автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка метода математического моделирования для исследования нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками

На правах рукописи

Орлов Виктор Николаевич

Разработка метода математического моделирования для исследования нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми

точками

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 7 щр

Москва

4840859

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Московский государственный горный университет» и Филиале ГОУ ВПО «Российский государственный социальный университет» в г. Чебоксары.

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

РЕДКОЗУБОВ Сергей Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ГРЕБЕНИКОВ Евгений Александрович

доктор физико-математических наук, профессор КУЛИЕВ Валех Джафарович

доктор физико-математических наук, профессор ЮДЕНКОВ Алексей Витальевич

Ведущая организация:

Самарский государственный университет

Защита состоится « // » 03 2011 года в /5'"Ж. на засе-

дании Диссертационного совета Д-212,128,02 при Московском государственном горном университете по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский проспект, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного горного университета.

Автореферат разослан « ^ »_^_2011 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета к.т. н., доцент

Адигамов А.Э.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Решение многих задач из разных областей науки и техники приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям как линейным, так и нелинейным. Если для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно полно разработана теория и созданы как точные, так и приближенные методы решения, то для нелинейных дифференциальных уравнений на данный момент этого утверждать нельзя. Так, в частности, существует категория нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешимых в общем случае в квадратурах. Это скалярное и матричное дифференциальные уравнения Риккати, первое и второе неприводимые дифференциальные уравнения Пенлеве, дифференциальные уравнения Абеля первого и второго рода. Более того, перечисленные виды уравнений обладают подвижными особыми точками, которые делают невозможным применение известных аналитических и численных приближенных методов к этим уравнениям в связи с тем, что последние не адаптированы к этому виду особых точек. Поэтому в работах российских и зарубежных авторов проводятся исследования по решению рассматриваемых уравнений. Но в одном случае метод в работах Еругина Н.П. предполагает сведение нелинейного уравнения к линейному, что возможно лишь для скалярного уравнения Риккати, при этом требуется знание фундаментальной системы решений получаемого линейного уравнения. В другом случае метод, предлагаемый в работах Фильчакова П.Ф., Фильчаковой В.П.. Озерец-ковского В.Б., Синявского М.Т., Boutrux М.Р., Davis Н.Т., не имеет строгого доказательства. В третьем случае работы Яблонского А.И., Громака В.И., Ново-кшенова В.Ю., Китаева A.B., Немеца B.C.. Sasagava Т., посвящены лишь частным случаям уравнений и специальным решениям. В четвертом, серия работ Boutrux М.Р., Брюно А.Д. и Завгородней Ю.В. посвящена лишь асимптотическому методу исследования нелинейных уравнений, главным образом в окрестности нулевой и бесконечно удаленной точек. В пятом, метод, предлагаемый в ряде работ Фильчакова П.Ф. и Фильчаковой В.П., а также Еругина Н.П, сужает класс рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений.

Таким образом, предлагаемые методы не носят общего характера. Также следует констатировать отсутствие точных критериев выделения подвижных особых точек и оценок приближенных решений как в области аналитичности, так и некоторой окрестности указанных особых точек.

Учитывая, что существующая разработанная теория пе позволяет считать завершенными все проблемы, связанные с решением нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, приходим к заключению об актуальности разработки математического метода, позволяющего проводить исследования в решении нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих подвижными особыми точками. А также получение качественных свойств решений таких классов нелинейных дифференциальных уравнений.

Цель работы - разработка метода математического моделирования для решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками, а также создание проблемно-ориентированных программ для практической реализации получения решения на вычислительной технике. Указанная цель предполагает решение следующих основных задач:

1. Доказать теоремы существования решения нелинейных дифференциальных уравнений в области аналитичности решения и в окрестности подвижной особой точки (определенного типа).

2. Получить точные критерии существования подвижных особых точек нелинейных дифференциальных уравнений и построить алгоритмы нахождения подвижных особых точек с заданной точностью.

3. Обосновать и разработать новый математический метод построения аналитического приближенного решения в окрестности подвижной особой точки рассматриваемых уравнений.

4. Исследовать влияние возмущения подвижных особых точек на приближенное решение этих уравнений.

5. Найти точные границы области применения приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности приближенных значений подвижных особых точек.

6. Разработать комплекс проблемно-ориентированных программ, позволяющих адаптировать известные численные и аналитические методы решения дифференциальных уравнений к рассматриваемым нелинейным дифференциальным уравнениям.

7. Исследовать и реализовать влияние возмущения начальных данных на приближенное решение рассматриваемых уравнений с применением комплекса проблемно-ориентированных программ и вычислительного эксперимента.

8. Адаптировать метод степенных рядов к решению нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками.

Основная идея работы состоит в разделении области решения нелинейных дифференциальных уравнений на две части - область аналитичности и область подвижных особых точек, и построении последовательности взаимосвязанных аналитических продолжений решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Методы исследований. Для решения поставленных в работе задач использовались методы аналитической теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики, математического анализа, численного и компьютерного моделирования, а также программирования.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждаются:

• логической последовательностью и корректностью применения математических методов (аналитической теории дифференциальных уравнений, математического анализа, вычислительной математики);

• адекватностью полученных теоретических положений с результатами численного моделирования и данными экспериментальных исследований, проведённых вычислительных экспериментов;

• сопоставимостью полупенных результатов численного моделирования при проведении экспериментальных расчетов с точными результатами модельных задач;

• обоснованностью и строгостью математических выкладок при доказательстве теоретических положений;

• преемственностью методов и положений известного математического аппарата используемого при получении теоретических результатов.

Новизна научных положений заключается в:

• Применении впервые метода мажорант к решению нелинейных дифференциальных уравнений при доказательстве теорем существования, как в области аналитичности, так и некоторой окрестности подвижной особой точки. Этот подход позволяет в дальнейшем решить поставленные выше задачи.

• Предложен новый, основанный на применении точных критериев, подход к выделению подвижных особых точек для классов нелинейных дифференциальных уравнений.

• Построены математические модели решений рассматриваемых уравнений, позволяющие решать как прямую, так и обратную задачи теории погрешности.

• Впервые проведено исследование влияния возмущения подвижной особой точки на приближенное решение указанных выше уравнений.

• Получены точные границы области применения математической модели решения в окрестности приближенных значений подвижной особой точки.

• Дано решение нелинейных дифференциальных уравнений методом степенных рядов с использованием точных критериев существования подвижных особых точек.

• Получена зависимость приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений от возмущения начальных данных задачи Коши.

• Разработаны алгоритмы, позволяющие применять известные аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений к нелинейным уравнениям, обладающим подвижными особыми точками.

Научная значимость работы заключается в разработке метода математического моделирования решений нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками, в общем случае не разрешимых в квадратурах. Полученные теоретические результаты являются значимым вкладом в развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, методов их решений и приложений.

Практическая значимость работы заключается в создании комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения численных расчетов. Разработанные алгоритмы и программы позволяют получить качественные характеристики решений этих уравнений, а также позволяют адаптировать существующие методы приближенного решения дифференциальных уравнений к определенному типу подвижных особых точек.

Личный вклад, диссертанта. На всех этапах выполненных исследований личный вклад автора диссертации в теоретическую и расчетную части работы был определяющим.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международных и российских конференциях: Всесоюзной научно-технической конференции «Применение вычислительной техники и математических методов в научных и экономических исследованиях» (Киев, 1988); 8 Международной конференции DIFIN-2000 (Одесса, 2000); 8 Международной математической конференции (Минск, 2000); XX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-20 (Ярославль, 2007); Международной междисциплинарной научной конференции «Первое исконно русское слово — в начале нашего машиноведения» (Чебоксары, 2008); XXIII Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения XX»; «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2009). А также на семинарах ведущих вузов России: МГГУ, Самарского ГУ, Тульского ГУ, РГСУ, ВЦ РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в журналах, рекомендуемых Высшей Аттестационной Комиссией для докторских диссертаций: «Дифференциальные уравнения», «Вестник Самарского ГУ», «Известия Тульского ГУ», «Вестник КГТУ», «Научно-технические ведомости СПбГПУ», «Вестник МАИ», «Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана», «Вестник Воронежского ГТУ», «Известия института инженерной физики», Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева в количестве 12 статей; зарубежных изданиях: трудах IM HAH Украины, «Вестник БГУ» (Минск), а также других изданиях, всего в 43 работах, в том числе получены три авторских права на алгоритмы и программы.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка используемой литературы из 269 наименований и 6 приложений; содержит 5 рисунков и 20 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы и основные новые результаты, полученные в диссертации.

В первой главе дан краткий обзор работ, отражающих современное состояние теоретических подходов, методов решения и исследования нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками. Дана классификация и краткая характеристика, на данный момент, теорем существования и их особенностей. По перечисленным недостаткам отмечены вопросы, исследованию которых посвящена данная работа.

Так, дано доказательство теорем существования решения рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности подвижных особых точек, конструктивность которых, в отличие от существующих, позволяет решать поставленные задачи. В частности, для коэффициентов Сп решения

y(z) = (z~z*)P-Ix^-zY, С0*0 (1)

О

канонического уравнения Риккати

/(zW2(z) + r(z) (2)

в области | z - z* |< р3 получены оценки

I c2n -Ц-• , I с2п+1 [<-L- ■ ,

2« +1 J 2п + 2 i

где

ГлГ0'5 для Л/ >1,

¿>3 =тт{/)2,Л}, />2=1

если 0 < М <1,

• I /"(nVz*)l A/ = supJ-п = 0,1,2,..., р =

и

Ру — радиус голоморфности r{z) (теорема 1.3.1). Этот результат обобщен на нестационарное матричное дифференциальное уравнение Риккати

F(z) = -A(z) ■ Y(z) - Y2(z) + B{z) (3)

для матриц Cn решения (1) которого, в области \ z-z* \< в случае поэлементной сходимости, и в области \z — z*\<p^ для сходимости по норме, справедлива оценка

\Сп\й{\\МА\\+1)п.

При этом

г i4">(oi i#V)i

Л/4 = max< sup —--, sup —-->,

\i,j,n n\ iJt„ n\ J

L\ = max] sup|U„ (z* )j ,supls,,(z*)| n = 0,1,-,

L 71 " iH n " W)

p4 —область голоморфности матриц A(z) и B(z) (теорема 1.3.2). Для первого неприводимого уравнения Пенлеве

Wi(z) = 6w?(z) + Az (4)

коэффициенты Сп решения (1), р = -2, в области

1

Z-Z <-

| + |«,| + |Л| имеют оценки

|Св|^(|г*| + |«г1| + |Я|)я, где й! —параметр, зависящий от начального условия (теорема 1.3.3).

В случае второго неприводимого уравнения Пенлеве

н>2(г) = 2^ (г) + г ■ (г) + а2 (5)

коэффициенты Сп решения (1), р = -1, в области

1*1 1

2(М$ + \а2 |+1)

удовлетворяют соотношению

\Сп\<1п-\м5+\а2\+\)п,

где Л/5 = тах{|г* |/6, У— параметр, зависящий от начального условия (теорема 1.3.4).

И для уравнения Абеля в нормальной форме

= + (6)

коэффициенты с„ решения

о ^

в области \г* - г [< р<} имеют оценки

где

I с3„ |< +м6у, I с3и+11< (1+М6Т,

Зп + 2 3« + 3

\С3п+2 (1 + Мб)л,

Зи + 4

=тт{р8,/?10}, рю=: 1

М6 = вир

Зд/24(1 + М6)2 '

Ф(л)(г) гс!

—радиус голоморфности Ф(г).

Теоремы Пикара и Коши о голоморфности решения дифференциального уравнения не позволяют решить поставленные выше задачи. В частности, они не позволяют провести исследование зависимости приближенного решения рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений от возмущения начальных данных, возникающего при осуществлении аналитического продолжения. В связи с этим доказаны теоремы существования решений для рассматриваемых нелинейных уравнений в области голоморфности. Метод мажорант, примененный к решениям рассматриваемых уравнений при доказательстве этих теорем, позволяет в дальнейшем решить поставленные задачи. При этом теоремы дают и аналитические выражения для радиуса голоморфности решений.

Так, для уравнения Риккати (1) с начальным условием у(г0) = радиус голоморфности определяется соотношением

1

где

Р\2~ Р\\,

М9+ 1

Pl\ — радиус голоморфности r(z). При этом для коэффициентов Сп решения

y(z) = ic„(z-zQ)*

О

задачи Коши для уравнения (1), в области \z- z§\< рц, справедлива оценка (теорема 1.4.1)

\С„\<М9(М9 + 1)п. Для области голоморфности решения

03

r(z) = IC„(z-z о)" (7)

О

матричного дифференциального уравнения Риккати (3), удовлетворяющего начальному условию Y(zg) = 70 (теорема 1.4.2), получена формула

р14 = mini р13,---- I,

[ (m(Mn+l)f\

где

i , , м li^l М12 = max4 max | ytj (z0) |, sup---, sup--->,

[ V i,j,n п\ UUn п\ j

I,j= 1, 2, ..., т, т = 1, 2, ... , и имеют место оценки для коэффициентов С„

|с„|<(|К|| + /)2",

где

Ml2 = max< max | у у (z0) |, sup —^-, sup --

и hj,n i,j,n л! I

В случае сходимости ряда (7) по норме, радиус голоморфности определяется формулой

¿>15 =тш|р1з, 1 ),

I (¿2+1)]

где

¿2 - max

¡Y(z0 )|1я' suP|Hn (z0 )|я' sllP!Hn (z0 )||д-и = 0, 1, 2.....

n n J

Решение задачи Коши для первого уравнения Пенлеве является аналитической функцией (теорема 1,4.3)

00 О

в области

, I 1

Мц +1

где Мгз =max{|z0 | w10 |,|wy |,Щ}, z0, wli0, w^ —начальные условия, а для коэффициентов Сп имеют место оценки

\Сп\<.(Ми + 1)п+г.

Как следует из теоремы 1.4.4, область аналитичности решения второго уравнения Пенлеве определяется соотношением

I I 1

М16 +1

где Mï6 =max{|w2)o |,|w2ji \,\z0 |,|a|}, z0, w2>1 — начальные условия, a для коэффициентов соответствующего ряда справедливы оценки

|С„|<М16(М16 + 1)В.

В случае уравнения Абеля (6) его решение является аналитической функцией (теорема 1.4.5)

о

в области \ z-zq\< Pyi , где , >. ' •

рХ1 = тт|лб.---4> Mlg=max||w30|,sup^—[^l,

[ 2{МП+\У] [ п п) J

w3 о — начальное условие. Для коэффициентов с„ справедлива оценка

1Сп[<_ГЧмп+11ч

п

Во второй главе установлены точные критерии существования подвижных особых точек, на основании которых составлены алгоритмы получения этих точек с заданной точностью. Для этого вводятся определения правильной и неправильной линий.

Определение 1. Линию в некоторой области комплексной плоскости назовем правильной, если для координат точек этой линии существует взаимно однозначное соответствие.

Определение 2. Линию в некоторой области комплексной плоскости назовем неправильной в направлении оси Ох (Оу), если на этой линии существует, по крайней мере, две точки, имеющие одинаковые вторые (первые) координаты.

Определение 3. Неправильную линию в направлении осей Ох и Оу назовем просто неправильной линией.

Наряду с задачей Коши для уравнения Риккати рассматривается задача Коши для инверсного уравнения

w'4(z) = -1 ~ Ф) ■ VK4 СО, w4 (z0 ) = w4>0. (8)

Представляя решение задачи (8) в виде

и рассматривая фазовые пространства

<Е>! = {х,у,и2(х,у)}, Ф2 = {х,у,у2(х,у)},

с учетом вводимого понятия правильной линии доказывается теорема.

Теорема 2.1.3. Для того, чтобы г* являлась подвижной особой точкой решения уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности (г* еС?},) фазовых пространств и Ф2 функции и2(х,у) и у2(х,у) являлись непрерывными относительно своих аргументов и одновременно меняли знаки при переходе через точку г*(х* ,у*), двигаясь вдоль некоторой правильной

линии £[ (г* е ¿1 с бу.

