автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы и алгоритмы калибровки математической модели погрешности средств траекторных измерений

На правах рукописи

Колодяжный Артем Николаевич

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ КАЛИБРОВКИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ТРАЕКТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2008

003452143

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина).

Научный руководитель -

доктор технических наук, профессор Постников Евгений Валентинович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Алексеев В.В. кандидат технических наук, доцент Алесов М. Б.

Ведущая организация - 4 Центральный научно-исследовательский институт Министерства обороны России (Московская обл., г. Юбилейный)

Защита диссертации состоится «26 » ноя$~1>я 2008 г. в 11.оо часов на заседании совета Д 212.238.01 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан « 21» о&га'ъря 2008 г.

Ученый секретарь совета

Пантелеев М.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Настоящая работа посвящена исследованию методов и алгоритмов калибровки (параметрической идентификации) математической модели погрешности средств траекторных измерений (ТРИ). В качестве предметной области происхождения ТРИ рассматриваются измерения, полученные при наблюдении пусков объектов ракетно-космической техники (РКТ) разнородным многопозиционным измерительным комплексом.

Несмотря на многолетний опыт решения задач обработки измерений, в том числе, на одном из её этапов - калибровке математической модели погрешности, не существует универсального метода, позволяющего с высоким качеством проводить обработку измерений в реальных условиях. Объясняется это тем, что реальные измерения содержат помимо собственно сигнала ещё и ряд априори неизвестных факторов, осложняющих обработку измерительной информации. К таким факторам относятся систематические и случайные (регулярные) погрешности, а также аномальные измерения. Статистические характеристики погрешности измерений, реализованные в измерительном эксперименте, как правило, лишь приближенно описываются паспортными значениями. Погрешность измерений естественным образом определяется самим измерительным средством, а также условиями проведения измерительного эксперимента, что порождает большое многообразие вариантов, учет которых затрудняет разработку универсального метода обработки результатов измерений. Поэтому в выбранной предметной области в настоящее время значительное место при обработке измерений занимает ручной труд квалифицированного оператора-обработчика. В то же время, развитие науки привело к появлению новых математических методов, позволяющих создавать новые эффективные алгоритмы обработки измерений, такие как адаптивное и робастное оценивание, а также вейвлет-технологии, весомый вклад в разработку которых внесли Джонстон Я., Донохо Д., Жданюк Б.Ф., Лоусон Ч., Малютин Ю.М., Фридланд Б., Хампель Ф., Хьюбер П., Хэнсон Р., Экало A.B. и др.

Тема диссертационной работы, связанная с разработкой и исследованием новых методов и алгоритмов оценивания параметров математической модели погрешности измерений по данным измерительного эксперимента, основанных на последних достижениях в области обработки измерительной информации, представляется актуальной и востребованной как в научном, так и в практическом плане.

Любой качественный метод статистической обработки ТРИ требует знания числовых характеристик погрешностей. Калибровка математической модели погрешности направлена на оценивание этих характеристик. Сравнение паспортных значений погрешности измерительного средства с фактическими оценками позволяет также судить о качестве и стабильности его работы, о необходимости проведения профилактических мероприятий на нем и имеет реальную практическую ценность. В результате использования при обработке ТРИ более точной модели погрешности измерений удается повысить качество

результатов, например, оценок параметров движения объекта исследования.

Применяя гипотезу об аддитивности модели погрешности измерений, в работе рассматриваются следующие ее составляющие: аномальные (сингулярные) измерения, регулярная (быстроменяющаяся) и систематическая (медлен-номеняющаяся) погрешность (Жданюк, 1978), в том числе погрешность временной привязки измерений. Исследование методов и алгоритмов оценивания этих параметров по результатам измерений является основной задачей диссертации.

Целыо работы является разработка и исследование методов и алгоритмов оценивания параметров математической модели погрешности средств ТРИ.

Задачи исследования. В процессе достижения цели диссертационной работы решались следующие задачи:

- разработка математической модели погрешности измерений внешнетра-екторных средств, включающей систематическую и случайную (регулярную и сингулярную) составляющие;

- разработка алгоритма выявления и устранения аномальных измерений;

- разработка алгоритма оценивания характеристик регулярной погрешности измерений на основе методов сглаживания равноточных и неравноточных измерений, выработка практических рекомендаций по его применению;

- разработка метода оценивания систематической погрешности, в том числе и нестационарной;

- разработка методики оценивания погрешности временной привязки измерений;

- апробация разработанных алгоритмов путем статистического моделирования их работы, а также обработкой реальных измерений.

Методы исследования. В диссертационной работе применяется аппарат теории случайных процессов и их фильтрации, математического анализа и линейной алгебры, теории моделирования, методов вычислительной математики.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается результатами математического моделирования и экспериментальных исследований.

Основные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель погрешности ТРИ;

- алгоритм выявления аномальных ТРИ - формирования «опорной выборки» с использованием вейвлет-анализа;

- аналитические оценки оптимального размера окна сглаживания для равноточных и неравноточных измерений, построенный на их основе алгоритм оценивания характеристик регулярной погрешности ТРИ;

- численно-устойчивая модификация метода динамической фильтрации с декомпозицией, используемая для оценивания систематических погрешностей измерений, представляемых линейной комбинацией ортогональных полиномов;

- методика оценивания погрешностей временной привязки измерений.

Научную новизну работы составляют:

1. Математическая модель погрешности ТРИ, основанная на исследова-

нии реальных данных средств ТРИ.

2. Алгоритм выявления аномальных измерений - формирования «опорной выборки» (ОВ) с использованием вейвлет-анализа, работающий более эффективно по сравнению с классическим методом формирования ОВ, за счет возможности исключения в ОВ множественных аномальностей.

3. Аналитические оценки оптимального размера окна сглаживания для равноточных и неравноточных измерений, построенный на их основе алгоритм оценивания характеристик регулярной погрешности ТРИ, позволяющий уменьшить остаточные шумы в результатах обработки.

4. Численно-устойчивая модификация метода динамической фильтрации с декомпозицией, используемая для оценивания систематических погрешностей измерений, представляемых линейной комбинацией ортогональных полиномов, дающая возможность при увеличении порядка аппроксимации сократить количество вычислений и повысить качество анализа поведения погрешностей в задачах большой размерности.

5. Методика оценивания погрешностей временной привязки измерений, позволяющая определять постоянные временные ошибки в измерениях различных измерительных средств, учет которых повышает качество обработки данных.

Научная значимость работы состоит в том, что в ней предлагается, а также теоретически и практически обосновывается совокупность методов и алгоритмов, составляющих фундамент технологии решения задачи калибровки математической модели погрешности средств ТРИ.

