автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование обратных динамических задач акустики методом граничного управления

На правах рукописи

Филатова Виктория Михайловна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ АКУСТИКИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-1 АВГ 2013

005531797

Новосибирск — 2013

005531797

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательно учреждении высшего профессионального образования «Балтийский федеральны университет имени Иммануила Канта»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Пестов Леонид Николаевич

Официальные оппоненты: Кабанихин Сергей Игоревич

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, заведующий лабораторией

Карчевский Андрей Леонидович

доктор физико-математических наук, доцент Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук

Защита состоится 8 октября 2013 г. в 16 часов 30 минут на заседани диссертационного совета Д 003.061.02 на базе Федерального государственног бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук п адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федеральног государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительно математики и математической геофизики СО РАН.

Автореферат разослан «/£>> июля 2013г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 003.061.02

при ИВМиМГ СО РАН, д.ф.-м.н

Сорокин Сергей Борисович

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Обратные задачи для уравнения акустики, связанные с определением коэффициентов уравнения (скорость звука, плотность, поглощение) по граничным измерениям, встречаются во многих приложениях: геофизика, медицинская диагностика, акустика океана, дефектоскопия и т.д. Основные методы исследования и решения этих задач: лучевой метод, метод редукции к уравнению типа Вольтерра, метод подбора (оптимизации), метод линеаризации и метод граничного управления. Последний метод - метод граничного управления (ВС -метод, М.И. Белишев, 1986) мало апробирован численно по сравнению с другими методами, хотя, теоретически, он имеет значительные преимущества: сводит решение нелинейной обратной задачи к линейным процедурам, свободен от таких требований, как регулярность лучей, отсутствие волноводов, малость флуктуаций коэффициентов, аналитичность коэффициентов по части переменных и т.д. Это делает актуальным численное моделирование обратных динамических задач с использованием ВС —метода.

Среди перечисленных выше приложений наиболее близкое к теме диссертации по постановке рассмотренных задач — медицинская диагностика. Одной из важнейших задач медицинской диагностики является раннее обнаружение различных опухолевых новообразований молочной железы. В настоящее время в мире стандартной диагностикой рака женской молочной железы является маммография (по сути, используется техника рентгеновского снимка). Однако она не всегда эффективна (например, рентген часто дает недостоверный результат при опухолях, расположенных в железистой ткани). Для получения трехмерных изображений используется компьютерная томография, основанная на рентгеновском облучении малой интенсивности, и магнитно-резонансная томография. Данные методы обладают высокой информативностью, но в то же время представляют собой сложные исследования, требующие дорогостоящего оборудования, а проникающее излучение, применяющееся при компьютерной томографии, может стимулировать появление и рост раковых клеток. С другой стороны ультразвуковые исследования, применяющиеся в различных областях медицины, не требуют значительных затрат и являются безопасными методами диагностики. Ультразвуковая томография обладает большим потенциалом для обнаружения и диагностики рака молочной железы. В настоящее время в России (В.А. Буров, О.Д. Румянцева и др.), США (Duric N., Li С., Littrup Р. и др.) и Германии (Ruiter N., Dapp R., Zapf М., Jirik R., Peterlik I., Fousek J. и др.) работают группы ученых, целью которых является создание макетов ультразвуковых томографов с высокой разрешающей способностью и информативностью. Одной из основных проблем при этом остается разработка эффективных алгоритмов обработки измерений, т.е., по сути, численных методов решения обратных задач акустики, возникающих в ультразвуковой медицинской томографии.

Целью диссертационной работы является разработка, программная реализация алгоритмов численного решения обратных динамических задач акустики на основе метода граничного управления и проведение вычислительных экспериментов. Рассмотренные в диссертации задачи - это обратные задачи об определении коэффициентов волнового уравнения (скорость звука, поглощение, плотность) по данным волновой томографии (т.е. в ситуации, когда известны граничные волновые поля от некоторого множества граничных источников).

В рамках поставленной цели были рассмотрены следующие задачи:

• Начально-краевая задача Неймана (прямая задача) для волнового уравнения.

• Обратная задача об определении скорости звука.

• Обратная задача об определении коэффициента поглощения.

• Линеаризованная обратная задача об определении двух параметров акустической среды (модуль сжатия и коэффициент удельного объема).

Методы исследования

Все применяемые в диссертации алгоритмы решения обратных задач основаны на идеях метода граничного управления (М.И. Белишев, 1986) и используют подход, связанный с граничным управлением гармоническими функциями (JI.H. Пестов, 1999). При численном решении прямой задачи используется гибридный метод (JI. Бейлина, 2002). При численном решении обратных задач используются методы решения плохо обусловленных систем линейных уравнений.

Научная новизна

Предложены и реализованы новые способы и алгоритмы численного решения коэффициентных обратных задач акустики, основанные на методе граничного управления:

• реконструкция скорости звука в отсутствии коэффициента поглощения;

• реконструкция коэффициента поглощения при неизвестной скорости звука;

• одновременная реконструкция двух параметров - модуля сжатия и коэффициента удельного объема в линеаризованной версии метода граничного управления.

Достоверность

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается использованием известных теоретических исследований рассматриваемых обратных задач; применением апробированных численных методов решения прямых задач; сравнением результатов численного решения обратных задач с задаваемыми моделями.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Математические модели и численные алгоритмы граничного управления в задачах реконструкции скорости звука и коэффициента поглощения.

2. Программный комплекс для решения задачи реконструкции скорости звука в отсутствии коэффициента поглощения.

3. Программный комплекс для решения обратной задачи реконструкции коэффициента поглощения при неизвестной скорости звука.

4. Алгоритм и программная реализация численного решения обратной задачи нахождения двух параметров — модуля сжатия и коэффициента удельного объема на основе линеаризованных представлений энергетических форм.

Научная апробация результатов

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на 6 научных и научно-практических конференциях:

1. XL VI, XL VII и XL VIII Международные научные студенческие конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск 2008,2009, 2010).

