущей информации^, определяется как невязка у - /¡(у), где /¡(у) - предыдущая форма модели (7). Используя 5, как оператор осреднения, оценивается средняя невязка

Яй -/0)] = ^,-ЗДНЗД-^О').

Мгновенное значение функции /(у) системы в момент / примет вид

/оо=ад-^си)=25,^) у).

Положение точки модельной траектории в момент (/ + Д/) = / + 1, рассчитывается с корректировкой смещения вдоль траектории через оценку второго члена разложения (8) - первой производной формируемой модели. Производная оценивается конечно-разностной схемой

Ш = Г,(у) - Ыу) = 2Х,.(у) - я?(у) - 25м (у) + Полученная зависимость не является каскадом, поскольку входящая в неё последовательность операторов определена разнонаправленным действием двух параметров: времени I и порядка к. Для приведения полученного выражения к каноническому виду каскада действие параметра времени исключается с помощью обратных операторов (5, )"' и (5,2)"1

ФГ'ОО = = у{]_ а)(Б,(у) -а/(у)),

(Я'Г'ОО^ОО^(у)). Приведением подобных находится нормальная форма второго члена (8)

а полученные операторы определяют каскадный фильтр модели 5*00=(1 + (у), к = 1,2.

Следствие 1. Полученная алгоритмическая модель супремальна (не является информационно избыточной) и корректна: если динамика основной тенденции случайного процесса первого порядка, то вторая производная

что согласуется с основной теоремой исчисления конечных разностей. Аналогичный вывод справедлив для моделей высших порядков.

Если полученную модель следует уточнить, то рассматривается

« + А/,У) = + ^ Д/ + . (9)

т 2 аг

В Утверждении 2 получена алгоритмическая модель для выражения (9)

ыу) = /00 + му) + у2/,(у) = v, (у) + %+ >2 {"а- а)1 '

¿,00 = 35,00- 35,»(у) + ^00, ^О)=35-С>-О) + 25;30>,

Как и ранее, оценивается поправка /(/) относительно предыдущей /¡(у) -25; (у)+5? (у)] = 5; (У) - 25? (у)+5? (у).

Выражение модели в текущий момент, т.е. первый член (9):

/00 = Ч>Ау) = 35,(у) - 3 + 5,3(у).

Используя обратные операторы, находится второй член (9)

Третий член модели (9) оценивается как вторая производная

Входящая в модель и-порядка однопараметрическая группа операторов

5,'(у) = (1-а)5Д1Ы + а5;-,(>'), * = М (10)

составляет каскадный фильтр модели, распараллеливающий скалярную последовательность {у,} в структурный вектор 5, размерность которого соответствует размерности фазового пространства системы и процесса. На основе этой методологии разработаны пять моделей семейства ДПМ.

Получено семейство новых математических динамических моделей, отличающихся наличием каскадного фильтра и динамического ядра, что позволяет реконструировать многомерную структуру сложной системы по скалярной реализации случайного процесса.

Рис. 1. Структурная схема ДПМ

Размерность модельного кортежа разностных оценок дифференциальных характеристик / = (/„,/,...,/„) соответствует размерности фазового

пространства сложной системы и процесса.

Получено динамическое ядро как многоуровневая структура, представленное набором рекуррентных алгоритмов, восстанавливающее вектор многомерного фазового пространства сложной системы.

Наиболее востребованными в данной работе оказались ДПМ третьего

4.0 4-0

/00, = к (У) = (у) - «?О0 + 45/00 - Б*(у), (12)

¿ОО-^ОО-^ОО + И^ОО-ФОО, (13)

V, 00 =СУ) -1 ФОО + КГС/ОО - 35/00, (И)

Ч/,(у) = БАу) - 35/(у) + 35/О0 - б;(у). (15)

и пятого порядков

ЫУ) = ± у^/АУ) = ±ук{аа- в)' ¿00 • (16)

ыо «=о

¿00 = 65,00 -155,2Ы + 205,-155,4^) + 65/00 - Я?(у), (17)

¿< СУ) =' 55, (у) - 555/ (у)+855/ (у)- 695/ (.у) + 295/ (>0 - 55/ (.у), (18)

¿,00 = 205, Ы - 855/(у) +1465/(.у) - 1275/(>0 + 565/(у) -105,6(>0, (19)

¿, (у) = 155, (у) - 695,2О0 +1275/ (^)-П 75/ 00 + 545/ (у) -1 ОБ? (у), (20)

Ч'Ау) ~ 65, (.у) - 295/ (у) + 565/ (у) - 545/ (у) + 265/ ОО - 55/ ОО, (21)

¿ОО = 5,Ы- 55/О0 + 105»- 105/00 + 55/Ы - Б?(у). (22)

Получена численная процедура последовательного дифференцирования, работающая на скалярной последовательности статистически искажённых данных, с использованием динамической модели на основе каскадной фильтрации.

В каждой модели компоненты структурного вектора 5 процесса рассчитываются в каскадном фильтре (10). Унифицированность приёмов разработанной методики формирования семейства математических моделей ДСП позволяет создавать модели любой сложности в зависимости от требований задачи.

При моделировании реальных процессов с ростом размерности обычно требуются быстро увеличивающиеся объёмы экспериментальных данных. В выведенных моделях размерность не является препятствием для их формирования, а объём необходимой для них информации растёт с той же скоростью, что и размерность. При реализации ДПМ реконструируется многомерная динамика

сложной системы с распараллеливанием скалярной случайной временной последовательности каскадным фильтром в структурный вектор 5 процесса.

Предложенная модельная форма структурных функций

См(0 = Л/(П"[Г(0]2) = М{У(0 - Л/Л[ГС/)]}2, (23)

в которой, как аппроксимация основной тенденции Л/Д[У(/)] используется ДПМ-модель динамического случайного процесса, позволяет рассчитывать структурную функцию и-го порядка при финальности л-го последовательного приращения. Стационарность приращения устанавливается из соотношения

С(г) = 2[Я(0)-Л(г)], при Я(0) = 0.5С(оо),

что формирует новый способ определения порядка статистических моделей, отличающийся процедурой сравнения структурных и ковариационных функций, обеспечивающий совпадение с истинным порядком функции математического ожидания динамического процесса.

Так выбирая оператор (2) в качестве элементарного оператора осреднения, модельную структурную функцию можно представить в виде

Сх(/) = 5{Г(0-5[Г(г)]}\

а численная форма этого показателя в непрерывном времени запишется

С,'(0 = ^|ехрр " гУт][У(т) -5[У(г)]]2 <1т. (24)

Расчётную схему (24) можно реализовать и в рекуррентной форме с учётом (2) для решения оперативных задач.

Исследование динамики ДСП статистическими методами возможно через установление взаимосвязи между последовательными приращениями динамического процесса, как между случайными процессами, но с учётом инерционности изменения их характеристик. Взаимосвязь последовательных приращений высоких порядков предлагается определять кросс-структурной функцией

~ г) = М{[П'(') - П'(' - ^г)][П"(') - П"(/ - ¿„г)]}, (25)

оценивая взаимную инерционность последовательных приращений порядков 5 и и. При этом (25) является стохастической динамической моделью процесса. При 5 = и и с, = ¿4=1 оценивается качество структурного вектора 5 и каскадной фильтрации, а при 1 = « = 0ис, = (/„=1 (25) совпадает с (3).

Определён новый способ статистического описания динамики случайного процесса, обеспечивающий снижение вычислительной сложности процедуры моделирования динамики, отличающийся использованием оригинальной кросс-структурной функции, определяющий статистическую и инерционную взаимосвязь между последовательными приращениями случайного процесса.

Моделями, близкими динамическим предикторным моделям в области описания систем стохастической динамики, в частности, являются фильтры Капмана, также ориентированные на фильтрацию и прогноз в реальном времени ДСП по единственной наблюдаемой фазовой компоненте. Но формирование

оптимального фильтра возможно лишь для линейной системы с динамикой первого порядка при наличии гауссовских шумов, а субоптимальные фильтры в большинстве не устойчивы в классе ДСП. ДПМ, в отличие от появляющихся субоптимальных модификаций фильтра Калмана, обладают единой теоретической базой и методологическим подходом, отличаются простой, обоснованной конфигурацией и конкретным классом процессов их применения. Кроме того, формирование фильтров Калмана основано на ковариационных оценках, что существенно осложняет работу в условиях нестационарности.

