автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оценивание погрешности решения линейных некорректных задач на компактных множествах

На правах рукописи

Титаренко Валерий Николаевич

Оценивание погрешности решения линейных некорректных задач на компактных множествах

Специальность 05.13.18 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А. Г. Ягола.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н. Ю. Бакаев, доктор физико-математических наук И. В. Кочиков.

Ведущая организация:

Московский государственный институт электронной техники (технический университет).

Защита состоится « 9 » д^и-ъ^р д 2004 г. на заседании диссертационного совета К 501.001.17 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова чаг. Одмип. по адресу: г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан « 5» 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 501.001.17 доктор физико-математических наук

П. А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В диссертации рассматриваются так называемые некорректные задачи, которые часто встречаются во многих областях современных науки и техники. Некорректные задачи по своей сути являются недоопределенными задачами, так как в них не хватает информации для построения единственного решения, устойчивого по отношению к погрешностям входных данных. Однако при математическом моделировании реальных задач науки и техники часто имеется дополнительная априорная информация о структуре решения, естественных ограничениях на его поведение. Такая информация, применяемая и при решении корректных задач, становится крайне важной при решении некорректных. От этой информации зависит возможность построения регуляризирующего алгоритма с определенными свойствами как способа приближенного решения некорректной задачи, понятие о котором ввел академик А.Н. Тихонов. После основополагающих работ А. Н. Тихонова. М. М. Лаврентьева и В. К. Иванова теория некорректных задач была развита многими учеными в применении к разным областям науки и техники.

В диссертации рассматривается линейная некорректная задача, записанная в виде операторного уравнения

где 2. II — линейные нормированные пространства, а А : 2 —* II ли-иейный непрерывный оператор. Вместо точных оператора А и правой части й уравнения имеются приближенные опера-юр А\ь и правая часть такие, что ЦЛ^ — Л|| < Л. ||и<5 — й|| < 5, г) = (Н,6). По входным данным [Ль,щ,г]} необходимо построить регуляризирующий алгоритм В(А^Щ, ц), т. е. указать правило нахождения приближенного решения ¡ч) — Я(Аг,,щ,т]) такое, что ||г^ — ¿|| —> 0 при г) —► 0, где I — точное решение уравнения.

Аг = и, г € 2. и е и.

При решении некорректных задач важно не только построение ре-гуляризирующего алгоритма, но и оценка погрешности приближенного решения. Хорошо известно, что равномерная оценка погрешности может существовать только на множестве первой категории в банаховом пространстве Z Примером такого множества является компакт. В этом случае можно использовать специальные регуляризирующие алгоритмы для нахождения приближенного решения и становится возможным построение равномерной погрешности решения.

Цель диссертации:

1. создание новых математических методов для оценки апостериорной и априорной погрешностей решения на множествах специальной структуры (на множествах монотонных, выпуклых функций и функций с известными константами Липшица - для ограниченных функций с одномерными областями определения; па множествах функций, выпуклых на всей области определения, и функций, выпуклых или вогнутых вдоль всех прямых, параллельных осям координат, — для ограниченных функций с многомерными областями определения);

2. обобщение результатов, полученных ранее для одномерных выпуклых функций, на многомерные функции, выпуклые на всем множестве определения или вдоль осей координат;

3. создание программного комплекса для нахождения приближенных решений одномерных и двумерных уравнений Фредгольма первого рода и для оценки погрешностей найденных решений на множествах функций, перечисленных ранее;

4. применение разработанных алгоритмов к задаче реконструкции симметричных профилей скорости в многоилоскостных измерительных модулях в акустике, к обратной задаче катодолюмииесцентной мик-

ротомографии, к обратной задаче для уравнения теплопроводности, к задаче Коши для уравнения Лапласа.

Методика исследования базируется на основных положениях теории решения некорректных задач, функционального анализа, выпуклого анализа, математического программирования.

Научная новизна и практическая значимость. Равномерная

сходимость приближенного решения к точному для множества монотонных функций впервые доказывается для счетного числа отрезков, не содержащих концы области определения точного решения и его точек разрыва. Также впервые доказывается равномерная сходимость приближенных решений и строятся условия на сеточные значения для функций, выпуклых или вогнутых вдоль осей координат, а также для выпуклых функций на многомерных областях определения. Разработанные в работе алгоритмы оценивания погрешностей решения некорректных задач на компактных множествах могут быть использованы в широких областях (например, в томографии, геофизике, астрофизике, спектроскопии), так как рассматриваемые компактные множества очень часто встречаются при решении обратных задач. Функции, ограничивающие множества приближенных решений сверху и снизу, позволяют гарантировано найти область, которой принадлежит точное решение, если оно существует. В связи с развитием вычислительной техники обобщение использованных ранее методов решения некорректных задач с одномерных на многомерные области определения позволяет численно решать многомерные задачи, решение которых ранее было технически невозможно.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем.

1. Предложен и реализован в виде комплекса программ алгоритм для решения и оценки априорных погрешностей решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода при условии, что точное реше-

ние является

• ограниченной монотонной, выпуклой функцией или функцией с известными константами Липшица на отрезке

• ограниченной функцией, выпуклой или вогнутой вдоль осей координат, или ограниченной выпуклой функцией на всей многомерной области определения

2. Для рассматриваемых функций доказана равномерная сходимость последовательности приближенных решений к точному решению па некоторых подмножествах области определения решения при стремлении погрешностей входных данных к нулю В случае, если точное решение является

• монотонной ограниченной функцией на отрезке [й,Ь], то сходимость имеет место на произвольном множестве, являющемся конечным или счетным объединением замкнутых отрезков, не содержащих точек разрыва функции

• ограниченной функцией заданной на открытом ограниченном множесгве и являющейся выпуклой или вогнутой вдоль осей координат (или выпуклой на всем множестве)

3 Предложен и обоснован алгоритм для нахождения неравенств, определяющих множество априорных ограничений на сеточные значения для двумерных выпуклых функций

4 Предложенный алгоритм применен для нахождения решения и оценки погрешностей в задаче реконструкции симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях в акустике. в обратной задаче катодолюминесцентной микротомографии, в обратной задаче для уравнения теплопроводности, в задаче Коши для уравнения Лапласа

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре "Обратные задачи математической физики"', проводящемся в НИВЦ МГУ под руководством профессоров А. Б. Бакушинского, А. В. Тихонравова и А. Г. Яголы, на конференциях "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, факультет ВМиК МГУ, 20 21 июня 2000 г., 26-28 июня 2001 г., 10 -11 июня 2003 г.), "Ill-posed and non-classical problems of mathematical physics and analysis" (Узбекистан, Самарканд, 11 -15 сентября 2000 г.), "Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 11 апреля 2001 г.). "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, Байкал, 24 июня -1 июля 2001 г.). "Ill-posed and Inverse Problems" (Новосибирск, 5 9 августа 2002 г.), "International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003" (Япония, Нагано. 18-21 февраля 2003 г.), на семинарах программы "Inverse Problems: Computational Methods and Emerging Applications" (Institute for Pure and Applied Mathematics, University of California at Los Angeles, Лос-Анджелес, США, 8 сентября - 12 декабря 2003 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 печатные работы (из них 16 статей в журналах и трудах конференций, 6 тезисов конференций). Ссылки на работы приведены в списке литературы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации —112 с, рисунков — 30, наименований в списке литературы — 93.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор известных результатов по теме исследования и приводится краткое описание содержания диссертации по главам.

