автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы и методики анализа математических моделей в сложных системах

С—

На правах рукописи

Лайпанова Зульфа Мисаровна

МЕТОДЫ И МЕТОДИКИ АНАЛИЗА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ (ЭКОНОМИЧЕСКИХ, ЭКОЛОГИЧЕСКИХ, БИОЛОГИЧЕСКИХ)

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 СЕН 2011

Краснодар 2011

4855239

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Карачаево-Черкесский государственный университет им. У.Д. Алиева»

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Семенчин Евгений Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Уртенов Махамет-Али Хусеевич

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Южный

федеральный университет» (г. Ростов-на-Дону)

Защита состоится 14 октября 2011г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.17 при ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, КубГу, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», а с авторефератом на сайте www.kubsu.ru

Автореферат разослан «12» сентября 2011 г. Ученый секретарь диссертационного

доктор экономических наук, кандидат физико-математических наук, профессор Попова Елена Витальевна

совета, к. ф.-м. н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы, «...система есть совокупность взаимосвязанных элементов, обособленная от среды и взаимодействующая с ней как единое целое...; сложной системой называется система, в модели которой не хватает информации для эффективного управления» (ею) (Перегудов Ф. И,, Тарасенко Ф. П. Введение в системный анализ. - М.: Высшая школа, 1989. -367с.).

В соответствии с этим определением система называется простой, если в ее модели достаточно информации для эффективного управления ею; кроме того, совокупность' ее взаимосвязанных элементов и ее модель следует воспринимать как единое целое.

Под управлением системы будем понимать процесс воздействия на нее (в рамках, допускаемых моделью изменений параметров этой модели) с целью достижения некоторой цели:

Цель, которую нужно было достичь в диссертационной работе при исследовании различных систем - получить с помощью модели системы результаты, адекватные экспериментальным данным.

Один из основных способов перехода от сложной системы к простой - изучить причины сложности системы и на основе этих исследований получить дополнительную информацию, позволяющую эффективно ею управлять. Для перехода от сложной системы к простой достаточно подкорректировать (подправить, уточнить) модель сложной системы таким образом, чтобы она позволяла эффективно управлять системой и достичь поставленной цели.

В диссертационной работе основное внимание уделено экономическим, экологическим и биологическим сложным системам. В качестве моделей этих систем (и их подсистем) выступают и были рассмотрены различные математические модели. Заметим, что подсистема - это подмножество элементов системы, которое является (выступает) по отношению к ней как самостоятельная система.

Математическая модель системы в общепринятом смысле -объект, построенный средствами математики и способный в определенных условиях заменять оригинал, воспроизводч интересующие нас свойства и характеристики оригинала. В

качестве «средств математики» могут выступать уравнения (алгебраические, дифференциальные - с заданными для них начальными или граничными условиями), различные типы неравенств, аналитические к логические формулы и т. д.

Математические модели рассматриваемых экономических, экологических и биологических систем (или их подсистем) представлены в диссертации (или их основу составляют) дифференциальными уравнениями (обыкновенными или в частных производных) с заданными для их решения начальными и граничными условиями (т.е. представлены краевыми задачами). Для того, чтобы краевая задача адекватно экспериментальным данным описывала рассматриваемую систему (т.е. чтобы сложная система была управляемой) необходимо, чтобы она была корректно поставлена.

Если задача некорректно поставлена, то ее решение или не существует, или не является единственным, или является неустойчивым, а, значит, система является плохо (слабо) управляем эй. Кроме того, в таких задачах валено выяснить не только фант корректной или некорректной постановки задачи, но и предложить (указать) эффективные методы построения ее аналитического и численного решения в случае некорректной постановки. Подобных исследований математических моделей экономических, экологических и биологических систем или их подсистем, судя по публикациям в периодических журналах, не проводилось. Более того, подобные исследования не проводились методами теории оптимальной фильтрации, которые наряду с аналитическими методами использованы при анализе математических моделей экономической системы.

Поэтому тема диссертационной работы, в рамках которой предложены методы и методики, позволяющие проводить анализ математических моделей сложных систем (экономических, биологических, экологических) или их подсистем, и ответить на вопрос: является ли система (подсистема) простой или сложной, указать п^ти сведения сложных систем (подсистем) к простым, является актуальной и практически значимой.

Тема диссертационной работы сформулирована в рамках научной проблемы, на решение которой направлены в настоящее время исследования, проводимые как у нас в стране, так и за

рубежом: разработать математические модели систем, в частности, экономических, затрагивающих общее состояние экономики страны, региона, предприятия (фирмы), экологических' и биологических, являющихся средой обитания людей.

Данная диссертационная работа направлена на решение (в рамках указанной научной проблемы) важной научной задачи: указать методы исследования й исследовать на корректность постановки краевые задачи, описывающие стационарные и динамические процессы в экономических, биологических и экологических системах (и их подсистемах), которые являются наиболее значимыми системами в теории сложных систем.

Степень разработанности проблемы. Построению математических моделей

а) макро- и микроэкономических систем посвящены многочисленные исследования отечественных и зарубежных ученых: J1.B. Канторовича, С.А. Ашманова, В.А. Колемаева, В.И. Малыхина, В.В. Федосеева, Н.Ш. Кремера, В.Ф. Кротова, И.В. Орловой, М.В. Пинегиной, С.Р. Хачатряна, В.П. Буянова, В.В. Леонтьева, P.M. Солоу, К.Дж. Эрроу, С. Карлина, X. Никайдо, М. Интрилигатора и многих других;

б) рассматриваемой подсистемы - покров листьев на растении биологической системы: A.M. Нахушева, Дж.Г.М. Торнли, В.Н. Сукачева, Ю.М. Свирежева, Д.О. Логофета и многих других;

в) рассматриваемой подсистемы - приземная атмосфера экологической системы: A.C. Монина, A.M. Яглома, Г.И, Марчука, М.Е. Берлянда, Н.Л. Бызовой, A.M. Обухова, Е.К. Гаргера, В.Н. Иванова, С.С. Зилитинкевича, Д.Л. Лайхтмана, Ю.А. Израэля, В.А. Бабешко, Ф.Т. Ньюстадта, X. Ван Допа, Т.Р. Оке, С. Панчева и многих других.

Методам исследования на корректность постановки, регуляризации некорректно поставленных задач, фильтрации случайных помех в динамических системах посвящены исследования А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина, В.А. Морозова, М.М.Лаврентьева, A.M. Денисова, B.C. Сизикова,

A.Н. Колмогорова, Н. Винера, P.E. Калмана, P.C. Бьюси,

B.C. Пуга чева, Р.Л. Стратоновича, В.Б. Колмановского,

В.Р.Носова, А.Н. Ширяева, Р.Ш. Липцера, В.Н. Афанасьева и многих других.

Вмесге с тем не исследованы на корректность постановки задачи. Коши в математических моделях макро - и микроэкономических систем, не разработаны методики подавлении случайных помех в этих задачах, не исследованы на корректность постановки краевые задачи, описывающие рассеяние примеси в экологической подсистеме приземная атмосфера. Важность (теоретическая и практическая) проведения таких исследований и определила тему и постановку задач диссертационного исследования.

Объект исследования - математические модели экономических, биологических и экологических систем.

Предмет исследования - критерии корректной постановки задач Коши и краевых задач в указанных моделях.

Цели проводимых исследований: найти условия, обеспечивающие корректную постановку краевых задач, описываюцих наиболее часто встречающиеся в прикладных исследованиях сложные системы: экономические, экологические, биологические и их подсистемы, разработать эффективную методику подавления помех, ошибок и шумов, возникающих в этих задачах, и адаптировать ее к решению задач, возникающих в прикладных исследованиях.

Задачи, которые решались в ходе проводившихся исследований.

1. Исследовать на предмет обусловленности решения статическую модель Леонтьева, на корректность постановки задач Коши в математических моделях Леонтьева (динамической), Солоу, динамической модели развития малого предприятия.

2. Рафаботать методику подавления шумов в статической балансовой модели Леонтьева, которая основана на методах оптимальной линейной фильтрации шумов в системах линейных алгебраических уравнений.