2. IV Научно-практическая конференция «Обратные задачи и информационные технологии рационального природопользования» (Ханты-Мансийск 2008).

3. 3 Ith International acoustical imaging symposium (Warsaw, Poland 2011).

4. Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80 - летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск 2012).

На ХЬУ1 и ХЬУП Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» автором занято 1 и 2 место, соответственно, в секции «Математическое моделирование».

Реализация и внедрение результатов работы

Исследования, результаты которых включены в работу, проводились в 2009-2013 гг. в рамках научных и госбюджетных программ:

• госконтракта ЮНИИ ИТ на НИР 2009-2011 гг. «Обратные динамические задачи сейсмики». Номер гос. контракта № 02.740.11.0441 от 30.09.2009.

• гранта РФФИ на НИР 2012-2014 гг. «Обратные динамические задачи: теория и численное моделирование» № 12-01-00260.

Научно-практическая значимость работы

Разработанные численные алгоритмы и созданный на их основе комплекс программ могут применяться при моделировании решения обратных задач акустики. Дальнейшее развитие и применение результатов работы на практике позволит решать задачи медицинской ультразвуковой диагностики.

Вклад автора

Автор принимал участие в разработке алгоритмов численного решения обратных динамических задач для волнового уравнения на основе метода граничного управления. Программная реализация и численные эксперименты реконструкции акустических параметров среды проведены автором лично.

Публикации

По результатам диссертационной работы опубликовано 13 работ, из них 3 в журналах, рекомендованных ВАК; результаты исследований отражены в 4 отчетах о НИР.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Работа изложена на 113 страницах, содержит 31 рисунок, 1 таблицу, библиографический список из 80 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении излагаются современное состояние и актуальность темы. Обозначаются цели, научная новизна и значимость работы. Приводятся основные результаты, представленные к защите, обсуждаются научная и практическая ценность работы, достоверность полученных результатов.

Первая глава посвящена краевой обратной динамической задаче об определении скорости звука по граничным данным. Восстановление кусочно-постоянной скорости звука проводится на основе метода граничного управления. Описаны основные положения ВС — метода. Приведен алгоритм численного решения задачи и результаты численного моделирования.

В разделе 1.1 приведена постановка обратной задачи. Пусть €1 - ограниченная,

односвязная область в К" (п>2) с гладкой границей Г. Рассмотрим начально-краевую (прямую) задачу для волнового уравнения

Ь„-Ам = 0 в а.х(0 ,Т) (1)

«и=ы,ц=о « а (2)

и»1гх[0Д]=/ (3)

где с(х) - 1 / у]к(х) - гладкая строго положительная функция (скорость звука); функцию к(х) будем называть модулем сжатия; (-)у - нормальная производная относительно внешней нормали; f е £2(Гх[0,7']) - граничное управление (Неймана); и{ - решение прямой задачи (волна), соответствующее управлению /. Число Г* :=5ир{Л54(дг,Г)|^еО} (сНз!к(х,Г) - расстояние в конформно-евклидовой метрике Л[к(х)\с1х\ отточки х до границы Г ) будем называть временем заполнения. С системой (1)-(3) свяжем оператор реакции /?2Г, действующий по правилу:

I ^ 1гх[0,2Г] •

Постановка обратной задачи: для фиксированного Т >Т', и заданного оператора реакции Я2Т восстановить скорость звука с(х) во всей области О..

Раздел 1.2 содержит описание метода решения обратной задачи. Основными инструментами метода являются: 1) приближенная граничная управляемость системой (1)-(3); 2) вещественные симметричные билинейные (относительно управлений) энергетические формы:

— потенциальная форма: [/, g\p := | У и* (х, Т), Уи* (х,

— кинетическая форма: [/, := к(х)и{ (х, Т)и? (х, Т)с1х ;

— скалярное произведение состояний: [/, £] := /п к{х)иГ (х, Т)и* (х, Т)сЬс.

Важно то, что формы [/,#]Р, [/,£]*, [/, , явно определяются оператором Я2Т.

В разделе рассмотрена задача граничного управления (ЗГУ): по заданной функции <р&Нх(р) требуется найти управление / е 12(Гх[0, Т]) такое, что

Известно, что при достаточно больших Т, Т >Т ЗГУ плотно разрешима в пространстве НХ(С1). Замечательный факт состоит в том, что, если ср -гармоническая функция, т.е. А<р = 0, то можно решить ЗГУ, располагая только оператором реакции. Точнее, можно найти управление /, порождающее состояние м/(-,Г) сколь угодно близкое к <р, причем близость можно также контролировать. Равенство и^ (•, Т) = <р выполняется, когда / удовлетворяет условиям:

и,е\р=\т«?{х,т)<ь,л, ^€А,(ГХ[0,Г]) (4) (Л2Г/)(-,Г) = Нг- (5)

В разделе приведена схема решения обратной задачи о реконструкции скорости звука. Она сводится к следующим (линейным) процедурам:

6

1. Задача граничного управления. Для любой гармонической функции ср е Я1 (О) решается ЗГУ, используя уравнение (4) и условие (5).

2. Восстановление скорости звука. Пусть / ,/ - управления, решающие

(приближенно) ЗГУ и1'*- (•, Т) = (рх, и '91 (•, Т) = ср2 для произвольных гармонических функций <р{,<р2. Подставляя в [/,#] / = /я и £ = , получаем

Линейная оболочка, порожденная всевозможными произведениями ср1ср2, плотна в Ь2 (£2). Важная особенность этого алгоритма решения обратной задачи заключается

в том, что оба его шага - решение линейных задач.

В разделе 1.3 описано численное решение обратной динамической задачи. Для получения данных обратной задачи (оператора реакции

численно решается

прямая задача (1)-(3) с помощью явной схемы, в которой производные по пространству аппроксимируем с помощью метода конечных элементов (МКЭ), а производные по времени - конечными разностями (МКР).

