автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Идентификация линейных систем методами многокритериального математического программирования

003494637

На правах рукописи

Лебедев Алексей Леонидович

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 5 мдр 2010

Москва-2010

003494637

Работа выполнена в МГТУ им. Н.Э. Баумана

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Грешилов Анатолий Антонович Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Корнюшин Юрий Петрович доктор технических наук, профессор Матущенко Анатолий Михайлович

Ведущая организация: ВЦ РАН

Защита состоится 20 апреля 2010 г. в \ Ц часов $0 минут на заседании диссертационного совета Д 212.141.02 в МГТУ им. Н.Э. Баумана по адресу: 105005, ул. 2-я Бауманская, д.5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автореферат разослан « 3 »

2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.141.02 кандидат технических наук, доцент с; [ —- — ! р|ванов £ /

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Решение многих физических, технических и экономических задач, связанных с функционированием систем и объектов, оценкой эффективности их функционирования и прогнозированием их поведения, требует строгого учета неопределенности исходной информации. К этим задачам относятся задачи идентификации объектов и параметров этих систем, часто являющиеся некорректно поставленными.

Описанные в литературе методы анализа не позволяют в полном объеме получить решение некорректных задач идентификации, т.к. эти методы базируются на идеализированных моделях, в которых часть исходной стохастической информации заменяется детерминированной.

В диссертации рассматриваются две задачи идентификации в реальных условиях их функционирования, для описания которых используется параметрическая модель в виде элементарных функций и дифференциальных уравнений и полученных из них плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений.

Это задача многосигнальной пеленгации источников радиоизлучения на одной частоте и задача идентификации ядерных взрывов по радиоактивным изотопам криптона и ксенона.

Задача многосигнальной пеленгации является некорректной с порядками чисел обусловленности до 1017 ив ней есть возможность сравнивать решение, полученное предлагаемым в диссертации методом, с результатами других методов и с известными параметрами реальных сигналов.

Среди радионуклидных методов идентификации ядерных взрывов особую группу составляют методы идентификации по изотопам инертных газов. Активность радиоизотопов благородных газов криптона и ксенона (РБГ) зависит от вида делящегося материала (уран 235 -У235 , плутоний 239 -.Ри239 и др.) и от энергии нейтронов, вызывающих деление (нейтронов спектра деления и нейтронов с энергией 14 МэВ, энергию нейтронов будем указывать в нижнем индексе, например, и}'5 - деление урана 235 нейтронами спектра деления, У,235 - деление урана 235

нейтронами с энергией 14 Мэв). Изотопы криптона и ксенона выходят в атмосферу во многих случаях проведения испытаний ядерных взрывов, что позволяет использовать их для идентификации источника деления.

Как показали работы других авторов, решаемые системы уравнений для идентификации ядерных взрывов относятся к классу некорректных задач.

Широкий цикл исследований по условно корректным задачам проведен А.Н. Тихоновым, Г.И. Марчуком, В.К. Ивановым, В.Г. Васильевым, В.А. Морозовым, В~Я. Арсениным, П.И. Заикиным и др. Для решения некорректных задач разработаны метод регуляризации А.Н. Тихонова и большая серия методов, развитых на его основе, в том числе метод ^-регуляризации. Метод А.Н. Тихонова

послужил толчком для выполнения целого ряда исследований в математике, физике,

спектрометрии и в других направлениях. Разработанные методы регуляризации направлены на получение различных видов решения.

Проблемным вопросом в методах регуляризации остаются методы оценки параметра регуляризации и показателя степени р в ¿^-регуляризации.

Однозначных рекомендаций по их определению не существует. Непросто в методах регуляризации ввести дополнительные условия, накладываемые на решение задачи.

В силу этого возникает необходимость в разработке такого метода решения некорректных задач, который не требовал бы оценки параметра регуляризации и позволял бы вводить дополнительные условия-ограничения на решение.

В диссертации разработан метод решения некорректных задач с помощью многокритериального математического программирования (многокритериальной оптимизации, векторной оптимизации), в котором не требуется определять параметр регуляризации и достаточно просто ввести любые ограничения на решение.

Основоположник методов регуляризации А.Н. Тихонов предлагал решение плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) определять путем минимизации стабилизирующего функционала при дополнительном ограничении на сумму квадратов невязок. Оба эти условия объединялись в функцию Лагранжа, но множитель Лагранжа (параметр регуляризации) определялся не по классической схеме, а другими методами.

Таким образом, метод регуляризации А.Н. Тихонова близок методу многокритериального программирования, когда исходные целевые функции для получения единственного функционала объединялись со своими весовыми множителями.

В диссертации для решения некорректных задач с помощью многокритериального математического программирования выбран не метод весовых множителей, а метод сжатия области допустимых значений и метод целевого программирования.

Разработанный метод и реализующее его программное обеспечение применялись в задачах многосигнальной пеленгации источников радиоизлучения на одной частоте для определения параметров зарегистрированных сигналов и для проверки соответствия решения данным методом известным условиям экспериментов. Разработанный метод использовался при разработке алгоритмов идентификации ядерных взрывов по радиоактивным изотопам криптона и ксенона. Эта задача интересна тем, что числа обусловленности рассматриваемых СЛАУ достигали порядка 1026, и элементы матрицы системы являются случайными величинами.

В обеих задачах одновременно учитывались неопределенности всех исходных данных и определялись не только точечные, но и интервальные оценки решения.

Цель работы. Целью работы является разработка алгоритма решения некорректных задач идентификации параметров сигналов в многосигнальной пеленгации ИРИ на одной частоте и параметров ядерных взрывов по изотопам криптона и ксенона (в том числе по малому числу изотопов) с широким диапазоном по времени отбора проб с помощью методов векторной оптимизации, позволяющего получать точечные и интервальные оценки решений при относительной

погрешности измерения, равной 1-н10%, а также разработка алгоритма для определения независимых выходов элементов изобарных цепочек радиоактивных превращений.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- разработать алгоритм решения некорректных задач идентификации с помощью многокритериального математического программирования, позволяющий получать точечные и интервальные оценки решения;

- разработанным методом решить задачу оценки параметров зарегистрированных сигналов в многосигнальной пеленгации на одной несущей частоте, сравнить полученные решения с реальными сигналами и с решениями, полученными другими методами регуляризации;

- на основе методов многокритериального математического программирования (методов сжатия области допустимых значений и целевого программирования), регуляризации Тихонова и -регуляризации в совокупности с одновременным рассмотрением нескольких гипотез о источниках радиоактивных благородных газов (РБГ) и привлечением методов конфлюэнтного анализа разработать алгоритмы вычисления относительных вкладов априори неизвестных видов деления в суммарную активность изотопов в условиях относительной погрешности измерения активностей изотопов в пробе, равной 1 -И0%;

- разработать программное обеспечение, реализующее алгоритмы определения точечных и интервальных оценок искомых параметров на основе методов многокритериального математического программирования (методов сжатия области допустимых значений и целевого программирования) и применить эти алгоритмы для оценки параметров сигналов в многосигнальной пеленгации и при идентификации ядерных взрывов;

- разработать методы идентификации ядерного взрыва по малому числу измеряемых изотопов ксенона (2-^-4 изотопа);

- разработать методы определения независимых выходов элементов изобарных цепочек радиоактивных превращений;

- провести математическое моделирование решений задач для определения эффективности разработанных алгоритмов;

- разработать программное обеспечение для определения независимых выходов членов изобарных цепочек радиоактивных превращений.

Методы исследования. В работе применяется аппарат решения некорректных задач, основанный: 1) на методах регуляризации Тихонова и £] -регуляризации (развитие метода регуляризации А.Н. Тихонова), и многокритериального математического программирования (методов сжатия области допустимых значений и целевого программирования) и 2) на сокращении числа оцениваемых параметров в задаче идентификации ядерных взрывов путем объединения деления одного материала нейтронами двух энергетических групп в один вид деления.

Применяются методы теории дифференциального исчисления, математической статистики и корреляционного анализа. Также применяется аппарат многомерной оптимизации, теория алгоритмов и программирования.

Базовый аппарат решения некорректных задач изложен в работах А.Н. Тихонова. Метод £t -регуляризации изложен в работах M. Cetin и Д.М. Малютова. Методы многокритериальной оптимизации рассмотрены в работах В.Н. Плотникова, В.Ю. Зверева, Р. Штойера, А.А. Грешилова.