Практическая значимость работы состоит в том, что ее результаты непосредственно ориентированы на решение прикладных проблем, связанных с предварительной обработкой данных и направлены на повышение точности и достоверности результатов обработки ТРИ. Разработанные методы можно применять для более широкого круга задач, в которых необходим анализ погрешностей измерений.

Внедрение результатов. Результаты диссертационного исследования были внедрены на Информационно-вычислительном центре Центра эксплуатации измерительного комплекса филиал ФГУП «Научно-производственное объединение измерительной техники» г. Байконур, в том числе в рамках ОКР «Бай-конур-2007».

Разработанные методические материалы использовались в учебном процессе при проведении лабораторных и курсовых работ по курсу «Численные методы», для студентов специальности 230401 в Московском Авиационном Институте филиале «Восход» г. Байконур.

Апробация работы. Результаты основных положений диссертации доложены на 4-ой международной конференции «Авиация и космонавтика-2005» - Москва, 2005г., всероссийской конференции молодых ученых и студентов «Информационные технологии в авиационной и космической технике-2008» -Москва, 2008г., конференции проф-пред. состава СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008г.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 научные статьи (2 статьи - из перечня изданий, рекомендованных ВАК). 3 статьи находятся в печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 95 наименований. Основная часть работы изложена на 139 страницах машинописного текста. Работа содержит 46 рисунков и 10 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении указаны актуальность задачи исследования, цель работы, положения, выносимые на защиту, а также новизна полученных результатов.

В первой главе дана постановка задачи калибровки математической модели погрешности измерений (ПИ), проведена классификация ПИ.

Математическая модель погрешности средств ТРИ представляется в виде: + 31) = (1 - х)Ш + 51) + у« + а)] + + &), (1)

где индикатор Р , р-вероятность наступления события;

[1. (1-р)

Л(7) - систематическая погрешность, имеет математическое ожидание Е{Дг} и корреляционную функцию ЛГД(()(/,,г4) * 0;

- регулярная погрешность, распределенная по нормальному закону, с Е{у{0}=0 и = <5,* *сг1, - символ Кронекера, сг] - дисперсия регуляр-

ной погрешности;

- аномальные погрешности произвольного знака, с Е^^,)} = 0 и К({1,^к)-81к*стг(, <т2( - дисперсия аномальных погрешностей;

& - погрешность временной привязки измерений к временной шкале, для которой в общем случае £{$} =0 и имеет дисперсию ;

г,, ¡к - моменты времени на интервале наблюдения.

Систематическая погрешность задаётся отрезком ряда:

Л(0 = 2>,р,(0, (2)

¡•о

где а1 - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению; ^(0 -система пробных ортогональных функций; п - порядок идентификационной модели.

По набору реальных ТРИ базы сбора измерений комплекса Байконур для измерительных средств (ИС) «Кама», «Висмутин», исследован закон распределения регулярной составляющей измерений (на основе топологического метода) [3, 4] и проведена оценка количественных показателей содержания аномальностей. Результаты подтверждают принятые допущения: о нормальности регулярной погрешности и количественных характеристиках содержания аномальных измерений (не более 10 %), которые легли в основу разрабатываемых подходов их идентификации.

Начало ' 1 Ввод сигнала (1(1)

| Установка порядка ОВ V, типа вейвлета

х

Составление ОВ и измерений

Установка порогового значения

Расчет коэффициентов вейнлсг-ршложеккя 4

сигнала Ь(0

Удаление к-ых измерений ОВ, для которых |^|>т

Рассмотрены проблемы, возникающие при оценивании параметров модели ПИ - невозможность качественной обработки измерений, содержащих аномальности, при использовании квадратичных критериев; отсутствие качественной процедуры оценки регулярной составляющей; численная неустойчивость процесса оценивания вектора состояния объекта исследования большой размерности при использовании стандартного фильтра Калмана, а также отсутствие процедур оценки временных ошибок измерений.

Сформулированы направления и методы исследований:

- устранение аномальных измерений с использованием вейвлет-анализа;

- оценка величины оптимального окна сглаживания измерений и разработка на этой основе алгоритма оценивания регулярной составляющей;

- разработка численно-устойчивой модификации фильтра Калмана для оценки систематических погрешностей с использованием в их представлении ортогональных полиномов;

- разработка методики оценивания погрешности временной привязки измерений.

Во второй главе рассмотрена задача определения и устранения аномальных результатов ТРИ. Анализ классического метода определения ОВ выявил недостаток - невозможность формирования ОВ, если в ней содержится более одного аномального измерения. Для решения данной проблемы предложено использование аппарата вейвлет-анализа.

Используя результаты спектрального анализа вейвлет-разложения ТРИ,

Дополнение ОВ до величины V

С

л

Рис. I Алгоритм формирования опорной выборки (ОВ)

в случае классического подхода формирования ОВ, аномальности в начале выборки не отбраковываются

в случае формирования ОВ с использованием вейвлетов, все аномальности отбраковываются

Рис. 2 Пример определения аномальных измерений угла места ИС «Кама»

с

л

содержащих аномальности, подобраны классы вейвлетов, наиболее качественно выделяющие локальные особенности сигналов - с компактным носителем: ортогональные, такие как вейвлеты Добеши, Симлета, Койфлета, а также биорто-гональные парные.

Разработан алгоритм формирования ОВ (рис. 1), содержащий процедуру "трешолдинга" (Donoho D.L., Johnstone I.M., 1996) для коэффициентов детализации, обладающих "большими значениями" [1]. Приведены рекомендации по

выбору порога отбраковки. Для оценки эффективности разработанного алгоритма формирования ОВ (рис. 2) были проведены численные эксперименты по устранению с его помощью аномальных измерений. Моделирование работы алгоритма показало, что среднеквадратическое отклонение (СКО) обрабатываемых измерений при одном и том же объеме ОВ, в среднем, оказалось примерно вдвое меньше (табл.1), чем при классическом подходе формирования ОВ (Жданюк, 1978).

Таблица 1

измерений h([) и параметров /

__ mil,о_ /

Отбраковка аномальных измерений h(t)

Выделение интервалов сглаживали* I по зонам работы агрегатов РН

П

Г

_ Для I интервалов 1|, Hp

Г Интервал I) обработан

Нет

Расчет величины оптимального окна а лаживания П|,

Расчет CKOoi, относстельно Z|,(t), переход к подинтервалу ii+l

Расчет СКО oi (осреднение аь)

л

Оцененное СКО Оцененное СКО при использовании вейвлет-анализа для формирования ОВ, град

Объем при классическом

ОВ подходе формировании ОВ, град

10 0.18 0.12

15 0.22 0.14

20 0.31 0.16

Расчет опытного

СКО о (осреднение ор

Г

В третьей главе рассмотрена задача сглаживания измерений. Из условия минимизации суммарной квадратической оценки случайной и методической погрешности сглаживания получены новые аналитические зависимости величины оптимального окна сглаживания равноточных измерений при построении сглаживающих полиномов заданной степени (табл. 2) [2].

