автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы решения уравнений типа Абеля на компактных множествах и их применение к обратным задачам ультразвуковой потокометрии

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова физический факультет

Численные методы решения уравнений типа Абеля на компактных множествах и их применение к обратным задачам ультразвуковой потокометрии

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Николаева Наталия Николаевна

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор А. Г. Ягола (МГУ), доктор физико-математических наук, доцент М.Н. Рычагов (МИЭТ).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. С. Леонов (МИФИ); доктор физико-математических наук, профессор В. А. Буров (МГУ)

Ведущая организация: Военно-воздушная инженерная академия

им. Н. Е. Жуковского.

Защита состоится 19 мая 2005 г. в 15 час. на заседании диссертационного совета К 501.001.17 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан 18 апреля 2005 г. Ученый секретарь

диссертационного совета К 501.001.17 доктор физико-математических наук

П. А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В диссертации рассматриваются линейные интегральные уравнения типа Абеля первого рода, получившие широкое распространение в различных областях естественных наук. Особое внимание уделяется двум группам таких уравнений. Первая группа имеет вид:

где 0 < а < 1, 0 ^ < /?2 < оо, и(#1) = 0. К решению уравнений (В1) приводят обратные задачи механики, теории рассеяния и некоторые другие. Вторая группа имеет следующий вид:

где 0 < Й1 < Я2 < и(Й2) = 0. К решению уравнения (В2) приводят обратные задачи оптики, геофизики, физики плазмы, газодинамики, астрофизики, ультразвуковой потокометрии и многие другие.

Интегральные уравнения типа Абеля первого рода относятся к классу некорректно поставленных задач. Для получения адекватных результатов, на основе которых можно делать выводы об изучаемом явлении или объекте, необходимо разрабатывать регуляризирующие алгоритмы, учитывающие всю имеющуюся априорную информацию о структуре искомого решения, естественных с физической точки зрения ограничениях на его поведение. Использование определенным образом данной информации иногда позволяет выделить в пространстве предполагаемых решений некоторое компактное множество. Это даёт возможность применять эффективные алгоритмы, позволяющие находить приближенное решение, строго удовлетворяющее физическим характеристикам исследуемых объектов или изучаемых явлений.

(В1)

€

При практическом решении интегральных уравнений типа Абеля первого рода интересно не только приближенное решение, построенное с помощью регуляризируещего алгоритма, но и оценка его близости к точному решению. Известно, что если искомое решение принадлежит некоторому компактному множеству в банаховом пространстве, то в этом случае оказывается возможным построить не только приближенное решение некорректной задачи, но и получить оценку точности приближения. Естественно, что при решении модельных задач с известным точным решением всегда можно оценить погрешность уклонения приближенного решения от точного (визуально или в выбранной метрике) при любых входных данных и их погрешностях, и тем самым выбирать наилучшие алгоритмы её решения и контролировать желаемую точность вычислений. В реальных же задачах, в которых используются данные экспериментов, вопрос о выборе регуляризирующего алгоритма, позволяющего оценить погрешность приближенного решения, стоит особенно остро.

Другой важный фактор — погрешность аппроксимации задачи. Ясно, что при решении реальной задачи погрешность аппроксимации, которая зависит, прежде всего, от количества точек сегки, не должна вносить дополнительной ошибки в задачу. К сожалению, не для всех обратных задач такая возможность существует. Можно подобрать такое число точек восстановления решения, чтобы погрешностью, связанной с заменой искомого бесконечномерного решения некоторым конечномерным, можно было пренебречь. Но пренебречь ошибкой, которая появляется в случае ограниченного числа экспериментальных данных, не всегда удается, и поэтому её необходимо учитывать, что не всегда легко осуществимо в рамках выбранной схемы решения. При решении обратной задачи ультразвуковой потокометрии, в которой необходимо реконструировать осесимметричные профили скорости потока жидкостей или газов в каналах с круговым поперечным сечением по данным измерений в двух

или трёх точках, вопрос о том, можно ли использовать в этом случае интегральное уравнение типа Абеля для обработки экспериментальных данных и каким наилучшим образом оценить и учесть погрешность аппроксимации, является особенно актуальным.

Цель диссертации.

1. Создание новых математических методов приближённого решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах функций специального вида, которые допускают поточечную оценку погрешности получаемого приближения и удовлетворяют следующим дополнительным требованиям: а) учитывают специфику данного класса уравнений; б) являются достаточно гибкими, т. е. могут быть адаптированы к конкретной физической задаче; в) позволяют находить приближённое решение и оценивать его погрешность в зависимости от способа задания погрешностей входных данных и их числа; г) учитывают погрешность конечномерной аппроксимации исходной задачи; д) допускают построение области, которой принадлежит точное бесконечномерное решение задачи; е) могут быть использованы при любом числе экспериментальных данных.

2. Разработка вычислительных алгоритмов приближённого решения и оценки погрешностей решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода на множествах монотонных, выпуклых, монотонно-выпуклых ограниченных функций и множестве функций с известной конечной константой Липшица.

3. Создание программного комплекса с удобным пользовательским интерфейсом для нахождения приближённых решений уравнений типа Абеля и для оценки погрешностей найденных решений на множествах функций, перечисленных ранее.

4 Применение разработанных алгоритмов для моделирования задачи двумерной реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением в экспериментах использующих ультразвуковые многоплоскостные измерительные модули

Методика исследования базируется на основных положениях теории решения некорректных задач, интегральных уравнений, функционального анализа, линейного и квадратичного программирования, численных методов

Научная новизна данной работы состоит в следующем

1 Впервые построены вычислительные алгоритмы, допускающие поточечную оценку погрешности приближенного решения уравнений типа Абеля на компактных множествах, учитывающие специфику данного класса уравнений, погрешность входных данных и погрешность конечномерной аппроксимации задачи Предлагаемые методы решения позволяют гарантированно найти область, которой принадлежит точное бесконечномерное решение задачи Рассматриваемые алгоритмы могут быть испольюваны при любом числе экспериментальных данных

2 Впервые проведено математическое моделирование задачи двумерной реконструкции и оценки погрешности реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением на основе разработанных алгоритмов и использования специальных многоплоскостных ультразвуковых измерительных модулей Теоретически исследована методика обработки экспериментальных данных в случае ограниченного числа измерительных плоскостей

Практическая ценность полученных результатов заключается в том, что разработанные в работе алгоритмы решения уравнений типа

б

Абеля на множествах специальной структуры могут быть использованы в широких областях (например, в механике, томографии, астрофизике, спектроскопии, акустике, физике плазмы, оптике), так как рассматриваемый класс уравнений достаточно часто встречается в приложениях. Включение в математическую постановку задачи априорной информации (естественной с физической точки зрения) о принадлежности точного решения некоторому компактному множеству, дает возможность не только найти приближённое решение, но и построить область, которой принадлежит точное решение задачи, тем самым контролировать желаемую точность вычислений. Разработанные алгоритмы позволяют решать поставленную задачу за сотые доли секунды, что далеко не предел, в связи с развитием вычислительной техники, и поэтому могут быть использованы для обработки данных измерений в автоматическом режиме.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Предложены новые вычислительные алгоритмы, позволяющие находить приближённое решение интегральных уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах функций специального вида и оценивать поточечную погрешность получаемого приближения с учетом специфики данного класса уравнений, способа задания погрешностей входных данных и априорных ограничений на его поведение.

2. Созданы, обоснованы и реализованы в виде комплекса программ численные методы приближённого решения и оценки погрешностей решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода при условии, что точное решение задачи является

• монотонной ограниченной функцией,

• выпуклой ограниченной функцией,

• монотонно-выпуклой ограниченной функцией,

• функцией с известной конечной константой Липшица.

3. Разработаны подходы к построению области, которой принадлежат точное и все приближённые бесконечномерные решения поставленной задачи, использующие только оценку погрешности решения в узлах сетки и априорную информацию о принадлежности точного решения указанным выше классам функций.

