автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное решение трехмерных прямых и оптимизационных задач дифракции

На правах рукописи

003458Э72

Илларионова Любовь Викторовна

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ПРЯМЫХ И ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск - 2008 г.

14 янз

003458972

Работа выполнена в Вычислительном центре Дальневосточного отделения Российской академии наук.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

>

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, Н.Е. Ершов.

доктор физико-математических наук, А.Г. Фатьянов,

доктор физико-математических наук, К.А. Чехонин.

Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук.

Защита состоится 20 января 2009 г. в 15-00 на заседании диссертационного совета ДМ 218.003.03 при Дальневосточной государственном университете путей сообщения по адресу: 680021, г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета путей сообщения.

Автореферат разослан « 09 » декабря 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., профессор

В.А. Анисимов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение волновых процессов имеет важное зна-ение для успешного развития многих областей науки и техники. Наиболее нтересными и близкими к реальным физическим явлениям являются трекерные задачи математического моделирования волновых процессов. Волно-ые стационарные поля различной природы, как правило, имеют много общих ойств. Это обусловлено тем, что все они описываются дифференциальными равнениями или системами эллиптического тина. К ним относятся и рас-латриваемые в диссертации стационарные задачи дифракции акустических упругих волн. Они встречаются в акустике океана и атмосферы, геофизике, ефектоскопии.

Начиная со второй половины 20 в. все большее значение приобретают братные задачи и задачи управления для уравнений акустики. Они иссле-овались в работах Колтона, Кресса, Кирша, Энджелла, Лакса, Филлипса, орюнова и Сасковца а также многих других авторов. Задачи оптимизации роцессом дифракции акустических волн ранее не исследовались. В настоя-ей диссертации исследуется задача минимизации отклонения звукового поля о включении от некоторого требуемого за счет изменения источников звука о внешней среде. При ее численном решении основной объем вычислений риходится на решение стационарных задач дифракции акустических воли а акустическом включении. Поэтому, для успешного решения поставленной птимизационной задачи, необходимо эффективно решать прямые задачи ди-ракции.

Аналитическое решений задач дифракции возможно только в случаях, ко-а включение имеет достаточно простую геометрическую форму (шар, эл-ипсоид). Поэтому основным методом исследования дифракционных процес-ов является математическое моделирование. Задачи дифракции, как правило ассматриваются в неограниченных областях, причем их решение может мед-енно убывать с расстоянием, а длина волны быть соизмерима с размерами еоднородности. Поэтому разностные и асимптотические методы редко бы-ают эффективны при их решении. Методы интегральных уравнений иред-тавляют собой надежный и гибкий математический аппарат, способствую-ий успешному решению проблем, возникающих в задачах дифракции. Они озволяют сводить исходные задачи в неограниченных областях к системам нтегральных уравнений (СИУ) по компактным границам включений, имею-им меньшую размерность.

В данной работе задача дифракции с помощью метода граничных инте-ральных уравнений (решение ищется в виде потенциалов простого слоя) све-ены к СИУ по поверхности включения, и предложен достаточно простой

метод решения СИУ.

Целью работы является теоретический и численный анализ задачи оптимального управления акустическими колебаниями, а также математическое моделирование акустических и упругих колебаний в однородной среде с трехмерным включением. '

Методы исследования. В диссертации применяются результаты и методы теории потенциалов, функциональных пространств Соболева, эллиптических краевых задач, оптимального управления.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Разработаны и реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ алгоритмы численного решения стационарных трехмерных задач дифракции акустических и упругих волн. Впервые проведено численное исследование влияния физических и геометрических параметров сред на процесс дифракции упругих волн на трехмерном упругом включении.

2. Проведен теоретический и численный анализ задачи оптимального управления акустическими колебаниями в однородной среде с трехмерным включением. А именно, доказана разрешимость задачи, предложен алгоритм решения, обоснована его сходимость, выполнены численные расчеты, демонстрирующие возможности создания акустических полей, обладающих заданными свойствами.

Теоретическая и практическая ценность. Применяемые в данной работе методы могут быть использованы для исследования и численного решения других оптимизационных, граничных и гранично-контактных задач. Созданные комплексы программ позволяют эффективно решать задачи дифракции в неограниченных областях с трехмерными включениями, краевые задачи для уравнения Гельмгольца (внутренние и внешние), а также находить оптимальные режимы управления акустическими полями.

Работа была поддержана грантами ДВО РАН (проекты Ж1№ 06-1-П14-053, 06-11-С0001, О8-Н-СО-ОО1), РФФИ (проект 06-01-96024, 08-01-00947) и Программы Президиума РАН № 14.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е.В. Золо-

ова (Владивосток, 2003, 2004, 2005, 2008; Хабаровск, 2006) и на общеинсги-утских семинарах в Вычислительном центре ДВО РАН.

Публикации и вклад автора. Основные результаты диссертации опуб-икованы в работах [1]—[13]. Работы [2]-[9], [12] выполнены в соавторстве с на-чным руководителем, который поставил задачу и предложил метод решения рямых задач дифракции. Реализация этих методов на ЭВМ, теоретическое сследование задачи оптимизации, разработка метода ее решения и его реа-изации на ЭВМ, а также анализ полученных результатов выполнены лично втором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех лав и заключения, изложена на 124 страницах, содержит 22 иллюстрации и писок литературы из 120 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение включает в себя обзор проблем и литературы по теме иссертации, краткое описание рассматриваемых в работе задач и полученных езультатов.