В области £2 строится триангуляционная сетка с N узлами, N^ конечными элементами сетки (треугольниками (20), тетраэдрами (ЗО) и Nь граничными

Определяется линейно-независимая система граничных управлений /а, а = 1,...,NаМго1. Граничное управление — это точечный граничный источник с зондирующим импульсом Рикера (рис. 1), имеющим некоторую временную задержку. Количество управлений Nсоп1го1 определяется количеством граничных источников Л'5 и временных задержек в импульсе N¿1 NсопШ = Nа.

Используем кусочно-постоянную модель скорости звука. Метод Галеркина сводит исходную прямую задачу к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

ми„ + ки = (6)

и(0) = и,(0) = 0. (7)

Здесь постоянные матрицы М (матрица масс), К {матрица жесткости) и Р (матрица управлений) вычисляются по формулам

Мпт = \пкфпфтск, К„т = \п(Уф„Уфт)<к, = ф„/а(-,0<Я\

п,т = \,...,Ы, а = \,...,ЫсШго1,

О 002 004 осе ООО 0 1 0.12 он

Рисунок 1 — Импульс Рикера (/о - доминирующая частота)

где фп - (кусочно-линейная) базисная функция МКЭ: фп [хт) = 8пт, п, т = 1,..., N. Введем обозначения: 7?(/) (матрица реакции) — решение прямой задачи (6)-(7) в граничных узлах в момент времени Ж (матрица финальных состояний) -решение прямой задачи (6)-(7) в финальный момент времени Т, то есть ¡V = и (Г) Обратная задача в дискретной форме: по заданной матрице реакции И^), ?е[0,2Г] найти значения скорости звука сь 1 = 1,..., в каждом конечном элементе сетки.

Дискретными аналогами энергетических форм [/, и [/, g]p на базисных управлениях являются симметричные матрицы:

, Р := IV*КЖ,

где * означает транспонирование. Как и формы [/,.§•], , они явно

определяются данными обратной задачи (матрицей реакции).

По схеме, описанной в разделе 1.2, обратная задача распадается на две линейные задачи: 1) ЗГУ; 2) задача восстановления с. ЗГУ можно свести к линейному уравнению в том случае, если ср - гармоническая функция. В разделе описан способ построения матрицы «гармонических» функций. Матрицу «гармонических» функций Ф = Ф; (г = И = 1,...,ЫЬ -1) определяем из

сеточного аналога задачи Неймана для уравнения Лапласа:

КФ = Ь,

где Ь = Ь^ (г = 1,...,N, И = !,...,Л^ -1) — произвольная матрица, удовлетворяющая естественным условиям разрешимости.

Для Ф рассматривается дискретная задача граничного управления: требуется найти матрицу управлений , такую что

М11 и +Ки = Р<р, Щ0) = и,(0) = 0, ЩТ) = Ф.

Ищем в виде разложения по базисным управлениям Т7 : Г^ = РВ, где О -

матрица коэффициентов разложения. Тогда ЗГУ сводится к линейному уравнению относительно Б :

РВ = (Я(Т))*1, (8)

где ЩТ) - продолжение Я(Т) нулем во внутренние узлы. Кроме того имеем граничное равенство Я(Т)В = Фгде Ф' есть Ф в граничных узлах.

В разделе 1.3 обсуждается связь ранга матрицы С с управляемостью. Управляемость равносильна равенству кет!¥ ={0} или гапкЖ = N . Важно то, что свойство управляемости проверяемо по данным обратной задачи, точнее, имеет место равенство гапкС = гапкШ . Если гапкС = N, то система управляема. Если гапкС < N, решить задачу управления невозможно и необходимо или увеличивать количество управлений, или уменьшать количество узлов N. Далее считаем, что гапкС = N .

В конце раздела 1.3 приведен гагоритм реконструкции скорости звука, с помощью которого нелинейная обратная задача сводится к решению двух линейных систем уравнений:

1) Определяем матрицу «гармонических» функций Ф .

2) Рассчитываем матрицы С и Р, используя t е [0,2Г].

3) Решаем ЗГУ, т. е. систему линейных уравнений (8), находим коэффициенты разложения £> =РВ).

4) Найденные управления порождают СЛАУ из (Л^ +1) / 2 уравнений с неизвестными

££,(Ф'М(/)Ф) = £>*СД /=1

где Л/"1 - локальная матрица масс для I -ого конечного элемента сетки. Эта система оказывается плохо обусловлена, и решение строится по минимуму невязки на множестве, определяемом естественными ограничениями на искомый коэффициент.

Раздел 1.4 содержит результаты численного моделирования задачи реконструкции скорости звука для двумерных и трехмерных областей. Для численного моделирования задач был выбран математический пакет МАТЪАВ.

В двумерном случае рассматриваемая область - мембрана. Модель скорости звука и результат восстановления представлены на рис. 2а), б).

а)

б)

Рисунок 2 — а) Модель скорости звука; б) Результат восстановления (относительная погрешность 6.5% в I1 )

Для расчетной области - мембраны был проведен эксперимент с зашумленными данными обратной задачи. Модель скорости звука имеет вид, представленный на рис. 3. В таблице 1 приведена зависимость погрешности восстановления скорости звука от зашумленности данных обратной задачи. В матрицу реакции R(t), t е [0,2Г] был добавлен белый шум. Во всех случаях ЗГУ решалась с хорошей точностью (относительная

Рисунок 3 — Модель скорости звука

погрешность от 10 п% до 10 '% ).

Это, по-видимому, связано с тем, что большая часть шума сглаживается при расчетах матриц С,Р (рассчитываются интегралы типа свертки). Решение задачи реконструкции скорости звука ухудшается с увеличением шума в данных.

Таблица 1. Реконструкция скорости звука при зашумленности данных обратной задачи

Шум Без шума 5.5% 12.6%

Реконструкция ы | 0.1 г*

скорости звука * „ 12 и - Я Л \ Ш г \ ;; 13

.», м • Ш и Ы! Л, « 1 и, ..1 0.15

Погрешность реконструкции 4.8% 6.23% 8.28%

В трехмерном случае рассматривался цилиндр. Модель скорости звука представляет собой градиентно меняющуюся фоновую скорость с резкими шарообразными включениями (рис. 4а). Результат восстановления представлен на рис. 46).