В первой главе рассматривается некорректная задача, записанная в виде операторного уравнения

где Z и [/—линейные нормированные пространства, а А : 2 II — линейный непрерывный оператор. Предполагается существование пары неизвестных элементов {г, и}, г € Z, и С и, удовлетворяющих уравнению (1). где точное решение. точная правая часть операторного уравнения. Вместо точных имеются приближенные линейный оператор В качестве приближенного решения уравнения (1) принимается любой элемент множества

2РМ ~ {г е М : \\Лнг - ^ /ф|| + 5}. (2)

В качестве 2 рассматривается пространство Ьр(Х) вещественных суммируемых функций г(х), заданных на некотором множестве X. с нормой

11211=и

Предполагается, что для заданных входных данных найде-

но приближенное решение г^х) из м н о ж е с ^^Т о г д а приближенное решение ^(¡г) сходится к точному реше н.^^ в пространстве Ьр(Х). Приводятся примеры компактных множеств М и подмножеств X С X, для которых приближенное решение сходится к точному и в пространстве с нормой

В §1 главы 1 рассматриваются функции, заданные на отрезке [а. 6]. В разделе 1.1.1 принимается, что М множество неубывающих на отрезке [а. 6] = X функций г(х), ограниченных снизу и сверху константами С1 и С", т. с. Ух е [а. Ь]: С1 < г{х) < С".

Рассматриваются все точки разрыва первого рода функции г(х) и

точка а. Эти точки представляют собой не более чем счетное множество

$ = {Хг}\, к < +оо. На интервале (а, 6) вводятся точки и,-, т,-, г =

1, к — 1 такие, что < < т% < г = 1. к — 1. Через Т обозначается к-1

множество объединений и [аг. г,] для различных допустимых сг,-, т».

»=1

Теорема 1 [5]: Последовательность функций {г™ (я)}, гт(х) € М, \\гт — Щьр[а.6] ~* 0 пРи т оо, сходится равномерно к г(х) на любом множестве и С Т.

Ранее была доказана теорема о том, что. если точное решение ¿(х) операторного уравнения (1) является кусочно-непрерывной функцией, то имеет место равномерная сходимость последовательности приближенных решений к точному на каждом замкнутом отрезке, не содержащем точек разрыва функции г(х) и точек а. Ь. Теорема 1 обобщает этот результат па произвольное множество, являющееся объединением конечного или счетного числа таких отрезков.

В раздело 1.1.2 в качестве множества А/ принимается множество выпуклых на отрезке [а.Ь\ = X функций г(х). ограниченных снизу и сверху константами С' и Си. Приводится теорема о том, что если [7,с] С (а,Ь) —произвольный фиксированный отрезок, ^„ — произвольный элемент из . где г)т —> 0 при т —* оо, то {гт(х)} сходится к г(х) равномерно на [7, сг] при т —* оо.

В разделе 1.1.3 доказывается равномерная сходимость функций гт{х) е где т]т —> 0 при т —> оо. на [а, Ь] к точному решению г{х) € М, М — множество функций с известной константой Липшица.

В §2 рассматриваются функции с ограниченными областями определения в п-мерном евклидовом пространстве К".

В разделе 1.2.1 вводится понятие множества 12 С К", выпуклого вдоль всех прямых, параллельных осям координат 1акою, что уг €

Функция г(х), заданная на множестве П, выпукла вдоль всех прямых, параллельных г-И, оси координат, если Ух\,х2 € П, где

УЛ е (0,1): г{\%1 + (1 — Х)х2) < Хг(х1) + (1 — А)г(х2) Меняя знак неравенства, получаем определение функции, вогнутой вдоль всех прямых, параллельных г-й оси координат.

задано множество

М ограниченных функций г(х), которые выпуклы вдоль всех прямых, параллельных первым осям координат, и вогнуты вдоль всех прямых, параллельных (п — п*) оставшимся осям координат.

Теорема 2 [19]: Пусть \\zjn — г||£п(П) ~> 0 пРи т 00• Р >

^ £ М и О, — открытое ограниченное множество Тогда последовательность {гт} сходится к х равномерно в С (у), где V —любое замкнутое подмножество множества Г2.

В разделе 1.2 2 в качестве множества М рассматривается множество функций z(x), выпуклых на выпуклом множестве и ограниченных снизу и сверху константами

Теорема 3: Пусть Цгт-Щип) 0 при т оо, ¿де.р> 1, гт,г е М

и П — открытое ограниченное множество Тогда последовательность {г-щ} сходится К г равномерно в С(у), где V любое замкнутое подмножество множества Г2,

Во второй главе диссертации приводится общая схема нахождения погрешности решения линейных некорректных задач на компакт-пых множествах, рассмотренных в первой главе.

В §1 исходное уравнение (1) записывается в виде линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода

Делаются предположения о свойствах данного интегрального уравнения.

1. Существуют точные г{х) и удовлетворяющие (3).

2. Вместо точного ядра К(£,х) даны К1(£,х), Ки(£,х) и числа К~,

3. Вместо точной правой части й(£) уравнения (3) заданы векторы

5. Если г = (г1____,г")—вектор сеточных значений функции 2(ж) 6

М. т. е. г1 — г(х{), г = 1.га, то существуют функции д}(х), д1и(х),

6. Если функция г(х) принадлежит некоторому компактному множеству М, то вектор г принадлежит выпуклому многограннику Л/.

После конечномерной аппроксимации исходной задачи находим, что все ограничения могут быть записаны в форме матричного неравенства ^

где V — (г.щ) = (г1,.. ____»и™)- ш — ¿-вектор, С кх (п + т)-

матрица, которая может быть записана в виде

/л, л п 0 ^

С

/п /21

Л, д Л,+1.1

/¿1+771,1

Л1+т+1.1

\ /¿1+2/0,1

Лп

/2п

О

о

Л,.п о

/¿1 + 1,71 ~1

/¿1+т.т) О Л,+т+1.п ^

О

о о

-1

0

1

/к:+2т.п 0 ... 1 у

Если же ж* е О — произвольная точка, пе принадлежащая сетке X и г* = г(х*), то можно построить матрицу С* и вектор ю* для г)* = (г1,____г™, г*, и1,..., ит) (б*г)* ^ го*) аналогично С и го для V.

В §2 рассматривается задача нахождения априорной погрешности решения исходной задачи (3). По заданному вектору йц. подставленному в вектор V или V*. получаем неравенства

Неравенства (4) задают некоторые выпуклые многогранники 2^ И 2^ соответственно.

Множество определенное в (2), зависит от Ад, щ. к и 5 т. с.

= Оценка погрешности обычно понимается как

диаметр множества приближенных решений Таким образом, погрешность может быть введена как функция

Оценка диаметра множества в пространстве /^(-О) сводится к оценке диаметра множества в конечномерном евклидовом пространстве или к задаче максимизации некоторой выпуклой функции на выпуклом многограннике {£ : Рг ^ ¿}.