4. С помощью предложенных в работе алгоритмов решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода, проведено численное моделирование задачи двумерной реконструкции и оценки погрешности реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением для экспериментов, использующих данные ультразвуковых многоплоскостных измерений потоков. Показано, что включение естественной априорной информации о монотонности, выпуклости, неотрицательности искомого решения и граничном условии на стенках транспортного канала позволяет гарантировать равномерную сходимость последовательности приближённых решений к точному решению, при стремлении погрешностей входных данных к нулю, и построить область, которой принадлежит точное решение задачи. Продемонстрирована возможность использования предложенных алгоритмов для обработки экспериментальных данных в автоматическом режиме (даже в случае очень малого числа измерительных плоскостей).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре "Цифровая визуализация: физические принципы, математические алгоритмы, технические решения", проводящемся в Московском институте электронной техники (МИЭТ) (техническом университете) под руководством доктора физико-математических наук, доцен-

та М.Н. Рычагова (8 июня 2004 г.), на семинаре "Обратные задачи математической физики'1, проводящемся в НИВЦ МГУ под руководством профессоров А. Б. Бакушинского, А. В. Тихонравова и А. Г. Яголы (16 марта 2005 г.), на конференциях "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, факультет ВМиК МГУ, 20-21 июня 2000 г., 1011 июня 2003 г.), "Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2002». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 10 апреля 2002 г), "Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 16 апреля 2003 г), "International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003" (Япония, Нагано, 18-21 февраля 2003 г.), "Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2004». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 13 апреля 2004 г), "Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2005». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 13 апреля 2005 г).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ (из них 7 статей в журналах и трудах конференций, б тезисов конференций). Ссылки на работы приведены в списке литературы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации —111 с, рисунков - 27, наименований в списке литературы —113.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дастся обзор существующих методов решения линейных интегральных уравнений типа Абеля первого рода Обосновывается актуальность создания регуляризирующих методов решения таких уравнений на компактных множествах функций специального вида, которые позволяют вместе с приближённым решением находить и его погрешность Приводится краткое описание содержания диссертации по главам

Первая глава диссертации посвящена описанию некоторых свойств интегральных уравнений типа Абеля первого рода Рассматривается математическая постановка задачи, её решение и возможность оценки погрешностей на компактных множествах функций специального вида

В §1 уравнение типа Абеля первого рода анализируется с точки зрения корректной по Ж Адамару постановки задачи Уравнение записывается в виде

где ^ и — линейные нормированные пространства Приводятся примеры, показывающие, что задача решения уравнения (1) в естественных с физической точки зрения нормированных пространствах [Ьч —» Ь%

является некорректно поставленной (нарушаются сразу два условия корректности 1) не для всех и € и решение существует, 2) решение неустойчиво относительно возмущения правой части

В § 2 рассматривается математическая постановка задачи, а в её решение и возможность оценки погрешностей при следующих условиях- 1) А 2 —> II — линейный непрерывный и инъективный оператор, 2) точное решение принадлежит компакту вместо точной

правой части м(£) 6 и имеется приближенная правая часть м<$(£) € V'

||щ - й\\и М > о или I- й(0| ^ 5(0, 5(0 > О УС 6 [Л],Щ,

5(£) £ 11. В качестве приближенного решения '¿¡> уравнения (1) принимается любой элемент из множества

г6м = {геМсг:\\Аг-щ\\и^б} или из множества

2*м = {г е М С 2 : |(Аг)(0 - «,(01 < ¿(0} в случае, когда погрешность входных данных задана коридором оши-

бок. Если положить 6

с

Цг/, то справедливо включение ¿"м v_ %

Поскольку г, 6 М, а М — компакт в то 2, —> 2 при £ —+ 0.

В качестве 2 рассматривается пространство £2[Яь йг] вещественных суммируемых функций г(г), заданных на отрезке [йь йг], с нормой

1/2

У г2(г) йг

||г||1,2[Д1,Л2] :

Пг

Приводятся примеры компактных множеств М, для которых приближенное решение сходится к точному на любом фиксированном отрезке [7, а] С (#1, Д2) и в пространстве С["/, а] с нормой

Погрешность решения поставленной задачи вводится двумя способами:

1) с помощью диаметра множества приближенных решений е(й):

е{5) = зир{||г1 - гг\\г : 2Ь22 € г6м (гьг2 е 26м)}-,

2) с помощью функции е(5,т), г 6 [Дх,

е(6,г) = яир{|21(г) - г2(г)| : 21,22 €

Для любого приближения г, € ^ (г$ € Цг, - ^ или |хг(г) - г(г)| ^ е(5,г), г € [Й1,й2]. Так как М —компакт и г € М, то е(5) -> 0 при 5 — 0.

и

В § 4 рассматриваются компактные множества функций специального вида, которые могут использоваться при практическом решении уравнений типа Абеля первого рода: 1) множество монотонных (невоз-растающих М[ или неубывающих М]) ограниченных функций; 2) множество выпуклых (вверх А1~ или вниз М,_,) ограниченных функций; 3) множество монотонно-выпуклых (невозрастающих выпуклых вверх М. невозрастающих выпуклых вниз неубывающих выпуклых

вверх МТ„ или неубывающих выпуклых вниз М] ^) ограниченных функций; 4) множество ограниченных функций с известной конечной константой Липшица М^.

Приводятся теоремы, показывающие, что если точное решение задачи г(т) принадлежит одному из множеств: С[Яь Щ}ПМ[, С{Н\, Нч)П М], М-,, , М[Ми, 2п(г) — произвольный элемент

из множества и <5П —> 0 при п -+ оо, то имеет место равномерная сходимость гп(г) к ¿(г) на произвольном отрезке [7,(7] С (7?1, Д2) при п —юс. Рассматриваются условия, при которых справедливы более сильные утверждения. Доказывается равномерная сходимость функций гп(г) 6 ^ , где 6п —> 0 при п —> оо на [Дьйг] к точному решению 2{г) 6 Мь.

Во второй главе диссертации предлагаются численные методы приближенного решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах функций специального вида и оценки погрешностей получаемого решения.

В § 1 рассматривается общая схема конечно-разностной аппроксимации задачи и строятся конечномерные множества приближенных решений. Уравнение типа Абеля записывается в общем виде

(уЦг))(0 = IЩ, ф(г)А- = «(О, * € Т, (2)

где К((,г) = (£ - г)'в, 0<а<1,Т={Я1<(Ц Я2), Д = {Д1 Г < е < Я2}, «№) 5 0 или Щ,г) = г(г2 - Г = {й < £ <

Д2}. D - {i?i ^ £ ^ r < Й2}, u{R<i) = 0. Предполагается следующее: 1) точное решение z(r) 6 М с ¿гИьйг]. М - компактное множество функций, рассмотренных в первой главе; 2) точная правая часть й(£) е ¿2(^1, Лг]- Выбираются сетки Хт и Х(:

Хт = -М" : R\ = п < г2 < ... < rn = R2,

Сеточные значения функций z(r) и it(£) обозначаются следующим образом: z(rt) = z,. «(£,) = и у Считается, что вместо точной правой части й(С) и точных сеточных значений й}, заданы векторы щ = (uf,..., м^) и Ö = (¿1,..., 6т), такие, что ^ Щ - и^ < 63, j = 1, т. Предлагаются два подхода к построению конечномерного множества приближенных решений уравнения (2).

Первый подход заключается в следующем. Функция z(r) заменяется кусочно-линейной функцией z„(r):

Zn{r) = Z, + ——~{г-гг), re[r„rl+i], П+1 - г,

где i = \,п- 1. Вводится оператор Ап: (Апг(г))(£) = (Azn(r))(0 для \fz € Z. В силу ограниченности нормы оператора А? §Anz — Аг\\и = ||A{zn - г)||у < (||2„ - z\\z < (\h(n), где ( — некоторая константа, значение которой вычисляется; h(n) — оценка сверху'для нормы || zn — z\\z-Для рассматриваемых в работе компактных множеств показывается, что h(n) —► 0 при п —> ос. В качестве множества приближенных решений принимается множество

Z^ = {zeM-.\\Anz-us\\u^ Д},

где Д = (/i(n) + 6 — заданная константа (при фиксированном п), определяющая погрешность входных данных. Переход к конечномерной задаче завершается аппроксимацией нормы в пространстве U = Rri\ (для

аппроксимации интегралов используются формулы трапеций):

то 2

1К* - щ\\Ъ * Е (м*) - «$) т„ (з)

где

Г-? = 2

;=1

7 = 1,

___ тп / п \2

а значения (Агп(г))(0) представимы в виде- (Агп(г))(£;) = Е ГАе

!=1

элементы задаются простыми аналитическими выражениями. По-

т

грешность правой части 6 находится по формуле ~ Е т,.

3=1

В качестве конечномерного множества приближенных решений задачи принимается множество, образованное пересечением многогранника априорных ограничений М и множества решений, сопоставимых по точности с исходными данными:

2

^ I у. ^ * J I ь!

]='

Здесь г = {г\, гг,.. ■, 2п) — вектор сеточных значений. Нахождение фиксированного приближенного решения гд сводится к минимизации квадратичной функции на множестве М одним из известных методов

Во втором подходе делаются дополнительные предположения о свойствах интегрального уравнения (2).

