автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические задачи теории переноса излучения

На правах рукописи

Прохоров Игорь Васильевич

Математические задачи теории переноса излучения

05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ВЛАДИВОСТОК 2007

003158805

Работа выполнена в лаборатории вычислительных меюдов математической физики Института прикладной ма!емагики Дальневосточпо1 о Отделения Российской Академии наук

Научный консультант доктор физико-математических паук,

профессор Аниконов Дмитрий Сергеевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

профессор Прилепко Алексей Иванович доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН профессор Сма1ин Сергей Иванович доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Ярощук Игорь Олегович

Ведущая организация Институт математики имени С Л Соболева

Сибирского Отделения Российской Академии наз'к г Новосибирск

Защита состоится 2 ноября 2007г в 10 часов на заседании диссертационного совета Д005 007 01 в Институте автомашки и процессов управления ДВО РАН по адресу 690041, г Владивосток, ул Радио, 5

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

А В Лебедев

Актуальность темы и объект исследования Широкий круг физических процессов и явлений в природе описываются кинетическими уравнениями переноса С точки зрения практики представляет интерес исследование линейных интс! родифференциальных уравнений в частных производных первого порядка моделирующих рассеяние света в атмосфере и биологических тканях распространение рентгеновских лучей и гамма-кванюв в неоднородных средах Эти уравнения используются также при описании диффузии нейтронов в веществе в теории плазмы в газо-кинетических моделях и в теории распространения звука

Большой вклад в исследование краевых задач для интегродифференци-альных уравнений переноса и в создание математически обоснованных вычислительных методов их решения внесли работы В С Владимирова, Е С Кузнецова Г И Марчука, С Б Шихова В И Лебедева, М В Масленникова Т А Гормогеновой, Г А Михайлова В И Агошкова Т А Сушкевич В В Смелова А Исимару К Кейза, С Чапдрасекхара и др

При описании процесса распространения излучения в веществе приходится сталкиваться с тем, что среда составлена из разнородных по своим радиационным свойствам материалов В терминах уравнения переноса это означает разрывность его коэффициентов На поверхностях разрыва ставятся условия сопряжения, которые накладывают дополнительные ограничения на функцию распределения плотности излучения Наиболее полно исследованы задачи для уравнения переноса с условиями сопряжения типа непрерывной склейки решения на границе раздела сред Даже в этом одном из самых прос1ых случаев локальная структура решения оказывается весьма сложной и на этапе получения общих качественных утверждений многие трудности обходятся рассмотрением достаточно широких классов решений

Рассмотрение более общих условий сопряжения позволяе1 учшывагь отражение и преломление света на контактных границах а не только его поглощение и рассеяние па случайно распределенных микро-неодпородностях среды Модель основанная на уравнении переноса с обобщенными условиями

сопряжения, весьма актуальна и находит свое применение в атмосферной оптике, в лазерной медицине и в трехмерной компьютерной графике Несмотря па ее более чем полувековую историю и повышенный интерес в последнее время, чеорстические результаты в этой области развиты в незначительной степени По всей видимости, это объясняется увеличивающейся сложностью поставленных задач

С еще большими проблемами приходится сталкиваться при решении обратных и экстремальных задач теории переноса излучения имеющих многочисленные приложения в медицине, физике и технике На сегодняшний день теория обратных задач весьма обширна и развита в работах Г И Марчука М В Масленникова, А И Прилеп ко, Д С Аниконова ГА Михайлова ЮЕ Аниконова, В Г Романова, В А Шарафутдинова, В Р Кирейтова, У Н Сул-тангазина и других Теория обратных задач отличается большим разнообразием посхановок задач, различными ограничениями и методами

Экстремальные задачи теории переноса излучения в основном рассматривались в рамках волновых моделей, применительно к теории синтеза оптических многослойных систем (А Н Тихонов А Г Свешников В Б Гласко А В Тихонравов и др)

Работа посвящена исследованию прямых обратных и экстремальных задач для стационарного линейного уравнения переноса излучения с различными условиями сопряжения на границах раздела сред

Цель работы Исследовать качественные свойства решения прямых задач для стационарного уравнения переноса Сформулировать необходимые и достаточные условия единственности решения обратных задач для уравнения переноса и разработать соответствующие численные алгоритмы Рас смотреть проблему постановки и решения экстремальных задач в рамках кинетического подхода к описанию процесса переноса излучения

Методы исследования При изучении качественных свойств решения краевых задач применялись методы теории интегральных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных Исследование обра!пых

задач проводилось в рамках теории условно-корректных задач и существенно основывалось на изучении локальных свойств решения прямой задачи При построении численных алгоритмов и проведении экспериментов использовались методы компькмерного моделирования и некоюрыс разделы теории методов Монте-Карло

Научная новизна В диссертационной рабою получены следующие новые результаты

— Построена качественная теория краевых задач для стационарного уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения на границе раздела сред

— В рамках построенной теории, разработан и обоснован метод решения задачи томографии позволяющий определять отражающую и преломляющую границу раздела сред по потоку прошедшему через рассеивающий объект неизвестной структуры

— Для задачи томографии в модели, ие учитывающей эффекты отражения и преломления, получены необходимые условия единственности решения Предложены новые подходы для нахождения оптимального решения задачи томографии используя в качестве управляющей переменной энергетическую зависимость внешних источников излучения

— Для полихроматического уравнения переноса разработан метод нахождения коэффициента ослабления по излучению известному на границе, основанный на использовании специального типа внешнего излучателя

— Предложен новый подход к исследованию теоретических проблем оптики просветляющих и маскировочных покрытий случайно-неоднородных сред рассматривающий указанные проблемы с позиции решения экстремальных задач для уравнения переноса с френелевскими условиями сопряжения

— Разработаны и программно реализованы следующие численные алгоритмы для определения границ неоднородностей по излучению прошедшему через среду, для решения оптимизационных задач рентгеновской томографии и оптической маскировки для нахождения коэффициента ослабления

уравнения переноса при разрывном типе внешнего источника

Теоретическая и практическая ценность При исследовании краевых задач для стационарного уравнения переноса излучения получены теоретически значимые новые результаты Изученные свойства решений прямых задач будут полезны при разработке и обосновании эффективности численных алгоритмов в атмосферной оптике астрофизике, компьютерной графике Предложенные методы решения обратных и экстремальных задач для уравнения переноса допускают практическое применение в неразрушающем контроле промышленных изделий, в медицинской томографии и биооптикс

Исследования диссертации, позволили создать "Базу данных радиационных характеристик веществ, представляющих интерес в рентгенодиагностике" (http //sxray iam dvo ru) и запатентовать способ маскировки изделий [21], которые будут полезны специалистам при интерпретации данных полученных при рентгеновском облучении веществ с целью определения их внутренней структуры или в связи с созданием материалов с заданными радиационными свойствами

Исследования автора были поддержаны РФФИ (проекты №№97-01-00078-а, 01-01-00128-а 04-01-00126 05-07-90055-в) программами ведущих научных школ Российской Федерации (проект НШ-9004 2006 1) "Университеты России" (проект УР 03 01 002) и "Минобразования России" (проект Е02-1 0-128) грантами 6-го конкурса-экспертизы научных проектов молодых ученых РАН (проект №4), Конкурса проектов ДВО РАН (проекты №№ 05-III-A-01-101 06-III-A-01-014) Конкурса интеграционных проектов Дальневосточного, Сибирского и Уральского отделений РАН (проекты №№04-2-1-00-006 06-П-СУ-01-001)

Апробация работы Основные результаты диссертации были представлены на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи" (Новосибирск 1992), на международном симпозиуме по компьютерной томографии (Новосибирск 1993) на Российско-японском семинаре "Дифференциальные уравнения в прикладной математики" (Хабаровск 1994) па международных

конференциях "Inverse Problems га Engineering Sciences" (IPES-94, Osaka Japan 1994) "Mathematical Modeling and Cryptography" (PMMC-95, Владивосток, 1995), "Computational Radiology and Imaging Therapy and Diagnostics" (University of Minnesota, USA 1997), "Recent Developments m Theories and Numerics" (Hong Kong China 2002) "Тихонов и современная математика" (Москва, МГУ, 2006), на Дальневосточных математических школах-семинарах им академика Е В Зологова (Владивосток, Хабаровск, 1998-2006)

По материалам диссертации автор выступал на семинарах лаборатории обратных задач математической физики Института математики им С Л Соболева СО РАН (1993, рук д ф-м и ЮЕ Аниконов), отдела статистического моделирования в физике Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (1993, рук чл-корр РАН ГА Михайлов) отдела условно-корректных задач ИМ им С Л Соболева СО РАН (2004, рук академик М М Лаврентьев, чл-корр РАН В Г Романов), лаборатории математического моделирования фазовых переходов Института гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН (2004 рук чл-корр РАН П И Плотников), па семинаре "Обратные задачи анализа, математической физики и естествознания" кафедры математического анализа МГУ (2005 рук д ф -м и А И Прилепко), на семинаре по "Математической физике" ИПМ им М В Келдыша РАН (2005 рук д ф-м н MB Масленников), на расширенном семинаре лаборатории механики деформируемого твердого тела ИАПУ ДВО РАН (2007 рук д ф-м н А А Буренин), на общеинститутских семинарах ИПМ ДВО РАН (2004 2007, рук чл -корр РАН Н В Кузнецов)

Публикации Всего по теме диссертации опубликовано 45 работ том числе три монографии [1-3], патент |21| и 13 статей [4 8,10-14,16-18 22-24] в журналах рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов докторских диссертаций

Личный вклад автора Из результатов совместных работ в диссертацию включены только тс которые получены непосредственно автором либо те, в которых степень участия соавторов в исследовании равная Результа-

ты, представленные во второй главе диссертации получены совместно с Д С Аииконовым на паритетных началах

Структура й объем работы Диссертация состоит из введения 27-ми параграфов, структурно разделенных на пять глав, заключения и списка литературы из 266 наименования Работа изложена на 256 страницах и содержит 18 рисунков