Наиболее эффективным, с точки зрения оптимальности вычислительного процесса, является следующий критерий существования подвижной особой точки г* решения задачи Коши для. дифференциального уравнения Риккати (2).

Теорема 2-.1.4. Для того, чтобы г* была подвижной особой точкой решения у(г) задачи Коши для дифференциального уравнения Риккати (2), необходимо и

достаточно, чтобы в некоторой области С; (г* е фазовых пространств и Ф2 функции и2(х,у) и v2(x,y) являлись непрерывными относительно своих аргументов и меняли знаки при переходе через точку г*(х*,у*), двигаясь последовательно вдоль некоторых линий и 12 неправильных в направлении оси ОХ и ОУ соответственно (г* е ^сС], г* е12 с= ^еФ^ 12еФ2). Для вещественной области доказана теорема:

Теорема 2.1.10. Пусть у(х) — решение задачи (2), удовлетворяющееся начальному условию у(хо) = уо- Тогда для того, чтобы х* была подвижной особой точкой у(х), необходимо и достаточно, чтобы существовал сегмент [а;Д], х* е[а;/?], на котором ы^х) — решение задачи Коши для инверсного уравнения (8)— было бы непрерывной функцией и такой, что И'4(а)> 0,

Данные теоремы обобщены на матричное дифференциальное уравнение Риккати (3).

В случае первого неприводимого уравнения Пенлеве, рассматривается задача Коши

щ(Ю<о.

^ (2) ■ (2) = 2(уу'5 (г))2 - Я • г ■ (г) - 6 • и-5 (г) Щ (г0) = и^о, и/5 О0) = , полученная из задачи Коши для уравнения (4) с помощью инверсии

(9)

(10)

Доказана теорема.

Теорема 2.2.2. Для того, чтобы г* была подвижной особой точкой решения м>1(г) задачи Коши для уравнения (4), необходимо и достаточно, чтобы для регулярного в окрестности точки г* решения н>5(г) инверсной задачи (9)-(10)

выполнялись условия -^5(2*) = 0, 4/5(2*) = О, №5(2*) = 2.

Более эффективной для вычислительного процесса будет следующая теорема. Для этого представим функцию

м>5(г) = и3(х,у) + п3(х,у), рассмотрим фазовые пространства

Ф3 = {х, у, и3 (х, у)}, Ф4 = {х, у, у3 (х, у)}

и введем обозначения: — достаточно малая окрестность точки г* \ Ь3, 14— некоторые непрерывные правильные линии и некоторые непрерывные неправильные линии: ¿5 - вдоль оси ОУ, Ь6- вдоль оси ОХ, проходящие через точку

2* соответственно в фазовых пространствах Ф3 и Ф4 (Ц с , г = 3,4,5,6); ¿7 — некоторая непрерывная замкнутая линия, охватывающая точку г* (17 с С?2).

Теорема 2.2.3. Для того, чтобы г* была подвижной особой точкой решения уравнения (4), необходимо и достаточно, чтобы в фазовых пространствах Ф3 и Ф4 существовали непрерывные линии, соответственно правильные Ь3, Х4 и неправильные: Ь5 - вдоль 0¥, £6 - вдоль соси ОХ, проходящие через точку г*, а функции и3 (х,у) и Уз (х,у) являлись непрерывными относительно своих аргументов и при движении вдоль линии Ь^ меняли знаки в точках пересечения линии Ь] с ¿з и ¿4 в фазовом пространстве Ф3 и £7 с ¿5 и ¿5 в фазовом пространстве Ф4.

Для вещественной области доказана следующая теорема. Теорема 2.2.7. Для того, чтобы х* была подвижной особой точкой задачи Коши для уравнения (4), необходимо й достаточно, чтобы существовал сегмент [#;/?], х* е \рг,Р\, на котором и^ (х)— решение задачи (9)-(10) —

Пвляялось непрерывной функцией,'и>5(х*) = 0, \у'^(а)<0, у/$(Р)>0.

Применяем для второго неприводимого уравнения Пенлеве изложенную выше идею. Представляем решение инверсного уравнения

м?6(г) ■ м>6(г) = 2(ц/6)2 - 2

в виде

Щ(г) = иА(х,у) + пА(х,у), и, рассматривая фазовые пространства

Ф5 ={х,У,и4{х,у)}, Ф 6^{х,у,у4(х,у)}, доказывается теорема.

Теорема 2.3.2. Для того, чтобы г* была подвижной особой точкой решения ■^(г) второго уравнения Пенлеве (5), необходимо и достаточно, чтобы в не-

которой области бз (г* £(73,) фазовых пространств Ф5 и Ф^ функции и^(х,у) и (х,у) были непрерывными относительно своих аргументов и одновременно меняли знаки при переходе через точку г*(х* ,у*), двигаясь вдоль некоторой правильной линии (г* с

Так как характер подвижной особой точки решения второго уравнения Пен-леве совпадает с характером подвижной особой точки решения уравнения Рик-кати, то и в этом случае эффективней, с точки зрения оптимальности вычислительного процесса, является следующий критерий.

Теорема 2.3.3. Для того, чтобы г* была подвижной особой точкой решения ■^(Ю задачи Коши второго уравнения Петеве, необходимо и достаточно,

чтобы в некоторой области (г* е 0-$) фазовых пространств Ф5 и Фб функции щ(х,у) и У4(;с,_у) являлись непрерывными относительно своих аргументов и меняли знаки при переходе через точку г*(х*, у*), двигаясь последовательно вдоль некоторых линий /5 и неправильных в направлении оси ОХ и

ОУ соответственно (г* <=15 с^Су, 2 е/6 с б3, /5 еФ5, еФб/

Для случая вещественной области доказана теорема.

Теорема 2.3.6. Пусть —решение задачи Коши для уравнения (5). Для

того, чтобы х* была подвижной особой точкой необходимо и доста-

точно, чтобы существовал сегмент \cc\J3\, х* е[а;/?], на котором м>ь(х) — решение задачи (9)-(10) — была бы непрерывной функцией и м/^а) ■ < 0.

Необычнее ситуация с уравнением Абеля, так как здесь меняется характер подвижной особой точки — критический полюс.

Рассматривается задача Коши к инверсному уравнению

• = -1 - Ф00 • »¿¡(г), (11)

^-,(2^) = ™-!$. (12)

Точный критерий существования подвижной особой точки для уравнения Абеля (6) устанавливается с помощью следующей теоремы.

Теорема 2.4.2 .Для того, чтобы г* была подвижной особой точкой решения задачи Коши для уравнения Абеля (6), необходимо и достаточно, чтобы функция, обратная к решению инверсной задачи Коши (11)-(12) г("И'7), была:

1) голоморфной в некоторой окрестности точки (0; г*);

2) выполнялись соотношения 2(0) = г*, г'(0) = 0, г^О) = -4.

Для вещественной области более эффективным является

Следствие (теоремы 2.4.2). В случае вещественной области функция х'(щ)

при переходе через точку (0;х*) меняет знак. При этом х* — подвижная особая точка решения задачи Коши для уравнения Абеля (6).

На основе полученных точных критериев существования подвижных особых точек, а также ряда теорем, отражающих свойства решений исходных и инверс-

ных к ним уравнений, позволяющих оптимизировать вычислительный процесс, построены алгоритмы 1-7 нахождения подвижной особой точки с заданной точностью. С помощью этих алгоритмов было проведено исследование зависимости подвижной особой точки от начальных условий и параметров для первого и второго уравнений Пенлеве. Расчеты представлены ниже в табл. 1 и 2 соответственно.

Таблица 1

Зависимость подвижной особой точки первого уравнения Пенлеве от началь-

Л и>[(х0) X

1 0 0,5 0,5 1,651

1,25 0 0,5 0 1,729

1,25 0 0,5 0,5 1,635

1,25 0 1 0 1,219

1,25 0 1 0,5 1,106

1,25 0 1 1 1,058

1,75 0 1 0 1,223

1,75 0 1 0,5 1,103

1,75 0 1,5 0,5 0,792

1,75 0 1,5 1 0,724

Таблица 2

Зависимость подвижной особой точки второго уравнения Пенлеве от началь-

а х0 х2

1 2 3 4 5 6

0 0 0,9 0 1,408 3,968

0 0 1 0 1,260 3,715

0 0 1 0,5 1,0875 3,687

0 0 1 1 ' 0,966 3,525

0,75 0 1 0 1,176 3,886

0,75 0 1 0,5 1,041 3,770

0,75 0 1 1 0,935 3,686

4,25 0 1 0 0,963 2,569

4,25 0 1 0,5 0,899 2,461

. 4,25 0 1 1 0,834 2,362

5,7 09 0,5 0 1,174 2,533

5,7 0 0,5 0,5 1,147 2,502

5,7 0 1 0 0,910 2,236

5,7 0 1 0,5 0,861 2,182

5,7 0 1 1 0,806 2,121

5,7 0 1,5 1 0,498 1,779

5,7 0 1,5 1,5 0,448 1,724

В главе 3 на основе результатов главы 1, теорем существования решения в окрестности подвижных особых точек, построены аналитические приближенные решения рассматриваемых уравнений. Так, для приближенного решения уравнения Риккати (2) (теорема 3.1.1)

= С0* О,

о

в области | г - г* |< р3 имеет место оценка

АулК*)*

М- \ г - г* I

(¿V + 2)(1 - М)

1 Мр{ 1 +у | 2-2*1)

1-12-2

1 - л/' | г - г* |2 ;

при М ф 1 и

О):

2-г

*

2(1-1 г - г |) в случае М-1, где р3 и М — из теоремы 1.3.1,

ГЛ172,если# = 2Л, _ Гм, если/V = 2£,

\(ЛГ +1)/2, еошЫ=2к + 1, 7 ~ [1, еслиЛ^ = 2£ +1. Для приближенного решения матричного уравнения Риккати (3) (теорема 3.2.1)

о

в области | г - г* |< р5, справедлива оценка погрешности

ЛГ+! 1 + (МА + Щ-т)\г-2* \

(т(М4 +1))

1-т(М4 +1)|2-2 | где Л/4 — из теоремы 1.3.2. В случае применения в оценках норм матриц получаем (замечание 1 теоремы 3.2.1)

1-(11+1)|2-г [ в области | г - г |< />6, где — из замечания 1 теоремы 1.3.2.

В случае первого уравнения Пенлеве приближенное решение (теоре-ма3.3.1)

м1;ЛГ(г)=(г-гТ2-2:с„(г-г,)л, (13)

0

в области

1

\г*\ + \о:^\ + \Л \ .

имеет оценку

а приближенное решение второго уравнения Пенлеве (теорема 3.4.1)

О

в области

1

■2(М5 + |а21 + |1)'

имеет оценку погрешности

1 - 2(М5 +1 а2\+1)] г - г |

где — из теоремы 1.3.4.

И, наконец, приближенное решение уравнения Абеля (6) (теорема 3.5.1)

О) = О* - г)"1'г2 Е с„ (7* - г)" ■':2, (15)

о

в области 12* - 2 ]< рд, имеет оценку погрешности Ди^ ^(г) < Д, где

,2н-4

Д = -

(1 + Мб)п|/-г|(3"-3)/2

1-22(1 + М6)1/-г|3/2

1 и -2

,1/2

V

Зп + 2

Зп + З

3« + 4

в случае ТУ +1 = Зп,

!2Л-4

Д = -

(1 + м6Т

Зл-2 -71 2

1-22(1 + М6)|2*-г|3/2

1 \х -г - +

|1/2 , 4(1 + Мб) | г* - л |

Зп + З

Зп + 4

Зп + 5

для N + 1 = 3«+ 1 и

Д =

22й~4(1+ Мб)" ¡2* -2

Зп-1 I 2

1

1-22(1 + М6)|2*-2|3/2 4(1 + Мб) | г

г|1/2 , 4(1 + М6)|г*-7|Л

Зп + 4 Зп + 5 Зп + б

V /

в случае М + 1 = 3п + 2, где М6, —из теоремы 1.3.5.

В четвертой главе проведено исследование влияния возмущения значений подвижной особой точки на приближенное решение. Как показывает приведенный обзор литературы, существующие методы позволяют получить подвижные особые точки лишь приближенно. Это влечет за собой изменение приближенного решения, о чем в литературе на данный момент ничего не говорится.

Так, в случае уравнения Риккати (2) для приближенного решения (теорема 4.1.1)

о

где г*, Сп — приближенные значения, в области

справедлива оценка погрешности

Д^(г)<Д0+Д1 + А2 + Аз,

где

Дл* . .М-1 Мр(\ + у\г-г*\)

Ад =-—г, Д,<

\2-Г\2 (N + 2)0- ~М)

1-\2-2*\ \~MA- ~*'2

■ X

2ДМ, • а ■ (1 + За) Л Дг -М

Д <-!-Д <-

3(1 -4(М + Ш1+Х)-а2) (1 -2сс)(1 -М ■ (2а)2)

для М Ф1 и

А.< д2< 2Ш,-а.(1 + За) ДГ

2(1-12-2*1) 3(1-4(2 +АЛ -а2) 2(1-2а)2

в случае М = 1, где

Бир

Р!8 =тш]/?з, , . .Л ==}-, />3—из теоремы 1.3.1, [ гл/м + дм^^1

М =■ вир - 1 л, « = 0,1,2,..., и я!

fN/2,ecлиN = 2k, _Ш,есшЫ = 2к,

ЦЛГ + 1)/2, если N = 2к + 1, 7~ [1, если Л^ = 2к + 1,

{г:\г\<\2* |-Дг*} п {г:| г-г* |< р,8},

{г: | г* | -Дг" <| г [<( г * [}п{г:|г-2'* |<Р18} ,

(12 - 2 * I, для г из области (17), «

Дг *, для г из области (18). Задача Коши для уравнения Риккати (2):

Г(2) = 1, яо) = -*4те2

„21 , Л ■ е + е

Точное решение )у(г) = tg(z + 1 + 1 ; г* = — -1 -I — точное значение подвижной

особой точки; г* = (0,57079- ¡) — приближенное значение подвижной особой точки; дЗщ < 6,5 ■ Ю-4, N = 4, = 0,27079 - ¡. Расчеты приведены в табл. 3.

Таблица 3

Оценка приближенного решения уравнения Риккати в окрестности приближенного значения подвижной особой точки в комплексной области._

М20 У{г1) Ыъ)

0,27079 - г 3,2327333 3,2326557 7,76-Ю-5 5,81-10~3

Здесь у4 ) — приближенное решение (16); у(г{) — точное решение;

^4(^1) — оценка погрешности, полученная по теореме 4.1.1; Ау(г{) =| у(г\) - (^) | — истинная величина погрешности. Вариант вещественной области:

#•(*) = Х-2,5) = 0,9761467.

Точное решение

У(х) = -

1 Ъх

х5 +2

х = -2

1/3

подвижная особая точка; л* = —1,2599; Дх*=5-10~5. Расчеты ниже в табл. 4.

Таблица 4

Оценка приближенного решения уравнения Риккати в окрестности приближенного значения подвижной особой точки в вещественной области.

X Уз У Ау3 \у-Ъ\

-1,36 10,02704 10,02954 0,00725 0,0025

Здесь у3 — приближенное решение (16); у— точное решение; Дуз — оценка погрешности приближенного решения у^, полученная по теореме 4.1.1; IУ ~ Уг I — истинная величина погрешности.

Получена оценка погрешности приближенного решения матричного уравнения Риккати (3) (теорема 4.2.1)

уы{2) = {2-Гух -^сп{2-Г)п

о

в области

{г: | г |<| Г' | -Д2"'} п {г: | г - 2"* ¡< р20} (19)

и

{2: | Г> | -Дг* < |г| <| Г |} п {г: | г - Г |< рг„}, (20)

где

АУм{г)<А0 +А[ +Д2 +Д3,

л , ло=;-

А] <12-2

ым21 +1))

ы+х\ + (М2х+\){\-т)\2-Г\

1 - т(М21 +1)\г -2* I

д? <

ДМ,

1 - (Ъп{М2\ + АМ2 +1))2 • 2а

, Д3<ДГ

т(М21+1)2

(1 - 2т(Мп +1) ■ аУ

Р20 = тт1 Р\9> —5-7 Г'

(

АМ2 =

М2\ = тахрир " .(Л+1)

|4«)(Г)||

-, эир-/

1,),П п\ ¿,у,„ П\

яир ■

1,7, п,0

У

п\

П\

С={г:|/-г* |<Д2""}, а = <:

Дг\ п = 0,1,2,...,

г - г * |, для области (19), [Дг *, для области (20).

