автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель и субоптимальная оценка параметров сигнала акустической эмиссии в условиях электромагнитных возмущений

На правах рукописи

Гольцев Артём Владимирович

□□3483622

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И СУБОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА АКУСТИЧЕСКОЙ ЭМИССИИ В УСЛОВИЯХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 4 ДЕК 2009

Ростов-на-Дону - 2009

003489622

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (РГУПС)

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Соколов Сергей Викторович

Официальные оппоненты

доктор технических наук, доцент Строцев Андрей Анатольевич

кандидат физ.-мат. наук Попов Олег Нестерович

Ведущая организация

Южный федеральный университет

Защита состоится «29» декабря 2009 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 218.010.03 при Ростовском государственном университете путей сообщения по адресу: 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакошггься в библиотеке университета.

Автореферат разослан « 27 » ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 218.010.03, доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Одним из приоритетных направлений математического моделирования в технике является разработка эволюционных математических моделей, описывающих динамику изменения параметров объекта контроля или физического процесса, что позволяет проводить диагностирование в реальном времени, а также прогнозировать момент наступления критического режима.

Например, в процессе эксплуатации ответственных и тяжелонагруженных узлов трения машин и механизмов (в особенности, на железнодорожном транспорте), а также в ходе трибологических испытаний различных материалов возникает необходимость текущего контроля динамики фрикционного изнашивания деталей. Это позволяет выявлять дефекты в материале на ранних стадиях развития и принимать своевременные меры по их устранению или замене деталей с целью предотвращения катастрофического износа материала, приводящего к аварийным последствиям, а также необоснованной замены исправных деталей во время плановых ремонтов.

При этом важное значение имеет быстрота и своевременность получения диагностической информации непосредственно в процессе работы, без разборки контролируемых узлов. Поэтому предпочтение отдаётся методам неразрушающего контроля, среди которых наиболее популярным является метод акустической эмиссии (АЭ).

Анализ научных работ в области акустико-эмиссионного исследования разрушения твердого тела показывает, что до сих пор проблема поиска взаимосвязи между параметрами сигналов АЭ и процессом разрушения, не решена в полной мере. Недостаточное внимание уделяется исследованию возможности применения сигналов АЭ для прогнозирования ресурса трибосопряжений. Существуют лишь немногочисленные разрозненные методики приблизительной оценки ресурса, в которых используется большое количество априорно известных данных, тогда как процесс излучения сигналов АЭ является стохастическим.

Кроме того, актуальной является проблема регистрации полезного сигнала АЭ в условиях разнообразных внешних возмущений и внутренних шумов электронной аппаратуры. Аппаратное решение этой проблемы требует дополнительного усложнения и удорожания регистрирующей аппаратуры. А применение программных методов фильтрации шумов до настоящего времени носило в основном теоретический характер, вследствие больших вычислительных затрат на их использование.

Цель и задачи исследования. Основной целью является разработка математической модели сигнала АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела и численная реализация алгоритма фильтрации сигнала АЭ, регистрируемого в условиях внешних (электромагнитных) возмущений, а также алгоритма оценивания параметра интенсивности фрикционного разрушения твёрдого тела, позволяющего прогнозировать его ресурс.

Для достижения сформулированной цели требуется решить следующие задачи.

1. Анализ существующих математических моделей сигналов АЭ при разрушении твердого тела, систем акустико-эмиссионного диагностирования (АЭД) и различных факторов, затрудняющих регистрацию полезного сигнала АЭ.

2. Разработка математической модели сигнала АЭ при фрикционном разрушении твердого тела.

3. Синтез дифференциальных уравнений первичного сигнала АЭ и сигнала на выходе измерительной системы.

4. Анализ существующих алгоритмов фильтрации и параметрического оценивания динамических процессов и их ограничений.

5. Синтез алгоритма фильтрации сигнала АЭ при возмущенных измерениях.

6. Решение задачи оптимального оценивания параметров стохастических процессов на основе нелинейных вероятностных критериев с целью оценки параметра интенсивности фрикционного разрушения твёрдого тела при возмущенных измерениях сигнала АЭ.

Объект исследования - математические модели и системы измерения сигнала АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела.

Предмет исследования - алгоритмы оптимального оценивания параметров сигналов АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела в условиях внешних (электромагнитных) возмущений.

Методы исследования основываются на использовании положений теории вероятностей, кинетической концепции прочности, теории передачи сигналов с применением аппарата гармонического анализа несинусоидальных функций, теории оценивания параметров стохастических процессов с привлечением численных методов решения систем линейных дифференциальных уравнений большой размерности, а также теории матриц.

Инструментально-методическим аппаратом для решения поставленных задач послужили пакеты прикладных математических программ Mathcad и Maple.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

1. На основе Фурье-анализа одиночного импульса АЭ, порождаемого отделением частицы износа, получены дифференциальные уравнения текущего сигнала АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела, основным параметром которых является интенсивность разрушении.

2. Для фильтрации полезного (информационного) сигнала АЭ в условиях электромагнитных помех синтезированы уравнения линейного фильтра Калмана-Бьюси (ФКБ) сигнала АЭ, и проведено численное моделирование алгоритма фильтрации.

3. Разработан новый метод оптимального оценивания параметров стохастических процессов на основе использования критерия максимума апостериорной плотности вероятности (АПВ) ошибки оценки в заданном интервале.

4. На основе разработанного метода оптимального оценивания параметров синтезировал численный алгоритм оптимального оценивания параметра интенсивности разрушения твёрдого тела по измерениям сигнала АЭ, регистрируемого в условиях электромагнитных возмущений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов исследования подтверждаются вычислительными экспериментами на имитационной модели, а также результатами практического использования предложенных в диссертации моделей и алгоритмов, что подтверждено соответствующими актами.

Практическая ценность диссертации состоит в разработке:

- алгоритма численного моделирования дифференциальных уравнений сигнала АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела,

- численного алгоритма оптимальной фильтрации сигнала АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела, регистрируемого в условиях внешних возмущений,

- численного алгоритма оптимального оценивания параметра интенсивности разрушения, определение которого позволяет прогнозировать ресурс твердого тела при трении.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Динамическая модель первичного сигнала АЭ на основе кинетической концепции прочности.

2. Динамическая модель сигнала АЭ на выходе измерительной системы.

3. Алгоритм фильтрации полезного сигнала АЭ, регистрируемого в условиях электромагнитных возмущений, и его численная модель.

4. Метод оптимального оценивания параметров стохастических процессов с использованием ФКБ и критерия минимума АПВ ошибки оценки вне заданного интервала.

5. Численный алгоритм оптимального оценивания параметра интенсивности разрушения твёрдого тела по измерениям сигнала АЭ, регистрируемого в условиях электромагнитных возмущений.

Апробация работы. Основные научные и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-практических конференциях «Фундаментальные и прикладные проблемы надежности и диагностики машин и механизмов» (Санкт-Петербург, 2007 г.), «XIV Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам» (Сочи, 2007 г.), «Транспорт-2006,2007,2009» (РГУПС).

Публикации. По результатам диссертационного исследования опубликовано 10 печатных работ общим объёмом 2,19 п.л., из которых 5 работ - в изданиях перечня ВАК.

Внедрение результатов работы. Математическое обеспечение, предложенное в диссертации, внедрено в разработки ФГУП ОКТБ «Орион» (г. Новочеркасск) и в учебный процесс кафедры «Связь на железнодорожном транспорте» РГУПС. Получены акты о внедрении.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и четырёх приложений. Общий объём

диссертации составляет 168 стр. Основное содержание изложено на 135 стр., включает 20 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 135 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность темы исследования, сформулированы его цель и задачи, указаны элементы научной новизны, практическая ценность, апробация результатов работы и публикации.

В главе 1 описаны преимущества акустико-эмиссионного метода диагностирования трибосопряжений по сравнению с другими методами НК. Рассматриваются информативные параметры сигнала АЭ, и на основании обзора литературных источников проводится анализ основных направлений развития систем АЭД, указывающий на необходимость усовершенствования технических средств контроля динамики фрикционного разрушения деталей технических объектов, работающих в условиях нормальных и критических нагрузок, посредством разработки современных программных алгоритмов обработки данных измерений.

Контроль динамики разрушения позволяет провести оценку ресурса исследуемого твёрдого тела при. трении. Такая оценка может быть осуществлена на основании результатов функционирования математических моделей сигнала АЭ, отражающих взаимосвязь параметров сигнала АЭ с физико-статистическими закономерностями фрикционного разрушения поверхности твёрдого тела. Анализ литературных данных показал ряд недостатков, которыми обладают существующие подходы к моделированию АЭ.

Наиболее эффективным с точки зрения прогнозирования ресурса в условиях минимального числа априорно известных данных, а также удобства формализации с последующей разработкой на ЭВМ, представляется подход, основанный на использовании кинетической концепции прочности С.Н. Журкова, который и положен в основу дальнейшего исследования.

Далее в работе проводится анализ мешающих влияний, отрицательно сказывающихся на качестве регистрации информативных параметров сигнала АЭ. Если внешние воздействия (шум работающей установки, вибрации в узлах нагружающих приспособлений, посторонние звуки) в системах АЭД, как правило, ограничивают с помощью фильтров высокой частоты, то уменьшение влияния внутренних шумов электронной аппаратуры, близких по частотам к информативному сигналу АЭ, требует дополнительного усложнения и удорожания регистрирующей аппаратуры. Структурная схема такой системы регистрации сигналов АЭ представлена на рис. 1. Принцип действия изложен в диссертационной работе.

В то же время, использование математических методов теории оценивания параметров сигналов, статистической теории принятия решений, синтез на этой основе программных фильтров защиты от помех позволяют

существенно улучшить качество аппаратуры, уменьшить её габариты и стоимость, а также повысить достоверность получаемых результатов.