а) ""«« б)

Рисунок а) Модель скорости звука: б) Результат восстановления

Во второй главе рассмотрена обратная задача об определении коэффициента поглощения по граничным измерениям. Поглощение определяется независимо от скорости звука, которая может быть произвольной неизвестной гладкой положительной функцией.

Раздел 2.1 содержит постановку обратной динамической задачи об определении поглощения. Пусть О - ограниченная односвязная область в К2 с гладкой границей Г . Рассмотрим прямую задачу для волнового уравнения

ки^-Аи + аи, =0 в О х (0, Т) (9)

«и=«,Ц=о * « (Ю)

"V 1гх[0,7-]=/ (П)

где сг(х) - поглощение. С системой (9)-(11) свяжем оператор реакции Я1 .

Постановка обратной задачи', для фиксированного Т > 2Т* и заданного

оператора реакции Я2Т восстановить поглощение сг(х) во всей области £1.

В разделе 2.2 описано решение обратной задачи. Как и для задачи, рассмотренной в первой главе, мы сводим исходную нелинейную задачу к двум линейным: 1) задаче полного граничного управления (ЗПГУ); 2) восстановлению поглощения из линейного интегрального уравнения. Схема решения обратной задачи схожа с той, что описана в первой главе. Принципиальное отличие состоит в ЗПГУ — управлять необходимо финальным состоянием, состоящим из пары: профиля волны и скорости изменения профиля волны в финальный момент времени Т . Введем симметричные билинейные формы [/, £]Е :

[/,*]* := ¿(V»' {х,Т),Уи* (х,Т))ск-\пк(х)и{ (х,Т)и? (х,Т)сЬс,

-\псг{ху{х,ту(х,т)с1х.

Оказывается, форма [/, явно выражается через оператор реакции Л2Г .

В разделе рассматривается задача полного граничного управления: по заданным функциям <р& Н1 (р), у/& Ь2(^2) требуется найти управление /е ¿2(Гх[0,Г]), такое, что

иг{-,Т) = <р, и{ (■, Г) = у/.

Известно, что при Т/2>Т* ЗПГУ плотно разрешима (Л.Н. Пестов).

Пусть (р — произвольная гладкая гармоническая функция в ДиГ, а ц/ = 0.

Оказывается, что состояниями и^ (•, Г) = ср, и{ (•, Г) = О можно управлять в условиях обратной задачи, и, более того, эти равенства выполняются тогда и только тогда, когда управление / удовлетворяет условиям:

и,ЕЬ (12)

и/(х,Т)\Г=^,и{(х,Т)\Г=0. (13)

В конце раздела 2.2 описывается схема решения обратной задачи о восстановлении поглощения:

1. Задача полного граничного управления. Для любой гармонической функции <р решается ЗПГУ, используя уравнение (12) и условие (13).

2. Восстановление поглощения. Подставляя в форму / = и Я =

получаем

где форма [/ ]х явно выражается через оператор реакции Я2Т .

Раздел 2.3 посвящен описанию численного решения прямой и обратной задачи для волнового уравнения. Решение прямой задачи (9)-(11) аналогично решению задачи (1)-(3), описанной в главе 1. Имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Ми„ + Ки+Маи, = (14)

*7(0) = E/,(0) = 0, (15)

где Ма - матрица масс для коэффициента поглощения

Km = \°<f>n<f>mdx> n,m = l,...,N.

JQ

Введем обозначения: матрица реакции R(t), /е[0,2Г]- решение прямой задачи (14)-(15) в граничных узлах в момент времени t ; матрица полных финальных состояний W — блочная матрица вида:

V1"

W= . , W1

где Wx =U(T), W2 =U,(T).

Обратная задача в дискретной форме: дана матрица реакции R(t), /е[0,2Г], требуется найти значения коэффициента поглощения сг,, l = \,...,NA в каждом конечном элементе сетки.

Дискретными аналогами форм [f,g]s,U->g\-L на базисных управлениях являются симметричные матрицы:

S := (W1 )* KW1 - (W2 )* MW2, E := (FF1 )* MaWx. В разделе показано, что матрица S явно определяется матрицей реакции. Далее рассматривается ЗПГУ в дискретном виде. При описании ЗПГУ используются обозначения аналогичные тем, что мы применяли при описании ЗГУ. Рассмотрим дискретную задачу полного граничного управления: требуется найти матрицу управлений F^ такую, что

MU„ + KU + MaUt = Fç,, ЩО) = и, (0) = 0, и(Т) = Ф,и,(Т) = 0.

Будем искать Fv в виде разложения по базисным управлениям: Fv = FD, где D — матрица коэффициентов разложения. Тогда получаем линейное уравнение относительно D

SD = (R(T))* L. (16)

Кроме того имеются граничные равенства

R(T)D = Ф', R,(T)D = 0, (17)

где Ф' есть сужение Ф в граничных узлах.

Полная управляемость равносильна равенству ker W ={0} или rankW = 2N . Свойство полной управляемости проверяемо по данным обратной задачи: rankS = rankW-\ = 2N-\.

В конце раздела представлена схема решения обратной задачи, которая сводится к следующим процедурам:

1) Определяем матрицу Ф .

2) Рассчитываем матрицу S по данным обратной задачи R(t), t е [0,2Т].

3) Решаем ЗПГУ: находим коэффициенты разложения И из уравнения (16) и условия (17).

4) Находим неизвестные а, из системы уравнения:

]Г а, (Ф* А/("Ф) = £>• |оГ к' (2 Т - 1)Р<4)с1г

Раздел 2.4 содержит результаты численного моделирования задачи реконструкции поглощения. Модель скорости и поглощения представлены на рис. 5а), 56). Результат восстановления на рис. 5в).

0.8 0 6 0 4 0.2 0 -0.2

Рисунок 5— а) Модель скорости звука; б) Модель поглощения; в) Результат восстановления поглощения В третьей главе рассмотрена краевая обратная задача об определении двух параметров акустической среды (сжатия и удельного объема) по граничным измерениям. Решение основано на линеаризованном варианте метода граничного управления. Мы используем линеаризованные представления энергетических форм относительно фоновых параметров.