Теорема 4.3.1 дает оценку приближенного решения

о

первого уравнения Пенлеве

Д$1 ^(я) < Д0 + Д2 + Д2 + Д3

в области

{г: | г |<| г * | -Дг*} п {г: (г - г*) < р22}

{г: \г*[ -Дг * <| г |<| г * |} п {г : (г - г"") < р22},

где

(21) (22)

До —

Дг*(21 г - г* | +Дг*)

1 - (I г * | +1 «11 + [ !)■ | г - г"1

Д!<

д3<

д ^ДМ^НоУ+гАг+ЦРУ/?)2 2 1 - (| 2"* | +1 | +2А/+ \А\)-20 -р{\Г \ + \ах\ + \Ц)\\-(\Г \+\а1\ + \Л\)-р)

(]У-(\Г\+\а1\ + \Л\)-2р)2 при этом

Дг = тах{Л2'*,Да1}, ргг=---^-,

2(1| +1 «11+2А/+1Л |)

_ 11 г - г* |, для области (21),

¡Дг *, для области (22). Получена оценка приближенного решения

Ъ2>ы(г) = {2-Гух ■1С„(г-?*)", С() * О, о

второго уравнения Пенлеве в области

{z:\z-r \<ргъ}сл{2-.\г#Г\-ИЗГ) (23)

и

{г: | Г* | -ДгФ <| г |<| Г' |} п {г: | г - Г |< р2ъ}, (24)

Дй2 /Дг) < Д0 + Д! + Д2 + Д3,

где

д & д < (Мгг+1«21 \z-rf -2*

г - г

1-2(Ми+|«2|+1)|г-Г

^ 8Дг*(М22+1а2|+1) ДМ3 • 4/?(М22 +1 а2 | +ДМ3 +1)2 —:-:—:—;——~т> Аз ------------------------

(1 - (М22+1 а2 | +1) • 4/?)2 ' \-А(М22+\а2\+Шг+\)р '

[| г -г*\, для г из области (23), Р = \ . М22=тах^—| ,

(Дг , для г из области (24), [ ° ]

ДМ3 =тзх\~,Ау\, р23=- 1

6 I 4(М22 + ДА/3+ [ сс2 | +1)

^ — параметр, зависящий от начального условия задачи Коши для второго уравнения Пенлеве (теорема 4.4.1).

Аналогичным образом (теорема 4.5.1) для приближенного решения

н (2) = (?■' - 2Г1'':2 ■ £ С„ (Г' - 2Т' ■2, Со * 0, О

дифференциального уравнения Абеля (6) в области

{г: | г |<] Г | '} п {г: | Г - 21< р25} (25)

{г: | г* | -Дг* <| г |<| г* \} гл{г:\1* - г\< ¿>25} получена оценка погрешности

Ди'здгСг) < Д0 + А1 + Д2 + Д3,

где

Дп^

ДГ

2л/2 ■

„3/2 '

А; < 2^ • Дг*(1 + М23) • •1 +16(1 + + б4(1,+

1-210(1+М23)1а2

¿а*(I + М23)(1 + 2а+ 16(1 + М23)а )

2(1-27(1 + М23)2аг)

А, <

АМ3 ■ а( 1 + (1 + М23 + ДМ3)а3/2)Г

Л, <

1-27(1 + М23 + Ш3)2аъ 22"-4(1 + М23)поРп^>2

1 8 1/2 4л/2

-== + -аиг +-а

42 9 5

1-4(1+Л/23)ОГл

3/2

' 1 а1/2 а Л +-+

ч

Зп + 2 Зп + 3 Ъп + 4

в случае ЛГ +1 = Зи,

22и-4(1 + Л/23)иа(3',-2)/2

•А,

1 - 4(1 + М23)а

3/2

' 1 ог1/2 4(1+ М23)а} Ъп + 3 3« + 4 Ъп + 5 ,

\

для ЛГ + 1 = Зи + 1 ив случае N +1 = Ъп + 2

чП/у(Зп-1)/2

А-, <

22"-4(1 + М23)"а(

3 1-4(1 + М23)а3/2

1 4(1 +М23)аи 2 4(1 +М23)аЛ

— н--н---— —

М23 = йир

Ф(и)(г)

п\

Ъп + 4 Зп + 5 Зп + 6

\

V'г из области аналитичности Ф(г),

ДМ3 =

эир

п,в

ф("+1)(2)

я!

Д2"\ С = {2:|г*'-2|<А2*}, « = 0,1,2,....

- г |, для г из области (25), . 1

а = < /?25=тш^р24, --->,

|Дг\ для г из области (26), [ ^/210(1 + М23)2 \ 1, для г из области (25),

Р= .

[2, для 7 из области (26). Результаты проиллюстрированы на следующих расчетах.

1. Задача Коши для уравнения Абеля (6):

Ф(г) = 0, м>з (г) = 1 + г;

точное решение

г* - -0,75/ — точное значение подвижной особой точки (критический полюс); г* = (0,001 -0,749/)— приближенное значение подвижной особой точки; Дг* =|г* - г* |=0,0014142; 2\ =0,001-0,65/ попадает в область действия теоремы 4.5.1. Значение точного решения

Щ{21) ='

±1

: = ±(0,4998214 -0,50017860;

л/2 • ^,001 + 1,4/ значение приближенного решения

й, 3(г,) = г- , 11:1 -= ±(0,4996425 - 0,5003572/);

' л/2-7-0,002 +1,399/

Абсолютная величина погрешности равна | — 31= 0,0002526. Величина погрешности по теореме 4.5.1 Д{Р33(г) = 0,052859. В случае вещественной области

Ф(х) = 0, ^3(1) = 1.

Точное решение

точное значение подвижной особой точки х =1,5, приближенное значение х* =1,49, ДЗс* =0,01, Ху = 1,4, х2 = 1,45, УУ=6.

Таблица 5

Оценка приближенного решения уравнения Абеля в окрестности приближенного значения подвижной особой точки в вещественной области.

X м3(х) й3,б<Л> Д А |Л~Д|

1,4 2,236 2,367 ' 0,121 0,210 0,089

1,45 3,162 3,535 0,37 0,455 0,085

Исследования четвертой главы существенно уменьшили область применения приближенных решений рассматриваемых дифференциальных уравнений. Исследования пятой главы за счет конструктивности метода получения оценок позволили расширить область применения приближенных решений. Следует отметить, что результаты четвертой и пятой глав дополняют друг друга, они имеют как общие области, так и не совпадающие. Итогом чего являются точные границы областей существования приближенных решений в окрестности подвижной особой точки.

В частности, для скалярного дифференциального уравнения Риккати (2) доказана теорема 5.1.1, что в области Р = /<] П п Ръ для приближенного решения (16) справедлива оценка

где

1

=\г:\г-22 |<-

I Н 2 | -Дг

' + АМХ +1] ' I|=||+Д?*, а^?]* = а^72 = аг§7*, р3—из теоремы 1.3.1,

.1 М/3(\ + у\г-2* |)Л \~\z-z* \ 1 - А/12 - 2 * |2

Дг* Л/|г-г

Ао=;—>

* м

\Z-Zy

для М* 1, и

в случае М = 1,

2-2

* |ЛГ

2(1-1 г - г |)

д . ^¡17-^1(4 + 317-^1)

2 12(1 - (М + ЬМ\ +1) 17 - |2)' д ^ + ДА/; +1)0+1 г - |)

3 1 - (М + ДМл + 1) I 7 - 22 |2

при этом

М = Бир

Г<">0Г*)|

л!

, АМх =

эир

п,в

Г<И+1>(г)|'

Д7+,

С? = {г:] 2 -2* ]< Дг*}, и = 0,1,2,.„, _ ГА/"/ 2, если N = 2к\ \М ,еслиЛ^ = 2к;

~ +1) / 2, если N -2к +1, Г ~ [1, если = 27с +1. Проведены расчета для следующих данных:

г(2) = 1, у(0) = -1

е*-е2 е2'+е2'

Точное решение у(г) = tg(z + 1 + 1); г* = (— -1 - /) — точное значение подвижной особой точки; г* - (0,57079 - г) — приближенное значение подвижной осо-

* —а

бой точки, Дт" ¿6,5-10 , N = 4, 2] =0,27079-г. Значение г\ попадает в область действия теоремы 4.1.1 и теоремы 5.1.1. Результаты расчетов ниже в табл. 6.

Таблица 6

Сравнение оценок приближенного решегам уравнения Риккати по тео-

(ДуА(.гх))[ (Ау^))„

0,27079-! 5,81-10 ~3 6,295 -10^3

Как показывают приведенные расчеты, наблюдаем хорошую согласованность результатов.

В случае вещественной области

г(х) = ~; >'(-2,5) = 0,9761467;

х*=-2

1/3

- точное значение подвижной особой точки. Точное решение

, , 1 З*2 у 0) = --

х х +2

х* =-1,2599 — приближенное значение подвижной особой точки; Дх*=5-10-5; N = 3. Значение л: = —1,36 подпадает под действие теорем 4.1.1 и 5.1.1. Результаты расчетов представлены ниже в табл. 7.

Таблица 7

Сравнение оценок приближенного решения уравнения Риккати по тео-

X Уз У (ДУз)// \У-уз\

-1,36 10,02704 10,02954 0,00725 0,00724 0,00250

Здесь у — точное решение; — приближенное решение (16); (Ду3); — оценка погрешности УзОО) полученная по теореме 4.1.1; (Ду3)// — оценка погрешности у3(х), полученная по теореме 5.1.1; ¡у-уз\ — истинная величина погрешности. И в вещественной области наблюдаем адекватность результатов.

Этот результат распространен .на матричное дифференциальное уравнение Риккати (теорема 5.2.1), на основании которого для приближенного решения

= (г-г*)"1'! £„(*-?*)",

О

в области ^ = р1 Г\Е\ справедлива оценка погрешности АУы(г)<А0 +Д! +Д2 +Д3,

где

л г

А, £

г-Т тЫ+1(М21 +1)#+1(1 + (М21 +1)(1-т)|г-г* |)

Д25

1 -т(М2\ +1) | 2 — 2* | АМ2

1 - 4т2(М2Х + ш2 +1)2 12 - 22*

Д-, <

Д2""т{М2\ + Ш2 +1)

* 1ч2

(1 -т(Мп + АМ2 +1)|2-?2 |)

7=1 = {2:|2|<|2;|},

^={2:|2-Г |<р26}, Р3=|г:|г-22*|< —-—-

[ 4т (М21 + АМ2 + 1) ]

1

Рл = \г:I г - г2 |< —

[ т(Мп + Шг + 1)

1

[ т(М2\ +1) М2] и ДМ2 —из теоремы 4.1.1.

Проведены расчеты для варианта: М = 1, /1 = -2х, В = 5~х2, У(-3) =-5,001340, х* =-1,000001, ДЗе* = 0,000001. Результаты расчётов представлены в таблице 8, где У2 — приближенное решение (4.2.1); У — точное значение решения; (ДУ2)/ — оценка погрешности У2, полученная по теореме 4.2.1; (ДУ2)// -— оценка погрешности У2, полученная по теореме 5.2.1; ДУ — истинная величина погрешности У2.

Таблица 8

Сравнение оценок приближенного решения матричного уравнения Рикка-

X ?2 У (Д?2)/ (Щ )// ДУ

-1,004 -251,06650 -251,009980 0,064591 0,064616 0,056520

Расчеты иллюстрируют согласованность результатов.

Применяя идею к первому уравнению Пенлеве (теорема 5.3.1), для приближенного решения (13)в области

{г:121<| \}г\ {z:\z- ?2 |<р26}

получаем оценку

Д>?1)Лг < Д0 + А! + Д2 + Д3,

где

An =-

2Az

\Z-Zl

i3 :

Д, <■

I z* | +1«1 | +1 Д \z-z* l-di-M + l^l + IADIz-ri

* a

A, <

AKI | +1 «i | +2Ax+| Л |) | z - z2

Д3 <-

Az'* (| z2* | +1| +2Д/+1A |)4 | z - Z2 | (2 - (| z2 | + [ ai | +2Дг+ [Л |) | z - z2 |)

(\-(\zH + \Sl\+2Ay+\A\)\z-z^\)2

1 *

Ay = max {A? ,Aai-},

P26=:

|г2*| + |21|+2Лу+|Я|

♦ > I I 1 I I I I А Г^/М ли* ♦

И г I -Аг , \г2\=\г > аг8г1 = аг§г2=а^г .

В таблице 9 представлены'расчеты в случае вещественной области для следующих исходных данных:

Л = 1; щ (2,0) = 5,41405; >с| (2,0) = 25,58360;

5с* = 2,428402465; Дх*=6-10~9; N = 6.

Таблица 9

Оценка приближенного решения первого уравнения Пенлеве в окрестности

x w\(x) (Awii6)/ (Ай\,б)я

2,4 1239,6179078 1239,6179098 0,0006689 0,0006628

Здесь 6(х) — приближенное решение (13); ^(х) — приближенное решение, полученное в работе [129] диссертации; (Дй^б)/— оценка погрешности щ6(х), полученная по теореме 4.3.1; (Дй^ 6)ц — оценка погрешности й1)6(х), полученная по теореме 5.3.1.

Приводится алгоритм решения обратной задачи теории погрешности. Так, в этом случае для Дй\ дг(2,4) 5 5 • 10~3 получено N = 5.

В таблице 10 представлены расчеты для сингулярной краевой задачи первого уравнения Пенлеве с исходными данными: Л = 1, (2,4284025) = ю, Ц (2,0) = 25,583600, N = 6.

Таблица 10

Оценка приближенного решения сингулярной краевой задачи для первого

уравнения Пенлеве.

X Ч,б(х) into Awi.6

2,4 1239,6178000 1239,6179098 0,0009735

Здесь w^to — приближенное решение (13); vvj(x) — приближенное решение, полученное в работе [129] диссертации; Aw^ — оценка погрешности й^6(х), полученная по теореме 4.3.1.

Аналогичным образом для приближенного решения (14) второго уравнения Пенлеве (теорема 5.4.1), в области

{г:\г|<|г* |} П {г:| г - г2 (<Р27} >

получена оценка

А>?2(ЛГ005Д0 +Д! + Д2 +Д3,

где

Az* Ш22 + \а2\ +1)JV+1 \ z -z* 2м

А0=-ту; Ai<---;

1 -2(М22+1а2 | +1)|z-z |

2tS*{M22 + ALj+1 а2 I+1)2

Дт <-;

i\2

(l-2(M22+ALl+\a2\+l)\z-z;\y ¿njvt3{M22 taiH] + |«2 I + J^2 '

д ^ 2AM3(A/22 +Шг + \аг I +l)z 1z - zl 1),

1 - 2(M22 + Mf3+ \a2\+V)\z-z2\ /='27=7777--;—r:. Aii = max{Az*,&y],

I z* 1=1 г" I -Az*, I z2* |=|z* I +Az*, argzf = arg z2 = arg z *, у ,M22, ДМ3 —из теоремы 4.4.1. Данная идея проходит и в случае уравнения Абеля (теорема 5.5.1), для приближенного решения которого, в области F = F^ nF2 nF3, справедлива оценка Aw3(^(z) < Д0 + Aj + Д2 + А3,

где

Да*

А0=-

* _|3/2

^Л + А/.-У I?*-,-!*3"-3)'2

2V2 I Z*

2 (1 4- Л/23) | ? - z

А1 =

1 - 22(1 + М23) ] z* -z|3/2

1 |z*-z]I/2 |z*-z'^ + —--+

V

3n + 2 3n + 3 3n + 4

в случае N +1 = Ъп,

Ai =

22«-4(l+^23)|r-zP'-3)/2f 1 |z*-z|1/2 4(1 + M23) | z* - z |

1 l-22(l + M23)|z*-z|3/2

+-+

Ъп + 3 Зл + 4 Зл + 5

у

для N +1 = Ъп +1 и

_22п-\\ + М2ъ)п\Г-z^-V'2 1 - 22 (1~+ М23) | z * - z |3'2

/ Г 4(1 + Л/2з)1^-^|,/2 4(1 + Л/23)| z* --+-+-;—--

Зя + 4 Ъп + 5 Ъп + 6

ч

в случае N +1 = Ъп + 2, М2з и АМ3 — из теоремы 4.5.1,

л, <

Д2*2-2(1 + М23+ДМ3) (I | Гг-2\1П

— + ■ ■ — ■■" • 1 и--

V5 6 7 У

1 - 22(1 + М23 + ДМ3) | г2 - 213/2

д ^ 1-2Шъ\Г2-2?П [1 12 . иг 3 1-22(1 + М23+ДМ3)|22*-г|3/2и 35 2

^3 =^г:|г2* -г|<

л/16(1 + АГ23)2 |' 1

^(ЬкМгз + ДМз)2

|?]*Нг |-Д2*, |г2 Нг |+Дг\ а^ =2х%22=ех%г . Проведены расчеты для Ф(г) = 0, щ(0 = 1 + /; точное решение уравнения (6) ±1 * ■

щ{2)~—=—. ■ ■ ; 2 =-0,75г — точное значение подвижной особой точ-72-^/0,75/-г

ки; 2* = 0,001 - 0,749г — приближенное значение подвижной особой точки;

Дг * =| 2* - г* |= 0,0014142; = 0,001 - 0,65г. 25 подпадает под действие теоремы 4.5.1 и 5.5.1. Результаты расчета представлены в таблице 11, где и/3 (2]) — значение точного решения; щ 3(21) — значение приближенного решения; | т^ - >Р3 3 | — абсолютная величина погрешности; (Ди^з^))/— величина погрешности, полученная по теореме 4.5.1; (Дй3 3(2[))// —величина погрешности, полученная по теореме 5.5.1.