Вывод ДПМ не был связан ограничениями по типу и статистическим характеристикам искажающего шума, а также требованиями к конфигурации, характеру нелинейности, динамичности и параметрам функции сложной системы. Областью применения ДПМ могут быть задачи, возникающие на производстве, при обработке сигналов различной сложности, а также анализ социально-экономических процессов.

В четвёртой главе проведено исследование модуля каскадной фильтрации моделей семейства ДПМ, полученного аналитически при формализации динамических моделей. Пренебрежение в исследованиях нестационарных случайных процессов такой важной особенностью, как отсутствие у них генеральной совокупности, приводит к принятию необоснованных решений, даже при формально правильной постановке задачи. Каскадный фильтр (КФ) представляет собой динамические процедуры статистического оценивания выборочных данных, нестационарных в смысле первого момента, в частности, данных мониторинга сложной системы, наблюдаемых в виде хронологических значений выборочной функции ДСП. Далее показано, что компоненты его структурного вектора соответствуют субгармоникам исследуемого процесса.

В этой главе также проводится исследование основных форм и свойств оператора экспоненциального среднего используемого в каскадном

фильтре (10) в качестве эффективного преобразования, определяющего возможности КФ. Экспоненциальный оператор способен не только выделять полезный сигнал из неоднородной случайной выборки в режиме реального времени, но и учитывать динамику первого порядка в оперативной информации.

Экспоненциальный оператор, как осредняющее преобразование, наиболее отвечает требованиям формирования модели динамического случайного процесса, поскольку сам является простейшей динамической системой

^-аОМ-ЗМ), (26)

а в дискретном времени (2) обладает свойством самокоррекции за счет информационного обновления, поэтому его оценки, начиная с некоторого шага, не зависят от начальных значений.

Экспоненциальный фильтр в форме преобразования Лапласа-Стилтьеса, в интегральной, непрерывной форме записывается как

= = УТ\^\-{'~Т)/Г\у№ = Ут ¡У^М^Г, (27)

п ' ' О

где Т- величина интервала переходного процесса динамического преобразования S(y), определяющая объём памяти фильтра.

Одной из особенностей интегральной формы преобразования S(y) является её непосредственная связь с гармоническим анализом, поскольку её можно определять как частичную сумму ряда Фурье. В этом случае весовую функцию <у(г) оператора следует рассматривать как действительный аналог ядра Дирихле, которое, обладая фокусирующим действием, обеспечивает выделение окрестности текущей точки. Использование оператора 5[°] в динамических моделях связано с его динамической устойчивостью и осредняющими свойствами, а наличие фокусирующего ядра ш(т), обеспечивает ему, как алгоритму фильтрации, возможность локального выделения информационно значимых данных.

Включение фокусирующей функции оператора (27) в критерии, оценивающие эффективность динамических предикторных моделей означает применение байесовскиех критериев среднего риска. Такой критерий в дискретном времени имеет вид

¿¿О -(Л-,., -f„-M(y,S))2 -> min. (28)

ыо

Дискретная форма оператора

S„(K„) = S„/JV00 = yNt\N-yN)"~JУJ - (29)

j.о

при N = T/At, n = t„= t/At, с ядром, сходящимся к неперову числу, используется для перехода от непрерывной формы (27) к форме (2) в дискретном времени.

Конечная форма оператора S[°J, имеющая вид

SwOO-aZO-«)'^, (30)

1=0

получается из (29) переиндексацией i = n-j, которая обращает порядок следования слагаемых, и заменой a = \/N. Коэффициент =ar(l-ar)' в момент п определяет информативность каждого члена _у„_( фильтруемой подпоследовательности из наблюдаемой СВП.

Итеративная форма (2) оператора S[°] обладает свойством сжатия, гарантирующем сходимость оптимально параметризованного алгоритма, что следует из равномерной ограниченности наблюдаемой выборки и условия s _а2[1-{1-а)2"]/ .

/[1-(1-аг)2]

для частичной суммы последовательности коэффициентов в (30).

Исследована статистическая ошибка реализации оператора экспоненциального преобразования S. При оптимальном квантовании временной оси, когда состояние динамического преобразования (27) переходит в установившийся режим, при t > Т, для подавления несвязного шума параметр фильтрации а определяется соотношением, следующим также из отношения «сигнал: шум»,

В ходе исследования для оператора среднего арифметического были получены рекуррентные оценки дисперсии и ковариационной функции. Также была получена рекуррентная форма оператора скользящего среднего

С^(у) = ся^(у) + ~(у„ -/И = 2у -1

т

для стационарных интервалов случайного процесса величиной т.

Уровни фильтра, число которых определяется действием структурного параметра модели к, связанного с порядком динамики моделируемой системы, функционируют (рис. 2) в один и тот же текущий момент времени.

Рис. 2. Структура действия каскадного фильтра

Получен аналитический фильтр, предназначенный для оценивания структурного вектора динамического случайного процесса по его скалярной реализации, основанный на каскадном подходе в соответствии с групповым свойством операторов, с использованием эффективного преобразования, обладающего свойствами фильтрации и динамики одновременно.

Действием соответствующих уровней каскадной фильтрации, выделяются субгармоники, как компоненты структурного вектора 5 =(51,5г,...,5'"*1), которые представляют собой частотные диапазоны спектра динамического случайного процесса, исследованного A.C. Мониным и A.M. Ягломом.

Это вытекает из особенностей экспоненциального оператора (26), как формирующего фильтра (B.C. Пугачёв) с ковариационной функцией

йг(г) = гт2е*р{-а|г|}, на всех уровнях каскадного фильтра. Аналитически показано, что при возрастании порядка каждый уровень каскадного фильтра формирует более низкочастотный сигнал по сравнению с предыдущим уровнем. Это также эмпирически подтверждено (рис. 3), поскольку с повышением уровня фильтра дисперсия отклика уровня уменьшается, а поведение отклика становится более плавным.

10 и 1« 16 18 20 22 2« 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

Рис. 3. Наблюдаемая СВП (Yn), полезный сигнал (X) и траектории каскадной фильтрации: S[l], S[2], S[3], S[4] Неоднозначность выбора параметров каскадного фильтра, связанная с конфликтностью задач подавления искажающего шума и аппроксимации полезной информации, влияет на точность моделирования. В связи с чем, возникает необходимость эффективной настройки этих параметров.

Расчёт параметра фильтрации для экспоненциального оператора в простейших случаях может определяться только из условия подавления шума по типу (31) и в виде оценок предложенных Брауном, Мейером или Армстронгом. Но в каскадном фильтре, связанном с динамикой процесса, оценивание параметров фильтрации возможно только алгоритмически на каждом шаге, при этом полученные оценки значений индивидуальных параметров для каждого уровня фильтра, как показали эксперименты, дают больший эффект при моделировании, чем единый скалярный параметр.

В данной работе поставлена задача оценки векторного параметра фильтрации и исследованы особенности её предметной области. Из параметризованной зависимости модели только второго порядка

в 7 +3g, 7«; [ 3g2 -18a|g;

or,or.

За,

О-°iY)

а,

s,{y)+

9а,-9а,а2

3a,

1-or, \-a2 l-a3 (l-ff,)(l-or2) 3

3 a,a,

9a, + 27 a,

(l-ff2)(l-"3) О-*,)0-*,) (1 -a,)1 (1 -a2)2 (l-a3)JJ

3-27ar, 0

6a,

+ 3 +-L

3g|«2

3a,+9a,

1

ш

l-a, 1 -or, (l-ff,)(l-a2) (l-a,)2 (l-aj

следует, что фильтрационные параметры а аналитически не выражаются через характеристики модели.

В связи с этим был проведён графический анализ параметрических линий равного уровня с помощью графического пакета SURFER AS v. 4.06. Было установлено, что поверхность отклика имеет глобально-унимодальный вид (её

огибающая унимодальна) со сложными оврагами. Глобальный экстремум не лежит на биссектрисах областей а,Оц, что указывает на необходимость выбора индивидуальных параметров о^ для каждого уровня каскадного ■фильтра.

