автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процесса переноса излучения в широком диапазоне энергий с приложениями к задачам оптической и рентгеновской томографии

На правах рукописи

□0305314 1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ ЭНЕРГИЙ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЗАДАЧАМ ОПТИЧЕСКОЙ И РЕНТГЕНОВСКОЙ ТОМОГРАФИИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2007

003053141

Работа выполнена в лаборатории Вычислительных методов математической физики Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии Наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, с.н.с.

Прохоров Игорь Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Нурминский Евгений Алексеевич

доктор физико-математических наук, с.н.с Ярощук Игорь Олегович

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится " ¡6 " Л-Я 2007г. в ¡2°° часов на заседа-

нии диссертационного совета Д 005.007.01 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г.Владивосток, ул.Радио, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Автореферат разослан " ^ " ЛМ&^Й. 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 005.007.01

А.В. Лебедев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Томографические методы исследования приобрели широкую известность благодаря появлению и совершенствованию медицинских томографов. В настоящее время математическая теория компьютерной томографии является быстро развивающейся и актуальной областью математической физики. В связи с растущей популярностью применения томографических методов исследования в медицине и технике, в последние годы возрос интерес к восстановлению внутренней структуры сильно рассеивающих сред. При этом, под внутренней структурой обычно понимается пространственное распределение макроскопических характеристик среды, таких как показатель преломления, коэффициенты полного взаимодействия и рассеяния излучения и т.д. Такой интерес обусловлен как практической значимостью рентгеновской и оптической томографии сильнорассеивающих сред, так и научной сложностью самой задачи. Это связано с тем, что хорошо разработанный математический аппарат традиционной вычислительной томографии, опирающийся на преобразование Радона, в случае рассеивающих сред не работает. Поэтому при разработке томографических подходов приходится начинать с описания прохождения излучения через рассеивающие среды.

Общепризнанной и наиболее полной моделью для описания взаимодействия излучения с веществом является система уравнений Максвелла. Учет рассеяния на частицах в рамках теории Максвелла, как правило, влечет необходимость рассмотрения одного из приближений теории многократного рассеяния, что в свою очередь, приводит к достаточно громоздкой (чрезмерно детализированной) модели и существенно усложняет ее исследование. Альтернативой данному подходу является модель, основанная на кинетическом уравнении переноса излучения, которая также достаточно известна и широко применяется при моделировании процесса распространения излучения в веществе. При этом переход от математической модели к задачам томографии осуществляется естественным образом, так как искомые характеристики входят в уравнение переноса в виде коэффициентов, имеющих очевидный физический смысл.

В связи с этим, представляет интерес исследование качественных свойств решений краевых задач для уравнения переноса излучения с целью поиска новых математических эффектов, с последующим переходом к задачам томо-

графии. Кроме того, актуальной остается проблема проверки работоспособности ранее разработанных алгоритмов, при условии учета в модели новых физических эффектов. Этому и посвящена данная работа.

В диссертации рассматриваются краевые задачи для уравнения переноса излучения при различных значениях энергии распространяющегося излучения. При этом, основное внимание уделяется наименее изученным вариантам уравнения переноса излучения.

В первую очередь - это краевая задача для моноэнергетического уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения на границах раздела материалов, которые моделируют преломление и отражение (А Ishimaru, B.C. Потапов, И.В. Прохоров). Интерес к изучению данной модели связан не только с рассматривавшимися ранее задачами атмосферной оптики (Г.И. Марчук, Г.А. Михайлов, М.А. Назарлиев, P.A. Дробинян) и фотометрии (JI.A. Апресян, Ю.А. Кравцов), но также, обусловлен бурным развитием методов исследования биологических тканей (F. Duck, B.B. Тучин). В последнее время интерес к уравнению переноса также возрос в связи с разработкой более совершенных алгоритмов визуализации трехмерных объектов (J. Arvo, Н. Wann Jensen).

Во вторую очередь — это полихроматическое уравнение переноса, описывающее процесс распространения фотонов в области сильного комптоновско-го рассеяния. Не смотря на то, что Комптон-эффект известен достаточно давно, существует довольно мало теоретических работ посвященных свойствам решения уравнения переноса с учетом данного эффекта. Из существующих работ выделим работы Д.С. Аниконова и Д.С. Коноваловой.

Цель работы. Теоретическое и численное исследование краевых задач для уравнения переноса излучения с целью поиска новых математических эффектов, с последующим переходом к задачам томографии.

В рамках поставленной цели рассматривались следующие задачи:

1) Теоретическое и численное исследование краевых задач для уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения на границах разрыва коэффициентов, применительно к моделированию распространения излучения видимого диапазона в рассеивающих средах, а также к задачам оптической томографии и визуализации трехмерных объектов.

2) Численная проверка работоспособности метода, основанного на вычис-

лении интегро-дифференциального индикатора неоднородности для решения задачи определения поверхностей разрыва коэффициентов полихроматического уравнения переноса излучения, моделирующего распространение фотонов в случае преобладания в среде комптоновского рассеяния.

Методы исследования. При изучении свойств решения краевых задач для уравнения переноса применяются некоторые разделы теории интеграла Лебега, а также предельные свойства непрерывных и ограниченных функций. При построении алгоритмов решения краевых задач применяются некоторые разделы теории методов Монте-Карло.

Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем:

1) Доказана разрешимость краевой задачи для уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения на границах раздела материалов в плоскопараллельном случае. Проверено выполнение условий теорем существования и единственности решения для оператора сопряжения, моделирующего преломление и отражение по законам Френеля.

2) Получено представление для производной по угловой переменной от решения уравнения переноса излучения с условиями сопряжения моделирующими преломление и отражение по законам Френеля. Показано, что производная от решения по угловой переменной может иметь особенности при приближении аргумента к косинусу угла полного внутреннего отражения.

3) Предложен метод нахождения показателей преломления компонент многослойной системы по известному потоку выходящего из среды излучения.

4) Разработаны и реализованы в виде компьютерных программ алгоритмы решения прямой задачи для уравнения переноса в плоскопараллельном и трехмерном случаях, когда оператор сопряжения определяется формулами Френеля.

Теоретическая и практическая ценность работы. Теоретическое значение полученных результатов заключается в исследовании разрешимости новых краевых задач для уравнения переноса излучения, и изучении качественных свойств их решений.

Практическая ценность работы заключается в исследовании математических моделей оптической и рентгеновской томографии. Предложенные в диссертации вычислительные алгоритмы и их реализация в виде компьютерных программ допускают практическое применение результатов в медицине и тех-

нике.

Созданная база данных пар веществ, плоховидимых при их рентгенодиагностике может быть использована специалистами в теории переноса излучения и рентгеновской томографии при интерпретации результатов, полученных экспериментальным путем.

Достоверность полученных результатов обеспечивается классическими подходами теории переноса излучения и сторогими математическими доказательствами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Научной конференции студентов и аспирантов ДВГУ ( Владивосток, 2001) Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Болотова (Владивосток, 2000—2004, 2006 ; Хабаровск, 2005) и Дальневосточных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2002-2004).

Диссертация докладывалась автором на расширенном семинаре Лаборатории управления надежностью сложных систем ИАПУ ДВО РАН и общеинститутском семинаре ИПМ ДВО РАН.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 18 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа изложена на 144 страницах машинописного текста, содержит 21 рисунок и 9 таблиц. Список литературы включает 105 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается предмет исследования диссертации, дается обоснование его актуальности, ставятся основные цели и пути их достижения. Дается краткое содержание разделов диссертации и обзор работ по теме диссертации.

Первая глава посвящена исследованию свойств краевой задачи для стационарного моноэнергетического уравнения переноса в слоистой среде име-

ющей плоскопараллельное строение

vf'z(z,i/)+ß{z)f(z,i/) = 1

= p.{z) Jg{z, и, u')f(z, v')dv' + J{z, v), (2, u) £ G x (-1,1). (1) -l

Здесь f(z, v) — плотность потока излучения в точке z, в направлении составляющем с положительным направлением оси г угол, косинус которого равен и, далее величину и, также будем называть направлением; ß(z)— коэффициент полного взаимодействия; ц3(г) — коэффициент рассеяния; g(z, и, и1) — фазовая функция рассеяния, характеризующая вероятность того, что в точке z фотон, летящий в направлении // сменит его на v\ J(z, v) - плотность внутренних источников излучения.

Предполагается, что плоскости z = являются границами раздела слоев G, = (2,-1,2,), (г, < г = 0,-,р — 1) многослойной системы Go —

v

U Gi, (Gj П Gj, i ф j). Множество Go представляет собой разбиение сре-t=i _ _

ды G = (zo, zp), (Go = G), в которой изучается процесс распространения излучения.

Рассмотрим следующие множества

р-1

Гы = (>. х {[-1-0) и (°>Ш = {{^о х [=F1,0)> U {zp х (±1,0]}}, «=i

r± = r,ntui^t, г = г+иг-

На граничных плоскостях ставятся условия сопряжения имеющие вид

f\v-M = (Bf\T+){z,u) + h(z,u\ (2,1/) еГ", (2)

где

Л (г,Л i/(z±0^)' "<0. f(z± 0,i/)= limf(z± е,и),

е->0,е>0

В - некоторый оператор сопряжения, позволяющий моделировать преломление, отражение и другие эффекты, связанные с переходом потока излучения через границу раздела материалов. Функцию h можно интерпретировать как плотность поверхностных источников излучения.

Считается, что на внешней границе области эффектами преломления и отражения можно пренебречь, так что (Bf\r+)(z,v) = 0 при (z, v) е r~lt. В результате на внешней границе области условия (2) примут вид

f\T-{z,v) = h(z,v), (z, v) € Г~ t. (3)

Таким образом, можно считать, что внешняя граница области является фиктивной границей раздела сред, служащей только для задания плотности потока входящего излучения.