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы приведен обзор литературы по вопросам связанным с диссертацией и коротко перечислены результаты, изложенные в остальных главах

В главе I исследуются краевые задачи для полихроматического уравнения переноса

ш Vrf(r,u>,E) + ^(г:Е)Цг,ш,Е) =

^шах

= У I К(г,ш ш', Е, Е')/{г, ш', Е')йш'йЕ' + J(r, ш, Е), (1)

Ет,в П

где }{г,ш,Е) трактуется как плотность потока частиц (плотность потока излучения) в точке г, г — (г1,Г2,Тз) 6 С С К3, движущихся в направлении единичною вектора ш, ш = (с^ол^з) £ = {ш £ К3 = 1} и имеющих энергию Е, Е Е [Дпт, Д-пах], ц(г,Е) ~ коэффициент ослабления в точке г частиц с энергией Е, К(г,ш и>', Е,Е') - дифференциальное сечение рассеяния в точке Т, характеризующее вероятность перехода частиц из состояния (иУ,Е') в (ш,Е), 3(г,ш,Е) - плотность внутренних источников в точке г, в направлении и и на энергетическом уровне Е

Процесс миграции фотонов происходит в среде заполняющей ограниченную выпуклую трехмерную область С Область С разбивается поверхностью 7 па конечное число подобластей Сь бг, , Ср (рис 1), обьединение которых обозначим через (?о Множества Сг интерпретируются как некоторые части неоднородной среды С?, заполненные г-м веществом Поверхность ^ является границей раздела сред , Ср и называется внутренней границей Со а

Рис 1

dG - внешней Множество Gq предполагается обобщенно выпуклым (любая прямая, имеющая общую точку с Gq, пересекает границу 8Gq в конечном числе точек)

Аналогично вводятся конечные разбиения Г21; fi2) и I\,l2, попарно-непересекающихся областей объединения которых fio и Iq, определяют множества непрерывного изменения параметров излучения по угловой и> и спектральной переменной Е соответственно

Прямая задача для уравнения переноса заключается в нахождении функции / из уравнения (1) и граничного условия

f(z,u>,E) = h{z,b>,E), (z, ш, Е) G Г", (2)

в которых известны /j,,K, J и функция h интерпретируемая как плотность потока излучения проникающего в среду G через поверхность dG На множествах Г+ и Г+ заданы выходящий и выходящий потоки и они определяются через расстояние d(r,u>) от точки г до dG в направлении вектора и> соотношением Г^ = {(z,w, Е) € dG xfix/ z = г ± d(r,u>) ш, г € Gy} (рис 1) Подмножество Г^ С Г* есть пересечение Г± и dG х fiu х Iq

Условия на границе раздела 7 записываются с помощью оператора сопряжения В

Г(я,ш,Е) = (В/+){г,ш,Е), (г ш, Е) е 7 х П х [В1Ш11 £тах], (3)

где и>, Е) = 1пп /(г^еш, ш, Е) предельные значения функции /(г, ш, Е) при соответствующем стремлении точки г к 2 € 7 В случае непрерывности решения при переходе через 7 оператор сопряжения имеет вид

{ВГ)(г,ш,Е)=Г(г,ш,Е) (4)

Условия (3) с оператором сопряжения вида (4) достаточно традициопны и адекватно описывают процесс на границах раздела сред при распространении рентгеновского излучения и гамма-квантов В первых двух главах диссертации рассматриваются задачи с оператором сопряжения вида (4)

Решение прямой задачи ищется в пространстве Ос(Со х П0 х 1о), которому принадлежат функции /(г ш, Е)1 удовлетворяющие условиям при любых (■г,и>,Е) е <2о х П0 х /0 функция /(г + Ьш,ш,Е) абсолютно непрерывна по переменной ( ( 6 [—с1(т, — ш),с1(г,и>)} функции / и ш V,./ принадлежат Сг,((?о х Г2о х /о), где Сь{Х) - пространство ограниченных и непрерывных функции на множестве X и символ ш 'Уг/(,г> а;, .Е) понимается как производная по переменной г в направлении вектора и>

Из определения пространства решений Бс вытекает, что условие (3) на поверхности 7 с оператором сопряжения в форме (4) (условие непрерывной склейки) автоматически удовлетворяется Это существенно облегчает исследование прямой задачи и позволяет свести исходную дифференциальную задачу (1),(2) к эквивалентной интегральной постановке причем в более широком классе, не заботясь о поведении следов функций из £)с на поверхности 7 В предположении что функции д, К, к неотрицательные и/1€ Сь(Со х /о), ] £ СЦС?о х П х /о), к б 0,(Гд ), и некоторых естественных ограничениях относительно функции К(г,ы ш',Е,Е') в §§ 1—4 доказаны теоремы существования и единственности решения и проведен анализ его непрерывных

свойств которые впоследствии используются при изучении обратной задачи в §§ 5,6

В § 5 ставится задача об определении коэффициента¡i(r, Е) из соотношений (1), (2) и условия

f(z,u3,E) = H(z,uJ,E), (z,U3, Е) Е Г+, (5)

в коюрых известны только функции h и Н Функцию Н, по аналогии с h иногда называют плотностью потока выходящего из среды G излучения В обратной задаче функции К, J не предполагаются известными и в то же время не подлежат определению в этой задаче

В § б для решения обратной задачи применяется специальный тип внешнего источника, который в терминах модели описывается функцией h В предположении что она имеет разрыв первого рода по угловой переменной при ш = (ш1,и>2,0) доказана формула, связывающая преобразование Радона от функции ц в горизонтальном сечении с функциями h и Н

Теорема 1 Пусть Q,q = iiiUfi2, где = {из 6 П sgn(w3) = 1}, Q.% = {из € О. sgn(u>3) = —1}, функция h(z, из, Е) е Сь(Гд) и для всех (z, из, Е) е Г~\Гд удовлетворяет условию

(h(z, и, £)>=(, Ьт, h(z, из', Е) - н lim h(z, из", Е)) ф 0 (6)

\ из ,из—*ш и? —»из /

тогда для всех (г,из,Е) G Gq х \ Г2о) х /о справедливо равенство

d(r,u>)

f r-,N . (h(r~d(r,—uj)u!,u3,E))

/ ß(r + tu;,E)dt = ln-^r-У-; ',[' 7

У (H(r + d(r,u)u3,uj,E))

—d(r,—iJ)

Используя формулу (7), доказана теорема единственности решения обратной задачи Из (7) видно, что неизвестные функции К и J не влияют на процедуру определения функции ß В физических терминах это означает, что влияние рассеяния и наличие радиоакаивных источников в среде подавляв'! ся за счет выбора внешнего источника В диссертации обсуждаются возможности использования формулы (7) в спектротомографии сравнительно новой области в радиодиагностике сред

(С) (4)

Риг, 2: Восстановление фантома Кор мака в горизонтальном сучении С использованием параллел&йОй схемы сканирования: (а) оригинал: (Ь).(с).(с1) реконструкция среды при ухудшающейся угловой дискретизации иыходящшо излучения.

В § 7 обосновываете»! принципиальная возможности создания требуемого Внешнего источника. При водятся достаточные условия на (структуру среды такие, что при просвечивании среды попрсрывIкьрас11:)еделои:1 ым потоком выходящее излучение будет и меть заданный разрыв в горизонтальном направлении.

Завершает первую главу § 8, посвйщеппый проведению компьютерных экспериментов, тесгиру ющнх предложенный числещшй алгоритм определения функции //. Численные эксперименты проводились в три этапа. Сначала производилось вычисление функции Н. Для этого использовалась одна из версий метода Монте-Карло, называемая методом сопряженных блужда-

ний На практике прошедшее через среду излучение измеряется детекторами и этот трудоемкий этап отсутствует На втором этапе, используя формулу (7), находилось преобразование Радона 01 функции /л в некотором горизонтальном сечении Затем, применяя для обращения преобразования Радона алгоритм свертки и обратной проекции, определялась функция ц в рассматриваемом сечении Показана эффективность предложенного алгоритма для сильно рассеивающих сред и продемонстрировано влияние ошибок дискретизации и неполноты данных на качество реконструкции функции ¡1 На рис 2 приведены типичные томограммы полученные в результате тестирования алгоритма

Вторая глава посвящена моноэпергетическому варианту уравнения переноса

о

В этом случае переменная Е в уравнении (1') играет роль параметра и везде кроме § 13 и частично § 11 зависимость от него опущена Дифференциальное сечение рассеяния К в (Г) имеет вид

1де каждый член в сумме соответствует определенному типу рассеяния, а

м

коэффициенты рассеяния и поглощения даются формулами/л3(г) = Х)°»(г)

И Ма(т-) = 1м{г) - /л8{г)

В § 9 утверждения, относящиеся к прямой задаче и доказанные в главе I, конкретизирую 1ся для моноэнергет и ческою случая

В § 10 ставится задача томографии заключающаяся в нахождении поверхности 7 разрывов коэффициентов уравнения (1'), если известна только плотность выходящего потока Н па границе среды С

м

= 1, г = 1, ,М, (8)

1=1

п

Рассмотрим функцию

/ d(z,u) \

mv(z, и) = ехр

- / fj,(z + tu))dt \ ° )

т(г,ш), (9)

м „

m(z,u0 = b(z)]/(z,u7)-5>,(r) 1 / wO/íz.wOdw' + fJír.w)! (10)

,=i ¿

где через | ] обозначен скачок функции по пространственной переменной г в точке контакта двух областей G3 и G,

Величина |mu(z,w)|, называется мерой видимости среды G в точке z G 9Go в направлении ш при ее радиодиагностике рентгеновским излучением Д С Аниконовым в [1] показано что условие видимости

\ту(г,ш)\ >0, z G dGo, и G iî

гарантирует единственность решения задачи томографии

В § 11 исследуется необходимость условия видимости для задач томографии вообще и, в частности, для рассматриваемой задачи Имеет место