Для получения интервальных оценок решений используется теорема Крамера-Рао и необходимые условия оптимума для метода неопределенных множителей Лагранжа. Исчерпывающие сведения по теории алгоритмов в изложены в фундаментальном труде Д. Кнута «Искусство программирования».

Проверка работоспособности перечисленных методов в реальных условиях осуществлена при решении задачи пеленгации источников радиоизлучения на одной несущей частоте, а также посредством математического моделирования, проведенного в пакете MATLAB, и протестировано на множестве модельных примеров задачи идентификации источников РБГ. Разработанное программное обеспечение написано и отлажено в среде Microsoft Visual Studio 2005 (язык Фортран).

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность предложенного алгоритма определения параметров сигналов в многосигнальной пеленгации и параметров источников РБГ обусловлена корректным применением современного математического аппарата решения плохо обусловленных (некорректных) задач и аппарата многомерной оптимизации. Эффективность предложенного алгоритма решения некорректных задач методами многокритериального математического программирования подтверждена при решении задачи пеленгации источников радиоизлучения при обработке реальных данных, полученных с антенной системы (АС) пеленгатора и в результате математического моделирования в задаче идентификации параметров ядерных взрывов и определения независимых выходов радиоактивных изотопов.

Научная новизна. Научная новизна состоит в следующем:

- разработан метод решения некорректных задач идентификации с помощью многокритериального математического программирования;

- для решения задач многосигнальной пеленгации источников радиоизлучения на одной несущей частоте и идентификации ядерных взрывов как некорректных задач применен аппарат методов регуляризации и разработанного метода решения некорректных задач с помощью многокритериального математического программирования;

- применен конфлюэнтный анализ, позволяющий учитывать погрешности всех исходных данных, имеющие место в математической модели, и получать интервальные оценки параметров сигналов в многосигнальной пеленгации и вкладов каждого вида деления в суммарную активность изотопов при идентификации ядерных взрывов;

- для идентификации ядерного взрыва по малому числу изотопов (по 2-=-4 изотопам) использовано объединение деления одного делящегося материала нейтронами двух энергетических в один вид деления путем усреднения независимых выходов;

- разработан алгоритм решения некорректной задачи определения независимых выходов радиоактивных изотопов по цепочкам радиоактивных превращений;

- создано программное обеспечение, реализующее алгоритмы определения точечных и интервальных оценок искомых параметров на основе методов многокритериального математического программирования (методов сжатия области допустимых значений и целевого программирования) и позволяющее получать оценки параметров сигналов в многосигналыюй пеленгации и при идентификации ядерных взрывов по изотопам РБГ.

На защиту выносятся:

- разработанный метод решения некорректных задач идентификации с помощью многокритериального математического программирования;

- определение параметров сигналов в многосигнальной пеленгации на одной частоте разработанным методом решения некорректных задач с помощью многокритериального математического программирования;

- развитие математических методов идентификации ядерного взрыва, обеспечивающих решение задачи идентификации ядерных взрывов путем отбора проб в атмосфере в разные моменты времени после взрыва, позволяющих учитывать погрешности измерений активностей изотопов и элементов матрицы исходной СЛАУ и получать точечные и интервальные оценки решения;

- разработанное программное обеспечение для решения некорректных задач, которое применено для определения параметров сигналов в многосигнальной пеленгации на одной частоте и для идентификации ядерных взрывов по радиоактивным изотопам криптона и ксенона;

- алгоритм и реализующее его программное обеспечение для определения независимых выходов элементов изобарных цепочек радиоактивных превращений путем измерения во времени активностей изотопов благородных газов;

- модификация алгоритма идентификации ядерного взрыва в случае измерения малого числа изотопов (2-г 4 изотопа) по усредненным выходам осколков деления;

- результаты математического моделирования и обработки реальных данных, полученных при определении параметров сигналов в многосигнальной пеленгации источников радиоизлучения, подтверждающие эффективность разработанного метода решения некорректных задач и реализующих его алгоритмов.

Практическая ценность. Практическая ценность диссертационной работы заключается в ее прикладной ориентации. Разработанные математические методы и реализующее их программное обеспечение может использоваться при разработке и модернизации существующих систем мониторинга и идентификации ядерных взрывов и других источников РБГ. Повышение надежности и расширение возможностей идентификации ядерных взрывов по малому числу изотопов осуществляется путем усреднения выходов осколков деления каждого делящегося материала. Результаты работы могут быть использованы также для решения некорректных задач в других областях науки и техники: сейсмике, пеленгации источников радиоизлучения и др.

Апробация работы. Основные результаты и положения работы были доложены и обсуждены на: 1) семинаре МГТУ им. Н.Э. Баумана с участием

специалистов в/ч 21882; 2) семинарах кафедры ФН-1 «Высшая математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана; 3) 10-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение», 26-28 марта 2008 г., Москва; 4) Восьмом Международном симпозиуме «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ», 30 июня - 4 июля 2008 г., Нижний Новгород; 5) Пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», 26 - 28 января 2009 г., Москва; 6) семинаре в Научно-исследовательском центре спецконтроля ФГУ «12ЦНИИ Минобороны России» 15 декабря 2009 г., Москва.

Публикации. По теме диссертации опубликовано статей - 4 [1-4], тезисов докладов - 3 [5-8], государственную регистрацию прошли 2 программных продукта [9, 10], получен 1 патент на изобретение [11].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертации, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который принадлежит непосредственно соискателю, заимствованный материал обозначен ссылками.

Диссертация состоит из 4 глав, 143 страниц и 6 страниц приложения.

Содержание работы

В первой главе рассмотрены математические модели задачи идентификации ядерных взрывов и задачи многосигнальной пеленгации источников радиоизлучения, которая выбрана в качестве тестовой задачи для проверки работоспособности методов решения некорректных задач с помощью векторной оптимизации, проведен анализ существующих методов идентификации ядерных взрывов по изотопам РБГ, указываются основные трудности задачи идентификации и способы их преодоления.

Задача многосигнальной пеленгации рассмотрена в следующей постановке. В эфире присутствует К источников радиоизлучения (ИРИ) с азимутальными

О = [0] 02 ... вк ]г и угломестными Р = \Р\ Рг ■■■ PKf пеленгами и амплитудами излучаемых сигналов z = [z, z2 ... \ « = [«, и, ••• -

комплексная огибающая выходов элементов антенной системы, где М - количество элементов АС.

В общем случае математическая модель задачи имеет следующий вид A(e,p,t)z{t) + n(t) = u(t), f = {f|| t2;...; tT], (])

где и(/) - вектор аддитивной нормально распределенной помехи, Л/[и(г)] = 0, cov[«(/)J = cr2/, / - единичная матрица, а = const — среднеквадратическое отклонение (СКО) помехи; А(9,P,t) - матрица набегов фаз на элементах АС с учетом ее конкретной геометрии и вида сигналов; / = {/,; t2\...; tT} - дискретный набор временных отсчетов.

В линейной АС элемент матрицы A(0,/3,t) определяется выражением:

в« К. А.0 = ехр{/[2л-/0? + %+{l-1)(2n/X)dcos6k cospk]}, (2)

где /а - частота сигналов, излучаемых пеленгуемыми ИРИ; - начальная фаза сигнала в фазовом центре; Л - длина волны сигналов, излучаемых ИРИ; с1 -расстояние между соседними элементами линейной антенной системы; вк - пеленг

к -го излучателя, Д - угол места к -го излучателя, к = \, К \ 1 - означает / -й элемент

АС,/ = Ц7.

Измеряется вектор и(/). Для каждого ИРИ необходимо определить: в, р, и и ковариационную матрицу данных параметров (или их дисперсии).

Если положить пеленги известными, возникает задача оценки интенсивности радиосигналов, приходящих на АС под определенными углами в заданном диапазоне.

(3)

где вп , /=1,Д^е, 7 = 1,^ - узлы сеток по азимутам и углам места соответственно. После данной замены в исходной системе неизвестными остаются только амплитуды, соответствующие азимутальным пеленгам в и угломестным пеленгам р. Получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно вектора неизвестных г<„ „ > ,:

л(ёД/)г(/)+я(/)=«(О.' = {'■; ■ (4)

Эта задача остается некорректной.

Задача идентификации ядерных взрывов примечательна тем, что числа обусловленности решаемых в данном случае СЛАУ достигают !026 и элементы матрицы системы - случайные величины, т.е. необходимо применять методы конфлюэнтного анализа.