Стоит отметить, что хотя плоско-параллельный случай и считается упрощенной моделью переноса излучения, его рассмотрение представляет большой интерес так как, с одной стороны, он очень широко используется на практике, с другой стороны, плоско-параллельная симметрия — это пример неограниченной п трехмерном пространстве области. Неограниченность области вносит ряд отличий от случая трехмерной ограниченной области, который изучался в работах И.В. Прохорова. В частности, удается показать единственность решения краевой задачи для более широкого широкого класса операторов сопряжения В.

В первом параграфе приводятся основные предположения и ограничения, наиболее существенные из которых следующие. Считается, что функции ¡i,Hsi9 неотрицательны и ¡j,,fj,g € ¿oc(C)> /л > > 0, /л = const, J Е Loo(G х (—1,1)). Относительно функции д предполагается, что д измерима и ограничена на G х (—1,1) х (—1,1), и при почти всех (z, и) Е G х (—1,1) выполняется условие нормировки

i

J g(z,v,v')du'= 1. -i

Функция h е Loo (Г-). Относительно оператора сопряжения на границах раздела сред будем полагать, что В : ¿00(Г+) —» Ьоо(Г~) — линейный, ограниченный и неотрицательный.

Далее, вводится класс D, в котором ищется решение задачи. К классу D относятся функции f(z, v), которые обладают следующими свойствами:

1) /(г, v)— абсолютно непрерывна по z € (zt, 2/t+1], при почти всех v > 0 и абсолютно непрерывна по г € [г*;, Zk+1), при почти всех v < 0, к = 0,р — 1;

2) при почти всех (z, и) G Gx (—1,1) существует величина If = vf'z+(if е Loo(G х (—1,1));

з) /|г- € Loo(T").

Показывается, что линейное множество D с нормой

||д = max < ||/|г-|к»(г-).

будет банаховым пространством.

Во втором параграфе приводится постановка прямой задачи, заключающейся в нахождении неизвестной функции /, когда заданы. Изучается ее разрешимость. Основным результатом параграфа является следующее утверждение.

Теорема. Пусть выполняются условия А = И/^/^И^с) < 11-^11 ^ 1, В1 = 1, Н = 0 на Г,„{ и Вф„ —► Вф почти всюду на Г~, если фп —> ф почти всюду на Г+, тогда существует единственное решение краевой задачи (1)-(3) и при почти всех (г, и) € (7 х (—1,1) для него справедлива оценка

\f(z,v)\ < —=max^ Ц/ilU^r-),

Параграф 3 посвящен исследованию непрерывности решения краевой задачи (1)-(3). Предполагается, что выполняются следующие условия на коэффициенты уравнения переноса: Пусть функции ц, fis,g, J,h неотрицательны и fi,fj,s 6 Cb(Go), ц > р > О, J € Cb(Go х [—1,1]), h 6 С(,(Г~). Относительно функции g будем предполагать, что g G Cb(Go х [—1,1]\{0} х [—1,1]\{0}) и для любых (z, и) 6 G х [— 1,1] выполняется условие нормировки

1

J g(z,u,u')du' = l. -1

Относительно оператора сопряжения будем полагать, что В : С(,(Г+) —> С(|(Г_)—линейный, ограниченный, неотрицательный и ||В|| < 1. Здесь Cb(Q) - пространство функций ограниченных и непрерывных на Q с нормой ||/||cb(Q) —

sup|/(x)|.

x€Q

Основным результатом параграфа является следующее утверждение. Теорема. Пусть выполняются условия

||В||<1, Л = ||^||С4(Со)<1,

тогда существует единственное решение задачи (1),(3) в классе DC.

К классу DC относятся функции f(z,u), обладающие следующими свойствами:

1) f(z,u)— абсолютно непрерывна по г £ (zt, zl+i], при всех и > 0 и абсолютно непрерывна по 2 € [г,, Zj+i), при всех v < О, г = 0,р — 1;

2) (*/)(*, и) = vf'x{z, и) + n(z)f(z, и) е Сь(С0 х (-1,1)\{0});

3) Лг-Меа(г-).

В §4 рассматривается пример условий сопряжения, позволяющих моделировать эффекты преломления и отражения по законам Френеля. Обозначим через k(z) показатель преломления среды в точке z. Будем считать, что функция к кусочно-постоянная, так что

р

Нг) = ^Х.(г)*.-

t=i

Здесь Xi(z) ~ сУть характеристическая функция интервала (z,_i,z,), к, = const > 0. Определим величины кг(и),тр,(и), i = 1 ,...,р— 1 с помощью следующих соотношений:

\ к{/кг+1, -1 < i/ < 0;

, } = ( signal1 - k?(v)(l - t,2) > 0; \о, l-k?(v)(l-is2)<0.

Введем в рассмотрение оператор сопряжения, действующий по правилу:

(Bf\r+){zt,v) = R(zu i/)f\r+(zt, vB)+T(zl, i/)/|r+(z,, vt), i = l,...,p-l, (4)

(Bf\T+)(zuu)=0, i = 0, i = p. (5)

Здесь

vR = -v, uT - Ur{zt, V) = Фг("), г = 1, ...,p - 1

— направления распространения излучения падающего на поверхность z = zt, ив результате зеркального отражения и преломления по закону Снели-уса изменившее его на и. Коэффициенты R и Т называются, соответственно, коэффициентом отражения и прохождения. Они характеризуют свойства

границы отражать и пропускать излучение и определяются следующими формулами

и) = + Д1), Т(г„ и) = |(2| + (6)

1/+ к^ф^и) кг(1>)и + гр^и)

= „ , Т±(^) = ■ (8)

к,(и)ф,(у) + г/ ^,(1/) + к,(1>)и

Далее, показывается, что оператор сопряжения определяемый формулами (4),(5) удовлетворяет ограничениям теорем о разрешимости прямой задачи.

Пятый параграф посвящен описанию численного метода решения прямой задачи, в случае, когда оператор сопряжения моделирует преломление и отражение по законам Френеля. При этом используется одна из модификаций метода Монте-Карло, называемая методом сопряженных блужданий с использованием ветвления траекторий.

Вторая глава посвящена рассмотрению следующей обратной задачи:

Пусть оператор сопряжения определяется формулами (4), (5). Из уравнения (1) и условий (2),(3) определить относительные показатели преломления кг веществ, входящих в состав многокомпонентной среды <7, если известна плотность потока выходящего из среды излучения Н{г, и) =

/1гФ,1/), Ме г+(.

Суть задачи заключается в нахождении относительных показателей преломления веществ, входящих в многослойную систему, по известному потоку выходящего из среды излучения. Данная глава содержит четыре параграфа.

В первом параграфе приводится общая постановка задачи и обсуждается ее физический смысл.

Второй параграф посвящен рассмотрению некоторых свойств решения прямой задачи в плоском слое, в случае, когда оператор сопряжения моделирует преломление и отражение по законам Френеля. Выводятся представления для производной решения по угловой переменной. Показывается, что производная решения по угловой переменной может иметь особенности при приближении угловой переменной и к косинусам углов полного внутреннего отражения на какой либо из границ. Важным является то обстоятельств,

что наличие дополнительных особенностей у уравнения переноса излучения, вносимых условиями преломления и отражения Френеля — это новый математический эффект, и его исследование приводит к появлению неизвестных ранее результатов.

В § 3 изучается частный случай задачи определения показателей преломления. Предполагается, что процесс распространения излучения рассматривается в трехслойной системе, причем известен абсолютный показатель преломления первого слоя Задача состоит в том, чтобы определить абсолютные показатели преломления второго и третьего слоев. При этом, известным считается лишь часть выходящего из среды излучения, а именно — отраженный поток /|г+(^о,V < 0. Для решения задачи вводится специальная функция, вид

хо(к)

Ш(к) =

к > к\,

(9)

где

щ(к)

а(к, и) =

(10)

I 0, г/ > щ{к).

Показывается, что функция 1пй{к) неограниченно возрастает с приближением аргумента к к коэффициентам и кз и конечна для всех остальных значений к.

Четвертый параграф содержит результаты численных экспериментов по решению задачи определения показателей преломления. Алгоритм тестируется на модельной системе, коэффициенты, которой, соответствуют реальным веществам. В качестве облучаемого материала использовался поверхностный слой человеческой кожи толщиной 300 мкм (он включает в себя роговой слой кожи, эпидермис и верхний слой дермы). На численных примерах показывается, как меняется качество восстановления показателя преломления в зависимости от точности измерений выходящего излучения.

В третьей главе диссертации изучается задача для уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения на поверхностях разрыва

коэффициентов в ограниченной области G трехмерного Евклидовою пространства Еа. Уравнение переноса излучения в этом случае имеет вид

ш ■ Vr/(r, oj) + fi(r)f(r, oj) =

= мЛг) J g(r,u}-ui')f(r,J)dJ + J(r,u), MeGxil. (12) n

Здесь функция f(r,u>) имеет смысл плотности потока излучения в точке г G G и направлении ш 6 П = {uj € Е3 : = 1}. Величины ^i,fis,g,J описывают среду G и называются, соответственно, коэффициентом полного взаимодействия, коэффициентом рассеяния, фазовой функцией рассеяния и плотностью внутренних источников.

Будем считать, что G допускает следующее представление

р

G = \jG„ Р<00< (13)

»=1

где G, — открытые области, такие, что G; П G3 — 0, при г ф j. Области G, будем интерпретировать как неоднородности, входящие в состав многокомпонентной среды G, считая что г—ая компонента области G заполнена

v

веществом с номером "г". Пусть dG = |J dGt. Будем называть множество _ _ 1=1 _

dG(dG С dG) внешней границей множества G, а 7 = dG\dG — внутренней границей.

Относительно границ областей dG, будем предполагать, что они кусочно - гладкие из класса С1. В силу предполагаемой гладкости границ, при почти всех z S dG,, существует вектор нормали n(z).