3. Разработать методику подавления шумов в динамических макроэкономических моделях (Солоу, Леонтьева), которая основана ка методах линейной фильтрации шумов в линейных системах дифференциальных уравнений.

4. Разработать методы регуляризации решений краевых задач, описывающих биологические процессы, и методы исследования на корректность постановки' краевых задач, описывающих экологические процессы.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы понятия и методы теории дифференциальных уравнений, в том числе уравнений с частными производными, методы регуляризации задачи Коши, методы оптимальной линейной фильтрации шумов в динамических системах.

Достоверность н обоснованность полученных з диссертационной работе теоретических и практических результатов следуют из математической строгости постановки рассматриваемых задач, методов их решения, а также из совпадения полученных результатов с результатами, известными из печатных источников.

На защиту выносятся следующие результаты

Методика фильтрации ошибок измерений в экономико-математических моделях Леонтьева (статической и динамической), Солоу, динамической модели развития малого предприятия. Такая методика предлагается впервые, она дает возможность найти оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку решения указанных моделей методами оптимальной фильтрации случайных помех.

1. Результаты исследования на корректность постановки краевых задач, описывающих рассеяние примеси в турбулентной атмосфере. Они позволяют теоремы о корректной постановке краевых задач для уравнения параболического типа переформулировать применительно к краевым задачам, описывающим рассеяние примеси в турбулентной атмосфере.

2.Способ регуляризации задачи Коши со смешанным носителем, описывающей явление спирального филлотаксиса (расположение листьев на растении). Эти исследования являются продолжением исследований, проведенных Торнли. Они позволяют уточнить модель спирального филлотаксиса.

Соответствие паспорту специальности.

Диссертационное исследование выполнено в соответствии с паспортом специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ:

п. 2. - «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»,

п. 4. - « Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента»,

п. 5. - «Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели».

Научная новизна. Предложены методы и методики анализа математических моделей сложных систем и их подсистем, наиболее чг.сто встречающихся в прикладных исследованиях -экономических, экологических, биологических: методика построения по результатам наблюдений оптимальной в среднеквадратичном смысле оценки решений моделей Леонтьева (статической, динамической), микроэкономики, задачи Коши в модели Солоу; предложены критерии проверки на корректность постановки краевых задач, описывающих макроэкономические процессы, процессы рассеяния примесей в приземном слое атмосферы, предложен способ регуляризации методом малого параметра задачи Коши со смешанным носителем.

Теоретическая значимость полученных результатов. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использован>1 при анализе на корректность постановки краевых задач в математических моделях других сложных систем.

Практическая значимость результатов диссертационного исследования. Полученные критерии и разработанные методики могут быть использованы для проверки на адекватность экспериментальным данным математических моделей макро - и микроэкономических, биологических и экологических систем, для исследования явления филлотаксиса в кронах деревьев, для получения численными методами оптимальных в среднеквадратическом смысле оценок решений задач Коши в математических моделях макро - и микроэкономических систем, учитывающих случайные помехи.

Внедрения полученных результатов. Результаты исследований, изложенные в диссертационной работе, внедрены (что подтверждается соответствующими актами о внедрении) в производственную деятельность ЗАО «Карачаевский пивзавод» (г.

Карачаевск), в учебный процесс ФГБОУ ВПО «Карачаево-Черкесский государственный университет им. У.Д. Алиева»

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались в 2007 г. на Международной научно-технической конференции

«Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза), в 2007 г. на Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск), в 2008 г. на кафедрах математического анализа, информатики Карачаево-Черкесского государственного университета, на научных конференциях, проводившихся в Карачаево-Черкесском государственном университете,

Публикации. Материалы диссертации подробно опубликованы в 15 научных работах: в монографии, 7 статьях (6 из них - в научных изданиях, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских и кандидатских диссертаций) и 7 тезисах докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 104 наименований. Объем диссертации - 127 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, отмечены научная проблема и в ее рамках научная задача, решению которой посвящено диссертационное исследование, степень разработанности проблемы, сформулированы цели и задачи проводимых исследований, указаны объект, предмет и методы исследования, отмечены научная новизна, достоверность и обоснованность, практическая и теоретическая значимость полученных результатов, результаты, выносимые на защиту, пункты паспорта специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ, которым соответствуют результаты, приведенные в диссертации, дана краткая характеристика работы.

Первая глава - вводная. В ней представлены математические модели экологических и биологических систем, которые будут подвергнуты подробному анализу. В этой же главе приведены математические методы, с помощью которых в главах 2 - 3 был проведен анализ указанных систем. Математическая модель рассеяния примеси в атмосфере представлена в главе 4 (это связано с кеобходимостью одновременного описания и анализа этой модель ).

Вторая глава посвящена в основном изложению результатов исследования на корректность постановки задачи Коши в математических моделях макро- и микроэкономических систем.

Пост е того, как математическая модель некоторого объекта построена, в каждом конкретном случае требуется проводить анализ модели: будет ли в данном случае рассматриваемая модель адекватно экспериментальным данным описывать изучаемый объект. Для этого необходимо, чтобы алгебраические соотношение (уравнения, неравенства), краевые задачи, входящие в модель, имели и притом единственное решение, чтобы это решение было устойчивым к изменениям параметров модели, т. е., чтобы задачи, входящие в модель, были корректно поставленными.

В данной главе приведены результаты исследований на корректность постановки статической и динамической балансовых моделей Леонтьева, задачи Коши в динамических моделях Солоу и микроэкономики.

В первом параграфе изучается модель Леонтьева

х = Лх + / , х> 0 , (1)

где А > 0, - матрица размера 5X5, />0 — вектор-столбец размерности 5,0,-

нуль - матрица размера 5X5, 0- нулевой вектор - столбец размерности .у.

Теорема 1. Пусть выполнены условия: А - неразложима,

Р(А) < 1, (2)

где р{А) = sup{j/t,|| - спектральный радиус матрицы А, Я, - ее

I

собственные значения. Тогда (1) имеет и притом единственное неотрицательное решение x = x*(f).

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, матрица Е-А является обусловленной. Тогда модель Леонтьева (1) является корректно поставленной (т.е. имеет единственное, устойчивое, неотрицательное решение).

Во втором и третьем параграфах представлены результаты анализа на корректность постановки задач Коши в математической модели Солоу, в динамических моделях Леонтьева, микроэкономической системы.

Теорема 3. Пусть в задаче Коши (модель Леонтьева)

y{t)=m^- + C{t), t е [О, Г], (3)

at

(4)

C{i) непрерывна в D = [О,Г] х R", K(t) имеет непрерывную в области D обратную матрицу K'}(t). Тогда (3), (4) является корректно поставленной в области D . Теорема 4. Пусть в задаче Коши dK

— = -juK + pF(K, I), K(0) = KQ, (5)

L = L0 ■ e1" , f{t,K) = -fiK + p- Fx(ir,K),F,(t,K) = F(K, Fx (t, К) удовлетворяет в области

D = {(t,K):\t\<a,\K~K0\<ar} (6)

условию Липшица

|Fx(/,Kx)~Fy (t,K21 < y\K, - K21, у = const > 0, (7)

——, Я e A = {ju,p,v,L0}, непрерывна в D по совокупности и/1

своих переменных. Тогда (5) является корректно поставленной в D.

В третьей главе изучается задача фильтрации ошибок измерения решений задач Коши в математических моделях экономической системы.

- Все рассмотренные выше задачи и модели не учитывают случайных помех, возникающих по различным причинам в экономической системе. Задачи и модели, в которых учитываются случайные «шумы» (помехи), более адекватно экспериментальным данным описывают рассматриваемые процессы. Однако, такие задачи и-модели уже будут заведомо некорректно поставленными в смысле определений главы 1 (очевидно, детерминистское условие устойчивости в этих случаях не будет выполняться). Поэтому дл:* решения этих задач нужен другой математический аппарат: методы фильтрации случайных помех (например, метод Калмана-Бьюси), которые согласно известной терминологии, называются методами статистической (или, что то же самое, стохастической) регуляризации.