Для вычисления активности изотопа криптона и ксенона при мгновенном делении и ламинарном истечении газов, являющегося п-м элементом разветвленной цепочки р-распада, требуется решить систему линейных дифференциальных уравнений относительно удельной активности этого элемента. Решение имеет вид:

7?„ехр(-Ал)+ £ XX

р= 1 <„=>

П у гпК Ъ —

ехр

чр*'р

(5)

где Д,(') - активность л-го члена цепочки в момент ! после деления; Л^ - число делений тяжелых ядер; 77, - независимый выход 1-го изотопа; и - номер

исследуемого изотопа по р -и ветви; п - максимальный член из

М; а.

ветвей цепочки:

¡К-*)-

число изотопов, предшествующих исследуемому по р -и

ветви распада; у -доля г-го члена цепочки, получающегося из (г-1)-го по р-й ветви; Л, , Л. , Л, , Л„ - постоянные распада изотопов, имеющих соответственно

<р V 'р Яр г

номера ¡р, гр, по р-к ветви, причем ¡р<гр<п-\\ ¡р<$р<пр; /р<др<пр и

цр Ф ¡р; г0 - момент сепарации исследуемого изотопа от предшественников

(момент сепарации), после чего распад изотопа идет по экспоненте с постоянной распада Лп.

Уравнения вида (5) записываются для каждого измеряемого изотопа криптона и ксенона и каждого рассматриваемого вида деления, в результате формируется система из п уравнений с т неизвестными, в которой определению подлежат неизвестные вклады источников радиоактивности pN J в суммарную активность изотопов криптона и ксенона, где р - доля изотопов РБГ в отобранной пробе.

Обе задачи являются некорректными, поэтому для их решения необходимо использовать методы регуляризации и векторной оптимизации.

Во второй главе рассмотрены следующие методы решения плохо обусловленных систем алгебраических уравнений: регуляризация А.Н. Тихонова, регуляризация А.И. Жданова, энтропийная регуляризация, регуляризация посредством ограничения числа итераций, статистическая регуляризация, и £ -

регуляризация. Проанализированы их недостатки. Методы регуляризации А.Н. Тихонова, А.И. Жданова, энтропийной регуляризации, С^- и (. -регуляризации

имеют один основной недостаток - требуют определения параметра регуляризации а (в регуляризации А.И. Жданова - параметра со), однозначных процедур нахождения которого не существует. В методе регуляризации посредством ограничения количества итераций верхняя граница количества итераций определяется эмпирически. При использовании статистической регуляризации необходимо знать априорную функцию плотности вероятности исходных данных и параметра регуляризации.

Кроме того, лишь немногие из приведенных методов дают интервальные оценки параметров сигналов, что на практике недопустимо.

В третьей главе указывается связь между регуляризацией и многокритериальной оптимизацией.

Согласно А.Н.Тихонову для системы линейных алгебраических уравнений Аг = и с плохо обусловленной матрицей А отбор решений г можно осуществлять с помощью специального заранее задаваемого стабилизирующего функционала П(г). Вместо минимизации функционала О(г) на множестве 6 можно искать решение задачи на минимум функционала О(г) на множестве Р] при условии, что на искомом элементе г выполняется равенство ри(Л1,и) = 3. Множество ^ - область определения функционала О(г); множество ^ 6 есть пересечение множества Р, с множеством решений г, удовлетворяющих равенству ри{Аг,и) = 6\ 5 - число, характеризующее погрешность исходных данных и; ри - метрика в пространстве 1}, ие.и.

Это задача вариационного исчисления на условный минимум. Ее можно решать методом неопределенных множителей Лагранжа, т.е. искать элемент za, на котором функционал

M"(z) = p2u(Az,u) + aQ{z) (6)

достигает своей точной нижней грани, а параметр а определять из условия:

Pu{Az,u) = 8. (7)

Параметр регуляризации а определяется не согласно процедуре метода Лагранжа, а

методом подбора, т.е. фактически решают многокритериальную задачу с весовыми

множителями 1 и а. Но существуют другие методы решения исходной

двухкритериальной задачи:

( Л2

" т т ,р

J\ (Z) = H u~Haijzj -*min, У2(г) = Х|г,.| ->mm,/je(0,]]u2. (8)

м { i ) z> j--\

при ограничениях Zj> 0, j = l,m, метод пороговой оптимизации и метод целевого программирования.

Метод пороговой оптимизации (или метод е-ограничений) приводит к различным возможным комбинациям целевых функций и ограничений. В диссертации рассмотрены следующие их виды:

min У, (г) при J1{z)<£; > 0, j = l,m; (9)

штУ2(г) при Ji(z)<S- z; >0, j = \,m. (Ю)

Задача (9) при р = 1 является задачей квадратичного программирования, задача (10) - общая задача нелинейного программирования.

Оценки правых частей ограничений е и 5 могут быть получены при независимой минимизации функционалов J, и J2.

В целевом программировании существует две модели решения - архимедова и модель с приоритетами.

В архимедовой модели все целевые функции переводят в ограничения и осуществляют минимизацию суммы меры их отклонений от ограничений:

min {-(w,^, + w2d2)} при Jt (z) + d] < S, J2{z) + d2<e, (j j)

2

где wt - весовые коэффициенты, ^ wf = 1; di - отклонения от ограничений.

м

В модели с приоритетами осуществляют последовательный перевод целевых функций в ограничения и минимизацию отклонения значений целевых функций от ограничений. Найденное на /-ом шаге отклонение используют как оптимальное значение на следующем г + 1 шаге:

шаг1: т1п(-й?,) при Jt{z) + dl <S\

(12)

шаг 2: min (~d2) при J, (z) + d[mm ^ < ö, У2 (z) + d2 < s.

■ ; l'"™ 1

Для определения интервальных оценок решения составляют необходимые условия существования экстремума целевой функции при наличии ограничений и для полученной системы уравнений формируют логарифм функции правдоподобия. Ковариационная матрица решения есть обратная матрица вторых частных производных логарифма функции правдоподобия, вычисленная при найденных точечных оценках решений.

В четвертой главе представлены алгоритмы и результаты решения задач многосигнальной пеленгации ИРИ на одной частоте и идентификации ядерных взрывов по изотопам РБГ.

В таблице 1 представлены результаты решения задачи пеленгации при исходных данных: на линейную АС поступают два сигнала с пеленгами Ö, = 56,25° и в2 =128,57° (угол места /3 = 0) и амплитудами 10 и 12 мВ соответственно; число элементов АС М = 16, d = Л/2, /0=20 МГц. Для каждого метода выбрана своя оптимальная сетка по в, приведены результаты решения методом Д-регуляризации. На компоненты вектора и действует аддитивный гауссов шум с нулевым математическим ожиданием и СКО сг = 0,5 мВ (отношение сигнал/шум равно 11,5 дБ).

Таблица 1

а) Точечные оценки параметров сигналов, полученные разными методами

—-—___ Параметр Метод ~~---- h 02 Mi, мВ «2 , мВ

^-регуляризация 56° 128° 8,20 11,33

к К S Квадратичное Программ ирование 55,80° 127,80° 7,62 7,58

£ Я X и о. а о s Нелинейное Программирование 56,36° 128,49° 8,60 11,60

И s Архимедова модель 55,96° 128,49° 6,67 11,71

CQ С о Модель с приоритетами 55,96° 128,49° 6,72 11,54

б) СКО параметров ИРИ, полученные методом статистических испытаний __ (100 испытаний)__

Параметр Метод -И <7(и,)> мВ сг(иг), мВ Время работы, отн. ед.

1 р -регуляризация 0,10° 0,13° 0,18 0,22 2,3

Векторная оптимизация Квадратичное программирование 0,12° 0,15° 0,21 0,36 1,0

Нелинейное программирование 0,04° 0,04° 0,24 0,32 5,7

Архимедова модель 0,11° 0,14° 0,11 0,12 4,7

Модель с приоритетами 0,09° 0,15° 0,23 0,37 16,7

Из таблиц 1 и 2 видно, что результаты решения задачи пеленгации методами векторной оптимизации хорошо согласуются с результатами решения методом регуляризации и исходными данными.

Дисперсии оценок пеленгов, рассчитанные по данным статистических испытаний и сравнивались с дисперсиями, определенными аналитически по критерию Фишера-Снедекора с уровнем значимости а = 0,02. Нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что они принадлежат одной генеральной совокупности. Но в таблице 2 приведены «статистические» дисперсии, как результат, не вызывающий сомнения.