Теорема 2 Пусть существуют функции ц К, J, h и соответствующее решение прямой задачи / такие, что

a) |д(г)] 0 или |/ts(«)] ф 0 для всех z G dG3¡ где j - некоторый фиксированный номер 1 < j < р,

b)J(r,<¿) = 0 для всех (r,w) G G0 x Çï и {J(z,u>)J = 0, (z,u) G dG3 x fi

c) [<r¿z)][ak(z)l >0,г,к=1, ,M,ze dG„

d) mv(z,u>) = 0 для всех (z,u>) G dG3 x fi

Тогда \¡ía{z) 1 = Кг)1 — ll¿s{z)\ = 0 z G dG3 и существует бесконечно много различных функций jl, jls и областей G3 заменяющих ¡i, ¡jls и Gj, соответственно, для которых решение прямых задач f(r,u>) одно и то же везде в G х fi и. совпадает с f(r, ш)

Предположение а) теоремы 2 означав!, чю существуе1 по крайней мере одно включение (G3) Пункт 6) накладывает ограничения на внутренние источники В частности случай J = 0 подходит под условие Ь) Неравенство с) можно

трактовать как преобладание рассеяния в одной среде над другим, например каждое сечение сгг(г) г = 1, ,М в С; больше чем аг(г) в Условие с) также выполняется в часто встречающемся на практике случаеМ = 1 го есть когда рассматривается только один тип рассеяния

Предположение <1) наиболее важное в теореме поскольку именно оно приводит к невозможности решения томографической проблемы ни каким методом в рамках изучаемой модели Среду (3, имеющую свойство

будем называть невидимой при ее диагностике радиационным потоком Последнее определение зависит от многих параметров процесса и следовательно, его трудно использовать на практике В работе показано, что t/iQ(z)l = О является аппроксимацией условия (11) при некоторых предположениях, которые часто имеют место в томографии

В связи с этим, среда G, имеющая свойство |/ла(;г)] = 0, z € OGq называется плоховидимой при ее томографическом просвечивании Равенство [/■toO2)! = 0 означает непрерывность коэффициента поглощения на границе включения Gj Два вещества называются плоховидимой парой на уровне энергии Е, если они имеют одно и тоже значение коэффициента поглощения fJ-a(E) В монографии [3] приведены таблицы плоховидимых пар для 92 химических элементов и 48 веществ Эти таблицы были сформированы на основе спектральных данных о коэффициентах ослабления и поглощения, предоставленных Дж Хабблом и С Сельтцзером Расширенный вариант этих таблиц содержится в базе данных "sxray iam dvo ru"

В этом же параграфе дан алгоритм решения задачи томографии, основанный на построение индикатора неоднородности Ind*(r) и предназначенного для послойного восстановления внутренней структуры среды (в сечении V = {гз = const}) Он представляет собой интегродифференциальный оператор вида

mv(z,u>) = 0, 2 € <9Go, w €il

(П)

где единичная окружность fii состоит из векторов uj = (и>х,и>2,0) а символ V* означает градиент по Г\ тг при гз = const

Д С Аниконовым и В Г Назаровым в [3] доказано что в достаючно малой окрестности контактной точки г 6 dQif\dG3 C\V имеет место представление

где 0(1) ограниченная функция a M(z, Е) определена равенством

Здесь функция ту определена в (9) а вектор и е является ортогональным к нормали ггг(г) к кривой СгГТР Поскольку таких векторов всего два и оба симметрично представлены в (14) то левая часть в последнем равенстве не зависит от и>

Если М(г) > 0 то из (13) видно, что функция 1пс1*(г) неограниченна только вблизи <9Со При численной реализации алгоритма построенного по формуле (12), поверхность д(Зо определяется как место, где значения индикатора значительно больше других

Результаты, проведены численных экспериментов, подтвердили полезность введения понятий меры видимости, невидимых и плоховидимых сред Кроме того, проделан вычислительный эксперимент, показывающий, что плоховиди-мые и тем более невидимые среды - это особые состояния, которые не всегда подходят для использования некоторых упрощенных моделей процесса распространения излучения

На рис За изображен оригинал структуры среды в 1 оризонтальном сечении, на рис ЗЬ - реконструкция, сделанная с помощью индикатора неоднородности (12) Улучшение качества реконструкции происходит при увеличении скачка коэффициента похлощения па границах включений Причем граница плоховидимо1 о включения бь где наблюдается непрерывность коэффициент поглощения вообще "не видна" На рис Зс представлена реконструкция среды если выходящее излучение вычисляется по упрощенной модели в которой не учитывается наличие 4-х процентною рассеяния в среде В

Ind*(r) = 2M(z) \ In \r — z\\+ 0(1)

(13)

M(z) — \mv(z, ш) + mv(z, -w) \

(14)

этом случаи, границы иеод породпйстей G\ и Gz восстановились отчетливо, а G2 - нет. Это доказывает, что использование такой упрощенной модели может приводит), как к потере информации о структуре среды, 'гак и к появлению изображений, не имеющих место при реконструкции с использованием моделей, более адскнатпо описывающих реальный процесс переноса излучения.

В § 12 построены примеры неедипсти^шюсти решения 'задачи номографии. Показано; что для них наполняется условие невидимости (11).

§ 13 посвящен постановке и изучению задачи оптимизации в рентгеновской томографии. Рассматривается задача определения внутренних границ между различными материалами в произвольной среде. Исследования предыдущих параграфов позволяют не только решить поставленную задачу, по и предложить подход к проблеме выбора наилучших условий рентгенодиагностики.

В дшшом параграфе, изучается экстремальная чадача. 'заключатощаяся в определении энергии В источников h(z, ш, Е). которая обеспечивает наилучшее качество реконструкции искомых границ.

Все характеристики процесса имеют параметрическую зависимость от Е. поэтому от Е зависит и функция M( z, Е), определенная в (14). Хотя тсореги' ческое обоснование алгоритма решения задачи томографии. основанного на построение оператора (12), справедливо ¡¡ри любом положительном M(z. Е). даже, сколь угодно милом, для чж-лсике.й реализации глушчинп A/^z, Е) довольно существенна. Из теоретических и численных результатов следует вы-

(а)

(Ь)

(с)

Рис. 3.

вод чем больше значение M(z, Е), тем выше качество (отчетливость) реконструкции

В связи с этим возникает задача выбора условий обеспечивающих наилучшее качество восстановления искомых границ Предварительный анализ показал, чго ее конкретные постановки могут иметь много разновидностей В диссертации рассматривается следующий вариант най1и значение энергии Е* из заданною интервала [-Emm, Етях\ доставляющее наибольшее значение целевой функции M(z, Е) при фиксированном г

Для случая табличного задания величин ¡j,}a„S¡, J,h что обычно принято па практике решение этой задачи легко реализуемо путем численного перебора Более экономичному варианту решения препятствует прежде всего недостаточный уровень исследования свойств функции f(r,u>, Е) Знание M(z, Е) подразумевает известность всех других характеристик процесса переноса, что для дефектоскопии неестественно Эти обстоятельст ва ставят вопрос о такой аппроксимации целевой функции которая зависела бы от меньшего числа параметров и имела бы более простой вид, удобный для теоретического анализа В связи с этим в этом параграфе предлагается и исследуется упрощенная оптимизационная задача поиска энергии, близкой к оптимальной в случае малости дефекта Результаты численных экспериментов полностью подтвердили ожидания, основанные на теоретическом анализе Томограммы полученные при оптимальных значениях параметра Е, соответствовали наилучшей реконструкции среды Целевая функция M(z, Е) введенная в задаче квазиоптимизации, достаточно хорошо аппроксимировала функцию M{z, Е) в случае малого дефекта Алгоритм решения задачи квазиоптимизации программно реализован в базе данных "sxiay íam dvo ru"

Следующие три главы посвящены исследованию краевых задач для монохроматического уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения В главе III рассматривается прямая задача для уравнения переноса

о» Vr/(r,a/)+/í(r)/(r,w)=^M J S(r,oj ш')/(г,ш')(Ь>' + ^г,ш), (15)

ft

с граничными условиями

f-(z,u>) = h{z,oj), (z, «)€Г-, (16)

и условиями сопряжения

f-{z,U) = {Bf+)(z, w), (z,u)€1xn (17)

В прямой задаче функции ц, /j,s, J, S,h и оператор В заданы а / требуется найти Фазовая функция S(r,u) оУ) для всех г удовлетворяет условию нормировки (8) Оператор сопряжения предполагается френелевским В = Bfr и имеет вид

(.B/r/+)(z, ш) = R(z, u)f+{z, ив) + T(z, v)f+(z, и>т) (18)

Здесь Сс>д(или изт) ~~ направление потока излучения падающего на поверхность 7 и в результате зеркального отражения (или соответственно преломления по закону Снсллиуса меняющего свое направление на ш

wj) = и) — 2ип, lot = 4>{z, + 7ï(z, v)(w — un), v = ш n(z), (19)

(Ki/kj, если z e <9Gt П dG3, 0 < u(z) < 1, ftj/к,, если г G dGz П dG}1 —1 < v{z) < 0,

fsga(v)y/l -k2(z,u)(1-u2), если 1 - 7i2(z, u){l - v2) > 0, Ф{г,и) = <

I 0, иначе,

(20)

где константы кг и к} обозначают показатели преломления сред Gt и G3, а те(г) единичный вектор нормали к ÔG^, г < j

Коэффициенты R и Т в (18) характеризуют отражательную и пропуска-тельную способность границы раздела средС, и Gj при френелевском отражении для неполяризованного излучения

R(z, и) = и) + R\[z, „)), T(z, V) = i(7f (Z) + T\{z,

к(г, 1/)г1>(г, и) — V к(г, и) + и'

2ф(г, V)

ЯхС*. */) =

-ф(г, ь>) +

2ф(г и)

тр^) — /с (г,

(23)

(22)

/с(г, 1/)Ф(г, и) + и'