ОК - оЗьскт контроля; ЗП * звукощювод;

ПАЭ - преобразователь акустической эмиссии; пу -предварительный усилитель; ФВЧ -ф(иь1рверяан?с частот; ОУ • основной усилитель; Д1, ДО-детекторы;

Рис. 1. Система регистрации сигналов АЭ с аппаратным блоком подавления электромагнитных помех

Структурная схема предлагаемой системы регистрации сигналов АЭ представлена на рис. 2.

СЗ • схема запрета; ДУ - дополнительный усилитель; СК - согласующий каскад; Л - антенна; У -усилитель; ф - формирователь.

Рис. 2. Предлагаемая система регистрации сигналов АЭ

В существующих на сегодняшний день системах АЭД истинные значения информационных параметров определяют на основании статистического анализа зарегистрированной реализации. В предположении, что искомый параметр сигнала есть случайная функция с известной априорной плотностью вероятностей, минимизируют функционал среднего риска, зависящий от функции потерь и АПВ искомого параметра. Таким образом, оценка значения параметра совпадает со средним значением апостериорной плотности вероятности.

Данный алгоритм оценивания имеет существенный недостаток. Если сведения об априорной плотности вероятности отсутствуют, то искомый параметр полагают равномерно распределенным в некотором интервале. Однако в реальных стохастических процессах априорная плотность вероятности оцениваемого параметра, в общем случае, не постоянна. Поэтому

для получения оптимальной оценки параметров сигналов АЭ в диагностических системах необходимо использовать алгоритмы оценивания с применением методов адаптивной фильтрации.

Глава 2 посвящена разработке модели сигнала АЭ, возникающего в процессе фрикционного взаимодействия двух твёрдых тел при разрушении поверхности одного из них. Выбранная в первой главе для исследования кинетическая модель разрушения поверхности позволяет функционально связать количество ячеек, разрушаемых термоактивированно в единицу времени, т.е. активность АЭ, и время «ожидания» термоактивированного разрушения тела т.

Изменение числа термоактивированно разрушенных ячеек можно записать как

йт=(Щ-нт)1Г, (1)

где 2У0 - первоначальное количество целых ячеек;

IV - вероятность разрыва одной ячейки в единицу времени или параметр интенсивности разрушения,

Таким образом, число разрушенных ячеек ЫТ соответствует общему числу импульсов АЭ за рассматриваемый промежуток времени. При этом необходимо учитывать, что при наличии прецизионного датчика импульсов АЭ на его выходной сигнал оказывает существенное влияние форма импульса.

На рис. 3 приведена временная диаграмма импульса механического напряжения, возникающего при разрушении одной фрикционной связи. Здесь Аи,Ти- соответственно, амплитуда и длительность импульса.

Суммарный сигнал от непрерывного разрушения множества ячеек на текущем интервале времени, т. е. сигнал на выходе ПАЭ, подаваемый на вход измерительной системы, определяется выражением:

у(0=)йт& ,)•/(*-*!)*!, (2)

О

где соответствует началу текущего временного интервала.

Формула (2) представляет собой интеграл Дюамеля, который может быть интерпретирован как функция отклика линейного динамического звена с известными характеристиками на некоторое входное воздействие. В данном случае - как реакция y(t) динамического звена с импульсной переходной

характеристикой (ИПХ) /(f) на входное воздействие ÑT(t).

Для нахождения передаточной функции такого звена-модели выполнено предварительное разложение в ряд Фурье импульса амплитудой 1 мкВ и длительностью 30 мкс, что, согласно литературным данным, соответствует средней амплитуде и длительности одиночного импульса АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела. Такая аппроксимация является удовлетворительной уже при рассмотрении постоянной составляющей А0 и первых четырех гармоник с амплитудами А1,А2,А3, А4 и частотами СО], <а2> юз> ю4: 4

/ (i) = Х//(0 =А + Al cos(ojí + л) + А2 eosco2í + А3 cosa>3í + t=o

+ А4 cos(co4í + л) = Aq — A¡ coscú^ + A2 eos сú2í + A3 cosco 3t - A4 eos co4f, (3) Графики функций /(f), /*(0 и гармонических составляющих f¡{t) показаны на рис. 4.

Рис. 4. Гармоническая аппроксимация ИПХ звена-модели сигнала АЭ

Передаточную функцию звена-модели получим, применив прямое

преобразование Лапласа к функции (3):

= + + (4)

Р Р +£0) /Г+СОз р +Ш з р +Ю4

Рассматриваемое динамическое звено-модель сигнала АЭ может быть описано системой линейных дифференциальных уравнений. Если входное воздействие равно (?), то интегралу (2) эквивалентно выражение:

Р р2+ ю,2

, А2ргЩ{р) А3р2Мт(р) А4р2Нт(р)_* + : 2 2 2 2 2 ~ ' + Ю2 Р +И3 Р +®4 ¡=0

(5)

(6)

№ этого выражения, учитывая (1), нетрудно получить систему линейных дифференциальных уравнений для составляющих первичного сигнала АЭ у, (0, действующего на входе измерительной системы:

т=- ад] -

у2(0 = -А2\¥2[Ы0 - ЗД] - й>22у2(У = -Л3Ш2[Ы0 - Нт0)] - <0\уъО)' = -Nj.fi)] - со2,у/0

йг(0= ЩЩ-ям

Переходя к оригиналам функций в выражении (5), можем записать:

АО = у о О+л (0+у 2 (0+Уз (0+у4(0-Преобразуем систему (6) к виду Коши, произведя замену:

М0=У*(0,

Имеем:

(7)

у\(0=у\0)

У!(0=- л^гСО] - ®\У\0)

У2(0 = У2(0

У*2(0=-А2Ц

уз(*)=а(0 У4(0=У*А(0

у4(О = А4№2[Ко-^М-со24у4(0

{N7(0= 1У[Щ-НТ{{)} Особенностью процесса регистрации импульсов АЭ является тот факт, что измерительная система и, прежде всего, ПАЭ воспринимает не отдельные первичные импульсы АЭ, а совокупность импульсов, приходящих от

Уг«)=-А2¥2[Щ-ЩШ-<й22у2(1)

у*ф)=-А3¥2[Щ - мГ( 01 -

множества разрушаемых ячеек поверхности трения, т.е. представляет собой приемник-интегратор и осуществляет регистрацию суммы импульсов АЭ.

Следовательно, сигнал на выходе такого измерителя / /

*(')= л = |Ьо (О+У\ (0+У 2 (0+Уз (О+У а (0] А • о о

Проинтегрируем по времени уравнения системы (б) для составляющих сигнала _у,(?) на интервале от 0 до ( и приведём полученные уравнения к форме Коши, выполнив замену:

Уо(0=*о(0. л(0 = *|(0, (0 = */('),

где / = 1,2,3,4.

Имеем в окончательном виде:

х//; = ~41У[ЛГ0 -Ят(/)] х2(0 = х20)

х20) = А2Ж[Ы0 - Nj.it)] -О)22х'2(0 хг(1) = х30)

ъО) = А3¥[М0 - Мт(0] - 0)1x1(1) х*(1) = х/1)

При этом результирующий сигнал на выходе измерительной системы 2(0 = к • [х0(0 + *,*(/) + х*(0 + хз(() + х^(/)] + т](/) = кх(1) + п(/), (9) где х(() - информативный сигнал АЭ;

г|(0 - суммарный шум приемника интенсивностью (2; к - общий коэффициент усиления приёмного тракта измерительной аппаратуры.

В главе 3 проводится анализ существующих алгоритмов фильтрации и параметрического оценивания стохастических процессов с целью выявления основных недостатков и определения наиболее перспективных направлений модернизации этих алгоритмов.

В задачах фильтрации сигнала в условиях возмущающих воздействий наиболее целесообразным является использование математических фильтров, основанных на ковариационных матрицах ошибок оценивания. Такие алгоритмы оказываются наиболее эффективными при белых гауссовых шумах и представляют собой рекуррентный вариант метода наименьших квадратов. Наиболее универсальным и удобным для программной реализации является линейный фильтр Калмана-Бьюси.

В задачах оценивания неизвестного параметра системы, описываемой определённым оператором, в условиях наблюдения -векторов входных и выходных сигналов применяются методы параметрического оценивания: прямые, в том числе и со статистической обработкой результатов, беспоисковые и поисковые алгоритмы с адаптивной моделью и др.

Анализ существующих алгоритмов фильтрации и оптимального оценивания параметров показал, что они способны по отдельности решать практические задачи фильтрации и параметрического оценивания, тогда как предлагаемый в диссертации алгоритм параметрического оценивания на основе нелинейных вероятностных критериев позволяет осуществлять оценивание вместе с параметрической идентификацией и подходит для программной реализации и встраивания в диагностические системы реального времени.

В главе 4 выполнено численное моделирование сигнала АЭ на входе и выходе системы регистрации, а также алгоритма фильтрации, при фрикционном разрушении твердого тела в условиях эксперимента, описанного в трудах учёных гомельского Института механики металлополимерных систем HAH Беларуси. Задана масса тела, амплитуда и длительность отдельных импульсов АЭ, общий коэффициент усиления приемного тракта, белый гауссов шум приёмника со своим среднеквадратическим отклонением, а также начальное количество ячеек и интенсивность их разрушения (таблица 1). Значения коэффициентов At и со,- представляют собой амплитуды и начальные фазы гармоник фурье-разложения одиночного импульса, выполненного в главе 2. Параметр интенсивности разрушения W задан априори.