Таблица 2

Конец

Рис. 3 Алгоритм оценки СКО регулярной погрешности измерений

Порядок аппроксимирующего полинома, ш Оптимальное количество измерений, п

1 ( j2 /5 Ml (Д()2

3 ■>88 а ИЧ ( л/2 Л/4 (Д()4 *

5 299520ст 2/13 (1/39Л/6(Д/)'1 }

где о - расчетное СКО случайной погрешности, шаг измерений а1, Мт=тах(|Ь(т)(0|) - верхняя оценка модуля производной ТРИ порядка т на рассматриваемом промежутке [Мп].

Разработан автоматизированный алгоритм расчета СКО регулярной погрешности (РП) ТРИ (рис. 3), основанный на полученных зависимостях. Оценка погрешности производится относительно сглаживающего полинома. Результаты численного моделирования реализации предложенной схемы, оценивающей РП с заданными характеристиками, подтвердили более высокое качество оценивания СКО РП, по сравнению с алгоритмами, не использующими оптимальное окно сглаживания.

В четвертой главе рассмотрен вопрос решения задачи определения систематических погрешностей. Объект наблюдения описывается следующим уравнением состояния:

* = /(*,/)

• х(Ч) = хо . (3)

z{tk) = h(xitk))+^{tk)+v{tk)

где х - вектор состояния (ВС) размера п, / - заданная п - вектор-функция, 1 -вектор измерения размера т, / - время, А - функция измерений, Д - систематическая погрешность (СП), у- нормальный регулярный шум измерений.

Задача оценивания СП в виде (2) решается совместно с задачей определения параметров объекта наблюдения. Векторы коэффициентов линейных комбинаций СП ИС в представлении (2) выступают в качестве «мешающих параметров» (МП). Решение поставленной задачи, состоящее в построении расширенного вектора состояния фильтра Калмана, включающего фазовые переменные объекта наблюдения и векторов МП, и использования алгоритма рекуррентной статистической фильтрации для получения оценок ВС, оптимальных по квадратичному критерию качества, приводит к высокой размерности ВС фильтра и, как правило, численной неустойчивости процесса оценивания. Для решения этих проблем использован метод Фридланда (РпесИапс! В., 1978) с декомпозицией ВС на вектор фазовых переменных и вектор МП. Оценка ВС исследуемой дискретной динамической системы определяется в виде:

х = х + у£ (4)

где х - оценка, вычисленная в предположении отсутствия МП, £ - оптимальная оценка этих МП, а V - матрица связи объединения оценок х и £ для получения оценки х.

Приведен алгоритм рекуррентной фильтрации с декомпозицией по вектору МП. Анализ алгоритма показал, что декомпозиция оценки вида (4) возможна при отсутствии шума в уравнении состояния для МП. Для решения возникающих проблем численной устойчивости при реализации их на ЭВМ, предложена одна из наиболее надежных вычислительных схем, основанная на ортогональном преобразовании Хаусхольдера, а также рекуррентная модификация такой процедуры, работающая с квадратным корнем по Холецкому от информационной матрицы фильтра.

Разработана модификация метода динамической фильтрации с декомпозицией, используемая для определения СП ТРИ на основе их представления в виде (2) с применением ортогональных полиномов. Модификация сокращает количество вычислений примерно в три раза по сравнению со случаем использования обычных степенных полиномов. В качестве примера работы предложенной модификации на рис. 4,5 приведены результаты соответствующих численных экспериментов по оцениванию СП.

Рис. 4 Графики фактической (сплошная линия) и оцененной СП в измерениях дальности ИС «Кама» представленной в виде комбинации ОП 0-го, 1-го, 2-го (пунктирные линии) и 3-го (сплошная линия) порядков

модификации

Рис. 5 Графики средней расчетной ошибки и доверительного интервала (пунктирные линии) фактической ошибки положения космического аппарата (КА) полученные по 500 реализациям алгоритма, в каждой реализации меняется шум измерений

Для оценки качества полученных результатов, по отношению к алгоритму, не учитывающему СП, использовались функционалы, равные отношению средних значений квадратов фактических ошибок по всей траектории для координатных 6Ифл,а- и скоростных <5КФ/Ш. параметров:

• (5)

(.1

гдеЛ^ - число оценок.

Коэффициент улучшения результатов рассчитывался, соответственно как:

J = (6)

ООН ' У ЛI '

где Я'4, 5у - величины функционалов, относительно которых производится оценка улучшения результатов.

При оценивании в моделируемые ТРИ нескольких ИС вносились и оценивались СП различной величины и знака. Результаты экспериментов подтверждают численную устойчивость и высокую эффективность разработанной процедуры (табл. 3).

Таблица 3

Величина вносимой СП, метр СП оценивается СП не оценивается 1у Средний коэффициент улучшения

Як Яу Яу

200 126.32 2.79 309.55 2.91 1.56 1.02 1.3

500 131.67 2.55 1079.5 5.86 2.86 1.52 2.2

1000 156.94 2.95 4176.83 16.9 5.16 2.39 3.8

В представленном примере оценивание производилось для измерительного комплекса построенного на реальном прототипе, состоящем из 4 ИС, СП вносилась и оценивалась в одном из ИС.

В пятой главе рассмотрена задача определения временных задержек измерений. Объект исследования описывается следующим уравнением состояния: [• ,, .

х = /(х,1) + \\{1)

■ *('0) = *0 . (7)

г(1„+&) = Цх((к + <»)) + + а)

где х - ВС размера п, / - заданная п - вектор-функция, г - т -вектор измерений, к - функция измерений, / - время, и> и V - соответственно шум состояния и шум измерений.

Решение задачи оценивания ВС х и временной задержки ¿к по N измерениям ищется из условия минимизации функционала вида:

/ Ввод /' измерений

jw_

Установка начальных значений ВС X, КМ Р

I

р -К Для k= I п

х

Сортировка j измерений по времени с учетом St !

---- Г" —'

Экстраполяция X и Р с момента Ъ i на tk+8t

Коррекция X и Р на время tk+5t

Экстраполяция X и Р на время k

т

./ = £\\2«к+а)-к(х({к+а))\\2, ,, (8)

УЫ ' 4-1 *

где г(.) - опытное измерение, й(.)- вектор-функция измерений, Як - ковариационная матрица (КМ) шума измерений, <рк - представляет собой преобразование ВС х от момента времени до момента , матрица Qk - КМ шума такого преобразования.