Решение задачи идентификации ядерных взрывов состоит из двух этапов. Первый этап - определение момента сепарации /0 изотопов РБГ. Оценка границ временного отрезка, на котором произошла сепарация, находится по пересечению линий относительной активности, построенных в обратном времени из измеренных точек с линиями относительной активности, рассчитанными без учета сепарации. Для определения момента сепарации на найденном отрезке времени задается сетка. За момент сепарации принимается узел сетки дающий минимальную сумму

квадратов невязок решаемой системы.

Второй этап - определение для каждого фиксированного момента сепарации

оценок решения Принимается, что элементы и измеренные

активности Д(/) - независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическими ожиданиями, равными о™ и Д1гаг(?) (истинные значения, которые неизвестны), и дисперсиями, равными ст2^(',.*)) и а2 (Д (/)), соответственно:

А, (/) = АГ (г) + 5„ 5, ~ дг(о, а7 (А,(/))), где £-;> - погрешности определения удельных активностей аД^.г); <5( -ошибки измерения активностей Д(') РБГ в атмосфере; N обозначает нормальное распределение

Используя определение ортогональной регрессии в силу независимости случайных величин и Д('), можно записать функционал:

\2 ^

1 "

ЧЯ(0)

н

ЫуЬг(У))2

(13)

В точке минимума функционала (13) должны выполняться условия:

3Ю

= 0;

аг1

= 0; / = 1 ,л; / = 1 ,т.

(14)-

(15)

«/, (1„,')">0 (1„.1)

При фиксированном задача (14)-( 15) является вычислительно

некорректной. Для ее решения необходимо применение методов регуляризации или разработанного метода.

Системы уравнений (14)-(15) решаются итеративно. На к -ой итерации методами регуляризации и разработанным методом на основе многокритериального математического программирования из системы уравнений (14) определяют оценки вкладов источников РБГ рЛ^ при уточненных на (к — 1)-ой итерации элементах

матрицы системы я,у (',,') (на первой итерации принимаем а у (/^/^я^^,/)).

После этого из системы (15) находят уточненные оценки истинных значений

Полученные оценки значений щ не удовлетворяющие неравенству

ач ('?'') ~а'> {'ч'') -Зсг(а</ ('?>'))' г = 1,"> j = l>m' приравнивают к значениям

^ [гие / ^ -

ближайших граничных точек. Наборы оценок щ у = 1 ,т, для которых

произошло увеличение соответствующих слагаемых функционала Рк по сравнению с их значениями на предыдущей итерации, заменяются на соответствующие значения для предыдущего шага.

Критерием останова алгоритма является несущественное различие значений функционала Гк и компонентов вектора рЛГ на соседних итерациях.

Рассматривая зависимость от времени значений относительных вкладов изотопов РБГ в их суммарную активность, можно выделить три характерных временных интервала для отбора проб:

1) 1-2 дня после события, в пробе методами гамма-спектрометрии можно измерить до 9 изотопов криптона и ксенона;

2) 3-6 дней после события, измеряется до 5-6 изотопов криптона и ксенона;

3) после 2-х недель, измеряется 4 изотопа ксенона и криптон-85.

В таблице 3 представлены результаты моделирования идентификации параметров ядерного взрыва для третьего временного интервала - 14 дней после события. Идентификация проводилась по изотопам Кгг5, Хеьи", Хе1""', Хет и Хет.

Рассматривались следующие гипотезы об источнике радиоактивности: 1) Uf + фон по Хе'33; 2) Uf + Uf + Uf- 3) Uf + Puf + Puf; 4) Uf + Utf;

5) t;}35 + Í7 235 + фон по Хе133; 6) Puf9 + Pt/,239; 7) Яы239 + Ям239 + фон по Хет; 8) Uf + Uf + Puf + Puf- 9) Uf + Uf + Puf + Puf + фон по Хе133, где Uf - реакторный выброс (th - тепловые, / - нейтроны спектра деления, 14 - нейтроны с энергией 14 Мэв).

Источником радиоактивности является процесс деления Uf, Uf, Puf и Puf, точные значения вкладов 100, 100, 100 и 100.

В каждом методе (регуляризации и многокритериальной оптимизации) определялось решение для разных гипотез и за истинную автоматически принималась гипотеза, дающая минимальную сумму квадратов невязок системы (14). Для -регуляризации и квадратичного программирования это гипотеза 8, для всех остальных методов - гипотеза 9, порядки чисел обусловленности матриц системы (14) 108 и 1019, соответственно.

Таблица 2

Результаты решения задачи идентификации разными методами

Метод решения

регуляризация

Регуляризация Тихонова

Векторная оптимизация

Квадратичное прогр-е

Архимедова модель

Нелинейное прогр-е

Модель с приоритетами

Решение

131,86 102,78 55,06 110,77

10,04

180,34

93,71

130,43

-0,15

142,06' 104,14 45,30 112,08

141,95

104,12

45,41

112,07

0,00

0,00

150,93

0,00

121,79

0,00

142,06

104,14

45,31

112,08

0,00

Сумма квадратов невязок

1,30

3724,01

0,000001

0,00017

82318,07

0,000001

СКО (аналити -чески)

9,31 7,31 9,94 13,33

16,02 21,21 25,40 13,43 8,17

10,05 8,83 8,77 14,28

15,92 20,64 18,38 20,43 7,31

16,31 22,31 17,21 21,37 9,37

15,45 19,82 19,04 19,27 8,62

7,63

Время работы алгоритма, отн. ед.

1,00

5,08

9,38

8,48

10,48

Из таблицы 3 видно, что метод регуляризации А.Н. Тихонова и метод нелинейного программирования не дают достоверного ответа, сглаживают решение.

Статистические СКО (в таблице не приведены) рассчитывались по результатам 100 испытаний. По критерию Фишера-Снедекора с уровнем значимости а = 0,02, нет оснований отвергать гипотезу, что теоретические и статистические СКО принадлежат одной генеральной совокупности.

Для идентификации ядерного взрыва по РБГ по 2-^4 измеренным изотопам применено объединение двух видов деления (У235 и двух видов деления Риг" (нейтронами спектра деления и нейтронами с энергией 14 МэВ) в один вид деления для £/235 и Ри239 соответственно, что приводит к сокращению числа идентифицируемых видов деления. На модельных примерах показана возможность идентификации по двум изотопам (например, Хе1П и Хе135) делящегося материала: исходная система из двух уравнений содержала четыре неизвестных (порядки чисел обусловленности матрицы системы 1010 т10"), решение модифицированной системы (с порядком числа обусловленности 10') с двумя неизвестными давало качественно верный результат без применения специальных методов.

Уравнение (5) является линейным относительно независимых выходов элементов изобарных цепочек радиоактивных превращений. При известном числе делений тяжелых ядер Идея для различных моментов времени 1к можно составить переопределенную плохо обусловленную систему уравнений для расчета

независимых (и кумулятивных) выходов элементов цепочек. Для ее решения применяются методы и программы, изложенные в диссертации.

В главе 4 приводятся блок-схемы разработанных алгоритмов, описание разработанного программного обеспечения (ПО), указываются особенности реализации разработанных алгоритмов в системе Matlab и в среде Microsoft Visual Studio 2005, использующей компилятор языка Фортран.

Разработанное ПО апробировано на модельных и реальных данных.

Заключение содержит основные результаты и выводы по диссертационной работе.

В приложениях приведены изобарные цепочки радиоактивных превращений, выходы по у -излучению изотопов криптона и ксенона.

Основные выводы и результаты работы

1) разработан метод решения некорректных задач идентификации с помощью многокритериального математического программирования, позволяющий получать точечные и интервальные оценки решения. Для решения применены методы сжатия области допустимых значений и целевое программирование;

2) приведены результаты математического моделирования решения некорректных задач с помощью многокритериальной оптимизации и проведено определение параметров сигналов на реальных данных в задаче многосигнальной пеленгации на одной частоте. Получены результаты, подтверждающие эффективность разработанного метода решения некорректных задач с помощью векторной оптимизации;

3) разработан способ идентификации ядерных взрывов методами регуляризации и многокритериальной оптимизации по измеренным активностям изотопов криптона и ксенона при различных временах отбора проб. Для учета погрешности всех исходных данных применяется конфлюэнтный анализ. Показано, что надежная идентификация ядерного взрыва возможна только при одновременном применении методов регуляризации векторной оптимизации;

4) разработано программное обеспечение для решения некорректных задач методами векторной оптимизации, которое применено для решения задач многосигнальной пеленгации и идентификации ядерных взрывов;

5) осуществлена модификация алгоритма идентификации ядерного взрыва в случае измерения малого числа изотопов (2-н4 изотопа) по усредненным выходам осколков деления.