и) + к(г, и)1/

В §§ 14 15 вводятся основные ограничения и функциональные пространства, необходимые для определения решения краевой задачи Устанавливаются некоторые свойства оператора сопряжения В/,

Функция /(г,ш) принадлежит к классу Б^Сц х О) если почти при всех {г,и>) € Со хП функция /(г+Ьи), и) абсолютно непрерывна по 4 па интервале (¿1(г, — и>), а>)] / и ш V,./принадлежат ЬЖ(С х О,)

Величина ^(г, и>) в определении класса Д» в отличие от «¿(г, о>) обозначает расстояние от точки г в направлении ш до <ЭСо (рис 1)

Показано, что для любой функции /(г, ш) £ Дзо(С?о х П) предельные значения си) принадлежат пространству Ь00(7иГ±) Под решением прямой задачи (15)-(17) понимается функция /(г, си) из пространства Дзо(<?о х {}) с нормой

удовлетворяющая почти всюду на (2 х О уравнению (15), почти всюд> на Г" и 7 х условиям (16) и (17), соответственно

В § 16 доказываются некоторые вс помогательные утверждения с достаточно произвольным оператором В В параграфе ^ 17 приводится пример условий сопряжения, для которых имеет место неединственность решения краевой задачи, и там же доказаны теоремы, касающиеся единственности решения граничной задачи с условиями сопряжения на 0( ново формул Френеля Сформулируем основной результат главы

Теорема 3 Пусть оператор сопряжения В — В}7 /х Е Ь^С), 7 £

¿оо(С х П) 5 £ Ь^в х О, х П), /г 6 ^(Г") и А = < 1 Тогда

ранение краевой задачиf существует, единственно и почти всюду иаСхП

удовлетворяет неравенству

|/(г,и)|<

'оо

В § 18 рассматриваются приложения прямой задачи к проблеме компьютерной визуализации трехмерных объектов Предложен численный алгоритм па-хождения решения, основанный на применении метода Монте-Карло с ветвлением траекторий Проведены компьютерные эксперименты, показывающие эффективность предложенного алгоритма

В главе IV изучается обратная задача для уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения, заключающаяся в определении 7 по данным радиационного прос вечивания

В § 19 формулируется постановка обратной задачи и приводятся основные ограничения, используемые в главе IV В этой главе представлен случай когда в условиях на границе раздела используется оператор сопряжения, являющийся линейной комбинацией френелевского и диффузного операторов

где функция из') называемая индикатрисой отражения, ограничена

и непрерывна на 7 х^) х О, Неотрицательные функции 0/г,04 принадлежат Сь{7 х П) и 0/г + Ра < 1 Они определяют фрепелевскую и диффузную составляющую в отраженном свете

В § 20 вводятся функциональные пространства, и исследуются их свойства В § 21 изучается непрерывность решения прямой задачи при условии, чтоЬ €

В соотношении (24) оператор В/г задается формулой (18), а В^ описывающий диффузное отражение имеет вид

я

Сь(Г~) и коэффициенты уравнения непрерывные и ограниченные функции на Go х П Показано, что френелевская составляющая в операторе сопряжения приводит к достаточно сложной структуре областей непрерывности решения прямой задачи

Основываясь на результатах §§ 20,21 в § 22 исследуется единственность решения обратной задачи Рассматривается случай когда разбиение области G, состоит из двух областей Gi и G2 (Go = G1UG2) причем G1 cipoio выпуклая область с гладкой границей и G\ С G Под выражением [f(r+d(r, oj)oj, w)]w± понимается величина разрыва фуикции f(r, w) = f(r + d(r, u;)w, u>) в точке (r,u>) по переменной г в направлении В этих обозначениях и предположениях доказана

Теорема 4 Пусть вектора ш и ортогональны друг к другу и лео/сат в горизонтальной плоскости Если функция f является решением прямой задачи (15)-(11), тогда [f(r + d(r,u)u> = 0 для любой точки г е

GoDV, V — {гз = const}, и любого горизонтального направления ш такого, что прямая {г 4- tu> —00 < £ < ос} не является касательной к кривой 7 П V если же она касается ее в точке z = z(r, ш) € 7 П V то

\[f(r + ¿{г,ш)ы, w)U| + | If (Г - d(r, -ш)и>, -u)]„J = M(z), (26)

При выполнения условия видимости М(г) > 0 показана единственность решения обратной задачи В этом же параграфе приводятся ограничения на оператор сопряжения, при которых условие видимости выполняется Для положительности функции М(г) достаточно чтобы 0 < /3/г(г,ш) < 1 для всех

где

M(z)= hm (|Af1(z',z")| + |M1(z",z')|),

z',z"—>z

(27)

Mi(2',z") = ((Bf+)(z',u>) -f+(z",u:))x

€ 7 х О, /¡¡¡(г, ш) —» 0 при п(г) ш —» 0 и функция Л была положительной В частности, в случае чисто френелевскою оператора при 0/7(г, и>) < 1 условие М(г) > 0 выполняется

В конце параграфа приводятся численные эксперименты проверяющие возможности алгоритма указанною в доказательстве теоремы о единственности решения Он заключается в построении некоторого оператора, переводящего плотность выходящего излучения в характеристическую функцию области Для расчета функции Н, необходимой для тестирования алгоритма решения обратной задачи, использовался численный ал! оритм разработанный в § 18 В случае, когда в среде находится более одного включения предложена модификация метода, которая позволяет обнаруживать несколько выпуклых включений

В главе V рассматриваются экстремальные задачи для уравнения переноса с френелевскими условиями сопряжения Кроме последнего параграфа исследования проводятся для случая плоскопараллельной симметрии среды В § 23 исследуется прямая задача для уравнения переноса в плос ко-парал-лельном неоднородном слое с оператором сопряжения общего вида При ограничениях общего характера показана разрешимость краевой задачи на некотором подмножестве пространства кусочно-непрерывных функций Для единственности решения прямой задачи в плоско-параллельном слое достаточно чтобы норма оператора сопряжения не превосходила единицы В трехмерной ограниченной среде единственность решения при этом же условии доказана только для френелевского оператора сопряжения

В § 24 рассматриваются постановки экстремальных задач для уравнения переноса излучения и обсуждаются их физические аспекты

Исследуется случай, когда неоднородная среда, имеющая плоскую геометрию заполняет область б = {г г е (^о,яз)} и состоит всего лишь из трех веществ 6?1 = {г г £ (гг_Ь2,)} г = 1,2,3 отделенных друг от друга плоскостями г = г; и г = гг, и для каждого вещества С?г задан коэффициент преломления /с, (рис 4а)

о

/

о;

а

тах

Ц Сг,

\ V

с?,

о,

Л\ «

4 X 1

(а)

Рис 4

(Ь)

В этом случае уравнение переноса и граничные условия имеют вид

1

V) + и) = I 3(г, и, и')¡{г, У')^' + и) (28)

-1

/-(го,*) = %),!/> О, Г{гз,>у) = Ни),»< 0, (29)

Г{а1,и) = ф/т/+)(гг,и), г =1,2 (30)

Величина V, V £ [—1,1] в (28)-(30) есть косинус угла между направлением распространения излучения и положительным направлением оси симме1рии среды

Рассматривается задача, заключающаяся в определении коэффициента преломления к,2 из (28) (29) (30) и условия

/+ЙЫ) - тах, (31)

если коэффициенты «3 и функции ц /.(.<,, 5", _/, к известны

Физическое содержание поставленной задачи заключается в выборе показателя преломления промежуточного слоя из условия наилучшего просветления среды В последнее время интерес к этой задаче возрос не только в

связи с изготовлением просветляющих покрытий, но и благодаря развитию оптических исследований биотканей Добавление промежуточного слоя с оптимальным показателем преломления который покрывает основную 1кань пациента, позволяет добиваться достижения наибольшего терапевтичес кого эффекта в лазерной медицине

В § 25 26 проводится исследование задачи просветления оптики для некоторых упрощенных вариантов уравнения переноса В трехслойной слаборас-сеивающей или рассеивающей преимущественно вперед среде получены аналитические решения, которые совпадают с классическим решением кг = л/кх^з Наличие рассеяния в среде может приводить как к увеличению, так и к уменьшению оптимального показателя преломления промежуточного слоя В § 27 рассматриваются экстремальные задачи для уравнения переноса в трехмерном случае

С физической точки зрения суть задачи заключается в выборе оптимального коэффициента преломления среды бг, покрывающей включение бз так, чтобы минимизировать влияние составного тела С2 и ^з на отраженное и рассеянное от него излучение в некоторой точке {г,и>) В этом случае покрытие бг является маскирующим для объекта (?з при визуализации его вблизи точки г в направлении ш (рис 4Ь)

Сформулируем математическую постановку экстремальной задачи Предполагается, что оператор сопряжения В = Врг и внутренние источники отсутствуют Обозначим через / решение прямой задачи (15)-(17) с заданными функциями ¡л, 3, к и показателем преломления к\ в случае когда среда С не содержит включений, то есть С*о = С Поместим внутри области С* два включения Со, С?з Обозначим через С\ = б \ (?2 и £?з и предположим, что Сг полностью "покрывает" область Сз и является разделяющим множеством между областями бт и С?з Через / обозначим решение прямой задачи (15)-(17) для разбиения (?1, (?2,Сз с известными коэффициентами Д(г), Д8(г), К(г) и функциями 5, к причем ¡1(г) = д(г),Д8(г) = цв(г),к(г) — для всех г е (^1, а функция к(г) равна «2 и «з в областях Сг и С?з соответственно

Экстремальная задача заключается в нахождении коэффициента преломления к2 среды С2 гак, чтобы в фиксированной точки (г, и) он сообщал минимум функции

Р(к2) = (/(г,ш)-7(г,ш,к2))2, (32)