Для нахождения оценки погрешности можно использовать вершины соответствующего конечномерного множества которые для задач не очень большой размерности можно находить с помощью метода отсечения выпуклых многогранников, описанном в §4 второй главы.

Оценку погрешности можно понимать и как оценку погрешности в каждой точке области определения решения, т. е. как задачу нахождения функций :г1(х) и 2,и(х), ограничивающих множество приближенных решений снизу и сверху: г'(х) ^ г(х) ^ ъи{х) на множестве И. В этом случае под оценкой погрешности приближенного решения ^(х) подразумевается функция которая для каждой точки

области определения записывается в виде

а^А^щЛ.б.х) = 8ир{|гх(а:) - г2{х)\ : €

Отметим, что в определениях щ. К. 8) и о(А/,.гц. к, 5.x) множе-

ство к, 5) определено для всех г е М. Аг — й и А^, щ таких,

что \\А,,-А\\ ||ив-«||

Пусть точка тогда значения функ-

ций равны соответственно минимальному и максимально-

му значениям координаты вектора Таким образом, для

решения этой задачи необходимо найти минимальное и максимальное

значения линейной целевой функции на выпуклом многограннике т е. решить задачу линейного программирования. Если же точка не совпадает ни с одной из точек сетки X, то необходимо найти минимальные и максимальные значения т. с. опять же решить задачу линейного программирования на выпуклом многограннике

На основе определений априорных погрешностей вводятся понятия соответствующих максимальных априорных погрешностей как

для априорной погрешности по норме решения и

для погрешности в каждой точки X £ И области определения решения. Показывается, что для нахождения максимальной априорной погрешности необходимо решить задачу максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве.

В §3 описывается методом отсечения выпуклых многогранников (МОВМ), применявшийся для нахождения погрешностей решения различных задач в [1.2. С-15]. В этом методе предлагается алгоритм для нахождения пересечения выпуклого многогранника с полупространством.

Выпуклый многогранник можно рассматривать как пересечение полупространств, ограниченных плоскостями. Гранью выпуклого многогранника называется пересечение данного многогранника с одной из плоскостей, его образовавшей. Ребром выпуклого многогранника называется отрезок

если любая внутренняя точка х отрезка Х1Х2 является граничной точкой для всех граней многогранника, содержащих данную точку.

Лемма 1: Отрезок Х\Х2, соединяющий вершиных\ и Х2 выпуклого многогранника W, является ребром этого многогранника тогда и только тогда, когда для любой внутренней точки х отрезка Х1Х2 и любых двух точек х\, ¿2 € IV, не лежащих на отрезке Х\Х2, точка х не принадлежит отрезку, соединяющему точки х\ их2-

Теорема 4: Для того чтобы вершины х\ иХ2 выпуклого многогранника W соединялись ребром этого многогранника, необходимо и достаточно, чтобы для любой вершины многогранника W. не совпадающей с вершинами множество плоскостей, проходящих через данную

вершину, не содержало всех плоскостей, общих для точек

Обратимся непосредственно к МОВМ. Пусть необходимо построить пересечение Wq+\ многогранника Й^ с полупространством. Для построения многогранника достаточно координат всех вершин многогранника Но для более эффективного построения многогранника 1У9+1 считаем, что все. грани и вершины занумерованы и о Wq известны:

• координаты всех его вершин:

• номера граней, которым принадлежит любая вершина;

• номера вершин, с которыми любая вершина соединяется ребром.

В зависимости от положения вершины многогранника И^ относительно полупространства, пересечением с которым многогранник образует многогранник ее можно отнести к одной из трех групп

точек:

• точка отсечения (вне полупространства),

• граничная точка (на его границе),

• внутренняя точка (внутри полупространства).

При пересечении многогранника с полупространством могут образоваться новые точки, т. с. точки, полученные пересечением ребер, соединяющих пару внутренняя точка —точка отсечения, и плоскости, пересечением с которой многогранник образует многогранник Й^+х. Рассматриваемые, точки наряду с внутренними и граничными точками составляют все вершины многогранника И^+ь

Рассмотрим новые и граничные точки и определим, с какими точками они соединяются ребрами. Граничные точки, которые соединялись ребрами с граничными или внутренними точками, будут соединяться с соответствующими вершинами и в Каждая новая точка будет со-

единяться ребром с одной внутренней точкой из соответствующей пары внутренняя точка —точка отсечения. Найдем пары точек, которые соединяются ребрами, только среди граничных и новых точек. Для каждой пары найдем число общих плоскостей и их номера, при этом новая плоскость не считается. Если это число меньше (п — 2), то рассматриваемая пара ребром в многограннике не соединяется. Если же оно не меньше то, рассмотрев все остальные граничные и новые

точки, определим существует ли такая вершина, которая также принадлежит этим общим плоскостям. Если такой вершины не существует, то рассматриваемая пара вершин соединяется ребром, в противном случае не соединяется.

Описанный в §3 метод отсечения выпуклых многогранников применяется в §4 при численном решении обратной задачи катодо люминесцентной микротомографии. После конечномерной аппроксимации задача нахождения апостериорной погрешности сводится к задаче нахождения диаметра пересечения двух эллипсоидов. Как известно, эллипсоид можно аппроксимировать с любой заданной точностью описанным многогранником. Поэтому построив с помощью МОВМ этот многогранник, перебором вершин можно найти его диаметр, а также найти точечную апостериорную погрешность, что и было продемонстрировано.

В §5 для монотонных, выпуклых функций, а также функций с известными константами Липшица и в §6 для функций, выпуклых вдоль осей координат и выпуклых на всем множестве определения, описываются алгоритмы конечномерной аппроксимации для (3) и нахождения погрешностей решения. Для сеточных значений выпуклых двумерных функций предлагается и обосновывается алгоритм построения неравенств-, определяющих выпуклый многогранник М априорных ограничений.

Третья глава диссертации посвящена примерам решения линейных некорректных задач на некоторых компактных множествах с использование программного комплекса. В §1 решается задача Коши для уравнения Лапласа в прямоугольнике и кольце. В §2 рассматривается уравнение теплопроводности на отрезке с нулевыми граничными условиями

Полагается г(х) = ю(х.О), и(х) — ии(х,т). Тогда задачу нахождения может быть записана в виде интегрального уравнения (3) с ядром

рассматриваемом на множестве Т X Б = [0,1] х [0,1]. Задача решается для точных оператора и правой части. При этом априорная погрешность решения задачи связана с погрешностью конечномерной аппроксимации, зависящей от параметров (см. рис. 1).

В этом же параграфе решается обратная задача для уравнения теплопроводности в двумерной области.

ОС

К(£. х) — ят(7г&х) ехр {—к2т).

к—1

' ж = & + ххуЕИлеЦт

ы{0, у. {)=(), Ц<*1.уЛ) = 0.

ь){х, О, V) — 0, ■ш{х,й<2-Ь) = О,

1,0

аМ

0,8

0,6

0,2

0,4

0,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8 х 1,0

Рис. 1. Максимальная априорная погрешность а(х) на отрезке [0,1]

для различною числа точек на сетке для функции г(х): п = 5 (---),

71 = 11 (---- -), п — 21 (-) и п = 31 (.......) (число точек для

м(.т) т = 21, г = 0,5).

