автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Энтропийно-вероятностное моделирование сложных стохастических систем

На правах рукописи

Соколова Ирина Сибагатулловна

ЭНТРОПИЙНО-ВЕРОЯТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

21 МАР 2013 005050923

Челябинск - 2013

005050923

Работа выполнена на кафедре теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета.

Научный руководитель:

Тырсин Александр Николаевич, доктор технических наук, доцент. Официальные оппоненты:

Борзых Владимир Эрнестович, доктор физико-математических наук, профессор, Тюменский нефтегазовый университет, заведующий кафедрой; Пашоков Анатолий Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, Южно-Уральский государственный университет, заведующий кафедрой.

Ведущая организация:

Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина.

Защита состоится «» уЩ^Л /^¿¿>2013 г. в /X/ часов на заседании диссертационного совета Д 2^1.296.02 при Челябинском государственном университете по адресу: 454001, Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан « "/Ь » ^/тСу/ШЛ^К) 13 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Федоров В.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Актуальным направлением математического моделирования сложных систем является моделирование таких систем с помощью энтропийных методов. В основе этих методов лежит использование энтропии в качестве критерия оценки функционирования системы. Это обусловлено тем, что энтропия - универсальный параметр, свойственный различным категориям систем.

Степень разработанности темы. Энтропии, ее свойствам посвящено множество работ различных авторов: Р. Клаузиус, JI. Больцман, К. Шеннон, Дж. Гиббс, А.Н. Колмогоров, Я.Г. Синай, А.Я. Хинчин, Р.Л. Стратонович, П. Биллингслей, П. Шамбадаль, Н. Мартин, Дж. Ингленд, С. Де Гроот и др.

Энтропийному моделированию посвящены работы таких авторов, как А. Дж. Вильсон, А.П. Левич, Ю.Л. Соловьев, И В. Прангишвпли, Ю.С. Попков, A.M. Хазен, В.И. Шаповалов, Г.П. Быстрая, П. Гленсдорф, Р. Грэй, Б.Б. Кадомцев, Г.Г. Малинецкий, Л.М. Мартюшев, Н.Н. Моисеев, Г. Николис, С.М. Скоробогатов, И. Стенгерс, Д.И. Трубецков и др. ^

Отметим, что в работах таких известных ученых как И.Р. Пригожин , Ю.Л. Климонтович2 раскрывается, что развитию, самоорганизации и деградации в открытых системах способствует изменение энтропии в большую или меньшую сторону. В связи с этим для оказания управляющего воздействия на открытые системы актуальна задача нахождения универсального инструмента, позволяющего увеличивать и уменьшать уровень энтропии системы в зависимости от преследуемых целей и имеющихся на это ресурсов, так же необходимо определение параметров для оказания управленческого воздействия на систему. Существующие энтропийные модели, в большинстве своем, разработаны для решения частных задач. На основе чего возникает необходимость построения общих математических моделей таких систем.

Целью работы является разработка и формализация энтропийно-вероятностного моделирования сложных стохастических систем, позволяющая получить математические модели и алгоритмы для эффективного управления такими системами.

Достижение данной целн предполагает решение следующих задач:

1. Разработать и теоретически обосновать энтропийно-вероятностный метод моделирования сложных стохастических систем. Метод должен иметь простую реализацию, выделять переменные, чувствительные к управляющему воздействию, и связи между элементами системы.

2. Исследовать энтропийно-вероятностную модель и на ее основе сформулировать задачи управления сложными стохастическими системами.

3. Разработать алгоритмы и программы для решения поставленных задач эффективного управления на основе разработанного метода.

4. Апробировать на примерах методику использования энтропийно-вероятностных моделей.

1 ПриголшнИ., Стенгерс И. Иорядокш хаоса: Новый диалог человека с природой. М, 19S6. С. 413-415.

2 Клииошшич Ю.Л. Введите в физику открытых систем. М, 2002 С. 17-21.

Научная новизна заключается в следующем:

1. В области разработки новых математических методов моделирования объектов и явлений:

а) Разработан энтропийно-вероятностный метод - новый метод построения математических моделей сложных систем.

2. В области разработки, исследования и обоснования математических объектов:

a) Установлено, что целесообразно рассмотрение энтропии системы как двухкомпоненгного вектора, где первая компонента отвечает аддитивности системы, вторая — ее целостности.

b) Предложены переменные для управляющего воздействия на систему: дисперсии ее элементов и корреляционные связи между ними.

c) Предложена концепция «точек роста» системы. Выявлено, что в системах существуют «точки роста» - особо чувствительные к воздействию элементы.

<1) Сформулированы задачи эффективного управления системами с целью увеличения и уменьшения энтропии систем и доказаны теоремы о решениях поставленных задач.

3. В области разработки, обоснования и тестирования эффективных численных методов с применением ЭВМ:

а) Исследована группа алгоритмов решения задач эффективного управления системами на основе энтропийно-вероятностных моделей и установлено, что комплексный метод Бокса эффективнее, чем методы различных штрафов для решения задач изменения энтропии системы. Предложен алгоритм реализации уменьшения и увеличения энтропии на основе корреляционной матрицы системы любой размерности.

4. В области реализации эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента:

а) Разработан и зарегистрирован комплекс программ для решения задач эффективного распределения ресурсов в системе с целью увеличения или уменьшения энтропии системы на основе энтропийно-вероятностных моделей. Теоретическая значимость:

1. Разработан энтропийно-вероятностный метод - новый метод моделирования сложных стохастических систем. Он заключается в представлении сложной системы в виде многомерного нормально распределенного случайного вектора и рассмотрении энтропии системы в качестве единого критерия оценки ее функционирования. Метод формализован, универсален в применении.

2. Построена математическая модель системы, характеризующая две стороны системы: аддитивность и целостность.

Практическая значимость:

1. Предложенная модель проста для практической реализации, описывает элементы системы и связи между ними.

2. Сформулированы задачи эффективного управления системой с целью увеличения и уменьшения ее энтропии. Доказаны теоремы о решениях этих задач.

3. Приведены практические примеры, демонстрирующие методику использования энтропийно-вероятностной модели.

4. Разработаны алгоритмы и программы для эффективного управления системой на основе энтропийно-вероятностного моделирования.

Методологии и методы исследования. Для решения поставленных задач и доказательства сформулированных утверждений применялись методы теории вероятностей и математической статистики, многомерного статистического анализа, математического анализа, выпуклого анализа, системного анализа, математического моделирования, оптимизации и численные методы. При исследовании алгоритмов для решения задач управления системами использовался метод статистических испытаний. Адекватность математических моделей подтверждалась примерами их использования.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Разработан энтропийно-вероятностный метод - новый метод построения математических моделей сложных систем. Предложена энтропийно-вероятностная модель для описания многомерных стохастических систем, выделяющая переменные для оказания управляющего воздействия на систему.