Разработан новый алгоритм (рис. 6) определения погрешности временной привязки (ПВП) измерений на основе модификации алгоритма фильтра Калмана, включающий следующие этапы:

л %

1. Экстраполяцию расширенного ВС Х= его КМ Р с момента времени на момент оценки времени очередного измерения + <й:

л:

Рис. 6 Алгоритм оценивания погрешности времени привязки измерений

дх *=*((,.,il,.,) > (9)

+ à I tt_,)=ф(1к + â.tt_t)PQt_t I tkA)0T(tk++ +Q(tk+ôt)

2. Коррекцию ВС X и KM P на момент оценки времени очередного измерения tk +â :

r(tk +S) = z{tk +Ä)-K(i,)i(it +à | tk_,)

K(tk+Â)=pu,+â i iw^Aj+Äj-1

+ â-1 /j + к) = X(tk + Ä | /ы ) + Ä'(/j + <»)/-(;, + â)

/'(г,+<s 11, +<*) = [/ - K(tk + à)HT(tk)]P(tk+st ] /t., ) 3. Экстраполяцию ВС и его КМ на момент времени tk :

(10)

x(tk\tk+ôt) = <p2(x(tk+st\tk+a))

0{tk,tk+h = i-à^\ . . .

дх x-x(i,*a\i,*tn

p(tk i tk+st)=®{tk,tk +st)P(tk +st\tk +hvr(.tt,tk + <S)

OD

где матрица наблюдения = | ,,. , /(х,1к)], 2 - расширенная КМ

дх дх

шума состояния, / - единичная матрица.

Проведены численные эксперименты по проверке работоспособности и эффективности предложенного метода (табл. 4). Для этого в моделируемые

ТРИ нескольких ИС вносились и далее оценивались ПВП разной величины и знака. В качестве примера на рис. 7 приведены графики процесса оценивания ПВП для трех ИС. Здесь ПВП задавалась для первого и второго ИС равной, соответственно, 0.1 и 0.08 секунды, для третьего ИС равной нулю. Методика даёт хорошие результаты, если ПВП при исследовании объектов РКТ превышает не более чем в пять раз дискретность измерений ИС. При этом данный показатель в большой степени зависит от качества и избыточности информации, а также расположения ИС относительно траектории движения объекта исследования (КА).

О 50 100 150 200 250 300 350

К. номер измерения

Модуль разности оцениваемой и фактической ПВП (пунктирные линии), а также СКО ПВП вырабатываемые фильтром

Рис. 7 Графики изменения ПВП в процессе расчета разработанным алгоритмом для 3-ёх ИС

____Таблица 4

Величина максимальной вносимой ПВП, сек СП оценивается СП не оценивается Jr Jv Средний коэффициент улучшения (Л + Л)/2

SR Sv Sr Sv

0.5 99.2 1.29 474.02 0.98 2.2 0.87 1.5

0.8 101.82 1.24 1010.42 0.95 3.2 0.88 2

1 102.54 1.27 1152.02 3.3 3.4 1.61 2.5

Оценивание производилось для измерительного комплекса построенного на реальном прототипе, состоящем из 3 ИС, ПВП вносились и оценивались во всех ИС, дискретность измерений 0.3 сек.

В шестой главе описана структура разработанного программного ком-

плекса моделирования процессов обработки ТРИ (рис. 8). Приведено описание методологии работы с программами комплекса (рис. 9), которые используются для подтверждения работоспособности предложенных методов и алгоритмов. Рассмотрен процесс моделирования ТРИ. Модели движения объектов исследования (двухступенчатой ракеты-носителя на активном и ее КА на пассивном участках полета), используемые при моделировании, представляются системами дифференциальных уравнений. Данные системы зависят от проектных параметров рассматриваемого изделия. _

Комплекс программ процессов обработки ТРИ

Генерация или загрузка данных

Анализ вейвлет-пакетов

Поиск аномальных измерений

Оценивания СКО

регулярной погрешности ТРИ

Оценивания СП ТРИ

Оценивания

ПВП ТРИ

Рис. 8. Структура программного комплекса

Рис. 9. Примеры экранных форм приложений

В заключении подводятся итоги и указываются основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ:

1. Предложена вероятностная математическая модель погрешности измерений внешнетраекторных средств, включающая аномальные измерения, регулярную и систематическую погрешности и погрешность временной привязки измерений.

2. Исследован закон распределения регулярной составляющей реальных ТРИ, количественные оценки содержания аномальных измерений. Полученные результаты подтвердили правомерность предложенной модели погрешности измерений.

3. Подобраны классы вейвлетов, с помощью которых можно наиболее качественно производить поиск аномальных ТРИ. Разработан новый алгоритм формирования «опорной выборки» на основе вейвлет-анализа, позволяющий сформировать «опорную выборку» в случае множественных аномальностей.

4. Получены аналитические оценки оптимального размера окна сглаживания равноточных и неравноточных измерений полиномами разных порядков. На их основе разработан высокоэффективный алгоритм оценки СКО регулярной погрешности измерений.

5. Разработана численно-устойчивая модификация метода оценивания систематических погрешностей измерений на основе метода рекуррентной фильтрации с декомпозицией по вектору мешающих параметров с новой моделью представления погрешностей - в виде линейной комбинации ортогональных полиномов, дающая возможность повысить точность оценки систематических погрешностей в задачах большой размерности и сократить количество вычислений.

6. Разработана новая методика оценивания погрешностей временной привязки измерений, позволяющая оценивать их одновременно в нескольких ИС.

7. Создан программный комплекс, моделирующий работу рассматриваемых методов и алгоритмов, подтверждающий их работоспособность и эффективность.

8. Предложена усовершенствованная технологическая база этапа предварительной обработки ТРИ, направленная на повышение качества определяемых параметров движения объекта исследования за счет оценки и учета погрешностей измерений. Разработанные при этом методы можно применять для более широкого круга задач, при решении которых необходим анализ погрешностей.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Колодяжный А.Н. «Применение вейвлетов для выявления сингулярных выбросов в траекторных измерениях». // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ» (Из-

вестия Государственного электротехнического университета), серия «Информатика, управление и компьютерные технологии», 2006г., вып. 1. - с. 95 - 100.

2. Даугавет А.И., Колодяжный А.Н., Постников Е.В. «Оценка оптимального размера окна сглаживания равноточных измерений». // Известия СПбГЭ-ТУ «ЛЭТИ» (Известия Государственного электротехнического университета), серия «Информатика, управление и компьютерные технологии», 2006г., вып. 3. .-с. 91 -99.

