автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нелинейные модели Леонтьева-Форда межотраслевого баланса с немонотонными операторами

Введение.

Глава 1. Обзор литературы.

§ 1. Модель Леонтьева.

§2. Открытая модель Леонтьева.

§3. Конус в пространстве R". Положительные операторы.

§4. Модель Леонтьева-Форда, учитывающая экологическое состояние окружающей среды.

§5. Модель, учитывающая возможности утилизации вредных отходов.

§6. Обобщенная модель Леонтьева-Форда.

Выводы и задачи исследования.

Глава 2. Пространства с обобщенной метрикой псевдометрические пространства)

§ 1. Обобщенная метрика. ^

§2. Обобщенный принцип Банаха.

§3. Ненакапливаемость погрешности округления.

§4. Теорема об оценке близости для уравнения с линейным оператором.

Глава 3. Существование неотрицательного решения у модели Леонтьева и Леонтьева-Форда

§ 1. О разрешимости модели Леонтьева.

§2. Определение числа итераций для достижения заданной точности.

§3. Необходимость условия разрешимости модели Леонтьева. щ

§4. Достаточные условия существования неотрицательного решения модели Леонтьева-Форда.

§5. Необходимые условия существования неотрицательного решения у модели Леонтьева-Форда.

§6. Оценки решения модели Леонтьева-Форда.

§7. Признак существования положительного решения у обобщенной модели Леонтьева-Форда.

Глав 4. Нелинейные модели межотраслевого баланса с дифференцируемыми вогнутыми операторами. Положительная обратимость.

§ 1. Нелинейные модели межотраслевого баланса с вогнутыми операторами. Положительная обратимость.

§2. Подход Беллмана-Калаба к определению вогнутого оператора.

§3. Положительно обратимые операторы. Признаки положительной обратимости.

§4. Признаки положительной обратимости для пространств с нетелесным конусом.

§5. Уравнение с дифференцируемыми вогнутыми операторами. Постановка задачи.

§6. Признак продуктивности модели с вогнутым оператором.

§7. Проблема единственности положительного решения нелинейной модели.

§8. Сходимость последовательных приближений к решению нелинейного уравнения.

Глава 5. Оценка «близости» решений двух «близких» уравнений

§ 1. Постановка задачи.

§2. Некоторые приложения (оценка точности приближенного решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений).

§3. О методе редукции для интегрального уравнения с бесконечной областью интегрирования. Оценка точности.

Актуальность проблемы

Работа посвящена развитию методов исследования уравнений вида х = F(x) + f (0.1) с линейным или нелинейным оператором F, действующим в линейном банаховом пространстве, полуупорядоченным конусом К. Рассмотрение уравнений вида (0.1) в пространстве со структурой порядка естественно, особенно в тех случаях, когда для уравнения (0.1) речь идет о существовании решения х*, обладающего свойством неотрицательности: х*>0, (0.2) о сравнении решений хг>х2, отвечающих разным значениям /: / = fx и / = /2, связанным неравенством

• fx* и (0-3)

В частности, вопрос о существовании неотрицательного решения х* важен в первую очередь в тех задачах, когда речь идет о решениях имеющих экономический смысл. Уравнение (0.1) является уравнением межотраслевого баланса, а вектор х - это искомый вектор валового выпуска продукта и по экономическому смыслу вектор х* - решение уравнения (0.1) должен быть неотрицательным вектором.

До сих пор в соответствующей математической литературе рассматривались, в основном, уравнения с положительными операторами F(x), т.е. такими, что

F(x)> 0 при х > в, обладающими свойством монотонности: при хх > х2 имеет место неравенство: F(xl)>F(x2) [6, 7, 21, 23, 25, 27]. Для построения теории таких уравнений были развиты соответствующие методы исследования. Однако, в связи с запросами практики, возникла необходимость рассматривать уравнения (0.1) в которых оператор F не обладает либо свойством положительности, либо свойством монотонности, а зачастую не обладает обоими этими свойствами. А между тем, в этой существенно более общей ситуации по-прежнему актуальными остаются вопросы существования неотрицательного решения у такой модели.