Поскольку не существует регулярных алгоритмов глобального поиска, способных работать с функциями типа /(¿г,у), а генетические алгоритмы (ГА) не приспособлены к поиску в режиме реального времени и на статистически искажённых множествах, то многомерная задача настройки а решалась на принципах статистического поиска Л.А. Растригина, независящего от сложности поверхности и структуры целевой функции /(а)

1(5) = М[2(а)] = М[(у,-иа,у))г] пуп,

где - расчётное значение; у, - измеренное значение на множестве воз-

можных реализаций изучаемого процесса.

В пятой главе проведена формализация процедур настройки параметров фильтрации модели ДСП специально разработанным методом адаптивного случайного поиска, представленного двойственной парой: самого алгоритма поиска и процедуры адаптации его стратегий, исследована и численно аппроксимирована характеристика, обеспечивающая выработку наилучшего поведения процедур случайного поиска в условиях неопределённого представления целевой функции. В выборе характеристики адаптации случайного поиска использованы естественные аналогии статистической поисковой процедуры с диффузионными процессами, предложенные Д.Б. Юдиным.

В таких условиях процесс случайного поиска в общем виде может быть представлен движением во времени блуждающей точки х, определяемым диффузионным уравнением Ланжевена

+ £(0, (32>

ш ах

где Зг е Я - множество точек траектории поиска, в пространстве настраиваемых параметров а.

Пошаговая процедура направленного случайного поиска, реализующая (32) в дискретном времени, имеет общий вид

= X, + Я{х„ём) = х,+ 4(г,)ЛГДх„ё;ч1), где Я(х„ём) - решающая функция, ёы - случайный пробный вектор поиска, 4 - оператор рабочего шага, Ы, - оператор направления поиска.

В интерпретации (32) основная характеристика случайного поиска - смещение вдоль положительной траектории поиска, определяемая последовательностью оценок процедуры поиска, характеризуется через плотность вероятности перехода р(1,х,у) из состояния х траектории в состояние у, как функции времени I. Существуют методики (например, А.И. Яблонского), позволяющие на основе уравнения Фоккера-Планка формализовать оценку апостериорной функции плотности (а.ф.п.) на участках стационарности у нестационарных случайных процессов, но из этих выражений невозможно получить численную

оценку для её реализации в поисковой процедуре. Численная оценка а.ф.п. реализована в методе адаптивного случайного поиска.

Использование математической интерпретации прямым уравнением Колмогорова уравнения Фоккера-Планка и обратного уравнения Колмогорова, позволяет, преобразуя плотность вероятности положительной и отрицательной траекторий, сформировать стратегии адаптивного случайного поиска.

Прямое уравнение Колмогорова

^p(s,xJ,y) = ~[a<J,y)p(s,x,t,y)\ + \^\cr\t,y)p(.s,x,t,y)\

dt ду 2 ay

определяет через функцию плотности p(s,x,t,y) - переходную плотность потока в рассматриваемой точке фазового пространства, направление движения a(t) = df{t,y)/dy и диффузионное рассеяние a^(t) случайного процесса.

Предъявляя к прямому уравнению требование постоянства среднедина-мической скорости потока и его диффузии, как в поисковой процедуре, получим консервативный поток с потенциалом скорости

S(t,y) = f(t,y)-c2/2\np(t,y), где f(t,y) рассматривается как целевая функция поиска, что в локальных условиях оптимизации обеспечивает движение по положительной траектории вдоль направления градиента.

Скорость потока в каждой точке, соответственно, будет равна V{t,y) = 8S(t,y)/dy и градиент потенциала консервативного поля можно использовать, как в выборе направления локального поиска, так и при шаговой оценке значений потерь на поиск. Однако, при подключении процедуры адаптации стратегий, условия, наложенные на прямое уравнение, могут быть существенно ослаблены, поскольку в этом случае параметры прямого уравнения ставятся в зависимость от результирующего состояния шага поиска.

Объединение постановок задач поиска и его адаптации обеспечивается дополнением к прямому обратного уравнения Колмогорова

^-pÇs,x,t,y) = -a(s,x)-§-p(s,x,t,y)-^a2{s,x)-^rp(s,x,t,y), as ах 2 ах

решение которого обращено к памяти поисковой процедуры и позволяет учесть влияние отрицательной траектории поиска на его случайные стратегии. Совместное решение прямого и обратного уравнений определяет условия формирования адаптивного случайного поиска в виде пары двойственных процедур - поиска и адаптации его характеристик.

Применимость функции плотности для получения адаптивных стратегий статистического поиска является теоретическим обоснованием непараметрического метода, который, однако, невозможно непосредственно использовать в вычислительной процедуре поиска. В обоснование существования параметрического подхода в работе приводится информатный способ получения производной по параметру от функции плотности. В статистической процедуре по-

иска минимизируемая функция представлена в средневзвешенном виде, а роль весовой функции играет условная плотность распределения, аппроксимирующая функцию правдоподобия.

В данной работе установлена неэффективность работы на глобально-унимодальных функциях ГА в реальном масштабе времени из-за необходимости большого числа шагов и в связи с возникающим антагонизмом между их основными стратегиями hyperplane samping и hill-climbing. Кроме того, ГА осуществляют ненаправленный поиск, не обеспечивающий поступательного движения к оптимуму, что не позволяет использовать его результаты в рекуррентных процедурах. К тому же они не приспособлены к работе в условиях помех. Алгоритмы, построенные на статистическом подходе JI.A. Растригина, отвечают как условию локального улучшения в локальных задачах оптимизации, так и обеспечивают нахождение глобального экстремума.

Для снижения потерь на блуждание поиска Л.А.Растригиным была предложена идея пространственного направляющего конуса, однако эвристичность затруднила ей численную реализацию.

В данном исследовании направляющий конус реализован с применением теории конусов, разработанной в функциональном анализе М.А. Красносельским и ГТ.-Ж. Лораном, как выпуклая численная аппроксимация плотности распределения. Конус допустимых направлений используется для характеризации точек минимума функционала и предназначен для установления признаков наилучшего приближения в процессе оптимизации. Вариации его параметров позволяют проходить локальные экстремумы при отыскании глобального оптимума. Устойчивость движения поиска обеспечивается внутренним осевым направлением конуса, как выпуклого множества, а останов процедуры определяется через пустоту множества пересечений конусов.

Основная стратегия, связанная с реализацией направляющего конуса, осуществляет пошаговую адаптацию поиска в текущей точке дг, формированием допустимого множества векторов пробного анализа.

В поисковой процедуре «-мерный вектор х является вектором варьируемых переменных

(зз)

при минимизации целевого функционала Q(xt, ...,хп).

В случайном поиске для выбора направления движения к цели используются генерации случайного единичного вектора ё е Xя, определяемого плотностью распределения р,(е). Решающая функция R(x,e) = AN(x,e) процедуры (33) связывает направление рабочего шага N(х,ё) и его величину, устанавливаемую числовым оператором А = .

В разработанном методе для адаптации поиска оценивается и параметризуется его информационная структура - распределение вероятности рх(е) выбора пробного направления, включением в неё настраиваемого параметра в виде и-мерного вектора m = (m],...,mj, определённого в пространстве X" варьи-

руемых параметров модели, который задаёт осевое направление конуса К, = АГ(х,^+1,м(+|) с вершиной в х,, содержащего направления пробных шагов. Вектор т формируется на модальной оценке пробных направлений

ё'=аг£гшп 2(5;+^,),

«..I

содержащихся в конусе К(х,,ем,щ), который является выпуклой численной аппроксимацией многомерного распределения рх(ё,т), а т определяется как средневзвешенная сумма вектора = ¿ё' и векторов памяти М' поиска.

Метод адаптивного случайного поиска (АСП) сформирован на основе использования двух стратегий поиска: локальной, направленной на отыскание зоны оптимума и получение оценки аргумента минимума функции цели, и глобальной, пробный анализ которой позволяет преодолеть характеристическую точку функции ()(х), определяющую «перевал», за которым отсутствует влияние покидаемого локального минимума.