Таблица 11

Сравнение оценок приближенного решения для второго уравнения Пенлеве в окрестности приближенного значения подвижной особой точки по теоремам 4.5.1 и 5.5.1 в комплексной области.

г1 %,3<>1) | И'з - йз з I (ДЯ53>з(21))/

0,001- 0,65/ ± (0,49982 --0,50018/) + (0,49964 г - 0,50036г) 0,00025 0,05286 0,09105

Шестая глава посвящена исследованию влияния возмущения начальных данных на приближенное решение в области аналитичности. Эта задача возникает при осуществлении аналитического продолжения решений рассматриваемых уравнений. В этом случае приходится иметь дело с приближенным решением

= 20)\ (27)

о

где Сп — приближенные значения.

Конструктивность доказанных в главе 1 теорем существования решений в области аналитичности позволяют решить поставленную выше задачу.

Теорема 6.1.2 позволяет получить оценку приближенного решения (27) для скалярного уравнения Риккати (2) в области | г - г0 |< :

ш*) * М9((Л/9 + 1)|г~г°|)//+1 -

где

Р28 =™ А2,

1 - (Л/9 +1) 12 - 20 I 1 - 2(М9 + АМ4 +1) I г - г0 | 1

' 1{М9 + АМд +1)

, р\2 — из теоремы 1.4.1,

АМд = Ауо, =тах<|уо 1>5иР

\г{п)(г р)| п\

Этот результат теорема 6.2.2 позволяет обобщить на матричное дифференциальное уравнение Риккати в области | г - го |< р29> справедлива оценка погрешности приближенного решения (27)

ДГдг*Д1+Д2.

где

А, <

(ш(М24+1))2ЛГ+2|г-го Г1

1-т2(М24 + 1)2|г-го|

Д7 ^

тДЛ/с

1 - 2т2(Л/24 + ДМ5 +1)2 | г - г0

Р29 = тт<р14,—-

1

2«^(Л/24 + ДМ5 + 1)г

Р14 —теорема 1.4.2,

ДМ5 =тах{ДЬ(г0)},

',7

М24 = тах-^ тах | |, Бир [ V и],п

^ир

п\

Результаты теоремы 6.2.2 представлены в расчетах (табл. 12):

'1 О

А =

(0 О

11

' 2 • , ^ сое ЛГБШХ 1

СОБЛ 1 + X

О 1 '

А),999888 0 , Г0(О,О15) = | о 1|, Д70 =

^ 7 Л

5 • 10 0

V о 0у

, N = 2.

Таблица 12

Оценка приближенного решения матричного уравнения Риккати в окрестности приближенного значения подвижной особой точки в вещественной области.

X У дг2 ДУ

0,025 ['0,9998381 0") 1 о V (0,999688 0") 1 о 1; II 0,07290 II '1,501-КГ4 о" ; 0 0)

Здесь У2 — приближенное решение (27); Г — точное решение; ДУ2 — оценка погрешности Г2, полученная по теореме 6.2.2; ЛУ — истинная величина погрешности У2,

Теорема 6.3.2 решает задачу исследования влияния возмущения начальных данных на приближенное решение первого уравнения Пенлеве в области

12-;г0|< 1 : Д>Р1!ЛГ(2)<Д1+Д2,

' 2(М25 + Дм6 +1)

где

д ^(М25 + 1)2т25+1)\г~20 |)*41

1 . 1-(М25 +1)|г-20!|

д ^ АМб(М25+АМб+1)2

2 2(1 - 2(М25 + ДЛ/6 +1) | г - |)'

М25 = тах{| г0 |,| й1>0 |,| |,| Я |}, АМ6 = тах{Д910, Д#и}.

А теорема 6.4.2 позволяет исследовать влияние возмущения начальных данных на приближенное решение (27) второго уравнения Пенлеве (5) в области

1

Ьг - г0 <-:

и 2 (М26 + АМ1 +1)

д~ М26(М26+1)^\2-го\^1 |__АЩ_

2,Ы \-{М26+\)\г-20\ ■ 4(1-2(М2б+МГ7+1)|г-го|)'

где

М26 = тах{|й2Д) \,\й2Л |,|г0 |,|а|}, ДМ7 =тах{Дй20,Дй2>1}.

И теорема 6.5.2 позволяет выполнить эти исследования для приближенного решения (27) уравнения Абеля, в области

Л: 1

Г-20 <-Г,

2 (М27 + АМВ +1)2

оценкой погрешности

д^з „(г) 5 2 <^7+0-1£1£о1_ +

(7У + 1)(1-2(Л/27+1)2|г-2о|)

{ (м21 + АМя + I)2 • \г - г0|

+ДМ8 1 +-—-2-М;---

I 4(1-2(М27+ДМ8+1)2|г-20|)

где М27 = тах

Ип)ы|

Шзп.Бир

П\

ДЛ/8 = АЙ30.

Для иллюстрации результатов в диссертации представлены расчеты задачи Ко-ши для уравнения Абеля (6) при Ф(х) = О, н'3(-б) = 0,25. Осуществлено 16 аналитических продолжений на интервале [—6;—3,94]. Используя априорные и апостериорные оценки погрешности приближенного решения получена вариация

— 1 1 _ О

точности приближенного решения с ё = 2 • 10 на первом шаге до е = 2 • 10 на 16 этапе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации, представ.шощей собой научно-квалификационную работу, на основе выполненных автором исследований при решении нелинейных дифференциальных уравнений, в общем случае не разрешимых в квадратурах и имеющих подвижные особые точки, разработаны теоретические положения, которые можно классифицировать как значительное научное достижение в области разработки метода математического моделирования и развития качественных и приближенных аналитических и численных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Основные результаты диссертации, полученные лично автором, заключаются в следующем:

1. Дано доказательство теорем существования решений рассматриваемых уравнений в окрестности подвижной особой точки, основанное на методе мажорант к решениям уравнений, которое, в отличие от существующих, позволяет в дальнейшем построить приближенное решение в области подвижных особых точек.

2. Доказаны теоремы существования решений нелинейных уравнений в области аналитичности, позволяющие, в отличие от существующих, построить в дальнейшем приближенное решение в области аналитичности.

3. Получены аналитические выражения для вычисления области аналитичности решений задач Коши перечисленных выше нелинейных дифференциальных уравнений.

4. Доказаны необходимые, необходимые и достаточные условия существования подвижных особых точек решений рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений на конечном промежутке.

5. Построены алгоритмы и разработаны проблемно-ориентированные программы нахождения подвижных особых точек решений задач Коши для упомянутых ранее нелинейных дифференциальных уравнений.

6. Решены прямая и обратная задачи теории погрешности для приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности подвижной особой точки.

7. Установлена зависимость влияния возмущения подвижной особой точки на приближенное решение рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений в области подвижной особой точки.

8. Получены точные границы областей применения приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности приближенных значений подвижных особых точек.

9. Дано решение нелинейных дифференциальных уравнений методом степенных рядов с использованием точных критериев существования подвижных особых точек.

10. Установлена зависимость приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений от возмущения начальных данных задачи Коши.

11 .Разработаны алгоритмы, позволяющие применять известные аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений к нелинейным дифференциальным уравнениям, обладающим подвижными особыми точками.

Основные положения и научные результаты исследований опубликованы В изданиях, рекомендуемых ВАК Мииобрнауки России:

1. Орлов В.Н. Исследование приближенного решения второго уравнения Пенле-ве / В.Н. Орлов, H.A. Лукашевич // Дифференц. уравнения. — Т. 25, № 10. — 1989. —С. 1829-1832.

2.0рлов В.Н. Критерии существования подвижных особых точек решений дифференциальных уравнений Риккати / В.Н. Орлов // Вестник Самарского ГУ. Естеств. научная серия. — 2006. — № 6/1(46). — С. 64-69.

3. Орлов В.Н, Критерии существования подвижных особых точек решений второго уравнения Пенлеве / В.Н. Орлов // Изв. Тул ГУ. Сер. Дифф. уравнения и прикладные задачи. — Вып. 1. — Тула: Изд-во Тул ГУ, 2006. — С. 26-29.

4. Орлов В.Н. О приближенном решении первого уравнения Пенлеве /

B.Н. Орлов // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. — 2008. — № 2. — С. 42-46.

5. Орлов В.Н. Метод приближенного решения дифференциального уравнения Риккати / В.Н. Орлов // Науч.-техн. ведомости СПбГПУ. — Санкт-Петербург, 2008. — № 4. — С. 102-108.

6. Орлов В.Н. Об одном методе приближенного решения матричных дифференциальных уравнений Риккати '/ В.Н. Орлов //Вестник МАИ. — Москва, 2008. Т.15.№ 5.- С.128-135.

7. Орлов В.Н. Исследование приближенного решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки / В.Н. Орлов // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Естественные науки.— № 4(35).— 2009.—

C.23-32

8. Орлов В.Н. Точные границы области применения приближенного решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности приближенного значения подвижной особой точки / В.Н. Орлов// Вестник Воронежского государственного технического университета.-2009.-Т. 5, № 10 - С.192-195.

9. Редкозубов С.А. Точные критерии существования подвижной особой точки дифференциального уравнения Абеля /С.А. Редкозубов, В.Н. Ор-лов//Известия института инженерной физики.-2009.-№ 4(14).-С.12-14.

10. Орлов В.Н. Об одном точном критерии существования подвижной особой точки решения второго уравнения Пенлеве /В.Н. Орлов, С.А. Редкозубой // Известия института инженерной физики.-2010,- №3(17).-С.2-3. П.Орлов В.Н. Точные границы для приближенного решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности приближенного значения подвижной особой точки в комплексной области /В.Н. Орлов// Вестник ЧГПУ им. И .Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния.-2010.-№2(8). С. 399-405. 12.Орлов В.Н. Математическое моделирование решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки /В.Н. Орлов, С.А. Редкозубов //Известия института инженерной физики.-2010.- №4(18).-С.2-6. В зарубежных изданиях: 13.Орлов В.Н. Об одном конструктивном методе построения первой и второй мероморфных трансцендентных Пенлеве / В,Н. Орлов, В.П. Фильчако-ва //Симетршш та анаштичш методи в математичнш ф1зищ. — Т. 19.— IM HAH Украши, Киев. — 1998. — С. 155-165. 14.0рловВ.Н. Построение приближенного решения в окрестности подвижной особой точки для второго уравнения Пенлеве / В..Н. Орлов, H.A. Лукашевич,

A.A. Самодуров // Вестник БГУ. Сер. 1 Физика, математика, информатика. — Минск, 2002. — С. 79-85.

В других изданиях:

15.Кузнецов Ю.К. Об оценке погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки. I / Ю.К. Кузнецов,

B.Н. Орлов // Вычислительная математика и математическая физика. — М., 1982. —С. 17-24.

16.Кузнецов Ю.К. Об оценке погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки. II / Ю.К. Кузнецов, В.Н. Орлов // Вычислительная математика и математическая физика. — М., 1982. —С. 25-28.

17.Орлов В.Н. Определение подвижной особой точки решения уравнения Риккати на конечном отрезке / В.Н. Орлов; Ленингр. гос. пед. ин-т. — Л.,

1982. — 11 с. — Деп. в ВИНИТИ 01.06.82, № 2705-82 Деп.

18.Орлов В.Н. Оценка погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки / В.Н. Орлов; Ленингр. гос. пед. инт. — Л., 1982. — 10 с. — Деп. в ВИНИТИ 06.07.82, № 3509-82 Деп. 19.Орлов В.Н. Расширение области применения оценки погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки / В.Н. Орлов // Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением. — Саранск,

1983. —С. 106-112.

20.Орлов В.Н. Построение приближенного решения в окрестности подвижной особой точки типа полюса для нестационарного матричного уравнения Риккати / В.Н. Орлов; Чуваш, гос. ун-т. — Чебоксары, 1983. — 11 с. — Деп. в ВИНИТИ 25.08,83, № 4639-83 Деп.

21.Орлов В.Н. Оценка области голоморфности решения нестационарного матричного уравнения Риккати / В.Н. Орлов; Чуваш, гос. ун-т. — Чебоксары, 1983. — 8 с. — Деп. в ВИНИТИ 25.06.83, № 4640-83 Деп.

22.0рловВ.Н. Построение аналитического приближенного решения первого уравнения Пенлеве в окрестности подвижной особой точки / В.Н. Орлов II Вычислительная математика и программирование. — М., 1983. — С. 84-88.

23.Орлов В.Н. Расширение области применения приближенного решения нестационарного матричного уравнения Риккати в окрестности приближенного значения подвижной особой точки / В.Н. Орлов, В.П. Федотов // Методы теории диф. урав. и их приложения. — Саранск, 1987. —8 с, — Деп. ВИНИТИ, № 4892-В88.

24.0рловВ.Н. О приближенном решении уравнения Абеля/ В.Н.Орлов, Н.А. Лукашевич//Тез. Всесоюз. науч.-техн. конференц. «Применение выч. техн. и мат. методов в науч. и экономических исследованиях.— Киев, 13-16 сентябрь, 1988.

25.Орлов В.Н. Адаптация метода степенных рядов в приближенном решении нелинейных дифференциальных уравнений к особым точкам / В.Н.Орлов, Ю.К. Кузнецов // Дифференц. и интегральные уравнения. — Горьк. ГУ, 1987, —С. 37-41.

26.0рлов В.Н. Исследование приближенного решения с подвижными полюсами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / В.Н, Орлов // Бел. гос. Универ. — Минск, 1989. — 18 с.

27.Орлов В.Н. Исследование приближенного решения с подвижными полюсами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений: дис. канд. физ.-мат. наук / В.Н. Орлов. —Бел. гос. университет. —Минск, 1989. — 142 с.

28.Орлов В.Н. Уравнения Абеля и степенные ряды / В.Н. Орлов // Тез. докл. итоговой конф. — Чебоксары: ЧТУ, 1990.

29.Орлов В.Н. Влияние возмущений начальных данных на приближенное решение некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Н. Орлов // Тез. докл. итоговой конференции. — Чебоксары: ЧТУ, 1997.

30.Орлов В.Н. Оценка приближенного-решения Р2 в окрестности приближенного значения подвижной особой точки / В.Н. Орлов // Тезисы докладов 8 Международной математической конференции, Минск, 19-24 июня 2000 г.

