автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Развитие и обобщение теорем О. Таусски и А. Островского и исследование обобщенной модели Леонтьева-Форда

На правах рукописи

РГ5 ОД

о я ¿ЯГ 7ППЗ •

Бутова Светлана Борисовна

Развитие и обобщение теорем О.Таусски и А.Островского, и исследование обобщенной модели Леонтьева-Форда

Специальность 05.13.16 -Применение вычислительной техники, математического моделирования, математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени Кандидата физико - математических наук.

Ставрополь 2000 г.

Работа выполнена

В Северо - Кавказском государственном техническом университете, г. Ставрополь

Научный руководитель

д. ф. - м. н., профессор Стеценко В.Я.

Официальные оппоненты:

д. ф. - м. н., профессор Перов А. И. д. ф. - м. н., доцент Хачев М. М.

Ведущая организация : Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик

Защита состоится 29 июля 2000 г. на заседании диссертационного совета К.200.74.01 КБР НИЦ РАН Прикладной математики и автоматизации 360000 КБР г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 а, в 1000

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИ Прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН

Автореферат разослан

Ученый секретарь регионального диссертационного совета К.200.74.01

к. ф. - М. Н.

З.М.Шибзухов

А -¿¿Я. -/3. О «

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. В теории операторных уравнений и ее приложениях важное место занимают результаты, относящиеся к проблеме существования положительного решения у соответствующего линейного уравнения. Естественно, что встречаются уравнения разных классов : линейные системы алгебраических уравнений, линейные интегральные уравнения, краевые задачи для дифференциальных уравнений, уравнения, связанные с задачами математической экономики, нелинейные уравнения соответствующих классов. Все эти типы уравнений являются примерами операторных уравнений. Операторными уравнениями называются уравнения, в которых ■ неизвестный элемент х соответствующего линейного нормированного пространства Е, содержится под знаком оператора, т.е. уравнение вида

Г(*) = 0 (1)

При этом понятие положительного решения предполагает наличие в нормированном пространстве Еклгсса элементов К, называемых положителышмя(неотрицательпымл) элементами. Этот класс выделяется аксиоматически и выражает основные свойства, характерные для положительных (неотрицательных) элементов (чисел). Свойства эти легко описать следующей системой аксиом :

1) из х б К следует, что (Яг) е К для всех Я > 0;

2) ИЗ е К следует, что (*, + х,) е К ;

3) из х е К, х * 0 вытекает, что (-х) К;

4) предел х" (по норме пространства Я ) любой последовательности элементов {.г„} е К, если этот предел существует, является элементом множества К (свойства замкнутости множества К).

Любое множество элементов К, удовлетворяющее аксиомам 1) - 4), называется, следуя М.Г.Крейну конусом.

Наличие в пространстве Е конуса К позволяет ввести в пространстве Е отношение « >» сравнения для некоторых пар {х,у) элементов б пространстве Е. А именно пишут, что

Л > У (2)

в том и только том случае, если разность {х-у) е К. Операция сравнения элементов обладает основными свойствами знака неравенства > , с помощью которого можно сравнить любые два действительных числа а и Ь . Подчеркнем, что с помощью знака «>» можно сравнивать элементы не всякой пары, а лишь элементы некоторых пар (х,у). Поэтому в отличие от множества действительных чисел, которое упорядочение с помощью знака «>», множество элементов нормированного простргнстза называется по.туупорядоченнтлм пространством.

При нал ичии в пространстве Е знака « > » положительными (точнее сказать неотрицательными) элементами называются все элементы, которые удовлетворяют неравенству .т>0 . ■■

При изучении операторных уравнения вида (1) важным во многих задачах является вопрос о существовании у такого уравнения неотрицательного решения х' . Последнее связанно прежде всего с тем , что для широкого класса уравнений именно такие решения имеют соответствующий задаче смысл. Например, если мы имеем уравнение межотраслевого баланса (модель Леонтьева), то это уравнение записывается в виде операторного уравнения вида

х - Ах + Ь (3)

где Л заданная квадратная неотрицательная п х п матрица (называемая технологической матрицей), Ъ е К" - заданный неотрицательный вектор (так называемый вектор валового выпуска полезного продукта). При этом, понятно, что б силу экономического смысла решением х', уравнения (3) может быть лишь неотрицательный вектор, т.е. х° > 0. Это пример является простым наглядным примером уравнения, для которого важно не только установить существование решения х*, а именно, решения, обладающие свойством неотрицательности, т.е. решения принадлежащего классу элементов конуса К (неотрицательных элементов!).

Цель работы - во первых, получение новых теорем, являющихся усилением и развитием классических теорем Адамара, Таусски, Островского и др. Во - вторых, значительное внимание в работе уделяется изучению модели Лентьева - Форда межотраслевого баланса, учитывающей экологическое состояние окружающей среды на предает существования у этой модели неотрицательного решения, ибо именно такие решения имеют экономический смысл. При этом удасгся получить достаточно полные аналоги результатов, известных для модели Леонтьева, хотя модель Леонтьева - Форда является существенно более сложной моделью, по сравнению с моделью Леонтьева.

Научная новизна. Основной целью работы является получение условий существования неотрицательного решения. Проблема существования у операторного уравнения (3) неотрицательного решения тесно связана с проблемой оценки величины спектрального радиуса г(Л) линейного положительного оператора Л.

Именно с этим связанно то обстоятельство, что в работе во первых пристальное внимание уделяется вопросам оценки сверху величины спектрального радиуса линейного положительного оператора/1 и во вторых модели Леонтьева - Форда, учитывающей экологический фактор. Речь идет об оценках спектрального радиуса матричных операторов. В результате получены развития и усиления известных классических результатов теорем А.Островского (см.[Пароли]) о строгих оценках сверху спектрального радиуса матричного оператора. Подчеркнем, что эти результаты являются развитием теорем А.Островского и находятся в гаком же отношении к теореме А.Островского каком находиться известная теорема О.Таусски к теореме Адамара.