В других изданиях:

3. Колодяжный А.Н. «Исследование законов распределений случайных погрешностей в измерениях оптического траекторного средства «Висмутин». // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ» (Известия Государственного электротехнического университета), серия «Информатика, управление и компьютерные технологии», 2007г., вып. 2. - с. 15-18.

4. Колодяжный А.Н. «Исследование законов распределений случайных погрешностей измерений траекторной системы «Кама». // Тематический сборник научных трудов филиала «Восход» «Исследование и моделирование ракетно-космических комплексов и их элементов». - М.: Изд-во МАИ, 2007г. - с. 10 -15.

Подписано в печать 09.10.08. Формат 60*84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная Печ. л 1,0. Тираж 100 экз Заказ 48.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства СПбГЭТУ "ЛЭТИ"

Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ" 197376, С.-Петербург, ул Проф. Попова, 5

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Постановка задачи исследований.

1.1. Задача калибровки математической модели погрешности ТРИ.

1.2. Классификация погрешностей измерений.

1.3. Модель погрешности измерений. Постановка задачи калибровки.

1.4. Оценка закона распределения и характеристик погрешностей ТРИ.

1.5. Анализ основных этапов решения задачи калибровки.

1.6. Выводы.

Глава 2. Выявление аномальных результатов измерений.

2.1. Проблема выявления аномальных результатов измерений.

2.2. Выявление аномальных измерений с использование вейвлетов.

2.2.1. Вейвлет-анализ в определении аномальностей.

2.2.2. Алгоритм определения аномальных измерений с использованием вейвлетов

2.3. Выводы.

Глава 3. Сглаживание измерений.

3.1. Задача сглаживания измерений.

3.2. Выбор оптимального размера окна сглаживания равноточных измерений.

3.3. Выбор оптимального размера окна сглаживания неравноточных измерений

3.4. Оценка регулярной составляющей ТРИ.

3.5. Выводы.

Глава 4. Оценивание систематических погрешностей измерений.

4.1. Метод рекуррентной фильтрации с декомпозицией по вектору мешающих параметров.

4.2. Модификация алгоритма оценивания с декомпозицией на основе устойчивых методов вычислений.

4.3. Методика определения систематических погрешностей ТРИ на основе их представления в виде ортогональных полиномов.

4.4. Выводы.

Глава 5. Оценивание погрешности временной привязки измерений.

5.1. Метод оценивания временных задержек измерений.

5.2. Применение методики к обработке ТРИ.

5.3. Выводы.

Глава 6. Программный комплекс моделирования процессов обработки ТРИ.

6.1. Описание программного комплекса.

6.1.1. Программа анализа вейвлет-пакетов.

6.1.2. Программа определения аномальных измерений.

6.1.3. Программа оценивания регулярной погрешности измерений.

6.1.4. Программа оценивания систематических погрешностей измерений.

6.1.5. Программа оценивания погрешности временной привязки измерений.

6.2 Описание обрабатываемых данных.

6.3. Обработка реальных данных.

6.4. Выводы.

Актуальность

Настоящая работа посвящена исследованию методов и алгоритмов калибровки (параметрической идентификации) математической модели погрешности средств траекторных измерений (ТРИ). В качестве предметной области происхождения ТРИ рассматриваются измерения, полученные при наблюдении пусков объектов ракетно-космической техники (РКТ) разнородным многопозиционным измерительным комплексом.

Несмотря на многолетний опыт решения задач обработки измерений, в том числе, на одном из её этапов - калибровке математической модели погрешности, не существует универсального метода, позволяющего с высоким качеством проводить обработку измерений в реальных условиях. Объясняется это тем, что реальные измерения содержат помимо собственно сигнала ещё и ряд априори неизвестных факторов, осложняющих обработку измерительной информации. К таким факторам относятся систематические и случайные погрешности, а также аномальные измерения (АИ). Статистические характеристики погрешности измерений, реализованные в измерительном эксперименте, как правило, лишь весьма приближенно описываются паспортными значениями. Погрешность измерений естественным образом определяется самим измерительным средством, а также условиями проведения измерительного эксперимента, что порождает большое многообразие вариантов, учет которых затрудняет разработку универсального метода обработки результатов измерений. Поэтому в выбранной предметной области в настоящее время значительное место в обработке измерений занимает ручной труд квалифицированного оператора-обработчика. В то же время, развитие науки привело к появлению новых математических методов, позволяющих создавать новые эффективные алгоритмы обработки измерений, такие как адаптивное и робастное оценивание, вейвлет-технологии. Тема диссертационной работы, связанная с разработкой и исследованием новых методов и алгоритмов оценивания параметров математической модели погрешности измерений по данным измерительного эксперимента, основанных на последних достижениях в области обработки измерительной информации, представляется актуальной и востребованной как в научном, так и в практическом плане.

Любой качественный метод статистической обработки ТРИ требует знания характеристик погрешностей. Калибровка математической модели погрешности направлена на оценивание этих характеристик. Сравнение паспортных значений погрешности измерений измерительного средства с фактическими оценками позволяет судить о качестве и стабильности его работы, о необходимости проведения профилактических мероприятий на нем и имеет реальную практическую ценность. В результате использования при обработке ТРИ более точной модели погрешности измерений удается повысить качество результатов, например, оценок параметров движения объекта исследования.

Применяя гипотезу об аддитивности модели погрешности измерений в работе рассматриваются следующие ее составляющие: аномальные (сингулярные) измерения, регулярная погрешность (РП), систематическая погрешность (СП), в том числе погрешность временной привязки (ПВП) измерений. Исследование методов и алгоритмов оценивания этих параметров по результатам измерений является основной задачей диссертации.

В работе проведены исследования в следующих направлениях:

- разработка математической модели погрешности средств внешнетраекторных измерений, включающей систематическую и случайную (регулярную и сингулярную) составляющие;

- разработка алгоритма выявления и устранения аномальных измерений;

- разработка алгоритма оценивания характеристик регулярной составляющей (PC) погрешности измерений на основе методов сглаживания равноточных и неравноточных измерений и выработка практических рекомендаций по его применению;

- разработка метода оценивания систематической погрешности, в том числе и нестационарной;

- разработка методики оценивания погрешности временной привязки измерений;

- апробация разработанных алгоритмов путем статистического моделирования их работы, а также, обработкой реальных измерений.

Методы исследования. В диссертационной работе использовался аппарат теории случайных процессов и их фильтрации, математического анализа и линейной алгебры, теории моделирования, методов вычислительной математики.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается результатами математического моделирования и экспериментальных исследований.