В первой главе исследуется задача оптимального управления кустическими колебаниями в однородной среде с трехмерным акустическим ключением. Пусть в пространстве 1R3, заполненном однородной изотропной редой, имеется однородное ограниченное изотропное включение П*, ограни-хенное связной поверхностью S. Обозначим Cle = R3 \ П*. Рассматривается адача, которая заключается в следующем: изменяя источники звука в ile шнимизировать отклонение поля давлений в (либо на некотором подмно-естве Q с fi;) от некоторого требуемого. При этом изменение источников вука не должно быть «большим».

В § 1.1 приведена математическая формулировка исходной задачи. Она

имеет вид: найти функции Ф,-, Фе и управление / такие, что

ДФ*(е) + Це)Ф*(е) =0в П4(е)> (1)

Ф 1-Фе=д, р1— - Ре-д^- = }. на о, (2)

|^--г/сеФе = о(|х|-1) при |х| ^ оо, (3)

7(Ф,/) = 11 & + -Ц I/ " ^ т1п' (4)

Здесь - комплексная амплитуд звукового поля давления в Г2;, функция Фе характеризует поле давления в Пе1 п = п(х) — единичный вектор внешней нормали к 5, направленный вне П,, А'(е}> с^ф 7,-(е) — плотность, скорость распространения акустических колебаний и коэффициент поглощения в Пце), Щ(е) = Иш + 17((,)))(сщ) - волновые числа среды Пг(е), рце) =

+ г7«(е))) 1> 3) ~ заданные функции, А > О, К - некоторое множество из Ь2(5). Считаем, что <5 С Пг- — область с липшицевой границей, либо поверхность класса С0,1; 5 £ С0,1.

В § 1.2 вводится понятие обощенного решения задачи дифракции (1)- (3), доказывается его существование и единственность.

Введем обозначения: (з Е й, р £ [1, оо)) — пространство Соболева

комплекснозначных функций, заданных на множестве 1?, которое может быть областью либо поверхностью в Н3{Б) = ЬР{Б) = ТУ°(£>). Далее

всюду обозначаем Ф* = Ф|п;, Фе = Ф|пе для любой функции Ф, заданной в О, и Пе. Аналогично, если функции Фi и Фе заданы в областях П* и Пе соответственно, то через Ф обозначаем функцию, равную Ф{(е) в П;(е); Я1 (М3 \ 5) — гильбертово пространство, состоящее из всех функций Ф, для которых Ф,- £ Я1(П,), Фе 6 Н1(Г1е) со скалярным произведением

(Ф, Ф)я>(К3\5) = + (Фе, Фе)я1(П«)-

Значение функционала / € X* на элементе х & X обозначаем (/,х).

Определение. Функцию Ф € Я1 (К3 \ 5), удовлетворяющую уравнениям

—р; / УФ{Чуйх / Ф&с1х-ре / УФеУг>с£г +

Л); ' Л^ Л?«

+ рек2е [ Феус1х = -{/М5) Vv£H1(Ш•3), (5)

Jne

Ф.Ь - Фе^ = 5, (6)

•дем называть обобщенным решением задачи дифракции (1)-(3). Лемма 1. Пусть уе > 0. Тогда любое классическое решение задачи ди-акиии (1)-(3) является обобщенным.

Теорема 1. Пусть ji{e) > 0, g е Я1/2(5), / е tf_1/2(S). Тогда существует инственное обобщенное решение задачи дифракции (1)-(3), причем

II$IHr3\s) < С (Il/Iltf-1/»(s) + 11а11я>/»(5)) > (7)

стоянная С не зависит от Ф, / и д.

При доказательстве сначала выводится априорная оценка (7), а потом при-няется теория линейных операторов.

Следствие. Пусть 5 € С1-®, 7*(е) > 0, / е C°'a(S), д е C^S) (a > 0). гда обобщенное решение задачи дифракции (1 )-(3) является классическим.

В § 1.3 доказывается разрешимость задачи оптимального управления. Определим множество U допустимых пар «состояние-управление», состо-ее из всех (Ф,/) € #X(IR3 \ 5) х К, удовлетворяющих (5), (6) (т.е. Ф — общенное решение (1)-(3)). Определение. Пару (Ф*, /*), удовлетворяющую соотношениям

(ф*,/*) е W, 7(Ф*,Л < 7(ф,/) У(ф,/)ег/,

дем называть решением задачи управления (1)-(4). Теорема 2. Пусть 7i(e) > 0, g е Я1/2(5)т Фа е L2(Q), fd 6 L2(S), К -¡пуклое замкнутое непустое множество из L2(S), причем либо А > 0, ли-множество К ограничено. Тогда существует единственное решение задачи Iравления (1)-(4).

Доказательство основано на априорной оценке (7) и известных свойствах ач выпуклой минимизации.

В § 1.4 описывается алгоритм конечномерной аппроксимации задачи опти-1ьного управления и доказывается его сходимость. Так как пространство (S) сепарабельно, то существует счетное множество {e/jj^ с L'2(S), ли-йная оболочка которого плотна в L2(S). Возьмем любое натуральное п и ложим

А'п = ДТП Span {е*}£=1-

есь Span {ejt}^=1 — линейная оболочка множества {е*}£=1. Через U п обозначим множество пар (Ф,/) таких, что / £ Кп, Ф — обоб-енное решение задачи (1)-(4), т.е.

Un — {(Ф;/) € U : / G Кп } — подмножество U.

Поставим задачу. Найти функции (ф'п), /(")) такие, что

($с'),/(»)) GWn> J($(»>,/{»))< J($,/) V($,/)eW„. (8)

Эту задачу можно рассматривать как конечномерную в следующем смысле. Так как Ф(п' однозначно определяется управлением /(п), то можно считать неизвестной только функцию которая ищется в n-мерном пространстве.