= [0.<¿1]х[0.£¿2], г(х,у) = ш(х.у,0),и(х,у) = у)(х,у,Т),0 < Т < +оо.

Задача (5) решается на множестве функций, вогнутых вдоль осей

0,0 и С" — 1,2. На рис. 2 показана функция ги(х.у), ограничивающая множество приближенных решений сверху для случая ¡¿(х.у) = эт^о;)-зт(тгу), точной правой части й(£. г]) и Т = 0-01. Найдено \\ги — г1\\ — 0,212 (« 0,424 • ||г||).

В §3 решается обратная задача для уравнения теплопроводности с нулевыми начальными условиями:

Пусть Ц0.£) = г(1) € Ь2[0, Т], ш(1Л) = и(£) е /,2[0,Г]. Тогда задачу нахождения функции г(1) по функции и(1) можно записать в виде интегрального уравнения

абсцисс и ординат и ограниченных снизу и сверху константами С1 =

Рис. 2. Функция г"(х.у), ограничивающая множество приближенных решений

Сравнивается априорная погрешность при различной информации о точном решении £(<) на отрезке [0,7'] (вогнутая функция; неубывающая функция; неубывающая и вогнутая функция)

Также в §3 на множестве вогнутых функций решается двумерное интегральное уравнение с вырожденным ядром

Задаче реконструкции симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях посвящен §4 Методика измерений заключается в регистрации разницы времен распространения ультразвуковых сигналов, генерируемых парой излучателей, закрепленных на некотором расстоянии друг от друга на стенках измерительного канала В присутствии потока время регистрации ультразвукового сигнала, распространяющегося в направлении потока, сокращается по сравнению с аналогичной величиной импульса, генерируемого в противоположном направлении. Фиксируемая таким образом разница во временах распространения позволяет вычислить среднюю скорость, пропорциональную интегралу вдоль прямой линии от двумерного распределения аксиальной компоненты вектора скорости жидкости или газа. Для радиально-симметричного распределения скоростей реконструкция двумерного распределения скоростей сводится к решению уравнения типа

Абеля. Рассматривается безвихревое движение жидкости в канале в направлении оси канала, т. е. V = {0,0. ьг(х, у)}. Предполагается осевая симметрия распределения вектора скорости, у2(х,у) = иг(\/х2 + у2) = уг(г). Тогда средняя скорость потока в измерительной плоскости, расположенной на расстоянии £ 6 [0, И) от оси канала, определяется по формуле

С4(0 = . } „ ^О ^ О Л'* * € [0; И] .

^я?-ек уф—?

По определению, = 0. Обозначив и(£) —

«(Д) = о

и г(г) = у2(г), получаем уравнение Абеля

«(0 = Аг(т) = Г 9дг, 0 < ^ г < Я.

Л V' - £

В качестве пространств Z и и рассматриваются пространства Ь2[0,Л]. Задача решается на множестве монотонных функций.

В §5 описывается программный комплекс, созданный для численного решения задач нахождения решения, а также априорных и апостериорных оценок погрешности приближенного решения. Комплекс написан на языке программирования БогНап 90. Все программы выпи написаны с использованием вещественных чисел двойной точности. Ядро программного комплекса имеет следующую структуру:

• Блок чтения входных данных. В этом блоке происходит чтение и проверка входных данных из файла.

• Блок формирования начальных данных. Формирование начальных векторов и матриц априорных ограничений.

• Блок решения.

• Блок вывода.

Блок решения в зависимости от выбора пользователя может использовать при решении задач линейного программирования стандартные программные комплексы (например, симплекс-метод) или различные варианты метода отсечения выпуклых многогранников.

Для удобства работы пользователя с данным программным комплексом был создан интерфейс в среде Microsoft Developer Studio, которая позволяет создавать приложения, написанные на нескольких языках программирования и предназначенные для работы в 32-разрядной операционной системой Windows. В качестве языков программирования использовались Fortran 90 и Visual C + + 7.0.

Программный интерфейс построен как "Мастер"-приложение, т. е. вся программа разделена на несколько шагов, которые пользователь должен последовательно пройти:

• выбор решаемой задачи.

• выбор компактного множества и формирование сеток,

• вычисление погрешностей,

• нахождение приближенного решения.

• построение множества приближенных решений.

На каждом этапе работы пользователь может воспользоваться разделом '"Помощь" и разрешить появившиеся у него вопросы.

В качестве результата работы программы пользователь может:

1. выбрать файл, в который будет записана все необходимая информация о решении, погрешностях, времени работы программы;

2. построить график с решением и областью, которой принадлежит любое приближенное решение задачи;

3. сохранить построенный график в формате .bmp (растровый рисунок) или .eps (векторный рисунок).

Программный комплекс содержит подпрограммы, которые могут работать независимо друг от друга (например, подпрограммы для вычисления точечных (апостериорных или априорных) погрешностей для различных точек области определения решения Поэтому программный комплекс содержит в себе блоки, которые могут быть распараллелены при решении задач на многопроцессорных компьютерах так, чтобы независимые части программы работали как отдельные процессы на разных процессорах компьютера.

При создании модификации программного комплекса, предназначенного для работы на кластере в Научно-исследовательском вычислительном центре МГУ, использовалась библиотека MPI (Message Passing Interface). Кластер построен на базе двухпроцессорных узлов с процессорами Pentium III (частота процессора — 500 Mhz. оперативная память для узла—4 модуля DIMM по 256 Mb). Узлы объединены в двумерную решетку с помощью сети SCI В качестве служебной сети используется Fast Ethernet.

При этом программа модифицировалась следующим образом: выделялся один основной процесс который работал с нераспараллелива-емой частью программы и который перенаправлял задачи другим процессам, когда программа достигала распараллеливаемой части.

Для модифицированного программною комплекса оказалось, что время нахождения точечных погрешностей с большой точностью обратно пропорционально так как основной процесс не учасчвует в работе распараллеливаемых программ), где число используемых процессоров

Автор хотел бы выразить свою искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Григорьевичу Яголе за постоянное внимание к рабою и совместное обсуждение полученных результатов.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Два подхода к оценке погрешности линейных некорректных задач на компактных множествах специальной структуры. В «Ill-posed and non-classical problems of mathematical physics and analysis. Programme and Book of Abstracts. Samarkand, Uzbekistan, September 11-15, 2000», Самарканд, 2000, с. 80-81.

[2] Николаева Н. Н., Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Оценка погрешности линейных некорректных задач при наличии априорной информации на примере обратной задачи для уравнения теплопроводности. В «Обратные и некорректно поставленные задачи (тезисы докладов конференции). Москва, факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ, 20-21 июня 2000 года», М.: МАКС Пресс, 2000. с. 57.

[3] Титаренко В. Н., Ягола А Г. Метод отсечения выпуклых многогранников и его применение к некорректным задачам // Вычислительные методы и программирование, 2000, т. 1. № 1. с. 10-15.

[4] Титаренко В. Н . Ягола А.Г. Николаева Н Н. Оценка погрешности некоторых задач Коши для уравнения Лапласа Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2001, Ш 1, с. 21-24.