В первом параграфе рассмотрена задача: по измеренному в (1) / найти неотрицательный вектор у, учитывающий результаты измерений / со случайными ошибками v, Mv = 0, и доставляющий минимум

M\y-xf,

где х - речение системы Вх = /, В = Е — А, х > О, Е — единичная матрица размера пхп. Данная задача представляет собой задач;/ оптимальной линейной фильтрации, и может быть сведена к решению следующей задачи квадратичного программирования:

(Вх - /)' R-* (Вх -/)+(*- y/J N'x (х - у/) -> min, х > Ö. R = M{v-vT),y/ = Mx, N = м\(х — у/)(х-ц/)г\.

Во втором параграфе третьей главы исследована задача многошаговой фильтрации ошибок измерения f при многократном (к раз, & > 1) измерении f с ошибками V,

Mv — 0, которая сводится к задаче квадратичного программирования

(Вх — fYЯк л{Вх — /У+{х — ФкYSk~l(х-Ф*) —» min, х>0, (8) где в (8) элементы матриц Rk, Sk и вектора Ф^. представляют собой статистические оценки элементов соответственно матриц R , N и вектора у/.

В третьем параграфе поставлена и решена задача оптимальной фильтрации ошибок наблюдения в стохастической модели Солоу. Доказано, что_ оптимальная (в среднем

квадратическом смысле) оценка K(t) решения (5), в которой

линеаризована правая часть и присутствует (учитывается) белый шум

dK(t) г ,

= + t е [о,Г], К(0) = К0,

К0 - случайная величина с заданным законом распределения, K(t) измеряется по закону

Z(t) = D(t)K{t) + v(t), -D(t)~ заданная и непрерывная на [О, Г]функция, ®(0. КО" независимые гауссовы белые шумы, Mco(t) = Mv{t) = Q, co\(co(t), б)(т)) = Q(t) ô{t-r), cov(v(0, HO = R(t) S(t - r), дельта-функция, удовлетворяет задаче

^ = [л(г) - a(t)D2 (t) ■ (,)]*(,)+ a(t)D(t)R-(,) ■ z(t), (9)

*(°)=o,. (I0)

где a(t)~ решение дифференциального уравнения Риккати

ML 2 A(t)v-Di(t)R->{ty+Q(t), (11)

с начальным условием

сг(0) — <т0 . (12)

В четвертом параграфе этой главы поставлена и решена подобная задача оптимальной фильтрации ошибок наблюдения в стохастической модели Леонтьева

dx(t) . t ,

— = 5-'(/Х£-ЖО)х(0-[в-,(Ос(0-з'о]+®(0. (13) X(0) = 0,/G[0,r], (14)

Z = D(t)x(t) + v(t). (15)

Показано, что оптимальная (в среднеквадратическом смысле) оценка x(t) решения (13), (14) по результатам наблюдений (15) удовлетворяет задаче:

+ Z(t)Di(t)R-(t).Z(t),

x(t0) = 0, (17)

где удовлетворяет другой задаче Коши:

^=(Ф - (Ф - A(t)f -

at

-Y.Dr(t)-R-x{t)-D{t)j:+Q{t),

Z(/0) = 2o- (18)

В пятом параграфе третьей главы исследована аналогичнгя задача фильтрации ошибок наблюдения в решении стохастической модели микроэкономики.

Шестой параграф посвящен исследованию следующей прикладной задачи: используя статистические данные межотраслевого баланса ЗАО «Карачаевский пивзавод» за 2007 -2010 годы, по результатам измерений вектора спроса /, содержащих случайные ошибки, найти оптимальную в среднем

квадратичном смысле оценку х решения х балансовой модели (1), построенной по этим статистическим данным.

В четвертой главе предложена методика регуляризации задачи Коти со смешанным носителем, описывающий явление филлотакср са (расположение листьев на растении) в подсистеме покров листьев на растении биологической системы. Исследованы на коррекгность постановки краевые задачи, описывающие рассеяние примеси в приземной атмосфере - подсистеме экологической системы.

В первом параграфе рассмотрена краевая задача со смешанным носителем.

Пусть Q = {(дг, у) : 0 < х < г, 0 < у < Т}- прямоугольная

область на евклидовой плоскости точек,

Q - замыкание области

а,

= {(^У)-х = О, О < у < т], <т = ах0 u cr0v

Подробно исследована следующая задача: в области Q, найти решение U — и(х,у) уравнения

а2ихх — иу = 0, а — const >0 (19)

непрерывное в Q и удовлетворяющее условиям: и(х,0) = <р(х), хе ах0, и(0,у) = т(у), ux(Q,y) = v(y), уеа0у.

Не нарушая общности, можно считать, что в (19) а = 1. Известно, что данная задача является некорректно поставленной (по Адамару). Для ее регуляризации был использован «возмущенный» оператор

. д2 д2 д

А£ = —- + s----

дх дхду ду

Во

втором параграфе на основе результатов из первого параграфа исследована следующая задача: пусть

П = {(х, /): 0 < х < /, 0 < Г < J1} - прямоугольная область на евклидовой плоскости точек Q - замыкание области €1,

vt = a2v„ — yv, а = const >0,7= const; (20)

найти регулярное в области Q решение v = v(x,t) уравнения (20), непрерывное вП и удовлетворяющее условиям:

-a2lim vr = |so(/), 0 <t<T, (21)

v(0,t) = v(i,t), 0<t<T, хе[0,/].

Данная задача в простейшем случае, когда

S0 (0 = S, exp(-/tf), 5, = const >0, ju = const < у,

и концентрация морфогена меняется по экспоненциальному закону

v = <p(x)exp(-pt), впервые была исследована Дж.Г.М. Торнли.

В третьем параграфе четвертой главы изучается вопрос о разрешимости общей начально-граничной задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере.

ди±и, 8д+аЧ = ±± д Кч + (22)

Ы £ ' дх, Ъ^дх, дх}

К,=Кр, /,У = 1,2,3

¿^ = 0, (23)

ох,

( е [0,Г), 0<Г<+ю, (х,,х2,х3)еС?, д(Г,х,,х2,х3)>0, Ге[0,Г), (х,,х2,х3)е С, (24) х,, хг, х3) = <р(хх ,х2,хг)

»

х,, х,, х3) | ас = ^(х,, х,, х3); (26)

или (22)-(2:5) с граничным условием

^ + = (27)

Здесь ¿¡г(/,х,,х2,х3) - функция, значения которой в каждый момент времени Г е [0,Т) совпадает со средним значением

концентрации примеси в связной области в, дО = дО0 {•J дО} О дС2, <ЭСг0 - нижняя, 5СХ - боковая, дС2 -

верхняя части границы дС, б = дС; = и1 х,, х2,х3) , / = 1,2,3, - функции, значения которых совпадают со значениями средней скорости ветра в момент ( в точке

(х,,х2,х3) соответственно вдоль осей Ох{,Ох2,Ох3 (рассматривается декартова прямоугольная система координат); а — ,х2,х3) - функция, характеризующая убьшь примеси в

момент Г I; точке (х15х2,х3) за счет либо ее радиоактивного

распада, либо за счет вступления в химические реакции с веществами, находящимися в атмосфере, и компонентами атмосферного воздуха; Кц = К„ (/,*, ,х2 ,х3), /,/ = 1,2,3, -

элементы матрицы коэффициентов турбулентной диффузии; / - /((, х,, х,, х,) - функция, моделирующая источник выбросов вещества в атмосферу (функция источника); р = р(х,,х2,х3) -функция, значения которой в точке (х,,х2,х3) е С в момент времени /„совпадает со значениями концентрации примеси в атмосфере (функция, описывающая фоновую концентрацию)-дЯ

^ - производная по внутренней нормали 5С?0 :

-«г,^.с.*»«*

^ б А'

х = х(х,,х2,х3), 7 = внутренняя нормаль к <ЗС/0 в точке хедС?0, АГ-конечный, замкнутый конус с вершиной х(=дС0, который содержится в (7 + {х}, /?(/, х,, х2, х3), - функция, характеризующая гравитационное осаждение примеси на дС0, Г (Г, х,, х2, х3) - скорость сухого осаждения примеси на дО0, 1е[0,Т), (х,,х2,хг)еС0.

Функция источника примеси / задается в виде:

/(Г, х,, х, , х3) = х,, х2, х3) х,, х2, х3), где л-) - мощность источника примеси (масса примеси,

выбрасываемой в области <3 в момент / в точке хе(3), 5(1,х) -дельта - функция Дирака.