Теорема 3. Пусть линейная оболочка множества, {ejjj'0 плотна в L2(S), 7¡(e) > 0, 9 e H^2(S), Ф£¡ е L2(Q), /<г е L2(S), Я - выпуклое тело из L2(S), причем либо К ограничено, либо А > 0; (Ф*, /*) — решение задачи управления (1)-(4). Тогда

(а) существует номер N такой, что для любого n> N задача (8) однозначно разрешима;

(б) Ф<п> -> Ф* в Нг(Ж3 \ S), /("> -» /* слабо в L2(S), ,7(ф("), /С")) J{$*,f*) при п оо;

(bJ если дополнительно А > 0, то -4 /* в L2(S).

В § .1.5 решается конечномерная задача оптимального управления. Полученные формулы имеют вид:

ф(») = Ф(0 /<») = ¿fce*.

fc=i

fc=i

Функции и Ф* (к = 1,п) являются решением следующих задач дифракции

(е),

(0) аф(0)

ф(°) _ ф(°) = Q _ „ ff, р, ре 9п

5Ф<0)

= 0 на 5,

(9)

- г&еФ^0) = о (М-1) при |ж| ->■ оо.

е),

. д\х

АФкАе) + А?(е)Фй.<(е) = 0 В íli(e),

ЗФ1 •

Ф*.. - = 0, Pi — Ре

ЭФ fc.e

0М

9п

5п

= efc на 5,

- ike^k,e = О (|х| при |х| -> ОО.

эффициенты находятся, как решение следующей задачи выпуклого про-аммирования:

п п

¥>(&, • • •, = У] - У2 Ык тт.

к=1

есь

а 2 к = а']к + -Ц'^ Ьк = Ь'к + А Ьк,

а)к = \ I (ФкЩ + ФД*)<**> а''к = ^ +

Ь'к = \ + Ь'к = \ ¡Ыа +

следующих случаях множество можно описать более явно.

1. Пусть К = £2(5) (т.е. ограничения на управление отсутствуют). Тогда ^ = ®п и коэффициенты находятся, как решение следующей системы инбйных алгебраических уравнений

п

= 4 3 = 17п- (11)

к=1

ак как квадратичная функция <р(£) строго выпукла, то матрица по-

ожительно определена, следовательно, ее определитель не равен нулю.

2. Пусть АГ = {/ € ¿2(5) : |/|2 ¿в < }. С физической точки зрения то означает, что «суммарная» (средняя) мощность источников, с помощью оторых мы можем управлять акустическим полем, ограничена. Если система ункция {е/с}£=1 ортонормированная, то множество является шаром: К^ = ее К": К12<Д1}.

3. Пусть К = {/ € Ь2(Б) : |/| < п.в. на 5}, где Да — заданная поло-ительная константа. Это наиболее интересный с физической точки зрения

лучай. Условие |/| < Дг накладывает ограничение на мощность источников, помощью которых мы можем управлять акустическим полем. Если функции ек} удовлетворяют условиям

п

= тах|е*(х)| = 1 к = 1~п,

*— хЕ5

Л'=1

то множество К^ является п-мерным кубом:

= |&|<Д2 к = 1^}.

Во второй главе описываются алгоритмы численного решения методом граничных интегральных уравнений задач дифракции акустических и упругих волн.

В § 2.1 приведены классические постановки трехмерных стационарных задач дифракции акустических и упругих волн.

Задача дифракций акустических волн на акустическом включении. Найти комплекснозначные функции Ф,-, Фе такие, что

Аф.(е) =0вП;(е), (12)

p¿Фi - реФе = реФо, -7^- - -д^ = на 5, (13)

ЗФ

^ - 1кеФе = о(|х|-1) при |х| -> оо, (14)

Здесь Фг, Фе - комплексные амплитуды потенциалов смещений проходящих и дифрагированных акустических волн в А; и Фо - заданная функция, описывающая амплитуду потенциала смещений акустических волн в Пе.

Задача дифракции упругих волн на упругом включении. Найти комплекснозначные вектор-функции и*, ие такие, что

( %)Ди«(е) + (А,И +/х1(е))у(У -и<(е)) + и2рКе)ит = О в С1це), (15) иг = ие + и0, Гги,- = Те(ие + и0) на 5, (16)

я„(р) о„(»)

°Пе -¿^1и(Р)=0(|х|"1), (17)

где

д\х\ 61 е 41 " д\х\

Тце)и = 2+ Aj(e)n(V • и) + Цце)П X (V х и).

Здесь Ai(e), pi{e) — параметры Ламе, к2Ще) = (рце)и2)(\це) + 2pi{e)) 1 и k2i{e) = (pi{e)u2)(pi(e))~l — волновые числа продольных и поперечных волн, u;, ue — комплексные амплитуды поля смещений проходящих и рассеянных упругих волн в Qi и Г2е, uo — комплексная амплитуда поля смещений упругих волн в

ГЛ (») (р)

Ме; uè , uè — комплексные амплитуды продольных и поперечных волн.

В § 2.2 рассмотрены интегральные постановки задач дифракции, получен-е методами потенциала в работах С.И. Смагина.

Решение задачи (12)—(14) будем искать в виде потенциалов простого слоя

^Це)(х) = [А1(е)дце)){х)= ^вце)(х-у)дце)(у)йЗу, хейце). (18)

есь дце) — неизвестные плотности вспомогательных источников, С?,(е) — ндаментальные решения уравнения (12). Получаем систему интегральных внений Фредгольма первого и второго рода со слабыми особенностями в ах относительно неизвестных плотностей рцеу.

5Ф0

- реАеде = ре$о, (Яг + <7е)/2 + %дг - Веде = на 5, (19)

^ О П

Г д '

№(е)9<(е))(аО = у - X € 5.