31 .Орлов В.Н. Оценка приближенного решения Р) в окрестности приближенного значения подвижной особой точки / В.Н. Орлов // Тезисы докладов 8 Международной конференции Д1РШ-2000. — Одесса, Украина, 12-14сент. 2000.

32.Орлов В.Н. Построение приближенного решения в окрестности подвижной особой точки для уравнения Р| / В.Н. Орлов // Известия НАНИ ЧР. — № 4. — 2000. — С. 43-49.

33.Орлов В.Н. Исследование приближенного решения в окрестности подвижной особой точки для дифференциальных уравнений Риккати / В.Н. Орлов // Известия ИТА ЧР. — №4. — 2001. — С. 182-188.

34.Орлов В.Н. Некоторые критерии существования подвижных особых точек решений первого уравнения Пенлеве / Науч.-практ. конф. «Стратегия разви-

тия филиала до 2012 года: совершенствование подготовки специалистов, менеджмент и инновации». — Чебоксары: СПбГИЭУ, 2007. — С. 68-69.

35.Орлов В.Н. Об одном приближенном методе решения уравнений Абеля / В.Н. Орлов // XX Международная науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-20», 30.05. 2007, Ярославль.— Т. 1, секция 1. — С. 64-65.

Зб.Орлов В.Н. Дифференциальное уравнение Абеля и подвижные особые точки / В.Н. Орлов // Вестник филиала РГСУ в г. Чебоксары. — 2008. — № 1(18). —С. 138-139.

37.Орлов В.Н. Теорема существования решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки / В.Н. Орлов // Международная междисципл. науч. конф. «Первое исконно русское слово — в начале нашего машиноведения», ЧТУ, Чебоксары, 24-25 мая 2008 г.

38.Орлов В.Н. Приближенное решение дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки / В.Н. Орлов // Вестник РГСУ. — Чебоксары, 2008. —№2(19). —С. 141-144.

39.0рловВ.Н. Точный критерий существования подвижной особой точки для первого уравнения Пенлеве / В.Н.Орлов// Вестник РГСУ.— Чебоксары, 2009. — № 1(20).- С.207-208.

40.Орлов В.Н. Необходимое и достаточное условия существования подвижной особой точки для первого уравнения Пенлеве / В.Н. Орлов // «Понтрягинские чтения XX», XXIII Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач», Воронеж, 3-9 мая 2009 г.

41.Орлов В.Н. RSP-Painleve 1 / В.Н. Орлов, С.А. Редкозубов, В.И. Гурьянов// ОФАП ВНТИЦ.-18.05.2010,- №50201000799.

42.Орлов В.Н. RSP-Painleve 2 / В.Н. Орлов// ОФАП ВНТИЦ.-02.06.2010,-№50201000899.

43. Орлов В.Н. RSP-Riccati / В.Н. Орлов//ОФАП ВНИТЦ.-17.01.20П.-№50201100071.

Подписано в печать.50,//г2О10. Формат 60x90/16. Бумага офсетная 2,0.п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 2330

в»мискощ,Ш и 1 ОС'УДАРСТВЕННОГО ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА

Лицензия на издательскую деятельность ЛР N° 062809 Код издательства 5X7(03)

Отпечатано в типографии Издательства Московского государственного горного университета

119991 Москва, ГСП-1, Ленинский проспект, 6; Издательство МГГУ; тел. (495) 236-97-80; факс (495) 956-90-40

Введение

Глава 1. Теоремы существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

§1.1. Краткий обзор литературы.

§1.2. Теоремы существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений и их возможности.

§ 1.3. Теоремы существования решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности подвижных особых точек.

§ 1.4. Оценки области аналитичности решений задач Коши для исходных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Глава 2. Получение подвижных особых точек нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью.

§ 2.1. Критерии существования подвижных особых точек в комплексной и вещественной областях для скалярного и нестационарного матричного уравнений Риккати.

§ 2.2. Критерии существования подвижных особых точек в комплексной и вещественной областях для первого неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 2.3. Критерии существования подвижных особых точек в комплексной и вещественной областях для второго неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 2.4. Критерии существования подвижных особых точек в комплексной и вещественной областях для уравнения

Абеля.

§ 2.5. Алгоритмы нахождения подвижных особых точек.

Глава 3. Построение аналитических приближенных решений в окрестности подвижных особых точек в комплексной и вещественной областях.

§ 3.1. Для скалярного дифференциального уравнения Риккати.

§ 3.2. Для нестационарного матричного дифференциального уравнения Риккати.

§ 3.3. Для первого неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 3.4. Для второго неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 3.5. Для уравнения Абеля.

Глава 4. Исследование влияния возмущения значений подвижных особых точек на приближенные решения в комплексной и вещественной областях.

§ 4.1. Для скалярного дифференциального уравнения Риккати.1 Об

§ 4.2. Для нестационарного матричного дифференциального уравнения Риккати.

§ 4.3. Для первого неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 4.4. Для второго неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 4.5. Для уравнения Абеля.

Глава 5. Точные границы областей применения приближенных решений дифференциальных уравнений в окрестности приближенных значений подвижных особых точек в комплексной и вещественной областях.

§ 5.1. Для скалярного дифференциального уравнения Риккати.

§ 5.2. Для нестационарного матричного дифференциального уравнения Риккати.

§ 5.3. Для первого неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 5.4. Для второго неприводимого уравнения Пенлеве.

§ 5.5. Для уравнения Абеля.

Решение многих задач из различных областей приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям как линейным, так и нелинейным. Если для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно полно разработана теория и созданы как точные, так и приближенные методы решения, то для второй категории уравнений на данный момент этого утверждать нельзя. Так, в частности, существует категория нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешимых, в общем случае, в квадратурах. Более того, они обладают подвижными особыми точками, которые делают невозможным применение к этим уравнениям известных аналитических и численных приближенных методов, поскольку последние не адаптированы к этому виду особых точек.

Принимая во внимание, что существующая разработанная теория не позволяет считать завершенными все проблемы связанные с решением нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, • делает актуальным разработку метода математического моделирования для исследования нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих подвижными особыми точками. Особое значение имеет использование этого метода для получения результатов по решению и выяснению качественных свойств таких классов дифференциальных уравнений. В связи с этим, целью данной работы является решение следующих основных задач:

1. Доказать теоремы существования решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в области аналитичности и в окрестности подвижной особой точки (определенного типа).

2. Получить точные критерии существования подвижных особых точек рассматриваемых уравнений и построить алгоритмы их нахождения с заданной точностью.

3. Обосновать и разработать новый математический метод построения аналитического приближенного решения в окрестности подвижной особой точки рассматриваемых уравнений.

4. Исследовать влияние возмущения подвижных особых точек на приближенное решение рассматриваемых уравнений.

5. Найти точные границы области применения приближенного решения рассматриваемых уравнений в окрестности приближенных значений подвижных особых точек.

6. Разработать комплекс проблемно-ориентированных программ, позволяющий адаптировать известные численные и аналитические методы решения дифференциальных уравнений к рассматриваемым нелинейным дифференциальным уравнениям.

7. Исследовать и реализовать влияние возмущения начальных данных на приближенное решение рассматриваемых, уравнений с применением комплекса проблемно-ориентированных программ и вычислительного эксперимента.

8. Адаптировать метод степенных рядов к решению нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками.

Перечисленные задачи рассматриваются для обыкновенных дифференциальных уравнений:

1) Риккати,

2) нестационарных матричных уравнений Риккати,

3) первого неприводимого уравнения Пенлеве,

4) второго неприводимого уравнения Пенлеве,

5) уравнения Абеля.

Все исследования проводились как в вещественной, так и комплексной областях. Полученные результаты являются новыми. Теоретические результаты иллюстрированы расчетами как в вещественной, так и комплексной областях и подтверждают своей согласованностью их достоверность.

Диссертация состоит из введения, шести глав, списка литературы и приложения. Основной текст занимает 234 печатных листа. Список литературы состоит из 269 наименований отечественной и зарубежной литературы. По теме диссертации опубликовано 43 работы, в том числе три авторских права на алгоритмы и программы, а также в изданиях рекомендуемых Высшей Аттестационной Комиссией для докторских диссертаций: журнал Дифференциальные уравнения; Вестник Самарского ГУ Естественно научная серия; Известия Тул. ГУ Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи; Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева; Научно-технические ведомости СПбГПУ; Вестник МАИ; Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, серия Естественные науки; Вестник Воронежского государственного технического университета; Известия института инженерной физики; Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, а также в Вестнике БГУ (Минск) и трудах IM НАН Украины.

-203 -Заключение

В диссертации, представляющей собой научно-квалификационную работу, на основе выполненных автором исследований при решении нелинейных дифференциальных уравнений; в общем случае не разрешимых в квадратурах и имеющих подвижные особые точки, разработаны.теоретические положения, которые можно классифицировать как значительное научное достижение в области разработки метода математического моделирования и развития-качественных и приближенных аналитическимичисленных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Основные результаты диссертации, полученные лично автором, заключаются в следующем: Д . Дано доказательство теорем существования' решений рассматриваемых уравнений в окрестности подвижной особой точки, основанное на методе мажорант к решениям уравнений; которое, в отличие от существующих, позволяет в. дальнейшем построить приближенное решение в области подвижных особых точек. 21 Доказаны теоремы существования решений нелинейных уравнений в области аналитичности, позволяющие, в отличие: от существующих, построить в дальнейшем приближенное решение в области аналитичности.

3. Получены аналитические, выражения для; вычисления, области аналитичности решений задач Коши перечисленных выше нелинейных дифференциальных уравнений.

4. Доказаны необходимые, необходимые и достаточные условия; существования подвижных особых точек решений рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений на конечном промежутке.

5. Построены алгоритмы и разработаны проблемно-ориентированные программы нахождения подвижных особых точек решений задач Коши для упомянутых ранее нелинейных дифференциальных уравнений.

6. Решены прямая и обратная задачи теории погрешности* для приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности подвижной особой точки.

-2047. Установлена зависимость влияния возмущения подвижной особой точки на приближенное решение рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений в области подвижной особой точки.

8. Получены точные границы областей применения приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности приближенных значений подвижных особых точек.

9. Дано решение нелинейных дифференциальных уравнений методом степенных рядов с использованием точных критериев существования подвижных особых точек.

10. Установлена зависимость приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений от возмущения начальных данных задачи Коши.

11. Разработаны алгоритмы, позволяющие применять известные аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений к нелинейным дифференциальным уравнениям, обладающим подвижными особыми точками.

1. Сю Д. Современная теория автоматического управления и ее применение / Д. Сю, А. Майер. — М.: Машиностроение, 1972. — 552 е.: ил.

2. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление / Я.Н. Ройтенберг. — М.': Наука, 1971. —396 с.: ил.

3. Kalman R. Contribution to the theory of optimal control/ R. Kalman// Boletin de la Sociedad Matematica Mehanica. Segunde serie.— 1960.— V. 5, N1. —P. 102-119.

4. Горин В.А. Исследование работы дозатора кормов / В.А. Горин, А.П. Ко-наков, Н.С.Попов// Механизация и электрификация с.-х.— 1981.— № 1. —С. 24-26.

5. Kalman R. New results in linear filtering and predication theory / K. Kalman, R. Bucy // J. Basic Engr. (ASME Trans.). — 1961. — V. 83D. — P. 95-108.

6. BucyR.S. Optimal Filtering for correlated Noise / R.S.Busy// J. of Mat. Analysis and Applications. — 1967. — V. 20, N 1. — P. 1-8.

7. Airault H. Rational Solutions of Painleve Equations / H. Airault // Studies in applied mathematics. — 1979. — V. 61, N 1 July. —P. 31-53.

8. Ablowitz M.I. Exact linearization of a Painleve transcendent / M.I. Ablowitz, H. Segur // Phys. Rev. Lett. — 1977. — V. 38, N 20. — P. 1103-1106.

9. ГромакВ.И. О решении второго уравнения Пенлеве/ В.И. Громак// Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, вып. 5. — С. 753-763.

10. Ablowitz М. Nonlinear evolutions and ordinary differential equations of Painleve type / M. Ablowitz, A. Romani, H. Segur // Lett, al Nuowo Cim. — 1978. — V. 23, N 9. — P. 333-338.

11. Ablowitz M. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. I, II / M. Ablowitz, A. Romani, H. Segur//J. Mat. Phys. — 1980. —V. 21. — P. 715-721, 1006-1015.

12. Dawson S.P. Analytical properties and numerical solutions of the derivative nonlinear Schrodinger equation / S.P. Dawson, C.E. Fontan // J. Plasma Phys. — 1988. — 40, N 3. — C. 585-602.

13. Fernandez Francisco M. Evgevalues of the Schrodinger equation via the Riccati-Pade method / M. Fernandez Francisco, Q. Ma, R.H. Tipping // Phys. Rew. A. — 1989. — 40, N 11. — C. 6149-6153.

14. Захаров Б.Н. Послушная квантовая механика. Новый статус теории в подходе обратной задачи / Б.Н. Захаров, В.М. Чабанов. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 300 с.

15. Захаров В.Е. Теория солитонов: метод обратной задачи / В.Е.Захаров, С.В. Манаков, С.П.Новиков, Л.П. Питаевский.— М.: Наука, 1980.— 319 с. : илл.

16. ClarksonP.A. Special polynomials associated with rational solutions of the Painleve equations and applications to solution equations / P.A. Clarkson // Comput. Meth. and Funct. Theory. — 2006. — 6, N 2. — C. 329-401.

17. Сулейманов Б.И. Второе уравнение Пенлеве в одной задаче о нелинейных эффектах вблизи каустик / Б.И. Сулейманов // Зап. науч. семинара ЛОМИ. — 1991. — 187. — С. 110-128.

18. Чудновский В.М. Теория сверхизлучательных лавин радиоволнового диапазона / В.М. Чудновский, Е.Д. Холодкевич // Физика твердого тела. — 1982. — Т. 24, №4. —С. 1118-1123.

19. Чудновский В.М. Лавинный распад инвертированного состояния квантовой системы: автореф. канд. физ.-мат. наук/ В.М. Чудновский. — Минск: БГУ, 1983. — 16 с.

20. Самодуров А.А. Простой способ определения времени задержки сверхизлучательной бозонной лавины / А.А. Самодуров, В.М. Чудновский // Докл. АН БССР. — 1985. — Т. 29, № 1. — С. 9-10.

21. Flill J.M. Radial deflections of thin precompressed cylindrical rubber bush mountings / J.M. Hill //Internat. J. Solids Structures. 1977. 13. C. 93-104.

22. Oclcendon J.R. Numerical and analytical solutions of moving boundary problems / J.R. Ockendon // Proc. Symp. Moving Boundary Problems / ed. D.G. Wilson, A.D. Solomon and P.T. Boggs. New York, 1978. P. 129-145.

23. AxfordR.A. The exact solution of singular arc problems in rector core optimization / R.A. Axford,// Proc. Nuclear Utilities Planning Methods Symp. Tennessee, 1974. P. 1-14.

24. Axford R.A. Differential equations invariant urber two-parameter Lie groups with applications to non-linear diffusion / R.A. Axford // Los Alamos Report. 1970. (LA-4517, UC-34).

25. Axford R.A. Group invariance properties of the Poisson-Boltzmann and other : non-linear field equations / R.A. Axford// Los Alamos Report. 1972. (LA4864. UC-34).

26. Axford R.A. Non-linear thermal instability phenomena in plates and rods / R.A. Axford // A.S.M.E. .Nuclear Eng. Div., Winter Annual Meeting. Michigan, 1973. P. 1-12.

27. Hill J.M. Abel's Differential Equation / J.M. Hill //J. Math. Scientist. 1982.1. V 7, № 2. S. 115-125.

28. Цапенко H.E. Уравнение Риккати и волновые процессы / Н.Е. Цапен-ко. — М.: Изд-во Московского гос. горного университета, изд-во «Горная книга», 2008. — 244 с.

29. Shi М. On the solution of a one-dimensional Riccati equation related to risk-sencitive portfolio optimization problem / M. Shi // Repts Fac. Sci. and Eng. Soga Univ. Math. — 2005.,— 34, N 1. — C. 17-24.