Таблица 1

Исходные данные для моделирования сигнала АЭ

Параметр Значение Ед. измерения

Ко 2083 ячейки

Л 0,467 мкВ

А 0,596 мкВ

А 0,054 мкВ

л3 0,118 мкВ

А4 0,028 мкВ

о, 2,09-105 с"1

е>2 4,19-105 с-1

со3 6,28-105 с-1

ю4 8,37-105 с"1

к 104

W 0,45-10"3

Численная реализация алгоритмов выполнена с помощью программы Maple. Решение указанных систем уравнений осуществлялось численным

методом Рунге-Кутты 4-го порядка на временном интервале [0; 40000] с, выбранном эмпирически.

Результаты моделирования выходного сигнала измерителя без помех показали, что его постоянная составляющая х0(/) (рис. 5а) ведёт себя во времени аналогично функции разрушения ячеек (рис. 56), т.е. момент

выхода функции Мг(() на насыщение / » 37 кс (полное разрушение всех ячеек) совпадает с моментом насыщения функции х0(?) (рис. 5в и 5г).

Следовательно, по разработанной модели можно графически и аналитически оценить долговечность тела, выделив из измеряемого с искажениями сигнала АЭ *(/) несинусоидальную составляющую х0(г).

а) б)

Рис. 5. Временные диаграммы сигналов х0(/) и Лу(г)

Моделирование влияния шума аппаратуры на измеряемый сигнал АЭ, а также процесса его фильтрации производилось на трёх выборочных временных интервалах ( [0; 0,000180], [5000; 5000,000180] и [37000; 37000,000180] с ) для трёх различных значений шума (0,01 мкВ; 0,1 мкВ и 1 мкВ). Интервалы выбирались таким образом, чтобы получить наглядную картину эволюции формы отдельных импульсов неискаженного сигнала АЭ на выходе измерителя от начала испытаний до полного разрушения тела. Результаты моделирования неискажённого сигнала х(1), измеряемого сигнала ¿(0 и оценки х(1) на интервале [37000; 37000,000180] с, в окрестности точки полного разрушения тела, при трёх указанных значениях шума представлены в таблице 2.

Анализ полученных временных диаграмм показывает, что при уровнях шума 0,01 и 0,1 мкВ, что на 2-3 порядка ниже амплитуды колебаний оцениваемого сигнала, синтезированный фильтр даёт практически точную оценку, погрешность которой лежит в пределах ±5 % от амплитуды колебаний

неискажённого сигнала, тогда как при уровне шума 1 мкВ, соизмеримом с полезным сигналом, погрешность достигает недопустимых значений.

Таблица 2

Результаты моделирования процесса фильтрации сигнала АЭ

х(0 при Г = [37000; 37000,000180] с

«е. •лиге У \1 \1 У \! \1

л(0 *(0, ¿(0 х(0, х(0

0,01 мкВ «.яа 9 т!Ь. ш

--* »о

0,1 мкВ «.яд.а »лай чшт имя» 1ш1 ВИГ! 'Пт|| 1.1 ] \ZvVW 1/

ю теше яамвм являя »»и» *ш>«* «пап мвам г.

- « — ----- ------«О

х(0, гЦ)

1 мкВ «¡.«.а № 1 1 ||

-« - ----..... Я) -5п

Далее в главе 4 проводится синтез и численное моделирование алгоритма субоптимального оценивания параметра интенсивности фрикционного разрушения твёрдого тела IV, который в прикладных задачах трибодиагностики априорно не задан и является искомым параметром для определения ресурса твёрдого тела при трении.

Синтез алгоритма субоптимального оценивания проведен с использованием линейного ФКБ и критерия минимума АПВ ошибки оценки вне заданной области. Для этого предварительно матричные уравнения наблюдаемого процесса (9) и наблюдателя (10) приведены к виду (зависимость компонент от времени опущена):

Х=80(Х) + 8(Х)-\У

где

80(Х) =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 4>" 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -о? 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -со| 0 0 0 0 0 0 X; 8(Х) = А2(Ы0-А'Т)

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -о>з 0 0 0 0 А3(Ы0-МТ)

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 -Л4(Щ-Ыг)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ■Уо-^г

Запишем уравнения ФКБ для оценки вектора АПВ состояния системы:

£=в о (X)+в(Х) • тр+1*ст(?[г - сх]

Ё = [М + ЩШТ + Мт] - мЯч^сж

.. 580(Х) Э8(Х) где М=—К =——. дХ дХ

Преобразуем уравнения (10) к единой векторной форме, используя матричные операции. Введём обозначения:

в! =мх+кстсг1[г-сх], с2=мк+кмт-кстд_1ск,

С3 = (КЫ)М + (ЫКТ)М = (ККЕ)(Г> + (1ЖтЕ)(у) = (Е ® + (Е ® ЩКТ(у). Тогда можем записать:

= в^&К,*) + С3(Х,К)

(10)

Введём расширенный вектор оценок У =

X

К«

Тогда с учётом введенных ранее обозначений будем иметь:

с,(У,г,о 1 8(¥)

С«(У,0 СзОЭ

У =

Уравнение для вектора ошибки а=Х-Х = [о>0 а, а2 ст3 в этом случае имеет вид:

(П)

°4 °5 °6 а7 ст8

6=во (X)+8(Х)Ж - Б0 (50 - вро • ж - кс^-1 [г - сх]= = ^(Х) - 8(Х)]- г+во (X) - в0 ро - кс^о-1 [г - сх]= =к(х - ^г+м(х - х) - ис^-1 [г - сх]= =кжа+ма-кст<г1 [г - сх].

Уравнение наблюдения для вектора ошибки можем записать как

г1=г-сх=са+т1.

Тогда уравнения фильтра Калмана-Бьюси для ошибки оценки будут иметь вид:

0= кт+мд-псГ[(}-% + РС^"1^! -Сд]

Р = [ЮГ + М] • Р + Р • [кт»г + Мт ]- РСтО'1СР'

где а - апостериорное математическое ожидание ошибки оценивания; Р - апостериорная ковариационная матрица ошибки оценки. Обозначим матрицы Б! =Кд,

ястсг%+рсто-1[г1 - с&],

= МР + РМТ - РС^-'СР, в4 = (КР){У) +(РКт)(,г) = (КРЕ)(У) +(РКТЕ)М = = (Е ® К)Р(У) +(Е® Р)К™.

(12)

Теперь для построения расширенного вектора ошибки оценки £ = уравнения (12) можно преобразовать к виду:

Рм = 84Г + 8^'

откуда

а РМ

ь

=вг+в„.

(13)

Исходя из физического смысла поставленной задачи, в качестве наиболее адекватной формы минимизируемого функционала целесообразно использовать сумму двух функционалов:

7 = +у2 = ] 1- |раст Л+ (?)<#.

'о\ атм / 'о

где р - аппроксимированная АПВ ошибки.

Минимизация функционала ^ обеспечивает минимум вероятности существования ошибки вне области о* = [стт;п,атах].

Будем считать, что вероятность возникновения ошибки в заданной области имеет нормальное распределение, так как оцениваемый сигнал искажён белым нормальным шумом.

Функционал выбран в квадратичной форме. Его минимизация должна обеспечить минимально возможные «энёргетические» затраты на эволюционный переход системы из начального состояния в конечное (в соответствии с принципом Ферма) на заданном интервале времени ].

Решение поставленной задачи будем далее осуществлять, используя принцип максимума Л.С. Понтряпша.

Для рассматриваемого функционала J гамильтониан Н. имеет вид:

^Отах °9шах

I ... }рЛу0..Ла9+Ж2(0 + А1

по

где А, - вектор сопряжённых переменных, определяемый из уравнения

[_ ЗУ д% _

Продифференцируем выражение (14) по параметру Ж:

(14)

(15)

ан.

дЖ

= 2№ + \т

Отсюда можно записать необходимое минимизируемого функционала:

.1С

условие стационарности

2Ж + ХГ\

В

= 0.

Следовательно,

2

(16)

Подставляя полученное выражение в исходную систему оценок (11), (13) и сопряжённых уравнений (15), получим:

У С» 1 С • 1т в

4 Во ~ 2 В /v в

о

¿Л

Ч<к)=о

ее

ЗУ

о

0 5С0 0

ЗУ

ЭВ + эв0 зв0

а% ЗУ

(17)

Уо

Ш

Интегрирование системы (17) является решением двухточечной краевой задачи (ДТКЗ) для системы ОДУ. Одним из методов решения ДТКЗ является метод «пристрелки», которым целесообразно воспользоваться в силу его наличия в виде стандартной функции программного пакета МаЛсаё.

Численное моделирование разработанного алгоритма параметрического оценивания для составляющей х0 сигнала АЭ на выходе измерителя, которая, как было показано ранее, несёт основную информацию о моменте полного разрушения тела, выполнено при тех же самых исходных данных (таблица 1). Однако параметр интенсивности разрушения W изначально не задан. Блок-схема и программная реализация алгоритма в среде Maple приведены в Приложении 3.

Выбор пределов интегрирования сг*(х0) = [a0m!n,a0max] в выражении (14) при вычислении АПВ для компоненты о0 вектора ошибки оценки производился на основании анализа временной диаграммы для соответствующей компоненты х0 выходного сигнала измерителя (рис. 5а). Эти пределы ошибки при допуске ±10% от половины максимального значения функции лг0 на всём интервале моделирования составили:

а.(*„) = 1-0,5; 0,5].

С помощью функции sbval программного пакета Mathcad, предназначенной для решения ДТКЗ (листинг показан в Приложении 4), получен вектор недостающих начальных условий:

-43-10~М

(18)

0

10,000967 0

Подстановка начальных условий (18) в основной алгоритм оценивания, позволила решить систему (17) и найти оцениваемый параметр по формуле (16). Найденное таким образом значение Шя0,000453 практически соответствует значению параметра интенсивности разрушения, заданному в условиях к задаче фильтрации измеряемого сигнала АЭ (таблица 1). Следовательно, задача оценивания параметра Ж при постоянной нагрузке и скорости трения решена.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты работа могут быть сформулированы в виде следующих теоретических и практических выводов.