если для областей Gl,G¡ заданы коэффициенты кх,к3 и функции ]5и 5 К известны

Для решения поставленной задачи предложен численный метод, заключающийся в последова!ельном вычислении функции /(г, ш, к2) на некотором дискретном множестве из заданного интервала [«2,тип К2,тах] с- последующим нахождением соответствующего значения к2, доставляющего минимум целевой функции (32) Вычислительные эксперименты показали что при компьютерной визуализации объектов покрытых маскирующим слоем действительно происходит ухудшение их видимости

В заключении приводятся основные результаты диссертации

1 Доказана единственность решения обратной задачи для полихроматического уравнения переноса, заключающаяся в определении неизвестного коэффициента ослабления по заданному излучению на внешней границе просвечиваемой среды Для ее решения предложен специальный тип внешнего источника излучения, имеющий разрыв первого рода по угловой переменной Разработан численный алгоритм решения обратной задачи и проведены вычислительные экс перименты

2 Для задачи определения границ разрывов коэффициентов монохроматического уравнения переноса показано что равенство нулю меры видимости на границе разрывов приводит к существованию бесконечного множества решений Построены примеры неединственности Теоретически и численно показано, что в оптически плотных средах непрерывность коэффициента поглощения на границе раздела является хорошей аппроксимацией условия невидимости среды

3 Рассмотрена задача поиска оптимальной энергии излучения внешних источников с целыо получения наилучшего качества реконструкции срсды

по данным томографического просвечивания Ее решение базируется на обеспечении условий, увеличивающих меру видимости Предложена упрощенная постановка задачи оптимизации и обосновано что в дефектоскопии использование ее решения оправдано

4 Доказана разрешимость прямой задачи для уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения на границе раздела сред в ограниченной трехмерной области и для пространствен по одномерного случая плоскопараллельной симметрии Исследованы непрерывные свойства решения задачи Получены оценки типа принципа максимума

5 Показана единственность решения задачи определения границы раздела сред при условии, что оператор сопряжения является линейной комбинацией френелевского и диффузного операторов, и среда содержит одно выпуклое включение Предложен численный метод нахождения решения

6 Сформулированы новые экстремальные задачи для уравнения переноса, применительно к оптике просветляющих и маскирующих покрытий Получены частные аналитические решения и построены численные алгоритмы нахождения решения в общем случае Показано, что наличие рассеяния в среде существенно сказывается на решении экстремальной задачи

Основные публикации автора по теме диссертации

1 Аниконов Д С Ковтанюк А Е , Прохоров И В Использование уравнения переноса в томографии М Логос, 2000, 224с

2 Amkonov D S, Kovtanyuk А Е and Prokhorov I V, Tianspoit Equation and Tomogiaphy Uticcht-Boston VSP 2002 216p

3 Amkonov D S , Nazarov V G , and Prokhorov I V Pooily Visible Media in X-ray Tomography Utrccht-Boston VSP, 2002 302p

4 Аииконов Д С, Прохоров И В Определения коэффициента уравнения переноса при энергетических и угловых особенностях внешнего излучения //Доклады АН 1992 Т 327 №2 С 205-207

5 Amkonov D S, Prokhorov I V, and Kovtanyvk A E Investigation of Scattering and Absorbing Media by the Method oi X-iay Tomography / /Journal of Inverse and Ill-Posed Problems 1993 V 1 №4 P 259-281

6 Amkonov D S , Kovtanyuk A E and Prokhorov I V, Some Numencal Expe-nmcnts m Tomography m of Scattenng Medium //In book Computerized Tomography, by cditoi M M Lavrcnt cv Inverse and Ill-Posed Problems Series Boston-Utrecht VSP 1995 P 25-31

7 Прохоров И В , Некоторые свойства решений уравнения переноса //ДВ матсм сборник 1996 Т 2 С 161-172

8 Аниконов Д С, Назаров В Г, Прохоров ИВ Видимые и невидимые среды в томографии //Доклады АН 1997 Т 357 №5, С 599-603

9 Amkonov D S, Kovtanyuk А Е / and Prokhorov I V, Tomogiaphy through the tianspoit, equation //Pioc IMA Volumes in Mathematics and its applications In book Computational Radiology and Imaging Thci ару and Diagnostics Springer-Veilag New Yoik 1999 Vol 110 P 33-44

10 Аньконов Д С, Прохоров ИВ , Значение коэффициента поглощения в диагностике рассеивающих и поглощающих сред //Доклады АН 1999 Т 368 №1 С 24-26

I

11 Аниконов Д С, Прохоров ИВ Некоторые математические модели томографии для особых состояний сред //Доклады АН 2000 Т 371 №4 С 452-456

12 Прохоров И В Краевая задача теории переноса излучения в неоднородной среде с условиями отражения на границе //Дифференциальные уравнения 2000 Т 36 №6 С 848-851

13 Антонов ДС Прохоров ИВ Необходимые и достаточные условия единственности одной задачи томографии // Журнал вычислительной математики и математической физики 2002 Т 42 №3 С 370-379

14 Прохоров И В , Определение поверхности раздела сред по данным томографического просвечивания //' Журнал вычислительной математики и математической физики 2002 Т 42 №10 С 1542-1555

15 Anikonov D S , Konovalova, D S, Kovtanyuk A E , Nazarov V G , and Pro-khorov I V, Investigation of Inverse and Other Non-classical Problems in the Russian Far East //In book "Resent Developments m Theories and Numerics" Word Scientific Publisher 2003 P 13-26

16 Прохоров ИВ, О разрешимости краевой задачи для уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения па границе раздела сред //Известия РАН Серия математическая 2003 Т 67 №6 С 169192

17 Проаоров ИВ Яровенко И П, Краевая задача теории переноса в многослойной среде с обобщенными условиями сопряжения //Сибирский журнал индустриальной математики, 2003 Т 6 №1 С 93-107

18 Антонов Д С Прохоров И В , Формальная оценка качества рокот трук-ции в рентгеновской томографии // Доклады АН 2005 Т 401 №3 С 312-315

19 Пропоров И В , Яровенко И П , Численное решение дифракционных задач для уравнения переноса излучения // Сибирские электронные математические известия 2005 Т 2 С 88-101

20 Prokhorov I V Yarovenko IР / and Krasmkova Т V An extiemum pioblem for the radiation transfer equation // Journal of Invcise and Ill-Posed Piob-lems 2005 V 13 №4 P 365-382

21 Аниконов Д С Прохоров ИВ , Назаров В Г, Солнышко H В Способ маскировки изделий //Патент Российской Федерации №2264424 Бюллетень №32, 20 11 2005

22 Аи/иконов Д С , Прохоров И В , Постановка и численное решение задачи оптимизации в рентгеновской томографии // Журнал вычислительной математики и математической физики 2006 Т 46 №1 С 18-25

23 Аниконов Д С, Прохоров ИВ Выбор оптимальной энергии излучения в рентгеновской дефектоскопии //Доклады АН 2006 Т 408 №4 С 455459

24 Прохоров И В , Яровенко И П Исследование задач on i ической томог рафии методами теории переноса излучения //Оптика и спектроскопия 2006 Т 101 №5 С 817-824

25 Kovtanyuk А Е Prokhorov I V Tomogiaphy pioblem foi the polanzed-îadiation transfei equation // Journal of Inveise and Ill-Posed Pioblems 2006 V 14 №6 P 609-620

Игорь Васильевич ПРОХОРОВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ

Автореферат

Изд лиц ИД № 05497 от 01 08 2001 г Подписано к печати 17 08 2007 г Печать офсетная Формат 60x84/16 Бумага офсетная Уел п л 1,88 Уч-изд л 1,27 Тираж 100 экз Заказ 106

Отпечатано в типографии ФГУП Издательство «Дальнаука» ДВО РАН 690041, г Владивосток, ул Радио, 7

Введение

Глава I. Краевые задачи для полихроматического уравнения переноса излучения

§ 1. Постановка прямой задачи для уравнения переноса излучения

§ 2. Функциональные пространства.

§ 3. Определение решения краевой задачи. Интегральная форма краевой задачи.

§ 4. Свойства решения прямой задачи

§ 5. Постановка обратной задачи для уравнения переноса. Задача нахождения коэффициента ослабления излучения

§ 6. Единственность решения обратной задачи.

§ 7. Построение источника с разрывной плотностью потока излучения

§ 8. Тестирование алгоритма реконструкции неизвестной среды

Глава II. Задачи рентгеновской томографии в монохроматическом случае

§ 9. Прямая задача для моноэнергетического уравнения переноса

§ 10. Постановка задачи томографии. Индикатор неоднородности. Достаточные условия единственности решения

§11. Невидимые и плоховидимые среды в рентгеновской радиодиагностике. Необходимые условия единственности решения задачи томографии.

§ 12. Примеры невидимых сред в томографии (примеры неединственности решения).

§ 13. Задачи оптимизации и квазиоптимизации в рентгеновской томографии.

Глава III. Прямая задача для уравнения переноса с фре-нелевскими условиями сопряжения на границе раздела сред

§ 14. Основные обозначения, определения и ограничения

§ 15. Постановка задачи. Обобщенные условия сопряжения

§ 16. Вспомогательные утверждения. Существование решения краевой задачи.

§ 17. Основные утверждения. Теорема единственности

Главным объектом исследований данной работы является стационарное интегро-дифференциальное уравнение переноса излучения, иногда называемое кинетическим линейным уравнением Больцмана [52,172]. При интерпретации результатов мы будем рассматривать излучение как по: ток фотонов различных энергий, хотя теоретически наши выводы могут быть применимы и для других процессов.