Для определенности, будем считать, что в точке 2 G dG, С dG, нормаль выбирается внешней к dG,. Если же 2 является точкой контакта двух смежных областей G, и Gj, 1 < i < j < р, на участках гладкости dG, и dG3, то n(z) выбирается внешней к поверхности с большим индексом, то есть к dG3. Введем в рассмотрение множества

Г± = (7 х fi) U (dG x{w£il, sign(n(2) • и) = ±1}). (14)

На границах раздела материалов ставятся условия сопряжения вида

f\r-{zfu) = (Bf\j^)M + h{z,u), (г,ш) е Г", (15)

где

f\r±(z,oj) = f(zTOu,u), (z,u)e Г±, f(z Т Ош, ш) = lim /(zT eu, u).

v ' E—»0,£>0 '

Символом В обозначен некоторый оператор сопряжения, позволяющий моделировать эффекты возникающие при переходе потока излучения через границу раздела материалов. Функцию h можно интерпретировать, как плотность поверхностных источников излучения.

В §1 приводятся некоторые известные факты о решении краевой задачи (12),(15). Также, приводится пример неединственности решения задачи.

В §2 рассматривается пример условий сопряжения, позволяющих моделировать эффекты преломления и отражения по законам Френеля. Данный оператор имеет вид

(Bf\r+)(z,w) = R(z,v)f\r+(z,u;R)+

+ T(z,v)f\r+(z,uT), (z,u) € Г~ П (7 x £2), (16)

(Bf\r+)(z,w) — 0, (z,u) er-n(ÖGxii), (17)

где

ujr = w — 2 un, (18)

u>т = i>{v)n + k{v)(u>-vn), (19)

Здесь n = n(z) - единичный вектор нормали в точке z, величина v = w • п. Коэффициенты R(z, v),T(z, и) имеют вид аналогичный (6).

Третий параграф посвящен описанию численного метода решения прямой задачи. Приведенный метод является некоторой модификацией метода Монте-Карло, называемого методом сопряженных блужданий.

Изучение рассматриваемого метода продолжается далее в §4, где приводится одно из приложений краевой задачи. Этот параграф посвящен визуализации трехмерных объектов методами теории переноса излучения. Сама задача при этом состоит в следующем: зафиксируем некоторое направление 6 & и пусть П некоторая плоскость, такая что Пс = П П G ф 0. Задачу нахождения /(г, а;о) для всех г 6 Пс из уравнения (12) и условий (15), при известных ц, fis, g, J, h, к назовем задачей визуализации.

Рассматриваемый подход отличается от большинства работ по визуализации трехмерных объектов тем, что позволяет, естественным образом, учитывать, как эффекты преломления-отражения, так и эффекты многократного рассеяния.

Пятый параграф посвящен рассмотрению задач о маскирующих покрытиях. Суть этих задач состоит в следующем. Пусть среда б содержит некоторое включение Это включение покрывается некоторой пленкой, коэффициент преломления, которой выбирается из условия минимизации влияния включения С\ на выходящее из среды б излучение. Для решения подобных задач используется численный метод. Предлагаемый метод не претендует на оригинальность и вряд ли является экономичным. Основная цель данного параграфа показать принципиальную возможность решения новой оптимизационной задачи.

В четвертой главе диссертации рассматривается уравнение переноса с энергетической зависимостью. Предполагается, что среди видов взаимодействия излучения с веществом преобладает некогерентное Комптоновское рассеяние.

Пусть процесс переноса излучения рассматривается внутри некоторой выпуклой ограниченной области С? в трехмерном евклидовом пространстве Е3. Введем следующие обозначения: г 6 (7 - точка в Е3, со', ш - направление движения фотона до и после рассеяния, о/, и 6 П = {ш в Е3 : = 1}. а', а - энергия фотона до и после рассеяния, а1, а € / = [а,с?]; 0 < а < а < оо. Будем считать, что в процессе взаимодействия излучения с веществом, фотоны могут рассеиваться только по закону Комптона. Это предположение приводит к тому, что при переходе, в результате рассеяния, фотона с характеристиками (а;, а) в фотон с характеристиками (со', а') эти переменные связаны соотношением Комптона:

а' = д(и,и/,а), д(«У,а) = 1+а{(?шШ,_1у (20)

где и> • а/ означает скалярное произведение векторов ииш',а переменная со' принадлежит подмножеству единичной сферы = {ш' : и>' € Г2, ш ■ ш' > 1 — 1/а + 1/а} и верны неравенства: а < д(со, со', а) < а. В качестве математической модели указанного процесса выбирается стационарное уравнение

переноса, имеющее вид

ш • Vr/(r, U>,a) + fi(r, a)f(r, ш, а) =

= j к{г,ш,и',а)/{г,ч>',д(ш,ш',а))(Ь>' + J(r,w,a), (21)

Здесь f(r,w,a) — плотность излучения в точке г 6 G, распространяющегося в направлении ш € П и имеющего энергию а £ /х(г, а) — коэффициент полного взаимодействия излучения со средой в точке г при энергии а; к(г,и>,и!',а) — индикатриса рассеяния; J(r,u>, а) — плотность внутренних источников излучения.

Введем, также, ряд дополнительных обозначений, которые потребуются нам в дальнейшем при формулировке рассматриваемых задач. Обозначим через Lr,w = {г + wt,t > 0} луч, исходящий из точки г в направлении ш, d(r,u) = mesi{Lr,u П G}— расстояние от точки г до границы области G в направлении и>. Здесь символом mesi обозначена мера Лебега на прямой. Введем в рассмотрение множества = {г £ 8G : П G Ф 0}. В точках множества Г~ (Г+) излучение в направлении и входит в G (выходит из G). Обозначим через

Г± = {(г,ы,а) G dGxQxI: г € I*}. Добавим к уравнению (21) следующее граничное условие

f(t,LJ,a) = h(t,u,a), (е,ца)бГ. (22)

Функция h интерпретируется как плотность потока излучения входящего в G.

В первом параграфе приводятся основные сведения о комптоновском рассеянии и дается обзор физических понятий.

Второй параграф содержит некоторые известные факты об уравнении переноса излучения в случае чисто комптоновского рассеяния. Рассматриваются вопросы существования и единственности решения прямой задачи (21),(22), заключающейся в нахождении неизвестной функции /(г,ш,а), при известных h, ц, к, J.

В третьем параграфе рассматривается метод решения прямой задачи, когда основная зависимость в индикатрисе рассеяния определяет дифференциальным (по угловой переменной) сечением Кляйна-Нишины-Тамма. Проводятся численные эксперименты отражающие специфику комптоновского

рассеяния, а также, приводится некоторое обоснование того, что в рассматриваемой задаче учитывается только комптоновское рассеяние.

Четвертый параграф посвящен вопросу применимости индикатора неоднородности, который был введен в работах Д.С. Аниконова, в задаче нахождения внутренний структуры неизвестной среды, для случая компто-новского рассеяния. Индикатор неоднородности представляет собой интегро-дифференциальный оператор, который переводит функцию заданную на множестве Г+ в функцию определенную на множестве С. Итоговая функция, при этом, имеет особенности при приближении переменной г к поверхностям разрыва коэффициентов уравнения переноса. Данные поверхности трактуются как границы раздела материалов входящих в состав многокомпонентной среды С7. Строгого обоснования применимости индикатора в случае присутствия в среде комптоновского рассеяния пока что нет. Теоретическое обоснование проведено лишь для моноэнергетического уравнения переноса. Численно проверяется следующая гипотеза.

Гипотеза. Индикатор неоднородности может быть использован при нахождении внутренней структуры неоднородной среды для достаточно широкого диапазона энергий, включающего в себя область сильного комптоновского рассеяния.

Для проверки этого предположения проведен ряд численных экспериментов. Некоторые из полученных при этом результатов приводятся в диссертации в графической форме. Результаты соответствующих численных расчетов являются обнадеживающими и указывают на целесообразность дальнейших теоретических исследований в этом направлении.

При тестировании индикатора неоднородности, рассматривается условие "плохой видимости", заключающееся в совпадении двойственных коэффициентов поглощения на границе контакта соседних материалов. Данное условие является прямым обобщением условия введенного в работах Д.С.Аниконова. Изучается влияние условия "плохой видимости" на качество реконструкции внутренний структуры неизвестной среды.

В пятом параграфе продолжается исследование условия "плохой видимости". Показывается, что значения двойственного коэффициента поглощения сильно зависят не только от материалов среды, но и от распределения внешних источников излучения. В то же время, хотелось бы иметь условие, ко-

торое в меньшей степени зависело бы от источника, и давало некоторую информацию о различимости границы контакта основываясь лишь на характеристиках облучаемых материалов. В качестве такой характеристики предлагается использовать коэффициент поглощения и аппроксимировать условие "плохой видимости", заключающееся в совпадении двойственных коэффициентов поглощения на границе контакта соседних материалов, условием совпадения коэффициентов поглощения. С этой целью производится сравнение указанных величин, для выяснения на сколько такая аппроксимация обоснована. Результатом параграфа является вывод о том, что для диапазона энергий от 1 кэВ до 50 кэВ такая аппроксимация дает хорошие результаты. Подробно разбирается структура двойственного коэффициента поглощения, в случае преобладания в среде трех основных эффектов — фотоэлектрического поглощения, Рэлеевского рассеяния и Комптон-эффекта. Данный вопрос изучался Д.С. Коноваловой, В.Г. Назаровым в случае, когда электроны в среде считались свободными. Однако, в реальных веществах данное условие, как правило, не выполняется из-за связи электронов в атомах. В диссертации, влияние связи электронов в атоме вещества учитывается при помощи введения специальной поправочной функции — S(x,Z), называемой функцией некогерентного рассеяния . Физический смысл функции S(x, Z) можно объяснить следующим образом: она описывает количество электронов в атоме, которые могут рассматриваться, как свободные, при заданной энергии и рассеянии на заданный угол. Полученные результаты сравниваются с результатами, полученными ранее.