1. Получены дифференциальные уравнения сигнала АЭ на входе и выходе измерительной системы, отражающие зависимость параметров суммарного сигнала АЭ, возникающего при разрушении множества фрикционных связей, от временных параметров разрушения, в том числе - от интенсивности разрушения Ж.

2. Показано, что в задачах оптимального оценивания параметров линейных систем в условиях возмущающих воздействий наиболее целесообразным является использование математических фильтров, основанных на ковариационных матрицах ошибок оценивания.

3. На основе линейного ФКБ разработан численный алгоритм фильтрации сигнала АЭ в условиях электромагнитных возмущений.

4. Разработан адаптивный алгоритм оптимального оценивания параметра интенсивности фрикционного разрушения твёрдого тела на основе критерия максимума АПВ ошибки оценки в заданной области.

5. Численная реализация указшшых алгоритмов выполнена с помощью программы Maple. При анализе модельных временных диаграмм полезного сигнала АЭ обнаружена взаимосвязь между формой графика несинусоидальной компоненты х0(7) выходного сигнала измерителя и моментом полного фрикционного разрушения твердого тела, которая выражается в достижении «насыщения» функцией x0(t) в окрестности значения аргумента t, близкого к ожидаемому моменту разрушения.

6. При уровнях шума 0,01 и 0,1 мкВ, что на 2-3 порядка меньше амплитуды колебаний оцениваемого сигнала, синтезированный ФКБ даёт практически точную оценку, погрешность которой лежит в пределах ± 5 % от амплитуды колебаний неискажённого сигнала, тогда как при уровне шума 1 мкВ, сравнимом с полезным сигналом, погрешность превышает допустимые значения.

7. Результаты численной реализации алгоритма оценивания параметра интенсивности разрушения свидетельствуют об эффективности практического использования предложенного адаптивного подхода с точки зрения точности оценивания параметров процесса в условиях гауссовских помех достаточно широкого амплитудного диапазона.

ОСНОВНЫЕ ПУЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Постановка задачи определения долговечности образца при термоактивированном разрушении в процессе трения по сигналам акустической эмиссии / A.B. Гольцев // Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта: Межвуз. сборник науч. трудов. - М.: РГОТУПС, 2006. - С. 15-19.

2. Разработка автоматизированной системы диагностирования трибо-сопряжений методом акустической эмиссии: постановка задачи / С.В. Соколов, A.B. Гольцев, Д.В. Швалов // Труды РГУПС. - 2005. - №1. - С. 125-129.

3. Постановка задачи автоматизации диагностирования трибосопряже-ний методом акустической эмиссии с использованием кинетической теории прочности / A.B. Гольцев // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Транспорт-2006». - Ростов н/Д: РГУПС, 2006. - С. 204 - 206.

4. Структурная идентификация стохастических динамических систем / С.В. Соколов, Н.И. Гриненко, Д.В. Швалов, A.B. Гольцев, С.ВЛрокопец // Известия высших учебных заведений Северо-Кавказский регион. Серия «Технические науки».4-2005. - №2. - С. 33-35.

5. Исследование динамической структуры сигнала акустической эмиссии при трении твердых тел I A.B. Гольцев // Актуальные проблемы развития

железнодорожного транспорта: сборник трудов молодых учёных, аспирантов и докторантов. - Ростов-н/Д: РГУПС, 2008. - С. 31-35.

6. Постановка задачи идентификации долговечности твердых тел на основе кинетической теории прочности при акустоэмиссионном диагностировании трибосопряжений / A.B. Гольцев // Известия высших учебных заведении. Северо-Кавказский регион. Серия «Технические науки». - 2007. - №3. - С. 5154.

7. Оптимальная адаптивная фильтрация параметров сигнала акустической эмиссии при диагностировании трибосопряжений / A.B. Гольцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. -№2. - С. 283 - 285.

8. Применение линейного фильтра Калмана-Бьюси для оценивания параметров модели сигнала акустической эмиссии при трении твёрдых тел в условиях возмущающих факторов / C.B. Соколов, A.B. Гольцев // Вестник РГУПС. - 2008. - №1. - С. 45 - 48.

9. Неразрушающий контроль трибосопряжений в условиях помех с применением линейной фильтрации сигнала акустической эмиссии / C.B. Соколов, A.B. Гольцев II Вестник машиностроения. - 2008. - №3. - С. 30-33.

10. К оценке глубинной контактной выносливости эвольвентных зубчатых передач с поверхностно упрочненными зубьями / В.И. Короткий, Н.П. Онишков, A.B. Гольцев // Вестник машиностроения. - 2008. - №5. - С. 9 -14.

Гольцев Артём Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И СУБОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА АКУСТИЧЕСКОЙ ЭМИССИИ В УСЛОВИЯХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано к печати 23.11.2009 г. Формат бумаги 60x84/16 Бумага офсетная. Ризография. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100. Заказ №4773.

Ростовский государственный университет путей сообщения. Ризография РГУПС.

344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2.

Введение

Оглавление

Глава 1. Анализ проблемы повышения точности систем акустико-эмиссионного диагностирования (АЭД) в условиях электромагнитных возмущений.

1.1 Метод АЭ и его преимущества при НК трибосопряжений.

1.2 Анализ эффективности существующего математического и программного обеспечения метода АЭ.

1.2.1 Принципы построения систем АЭД.

1.2.2 Математические подходы к моделированию АЭ и их недостатки.

1.3 Исследование особенностей регистрации сигналов АЭ в условиях электромагнитных возмущений.

1.3.1 Анализ возмущений при регистрации сигналов АЭ.

1.3.2 Существующие способы уменьшения помех и их недостатки.

1.4 Постановка частных задач исследования.

1.5 Выводы к Главе 1.

Глава 2. Разработка математической модели сигнала акустической эмиссии при фрикционном разрушении твердого тела.

2.1 Физические принципы построения модели.

2.2 Фурье-анализ одиночного импульса АЭ.

2.3 Синтез дифференциальных уравнений первичного сигнала АЭ.

2.4 Синтез дифференциальных уравнений сигнала АЭ на выходе измерительной системы.

2.5 Выводы к Главе 2.

Глава 3. Разработка методов оптимального оценивания параметров состояния систем АЭД в условиях электромагнитных возмущений.

3.1 Анализ существующих алгоритмов фильтрации сигналов и их ограничений.

3.2 Анализ существующих алгоритмов оценивания параметров динамических процессов и их ограничений.

3.3 Общее решение задачи оптимального оценивания параметров динамических систем на основе нелинейных вероятностных критериев.

3.4 Выводы к Главе 3.

Глава 4. Численное моделирование алгоритмов оптимального оценивания параметров сигнала АЭ в условиях электромагнитных возмущений.

4.1 Синтез алгоритма фильтрации сигнала АЭ в условиях электромагнитных возмущений.

4.2 Численное моделирование алгоритма фильтрации.

4.3 Синтез алгоритма субоптимального оценивания параметра интенсивности фрикционного разрушения твёрдого тела.

4.4 Численное моделирование алгоритма субоптимального оценивания параметра интенсивности фрикционного разрушения твёрдого тела.

4.5 Выводы к Главе 4.

Современное состояние промышленности характеризуется интенсивным развертыванием новых производств, внедрением новой техники и новых технологий, что делает продукцию конкурентоспособной на мировых рынках. Основной целью научных исследований и разработок в таких экономических условиях становится внедрение новых технологий эффективного управления техническими объектами и непрерывного автоматизированного контроля их состояния.

Микропроцессорная техника, включенная в структуру системы управления техническим объектом, способна решать задачи управления по заданному критерию качества и, одновременно, задачу анализа протекающих процессов с целью построения реальной модели объекта. Обе эти задачи нельзя рассматривать в отрыве друг от друга [1, 2, 3].

Методы теории автоматического управления позволяют исследовать динамику практически любой системы и процессов в ней. Однако расчетный путь определения исходных данных такого математического исследования нередко сопряжен со значительными трудностями, сам является источником больших погрешностей и практически не применим на этапе эксплуатации.

Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени [3]. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Динамические системы - это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, функционирующие в соответствии с некоторыми алгоритмами. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10].

Как правило, большинство реальных инженерных задач содержит в том или ином виде неопределенность. Можно даже утверждать, что решение задач с учетом разного вида неопределенностей является общим случаем, а принятие решений без их учета — частным. Однако из-за концептуальных и методических трудностей в настоящее время не существует единого методологического подхода к решению таких задач. Тем не менее, накоплено достаточно большое число методов формализации постановки и принятия решений с учетом неопределенностей.

Различают стохастическую (вероятностную) неопределенность [11, 12, 13, 14], когда неизвестные факторы статистически устойчивы и поэтому являются обычными объектами теории вероятностей — случайные величины (или случайные функции, события и т.д.). При этом должны быть известны или определены при постановке задачи все необходимые статистические характеристики (законы распределения и их параметры).

Другим крайним случаем может быть такая неопределенность, при которой никаких предположений о стохастической устойчивости не существует. Наконец, можно говорить о промежуточном типе неопределенности, когда решение принимается на основании каких-либо гипотез о законах распределения случайных величин.

В случае, когда динамическая система или процесс описываются случайными функциями со статистически определёнными вероятностными характеристиками, такая система или процесс называются стохастическими [15, 16, 17, 18, 19].

Одна из важнейших задач теории управления заключается в том, что требуется наилучшим образом извлечь информацию об изучаемом процессе из измерений некоторых его характеристик, измерений — часто косвенных и проведенных с погрешностями (зашумленных). Это необходимо для принятия правильных решений по наблюдению за исследуемым процессом или выработке оптимального, в определенном смысле, управления. Возникновение такой проблемы, называемой задачей фильтрации или оценивания [20, 21, 22], связано с тем, что в любой системе связи или управления не все характеристики процессов (сигналов) заданы точно (передача априорно известной информации не имеет смысла).