Основными характеристиками уравнения переноса являются: /(г, и>, Е) - плотность потока частиц (плотность потока излучения) в точке г трехмерной области С, движущихся в направлении единичного вектора о;, ш Е С1, и имеющих энергию Е, Е е [Ет1П, Етах]; ¡л(г, Е) - коэффициент ослабления в точке г частиц с энергией Е; К (г, и • и/, Е, Е') - дифференциальное сечение рассеяния в точке г, характеризующее вероятность перехода частиц из состояния (со',Е') в (и,Е)] 3{г,и,Е) -плотность внутренних источников в точке г, в направлении о; и на энергетическом уровне Е. Перечисленные величины связаны уравнением баланса: о; • Уг/(г, со, Е) + ^(г, Я)/(г, и, Е) =

-Ё'тах J ! К(г,ш-си',Е,Е')Цг,оо',Е')(1и1'(1Е' + Лг,ш,Е). (1)

Для обоснования уравнения переноса применяется не только феноменологический подход, но и более глубокий, использующий статистическую теорию многократного рассеяния случайных волновых полей. Проблема стохастического обоснования теории переноса излучения принадлежит к числу пока до конца нерешенных задач теоретической физики. Существенный вклад в это направление внесли работы Г.В. Розенберга, Ю.Н. Барабаненкова, Л.А. Апресяна, Ю.А. Кравцова и др. [39,42,140,142]

Данная работа не посвящена вопросам построения и обоснования модели, основанной на уравнении (1). Цель работы — теоретический и численный анализ различных граничных задач для уравнения переноса. Наиболее изученной из всех, является прямая или классическая краевая задача. Пусть С выпуклая область и п(г) единичный вектор внешней нормали в точке ^ £ <96?. Если к уравнению (1) добавить граничное условие г,ш,Е) = Е), (г, си, Е) е дСхПх £тах], п(г)-ш < 0, (2) то прямая задача заключается в нахождении функции / из соотношений (1),(2), в которых известны и функция /г, интерпретируемая как плотность потока излучения, проникающего в среду (7 через поверхность дй.

Как правило, коэффициенты ц, К, 7 уравнения (1) представляют собой кусочно-непрерывные функции в области С. Физически это означает, что среда С? составлена из разнородных по своим радиационным свойствам материалов. На поверхности 7, где рвутся коэффициенты уравнения, ставятся условия сопряжения, которые накладывают дополнительные ограничения на функцию /. Чаще всего эти ограничения требуют выполнения определенных условий согласования для соответствующих предельных значений функции / на поверхности 7. Причем, это касается не только уравнения переноса, а типично для многих краевых задач математической физики [102,103,154].

В диссертации будут рассматриваться задачи как с традиционными условиями сопряжения типа непрерывной "склейки" решения на границе раздела сред, так и с обобщенными условиями. Обобщенные условия позволяют учитывать изменение светового потока при переходе через границу раздела сред. Дело в том, что при распространении излучения в оптическом и ультрафиолетовом диапазонах, и в меньшей степени для мягкого рентгеновского излучения, в неоднородной среде сказываются эффекты отражения и преломления на контактных границах различных материалов. Поэтому уравнение переноса, в его классической форме, уже не способно адекватно описывать физический процесс. Модификация дифференциальной части уравнения переноса так, чтобы траектория фотонов искривлялась согласно значению коэффициента преломления среды, позволяет моделировать распространение излучения лишь в слабо неоднородном веществе [223]. Выходом из этой ситуации является учет вышеуказанных эффектов с помощью нетрадиционных условий сопряжения, позволяющих описывать изменение направления светового потока. Изменение направления распространения излучения на границе раздела сред может быть обусловлено, например, различными показателями преломления этих сред, и в зависимости от степени шероховатости поверхности раздела может иметь различный характер. В частности, оно может быть классическим, которое подразумевает зеркальное отражение и преломление по закону Снеллиуса на гладкой (зеркальной) поверхности. В этом случае соотношения для коэффициентов отражения и прохождения рассчитываются на основе формул Френеля. Также оно может быть диффузным, что характерно для матовых поверхностей, либо возможна линейная комбинация френелевского и диффузного отражения.

В общем случае условия на границах раздела мы будем записывать с помощью введения оператора сопряжения В\ f~(z, u>, Е) = (Bf+)(z, и, Е), (z,co.E) е j xüx [£min, Етах], (3) где f±(z,oj,E) = lim f(z еси,и,Е) предельные значения функции

->+0 f(r,uj,E) при соответствующем стремлении точки г к z <Е j. В случае непрерывности решения при переходе через границу раздела сред оператор сопряжения имеет очень простой вид:

Bf+)(z^,E) = f+(z,oj,E). (4)

Условия (3) с оператором сопряжения вида (4) достаточно традиционны и адекватно описывают процесс на границах раздела сред при распространении рентгеновского излучения и гамма-квантов. В первых двух главах диссертации мы будем иметь дело с задачами, где используется именно такой оператор сопряжения, причем особенно не акцентируя на этом внимание. В остальных трех главах рассматриваются краевыми задачи с более общим оператором сопряжения.

Теория краевых задач с традиционными условиями сопряжения на сегодняшний день достаточно хорошо разработана [1-3,31-33,53,54,57, 58,60,61,67,77,80,82,93-97,113,128,155,156,159,160,171,180,183,248].

Особо можно выделить работу B.C. Владимирова [53] сыгравшую ключевую роль в становлении и развитии математической теории переноса. Большой вклад в изучение краевых задач для уравнения переноса и в создание математически обоснованных вычислительных методов их решения внесли исследования Е.С. Кузнецова, Г.И. Марчука, Г.А. Михайлова, С.Б. Шихова, В.И. Лебедева, М.В. Масленникова, В.И. Агошкова, Т.А. Сушкевич. Наиболее близкие к нам по ограничениям и методам работы Т.А. Гермогеновой [58,60].

Справедливости ради заметим, что на внешней границе среды многими авторами рассматривались и более общие краевые условия нежели простое задание внешнего потока излучения (условие (2)). Часто к функции поверхностных источников h добавляют оператор отражения, действующий на выходящее из среды излучение. Такое граничное условие позволяет косвенно учитывать влияние внешней среды, например, для нейтронного излучения при расчете критических размеров реактора [58,60,110,128,180]. Также условия общего вида на внешней границе среды можно встретить при изучении газо-кинетической модели, основанной на уравнении Больцмана. В этом случае граничные условия связывают функции распределения падающих и отраженных молекул на поверхности твердого тела [114,172].

Исследования краевых задач с обобщенными условиями сопряжения берут свое начало с достаточно простого случая плоско-параллельной симметрии, который не без успеха применялся к численному моделированию переноса оптического излучения в атмосфере Земли [80,109,159161]. Кроме этого, разрабатывались специальные аналитические методы для исследования указанной модели (метод Винера-Хопфа и др.), при достаточно сильных ограничениях на исходные данные задачи [131,132]. С развитием лазерной техники, акцент в использовании указанной модели сместился в сторону достаточно широкого класса задач оптической диагностики биологических тканей [45,115,150,165,166,190,192,205,224, 225,240].

Буквально в последнее десятилетие наблюдается интенсивное развитие исследований, посвященных созданию реалистической трехмерной компьютерной графики [4,44,193,238,239]. Эти исследования посвящены разработки методов численного решения прямых задач для уравнения переноса с граничными условиями, моделирующими отражение и преломление на границах трехмерных объектов и последующим графическим представлением самого решения. Отметим, что в указанных работах авторы иногда даже не приводят уравнение переноса, а обходятся словесным описанием соответствующего физического процесса с одной лишь целью — создание экономичного численного алгоритма.

Таким образом, теоретически рассматриваемые задачи были исследованы в незначительной степени, хотя еще в 50-х годах прошлого столетия Г.В.Розенберг и В.В. Соболев отмечали важность учета эффектов на контактных границах в модели, основанной на уравнении переноса излучения [140,142,143,156]. Только сравнительно недавно рассматриваемая модель стала обретать свою строгую математическую форму.

Обратные задачи, рассматриваемые в работе, можно сформулировать так: найти полностью или частично коэффициенты К, J по плотности потока излучения /, известной на части или на всей границе среды G и для некоторого множества направлений со.

Ясно, что излучение на границе доступно для измерения, а знание хотя бы частичной информации о коэффициентах внутри G дает некоторое представление о внутреннем строении среды.

По-видимому, история неклассических (обратных) задач для уравнения переноса берет свое начало с 1962 года с работы М.В.Масленникова [111], в которой он рассмотрел классическую проблему Милна в полубесконечном слое и исследовал задачу о восстановлении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения в глубине слоя. Подробное изложение этих результатов содержится в [112,113]. Отметим, что в работах [111,112] автор благодарит академика А.Н. Тихонова за постановку вопроса. Впрочем, нельзя со всей определенностью утверждать, что именно эти работы явились источником развития обратных задач для уравнения переноса. Дело здесь в том, что часть работ в этом направлении осуществлялась по закрытой тематике. Кроме этого в литературе физической и прикладной направленности можно встретить статьи, опубликованные еще до 60-х годов, в которых обсуждались те или иные постановки обратных задач для уравнения переноса излучения и предлагались методы их решения. Например, в работе Г.В. Розенберга (1959) [142] рассматривалась та же самая задача, что и в [111], обсуждались ее физические аспекты и, с несколько меньшей степенью математической строгости, чем в [112,113], исследовались вопросы нахождения решения.

В 1964 году, в связи с использованием информации с метеорологических спутников Земли, были опубликованы работы Г.И.Марчука [107, 108], посвященные постановке и обсуждению одной обратной задачи в плоскопараллельном случае. В книгах Р.Беллмана, Р.Калабы [41] и Р.Лат-теса, Ж.-Л.Лионса [104] обратные задачи для уравнения переноса рассматривались в основном с точки зрения получения численных результатов. Затем, К.Кейзом в докладе на конференции по математическим аспектам теории переноса предложено решение обратной задачи об определении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения. Краткое изложение этого доклада содержится в обзоре П.Цвайфеля [241]. Для уравнения, учитывающего зависимость от времени (нестационарный случай) постановки и обсуждения обратных задач имеются в работе А.И.Прилепко [134]. В 1973 году была опубликована первая работа Д.С.Аниконова [9], получившая развитие в серии дальнейших публикаций [10-30,34,184]. Теперь теория обратных задач весьма обширна (см., например, работы Ю.Е. Аниконова, В.Г. Романова, В.А.Шарафутдинова, В.Р. Кирейтова, А.Я. Казакова, У.Н. Султангазина, И.Ш. Иркегулова, В.И. Грыня, N. J. McCormick, С.Е. Sievert, А.H. Hakim, S.R. Arridge, О. Dorn и др. [8,35-37,46,48,59,64-66,70,72-74,76,78,79,81,85,86,88,91,119, 126,135-137,144-148,158,174-177,185-190,194-196,202,215-220,236,237]). Несмотря на большой, хотя и неполный, список приведенных работ, пересечения результатов разных авторов незначительны. Это объясняется большим разнообразием постановок задач, различными ограничениями и методами. В частности, работы автора этой диссертации почти не имеют общих мест с другими. Исключением из этого являются работы Д.С.Аниконова, А.Е. Ковтанюка, В.Г. Назарова, И.П.Яровенко и ряд совместных статей и монографий [25-30, 34, 88, 91,119,182,184, 242-247, 249-252,254,256,258-266].