Основные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель погрешности ТРИ;

- алгоритм выявления аномальных ТРИ (формирования «опорной выборки») с использованием вейвлет-анализа;

- аналитические оценки оптимального размера окна сглаживания измерений и построенный на их основе алгоритм оценивания характеристик регулярной погрешности измерений;

- численно-устойчивая модификация метода оценивания систематических погрешностей измерений, представляемых линейной комбинацией ортогональных полиномов;

- методика оценивания погрешностей временной привязки измерений.

Научную новизну работы составляют:

1. Математическая модель погрешности ТРИ основанная на исследовании реальных данных.

2. Алгоритм выявления аномальных измерений - формирования «опорной выборки» (ОВ) с использованием вейвлет-анализа, работающий более эффективно, по сравнению с классическим методом формирования ОВ, за счет возможности исключения в ОВ множественных аномальностей.

3. Теоретические оценки оптимальных размеров окна сглаживания для случаев равноточных и неравноточных измерений, а также алгоритм сглаживания, построенный с их использованием, позволяющий уменьшить остаточные шумы в результатах обработки, а также оценить регулярную погрешность измерений.

4. Модификация численно-устойчивого метода оценивания систематических погрешностей измерений представляемых линейной комбинацией ортогональных полиномов (ОП), и дающая возможность при увеличении порядка аппроксимации не пересчитывать ранее найденные коэффициенты разложения, тем самым, сокращая количество вычислений и повышая качество анализа поведения систематических погрешностей в задачах большой размерности.

5. Методика оценивания погрешности временной привязки измерений, позволяющая определять постоянную временную ошибку в измерениях различных измерительных средств, учет которой повышает качество обработки данных.

Научная значимость работы состоит в том, что в ней предлагается, а также теоретически и практически обосновывается совокупность методов и алгоритмов, составляющих фундамент технологии решения задачи калибровки математической модели погрешности средств ТРИ.

Практическая значимость работы состоит в том, что ее результаты непосредственно ориентированы на решение прикладных проблем, связанных с повышением точности и достоверности результатов обработки ТРИ.

Разработанные методы можно применять для более широкого круга задач, в которых необходим анализ погрешностей измерений.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования были внедрены на Информационно-вычислительном центре Центра эксплуатации измерительного комплекса филиал ФГУП «Научно-производственное объединение измерительной техники» г.Байконур, в том числе в рамках ОКР «Байконур-2007».

Разработанные методические материалы использовались в учебном процессе при проведении лабораторных и курсовых работ по курсу «Численные методы», для студентов специальности 230401 в Московском Авиационном Институте филиале «Восход» г. Байконур.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 научные статьи (2 статьи -из перечня изданий, рекомендованных ВАК). 3 статьи находятся в печати.

Структура работы

Работа состоит из 6 глав, заключения, списка используемой литературы.

В главе 1 проводится классификация погрешностей измерений, обзор методов оценивания их параметров, анализируются недостатки существующих методов и возможные пути решения, дается постановка задачи исследования.

В главе 2 рассматривается вопрос определения аномальных результатов измерений, приводится разработанный алгоритм определения аномальных ТРИ (формирования «опорной выборки») с использованием вейвлет-анализа и результаты экспериментов по применению алгоритма.

В главе 3 рассматривается вопрос сглаживания измерений, приводятся разработанные методы выбора оптимального размера окна сглаживания равноточных и неравноточных измерений, алгоритм расчета параметров регулярной составляющей ТРИ.

В главе 4 рассматривается вопрос оценивания систематических погрешностей измерений, приводится модификация метода определения погрешностей ТРИ на основе их представления в виде ортогональных полиномов, а также результаты экспериментов по применению методики.

В главе 5 рассматривается вопрос оценивания погрешности временной привязки измерений, приводится разработанный метод оценивания и результаты экспериментов по его применению.

Глава 6 содержит описание разработанного программного комплекса моделирования процессов обработки ТРИ и моделируемых данных, а также результатов численных экспериментов с реальными данными.

Объем работы составляет 144 печатных листов.

6.4. Выводы

Рассмотрено описание и структура разработанного программного комплекса моделирования процессов обработки ТРИ.

Программы комплекса используется для подтверждения работоспособности предложенных методов и алгоритмов, а также анализа области их применения. Приводится методология работы с ПО.

Проведено описание моделируемых измерений и моделей движения КЛ на ПУТ и АУТ.

Рассмотрены результаты экспериментов применения алгоритмов к реальным данным, которые легли в основу актов внедрения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты работы можно сформулировать следующим образом:

1. Предложена вероятностная математическая модель погрешности измерений внешнетраекторных средств, включающая аномальные измерения, регулярную и систематическую погрешности и погрешность временной привязки измерений.

2. Исследован закон распределения регулярной составляющей реальных ТРИ, количественные оценки содержания аномальных измерений. Полученные результаты подтвердили правомерность предложенной модели погрешности измерений.

3. Подобраны классы вейвлетов, с помощью которых можно наиболее качественно производить поиск аномальных ТРИ. Разработан новый алгоритм формирования «опорной выборки» на основе вейвлет-анализа, позволяющий сформировать «опорную выборку» в случае множественных аномальностей.

4. Получены аналитические оценки оптимального размера окна сглаживания равноточных и неравноточных измерений полиномами разных порядков. На их основе разработан высокоэффективный алгоритм оценки СКО регулярной погрешности измерений.

5. Разработана численно-устойчивая модификация метода оценивания систематических погрешностей измерений на основе метода рекуррентной фильтрации с декомпозицией по вектору мешающих параметров с новой моделью представления погрешностей - в виде линейной комбинации ортогональных полиномов, дающая возможность повысить точность оценки систематических погрешностей в задачах большой размерности и сократить количество вычислений.

6. Разработана новая методика оценивания погрешностей временной привязки измерений, позволяющая оценивать их одновременно в нескольких ИС.

7. Создан программный комплекс, моделирующий работу рассматриваемых методов и алгоритмов, подтверждающий их работоспособность и эффективность.

8. Предложена усовершенствованная технологическая база обработки ТРИ. Разработанные при этом методы можно применять для более широкого круга задач, в которых необходим анализ погрешностей измерений.

Итогом обобщения полученных результатов явилась формулировка выносимых на защиту положений.

Дальнейшая работа может быть направлена на оптимизацию разработанных алгоритмов, поиск новых подходов к решению задач.

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. - М.: Наука, 1977. - 224 с.

2. Алексеев К.А. Вейвлет-анализ сигналов датчиков. Конспект лекций: Пенза, ИИЦПГУ, 2001.-60 с.