2. Установлена двухкомпонентность энтропии, первая компонента которой характеризует аддитивность системы, вторая - ее целостность.

3. Сформулированы задачи эффективного управления сложными системами на основе энтропийно-вероятностной модели и доказаны теоремы о решениях этих задач. Предложена концепция «точек роста» в системе.

4. Предложены алгоритмы и программы решения задач эффективного управления сложными системами на основе энтропийно-вероятностного моделирования.

Степень достоверности результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью постановки задач, корректным использованием математического аппарата, адекватностью разработанных моделей. Полученные в работе исследовательские результаты согласуются с результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2010), XIII Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 2010), XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2010), 33-ей Международной научной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Звенигород, 2010), IV и V Всероссийской научно-технической конференции «Безопасность критичных инфраструктур и территорий» (Екатеринбург, 2011, 2012) , XVI Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (Иркутск, 2011).

Результаты работы обсуждались на научных семинарах кафедры теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета (Челябинск, 2011-2012), НИЦ «Надежность и ресурс больших систем и машин» УрО РАН (Екатеринбург, 2011-2012) и Центра экономической безопасности Института экономики УрО РАН (Екатеринбург, 2012).

Комплекс программ, предназначенный для эффективного распределения ресурсов в системе на основе энтропийно-вероятностного подхода, зарегистрирован в О&ьединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» при Российской Академии Образования (ОФЭРНиО).

Работа выполнялась в соответствии с планами научно-исследовательских работ по гранту РФФИ 10-01-96013-р_урал_а, по проектам Программ междисциплинарных фундаментальных исследований (междисциплинарные проекта) УрО РАН № 09-М-12-2001, № 12-М-127-2049.

Положения и выводы диссертационной работы, а также разработанный комплекс программ использованы в ООО «Прикладные технологии» и Научно-инженерном центре «Надежность и ресурс больших систем и машин» УрО РАН для моделирования и управления многомерными стохастическими системами (подтверждено справками).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 163 наименований. Основной текст работы изложен на 116 страницах, включая 9 рисунков и 20 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Проблематика математического моделирования слоя;пых систем

На сегодняшний день не существует четкого определения сложной системы. На основе анализа формальных подходов определения сложной системы, предлагаемых различными авторами, следует вывод, что сложная система в общем случае характеризуется разнообразными внутренними связями и неоднородными элементами. Суть неоднородности заключается в том, что сложная система содержит большое число разнородных параметров и объединить их для выявления единого критерия эффективности функционирования системы во многих случаях становится сложной задачей.

В работе предполагается рассмотрение сложных, стохастических, открытых самоорганизующихся систем. Именно такими системами являются различные социально-экономические, биологические (живые) системы и т.п.

При анализе принципа построения математических моделей исследуемых систем выявлены основные проблемы системного моделирования. Во-первых, нужно формализовать достаточно простую математическую модель: 1) простую и понятную пользователю; 2) целенаправленную; 3) надежную; 4) удобную в управлении и обращении; 5) полную с точки зрения возможности решения главных задач; 6) адаптивную. Во-вторых, модель должна совместить в себе неоднородность элементов системы и описание связей между ними.

И помочь в решении поставленных проблем способно знание общесистемных законов, поскольку все системные законы и закономерности: 1) являются ограничительными и предупреждают о том, чего заведомо не следует добиваться; 2) дают возможность предвидеть процессы, возникающие в кризисных ситуациях, и определить наиболее эффективные пути выхода из них или способы их обойти; 3) способны с помощью аналогии и изоморфизма обеспечить перенос знаний об основных процессах, происходящих в сложных системах, из одной (хорошо изученной) области в другую (менее изученную) независимо от их природы; 4) помогают выяснить возможности и направления развития или деградации сложных систем различной природы.

Общесистемным параметром, присущим различным категориям систем, является энтропия. Оценка энтропии системы позволяет справиться с неоднородностью элементов системы, поскольку энтропия становится единым показателем функционирования системы. Рисунок 1 иллюстрирует важные

(,.-;. особенности энтропии с точки

¡«у™ \ зрения математического

ой ¡пт'стся на 1 ~

птилл у моделирования. Следовательно,

модели, построенные на энтропии и энтропийных законах развития системы способны удовлетворить выставленным требованиям к моделям, и энтропийные методы У моделирования актуальны в своем развитии.

Рисунок 1. Особенности эитропии Но, несмотря на частое

использование термина энтропия, использование ее для моделирования сложных систем не формализовано. Существующие энтропийные модели на сегодняшний день являются частными, и не обеспечивают переход к общей формальной модели. Выделяя общесистемный фактор, энтропию, рассмотренные методы не предоставляют общесистемные управляющие переменные и не описывают связность элементов системы.

Кроме того, в некоторых случаях энтропию оценивают через

информационную энтропию //(X) = -£,"'1 р, р,, здесь р1,-,рт вероятности того, что система 5 принимает конечное число соответствующих значений В общем виде недостатки использования информационной

энтропии заключаются в следующем: 1) информационная энтропия требует оценки р!, что затрудняет ее практическое использование ввиду низкой точности на малых выборках; 2) она не рассчитана на случаи многомерных систем; 3) не позволяет объяснить наличие отрицательной энтропии.

С перечисленными проблемами справляется дифференциальная энтропия:

Я(У) = -["..|^(дс1,х2,...,хи) Ыру(х1,хг,...,хт)с1х1с1х2...с1ха1, (1)

где У = (Г1,Г2,...}'„)Т, рч(л-,,хг,...,хт) - совместная плотность распределения

случайных величин Энтропия такого вида рассчитывается исходя

из плотности распределения вероятности случайного вектора, тем самым, она применима во всех системах, в которых определено понятие вероятности - в физических, биологических, экономических и т.д. И таким образом, актуально развитие энтропийно-вероятностного моделирования.

Глава 2. Энтропийно-вероятностное моделирование

Представим сложную стохастическую систему Я в виде многомерной случайной величины У = (}'1,}'2,..,Гст)г. Каждый элемент Г, этого вектора является одномерной случайной величиной, которая характеризует функционирование соответствующего элемента исследуемой системы. И совместная энтропия вектора У будет определяться по формуле (1).