30. Lystad L.P. The Riccati equation — an economic fundamental equation which deseribes marginal movement in time / L.P. Lystad, P.-O. Nyman, R. Hei-bakk // Model., Identif. and Contr. — 2006. — 27, N 1. — C. 31-41.

31. Bureau F J. Les equations différentielles du second ordre a points critiques fixes. I. Les intégrales de l'équation A2 Painleve / F.J. Bureau // Bull. cl. sci. Acad. roy. Belg. — 1983. — T." 69, N 2. — P. 80-104.

32. Bureau F.J. Les equations différentielles du second ordre a points critiques ; fixes. III. Les intégrales de l'équation A3 Painleve / F.J. Bureau // Bull1, cl. sci.

33. Acad. roy. Belg. — 1983. — T. 69, N 11. — P. 614-640.

34. Bureau F.J. Les equations différentielles du second ordre a points critiques fixes. II. Les intégrales de l'équation A4 Painleve / F.J. Bureau // Bull. cl. sci. Acad. roy. Belg. — 1983. — T. 69, N 7-9. — P. 397-433.

35. Еругин Н.П. Аналитическая теория нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.П. Еругин // Прикл. математика и механика. — 1952. — Т. 16, вып. 4. — С. 465-486.

36. Фильчакова В.П. Уравнения Пенлеве и нелинейные волновые процессы / В.П. Фильчакова // Исследования по теории функций комплексного переменного с приложениями к механике сплошных сред. — Киев, 1986. —С. 190-200.

37. Громак В.И. Нелинейные-эволюционные уравнения и уравнения Р-типа /

38. B.И. Громак// Дифференц. уравнения.— 1984.— Т. 20, №12.—1. C. 2042-2048.

39. Лаврентьев М.О. До теорп довгих хвиль/ М.О.Лаврентьев// Зб1рник праць 1н.-ту математики АН УССР. — 1946. — №38. — С. 13-69.

40. Gardner С.S. Similarity in the asymptotic behavior of collisionfree hydromagnetic wave and water-waves/ C.S.Gardner, G.M. Morikava// Courant Inst, of Math. Sc. Rep. — 1969. — N 40. — P. 9082-9094.

41. Ablowitz M.I. Solutions and rational solutions of nonlinear evolution equations / M.I. Ablowitz, • I. Satsuma// J. Math. Phys. — 1978.— V. 19, N 10. —P.2180-2186.

42. Еругин Н.П. К теории уравнения Риккати / Н.П. Еругин // Докл. АН БССР. — 1958. —Т. 2, №9. —С. 359-362.

43. Фильчаков П.Ф. Про один ефективний метод розв'язання задач Konii для нелшшних диференщальных р1внянь / П.Ф. Фильчаков // Докл. АН УССР, сер. А. — 1967. — № 1. — С. 43-47.

44. Фильчаков П.Ф. Решение нелинейных и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем при помощи степенных рядов / П.Ф. Фильчаков // Укр. матем. журнал. — 1969. — Т. 21, № 2. — С. 220-237.

45. Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики/ П.Ф. Фильчаков.— Киев: Наукова думка.— 1970.— 800 е.: ил.

46. Озерецковский В.Б. Ряды Тейлора как метод решения дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений математической физики /В.Б. Озерецковский. — М., 1994. — 71 с.

47. Синявский М.Т. Про один численный метод визначення особливых точок интегралов систем нелинейных дифференциальных р1внянь / М.Т. Синявский // Докл. АН УССР, сер. А. — 1969. — № 7. — С. 597599.

48. Степин С.А. О методе ВКБ для квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка / С.А. Степин // МГУ. — М., 2000. — Деп. в ВИНИТИ 04.07.2000, № 1856-В00.

49. Иманашев М.И. Сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений в случаях, когда «вырожденные» системы имеют разрывные решения / М.И. Иманашев, П.С. Паков // Докл. АН СССР. — 1988. — 303, №'3. — С. 546-549.

50. Белов A.M. Численная реализация А-метода решения одного класса дифференциальных уравнений Риккати / A.M. Белов, В.И. Биленко, А.И. Кашнировский // Некоторые вопросы теории приближенния функций и их приложение. — Киев, 1988. — С. 12-23.

51. Хохряков А.Я. О существовании положительного периодического решения матричного уравнения Риккати / А.Я. Хохряков, Б.М. Архипов // Машиностроит. ин-т. — Могилев, 1988. — 16 с. — Деп. в ВИНИТИ от 02.11.88, № 7839-В88.

52. Понхристов Хр.Б. Новый случай интегрируемости общего уравнения Риккати в квадратурах / Хр.Б. Понхристов, Г.А. Крыстев // Ред. ж. Дифференц. уравнения. — Минск, 1988. — 12 с. — Деп. в ВИНИТИ от 19.12.88, № 8845-В88.

53. Sasagawa Т. Existence theorem for the difference Riccati equations / T. Sasa-gawa // Appl. Math, and Comput. — 1988. — 26, N 2, Pt. 1. — C. 89-103.

54. Жданов P.3. Об одном классе интегрируемых уравнений Риккати/ Р.З. Жданов // Тр. науч. конф. мол. ученых ин-та мат. АН УССР, Киев, 15-17 июня, 1988. — Деп. в ВИНИТИ 20.01.89, № 487-В89.

55. МакаровА.П. Об одном случае интегрирования уравнения Риккати/ А.П. Макаров// Брянск, технол. ин-т. — Брянск, 1989. — 8 с. — Деп. в ВИНИТИ 01.02.89, № 707-В89.

56. Параев Ю.И. Уравнения Ляпунова и Риккати / Ю.И. Параев. — Томск: Изд-во Томского ГУ, 1989. — 165 с.

57. Wu Jin-Gang. On periodic solutions to Riccati's equation / Jin-Gang Wu // Ситук кэсюэ юй шусюэ. J. Syst. Sei. and Math. Sei. — 1990. — 10, N 1. — С. 24-30.

58. Лаптинский В.Н. Об ограниченных на полуоси решениях уравнения Риккати / В.Н. Лаптинский// Весщ АН Беларусь Сер. ф!з. мат. н.— 1995, —№2. —С. 12-16.

59. Зайцев В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Точные решения / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. — М.: Физматлит, 1995. — 559 с.

60. Li Meisheng. Second order algebraic curve solution of Riccati equation / Meisheng Li, Jiguang Bao // Beijing Hangkong Hangtian daxue xuebao. J. Beijing Univ. Aeron. and Astronant. — 1997. — 23, № 2. — C. 252-256.

61. Молчанов A.M. Уравнение Риккати у'= у2 + x для функций Эйри/ A.M. Молчанов // Препр. — Пущино: Ин-т матем. проблем биологии, 1995. — 14 с.

62. МакарьинаИ.А. О рациональных решениях уравнения Риккати/ И.А. Макарьина // Дифференц. уравнения с частными производными; Ленингр. гос. пед. ин-т. — Л., 1990. — С. 30-41.

63. Савкин A.B. Об ограниченных решениях матричного дифференциального уравнения Риккати / A.B. Савкин // Дифференц. уравнения. — 1991. — 27, № 5. — С. 781-788.

64. Макарьина И. А. О рациональных решениях уравнения Риккати/ И.А. Макарьина // Дифференц. уравнения с частными производными; Ленингр. гос. пед. ин-т. —Л., 1990. — С. 30-41.

65. Коновалов С.П. Об интегрируемости уравнения Риккати / С.П. Коновалов // Пробл. мат. в задачах физ. и техн; Моск. физ.-техн. ин-т. — М., 1992. —С. 79-82.

66. Хохряков А.Я. О положительном периодическом решении уравнения Риккати / А.Я. Хохряков // 6 конф. мат. Белорусси, 29 сентября — 2 октября 1992 г. : тез. докл. — Ч. 3; Гродн. гос. ун-т. — Гродно, 1992. — С. 81.

67. Каровауков А.Ф. Решение общего уравнения Риккати в конечной форме / А.Ф. Каровауков // Препр. МНТЦ «ВЕНТ». — 1993. — № 3940. —С. 11-23.

68. Feng Lusiang. A sufficient condition for Riccati equation integrobility / Lusiang Feng, Dawei Liu // Huaihua shízhuan xuebao. J. Huaihua Teach. Coll. — 1999. — 18, N 5. — C. 16-17.

69. Dimitrovski D. Every Riccati equation can be solved by quadratures in a wider sence / D. Dimitrovski, L. Stefanovska, M. Kujumdzieva-Nikolska // Math. Balkan. — 1997. — 11, N 3-4. — C. 221-228.

70. Сардыко В.И. Решение дифференциального уравнения Риккати / В.И. Сардыко // 8 Белорусская мат. конф., Минск, 19-21 июня 2000 г.: тез. докл. междунар. конф. — Ч. 1. — Минск: Изд-во Ин-та мат. НАН Беларуси, 2000. —С. 153.

71. ПронькинВ.С. О почти периодических решениях уравнения Риккати/

72. B.C. Пронькин // Изв. РАЕН. Дифференц. уравнения. — 2001. — № 5. —1. C. 144-146.

73. Napora Jolanta. The Mozer type reduction of integrable Riccati differential equations and its Lie-algebraic structure / Jolanta Napora// 31st Symposium on Mathematical Physics, Torun, Mai 18-21, 1999. Repts. Math. Phys, 2000. —46, N 1-2. —C. 211-216.

74. Велько O.A. Специальное уравнение Риккати / O.A. Велько // Еругинские чтения — VIH : тез. докл. междунар. мат. конф., Брест, 2002. — С. 27-28.

75. Wang Jian Feng. A little discussion of Riccati equation / Jian Feng Wang// Shuxue lilun yu yinguong = Math. Theor. and Appl. — 2002. — 22, N 3. — C. 107-109.

76. Тыщенко В.Ю. Эквивалентность уравнений Риккати с периодическими коэффициентами / В.Ю. Тыщенко// Дифференц. уравнения.— 2003.— 39, № 4. — С. 565-567.

77. Yan E.R. A note about a integrable condition of Riccati differential equation / E.R. Yan // Baoji wenli xueyuan xuebao. Ziran kexue ban = J. Baoji Coll. Arts and Sci. Natur. Sci. Ed. — 2004. — 24, N 3. — C. 179-180.

78. Kuyumdzieva N.M. Some solutions to the Riccati differential equation/ N.M. Kuyumdzieva, J. Mitevska // Мат. билт. Cojy3. мат. Pen. Maicedo-Huja. — 2005. — 29. — C. 61-70.

79. Ishizaki K. Riccati differential equations with elliptic coefficients / K. Ishiza-ki, I. Laine, S. Shimomura, H.K.To// Tohoku Math. J.— 2003.— 55, N 1. —С. 99-108.

80. Yan E.-R. A study on integrability condition of Riccati equation / E.-R. Yan // Xibeidaxue ban. Ziran kexue ban = J. Northwest Univ. Natur. Sci. Ed. —2004. — 34, N 5. — C. 513-516.

81. GolemaJ. On the Bäclclund transformations of the Riccati equation: Thè differential-geometric approach revisited / J. Golema // Repts Math. Phys. —2005. — 55, N 3. — C. 341-349.

82. Dubois Francois. Homographie scheme for Riccati equation/ Francois Dubois, Abdelkader Saidi // Prepubl. Inst. rech. math. avan. — 2000. — N32. —C. 1-36.

83. Jackson K.R. The use of Butcher series in the analysis of Newton-like iterations in Runge-Kutta formulas / K.R. Jackson,. A. Kvaerno, S.P. Nersett // Appl. Numer. Math. — 1994. — 15, N 3. — C. 341-356.

84. Бунякин A.B. Особые точки динамических систем/ A.B. Бунякин// Вычислительная математика и математическая физика. — 1995. — 35, №3. —С. 477-478.

85. Enright W.H. Effective solution of discontinuons IV Ps using a Runge-Kutta formula pair with interpolants / W.H. Enright, K.R. Jackson, S.P. Norselt, P.G. Thomsen // Appl. Math, and Comput. — 1988. — 27, N 4, Pt. 2. — C. 313-335.

86. Callier F.M. Report on a convergence criterion of the solution of the Riccati differential equation / F.M. Callier, J.L. Willems // Circuit Theory and Design: Proc. Eur. Conf., The Hague, 25-28 Aug. 1981.— Amsterdam a.o. — 1981. —P. 526-530.

87. Laub A. Schur techniques for Riccati differential equations / A. Laub // J. Lect. Notes and Inf. Sei. — 1982. — V. 39. — P. 165-174.

88. Sasagawa T. On the finite escape phenomena for matrix Riccati equations / T. Sasagawa// IEEE Trans. Automat. Contr.— 1982.— V. 27, N4.— P. 977-979.

89. Common A.K. Solutions of the Riccati equation and their relation to the Toda lattice / A.K. Common, D.E. Roberts // J. Phys. A : Math, and Gen. — 1986, —V. 19, N 10. — P. 1889-1898.

90. Лосева H.B. Исследование нестационарных дифференциальных уравнений Риккати при помощи рядов Волътерра : автореф. канд. . физ.-мат. наук / Н.В. Лосева. — Л.: ЛГУ, 1981. — 18 с.

91. Da Prato Giuseppe. Bounded solutions on the real line to non-autonomous Riccati equations / Giuseppe Da Prato, Akira Ichikawa // Atti Accad. maz Lincei. Reand CI. Sei., fis., mat. e natur. — 1985 (1986).— 79, N5.— C. 107-112.

92. Мурадян А.Г. О периодических решениях одного матричного уравнения Риккати / А.Г. Мурадян // Ин-т прикл. проблем физики АН Арм. ССР. — Ереван, 1988. — 12 с. — Деп. в Арм. НИИНТИ 03.10.88, №72-Ар88.

93. GrodtT. The recursive reduced order numerical solution of the singulary perturbed matrix differential Riccati equation / T. Grodt, Z. Gajic // IEEE Frans. Autom. Contr. — 1988. — 33, N 8. — P. 751-754.

94. ГродИ.Н. Об ограниченных решениях матричного уравнения Риккати/ И.Н. Грод // Тр. науч. конф. мол. ученых ин-та мат. АН УССР, Киев, 1517 июня, 1988. — Деп. в ВИНИТИ 20.01.89, № 487-В89.

95. Adomian G. An application of the decomposition method to the matrix Riccati equation in a neutron transport process / G. Adomian, M. Pandolfi, R. Rach // J. Math: Anal, and Appl. — 1988. — 136, N>2. — C. 557-567.

96. Jodar Lucas. A formula* for the general solution of Riccati type matrix differential'equations / Lucas Jodar// Syst. and Contr. Lett.— 1989.— 12, N1. —C. 39-43.

97. Лаптинский B.H. О представлениях решений матричного дифференциального уравнения,Риккати / В.Н. Лаптинский, Р.В. Пучин // Ред. ж. Дифференц. уравнения.— Минск, 1989.— 11 с.— Деп. в ВИНИТИ 11.08.89, № 5410-В89.

98. Мурадян А.Г. О структуре ограниченного решения матричного уравнения Риккати / А.Г. Мурадян // Ред. ж. Дифференц. уравнения. — Минск, 1989. — 9 с. — Деп. в'ВИНИТИ 11.08.89, № 5408-В89.

99. Хохряков А.Я. О существовании локально единственного , периодического положительного решения матричного1 уравнения

100. Риккати / А.Я. Хохряков, Б.М. Архипов // Могилевский машиностр. инт. —Могилев, 1989.—21 с. — Деп. в ВИНИТИ 11.12.89, № 7337-В89.

101. Хохряков А.Я. О существовании периодических положительных решений матричного уравнения Риккати / А.Я. Хохряков, Б.М.Архипов// Могилевский машиностр. ин-т.— Могилев, 1990.— 16 с. — Деп. в ВИНИТИ 05.03.90, № 1227-В90.

102. Елисеева Ю.В. Об одном алгоритме решения симметрического матричного уравнения Риккати / Ю.В. Елисеева // Вестник МГУ. Сер. 15. — 1990.—№2. —С. 14-19.

103. Freiling G. Non-symmetric matrix Riccati equations / G. Freiling, G. Jank : Pap. Int. Symp. MTNS'93 "Syst. and Networks: Math. Theory and Appl.", Regensburg, Aug. 2-6, 1993.— Vol. 2 / Math. Res.— 1994.— 79.— C.119-122.