Теоретическая к практическая ценность. Заключается в постановке задач нового типа в теории операторных уравнений и неравенств, разработке методов их исследования и указании возможных приложений при исследовании задач межотраслевого баланса, учитывающих экологический фактор.

Достоверность исследований. Следует из математической строгости в постановке и методов решения исследуемых задач, а также из совпадения полученных результатов с известными для частных случаев из литературы.

Апробачия работы. Основные результаты диссертации докладывались на «Современные методы нелинейного анализа» стр.89-91 (Воронеж 1995 г.); «Понтрягииские чтения - УН» стр.44 (Воронеж 1996 г.); «Псптрягииские чтения - УШ» стр.27 (Воронеж 1997 г.);

«Материалы XXVII научно-технической конференции» стр.5 (Ставрополь,.! 997 г.); «Проблемы Физико-Математическкх Наук» стр.83-86 (Ставрополь 1998 г.); «Понтрягииские чтения - IX» стр.223 (Воронеж 1998 г.); «Понгрягинские чтения - X» стр.51 (Воронеж 1999 г.);. «»стр. (Пятигорск 1999 г.);

Публикации. По материалам диссертации опубликовало В печатных работ [1-8]. Часть результатов диссертации нолучена автором совместно с научным руководителем профессором В.Я. Стеценко. При этом в соответствующих результатах Стеценко В.Я.

принадлежат постановка задач и общие рекомендации относительно метода их решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы.

Основное содержанке работы.

Первая глава посвпцеяа развитию и усилению известных классических теорем Л.Островского о строгих оценках сверху спектрального радиуса матричного оператора. Результаты являются развитием теорем А.Острэвского и находятся в таком же отношении к: теореме Л.Островского каком находиться известная теорема О.Таусски к теореме Адамара.

Напомним утверждения дзух последних теорем.

Теорема Адамара : Пусть А = (а1() ()',/ = ^^вещественная квадратная

матрица причем а 5 0 при г * / * п выполнены неравенства : доя каждого ; = /,и

>ЕК1 (-' = 1>2.....") (4)

.м

Тогда матрица Л имеет обратную матрицу А'1, причем А ' >0 , (5)

т.е. обратная матрица неотрицательная. Теорема О.Таусски : Пусть а < О , при (/;_/ = /,и,/*у) и

/-1

01)

причем хотя бы для одного ) = !0 (1 < 10 5 п) в (б) имеет место строгое неравенство :

Пусть матрица А неразложимая . Тогда матрица А имеет обратную А'\ причем выполняется неравенство (5).

Эта теорема Таусски «высветила» важную роль класса неразложимых матриц.

Очень важную роль в теории линейных алгебраических систем уравнений играют известные теоремы Островского [ ] :

Первая теорема Островского : Пусть А - (а;;) В - 0 (_/,/ = ¡,п)причем для некоторого а б [0;1] при всех значениях / = г, п выполняются неравенства

Тогда матрица А неособенная.

В связи с этой теоремой возникает (после теоремы Таусски) естественный вопрос о том, а не имеет ли здесь место аналог теоремы Таусски, если дополнительно известно, что матрица Л неразложимая ? Точнее говоря не следует ли из системы нестрогих неравенств

и строгого неравенства

котя бы для одного i = /0, а также свойства неразложимости матрицы А свойство неособенности этой матрицы ? Оказывается что ответ на этот вопрос положительный ! Более того, в случае если а < 0 (при ; * /, i, j - i,n) , А'1 не только существует, но и неотрицательная матрица!

Это утверждение представляет полный аналог теоремы Таусски в плане усиления (обобщения) теоремы Таусски для первого признака Островского.

Аналогичный результат усганозлен и для второй теоремы Островского..

При этом получено дальнейшее развитие признаков Островского для матрицы бесконечного порядка.

Глава II диссертации, как ясно из ее названия, посвящена оценкам относительной погрешности и состоит из четырех параграфов.

Дтя описания основных результатов главы, приведем необходимые определения.

Оператор А , определенный на телесном конусе К, называется сильно положительным если для каждого х > © эяемсот Ах является внутренним элементом конуса К.

Оператор А называется положительно обратимым, если существует обратный оператор А'1, пци.чем Л"1 >0. Оператор Л называется обратно положительным если из Ах > 0следует, что х>0

В § 2.1 главы II Рассматривается уравнение вида

&=/ (2.1)

с линейным оператором В, действующем в банаховом пространстве Е{Q) функции х(1) .ограниченных па ограниченным замкнутом множеством £?. , с нормой || г ||= sup | x(f) |. Причем предполагается, что /(i) > а > 0 (/ е О) .Конус К в £(П) это множество функций из Е(0), принимающих неотрицательные значения. Очевидно, wo К - нормальный телесный конус, внутренним элементом К является функция и0 = u0(t) з 1

Пусть элемент х = x(t) такой, что

B~x=~j

Тогда г можно рассматривать как некоторое приближение к решению х'

уравнения (2.1), особенно в тех случаях, если || /-/1| мала. . ,.

В этих условиях легко доказать лемму

Лемма 2.1 Если В - линейный'обратно положительный оператор, то имеет место следующая оценка относительной погрешности приближенного решения

х(1) уравнения (2.1)

inf < ktizm < sup Я'ьло

"" /СО *•('). /СО

Далее рассматривается уравнение

Х(0= + (2.36)

где K(t,s) f(s) - непрерывные функции. Пусть x(t) некоторое приближенное решения уравнения (2.36), т.е.

причем /(0 > 0 (/ е Q)

Теорема 2.1 Если f(t) является /(/) измеримой функцией, т.е.

О < /(0 < С/(1),

где С - const, то для относительной погрешности приближенного решения х(1) уравнения (2.36) имеет место следующая оценка

min(minM0,0) < < ma Jo, max —I

№ Ф) 1 М / J

здесь Л/ = /- /, Ах = х{1) - j;(().

Приведенный здесь результат допускает обобщение на нелинейные операторные уравнения

x = f(.v) + l <2.41)

с нелинейным оператором F(x), определенном на телесном конусе К банахова пространства Е и обладающим следующими свойствами.