Всюду ниже речь идет об обобщенных решениях краевых

задач.

Теорема 6 . Пусть коэффициенты и,, К(/, a, i,j- 1,2,3,

принадлежат классу Я D[ = (О,T)xG, и ограничены

на Ъ[ , кроме того , K}j непрерывно дифференцируемы по х,, ij = 1,2,3 в'' Da, Q> 0, р>0, Q, <р ограничены, £

удовлетворяет условию Гёльдера с показателем (3, ср непрерывна

в Ъ\ , 8G удовлетворяет условиям Ляпунова. Тогда задача (22)-(26) при имеет единственное решение.

Теорема 7. Пусть выполнены все условия теоремы 6. Тогда задача (22)-(26) при f = 0, <р = 0 имеет единственное решение.

Обозначения пространств совпадают с обозначениями, принятыми в монографии Ладыженской О.А., Салонникова В.А., Уральцевой Н.Н.1

Теорем:» 8. Пусть

L- параболический оператор в D4 , т.е. при всех (t,х) е D4 и любого вещественного вектора

£ = (<?„£>&)* (ОАО)

выполняется условие

1=1 7=1 _ коэффициенты L непрерывны Z)4 и для всех (f,x)eZ)4, 4 и некоторого /3 = const, Ъ </3 <\, удовлетворяют условиям:

1 Ладыженская О. А.. Салонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука, 1967,- 736 с.

18

/,У = 1,2,3, А = сот1> О, А'/; непрерывно дифференцируемы по х,, = 1,2,3 в , граница <ЭС е С1+в, 0 непрерывна по Гёльдеру по I с показателем у равномерно в , <р непрерывна в С и равна нулю в некоторой 3 - окрестности границы дО, Р, V

непрерывны на дй^ х[0,Г]. Тогда решение задачи (22) - (25), (27) существует и единственно.

В четвертом, пятом и шестом параграфах приведены результаты исследований на корректность постановки краевых задач, рассмотренных в третьем параграфе.

В работе Семенчина Е.А.2 было показано, что при определенных условиях задача Коши (22)-(25) так же описывает процесс рассеяния примеси в турбулентной атмосфере. В третьем параграфе четвертой главы эта задача отдельно не была рассмотрена и исследована на предмет ее разрешимости, т.к. этот результат автоматически вытекает из теорем 12 (§7 гл. 2) и 10 (§4 гл. 2) монографии Фридмана А.3 На основе этих теорем доказана корректность постановки задачи (22)-(25).

Теорема 9. Пусть выполнены условия /^=0, 1*7, /,У = 1,2,3;

Ц < со, Ь2 = оо , или Ьх = со,

Ч4Ш4'

2Семенчин Е. А. О граничных условиях в задаче атмосферной диффузии // Обозрение прикладной и промышленной математики, - Т. 12, вып. 3. - С. 635-639

3 Фридман А.3 Уравнения с частными производными параболического типа. - М,- Мир 1968. - 428с.

z0 = const > О ,Л0 |<f I2 < til^.g, < Л ,

'=1 M

£ = (£, Д ), A, = const >0, Л, = const > 0, hf, КЦ непрерывно дифференцируемы и ограничены в

Gx[0,Т] и удовлетворяют при всех (t,x), QГ°,х°) eGx[0,r] и некотором г е (0,1) условиям

\К, (t, х) - KtJ {t{3, х° )| < Л(|х - х° |г + |i -f'8 |'rV2) , j/i, (/, x) - h, (t, x° )j < A\x - x° J', |a(i,x)-a(i,jc°)|< л|х-х°|', A = const > 0,

<p(x)>0, Q(t,x) непрерывны в G, G x ¡0,T] и удовлетворяют условиям

|e(/,x)|<5exp(c]xf),

\<р{х)\ < 5ехр(с|х|2),

В = const >0, с = const > 0. Тогда задача Коши (22)-(25) является корректно поставленной.

Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 6. Кроме того, пусть в каждой точке (t,x) е. D\ D\ = (0,T)xG, и для любого действительного вектора — ,¿;2, £3), * 0,

>0,

/=1 у=1

a(t,x) < 0 при (t,x) е £>J, для некоторого А = con-stf >0 в D4r

КиЯ1+И1Я> 1,

где

/=1 ох1

Тогда задача (22)-(26) является корректно поставленной. Теорема 11. Пусть выполнены условия теоремы 8. Тогда

задача (22)-(25), (27) является корректно поставленной.

Основное содержание диссертации изложено в следующих

публикациях

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК для опубликования в них основных результатов кандидатских и докторских диссертаций

1. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. О разрешимости динамической модели Леонтьева // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М., 2007. Т. 14, вып. 2. - С 348349.

2. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. О корректной постановке краевых задач, описывающих рассеяние примеси в турбулентной атмосфере // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М., 2008. Т. 15, вып.1 - С 171172.

3. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Оптимальная фильтрация случайных помех в динамической модели Леонтьева // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М., 2008. Т. 15, вып. 2. - С. 362-363.

4. Лайпанова З.М. Оптимальная оценка валового выпуска продукции закрытого акционерного общества «Карачаевский пивзавод» г. Карачаевск. // Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. Научный журнал. № 37(80). Аспирантские тетради. СПб., 2008. - С. 200-202.

5. Лайпанова З.М. Фильтрация ошибок измерений вектора спроса в балансовой модели Леонтьева. // Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. Научный журнал № 23(54). Аспирантские тетради. СПб., 2008.-С. 121-124.

6. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. О корректности краевых задач, описывающих рассеяние примеси в турбулентной атмосфере // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. Краснодар:

2!

КубГАУ, 2011. № 03(67). С. 220 - 239. Режим доступа: http://ei.kubagro.ru/2010/06/pdf/08.pdf

Монография

I. Е.А. С'еменчин, З.М. Лайпанова. Корректность и стохастическая регуляризация математических моделей, описывающих экономические и эколого-биологические процессы. Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах // Труды V Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. -Краснодар: Просвещение-Юг, 2009. 121с.

Публикации в других гаданиях

8. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. О корректной постановке модели Солоу. // Сборник научных трудов всероссийского симпозиума «Математические модели и информационные технологии в экономике». - Кисловодск, 2007. Т.2, - С. 36-38.

9. Семенчич Е.А., Лайпанова З.М. Многошаговая фильтрация ошибок измерений вектора спроса в балансовой модели Леонтьева. // Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии. Сборник статей VII Международной научно-технической конференции. - Пенза, 2007. - С. 103-104.

10. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Оптимальная фильтрация ошибок измерений вектора спроса в балансовой модели Леонтьева. // Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии. Сборник статей V I Международной научно-технической конференции. -Пенза, 2007.-С. 104-106.

II. Лайпанона З.М. Об одном методе регуляризации задачи Коши со смешанным носителем. // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. - Нальчик, 2005. Т.7, вып. 2, -С. 32-36.

11. Лайпаноьа З.М. Самоподдерживающееся динамическое равновесие без внешних расходов модели Леонтьва. // Вестник КЧГУ. Научно-методический журнал,- Карачаевск: КЧГУ, 2007.-С. 267-275

12. Лайпанова З.М. Неразложимые матрицы и операторы // Алиевские чтения: Научная сессия преподавателей и аспирантов КЧГУ. - Карачаевск, 2007. - С. 256-26?

13. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Оптимальная фильтрация случайных помех в математической модели Солоу // Материалы V Всероссийской научной конференции молодых

200Г-СНз1У35А" °БРА30ВАНИЕ- МОЛОДЕЖЬ, - Майкоп,

14. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Разрешимость начально-граничнои задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере. // Информационные технологии в учебном процессе. Материалы Межвузовской научно-практической конференции. - Карачаевск, 2009. - С. 141-152.

Свидетельство о госу дарственной регистрации программ для ЭВМ

15. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Программный комплекс приближенного решения некоторых некорректно поставленных математических задач. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011610283. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11 января 2011г.

ЛАЙПАНОВА ЗУЛЬФА МИСАРОВНА

Автореферат

МЕТОДЫ И МЕТОДИКИ АНАЛИЗА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ (ЭКОНОМИЧЕСКИХ, ЭКОЛОГИЧЕСКИХ, БИОЛОГИЧЕСКИХ)

Подписано в печать 06.09.20011 Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0,7. Тираж 120 экз.