Шестой параграф посвящен описанию базы данных пар веществ, плохо-видимых при их рентгенодиагностике. Математическая идея создания базы данных основывается на результатах предыдущего параграфа. База данных содержит информацию об уровнях энергии, на которых различимость границы контакта, для двух заданных веществ, будет проблематичной. Основной целевой аудиторией базы данных являются специалисты в области теории переноса излучения и рентгеновской томографии. Отличием настоящей базы данных от ранее созданных является то, что приведенная здесь информация касается в первую очередь не столько отдельно взятых веществ самих по себе, сколько пар веществ, находящихся в непосредственном контакте. Подобная постановка вопроса вызвана проблемой определения внутренней

структуры неоднородных сред методами рентгеновской томографии. В промышленности эта проблема связана с необходимостью проведения неразру-шающего контроля качества ответственных узлов и агрегатов машин, в медицине - с изучением пораженных органов и тканей. База данных содержит данные о плоховидимых парах для 100 химических элементов и 219 сложных веществ, представляющих интерес в рентгенодиагностике. База данных ориентирована на использование в сети Интернет и доступна по адресу http: //sxray.iam.dvo.ru/.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Исследована разрешимость краевой задачи для уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения на границах раздела материалов в плоскопараллельном случае. Проверено выполнение условий теорем существования и единственности решения для оператора сопряжения, моделирующего преломление и отражение по законам Френеля.

2. Предложен метод нахождения показателей преломления компонент многослойной системы по известному потоку выходящего из среды излучения.

3. Разработан алгоритм решения прямой задачи для уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения в трехмерном случае. С помощью этого алгоритма решена экстремальная задача.

4. Численно подтверждена гипотеза о работоспособности метода определения поверхностей разрыва коэффициентов переноса излучения, основанного на индикаторе неоднородности в области сильного Комптоновского рассеяния.

5. Создана база данных пар веществ, плоховидимых при их рентгенодиагностике.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Прохоров И.В., Яровенко И.П. О комптоновском рассеянии в теории переноса. // ДВ мат. школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Россия, Владивосток, 2000. С. 94-95.

2. Яровенко И.П. Уравнение переноса с сечением Клайна-Нишины в интеграле столкновений. // ДВ мат. школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Россия, Владивосток, 2001. С. 73-74.

3. Яровенко И.П. О разрешимости краевой задачи для уравнения переноса гамма-квантов // Материалы научной конференции студентов и аспирантов ДВГУ. Россия, Владивосток 2001. С. 100-102

4. Яровенко И.П. Уравнение переноса в слоистой среде с обобщенными условиями сопряжения на границах раздела материалов. // ДВ мат. школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Россия, Владивосток, 2002. С. 67-68.

5. Яровенко И.П. О моделировании распространения электромагнитного излучения в слоистой среде. // 6-я дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию. Тезисы докладов. Россия, Владивосток, 2002 С. 51-53.

6. Прохоров И.В., Яровенко И.П. Краевая задача теории переноса в многослойной среде с обобщенными условиями сопряжения. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 6. № 1. С. 93-107.

7. Яровенко И.П. О непрерывности решения уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения в плоском слое. // ДВ мат. школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Россия, Владивосток, 2003. С. 103-105.

8. Яровенко И.П. Метод Монте-Карло для уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения. // 7-я дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию. Тезисы докладов. Россия, Владивосток, 2003. С. 34-35.

9. Яровенко И.П. Экстремальная задача для уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения в центрально-симметричной области. // ДВ мат. школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Россия, Владивосток, 2004. С. 93-94.

10. Яровенко И.П. Численные эксперименты в теории переноса гамма-квантов // 8-я дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию. Тезисы докладов. Россия, Владивосток, 22-24 ноября 2004. С. 25-26.

11. Яровенко И.П. Создание базы данных пар веществ трудно различимых в рентгеновской томографии // ДВ мат. школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Россия, Хабаровск 2005г. С. 126-127.

12. Красникова Т.В., Яровенко И.П. Непрерывные свойства решения уравнения переноса излучения в слоистой среде // ДВ мат. школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Россия, Хабаровск 2005г. С. 87-88.

13. Prokhorov I.V., Krashikova T.V., Yarovenko I.P. An extremum problem for the radiation transfer equation. // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2005. Vol. 13. № 4. pp. 365-382.

14. Назаров В.Г., Солнышко Н.В., Яровенко И.П. Численные эксперименты в теории переноса излучения с учетом комптоновского рассеяния.// Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. Т. 8. № 2 (22) С. 135-143.

15. Прохоров И.В, Яровенко И.П. Численное решение дифракционных задач для уравнения переноса излучения // Сиб. электронные мат. известия.

2005. Т. 2. С. 88-101.

16. Яровенко И. П. Численное решение краевых задач для уравнения переноса излучения в оптическом диапазоне. // Вычислительные методы и программирование. 2006. Т. 7. С. 93-104.

17. Яровенко И.П. Задача оптической диагностики в слоистой среде. // ДВ мат. школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Россия, Владивосток 2006г. С. 105-106.

18. Прохоров И.В, Яровенко И.П. Исследование задач оптической томографии методами теории переноса излучения. // Оптика и спектроскопия,

2006, Т. 101, № 5, С. 817-824.

Личный вклад автора. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В работах, выполненных в соавторстве, автору принадлежат следующие результаты: в работе [6] получена основная оценка обеспечивающая единственность решения краевой

задачи и проверено выполнение условий теорем существования и единственности решения для оператора сопряжения, моделирующего преломление и отражение по законам Френеля. В работах [12,13] исследована разрешимость прямой задачи для уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения в классе кусочно-непрерывных функция. В работе [14] разработан метод решения прямой задачи для уравнения переноса излучения с учетом ком-птоновского рассеяния и проведены численные эксперименты, в работе [15] разработан алгоритм решения прямой задачи для уравнения переноса излучения с учетом преломления и отражения по законам Френеля, проведены численные эксперименты по визуализации трехмерных объектов. В работе [18] автором исследована задача определения показателей преломления по данным о выходящем из среды излучении и проведено тестирование алгоритма на модельных данных.

Яровенко Иван Петрович

Математическое моделирование процесса переноса излучения в широком диапазоне энергий с приложениями к задачам оптической и рентгеновской

томографии

Автореферат

Подписано к печати 09.01.2007 г. Усл. п. л. 1.2. Уч-изд. л. 1.0. Формат 60x84/16. Тираж 100. Заказ 1.

Издано ИПМ ДВО РАН. г. Владивосток, Радио 7. Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВО РАН. г. Владивосток, Радио, 5

Введение

Глава 1. Задача дифракции в плоском слое

§1. Основные предположения и обозначения.

§2. Постановка и исследование краевой задачи дифракции.

§3. Непрерывность решения задачи дифракции.

§4. Моделирование преломления и отражения по законам

Френеля в плоском слое.

§5. Метод Монте-Карло решения прямой задачи

Глава 2. Задача определения показателя преломления слоистой среды

§1. Постановка задачи.

§2. Некоторые качественные свойства решения задачи дифракции с Френелевским отражением.

§3. Задача определения показателя преломления но данным оптического просвечивания в трехслойной системе.GO

§4. Численные эксперименты по определению показателя преломления.CG

Глава 3. Задача дифракции в ограниченной области

§1. Прямая задача дифракции.

§2. Условия сопряжения Френеля в Е3.

§3. Метод Монте-Карло решения прямой задачи дифракции.

§4. Визуализация трехмерных объектов.

§5. Задача оптимизации для уравнения переноса.

Просветляющие покрытия и маскирующие среды.

Глава 4. Численное моделирование распространения излучения с учетом комптоновского рассеяния

§1. Обзор физических понятий.

§2. Прямая задача для уравнения переноса с чисто комптоновским рассеянием.

§3. Метод Монте-Карло решения прямой задачи.

§4. Индикатор неоднородности и мера видимости в диапазоне комптоновского рассеяния. Невидимые и плоховидимые среды.

§5. Аппроксимация условия плохой видимости для низких энергий.

§6. База данных пар веществ плоховидимых при их рентгенодиагностике

Публикации автора по теме диссертации.

Рассмотрим процесс распространения излучения в некоторой области С в трехмерном евклидовом пространстве Е3, заполненной сплошной средой. Процесс переноса фотонов в сплошной среде сопровождается рядом физических эффектов, интенсивность и относительный вклад, которых в общую картину взаимодействия излучения и вещества зависит, как от энергии излучения, так и от самого вещества. На ранней стадии изучения рентгеновских лучей в качестве источников излучения применяли разрядные трубки с разностью потенциала значительно меньшим 100 кВ. Прохождение мягких рентгеновских лучей, получаемых на этом источнике, через вещество определялось главным образом процессами фотоэлектрического поглощения и достаточно хорошо описывалось простым экспоненциальным законом. При появлении источников с высоким потенциалом и изучении жестких 7-квантов, испускаемых радиоактивными ядрами, выяснилось, что они взаимодействуют с веществом более сложным образом. В настоящее время известно свыше десятка различных типов элементарных процессов взаимодействия 7-квантов с веществом (обзор их можно найти, например, в [68]), но, в основном, при изучении распространения 7-квантов выделяют четыре основных вида взаимодействия фотонов с атомами вещества [68]. Это фотоэлектрическое поглощение, Рэлеевское рассеяние, Комнтон-эффскт и образование электрон-нозитронных пар.

Все указанные выше эффекты достаточно хорошо описываются в рамках теории переноса излучения, изучающей класс уравнений математической физики, называемых уравнениями переноса. Это интегро-дифференциальные уравнения в частных производных, первого порядка, имеющие в стационарном случае вид: u-Vrf(r1u1E)+ti(r,E)f(r,^E) =

Ег J J k(r,u>,u>',E,E')f(r,uj',E')cb'dE' + J(r,u,E). (1)

Ei П

Здесь функция /(г, и, Е) интерпретируется как плотность потока фотонов в точке г = (п,Г2,гз) £ G, летящих в направлении и = (a>i,0*2,^3) £ О, где Q - единичная сфера в трехмерном пространстве, и имеющих энергию Е G \Е\,Е<^. Функция J(r,u,E) описывает плотность внутренних источников излучения, расположенных в области G. Фупкция /t(r, Е) называется коэффициентом полного взаимодействия, а функция k(r,u,u>', Е, Е') индикатрисой рассеяния и, которая определяет вероятность того, что в точке г частица, летящая в направлении и/ и имеющая энергию Е' сменит их, соответственно, на и и Е. Под выражением аVr/(r, w) понимается производная по пространственной переменной г в направлении ы.