Раздел 3.1. Пусть О. - ограниченная односвязная область в границей Г . Рассмотрим прямую задачу

кип - сИу(}Ъ7и) = О

с гладкой

в £2 х (О, Т)

м,и= 0 в

Гк[0.Г1

=/

(18)

(19)

(20)

где у(х) = 1 / р(х) - удельный объем; р(х) - плотность; с(х) = ^//(х) / к{х) .

Постановка обратной динамической задачи', для фиксированного Т >Т , и заданного оператора реакции Я2' восстановить коэффициенты к, у во всей области О .

Решение обратной задачи основано на идеях метода граничного управления, точнее, используются линеаризованные представления энергетических форм. Для задачи (18)-(20) определены билинейные формы [/,£]■ С учетом

неоднородности плотности среды, форма [/,#]Р имеет вид:

[/, := |пГ(х)(Vи' (х, Г), V«* (х, Г)}*.

В отличие от задачи, описанной в первой и второй главах, здесь мы не решаем задачу граничного управления.

В разделе 3.2 приведен алгоритм численного решения обратной задачи.

Численное решение прямой задачи (18)-(20) аналогично решению задачи (1)-(3), описанной в главе 1. Имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (6), (7), где матрица жесткости К имеет следующий вид:

Кпт=\у(УФп,ЧФт)<*х> п,т =

Будем использовать обозначения определенные для системы (6), (7).

Обратная задача в дискретной форме: по заданной матрице реакции е [0,2Г] найти значения к1,у1,1 = 1,...,7УД в каждом конечном элементе сетки. Алгоритм реконструкции. Пусть кусочно-постоянные коэффициенты к, у лежат в некоторой £ - окрестности (в евклидовой норме) «фоновых» коэффициентов к", у". Тогда в линейном приближении получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно к, я у,:

^к,((Г0)'МО)!Г0 = С, = Р,

1=1 1=1

где РУ0 - матрица финальных состояний для фоновых коэффициентов к", у".

Раздел 3.3 содержит результаты численного моделирования реконструкции двух параметров акустической среды. Заметим, что параметры сетки и система наблюдений таковы, что система (18)-(20) неуправляема. Модели к, у имеют вид, представленный на рис. 6а), 66)

Рисунок б —а) Модель к ; б) Модель у «Фоновые» коэффициенты: к0 = 1, у0 = 1. При восстановлении коэффициентов используем «грубую» сетку. Результат восстановления к, у на рис. 7а), 76).

Рисунок 7 — а) Результат восстановления к ; б) Результат восстановления у

В заключении подводится итог проделанной работы: сформулированы основные выводы, представлены полученные результаты.

Основной результат работы - проведено численное исследование одной из версий метода граничного управления, связанного с управлением гармоническими финальными состояниями в постановке динамических обратных задач акустики, возникающих в медицинской ультразвуковой томографии: 1) реконструкция скорости звука в задаче без коэффициента поглощения; 2) реконструкция коэффициента поглощения при неизвестной скорости звука; 3) реконструкция двух параметров -модуля сжатия и коэффициента удельного объема в линеаризованной постановке. По каждой из задач сформулированы следующие выводы:

Выводы по задаче №1

Численный алгоритм реконструкции скорости звука, построенный на основе метода граничного управления, обладает рядом преимуществ: работает независимо от начального приближения, не требует многократного решения прямой' задачи и регулярности поля лучей, сводит нелинейную задачу к двум линейным процедурам. Обе линейные процедуры - решение систем линейных уравнений. Первая из них возникает при решении задачи граничного управления гармоническими финальными состояниями. Поскольку всегда имеется конечное число управлений, то и управлять можно только состояниями, определенными на некоторой сетке. Замечательно, что размер «управляемой» сетки определяется данными обратной задачи. Для решения обратной задачи на мелкой сетке требуется большое количество управлений, что в практических постановках обеспечивает схема наблюдений с 256 трансдьюсерами и возможностью большого количества временных задержек (порядка 65000). В рассмотренных постановках, задача граничного управления решалась с высокой

точностью (относительная погрешность «Ю-10).

Вторая система линейных уравнений возникает при непосредственной реконструкции скорости звука. Эта система оказывается плохо обусловленной (число

обусловленности «Ю20), регуляризация «по сетке» позволяет получить число обусловленности ~ Ю10. Решение строится по минимуму невязки на множестве, определяемом естественными ограничениями на искомый коэффициент.

Выводы по задаче №2

Во второй задаче отыскивается коэффициент поглощения при неизвестной скорости звука. Здесь также обратная задача сведена к двум линейным: задаче полного граничного управления и задаче реконструкции. Существенное отличие от первой задачи состоит в том, что решается задача полного граничного управления. Это требует большего времени наблюдения (как минимум в 2 раза по сравнению с задачей 1). Данные обратной задачи определяют размер сетки, на которой имеет место полная управляемость. Реконструкция коэффициента поглощения сводится к решению плохо обусловленной системы линейных уравнений. В плане численной реализации задача 2 оказывается значительно «дороже», чем задача 1.

Выводы по задаче №3

Разработан новый способ одновременной реконструкции двух параметров — сжатия и удельного объема в линеаризованной версии метода граничного управления. Он не требует решения задачи граничного управления, и даже не требует управляемости. В вычислительном отношении он гораздо проще, чем методы задач 1 и 2, но, разумеется, ограничен линейным приближением. Как и следовало ожидать в

линейном приближении флуктуации разных коэффициентов разделить невозможно Тем не менее, представляется, что этот метод может быть развит, если учитыват последующие члены в разложении энергетических форм. Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации научны результатов диссертационных исследований:

1. Pestov L., Bolgova У., Kazarina О. Numerical recovering a density by BC-metho // Inverse Problems and Imaging. 2011. Vol. 4, N. 4. P. 703-712.