Решение задачи (15)—(17) также будем искать в виде потенциалов простого я

Чг(е)(аО = (И^(е)&(е))(х) = / Г*(е)(я,у)^[е)(у) , X € П,{е). (20)

есь = (&(е)1)&(е)2>&(е)з) - неизвестные плотности вспомогательных ис-чников; Г;(е) - матрицы фундаментальных решений уравнений (15). Получа-систему, состоящую из трех интегральных уравнений Фредгольма первого да со слабыми особенностями в ядрах и трех сингулярных интегральных авнений относительно двух неизвестных вектор-функций & и

^ + + ^е ~ = Геи0 на 5, (21)

е

(Я«(е)&(е)) 0е) - ^Тце)Гце)(х,у)£це)(у)с13у, X € П,(е).

В § 2.3 описан метод численного решения интегральных уравнений, кото-ш ранее использовался в работах С.И. Смагина и Н.Е. Ершова для решения угих задач математической физики. Идея метода заключается в том, что известная плотность ищется в виде линейной комбинации гладких финит-IX функций, образующих разбиение единицы на границе включения. Такой

подход не требует предварительной триангуляции поверхности и потому одинаково просто реализуется как на регулярных, так и на нерегулярных сетках. При этом ядра интегральных операторов представляются в виде суммы двух слагаемых, одно из которых содержит особенность при совпадении аргументов, а другое гладкое. Для повышения точности вычисления интегралов, содержащих особенности, применяются тождества, полученные с помощью теоремы Гаусса. Это позволяет достаточно просто находить коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующей интегральные уравнение. 4

В § 2.4 приведены системы линейных алгебраических уравнений, которые аппроксимируют системы интегральных уравнений для задач дифракции акустических и упругих волн, а также формулы для нахождения приближенного решения задач (12)-(14) и (15)—(17) в любых точках областей П, и Г2е.

В § 2.5 излагается методика сведения интегральных уравнений на «звездной» поверхности к уравнениям на эллипсоиде. В последнем параграфе приводятся формулы для приближенного вычисления некоторых поверхностных интегралов, применяемых при аппроксимации интегральных уравнений исходных задач дифракции.

П о

В третьей главе описаны результаты численных экспериментов.

В § 3.1 приводится описание программного комплекса, разработанного для решения поставленных задач.

В § 3.2 проведено изучение сходимости алгоритма численного решения задач дифракции акустических волн. В качестве тестовых примеров решались первая и вторая краевые задачи (внутренняя и внешняя) для уравнения Гельмгольца и задача дифракции (12)—(14) с известными точными решениями. Также изложены результаты математического моделирования процесса дифракции для различных модельных задач. На рисунках изображены линии уровня и проективные поверхности рассчитанных полей.

В § 3.3 приведены аналогичные результаты для задачи дифракции упругих волн. -

В § 3.4 изучен вопрос о сходимости алгоритма решения задачи оптимального управления (1)-(3), а также приведены графики, линии уровня и проективные поверхности, демонстрирующие возможности компьютерного моделирования оптимизационного процесса для различных исходных данных.

Приведем пример математического моделирования процесса дифракции акустических волн. Рассматривается задача дифракции (12)—(14) при следующих исходных данных

Поверхность включения состоит из точек х = {х\, х2,хз), определяемых ормулами

(,х1,х2,хз) = Щв) ^0.75 сое «рэт^, вт^втб, О.осоэ^ ,

т = 2 " (п)(т/)1 ° . 6 6 ^ v 6 [0.2тг).

сточник акустических волн — плоская волна вида: Фо(ж) = ехр(гА:е:гз). Пара-атры среды и включения: а = 0.1, се = 0.18, = 1, Ре = 3, и = 1, = 0.

(б)

-4 -2 0 2 4

Рис. 1: (а)линии уровня /?(Ф); (б)проективная поверхность ту(Ф).

На рис. 1 (а) изображены линии уровня, а на рис. 1 (б) проективная по-.рхность функции г](Ф) = |Ф + Ф0| - |Ф0| на квадрате \х\^\ < 4.5, хз = 0.

Видно, что область наибольших значений функции т?(Ф) находится над лом. Точка максимума расположена над центром тела. Плоскости х\ = 0 Х2 = 0 являются плоскостями симметрии задачи. Горизонтальные размера: тела включения приблизительно совпадают с границей уплотнения линий ровня и повторяют ее форму.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем. . Доказано существование и единственность решения задачи оптимального управления процессом дифракции стационарных акустических волн, предложен алгоритм ее решения и обоснована его сходимость.

. Разработан и реализован в виде комплекса программ алгоритм численного решения стационарных трехмерных задач дифракции акустических

и упругих волн. Осуществлено математическое моделирование акустических и упругих волн в средах с трехмерными включениями, результаты которого позволяют исследовать зависимость отраженного и проходящего полей от геометрических и физических параметров сред (вида включения и источника падающего поля, значений волнового числа, плотностей сред, параметров Ламе). .»

3. Реализован в виде комплекса программ на ЭВМ алгоритм численного решения поставленной задачи оптимального управления. Проведены численные расчеты, демонстрирующие возможности создания акустических полей, обладающих заданными свойствами.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Илларионова Л.В. Задача оптимального управления для стационарных уравнений дифракции акустических волн // Журн. выч. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48, № 2. С. 297-308.

[2] Блохина Л.В., Ершов Н.Е. О математическом моделировании трехмерной стационарной задачи дифракции упругих волн. Тез. докл. Дальневосточной матем. школы-семинара им. ак. Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука, 2003. С. 55.