1) F(x) > О при .т > 0 ;

2) из О S х < у следует, что F(.г) < ^(.v);

3) F(tx) = trF(x), где / - const,/ s (0,1);

4) / - внутренний элемент К.

В § 2.3 Рассматриваются оценки относительной погрешности приближенного решения в сингулярном случае. Речь идет о об уравнениях дада

x = Bx + f, (2.38)

где x,f - элементы банахова пространства (/-известный, х-неизвестный элементы банахова пространства Е. в котором действует оператор 3). Известно, что в случае когда число 1 = 1 не является точкой плоской спектра оператора Я, это уравнение при любом / s Е имеет и притом единственное решение. Вместе с тем ряд важных задач сводиться к уравнению (2.38), для которого число X = 1 является точкой спектра, В этом случае решение (неединствешюе) может существовать и иногда удается выделить подпространство Кв пространства Е, в котором лежит единственное решение уравнения (2.3 S). Такие задачи рассматриваются в монографии [Канторович, Крылов] при этом в этой монографии был указан способ отыскивания таких подпространств и построения приближения к соответствующему решению.

Именно этот случай рассматривается в § 2.3 .Приведем необходимые определения и сформируем соответственные результаты, являющиеся развитием и обобщением соответствующих исследований Л.В. Канторовича, В.И. Крылова , М.А. Красносельского, В.Я. Стеценко. Как и выше пространство Е предполагается полуупорядоченнътм конусом К.

Определение . Оператор В(Е -» Е) называется непрерывным слева (справа) в точке х' е Е, если для всякой последовательности {хп} е Е, такой, что хл (соответственно хп >х")т

I! хп ~х И-* 0 (и х>) следует, что || Вх„ - Вх' Ц-> О Оператор В непрерывный в точке х' слева и справа будем называть непрерывным по конусу К, в точке х".

Имеют место следующие утверждения Лемма 23 Пусть линейный (т.е. аддитивный н однородный оператор Л положителен). Тогда А непрерывен по конусу К в любой точке х'. Лемма 2.4 Пусть А линейный положительный оператор и для некоторого элемента и- > 0 выполняется неравенство

А* < V (2.48)

Пусть выполнено одно из следующих условий :

1) конус К правильный ;

2) оператор А преобразует каждое ограниченное по норме множество элементов в компактное множество и непрерывен ;

3) пространство Е слабо полное, конус К нормален ;

4) конус К сильно миннэдралеп, оператор А (0)- непрерывен по последовательностям [ ].

Тогда для всякого элемента £ > 0, для которого

A\v + g<yv (2.49)

уравнение

х = Ах + $ (2.50)

имеет по крайней мере одно решение х', которое может быть получено методом последовательных приближений

= +£ К = = 0Л,—) (2.51)

При этом в случае выполнения одного из условий 1), 2) последовательность (2.51) сходится по норме пространства Е к решению х' ,а при выполнении одного из условий 3), 4) имеет'место, соответственно слабая сходимость (0)- сходимость приближений х„ к решению х'. Из этого утверждения следует, что в случае, когда элемент / е Е, удовлетворяет при некотором I > 0 неравенству

тс уравнение

х = ;1х + / (2.57)

имеет по крайней мере одно решение х = х(/~), которое также может быть получено методом последовательных приближении

"Ахт+/ (*„=/> = ОД,...)

Это решение будем обозначать через х' = х\[) и называть главным решением уравнения (2.57).

Существование главного решения дг*(/)еще не означает, что отсутствуют другие решения у этого уравнения в пространстве Е.

Однако можно указать такое подпространство этого пространства Е, которому принадлежит главное решение дг' этого уравнения I! в котором нет других, отличных от х' решений этого уравнения.

Теорема 2.2. В условиях леммы 2.4. в пространстве Е\ нет других, отличных от л" решений уравнения (2.57).

Перейдем теперь от уравнения (2.57) с положительным оператором Л к более общему уравнению

л=Вх + /, (2.58)

с линейным оператором В, действующем в пространстве полуупорядоченном конусом Л", для которого выполняется неравенство

-А<В<А, (2.59)

где Л линейный положительный оператор. Очевидно, что при этом условии оператор В не обязательно является положительным оператором. В этих условиях доказана справедливость следующей теоремы. Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (2.59) и условия леммы 2.4., а конус К нормален. Тогда уравнение (2.58) имеет для любого но крайней мере

одно решение х = х. К этому решению сходятся последовательные приближения

=&,„ + / (*о = /;т=0,1,...)

Решение х уравнения (2.58) единственное в Е. .

В § 2.3. рассматривается вопрос об оценке относительной погрешности приближенного решения. Пусть дано уравнение

.V = Лх + (

и для некоторого и< е Е

Ам <н> ,

и нам известно приближение х к решению х' этого уравнения :

ДГ = А ДГ4- /

Предположим, что / и / принадлежат пространству Е . Пусть //, и ц таковы, что

</-/<,/

Тогда имеет место неравенство

х

Тем самым для рассматриваемого сингулярного случая также может быть

указана оценка относительной погрешности приближенного решения.

В § 2.4. приводятся улучшенные (по сравнению с § 2.3.) оценки относительной

погрешности и иллюстрируется их эффективность.