Если область G выпуклая и ее граница 8G обладает достаточной гладкостью, к уравнению (1) добавляется граничное условие, задающее входящее в среду излучение и имеющее вид: f(z,u>,E) = h(z,u,E), z € dG, ш eCl, и- n(z) <0, E g[Eu Si}. (2)

Здесь n(z)- единичный вектор внешней нормали к поверхности 8G в точке 2.

Рассмотрим краевую задачу, заключающуюся в нахождении неизвестной функции / из уравнения (1) и граничного условия (2), если функции h,J,j.t,k известны. Такую постановку задачи часто называют прямой задачей теории переноса излучения.

В данной работе мы не будем рассматривать процесс образования электрон-пози-тронных пар и ограничимся диапазоном энергий от 1.5 эВ до 1 МэВ. При энергии близкой к верхней границе указанного диапазона, преобладает некогерентное компто-новское рассеяние. Этот эффект имеет место начиная с энергии 10 кэВ. Он был открыт в 1923 г. опытным путем Комптоном и представляет собой процесс некогерентного (с потерей энергии) рассеяния квантов, на свободном электроне. При этом, разность величин обратно пропорциональных энергиям падающего и рассеяного фотонов зависит только от угла рассеяния 0 и не зависит от свойств рассеивающего вещества и энергии падающего излучения. Эга связь выражается соотношением Комптона, имеющим вид [79]:

Во Е0 , t = — + 1-cos0. (3)

Здесь Е, Е' соответственно энергии до и после рассеяния, Е0 - энергия покоя электрона. Из-за жесткого соотношения Комптона, индикатриса рассеяния в уравнении (1), определяемая сечением Кляйна-Нишииы-Тамма [19], содержит дельта-функцию Дирака. Интересно отметить, что прямая задача для уравнения (1) с сечением Кляйна-Нишины-Тамма была строго исследована лишь недавно [13], основная же масса работ по комптоновскому рассеянию посвящена разработке различных численных алгоритмов [29,40,41]. Необходимо заметить, что закон комптоновского рассеяния получается в случае рассеяния фотона именно на свободном и покоящемся электроне. Если последнее условие не выполняется, то закон комптоновского рассеяния становится сложнее. Наличие связей и первоначального движения электрона приводит к тому, что вероятность рассеяния оказывается меньшей по сравнению с вероятностью определяемой но формуле Кляйна-Нишины-Тамма [19], а жесткое соотношение Комптона между Е, Е' и 0 становится неопределенным [68].

При постепенном уменьшении энергии излучения величина передаваемого электронам импульса падает и рассеяние становится преимущественно упругим. В этом случае псупругос комптоповскос рассеяние маловероятно и вместо соотношения (3) будем иметь

Е' = Е. (4)

В теории переноса под упругим рассеянием чаще всего подразумевается Рэлесвскос рассеяние. Хотя процесс Рэлеевского рассеяния преобладает в области низких энергий, но даже при очень высоких энергиях первичных фотонов существует узкий конус, направленный вперед (и ■ J « 1), внутри которого преобладает когерентное рассеяние. Однако, полное сечение упругого рассеяния, полученное в результате интегрирования но всем направлениям, в большинстве случаев, пренебрежимо мало. Для фотонов низких энергий упругое рассеяние составляет значительную часть рассеяния, но, практически целиком, перекрывается фотоэлектрическим поглощением. Таким образом, Рэлеевское рассеяние существенно среди других процессов взаимодействия лишь на незначительном участке энергий [68].

В силу преобладания при низких энергиях когерентного рассеяния и выполнения условия (4), уравнение (1) и условие (2) могут быть переписаны в виде: u>-VTf{r,u) + Li(r)f(r,u)= jk(r,u-u')f{r,u')(b' + J(r,u), ' (1') n f{r. ~) = h(r,и), redG, и - n <0. (2')

Здесь зависимость от переменной Е € \Е\, £2], играющей роль параметра в (1'),(2'), опущена. Уравнение (1') называется стационарным моноэнергетическим уравнением иереиоса или одиоскоростиым приближением [8,22,25]. Важность изучения моноэнергетического случая вызвана в следствии общепринятой многогрупповой аппроксимации уравнения переноса по энергетической переменной [48].

При дальнейшем уменьшении энергии излучения до диапазона мягкого рентгена или видимого света, наряду с указанными выше эффектами, также, большую роль будут играть эффекты преломления и отражения потока фотонов на границе раздела двух однородных сред. Общепризнанной моделью для описания распространения видимого света является система уравнений Максвелла [21]. В настоящее время имеется огромное количество работ по данной тематике [59,00,82], однако, авторы достаточно часто пренебрегают рассеянием излучения на частицах среды (атомах, молекулах и других микронеодпородиостях). Данное обстоятельство приводит к потере адекватности модели реальному физическому процессу, в особенности при моделировании распространения излучения в сильно рассеивающих (мутных) и случайно неоднородных средах [66,67,85,86]. Введение в рассмотрение рассеяния на частицах в рамках теории Максвелла, как правило, влечет необходимость рассмотрения одного из приближений теории многократного рассеяния [86], что, в свою очередь, приводит к достаточно громоздкой (чрезмерно детализированной) модели и существенно усложняет ее исследование.

Альтернативой данному подход)' является модель основанная на кинетическом уравнении переноса излучения, которая, также, достаточно известна и широко применяется при моделировании рассматриваемого процесса [49,53,56,57,66,67,69]. Теория переноса рассматривает процесс распространения излучения, как движение через среду фотонов. При этом, волновые эффекты преломления и отражения на границах раздела однородных компонент среды учитываются при помощи специальных условий сопряжения. Такой подход имеет достаточно давнюю историю и используется, как отечественными [25,50,53,54,56,57,65], так и зарубежными авторами [77,86,87,95,103,104]. Интерес к изучению данной модели связан не только с рассматривавшимися ранее задачами атмосферной оптики [28,39] и фотометрии [18,31], но, также, обусловлен бурным развитием методов исследования биологических тканей [49,61,67,81,93,95,96,99-102,105]. В последнее время интерес к уравнению переноса возрос в связи с разработкой более совершенных алгоритмов визуализации трехмерных объектов [50,77,87,103,101].

Как уже говорилось, в теории переноса излучения преломление и отражение на границе раздела сред учитывается при помощи специальных условий сопряжения. Пусть z-точка поверхности Г раздела двух неодпородностей, тогда условия сопряжения в точке z для решения уравнения (!'), в достаточно общем случае, могут быть записаны в виде:

Здесь /|г± = ш0,и) предельные значения функции /(r,w) при соответствующем стремлении точки г к z, принадлежащей границе Г. В - некоторый оператор сопряжения, позволяющий моделировать преломление, отражение и другие эффекты, связанные с переходом потока излучения через границу раздела материалов. Функцию h можно интерпретировать как плотность поверхностных источников излучения.

Задачу с условиями сопряжения (5), по смыслу, можно отнести к задачам дифракции, как они понимаются в [34,35]. Отметим, что условия сопряжения (5) не совсем традициоины в теории переноса излучения. В большинстве работ, посвященных исследованию разрешимости краевых задач для уравнения переноса, используются условия непрерывности решения вдоль направления распространения и, имеющие вид:

Прямая задача для уравнения (1') с условиями (5') достаточно хорошо изучена и библиография работ, посвященных этому направлению, весьма обширна [1,8,22-25,36,48, 51,52,62,75]. Особо стоит отметить фундаментальную работу B.C. Владимирова [22], которая сыграла определяющую роль в развитии математической теории уравнения переноса, а так же монографию Т.В. Гермогеновой [25], посвященную локальным свойствам решения уравнения (1'). В случае непрерывности решения уравнения (1') вдоль направления ш многие проблемы, связанные с условиями сопряжения, удается решить с помощью выбора соответствующих классов, в которых ищется решение [8,22,25]. В частности, помимо причин физического характера, это, возможно, одна из причин, по которой термин "задача дифракции" в [22,25] не используется. Справедливости ради отметим, что и в пашем случае указанный термин употребляется сравнительно редко. r-(2,w) = (Bf\r+)(z,u>) + h(z,u), (z,u) е Г.

5)

50

Дело в том, что в оптике понятие "дифракционная задача", зачастую, понимается в некотором, более узком смысле [21], нежели в [35].

Очевидно, что условия (5') являются частным случаем условий (5), поэтому, в дальнейшем, условия (5) будем называть обобщенными, в то время как па условия (5') будем ссылаться как на классические.

Стоит отметить, что среди работ, посвященных вопросам существования и единственности решения краевой задачи с обобщенными условиями сопряжения, довольно мало чисто теоретических. В большинстве случаев исследование разрешимости непосредственно связано с методом решения задачи [50,65,99]. Также, практически не выясненными остаются вопросы гладкости решения. В частности, в трехмерном случае, непрерывность решения не исследована даже в случае, когда оператор сопряжения моделирует классические законы преломления и отражения по законам Френеля. В плоско-параллельном случае, гладкость решения исследовалась в [72,97]. Отметим работу [72], в которой рассмотрены некоторые вопросы поведения производной решения уравнения переноса по угловой переменной. В [72] показано, что введение условий сопряжения, учитывающих преломление и отражения по законам Френеля, приводит к появлению особенности у производной решения по угловой переменной, при приближении к углам полного внутреннего отражения на какой-либо из границ. Причем, значения угловой переменной, при которых возникают эти особенности, могут изменяться при переходе через другие границы, согласно законам отражения и Снеллиуса, что еще более усложняет качественное поведение решения.

Отметим, что в теории переноса, при моделировании преломления и отражения излучения в веществе, кроме подхода, основанного на использовании обобщенных условий сопряжения, также, применяется подход, основанный на введении зависимости направления распространения и от показателя преломления среды. В этом случае, в уравнении переноса появляются дополнительные члены, учитывающие эту зависимость [90]. Такой подход хорошо работает когда показатель преломления внутри области изменяется плавно и абсолютно неприемлем, когда коэффициент преломления изменяется скачкообразно, что бывает на границе раздела двух однородных сред. В последнем случае, подход, основанный на введении обобщенных условий сопряжения, кажется более предпочтительным.