6) разработаны алгоритм и реализующее его ПО для определения независимых выходов элементов изобарных цепочек радиоактивных превращений путем измерения во времени активностей изотопов РБГ;

Список работ по теме диссертации

1. Лебедев А.Л. Решение некорректных задач методами многокритериального математического программирования // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. - 2008. - Вып. 4. - С.89-99.

2. Грешилов A.A., Лебедев А.Л., Плохута П.А. Многосигнальная пеленгация источников радиоизлучения на одной частоте как некорректная задача // Успехи современной радиотехники. - 2008. - Вып. 3. - С.30-46.

3. Грешилов A.A., Лебедев А.Л., Плохута П.А. Газообразные продукты деления и сейсмика как идентификаторы ядерных взрывов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. - 2009. - Вып. 2. - С.92-115.

4. Грешилов A.A., Лебедев А.Л. Определение пеленгов источников радиоизлучения на одной несущей частоте методами векторной оптимизации // Вопросы защиты информации. - 2009. -Вып. 1. - С.19-25.

5. Грешилов A.A., Лебедев А.Л. Некорректные задачи как задачи математического программирования // Интеллектуальные системы: Труды Восьмого международного симпозиума. - М., 2008. - С.78-81.

6. Лебедев А.Л. Решение некорректных задач методами многокритериального математического программирования // Цифровая обработка сигналов и ее применение: Доклады 10-й Международной конференции. - М., 2008. - С. 333-336.

7. Грешилов А.А, Лебедев А.Л., Плохута П.А Пеленгация источников негармонических сигналов // Необратимые процессы в природе и технике: Доклады 5-й Всероссийской конференции. - М., 2009. - С.35-37.

8. Грешилов A.A., Лебедев А.Л., Плохута П.А. Применение метода разложения сигнала на сумму экспонент для решения задачи многосигнальной пеленгации на одной частоте // Интеллектуальные системы: Труды Восьмого международного симпозиума / Под ред. К.А. Пупкова. - М., 2008. - С. 513-516.

9. Свидетельство 2009614789 о государственной регистрации Программы для ЭВМ ПО для решения плохо обусловленных СЛАУ методами векторной оптимизации, 30.10.2009.

10. Свидетельство 2010610753 о государственной регистрации Программы для ЭВМ ПО для идентификации источников радиоактивных благородных газов в атмосфере, 22.01.2010.

11. Положительное решение о выдаче патента на изобретение «Способ пеленгования с повышенной эффективностью» №2008106384/09(006913) от 22.09.2009 г.

Подписано к печати 9.03.10. Заказ №137 Объем 1,0 печ.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 (499) 263-62-01

Введение.

Глава 1. Постановка задач идентификации ядерных взрывов по радиоактивным изотопам криптона и ксенона и многосигнальной пеленгации источников радиоизлучения на одной частоте.

1.1. Анализ применяемых методов идентификации.

1.1.1. Метод, разработанный в СССР.

1.1.1.1. Усовершенствование метода оценки параметров ядерного взрыва.

1.1.2. Идентификация по отношениям радиоактивных изотопов ксенона.

1.2. Трудности идентификации источников изотопов криптона и ксенона и способы их преодоления.

1.3. Расчет активности РБГ при ядерном взрыве с учетом мгновенной сепарации.

1.4. Математическая модель задачи пеленгации источников радиоизлучения.

Выводы к главе 1.

Глава 2. Анализ методов решения некорректных задач.

2.1. Определение некорректной задачи.

2.2. Традиционные методы решения некорректных задач.

2.2.1. Регуляризирующий оператор.

2.2.2. Методы решения некорректных задач, основанные на регуляризации.

2.2.2.1. Регуляризация А.Н. Тихонова.

2.2.2.2. Регуляризация А.И. Жданова.

2.2.2.3. Энтропийная регуляризация.

2.2.2.4. Регуляризация посредством ограничения количества итераций.

2.2.2.5. Статистическая регуляризация.

2.2.2.6. £х и Z -регуляризация.

Выводы к главе 2.

Глава 3. Метод решения некорректных задач с помощью многокритериального математического программирования.

3.1. Связь метода регуляризации и многокритериального математического программирования.

3.2. Некорректная задача как задача векторной оптимизации.

3.3. Пример решения плохо обусловленной СЛАУ методами многокритериального математического программирования.

3.4. Получение интервальных оценок для предлагаемого метода решения некорректных задач.

Выводы к главе 3.

Глава 4. Результаты решения некорректных задач многосигнальной пеленгации ИРИ и идентификации ядерных взрывов по изотопам РБГ.

4.1. Решение задачи пеленгации.

4.1.1. Модельные примеры.

4.1.2. Обработка реальных данных.

4.2. Алгоритм идентификации ядерного взрыва.

4.3. Описание программного обеспечения.

4.4. Результаты идентификации. 4.5. Идентификация по малому числу изотопов.

4.6. Определение независимых выходов элементов изобарной цепочки.

Выводы к главе 4.

Актуальность проблемы. Решение многих физических, технических и экономических задач, связанных с функционированием систем и объектов, оценкой эффективности их функционирования и прогнозированием их поведения, требует строгого учета неопределенности исходной информации. К этим задачам относятся задачи идентификации объектов и параметров этих систем, часто являющиеся некорректно поставленными. Блок-схема рассматриваемой в диссертации задачи идентификации приведена на рис. 1. О

Вход х(в)

Линейная система Л(,) а,(<\

А в ,

Блок -> обработки А СОУ в -► информации

Рис. 1. Блок-схема задачи идентификации

На рис. 1: - вектор входного воздействия, зависящий от неизвестных параметров в; А{{) - линейная динамическая система; 77— вектор выходных сигналов линейной системы; е(^) — ошибка измерений выхода линейной системы; Г (7) - вектор измеряемых значений выхода линейной системы; ау (7) — истинные значения параметров системы; ¿Г (/) - погрешность, с которой известны параметры линейной системы; — оценки параметров линейной Л системы; в - оценка вектора параметров входного воздействия; соу в — А ковариационная матрица оценок параметров в.

Описанные в литературе методы анализа не позволяют в полном объеме получить решение некорректных задач идентификации, т.к. эти методы базируются на идеализированных моделях, в которых часть исходной стохастической информации заменяется детерминированной.

В диссертации рассматриваются две задачи идентификации в реальных условиях их функционирования, для описания которых используется параметрическая модель в виде элементарных функций и дифференциальных уравнений и полученных из них плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений.

Это задача многосигнальной пеленгации источников радиоизлучения на одной частоте и задача идентификации ядерных взрывов по радиоактивным изотопам криптона и ксенона.

Задача многосигнальной пеленгации является некорректной с порядками чисел обусловленности до 1017 ив ней есть возможность сравнивать решение, полученное предлагаемым в диссертации методом, с результатами других методов и с известными параметрами реальных сигналов.

Среди радионуклидных методов идентификации ядерных взрывов особую группу составляют методы идентификации по изотопам инертных газов. Активность радиоизотопов благородных газов криптона и ксенона (РБГ) зависит

ЛЛГ АЛЛ от вида делящегося материала (уран 235 -II , плутоний 239 —Ри и др.) и от энергии нейтронов, вызывающих деление (нейтронов спектра деления и нейтронов с энергией 14 МэВ, энергию нейтронов будем указывать в нижнем индексе, например, V^ — деление урана 235 нейтронами спектра деления, С/14

- деление урана 235 нейтронами с энергией 14 Мэв). Изотопы криптона и ксенона выходят в атмосферу во многих случаях проведения испытаний ядерных взрывов, что позволяет использовать их для идентификации источника деления.

Как показали работы других авторов, решаемые системы уравнений для идентификации ядерных взрывов относятся к классу некорректных задач.

Широкий цикл исследований по условно корректным задачам проведен А.Н. Тихоновым, Г.И. Марчуком, В.К. Ивановым, В.Г. Васильевым, В.А. Морозовым, В.Я.Арсениным, П.И. Заикиным и др. Для решения некорректных задач разработаны метод регуляризации А.Н. Тихонова и большая серия методов, развитых на его основе, в том числе метод I -регуляризации. Метод

А.Н. Тихонова послужил толчком для выполнения целого ряда исследований в математике, физике, спектрометрии и в других направлениях. Разработанные методы регуляризации направлены на получение различных видов решения.

Проблемным вопросом в методах регуляризации остаются методы оценки параметра регуляризации и показателя степени р в £ -регуляризации.

Однозначных рекомендаций по их определению не существует. Непросто в методах регуляризации ввести дополнительные условия, накладываемые на решение задачи.