Перейдем к описанию результатов главы III диссертации :

«Модель Леонтьева-Форда и ее развития»

Классическая модель Леонтьева-Форда межотраслевого баланса описывается следующей системой векторно-матричных уравнений :

* = А,,х-*-А,,у + Ь, 1

П I!/ . I (3 ])

у = А21х 4-Апу-Ь,} х > 0, у> О

Здесь использованы обозначения: х е Я" - вектор валового выпуска полезного продукта, у еГ - вектор вредных отходов в окружающей среде, возникающей в процессе производства и подлежащих уничтожению (т.е. «изъятию» из

окружающей среды), д, е Л™ - лектор чистого выпуска полезного продукта, Ь2 е Л" - вектор остаточного уровня вредных отходов, 4Я (/, /' = 1,2) соответствующие технологические матрицы, описызаюшне затраты полезного продула в процессе его выпуска или выделешг-е вредных отходов в окружающую среду в данной экономической модели. Например, Л21 - это (т х п) матрица такая, что А21х - вектор вредных отходов, создаваемых в процессе выпуска вектора х полезного продукта. Легко понять смысл других матриц Л, модели (3.1). Система уравнений (3.1) это очевидные балансовые соотношения между производством и потреблением в процессе производства, а также воздействия производства на окружающую среду с учетом затрат полезного продукта в процессе производства и природоохранной деятельности, а также выделением вредных ингредиентов в ходе производственной деятельности. Эти балансовые соотношения получены в предположении линейной зависимости затрат полезного продукта и производимого загрязнения внешней среды от объемов выпуска полезного продукта х и «величины» у вектора уничтожаемых вредных о тходов. Отказ от этого предположения привел бы к иной нелинейной модели. Заметим, что соответствующая нелинейная модель изучается в диссертации [Сергеевой] и представляет собой при естественных предположениях нелинейное операторное уравнение с вогнутой нелинейностью.

Первая проблема, возникающая при изучении системы (3.1) - Это проблема существования неотрицательного решения х';у' >0 при заданных неотрицательных векторах ¿, : Л, ^ 0;Аг > 0. Простые рассуждения показывают, что это имеет место далеко не всегда, а лишь при выполнении определенных соотношений между векторами Ь, и Ь2, т.е. при определенном «согласовании» этих векторов, Соответствующее согласование имеет место далеко не всегда. Вместе с тем, ясно, что нам не обязательно «выходить» на систему уравнения (3.3), достаточно обеспечить выполнение неравенств: х^Аих-ьАиу + Ь, у>Л21х+Лпу-Ьг- (3.3) х>0;у >0

Естественно, что переход от системы (3.1) к системе (3.3) связан с «утратой определенности», ибо (3.3), в отличии от (3.1), может иметь уже бесконечное число решений, а это приводит к дополнительной проблеме : на каком из решений системы уравнений-неравенств остановиться ? Ответ в этом случае подсказал экономической сутью задачи : естественно остановиться на таком решении (х',у~), которое определяется формулой :

(х',/) = т1(хд,уп), (3.4)

где ха ¿0;уа ¿0 всевозможные решения системы (3.3). При этом операция берется по конусу векторов с неотрицательными координатами.

Естественно, экономический смысл имеет лишь неотрицательные решения

(*"./)-

Задача (3.3)- (3.4) называется обобщенной моделью Леонтьева-Форда. Система уравнений (3.1) может быть переписана в форме традиционного операторного уравнения

2~А2+Ь, (3.5)

если ввести обозначения

А=[Ли Ли\,г^(х,у),Ь = (Ь,-Ь1) , (З.б)

1Л, ¿я)

Однако модель (3.5)не является традиционной моделью теории положительных операторных уравнений, т.к. для этой модели представляют интерес условия

существования неотрицательного решения г при заданном

«полуположительном» («полуотриизтельном») векторе А . Эта модель значительно сложнее традиционной модели, в которой речь идет о существовании неотрицательного решения при заданном неотрицательном

векторе Ъ свободного члена (там было достаточно, чтобы спектральный радиус

г(А) был меньше, чем единица : г(Л) < 1),

Далее приводятся различные достаточные и необходимые условия существования неотрицательного решения у модели (3.5), а также теоремы об оценке решения. Ограничимся формулировкой одной из них.

Теорема 3.5 Пусть Л продуктивная матрица. Тогда для решения г

уравнения (3.5) справедлива оценка

< <ь+\-&—(3.7)

где Д.я.иД таковы, что

Л, И'О :£ А И'о 5 Я, №о (Л, < 1)

а, и'о 5 А /, < Д и'о

а /,. таковы, что А = /,-./ 2, (/\, /г > 0) В частности, если

то (3.5) имеет неотрицательное решение.

Приводятся также и другие теоремы о разрешимости модели (3.1) и обобщенной модели (3.3), а также более общей модели, описывающей межотраслевой баланс, в котором предусмотрена утилизация вредных отходов, выделяемых в окружающую среду. Выясняются свойства этих моделей, строится двойственная модель и предлагается вычислительный алгоритм для решения обобщенной модели, использующий непосредственно алгоритм симплекс- метода решения задачи линейного программирования. Приведем один из результатов, полученных на этом пути.

Теорема 3.11 Пусть (•*',у') - решение модели (3.3) с продуктивной

матрицей А не являющейся решением модели (3.1)

Тогда для каждого / , для которого выполняется строгое неравенство

(ухха^'ХН^ХтЪХг.

компонента у' равны нулю. г"..

Остановимся более подробно на описании двойственной модели, к обобщенной модели Леоньтьева-Форда и се связи с моделью (3.3).

Пусть £*, £~, соотпетстпетга, пространства линейных огранниченнмх функциалов на - сопряженные полугруппы к конусам КХ,КУ,

соответственно, операторы, сопряженные к операторам Ау модели (3.1) Рассмотрим модель вида ,

Ч^ АиР + А'п4-*2 ■ О-4-')

О

которую будем называть моделью, двойственной к модели (3.3). Множество функциалов р,<1 удовлетворяющих (3.43), будем называть множеством пианов действенной задачи.

Опреде.тим вектор (р,д)

(},д) = *М(Р,<1)-ЛР,'1еП} (3.45)

если он существует. .Этот вектор назовем обобщенным решением двойственной задачи (3.43). Возникают вопросы :

1) о нспустос множества Р;

2) будет ли обобщенное решение являются планом задачи (3.43) .? Ответы на эти вопросы содержаться в теореме 3.12.

Теорема 3.12.11усть оператор

(А,

"Ц. ¿п)

(3.44)

продуктивен в Ел .е. а о спектральный радиус меньше чем ]: г(Л) < 1,Р + СЗ , конус К нормальный и воспроизводящий.