[3] Блохина Л.В., Ершов Н.ЕЧ Математическое моделирование стационарной трехмерной задачи дифракции акустических волн. Материалы международной научной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании». Казахстан. Усть-Каменогорск. 2003. 6 с.

[4] Блохина Л.В., Ершов Н.Е. Математическое моделирование стационарных пространственных акустических колебаний в однородной среде с включением. В сб. докл. международной научной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики». Хабаровск: Из-во ХГТУ, 2003. С. 332-340.

[5] Блохина Л.В., Ершов Н.Е. Численное решение интегральных уравнений пространственной задачи распространения и дифракции акустических волн. В сб. докл. международной конференции по вычислительной математике. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2004. С. 407-410.

6] Блохина Л.В., Ершов Н.Е. О математическом моделировании трехмерной стационарной задачи дифракции упругих волн. Тез. докл. Дальневосточной матем. школы-семинара им. ак. Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука, 2004. С. 46-47.

7] Ершов Н.Е., Блохина Л.В. Математическое моделирование процессов распространения акустических и упругих стационарных волн в средах с трехмерными включениями. Сб. научных трудов 4-го Всероссийского симпозиума «Сейсмоакустика переходных зон». Владивосток: Из-во Дальневост. ун-та, 2005. С. 164-166.

8] Ершов Н.Е., Блохина Л.В. Численное моделирование процессов распространения и дифракции упругих и акустических волн в трехмерных средах. В сб. тез. докл. Дальневосточной матем. школы-семинара им. ак. Е.В. Золотова. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2005. С. 59-61.

9] Ершов Н.Е., Илларионова Л.В. Алгоритм численного решения задачи управления стационарных уравнений акустики в неограниченной области. В сб. тез. докл. Дальневосточной матем. школы-семинара им. ак. Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука, 2006. С. 49-50.

0] Илларионова Л.В. Задачи оптимального управления для стационарных уравнений дифракции акустических волн. В сб. тез. докл. Дальневосточной матем. школы-семинара им. ак. Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука, 2007. С. 69.

1] Илларионова Л.В. Задача оптимального управления для стационарных уравнений дифракции акустических волн. В сб. тез. докл. 5-й Международной конференции по математическому моделированию. Якутск: Из-во ЯГУ, 2007. С. 86.

2] Ершов Н.Е., Илларионова Л.В. Моделирование процессов распространения и дифракции упругих стационарных на трехмерном включении. В сб. докл. международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании», г. Павлодар, Казахстан: Из-во ПГУ. 2006. С. 466-476.

] Илларионова Л.В. Численное решение трехмерных прямых и оптимизационных задач для стационарных уравнений дифракции акустических и упругих волн. В сб. тез. докл. Дальневосточной матем. школы-семинара им. ак. Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука, 2008. С. 63, 64.

г

Любовь Викторовна Илларионова

Численное решение трехмерных прямых и оптимизационных задач дифракции

Автореферат

Изд. лиц. ИД X» 05497 от 01.08.2001. Подписано к печати 0$.11.0к Формат 60x84/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Усл.п.л. 1,0 • Уч.-изд.л. 0) 8?. Тираж 100 экз. Заказ А/

Отпечатано в типографии ФГУП «Издательство "Дальнаука"» ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 7

Введение

Основные обозначения

Глава I. Задача оптимального управления процессом дифракции акустических волн

§ 1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Разрешимость задачи дифракции.

§ 1.3. Разрешимость задачи оптимального управления

§ 1.4. Конечномерная аппроксимация задачи оптимального управления.

§ 1.5. О решении конечномерной задачи

§ 1.6. Схема приближенного решения задачи управления

Глава II. Алгоритмы численного решения трехмерных задач дифракции акустических и упругих волн

§ 2.1. Постановки задач.

§ 2.2. Сведение к граничным интегральным уравнениям

§ 2.3. Аппроксимация интегральных уравнений

§ 2.4. Численное решение задач

§ 2.5. Аппроксимация интегральных уравнений на «звездной» поверхности

§ 2.6. Вычисление поверхностных интегралов

Глава III. Результаты численных экспериментов

§ 3.1. Описание программного комплекса, реализующего алгоритмы решения прямых и оптимизационных задач дифракции

§ 3.2. Математическое моделирование дифракции акустических волн

§ 3.3. Математическое моделирование дифракции упругих волн.

§ 3.4. Численное решение задачи оптимального управления

В диссертации изучаются задачи дифракции акустических и упругих волн. Рассматриваются следующие вопросы.

• Оптимальное управление для стационарной трехмерной задачи дифракции акустических волн (теоретический анализ и численное решение).

• Численное решение методом граничных интегральных уравнений стационарных задач дифракции упругих и акустических волн на трехмерном включении.

Изучение волновых процессов имеет важное значение для успешного развития многих областей науки и техники. Информацию о строении, составе исследуемых объектов и о закономерностях, протекающих в них процессов, можно получить путем построения и изучения соответствующих математических моделей.

Наиболее интересными и близкими к реальным физическим явлениям являются трехмерные задачи математического моделирования волновых процессов. К ним относятся и рассматриваемые в диссертации стационарные задачи дифракции акустических и упругих волн на трехмерном включении. В математическом плане они заключаются в отыскании решений уравнений Гельмгольца и упругости, удовлетворяющих условиям сопряжении на границах раздела сред и условиям излучения на бесконечности. Такие задачи дифракции встречаются в акустике океана и атмосферы, геофизике, дефектоскопии [13,14,31,74,79]. Основные трудности при их решении обусловлены наличием разрывов первого рода у параметров среды, векторным характером решений и их зависимостью от трех пространственных переменных, а также необходимостью учета условий на бесконечности. Важную роль играет также соотношение между длиной волны колебаний и характерными размерами включений.