Сверстано и отпечатано в типографии Карачаево-Черкесского государственного университета 369202, г. Карачаевск, ул. Ленина, 46.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ И БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Балансовые экономике» - ма тематические модели Леонтьева.

1.2. Динамическая модель микроэкономической системы.

1.3. Математическая модель экономического роста (модель Солоу).

1.4. Биологические системы, описываемые уравнением а2и —и= 0.

1.5. Коррек 11 юсть постановки математических задач.

1.6. Оптимальная фильтрация случайных помех в динамических системах.

1.7. Методььрешения некорректно поставленных задач.

1. 7.1. Метод регуляризации по А. Н. Тихонову.

1.7. 2. Построение оптгталъной оценки решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью одношагового фильтра Калмана

Бьюси.

1.7. 3. Сравнительный анализ оценок, получаемых с помощью одношагового фильтра Калмана-Бьюси и методом регуляризации

Тихонова.

1.7. 4. Многошаговый (многократный) фильтр Калмана-Бьюси.

Выводы к первой главе. '.

ГЛАВА II. КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ КОШИ'В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ СИСТЕМАМИ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙВ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ.

2.1 Корректность математических моделей, представленных системами линейных алгебраических уравнений.

2.2. Корректность постановки балансовой модели Леонтьева.

2.3. Корректность поста! ювки динамической модели Леонтьева-.

2.4. Корректность постановки задачи Коши в математической модели Солоу.

2.5. Корректность постановки задачи Коши в динамической модели микроэкономической системы.

Выводы ко в горой главе.

ГЛАВА III. С ТОХАСТИЧЕСКАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ, И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ЛИНЕЙНЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ

УРАВНЕНИЯМИ, В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ.

3.1. Фильтрация случайных ошибок в балансовой модели Леонтьева.

3.1.1. Одношаговая фильтрация ошибок в балансовой модели Леонтьева

3.1.2. Многошаговая фильтрация случайных ошибок в балансовой модели Леонтьева.

3.2. Оптимальная лш шйная фильтрация случайных помех в задаче.

Коши в математической модели солоу.

3.3. Оптимальная линейная фильтрация случайных помех в динамической модели леонтьева.

3.4. Оптимальная линейная фильтрация случайных помех в динамической модели микроэкономической системы.

3.5. Оптимальная оценка валового выпуска продукции закрытого акционерного общества «карачаевский пивзавод» (г. карачаевск).

Выводы к третьей главе.

ГЛАВА IV. КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ БИОЛОГИЧЕСКИХ И ЭКОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ.".

4.1. Об одном методе регуляризации задачи Коши со смешанным носителем.

4.2. Анализ задачи Topi ши.

4.3. Разрешимость краевой задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулен п юй атмосфере.

4.4 Koppekti юсть задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере.

4.5. Корректность постановки первой краевой задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере.

4.6. корректность постановки третьей краевой задачи, описывающей рассеяние примеси втурбулентной атмосфере. выводы к четвертой главе.

Актуальность темы диссертации. Согласно [60] «.система есть совокупность взаимосвязанных элементов, обособленная от среды и взаимодействующая с ней как единое целое.сложной системой называется система, в модели которой не хватает информации для эффективного управления» (ею).

В соответствии с этим определением систему будем всюду в дальнейшем называть простой, если в ее модели достаточно информации для эффективного управления ею. Кроме того, согласно определения сложной системы, совокупность ее взаимосвязанных элементов и ее модель следует воспринимать как единое целое.

Под управлением системы будем понимать процесс воздействия на нее (в рамках, допускаемых моделью изменений параметров этой модели) с целью достижения некоторой цели.

Цель, которая будет ставиться в диссертационной работе при исследовании различных систем — адекватность экспериментальным данным результатов, получаемых с помощью модели системы.

Один из основных способов перехода от сложной системы к простой -изучить причины сложности системы и на основе этих исследований получить дополнительную информацию, позволяющую эффективно управлять системой.

В соответствии с указанными выше определениями, для перехода от сложной системы к простой достаточно «подкорректировать и (подправить, уточнить) модель сложной системы» таким образом, чтобы она позволяла эффективно управлять системой и достичь поставленной цели.

В диссертационной работе основное внимание будет уделено экономическим, экологическим и биологическим сложным системам. Моделями этих систем (и их подсистем) являются различные математические модели. В дальнейшем всюду анализу будут подвергнуты именно математические модели указанных систем.

Математическая модель системы в общепринятом смысле — о <ищ>'ьект, построенный средствами математики и способный в определенных усп~«=£п>виях заменять оригинал, воспроизводя интересующие нас свойстт===а.;а. и характеристики оригинала. В качестве «средств математики» 2г>^10гут выступать уравнения (алгебраические, дифференциальные - с заданнызч^пш для них начальными или граничными условиями), различные типы нера^^^енст, аналитические и логические формулы и т. д.

Математические модели рассматриваемых экономии экологических и биологических систем (или их подсистем) предсха^^^лены (или их основу составляют) дифференциальные уравнения (обыкнов иные или в частных производных) с заданными для их решения начальы^ь-^лсгли и граничными условиями (1. е. представлены краевыми задачами). Длзз: -того, чтобы краевая задача адекватно экспериментальным данным опиоЕ^1вала рассматриваемую систему (г. е. чтобы сложная система была управли5з:*<^:зу10й) необходимо, чтобы она была корректно поставленной.

Если задача является некорректно поставленной, то ее решение не существует, или не является единственным, или является неустойчи:в-::&»1М, и значит система является плохо (слабо) управляемой. Кроме того, в ~пгш<их задачах важно выяснить не только факт корректности или некоррекпггч&^ости задачи, но и предложить (указать) эффективные методы построеызмг^я их аналитического и численного решения в случае некорректной постаи:.овки. Подобных исследований экономических, экологических и биологи^^гч^ских систем, судя по публикациям в периодических журналах, не проводх^-аЕпось. Более того, подобных исследований никто не проводил методами -жг-«^:ории оптимальной фильтрации, которые наряду с аналитическими мех~одами использованы при анализе сложных систем.

Поэтому тема диссертационной рабо1Ы, в рамках которой предл<1=»х>зЕсены методы и методики, позволяющие проводить анализ математи^-з: ^ских моделей сложных систем и ответить на вопрос: является ли система гге^><12>стой или сложной, является актуальной и практически значимой, указа 1ь пути сведения сложных систем к простым.

Тема диссертационной работы сформулирована в рамках научной проблемы, на решение которой направлены в настоящее время исследования, проводимые как у нас в стране, гак и за рубежом: разрабогшь математические модели систем, в частности, экономических, затрагивающих общее состояние экономики страны, региона, предприятия (фирмы), экологических и биологических систем, являющихся средой обитания людей.

Данная диссертационная работа направлена на решение (в рамках указанной научной проблемы) важной научной задачи: указать методы исследования и исследовать на корректность постановки краевые задачи, описывающие стационарные и динамические процессы в экономических, биологических и экологических системах, которые являются наиболее значимыми сис1емами в теории сложных систем.

Степень разработанности проблемы.

Построению математических моделей а) макро - и микроэкономических систем посвящены многочисленные исследования отечественных и зарубежных ученых: Л. Канторовича, С. А. Ашманова, В. А. Колемаева, В. В. Федосеева, II. Ш. Кремера, Ф. В. Кротова, И. В. Орловой, М. В. Пинегиной, С. Р. Хачафяна, В. П. Буянова, В. В. Леонтьева, Солоу, К. Дж. Эррау, С. Карлина, X. Никайдо, М. Иш рил ига юра и многих других; б) рассматриваемой подсис1емы - покров листьев на растении биологической системы: А. N4 Нахушева; в) рассматриваемой подсистемы - приземная атмосфера эколгической системы: А. С. Монина, А. М. Яглова, Г. И, Марчука, М. Е. Берлянда, Н. Л. Бызовой, А. М. Обухова, Е. К. Гаргера, В. Н. Иванова, С. С. Зилитинкевича, Д. Л. Лайхтмана, Ю. А. Израэля, В. А. Бабешко, Ф. Т. М. Ныостадта, X. Ван Дона, Т. Р. Оке, С. Панчева и многих других.