Перейдем к краткому обзору диссертации. Диссертация состоит из 27 параграфов, структурно разделенных на пять глав.

В главе I исследуются краевые задачи для полихроматического уравнения переноса.

Параграфы 1-4 посвящены исследованию прямой задачи для уравнений переноса, где дополнительно задается плотность потока излучения на границе среды G, поступающего в G извне. Доказаны теоремы существования и единственности решения и утверждения, относящиеся к качественной теории прямых задач. Все установленные свойства играют для нас вспомогательную роль и используются в дальнейшем исследовании неклассических задач. Мы не претендуем на оригинальность этих результатов. Они вполне традиционны. Однако, при наших предположениях, возможность прямой ссылки отсутствует. Вместе с тем отметим, что удалось исследовать непрерывные свойства решения прямой задачи при весьма общих предположениях, привести вполне формальные доказательства.

Ограничения на индикатрису рассеяния, используемые в этой главе, не охватывают классическую индикатрису рассеяния Комптона, содержащую дельта-функцию Дирака. Однако, как утверждается в [167], использование ¿-функции не вполне адекватно физическому эффекту Комптона. Возможно, что индикатриса, которая является интегрируемой функцией, но допускающей неограниченной рост вблизи носителя 6-функции в комптоновском дифференциальном сечении, является альтернативным описанием Комптон-эффекта. Последнее замечание нисколько не снижает научной и практической ценности работ Д.С. Аниконова и Д.С. Коноваловой [31-33], в которых исследованы вопросы разрешимости прямой задачи для уравнения переноса в случае чисто комптонов-ского рассеяния.

В §5 ставится обратная задача об определении коэффициента д(г, Е) при задании только плотностей входящего и выходящего потоков на границе среды С. Подчеркнем, что другие коэффициенты не предполагаются известными и в то же время не подлежат определению. В §6 для решения этой задачи удалось применить специальный тип внешнего источника, с разрывной плотностью испускаемого потока. Такой подход сильно упростил задачу и перевел ее из категории неопределенно-трудных в категорию достаточно просто решаемых. Основной результат этого параграфа - теорема единственности решения обратной задачи. В §7 приводятся соображения по практической реализуемости требуемых внешних источников с разрывной плотностью потока. Завершает первую главу §8, посвященный построению численного алгоритма и проведению компьютерных экспериментов. В частности, на численных экспериментах продемонстрировано влияние ошибок дискретизации и неполноты данных на качество реконструкции функции ¡л.

Вторая глава посвящена моноэнергетическому варианту уравнения переноса. В этом случае переменная Е в уравнении (1) играет роль параметра и везде, кроме параграфа 13, зависимость от него опущена. В

§9 утверждения, относящиеся к прямой задаче и доказанные в главе I, конкретизируются для моноэнергетического случая.

В §10 ставится следующая задача томографии: найти внутренние поверхности разрывов коэффициентов уравнения переноса, если известна только плотность выходящего потока излучения на границе среды.

В работах Д.С. Аниконова, В.Г. Назарова [25-27, 29,121,184], были исследованы достаточные условия единственности решения этой задачи. Метод исследования основан на построении двух интегро-дифференциальных индикаторов неоднородностей. Индикаторы переводят плотность выходящего из среды излучения в соответствующие функции заданные внутри G. Причем, один из них использует неполные данные о выходящем излучении. Эти функции при выполнении условия видимости неограни-чены только вблизи искомых поверхностей. Отсюда вытекают соответствующие теоремы единственности решения задачи. Одним из следствий приведенного исследования является возможность введения нового в томографии понятия: мера видимости среды в точке г в направлении ш.

Ранее подобные интегро-дифференциальные индикаторы в других формах изучались, например, в работах Э.И. Вайнберга, И.А. Казака, М.Л. Файнгойза, F. Natterer, A.G. Ramm, A.I. Katsevich, A. Zaslavsky [51,125, 208-212,227-232]. Там операторы применялись к преобразованиям Радона от неизвестных функций. Это соответствует использованию уравнения переноса в сильно упрощенном случае, например, при отсутствии внутренних источников и равенстве нулю интеграла столкновений.

В нашем случае индикатор действует на плотность выходящего потока излучения, которая в общем случае является гораздо более сложным объектом, чем преобразование Радона. Такой подход позволяет не только рассмотреть ситуацию близкую к практике, но и приводит к появлению новых понятий в томографии, которые не имеют места для упрощенных моделей.

В §10 собраны основные сведения (ограничения, определения, формулировки утверждений) относительно исследования достаточных условий единственности решения указанной выше задачи томографии.

В §11 исследуется необходимость условия видимости для задач томографии вообще, т.е. для разных постановок задач и для различных методов решения. Доказано, что равенство нулю меры видимости на поверхности разрыва коэффициентов приводит к неединственности решения задачи. Результаты этого параграфа позволяют определить среды, невидимые в томографии и близкие к ним плоховидимые среды. В этом же параграфе приведен алгоритм построения индикатора неоднородности и проведены численные эксперименты. Их результаты подтвердили полезность введения новых понятий.

В §12 строятся несколько примеров неединственности решения задачи томографии, для которых, в частности, выполняется условие невидимости.

Параграф 13 посвящен постановке и изучению задачи оптимизации для уравнения переноса излучения. Рассматривается задача определения внутренних границ между различными материалами в произвольной среде. Как и раньше, известной информацией является плотность зондирующего потока фотонов рентгеновского излучения, измеряемая вне среды. Предыдущие исследования позволяют не только решить поставленную задачу, но и предложить подход к проблеме выбора оптимальных условий рентгенодиагностики. В данном параграфе, наряду с общей постановкой такой оптимизационной задачи, изучается ее конкретный вариант определения энергии источников, обеспечивающей наилучшее качество реконструкции искомых границ. Кроме того, исследуется упрощенная оптимизационная задача поиска энергии, близкой к оптимальной.

Результаты, содержащиеся в §§11,13, получены совместно с Д.С. Ани-коновым.

Следующие три главы посвящены исследованию краевых задач для монохроматического уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения.

Перейдем к обзору результатов третьей главы. В этой главе проведено исследование корректности прямой задачи для монохроматического уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения на границе раздела сред. Основной результат получен в случае оператора сопряжения френелевского типа. Однако, некоторые утверждения этого раздела без особого труда адаптируются под ограничения следующей главы диссертации и используются при изучении обратной задачи с оператором сопряжения более сложного вида.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Доказана единственность решения обратной задачи для полихроматического уравнения переноса, заключающаяся в определении неизвестного коэффициента ослабления ц(г, Е) по заданному излучению на внешней границе просвечиваемой среды. Для ее решения предложен специальный тип внешнего источника излучения, имеющий разрыв первого рода по угловой переменной. Это позволило свести исходную обратную задачу к обращению преобразования Радона. Разработан численный алгоритм решения обратной задачи и проведены вычислительные эксперименты. Проанализировано влияние ошибок дискретизации и неполноты данных на качество реконструкции функции /л.

2. Исследована задача томографии о нахождении границ разрывов коэффициентов монохроматического уравнения переноса. Доказано, что равенство нулю меры видимости на границе неоднородности приводит к существованию бесконечного множества решений задачи томографии. Построены примеры неединственности. Теоретически и численно показано, что непрерывность коэффициента поглощения на границе раздела во многих случаях является хорошей аппроксимацией условия невидимости. Проведены вычислительные эксперименты с модельными данными, которые соответствуют реальным веществам.

3. Рассмотрена задача поиска оптимальной энергии излучения внешних источников, обеспечивающей наилучшее качество реконструкции среды. Ее решение базируется на обеспечении условий, увеличивающих меру видимости. Предложена упрощенная постановка задачи оптимизации

Заключение 228 и обосновано, что в дефектоскопии ее решение можно использовать в качестве решения исходной задачи.

4. Доказана разрешимость прямой задачи для моноэнергетического уравнения переноса в ограниченной трехмерной области с френелевски-ми условиями сопряжения на границе раздела сред. Получены оценки типа принципа максимума. Разработан численный алгоритм нахождения решения применительно к задачам реалистичной визуализации трехмерных объектов.

5. Когда оператор сопряжения является сжимающим и представлен линейной комбинацией френелевского и диффузного операторов, и коэффициенты уравнения являются кусочно-непрерывными функциями, построено множество непрерывности решения прямой задачи. При этих же ограничениях в случае одного выпуклого включения доказана единственность решения обратной задачи о нахождении границы раздела, используя информацию только о выходящем излучении. Предложен численный метод нахождения решения в более общем случае.

6. Доказано существование, единственность и непрерывность решения прямой задачи с обобщенными условиями сопряжения в среде, имеющей плоскопараллельное строение. В отличие от трехмерного случае это удалось показать для нерасширяющего оператора сопряжения общего вида.

7. Поставлены новые экстремальные задачи для уравнения переноса, применительно к оптике просветляющих и маскирующих покрытий. В плоскопараллельном случае получены некоторые частные аналитические решения, а в трехмерном — построены численные алгоритмы нахождения решения.