Приведем пример. Речь идет о так называемой модели Леонтьева-Форда - модель производства, учитывающая состояние экологического фактора окружающей среды, т.е. о модели, являющейся наиболее актуальной в современных условиях производства, когда дальнейшее развитие производства вступает в антагонистическое противоречие с условиями безопасной жизнедеятельности людей, с чистотой окружающей среды, как основного фактора существования природы, животного мира, человече

Впервые математическую модель этой проблемы описали Леонтьев и Форд, в своей совместной статье [31]. Соответствующая модель ниже называется моделью Леонтьева-Форда. Первоначально эта модель имела следующий вид:

Здесь х е R", у € R™, т.е. неизвестные неотрицательные векторы в соответствующих конечномерных евклидовых пространствах, обозначающие, х- валовый выпуск полезного продукта, у - объем вредных отходов, подлежащих к уничтожению в окружающей среде, b^eR", b2 <е R+

- неотрицательные векторы, обозначающие, соответственно, чистый выпуск полезного продукта и остаточный уровень вредных отходов (экоского общества.

0.4) логически допустимый предел их содержания в окружающей среде). Соответственно Ацх, А12у - обозначают затраты полезного продукта на валовый выпуск 5с, соответственно, уничтожение вектора у вредных отходов в окружающей среде, А21х- вектор выделяемых вредных отходов при валовом выпуске 5с полезного продукта.

Уравнение системы (0.4) являются простыми балансовыми уравнениями, их смысл состоит в том, что чистый выпуск Ьх полезного продукта составлен из разности валового выпуска х этого продукта и суммарными затратами {Аих + А12у) полезного продукта на производственную и природоохранную деятельность, а остаточный уровень Ь2 вредных отходов в окружающей среде равен разности (А2]х - у), т.е. разности между объемом выделяемых вредных отходов и объемом у уничтоженных вредных отходов.

Цель и задачи исследования

Естественно развить модель (0.4) в следующем направлении: вместо второго уравнения системы (0.4) достаточно иметь неравенство вида: у >А2]х - Ь2, т.е. вместо системы уравнений (0.4) будем рассматривать систему, состоящую из одного уравнения и одного неравенства. Однако в этом случае в виду неоднозначности решения соответствующей системы уравнения и неравенства возникает вопрос: что понимать под решением этой системы.

Несмотря на эти замечания можно согласиться с рассмотрением модели (0.4). Вместо (0.4) рассмотрим более естественную и более общую модель: х^цХ + Аиу + Ъ^АиУ y = A21x + A22y-b2 х>0, у >9 2

0.5) которая фактически предполагает, что часть уничтожаемых вредных отходов А13 у утилизируется в полезный продукт, а в процессе природоохранной деятельности возможно создание дополнительных вредных отходов (пример: при сжигании мусорных свалок в атмосферу выделяются различные вредные газообразные примеси).

Понятно, что модель (0.5) это модель производства, включающая природоохранную деятельность и утилизацию вредных отходов, т.е. достаточно интересная модель.

Каждая из моделей (0.4) и (0.5) является моделью с неположительными элементами (в частности, неположительный элемент (- Ъ2)). Однако, для каждой из этих моделей по прежнему актуальна проблема существования неотрицательного решения: х* >0,у* >0 при заданных неотрицательных векторах Ьг, Ь2 ■ Отметим одновременно, что оператор в правой части первого из уравнений системы (0.5) не обладает свойством монотонности.

Сказанное здесь подчеркивает, что хотя при изучении более общих постановок задач возникают модели типа Леонтьева, однако для этих моделей исследование вопроса о существовании неотрицательного решения несравненно усложняется при переходе от классической модели Леонтьева межотраслевого баланса.

Ситуация еще более осложняется, в связи с тем, что операторы затрат в правых частях уравнений системы (0.5) могут нелинейно зависеть от векторов Зс, у.

В связи с выше сказанным целью исследования являются следующие положения.

1. Изучение двух типов моделей Леонтьева: модели Леонтьева, межотраслевого баланса и открытой модели Леонтьева.

2. Для описания и изучения этих моделей ввести соответствующие понятия и методы исследования, основанные на терминах функционального анализа.