2. Филатова B.M. Численное восстановление коэффициента поглощеш методом граничного управления // Вестник Балтийского федерального университе им. И. Канта. 2012. Вып. 10. С. 153-159.

3. Пестов JI.H., Филатова В.М. Численное решение линеаризованной обратно задачи »для двух-параметрического уравнения акустики // Вестник Балтийског федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 4. С. 154-159.

Статьи в других изданиях:

4. Pestov L., Bolgova У., Danilin A. Numerical recovering of a speed of sound by th bc-method in 3d // Acoustical Imaging. Springer. 2012. V. 31. P 201-209.

5. Болгова B.M., Казарина О.П. Как услышать массу мембраны // Материаль XLVI международной научной студенческой конференции "Студент и научно технический прогресс": Математика. - Новосибирск, Новосиб. гос. ун-т, 2008 г. С. 118

6. Болгова В.М.. Данилин А.Н., Ермаков И.С., Казарина О.П., Пестов JI.H Услышать массу мембраны (результаты численного моделирования задач граничного управления) // Обратные задачи и информационные технологи рационального природопользования: материалы IV Научно-практическо конференции. - Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2008.-224 с. С. 24-29.

7. Болгова В.М.. Данилин А.Н., Ермаков И.С., Казарина О.П. Численно восстановление плотности в обратной задаче для волнового уравнения методо граничного управления // Материалы XLVII международной научной студенческо конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. - Новосибирск Новосиб. гос. ун-т, 2009 г. С. 247.

8. Болгова В.М., Данилин А.Н., Ермаков И.С., Казарина О.П. Численно решение задачи граничного управления для волнового уравнения о концентраци энергии // Материалы XLVII международной научной студенческой конференщ "Студент и научно-технический прогресс": Математика. - Новосибирск, Новосиб. гос ун-т, 2009 г. С. 248.

9. Филатова В.М. Численное восстановление коэффициента поглощения обратной задаче для волнового уравнения методом граничного управления // Тезись докладов международной конференции, посвященной 80-летию со дня рожден академика М.М. Лаврентьева. - Новосибирск, 2012 г. С. 244.

Подписано в печать 15.07.2013 Формат 60x90 . Усл.п.л. 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ № 102 БФУ им. И. Канта, 236016, г. Калининград, ул. А. Невского, 14

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ИММАНУИЛА

КАНТА»

На правах рукописи

04201361 607 ФИЛАТОВА ВИКТОРИЯ МИХАЙЛОВНА

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ АКУСТИКИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ»

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -д. ф.-м. н., доцент Пестов Л.Н.

Калининград -2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ 4

ВВЕДЕНИЕ 5

ГЛАВА 1 РЕКОНСТРУКЦИЯ СКОРОСТИ ЗВУКА 12

1.1 Постановка обратной задачи 12

1.2 Описание метода решения обратной задачи 16

1.2.1 Управляемость 16

1.2.2 Билинейные энергетические формы [f,g]p, [//£]К/ [//#] 16

1.2.3 Задача граничного управления 20

1.2.4 Реконструкция скорости звука 29

1.3 Решение дискретной обратной задачи 30

1.3.1 Решение прямой задачи 30

1.3.2 Дискретная обратная динамическая задача 33

1.3.3 Матрицы С и Р 36

1.3.4 Дискретная задача граничного управления 38

1.3.5 Алгоритм реконструкции скорости звука 51

1.4 Численное моделирование реконструкции скорости звука 54

ГЛАВА 2 РЕКОНСТРУКЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ 62

2.1 Постановка обратной задачи 62

2.2 Описание метода решения обратной задачи 64

2.2.1 Полная управляемость 64

2.2.2 Билинейные формы [//#]5/[//#]е 65

2.2.3 Задача полного граничного управления 68

2.2.4 Решение обратной задачи 74

2.3 Решение дискретной обратной задачи 75

2.3.1 Решение прямой задачи 75

2.3.2 Дискретная обратная динамическая задача 77

2.3.3 Матрицы £ и Е 78

2.3.4 Дискретная задача полного граничного управления 79

2.3.5 Алгоритм реконструкции коэффициента поглощения 84

2.4 Численное моделирование реконструкции коэффициента поглощения 86

ГЛАВА 3 РЕКОНСТРУКЦИЯ ДВУХ ПАРАМЕТРОВ АКУСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ 90

3.1. Постановка обратной задачи в линеаризованном представлении энергетических форм 90

3.2. Алгоритм реконструкции модуля сжатия и коэффициента удельного объема 91

3.3. Численное моделирование реконструкции двух параметров акустической среды 94

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 101

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 103

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Список публикаций по теме диссертации 111

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВС - метод -метод граничного управления (Boundary control method)

МКЭ - метод конечных элементов

МКР - метод конечных разностей

ЗГУ - задача граничного управления

ЗГТГУ - задача полного граничного управления

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследований. Обратные задачи для уравнения акустики, связанные с определением коэффициентов уравнения (скорость звука, плотность, поглощение) по граничным измерениям, встречаются во многих приложениях: геофизика, медицинская диагностика, акустика океана, дефектоскопия и т.д. Основные методы исследования и решения этих задач -лучевой метод, метод редукции к уравнению типа Вольтерра, метод подбора (оптимизации), метод линеаризации и метод граничного управления. Последний метод - метод граничного управления (М.И. Белишев, 1986) [1] мало апробирован численно по сравнению с другими методами, хотя, теоретически, он имеет значительные преимущества: сводит решение нелинейной обратной задачи к линейным процедурам, свободен от таких требований, как регулярность лучей, отсутствие волноводов, малость флуктуаций коэффициентов, аналитичность коэффициентов по части переменных и т.д. Это делает актуальным численное моделирование обратных динамических задач с использованием метода граничного управления. (Некоторые результаты численных расчетов по методу граничного управления представлены в [2]).