В силу этого возникает необходимость в разработке такого метода решения некорректных задач, который не требовал бы оценки параметра регуляризации и позволял бы вводить дополнительные условия-ограничения на решение.

В диссертации разработан метод решения некорректных задач с помощью многокритериального математического программирования (многокритериальной оптимизации, векторной оптимизации), в котором не требуется определять параметр регуляризации и достаточно просто ввести любые ограничения на решение.

Основоположник методов регуляризации А.Н. Тихонов предлагал решение плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) определять путем минимизации стабилизирующего функционала при дополнительном ограничении на сумму квадратов невязок. Оба эти условия объединялись в функцию Лагранжа, но множитель Лагранжа (параметр регуляризации) определялся не по классической схеме, а другими методами.

Таким образом, метод регуляризации А.Н. Тихонова близок методу многокритериального программирования, когда исходные целевые функции для получения единственного функционала объединялись со своими' весовыми множителями.

В' диссертации для решения некорректных задач с помощью многокритериального математического программирования выбран не метод весовых множителей, а метод сжатия области допустимых значений и метод целевого программирования.

Разработанный метод и реализующее его программное обеспечение применялись в задачах многосигнальной пеленгации источников радиоизлучения на одной частоте для определения параметров зарегистрированных сигналов и для проверки соответствия решения данным методом известным условиям экспериментов. Разработанный метод использовался при разработке алгоритмов идентификации ядерных взрывов по радиоактивным изотопам криптона и ксенона. Эта задача интересна тем, что числа обусловленности рассматриваемых СЛАУ достигали порядка 1026, и элементы матрицы системы являются случайными величинами.

В обеих задачах одновременно учитывались неопределенности всех исходных данных и определялись не только точечные, но и интервальные оценки решения.

Цель работы. Целью работы является разработка алгоритма решения некорректных задач идентификации параметров сигналов в многосигнальной пеленгации ИРИ на одной частоте и параметров ядерных взрывов по изотопам криптона и ксенона (в том числе по малому числу изотопов) с широким диапазоном по времени отбора проб с помощью методов векторной оптимизации, позволяющего получать точечные и интервальные оценки решений при относительной погрешности измерения до 10%, а также разработка алгоритма для определения независимых выходов элементов изобарных цепочек радиоактивных превращений.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- разработать алгоритм решения некорректных задач идентификации с помощью многокритериального математического программирования, позволяющий получать точечные и интервальные оценки решения;

- разработанным методом решить задачу оценки параметров зарегистрированных сигналов в многосигнальной пеленгации на одной несущей частоте, сравнить полученные решения с реальными сигналами и с решениями, полученными другими методами регуляризации;

- на основе методов многокритериального математического программирования (методов сжатия области допустимых значений и целевого программирования), регуляризации Тихонова и £х -регуляризации в совокупности с одновременным рассмотрением нескольких гипотез о источниках радиоактивных благородных газов (РБГ) и привлечением методов конфлюэнтного анализа разработать алгоритмы вычисления относительных вкладов априори неизвестных видов деления в суммарную активность изотопов в условиях относительной погрешности измерения активностей изотопов в пробе до 10%;

- разработать программное обеспечение, реализующее алгоритмы определения точечных и интервальных оценок искомых параметров на основе методов многокритериального математического программирования (методов сжатия области допустимых значений и целевого программирования) и применить эти алгоритмы для оценки параметров сигналов в многосигнальной пеленгации и при идентификации ядерных взрывов;

- разработать методы идентификации ядерного взрыва по малому числу измеряемых изотопов ксенона (2 -г- 4 изотопа);

- разработать методы определения независимых выходов элементов изобарных цепочек радиоактивных превращений;

- провести математическое моделирование решений задач для определения эффективности разработанных алгоритмов;

- разработать программное обеспечение для определения независимых выходов членов изобарных цепочек радиоактивных превращений.

Методы исследования. В работе применяется аппарат решения некорректных задач, основанный: 1) на методах регуляризации Тихонова и £у-регуляризации (развитие метода регуляризации А.Н. Тихонова), и многокритериального математического программирования (методов сжатия области допустимых значений и целевого программирования) и 2) на сокращении числа оцениваемых параметров в задаче идентификации ядерных взрывов путем объединения деления одного материала нейтронами двух энергетических групп в один вид деления.

Применяются методы теории дифференциального исчисления, математической статистики и корреляционного анализа. Также применяется аппарат многомерной оптимизации, теория алгоритмов и программирования.

Базовый аппарат решения некорректных задач изложен в работах А.Н. Тихонова. Метод -регуляризации изложен в работах M. Cetin и Д.М. Малютова. Методы многокритериальной оптимизации рассмотрены в работах В.Н. Плотникова, В.Ю. Зверева, Р. Штойера, А.А. Грешилова.

Для получения интервальных оценок решений используется теорема Крамера-Рао и необходимые условия оптимума для метода неопределенных множителей Лагранжа. Исчерпывающие сведения по теории алгоритмов в изложены в фундаментальном труде Д. Кнута «Искусство программирования».

Проверка работоспособности перечисленных методов в реальных условиях осуществлена при решении задачи пеленгации источников радиоизлучения на одной несущей частоте, а также посредством математического моделирования, проведенного в пакете MATLAB, и протестировано на множестве модельных примеров задачи идентификации источников РБГ. Разработанное программное обеспечение написано и отлажено в среде Microsoft Visual Studio 2005 (язык Фортран).

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность предложенного алгоритма определения параметров сигналов в многосигнальной пеленгации и параметров источников РБГ обусловлена корректным применением современного математического аппарата решения плохо обусловленных (некорректных) задач и аппарата многомерной оптимизации. Эффективность предложенного алгоритма решения некорректных задач мётодами многокритериального математического программирования подтверждена при решении задачи пеленгации источников радиоизлучения при обработке реальных данных, полученных с антенной системы (АС) пеленгатора 10 и • в результате математического моделирования в задаче идентификации параметров ядерных взрывов и определения независимых выходов радиоактивных изотопов. Научная новизна. Научная новизна состоит в следующем:

- разработан метод решения некорректных задач идентификации с помощью г многокритериального математического программирования;

- для решения задач многосигнальной пеленгации источников радиоизлучения . на одной несущей частоте и идентификации ядерных взрывов как некорректных задач применен аппарат методов регуляризации и . разработанного метода решения некорректных задач с помощью многокритериального математического программирования; -1 применен конфлюэнтный анализ, позволяющий учитывать погрешности всех : исходных данных, имеющие место в математической модели, и получать ; интервальные оценки параметров сигналов в многосигнальной пеленгации и ! вкладов каждого вида деления в суммарную активность изотопов при • идентификации ядерных взрывов;

- для идентификации ядерного взрыва по малому числу изотопов (по 2 ч-4 изотопам) использовано объединение деления одного делящегося материала нейтронами двух энергетических в один вид деления путем усреднения независимых выходов;

- разработан алгоритм решения некорректной задачи определения независимых выходов радиоактивных изотопов по цепочкам радиоактивных превращений;

-, создано программное обеспечение, реализующее алгоритмы определения | точечных и интервальных оценок искомых параметров на основе методов ; многокритериального математического программирования (методов сжатия области допустимых значений и целевого программирования) и позволяющее получать оценки параметров сигналов в многосигнальной пеленгации и при идентификации ядерных взрывов по изотопам РБГ. и

На защиту выносятся:

- разработанный метод решения некорректных задач идентификации с помощью многокритериального математического программирования;

- определение параметров сигналов в многосигнальной пеленгации на одной частоте разработанным методом решения некорректных задач с помощью многокритериального математического программирования;

- развитие математических методов идентификации ядерного взрыва, обеспечивающих решение задачи идентификации ядерных взрывов путем отбора проб в атмосфере в разные моменты времени после взрыва, позволяющих учитывать погрешности измерений активностей изотопов и элементов матрицы исходной СЛАУ и получать точечные и интервальные оценки решения;

- разработанное программное обеспечение для решения некорректных задач, которое применено для определения параметров сигналов в многосигнальной пеленгации на одной частоте и для идентификации ядерных взрывов по радиоактивным изотопам криптона и ксенона;

- алгоритм и реализующее его программное обеспечение для определения независимых выходов элементов изобарных цепочек радиоактивных превращений путем измерения во времени активностей изотопов благородных газов;

- модификация алгоритма идентификации ядерного взрыва в случае измерения малого числа изотопов (2 + 4 изотопа) по усредненным выходам осколков деления;

- результаты математического моделирования и обработки реальных данных, полученных при определении параметров сигналов в многосигнальной

• пеленгации источников радиоизлучения, подтверждающие эффективность разработанного метода решения некорректных задач и реализующих его алгоритмов.