До сих пор мы рассматривали, так называемые, прямые (или краевые) задачи, когда искомой является функция f(r,u,E), а коэффициенты ц, к, J, h предполагаются известными для среды G. Кроме прямых задач для уравнения переноса, также, рассматриваются и обратные задачи, состоящие в нахождении коэффициентов уравнения переноса или некоторой информации об этих коэффициентах, используя, какие-либо, дополнительные условия о решении уравнения переноса.

Впервые обратные задачи для уравнения переноса были поставлены Г.И.Марчуком [37,38], в связи с использованием информации с метеорологических спутников Земли. Следующие по хронологии работы принадлежат А.И.Прилепко [51] и Д.С.Аиикоиову [3]. В настоящее время обратные задачи теории перепоса являются активно развивающейся областью науки в нашей стране и за рубежом. Среди работ, посвященных обратным задачам для уравнения переноса отметим работы [3-11,14,17,28,31,37,38,42-44, 51,58,72-76,88,89,97,98].

Несмотря на обширный список трудов, пересечения авторов незначительны. Объясняется это, в частности, разнообразием типов уравнения переноса: стационарные и нестационарные, односкоростные и многоскоростные. Имеются, также, некоторые упрощенные виды уравнений. Это плоско-параллельный, сферически-симметричный и цилиндрический случаи уравнения переноса. Причем, различные типы уравнений значительно отличаются друг от друга, что приводит к использованию различных методов исследования. Кроме разнообразия видов уравнений переноса, добавляется разнообразие краевых условий и постановок обратных задач.

Из обратных задач для уравнения переноса выделим задачу о нахождении поверхностей разрыва коэффициентов уравнения переноса по известной информации о выходящем из среды излучении. В этом случае, к уравнению переноса добавляется условие вида: f(z, и, Е) = H(z, л, Е), zedG, и • n(z) > 0, Е£\ЕиЕ2).

Задачи такого типа достаточно хорошо изучены в работах [6,8,10,73,75,76]. Так в работе [73] предлагается метод нахождения границ неоднородностей, основанный на вычислении специальной функции — индикатора неоднородности. Особенностью ипдикатора является то, что для его работы требуется значительно меньше данных, чем скажем в задачах определения коэффициента полного взаимодействия [7,8]. Но, в то же время, для вычисления индикатора неоднородности требуется знать выходящее излучение на всей границе среды G во всех направлениях и, что существенно ограничивает практическую применимость данного метода.

Далее, метод, основанный на вычислении индикатора неоднородности, развивается в работе [10]. Здесь строится индикатор, позволяющий определять структуру некоторого сечения б?п, области G плоскостью П, причем, предполагается, что выходящее излучение известно лишь в точках пересечения границы области 8G и плоскости П в направлениях и лежащих в плоскости П (задача с неполными данными). Стоит отметить, что строгое обоснование применения ипдикатора неоднородности проведено для моноэнергетического уравнения переноса (1'), однако, анализ доказательства показал, что свойства индикатора неоднородности обусловлены, главным образом, геометрическими причинами, и, по всей видимости, метод будет работать и для уравнения (1) с энергетической зависимостью, в частности, когда в среде преобладает комптоновское рассеяние. Приведенные в диссертации результаты численных экспериментов в данном направлении дают положительный ответ на этот вопрос.

Особый интерес представляет постановка обратных задач для уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения, моделирующими преломление и отражение. Данное обстоятельство связано с возросшим в последние годы интересом к методам оптической томографии. В последнее время появилось большое количество оригинальных работ [49,61,93,99,100]. а также обзоров [66,67,101,102,105] в области исследования возможности томографических подходов к восстановлению внутренней структуры оптически плотных и силыюрассеивающих (мутных) сред. При этом, под внутренней структурой обычно понимается пространственное распределение макроскопических характеристик среды, таких как, показатель преломления, коэффициенты полного взаимодействия и рассеяния излучения и т.д. Такой интерес обусловлен как практической значимостью оптической томографии силыюрассеивающих сред, так и научной сложностью самой задачи, поскольку хорошо разработанный математический аппарат традиционной вычислительной томографии, опирающийся на преобразование Радона, в случае рассеивающих сред не работает [8,47,66,89]. Поэтому, при разработке томографических подходов приходится начинать с описания прохождения излучения через мутные среды.

Учет в модели, основанной на уравнении переноса излучения, эффектов преломления и отражения, с помощью условий сопряжения, с одной стороны, усложняет исследование прямых задач, с другой стороны, приводит к появлению новых математических эффектов, которые могут использоваться для решения обратных задач. В частности, на одном из таких эффектов основан, рассматриваемый в диссертации, метод определения неизвестных показателей преломления по данным о выходящем из облучаемой среды излучении. Задачи такого типа, как правило, являются некорректно-поставленными [33] и достаточно сложными в плане исследования. Однако, они достаточно актуальны [67,81]. В частности, измерение показателей преломления биотканей и отдельных ее компонентов является одной из актуальных задач оптики биотканей [81]. В основу метода положено наличие особенностей у производной решения уравнения переноса по угловой переменной, при приближении к углам полного внутреннего отражения.

Перейдем к обзору основных результатов диссертации. Первая глава посвящена рассмотрению задач дифракции в неоднородной слоистой среде. Основные результаты этой главы опираются на работы [57.72,97]. Стоит отметить, что хотя плоско-параллельный случай и считается упрощенной моделью переноса излучения, его рассмотрение представляет большой интерес гак как, с одной стороны, он очень широко используется на практике, с другой стороны, плоско-параллельная симметрия — это пример неограниченной в трехмерном пространстве области. Неограниченность области вносит ряд отличий от случая трехмерной ограниченной области, который изучался в работах [53-55]. В частности, удается показать единственность решения краевой задачи для более широкого класса операторов сопряжения В.

В §§1,2 главы 1 приводится постановка задачи дифракции и изучается ее разрешимость.

Параграф 3 посвящен исследованию непрерывности решения задачи дифракции. При ограничениях общего характера показана разрешимость задачи дифракции в классе, являющемся подмножеством класса кусочно-непрерывных функций.

В §4 рассматривается пример условий сопряжения, позволяющих моделировать эффекты преломления и отражения по законам Френеля. Показывается, что оператор сопряжения типа Френеля удовлетворяет ограничениям теорем о разрешимости задачи дифракции. Также, рассматриваются некоторые качественные свойства оператора сопряжения.

Пятый параграф посвящен описанию численного метода решения прямой задачи, в случае, когда оператор сопряжения моделирует преломление и отражение по законам Френеля.

Вторая глава посвящена рассмотрению задачи оптической диагностики. Суть задачи заключается в нахождении относительных показателей преломления веществ, входящих в многослойную систему, по известному потоку выходящего из среды излучения. При этом используются особенности у первой производной решения по угловой переменной, при приближении к углам полного внутреннего отражения на какой-либо из границ. Сама по себе идея определения неизвестных параметров облучаемой среды по особенностям у решения или его производных не нова, так, например, в работах [6,8,10,73,75,76] рассматриваются задачи по определению поверхностей разрыва коэффициентов уравнения переноса, трактуемых, как границы раздела неоднородностей, входящих в состав многокомпонентной среды. При этом использовались особенности у градиента решения при приближении переменной и к касательному направлению для искомой поверхности, в результате чего удавалось выделить семейство касательных, а следовательно, определить интересующую поверхность. Аналогично, в работах [8,11], используя в качестве источника излучения разрывную функцию, удавалось восстановить неизвестный коэффициент ослабления в рассеивающей среде. Важным является то обстоятельство, что наличие дополнительных особенностей у решения уравнения переноса излучения, вносимых условиями преломления и отражения Френеля — это новый математический эффект, и его тщательное исследование может привести к появлению неизвестных ранее результатов. Данная глава содержит четыре параграфа.

В первом параграфе приводится общая постановка задачи и обсуждается ее физический смысл.

Второй параграф посвящен рассмотрению некоторых свойств решения задачи дифракции в плоском слое, в случае, когда оператор сопряжения моделирует преломление и отражение по законам Френеля. Выводятся представления для производной решения по угловой переменной. Показывается, что производная решения по угловой переменной может иметь особенности при приближении к углам полного внутреннего отражения.

В § 3 изучается частный случай задачи определения показателей преломления. Предполагается, что процесс распространения излучения рассматривается в трехслойной системе, причем известен абсолютный показатель преломления первого слоя. Задача состоит в том, чтобы определить абсолютные показатели преломления второго и третьего слоев. При этом, известным считается лишь часть выходящего из среды излучения, а именно — отраженный поток. Для решения задачи вводится специальная функция, позволяющая определять искомые показатели преломления. Также, обсуждаются ограничения, предполагаемые при обосновании метода.

Четвертый параграф содержит результаты численных экспериментов по решению задачи определения показателей преломления. Алгоритм тестируется на модельной системе, коэффициенты, которой, соответствуют реальным веществам. В качестве облучаемого материала использовался поверхностный слой человеческой кожи толщиной 300 мкм (он включает в себя роговой слой кожи, эпидермис и верхний слой дермы). На численных примерах показывается, как меняется качество восстановления показателя преломления в зависимости от точности измерений выходящего излучения.

В третьей главе диссертации изучается задача дифракции в ограниченной области трехмерного Евклидового пространства.

В §1 приводятся некоторые известные факты о решении задачи дифракции в ограниченной области [53-55]. Доказательство теоремы о разрешимости приводится полностью. Это делается для понимания метода решения задачи дифракции, который описывается в §3 и опирается на ход доказательства вышеупомянутой теоремы. Также, приводится пример неединственности решения задачи дифракции.

В §2 рассматривается пример условий сопряжения, позволяющих моделировать эффекты преломления и отражения по законам Френеля.

Третий параграф посвящен описанию численного метода решения задачи дифракции. Приведенный метод является некоторой модификацией метода Монте-Карло, называемого методом сопряженных блужданий.