Качество векторов адаптивной памяти процедуры проверяется как

еОл.-Л^бО"--.) М = 1,/> + 1В локальной стратегии величина пробного шага меньше величины рабочего шага поиска. В окрестности оптимума величины пробного и рабочего шагов АСП определяются по условиям Кифера-Вольфовица, которые обеспечивают достижение любой точки пространства и сходимость процедуры поиска

> 0, =оо, ¿(а,/я,)2 <°°-1-1 1-1

При использовании стратегии глобального поиска величина рабочего шага связана с величиной вершинного угла конуса.

Верхняя граница изменения угла <р конуса в локальном поиске составляет я/2, что, в частности, следует из условия локального улучшения. В глобальных стратегиях величина <р изменяется от л/2 до л, определяя величину шага поиска

=а,[1 + /-со5(<з+л-)]>

как пробного, так и рабочего, которые в этих стратегиях равны а1 = gj V/ > /. Развёрнутый угол является предельным из-за неизменности критерия, определённого на целевой функции 0(х). В локальном случае связь между величинами шагов поиска и углом <р конуса отсутствует.

Сформирован новый численный метод адаптивного случайного поиска, отличающийся обучением распределения вероятностей в пробном анализе, используемый для настройки параметров модели при глобальности оптимума.

Для визуальной оценки текущей ситуации поиска строилось графическое изображение поверхности функции 0(х)с помощью ЗО-интерпретатора на основе данных, полученных в процессе поиска.

Сложность теоретического изучения статистических поисковых процедур привела к необходимости экспериментальных исследований на наборе тестовых функций. Для чего был отредактирован набор тестовых функций из числа известных по литературным источникам и имеющихся в открытом доступе,

проверены и дополнены их свойства и области применения. Дополнительно были разработаны две тестовые функции, учитывающие особенности рельефа целевой функции в задаче многомерной настройки параметров а.

Сходимость процедур АСП исследовалась на функции Розенброка (Rosenbrock's saddle) со сложным параболическим оврагом

TF2(x) = t(lOO(x)+1 -х?) + (х, -1)2) и на глобально унимодальной функции Растригина (Rastrigin's function)

TFi(x) = t(x,2-kc osl8*().

»»Л '

Поскольку у функции 7Fj(x) имеется несколько глобальных минимумов равного уровня (при п = 2 их пять), симметрично расположенных в районе начала координат, для поверки поведения АСП в сложной окрестности глобального минимума исследования проводились на специально разработанной глобально унимодальной функции TF-Ax) (Caterina's function) с единственным глобальным минимумом, аналитическое выражение которой

= + sin(far( +sin(fcri +sin(fct, +sinfct()))J

позволяет варьировать сложностью склонов функции.

Движение по дну оврага, осуществляемое по локальным стратегиям, на участках с мало изменяющимся направлением (TF2(x) и TF3(x)), где использовались пассивные шаги, дополнялось линейным пересчётом, что значительно (в зависимости от длины участка) увеличивало скорость поиска. Количество шагов в сравнении с прохождением участка параболического поворота равной длины составляло от 1/3 до 1/5, в зависимости от инерционности овражной стратегии поиска на данном участке.

В зависимости от рельефа склонов функции цели, при варьировании параметра к, меняется число шагов, необходимых для вхождения в область 0, содержащую местоположение глобального экстремума, как оптимальной точки задачи. Особенно это заметно на TFfe): при к = 3 число шагов равно 35, то при к = 5 число шагов превышало сотню. Для сохранения возможности сравнения результатов отдельных опытов по возможности выдерживались однотипные условия эксперимента. Исследования подтвердили работоспособность метода, эффективность как глобального и овражного поиска.

В шестой главе представлены методы и процедуры вычислительного эксперимента, в ходе которого проводились исследования моделей и алгоритмов, полученных в предыдущих главах. Разработан специализированный программный комплекс, реализованный на языке С#, содержащий все приложения, необходимые для проведения вычислительного эксперимента, в ходе которого были поставлены и решены задачи выявления свойств разработанных динамических моделей и их сравнительного анализа с известными моделями.

Начало

Постановка выч. эксперимента

Имитационный

Натурализованный

Рис. 4. Укрупненная схема работы программного комплекса

В ходе эксперимента использовались стандартные и модифицированные оптимизационные и статистические критерии, использующие итеративные оценки дисперсии, при обработке обновляемой информации. В состав критериев были включены разработанные критерии: оптимизационный критерий с фокусирующей весовой функцией, статистический /9-критерий качества и модификация критерия Бокса-Веца, для сравнения конкурирующих моделей.

Вычислительный эксперимент состоит из двух разделов: имитационного, натурализованного и пяти этапов в каждом: 1) получение данных выборочного функционала исследуемого случайного процесса; 2) вычислительная реализация исследуемых моделей; 3) проверка адекватности модели, значимости её параметров, сравнительный анализ моделей; 4) модификация модели в случае её неадекватности; 5) анализ результатов эксперимента.

Реализованы два способа имитации основной тенденции случайного процесса: базовые виды дрейфа точки траектории случайного процесса и для представления сложных систем набор динамических звеньев до третьего порядка с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами. В качестве случайной составляющей процесса использовались модели стационарных случайных процессов с практически важными законами распределений. В натурализованном разделе СВП является результатом натурного эксперимента, поэтому выделение из неё полезного сигнала связано с подбором теоретического аналога хорошо описывающего основную тенденцию. В качестве сведений об исследуемых процессах использовались данные, снятые с датчиков ветрогенератора, и изменения курсовых индексов электронных торговых площадок.

Для разработки программного комплекса использована Visual Studio 2008 Express - свободно распространяемая версия Visual Studio .NET, позволяющая включать имеющиеся наработки, выполненные в среде Delphi. Управление исследовательскими программами вычислительного эксперимента осуществляется с помощью интеллектуального пользовательского интерфейса программного комплекса, поддерживающего стандарты разработки прикладного программного обеспечения, ориентирующего пользователя на проведение активных исследований и предоставляющего возможности выхода в необходимые приложения, в том числе и в Интернет. Модули графического представления данных дополняют картину эксперимента, результаты расчётов можно экспортировать в приложения Microsoft Office.

Исследовались модели семейства ДПМ и модели Брауна и Калмана, которые по направленности применения можно считать аналогами. Использовались расчётные формулы модели Брауна и стандартный программный модуль фильтра Калмана. Сравнение предикторной модели ДПМ с полиномиальной моделью Брауна, показало, что последняя удовлетворительно сглаживает (с периодом стабилизации альтернирования около 15 шагов) лишь на участках стабильности (рис. 5), где динамика ОТ процесса соответствует второму порядку с регулярными параметрами. При усложнении ОТ уже на один порядок, среднее число шагов вхождения в стабильный режим у модели Брауна, по сравнению с

предыдущим случаем, увеличивалось в 2 раза. Ориентированные на динамику модели ДПМ И-го и Ш-го порядков адекватно реагируют на альтернированное поведение (рис. 5) исследуемого процесса: период стабилизации в обоих случаях 6 - 8 шагов.____

ДПМ.м&саум. __"

Квадратичные невязки оценивания

Рис. 5. Сравнение квадратичных невязок ценового ряда по полиномиальной и предикторной моделям Оценки фильтра Капмана отличаются большей корректностью при альтернировании ОТ процесса второго порядка; в среднем периоды стабилизации составляли 4 и 5 шагов при нормальной случайной составляющей процесса. При ОТ с динамикой третьего порядка и в присутствии реального шума оценки фильтра Калмана ухудшаются, а при оперативном моделировании текущих показателей мощности ветрогенератора (рис. 6) использование фильтра Калмана

прерывистого воздушного потока (ДПМ и фильтр Калмана) В сравнении моделей также использовалось текущее расчётное значение /¡-критерия, как отношение среднеквадратических невязок на траекториях стабильной и альтернирующей ОТ. Приоритетность ДПМ в условиях стабильности значений ОТ высокого порядка по /^-критерию составила для ДПМ 0.85, для

фильтра Калмана 0.96, для модели Брауна 0.98, что в относительной шкале критерия составляет рассогласование в 5,12 и 15% соответственно.