3. Алексеев К.А. Модели и алгоритмы вейвлет-обработки сигналов датчиков с применением лифтинга. 4.1. Теоретические основы лифтинга, 4.2. Численное моделирование // Датчики и системы, 2002, №1. с. 3-9. -№2. - с. 2-5.

4. Астафьева Н.М. Вейвлет анализ: основы теории и примеры применения. // Успехи физических наук, 1996, т.166, №11. с.1145-1170.

5. Балакришнан А.В. Теория фильтрации Калмана. М.: Мир, 1988.- 168 с.

6. Бакут П.А., Жулина Ю.З., Иванчук Н.А. Обнаружение движущихся объектов. М.: Сов. радио, 1980. - 283 с.

7. Бартон Р., Юнгве А. Обработка данных летных испытаний с использованием фильтра Калмана. //Вопросы ракетной техники, 1972, №2. с.18-33.

8. Бахшиян Б.Ц., Назаров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1981. - 360 с.

9. Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений. М.: Недра, 1983. - 223 с.

10. Болынев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.- 416 с.

11. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.: Наука, 1982.-200 с.

12. Брандин В.Н., Васильев А.А., Куницкий А.А. Экспериментальная баллистика космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1984 -262 с.

13. Брандин В.Н., Разоренов Т.Н. Определение траекторий космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. - 216 с.

14. Гаджиев Ч.М. Последовательный метод калибровки измерительных средств с использованием фильтра Калмана. // Измерительная техника 2006, №4. с.32-38.

15. Гетманов В.Г. Цифровая обработка неравномерно дискретизиованных сигналов на основе аппроксимационных сплайнов. // Измерительная техника 2003, №3. с. 24-28.

16. Гильбо Е.П., Челпанов И.Б. Обработка сигналов на основе упорядоченного выбора. М.: Советское радио, 1976. - 344 с.

17. Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. Л.: Энергоатомиздат, 1990. -288 с.

18. Даугавет А.И., Колодяжный А.Н., Постников Е.В. «Оценка оптимального размера окна сглаживания равноточных измерений». // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ», серия «Информатика, управление и компьютерные технологии», 2006, вып. 3. с. 91 -99.

19. Дмитриевский А.А и др. Баллистика и навигация ракет. М.: Машиностроение, 1985. - 312 с.

20. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: Солон-Р, 2002. - 444 с.

21. Евдокимов В.П., Покрас В.П. Методы обработки данных в научных космических экспериментах М.: Наука, 1977. - 270 с.

22. Ершов А.А. Стабильные методы оценки параметров. Обзор. // Автоматика и телемеханика, 1978, №8. с. 66-101.

23. Ершов А.А., Липцер Р.Ш. Робастный фильтр Калмана в дискретном времени. // Автоматика и телемеханика, 1978, №3. с. 60-69.

24. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. -М.: Советское радио, 1978. 348 с.

25. Жданюк Б.Ф. Введение в статистическую баллистику летательных аппаратов. М ^Министерство обороны СССР, 1971. - 196 с.

26. Ивановский С.А., Постников Е.В. Устойчивый метод обработки измерений при наличии мешающих параметров. // Сб. докл. международной конф. SCM'2001 по мягким вычислениям и измерениям. СПб., июнь 2001, т.2. с. 23-26.

27. Ивановский С.А., Постников Е.В. Технология обработки разнородных измерений с априорной параметрической неопределенностью. // Сб. докл. международной конф. SCM'2002 по мягким вычислениям и измерениям. СПб., июнь 2002, т.2. с.92-95.

28. Катковник В .Я., Полуэктов Р.А, Многомерные дискретные системы управления. М.: Наука, 1966. - 416 с.

29. Киселев В. Г. Фильтрация измерений при неполной информации об объекте и каналах измерений. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1974, №3. с. 188

30. Колодяжный А.Н. «Применение вейвлетов для выявления сингулярных выбросов в траекторных измерениях». // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ», серия «Информатика, управление и компьютерные технологии», 2006, вып. 1 с. 95 - 100.

31. Колодяжный А.Н. «Исследование законов распределений случайных погрешностей измерений траекторной системы «Кама». // Сборник научных трудов «Исследование и моделирование ракетно-космических комплексов и их элементов», -М.: Изд-во МАИ, 2007. с. 10 - 15.

32. Колодяжный А.Н. «Исследование законов распределений случайных погрешностей в измерениях оптического траекторного средства «Висмутин». // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ», серия «Информатика, управление и компьютерные технологии», 2007, вып. 2.-е. 15-18.

33. Колодяжный А.Н. «Алгоритм исключения из обработки аномальных результатов измерений на основе использования вейвлет технологий». // Тезисы докладов 4-ой международной конференции «Авиация и космонавтика-2005» М.: Изд-во МАИ, 2005. - с. 80.

34. Кондратьев В.С, Котов А.Ф., Марков Л.Н. Многопозиционные радиотехнические системы. М.: Радио и связь, 1986. - 264 с.

35. Космические траекторные измерения. Под ред. П.А. Агаджанова, В.Е. Дулевича, А.А.Коростелева. М.: Сов. радио, 1969. - 504 с.

36. Кузовков Н.Х., Салычев О.С. Инерциальная навигация и оптимальная фильтрация. М.: Машиностроение 1982. - 216 с.

37. Лебедев А.А., Герасюта И.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970. - 244 с.

38. Лебедев А.А., Красильщиков М.Н., Малышев В.В. Оптимальное управление движением космических летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1974. - 199 с.

39. Лемешко Б.Ю. О задаче идентификации закона распределения случайной составляющей погрешности измерений. // Метрология, 2004, № 7. с. 8-17.

40. Лемешко Б.Ю. Робастные методы оценивания и отбраковка аномальных измерений. // Заводская лаборатория. 1997, том 63, № 5. с. 43-49.

41. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М.: Физматгиз, 1958. - 334 с.

42. Ломако Г.И. Определение и анализ движения по экспериментальным данным. МО СССР, 1983г. - с. 270.

43. Лоусон Ч., Хэнсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1988. - 232 с.

44. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул: Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1982. - 224 с.

45. Мардаз К. Статистический анализ угловых наблюдении. М.: Наука, 1978. -240 с.

46. Меркушева А.В. Классы преобразований нестационарного сигнала в информационно-измерительных системах. Время масштабные (вейвлет-) преобразования для спектрально-временного анализа. // Научное приборостроение, 2002, том 12, №3.-с. 68-82.

47. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1989. - 312с.

48. Малютин Ю.М., Экало А.В. Применение ЭВМ для решения задач идентификации объектов. Л.: Изд. ЛГУ, 1988. - 256 с.

49. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений. М.: Сов.радио, 1978. - 192 с.