1) Существуют такие функции <£>'(г), ¡¿>"(г), ф1(г), чри(г), г1п(г) =

Е + Ф\г), г%{г) = £ ^(ф, + Г{г), что Щг) е М: 4(г) ^

1=1 »=1 _

г(г) ^ гЩ(г) на отрезке [Дь йг], где г, = г(г,); г = 1,п.

2) При подстановке г1п(г) и г"(г) в уравнение (2): (Аг4(г))(£) = Е +^(0; (А^О-ЖО = Е Функции«{(«, да

»=1 1=1

задаются аналитически.

Так как интегральный оператор Абеля — неотрицательный, то для всех функций г(г) € М: г'п(г) < г(г) г € [Яь Д2] и любого

£ € [Дь Дг] справедливо неравенство

В качестве конечномерного множества приближенных решений принимается множество

п

т

?еМ: г=! _

£ 3 = 1,771

где г^ - и^), - ^ - ш1((3), ти} = Множество 2%

представляет собой замкнутый выпуклый ограниченный многогранник, образованный пересечением многогранника М и выпуклого многогранного множества. Погрешность аппроксимации в данном случае учитывается автоматически. Фиксированное приближённое решение может быть найдено с помощью минимизации квадратичной функции (3) на множе-

стве 2$.

В § 2 рассматривается общая схема оценки погрешностей решения уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах функций специального вида. Поскольку все элементы множества являются приближенными решениями задачи, то погрешность решения (с учётом погрешностей входных данных и аппроксимации) определяется следующим образом: 1) с помощью значения е(Д):

е(Д) = вир{||21 - г2\\г ■■ ч, € (гь г2 € 2) с помощью функции е(Д, г), г е [Яь Яг]'

б(Д, г) = зирЦг^г) - ф)|: гиг2 е Сч.Зг 6 2$)}.

Предлагается простой, с точки зрения численной реализации, алгоритм вычисления погрешностей е(Д) и е(А,г), который основан на нахождении функций г1 [г) и ги(г), ограничивающих множество приближенных

решений (2$) снизу и сверху (Чг(г) е 2^ (г(г) £ 2^) справедливо неравенство г1 {г) ^ г(г) ^ гы(г), г £ [Я}, Яг])- В этом случае

(4)

¡(Д.гК^ч'М, ге[ДьД2]. (5)

Построение функций 21(г). г"(г) осуществляется следующим образом.

1) Вычисляются минимальные ъ\ и максимальные г" значения, которые может принимать каждая координата вектора г на множестве

(2щ). Эти значения определяют погрешность любого конечномерного решения в п точках: V? € ^ (? € выполняется неравенство х\ < г; ^ г", г = 1,п. Задача нахождения г" сводится к минимизации линейной функции /(г) = г € 1,п на множестве (2^) {г[ = пф, : г € ^ (* € ££)}, а? = шЦ-г* ££)}).

Если в качестве конечномерного множества приближенных решений рассматривается множество 2^, то решаются 2п задач линейного программирования с помощью модифицированного симплекс-метода. Если в качестве конечномерного множества приближенных решений рассматривается множество то сначала проводится аппроксимация данного множества некоторым выпуклым многогранником V Э 2^, а затем также решаются 2п задач линейного программирования.

2) Используется информация о структуре компактного множества, позволяющая по найденным сеточным значениям г\, г" построить функции г1(г) и хи(г), такие, что г!(г) < тГ{г(г) : г € 2^ [г е 2^)} и

Функции г'(г), ги(г) выделяют на графике область, в которой лежат точное и все приближённые решения задачи, что очень удобно на практике не только для вычисления погрешностей по формулам (4), (5), но и для визуального контроля точности вычислений и выбора наилучшего приближённого решения.

Рис. 1. Точное решение (—); приближённое решение (•); функции г'(г) (—), г"(г) (—), ограничивающие множество (®) снизу и сверху: а) решение на множестве М[ при п — 80, гп — 40 иа|= и3; б) решение на множестве М \ „ при п = 60, т = 20 и и' = й}.

В §3 для каждого компактного множества рассматривается построение конечномерного множества М, предлагаются алгоритмы нахождения функций <р1г(г), ¡р"(г), ф1(г), фи{г), г1п(г), оценивается величина Ь.(п). описываются методы построения г1 (г), ги(г) по сеточным значениям г\, г", вычисляются погрешности е(Д), б(Д,г).

В §4 рассматривается решение уравнений типа Абеля с ядром г) = (£ - г)~а. В разделе 4.1 вычисляются элементы а]1у входящие в формулу (3), и оценивается константа В разделах 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 вычисляются коэффициенты и"г, «.>'•, гу" для следующих множеств: М|, М| (раздел 4.2), М^, М_ (раздел 4.3); М.Ц, Ми, (раздел 4.4); М(раздел 4.5). Эффективность предложенных в работе алгоритмов приближённого решения и оценки погрешностей решения демонстрируется на большом числе модельных примеров. Результаты вычислений для двух из них показаны на Рис. 1.

В § 5 рассматривается решение уравнения типа Абеля с ядром следующего вида: К((,,г) = г(г2 - £2)-1/2. Все вычисления проводятся по

схеме, описанной в § 4.

В третьей главе диссертации проводится математическое моделирование задачи двумерной реконструкции и оценки погрешностей реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением на основе предложенных в работе алгоритмов решения уравнений типа Абеля и использования специальных многоплоскостных ультразвуковых измерительных модулей.

Рассматриваются естественные с физической точки зрения ограничения на форму профиля скорости невозмущенного осесимметричного потока в центральном сечении канала, которые позволяют использовать в качестве компактных множеств, содержащих точное решение задачи, следующие множества: а) множество монотонных невозрастающих ограниченных функций, б) множество монотонных невозрастающих выпуклых вверх ограниченных функций. Для каждого из указанных множеств анализируется характер сходимости последовательности приближенных решений к точному и величина ошибки с учетом граничного условия на стенках транспортного канала. Теоретически исследуется методика обработки экспериментальных данных в случае малого числа измерительных плоскостей. Проводятся численные эксперименты, показывающие эффективность предложенных в работе алгоритмов реконструкции и оценки погрешностей реконструкции. Предлагаются численные методы построения области, которой принадлежит точный осесимметричный профиль скорости невозмущенного потока. На Рис. 2 представлены результаты вычислений при наличии двух и одиннадцати измерительных плоскостей.

В конце главы приводится описание программного комплекса, созданного на основе предложенных в работе алгоритмов и предназначенного для численного решения уравнений типа Абеля первого рода и оценки погрешностей решения на компактных множествах функ-

Рис. 2. Точное решение (—); функции г'(т) (—), г "(г) (—), построенные по соответствующим сеточным значениям zj (•), z" (■) и ограничивающие множество приближённых решений (Ш) снизу и сверху: а) решение на множестве MI . при наличии двух измерительных плоскостей и п = 100; б) решение на множестве Mi, при наличии 11 измерительных плоскостей и п — 100.

ций специального вида. Комплекс написан на языке программирования Fortran 90 с использованием вещественных чисел двойной точности. Все расчёты производятся за сотые доли секунды, поэтому программный комплекс может быть использован для обработки экспериментальных данных в автоматическом режиме.

Ядро программного комплекса имеет следующую структуру: 1) блок чтения входных данных (в этом блоке происходит чтение и проверка входных данных из файла); 2) блок формирования начальных данных (здесь осуществляется формирование начальных векторов и матриц априорных ограничений); 3) блок решения; 4) блок вывода.

Для удобства работы пользователя с данным программным комплексом был создан интерфейс в среде Microsoft Visual Studio.NET. В качестве языков программирования использовались Fortran 90 и Visual C + + .

Программный интерфейс построен как "Мастер'-приложение, т. е.

вся программа разделена на несколько шагов, которые необходимо последовательно пройти: 1) выбор решаемой задачи (выбор ядра интегрального уравнения типа Абеля, метода решения и т. п.); 2) выбор компактного множества и формирование сеток; 3) вычисление погрешностей входных данных; 4) нахождение приближенного решения; 5) построение функций, ограничивающих множество приближенных решений сверху и снизу; 5) вычисление погрешностей в выбранной метрике.

В качестве результата работы программы пользователь может: 1) выбрать файл, в который будет записана все необходимая информация о решении, погрешностях, времени работы программы; 2) построить график с решением и областью, которой принадлежит точное и все приближённые решения задачи; 3) сохранить построенный график в выбранном формате.

Заключение содержит основные результаты диссертационной работы:

1. Предложены математические методы, которые позволяют находить приближённое решение интегральных уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах функций специального вида и оценивать погрешность получаемого приближения (как по норме, так и в каждой точке области определения), тем самым контролировать желаемую точность вычислений, что является принципиально новым для данного класса уравнений.