Первые попытки разработать эффективные математические методы решения задач фильтрации можно отнести к временам Г. Галилея, А. Лежандра и К. Гаусса. Гауссу, как считается, принадлежит первое употребление понятия оценивания, которое было применено к расчету траекторий движения небесных тел. В 1795 г. К. Гаусс разработал метод наименьших квадратов (МНК), который является одним из основных в теории прогнозирования и фильтрации. Недостатком метода, в первоначальном его варианте, являлось то, что при поступлении новой информации о наблюдаемом процессе для уточнения оценки требовалось проводить расчет в полном объеме, то есть с самого начала. В 1821 г. К. Гаусс предложил новый вариант МНК, который позволил при поступлении новых измерений лишь уточнять ранее полученный результат. Таким образом, была разработана рекуррентная версия МНК.

Следующий этап разработки математических методов решения задач управления связан с интенсивным развитием радиолокационной техники, которое началось в конце 30-х — начале 40-х гг. XX столетия. При этом на первый план выдвигалась проблема решения задачи фильтрации — выделения полезного сигнала на фоне шума. Эту задачу в случае линейного оценивания дискретных стационарных случайных процессов впервые рассмотрел А.Н. Колмогоров [23, 24]. Несколько позже аналогичными вопросами занимался Н. Винер [25], но для непрерывных стационарных случайных процессов. С работ А.Н. Колмогорова и Н. Винера берет начало современная теория фильтрации. А.Н. Колмогоров и Н. Винер рассматривали стационарные случайные процессы на бесконечном интервале наблюдения и для получения оптимальной оценки использовали МНК. Н. Винером было показано, что задача линейной оптимальной фильтрации по методу наименьших квадратов эквивалентна решению интегрального уравнения Винера-Хопфа. Теория фильтрации Колмогорова-Винера основана на методе Фурье, что приводит к описанию фильтра в терминах частотных характеристик. Н. Винер также дал оригинальный метод решения интегрального уравнения, который состоит в преобразовании интегрального уравнения в частотной области и определении частотной характеристики фильтра, используя разложение спектральной плотности наблюдаемого процесса в произведение двух зеркально симметричных сомножителей. Это соответствует построению частотной характеристики системы, порождающей исходный процесс при поступлении на ее вход белого шума с известными статистиками. Такая интерпретация метода Винера была дана в 1950 г. Боде и Шенноном носит название концепции формирующего фильтра. Концепция формирующего фильтра занимает важное место в современной теории фильтрации [19].

Сразу после выхода работ А.Н. Колмогорова и Н. Винера делались попытки снять ограничения, введенные ими. В 1952 г. Р: Бутон обобщил интегральное уравнение Винера-Хопфа на случай: нестационарных процессов и фильтров, зависящих от времени [26]. Однако при этом не был указан метод решения полученного интегрального уравнения. Решение этого уравнения предложил в 1957 г. B.C. Пугачев [27, 28].

В конце 50-х годов при исследовании оптимальных фильтров, синтезируемых для обработки результатов наблюдения на конечном интервале времени^ были предложены подходы, не использующие интегральное уравнение Винера-Хопфа. Р. Калман и Р. Бьюси [29] поняли, что вместо его исследования часто бывает желательно (и возможно) превратить интегральное уравнение в нелинейное дифференциальное, решение которого дает ковариацию ошибки оптимального фильтра. В свою очередь, эта ковариация содержит всю необходимую информацию для проектирования. Этот подход, по существу представляющий собой рекуррентный вариант МНК, в частных случаях исследовался ранее и другими авторами, но именно с работ Р. Калмана и Р. Бьюси началось широкое развитие методов теории рекуррентного последовательного) оценивания, в рамках которой задача оптимальной фильтрации получила существенное продвижение. Возможность синтеза оптимального фильтра рекуррентным способом представляет и большой практический интерес в связи с удобством его реализации на базе современной вычислительной техники.

В 1960 г. (независимо друг от друга) P.JI. Стратонович [30] и Р. Калман [31] обобщили винеровскую фильтрацию на нестационарные гауссовские случайные процессы и наблюдения, полученные на конечном интервале времени. Оценивание производилось по наблюдениям за зашумленной компонентой вектора состояния. При этом в теоретическом плане существенным моментом является линейная зависимость наблюдаемого процесса от оцениваемого параметра (линейная фильтрация). Алгоритм Р. Калмана решения задачи, в отличие от алгоритма P.JI. Стратоновича, не был строго математически обоснован, но все же работа Р. Калмана получила широкое распространение среди инженеров-практиков, так как была написана на «инженерном» языке. Фильтр Калмана стали применять в системах управления и наблюдения спутников и ракет. Несколько позже математическое обоснование алгоритма Калмана было получено в [32].

В 1961 г. Р. Калман совместно с Р. Бьюси опубликовали аналогичный результат для непрерывного времени. В этой статье задача фильтрации формулируется в пространстве состояний, выведен матричный вариант уравнения Винера-Хопфа, который преобразован в эквивалентную ему систему дифференциальных уравнений.

Работы Р. Калмана, Р. Бьюси и P.JI. Стратоновича открыли новый этап в разработке методов решения задач оценивания и прогноза. К достоинствам процедуры фильтрации Калмана-Бьюси относятся рекуррентность алгоритма и его эффективная реализуемость на ЭВМ.

В 1965 г. А. Брайсон и Д. Иохансен [33], а затем Ф. Гулько и Ж. Новосельцева [34] распространили теорию фильтрации Калмана-Бьюси на случай, когда для помехи в измерениях можно построить формирующий фильтр. Необходимо отметить, однако, что задача построения формирующего фильтра сама по себе сложная и решена лишь в некоторых частных случаях.

Таким образом, проблема решения задачи оценивания в линейном случае решена для почти всех гауссовских случайных процессов. Вопросы фильтрации негауссовских процессов и нелинейной фильтрации не столь хорошо изучены из-за их сложности и отсутствия единого подхода к решению таких задач [35]. Основные идеи были выдвинуты в 1960 г. P.JI. Стратоновичем [36]. Предложенная им рекуррентная процедура оценивания в линейном случае преобразуется в фильтр Калмана-Бьюси (ФКБ).

Для гауссовских же процессов линейная оценка является наилучшей [37, 38], и применение таких критериев оптимальности, как критерий минимума среднеквадратической ошибки, критерий правдоподобия и байесовское оценивание, приводит к одному и тому же результату [39].

В настоящее время, в связи с бурным развитием ЭВМ и расширением областей применения компьютерных технологий, появилась возможность создавать многофункциональные программные фильтры сигналов на базе математических алгоритмов фильтрации, а также проводить оценивание неизвестных параметров случайных процессов. Указанные алгоритмы применимы, в частности, к стохастическим процессам фрикционного разрушения твердого тела.

Прогнозирование состояния любой системы в некоторый будущий момент времени, как правило, осуществляется с помощью динамической эволюционной модели ее функционирования [3]. Входными данными для таких моделей являются результаты измерений информативных параметров системы, комплексный анализ которых внутри модели на основе известных зависимостей между этими параметрами и реальными процессами позволяет сформировать диагноз текущего состояния и составить прогноз.

При диагностировании технического состояния ответственных и тяжелонагруженных узлов машин и механизмов (в частности, на железнодорожном транспорте) особое значение имеет быстрота и своевременность получения диагностической информации непосредственно в процессе работы, без разборки контролируемых узлов, - так называемый неразрушающий контроль (НК). Существует целый ряд методов НК, среди которых видное место занимает метод акустической эмиссии (АЭ). Анализ научных работ в области акустико-эмиссионного исследования разрушения твердого тела показывает, что до сих пор проблема поиска взаимосвязи между параметрами сигналов АЭ и процессом разрушения, не решена в полной мере. Кроме того, актуальной является проблема регистрации полезного сигнала АЭ в условиях разнообразных внешних возмущений и внутренних шумов электронной аппаратуры. Аппаратное решение этой проблемы требует дополнительного усложнения и удорожания регистрирующей аппаратуры. А применение программных методов фильтрации шумов до настоящего времени носило в основном теоретический характер, вследствие больших вычислительных затрат на их использование.

Целью диссертационной работы является разработка математической модели сигнала АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела и численная реализация алгоритма фильтрации с игнала АЭ, ре гистрируемого в условиях электромагнитных возмущений, а также алгоритма оценивания параметра интенсивности фрикционного разрушения твёрдого тела, позволяющего прогнозировать его ресурс.

Для достижения сформулированной цели требуется решение следующих задач:

1. Анализ существующих математических моделей сигналов АЭ при разрушении твердого тела, систем акустико-эмиссионного диагностирования (АЭД) и различных факторов, затрудняющих регистрацию полезного сигнала АЭ.

2. Разработка математической модели сигнала АЭ при фрикционном разрушении твердого тела.

3. Синтез дифференциальных уравнений первичного сигнала АЭ и сигнала на выходе измерительной системы.

4. Анализ существующих алгоритмов фильтрации и параметрического оценивания динамических процессов и их ограничений.

5. Разработка алгоритма фильтрации сигнала АЭ при возмущенных измерениях.

6. Решение задачи оптимального оценивания параметров стохастических процессов на основе нелинейных вероятностных критериев с целью оценки параметра интенсивности фрикционного разрушения твёрдого тела при возмущенных измерениях сигнала АЭ.

Объект исследования — математические модели и системы измерения сигнала АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела, а также алгоритмы оптимального оценивания параметров сигналов АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела в условиях электромагнитных возмущений.

Предметом исследования служат алгоритмы оптимального оценивания параметров сигналов АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела в условиях электромагнитных возмущений.