[5] Титаренко В. Н , Ягола А Г. Равномерное приближение к точному решению некорректных задач на множестве монотонных функций // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2001, № 6, с. 25-27.

[6] Титаренко В. Н. Применение метода отсечения выпуклых многогранников к некорректным задачам. В «Тезисы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2001". Секция "Физика", Москва, МГУ, физический факультет, 11 апреля 2001 г.». М.: МГУ, 2001, с. 61-63.

[7] Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Априорная и апостериорная оценка погрешностей некорректных задач на некоторых компактных множествах. В «Обратные и некорректно поставленные задачи: VII конф., посвященная памяти академика А. Н. Тихонова в связи с 95-летием со дня рождения: М.. МГУ им. М. В. Ломоносова. 26-28 июня 2001 года: Тезисы докладов», М.: МАКС Пресс. 2001, с. 80.

[8] Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Алгоритм оценки погрешности некорректных задач на компактных множествах. В «Обратные и некорректные задачи прикладной математики: Труды XII Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения", Иркутск, Байкал. 24 июня - I июля 2001 г.». т. 4, Иркутск: Изд-во И СЭМ СО РАН. 2001. с. 189-193.

[9] Yagola A, Leonov A , Titarenko V. Ill-posed problems and a priori information. In «Inverse Problems in Engineering Mechanics III. International Symposium on Invcise Pioblems in Engineering Mechanics 2001 (ISIP 2001). Nagano, Japan (eds. Tanaka M., Dulikravich G.)», Elsevier, 2002, pp. 235 244.

[10] DorofeevK.Yu.. Nikolaeva N.N.. TitarenkoVN, Yagola A. G. New approaches to error estimation to ill-posed problems with applications to inverse problems of heat conductivity //J. of Inverse and Ill-posed Problems, 2002, v. 10, № 2. pp. 155 170.

[11] Titarenko V. N., Yagola A G. Cauchy problems for Laplace equation on compact sets // Inverse Problems in Engineering, 2002. v. 10, № 3. pp. 235 254.

[12] Titarenko V. N., Yagola A G. Error estimation for ill-posed problems on some sourcewise represented or compact sets. In «Ill-posed and Inverse Problems. Dedicated to Academician Mikhail Mkhailovich Lavrentiev on the Occasion of 70th Birthday (eds. Romanov V. G., Kabanikhin S. I., AnikonovYu. E, Bukhgeim A. L)», Utrecht: VSP, 2002, pp. 425-442.

[13] Yagola A. G., LeonovA.S., Titarenko V. N. Data errors and an error estimation for ill-posed problems // Inverse Problems in Engineering, 2002, v. 10, № 2, pp. 117 129.

[14] Yagola A. G.. Titarenko V. N. A posteriori error estimation for ill-posed problems on some sourcewise represented or compact sets. In «International conference "Ill-posed and Inverse Problems" dedicated to Professor M. M. Lavrentiev on the occasion of his 70th anniversary. August 5-9. 2002. Abstracts». Novosibirsk: Sobolcv Institute Press, 2002, p. 172.

[15] Yagola A. G., Titarenko V. N. Numerical methods and regularization techniques for the solution of ill-posed problems. In «Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice (ed. Orlande H. R. B.)». v. 1. Rio de Janeiro. E-papcrs, 2002, pp. 49-58.

[16] Дорофеев К. Ю.. Титаренко В. Н , Ягола А Г. Алгоритмы построения апостериорных погрешностей для некорректных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003, т. 43, № 1, с. 12-25.

[17] Николаева Н. Н., Титаренко В. Н., Ягола А Г. Оценка погрешности решения уравнения Абеля на множествах монотонных и выпуклых

функций // Сибирский журнал вычислительной математики, 2003, т. б, № 2, с. 171 -180.

[18] Titarenko V. N.. Yagola A. G. The problems of linear and quadratic programming for ill-posed problems on some compact sets // J. of Inverse and Ill-posed Problems, 2003, v. 11, № 3, pp. 311-328.

[19] Titarenko V., Yagola A Linear ill-posed problems on sets of functions convex along all lines parallel to coordinate axes. In «Inverse Problems in Engineering Mechanics IV. International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003 (ISIP 2003). Nagano, Japan (ed. Tanaka M.)», Elscvier, 2003. pp. 437-446.

[20] Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Решение линейных некорректных задач на множествах выпуклых функций с двумерными областями определения. В «Обратные и некорректно поставленные задачи: VIII конференция: Москва. Воробьевы горы, МГУ им. М. В. Ломоносова. ВМиК, 10-11 июня 2003 г.: Тезисы докладов». М.: МАКС Пресс, 2003, с. 61.

[21] Николаева Н. Н., Рычагов М Н.. Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Оценка погрешности реконструкции симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях Журнал вычислительной математики и математической физики, 2004, т. 44, № 1, с. 23-34.

[22] Nikolaeva N.N., Titarenko V. N.. Yagola A G A posteriori error estimation for a solution of an Abel equation on some compact sets // Numerical Functional Anahsys and Optimization, 2004, v. 25, № 3-4, pp. 259-269.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж |2.0 экз. Заказ № 7'О

»22 55 8

Введение

Глава 1. О сходимости приближенных решений линейных некорректных задач на некоторых компактных множествах

1.1 Одномерные функции.

1.1.1 Монотонные функции.

1.1.2 Выпуклые функции.

1.1.3 Функции с известными константами Липшица.

1.2 Многомерные функции

1.2.1 Функции выпуклые или вогнутые вдоль осей координат

1.2.2 Выпуклые функции.

Глава 2. Общая схема нахождения погрешности решения линей-9 ных некорректных задач на некоторых компактных множествах

2.1 Конечномерная аппроксимация.

2.2 Априорная оценка погрешности решения.

2.3 Метод отсечения выпуклых многогранников.

2.4 Метод расширяющихся компактов и обратная задача катодо-люминесцентной микротомографии

2.5 Одномерные функции.!.

2.5.1 Монотонные функции.

2.5.2 Выпуклые функции.

2.5.3 Функции с известными константами Липшица.

2.6 Многомерные функции

2.6.1 Функции выпуклые или вогнутые вдоль осей координат

2.6.2 Выпуклые функции.

Глава 3. Примеры решения линейных некорректных задач на некоторых компактных множествах

3.1 Задача Коши для уравнения Лапласа.

3.1.1 Декартова система координат.

3.1.2 Задача Коши в кольце.

3.2 Первая обратная задача для уравнения теплопроводности

3.3 Вторая обратная задача для уравнения теплопроводности

3.4 Реконструкция симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях.

3.5 Программный комплекс.

Актуальность темы диссертации. Многие задачи современной физики являются обратными задачами. К сожалению, все реальные задачи зависят от погрешностей входных данных. Более ста лет назад считалось, что только задачи с решениями, устойчивыми по отношению к возмущениям входных данных, имеют физический смысл. Все же остальные задачи — просто математические абстракции. Именно поэтому для различия "реальных" и "искусственных" задач Ж. Адамар ввел понятие корректной (корректно поставленной) задачи как задачи, решение которой существует, единственно и устойчиво к ошибкам входных данных [1]. Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из этих трех условий, называется некорректной.