Волновые стационарные поля различной природы, как правило, имеют много общих свойств. Это обусловлено тем, что все они описываются дифференциальными уравнениями или системами эллиптического типа. Поэтому используемые в диссертации методы и полученные результаты могут быть полезными и при решении краевых и оптимизационных задач для эллиптических уравнений, не связанных с акустическими и упругими колебаниями.

В последнее время все большее значение приобретают обратные задачи и задачи оптимального управления для волновых процессов. Теория оптимального управления и обратных задач для уравнений с частными производными бурно развивается начиная со второй половины 20 века. Периоду строгих математических исследований в этой области предшествовало изучение прикладных задач (см., например, [15] и ссылки там). В настоящее время литература по этой области математики огромна. Этой тематике посвящены монографии Барбу [95,96], Бенсуссана [97], Васильева [117], Егорова [29], Забкзи-ка [118], Иваненко, Мельника [40], Лазиешка, Триджиани [110,111], Ли, Йонга [112], Ж.-Л. Лионса [57,58], Литвинова [59], Неиттаанма-ки, Тиба [113], Райтума [69], Фурсикова [87].

Обратные задачи для уравнений акустических колебаний, как правило заключаются в определении количественных характеристик рассеивающих неоднородностей, основанных па наблюдениях рассеяния падающего на неоднородность акустического поля либо в нахождении источников поля по некоторой дополнительной информации. Различные обратные задачи для уравнений акустических колебаний исследовались во многих работах. Среди них Колтон [98], Лаке и Филлипс [105], Колтон и Кирш [99], Колтон и Кресс [47], Гарабедян [103], Энджелл, Колтон, Кирш [91]. Отметим также монографию [16], в которой помимо методов решения дана классификация обратных задач и примеры их приложения.

В работах Энджелла, Клейпмана [93] и Кирша [106,108] рассмотрены задачи оптимального управления, которые заключаются в максимизации потока энергии звукового поля в дальней зоне в пределах данного угла (т.е. максимизируется диаграмма направленности). В [120] и [104] изучены задачи оптимального дизайна поверхности включения в целях уменьшения звукового давления или шума в некоторой области. В [92] и [72] исследованы задачи оптимального граничного управления для уравнения Гельмгольца. Отметим, что в [92] установлено наличие тесной связи между такими задачами и задачами оптимизации электромагнитного излучения. Постоянно появляются все новые области применения теории оптимизации акустических волн. Так в [119] такой подход был применен для решения задачи о минимизации излучения, исходящего от мобильных телефонов наиболее распространенных в мире стандартов GSM 900, GSM 1800.

В настоящей диссертации исследуется задача минимизации отклонения звукового поля во включении от некоторого требуемого за счет изменения источников звука во внешней среде. При ее численном решении основной объем вычислений приходится на решение стационарных задач дифракции акустических волн на акустическом включении. Поэтому для успешного решения задачи оптимизации необходимо уметь эффективно решать прямые задачи дифракции.

Исторически первыми для решения задач дифракции применялись аналитические методы. К ним относятся, например, методы интегральных преобразований, Вииера-Хопфа, степенных рядов [23, 75,85]. С их помощью можно решить задачи с локальными неодпо-родпостями в форме круга, эллипса, шара и эллипсоида [19,23,46, 82,86,102,114].

К аналитическим тесно примыкают методы, основанные на низкочастотных и высокочастотных разложениях. К первым относятся методы теории возмущений [41,63]. В них в качестве малого параметра рассматривается частота. Ко вторым, используемым в случае колебаний высокой частоты, принадлежат методы Кирхгофа, лучевой, параболического уравнения и эталонных решений [4,5,63]. Применение последних позволило также добиться существенного прогресса в изучении задач дифракции на неоднородностях, параметры которых медленно меняются при изменении пространственных переменных [4,5]. Физические соображения и формальные преобразования, составляющие основу таких подходов чаще всего строго не обоснованы.

Аналитические методы, при всем их многообразии, позволяют решать весьма узкий класс задач дифракции. Поэтому при их решении основную роль играют численные методы.

Широкое распространение для решения задач математической физики получили разностные и проекционно-сеточпые методы [24, 38,39,61,63,66,73]. Они хорошо приспособлены для решения внутренних краевых задач. Задачи же дифракции, как правило, рассматриваются в неограниченных областях, причем их решения могут медленно убывать с расстоянием. Поэтому применение разностных и проекционно-сеточных методов к трехмерным стационарным задачам дифракции сопряжено с трудностями, связанными с чрезмерным расширением области определения неизвестных функций, заменой условий излучения на бесконечности краевыми условиями, усложнением аппроксимации в окрестности границы включения.

Метод разностных потенциалов позволяет численно решать многие краевые задачи для линейных дифференциальных и разностных уравнений с переменными коэффициентами в многомерных областях с криволинейными границами [55,70,71]. Вместо функции Грина ои использует непосредственно оператор Грина, а вместо интегрального представления - некоторое операторное представление.

Для решения задач дифракции может быть применен следующий метод: волновое поле во внешней области представляется в виде суммы полей от вспомогательных источников, которые считаются лежащими внутри дифрагированного объекта, а мощность их определяется из условий контакта на границе включения [3,23,30,48,52]. Но этот подход обоснован только для случая, когда вспомогательные источники расположены всюду плотно на некоторой кривой или поверхности. К тому же увеличение количества источников может привести к нарушению устойчивости.

Методы интегральных уравнений являются одними их наиболее эффективных при исследовании задач прикладной математики. Они позволяют строить математические модели различных физических явлений, проводить исследование корректности полученных задач, а также служат теоретической основой для разработки алгоритмов численного решения этих задач. Для сведения краевых задач к интегральным уравнениям используются представления решений в виде потенциалов [6,7,20,21,28,77,78,88,89], а также формулы Грина и их векторные аналогии [26,27,47,53,64,68,84,101].