Методам исследования на корректность постановки, регуляризации некорректно поставленных задач, фильтрации случайных помех в динамических системах посвящены исследования А. Н. Тихонова.—^ В. Я. Арсенина, В. А. Морозова, М. М. Лаврентьева, А. М. Денисова-—^ В. С. Сизикова, А. Н. Калмогорова, Н. Винера, Р. Е. Калмана, Р. С. Бьюсз&-а:, В. С. Пугачева, Р. Л. Стратоновича, В. Б. Колмановского, В. Р. Носова А. Н. Ширяева, Р. Ш. Линцера, В. Н. Афанасьева и многих других.

Вместе с тем не исследованы на корркетность постановки задачя ЗЕСоши в математических моделях макро - и микроэкономических си:с~1г--<^1У1, не разработаны методики подавления случайных помех в этих зада.'^чсах, не исследованы на корректность постановки краевые задачи, описывающие рассеяние примеси в экологической подсистеме приземная атм:<^>сфера. Важность (теоретическая и практическая) проведения таких исследои определила тему и постановку задач диссертационного исследование

Объект исследования - математические модели эконохугиг^асеских, биологических и экологических систем.

Предмет исследования - критерии корректной постановки зада^^з; ЬСоши и краевых задач в указанных моделях.

Цели проводимых исследований: найти условия, обеспе^гисз^^г-^-ЮЩие корректную постановку краевых задач, описывающих наиболе^г часто встречающиеся в прикладных исследованиях сложные си отемы: экономические, экологические, биологические, разработать эфф&ьст-^вную методику подавления помех, ошибок и шумов, возникающих в этих. и адаптировать ее к решению задач, возникающих в при^ьс^»—нудных исследованиях.

Задачи, которые решались в ходе проводимых исследований«

1. Исследовать на предмет обусловленности решения статической: одели

Леонтьева, на корректность постановки задач Коши в математп-д^чееских моделях Леонтьева, (динамической), Солоу, динамической модели ра^звития малого предприятия.

2. Разработать методику подавления шумов в статической балансовой модели Леонтьева, которая основана на методах оптимальной линейной фильтрации шумов в системах линейных алгебраических уравнений;

3. Разработать методику подавления шумов в динамических макроэкономических моделях (Солоу, Леонтьева), которая основана на методах линейной фильтрации шумов в линейных системах дифференциальных уравнений;

4. Разработать методы регуляризации решений краевых задач, описывающих биологические процессы, и методы исследования на корректность постановки краевых задач, описывающих жономические прцессы.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы понятия и методы теории дифференциальных уравнений, в том числе уравнений с частными производными, методы регуляризации задачи Коши, методы оптимальной линейной фильтрации шумов в динамических системах.

Достоверность и обоснованное 1Ь полученных в диссертационной работе теоретических и практических результатов следуют из математической сфогости постановки рассматриваемых задач, методов их решения, а также из совпадения полученных результатов с результатами, известными из печатных источников.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Методика фильтрации ошибок измерений вектора спроса в экономико-математических моделях Леонтьева и Солоу. Такая методика предлагается впервые, она дает возможность найти оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку решения моделей Леонтьева и Солоу методами оптимальной фильтрации случайных помех. ^

2. Результаты исследования на корректность постановки краевых задач, описывающих рассеяние примеси в турбулентной атмосфере. Они позволяют теорему о корректной постановке второй краевой задачи для уравнения параболического типа переформулировать применительно к задачам, посвященным рассеянию примеси в турбулентной атмосфере.

3. Способ регуляризации задачи Коши со смешанным носителем, описывающей явление спирального филлотаксиса (расположение листьев на растении). Эти исследования являются продолжением исследований, проведенных Торнли. Они позволяют уточнить модель спирального филлотаксиса.

Соответствие паспорту специальности.

Диссертационное исследование выполнено в соответствии с паспортом специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ:

2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей

4. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента

5. Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели

Научная новизна. Предложены методы и методики анализа сложных систем, наиболее часто встречающихся в прикладных исследованиях -экономических, экологических, биологических: методика оптимальной фильтрации ошибок в решении балансовой математической модели, возникающих при задании вектора спроса в этой модели; исследованы на корректность постановки краевые задачи, описывающие макроэкономические процессы, процессы рассеяния примесей в атмосфере, предложен способ регуляризации методом малого параметра задачи Коши со смешанным носителем.

Теоретическая значимость полученных результатов. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при анализе на корректность постановки, при фильтрации случайных шумов в математических моделях других сложных систем.

Практическая значимость результатов диссертационного исследования. Полученные критерии и разработанные методики могут быть использованы для проверки на адекватность экспериментальным данным математических моделей макро — и микроэкономических, биологических и экологических систем, для исследования, явления филлотаксиса в кронах деревьев, для получения численными методами оптимальных в среднеквадратическом , смысле оценок решений задач Коши в математических моделях макро - и микроэкономических систем, учитывающих случайные помехи.

Внедрения полученных результатов.

Результаты исследований, изложенные в диссертационной работе, внедрены (что подтверждается соответствующими актами о внедрении) в производственную деятельность ЗАО «Карачаевский пивзавод» (г. Карачаевск) и в учебный процесс Карачаево-Черкесского государственного университета им. У. Дж. Алиева.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались в 2007г. на Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза), в 2007г. на Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск), в 2008г. на кафедрах математического анализа, информатики Карачаево-Черкесского государственного университета, на научных конференциях, проводившихся в Карачаево-Черкесском государственном университете.

Публикации. Материалы диссертации подробно опубликованы в 14 научных работах: в монографии, 7 статьях (6 из них - в научных изданиях, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских и кандидатских диссертаций), и 6 тезисах докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из данного введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 105 наименований. Объем диссертации 128 страниц машинописного текста.

Краткая характеристика работы

Первая глава - вводная. В ней изложены основные результаты проведенных исследований, используемые в последующих главах для анализа математических моделей некоторых сложных систем: экономических моделей, моделей из экологии и биологии, основные сведения о корректной постановке задач, представленных в операторном виде, и известные результаты о фильтрации случайных помех в линейных системах.

В первом параграфе описаны соотношения баланса в экономической системе. Приведена математическая балансовая модель Леонтьева. Эти сведения представлены в том объеме, который достаточен для интерпретации и анализа результатов проведенных исследований, изложенных в последующих главах.

Во втором и в третьем параграфах приводятся соответственно модели микро - и макроэкономических систем: динамическая модель микроэкономики и модель экономического роста Солоу. Модели отражают важнейшие микро- и макроэкономические аспекты процесса воспроизводства в этих сложных системах.

В четвертом параграфе описана (в заданной области О) задача Коши: U, - aUхх, а - const > 0, (0.0.1)

U(0.t) = <p(t). и ДО./) = (//(/)- 0 </<7\ ' (0.0.2)

U(-V.0) = r(.v), 0 <А-</, г(0) = р(0), (0.0.3) которая часто встречается в математической биологии.

В пятом параграфе приведены общие положения корректности постановки математических задач (моделей) сложных систем.

В шестом и седьмом параграфах приводятся соответственно методы регуляризации (по Тихонову) решения операторного уравнения

Ау = /. yeL2. /е/о. (0.0.4) И

А- линейный вполне непрерывный оператор, / - заданная правая часть уравнения, у - искомое решение) и результаты теории линейной фильтрации наблюдаемых стохастических систем, описываемых линейными стохастическими дифференциальными уравнениями.

Во второй, третьей и четвертой главах изложены результаты, принадлежащие авторам.

Вторая глава посвящена изложению результатов исследования па корректность постановки задачи Коши в математических моделях, макро- и микроэкономических систем.

В первом параграфе изучается задача о корректности балансовой модели Леонтьева, т. е. задача о существовании, единственности и устойчивости решения этой модели.

Во втором и третьем параграфах представлены результаты анализа на корректность постановки задачи Коши в математической модели Солоу, динамической модели Леонтьева макроэкономической системы; в четвертом параграфе - динамической модели микроэкономической системы.

В третьей главе изучается задача фильтрации ошибок измерения в математических моделях экономических систем.