В дальнейшем было показано, что некорректные задачи не только существуют, но и составляют значительную часть всех обратных задач. Типичным примером некорректной задачи является линейное операторное уравнение первого рода с вполне непрерывным оператором. В этом случае могут нарушаться все три условия корректности.

Академиком А. Н. Тихоновым в 60-х годах прошлого века была заложена теория решения некорректных задач, основанная на понятии регуляризи-рующего алгоритма [2,3] как способа приближенного решения некорректной задачи. После основополагающих работ А. Н. Тихонова [2-7], М. М. Лаврентьева [8,9] и В. К. Иванова [10-13] теория некорректных задач была развита многими учеными в применении к разным областям науки и техники. Некоторые результаты работы отечественных и зарубежных ученых представлены в [14-41].

Некорректные задачи по своей сути являются недоопределенными задачами. Поэтому информация о структуре решения, естественных ограничениях на его поведение, применяющаяся при решении корректных задач, становится крайне важной при решении некорректных задач. Если же такой информации крайне мало, то для решения задачи регуляризирующий алгоритм не может быть построен.

Рассмотрим линейную некорректную задачу, записанную в виде операторного уравнения

Az = u, z£Z,ueU, (Bl) где Z, U — линейные нормированные пространства, а А : Z —» U — линейный непрерывный оператор. Вместо точных оператора А и правой части й уравнения (В1) имеются приближенные оператор А^ и правая часть щ такие, что ||А^ — А\\ < h, ||г^ — г£|| < S, г) = (h,6). По входным данным {Аь,щ,г}} необходимо построить регуляризирующий алгоритм R{Ah,u&, 77), т. е. указать правило нахождения приближенного решения z^ = R(Ah,us,r)) такое, что ||^ — г|| —> 0 при 77 —> 0, где z — точное решение уравнения (В1).

При практическом решении задач интересно не только приближенное решение zv, построенное с помощью регуляризирующего алгоритма, но и оценка его близости к точному решению. Приведем некоторые результаты, полученные В. А. Винокуровым в работах [42,43]. Для простоты считаем, что оператор в (В1) известен точно, т. е. А^ = А. Точность приближенного решения z$ = R(u$,5) задачи (Bl) рассматриваем как некоторую функцию погрешности 6: z5-z\\^K^z), (В2) где К не зависит от <5, а функция <p(S, z) определяет скорость сходимости z§ к z. Следует различать точечные и равномерные оценки погрешностей решений. Неравенство (В2) записано для случая точечной оценки. В случае равномерной оценки функция <р(6, z) в неравенстве (В2) должна быть заменена функцией </?(£), зависящей от некоторого множества М точных решений z.

Пусть А : Z —► U — линейный непрерывный инъективный оператор, Z — банахово пространство, a U — линейное нормированное пространство. Предположим, что обратный оператор Л-1 неограничен на области определения D(A~1). Считаем, что <р(6) — некоторая положительная функция такая, что ф(8) —> 0 при 8 —> 0. Пусть R — некоторой метод решения задачи. Тогда следующее равенство выполняется для всех элементов z кроме, быть может, множества первой категории в пространстве Z:

Здесь A(R, S, z) = supdl-R^, £) — z\\ : щ G U,\\Az — щ\\ < <5} —точечная характеристика погрешности для метода R. Видно, что равномерная оценка погрешности может существовать только на множестве первой категории в Z.

Примером множества первой категории является компактное множество в банаховом пространстве. В этом случае можно использовать специальные регуляризирующие алгоритмы для нахождения приближенного решения [31,38,44] и становится возможным построение равномерной погрешности решения.

Из написанного выше следует, что равномерная оценка погрешности решения существует только для задач, по своей сути являющимися корректными. Для некорректных задач в общем случае невозможно не только построить погрешность приближенного решения но и даже оценить скорость его сходимости к точному z.

Целью диссертации являются:

1. создание новых математических методов для оценки апостериорной и априорной погрешностей решения на множествах специальной структуры (на множествах монотонных, выпуклых функций и функций с известными константами Липшица — для ограниченных функций с одномерными областями определения; на множествах функций, выпуклых на всей области определения, и функций, выпуклых или вогнутых вдоль всех прямых, параллельных осям координат, — для ограниченных функций с многомерными областями определения);

2. обобщение результатов, полученных ранее для одномерных выпуклых функций, на многомерные функции, выпуклые на всем множестве определения или вдоль осей координат;

3. создание программного комплекса для нахождения приближенных решений одномерных и двумерных уравнений Фредгольма первого рода и для оценки погрешностей найденных решений на множествах функций, перечисленных ранее;

4. применение разработанных алгоритмов к задаче реконструкции симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях в акустике, к обратной задаче катодолюминесцентной микротомографии, к обратной задаче для уравнения теплопроводности, к задаче Коши для уравнения Лапласа.

Методика исследования базируется на основных положениях теории решения некорректных задач, функционального анализа, выпуклого анализа, • математического программирования.

Научная новизна и практическая значимость. Равномерная сходимость приближенного решения к точному для множества монотонных функций впервые доказывается для счетного числа отрезков, не содержащих концы области определения точного решения и его точек разрыва. Также впервые доказывается равномерная сходимость приближенных решений и строятся условия на сеточные значения для функций, выпуклых или вогнутых вдоль осей координат, а также для выпуклых функций на многомерных областях определения. Разработанные в работе алгоритмы оценивания погрешностей решения некорректных задач на компактных множествах могут быть использованы в широких областях (например, в томографии, геофизике, астрофизике, спектроскопии), так как рассматриваемые компактные множества очень часто встречаются при решении обратных задач. Функции, ограничивающие множества приближенных решений сверху и снизу, позволяют гарантировано найти область, которой принадлежит точное решение, если оно существует. В связи с развитием вычислительной техники обобщение использованных ранее методов решения некорректных задач с одномерных на многомерные области определения позволяет численно решать многомерные задачи, решение которых ранее было технически невозможно.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем.

1. Предложен и реализован в виде комплекса программ алгоритм для решения и оценки априорных погрешностей решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода при условии, что точное решение является

• ограниченной монотонной, выпуклой функцией или функцией с известными константами Липшица на отрезке [а, 6];

• ограниченной функцией, выпуклой или вогнутой вдоль осей координат, или ограниченной выпуклой функцией на всей многомерной области определения.

2. Для рассматриваемых функций доказана равномерная сходимость последовательности приближенных решений к точному решению на некоторых подмножествах области определения решения при стремлении погрешностей входных данных к нулю. В случае, если точное решение является

• монотонной ограниченной функцией на отрезке [а, Ь], то сходимость имеет место на произвольном множестве, являющемся конечным или счетным объединением замкнутых отрезков, не содержащих точек разрыва функции z(x), а также точек а и Ь;

• ограниченной функцией, заданной на открытом ограниченном множестве Q С Mn, п ^ 2, и являющейся выпуклой или вогнутой вдоль осей координат (или выпуклой на всем множестве).

3. Предложен и обоснован алгоритм для нахождения неравенств, определяющих множество априорных ограничений на сеточные значения для двумерных выпуклых функций.