2. При построении вычислительных алгоритмов были учтены следующее моменты: 1) свойства уравнений типа Абеля, что позволило эффективным образом оценить погрешность конечномерной аппроксимации задачи; 2) способ задания ошибки во входных данных, в зависимости от которого были предложены различные схемы построения конечномерного множества приближенных решений, нахождения фиксированного приближённого решения и оценки его погрешностей; 3) возможность включения в алгоритмы решения дополнительных ограничений,

характерных для той или иной конкретной физической задачи; 4) возможность использования разработанных методов в случае малого числа экспериментальных данных.

3. В работе предложены, обоснованы и реализованы подходы, позволяющие гарантированно найти область, которой принадлежат точное и все приближённые бесконечномерные решения поставленной задачи. При построении области используется информация только о погрешности в узлах сетки и априорные ограничения на форму неизвестного решения.

4. Разработаны и реализованы численные методы решения и оценки погрешностей решения уравнений типа Абеля на следующих компактных множествах: 1) на множестве монотонных (невозрастающих или неубывающих) ограниченных функций; 2) на множестве выпуклых (вверх или вниз) ограниченных функций; 3) на множестве монотонно-выпуклых (невозрастающих выпуклых вверх, невозрастающих выпуклых вниз, неубывающих выпуклых вверх или неубывающих выпуклых вниз) ограниченных функций; 4) на множестве ограниченных функций с известной конечной константой Липшица. Все алгоритмы легко обобщаются на случай кусочно-монотонных, кусочно-выпуклых или кусочно-монотонных и выпуклых функций.

5. Создан программный комплекс с удобным пользовательским интерфейсом, в основе которого лежат алгоритмы,'предложенные в диссертации. Данный комплекс позволяет находить приближённое решение уравнения типа Абеля на компактных множествах функций специального вида при любом числе входных данных и оценивать погрешность получаемого приближения (как по норме, так и в каждой точке области определения). Благодаря высокой скорости расчёта (сотые доли секунды), программный комплекс может быть использован для обработки экспериментальных данных в автоматическом режиме.

6. С помощью предложенных в работе алгоритмов, проведено чис-

ленное моделирование задачи двумерной реконструкции и оценки погрешностей реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением для экспериментов, использующих данные ультразвуковых многоплоскостных измерений потоков. Показано, что включение естественной априорной информации о монотонности, выпуклости, неотрицательности искомого решения и граничном условии на стенках транспортного канала, позволяет гарантировать равномерную сходимость последовательности приближённых решений к точному решению при стремлении погрешностей входных данных к нулю и построить область, которой принадлежит точное решение задачи. Продемонстрирована возможность использования уравнения типа Абеля и предложенных алгоритмов для обработки экспериментальных данных в случае малого числа измерительных плоскостей.

Автор хотела бы выразить искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Анатолию Григорьевичу Яголе за постоянное внимание к работе, совместное обсуждение полученных результатов и помощь.

Автор благодарна научному консультанту доктору физико-математических наук, доценту Московского института электронной техники (технического университета) Михаилу Николаевичу Рычагову за тесное научное сотрудничество, ценные советы и предоставленные материалы, необходимые для моделирования и решения обратных задач ультразвуковой иотокометрии.

Также хотелось бы выразить признательность всем сотрудникам кафедры математики физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, а также участникам научного семинара "Цифровая визуализация: физические принципы, математические алгоритмы, технические решения", проводящемся в Московском

институте электронной техники (техническом университете) и семинара "Обратные задачи математической физики", проводящемся в Научно-исследовательском вычислительном центре Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, за многочисленные полезные советы и ценные замечания, приведшие к развитию алгоритмов решения уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах и получению новых результатов.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] НИКОЛАЕВА Н. Н., ТИТАРЕНКО В.Н., ЯГОЛА А. Г. Оценка погрешности линейных некорректных задач при наличии априорной информации на примере обратной задачи для уравнения теплопроводности. — В тезисах докладов VI конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи", Москва, МГУ, 20-21 июня 2000 г.-М.: МАКС Пресс, 2000, с. 57.

[2] ТИТАРЕНКО В.Н., ЯГОЛА А. Г., НИКОЛАЕВА Н.Н. Оценка погрешности решения некоторых задач Коши для уравнения Лапласа. — Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2001, № 1, с. 21-24.

[3] DOROFEEV K.YU., NKOLAEVA N.N., TlTARENKO V. N., YAGOLA A.G. New approaches to error estimation to ill-posed problems with applications to inverse problems of heat conductivity. -Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2002, Vol. 10, pp. 155-170.

[4] НИКОЛАЕВА Н. H. Оценка погрешности решения уравнения Абеля на некоторых компактных множествах. - В сборнике тезисов IX Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2002», Москва, МГУ. 10 апреля 2002 г. Секция «Физика». - М.: Физ. фак МГУ, 2002, с. 43-44.

[5] НИКОЛАЕВА Н. Н. Влияние априорной информации на оценку погрешности реконструкции симметричных профилей скорости. — В сборнике тезисов X Международной конференции студентов, аспирантов и -молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003», Москва, МГУ, 16 апреля 2003 г. Секция «Физика».- М.: Физ. фак. МГУ, 2003, с. 42-43.

[6] НИКОЛАЕВА Н Н , РЫЧАГОВ М Н ЯГОЛА А Г Оценка погрешности реконструкции симметричных профилей скорости

В тезисах докладов VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи", Москва, МГУ, 10 11 июня 2003 г -М МАКС Пресс, 2003, с 49

[7] NKOLAEVA N N , YAGOLA A G Error estimation of the reconstruction of symmetric velocity profiles using Abel type integral equation —In "Abstracts ISIP2003 International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003 18 21 February,

2003, Nagano City, Japan" 2003, pp 82-83

[8] NIKOLAEVA N N RYCHAGOV M N , YAGOLA A ,G Error estimation of the reconstruction of symmetric velocity profiles using Abel type integral equation —Inverse problems in engineering mechanics IV International Symposium on Inverse Problems m Engineering Mechanics 2003 (ISIP 2003) Nagano, Japan (ed Tanaka M ) - Elsevier, 2003, pp 465-474

[9] НИКОЛАЕВА H H , ТИТАРЕНКО В Н , ЯГОЛА А Г Оценка погрешности решения уравнения Абеля на множествах монотонных и выпуклых функций —Сибирский журнал вычислительной математики 2003, Т 6, Ж> 2, с 171-180

[10] НИКОЛАЕВА Н Н , РЫЧАГОВ М Н , ТИТАРЕНКО В Н , ЯГОЛА А Г Оценка погрешности рекон( трущий симметричных про филей скорости в многоплоскостных измерительных модулях — Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики

2004, Т 44, № 1, с 18-29

[И] НИКОЛАЕВА Н Н Оценка погрешности эффективных сечений фотоядерных реакций — В сборнике тезисов XI Международной

конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2004», Москва, МГУ, 13 апреля 2004 г Секция «Физика» - М Физ фак МГУ, 2004, с 146-148

[12] NKOLAEVA N N , TTARENKO V N , YAGOLA A G An error estimation for a solvhon of Abel equation — Numerical Functional Analysis and Optimization 2004, Vol 25, № 3-4, pp 259-269

[13] НИКОЛАЕВА H H , РУЧКИН С В РЫЧАГОВ М Н , ЯГОЛА А Г

Численное моделирование задачи двумерной реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости Вычислительные методы и программирование 2005, Т 6, с 9-16

ООП Физ ф-та МГУ Заказ 69400-05

06. id-

963

Введение

Глава 1. Об уравнениях типа Абеля и сходимости приближенных решений на компактных множествах

1.1 Анализ уравнения типа Абеля с точки зрения корректности задачи

1.2 Постановка задачи.

1.3 Приближенное решение и оценка погрешности.

1.4 Сходимость приближенных решений на некоторых компактных множествах.

1.4.1 Множество монотонных ограниченных функций.

1.4.2 Множества выпуклых и монотонно-выпуклых ограниченных функций.

1.4.3 Множество функций с известной константой Липшица

Глава 2. Численные методы решения и оценки погрешностей решения уравнений типа Абеля на компактных множествах

2.1 Общая схема конечномерной аппроксимации и нахождения приближенного решения.

2.2 Общая схема оценки погрешности решения.

2.3 Решение и оценка погрешностей решения на некоторых компактных множествах.

2.3.1 Множество монотонных ограниченных функций.

2.3.2 Множество выпуклых ограниченных функций.

2.3.3 Множество монотонно-выпуклых ограниченных функций

2.3.4 Множество функций с известной константой Липшица

2.4 Уравнение типа Абеля с ядром К(£, ?") = (£ — г)~а.