Первый параграф посвящен одношаговой фильтрации случайных ошибок измерений вектора спроса / в балансовой модели Леонтьева х = Ах + /, х>0, (0.0.5) где А— заданная технологическая матрица размера пхп, /- известный вектор спроса размерности п, х- неизвестный вектор валового производства (выпуска) размерности п, подлежащий определению,0- нулевой вектор размерности п.

Во втором параграфе приводится многошаговая оптимальная фильтрация ошибок измерений вектора спроса /, так как на практике вектор / измеряется, как правило, не один раз, а многократно: к раз, к > 1.

Третий, четвертый и пятый параграфы посвященьх. задаче фильтрации случайных помех соответственно в математической! модели Солоу, динамической модели Леонтьева макроэкономической системы и динамической модели микроэкономической системы.

В четвертой главе приведены результаты исследований на разрешимость начально-граничной задачи, описывающей рассеяние: примеси в турбулентной атмосфере, которая является сложной системой.

В первом параграфе приведена постановка задачи К1оши со смешанным носителем а для классического уравнения теплопроводности а2ихх-и^Ъ, а - const > 0. (0.0.6)

Во втором параграфе сделан анализ задачи Торнли, найдено регулярное в области Q решение v = v(x,y) ^^эавнения v, = o2vKX -у\\ а = canst > 0, непрерывное в П и удовлетворяющее условиям:

-a2 limv, =-S0(/), о </<7\ (4.2.2) 2 v(0,/) = v(/,/), 0 <t<T, хе[0,/]. (4.2.3) i

В третьем изложены результаты исследования соответственно на разрешимость и устойчивость решения краевой задачи.

В четвертом параграфе исследована задача на корректность математических моделей, описывающей рассеяние примеси в атмкзефере и представленной задачей Коши.

В пятом и шестом параграфах исследованы задачи на корректность математических моделей, описывающих рассеяние примеси в атмосфере и представленных первой и третьей краевыми задачами.

Выводы к четвертой главе

В этой главе рассмотрена задача Коши со смешанным носителем а для классического уравнения 1еплопроводности

2 ихх ~иу a = const > 0, найдено регулярное в области Q решение и = и(х,у) этого уравнения, непрерывное в Q и удовлетворяющее заданным условиям:

Переформулирована теорема о корректной постановке второй краевой задачи для уравнения гиперболического типа.

В этой же главе подробно рассмотрена разрешимость начально-граничной задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере, исследованы и получены результаты решения задач на корректность постановки краевых задач, описывающих рассеяние примеси в атмосфере и представленных первой и третьей краевыми задачами Коши.

В данной диссертационной работе изложены основные понятия о экономических моделях Солоу и Леонтьева, о моделях из биологии, о математических моделях микроэкономики, фильтрах Калмана - Бьюси для линейных алгебраических уравнений и стохастических систем. Приведены и подробно описаны уравнения соотношения баланса в экономической модели Леонтьева, и модели экономического роста Солоу, решены задачи на корректность. В диссертационной работе также изучается задача Коши в u(x,Q) = <р(х), и(0,у) = т(х), ux(0,y) = v(y), у £ СГ( оу

ЗАКЛЮЧЕНИЕ области Q, и I и, — а и a = const > О (О, t) - (p{i), ыг(О./) = 0>(/),О</ <Т, (л. О) = г(х), 0 < х < /, г(0)=(р(0), которая часто изучается в математической биологии. Приводится метод регуляризации (по Тихонову) решения операторного уравнения.

АУ=/< уеЬь, fe.L2, где А - линейный вполне непрерывный оператор, f- заданная правая часть, у - искомое решение.

Также приведены результаты теории линейной фильтрации наблюдаемых стохастических объектов, описываемых линейными стохастическими дифференциальными уравнениями.

В диссертационной работе приводятся уже полученные результаты в ходе проведенных исследований. Так в первом параграфе второй главы исследована одношаговая фильтрация ошибок измерений вектора спроса в балансовой модели Леонтьева. В этой же главе приводится и многошаговая оптимальная фильтрация ошибок измерений вектора спроса /, рассматривается модель Солоу, приводятся результаты измерений модели Солоу на корректность ее постановки.

Изучается также линеаризованная модель Солоу, рассмотрен вопрос о разрешимости динамической модели Леонтьева и исследована задача: по данным наблюдениям z(t). /е[0,Г], найти оценку y{t) вектора X{t), которая доставляет минимум выражению.

В четвертой главе исследована задач Коши и задача, описывающая рассеяние примеси в турбулентной атмосфере, а также применение данных математических моделей в биологии. В этой же главе рассмотрена задача Коши со смешанным носителем а для классического уравнения теплопроводности а2 ихх - иу = 0, а = const > О и найдено регулярное в области Q решение и = м(.г,.у)УРавнения> непрерывное в Q и удовлетворяющее заданным условиям и(х,0) = р(х), хеах0. и( 0,у) = r(x), ux(0.v) = v(y), уео■„,. и также переформулирована теорема о корректной постановке второй краевой задачи для уравнения гиперболического типа. В IV главе также подробно рассмотрена разрешимость начально-граничной задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере, приведены и доказаны 4 теоремы о существовании и единственности решения поставленной задачи, получены результаты решения задач на корректность математических моделей, описывающих рассеяние примеси в атмосфере и представленных первой и третьей краевыми задачами Коши. Полученные результаты применяются для анализа математических моделей, используемых на практике.

1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения.- М.: МГТУ, 2004. - 352 с.

2. Алдохин Н.П., Кулиш С.А. Экономическая кибернетика. Харьков: Высшая школа, 1983. - 340 с.

3. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсголыд Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. — м.: Наука, 1968. 416 с.

4. Ахтямов A.M. Математика для социологов и экономистов. — м.: Физматлит, 2004. 464с.

5. Ашманов С.А., Тимохов A.B. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1991. — 448 с.

6. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 583 с.

7. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. -М.: Наука, 1971. 223 с.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М: Лаборатория базовых знаний, 2002. - 632с.

9. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. JL: Гидрометеоиздат, 1975 - 392 с.

10. Бицадзе A.B. Основы теории аналитических функций. М.: Наука, 1984. — 320 с.

11. П.Боголюбов А. Н., Красильникова А.В, Минаев Д.В., Свешников А.Г. Метод конечных разностей для решения задач синтеза волноведуших систем. Математическое моделирование т. 12, №1, 2000. С. 13 - 24.

12. Боголюбов А.Н., Делицын A.JL, Красильникова A.B., Минаев Д.В., Свешников А.Г. /Математическое моделирование волноведуших систем на основе метода конечных разностей. Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998.— 234 с.

13. Боголюбов А.Н., Делицын A.JL, Свешников А.Г. Об условиях разрешимости задачи возбуждения радиоволповода. // Доклады РАН 2000, т. 370, №4. С. 453 456.

14. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М. Наука 1978.- 400 с.

15. Вабишевич П.Н. Численное моделирование. — М.: Изд-во МГУ, 1993. -152 с.

16. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М: Высшая школа , 2002. - 848 с.

17. Владимиров B.C., Жарииов В.В. Уравнения математической физики. -М.: Физматлит, 2001.- 400 с.

18. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.:, «Наука», 1978- 304 с.

19. Головизнин В.М., Карабасов С.А. Метод прыжкового переноса для численного решения гиперболических уравнений. Точный алгоритм для моделирования конвекции на эйлеровых сетках. Препринт ИБРАЭ РАН №IBRAE-2000-04, Москва, 2000. 40 с.

20. Горицкий АЛО., Кружков С.Н., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка. М.: Изд-во МГУ, 1999. — 80 с.

21. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985. - 240 с.

22. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. II. М.-Л.: ГТТИ, 1936. — 563 с.

23. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. Ill, ч. 1. М.-Л.: ГТТИ, 1933. -276 с.

24. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 2008. 480 с.

25. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.; Изд-во МГУ, 1994. - 208с.

26. Дубров A.M., Лагоша Б.А., Хрусталев Е. Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. — М.: Финансы и статистика 1999. — 172с.

27. Еремина Н.М., Маршалова В.П. Статистика труда: Учебник для вузов. -М.: Финансы и статистика, 1988. 248 с.