104. Freiling G. Non-symmetric matrix Riccati equations / G. Freiling, G. Jank// Z. Anal, und Anwend. — 1995. — 14, N 2. — C. 259-284.

105. Савкин A.B. Об 'ограниченных решениях матричного дифференциального уравнения Риккати / A.B. Савкин // Дифференц. уравнения. — 1991. — 27, № 5. — С. 781-788.

106. Савкин A.B. О поведении траекторий матричного дифференциального уравнения Риккати / A.B. Савкин // Ред. ж. Дифференц. уравнения. — Минск, 1993. — 10 с. — Деп. в ВИНИТИ 04.10.93, № 2506-В93.

107. Савкин A.B. О поведении траекторий матричного дифференциального уравнения Риккати/ A.B. Савкин// Дифференц. уравнения.— 1993.— 29, № 12. — С. 2193-2194.

108. Chen Y. On the Riccati1 equations for the seattering matrices in two dimensions / Y.Chen, V. Rokhlin// Inverse Probl.— 1997.— 13, N1.— C. 1-13.

109. Juang Jong. Global existeme and stability of solutions of matrix Riccati equations / Jong Juang // J. Math. Anal, and Appl. — 2001. — 258, N 1. — C. 1-12.

110. ЕгоровА.И. Уравнения Риккати/ А.И.Егоров.— М.: Физматлит,2001. —319 с. :илл.

111. Painleve P.M. Memoire sur les equations differentialles dont l'integrale generale est uniforme / P.M. Painleve // Bull, de la Soc. Mat. — 1900. — T. 28.—P. 201-261.

112. Айне Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ Э. Айне.— Харьков: Гостехиздат Украины, 1939. — 717 с.

113. Мартынов И.П. Об одном уравнении третьего порядка типа Пенлеве/ И.П.Мартынов// Дифференц. уравнения.— 1988.— 24, №9.— С. 1640-1641.

114. Мататов В.И. Об условиях однозначности подвижных особых точек автономных систем Гамильтона / В.И. Мататов, С.Н. Филлипович // Дифференц. уравнения. — 1988. — 24, № 11. — С. 2016-2019.

115. Мызгаева С.А. О подвижных особенностях решений системы Эйлера в одном частном случае / С.А. Мызгаева, А.И. Яблонский // Дифференц. уравнения. — 1988. —24, № 11. — С. 1891-1894.

116. Пб.Кондратеня С.Г. К вопросу о существовании полярных решений у дифференциальных уравнений первого порядка / С.Г. Кондратеня, Е.Г. Пролиско, Т.И. Шило// Дифференц. уравнения.— 1988.— 24, № 10. — С. 1824-1826.

117. Umemura Hiroshi. Second proof of the irreducibility of the first differential equation of Painleve/ Hiroshi Umemura// Nagoya Math. J.— 1990.— 117. —C. 125-171.

118. Мататов В.И. О подвижных особенностях автономных систем Гамильтона / В.И. Мататов, JI.B. Сабынич// Ред. ж. Вестник Белоруск. ун-та. Сер. 1.— Минск, 1991.— 8 с.— Деп. в ВИНИТИ 09.04.91, № 1532-В91.

119. Мататов В.И. О подвижных особенностях автономных систем Гамильтона / В.И. Мататов, Л.В. Сабынич // Ред. ж. Вестник Белоруск. ун-та. Сер. 1.— Минск, 1991.— 8 с.— Деп. в ВИНИТИ 09.04.91, № 1532-В91.

120. Громак В.И. О трансцендентности уравнений Пенлеве / В.И. Громак// 8 конф. СНГ «Качественная теория дифференц. уравнений», Самарканд, 5-10 сентября, 1992 : тез. докл. — Самарканд, 1992. — С. 30.

121. Громак В.И. К теории уравнений Пенлеве / В .И. Громак// 6 конф. мат. Белорусси, 29 сентября — 2 октября 1992 г. : тез. докл. — Ч. 3; Гродн. гос. ун-т. —Гродно, 1992. — С. 25.

122. Painleve P.M. Sur les transcendantes uniformes defïnies par l'equationsy" = 6y2 + x / P.M. Painleve // Comptes Rendus. — 1902. — T. 135, N 19. —P. 757-761.

123. Еругин Н.П. К теории первого уравнения Пенлеве / Н.П. Еругин // Докл. АН БССР. — 1958. — Т. 2, № 1. с. 3-6.

124. Еругин Н.П. Теория подвижных особых точек уравнений второго порядка/ Н.П: Еругин//Дифференц. уравнения.— 1976.— Т. 12, №3. —С. 387-416.

125. Яблонский А.И. Асимптотическое разложение правильных решений некоторых классов дифференциальных уравнений / А.И. Яблонский // Докл. АН БССР. — 1964. — Т. 8, № 2. — С. 77-80.

126. Boutroux M.P. Recherches sur les transcendantes de M. Painleve et l'etude asymptotique des equations différentielles du second ordre / M.P. Boutroux // Ann. Ее. Norm. — 1913. — T. 30, N 3. — P. 255-377.

127. Boutroux M.P. Recherches sur les transcendantes de M. Painleve et l'etude asymptotique des equations différentielles du second ordre / M.P. Boutroux // Ann. Ее. Norm. — 1914, —T. 31,N3.—P. 99-159.

128. Фильчакова В.П. Определение полюсов мероморфных интегралов регулярными степенными рядами // В.П. Фильчакова // Методыколичественного и качественного исследования дифференциальных уравнений. — 1975. — С. .154-167.

129. Фильчакова В.П. До штання побудови одшэ'1 трансцендентно!' Пенлеве/

130. B.П. Фильчакова// Проекцшно-теративш методи розв'язувания дифференщальных та штегральних р1внянь. — 1974. — С. 162-192.

131. Еругин Н.П. О второй трансцендентной Пенлеве / Н.П. Еругин // Докл. АН БССР. — 1958. — Т. 2, № 4. — С. 139-142.

132. Яблонский А.И. К вопросу о числе полюсов решения второго уравнения Пенлеве / А.И. Яблонский//Докл. АН БССР.— 1959.— Т. 3, №6.1. C. 237-238.

133. Воробьев А.П. О рациональных решениях второго уравнения Пенлеве/

134. A.П. Воробьев // Дифференц. уравнения. — 1965. — Т. 1, № 1. — С. 7981.

135. SegurH. Asymptotic solutions of nonlinear evolution equations and a Painleve transcendent / H. Segur, M J. Ablowitz // Soliton Theory : Proc. S о v.-Amer. Symp., Kiev, 4-16 Sept., 1979; Phys. — 1981. — D. 3. — N. 1-2,—P. 165-184.

136. Абдулаев A.C. К теории второго уравнения Пенлеве / А.С. Абдуллаев// Докл. АН СССР. — 1983. — Т. 273, № 5. — С. 1033-1036.

137. Громак В.И. Специальные классы решений уравнений Пенлеве/

138. B.И. Громак, Н.А. Лукашевич// Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, №3, —С. 419-429.

139. Foxas A.S. On a unified approach to transformations and elementary solutions of Painleve equations / A.S. Foxas, M J. Ablowitz // J. Mat. Phys. — 1982. — V. 23, N 11. — P. 2033-2042.

140. MurataY. Rational solutions of the second and fourth Painleve equations/ Y. Murata// Funkc. ekvacioj. — 1985. — V. 28, N 1. — P. 1-32.

141. ClarkconP.A. A connection formula for the second Painleve transcendent/ , P.A. Clarkcon, I.B.McLeod// Lect. Notes Math.— 1982.— V. 964.— P.135-142.

142. HO.Kametaka Y. A numerical approach to Toda equation and Painleve-II equations / Y. Kametaka, M.-T. Noda, Y. Fukuj, S. Hirano // Эхимэ дайгаху кочакубу киё, Mem. Fac. Eng. Ehime Univ. — 1986. — V. 11, N 1. — P. 126.

143. JoshiN. The connection problem for Painleve transcendents/ N. Joshi, M.D. Kruskal // Phys. — 1986. — D. 18, N 1-3. — P. 215-216.

144. Singh Anand Prakash. A note on Painleve differential equation/ Anand • Prakash Singh // Math. Stud. — 1983 (1988). — 51, N 1-4. — C. 126-128.

145. Мохонько A.3. О скорости роста мероморфных в угловой области решений дифференциальных уравнений / А.З. Мохонько И Дифференц. уравнения. — 1988. — 24, № 9. — С. 1528-1536.

146. Канаев А.А. Асимптотика решений уравнений Пенлеве первого рода/ А.А. Канаев // Дифференц. уравнения. — 1988. — 24, № 10. — С. 16841696.

147. Anaynwa D.U. Uniform asymptotic solutions of second-order linear ordinary differential equations with singular points. II. Some expansions / D.U. Anaynwa // J. Math. Anal, and Appl. — 1988. — 134, N 2. — C. 355-378.

148. Канаев А.А. Асимптотические формулы для функций Пенлеве второго рода / А.А. Канаев // Теоретическая и математическая физика. — 1988. — 77, № 3. — С. 323-332.

149. Folcas A.S. Painleve transcendents: The Riemman-Hilbert-approach / A.S. Fokas, A.R. Its, A.A. Kapaev, V.Y. Novokshenov // Providence (R.I.): Amer. Math. Soc. — 2006. — XII. — 553 е., ил. (Math. Surv. and Monogr. ISSN 0076-5376. —Vol. 128).'г-221! I

150. Qin H1. Asymptotic expression and a sufficient condition on the oscillating solutions to the general second Painleve equation / H. Qin, Y. Lu // Commun. Appl. — 2006. — 10, N 2-3. — С. 269-281.

151. Горбузов В.Н. Рост полиномиальных решений уравнений типа Пенлеве / В.Н. Горбузов, A.A. Крушельницкий // Ред. ж. Дифференц. уравнения. — Минск, 1988. —29 с. — Деп. в ВИНИТИ 23.12.1988, № 8960-В88.

152. ГромакВ.И. Аналитические свойства- решений уравнений Пенлеве/ В.И. Громак, Н.А.Лукашевич.— Минск: Университетское, 1990.— 159 с. : ил.

153. Громак В.И. О функциональных соотношениях между решениями уравнений Р-типа/ В.И. Громак, К.В. Цегельник// Дифференц. уравнения. — 1994. — 30; № 7. — С. 1118-1124.

154. Лукашевич H.A. Простейшие дифференциальные уравнения третьего порядка Р-типа/ Н.А.Лукашевич// Дифференц. уравнения.— 1995.— 31, №6. —С. 955-961.

155. Новокшенов В.Ю. Анзац Бутру для второго уравнения Пенлеве в комплексной области / В.Ю. Новокшенов // Изв. АН СССР. Сер. Мат. —1990. — 54, № 6. — С. 1229-1251.

156. Китаев A.B. О симметричных решениях для первого и второго уравнения Пенлеве / A.B. Китаев // Зап. науч. семинара ЛОМИ. —1991. —187. —С. 129-138.

157. Сулейманов Б.И. Второе уравнение Пенлеве в одной задаче о нелинейных эффектах вблизи каустик / Б.И. Сулейманов // Зап. науч. семинара ЛОМИ. — 1991. — 187. — С. 110-128.

158. Немец B.C. Однозначные решения уравнений Пенлеве/ B.C. Немец// Межд. мат. конф., поев. 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского, Минск, 4-8 декабря, 1992 : тез; докл. — Ч. 2. — Минск, 1993. — С. 39.

159. Shimomure Shim. On deficiencies and ramification for Painleve transcendents of the second Rind / Shim Shimomure // Proceedings of the Second ISAAC Congress, Fulcuoka, Aug., 1999. — Vol. 1 Dordrecht etc. : Kluwer Acad. Publ. — 2000. — C. 489-493.

160. Громак В.И. Об алгебраической зависимости' решений второго уравнения Пенлеве / В.И. Громак// Дифференц. уравнения.— 2002.— 38, №6. —С. 847-848.

161. Брюно А.Д. Степенные ряды и нестепенные асимптотики решений второго уравнения Пенлеве / А.Д. Брюно // Препр. Ин-т прикл. мат. РАН. —2003. —№48. —С. 1-32.

162. Petropoulou E.N. Analytic solutions of the Painleve equations / E.N. Petro-poulou, P.D. Siafarikas// Commun. Appl. Anal.— 2004.— 8, N3.— C. 373-391.

163. SteinmetzN. Global properties of the Painleve transcendents: new results and open questions / N. Steinmetz// Ann. acad. Sci. fenn. Math. — 2005. — 30, N 1. — C. 71-98.

164. Clarkson P.A. The second Painleve equation, its hierarchy and associated special polynomials / P.A. Clarkson, E.L. Mansfield // Nonlinearity. —2003. — 16, N 3. — C. RlvR26.

165. Shimomura S. Lower estimates for the growth of the fourth and the second Painleve transcendents / S. Shimomura // Proc. Edinburgh. Math. Soc. —2004. — 47, N 1. — C. 231-249.

166. Lin W. On shared-value properties of Painleve transcendents/ W.Lin, K. Tohge // Comput. Meth. and Funct. Theory. — 2007. — 7, N 2. — C. 477499.

167. Gordon P.R. Second and fourth Painleve hierarchies and Jimb-Miwa linear problems / P.R. Gordon, N. Joshi, A. Pickering // J. Math. Phys. — 2006. — 47, N 7. — C. 073504/1-073504/16.

168. Богословский Б.П. Системы нелинейных дифференциальных уравнений с алгебраическими подвижными особыми точками : автореф. канд. . физ.-мат. наук / Б.П. Богословский. — Минск, 1963. — 8 с.

169. Данилова Е.И. Исследование характера подвижных особых точек нелинейных дифференциальных систем двух уравнений : автореф. канд. . физ.-мат. наук / Е.И. Данилова. — Минск, 1974. —12 с.

170. Еругин Н.П. Аналитическая теория нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.П. Еругин // Тр: ин-та физики и математики АН БССР. — 1957. — Вып. 2. — С. 235-249.

171. Еругин Н.П. Аналитическая теория и проблемы вещественной теории дифференциальных уравнений, связанные с первым методом и методами аналитической теории / Н.П. Еругин // Дифференц. уравнения. — 1967. — Т. 3, № 11. — С. 1821-1864.

172. Еругин Н.П.* Проблема 'Римана/ Н.П. Еругин.— Минск: Наука и техника, 1982. — 336 с.

173. Колесникова Н.С. Аналитическое исследование некоторых уравнений без подвижных критических особых точек : автореф. канд. . физ.-мат. наук / Н.С. Колесников. — Минск, 1973. — 10 с.

174. Мататов В.И. Нелинейные системы дифференциальных уравнений с, ' однозначными подвижными особыми точками : автореф. канд. . физ.мат. наук / В.И. Мататов. — Минск, 1974. — 10 с.

175. Степанов А.Н. Качественное исследование автономной дифференциальной систёмы с помощью знака от правых частей : автореф. канд. . физ.-мат. наук/ А.Н. Степанов. —М., 1976. — 16 с.

176. Яблонский А.И. Системы дифференциальных уравнений, критические особые точки которых неподвижны / А.И. Яблонский // Дифференц. уравнения. — 1967. — Т. 3, №3. — С. 468-479.

177. Hille Е. Ordinary differential équations in the complex domain / E. Hille. — John Willy and Sons. Inc., 1976. — 484 p.

178. Painleve P.M. Sur l'irréductibilité des transendantes uniformes defïnies par les équations différentielles du second ordre / P.M. Painleve // Comptes Rendus. — 1902. — T. 135, N 10. — P. 411-415.

179. Painleve P.M. Sur l'irréductibilité de l'équation y" = 6y2 + x / P.M. Painleve // Comptes Rendus. — 1902. — T. 135, N23. — P. 1020-1025.

180. PainleveP.M. Demonstration de l'irreductibilite absolue de Г equation y" = 6y2+x/ P.M. Painleve// Comptes Rendus. — 1902.— T. 135, N 17. —P. 641-647.

181. Громак В.И. К теории уравнений Пенлеве В.И. Громак// Дифференц. уравнения. — 1975. — Т. 11, № 2. — С. 373-376.