2.4.1 Дополнительные построения

2.4.2 Монотонные функции.

2.4.3 Выпуклые функции

2.4.4 Монотонно-выпуклые функции.

2.4.5 Функции с константой Липшица.

2.5 Уравнение типа Абеля с ядром #(£,r) = r(r2 -£2)-1/2.

2.5.1 Дополнительные построения.

2.5.2 Монотонные функции.

2.5.3 Выпуклые функции.

2.5.4 Монотонно-выпуклые функции.

2.5.5 Функции с константой Липшица.

Глава 3. Моделирование задачи двумерной реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости по данным ультразвуковых измерений

3.1 Многоплоскостная ультразвуковая потокометрия.

3.2 Конструкция измерительного модуля.

3.3 Методика обработки ультразвуковых данных.

3.3.1 Средняя скорость потока.

3.3.2 Основное уравнение реконструкции

3.3.3 Входные данные и априорные ограничения.

3.3.4 Реконструкция и оценка погрешностей реконструкции

3.3.5 Численное моделирование.

3.4 Программный комплекс.

Актуальность темы диссертации. В настоящее время во многих областях естественных наук все чаще появляются задачи, решение которых сводится к решению линейных интегральных уравнений типа Абеля первого рода. Наибольшее распространение получили две группы таких уравнений. Первая группа имеет вид: где 0 < а < 1, 0 ^ Ri < R2 < оо, u(R\) = 0. К решению уравнений типа (В1) приводят обратные задачи механики, теории рассеяния и некоторые другие [1, 2, 3]. При а = 1/2, Ri = 0 уравнение (В1) впервые было получено Н. X. Абелем в 1823 г. при обобщении задачи о нахождении кривой, скользя вдоль которой без трения тяжелая частица достигнет своего самого низкого положения за одно и тоже время, независимо от ее начального положения [4]. Вторая группа имеет следующий вид: где 0 ^ .Ri < Я2 < 00, w(i?2) = 0. К решению уравнения (В2) приводят обратные задачи оптики [5], сейсмологии [6, 7, 8], физики плазмы [9, 10], газодинамики [11], астрофизики [12, 13, 14], ультразвуковой потокометрии [15] и многие другие [16, 17].

Уравнениям типа Абеля всегда уделялось особое внимание. Различным

В1)

В2) свойствам данного класса уравнений, вопросам существования решения, его единственности, устойчивости посвящено огромное количество работ. Наиболее важные результаты и обширная библиография представлены в работах [1, 18, 19, 20, 21, 22, 23].

К настоящему времени разработаны и широко применяются несколько подходов к численному решению интегральных уравнений типа Абеля первого рода. Обзор различных алгоритмов можно найти, например, в [1, 2, 9, 11]. Существующие методы решения можно условно разделить на две категории.

К первой категории относятся алгоритмы, использующие одну из формул обращения [24, 25, 26, 27, 28]. Правая часть уравнения типа Абеля аппроксимируется некоторой функцией, чаще линейной комбинацией многочленов, сглаживающими сплайнами или кусочно-полиномиальными функциями. Зачастую вопрос об устойчивости и сходимости таких методов остается открытым. В некоторых случаях, при дополнительных ограничениях на правую часть и характер ошибок, удается получить приемлемые результаты с помощью регуляризации дифференцирования [28]. Несомненным преимуществом методов является простота, существенном недостатком — невозможность применения при малом числе экспериментальных данных и весомой погрешности в правой части и(£). Кроме того, алгоритмы не могут гарантировать, что структура получаемого приближенного решения будет соответствовать естественным физическим представлениям об изучаемом явлении или объекте.

Ко второй категории относятся алгоритмы, в которых уравнение типа Абеля решается как обратная задача [1, 2, 9, 14, 29]. Их можно разделить на две группы.

К первой группе относятся методы, которые не учитывают некорректность задачи и строятся на основе классических численных методов. К ним примыкают алгоритмы решения, не использующие погрешность входных данных в постановке задачи и процессе вычисления. Такие алгоритмы являются неустойчивыми к ошибкам входных данных, и поэтому не могут быть использованы для обработки данных реального эксперимента.

В основе алгоритмов второй группы лежит понятие регуляризирующего алгоритма [30, 31], введенное академиком А. Н. Тихоновым в 60-х годах прошлого века, как способа приближенного решения некорректной задачи. Следует отметить, что после основополагающих работ А. Н. Тихонова [30, 31, 32, 33, 34, 35], М.М. Лаврентьева [36, 37] и В. К. Иванова [38, 39, 40, 41] теория некорректных задач была развита многими учеными в применении к разным областям науки и техники. Некоторые результаты работы отечественных и зарубежных ученых представлены в [42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70]. Метод регуляризации А. Н. Тихонова широко применяется для решения уравнений типа Абеля первого рода. Он обеспечивает равномерную сходимость приближенного решения к точному, но, к сожалению, не всегда отвечает требованиям экспериментаторов относительно характера получаемого решения.

Некорректные задачи по своей сути являются недоопределенными задачами, так как в них не хватает информации для построения единственного решения, устойчивого по отношению к погрешностям входных данных. Для получения адекватных результатов, на основе которых можно делать выводы об изучаемом явлении или объекте, необходимо разрабатывать регуляри-зирующие алгоритмы, учитывающие всю имеющуюся априорную информацию о структуре искомого решения, естественных с физической точки зрения ограничениях на его поведение. Использование определенным образом данной информации иногда позволяет выделить в пространстве предполагаемых решений некоторое компактное множество и применять эффективные алгоритмы ее решения [13, 48, 53, 59, 60, 62, 71], позволяющие находить приближенное решение, строго удовлетворяющее физическим характеристикам исследуемых объектов или изучаемых явлений.

При практическом решении интегральных уравнений типа Абеля первого рода интересно не только приближенное решение, построенное с помощью регуляризируещего алгоритма, но и оценка его близости к точному решению. Следует отметить, что при решении модельных задач с известным точным решением, всегда можно оценить погрешность уклонения приближенного решения от точного (визуально или в выбранной метрике) при любых входных данных и их погрешностях, и тем самым выбирать наилучшие алгоритмы ее решения и контролировать желаемую точность вычислений. В реальных же задачах, в которых используются данные экспериментов и точное решение не известно, вопрос о выборе регуляризирующего алгоритма, позволяющего оценить погрешность приближенного решения, стоит особенно остро.

Известно, что для некорректных задач в общем случае невозможно не только построить погрешность приближенного решения [58], но даже оценить скорость его сходимости к точному [72, 73]. Однако, для широкого класса обратных задач, решение которых сводится к решению уравнения типа Абеля, существует априорная информация о характере искомого решения (его монотонность, выпуклость и т.п.), которая дает возможность построить не только приближенное решение некорректной задачи, но и получить равномерную оценку точности приближения. Практическая задача определения ошибки довольно сложна, и поэтому обычно поступают следующим образом: в пределах ошибки случайным образом возмущают входную информацию. Полученные решения образуют "коридор", который дает некоторое представление об ошибке решения. Такой подход, естественно, не может гарантировать попадания неизвестного точного решения в "коридор", и тем самым служить практическим методом, позволяющим контролировать точность вычислений.

Другой важный фактор — погрешность аппроксимации задачи. Ясно, что при решении реальной задачи погрешность аппроксимации, которая зависит, прежде всего, от количества точек сетки, должна быть таковой, чтобы не вносить дополнительной погрешности в задачу. К сожалению, не для всех обратных задач это возможно. Конечно, всегда можно подобрать такое число точек восстановления решения, чтобы погрешностью, связанной с заменой искомого бесконечномерного решения некоторым конечномерным, можно было пренебречь. Но пренебречь погрешностью, которая появляется в случае ограниченного числа экспериментальных данных, не всегда удается, и поэтому ее необходимо учитывать, что не всегда легко осуществимо в рамках выбранной схемы решения. При решении обратной задачи ультразвуковой потоко-метрии, в которой необходимо реконструировать осесимметричные профили скорости потока жидкостей или газов в каналах с круговым поперечным сечением по данным измерений в двух или трех точках, вопрос о том, можно ли использовать интегральное уравнение типа Абеля для обработки экспериментальных данных и как наилучшим образом оценить и учесть погрешность аппроксимации, является особенно актуальным. Цели и задачи исследования.

1. Создание новых математических методов приближенного решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах функций специального вида, которые допускают поточечную оценку погрешности получаемого приближения и удовлетворяют следующим дополнительным требованиям: а) учитывают специфику данного класса уравнений; б) являются достаточно гибкими, т. е. могут быть адаптированы к конкретной физической задаче; в) позволяют находить приближенное решение и оценивать его погрешность в зависимости от способа задания погрешностей входных данных и их числа; г) учитывают погрешность конечномерной аппроксимации исходной задачи; д) допускают построение области, которой принадлежит точное бесконечномерное решение задачи; е) могут быть использованы при любом числе экспериментальных данных.