В связи с тем, что на сегодняшний день, опираясь на центральную предельную теорему, нормальный закон распределения является одним из наиболее распространенных и универсальных в исследовательских методах, и очень часто мы оперируем малыми выборками, на которых нет возможности точно оценить закон распределения, сделаем следующую предпосылку: считаем, что случайный вектор У = (У, ,У2,..,Гт)г имеет многомерное нормальное распределение, и для У известна его ковариационная матрица £.

Справедлива теорема.

Теорема 1. Пусть К — корреляционная матрица случайного нормально распределенного вектора У = (Х1,У2,..,Ут)Т. Тогда энтропия вектора У равна Я (У) = £",#(7,) + 0,51п|К|, где Н(Г1) = 0,51п[(2яв)ст* ], |Н| - определитель I*.

Согласно теореме 1 энтропия стохастической системы складывается из двух составляющих, которые характеризуют ее важнейшие свойства: целостность и адаптивность. И т.к. любая система находится всегда между крайними состояниями абсолютной целостности и абсолютной аддитивности, в ней присутствует в некоторой степени и то и другое. Следовательно, для адекватного моделирования стохастической системы ее энтропию целесообразно рассматривать как двумерный вектор Ь(У) = (/¡, (У); /,2 (У)) = Н (%.); 0,51п([К|)). Первая компонента вектора Ь(У) определяет предельную энтропию, соответствующую полной независимости элементов системы, и характеризует рассмотрение целостного объекта как состоящего из частей (аддитивность). Вторая компонента отражает степень взаимосвязей между элементами системы, характеризуя целостность (рис.3).

Кроме того, теорема 1 имеет практически важные следствия.

Следствие 1. Пусть У =(Г1,У2,..,Ги)г — случайный нормально распределенный вектор с ковариационной матрицей £/ — нормально распределенная случайная величина, и ~ И[аи,апричем V/ соу(Г|.,[/) = 0. Тогда энтропия вектора У при добавлении величины С/ к одной из его компонент определяется по формуле

Н" = Н(УХ,Т2,...,Г, + и,...,¥„■) = 0,51п[(2ЖГ (Д +

где Мц - минор ¡-ой строки и ¡-го столбца матрицы

Следствие 2. Пусть У - (Г,,Г2,..,7„)г - случайный нормально распределенный вектор с ковариационной .матрицей 2, 1Г = (£/,,{/2,..,£/т)г — нормально распределенный случайный вектор, I/ ~ Щаипричем V/,у со\(У(Д/>) = 0; IФ} соу(и„и^ = 0. Тогда энтропия вектора У+и

определяется по формуле

Я* =#(Г, + ВД +и1,...,¥, +ип...,¥„, + ит) = 0,51п[(2ж)'"|^*|]»

соу(Г„Г2) ... соч(Г1УГ„)

где Е =

соу(Г2,Г1) ... соу(У2,Г„

соусг^г,) соу(г„,г2) ... Лемма 1. Определитель вида

представим в виде

| = Д7 + ЛТ^'Л/) + А", где М', -миноры ¡-го порядка определителя

А", а М'^ -миноры (п — г)-го порядка определителя А 1

а- соу(у,,у2)

а' =

'"1 О

о

о о

д" =

соуСГ,,^)

<4

соу(Г2,7„)

ег:

соч^д",) соу(гм>72) ... Справедлива теорема 2, которая рассматривает случай, когда Я (У) = -<ю. Теорема 2. Пусть дана многомерная случайная величина У = каждый элемент Г, которой является одномерной непрерывной случайной величиной. Тогда Н(У) = -оо, еслг/ .годал бы ¿ее случайных величины Г» }} являются функционально зависимыми, и |Н(У)| <оо, в противном случае.

Основное достоинство энтропийно-вероятностной модели системы Ь(¥) = <Х); 0,51п(|К|)) в том, что она позволяет выделить элементы

системы и связи между ними в качестве отдельных переменных (таблица 1).

Таблица 1.

Соответствие энтропийно-вероятностной модели

Эффективное управление системой предполагает: Эитропийно-всроятностиап модель обеспечивает:

объект - целостностная система рассмотрение целостной системы

наличие информации об основных характеристиках, закономерностях наличие отдельных характеристик для элементов и связей между ними

определение стратегии развития системы уменьшение/увеличение энтропии

выбор критерия для оценки качества развития системы наличие параметра, энтропии, как критерия эффективности развития системы

реализацию решения, анализ реакции системы на управляющие воздействия наличие управляющих переменных, возможность управляющего воздействия

В качестве демонстрации осуществления управляющего воздействия можно привести простой пример. Пусть исследуемая система представлена в виде нормально распределенного вектора У=(71,72) и сг* =40, ст^ =190, ггЛ=0'5' Я(¥) = Я(71) + Я(Г2)+0,51п(|ы|) = 7,3-0Д4 = 7,16. Рисунок 2

иллюстрирует, как будет изменяться энтропия при воздействии на дисперсии отдельных элементов или на корреляционные связи между ними: варьируя конкретные переменные, можно изменять уровень энтропии системы.

н«

7.5 7

45 »

И 5

Н 8

7.5

н з

75 7

11« Гй) «9 25М

ГА Ш Г»

Рисунок 2. Влияние дисперсий отдельных элементов <7~ и корреляционных связей

ч

между ними г,,Гг на уровень энтропии Н (У)

Как отмечается в работах различных авторов, повышение эффективности функционирования систем можно рассматривать с позиции увеличения или уменьшения ее энтропии. Поэтому энтропийно-вероятностная модель позволяет решать задачи эффективного воздействия на систему. Изменение уровня энтропии системы достигается за счет именения значений дисперсий или корреляционных связей. Концепция «точек роста» имеет ключевое место в данной категории задач. Она позволяет выделить особенно чувствительные к изменению энтропии элементы системы и при, например, довольно малом количестве ресурса использовать его наиболее выигрышно (Рисунок 3).

Определение 1. Под точкой роста системы в задаче увеличения (уменьшения) энтропии вектора У = (У1,}'2;..,Кт)г путем воздействия на

„2

дисперсии ее элементов ^

точки роста Рисунок 3. Энтропия и точки роста

сг- будем понимать компоненту 7,, увеличение (уменьшение) дисперсии а,-, которой

на фиксированную величину приводит к наибольшему увеличению (уменьшению) энтропии Н(\) по сравнению с другими компонентами 7у, / ^ у .

Определение 2. Под точками роста системы в задаче увеличения (уменьшения) энтропии • вектора У = (7,,72,..,7М)Г путем воздействия

на корреляционные связи между ее элементами Гщ будем понимать пару компонентов Г, и Г,, /' ^у, изменение гг, Г / ДЛЯ которых на фиксированную величину приводит к наибольшему увеличению (уменьшению) энтропии Я (У) по сравнению с другими парами компонент ¥. и Ук, к (Рисунок 3).