Практическая ценность. Практическая ценность диссертационной работы заключается в ее прикладной ориентации. Разработанные математические методы и реализующее их программное обеспечение может использоваться при разработке и модернизации существующих систем мониторинга и идентификации ядерных взрывов и других источников РБГ. Повышение надежности и расширение возможностей идентификации ядерных взрывов по малому числу изотопов осуществляется путем усреднения выходов осколков деления каждого делящегося материала. Результаты работы могут быть использованы также для решения некорректных задач в других областях науки и техники: сейсмике, пеленгации источников радиоизлучения и др.

Апробация работы. Основные результаты и положения работы были доложены и обсуждены на: 1) семинаре МГТУ им. Н.Э. Баумана с участием специалистов в/ч 21882; 2) семинарах кафедры ФН-1 «Высшая математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана; 3) 10-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение», 26-28 марта 2008 г., Москва; 4) Восьмом Международном симпозиуме «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ», 30 июня -4 июля 2008 г., Нижний Новгород; 5) Пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», 26 - 28 января 2009 г., Москва; 6) Семинаре в Научно-исследовательском центре спецконтроля ФГУ «12ЦНИИ Минобороны России» 15 декабря 2009 г., Москва.

Публикации. По теме диссертации опубликовано статей - 4, тезисов докладов - 3, государственную регистрацию прошли 2 программных продукта, получен 1 патент на изобретение.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертации, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который принадлежит непосредственно соискателю, заимствованный материал обозначен ссылками.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) разработан метод решения некорректных задач идентификации с помощью векторной оптимизации, позволяющий получать точечные и интервальные оценки решения. Для решения применены методы сжатия области допустимых значений и целевое программирование;

2) приведены результаты математического моделирования решения некорректных задач с помощью многокритериальной оптимизации и проведено определение параметров сигналов на реальных данных в задаче многосигнальной пеленгации на одной частоте. Получены результаты, подтверждающие эффективность разработанного метода решения некорректных задач с помощью векторной оптимизации;

3) разработан способ идентификации ядерных взрывов при ламинарном истечении газов методами регуляризации и многокритериальной оптимизации по измеренным активностям изотопов криптона и ксенона при различных временах отбора проб. Для учета погрешности всех исходных данных применяется конфлюэнтный анализ. Показано, что надежная идентификация ядерного взрыва возможна только при одновременном применении методов регуляризации (регуляризация Тихонова и -регуляризация) и многокритериальной оптимизации (методы сжатия области допустимых значений и целевого программирования);

4) разработано программное обеспечение для решения некорректных задач методами векторной оптимизации, которое применено для решения задач многосигнальной пеленгации и идентификации ядерных взрывов;

5) осуществлена модификация алгоритма идентификации ядерного взрыва в случае измерения малого числа изотопов (2-^-4 изотопа) по усредненным выходам осколков деления.

6) разработаны алгоритм и реализующее его ПО для определения независимых выходов элементов изобарных цепочек радиоактивных превращений путем измерения во времени активностей изотопов РБГ.

1. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. -1943. Т.39, № 5. - С.195-198.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979. 142с.

3. Регуляризирующие алгортмы и априорная информация / А.Н. Тихонов и др. М.: Наука, 1983. - 200с.

4. Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов и др. М.: Наука, 1990. - 229с.

5. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995. - 311с.

6. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1979. - 320с.

7. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1977. -456с.

8. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 208с.

9. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сб. (М.). -1963. - Т.61, №2. - С.211-223.

10. Васильев Ф.П. О регуляризации неустойчивых задач минимизации, Оптимальное управление и дифференциальные игры // Тр. МИАН СССР.-М., 1988. — С.60-65.

11. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач (Задачи минимизации в функциональных пространствах, регуляризация, аппроксимация). -М.: Наука, 1981. -400с.

12. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач // Вычислительные методы и программирование. — (М.).- 2003.-Т.4, вып.1 — С.130-141.

13. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. - 239с.

14. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи // Итоги науки и техники: Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1973. - 400с.

15. Арсенин В.Я., Иванов В.В. О решении некоторых интегральных уравнений I рода типа свертки методом регуляризации // Журн. Выч. мат. и мат. физ. 1968. - Т.8, №2. - С.310-321.

16. Арсенин В.Я. О методах решения некорректно поставленных задач. -М.: Изд. МИФИ, 1973. 165с.

17. Заикин П.Н. О функции сглаживания регуляризирующего алгоритма для интегральных уравнений первого рода // Некоторые вопросы автоматизированной обработки и интерпретации физических экспериментов. М.: Изд. МГУ, 1973. - Вып. 2. - С. 154-159.

18. Заикин П.Н. Системы полной математической обработки результатов спектрометрических экспериментов: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. М.: Изд. МГУ, 1977. - 31с.

19. Заикин П.Н., Меченов A.C. Некоторые вопросы численного решения интегральных уравнений первого рода методом регуляризации. М.: Изд. ВЦМГУ, 1971.-21с.

20. Леонов A.C. Некоторые аспекты реализации регуляризующего алгоритма обобщенной невязки // Обработка и интерпретация физических экспериментов. М.: МГУ, 1976. - Вып. 4, - С.69-81.

21. Волович В.М., Новикова И.В. Стандартная программа для решения систем линейных алгебраических уравнений методом регуляризации. -М.: МГУ, 1968.-64с.

22. Гилязов С.Ф. Об устойчивом решении линейных операторных уравнений 2-го рода методов наискорейшего спуска // Вестник МГУ. Вычислительная математика и кибернетика. 1980. - Вып.4 - С.26-37.

23. Гавурин М.К. О методе А. Н. Тихонова решения некорректных задач // Методы вычислений. Л.: ЛГУ, 1967. - 21с.

24. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: о редукции к идеальному прибору в физике и технике. М.: Сов. радио, 1979. - 272с.

25. Malioutov D.M. A Sparse Signal Reconstruction Perspective for Source Localization with Sensor Arrays: Master of Science thesis. — Massachusetts: Institute of Technology, 2003. 172p.

26. Donoho D.L. For most large underdet'ermined systems of linear equations the minimal 61-norm solution is also the sparsest solution // Comm. Pure Appl. Math. / Stanford University. 2006. - Vol.59, no.6. - P.797-829.

27. Grasmair M., Haltmeier M., Scherzer O. Sparse Regularization with Cp Penalty Term // To appear in Inverse Probl. / University of Innsbruck. 2008. -P.l-13.

28. Foucart S., Lai M.-J. Sparsest solutions of underdetermined linear systems via 6p minimization for 0<p<l // Appl. Comput. Harmon. Anal. (Amsterdam). 2009. - Vol.26. - P.395-407.

29. Иванов В.К. Об оценке устойчивости квазирешений на некомпактных множествах // Изв. вузов. Матем. (Свердловск). 1974. - №5. - С.97-103.

30. Арсенин В.Я. О некорректно поставленных задачах // Успехи математических наук. 1976. - T.XXXI, вып.6(192). - С.23-31.

31. Плохута П.А. Исследование методов решения некорректных задач многосигнальной радиопеленгации на одной частоте : Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М.:МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. - 120с.

32. Гончарский А.В., Леонов А.С, Ягола А.Г. Некоторое обобщение принципа невязки для случая оператора, заданного с ошибкой // Докл. АН СССР. 1972. - Т.203, №6. - С. 1238-1239.

33. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи: Пер. с англ. / Под ред. А. П. Колмогорова. М.: Наука, 1973. - 590с.

34. Волович В.М., Новикова И.В. Стандартная программа для решения систем линейных алгебраических уравнений методом регуляризации. -М.: МГУ, 1968.-64с.

35. Кнуру Э.М., Меченов A.C. Стандартная программа решения линейных интегральных уравнений Фредгольма I рода методом регуляризации. -М.: МГУ, 1971.-30с.

36. Гавурин М.К. О методе А.Н. Тихонова решения некорректных задач // Методы вычислений. (Л.). - 1967. - Вып.4. — 21с.

37. Hansen P.C. Regularization tools: A Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems // Numer. Algorithms. — Boston: Springer U.S., 1994. -Vol.6. P.l-35.

38. Hansen P.C. Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve // SIAM Review. 1992. - Vol.34. -P.561-580.

39. Жданов А.И. Регуляризация неустойчивых конечномерных линейных задач на основе расширенных систем // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2005. Т.45, №11. - С. 19191927.