Исследования показали, что к областям преимущественного применения динамических предикторных моделей в сравнении с моделями Брауна и Калмана относится моделирование систем с альтернированием, сложных систем, состояние которых описывается динамическими случайными процессами с высоким порядком стационарных приращений.

Для определения закономерности долговременного поведения системы использовались первые члены в предикторах динамического ядра моделей ДПМ. Расчеты по алгоритмической настройке фильтрационного параметра для скалярного варианта проводилась методом парных проб. Если параметр фильтрации задавался в векторной форме, то настройка проводилась методом адаптивного случайного поиска.

В ходе натурализованного эксперимента по данным снятым с датчиков ветрогенератора было установлено, что в периоды стабильности приращения третьего порядка стационарны с математическим ожиданием близким к нулю и постоянным среднеквадратическим отклонением не выше 20% от средней амплитуды процесса. При стандартных характеристиках стационарного приращения Е(/) третьего порядка ошибка прогноза по ДПМ второго порядка на величину 3 шагов составила 0.16, а по ДПМ третьего порядка - 0.03.

Прогнозирование осциллирующей тенденции и динамики, начиная со второго порядка, приводит к необходимости воспользоваться ДПМ не ниже третьего порядка. Так по данным индексов с площадки «Рогех» возможен уверенный (85%) прогноз до трёх шагов, с величиной относительной ошибки не более 0.1, в 3% прогноз оказывался ложным.

В седьмой главе описаны особенности внедрения в производство разработанных математических моделей, которое проводилось по трём направлениям: описание динамики профиля поверхности изделия, получаемого в результате механической обработки, для оперативного контроля состояния кромки режущего инструмента; идентификация личностей собеседников в кабине локомотива по аудиозаписи и оперативная оценка характеристики процесса полимеризации, недоступной для измерения в реальном времени.

В производственных задачах с учётом характеристик предметной области разработано алгоритмическое и программное обеспечение, сформулированы приёмы и способы внедрения в производство диссертационных результатов, полученных в ходе теоретических и компьютерных исследований.

Апериодический профиль поверхности, рассматриваемый как случайная функция, описан ДПМ-моделью третьего порядка. Адекватность описания, позволяющая получать оперативную оценку качества обработки поверхности, отвечает требованиям заказчика. По результатам математического моделирования оценивались следующие ГОСТовские показатели профиля: относительная опорная длина, средняя высота неровности и средний шаг местных выступов. Кроме качества обработки изделия эти нормативные показатели позволяют

оценить фактическую площадь контакта с кромкой режущего инструмента, на основе чего оценивается износ и принимается решение о замене резца.

Исключение «человеческого фактора» из процесса контроля-и внедрение автоматизированного способа оценки на основе математического моделирования динамики профиля обработки позволило снизить процент брака выпускаемых изделий, оптимизировать момент заточки резца. Это привело к увеличению рабочего ресурса режущего инструмента, существенному снижению расхода электроэнергии на единицу рабочего времени станка и увеличению производительности труда на производственном участке. Результаты исследований прошли опытную эксплуатацию и приняты к внедрению в виде подсистемы системы контроля качества на ОАО «АГРОЭЛЕКТРОМАШ», г. Воронеж.

Использование приёмов регрессионного моделирования, фильтра Калма-на и классических полосовых фильтров на БПФ не позволяет идентифицировать индивидуальность собеседника на основе аудиоданных, записанных в небольшом помещении на фоне производственных шумов.

С целью идентификации личностей собеседников по аудиозаписи, сделанной в кабине локомотива, был разработан адаптивный фильтр на базе динамической предикторной модели пятого порядка, способный не только удалять из записи беседы искажающий шум, сохраняя смысловую составляющую сообщения, но и выделять основной тон, важную часть информации, характеризующую индивидуальность собеседника. С учётом особенностей временной фильтрации, определена величина временного блока моделирования равная 200 мс, необходимая для фильтрации, выявления особенностей звукового сигнала и идентификации личности. Была определена последовательность конвертации форматов от текстового файла, использовавшегося в численном моделировании, до представления звукового ряда в форме WAV файла. Частота дискретизации, квантование по уровню и разрядность были приняты в соответствии со стандартом импульсно-кодовой модуляции Pulse Code Modulation (PCM), с частотой дискретизации 44,1 кГц и разрядностью квантования 16 бит.

Результаты исследований включены в программное обеспечение изделия «Голосовой распознаватель переговоров в кабине тепловоза» НПО ООО «Апогей», г. Воронеж.

Оперативная оценка вязкости по Муни, характеристики процесса полимеризации и качества конечного продукта, недоступной для измерения в реальном времени, рассчитывается с помощью динамической модели второго порядка по хронологической статистической числовой последовательности, сформированной из данных полученных по эмпирической зависимости от косвенных показателей: температуры реакции полимеризации, конверсии мономеров на выходе первого реактора, среднемассовой молекулярной массы полимера по данным кинетической модели, из лабораторных анализов и иными способами.

Предложенная методика рассматривается для включения в опытную эксплуатацию на ОАО «Синтезкаучук», г. Воронеж.

В заключении сформулированы основные научные и практические ре-

зультаты диссертационного исследования.

В приложении представлены акты внедрения результатов диссертационной работы, Свидетельства о государственной регистрации программных комплексов и модулей, приведены отдельные результаты исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработанный методологический принцип формирования динамических моделей случайных процессов со стационарными приращениями и сложных систем, основанный на каскадном подходе, определяет новое научное направление в исследованиях стохастической динамики, приоритетное в отношении применения аналогов.

2. Аналитически получено семейство динамических моделей с модульной конфигурацией в составе динамического ядра и каскадного фильтра реконструирующих многомерную структуру сложной системы по наблюдаемой скалярной выборочной функции динамического случайного процесса.

3. Формализовано в ходе доказательства основных утверждений динамическое ядро, восстанавливающее многомерный фазовый вектор сложной системы и основной тенденции динамических случайных процессов.

4. В ходе доказательств также получен каскадный фильтр с эффективным экспоненциальным преобразованием, как метод динамической статистики, фильтрующий и распараллеливающий скалярную временную последовательность в структурный вектор процесса со стационарными приращениями.

5. Разработана процедура последовательного дифференцирования функции по скалярной последовательности статистически искажённых значений.

6. Предложен метод статистического описания динамики случайных процессов со стационарными приращениями на основе разработанных кросс-структурных функций.

7. Формализован адаптивный метод случайного поиска с высокой степенью адаптации к многомерным целевым поверхностям с глобальным экстремумом, реализующий настройки параметров динамических моделей.

8. Исследована допустимая область применения динамических моделей случайных процессов со стационарными приращениями в стохастической динамике, в которой теряют адекватность результаты моделирования по известным аналогам.

9. Разработана концепция вычислительного эксперимента, использующая данные натурных и имитационных экспериментов, на базе созданного специализированного программного комплекса «Предметно-ориентированная среда алгоритмического моделирования динамики нестационарных случайных процессов» для компьютерного исследования математических моделей динамических случайных процессов.

10.В рамках ДПМ-подхода осуществлена алгоритмизация и программная реализация вычислительных и натурных промышленных экспериментов, результаты которых подтверждают эффективность разработанных в диссертации технологий моделирования.

Публикации по теме диссертации в журналах, рекомендованных ВАК

1. Гаицева Е.А. Количественное представление семантической информации/ Е.А. Ганцева, В.А. Кападзе, Г.В. Каладзе //-Вестник ВГТУ. Вып. 8.1. -Воронеж: ВГТУ, 2001. - С. 32-37.

2. Ганцева Е.А. Системный подход к количественному описанию семантической информации/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.В. Каладзе // Техника машиностроения, № 5 (39). - М., 2002. - С. 37-42.

3. Ганцева Е.А. Учёт ограничений при конструировании поисковых алгоритмов/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе // Техника машиностроения, № 5 (39). -М., 2002. - С. 66-67.

4. Ганцева Е.А. Вероятностная мера адаптивных процедур/ Е.А. Ганцева,

B.А. Каладзе // Вестник ВГТУ. Вып. 8.3. - Воронеж: ВГТУ, 2003. - С. 25-31.

5. Ганцева Е.А. Сравнительный анализ операторов статистического оценивания/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.В. Каладзе // Вестник ВГТУ. Том 1, № 5.