3. В связи с тем, что модель Леонтьева относится к основным экономическим моделям при изучении которых важную роль играет свойство неотрицательности соответствующего решения, необходимо вывести условия при которых эти решения существуют. С этим связанно изучение соответствующих уравнений в пространствах в которых введено понятие «полупорядка» (в пространствах более чем одного измерения нельзя ввести понятие «порядка» так как в таких пространствах неизбежно появляются несравнимые элементы). Последние объясняет тот факт,

• что в данной работе так часто используются понятия и термины функционального анализа.

4. Вывести условие существования и единственности неотрицательного решения у моделей Леонтьева-Фода и методы, на основе которых соответствующие решения могут быть «сконструированы» с любой степенью точности.

5. Установить признаки положительной обратимости линейного оператора.

6. Получить оценки «близости» решений двух «близких» уравнений, что связанно с необходимостью проведения числовых расчетов и соответствующей оценки «близости» приближенного

• решения соответствующих уравнений.

Методы исследования

В диссертационной работе использованы понятия и методы теории функциональных и операторных уравнений, в том числе уравнений с операторами, действующими в линейных полуупорядоченных банаховых пространствах.

Научная новизна

Рассматриваются модели межотраслевого баланса с операторами, не обладающими свойствами положительности или монотонности на предмет выяснения условий существования положительных решений у этих уравнений. Особый интерес представляют модели, в которых изучаются возможности утилизации (переработки) вредных отходов в полезные продукты.

Большое внимание уделяется получению различных эффективных оценок сверху и снизу решений модели Леонтьева-Форда, а также новым признакам существования положительных решений у .этой модели. В то время, как в работах математиков Воронежской школы подробно изучались нелинейные модели с вогнутыми (в смысле М.А. Красносельского) операторами, в математической литературе рассматривается и другой подход к понятию вогнутого оператора, восходящий к работам крупных американских математиков Р. Беллмана и Р. Калаба. Изучение уравнений с вогнутыми операторами в смысле указанных двух авторов, проводится в главе 4 диссертационной работы. В частности, рассматривается вопрос о признаках продуктивности нелинейных моделей с вогнутыми операторами, а также изучается сходимость метода последовательных приближений

Ньютона и модифицированного метода Ньютона к решению нелинейного уравнения. Особый интерес в этой связи представляет теорема 4.8, в которой положены условия, при которых скорость сходимости является квадратичной (это означает, что каждое следующее приближение вдвое увеличивает число верных знаков, найденного приближенного решения).

Достоверность исследования

Следует из математической строгости постановки задачи и методов ее решения, а также из совпадения полученных результатов с известными из литературы для частных случаев.

Теоретическая и практическая значимость работы

Полученные в работе результаты позволяют решить задачу о существовании положительного решения у нелинейных экономико-математических моделей Леонтьева и Леонтьева-Форда с немонотонными операторами. Найдены новые подходы для численного расчета соответствующих новых классов нелинейных моделей. А так же для метода Ньюто-® на-Канторовича установлена «квадратичная скорость» сходимости к решению. Это означает, что в процессе построения приближений число верных знаков каждого последовательного приближения увеличивается вдвое.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладовались на научно-практических конференциях Северо Кавказского государственного университета (1999, 2000, 2001 г.г.), на II международной конференции «Циклы».

По теме диссертации издано 9 научных публикаций, из которых 7 ^ тезисов докладов и 2 научные статьи. Эти работы выходили на внутри вузовских, межвузовских и международной конференциях.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Постановка и исследование нового класса экономико-математических задач: модель Леонтьева-Форда, учитывающая экологическое состояние окружающей среды, а также возможности утилизации вредных отходов (линейный и нелинейный варианты модели), с которым связаны принципиально новые типы операторных уравнений. Отыскание условий существования положительного решения у модели содержащей операторы не обладающие свойством положительности, а также элементы не являющееся положительными

2. Использование для исследования этого нового класса задач элементов теории псевдометрических пространств и принципов неподвижной точки для операторов действующих в таких пространствах.