Среди перечисленных выше приложений наиболее близкое к теме диссертации по постановке рассмотренных задач - медицинская диагностика. Одной из важнейших задач медицинской диагностики является ранняя диагностика различных опухолевых новообразований молочной железы. В настоящее время в мире стандартной диагностикой рака женской молочной железы является маммография (где, по сути, используется техника рентгеновского снимка). Однако она не всегда эффективна (например, рентген часто дает недостоверный результат при опухолях расположенных в железистой ткани.). Для трехмерных изображений используется компьютерная томография, основанная на многоракурсном рентгеновском облучении малой интенсивности, и магнитно-резонансная томография (МРТ). Несмотря на

высокую информативность, данные методы представляют собой сложные исследования, требующие дорогостоящего оборудования и высокой квалификации медперсонала, кроме того, проникающее излучение, применяющееся при компьютерной томографии, может стимулировать появление и рост раковых клеток, и стать причиной прогрессии заболевания. Небезопасность, сложность и дороговизна применения не позволяет использовать данные методы для целей общей плановой диспансеризации населения. В то же время, ультразвуковые исследования, имеющие широкое и очень значимое применение в различных областях медицины, являются относительно недорогими, простыми в применении и безопасными методами диагностики. Считается, что ультразвуковая томография обладает большим потенциалом для обнаружения и диагностики рака молочной железы [3-5]. В настоящее время в России (В.А. Буров, О.Д. Румянцева и др.), США (N. Duric, С. Li, Р. Littrup, S. Schmindt и др.) и Германии (N. Ruiter, R. Dapp, М. Zapf, R. Jirik, I. Peterlik, J. Fousek и др.) работают группы ученых, целью которых является создание макетов ультразвуковых томографов с высокой разрешающей способностью и информативностью. Одной из основных проблем при этом остается разработка эффективных алгоритмов обработки измерений, т.е., по сути, численных методов решения обратных задач акустики, возникающих в ультразвуковой медицинской томографии.

Состояние исследований. Обратные задачи для гиперболических

уравнений можно разделить по типу дополнительной информации, задаваемой

относительно решения прямой задачи на 4 основные группы: кинематические,

спектральные, обратные задачи рассеяния и динамические обратные задачи.

Кроме того выделяют одномерные задачи, когда искомые коэффициенты

зависят от одной переменной и многомерные задачи (коэффициенты зависят от

всех пространственных переменных). Задачи определения коэффициентов

являются нелинейными, в отличие от задач, связанных с определением

источников или начальных и краевых условий. Выделяют также

переопределенные и не переопределенные постановки. Задачи ультразвуковой

6

диагностики - это многомерные нелинейные переопределенные динамические обратные задачи.

Фундаментальные результаты для одномерных обратных задач были получены И.М. Гельфандом, Б.М. Левитаном [6], М.Г. Крейном [7], В.А. Марченко [8], в которых исходные нелинейные задачи (спектральная, динамическая и задача рассеяния) были сведены к линейным интегральным уравнениям второго рода. В дальнейшем одномерные обратные задачи изучались в работах [9-11]. Теория многомерных обратных задач значительно сложнее и далеко не так полна, как теория одномерных задач. (Заметим, что результаты, близкие к методу Гельфанда-Левитаном - Крейна-Марченко в многомерных обратных задачах дает метод граничного управления; по поводу связи этих методов см. [12]).

Систематическое исследование многомерных динамических обратных задач для гиперболических уравнений, а также методика доказательства локальных теорем существования и единственности решения обратных динамических задач (в непереопределенных постановках), теоремы единственности и условной устойчивости "в целом" развиты В. Г. Романовым [13-30]. Значительный вклад в теорию обратных динамических задач принадлежит A.C. Благовещенскому [11, 31-34]. Различные подходы и методы отражены также в работах М.М. Лаврентьева, Ю.Е. Аниконова, С. И. Кабанихина, А.И. Прилепко, А.Л. Бухгейма, Г.В. Алексеева, М.И. Клибанова, М.И. Белишева, Л.Н. Пестова и д.р [1, 35-42]. Ряд результатов в этом направлении получили зарубежные авторы: F. Natterrer, J. G. Berryman, R. R. Green, R. Burridge, S. He, J. Q. Liu, H.W. Engl, M. Yamamoto, G. Uhlmann, P. StefanovH др. [43-51].

При практическом решении краевых обратных динамических задач возникает сложность, связанная с граничным источником. В приложениях это, обычно, точечный источник, излучающий некоторый вейвлет /(t). Если f(t) = S(t) — функция Дирака, то обратные задачи часто (при регулярном

поведении лучей) сводятся к нелинейным уравнениям второго рода. Именно для такого мгновенного импульса (правда, источник распределен по границе) был доказан, один из лучших результатов о единственности восстановления скорости звука в волновом уравнении (В.Г. Романов, [21]) для случая, когда скорость - аналитическая функция по горизонтальным переменным. В этой работе обратная задача сводилась к нелинейной интегро-дифференциальной системе уравнений типа Вольтерра второго рода.

В современных макетах ультразвукового томографа используют 256

трансдьюсеров (В.А. Буров, N. Оипс) и более [52], т.е. возникающие в

ультразвуковой медицинской томографии задачи переопределены. Основные

применяемые методы обработки - это известные лучевой метод, метод

линеаризации (приближение Борна), метод оптимизации. Так, В.А. Буров и его

коллеги используют двухшаговый алгоритм, основанный на приближении

Борна [53]. На первом шаге, решая линеаризованную обратную

кинематическую задачу, восстанавливаются крупномасштабные

неоднородности. На втором шаге восстанавливаются мелкомасштабная

структура по алгоритму, основанному на борновском приближении с учетом

неоднородности фона. Все расчеты делаются в предположении

прямолинейности распространения волн. Другой алгоритм, который

рассматривается В.А. Буровым - безытерационный алгоритм Гриневича-

Новикова [53], в котором используются данные о рассеянии плоских волн в

монохроматическом режиме. Группа ученых из США (Ы. Эипс, С. 1л, Р. 1лШир

и др.), разрабатывающие свою томографическую установку, при расчетах также

используют приближение Борна [54]. Другой применяемый подход основан на

методе миграции Кирхгофа, который адаптирован для использования в

ультразвуковой томографии [55]. Отметим также работы [50-51],

использующие метод оптимизации. Преимущества и недостатки

перечисленных методов хорошо известны. Так, лучевой метод требует

регулярность поля лучей, метод линеаризации не учитывает многократные

рассеяния и работает только при малых флуктуациях коэффициентов. Известно

8

также, что при наличии достаточно сильных рассеивателей сходимость оптимизационных алгоритмов критически зависит от выбора начального приближения. В целом, обработка данных ультразвуковой томографии остается актуальной и важной для медицинской диагностики проблемой.