182. Gromak V.I. Painleve differential equations in the complex plane / V.I. Gro-mak, P. Laine, S. Shimomura. — Berlin; New York: de Gryter, 2002. — 303 c.

183. UmemureH. Painleve equations in the past 100 years/ H. Umemure// Selected Papers on Classical Analysis. Franse from Jap. Providence (R.I.) : Amer. Math. Soc. — 2001. — C. 81-110 (Amer. Math. Soc. Transl. — Ser. 2. ISSN 0065-9290. — Vol. 204).

184. Hill J.M. Abel's Differential Equation / J.M. Hill //J. Math. Scientist. 1982. V 7, № 2. S. 115-125.

185. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. — М.: Наука, 1971. — 576 с.

186. Лукашевич Н.А. Интегрируемость уравнений Абеля общего вида через функции решения линейных уравнений / Н.А. Лукашевич, А.А. Самодуров // Дифференц. уравнения. — 1977. — Т. 13, № 5. — С. 859-863.

187. Boutroux P. Lecons sur les equations differentielles du premier ordre / P. Bo-utroux. — Paris, 1908. — 190 p.

188. Самодуров А.А. О параметрическом представлении общего решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка / А.А. Самодуров //Докл. АН БССР. — 1984.—Т. 28, № 1. —С. 15-17.

189. Самодуров А.А. Об интегрируемости дифференциального уравнения Абеля в параметрическом виде / А.А. Самодуров // Вестник БГУ. Сер. 1. Физ. мат. и мех. — 1983. — № 2. — С. 57-59.

190. Самодуров A.A. Интегрирующий множитель и проблема центра для уравнения Льенара / A.A. Самодуров // Дифференц. уравнения. —1981. — Т. 17, №5. — С. 942-946.

191. Толмачев М.С. Интегрируемость некоторых дифференциальных уравнений Абеля второго рода / М.С. Толмачев // Новгородский государственный университет.— Новгород, 1995.— 9 с.— Деп. в ВИНИТИ 10.05.95, № 1308-В95.

192. Feng Lu-xiang. A new result of integrability .on the Abel equation / Lu-xiang Feng, Lie-ping Wei // Raoji wenli xueyuan xuebao. Ziran kexue ban = J. Baoji Coll. Arts and Sei. Natur. Sei. Ed. — 2001. — 21, N 1. — С. 18-19.

193. АмелькинB.B. Нелинейные колебания в системах второго порядка/ В.В. Амелькин, H.A. Лукашевич, А.П. Садовский. — Минск: БГУ,1982. —209 с.

194. Григорьева Н.В. Асимптотическое поведение решения нестационарного дифференциального уравнения Абеля при t —> оо / Н.В. Григорьева // Чуваш, гос. ун-т.— Чебоксары, 1990.— 6с.— Деп. в ВИНИТИ 02.08.90, № 4454-В90.

195. Yang Liyum. Some new results on Abel equations / Liyum Yang, Yun Tang // J. Math. Anal, and Appl. —2001. —261, N l. — C. 100-112.

196. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев // Дифференц. уравнения. — Минск, 1989. — 25, № 3. — С. 379-387.

197. Вересович П.П. О периодических решения уравнения Абеля / П.П. Вере-сович// 6 конф. мат. Белорусси, 29 сентября— 2 октября 1992 г. : тез. докл. — Ч. 3; Гродн. гос. ун-т. — Гродно, 1992. — С. 18.

198. Тодоров П.Г. О некоторых случаях редукции и обобщения дифференциального уравнения Абеля второго рода / П.Г. Тодоров, Г.А. Кристев // Дифференц. уравнения. — 1992. — 28, № 12. — С. 21782179.

199. Zeng Weiyao. Alomost periodic solutions for Abel equations / Weiyao Zeng, Jinlin Shi, Zhensheng Lin, Lokenath Debrath // Int. J. Math. Sci. — 1997. — 20, N 4. — C. 727-736.

200. Лукашевич H.A. Об уравнении Абеля с двумя известными решениями / Н.А. Лукашевич, А.В. Чигурин // Дифференщальш та штегральш р1вняння : тез. докл. М1жнар. конф., Одесса, 12-14 верес., 2000. — Одесса, 2000. — С. 175-176.

201. Толмачев М.С. Дифференциальное уравнения Абеля 2-го рода / М.С. Толмачев // Вестник Новгородск. гос. ун-та. — 2002. — № 22. — С. 19-23.

202. Толмачев М.С. Дифференциальное уравнения Абеля 2-го рода/ М.С. Толмачев // Вестник Новгородск. гос. ун-та. — 2002. — № 22. — С. 19-23.

203. Худайберенов О.Г. Оценка числа периодических решений уравнения Абеля / О.Г. Худайберенов, Н.О. Худайберенов // Дифференц. уравнения. — 2004. — 40, № 8. — С. 1140-1142.

204. Elias U. Qualitative analysis of a differential equation of Abel / U. Elias // Amer. Math. Mon. — 2008. — 115, N 2. — C. 147-149.

205. Wang Y.-P. Periodic solutions of Abel differential equation with periodic coefficients / Y.-P. Wang, X.-L. Lin, C.-R. Wang // Xinan minzu xueyan xuebao. Ziran kexue ban = J. Southwest Univ. Nat. Natur. Sci. — 2006. — 32, N 6. — C. 1120-1122.

206. Kujumdzieva-Nikolska M. Quasic-periodic solutions to the Abel differential equation / M. Kujumdzieva-Nikolska, J. Mitevska // Math, maced. — 2005. — 3. —C. 33-40.

207. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений : 2-е изд. / В.В. Голубев. — М.-Л.: Гостехиздат, 1950. — 436 с.

208. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Н.М. Матвеев. — СПб: Специальная литература, 1996. — 372 с.

209. Самойленко A.M. Дифференциальные уравнения/ A.M. Самойленко, С.А. Кривошея, H.A. Порестюк. — М.: ВШ, 1989.

210. Понтрягин J1.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ JI.C. Понтрягин. — М.: Наука, 1974.

211. Матвеев Н.М. Методы' интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений : 4-е изд., перераб. и доп. / Н.М. Матвеев. — Минск: Вышейш. шк., 1974. — 766 с. : ил.

212. Беллман Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи/ Р. Беллман, Р. Калаба. — М.: Мир, 1968. — 183 с. : ил.

213. Коллатц JI. Численные методы решения дифференциальных уравнений / JI. Коллатц. — М.: Изд-во иностр. литер., 1953. — 460 с. : ил.

214. Мейланов С.Д. Методы решения дифференциальных уравнений/ С.Д. Мейланов. —Махачкала: Даг. кн. изд-во, 1965. — 248 с. : ил.

215. Пунтус A.A. Учебное пособие по приближенно-аналитическим численным методам решения задачи Коши / A.A. Пунтус. — М.: МАИ,1978. —50 с.

216. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциального уравнения/ С.А.Чаплыгин.— M.-JL: Гос. изд-во техн.-теорет. литер., 1950, — 103 с. : ил.

217. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. — М.: Наука, 1970. —632 с. : ил.

218. Березин И.С. Методы вычислений: в 2-х т. / И.С. Березин, Н.П.Жидков. — М.: Физматгиз, 1960.

219. Briot С. // Journ. de l'Ecole polytechnique / С. Briot, T. Bouquet. — 1856. — T. 21, вып. 36.

220. Picard E. Traite d'analyse / E. Picard. — T. II. — 1905.

221. Painleve P. Leçons sur la theorie analytique des equations, differentialles / P. Painleve. — 1896.

222. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа : 4-е изд., перераб. / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. — М.: Наука, 1976. —544 с. : ил.

223. Авербух В.И. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах / В.И. Авербух, О.Г. Смолянов // Успехи мат. наук. — 1967. — Т. 22, вып. 6. — С. 201-260.

224. Кузнецов Ю.К. Об оценке погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки. I / Ю.К. Кузнецов, В.Н. Орлов // Вычислительная математика и математическая физика. — М., 1982. — С. 17-24.

225. Кузнецов Ю.К. Об оценке погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки. II / Ю.К. Кузнецов, В.Н. Орлов // Вычислительная математика и математическая физика. — М., 1982. — С. 25-28.

226. Орлов В.Н. Определение подвижной особой точки решения уравнения Риккати на конечном отрезке / В.Н. Орлов; Ленингр. гос. пед. ин-т. — JL, 1982. — 11 с. — Деп. в ВИНИТИ 01.06.82, № 2705-82 Деп.

227. Орлов В.Н. Оценка погрешности приближенного решения уравнения Риккати в окрестности подвижной особой точки / В.Н. Орлов; Ленингр. гос. пед. ин-т. — Л., 1982. — 10 с. — Деп. в ВИНИТИ 06.07.82, № 350982 Деп.

228. Орлов В.Н. Построение приближенного решения в окрестности подвижной особой точки типа полюса для нестационарного матричногоуравнения Риккати / В.Н. Орлов; Чуваш, гос. ун-т. — Чебоксары, 1983. — 11 с. — Деп. в ВИНИТИ 25.08,83, № 4639-83 Деп.

229. Орлов В.Н. Оценка области голоморфности решения нестационарного матричного уравнения Риккати/ В.Н.Орлов; Чуваш, гос. ун-т.— Чебоксары, 1983. — 8 с. — Деп. в ВИНИТИ 25.06.83, № 4640-83 Деп.

230. Орлов В.Н. Построение аналитического приближенного решения первого уравнения Пенлеве в окрестности подвижной особой точки/ В.Н. Орлов // Вычислительная математика и программирование. — М., 1983, —С. 84-88.

231. Орлов В.Н. О приближенном решении уравнения Абеля / В.Н. Орлов, H.A. Лукашевич // Тез. Всесоюз. науч.-техн. конференц. «Применение выч. техн. и мат. методов в науч. и экономических исследованиях. — Киев, 13-16 сентябрь, 1988.

232. Орлов В.Н. Адаптация метода степенных рядов в приближенном решении нелинейных дифференциальных уравнений к особым точкам / В.Н. Орлов, Ю.К. Кузнецов // Дифференц. и интегральные уравнения. — Горьк. ГУ, 1987. — С. 37-41.

233. Орлов В.Н. Исследование приближенного решения с подвижными полюсами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений : автореф. . дис. канд. физ.-мат. наук/ В.Н.Орлов// Бел. гос. университет. — Минск, 1989. — 18 с.

234. Орлов В.Н. Исследование приближенного решения с подвижными полюсами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений : дис. .канд. фнз.-мат. наук / В.Н. Орлов. — Бел. гос. университет. — Минск, 1989. — 142 с.

235. Орлов В.Н. Исследование приближенного решения второго уравнения Пенлеве/ В.Н.Орлов, H.A.Лукашевич// Дифференц. уравнения.— Т. 25, № 10. — 1989. — С. 1829-1832.

236. Орлов В.Н. Уравнения Абеля и степенные ряды / В.Н. Орлов // Тез. докл. итоговой конф. — Чебоксары: ЧТУ, 1990.

237. Орлов В.Н. Влияние возмущений начальных данных на приближенное решение некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений/ В.Н.Орлов// Тез. докл. итоговой конференции.— Чебоксары: ЧТУ, 1997.

238. Орлов В.Н. Одном конструктивном методе построения первой и второй мероморфных трансцендентных Пенлеве / В.Н. Орлов, В.П. Фильчако-ва/ Симетршш та анал1тичш методи в математичнш ф1зищ. — Т. 19. — IM HAH Украши, Киев. — 1998. — С. 155-165.

239. Орлов В.Н. Оценка приближенного решения Р2 в окрестности приближенного значения подвижной особой точки / В.Н. Орлов // Тезисы докл. 8 Международ, мат. конф., Минск, 19-24 июня 2000 г.

240. Орлов В.Н. Оценка приближенного решения Pj в окрестности приближенного значения подвижной особой точки / В.Н. Орлов // Тезисы докл. 8 Международ, конф. Д1Р1Ы-2000. — Одесса, Украина, 12-14сент. 2000.

241. Орлов В.Н. Построение приближенного решения в окрестности подвижной особой точки для уравнения Pj / В.Н.Орлов// Известия НАНИ 4P. — № 4. — 2000. — С. 43-49.

242. Орлов В.Н. Исследование приближенного решения в окрестности подвижной особой точки для дифференциальных уравнений Риккати / В.Н. Орлов // Известия ИТА 4P. — № 4. — 2001. — С. 182-188.

243. Орлов В.Н. Построение приближенного решения в окрестности подвижной особой точки для второго1 уравнения Пен леве / В.Н. Орлов, H.A. Лукашевич, A.A. Самодуров // Вестник БГУ. Сер. 1 Физика, математика, информатика. —Минск, 2002. — С. 79-85.

244. Орлов В.Н. Критерии существования подвижных особых точек решений дифференциальных уравнений Риккати / В.Н. Орлов // Вестник Самарского ГУ. Естеств. научная серия. — 2006. ■— № 6/1(46). — С. 6469.

245. Орлов В.Н. Критерии существования подвижных особых точек решений второго уравнения Пенлеве / В.Н. Орлов // Известия Тул. ГУ. Сер. Дифф. уравнения и прикладные задачи. — Вып. 1. — Тула: Изд-во Тул. ГУ, 2006. — С. 26-29.

246. Орлов В.Н. Об одном приближенном методе решений уравнений Абеля / В.Н. Орлов // XX Международная науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-20», 30.05. 2007, Ярославль.— Т. 1, секция 1. — С. 64-65.

247. Орлов В.Н. Дифференциальное уравнение Абеля и подвижные особые точки / В.Н. Орлов // Вестник филиала РГСУ в г. Чебоксары. — 2008. — № 1(18). —С. 138-139.

248. Орлов В.Н. О приближенном решении первого уравнения Пенлеве/

249. B.Н.Орлов// Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева.— 2008.— №2.—1. C. 42-46.

250. Орлов В.Н. Теорема существования решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки / В.Н. Орлов //

251. Международная междисципл. науч. конф. «Первое исконно русское слово '— в начале нашего машиноведения», ЧГУ, Чебоксары, 24-25 мая2008 г. ;

252. Орлов В.Н. Метод приближенного решения дифференциального уравнения Риккати 7, В Орлов// Науч.-техн: ведомости СПбГПУ.—: Санкт-Петербург, 2008.— №4. — С. 102-108:. .

253. Орлов В.Н; Об одном методе приближенного решения матричных: дифференциальных уравнений Риккати / В.Н. Орлов // Вестник МАИ. — Москва; 2008. Т. 15; № 5;- С.128-135.

254. Орлов В.Н. Приближенное -решение дифференциального! уравнения; Абеля в окрестности: подвижной особой точки / В.Н. Орлов // Вестник

255. РРСУ. — Чебоксары, 2008. —№ 2(19): — С. 240^43;

256. Орлов В.Н. Точный; критерий- существования/ подвижной особой точки;;для; первого уравнения- Пенлеве/ В.Н. Орлов // Вестник:. РГСУ.—

257. Чебоксары. 2009. —№ 1(20).- С.207-208. •

258. Редкозубов С.А. Точные критерии существования подвижной особой точки дифференциального уравнения Абеля/С.А. Редкозубов, В.Н. Орлов//Известия института инженерной физики.-2009.-№4(14).-С.12-14.

259. Орлов В.Н. RSP- Painleve 1/В.Н. Орлов, С.А. Редкозубов, В.И. Гурьянов//ОФАП ВНТИЦ.-18.05.2010.-№50201000799.

260. Орлов В.Н. RSP-Painleve 2/В.Н. Орлов// ОФАП ВНТИЦ.-02.06.2010.-№50201000899.

261. Орлов В.Н. Об одном точном критерии существования подвижной особой точки решения второго уравнения Пенлеве /В.Н. Орлов, С.А. Редкозубов //Известия института инженерной физики-2010- №3(17).— С.2-3.

262. Орлов В.Н. Математическое моделирование решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки/В.Н. Орлов, С.А. Редкозубов//Известия института инженерной физики-2010.-№4(18).-С.2-6.

263. Орлов В.Н. RSP-Riccati /В.Н. Орлов// ОФАП ВНТИЦ.-17.01.2011.-№50201100071.