На основе следствия 2 из теоремы 1 сформулирована задача максимизации энтропии системы путем воздействия на дисперсии элементов системы новым случайным вектором С/„ С/, ~ при ограниченных ресурсах ст2:

->тах,

(2)

соу(С/„7^) = 0, /,у =1,2,...,»/, соу(ипи}) = О, /,у =1,2,...,»/,/'Ф}. Теорема 3. Пусть У = (Г1,У2,..,Уи)г - случайный нормально распределенный вектор с ковариационной матрицей Е, К, ~ ) ;

11 - (и1,и2,..,и111)1 - случайный вектор, 17, ~ ). Тогда решение задачи

(2) существует, и любой локальный максимум является глобальным.

Также рассмотрены задачи минимизации энтропии системы путем воздействия на дисперсии элементов системы. Исходя из свойств дисперсии случайной величины, имеем, что переход сг* —> а у, /х. уменьшит дисперсию

элемента и оставит неизменной корреляционную матрицу. В таком случае имеем задачу, в которой необходимо оптимальным образом уменьшить дисперсию некоторых компонент случайного вектора:

0,51п

(2леГ\К\{а^а2Г1...а1)/пх1

—»ГП1П,

(3)

.г, >0,/= 1,2,...,/,

где |К| □ определитель корреляционной матрицы, IV- количество ресурса.

Теорема 4. Пусть \ = (Г,,Г2,..,Г„,)г - случайный7 нормально распределенный вектор с корреляционной .матрицей К, У, ~ ). Тогда

решение задачи (3) существует, и равно х, = IV[I, где I соответствует максимуму значения тах(ИЛ//)', / е [1,»/].

Однако задача (3), предлагая, по сути, равномерное распределение ресурса между некоторыми или всеми элементами системами, не позволяет явно выделить точки роста системы. Поэтому задача минимизации энтропии системы может быть рассмотрена с точки зрения приложения специальных управленческих мероприятий с целью снижения дисперсий, при условии, что при этом изменение |Н| будет пренебрежительно мало. Возможности снижения дисперсии ограничены имеющимися ресурсами IV:

|R| = const.

Теорема 5. Пусть Y = (Y1,Y1,..,Ym)r - случайный нормально

распределенный вектор с корреляционной матрицей R, Г, ~ N(at,cTy.). Тогда

решение задачи (4) существует, и любой локальный минимум является глобальным.

Энтропией системы можно управлять также посредством усиления или ослабления корреляционных связей между компонентами при условии, что при таком воздействии на систему изменение дисперсий элементов будет пренебрежительно мало. В данном случае мы имеем задачи увеличения и уменьшения энтропии системы. Например, в случае необходимости изменения энтропии в сторону уменьшения задача примет вид:

(|R|->min,

(5)

я<|R|^Ь, 0<а<6< 1, ReД где D - множество положительно определенных корреляционных матриц.

Для выявления точек роста системы и направления уменьшения энтропии в задаче (5) предлагается воспользоваться антиградиентом функции f(ri2>ru>—>rmjn-\) = |R| и градиентом для обратной задачи.

Лемма 2. Фунгя{ия вида f(/\i>rn<-->rm^t-i определенная на множестве D = {гей"'""""\гье[-1,1],/ = 1,/л, j = i + \,т -1}, является выпуклой.

Глава 3. Численная реализация задач управления системой на основе энтропийно-вероятностного подхода

Прежде чем решать задачу необходимо сформировать систему. Для этого в работе предлагается использовать факторный анализ. При таком анализе в один фактор объединяются сильно коррелированные между собой переменные, как следствие происходит перераспределение дисперсии между компонентами и получается максимально простая и наглядная структура факторов.

Аналитическое решение задачи максимизации энтропии (2) является более трудоемкой задачей, в сравнении с реализацией численных методов, поэтому рассмотрен поиск решения с помощью численных методов. Сформирован перечень критериев эффективности, используемых при оценивании «качества» того или иного алгоритма, приведенный в таблице 2.

Т.к. на сегодняшний день ни один из алгоритмов не имеет по отношению к другим таких преимуществ, чтобы его можно было считать универсальным средством решения любых задач нелинейного программирования, для численного решения задачи (2) рассматривались широко распространенные и

хорошо зарекомендовавшие себя методы различных штрафов и комплексный метод Бокса. Сравнительный анализ алгоритмов проводился методом статистических испытаний. Генерировалась 1000 задач, где случайным образом выбирались: 1) размерность задачи из диапазона [3;15]; 2) симметричная положительно определенная матрица Е, где дисперсия каждого элемента случайным образом выбирается из отрезка [0;300]; 3) значение распределяемой дисперсии и из отрезка [1,3000]. Результаты анализа приведены в таблице 2, из них следует, что комплексный метод Бокса оказывается значительно эффективнее методов штрафов.

Таблица 2

Сравнение работы алгоритмов с одинаково заданной точностью

Метод внешних штрафов Метод внутренних штрафов Комбинированный мегод штрафов Комплексный метод Бокса

Ср. расчетное значение функции 30,89 30,81 30,74 30,33

Ср. время выполнения программы, »1С. 793 652 6257 21

Ср. количество точек х 35091 29752 353628 275

Ср. количество вызовов целевой функции 70417 59702 709625 2410

Ср. количество вызовов функции ограничений 70420 59712 80037 226

Метод внешних штрафов обеспечивает наиболее точное решение, это обусловлено тем, что в нем осуществляется движение начальной точки извне к множеству допустимых решений, в то время как метод внутренних штрафов, препятствует выходу начальной точки из множества X, и процедура метода приводит к приближению изнутри области к границе. Поэтому метод внешних штрафов оказывается точнее для задач с решением, лежащим на границе области допустимых значений. Отметим, что уменьшение погрешности вычисления для метода Бокса увеличивает точность расчета целевой функции практически до уровня метода внешних штрафов, оставляя быстродействие на порядок выше, чем у методов штрафов.

Для задачи минимизации энтропии (4) также не удается отыскать аналитическое решение и для численной реализации эффективно использование комплексного метода Бокса.