- Воронеж: ВГТУ, 2005. - С. 14-17.

6. Ганцева Е.А. Предикторные алгоритмические модели нестационарных случайных процессов/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.В. Каладзе // Вестник ВГТУ. Том 1, № 5. - Воронеж: ВГТУ, 2005. - С. 25-28.

7. Ганцева Е.А. Динамические модели нестационарных случайных процессов/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.В. Каладзе // Вестник ВГТУ. Том 2, № 5.

- Воронеж: ВГТУ, 2006. - С.4-8.

8. Каладзе В.А. Исследование потенциальных характеристик случайного поиска как механизмов адаптации// Системы управления и информационные технологии. - Москва-Воронеж, № 2,2008. - С. 28-32.

9. Каладзе В.А. Стохастические структуры динамических моделей: формализация динамического ядра// Системы управления и информационные технологии. - Москва-Воронеж, № 4 (38), 2009. - С. 12-15.

10. Каладзе В.А. Описание и оценка шероховатости изделий методами статистической динамики/ В.А. Каладзе, В.Н. Шапошников II Ползуновский вестник. - Барнаул, № 2, 2010. - С. 71-76.

11. Каладзе В.А. Алгоритмические модели и структурные функции динамических случайных процессов/ В.А. Каладзе // Системы управления и информационные технологии. - Москва-Воронеж, № 3 (41), 2010. - С. 4-7.

12. Каладзе В.А. Каскадный фильтр динамической модели и его экспоненциальное преобразование/ В.А. Каладзе // Вестник ВГТУ. Том 6, № 12. -Воронеж: ВГТУ, 2010. -С.147-151.

13. Каладзе В.А. Фильтрующие модели статистической динамики / В.А. Каладзе И Вестник ВГУ, № 1. - Воронеж: ВГУ, 2011. - С. 22-28.

14. Каладзе В.А. Одноуровневые методы фильтрации как инструмент исследования динамических случайных процессов/ В.А. Каладзе // Системы управления и информационные технологии. - Москва-Воронеж, № 3.1 (45), 2011.-С. 147-151.

15. Каладзе В.А. Адаптация случайного поиска методом направляющего конуса / В.А. Каладзе // Вестник ВГТУ. Том 8, № 1. - Воронеж: ВГТУ, 2012. -

C. 31-37

Монография

16. Kaladze V.A. Mathematical models of casual processes with stationary increments and the non-uniform information dynamic processing: Monograph. -Lorman, MS, USA: Science Book Publishing House, 2012.-136 p.

Свидетельства и программы

17. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011612349. Программный комплекс «Предметно-ориентированная среда алгоритмического моделирования динамики нестационарных процессов». Правообладатели-авторы: Каладзе В.А., Ганцева Е.А. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 21 марта 2011 г.

18. Галеева A.A. Пакет программ самонастраивающихся алгоритмов поисковой оптимизации / A.A. Галеева, Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе. ГФАП, per. № 50200300741 от 23.04.2003. - М.: ВНТИЦ, 2003.

19. Ганцева Е.А. Программный комплекс «Скользящие предикторы в поддержке принятия решений» / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, A.B. Ерофеев, Г.В. Каладзе. ГФАП, per. № 50200401035 от 20.08.2004. - М.: ВНТИЦ, 2004.

20. Исайкин С.Ю. Программный комплекс «Выделение отражённого полезного сигнала на фоне статистического шума» / С.Ю. Исайкин, В.А. Каладзе // ГФАП, per. № 50201000934 от 09.06.2010. - М.: ВНТИЦ, 2010.

21. Ганцева Е.А. Программный модуль «Фильтрация нестационарных случайных процессов» / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, P.M. Клёмин // ГФАП, per. № 50201100089 от 25.01.2011. - М.: ВНТИЦ, 2011.

22. Каладзе В.А. Программный модуль «Рекурсивная система фильтрации и прогнозирования нестационарных случайных процессов»/В.А. Каладзе, В.В. Сухоруков//ГФАП, per. № 50201150760 от 14.06.2011. - М.: ВНТИЦ, 2011.

Основные публикации по теме диссертации в других изданиях

23. Ганцева Е.А. Основная методология формирования структуры предикторов / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.В. Каладзе // Сборник науч. трудов VII междунар. конф. «Современные сложные системы управления СССУ/HTCS '2005». - Воронеж: ВГАСУ, 2005. Том 2. - С. 41-45.

24. Ганцева Е.А. Обучающая нечёткая продукционная система/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, Г.В. Каладзе//Матер. 6 междунар. науч.конф. «Информатика: проблемы, методология, технологии».-Воронеж: ВГУ,2006.-С.535-540.

25. Каладзе В.А. Адаптация стратегий случайного поиска в экстремальных задачах оптимизации / В.А. Каладзе // Материалы 2 междунар. науч. конф. «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». - Воронеж: ВГТУ, 2007. - С. 84.

26. Каладзе В.А. Задача моторного повторения хаотичных движений объекта / В.А. Каладзе // Сб. докладов междун. науч. конф. «Компьютерные технологии в технике и экономике». - Воронеж: МИКТ, 2007. - С. 30-36.

27. Каладзе В.А. Случайный поиск: статистика и нечёткость / В.А. Каладзе // Материалы 7 междунар. науч. конф. «Информатика: проблемы, методология, технологии». - Воронеж: ВГУ.2007.-С. 173-178.

28. Каладзе В.А. Статистический критерий оценивания качества структурных и алгоритмических моделей / В.А. Каладзе // Сб. науч. статей по материалам Всероссийской научно-практич. конф. «Информатизация образования. Информационные технологии в АСУ». - Воронеж: ВВ АИУ, 2008. - С. 99-104.

29 Каладзе В.А. Информатный метод параметрической адаптации случайного поиска / В.А. Каладзе // Сб. трудов 21 Междун. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях». - Саратов: СГТУ, 2008. - С. 73-75. ^

30. Каладзе В.А. Оценка погрешности моделирования динамическои предикторной моделью основной тенденции нестационарного случайного процесса / В.А. Каладзе // Межвуз. сборник науч. трудов «Прикладные задачи моделирования и оптимизации». - Воронеж, 2008. - С. 149-153.

31. Каладзе В.А. Оценка неопределённости в алгоритмах адаптации / В.А. Каладзе // Материалы 8 междунар. научной конф. «Информатика: проблемы, методология, технологии», т. 1. - Воронеж: ВГУ, 2008. - С. 242-246.

32. Каладзе В.А. Динамические случайные временные последовательности / В.А. Каладзе // Труды междунар. научно-технич. конф. «Информационные и управляющие системы в пищевой и химической промышленности». -Воронеж: ВГТА, 2009. - С. 77-80.

33. Каладзе В.А. Адаптивные оценки параметров фильтра Капмана / В.А. Каладзе // Труды междунар. научно-технич. конф. «Информационные и управляющие системы в пищевой и химической промышленности». - Воронеж: ВГТА, 2009.-С. 75-76.

34. Ганцева Е.А. Исследование ДПМ в вычислительном эксперименте/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе// Материалы 9-й междун. науч. конф. «Информатика: проблемы, методология, технологии». - Воронеж: ВГУ, 2009. - С. 331-334.

35. Ганцева Е.А. Систематическое отклонение оператора экспоненциального сглаживания/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе// Труды всерос. науч. конф. «Интеллектуальные информац. системы». - Воронеж: ВГТУ, 2009. - С. 34-35.

36. Ганцева Е.А. Необходимые и достаточные условия эргодичности случайного процесса / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе// Труды всерос. науч. конф. «Интеллектуальные информац. системы». - Воронеж: ВГУ, 2009. - С.21-22.

37. Каладзе В.А. Алгоритмические модели динамических случайных процессов / В.А. Каладзе // Труды всерос. науч. конф. «Интеллектуальные информационные системы». - Воронеж: ВГТУ, 2009. - С. 49-50.

38. Каладзе В.А. Оптимальность итеративных форм / В.А. Каладзе // Труды всероссийской науч. конф. «Интеллектуальные информационные системы». - Воронеж: ВГТУ, 2009. - С. 84-85.