В диссертации рассматриваются задачи в постановке, близкой той, в которой они возникают в ультразвуковой томографии, т.е. рассматриваются многомерные переопределенные динамические обратные задачи акустики. В качестве зондирующего импульса используется импульс Рикера.

Целью диссертационной работы является разработка, программная реализация алгоритмов численного решения обратных динамических задач акустики на основе метода граничного управления и проведение вычислительных экспериментов. Рассмотренные в диссертации обратные задачи - это обратные задачи об определении коэффициентов волнового уравнения (скорость звука, поглощение, плотность) по данным волновой томографии (т.е. в ситуации, когда известны граничные волновые поля от некоторого множества граничных источников).

В рамках поставленной цели были рассмотрены следующие задачи:

• Начально-краевая задача Неймана (прямая задача) для волнового уравнения (для подготовки данных моделирования обратных задач).

• Обратная задача об определении скорости звука;

• Обратная задача об определении коэффициента поглощения;

• Линеаризованная обратная задача об определении двух параметров акустической среды (модуля сжатия и коэффициента удельного объема).

Научная новизна

Предложены и реализованы новые способы и алгоритмы численного решения коэффициентных обратных задач акустики, основанные на методе граничного управления:

- реконструкция скорости звука в отсутствии коэффициента поглощения;

- реконструкция коэффициента поглощения при неизвестной скорости звука;

- одновременная реконструкция двух параметров - модуля сжатия и коэффициента удельного объема в линеаризованной версии метода граничного управления.

Достоверность

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается использованием известными теоретическими исследованиями рассматриваемых обратных задач; применением апробированных численных методов решения прямых задач; сравнением результатов численного решения обратных задач с задаваемыми моделями.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Математические модели и численные алгоритмы граничного управления в задачах реконструкции скорости звука и коэффициента поглощения.

2. Программный комплекс для решения задачи реконструкции скорости звука в отсутствии коэффициента поглощения.

3. Программный комплекс для решения обратной задачи реконструкции коэффициента поглощения при неизвестной скорости звука.

4. Алгоритм и программная реализация численного решения обратной задачи нахождения двух параметров - модуля сжатия и коэффициента удельного объема, на основе линеаризованных представлений энергетических форм.

Публикации

По результатам диссертационной работы опубликовано 13 работ, из них 3 в журналах, рекомендованных ВАК; результаты исследований отражены в 4 отчетах о НИР.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Работа изложена на 113 страницах, содержит 31 рисунков, 1 таблицу, библиографический список из 80 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доценту Л.Н. Пестову за помощь при проведении научных исследований по теме диссертационной работы.

ГЛАВА 1 РЕКОНСТРУКЦИЯ СКОРОСТИ ЗВУКА

В главе рассматривается краевая обратная динамическая задача: определение скорости звука по граничным данным. Восстановление кусочно-постоянной скорости звука проводится на основе метода граничного управления (ВС -метод) в версии работ [39, 56]. Описываются основные положения ВС -метода. Приводится алгоритм численного решения задачи и результаты численного моделирования. Изложение основано на работах [5658].

1.1 Постановка обратной задачи

Пусть ограниченная область П с границей Г заполнена неоднородной акустической средой. На границе Г располагаются источники и приемники волн. Фиксированный источник срабатывает в момент времени ? = О, инициируя волну. Приемники измеряют давление от каждого источника независимо (рис 1.1).

Требуется по заданным граничным измерениям найти скорость звука во всей области О. В связи с конечностью скорости распространения волн, требуется уточнить требуемое время регистрации.

Пусть - Т «акустический» радиус области О, то есть минимальное время, за которое волны, инициированные всеми граничными источниками, «затягивают» область О. (время заполнения). В дальнейшем полагаем, что выполняется неравенство Т > Т*, т.е. к моменту Т волны заполнят всю область С1. (Заметим, что время Т >Т* всегда можно указать, если известна оценка снизу на скорость с(х)). Так как измерения, которые регистрируются на границе, должны содержать информацию о скорости волн во всей области О, то время регистрации необходимо брать удвоенным (2Т). В противном случае в остается «немая» область, информация о которой не успеет дойти до границы (область Г2 \ О! на рис. 1.2, при г = Т).

Ниже описано решение обратной задачи, основанное на методе граничного управления [1, 31] в версии работы [39]. Используемый метод является прямым и сводит исходную нелинейную задачу к двум линейным: 1) задаче граничного управления; 2) восстановление скорости звука из линейного интегрального уравнения [56, 58].

Для получения данных обратной задачи, решается прямая задача. Численное решение прямой задачи основано на гибридном методе [59], включающий в себя метод конечных элементов и метод конечных разностей. Численное решение обратной задачи, по сути, использует приближение Галеркина решения прямой задачи (решение прямой задачи проектируется на конечномерное подпространство, порожденное конечным числом стандартных базисных функций метода конечных элементов). При численном решении обратной задачи используется конечно-постоянная модель скорости звука.

Перейдем к формальной постановке. Пусть П - ограниченная односвязная область в Я" {п> 2) с гладкой границей Г. Рассмотрим начально-краевую (прямую) задачу для волнового уравнения

кии - Ли = 0 б fix (О,Г) (1.1)

u\t=0=ut |(=0-О в Q. (1.2)

wJrxo л=/ (L3)

где c(x) = —j= - гладкая строго положительная функция {скорость звука); <Jk{x)

функцию к{х) будем называть модулем сжатия; Qv - нормальная прои