Для решения задачи уменьшения и увеличения энтропии системы (5) путем воздействия на ее корреляционную матрицу в виде леммы 3 предложен алгоритм формирования градиента целевой функции любой размерности:

Лемма 3. Пусть есть функция вида /(г12,гп,.. .,гпт = |и|, тогда

= ХЦ ъ(-0'Л/*; г#(-1)'М/;+2г9.М/;, гсЗе М* - минор

А* Л ^ / ,К г {

матрицы К, полученный вычеркиванием /', строки и _/, столбца; М^2 -минор матрицы , полученный вычеркиванием /2 строки и у2 столбца, /', Ф /2 и /, ^ ]г. Для (-1 верно следующее правило:

4 = »1 + Ч + Л + Л > Ч > »2> Л > Л' д = 7", +0'2 -1)+У, + У5, г, <»2, л >У2,

« = I, + о2 -1)+у, + (у2 -1). »1 < н > к < Л» я = », +1, + у, + о2 -1), /, > ¿2, л < у2.

Вышеизложенные задачи и предложенные алгоритмы их решения реализованы и зарегистрированы в виде комплекса программ.

Глава 4. Методика энтропийно-вероятностного моделирования и анализа на практических примерах

Данная глава посвящена практическому использованию энтропийно-вероятностного моделирования, опишем некоторые примеры.

В первом примере рассматривается случай, связанный с безопасностью на предприятиях: сформированы две группы угледобывающих предприятий, отличающихся между собой уровнем травматизма, и проведен сравнительный анализ энтропийно-вероятностных моделей этих групп. Имеются статистические исследования по 17-ти угледобывающим предприятиям, где х - компетентность персонала; г - мотивация персонала на безопасное производство; п - взаимодействие структурных подразделений шахты; г -взаимодействие персонала в области безопасности производства; т -информационное обеспечение в области безопасности производства. Анализ показал, что исходные переменные представимы в виде нового вектора из двух факторов: Г, = 0,248 • (0,8415 + 0,857Й + 0,762/и) - организация безопасного производства, У2 = 2,674 • (0,922х + 0,626?) - профессионализм персонала. Нормальность распределения вектора подтверждена тестами. Далее система У = (1'1,У2)Т была разбита на две группы предприятий, в группе 1 - предприятия с коэффициентом частоты травмирования от 5,79 до 16,53 случаев на 1000 человек (низкий уровень), в группе 2-е уровнем травмирования от 21,65 до 49,69 случаев на 1000 человек (высокий уровень). Энтропийно-вероятностная модель для группы 1: И, =(2,42;-0,31); Я,(У) = 2,11. Для грунпы 2: Ь2 = (3,73;-0,7); Я2(У) = 3,04. Очевидно, что энтропия группы 2, оказалась выше за счет высоких значений дисперсий. Высокий уровень энтропии, как показатель уровня неопределенности может быть признаком плохой организации и нечеткости действий в системах. Поэтому группе 2 необходимо принять меры по снижению уровня энтропии. В случае, когда известны величины, на которые снизятся дисперсии элементов второй группы а\ =0,33 и а\г =18,53, при приложении управленческих мероприятий, обеспеченных единицей ресурса (обозначим их за с1х и с12), задача минимизации энтропии для группы 2 представляется в виде (6), где К -количество ресурсов. Решение сформулированной задачи обеспечит снижение уровня травматизма предприятий второй группы. Для примера положим с/, =0,001 и с1г =0,1 на каждые вложенные МО5 руб. (ед. ресурса), А." =100.

Тогда х,=0 и х2 = 100, и получаем, что управленческие мероприятия необ> нализма персонала.

_ х, + хг<,К, х, >0, хг > 0, ^

0,3 3 - X, >0, 18,5 3 - X2d2 > 0, |R| = const.

Приведенный пример демонстрирует, что рост компетентности и информированности персонала ведет к большей согласованности и четкости в работе, что снижает дисперсии элементов, и подтверждает результаты исследований в области безопасности на горнодобывающих предприятиях, полученные B.JL Могилатом и А.Н. Тырсиным3'4,: 1) увеличение травматизма на предприятии сопровождается увеличением энтропии, 2) повышение компетентности и информированности персонала ведет к уменьшению травматизма.

Во втором примере рассмотрела макроэкономика РФ в 2000-2011 гг:. Сформирована система из 16-ти основных социально-экономических показателей РФ. На основе факторного анализа макросистема представлена в виде Y = (Г,,Г2,Г3)г, нормальность распределения которого подтверждена тестами, где Y\ - национальное богатство, Г2 объединил в себе бюджет, курс национальной валюты и уровень безработицы в стране, Гз - индекс цен производителей промышленности. Сравнительный анализ макросистемы в двух периодах (до 2005 года и после) на основе энтропийно-вероятностной модели показал, что энтропия макросистемы в первом и втором периодах равна ЯДУ) =0,81, Ii 1 = (2,02;—1,21) и Я2(У) = 3,07, h2 =(3,19;-0Д2) соответственно. Причем энтропия второго периода характеризуется слабыми корреляционными связями и высокой дисперсией элементов. Это может свидетельствовать об ухудшении в целом макроэкономики России во втором периоде, вызванным экономическим кризисом в сопоставлении с тем, что первый период характеризовался довольно устойчивым ростом экономического развития страны. Для снижения энтропии системы на данном этапе исследования можно выявить основные точки воздействия для осуществления управляющих действий с помощью антиградиента функции У(г12 ,rn ,r23) = |R|: -grad(/)=(0,86;0,39; -0,23). Следовательно, для достижения поставленной цели необходимо, в первую очередь, принимать меры по увеличению корреляции между 7] и Т2, также стоит обратить внимание на увеличение корреляции между Fj и Гз, и снижение корреляции между Гз и Гг. Полученный результат

3 Моп ьтат В. Л., Тырсин АН Математическое моделирование зависимости травматизма от компетентности и инфорщфованностп персонала на горнодобывающих предприятиях // Извес-шя вузов. Горный журнал. 2006. № 2. С. 77-81.

* Могилат ВЛ. Обеспечение эффективного управления промышленной безопасностью горных предприятий путем целенаправленного формирования информационных потоков: Автореферат дне. дмсг. теха наук: 05.26.03. М., 2006. С. 15.

согласуется с гипотезами, выдвигаемыми И.В. Прангишвили5, что перестройка связей - это выгодная адаптивная стратегия для страны, и уменьшение энтропии способствует уменьшению ее дезорганизованности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итоги исследования:

1. Разработан энтропийно-вероятностный метод - новый метод моделирования сложных стохастических систем. Метод формализован, решает проблему неоднородности элементов системы, явно выделяет переменные для воздействия на систему, позволяя осуществлять эффективное управление сложными системами.

2. Для энтропийно-вероятностной модели предложена концепция «точек роста» системы.

3. На основе энтропийно-вероятностного метода сформулированы задачи эффективного управления сложными системами, доказаны теоремы о решениях этих задач.