39. Каладзе В.А. Множественность форм экспоненциального фильтра / В.А. Каладзе // Вестник ВГУ, № 2. - Воронеж, 2009. - С. 59-63.

40. Ганцева Е.А. Частотные характеристики оператора экспоненциального сглаживания/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе // Труды всерос. науч. конф. «Интеллектуальные информационные системы». - Воронеж: ВГТУ, 2009.-С. 80.

41. Ганцева Е.А. Свойства эффективного преобразования каскадного фильтра/Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, В.А. Савченко//Межвуз. сб.науч.тр. «Прикладные задачи моделирования и оптимизации».-Воронеж, 2009.-С.202-205.

42. Ганцева Е.А. Характеристики каскадной фильтрации динамической предикторной модели/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе// Материалы 10 междунар. науч. конф. «Информатика: проблемы, методология, технологии». - Воронеж: ВГУ, 2010.-С. 186-190.

43. Ганцева Е.А. Самонастройка экспоненциального фильтра методом случайного поиска / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, З.Н. Сысоев // Труды всерос. науч. конф. «Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах». - Москва-С-Петербург-Воронеж, 2010. - С. 24-28.

44. Ганцева Е.А. Формирование каскадного фильтра и настройка его параметров. / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе // Сборник докладов междунар. науч. конф. «Информационные технологии в связи, вычислительной технике и энергетике». - Воронеж: МИКТ, 2010. - С. 25-30.

45. Каладзе В.А. Динамические предикторные модели эволюционирующих случайных процессов / В.А. Каладзе // Сборник докладов междунар. науч. конф. «Информационные технологии в связи, вычислительной технике и энергетике». - Воронеж: МИКТ, 2010. - С. 31-37.

46. Ганцева Е.А. Случайный поиск в параметрической настройке каскадного фильтра/Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе//Матер. 11 междунар. науч. конф. «Информатика: проблемы, методология, технологии». - Воронеж: ВГУ, 2011.— С. 188-192.

47. Ганцева Е.А. Тестовые функции алгоритмов поисковой оптимизации. Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, H.A. Тюкачёв // Сборник трудов 1 Всероссийской науч. конф. «Критические технологии вычислительных и информационных систем». - Воронеж: МИКТ, 2011. - С. 108-120.

48. Ганцева Е.А. Физические аналоги поисковых систем / Е.А. Ганцева,

B.А. Каладзе// Труды Всероссийской науч. конф. «Новые технологии в научных исследованиях» - Воронеж: ВГТУ, 2011. - С. 93-94.

49. Дорофеев Д.В. Автоматизированный способ оценивания на основе ДПМ-подхода вязкости по Муни сополимера/Д.В. Дорофеев, В.А. Каладзе // Информационные технологии моделирования и управления, № 3 (68). - Воронеж, 2011.-С. 306-313.

50. Ганцева Е.А. Вычислительный эксперимент в исследовании свойств динамических предикторных моделей/Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе// Информационные технологии моделирования и управления, № 4 (69). — Воронеж, 2011. -

C.426-434.

Подписано в печать 22.05.2013. Формат 60x84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Зак. № //8

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14.

Международный институт компьютерных технологий

На правах рукописи

КАЛАДЗЕ Владимир Александрович

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ.

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора технических наук

Воронеж 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................8

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ И

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ..............................................................................44

1.1. Основания и принципы предметной области...........................................44

:1.2. Краткая историческая справка и обзор предметной области.................51

1.2.1. Этапы математического описания и фильтрации случайных процессов..........................................................................................................51

1.2.2. Эволюция теории синтеза фильтров случайных процессов..............53

1.2.3. Уравнения стохастической динамики.................................................55

1.3. Обзор и сравнительный анализ моделей динамических случайных процессов.............................................................................................................59

1.3.1. Фильтры Калмана и Пугачёва..............................................................60

1.3.1.1. Задача оптимальной фильтрации...................................................60

1.3.1.2. Задача субоптимальной нелинейной фильтрации........................61

1.3.1.3. Методы получения субоптимальных фильтров. Обобщённый фильтр Калмана-Бьюси.................................................................................62

1.3.1.4. Задача условно-оптимальной фильтрации. Фильтры Пугачёва.........................................................................................................66

1.3.2. Основные современные подходы в моделировании динамических случайных процессов.......................................................................................68

1.3.2.1. Структурная основа фильтра Калмана...........................................69

1.3.2.2. Эконометрический подход..............................................................71

1.3.2.3. Полиномиальная модель Брауна с последовательной фильтрацией...................................................................................................73

1.3.3. Структурная классификация Колмогорова нестационарных случайных процессов.......................................................................................76

1.3.3.1. Описание движения случайными процессами со стационарными приращениями...............................................................................................76

1.3.3.2. Структурные функции.....................................................................78

1.4. Выводы.........................................................................................................80

ГЛАВА 2. ОБОСНОВАНИЕ И РАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ..............................................................................82

2.1. Предметная область. Нестационарные случайные процессы, содержащие информацию о поведении эволюционирующих сложных систем...................................................................................................................85

2.1.1. Описание динамики сложной системы...............................................86

2.1.2. Динамическая система с дискретным временем................................90

• 2.1.3. Проблема вложения каскада в нелинейный процесс.........................93

2.1.4. Случайные процессы, отражающие эволюцию системы. Динамика основной тенденции случайного процесса...................................................93

2.1.5. Стационарные приращения высокого порядка...................................94

2.1.6. Определение структуры модели ДСП.................................................96

2.1.7. Исходные данные математического описания...................................97

2.2. Альтернирование и регуляризация математических моделей сложных систем...................................................................................................................99

2.2.1. Альтернирование систем, моделей....................................................100

: 2.2.2. Регуляризация плохо обусловленных задач моделирования..........103

2.2.3. Асимптотическое поведение динамической системы с дискретным временем.........................................................................................................104

2.3. Алгоритмические модели с рекуррентной структурой.........................105

2.3.1. Эффективность рекуррентных процедур..........................................105

2.3.2. Алгоритмические модели...................................................................107

2.4. Структурные функции случайных процессов со стационарными

приращениями..................................................................................................110

' 2.4.1. Верификация моделей и тесты эволюционности процесса.............110

2.4.2. Структурные функции оценок математического моделирования ДСП.................................................................................................................112

2.5. Требования к формируемым моделям динамических случайных процессов...........................................................................................................116

2.6. Выводы.......................................................................................................120

ГЛАВА 3. ФОРМИРОВАНИЕ КОНФИГУРАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПРЕДИКТОРНОЙ МОДЕЛИ. СОСТАВ: ЯДРО, ПАРАМЕТРОВАРИАТОР, КАСКАДНЫЙ ФИЛЬТР....................................................................................122

3.1. Направленность и цели математического описания случайных процессов. Динамические модели..................................................................124

3.2. Формализация динамического ядра алгоритмической модели с использованием рекуррентного эффективного преобразования фильтрации........................................................................................................126

3.2.1. Условия формирования конфигурации модели................................126

• 3.2.2. Формализация модели первого порядка............................................129

3.2.3. Формализация модели второго порядка............................................132

3.2.4. Формализация модели осциллирующего полезного сигнала.........133

3.2.5. Формализация моделей высших порядков........................................135

3.3 Конфигурация структурных модулей ДПМ. Ядро, предиктор, параметровариатор, каскадный фильтр.........................................................137

3.3.1. Распараллеливание информации. Реконструкция многомерной структуры сложной системы........................................................................137

3.3.2. Критерии эффективности....................................................................139

■3.4. Каноническая форма ДПМ и особенности моделей сложных систем. 140

3.4.1. Соответствие структур ДПМ и динамической системы..................140

3.4.2. Особенности моделей сложных систем. Нелинейное статистическое оценивание......................................................................................................143

3.4.3. Модельные структурные и кросс-структурные функции................146

3.5. Выводы.......................................................................................................147

ГЛАВА 4. КАСКАДНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ............................................................................150

4.1. Экспоненциальный оператор фильтрации, как инструмент исследования динамических случайных процессов.....................................151

4.1.1. Формы оператора экспоненциальной фильтрации..........................152

4.1.2. Свойства операторов одноуровневой фильтрации..........................156

:4.2. Динамический статистический анализ....................................................162

4.3. Каскадный фильтр.....................................................................................165