Для численного решения интегральных уравнений широко используются методы квадратур и проекционно-сеточпые методы [8, 17,43,60,66]. Хорошо известно, что аппроксимация интегральных уравнений с особенностями в ядрах сеточными методами приводит к системам алгебраических уравнений с плотно заполненными матрицами коэффициентов больших размерностей. Поэтому вычислительная сложность таких алгоритмов в значительной мере определяется объемом вычислений, необходимых для расчетов коэффициентов алгебраических систем с требуемой точностью, особенно при решении многомерных задач. При решении интегральных уравнений первого рода часто применяются методы регуляризации, которые позволяют строить устойчивые алгоритмы приближенных решений этих задач [17,54,81]. Некоторые аспекты обоснования методов решения интегральных уравнений изложены в работах [8,12,22, 43,44,60,68,81,84].

В настоящее время при численном решении граничных интегральных уравнений наибольшее распространение получил метод граничных элементов, к сильной стороне которого можно отнести его теоретическую прозрачность [47,94]. Коэффициенты получающихся при этом алгебраических систем выражаются в виде многомерных интегралов от сложных выражений с особенностями при совпадении аргументов, вычисление которых требует значительных ресурсов ЭВМ.

Применение других, более экономичных методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении одномерных уравнений, к которым, прежде всего, можно отнести метод коллокации, сдерживается серьезными трудностями их теоретического обоснования, особенно для уравнений I рода [88,89,94].

В данной работе применяется численный метод, сочетающий в себе простоту реализации метода коллокации с возможностью полного теоретического обоснования. Этот метод ранее применялся в работах [9]- [11], [32]- [37], [76]- [78]. В них задачи дифракции с помощью метода граничных интегральных уравнений (решение ищется в виде потенциалов простого слоя) сведены к системам интегральных уравнений по поверхности включения и предложен метод численного решения полученных систем. В диссертации [36] такой подход был применен для численного решения задачи дифракции акустических волн на упругом включении.

Цели работы

1. Теоретический анализ задачи оптимального управления процессом дифракции акустических волн (исследование корректности задачи, разработка алгоритма решения и обоснование его сходимости).

2. Разработка комплекса программ для ЭВМ, реализующего алгоритмы численного решения, предложенные в работах Ершова и Смагина [32]- [37], [76]- [78], задач дифракции акустических и упругих воли па трехмерном включении.

3. Разработка комплекса программ для ЭВМ, реализующего алгоритм решения задачи оптимального управления.

4. Математическое моделирование акустических и упругих колебаний в средах с трехмерными включениями, в т. ч. нахождение оптимальных режимов управления акустическими полями.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литература из 120 наименований. Работа написана на 124 страницах и содержит 22 рисунка.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Проведен теоретический анализ задачи оптимального управления для уравнений дифракции стационарных акустических волн (доказано существование решения, предложен алгоритм решения и обоснована его сходимость).

2. Разработан и реализован в виде комплекса программ алгоритм численного решения стационарных трехмерных задач дифракции акустических волн.

3. Разработан и реализован в виде комплекса программ алгоритм численного решения стационарных трехмерных задач дифракции упругих волн.

4. Реализован в виде комплекса программ на ЭВМ алгоритм численного решения поставленной задачи оптимального управления.

5. С помощью программных комплексов осуществлено математическое моделирование акустических и упругих волн в средах с трехмерными включениями.

Заключение

1. Апельцин В.Ф., Еремин Ю.А., Ильинская A.C. и др. Численные методы исследования распространения волн в среде с переменными параметрами в резонансной частотной области. В сб. «Численные методы и программирование». М.: Изд-во МГУ, 1978. Вып. 28. С. 3-13.

2. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 456 с.

3. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Л.: Из-во ЛГУ, 1974. 125 с.

4. Белоносов С.М., Черноус К.А. Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1985. 311 с.

5. Блохина Л.В., Ершов Н.Е. Численное решение интегральных уравнений пространственной задачи распространения и дифракции акустических волн. В сб. докл. международной конференции по вычислительной математике. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2004. С. 407-410.

6. Бреббия К., Теллес Ж., Вроувел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.13. бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.

7. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 264 с.15. бутковский А.г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.

8. Горюнов A.A., Сасковец A.B. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ, 1989.

9. ВОРОНИН В.В. Решение двумерной задачи дифракции акустической волны на упругом теле методом потенциалов. В сб. «Математические проблемы геофизики». Новосибирск: Из-во ВЦ СО РАН СССР, 1978. Вып. 6. Ч. 2. С. 120-129.

10. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. 232 с.

11. Галишникова Т.Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1987. 208 с.

12. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400 с.25. градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 1100 с.

13. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987. 165 с.

14. Дмитриев В.И., Позднякова Е.Е. Метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде с локальной неоднородностью. В сб. «Актуальные вопросы прикладной математики». М.: Изд-во МГУ, 1989. С. 98-104.

15. ЕРШОВ Н.Е. Численное решение трехмерной задачи дифракции акустических волн на упругом включении методом потенциалов. Дисс. . к.ф.-м.н. Хабаровск, 1991.

16. Ершов Н.Е., Илларионова Л.В., Смагин С.И. Численное решение трехмерной задачи дифракции акустических волн // Вычислительные технологии. 2008. (в печати)

17. Ершов Н.Е., Смагин С.И. О решении трехмерных стационарных задач дифракции методом потенциалов // ДАН СССР. 1990. Т. 311, № 2. С. 339-342.