4. Предложенный алгоритм применен для нахождения решения и оценки погрешностей в задаче реконструкции симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях в акустике, в обратной задаче катодолюминесцентной микротомографии, в обратной задаче для уравнения теплопроводности, в задаче Коши для уравнения Лапласа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре "Обратные задачи математической физики", проводящемся в НИВЦ МГУ под руководством профессоров А. Б. Бакушинского, А. В. Тихонравова и А. Г. Яголы, на конференциях "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, факультет ВМиК МГУ, 20-21 июня 2000 г., 26-28 июня 2001 г., 10-11 июня 2003 г.), "Ill-posed and non-classical problems of mathematical physics and analysis" (Узбекистан, Самарканд, 11-15 сентября 2000 г.), "Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 11 апреля 2001 г.), "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, Байкал, 24 июня - 1 июля 2001 г.), "Ill-posed and Inverse Problems" (Новосибирск, 5-9 августа 2002 г.), "International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003" (Япония, Нагано, 18-21 февраля 2003 г.), на семинарах программы "Inverse Problems: Computational Methods and Emerging Applications" (Institute for Pure and Applied Mathematics, University of California at Los Angeles, Лос-Анджелес, США, 8 сентября - 12 декабря 2003 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 печатных работы (из них 16 статей в журналах и трудах конференций, 6 тезисов конференций). Ссылки на работы приведены в списке литературы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе рассматривается решение уравнения (В1) при условии, что точное решение z принадлежит компактному множеству. Предполагается, что имеется некоторая последовательность приближенных решений такая, что ||zm — z\\lp(Q) -> 0 ПРИ га —> оо (р > 1, fi С Rn — ограниченное множество). В качестве компактных множеств рассматриваются одномерные (монотонные, выпуклые, с известными константами Липшица на отрезке [а, Ь] = Q) и многомерные (выпуклые и вогнутые вдоль осей координат, выпуклые на всей области определения О) функции. Доказывается равномерная сходимость приближенных решений на некоторых подмножествах областей определения решений. Для монотонных функций — это конечное или счетное объединение всех отрезков, не содержащих концы области определения точного решения и его точек разрыва. Для выпуклых функций — любой замкнутый отрезок, не содержащий концов области определения решения. Для функций с известными константами Липшица — вся область определения. В многомерном случае в качестве области определения решения рассматривается ограниченное открытое множество. Доказывается, что для упомянутых выше подмножеств любое замкнутое подмножество области определения можно рассматривать как область равномерной сходимости.

Во второй главе диссертации предлагается алгоритм для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода и оценки априорной (обычной и максимальной) погрешностей его решения. В результате конечномерной аппроксимации переходим к задаче нахождения минимальных и максимальных значений приближенного решения в точках сетки или к задаче нахождения диаметра выпуклого множества. При этом ограничения на сеточные значения образуют выпуклый многогранник. Указывается алгоритм построения неравенств, определяющих многогранник априорных ограничений для компактных множеств из первой главы. Для построения данного многогранника предлагается метод отсечения выпуклых многогранников (МОВМ), позволяющий строить пересечения выпуклых многогранников с полупространствами. Рассматривается обратная задача катодолюминесцентной микротомографии, для которой находится апостериорная погрешность решения с использованием метода расширяющихся компактов и МОВМ.

В третьей главе предложенный алгоритм для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода применяется к решению некоторых задач (задачи Коши для уравнения Лапласа, обратных задач для уравнения теплопроводности, задачи реконструкции симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях). Для рассматриваемых задач находятся приближенные решения, априорные (обычные и максимальные) погрешности, изучаются зависимости этих погрешностей от входных данных и параметров конечномерной аппроксимации. В конце главы приводится описание программного комплекса и его многопроцессорной реализации.

Объем диссертации —112 е., рисунков —30, наименований в списке литературы — 93.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена созданию алгоритмов, их теоретическому обоснованию, численной реализации и практическому применению для решения некорректных задач при наличии априорной информации о том, что точное решение принадлежит компактному множеству функций специального вида. Для компактных множеств можно не только построить приближенное решение, но и найти его апостериорные и априорные погрешности (как по норме, так и в каждой точке области определения). Нахождение функций, ограничивающих сверху и снизу все приближенные решения, а также погрешностей решений при численном решении обратных задач для уравнения теплопроводности, задач Коши для уравнения Лапласа и задачи реконструкция симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях продемонстрировало данное утверждение.

Доказательство равномерной сходимости приближенных решений к точному на некоторых подмножествах показывает, что функции, ограничивающие приближенные решения, стремятся к точному решению при стремлении погрешностей входных данных и аппроксимации к нулю. Построение же априорной погрешности и исследование ее зависимости от параметров задачи также подтверждает последнее утверждение.

Использование метода отсечения выпуклых многогранников позволяет находить погрешность решения не только для задач, решаемых на компактных множествах, но и для задач с информацией об истокообразной представимости точного решения.

Экстраполяция априорной погрешности на область большого числа точек сеток позволяет эффективно найти не только априорную погрешность, но и построить область допустимых решений для найденного приближенного решения. Такой способ нахождения погрешности решения более выгоден с вычислительной точки зрения, чем непосредственное построение функций, ограничивающих область допустимых решений.

Программный комплекс, основанный на алгоритмах, предложенных в диссертации, позволяет решать интегральные уравнения Фредгольма первого рода на компактных множествах функций с одномерными и двумерными областями определения. Модификация данного комплекса позволяет также решать задачи и на многопроцессорных компьютерах, что дает возможность уменьшить время решения задачи в несколько раз.

Автор хотел бы выразить свою искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Григорьевичу Яголе за постоянное внимание к работе и совместное обсуждение полученных результатов.

1. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivers particlee linearies hyperbolique. Paris: Hermann, 1932.

2. Тихонов A. H. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады Академии наук СССР, 1963, т. 151, № 3, с. 501-504.

3. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно посталвенных задач // Доклады Академии наук СССР, 1963, т. 153, № 1, с. 49-52.

4. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады Академии наук СССР, 1943, т. 39, № 5, с. 195-198.

5. ТихоновА. Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода // Доклады Академии наук СССР, 1964, т. 156, № 6, с. 1296-1299.

6. Тихонов А. Н. О нелинейных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР, 1965, т. 161, № 5, с. 1023-1026.

7. Тихонов А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления // Доклады Академии наук СССР, 1965, т. 162, № 4, с. 763-765.

8. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР, 1959, т. 127, № 1, с. 31-33.

9. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

10. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах // Доклады Академии наук СССР, 1962, т. 145, № 2, с. 270-272.

11. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник, 1963, т. 61, № 2, с. 211-223.

12. Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1966, т. 6, № 6, с. 1089-1094.

13. Иванов В. К. Некорректные задачи в топологических пространствах // Сибирский математический журнал, 1969, т. 10, № 5, с. 1065-1074.

14. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

15. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

16. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.

17. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982.

18. Вайникко Г. М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Изд-во Тарт. гос. ун-та, 1982.

19. Федотов А. М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1982.

20. Бухгейм А. Л. Операторные уравнения Вольтерра. Новосибирск: Наука,1983.

21. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ,1984.

22. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

23. Гончарский А. В., Черепащук А. М., Ягола А. Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1986.

24. Вайникко Г.М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.

25. ТихоновА. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

26. Гилязов С. Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1987.

27. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

28. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

29. Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

30. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989.

31. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

32. Федотов А. М. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990.

33. Васин В. В., Агееев А. Л. Некорректные задачи с априоорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

34. Groetsch С. W. Inverse problems in the mathematical sciences. Braunschweig: Vieweg, 1993.

35. Кочиков И. В., Курамшина Г. М., Пентин Ю. А., Ягола А. Г. Обратные задачи колебательной спектроскопии. М.: Изд-во МГУ, 1993.

36. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.

37. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995.

38. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Я гол а А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

39. EnglH.W., Hanke М., NeubauerA. Regularization of inverse problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.

40. Лаврентьев M.M., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999.

41. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999.

42. Винокуров В. А. Регуляризуемые функции в топологических пространствах и обратные задачи // Доклады Академии наук СССР, 1979, т. 246, № 5, с. 1033-1037.

43. Винокуров В. А. О порядке погрешности вычисления функции с приближенно заданным аргументом // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1973, т. 13, № 5, с. 1112-1123.

44. Leonov A. S., Yagola A. G. Special regularizing methods for ill-posed problems with sourcewise represented solutions // Inverse Problems, 1998, v. 14, № 6, pp. 1539-1550.

45. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. СПб.: Лань, 1999.

46. Титаренко В. И., Ягола А. Г. Равномерное приближение к точному решению некорректных задач на множестве монотонных функций // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2001, № 6, с. 25-27.

47. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

48. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 1. М.: Наука, 1982.

49. Гончарский А. В., Ягола А. Г. О равномерном приближении монотонного решения некорректных задач // Доклады Академии наук СССР, 1969, т. 184, № 4, с. 771-773.

50. Гончарский А. В., Степанов В. В. Алгоритмы приближенного решения некорректно поставленных задач на некоторых компактных множествах // Доклады Академии наук СССР, 1979, т. 245, № 6, с. 1269-1299.

51. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1993.

52. Titarenko V. N., Yagola A. G. The problems of linear and quadratic programming for ill-posed problems on some compact sets // J. of Inverse and Ill-posed Problems, 2003, v. 11, № 3, pp. 311-328.

53. Дорофеев К. Ю., Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Алгоритмы построения апостериорных погрешностей для некорректных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003, т. 43, № 1, с. 12-25.

54. Васильев Ф. П., Иваницкий А. Ю. Линейное программирваоние. М.: Изд-во "Факториал", 1998.

55. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.

56. Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Метод отсечения выпуклых многогранников и его применение к некорректным задачам / / Вычислительные методы и программирование, 2000, т. 1, № 1, с. 10-15.т108

57. Yagola A. G., Leonov A. S., Titarenko V. N. Data errors and an error estimation for ill-posed problems // Inverse Problems in Engineering, 2002, v. 10, № 2, pp. 117-129.

58. Dorofeev K. Yu., Nikolaeva N. N., Titarenko V. N., Yagola A. G. New approaches to error estimation to ill-posed problems with applications to inverse problems of heat conductivity j j J. of Inverse and Ill-posed Problems, 2002, v. 10, № 2, pp. 155-170.

59. Titarenko V. N., Yagola A. G. Cauchy problems for Laplace equation on compact sets // Inverse Problems in Engineering, 2002, v. 10, № 3, pp. 235254.

60. Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Два подхода к оценке погрешности линейных некорректных задач на компактных множествах специальной структуры.

61. В «Ill-posed and non-classical problems of mathematical physics and analysis. Programme and Book of Abstracts. Samarkand, Uzbekistan, September 1115, 2000», Самарканд, 2000, с. 80-81.

62. Yagola A. G., Titarenko V. N. Numerical methods and regularization techniques for the solution of ill-posed problems. In «Inverse Problemsin Engineering: Theory and Practice (ed. Orlande H. R. B.)», v. 1, Rio de Janeiro, El-papers, 2002, pp. 49-58.

63. Ягола А. Г., Дорофеев К. Ю. Метод расширяющихся компактов решения некорректных задач при условии истокопредставимости // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 1999, № 2, с. 64-66.

64. Домбровская И. H., Иванов В. К. К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах // Сибирский математический журнал, 1965, т. 6, № 3, с. 499-508.

65. Винокуров В. А., Гапоненко Ю.Л. Апостериорные оценки решений некорректных обратных задач // Доклады Академии наук СССР, 1982, т. 263, № 2, с. 277-280.

66. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

67. Дорофеев К. Ю., Pay Э. И., Сеннов Р. А., Ягола А. Г. О возможности като-долюминесцентной томографии // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2002, № 2, с. 73-75.

68. Dorofeev К., Yagola A., Rau E. Inverse problems of cathodoluminescence microtomography. In «Abstracts. ISIP 2003. International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003. 18-21 February 2003, Nagano City. Japan», 2003, pp. 11-12.

69. Дорофеев К. Ю. Метод решения некорректно поставленных задач при условии истокообразной представимости точного решения и его применение к задаче катодолюминесцентной микротомографии. Дис. . канд. физ.-мат. наук, М., 2004.

70. Reinhardt H.-J., Houde Han, Dinh Nho Нёо. Stability and regularization of щ a discrete approximation to the Cauchy problem for Laplace's equation //

71. SIAM J. Numer. Anal., 1999, v. 36, № 3, pp. 890-905.

72. Berntsson F., Elden L. Numerical solution of a Cauchy problem for the Laplace equation, Tech. rep., Department of Mathematics, Linkoping University, 2000, technical report LiTH-MAT-R-2000-22.

73. Титаренко В. H., Ягола А. Г., Николаева Н. Н. Оценка погрешности некоторых задач Коши для уравнения Лапласа // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2001, № 1, с. 21-24.

74. Lynnworth L. С. Ultrasonic measurements for process control. New York: Acadimic Press, 1989.

75. Рычагов M.H. Ультразвуковые измерения потоков в многоплоскостных измерительных модулях // Акустический журнал, 1998, т. 44, № 6, с. 829-836.

76. Rychagov М., Tereshchenko S. Multipath flowrate measurements of symmetric and asymmetric flows // Inverse Problems, 2000, v. 16, № 2, pp. 829-504.

77. Николаева H. H., Титаренко В. H., Ягола А. Г. Оценка погрешности решения уравнения Абеля на множествах монотонных и выпуклых функций // Сибирский журнал вычислительной математики, 2003, т. 6, № 2, с. 171-180.

78. Nikolaeva N. N., Titarenko V. N., Yagola A. G. A posteriori error estimation for a solution of an Abel equation on some compact sets // Numerical Functional Analisys and Optimization, 2004, v. 25, № 3-4, pp. 259-269.

79. Фортран 90. Международный стандарт. M.: Финансы и статистика, 1998, официальное описание международного стандарта языка Фортран 90.

80. Бартеньев О. В. Современный Фортран. М.: Диалог-МИФИ, 1999.

81. Штыков В. В. Fortran & Win32 API: Создание программного интерфейса для Windows средствами современного Фортрана. М.: Диалог-МИФИ, 2001.

82. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

83. MPI: A Message-Passing Interface Standard. The Message Passing Interface Forum, Version 1.1, June 12, 1995, http://www.mpi-forum.org.