4. Сформулирована и доказана теорема, демонстрирующая двойственность энтропии. Установлено, что энтропийно-вероятностная модель описывает две главные составляющие системы: ее целостность и аддитивность.

5. На основе анализа известных численных методов решения экстремальных задач предложены алгоритмы решения сформулированных задач эффективного управления системами. Установлено, что комплексный метод Бокса эффективнее методов штрафов для рассматриваемых задач. Предложен алгоритм реализации уменьшения и увеличения энтропии на основе корреляционной матрицы системы любой размерности. Разработан комплекс программ для осуществления эффективного управления системами.

6. Методика анализа и управления системой на основе энтропийно-вероятностной модели апробирована на практических примерах.

Рекомендации и перспективы дальнейшей разработки темы:

В качестве дальнейшего развития исследуемой темы можно рекомендовать: построение энтропийно-вероятностных моделей систем с другими законами распределения (это позволит учесть случай, когда аппроксимация случайного вектора в виде совместного нормального распределения приводит к значительному снижению точности вычисления энтропии); построение энтропийно-вероятностных моделей динамики систем (это позволит решать задачи мониторинга состояния систем).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, включенных в перечень ВАК:

1. Гусев, А.И. Модель интеграции системы управления промышленной безопасностью в общую систему управления горнодобывающего предприятия / А.И. Гусев, М.Н. Ковалев, И.С. Хамидуллина //. Известия высших учебных заведений. Горный журнал. - 2009. -№4. - С. 61-64.

5 Пранпштили ИВ. Энтропийные и другие системные закономерности. М, 2003. С 11-12.

16

2. Соколова, И. С. Использование энтропийно-вероятностного моделирования в задачах мониторинга и управления сложными системами / И.С. Соколова, А.Н. Тырсин // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2012. -№4. - С. 35-39.

3. Соколова, И.С. Исследование социально-экономических систем на основе энтропийно-вероятностной модели / И.С. Соколова, А.Н. Тырсин // Вестник Челябинского государственного университета. Экономика. - 2012. -№24. - С. 43-47.

4. Тимашев, С.А. Энтропийно-вероятностное моделирование в задаче повышения безопасности систем критичных инфраструктур / С.А. Тимашев, А.Н. Тырсип, И.С. Соколова // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций. - 2011. -№1. - С. 13-20.

5. Тырсин, А.Н. Задача максимизации энтропии многомерной случайной величины / А.Н. Тырсин, И.С. Соколова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - Т. 17, № 5. - С. 779.

6. Тырсин, А.Н. Энтропийно-вероятностное моделирование гауссовских стохастических систем / А.Н. Тырсин, И.С. Соколова // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, №1. - С. 88-103.

Публикации в других изданиях:

7. Соколова, И.С. Задача эффективного управления сложной системой на основе энтропийно-вероятностного подхода / И.С. Соколова, А.Н. Тырсин // Моделирование неравновесных систем. Материалы тринадцатого всероссийского семинара. - 2010. - С. 169-173.

8. Соколова, И.С. Исследование сложной макросистемы на основе энтропийно-вероятностного моделирования / И.С. Соколова, А.Н. Тырсин // Безопасность критичных инфраструктур и территорий: Материалы V Всеросс. конф. и XV школы молодых ученых. -2012. -С. 171-173.

9. Соколова, И.С. Об энтропийно-вероятностном моделировании сложных систем / И.С. Соколова, А.Н. Тырсин // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011. - Т. 18, № 1. - С. 185.

10. Соколова, И.С. О минимизации энтропии многомерной гауссовской системы / И.С. Соколова, А.Н. Тырсин // Безопасность критичных инфраструктур и территорий: Материалы V Всеросс. конф. и XV школы молодых ученых -2012. - С. 174-176.

П.Соколова, И.С. Программа для решения задачи эффективного распределения ресурсов в системе на основе энтропийно-вероятностного подхода. №17418. [Электронный ресурс] / И.С. Соколова // Хроники ОФЭРНиО. - 2011. - №9 (28). - С. 8-9. Режим доступа: http://ofemio.ru/portal/newspaper/ofemio/201 l/9.doc

12. Соколова, И.С. Комплекс программ для решения задачи эффективного распределения ресурсов в системе на основе энтропийно-вероятностного подхода. №18021. [Электронный ресурс] / И.С. Соколова // Хроники ОФЭРНиО. - 2012. -№03 (34). - С. 15-16. Режим доступа: http ://ofemio. ru/portal/newspaper/ofernio/2012/3. doc

13. Тырсин, А.Н. Повышение эффективности управления социально-экономическими системами на основе энтропийно-вероятностного подхода / А.Н. Тырсин, И.О. Соколова // Системное моделирование социально-экономических процессов. Сборник трудов школы семинара. ХХХ1П заседание. - 2010. - С. 304-305.

14. Тырсин, А.Н. Развитие сложных систем на основе энтропийно-вероятностного моделирования / А.Н. Тырсин, И.С. Соколова, О.В. Ворфоломеева // Безопасность критичных инфраструктур и территорий: Материалы IV Всероссийского научно-технической конференции. - 2011. -С. 72-74.

15. Тырсин, А.Н. Энтропийно-вероятностное моделирование макросистем / А.Н. Тырсин, И.С. Соколова, О.В. Ворфоломеева // Информационные и математические технологии в науке и управлении. Труды XVI Байкальской Всероссийской конференции. - 2011. - Т. 1. - С. 60-65.

Подписано к печати 07.02.2013г. Формат 60x84 1/16 Объем 1,0 уч.-изд.л. Заказ № 83. Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии ФГБОУ ВПО ЧГПУ 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 69

Челябинский государственный университет

На правах рукописи

04201355120

Соколова Ирина Сибагатулловна

ЭНТРОПИЙНО-ВЕРОЯТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент, Тырсин Александр Николаевич

Челябинск - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................4

ГЛАВА 1. Проблематика математического моделирования сложных систем. 13

1.1. Ключевые моменты в определениях «сложная стохастическая система» и «модель сложной системы».................................................................................13

1.2. Обзор методов математического моделирования сложных систем.........21

1.3. Энтропия в моделировании сложных систем.............................................25

1.4. Основы и предпосылки развития энтропийно-вероятностного подхода 35

1.5. Выводы и результаты....................................................................................38

ГЛАВА 2. Энтропийно-вероятностное моделирование.......................................40

2.1. Формализация энтропийно-вероятностного подхода................................40

2.2. Исследование энтропийно-вероятностной модели....................................52