2. Разработка вычислительных алгоритмов приближенного решения и оценки погрешностей решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода на множествах монотонных, выпуклых, монотонно-выпуклых ограниченных функций и множестве функций с известной конечной константой Липшица.

3. Создание программного комплекса с удобным пользовательским интерфейсом для нахождения приближенных решений уравнений типа Абеля и для оценки погрешностей найденных решений на множествах функций, перечисленных ранее.

4. Применение разработанных алгоритмов для моделирования задачи двумерной реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением в экспериментах, использующих ультразвуковые многоплоскостные измерительные модули.

Методика исследования базируется на основных положениях теории решения некорректных задач, интегральных уравнений, функционального анализа, линейного и квадратичного программирования, численных методов.

Научная новизна данной работы состоит в следующем.

1. Впервые построены вычислительные алгоритмы, допускающие поточечную оценку погрешности приближенного решения уравнений типа Абеля на компактных множествах, учитывающие специфику данного класса уравнений, погрешность входных данных и погрешность конечномерной аппроксимации задачи. Предлагаемые методы решения позволяют гарантированно найти область, которой принадлежит точное бесконечномерное решение задачи. Рассматриваемые алгоритмы могут быть использованы при любом числе экспериментальных данных.

2. Впервые проведено математическое моделирование задачи двумерной реконструкции и оценки погрешности реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением на основе разработанных алгоритмов и использования специальных многоплоскостных ультразвуковых измерительных модулей. Теоретически исследована методика обработки экспериментальных данных в случае ограниченного числа измерительных плоскостей.

Практическая ценность полученных результатов заключается в том, что разработанные в работе алгоритмы решения уравнений типа Абеля на множествах специальной структуры могут быть использованы в широких областях (например, в механике, томографии, астрофизике, спектроскопии, акустике, физике плазмы, оптике), так как рассматриваемый класс уравнений достаточно часто встречается в приложениях. Включение в математическую постановку задачи априорной информации (естественной с физической точки зрения) о принадлежности точного решения некоторому компактному множеству, дает возможность не только найти приближенное решение, но и построить область, которой принадлежит точное решение задачи, тем самым контролировать желаемую точность вычислений. Разработанные алгоритмы позволяют решать поставленную задачу за сотые доли секунды, что далеко не предел, в связи с развитием вычислительной техники, и поэтому могут быть использованы для обработки данных измерений в автоматическом режиме.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Предложены новые вычислительные алгоритмы, позволяющие находить приближенное решение интегральных уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах функций специального вида и оценивать поточечную погрешность получаемого приближения с учетом специфики данного класса уравнений, способа задания погрешностей входных данных и априорных ограничений на его поведение.

2. Созданы, обоснованы и реализованы в виде комплекса программ численные методы приближенного решения и оценки погрешностей решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода при условии, что точное решение задачи является

• монотонной ограниченной функцией,

• выпуклой ограниченной функцией,

• монотонно-выпуклой ограниченной функцией,

• функцией с известной конечной константой Липшица.

3. Разработаны подходы к построению области, которой принадлежат точное и все приближенные бесконечномерные решения поставленной задачи, использующие только оценку погрешности решения в узлах сетки и априорную информацию о принадлежности точного решения указанным выше классам функций.

4. С помощью предложенных в работе алгоритмов решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода, проведено численное моделирование задачи двумерной реконструкции и оценки погрешности реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением для экспериментов, использующих данные ультразвуковых многоплоскостных измерений потоков. Показано, что включение естественной априорной информации о монотонности, выпуклости, неотрицательности искомого решения и граничном условии на стенках транспортного канала позволяет гарантировать равномерную сходимость последовательности приближенных решений к точному решению, при стремлении погрешностей входных данных к нулю, и построить область, которой принадлежит точное решение задачи. Продемонстрирована возможность использования предложенных алгоритмов для обработки экспериментальных данных в автоматическом режиме (даже в случае очень малого числа измерительных плоскостей).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре "Цифровая визуализация: физические принципы, математические алгоритмы, технические решения", проводящемся в Московском институте электронной техники (МИЭТ) (техническом университете) под руководством доктора физико-математических наук, доцента М. Н. Рычагова (8 июня 2004 г.), на семинаре "Обратные задачи математической физики", проводящемся в НИВЦ МГУ под руководством профессоров А. Б. Бакушинского, А. В. Тихо-нравова и А. Г. Яголы (16 марта 2005 г.), на конференциях "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, факультет ВМиК МГУ, 20-21 июня 2000 г., 10-11 июня 2003 г.), "Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2002». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 10 апреля 2002 г), "Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 16 апреля 2003 г), "International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003" (Япония, Нагано, 18-21 февраля 2003 г.), "Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2004». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 13 апреля 2004 г).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ (из них 7 статей в журналах и трудах конференций, 6 тезисов конференций). Ссылки на работы приведены в списке литературы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе описываются некоторые свойства интегральных уравнений типа Абеля первого рода. Рассматривается математическая постановка задачи, ее решение и возможность оценки погрешностей при следующих условиях: 1) точное решение z(r) принадлежит компактному множеству М С Z; 2) вместо точной правой части й(£) £ U имеется приближенная правая часть щ{0 е и такая, что |\щ - й\\и < 6, <5 ^ 0 или |- й(01 < <5(0, > 0 € U в случае, когда погрешность входных данных задана коридором ошибок; 3) интегральный оператор Абеля А : Z —► U — линейный, непрерывный и инъективный. В качестве пространства Z рассматривается пространство L2[Ri, R2], а в качестве компактных множеств используются множества монотонных, выпуклых, монотонно-выпуклых ограниченных функций и функций с известной конечной константой Липшица. Приводятся теоремы, доказывающие равномерную сходимость последовательности приближенных решений на некоторых подмножествах областей определения решений. Для монотонных непрерывных, выпуклых и монотонно-выпуклых функций — любой замкнутый отрезок, не содержащий концов области определения решения. Для функций с известной константой Липшица —вся область определения. Рассматриваются условия, при которых справедливы более сильные утверждения.

Во второй главе предлагаются численные методы приближенного решения уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах функций специального вида и оценки погрешностей получаемого решения. Рассматриваются два подхода к построению конечномерного множества приближенных решений в зависимости от способа задания погрешностей входных данных. В первом подходе предполагается, что известна среднеквадратичная погрешность уклонения приближенной правой части от точной. В этом случае конечномерное множество приближенных решений представляет собой замкнутое выпуклое ограниченное множество, образованное пересечением многогранника и эллипсоида. Нахождение приближенного решения сводится к минимизации квадратичной функции, а погрешности к минимизации и максимизации линейной функции на заданном множестве. Во втором подходе предполагается, что погрешность входных данных задача коридором ошибок. Тогда, при определенных условиях, конечномерное множество приближенных решений можно представить как замкнутый выпуклый ограниченный многогранник.

Решая задачи линейного программирования, можно оценить погрешность в узлах сетки без нахождения приближенного решения. Для первого подхода погрешность аппроксимации оценивается, для второго — учитывается автоматически. Предлагаются методы построения области, которой принадлежит точное бесконечномерное решение задачи, использующие только оценку погрешности в узлах сетки и априорную информацию о принадлежности точного решения заданному компактному множеству. Подробно рассматриваются численные методы приближенного решения и оценки погрешностей решения уравнений типа Абеля первого -рода на множествах монотонных, выпуклых, монотонно-выпуклых ограниченных функций и ограниченных функций с известной конечной константой Липшица. Эффективность предложенных алгоритмов демонстрируется на большом числе модельных примеров.

В третьей главе проводится математическое моделирование задачи двумерной реконструкции и оценки погрешностей реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением на основе предложенных в работе алгоритмов решения уравнений типа Абеля и использования специальных многоплоскостных ультразвуковых измерительных модулей. Рассматриваются естественные с физической точки зрения ограничения на форму профиля скорости невозмущенного потока в центральном сечении канала, которые позволяют использовать в качестве компактных множеств, содержащих точное решение задачи, следующие множества: а) множество монотонных невозрас-тающих ограниченных функций; б) множество монотонных невозрастающих выпуклых вверх ограниченных функций. Анализируется характер сходимости последовательности приближенных решений к точному для каждого из указанных выше множеств и величина ошибки в решении с учетом граничного условия на стенках транспортного канала. Теоретически исследуется методика обработки экспериментальных данных в случае малого числа измерительных плоскостей. Проводятся численные эксперименты, показывающие эффективность предложенных в работе алгоритмов реконструкции и оценки погрешности реконструкции. Предлагаются численные методы построения области, которой принадлежит точный осесимметричный профиль скорости невозмущенного потока. В конце главы приводится описание программного комплекса и его реализации.