В качестве методов исследования в работе использованы положения теории вероятностей, кинетической концепции прочности, теории передачи сигналов с применением аппарата гармонического анализа несинусоидальных функций, теории оценивания параметров стохастических процессов с привлечением численных методов решения систем линейных дифференциальных уравнений большой размерности, а также теории матриц.

Инструментально-методическим аппаратом для решения поставленных задач послужили пакеты прикладных математических программ «Mathcad» и «Maple».

При проведении исследований использованы сведения из монографий и статей отечественных и зарубежных ученых, информация, полученная в результате личных консультаций с российскими учеными и специалистами, материалы научно-практических конференций по тематикам «математическое и компьютерное моделирование», «автоматизация технологических процессов», трение и износ в деталях машин и механизмов», информационные ресурсы ОАО «РЖД» и сети Интернет.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Впервые, на основе Фурье-анализа одиночного импульса АЭ, порождаемого отделением частицы износа, разработана математическая модель сигнала АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), основным параметром которых является интенсивность разрушения.

2. Для фильтрации полезного (информационного) сигнала АЭ в условиях электромагнитных помех синтезированы уравнения ФКБ сигнала АЭ, и проведено численное моделирование алгоритма фильтрации.

3. Разработан новый метод оптимального оценивания параметров стохастических процессов на основе использования критерия минимума апостериорной плотности вероятности (АПВ) ошибки оценки в заданном интервале.

4. На основе разработанного метода оптимального оценивания параметров синтезирован численный алгоритм оптимального оценивания параметра интенсивности разрушения твёрдого тела по измерениям сигнала АЭ, регистрируемого в условиях электромагнитных возмущений.

Практическая ценность работы состоит в разработке алгоритма численного моделирования дифференциальных уравнений сигнала АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела, численного алгоритма оптимальной фильтрации сигнала АЭ при фрикционном разрушении твёрдого тела, регистрируемого в условиях внешних возмущений, численного алгоритма оптимального оценивания параметра интенсивности разрушения, определение которого позволяет прогнозировать ресурс долговечности твердого тела при трении.

На защиту диссертационной работы выносятся:

1) математическая модель первичного сигнала АЭ при фрикционном разрушении твердого тела в виде системы ОДУ;

2) математическая модель сигнала АЭ на выходе измерительной системы в виде системы ОДУ;

3) алгоритм численного моделирования сигнала АЭ в отсутствие помех, а также алгоритм его фильтрации при наличии электромагнитных возмущений;

4) метод оптимального оценивания параметров стохастических процессов с использованием ФКБ и критерия максимума апостериорной плотности вероятности (АПВ) значений ошибки оценки в заданном интервале.

5) численный алгоритм оптимального оценивания параметра интенсивности разрушения твёрдого тела по измерениям сигнала АЭ, регистрируемого в условиях электромагнитных возмущений.

К основным научными результатам диссертации относятся:

1) математическая модель сигнала АЭ при разрушении твердых тел, учитывающая характерную форму одиночного импульса АЭ.

2) алгоритм фильтрации полезного сигнала АЭ, регистрируемого в условиях электромагнитных возмущений;

3) алгоритм оптимального оценивания параметра интенсивности разрушения твёрдого тела по измерениям сигнала АЭ, регистрируемого в условиях электромагнитных возмущений.

Основные научные и практические результаты диссертационной работы обсуждались на научно-практических конференциях «Фундаментальные и прикладные проблемы надежности и диагностики машин и механизмов» (Санкт-Петербург, 2007 г.), «XIV Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам» (Сочи, 2007 г.), «Транспорт-2006» и «Транспорт-2007», изложены в 10 печатных работах и используются в разработках ФГУП ПКТБ «Орион» (г. Новочеркасск) и в учебном процессе РГУПС.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.

4.5 Выводы к Главе 4

1. Кинетическая модель разрушения твёрдого тела позволяет функционально связать количество элементарных ячеек материала, разрушаемых термоактивированно в единицу времени, с активностью АЭ, порождаемой этим процессом. Регистрируя скорость счёта АЭ, можно прогнозировать массовый износ твёрдого тела при трении в любой момент времени, а значит — определять его ресурс [135].

2. Путём аппроксимации одиночного импульса АЭ совокупностью гармонических составляющих ряда Фурье удалось получить динамическую модель (в виде системы ОДУ) сигнала акустической эмиссии, порождаемого твёрдым телом в результате фрикционного разрушения.

3. Применение линейного ФКБ для оценивания сигнала АЭ, измеряемого в присутствии аддитивного белого гауссова шума, даёт практически точный результат с погрешностью не более 3% при уровне шума, соизмеримом с амплитудой колебаний выходного сигнала.

4. Разработанный на базе линейного ФКБ адаптивный алгоритм оценивания неизвестного параметра стохастического процесса позволяет с заданной точностью оценить параметр интенсивности разрушения твёрдого тела W(t) при постоянной нагрузке и скорости трения в условиях возмущенных измерений, если известны характеристики шума, заданы пределы изменения ошибки оценки, а также известен закон распределения АПВ ошибки оценки.

Заключение

В ходе научного исследования, выполненного в рамках диссертационной работы, получены следующие результаты.

В первой главе проведен анализ различных моделей сигнала АЭ, показавший, что до сих пор не существует универсальной математической модели АЭ, которая бы исчерпывающе описывала взаимосвязь между параметрами сигналов АЭ и процессами разрушения твёрдых тел. Это явление рассматривается с различных точек зрения (микро- и макроскопической), с разной степенью детализации параметров и различным количеством допущений.

Анализ основных направлений развития систем АЭД подтвердил необходимость усовершенствования технических средств контроля динамики разрушения деталей технических объектов, работающих в условиях нормальных и критических нагрузок, посредством разработки современных программных алгоритмов обработки данных измерений.

Рассмотрены основные источники возмущений, затрудняющих регистрацию полезного сигнала АЭ, среди которых наибольшее влияние на его информативную составляющую оказывают высокочастотные электромагнитные шумы приёмной аппаратуры. Для фильтрации полезного сигнала, регистрируемого в условиях электромагнитных возмущений, предложено синтезировать численный алгоритм на основе методов оптимального оценивания динамических процессов (линейный ФКБ), взамен более громоздких аппаратных решений, а также разработать адаптивный алгоритм оптимального оценивания параметров сигнала АЭ на основе линейного ФКБ с целью определения параметра интенсивности разрушения твёрдого тела при трении.

Во второй главе получены дифференциальные уравнения сигнала АЭ на входе и выходе измерительной системы, отражающие зависимость параметров суммарного сигнала АЭ, возникающего при разрушении множества фрикционных связей, от временны Ох параметров разрушения, в том числе - от интенсивности разрушения W.

Третья глава посвящена изучению основных направлений развития теории оценивания стохастических процессов. Показано, что в задачах оптимального оценивания параметров линейных систем в условиях возмущающих воздействий наиболее целесообразным является использование математических фильтров, основанных на ковариационных матрицах ошибок оценивания. Такие алгоритмы оказываются наиболее эффективными при белых гауссовых шумах и представляют собой рекуррентный вариант метода наименьших квадратов. Возможность синтеза оптимального фильтра рекуррентным способом представляет большой практический интерес в связи с удобством его реализации на базе современной вычислительной техники. Наиболее универсальным и удобным для программной реализации является линейный фильтр Калмана-Быоси.

Анализ существующих алгоритмов оптимального оценивания параметров стохастических процессов показал, что они способны по отдельности решать практические задачи, связанные с фильтрацией и определением неизвестных параметров сигналов в условиях гауссовских возмущающих воздействий. В то же время, предложенный в п. 3.3 алгоритм оптимального оценивания на основе критерия максимума АПВ ошибки оценки, позволяет осуществлять фильтрацию вместе с оцениванием неизвестных параметров и подходит для программной реализации и встраивания в диагностические системы реального времени.

В четвёртой главе решены следующие практические задачи.

1. С помощью программы Maple выполнена численная реализация линейного ФКБ для параметров сигнала АЭ, регистрируемого в условиях электромагнитных возмущений. Анализ полученных временныDx диаграмм показал, что при уровнях шума 0,01 и 0,1 мкВ, соизмеримых с амплитудой колебаний оцениваемого сигнала, синтезированный ФКБ даёт практически точную оценку, погрешность которой лежит в пределах ± 5 % от амплитуды колебаний неискажённого сигнала. Тогда как при уровне шума 1 мкВ, превышающем в несколько раз полезный сигнал, погрешность достигает ± 300% от амплитуды колебаний неискажённого сигнала, что является недопустимым.

2. При анализе временны Ох диаграмм полезного сигнала АЭ, синтезированного с помощью разработанной динамической модели, обнаружена взаимосвязь между формой графика несинусоидальной компоненты *о(0 выходного сигнала измерителя и моментом полного фрикционного разрушения твердого тела, которая выражается в достижении «насыщения» функцией (t) (равенстве производной по времени от данной компоненты нулю) в окрестности значения аргумента t, близкого к ожидаемому моменту разрушения.

3. Для компоненты xQ(t) разработан численный алгоритм оптимального оценивания параметра интенсивности разрушения твёрдого тела w на основе критерия максимума АПВ ошибки оценки в заданной области. Полученные результаты дают хорошее совпадение с экспериментальными данными для конкретной структуры, по которой имелись данные о физическом эксперименте, что свидетельствуют об эффективности практического использования предложенного адаптивного подхода с точки зрения точности оценивания параметров процесса в условиях гауссовских помех достаточно широкого амплитудного диапазона.

138

1. Андронов, А.А. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1956. - 427 с.

2. Афанасьев, В.Н. Математическая теория конструирования систем управления / В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. М.: Высшая школа, 1989. - 314 с.