4.4. Расчёт параметров фильтрации каскадного фильтра............................174

4.4.1. Изолинии...............................................................................................175

4.4.2. Настройка параметров фильтрации в интегрированной динамической предикторной модели..........................................................177

4.5. Выводы.......................................................................................................181

ГЛАВА 5. НАСТРОЙКА ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МЕТОДОМ АДАПТИВНОГО СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА............................184

.5.1. Адаптивные возможности случайного поиска.......................................185

.5.2. Информатное оценивание адаптации случайного поиска....................195

5.3. Адаптация случайного поиска методом направляющего конуса.........199

5.3.1. Постановка задачи...............................................................................202

5.3.2. Пробный анализ...................................................................................204

5.3.3. Характеристики распределения-конуса............................................205

' 5.3.4. Расчёт осевого направления конуса...................................................207

5.3.5. Определение качества результатов поиска.......................................209

5.3.6. Адаптация параметров и стратегии поиска.......................................210

. 5.3.7. Выбор величин рабочего и пробного шагов в окрестности . оптимума.........................................................................................................211

5.3.8. Расчёт величины рабочего шага поиска вдали от оптимума..........211

5.4. Тестирование поиска.................................................................................213

5.4.1. Графическая интерпретация поверхности Q....................................213

5.4.2. Тестовые функции...............................................................................213

5.4.3. Условия сходимости адаптивного случайного поиска....................215

5.5. Выводы.......................................................................................................217

ГЛАВА 6. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ РАЗРАБОТОК, ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.........................220

6.1. Исходные данные. Основные виды информации..................................221

6.2. Постановка задачи. Критерии и методика эксперимента.....................222

6.2.1. Объект исследования и его характеристики.....................................222

• 6.2.2. Критерии вычислительного эксперимента.......................................223

6.2.3. Критерии отбора алгоритмов в вычислительном эксперименте.... 225

6.2.4. Модели эксперимента.........................................................................226

6.2.5. Методика вычислительного эксперимента.......................................229

6.2.6. Имитация объекта................................................................................232

6.3. Выбор языка разработки. Программные средства.................................233

6.3.1. Язык С# как средство программной реализации..............................233

. 6.3.2. Программная реализация....................................................................236

6.4. Сравнение и исследование свойств моделей динамических случайных процессов...........................................................................................................239

6.4.1. Сравнительный анализ моделей.........................................................239

6.4.2. Исследование свойств ДПМ...............................................................242

6.4.3. Прогноз.................................................................................................246

6.5. Алгоритмизация метода адаптивной настройки параметров моделей для экспериментальных исследований.................................................................248

6.6. Выводы.......................................................................................................256

ГЛАВА 7. ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ДПМ-МОДЕЛИРОВАНИЯ.......259

7.1. Оценка состояния обрабатываемой поверхности изделия на основе ДПМ-моделирования для поддержания эффективного состояния режущего инструмента......................................................................................................259

7.2. Идентификация собеседника по аудиозаписи в зашумлённом помещении.........................................................................................................270

7.2.1. Экспорт данных.................................................................................273

7.2.2. Особенности идентификации индивидуальности звукового

источника.....................................................................................................274

7.2.3. Дискретизация...................................................................................276

7.2.4. Сложности, связанные с оцифровкой.............................................277

7.2.5. Кодирование экспортируемых цифровых аудиосигналов............279

7.2.6. Моделирование..................................................................................279

7.3. Численное ДПМ-моделирование вязкости по Муни сополимера........280

7.4. Выводы.......................................................................................................287

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................290

ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................................292

ПРИЛОЖЕНИЯ...................................................................................................310

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Проблема математического моделирования нестационарных случайных процессов возникает в задачах исследования сложных систем, под которыми понимаются эволюционирующие системы в условиях неполной и статистически неопределённой информации.

Научно-технические работы по математическому моделированию нестационарных случайных процессов в основном не используют конкретную классификацию таких процессов, лишь отрицая их стационарность и указывая на зависимость их параметров от времени. Далее постановка задачи оценивания процессов упрощается до признания их реализаций однородными на интервалах исследований и они исследуются как эргодические процессы без учёта нестационарных особенностей исходных процессов.

Методология моделирования, разработанная в каждой предметной области, всегда выделяется в самостоятельное научное направление, основанное на интеграции поставленных задач и методов смежных дисциплин. Математическое моделирование динамических случайных процессов представляет собой самостоятельное научное направление, основанное на интеграции задач и методов теории случайных процессов, математической статистики, математической теории систем и разностных схем, статистической поисковой оптимизации и вычислительной математики. Для эффективного решения проблемы математического моделирования нестационарных случайных процессов следует учитывать причину возникновения этих процессов, которая связана с исследованиями движения сложных объектов, в биологических и социальных системах, в ГИС, т.е. с исследованием сложных эволюционирующих систем.

Математическое описание нестационарных случайных процессов в условиях статистической определённости к данному моменту хорошо разработано для случая, когда случайный процесс представляет собой отклик

линейной динамической системы первого порядка, искажённый несвязным гауссовским шумом. Оптимальной моделью для этих условий является фильтр Калмана, использующий статистически определённую информацию и основанный на учёте ковариационных взаимодействий в последовательности наблюдаемых величин. Но при нарушении указанных условий фильтр Калмана расходится.

В диссертационной работе сформулирована и разрешена актуальная проблема формирования и исследования математических моделей динамических случайных процессов, описывающих поведение сложных эволюционирующих систем в условиях статистической неопределённости результатов наблюдений.

Поэтому становится актуальным развитие аппарата математического моделирования, преобразующего скалярную наблюдаемую информацию в адекватное описание многомерной системы, генерирующей данный процесс.

Для решения этой проблемы в настоящей работе была предложена и реализована методология формализации семейства динамических предикторных моделей с модульной структурой, относящихся к классу алгоритмических моделей. Реализация динамических моделей представляет собой актуальное решение задачи численной аппроксимации поведения сложных систем в режиме реального времени. Научное направление диссертационной работы актуально, поскольку продиктовано необходимостью разработки единой научной базы создания математических моделей важного класса динамических случайных процессов, отражающих поведение эволюционирующих сложных систем в условиях текущей информационной неопределённости.

Научно-теоретической основой данного исследования послужили труды: в стохастической динамике - К.Ито, Р.Калмана, В.С.Пугачёва, И.П.Бусленко, которые, в свою очередь, опирались на работы А.Эйнштейна, М.Смолуховского и П.Ланжевена в исследованиях броуновского движении и диффузионных процессов; математического моделирования нестационарных

случайных процессов и сложных систем в условиях информационной неопределённости с применением компьютерных технологий -В.С.Пугачёва, Л.А.Растригина, Я.З.Цыпкина; формализации алгоритмических моделей - С.В.Емельянова; в классификации, исследовании нестационарных случайных процессов и эволюции объектов -А.Н.Колмогорова, А.МЛглома, А.С.Монина, В.И.Татарского.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с научным направлением НОУ ВПО Международного института компьютерных технологий «Программные модели и системы: программные средства информационно-аналитического описания объектов в системах идентификации и навигации».

Цель исследования. Целью диссертационной работы является разработка каскадного подхода к синтезу динамических моделей случайных процессов со стационарными приращениями для обеспечения адекватности моделей.

Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Изучение, анализ и теоретическое обобщение известных задач и методов математического моделирования нестационарных случайных процессов.

2. Разработка целостного научно-методологического подхода в формировании математического описания случайных процессов со стационарными приращениями, содержащих информацию о поведении сложных систем.

3. Формализация семейства динамических моделей, с выводом, в ходе доказательства основных утверждений, их структуры в составе каскадного фильтра, распараллеливающего измеряемую информацию, и динамического ядра, реконструирующего многомерную динамику сложной системы.

4. Анализ конфигурации динамических предикторных моделей, исследование каскадного фильтра, его уровней и модулей динамического ядра.

5. Разработка процедуры последовательного дифференцирования по скалярной последовательности статистически искажённых данных.

6. Определение порядка статистической модели, адекватного порядку случайного процесса со стационарными приращениями.

7. Разработка математического описания динамики случайного процесса с использованием его инерционности.

8. Разработка ад