Объем диссертации — 111 е., рисунков — 27, наименований в списке литературы —113.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена созданию алгоритмов, их теоретическому обоснованию, численной реализации и практическому применению для решения линейных интегральных уравнений типа Абеля первого рода при наличии априорной информации о том, что точное решение принадлежит компактному множеству функций специального вида. В работе предложены методы, которые позволяют не только находить приближенное решение задачи, но и оценивать погрешность получаемого приближения (как по норме, так и в каждой точке области определения) и тем самым контролировать желаемую точность вычислений, что является принципиально новым для данного класса уравнений.

При построении алгоритмов учитывались свойства уравнений типа Абеля (в частности неотрицательность ядра интегрального уравнения), что позволило эффективным образом оценить погрешность конечномерной аппроксимации задачи; способы задания погрешностей входных данных, в зависимости от которых были предложены различные схемы построения конечномерного множества приближенных решений, нахождения приближений и оценки их погрешностей; возможность включения в алгоритмы решения дополнительных ограничений, характерных для той или иной конкретной физической задачи. Была продемонстрирована возможность использования разработанных методов в случае малого числа экспериментальных данных.

В работе предложены, обоснованы и реализованы подходы, позволяющие гарантированно найти область, которой принадлежат точное и все приближенные бесконечномерные решения поставленной задачи. При построении области используется информация только о погрешности в узлах сетки и априорные ограничения на форму неизвестного решения.

Подробно рассмотрены численные методы решения и оценки погрешностей решения для следующих компактных множеств: 1) монотонных (невозрастающих или неубывающих) ограниченных функций; 2) выпуклых (вверх или вниз) ограниченных функций; 3) монотонно-выпуклых (невозрастающих выпуклых вверх, невозрастающих выпуклых вниз, неубывающих выпуклых вверх или неубывающих выпуклых вниз) ограниченных функций; 4) функций с известной конечной константой Липшица. При необходимости, все алгоритмы могут быть легко обобщены на случай кусочно-монотонных, кусочно-выпуклых или кусочно-монотонно-выпуклых функций.

Разработан программный комплекс с удобным пользовательским интерфейсом, в основе которого лежат алгоритмы, предложенные в диссертации. Данный комплекс позволяет находить приближенные решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах функций специального вида при любом числе входных данных и способе задания их погрешности, оценивать погрешность получаемого приближения (как по норме, так и в каждой точке области определения). Благодаря высокой скорости расчета (сотые доли секунды) программный пакет может быть использован для обработки экспериментальных данных в автоматическом режиме.

С помощью предложенных в работе алгоритмов решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода, проведено численное моделирование задачи двумерной реконструкции и оценки погрешности реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением для экспериментов, использующих данные ультразвуковых многоплоскостных измерений потоков. Показано, что включение естественной априорной информации о монотонности, выпуклости, неотрицательности искомого решения и граничном условии на стенках транспортного канала, позволяет гарантировать равномерную сходимость последовательности приближенных решений к точному решению при стремлении погрешностей входных данных к нулю и построить область, которой принадлежит точное решение задачи. Продемонстрирована возможность использования уравнения типа Абеля и предложенных алгоритмов для обработки экспериментальных данных даже в случае очень малого числа измерительных плоскостей.

Автор хотела бы выразить искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Анатолию Григорьевичу Яголе за постоянное внимание к работе, совместное обсуждение полученных результатов и помощь.

Автор искренне благодарна доктору физико-математических наук, доценту Московского института электронной техники (технического университета) Михаилу Николаевичу Рычагову за сотрудничество, полезные советы и предоставленные материалы, необходимые для моделирования и решения обратной задачи ультразвуковой потокометрии.

Также хотелось бы выразить признательность всем сотрудникам кафедры математики физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, а также участникам научного семинара "Цифровая визуализация: физические принципы, математические алгоритмы, технические решения", проводящемся в Московском институте электронной техники (техническом университете) и семинара "Обратные задачи математической физики", проводящемся в Научно-исследовательском вычислительном центре Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, за многочисленные полезные советы и ценные замечания, приведшие к развитию алгоритмов решения уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах и получению новых результатов.

1. Gorenflo R., Vessella S. Abel integral equations. Analysis and applications. — Berlin: Springer-Verlag, 1991.

2. Anderssen R. S. Application and numerical solution of Abel-type integral equation // Technical Summary Report № 1787, September 1977.— Madison: University of Wisconsin-Madison, Mathematics Research Center.

3. Zdenek R Bazant, Goangseup Zi. Asymptotic stress intensity factor density profiles for smeared-tip method for cohesive fracture // International Journal of Fracture. 2003. - Vol. 119, № 2. - P. 145-159.

4. Abel N. H. Solution de quelques problfemes h l'aide d'intfegrales definies // Magazin for Naturvidenskaberne. 1823. - Vol. 1, № 2. - P. 11-27.

5. Marcuse D. Refractive index determination by the focusing method // Applied Optics. -1979. Vol. 18. - P. 9-13.

6. Bullen К. E. An introduction to the theory of seismology. — Cambridge: University press, 1963.

7. Campi S. An inverse problem related to the travel time of seismic waves // Bulletin U.M.I.-1980.-Vol. 17-B.-P. 661-674.

8. Фишман В. M., Бессонова Э. Н., Ситникова Г. А. т-метод и его применение к обращению годографа ГСЗ // Обратные кинематические задачи взрывной сейсмологии. — 1979. — С. 32-63.

9. Преображенский Н. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. — Новосибирск: Наука, 1982.

10. Cohen B.I., Afeyan В. В., Chou А. Е., Luhmann N.C. Computational study of ultra-shout-pulse reflectometry // Plasma Physics and Controlled Fusion. -1995. Vol. 37, № 3. - P. 329-344.

11. И. Воскобойников Ю. E., Преображенский H. Г., Седельников А. И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. — Новосибирск: Наука, 1984.

12. Craig I. J.D., Brown J.C. Inverse problems in astronomy. — Bristol and Boston: Adam Hilger Ltd., 1986.

13. Гончарский А. В., Черепашук A. M., Ягола А. Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. — М.: Наука, 1978.

14. Antokhin I.I, Cherepashchuk A.M., Yagola A. G. Velocity law in the extended photosphere of the WN5 star in the eclipsing binary V444 Cygni // Astrophysics and Space Science. —1997.— Vol. 354. —P. 111-131.

15. Rychagov M., Tereshchenko S. Multipath flowrate measurements of symmetric and asymmetric flows // Inverse Problems. — 2000. — Vol. 16. — P. 495-504.

16. Wang X., Donglou W., and Gongpei P. Use of Moire tomography to measure the temperature field of the flame of a pyrotechnical composition from its infrared radiation // Combustion, Explosion, and Shock Waves.— 2001.— Vol. 37, No. 4.-P. 440-442.

17. Mukherjee M. Forced vertical vibrations of an elastic elliptic plate on an elastic half space — a direct approach using orthogonal polynomials // International Journal of Solids and Structures.— 2001.—Vol. 38, № 3.— P. 389-399.

18. Бухгейм A. JI. "Уравнения Вольтерра и обратные задачи. — Новосибирск: Наука, 1983.

19. Vessella S. Stability results for Abel equation // Journal of Integral Equations. 1985. - Vol. 9. - P. 125-135.

20. Грынь В. И. О существовании, единственности и устойчивости решений уравнения Абеля // Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.06.1995, № 1715-В95.

21. Gorenflo R., Yamamoto M. Operator Theoretic Treatment of Linear Abel Integral Equations of First Kind // Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics.-1999.-Vol. 16.-P. 137-161.

22. Baker C.T. H. A perspective on the numerical treatment of Volterra equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2000. — Vol. 125.-P. 217-249.

23. Minerbo G. N., Levy M. E. Inversion on Abel's integral equation by means of orthogonal polynomials // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1969. — Vol. 6, JV* 4.-P. 598-616.

24. Кулагин И. Д., Сорокин JI. М., Дубровская Э. А. Оценка некоторых численных методов решения интегрального уравнения Абеля // Оптика и спектроскопия. 1972. - Т. 32, № 5. - С. 865-870.

25. Косарев E.JI. О численном решении интегрального уравнения Абеля // Журнал вычислительной математики и математической физики.— 1973.-Т. 13, Л* 6.-С. 1591-1596.