3. Новые необходимые и достаточные условия существования неотрицательного решения у модели Леонтьева-Форда.

4. Новые подходы к исследованию нелинейных моделей межотраслевого баланса с вогнутыми смысли Беллмана-Калаба операторами, позволяющие более детально исследовать уравнения с дифференцируемыми по Фреше операторами, а также исследование интегрального метода приближенного решения, основанного на линеаризации нелинейных уравнений с вогнутыми операторами.

5. Получено новое достаточное условие продуктивности нелинейной модели Леонтьева с вогнутым оператором и доказана теорема единственности положительного решения у нелинейного операторного уравнения, производная Фреше которого является неразложимым оператором.

6. Исследована монотонная сходимость модифицированного метода Ньютона, а также метода Ньютона-Канторовича (метод квазилинеаризации), для которого установлена квадратичная скорость сходимости к решению.

7. Получены новые оценки «близости» решений двух «близких» уравнений, а также указаны приложения полученных оценок к оценке точности метода редукции (как для интегрального уравнения с бесконечной областью интегрирования, так и для бесконечномерных систем линейных алгебраических уравнений).

Структура и объем диссертационной работы

Данная диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.

Заключение

В диссертационной работе изучаются, в основном, проблемы существования решения х* е К, где К - конус неотрицательных элементов у различных моделей межотраслевого баланса, в том числе

1) модель Леонтьева;

2) модель Леонтьева-Форда, учитывающая состояние экологического фактора окружающей среды и возможности активного воздействия на это состояние;

3) модель, предусматривающую утилизацию вредных отходов.

Эти задачи сводятся к проблеме существования положительного решения операторного уравнения, при этом рассматриваются как линейные, так и нелинейные варианты этих моделей. Особенностью данных задач является то, что в отличии от классической модели Леонтьева 1), которая сводится к операторному уравнению с положительным оператором и с положительным свободным членом, и поэтому может быть исследована средствами теории уравнений с положительными операторами, модели 2), 3) представляют модели с неположительными операторами и с неположительными свободными членами, но для которых по-прежнему актуален вопрос о существовании положительного решения у уравнения, что является существенно более сложной задачей, по сравнению с задачей 1).

Особый интерес представляют варианты задач 2), 3), а также алгоритмы решения этих задач. ;

Предлагаются методы исследования таких задач и алгоритмы их численного решения.

В данной диссертационной работе получены следующие основные результаты: f

1. Предложена постановка и изложены методы исследования новых классов экономико-математических задач: модель Леонтьева-Форда учитывающая экологическое состояние окружающей среды, а также предусматривающая возможности утилизации вредных отходов возникающих в процессе функционирования производства, приводящих к загрязнению внешней среды.

2. Указана возможность применения к исследованию этого нового класса уравнений теории псевдометрических пространств, в терминах которых возможна формулировка новых результатов существования неотрицательного решения у этого класса моделей.

3. Предложены новые подходы для численного расчета соответствующих новых классов нелинейных моделей. Эти подходы базируются на методах Беллмана-Калаба квазилинеаризации в результате которых необходимость решения сложного нелинейного уравнения сводится к решению последовательности более простых линейных задач.

4. Для соответствующего класса задач получены условия монотонной сходимости двух методов: а) модифицированного метода Ньютона; б) метода Ньютона-Канторовича.

5. Для последнего метода установлена «квадратичная скорость» сходимости к решению (соответствующий факт означает, что в процессе построения приближений число верных знаков каждого последовательного приближения увеличивается в двое).

1. Ando Т. On fundamental properties of a Banach space with a cone. Pacific T. Math. 12. 1962. №4. S. 1-12.

2. Bonsall F. F. Linear operators in complete positive cones. Proc. London Math. Soc. 8. 1958. S. 53-75.

3. Karlin S. Positive operators. T. Math. Mech. 1955. №8. С 907-938.

4. Thompson A. C. On certain centraction mappungs in a partitally ordered vector space Proc. Amer. Math. Soc. 14. 1963. №3. S. 43 8-443.

5. Ахнезер Н.И., Глазман И.М. Теория нелинейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 136 с.

6. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис. д-ра физ.-мат. наук. Л., 1967... с.

7. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с равномерно вогнутыми операторами Сибирский математический журнал. 1963. Т.4, 2. 268286.

8. Бахтин И.А. Об одном критерии нормальности конуса. Тезисы семинара по функциональному анализу. Вып.

10. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами Сибирский математический журнал 1961.- Т.2, 3.- 313-330. Ю.Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности положительных операторов. Сибирский математический журнал 1962.Т.З, №1.-0.8-17. П.Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. -М.:Мир, 1968.-270 с.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

14. Есаян А.Р. Применение теории конусов к оценке спектра неположительных операторов: Дис....канд. физ.-мат. наук. -Воронеж, 1964.-13 с.

15. Есаян А.Р. Стеценко В.Я. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц. ДАН СССР. 1964. Т. 157. №2. 12-19.

16. Есаян А.Р. Стеценко В.Я. Локализация спектра линейного оператора Тезисы кр. науч. сообщений Междунар. Конгресса математиков, секция 5 м 1966.-С. 45-74.

17. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. О разрешимости уравнений второго рода Тр. Семинара по функциональному анализу. 1963. №

18. Воронеж. 36-41. 19.3абрейко П.П., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. 06 оценке спектрального радиуса линейных положительных операторов Математические заметки. 1967. Т.1, Вып.4. 5-12.

19. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. 684 с.

20. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. 684 с.

21. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.;Л.: Физматгиз, 1962. С 907-938.

22. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.-421 с.

23. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 544 с.

24. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 396 с.

25. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. 372 с.

26. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.-455 с.

27. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покорный В.В., Стеценко В.Я. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений.// ДАН Тадж.ССР. -1974. T.XVII, 1. 12-15.

28. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные нелинейные системы. М.: Наука, 1985.- 256 с. ЗО.Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. Успехи математических наук. 1948.-№3. Вып. 1.-С.З-95.

29. Леонтьев В.В., Форд Д. Экономика и математические методы. 1972. №3.

30. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.-520 с. ЗЗ.Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. 179с.

31. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.-518 с. 35.0пойцев В.И., Хурадзе Т.А. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Тбилиси: изд-во Тбилисского ун-та, 1984. 269 с. Зб.Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 327 с.

32. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения. М.: ИЛ., 1960. 270 с.

33. Радченко В.В., Стеценко В.Я. Применение метода Ньютона-Канторовича для расчета нелинейного межотраслевого баланса Модели и методы экономических целенаправленных систем.- Новосибирск, 1977. 160166.

34. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс... д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. 307 с.

35. Стеценко В.Я. Критерии неразложимости линейных операторов. Успехи математических наук. 1966.

37. Стеценко В.Я. Нелинейная задача о собственных векторах ДАН Таджикской ССР. -1973. T.XVI, 4. 5-8.

38. Стеценко В.Я. О банаховых пространствах с двумя конусами. Л.: ЛГПИ, 1962.-7с.

39. Стеценко В.Я. О неподвижных точках нелинейных отображений. Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10, 3. 642-652.

40. Стеценко В.Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов ДАН СССР. 1968. Т.178, 5. 1021-1024.

41. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. Ставрополь, 1998 г 1 6 8 с.

42. Стеценко В.Я., Имомназаров Б. Об одном принципе неподвижной точки //ДАНТадж. ССР. 1967. Т 10, 2 С 3-11.

43. Урысон П.С. Труды по топологии и другим областям математики. М.;Л.: ГИТТЛ, 1951. -Т.1.-320 с.

44. Фадеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.;Л.: Физматгиз, 1963. 612 с.

45. Шаабан М. Обобщенная норма интегральных операторов и матриц Изв. АН Тадж. ССР. 1998. Т.108, №2. 3-12.

46. Стеценко В.Я. Обобщенная модель Леонтьева-Форда Современные методы краевых задач. Понтрягинские чтения.У111,ВГУ, МГУ, 1997, 142.

47. Сергеева Т.С. Диссертация на тему: «Исследование систем линейных и нелинейных интегральных и векторных уравнений (неравенств) связанных с моделью Леонтьева-Форда».