50. Найденов В.Г. Оптимальная фильтрация многомерных случайных процессов траекторных измерений с несинхронными по времени компонентами. // Информационно измерительные и управляющие системы, 2007, т.5, №9. с. 3-9.

51. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. -Л.: Энергоатомиздат, 1985. 248 с.

52. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем. Под ред. М. Бассвиля, А. Банвениста. М.: Мир, 1989. - 278 с.

53. Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 208 с.

54. Огороднийчук Н.Д. Обработка траекторной информации. Ч. I. Киев:1. КВВАИУ, 1981. 141 с.

55. Орлов А.И. Неустойчивость параметрических методов отбраковки резко выделяющихся наблюдений // Заводская лаборатория. 1992, т. 58, № 7. с. 40-42.

56. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973. - 321 с.

57. Постников Е.В. Оценка влияния погрешностей временной привязки измерений. Изв. СПбГЭТУ "ЛЭТИ". Серия "Информатика, управление и компьютерные технологии". 2007, Вып.2. с.19 - 23.

58. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и её применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976. - с.496.

59. Смоляк С.А., Титаренко В.П. Устойчивые методы оценивания. М.: Статистика, 1980. - 208 с.

60. Сотсков Б.М., Щербаков В.Ю. Теория и техника калмановской фильтрации при наличии мешающих параметров. // Зарубежная радиоэлектроника, 1983, №2. с. 3-28.

61. Строгов Г.В., Макшанов А.В., Мусаев А.А. Устойчивые методы обработки измерений (обзор). // Зарубежная радиоэлектроника, 1982, №9. с. 9-46.

62. Сухорученков Б.И. Математические модели и методы анализа характеристик летательных аппаратов.- Министерство Обороны СССР, 1985. 322 с.

63. Устойчивые статистические методы оценки данных. Под ред. Р.Л. Лонера, Г.Н. Уилкинсона. М.: Машиностроение, 1984. - 231 с.

64. Фомин A.M. Отбраковка аномальных измерений М.: Атомиздат, 1988. - 126с.

65. Фомин А.Ф., Новоселов О.В., Плющев А.В. Обработка аномальных результатов измерений. М.: Энергоатомиздат, 1985 - 200 е.

66. Хампель Ф., Рончетти Э., Рауссеу П., Штаэль В. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния. Под редакцией В.М. Золотарева. М.: Мир, 1989. -257 с.

67. Хардле В., Крекьячарян Ж., Пикар Д. и Цыбаков А. Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения (перевод К.А.Алексеева). // www.matlab.exponenta.ru/wavelet/book6/index.html, октябрь 2002.

68. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 655 с.

69. Хьюбер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984. - 303 с.

70. Цыпкин Я.В. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1988.-400 с.

71. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.- 352 с.

72. Шапиро Е.И. Рекурсивный алгоритм фильтрации с учетом аномальных ошибок. Радиотехника и электроника, 1980, №2, - с.290-295.

73. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука 1976-С.416.

74. Яшин А.В., Лотонов М.А. Выбор метода решения задачи идентификации законов распределения случайных погрешностей средств измерений // Измерительная техника. 2003, № 3. с. 3-5.

75. Anderson В., Moore J. Optimal filtering. Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, USA, 1979.-p. 357.

76. Bar-Shalom Y., Li X. R.,.Kirubarajan T, Estimation with Applications to Tracking and Navigation. New York: John Wiley & Sons, 2001. p. 322.

77. Chui С. K. and Chen G., Kalman Filtering with Real-Time Applications. New York: Springer-Verlag, 2nded 1991.

78. Daum F. E. Beyond Kalman filters: practical design of nonlinear filters. // in Proc. SPIE, vol. 2561, ,1995. p. 252-262.

79. Donoho, D. Statistical estimation and optimal recovery., // Annals of Statistics 22,1994. p. 238-270.

80. Donoho, D., Johnstone, I. Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage. // Biometrika 81, 1994. p. 425-455.

81. Donoho D.L., Johnstone I.M. Neo-classical minimax problems, thresholding, and adaptation// Bernoulli, 1996, №1. p. 39-62.

82. Donoho D.L. De-noising by soft-thresholding. // IEEE Trans, on Inform. Theory,1995, №3.-p. 613-627.

83. Gustafsson F., Gunnarsson F., Bergman N., Forssell U., Jansson J., Karlsson R., Nordlund P.-J., Particle filters for positioning, navigation and tracking. // IEEE Trans. Signal Processing, vol. 50, February 2002. p. 425-437.

84. Global Positioning system: Theory and Applications / Edited by Parkinson B.W., Spilker J.J. American Institute of Aeronautics and Astronautics. Inc. Washington, 1996, V. 1-2.-p. 1540

85. Farina A., Ristic В., Benvenuti D.Tracking a ballistic target: comparison of several non linear filters. // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, vol. 38, № 3, 2002. -.p. 854-867.

86. Friedland B. Treatment of bias in recursive filtering. // IEEE Trans. Automatic Control, 1969, vol. AC-14, №4 p. 359-367.

87. Friedland B. Notes on separate bias estimation. // IEEE Trans. Automatic Control, 1978, vol. AC-23, №4 - p. 735-738.

88. Kaminsky P.G., Bryson A.E., Schmidt S.F. Discrete square root filtering: a survey of current techniques. // IEEE Trans. Aut. Contr., 1971, Vol. AC-16, № 6. -p. 727-735.

89. Mendel J.M. Extension of Friedland's bias filtering technique to a class of nonlinear system. // IEEE Trans. Aut. Contr., 1972, Vol. AC-17. p. 693-698.

90. Niehsen W., Robust Kalman filtering with generalized Gaussian measurement noise, Corporate Res. & Dev., Robert Bosch GmbH, Hildesheim. // Aerospace and Electronic Systems IEEE, Publication Date: Oct 2002 Volume: 38, Issue: 4 p. 1409- 1412.

91. Rioul, O., Vetterli, M. Wavelets and signal processing, // IEEE Signal Processing Magazine 8(4), 1991 .p. 14-38.

92. Ristic В., Arulampalam S., Gordon N. Beyond the Kalman Filter. Particle Filters for Tracking Applications. Artech House Publ., Boston London, 2004 - p. 297.

93. Verghese G., Friedlander В., Kailath T. Scattering theory and linear least-squares estimation, Part 3: Estimation. // IEEE Trans. Automatic Control, 1980, v. AC-25, №4 p. 794-802.

94. Wang L.-S., Chiang Y.-T.,Chang F.-R. Filtering method for nonlinear systems with constraints //IEEE Proc. Control Theory and Appl, vol. 149, November 2002.- p. 525-531.