Изучение рассматриваемого метода продолжается далее в §4, где приводится одно из приложений задачи дифракции. Этот параграф посвящен визуализации трехмерных объектов методами теории переноса излучения. Рассматриваемый подход отличается от большинства работ по визуализации трехмерных объектов тем, что позволяет естественным образом учитывать, как эффекты преломления-отражения, так и эффекты многократного рассеяния.

Пятый параграф посвящен рассмотрению задач о маскирующих покрытиях. Суть этих задач состоит в следующем. Пусть среда G содержит некоторое включение G\. Это включение покрывается некоторой пленкой, коэффициент преломления, которой выбирается из условия минимизации влияния включения G\ на выходящее из среды G излучение. Для решения подобных задач используется численный метод. Предлагаемый метод не претендует на оригинальность и вряд ли является экономичным. Основная цель данного параграфа — показать принципиальную возможность решения новой оптимизационной задачи.

В четвертой главе диссертации рассматривается уравнение переноса с энергетической зависимостью. Предполагается, что среди видов взаимодействия излучения с веществом преобладает некогерентное комптоновское рассеяние.

В первом параграфе приводятся основные сведения о комптоновском рассеянии и дается обзор физических понятий.

Второй параграф содержит некоторые известные факты об уравнении переноса излучения в случае чисто комптоновского рассеяния [12,13,15]. Рассматриваются вопросы существования и единственности решения прямой задачи.

В третьем параграфе рассматривается метод решения прямой задачи, когда основная зависимость в индикатрисе рассения определяет дифференциальным (по угловой переменной) сечением Кляйна-Нишины-Тамма. Проводятся численные эксперименты, отражающие специфику комптоновского рассеяния, а также, приводится некоторое обоснование того, что в рассматриваемой задаче учитывается только комптоновское рассеяние.

Параграф посвящен вопросу применимости индикатора неоднородности [73] в задаче нахождения внутренний структуры неизвестной среды, для случая комптоновского рассеяния. Строгого обоснования применимости индикатора для этого случая пока что нет. Теоретическое обоснование проведено лишь для моноэнергетического уравнения переноса. Однако, результаты соответствующих численных расчетов являются обнадеживающими и указывают на целесообразность дальнейших теоретических исследований в этом направлении. Также, рассматривается условие "плохой видимости", заключающееся в совпадении двойственных коэффициентов поглощения на границе контакта соседних материалов. Данное условие является прямым обобщением условия, введенного в [76]. Изучается влияние условия "плохой видимости" на качество реконструкции внутренний структуры неизвестной среды.

В пятом параграфе продолжается исследование условия "плохой видимости". Показывается, что значения двойственного коэффициента поглощения сильно зависят не только от материалов среды, но и от распределения внешних источников излучения. В то же время, хотелось бы иметь условие, которое в меньшей степени зависело бы от источника, и давало некоторую информацию о различимости границы контакта основываясь лишь на характеристиках облучаемых материалов. В качестве такой характеристики предлагается использовать коэффициент поглощения и аппроксимировать условие "плохой видимости", заключающееся в совпадении двойственных коэффициентов поглощения на границе контакта соседних материалов, условием совпадения коэффициентов поглощения. С этой целью производится сравнение указанных величин, для выяснения насколько такая аппроксимация обоснована. Результатом параграфа является вывод о том, что для диапазона энергий от 1 кэВ до 50 кэВ такая аппроксимация дает хорошие результаты. Подробно разбирается структура двойственного коэффициента поглощения, в случае преобладания в среде трех основных эффектов — фотоэлектрического поглощения, Рэлеевского рассеяния и Комптон-эффекта. Данный вопрос изучался в работе [30.76] в случае, когда электроны в среде считались свободными. Однако, в реальных веществах данное условие, как правило, не выполняется из-за связи электронов в атомах. В диссертации, влияние связи электронов в атоме вещества учитывается при помощи введения специальной поправочной функции — S(x, Z), называемой функцией некогерентного рассеяния [84]. Физический смысл функции S(x, Z) можно объяснить следующим образом: она описывает количество электронов в атоме, которые могут рассматриваться, как свободные, при заданной энергии и рассеянии на заданный угол. Полученные результаты сравниваются с приведенными в [76].

Шестой параграф посвящен описанию базы данных пар веществ, плоховидимых при их рентгенодиагностике. Математическая идея создания базы данных основывается на результатах предыдущего параграфа. База данных содержит информацию об уровнях энергии, на которых различимость границы контакта, для двух заданных веществ, будет проблематичной. Основной целевой аудиторией базы данных являются специалисты в области теории переноса излучения и рентгеновской томографии. Отличием настоящей базы данных от рапсе созданных является то, что приведенная здесь информация касается в первую очередь не столько отдельно взятых веществ самих по себе, сколько пар веществ, находящихся в непосредственном контакте. Подобная постановка вопроса вызвана проблемой определения внутренней структуры неоднородных сред методами рентгеновской томографии и маскировки изделий в целях борьбы с промышленным шпионажем [16] . В промышленности эта проблема связана с необходимостью проведения неразрушающего контроля качества ответственных узлов и агрегатов машин, в медицине - с изучением пораженных органов и тканей. База данных содержит данные о плоховидимых парах для 100 химических элементов и 219 сложных веществ, представляющих интерес в рентгенодиагностике. База данных ориентирована на использование в сети Интернет и доступна по адресу http : ]/sxray.iam.dvo.ru/.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, приведенных в разделе "Публикации автора по теме диссертации".

1. Агошков В.И. Обобщенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988.

2. Акилов Г.П., Макаров Б.М., Хавии В.П. Элементарное введение в теорию интеграла. Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1969.

3. Антонов Д.С. Об обратных задачах для уравнения переноса. // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 2. N 1. С.7-17.

4. Антонов Д.С. Задача типа Стефана для уравнения переноса. //Доклады АН. 1994. Т. 338. N 1. С. 25-28.

5. Антонов Д.С. Использование особенностей решения уравнения переноса в рентгеновской томографии //Доклады АН. 1994. Т. 335. N 6. С. 702-704.

6. Антонов Д.С., Назаров В.Г., Прохоров И.В. Видимые и невидимые среды в томографии. //Доклады АН. 1997. Т. 357. N 5. С. 599-603.

7. Антонов Д.С., Прохоров И.В. Значение коэффициента поглощения излучения в диагностике рассеивающих и поглощающих сред. //Доклады АН. 1999. Т. 368. N 1. С. 24-26.

8. Антонов Д.С., Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса в томографии. М.: Логос, 2000.

9. Антонов Д.С., Прохоров И.В. Некоторые математические модели томографии для особых состояний сред. //Доклады АН. 2000. Т. 371. N 4. С. 452-456.

10. Антонов Д.С., Назаров В.Г. Интегро-дифференциальный индикатор неоднородности по неполным данным.// Доклады АН, 2001. Т. 376. N 1. С. 24-26.

11. Аниконов Д.С., Прохоров И.В. Необходимые и достаточные условия единственности одной задачи томографии. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т. 42. N 3. С. 370-379.

12. Аниконов Д. С., Коновалова Д. С. Кинетическое уравнение переноса в случае Комптоновского рассеяния. // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. N 5. С. 987-1001.

13. Аниконов Д.С., Коновалова Д.С. Комптоновский эффект в теории переноса излучения. // Доклады АН, 2004. Т. 398. N 4. С. 462-465.

14. Аниконов Д. С. Прохоров И.В. Формальная оценка качества реконструкции в рентгеновской томографии. // Доклады АН. 2005. Т. 401. N 3. С. 312-315.

15. Аниконов Д.С., Коновалова Д.С. Краевая задача для уравнения переноса с чисто комптоновским рассеянием // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46. N 1, С. 3-16.

16. Аниконов Д.С., Прохоров И.В., Назаров В.Г., Солнышко Н.В. Способ маскировки изделий. //Патент Российской Федерации N 2264424. Бюллетень N 32, 20.11.2005.

17. Аниконов Д.С., Назаров В.Г. Классификация неоднородных сред в томографии на основе показателя их контрастности. // Оптика и спектроскопия. 2005. Т. 99. N 4. С. 674-679.

18. Апресян JI.A., Кравцов Ю.А. Фотометрия и когерентность: волновые аспекты теории переноса излучения. //Успехи физических наук. 1984. Т. 142, N 4. С. 689-711.

19. Ахиезер А.И., Верестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1981.432 с.

20. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

21. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973.

22. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Тр. МИАН СССР, 1961, 61, С. 3-158.

23. Владимиров B.C. Особенности решения уравнения переноса // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8. N 4. С. 812-851.

24. Гермогенова Т.А. Обобщенные решения краевых задач для уравнения переноса. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9. N 3. С. 605-625.

25. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука, 1986.

26. Гласко В.В., Тихонов А.Н., Тихоправов А.В. О синтезе многослойных покрытий. //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14. N 1. С. 135-144.

27. Глинка Н.Г. Общая химия. Ленинград. Химия. 1983. 704 с.

28. Грынъ В.И. Об обратных диагностических задачах атмосферной оптики. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. N 10. С. 15061525.

29. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

30. Коновалова Д. С. Один способ аппроксимации меры видимости в рентгеновской томографии. //Сибирский журнал индустриальной математики. 2005, Т. 8. N 1 (21). С. 64-69.

31. Кирейтов В.Р. Обратные задачи фотометрии. Новосибирск: Из-во ВЦ СОАН СССР, 1983.

32. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

33. Лаврентьев М.М., Савельев Л.А. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Издательство Института математики, 1999.

34. Ладыэюенская О.А., Уралъцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.:Наука. 1964.

35. Ладыженская О.А. Красные задачи математической физики. М.:Наука, 1973.

36. Лейпунский О.И., Новожилов Б.В., Сахаров В.И. Распространение гамма-квантов в веществе. М.: ГИФМ.ГТ. I960.

37. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач. // Доклады АН СССР, 1964, т. 156, N 3, с.503-506.

38. Марчук Г.И. Уравнения для ценности информации с метеорологических спутников Земли и постановка обратных задач.// Косм, иссл., 1964, Т.2, 3, с.462-477.

39. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назарлиев М.А., Дробинян Р.А., Каргин Б.А., Елепов Б. С. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск, Наука 1976.

40. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1981.

41. Михайлов Г.А. Весовые методы Монте-Карло, изд. СОРАН, Новосибирск, 2000.

42. Назаров В.Г. Томографическая неразличимость границ контакта некоторых материалов.// Дальневосточный математический сборник. 1999. Т. 8. С. 110-120.

43. Назаров В.Г. Численные эксперименты в томографии с использованием индикатора неоднородности и меры видимости. //Препринт ИПМ ДВО РАН. N 16. 1997. С. 1-14.

44. Назаров В.Г. Индикатор неоднородности по неполным данным и его применение в томографии. //Препринт ИПМ ДВО РАН. N 17. 2000. 45с.

45. Назаров В. Г., Солнышко Н.В., Яровепко И. П. Численные эксперименты в теории переноса излучения с учетом комптоповского рассеяния.// Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. Т. 8. N 2(22) С. 135-143.

46. Натансон И.II. Теория функций вещественной переменной. М.: Лань, 1999.

47. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990, 279с.

48. Николаев М.Н., Рязанов Б.Г., Савоськин М.М., Цибуля A.M. Многогрупповое приближение в теории переноса нейтронов. М.: Энергоатомиздат, 1984.

49. Подгаецкий В.М., Селит,ев С.В., Терещенко С.А. Модели распространения излучения для систем медицинской лазерной томографии. // Медицинская техника. 1999. N 6. С. 3-11.

50. Потапов B.C. Метод решения уравнения теории переноса для оптически толстого слоя с отражающими границами // Теоретическая и математическая физика 1991 Т. 100. N 2,3 С. 287-303, 424-443

51. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (элиптические, параболические, гиперболические и уравнения переноса).// Мат. заметки, 1973, Т. 14. N 15. С. 777-789.

52. Прохоров И.В. Некоторые свойства решений уравнения переноса. //Дальневосточный математический сборник. 1996. Т. 2. С. 161-173.

53. Прохоров И.В. Краевая задача теории переноса излучения в неоднородной среде с условиями отражения на границе. //Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. N 6. С. 848-851.

54. Прохоров И.В. Определение поверхности раздела сред по данным томографического просвечивания. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т. 42, N 10. С. 1542-1555.

55. Прохоров И.В. О разрешимости краевой задачи теории переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения на границе раздела сред. // Известия РАН. Серия математическая. 2003. Т. 67. N 6. С.169-192.

56. Прохоров И.В., Яровенко И.П. Численное решение дифракционных задач для уравнения переноса излучения // Сибирские электронные математические известия. 2005. Т. 2. С. 88-101.

57. Прохоров И.В., Яровенко И.П. Краевая задача теории переноса в многослойной среде с обобщенными условиями сопряжения. //Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 6. N 1(13). С. 93-107.

58. Прохоров И.В., Яровенко И.II. Исследование задач оптической томографии методами теории переноса излучения. // Оптика и спектроскопия. 2006. Т. 101 №5. С. 828-835.

59. Свешников А.Г., Тихонравов А.В., Яншин С.А. Синтез оптических покрытий при наклонном падении света. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т. 23. N 4. С. 929-935.

60. Свешников А.Г., Тихонравов А.В. Математические методы в теории синтеза оптических тонкослойных систем. //В сборнике "Некорректные задачи естествознания" под редакцией А.Н. Тихонова, А.В. Гончарского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. С. 254274.

61. Сетейкин А.Ю. Анализ по методу Монте-Карло процессов распространения лазерного излучения в многослойных биоматериалах // Оптика и спектроскопия. 2005. Т. 99. № 4. С. 685-688.

62. Смелое В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1976.

63. Смит Г. Драгоценные камни. Москва. Мир. 1984. 600 с.

64. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

65. Сушкевич Т.А. Решение краевой задачи теории переноса для плоского слоя с горизонтально неоднородной границей раздела двух сред // Доклады АН. 1996 Т. 350. N 4 С. 460-464

66. Терещенко С.А. Развитие оптической томографии биологических рассеивающих сред.// Труды международной конференции по биомедицинскому приборостроению "Биомедприбор 2000", Москва, 24-26 октября 2000, с.174-178.

67. Тучин В.В. Исследование биотканей методами светорассеяния. // Успехи физических паук. 1997. Т. 167. N 5 С. 517-539

68. Фано У., Спенсер Л., Бергер М. Перенос гамма излучения. М.: Госатомиздат, 1963.

69. Чандрасекхар С. Перенос лучистой энергии. М.: Изд-во иностр. лит., 1953.

70. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1972.

71. Шилов Г.Е.,Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. М.: Наука, 1964.

72. Яровенко И. П. Численное решение краевых задач для уравнения переноса излучения в оптическом диапазоне. // Вычислительные методы и программирование. 2006. Т. 7. С. 93-104.

73. Anikonov D.S. Integro-differential heterogeneity indicator in tomography problem. //J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. V. 7. N 1. P. 17-59.

74. Anikonov D.S., Kovtanyuk A.E. and Prokhorov I. V. Tomography through the transport equation. // Proc. IMA Volumes in Mathematics and its Applications. Springer-Verlag. New York. 1999. V. 110. P. 33-44.

75. Anikonov D.S., Kovtanyuk A.E., and Prokhorov I. V. Transport Equation and Tomography. Utrecht-Boston. VSP. 2002. pp. viii+208.

76. Anikonov D.S., Nazarov V.G., and Prokhorov I.V. Poorly Visible Media in X-Ray Tomography. Utrecht-Boston. VSP. 2002. pp. viii+294p.

77. Arvo J. Backward Ray Tracing. //Proceedings of ACM SIGGRAPH'86 Course notes. New-York: ACM Press. 1986. pp. 259-263.

78. Compton A.H. A quantum theory of the scattering of X-rays by lights elements. // The Physical Review 1924, V. 21. N 5. pp. 483-592.

79. Compton A.H. X-rays as a branch of optics. — Nobel lecture, December 12, 1927, pp. 174-190.

80. Duck F. A physical Properties of Tissue.//A Comprehensive Reference Book. London: Academic Press, 1990. pp. 167-223.

81. Furman Sh. and Tikhonravov A. V. Basics of optics of multilayer systems. Editions Frontiers, Gif-sur Yvette, 1992, 242 p.

82. Hubbell J.H., Seltzer S.M. Tables of X Ray Mass Attenuation Coefficients and Mass Energy - Absorption Coefficients 1 Kev to 20 Mev for Elements Z = 1 to 92 and 48 Additional Substances of Dosimetric Interest, NISTIR 5632, 1995.

83. Hubbell J.H., Veigele W.J. Briggs E.A., Brown R.T., Cromer D.T., and Howerton R.J. Atomic Form Factors, Incoherent Scattering Functions, and Photon Scattering Cross Sections. J. Phys. Chem. Ref. Data 4, 471-538 (1975); erratum in 6, 615-616 (1977).

84. Ishimaru A. Diffusion of light turbid material. // Applied Optics 1989 v. 28 N 12 pp. 2210-2215.

85. Ishimaru A. Wave Propagation and Scattering in Random Media. Academic Press, New York, 1978, Vol.1.

86. Kajiya J.T. The rendering equation. //Proceedings of ACM SIGGRAPH'86 Course notes. New-York: ACM Press. 1986. pp. 143-150.

87. Katsevich A.I. and Ramm A. G. A Method for Finding Discontinuities of Functions from the Tomographic Data. //Lectures in Applied Mathematics. 1993. V. 30, pp. 115-123.

88. Katsevich A.I. and Ramm A.G. The Radon transform and local tomography. Academic Press. Boca Raton. 1996.

89. Marti-Lopez L., Bouza-Dominguez J., Hebden J.C., Arridge S.R., Martinez-Сelorio R.A. Validity conditions for the radiative transfer equation// J. Opt. Soc. Am. A. 2003. Vol. 20. N 11. pp. 2046-2056.

90. MySQL AB. The world's most popular open source database (Online] Available: http://mySql.org/).

91. Mat Web (Searchable Database of Material Data Sheets). Material Type Search. (2005) (Online] Available: http://www.matweb.com/search/SearchSubcat.asi)).

92. Medical optical tomography: functional imaging and monitoring. Proc. SPIE, 1993, vol. IS11. 656c.

93. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method // J. Am. Statistical Association, vol. 44. pp. 335-341, 1949.

94. Prahl S.A., Keijzer M., Jacques S.L., Welch A.J. A Monte Carlo model of light propagation in tissue // SPIE Institute Series Vol. 1989 N 5 pp. 102-111

95. Prahl S.A., Gemert M.J.C. van, Welch A.J. Determining the optical properties of turbid media by using the adding-doubling method// Applied Optics. 1993. Vol. 32, N 4, pp. 559-568.

96. Prokhorov I. V., Yarovenko I.P., and Krasnikova Т. V. An extremuin problem for the radiation transfer equation. // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2005. Vol. 13. № 4. pp. 365-382.

97. Ramrn A.G. and Zaslavsky A. X-ray transform, the Legendre transform and envelpes. //J. Math. Anal. Appl. 1994. V. 183, N 3, pp. 528-546.

98. Star W.M., Marjinissen J. Calculating the response of isotropic light dosimetry probes as a function of the tissue refractive index // Applied Optics 1989 v. 28 N 12 pp. 2288-2291

99. Theoretical study, mathematical, experimental model for photon transport in scattering media and tissue. Proc. SPIE, 1994, vol. 2326. 478c.

100. Tuchin V.V. Lasers and fiber optics in biomedicine. Part 1 // Laser Physics. 1993, vol.3, N. 4, pp. 767-820.

101. Tuchin V. V. Lasers and fiber optics in biomedicine. Part 2 // Laser Physics. 1993, vol.3. N. 5, pp. 925-950.

102. Wann Jensen H. , Marschner S. R., Levuy M., and Hawaiian P. Л Practical Model for Subsurface Light Transport. //Proceedings of ACM SIGGRAPH'2001. Course notes. Los Angeles, August 2001. pp. 511-518.