Тогда обобщенное решение задачи является планом этой задачи. т Выясняется экономической смысл двойственной модели в том случае, когда Е, = К", = е /Г, V, е К". При этом вектор Р интсрпрстирустсх как вектор «цеп» полезных продуктов, а ц как вектор «платы» за выброс в окружающую среду вредных продуктов, являющихся побочным результатом производственной деятельности. Вектор V, интерпретируется как вектор добавленных стоимостей, т.е. (V,) указывает па стоимость труда, затраченного на создание одной единицы : -го полезного продукта, аналогично 1{-ая компонента вектора у2 равна уменьшению ■платы (дотация) производству при загрязнении окружающей среды одной единицей К-го вредного вещества. На вектор г2 можно также смотреть как на регенерирующую деятельность окружающей срсды, в сипу которой сама среда «борется с загрязнением ». Вполне ясный смысл можно приписать и другим элементам двойственной модели.

При таком подходе к модели (3.43) ее первое уравнение означает, что цена полезного продукта является справедливой, так как она состоит и стоимости затраченных полезных продуктов (как в процессе самого производства, так и в процессе борьбы с загрязнением окружающей среды) и добавленной стоимости, т.е. стоимости затраченного труда. Второе соотношение (неравенство) модели (3.43) означает что, плата за создание одной единицы загрязнения не превосходит суммы стоимости затраченного на борьбу с загрязнением полезного продукта и стоимости затрат на уничтожение вторично воспроизводимого загрязнения за вычетом величины «дотации». Ясно, что в том случае, когда второе соотношение модели (3.43) будет выполняться со знаком равенства, то это будет означать, что

назначенная плата за загрязнение среды обитания является справедливой. В том же случае, когда во втором соотношении будет иметь место знак неравенства, это будет говорить о том, что плата за загрязнение не покрывает издержек. Именно поэтому неразумно любой вектор из множества Р иизпзть лектором цены производства.

Естественно возникает вопрос :

Что можно сказать в этой связи о векторе (/?,<?), определенном согласно (3.45)? Из приводимых ниже резульчаю» следует, что'прн естественных предположениях относительно производства , решение (р,ф двойственной модели существует и единственное. Более того это решение удовлетворяет второму соотношению модели со 'знаком равенства, т.е. цена является справедливой. Более того, вектор (р,<?) связан с решением {х' ,у~) модели (3.3) простым соотношением, имеющим важный экономический смысл и обобщающий один из важных фактов тории Леонтьева, утверждающего о том, что национальный продукт равен национальному доходу. Рассматривается также следующая более общая модель

рйАпР + АяЧ + у^

4<а;2Р + А;2С/-^ (3.48)

р £ 0,(7 й: 0,р 6 Е\, ц е Е' множество планов которой обозначается Р/_ Ясно что 1\ > р. Нсли рл то решение модели (3.48) определяется аналогично тому, как это было определено для модели (3.43). Имеет место

Теорема 3.13 Пусть оператор А продуктивен, а вектор удовлетворяет неравенству

у3<а;2(/-А;1Г'У1 (3.49)

Тогда множество планов р, модели (3.48) непустые и существует решение эгои модели.

Замечание Условия (3.49) заведомо выполнимо, если -0 Следующая теорема проясняет связь между решениями модели (3.43) и (3.48). Они имеют силу не только для конечномерных пространств но н для некоторых бесконечномерных пространств(Е =■ I ,р> 1)

Теорему 3.14 Пусть (р°,ч°) решение модели (3.48). Тогда ни для какого /' = строгое неравенство

(А, < МгР\ +(Л*2А - од,

невозможно. Аналогично ни для какого / = 1, невозможно неравенство

выполнении условия (3.49) существует неотрицательное решение (р°,(/°) модели у пи гч м <3 с>4)

Условие (3.49) означает, посулхеству, согласование уровней вектора V, - величины добавленной стоимости и - уменьшение платы за загрязнение (регенерагогошюй способностью природы)

Вектор (р0,?0)- это вектор справедливой цены.

Если (х\у')-решениемодели (3.3), а (р0,?0)-решение модели (3.54), то

(ЛАЬ(д^)<(х>,)~(у-л.г) (3.5)

причем это неравенство переходит в равенство в случае, сели для вектора (х",у") соотношение (3,3) выполняется со знаком равенства (в частности при Ь2 = 0). Если одновременно \'2 = <), то (3.5) записывается в виде

(/Л> = (*>,),

чго означает равенство национального продукта национальному доходу.

Далее в § 3.4 предлагается одно развитие модели межотраслевого баланса, 'записанная как

модель баланса с инвестициями на создание дополнительного резерва производства для

выпуска продукции в момент времени+ Ь). Соответствующая модель имеет вид

системы

*.(<) ° £>,*, (0 + * ** ~ХМ + /,ОХ/= Гп) ■ (3.57)

Нас интересует вопрос о существовании неотрицательного решения {х,(0>*г(0.. •■,*„(') этой системы. При а, = 0 (; = г',«) эта система переходит в модель Леонтьева межотраслевого баланса. •

Если в (3.57) перейти к пределу при А -* 0, то предполагая существование соответствующего предела, получим систему линейных дифференциальных уравнений,

которую в случае, когда все а, * 0 можно разрешить относительно производных —1.

Л

Для системы (3.57) рассматривается следующая задача : Выяснить имеет ли эта система для / (!) вида

/С> = /У, ' 0 (,' = !,я)

-где задапиые числа имели решение вида

*,(<) =

т.е. решение растущее с тем же темпом роста Я что и внешнее 'потребление /(/) и называемое сбалансированным растущим решением. Ответ содержится в теореме 3.15. Теорема 3.15 Пусть технологическая матрица А продуктивная . Тогда при достаточно мал их х, (эта малость может быть указанна явно) (/.= /, и) система (3.57) с /,(;) = /'е" где /^"заданные числа, имеет и притом единственное неотрицательное решение х,(0 , сбалансированное с программой внешнего потребления и имеющие так же термин роста Я. '

На защиту пылюситася следующие основные положения:

1. Развитие и усиление признаков не особенности квадратных матриц, классических признаков Островского э случае неразложимых матриц конечного и бесконечного порядков,

2. Получение новых с трогах и квалифицирован!! их оценок сисрху для спектрального радиуса матрицы.