3. Колесников, В.И. Транспортная триботехника (трибомеханика): учеб. Пособие. Т. 2. / В.И. Колесников, B.JI. Заковоротный, В.В. Шаповалов. -Ростов н/Д: Рост. гос. ун-т путей сообщения, 2006. — 478 с.

4. Анищенко, B.C. Сложные колебания в простых системах. — М.: Наука, 1990.-256 с.

5. Безручко, Б.П. Математическое моделирование и хаотические временные ряды / Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов. — Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. 255 с.

6. Блехман, И.И. Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики: Учебное пособие. — 3-е изд., испр. и доп. / И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, Н.Г. Пановко. М.: УРСС, 2006. -376 с.

7. Введение в математическое моделирование. Учебное пособие / Под ред. П.В. Трусова. -М.: Логос, 2004. 534 с.

8. Мышкис, А.Д. Элементы теории математических моделей. 3-е изд., испр. -М.: КомКнига, 2007. - 192 с

9. Самарский, А.А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. — М.: Физматлит, 2001. - 316 с.

10. Советов, Б.Я., Яковлев С.А., Моделирование систем: Учеб. для вузов — 3-е изд., перераб. и доп. / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. — М.: Высш. шк., 2001.-343 с.

11. Аоки, М. Оптимизация стохастических систем. М.: Наука, 1971. — 225 с.

12. Бендат, Дж. Измерение и анализ случайных процессов / Дж. Бендат, А. Пирсол. -М.: Мир, 1971.-443 с.

13. Гихман, И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гихман,

14. A.В. Скороходов. -М.: Наука, 1977.-336 с.

15. Дуб, Дж. Л. Вероятностные процессы. — М.: Иностранная литература, 1956.-479 с.

16. Евланов, Л.Г. Системы со случайными параметрами / Л.Г. Евланов,

17. B.М. Константинов. М.: Наука, 1976. - 201 с.

18. Казаков, И.Е. Оптимизация динамических систем случайной структуры / И.Е. Казаков, В.М. Артемьев. М.: Наука, 1980. - 386 с.

19. Куликов, Е.И. Методы измерения случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986.-293 с.

20. Липцер, Р.Ш. Статистика случайных процессов / Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. М.: Наука, 1974. - 247 с.

21. Справочник по теории автоматического управления / А.А. Красовский. — М.: Наука, 1987.-712 с.

22. Аттетков, А.В. Методы оптимизации: Учеб. / А.В. Аттетков, С.В. Галкин, B.C. Зарубин. -М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. 440 с.

23. Бахвалов, Н.С. Численные методы: Учеб. пос. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. — М.: Физматлит: Невский Диалект: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. 632 с.

24. Бирюков, С.И. Оптимизация. Элементы теории, Численные методы: Учеб. пособие. М.: МЗ-Пресс, 2003. - 248 с.

25. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1972. - 514 с.

26. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер.мат., 1941. 5, №1.1. C. 5-16.

27. Wiener, N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series, with engineering applications. — New-York: Wiley, 1949. -518 c.

28. Booton R.C. An optimization theory for time-varying linear systems with nonstationary statistical inputs // Proc. IRE. 1952. V. 40. P. 977-981.

29. Пугачев, B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы / B.C. Пугачёв, И.Н. Синицын. М.: Наука, 1985. - 560 с.

30. Пугачев B.C. Интегральные канонические представления случайных функций и их приложение к определению оптимальных линейных систем // Автоматика и телемеханика. Т. 28, №1. 1957.

31. Калман Р.Е., Бьюси Р.С. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания // Труды американского общества инженеров-механиков. Техническая механика. Сер. Д. 1961. Т. 83, No 1. С. 123-141.

32. Стратонович P.JI. Применение теории процессов Маркова для оптимальной фильтрации сигналов // Радиотехника и электроника. 1960. Т. 5, №11. С. 1751-1763.

33. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME series D., J. Basic. Engg. 1960. V. 82. P. 35-45.

34. Калман, P.E. Очерки по математической теории систем / P.E. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. -М.: Мир, 1971.-400 с.

35. Bryson А.Е., Johansen D.E. Linear filtering for time varying systems using measurements containing coloured noise // IEEE Trans. Automat. Contr. 1965. 10, №1. P. 4-10.

36. Гулько Ф.Б., Новосельцева Ж.А. Решение нестационарных задач фильтрации и управления при произвольной помехе методами моделирования // Автоматика и телемеханика. — 1966. — №10. — С. 153168.

37. Пупков, К.А. Функциональные ряды в теории нелинейных систем / К.А. Пупков, В.И. Капалин, А.С. Ющенко. М.: Наука, 1976. - 546 с.

38. Стратонович, А.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1966. — 319 с.

39. Сейдж, Э. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении / Э. Сейдж, Дж. Мелса. М.: Связь, 1976. - 496 с.

40. Колос, М.В. Методы оптимальной линейной фильтрации / М.В. Колос, И.В. Колос / Под ред. В.А. Морозова. М.: Изд-во МГУ, 2000. - 102 с.

41. Граничин, О.Н. Введение в методы стохастической оптимизации и оценивания: Учеб. пособие. — СПб.: Издательство С.-Петербургского универститета, 2003. — 131 с.

42. Ультразвук / Под ред. И.П. Голяминой. — М.: Советская Энциклопедия. — 1979.-357 с.

43. Бреховских, JI.M. Введение в механику сплошных сред / JI.M. Бреховских, В.В. Гончаров. — М.: Наука, 1982. — 271 с.

44. Акустические и электрические методы в триботехнике /

45. A.И. Свириденок, Н.К. Мышкин, Т.Ф. Калмыкова, О.В. Холодилов; под ред. В.А. Белого. Мн.: Наука и техника, 1987. - 280 с.

46. Акустико-эмиссионная диагностика конструкций / А.Н. Серьезнов, JI.H. Степанова, В.В. Муравьев и др. ; под ред. JI.H. Степановой. М.: Радио и связь, 2000. - 280 с.

47. Федоров Д.В. Применение акустико-эмиссионной диагностики подшипниковых узлов в системе деповского ремонта локомотивов // Контроль. Диагностика. 2003. - № 3. - С. 23-29.

48. G. Garcia, D. Davis, Railway Track&Stmctures. 2002. - № 8. - p. 18-21.

49. Баранов, B.M. Акустикоэмиссионные приборы ядерной энергетики /

50. B.М. Баранов, К.И. Молодцов. -М.: Атомиздат, 1980. 144 с.

51. Контактно-усталостные повреждения колёс грузовых вагонов / Под ред.

52. C.М. Захарова. М.: Интекст, 2004. - 160 с.

53. Седякин, Н.М. Элементы теории случайных импульсных потоков. — М.: Сов. радио, 1965. 182 с.

54. Чернявский, А.Ф. Статистические методы анализа случайных процессов в ядернофизическом эксперименте / А.Ф. Чернявский, С.В. Бекетов,

55. A.В. Потапов. -М.: Атомиздат, 1974. 313 с.

56. Милосердии Ю.В., Баранов В.М., Молодцов К.И. О регистрации сигналов акустической эмиссии в элементах конструкций. Атомная энергия, 1972. - Т. 32. - вып. 4. - с. 330-331.

57. Основы автоматического регулирования. Т. 1. Теория /

58. B.В. Солодовников. М.: Машгиз, 1954. — 831 с.

59. Ройтенберг, Я.Н. Автоматическое управление. — М.: Наука, 1978. — 617 с.

60. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1970. — 720 с.

61. Иванов, В.И. Акустико-эмиссионный контроль сварки и сварных соединений / В.И. Иванов, В.И. Белов. -М.: Наука, 1981. — 184 с.

62. Распознавание дефектов по спектральным характеристикам акустической эмиссии / А.П. Брагинский, Д.Г. Евсеев // Дефектоскопия.- 1985.- №2. -С. 14-21.

63. Методика и аппаратура для АЭ-контроля в процессе проверочных испытаний сосудов давления ядерного реактора в Венгрии / П. Пелионис, Я. Гереб // Техническая диагностика и неразрушающий контроль,-1991,-№3.-С. 14-21.

64. Акустическая эмиссия и её применение для неразрушаюгцего контроля в ядерной энергетике / К.Б. Вакар. М.: Атомиздат, 1980. — 211 с.

65. Некоторые закономерности формирования структуры металла при трении / И.И. Гарбар // Трение и износ. 1981. - № 6. - С. 1076-1084.

66. Цеснек, JI.C. Механика и физика истирания поверхностей / JI.C. Цеснек.- М.: Наука, 1979. 264 с.

67. Рудзит, Я.А. Микрогеометрия и контактное взаимодействие поверхностей. Рига, 1975. —210 с.

68. Исследование фактической площади фрикционного контакта полимер -металл с помощью акустических колебаний / А.И. Свириденок,

69. Т.Ф. Калмыкова, О.В. Холодилов // Трение и износ. 1982. - № 5. -С. 808-812.

70. Анализ акустического излучения при фрикционном взаимодействии твердых тел / Г.А. Сарычев, В.М. Щавелин, В.М. Баранов, А.П. Грязев // Трение и износ. 1985. - № 1. - С. 39-47.

71. Описание топографии анизотропных шероховатых поверхностей трения с помощью модели случайного поля / Н.Ф. Семенюк, Г.С. Сиренко // Трение и износ. 1980.-№5. -С. 815-823.

72. Хусу, А.П. Шероховатость поверхности / А.П. Хусу, Ю.Р. Виттенберг. — М., 1975.-244 с.

73. О длительности выбросов случайной функции / П.И. Кузнецов, Р.Л. Стратонович, В.И. Тихонов // ЖТФ. 1954. - Т. XXIV. - Вып. 1. -С. 103-115.

74. Распределение выбросов нормальных флюктуаций по длительности / В.И. Тихонов // Радиотехника и электроника. 1956. - №1. - С. 23.

75. Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника. М., 1966. — 678 с.

76. Применение кинетической концепции разрушения для расчета интенсивности акустической эмиссии / В.Е. Вайнберг, А.Ш. Кантор, Р.Г. Лупашку // Дефектоскопия. — 1976. — №3. — С. 89-96.

77. Регель, В.Р. Кинетическая природа прочности твердых тел / В.Р. Регель, А.И. Слуцкер, Э.Е. Томашевский. М.: Наука, 1974. - 560 с.

78. Кинетическая концепция прочности твёрдых тел / С.Н. Журков // Вестник АН СССР. 1957. - №11. - С. 78-85.

79. Калашникова, В.И. Детекторы элементарных частиц / В.И. Калашникова, М.С. Козодаев. М.: Наука, 1966.- 146 с.

80. Харкевич, А.А. Борьба с помехами. М.: Наука, 1965. - 201 с.

81. Калмыкова Т.Ф., Свириденок А.И., Холодилов О.В., Белый В.А. Оценка износа с помощью сигналов акустической эмиссии // Материалы пятого Всесоюз. Симпозиума по механоэмиссии и механохимии твердых тел. — Таллинн, 1977.-С. 162-166.

82. Belyi V.A., Kholodilov O.V., Sviridyonok A.I. Acoustic spectrometry as used for the evaluation of tribological systems // Wear. 1981. — V.69. - N2. - P. 309-319.

83. Разработка автоматизированной системы диагностирования трибосопряжений методом акустической эмиссии: постановка задачи / С.В. Соколов, А.В. Гольцев, Д.В. Швалов // Труды РГУПС. 2005. - №1. -С. 125-129.

84. Нейман, JI.P. Теоретические основы электротехники / JI.P. Нейман, К.С. Демирчян. — М.: Энергия, 1966. 522 с.

85. Исследование приработки по электрическим и акустическим характеристикам / А.П. Брагинский, Д.Г. Евсеев, А.К. Зданьски, Н.П. Кукол // Трение и износ. 1985. - Т.6. - №5. - С. 812-820.

86. Распознавание дефектов по спектральным характеристикам акустической эмиссии / А.П. Брагинский, Д.Г. Евсеев, А.К. Зданьски и др. // Дефектоскопия. 1984. -№1. - С. 47-54.

87. Взаимосвязь трения и колебаний / Б.В. Буданов, В.А. Кудинов, Д.М. Толстой // Трение и износ. 1980. - Т. 1. - №1. - С. 79-89.

88. Об источниках акустической эмиссии / В.Е. Вайнберг, Л.И. Шрайфельд // Заводская лаборатория. 1979. - №3. - С. 237-239.

89. Хуторцев, В.В. Современные принципы управления и фильтрации в стохастических системах /В.В. Хуторцев, С.В. Соколов, П.С. Шевчук. — М.: Радио и связь, 2001. 808 с.

90. Структурная идентификация стохастических динамических систем / С.В. Соколов, Н.И. Гриненко, Д.В. Швалов, А.В. Гольцев, С.В.Прокопец // Известия высших учебных заведений Северо-Кавказский регион. Серия «Технические науки». — 2005. №2. — С. 33-35.

91. Деруссо, П. Пространство состояний в теории управления / П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз. М.: Наука, 1970. - 797 с.

92. Казаков, И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. — М.: Наука, 1975. — 432 с.

93. Тихонов, В.И. Оптимальный прием сигналов. — М.: Радио и связь, 1983. -319 с.

94. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. М.: Наука, 1972. — 768 с.

95. Сейдж, Э.П. Идентификация систем управления / Э.П. Сейдж, Дж. JI. Мелса. М.: Наука, 1974. - 511 с.

96. Метод оценки возмущений в алгоритмах решения навигационных задач / А. А. Чернов, В. Д. Ястребов // Известия РАН. Космические исследования. 1984. - Т. 22 - №3. - С. 17-22.

97. Федоренко, Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд. МФТИ, 1994.-329 с.

98. Первачёв, С.В. Адаптивная фильтрация сообщений / С.В. Первачёв, А.И. Перов. М.: Радио и связь, 1991. - 297 с.

99. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов: Пер. с нем. / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев; Под ред. Г. Гроше, В. Циглера. Изд. перераб. - М.; Лейпциг: Наука: Тойбнер, 1981. -718с.

100. Бычков, Ю.А. Аналитически-численный расчет динамики нелинейных систем. Детермированные кусочно-степенные модели с сосредоточенными параметрами. Переходные и периодические режимы. Анализ, синтез, оптимизация. — СПб., 1997. — 368 с.

101. Васильев, Ю.П. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие. — Саратов: Саратовский гос. ун-т, 1997. — 127 с.

102. Васильков, Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие / Ю.В. Васильков, Н.Н. Василькова. М.: Финансы и статистика, 1999, 2001. — 256 с.

103. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов: Учеб. — М.: Высш. шк., 2002. 840 с.

104. Воеводин, В.В. Параллельные вычисления: Учеб. пособие / В.В. Воеводин, В.В. Воеводин. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

105. Волков, Е.А. Численные методы: Учеб. пособие. 2-е изд., испр. — М.: Наука, 1987.-248 с.

106. Венгеров, А.А. Прикладные вопросы оптимальной линейной фильтрации / А.А. Венгеров, В.А. Шаренский. — М.: Энергоиздат, 1982. — 516 с.

107. Малышев, В.В. Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов /В.В. Малышев, М.Н. Красильщиков, В.И. Карлов. М.: Машиностроение, 1989. — 490 с.

108. Априорная информация в задачах оптимальной фильтрации / Ж.А. Новосельцева // Автоматика и телемеханика. — 1968. №6. — С. 19-27.

109. Сиразетдинов, Т.К. Оптимизация систем с распределёнными параметрами. ML: Наука, 1977. — 318 с.

110. Алберт, А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. — М.: Наука, 1977.-360 с.

111. Цыпкин, Я.З. Основы теории обучающихся систем. М.: Наука, 1970. -456 с.1100 рекуррентных оценках по коррелированным наблюдениям / Г.А. Медведев, Г.А. Хацкевич // Автоматика и телемеханика. — 1979. — №8. -С. 69-75.

112. Рекуррентное оценивание при помощи коррелированных наблюдений / Г.А. Медведев // Автоматика и телемеханика. 1974. — №5. — С. 110-116.

113. Костюк, В.И. Беспоисковые градиентные самонастраивающиеся системы. Киев: Техника, 1969. — 347 с.

114. Кружанский, А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределённости. — М.: Наука, 1977. — 267 с.

115. Красовский, Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. — М.: Наука, 1970.-278 с.

116. Игровое управление при неполной фазовой информации / Н.Н. Красовский // Проблемы управления и теории информации. 1976. - №5. - С. 3-12.

117. Артемьев, В.М. Теория динамических систем со случайными изменениями структуры. — Минск: Вышэйшая школа, 1979. 328 с.

118. Казаков, И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. М.: Наука, 1977. - 468 с.

119. Казаков, И.Е. Оптимизация динамических систем случайной структуры / И.Е. Казаков, В.М. Артемьев. М.: Наука, 1980. - 388 с.

120. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1969.-527 с.

121. Моисеев, Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. — М.: Наука, 1975. 485 с.

122. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / JI.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Миценко. М.: Наука, 1969. - 609 с.

123. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления / Ф.Л. Черноусько, В.Б. Колмановский // Итоги науки и техники. Математический анализ. Т. 14. - М.: ВИНИТИ, 1977. - С. 101-166.

124. Дубравин A.M., Комков О.Ю., Мышкин Н.К. Анализ акустической эмиссии на микротрибометре возвратно-поступательного типа // Трение и износ. 2004. - №4. - С. 363-367.

125. Носовский И.Г., Миронов Е.А., Стадниченко Н.Г. Исследование процессов деформирования и разрушения поверхностных слоев металлов при трении методом акустической эмиссии // Трение и износ. — 1982.-№3.-С. 531-536.

126. Щавелин В.М., Сарычев Г.А. Исследование акустического излучения, возникающего в зоне фрикционного контакта твёрдых тел // Трение и износ. 1983. - №5. - С. 808-816.

127. Оптимальная адаптивная фильтрация параметров сигнала акустической эмиссии при диагностировании трибосопряжений / А.В. Гольцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. №2. - С. 283-285.

128. Применение линейного фильтра Калмана-Бьюси для оценивания параметров модели сигнала акустической эмиссии при трении твёрдыхтел в условиях возмущающих факторов / С.В. Соколов, А.В. Гольцев // Вестник РГУПС. 2008. - №1. - С. 45 - 48.

129. Неразрушающий контроль трибосопряжений в условиях помех с применением линейной фильтрации сигнала акустической эмиссии / С.В. Соколов, А.В. Гольцев // Вестник машиностроения. 2008. - №3. — С. 30-33.

130. Эйкхофф, П. Основы идентификации и систем управления. М.: Мир, 1975.-367 с.

131. Острем, К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Наука, 1973.-212 с.

132. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. — М.: Наука, 1991.-401 с.

133. Ибрагимов, И.А. Асимптотическая теория оценивания / И.А. Ибрагимов, Р.З. Хасьминский. М.: Мир, 1975. - 269 с.

134. Оптимальное линейное оценивание при использовании инерционных измерителей / В.И. Меркулов // Радиотехника. 2006. — № 11. - С. 34 — 43.

135. Тихонов, В.И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем / В.И. Тихонов, В.Н. Харисов. — М.: Радио и связь, 1991.-503 с.

136. К оценке глубинной контактной выносливости эвольвентных зубчатых передач с поверхностно упрочненными зубьями / В.И. Короткин, Н.П. Онишков, А.В. Гольцев // Вестник машиностроения. 2008. — №5. — С. 9 - 14.