28. Жданов С. Экономические модели и методы управления. — М.: Эльта, 1998.- 176 с.

29. Замков О.О., Толстонятенко A.B., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: Изд-во МГУ, 1999. — 368 с.

30. Ивченко Б. П., Мартыщенко Л.А. Информационная микроэкономика Часть 1: Методы анализа и прогнозирования. — СПб.: Нордмед-Издат, 1997.- 160 с.

31. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991. — 224 с.

32. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.Н. Математические методы и модели в планировании. М.: Экономика, 1987. - 240 с.

33. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.-.Наука, 1979. -356 с.

34. Каханер Д., Моулср К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575 с.

35. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: 1998. - 240 с.

36. Колемаев В. А. Экономико-математическое моделирование. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 295с.

37. Корбут A.A., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969. - 368с.

38. Краснов МЛ. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. 303 с.

39. Краснощеков П.С, Петров A.A. Принципы построения моделей, М.: МГУ. 1983. - 264 с.

40. Кротов В.Ф. и др. Основы теории оптимального управления. М.: Высшая школа, 1990. - 432 с.

41. Кундышев Е.С. Математическое моделирование в экономике. М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К0 », 2006. - 352 с.

42. Лаврентьев M. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. — 285 с.

43. Лаврентьев М.М., Соболев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во Ип-та математики, 1999. - 702 с.

44. Ладыженская O.A., Солоников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

45. Лайпанова 3. М. Неразложимые матрицы и операторы. Ал невские чтения. Карачаевск, 2007.- С.256-262.

46. Лайпанова 3. М. Об одном методе регуляризации задачи Коши со смешанным носителем. Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. Нальчик, 2005.-Т.7,- вып. 2- С.32-36.

47. Лайпанова 3. М. Самоподдерживающееся динамическое равновесие без внешних расходов модели Леонтьва. Вестник. Карачаевск, 2007.— С. 267275.

48. Лайпанова З.М. Оптимальная оценка валового выпуска продукции закрытого акционерного общества «Карачаевский пивзавод» г. Карачаевск. Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. № 35. СПб., 2008. - С.200-202.

49. Лайпанова З.М. Фильтрация ошибок измерений вектора спроса в балансовой модели Леонтьева. Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. № 23. СПб., 2008. -С. 121-124.

50. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. М. Изд-во УРАО, 1998.- 104 с.

51. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме охраны окружающей среды. М.: Наука, 1982. - 320 с.

52. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. — 456 с.

53. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика 4.1. М.: Наука, 1965. - 640 с.

54. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

55. Нахушев A.M. Уравнения магматической биологии. М.: Высш. шк., 1995. -300 с.

56. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.-518с.

57. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. М.: Вузовский учебник, 2004. — 144с.

58. Острейковский В.А. Теория систем. М.: Высшая школа 1997. - 240с.

59. Перегудов Ф. И. , Тараеенко Ф. П. Введение в системный анализ. — М.:1. Высшая школа, 1984. 367с.

60. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.- 331с.

61. Попов JT.A. Математические методы в экономике труда. М.: ~ШШ^1зд-во МИНХ им. Г.В. Плеханова, 1981. 72с.

62. Пугачев В. С. Основы автоматического управления. — М.: 1974. 72 ^mCD с.

63. Райцин В.Я. Моделирование социальных процессов. М.: Экзамене 2005.- 189с.

64. Римашевская Н.М. Проблемы моделирования уровня жизни насел<««г=^;ния в народнохозяйственном планировании. /Проблемы прим^^^иения макроэкономических моделей в планировании. М.: Прогресс, — 201с.

65. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 5S с.

66. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: X Таука,1994. 284с.

67. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука. 1989. -— 432с.

68. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: 3>1деи. Методы. Примеры. М.: Наука, 1997. - 320с.

69. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач -зовон динамики. М.: Наука, 1980,— 325с.

70. Семенчин Е. А., Лайпапова 3. М. Корректность и стохаст:иг«=зи^еская регуляризация математических моделей, описывающих экономичен ^кие и эколого-биологические процессы.- Краснодар: Просвещение-Юг, ^2009. -121с.

71. Семенчин Е.А. Аналитические решения краевых задач в математи:ч<«^^ской модели атмосферной диффузии. — Ставрополь: Изд-во СККИУУ, 1 — 142с.

72. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Оптимальная фильтрация случайных помех в математической модели Солоу. Материалы 5 Всероссийской научной конференции молодых ученых «НАУКА. ОБРАЗОВАНИЕ. МОЛОДЕЖЬ», 2007.

73. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Разрешимость начально-граничной задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере. Информационные технологии в учебном процессе. Карачасвск, -2009,- С. 141-152.

74. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Многошаговая фильтрация ошибок измерений вектора спроса в балансовой модели Леонтьева. Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии. Пенза,-2007.-С.103-104.

75. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. О корректной постановке краевых задач, описывающих рассеяние примеси в турбулентной атмосфере. Обозрение прикладной и промышленной математики. М., -2008. — Т. 115, вып.1. -С. 171- 172.

76. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. О корректной постановке модели Солоу. Сборник научных трудов всероссийского симпозиума «Математические модели и информационные технологии в экономике». Кисловодск,—2007.— Т.2-С.36-38.

77. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. О разрешимости динамической модели Леонтьева. Обозрение прикладной и промышленной математики. М., -2007. Т. 14, вып. 2. - С. 348-349.

78. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 14, вып. 2, 2006. С. 347 - 348.

79. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Оптимальная фильтрация ошибок измерений вектора спроса в балансовой модели Леонтьева. Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии. Пенза,—2007.-С. 104-106.

80. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Оптимальная фильтрация случайных, помех в динамической модели Леонтьева. // Обозрение прикладной иг промышленной математики. М., -2008. Т. 15, вып. 2. - С. 362-363.

81. Семенчин Е. А. О граничных условиях в задаче атмосферной диффузии // Обозрение прикладной и промышлпной математики. Т. 12, вып. 3. С. 635-639.

82. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. Спб: Политехника, 2001. - 240с.

83. Скурихин Н.П. Математическое моделирование. — М.: Высшая школа, 1989. 165с.

84. Смит Дж. М. Модели в экологии. М.: Мир, 1976. 184с.

85. Советов Б. Моделирование систем. М. Высшая школа 1999. 296с.

86. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. Пер. с англ. М.: Мир, 1991. - 360с.

87. Сытник В.Ф. Каратодава Е.А. Математические модели в планировании и управлении предприятиями. Киев: Выща школа, 1985. - 248с.

88. Терехов Л.Л. Экономико- математические методы. М.: Статистика, 1988.- 241с.

89. Тихонов А. Н. О некорректных задачах оптимального планирования и устойчивых методах их решения. ДАН СССР, 1965. С. 164-176.

90. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986. 286с. .

91. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984. - 190с.

92. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-736с.

93. Турчак К. Численные методы. М.: Наука, 1985. — 320с.

94. Федосеев В. В. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 304 с.

95. Федосеев B.B. Математическое моделирование в экономике и социологии труда. Методы, модели, задачи: М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 144 с.

96. Федосеев В.В. Экономико-математические модели и прогнозирование рынка труда. М.: Вузовский учебник, 2005, - 221с.

97. Френкель A.A. Прогнозирование производительности труда: методы и модели. М.: Экономика, 1989.- 231с.

98. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. -М.: Мир, 1968. 428с.

99. Федоров В. Д. , Гильманов Т. Г. Экология. М.: Изд-во МГУ, 1980. -464с.

100. Хазанова JT. Математическое моделирование в экономике. М.1998. -143 с.

101. Хачатрян С. Р., Пинегина М. В., Буянов В. П. Методы и модели решения экономических задач. М.: Изд-во «ЭКЗАМЕН» 2005. -383с.

102. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Я. Введение в исследование операции М. -Наука, 1968.- 488с.

103. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: Финансы и статистика, 1979. - 200с.

104. Вставка Формат Сервис Данные Qkho Справка ▼ lu » Ж Л' Ч Ш S 3 ni 0 f*05 0 701 0 11. В X0 04о пз1. F |ВХ Fl10 9 96 20 14 973 ,yi-л12