40. Логашенко И.Б. Обратная свертка // Современные методы обработки экспериментальных данных.URL.http://www.inp.nsk.su/chairs/fti/ download/Logashenko/Unfolding.pdf (дата обращения 17.09.2009)

41. Грешилов A.A. Анализ и синтез стохастических систем. Параметрические модели и конфлюентный анализ. М.: Радио и связь, 1990.-320с.

42. Турчин В.Ф., Нозик В.З. Статистическая регуляризация решения некорректных задач // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. -1969. — Т.5, №1. С.29-38.

43. Грешилов A.A., Назаренко Б.П., Плохута П.А. О пеленгации источников излучений // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана.

44. Естественные науки. 2007. - №3. - С.3-27.

45. Грешилов A.A., Плохута П.А. Многосигнальная пеленгация источников радиоизлучения на одной частоте // Вопросы защиты информации. -2008. — №1. С.61-67.

46. Грешилов A.A., Лебедев А. Л., Плохута П. А. Многосигнальная пеленгация источников радиоизлучения на одной частоте как некорректная задача // Успехи современной радиоэлектроники. -2008. -№3. С.30-46.

47. Грешилов A.A. Математические методы принятия решений: Учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 584с.

48. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1992. - 504с.

49. Лебедев А.Л. Решение некорректных задач методами многокритериального математического программирования // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2008. - Вып.4. - С.89-99.

50. Подиновский В.В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. — М.: Наука, Физматлит, 1982. 255с.

51. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1993. - 278с.

52. Плотников В.Н., Зверев В.Ю. Принятие решений в системах управления. Теория и проектирование алгоритмов принятия оперативных решений: Учебное пособие. М.: Изд-во МГТУ, 1993. -172с. *

53. Заде Л.А. Тени нечетких множеств // Проблемы передачи информации. 1966. - Том II, вып. 1. - С.7-44.

54. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений // Математика сегодня. 1974. - С.5-49.

55. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации: Учеб. пособие. 2-е изд., -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 368с.

56. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 320с.

57. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах: Учеб. пособие. 3-е изд. стер. - М.: Высшая школа, 2008. - 480с.: ил.

58. Coleman T.F., Y. Li A Reflective Newton Method for Minimizing a Quadratic Function Subject to Bounds on some of the Variables // SIAM Journal on Optimization. 1996. - Vol.6, №4. - P.1040-1058.

59. Gill P.E., Murray W., Saunders M.A., Wright M.H. Constrained nonlinear programming, in Optimisation / G.L. Nemhauser, A.H.G. Rinnooy Kan, M.J. Todd, eds. New-York (North-Holland). - 1989. - P. 171-210.

60. Coleman, T.F., Li Y. An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds // SIAM Journal on Optimization. 1996. -Vol.6. -P.418-445.

61. Coleman T.F., Li Y. On the Convergence of Reflective Newton Methods for Large-Scale Nonlinear Minimization Subject to Bounds // Mathematical Programming (Heidelberg). 1994. - Vol.67, №2. - P. 189-224.

62. Powell M.J.D. A Fast Algorithm for Nonlinearly Constrained Optimization Calculations // Numerical Analysis / G.A. Watson: Lecture Notes in Mathematics. -1978. Vol.630. - P.124-156.

63. Волков И.К., Загоруйко E.A. Исследование операций: Учеб для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Иэд-во МГГУ им. Н.Э. Баумана, 2000.-436с.

64. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. 3-е изд., испр. / А.В. Печинкин и др.; Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. - 456с.

65. Грешилов А.А. Некорректные задачи цифровой обработки информации и сигналов. — Изд. 2-е доп. — М.: Университетская книга; Логос, 2009. — 360с.: ил.

66. Оптимизация // Википедия — электронная энциклопедия. URL.http://ru.wikipedia.org/wiki/y словияКаруша-Куна-Таккера (датаобращения 21.08.2009)

67. Математическая статистика: Учеб. для вузов / В.Б. Горяинов и др.; Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Иэд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.-424с.

68. Шахтарин Б.И., Ковригин В.А. Методы спектрального оценивания случайных процессов. М.: Гелиос АРВ, 2005. — 247с.

69. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. М.: Гелиос АРВ, 2006.-Том 1.- 462с.

70. Информационные технологии в радиотехнических системах: Учебное пособие / В.А. Васин и др.; Под ред. И.Б. Федорова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 672с.: ил.

71. Положительное решение о выдаче патента на изобретение «Способ пеленгования с повышенной эффективностью» №2008106384/09(006913) от 22.09.2009 г.

72. Грешилов A.A., Лебедев A.JI. Определение пеленгов источников радиоизлучения на одной несущей частоте методами векторной оптимизаци // Вопросы защиты информации. 2009. - Вып.1. - С.19-25.

73. Материалы международной конференции по контролю за ядерными испытаниями.1ЖЬ.11йр://МКК2008/ОВКЕМТ/т0ех.р11р (дата обращения 02.12.2008)

74. Цепная реакция деления и атомный реактор // Ядерная физика в Интернете.URL.http://nuclphys.sinp.msu.ru/nuctechn/reactors/ (дата обращения 13.04.2009)

75. Способ определения концентрации изотопов инертных газов в смеси продуктов деления: а.с. 366771 СССР / A.A. Грешилов, В.М. Колобашкин заявл. 12.08.13; опубл. 1969. Бюлл. №7

76. Грешилов A.A., Тетюхин A.A. Алгоритм идентификации источников радиоактивных благородных газов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2003. №2. — С.3-19.

77. Kalinowski М.В., Pistner С. Isotopic signature of atmospheric xenonreleased from light water reactors // Journal of Environmental Radioactivity. 2006. - Vol.88. -P.215-235.

78. Report on Preparation for Radioxenon Global Emmision Inventory / M.B. Kalinowski M.B. et al. / University of Illinois at Urbana-Champaign. -2005. -39p.

79. Atmospheric xenon radioactive isotope monitoring / J.-P. Fontaine et al. // Journal of Environmental Radioactivity. 2004. - Vol.72. - P. 129-135.

80. SAUNA a system for automatic sampling, processing and analysis of radioactive xenon / A. Ringbom et al. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. - 2003. - A.508. -P.542-553.

81. Saey P.R.J., De Geer L.-E. Notes on radioxenon measurements for CTBT verification purposes // Applied Radiation and Isotopes. 2005. - Vol.63. -P.765-773.

82. Kalinowski M.B., Tuma M.P. Global radioxenon emission inventory based on nuclear power reactors report // Journal of Environmental Radioactivity. -2009.-Vol.100.-P.58-70.

83. Fission Products Yeilds // Ernest Orlando Lawrence Berkeley National Laboratory.URL.http://ie.lbl.gov/fission.html (дата обращения 24.03.2009)

84. JNDC Nuclear Data Library of Fission Products. Tokio. -1983.- 224p.

85. Грешилов A.A, Колобашкин B.M., Дементьев С.И. Продукты мгновенного деления U235, U2385 PU239 в интервале 0-1 ч: Справочник. -М.: Атомиздат, 1969. 104с.

86. Радиационные характеристики продуктов деления: Справочник / Н.Г. Гусев и др. М.: Атомиздат, 1974. - 224с.

87. Грешилов А.А., Лебедев A.JL, Плохута П.А. Газообразные продукты деления и сейсмика как идентификаторы ядерных взрывов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2009. - Вып.2. - С.92-115.

88. Гусев Н.Г., Дмитриев П.П. Радиоактивные цепочки: Справочник. — М.: Энергоатомиздат, 1988. 111с.

89. Герасимов А.С, Рудик А.П. Отравление реактора ксеноном-135. М.: Энергоатомиздат, 1982. - 95с.

90. Камерон И. Ядерные реакторы / Под ред. В.М. Новикова. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 320с.

91. Галанин А.Д. Введение в теорию ядерных реакторов на тепловых нейтронах. -М.: Энергоатомиздат, 1990. 534с.

92. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. — М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 348с.

93. Свидетельство 2009614790 о государственной регистрации Программы для ЭВМ ПО для идентификации источников радиоактивных благородных газов в атмосфере, авторы: A.A. Грешилов, A.JI. Лебедев 30.10.2009.

94. Свидетельство 2009614789 о государственной регистрации Программы для ЭВМ ПО для решения плохо обусловленных СЛАУ методами векторной оптимизации, авторы: A.A. Грешилов, А.Л. Лебедев, 30.10.2009.