2.3. Задачи управления системой на основе энтропийно-вероятностной модели....................................................................................................................59

2.4. Выводы и результаты....................................................................................75

ГЛАВА 3. Численная реализация задач управления системой на основе энтропийно-вероятностного подхода.....................................................................76

3.1. Формирование системы................................................................................76

3.2. Задача максимизации энтропии системы....................................................77

3.3. Задача минимизации энтропии системы.....................................................90

3.4. Задача изменения энтропии системы в сторону увеличения или уменьшения...........................................................................................................93

3.5. Выводы и результаты....................................................................................95

ГЛАВА 4. Методика энтропийного вероятностного моделирования и анализа на практических примерах......................................................................................96

4.1. Моделирование системы, характеризующей безопасность производства..........................................................................................................96

4.2. Моделирование макроэкономической системы на примере Российской Федерации............................................................................................................100

4.3. Моделирование системы, оказывающей влияние на численность населения Российской Федерации....................................................................108

4.4. Выводы и результаты..................................................................................114

-ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................л...............-.т.............................-v...............................—1-1-5-

Список литературы................................................................................................117

Приложение 1. Справки об использовании результатов диссертационной

работы......................................................................................................................131

Приложение 2. Свидетельства о регистрации электронных ресурсов.............133

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. На сегодняшний день применение математического моделирования в научных исследованиях становится все более эффективным и распространенным. Его суть заключается в замене объекта его математической моделью и дальнейшем изучении модели [94, 134]. Крупный вклад в развитие теории математического моделирования внесли многие ученые [11, 21, 28, 48, 61, 62, 73, 74, 94, 97].

Сегодня предлагаются различные подходы моделирования систем, которые продолжают развиваться и совершенствоваться. Одним из направлений развития является моделирование сложных систем, характерными признаками которых являются неоднородность элементов и сложность связей. Вопросы математического моделирования сложных систем исследовались многими учеными, отметим работы [19, 27, 29, 37, 41, 42, 53, 78, 82, 84, 123, 134, 139, 138, 149, 153].

Актуальным направлением математического моделирования сложных систем является моделирование открытых систем с помощью энтропийных методов. В основе этих методов лежит использование энтропии в качестве критерия оценки функционирования системы. Это обусловлено тем, что энтропия - универсальный показатель, свойственный различным категориям социально-экономических, территориальных, биологических и других систем [27, 65, 88, 86, 160]. Энтропии, ее свойствам, соотношению энтропии и информации, ее роли и влиянию на сложные системы посвящено множество работ различных авторов [13, 16, 34, 43, 49, 61, 67, 95, 100, 118, 141, 146, 150, 152, 156, 157, 158].

Степень разработанности темы. Сегодня концепция энтропии широко применяется в моделировании [1, 2, 20, 23, 27, 31, 47, 60, 65, 66, 68, 73, 75, 81, 82, 86, 89, 101, 112, 115, 125, 126, 151, 159, 160].

Моделирование, базирующееся на энтропии, решает проблему неоднородности в системе. Неоднородность элементов сложной системы обусловлена тем, что они, как правило, содержат большое число разнородных

параметров, которые с разных точек зрения могут быть определены по-разному, и это создает трудности, когда необходимо выделить наиболее важный параметр для определения функционирования системы [121, 135]. Энтропия может оказаться тем самым единым параметром оценки~функционирования~системыт Однако, на сегодняшний день, энтропийное моделирование плохо формализовано и не позволяет сделать переход к общей формальной модели. Существующие методы не предоставляют общесистемные переменные и не описывают связность элементов системы.

Открытые системы, по своему определению, это системы, которые могут обмениваться с окружающей средой энергией, веществом и информацией. И социально-экономические системы, биосистемы и т.п. относятся именно к открытым системам [111]. Кроме того, такие системы являются стохастическими и самоорганизующимися [3, 119]. Вероятностные или стохастические системы -это системы, поведение которых описывается законами теории вероятностей. Для стохастической системы знание текущего состояния и особенностей взаимной связи элементов недостаточно для предсказания будущего поведения системы со всей определенностью [119]. Самоорганизующиеся системы - это системы, обладающие свойством адаптации к изменению условий внешней среды, способные изменять структуру при взаимодействии системы со средой, сохраняя при этом свойства целостности системы, способные формировать возможные варианты поведения и выбирать из них наилучшие [3].

Здесь будут рассматриваться стохастические, самоорганизующиеся, открытые системы. Они состоят из многих объектов, принимаемых за элементы структуры [56].

Важность роли энтропии в исследованиях открытых систем обусловлена возникновением физики открытых систем, которая была подготовлена выдающимися учеными: JI. Больцман, А. Пуанкаре, А. Ляпунов, и, биолог, Ч. Дарвин [55]. JI. Больцман ввел впервые статистическое определение энтропии, указал, что энтропия является мерой неупорядоченности и доказал знаменитую Н-теорему, согласно которой при временной эволюции к равновесному состоянию

энтропия замкнутой системы возрастает и остается неизменной при его достижении [16]. Л. Больцман был одним из первых, кто понимал, что теория эволюции Дарвина была первым шагом в теории эволюции открытых систем, он предвидел; что~энтропийные-исследования—в- области—открытых-систем—будут развиваться [55].

Как известно, эволюция - это процесс изменения, развития в природе и обществе. Вопросам эволюции открытых систем, влиянию энтропии на этот процесс немалое внимание уделяется в работах И.Р. Пригожина [75, 89, 87], Ю.Л. Климонтовича [55, 56, 57]. Суть работ в том, что процесс изменения открытых систем может вести либо к деградации, либо представлять собой процесс самоорганизации, при котором возникают более сложные и совершенные структуры.

В теории самоорганизации сложных систем, разработанной И.Р. Пригожиным, установлено, что в системах с нелинейным поведением (под нелинейным поведением понимается неоднозначная реакция системы на внешнее воздействие) происходит такое явление как бифуркация. И точка бифуркации представляет собой переломный, критический момент в развитии системы, в котором она осуществляет выбор пути. Суть этого явления заключается в следующем. Если по какой-либо причине текущее состояние системы окажется неустойчивым, то перед ней может возникнуть выбор из нескольких новых состояний — произойдет бифуркация [75,89, 125]. Например, для ученика, который только что окончил школу, предыдущее состояние «учеба в школе» становится неустойчивым, однако перед ним возникает широкий выбор новых состояний, т.е. возникает бифуркация [151]. И стоит отметить, что точки бифуркации могут провоцироваться изменением управляющего параметра системы [141], а изменение энтропии может вывести систему на новый уровень самоорганизации, т.к. может сформироваться новая более упорядоченная структура системы [89].