3. Способы построения последовательности векторов {(/„}, } монотонно

сходящихся соответственно снизу и сверху к собственному вектору х' положительной матрицы А, отвечающему ведущему собственному значению.

4. Для уравнения г = Д . +-/. в сингулярном случае (т.е. когда число X = I является точкой спектра оператора В) указанны подпространство звачений вектора /, для которых это уравнение имеет главное решение х н предлагается алгоритм построения приближений 7-п, сходящихся к этому решению.

5. Получение оценок относительной погрешности приближенного решения уравнения х = Вх+/ как дл! регулярного, так и дм сингулярного случая.

6. Изучение обобщенной модели Леиьтъева-Форда межотраслевого баланса, учитывающего экологический фактор, для которой введено понятие обобщенного решения , установлено существование решения модели, учтены свойства решения теоремы существования неотрицательного решения н критерий разрешимости.

7. Построение двойственной модели к обобщенной модели Леонтьева-Форда и изучены ее свойств.

Введение.

1. Глава I Развитие и обобщение теорем Адамара, О. Таусски и А. Островского

2. Глава II Оценки относительной погрешности.

2.1. Оценки относительной погрешности приближенного решения.

2.2. Оценки относительной погрешности для приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений.

2.3. Оценки относительной погрешности для приближенного решения уравнения в симулярном случае.

2.4. Оценки относительной погрешности для приближенного решения для систем линейных алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений.

3. Глава III Модель Леонтьева-Форда и её развитие.

3.1. Модель Леонтьева-Форда. Существование неотрицательного решения.

3.2. Обобщенная модель Леонтьева-Форда. Существование неотрицательного решения.

3.3. Двойственная модель к обобщенной модели Леонтьева-Форда.

3.4. О некоторых развитиях модели межотраслевого баланса.

В теории операторных уравнений и ее приложениях важное место занимают результаты, относящиеся к проблеме существования положительного решения у соответствующего линейного уравнения. Естественно, что встречаются уравнения разных классов : линейные системы алгебраических уравнений, линейные интегральные уравнения, уравнения, связанные с задачами математической экономики, нелинейные уравнения соответствующих классов. Все эти типы уравнений являются примерами операторных уравнений. Операторными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестный элемент х соответствующего линейного нормированного пространства Е, содержится под знаком оператора, т.е. уравнение вида = 0 (1) При этом понятие положительного решения предполагает наличие в нормированном пространстве Е класса элементов К, называемых положительными (неотрицательными) элементами. Этот класс выделяется аксиоматически и выражает основные свойства, характерные для положительных (неотрицательных) элементов (чисел). Свойства эти легко описать следующей системой аксиом :

1) из х € К следует, что (Ля) е К для всех А > 0;

2) из х1, х2 е К следует, что (х, + х2) е К;

3) из х е К,х * 0 вытекает, что (-х) е" К;

4) предел х* (по норме пространства Е ) любой последовательности элементов если этот предел существует, является элементом множества К (свойства замкнутости множества К ). Любое множество элементов К, удовлетворяющее аксиомам 1) - 4), называется, следуя М.Г.Крейну конусом.

Наличие в пространстве Е конуса К позволяет ввести в пространстве Е отношение х>у сравнения для некоторых пар (х,у)элементов в пространстве

Е. А именно пишут, что х > у в том и только том случае, если разность (х-у)еК. Операция сравнения элементов обладает основными свойствами знака неравенства > , с помощью которого можно сравнить любые два действительных числа а и Ъ (либо а>Ь, либо Ъ>а). Подчеркнем, что с помощью знака х>>- можно сравнивать элементы не всякой пары, а лишь элементы некоторых пар (х,у). Поэтому в отличие от множества действительных чисел, которое упорядоченно с помощью знака х>у, множество элементов нормированного пространства называется полуупорядоченным пространством. Конечно, хотелось бы иметь для любого нормированного пространства возможность сравнивать между собой элементы любой пары (х,^) пространства Е, причем так, чтобы операция сравнения > обладала привычными свойствами обычного знака «>». Однако легко доказать, что для линейных пространств Е размерности большей или равной двум, это невозможно! Поэтому «жертвы» здесь неизбежны, оказывается, что «удобнее» пожертвовать потерей возможности сравнения элементов любой пары, нежели привычными свойствами знака «>». При этом речь идет о следующих свойствах знака «>» :

1) из х > у и Л > Оследует, что Лх > Лу и -Лх < -Лу;

2) из >уг,х2 >у2следует, что х,+х2 >у]+у2 (неравенства одного смысла можно почленно складывать) и (х1-у2> у1-х2), т.е. неравенства неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать;

3) если хп>уп и хп х(п оо) и у„ -> у(п -» да), то х > у, т.е. в неравенствах можно переходить к пределу. При этом под символом х„ х понимается сильная сходимость в Е (т.е. сходимость по норме пространства Е).

При наличии в пространстве Е знака «>» положительными (точнее сказать неотрицательными) элементами называются все элементы, которые удовлетворяют неравенствам х>0 .

При изучении операторных уравнения вида (1) важную роль во многих задачах является проблема существования у такого уравнения решения х* такого, что х* > О (т.е. неотрицательного решения). Последнее связанно прежде всего с тем , что для широкого класса уравнений именно такие решения имеют соответствующий задаче смысл. Например, если мы имеем уравнение межотраслевого баланса (модель Леонтьева), то это уравнение записывается в виде операторного уравнения вида х = Ах + Ь (2) где А заданная квадратная неотрицательная пхп матрица = я" (называемая п х п технологической матрицей), Ь е Я" - заданный неотрицательный вектор (так называемый вектор валового выпуска полезного продукта). При этом, понятно, что в силу экономического смысла решением х* уравнения (З)может быть лишь неотрицательным вектором, т.е. х* > 0. Это пример является простым наглядным примером уравнения, для которого важно не только установить существование решения х, а именно, решения, обладающие свойством неотрицательности, т.е. решения принадлежащего классу элементов конуса К (неотрицательных элементов!). Проблема существования у операторного уравнения (3) неотрицательного решения тесно связана с проблемой оценки величины спектрального радиуса г(А) линейного положительного оператора Л.