18. Ершов Н.Е., Смагин С.И.Приближенное решение пространственных задач акустики и упругости методом потенциалов. В сб. «Математические модели, методы и приложения». Хабаровск: Изд-во ХГПУ, 2002. С. 45-115.

19. Ершов Н.Е., Смагин С.И. Решение пространственных задач акустики и упругости методом потенциалов // Дифферент уравнения. 1993. Т. 29, № 9. С. 1517-1525.

20. Ершов Н.Ф., Шахверди Т.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. JL: Судостроение, 1984. 237 с.

21. Ильин В.П., Полищук А.Д. О численном решении пространственных задач теории потенциала. В сб «Вариационно-разностные методы в задачах числового анализа». Новосибирск, 1987. С. 28-44

22. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишарский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.55. лазарев М.И. Потенциалы линейных операторов //ДАН СССР. 1987. Т. 292, № 5. С. 1045-1047.

23. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

24. М ас лов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. 243 с.

25. Метод граничных интегральных уравнений / Под ред. А.Ю. Ишлинского, Г.Г. Черного. М.: Мир. 212 с. (Новое в зарубежной науке. Механика, сер.15).

26. МИХЛИН С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1959. 254 с.

27. РАЙТУМ У.Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. Математические вопросы. Рига: Зинатне, 1989.

28. САВЕНКОВА A.C. Мультипликативное управление в задаче рассеяния для уравнения Гельмгольца // Сиб. журн. иидустр. матем. 2007. Т. 10, № 1. С. 128-139.

29. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

30. Сейсморазведка: Справочник геофизика / Под ред. И.И. Гур-вича и В.П. Номоконова. М.: Недра, 1981. 463 с.

31. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г., Яковлев В.В. Рассеяние волн локальными неоднородностями в сплошных средах. Киев: Наук, думка, 1985. 135 с.

32. СМАГИН С.И. Интегральные уравнения задач дифракции. Владивосток: Дальнаука, 1995.

33. СМАГИН С.И. Об одной системе интегральных уравнений теории дифракции // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 8. С. 1432-1437.

34. СМАГИН С.И. Метод потенциалов в трехмерной задаче дифракции электромагнитных волн // Журн. выч. матем. и матем. физики. 1989. Т. 29, № 1. С. 82-92.

35. Справочник по геофизике. М.: Наука, 1965. 481 с.

36. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абра-мовица и И. Стигана. М.: Наука, 1979. 832 с.

37. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некоторых некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.

38. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в физике твердого тела. М.: Мир, 1972. 307 с.83. треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

39. Угодчиков А.Г., хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого тела. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. 295 с.

40. Angell T.S., Colton D., klrsch A. The three dimensional inverse scattering problem for acoustic waves //J. DifF. Eq., 1982. V.46. P. 46-58.

41. ANGELL T.S., KlRSCH A. Optimization methods in electromagnetic radiation. Springer, 2004. 331 p.

42. Angell T.S., Kleinman R.E. Generalized exterior boundary-value problems and optimization for the Helmholtz equation //J. Optimization Theory and Applications. 1982. V. 37. P. 469-497.

43. Atkinson K.E. The numerical solution of integral equations of second kind, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1997.

44. BARBU V. Analysis and control of nonlinear infinite dimensional systems. Boston: Academic Press, 1993.

45. Lax P.D., phillips R.S. Scattering theory. New York: Academic Press, 1967. Q. J. Math., 1971. v. 22, P. 125-130.106. klrsch A. A weak bang-bang principle for the control of an exterior robin problem // Applicable Analysis. 1982. V. 13. P. 65-75.

46. KRESS R. A singular perturbation problem for linaer operators with an application to the limiting behaviour of stationary electromagnetic wave fields for small frequencies // Meth. Verf. Math. Phys., 1981. Bd 21. S. 5-30.

47. KlRSCH A. Optimal control of an exterior Robin proplem // J. Math. Anal. Appl., 1981. V. 82. P. 144-151.109. kress R., Rundell W. Inverse scattering for shape and impedance // Inverse Problems. 2001. № 17. P. 1075-1085.

48. Lasiecka I., Triggiani R. Differential and algebraic riccati equations with application to boundary/point control problems: continuous theory and approximation theory. Lecture Notes Control Inform. Sci. 164. Berlin: Springer-Verlag, 1991.

49. Lasiecka I., Triggiani R. Deterministic control theory for partial differential equations. Vol. 1. Cambridge Univ. Press. Boston, 1998.

50. Li X., Yong J. Optimal control theory for unifinite dimensional systems. Boston: Birkhauser, 1995.

51. Neittaanmaki P., Tib a D. Optimal control of nonlinear parabolic systems. Theory, algorithms and applications. New York: Marcel Dekker, 1994.

52. RlCHTER G.R. Numerical solution of integral equation of the first king with nonsmooth kernels // SIAM. J. Numer. Analysis. 1978. V. 15, № 3. P. 511-522.

53. Saad Y. and Schultz M. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solv-ing nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Statist. Comput., 7 (1986), pp. 856-869.

54. SHAW R.P. An outer boundary integral equation applied to an transient wave scatterring in an inhomogeneons medium //J. Ap-pl. Merch. 1975. V. 42, P. 147-152.

55. ВАСИЛЬЕВ Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

56. ZABCZYK J. Mathematical control theory: an Introduction.1. Boston: Birkhauser. 1992.

57. Jahn J., Kirsch A., Wagner C. Optimization of rod antennas of mobile phones // Math. Meth. Oper. Res. 2004. № 59. P. 37-51.

58. Yanzhao cao, Stanescu D. Shape optimization for noise radiation problems // Computers and Mathematics with Applications. 2002. № 44. P. 1527-1537.