26. Воскобойников Ю. Е. Обращение уравнения Абеля с использованием кубических сплайнов // Инверсия Абеля и ее обобщения. — Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978.-С. 180-189.

27. Грынь В. И., Нитишинская JI. В. О решении интегрального уравнения Абеля модифицированном методом ломаной минимальной длины // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1994.-Т. 34, № 8-9. С. 1219-1236.

28. Пикалов В. В., Преображенский Н.Г. О некоторых проблемах диагностики низкотемпературной плазмы, решаемых с помощью ЭВМ // Свойства низкотемпературной плазмы и методы ее диагностики. — Новосибирск: Наука, 1977.-С. 138-176.

29. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады Академии наук СССР. — 1963. — Т. 151, № 3. — С. 501-504.

30. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно посталвенных задач // Доклады Академии наук СССР. 1963. - Т. 153 № 1. — С. 49-52.

31. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады Академии наук СССР. 1943. - Т. 39, № 5. - С. 195-198.

32. Тихонов А. Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода // Доклады Академии наук СССР. -1964. — Т. 156, № 6. — С. 12961299.

33. Тихонов А. Н. О нелинейных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР. -1965. Т. 161, № 5. - С. 1023-1026.

34. Тихонов А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления // Доклады Академии наук СССР. — 1965. Т. 162, № 4. — С. 763765.

35. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР. -1959. Т. 127, № 1.-С. 31-33.

36. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики, —Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

37. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах // Доклады Академии наук СССР. 1962. - Т. 145, № 2. - С. 270-272.

38. Иванов В. К. О некорректно-поставленных задачах // Математический сборник. 1963. - Т. 61, № 2.-С. 211-223.

39. Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. - Т. 6, № 6. - С. 1089-1094.

40. Иванов В. К. Некорректные задачи в топологических пространствах // Сибирский математический журнал. —1969. — Т. 10, № 5. — С. 10651074.

41. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978.

42. Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. — М.: Наука, 1980.

43. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. — М.: Наука,1981.

44. Лаврентьев М.М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. — Новосибирск: Наука, 1982.

45. Вайникко Г. М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. — Тарту: Изд-во Тарт. гос. ун-та,1982.

46. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. — Новосибирск: Наука, 1982.

47. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Регуляри-зирующие алгоритмы и априорная информация. — М.: Наука, 1983.

48. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. — М.: Изд-во МГУ, 1984.

49. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. — М.: Наука, 1984.

50. Гончарский А. В., Черепащук A.M., Ягола А. Г. Некорректные задачи астрофизики. — М.: Наука, 1986.

51. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. — М.: Наука, 1986.

52. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.— М.: Наука, 1986.

53. Гилязов С. Ф. Методы решения линейных некорректных задач. — М.: Изд-во МГУ, 1987.

54. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. — М.: Наука, 1987.

55. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1988.

56. Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. — Новосибирск: Наука, 1988.

57. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Итерационные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1988.

58. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. — М.: Изд-во МГУ, 1989.

59. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1990.

60. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. — Новосибирск: Наука, 1990.

61. Васин В. В., Агеев A. JI. Некорректные задачи с априорной информацией. — Екатеринбург: Наука, 1993.

62. Groetsch C.W. Inverse problems in the mathematical sciences.— Braunschweig: Vieweg, 1993.

63. Кочиков И. В., Курамшина Г. М., Пентин Ю.А., Ягола А. Г. Обратные задачи колебательной спектроскопии. — М.: Изд-во МГУ, 1993.

64. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. —М.: Изд-во МГУ, 1994.

65. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. — М.: Физматлит, 1995.

66. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. — М.: Наука, 1995.

67. Engl H.W., Hanke М., Neubauer A. Regularization of inverse problems.— Dordrecht: Kluwer, 1996.

68. Лаврентьев M. M., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999.

69. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. — М.: Изд-во МГУ, 1999.

70. Гончарский А. В., Степанов В. В. Алгоритмы приближенного решения некорректно поставленных задач на некоторых компактных множествах // Доклады Академии наук СССР. — 1979. — Т, 245, Xs 6. — С. 1269-1299.

71. Винокуров В. А. О порядке погрешности вычисления функции с приближенно заданным аргументом // Журнал вычислительной математики и математической физики. —1973. — Т. 13, № 5. —С. 1112—1123.

72. Винокуров В. А. Регуляризуемые функции в топологических пространствах и обратные задачи // Доклады Академии наук СССР. — 1979. — Т. 246, № 5.-С. 1033-1037.

73. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique // Bull. Univ. Princeton. 1902.-Vol. 13.-P. 49-52.

74. Hadamard J. Le ргоЫёте de Cauchy et les equations aux derivers particlee lindanes hyperbolique. — Paris: Hermann, 1932.

75. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989.

76. Самарин М. К. Об устойчивости решения некоторых некорректных за-дая на множествах специальной структуры. Дис. . канд. физ.-мат. наук.-М., 1979.

77. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1993.

78. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.

79. Бахвалов Н. С., Жидков Н.П., Кобельков Г. М. Численные методы.— М.: Наука, 1978.

80. Карманов В. Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1986.

81. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. — М.: Наука, 1975.

82. Васильев Ф. П., Иваницкий А. Ю. Линейное программирование. — М.: Изд-во "Факториал", 1998.

83. Николаева Н. Н., Рычагов М. Н., Ягола А. Г. Оценка погрешности реконструкции симметричных профилей скорости. В тезисах докладов VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи", Москва, МГУ, 10-11 июня 2003 г.-М.: МАКС Пресс, 2003.-С. 49.

84. Nikolaeva N. N., Titarenko V. N., Yagola A. G. An error estimation for a solution of Abel equation // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2004. - Vol. 25, № 3-4. - P. 259-269.

85. Николаева H. H., Ручкин С. В., Рычагов М. Н., Ягола А. Г. Численное моделирование задачи двумерной реконструкции аксиальных осесим-метричных профилей скорости // Вычислительные методы и программирование. 2005. - Т. 6. - С. 9-16.

86. Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Метод отсечения выпуклых многогранников и его применение к некорректным задачам // Вычислительные методы и программирование. — 2000. — Т. 1. —С. 8-13.

87. Титаренко В. Н., Ягола А. Г., Николаева Н. Н. Оценка погрешности решения некоторых задач Коши для уравнения Лапласа // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2001. — № 1. — С. 21-24.

88. Николаева Н. Н., Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Оценка погрешности решения уравнения Абеля на множествах монотонных и выпуклых функций // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2003. — Т. 6, № 2.-С. 171-180.

89. Хамидуллин В. К. Ультразвуковые контрольно измерительные устррой-ства и системы. — Л.: Изд-во Ленинградского Ун-та, 1989.

90. Киясбейли А. Ш., Измайлов A.M., Гуревич В. М. Частотно-временные ультразвуковые расходомеры и счетчики. — М.: Машиностроение, 1984.

91. Филатов В. И. Разработка ультразвуковых расходомеров // Измерительная техника. —1994. — № 10. — С. 37-39.

92. Филатов В. И. Гидродинамические погрешности ультразвуковых расходомеров // Измерительная техника. —1996. — № 9.— С. 36-37.

93. Филатов В. И. Вопросы гидродинамики в ультразвуковых расходомерах // Измерительная техника. — 1996. — № 9. — С. 37-39.

94. Lynnworth L. С. Ultrasonic measurements for process control. — New York: Academic Press, 1989.

95. Биргер Г. И., Бражников Н. И. Ультразвуковые расходомеры. — М.: Металлургия, 1964.

96. Хансуваров К. И., Цейтлин В. С. Техника измерения давления, расхода, количества и уровня жидкости и газа. — М.: Изд-во стандартов, 1989.

97. Merzkirch W. Flow Visualization. — New York: Academic Press, 1987.

98. Fisher S. G., Spink P. G. Ultrasonics as a standard for volumetric flow measurement // In: Modern developments in flow measurement Ed.: C. G. Clayton. — Peregrinus, 1972. — P. 139-159.

99. Рычагов M. H. Ультразвуковые измерения потоков в многоплоскостных измерительных модулях // Акустический журнал. — 1998. — Т. 44, № 6.-С. 829-836.

100. Rychagov М., Ermet Н. Reconstruction of fluid motion in acoustic diffraction tomography // Journal of the Acoustical Society of America. — 1996.-Vol. 99, № 5. P. 3029-3035.

101. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.:Наука, 1974.

102. Фортран 90. Международный стандарт. — М.: Финансы и статистика, 1998, официальное описание международного стандарта языка Фортран 90.

103. Бартеньев О. В. Современный Фортран. — М.: Диалог-МИФИ, 1999.

104. Бартеньев О. В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL-M.: Диалог-МИФИ, 2001.