Именно с этим связанно то обстоятельство, что в работе столь пристальное внимание уделяется вопросам оценки сверху величины спектрального радиуса линейного положительного оператора А которым просвещена первая глава диссертации. Речь идет об оценках спектрального радиуса матричных операторов. В результате получены развития и усиления известных классических результатов теорем А.Островского (см. [17]) о строгих оценках сверху спектрального радиуса матричного оператора. Подчеркнем, что эти результаты являются развитием теорем А.Островского и находятся в таком же отношении к теореме А.Островского каком находиться известная теорема О.Таусски к теореме Адамара. Напомним утверждения двух последних теорем.

Теорема Адамара : Пусть А = (а,у) (/,у = 1,п)вещественная квадратная матрица причем ау <Опри 1ф] фп выполнены неравенства : для каждого 1 = 1 ,п

К1 С/ = и.,и) (3) м и* о

Тогда матрица^ имеет обратную матрицу Л"1, причем

А'1 >0, (4) т.е. обратная матрица неотрицательная. Теорема О.Таусски : Пусть аи < 0 , при (/; у = 1, п, / ф у) и

5)

1 и*о причем хотя бы для одного у = /0 (1 < /0 < п) в (6) имеет место строгое неравенство : п

7=1 и*1о)

Пусть матрица А неразложимая . Тогда матрица А имеет обратную А'1, причем выполняется неравенство (5).

Эта теорема Таусски «высветила» важную роль класса неразложимых матриц.

Очень важную роль в теории линейных алгебраических систем уравнений играют известные теоремы Островского [58]:

Первая теорема Островского : Пусть А = ) В = 0 (у, / = 1, п) причем для некоторого а е [0;1] при всех значениях / = 1,п выполняются неравенства аи>Р»ОГа Тогда матрица А неособенная .

В связи с этой теоремой возникает (после теоремы Таусски) естественный вопрос о том, а не имеет ли здесь место аналог теоремы Таусски, если дополнительно известно, что матрица А неразложимая ? Точнее говоря не следует ли из системы нестрогих неравенств аи>Р«&-а а = й) и строгого неравенства аи>Р"0)-а (1 <1<п) о'о 'о \ о ; хотя бы для одного г = /0, а также свойства неразложимости матрицы А свойство неособенности этой матрицы ? Оказывается что ответ на этот вопрос положительный ! Более того, в случае если а0 < 0 (при г ф у, г, у = 1, п) ,

А"1 не только существует, но и неотрицательная матрица !

Это утверждение представляет полный аналог теоремы Таусски в плане усиления (обобщения) теоремы Таусски для первой теоремы Островского. Аналогичный результат установлен и для второй теоремы Островского. 4

При этом получено дальнейшее развитие признаков Островского для матрицы бесконечного порядка.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем :

1. Указанны развития и усиления признаков неособенности квадратных матриц, классических признаков Островского в случае неразложимых матриц конечного и бесконечного порядков.

2. Получены новые строгие и квалифицированные оценки сверху для спектрального радиуса матрицы.

3. Указаны способы построения последовательности векторов {£/„},{к„} монотонно сходящихся соответственно снизу и сверху к собственному вектору х* положительной матрицы А, отвечающему ведущему собственному значению.

4. Для уравнения х = Вх + / в сингулярном случае (т.е. когда число Л = 1 является точкой спектра оператора В) указанны подпространство значений вектора /, для которых это уравнение имеет главное решение х* и предлагается алгоритм построения приближений х„, сходящихся к этому решению.

5. Получены оценки относительной погрешности приближенного решения уравнения х = Вх + / как для регулярного, так и для сингулярного случая.

6. Изучена обобщенная модель Леньтьева-Форда межотраслевого баланса, учитывающего экологический фактор, для которой введено понятие обобщенного решения , установлено существование решения модели, учтены свойства решения теоремы существования неотрицательного решения и критерий разрешимости.

7. Построена двойственная модель к обобщенной модели Леонтьева-Форда и изучены ее свойства.

1. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. -М.: Физматиз. 1967.-415 с.

2. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. -М.: Наука. 1961.-407 с.

3. Канторович П.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах-М.: Физматиз. 1959.- 684 с.

4. Канторович П.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. -М.: Гостехиздат. 1950.- 546 с.

5. Канторович П.В., Крылов В.Н. Приближенные методы высшего анализа. -М.-Л. Физматиз. 1962.- 708 с.

6. Karim S. Positive operators //J.Marh.Mech.-1955.-№ 8.-P. 907-938.

7. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.-М.: Мир. 1969.-421с.

8. Функциональный анализ. Под ред. С.Г. Крейна. -М.: Наука. 1972.-544с.

9. Колмагоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука. 1968.- 544 с.

10. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.:11. Наука. 1969. 455 с.

11. Красносельский М.А. Положительное решение операторных уравнений. -М.: Физматгиз. 1962. 396 с.

12. Красносельский М.А., Лившиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные линейные системы. М.: Наука. 1985. - 256 с.

13. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат. 1956. - 372 с.

14. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи математических наук. -1948.-№3 .-вып. 1 .-3-95 .с.

15. Опойцев В.И., Хурадзе Т.А. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Тбилиси: Издательство Тбилисского университета. 1984. -269.с.

16. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения. М.: ИП. 1960. - 170 с.

17. Стеценко В.Я., Есаян А.Р. К вопросу о разрешимости уравнений второго рода.//Известия АН Таджикской ССР. 1964.-Т.2 (15). 13-35.С.