В работах Ю.Л. Климонтовича раскрывается, что нормальное функционирование организма, а также социальных и экономических систем,

возможно лишь при некоторой «норме хаотичности», и для открытых систем отклонения от нормы в ту или иную сторону могут означать «болезнь» системы и, следовательно, представлять собой процесс деградации. Далее, с помощью управляющих параметров~можно~контролировать-выбор-методики-«лечения»—И-если «лечение» приближает состояние открытой системе к норме, то имеет место процесс самоорганизации. А энтропия является тем самым макроскопическим параметром, отвечающим уровню хаотичности в системе [56].

Приведенные теории, описывающие связь энтропии и открытых систем демонстрируют, что для оказания управляющего воздействия на открытые системы актуальна задача нахождения инструмента, позволяющего увеличивать и уменьшать уровень энтропии системы в зависимости от преследуемых целей, так же необходимо определение параметров для оказания воздействия на систему. Кроме этого, на практике мы располагаем ограниченным количеством ресурсов для достижения управленческих целей, поэтому актуален вопрос оптимального использования имеющегося ресурса. На основе чего возникает необходимость построения математических моделей таких систем с учетом вышеизложенных проблем.

Для примера рассмотрим безопасность производственной системы горных предприятий. Современные предприятия для обеспечения долгосрочного устойчивого функционирования должны постоянно повышать безопасность производства [33, 40], поэтому одной из главных задач для таких предприятий является снижение травматизма [33, 71, 72]. Важным моментом здесь является то, что зачастую оказывается, что оценку и анализ безопасности труда на предприятии рациональнее осуществлять не на основе конечного уровня травматизма, а на основе группы факторов, отвечающих за организацию и соблюдение мер безопасности на предприятии [96, 128]. И именно энтропия способна объединить эти факторы с целью дальнейшего анализа и выбора методики воздействия на систему управления безопасностью труда на предприятии. Кроме того, закономерным является то, что процесс возникновения и развития опасной производственной ситуации характеризуется увеличением

энтропии в системе [71, 86], поэтому такие производственные системы могут требовать вмешательства с целью снижения энтропии и, соответственно, уровня травматизма на производстве. Как будет показано в главе 4, энтропийно-вероят-ное-т-ное—моделирование;—предлагаемое—в—данной—работе, позволяет анализировать и осуществлять такого рода вмешательство.

Целью работы является разработка и формализация энтропийно-вероятностного моделирования сложных стохастических систем, позволяющая получить математические модели и алгоритмы для эффективного управления такими системами.

Достижение данной цели предполагает решение следующих задач:

1. Разработать и теоретически обосновать энтропийно-вероятностный метод моделирования сложных стохастических систем. Метод должен иметь простую реализацию, выделять переменные, чувствительные к управляющему воздействию, и связи между элементами системы.

2. Исследовать энтропийно-вероятностную модель и на ее основе сформулировать задачи управления сложными стохастическими системами.

3. Разработать алгоритмы и программы для решения поставленных задач эффективного управления на основе разработанного метода.

4. Апробировать на примерах методику использования энтропийно-вероятностных моделей.

Объектом исследования являются стохастические, самоорганизующиеся, открытые системы.

Предметом исследования являются энтропийно-вероятностные модели.

Научная новизна заключается в следующем:

1. В области разработки новых математических методов моделирования объектов и явлений:

а) Разработан энтропийно-вероятностный метод - новый метод построения математических моделей сложных систем.

2. В области разработки, исследования и обоснования математических объектов:

a) Установлено, что целесообразно рассмотрение энтропии системы как двухкомпонентного вектора, где первая компонента характеризует аддитивность системы, вторая - ее целостность.

b) "Предложены переменные для управляющего—воздействия—на—систему :-дисперсии ее элементов и корреляционные связи между ними.

c) Предложена концепция «точек роста» системы. Выявлено, что в системах существуют «точки роста» — особо чувствительные к воздействию элементы системы.

с!) Сформулированы задачи эффективного управления системами с целью увеличения и уменьшения энтропии систем и доказаны теоремы о решениях поставленных задач.

3. В области разработки, обоснования и тестирования эффективных численных методов с применением ЭВМ:

а) Исследованы алгоритмы решения задач эффективного управления системами на основе энтропийно-вероятностных моделей и установлено, что комплексный метод Бокса эффективнее, чем методы различных штрафов для решения задач максимизации энтропии системы. Предложен алгоритм реализации уменьшения и увеличения энтропии на основе корреляционной матрицы системы любой размерности.

4. В области реализации эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента:

а) Разработан и зарегистрирован комплекс программ для решения задач эффективного распределения ресурсов в системе с целью увеличения или уменьшения энтропии системы на основе энтропийно-вероятностных моделей. Теоретическая значимость:

1. Разработан энтропийно-вероятностный метод - новый метод моделирования сложных стохастических систем. Он заключается в представлении сложной системы в виде многомерного нормально распределенного случайного

вектора и рассмотрении энтропии системы в качестве единого критерия оценки ее функционирования. Метод формализован, универсален в применении.

2. Построена математическая модель системы, характеризующая две стороны системы: аддитивность и целостность.

Практическая значимость:

1. Предложенная модель проста для практической реализации, описывает элементы системы и связи между ними.

2. Сформулированы задачи эффективного управления системой с целью увеличения и уменьшения ее энтропии. Доказаны теоремы о решениях этих задач.

3. Приведены практические примеры, демонстрирующие методику использования энтропийно-вероятностной модели.

4. Разработаны алгоритмы и программы для эффективного управления системой на основе энтропийно-вероятностного моделирования.

Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач и доказательства сформулированных утверждений применялись методы теории вероятностей и математической статистики, многомерного статистического анализа, математического анализа, выпуклого анализа, системного анализа, математического моделирования, оптимизации и численные методы. При исследовании алгоритмов для решения задач управления системами использовался метод статистических испытаний. Качество математических моделей подтверждалось примерами их использования.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Разработан энтропийно-вероятностный метод - новый метод построения математических моделей сложных систем. Предложена энтропийно-вероятностная модель для описания многомерных стохастических систем, выделяющая переменные для оказания управляющего воздействия на систему.

2. Установлена двухкомпонентность энтропии системы, первая компонента которой характеризует аддитивность системы, вторая - ее целостность.

3. Сформулированы задачи эффективного управления сложными системами на основе энтропийно-вероятностной модели и доказаны теоремы о решениях сформулированных задач. Предложена концепция «точек роста» в системе.

4т"Предложены алгоритмы и программы-решения-задач- эффектавного управления сложными системами