18. Стеценко В.Я. 2. Критерий неразрешимости линейных операторов // Успехи математических наук. 1966. - №21. - вып. 5. 265-267.С.

19. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс. . д-ра физ.-мат. наук. Воронеж. 1969. -307с.

20. Стеценко В.Я. Критерии неразложимости линейных операторов // УМН.1966. т.21 - вын.5 (131). 265-266.С.

21. Стеценко В.Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора. // УМН. 1967. - т.22 - вып.З (135). 242-244.С.

22. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М. JL: Физматгиз. 1963. - 612 с.

23. Bellman R. Introduction to matrix analysis Me Graw Hill. New York. 1960. (Русский перевод: P. Беллман. Введение в теорию матриц, М.: «Наука», 1969).

24. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. - 1966.

25. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Гостехиздат.27. 1951.-Ос.

26. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Гостехиздат. 1956. -Ос.

27. Pham D. Techiques du calciil matriciel. Dunod. Paris. -1962.

28. Fraser R.A., Dunkan W.J., Kollar A.R. Elementary matrices. London. Cambridge University.- 1938 (Русский перевод: P. Фрезер, В. Дункан, А. Коллар Теория матриц и ее приложения. - М.: И.Л. - 1950).

29. Halmos Р/R/ Finite dimensional vector spaces, 3 nd ed. Prmccton. Van Nostrand.- 1958 (Русский перевод: П. Халмош Конечномерные векторные пространства. - М.: Физматизд. -1963).

30. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. М.: Гостехиздат. 1952.

31. Taussky О. Commutativity in finite matrices // Amer. Math. Montly. 1952.-№64.-P.229-235.

32. Taussky 0. A not of the group commutator of A and A* // J. Washington Acad. Sci.-1959.- № 48 P.305.

33. Taussky 0. Commutators of unitary matrices which commute with one factor//J. Math. Mech. -1961.-№ 10.-P.175-178. (181-183)

34. Wielandt H. Unserlegbare, nicht negative Matrizen // Math. Z. 1952.-№ 52.- S. 642-648.

35. Fan Ky. A niinimal property of the eigenvalues of a hermitian transformation, if Amer. Math. Montly. 1953.-№ 60.- P.48-60.

36. Frobenius A. bber Matrizen aus positiven Elementen. //1. Sitzungsber, Kgl. Preuss. Akad. Wiss.-1908.- v.2.- S. 471-476.

37. Frobenius A. bber Matrizen aus positiven Elementen. //1. Sitzungsber, Kgl. Preuss. Akad. Wiss.- 1909.- v.2.- S. 514-518.

38. Frobenius A. bber Matrizen aus nicht negativen Elementen. // I. Sitzungsber, Kgl. Preuss. Akad. Wiss.-1912.- v.2.- S. 456-477. (223-225)

39. Hadamard S. Lecons sur la propa gation des ondes. Chelsea. New York. 1949.

40. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. -1966.- с.0.

41. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гос-техиздат.-1950.-93-100 с.

42. Mac Duffee C.C. The theory of matrices. Chelsea. New York. 1946.-p.0/

43. Parodi M. La localisation des valeurs caractéristiques cles matrices et ses applications. Gauthier-Villars. Paris.- 1959.- p.O (Русский перевод: M. Пароди. Локализация характеристических чисел матриц и ее применение. М.: ИЛ. -I960, -с).

44. Perron О. Theorie der algebraishen Gleichungen II (zweite Auflage). De Gruyter. Berlin.-1933.-s.O.

45. Brauer A. Limits for the characteristic roots of a matrix. //1. Duke Math. J.1946.- v.II,- № 13.-P.387-395.

46. Brauer A. Limits for the characteristic roots of a matrix. // I. Duke Math. J.1947.-v. IV.-№ 14.-P.21-26.

47. Brauer A. Limits for the characteristic roots of a matrix. //1. Duke Math. J. -1952,-v. П.-№ 19.-P.73-91.

48. Brauer A. The theorems of Ledermann and Ostrowski on positive matrices. // Duke Math. J.-1957.- № 24.- 256-274.

49. Wielandt H.W. Ein Einschliessungssatz fbr charcteristische Wurzein normaler Matizen. //Arch. Maht.-1948.-№ 1.- S.348-352.52. 54. Wielandt H.W. On eigenvalues of sams of normal martices. // Pacific J. Math.- 1955.- № 5.- S.633-638.

50. Гершгорин С.A. bber die Abgrenzung der Eigewerte einer Matrix. //' ИАН СССР, сер.физ.-матем.-1931.- C.749-754.

51. Hoffhian A.J., Wielandt H.W. The variation of the spectrum of a normal matrix // Duke Math. J,-1952.- 20.- P.37-39.

52. Дмитриев H.A., Дынкин Е.Б. О характеристических числах стохастических матриц. // ДАН СССР. -1945. 49. -159-162.С.

53. Marcus M., Mink H., Moils В. Some results nonnegative matrices. // J. Res. Nat. Bur. Standards. -1961. 65B. - P.205-209.

54. Ostrovski A. bber die Detmiinanted mit bberweignder Haupt diagonale. // Comm. Math. Helv. 1937. -10. - S.69-96.

55. Ostrovski A. bber das Nichtverschwinden einer klasse von Detmiinanted und die localisierang der charakteristishen Wurzein von Matrizen. // Compositio. Math. -1951.-9.- S.209-226.

56. Ostrovski A. Bounds for the greatest latent root ofa positive matrix. // J. London Math. S0C.-1952.- 27.- S.253-256.

57. Ostrovski A. On nearly tra ingular matrices.- J. Res. Nat. Bur. Standards.-1954.-52.- P.319-345.

58. Ostrovski A., Schneider H. Bounds for the maximal charakteristic roots of matrices. // Duke Math. J. -I960.- 27.- P.547-553.

59. Ostrovski A., Schneider H. Some teorems on the inertia of general matrices. // J. Math.Anal, and Appl.-1962.- 4.- P.72-84.

60. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. Пер. с англ. под ред. В.Б. Лидского. М.: Наука. -1972.- Ос.