1. Агошков В.И. О гладкости решения уравнения переноса и приближенных методах их построения. //В сб.: Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения. Под ред. Г.И.Марчука. Новосибирск. 1977. Вып. т. С. 44-58.

2. Агошков В.И. Некоторые вопросы теории и приближенного решения о переносе частиц. М.: ОВМ АН СССР. 1984, 206с.

3. Агошков В.И. Обобщенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988.

4. Адинец A.B., Барладян Б.Х., Волобой А.Г., Галактионов В.А., Копылов Э.А., Шапиро JI.3. Когерентная трассировка лучей для сцен, содержащих объекты со сложными светорассеивающими свойствами. //Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша №107. 2005.

5. Акилов Г.П., Макаров Б.М., Хавин В.П. Элементарное введение в теорию интеграла. JL: ЛГУ, 1969, 350с.

6. Алексеев A.C., Гейдт В.В. Интерференционный метод восстановления рельефа поверхности по ее волновым изображениям. //В сб.: Численные методы в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск. 1980. С. 157-158.

7. Алексеев А.С.,Лаврентьев М.М.,Преображенский Н.Г. Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1985, 190с.

8. Амиров А.Х. Теоремы существования и единственности решения одной обратной задачи для уравнения переноса. // Сиб. мат. журнал. 1986. Т. 27. №6. С. 3-20.

9. Аниконов Д. С. Об обратных задачах для уравнения переноса. //Труды 11-ой конференции студентов и аспирантов Новосибирского Государственного Университета, Апрель 1973, С. 21-22.

10. Аниконов Д. С. Об обратных задачах для уравнения переноса. // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 2. №1. С. 7-17.

11. Аниконов Д. С. О единственности определения коэффициента и правой части уравнения переноса. //Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 2. № 1. С. 8-18.

12. Аниконов Д. С. Об одной задаче для уравнения переноса. //Сиб. мат. журнал. 1975. Т. 26. № 3.

13. Аниконов Д. С. Об ограниченности сингулярного интегрального оператора в пространстве Са(С). //Мат. сборник. 1977. Т. 104(106). № 4(12). С. 515-534.

14. Аниконов Д.С. К вопросу единственности решения обратных задач для уравнений математической физики. //Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С. 3-9.

15. Аниконов Д. С. Решения обратных задач в трехмерном случае. //Динамика сплошной среды. 1979. Т. 50. С.

16. Аниконов Д.С. Многомерные обратные задачи для уравнения переноса. //Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. №5. С. 817-824.

17. Аниконов Д.С. Единственность совместного определения двух коэффициентов уравнения переноса. //Доклады АН. 1984. Т. 277. №4. С. 777-780.

18. Антонов Д.С. Единственность определения коэффициента уравнения переноса при специальном типе источника. //Доклады АН. 1985. Т. 284. №5. С. 511-515.

19. Антонов Д. С. Решение задачи томографии при специальном типе источника. //В сб.: Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии. Новосибирск. 1985. С .3-10.

20. Антонов Д. С. Квазирешение одной задачи типа численного дифференцирования. //Известия АН Каз.ССР. Серия физ.-мат. 1987. Т. 3(136). С. 10-14.

21. Антонов Д.С. Примеры неединственности решения задачи интегральной геометрии. //Доклады АН. 1988. Т. 299. №1. С. 15-17.

22. Антонов Д. С. Трехмерные обратные задачи для односкоростно-го уравнения переноса. //Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук по специальности 01.01.02. Новосибирск. 1989. 248с.

23. Антонов Д. С., Иркегулов И.Ш. Определение интегральных характеристик коэффициента поглощения излучения. //Доклады АН. 1989. Т. 308. №4. С. 838-841.

24. Антонов Д.С., Иркегулов И.Ш. Один метод определения интегральных характеристик коэффициента поглощения для уравнения переноса. //ЖВМ и МФ. 1990. Т. 30. т. С. 1262-1267 .

25. Антонов Д. С. Использование особенностей решения уравнения переноса в рентгеновской томографии. //Доклады АН. 1994. Т. 335. №6. С. 702-704.

26. Антонов Д. С. Задача типа Стефана для уравнения переноса. //Доклады АН. 1994. Т. 338. №1. С. 25-28.

27. Аниконов Д.С. Построение индикатора неоднородности при радиационном обследовании среды. //Доклады АН. 1997. Т. 357. №3. С 324327.

28. Аниконов Д. С. Сравнение двух математических моделей теории переноса излучения. //Доклады АН. 1998. Т. 361, №2, С. 171-173.

29. Аниконов Д.С., Назаров В.Г. Интегро-дифференциальный индикатор неоднородности по неполным данным. //Доклады АН. 2001. Т. 376. М. С. 24-26.

30. Аниконов Д. С. Простые и сложные математические модели стационарной теории переноса. //Дальневосточный математический журнал. 2002. Т. 3. №1. С. 18-23.

31. Аниконов Д.С., Коновалова Д.С. Кинетическое уравнение переноса в случае Комптоновского рассеяния. //Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. №5. С. 987-1001.

32. Аниконов Д.С., Коновалова Д.С. Комптоновский эффект в теории переноса излучения. //Доклады АН, 2004. Т. 398. №4. С. 462-465.

33. Аниконов Д. С., Коновалова Д. С. Краевая задача для уравнения переноса с чисто комптоновским рассеянием. // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 45. №1. С. 3-16.

34. Аниконов Д. С., Назаров В.Г. Классификация неоднородных сред в томографии на основе показателя их контрастности. // Оптика и спектроскопия. 2005. Т. 99. №4. С. 674-679.

35. Аниконов Ю.Е. О многомерных обратных задачах для кинетических уравнений. //В кн. : Методы решения некорректных задач и проблемы геофизики. Новосибирск. 1984. С. 3-8.

36. Аниконов Ю.Е., Бондаренко А.Н. Многомерные обратные задачи для кинетических уравнений. //Доклады АН. 1984. №4. С. 779-781.

37. Антонов Ю.Е., Пестов Л.П. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. Новосибирск. 1990. 64с.

38. Аниконов Ю. Е., Степанов В. Н. Геометрия выпуклых поверхностей и обратные задачи теории рассеяния. //Сиб. матем. журнал. 1994. Т. 35. №5. С. 955-973.

39. Апресян Л.А, Кравцов Ю.А. Фотометрия и когерентность: волновые аспекты теории переноса излучения. //Успехи физ. наук. 1984. Т. 142. т. С. 689-711.

40. Ахиезер А.П., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука. 1981. 432с.

41. Беллман Р, Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир. 1968.

42. Барабаненков Ю.Н., Кравцов Ю.А., Рытое С.М., Татарский В.И. Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде. // Успехи Физ. Наук. 1970. Т. 102. №1. С. 3-42.

43. Барабаненков Ю.Н. Многократное рассеяние волн на ансамбле частиц и теория переноса излучения. // Успехи Физ. Наук. 1975. Т. 117. №1. С. 49-76.

44. Барладян Б.Х., Волобой А.Г., Вьюкова Н.И., Галактионов В.А., Дерябин Н.Б. Моделирование освещенности и синтез фотореалистичных изображений с использованием Интернет технологий./ /Программирование. 2005. №5. С.3-18.

45. Бердник В. В. Восстановление характеристик светорассеивающего слоя по коэффициентам отражения и пропускания. Нейросетевой подход. //Оптика и спектроскопия. 2005. Т. 99. № 1. С. 105-112.

46. Бондаренко А.Н. Сингулярная структура фундаментального решения уравнения переноса и обратные задачи теории рассеяния частиц. //Доклады АН. 1992. Т. 322. №2. С. 274-276.

47. Ворн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука. 1973.

48. Бронников A.B. Эмиссионная томография источников с самопоглощающим излучением. //Доклады АН. 1992. Т. 322. №5. С. 879-882.

49. Булыгин Ф.В., Вишняков Г.Н., Левин Г.Г., Карпухин Д.В. Спек-тротомография новый метод получения спектрограмм двумерных объектов. //Оптика и спектроскопия. 1991. Т. 71. №6. С. 974-978.

50. Булыгин Ф.В., Левин Г. Г. Спектротомография флуоресцирующих объектов. //Оптика и спектроскопия. 1998. Т. 84. №6. С. 986-990.

51. Вайнберг Э.И., Казак И.А., Файнгойз М.Л. Рентгеновская вычислительная томография по методу обратного проецирования с фильтрацией двойным дифференцированием. //Дефектоскопия. 1985. №2. С. 31-39.

52. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит. 2001.

53. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. //Тр.МИАН СССР. 1961. №61. С. 3-158.

54. Владимиров B.C. Особенности решения уравнения переноса. //ЖВМ и МФ. 1968. Т. 8. №4. С. 842-851.

55. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1967.

56. Гейдт В. В. К задаче восстановления индикатрисы излучения и рельефа по его фотоизображениям. //В сб.: Некорректные задачи мат. физики и проблемы интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск. 1976. С. 33-45.

57. Гермогенова Т.А. Принцип максимума для уравнения переноса //ЖВМ и МФ. 1962. Т. 2. № 1. С. 169-174.

58. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решения уравнения переноса. //Доклады АН. 1969. Т. 187. №5. С. 18-21.

59. Гермогенова Т.А. Об обратных задачах атмосферной оптики. //Доклады АН. 1985. Т. 285. №5. С. 1091-1096.

60. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука. 1986. 272с.

61. Гермогенова Т.А. Регулярные компоненты асимтотических приближений к решениям уравнения переноса в оптически плотных средах. //ЖВМ и МФ. 1997. Т. 37. №4. С. 464-482.

62. Гласко В.Б., Тихонов А.Н., Тихонравов A.B. О синтезе многослойных покрытий. //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14. № 1. С. 135-144.

63. Горшков В.А., Воробьев В.А., Пронин С.Е. Радиационная томография с использованием неколлимированного обратнорассеянного излучения. //Дефектоскопия. 1998. №9. С. 71-82.

64. Грынь В. И. Об обратных диагностических задачах атмосферной оптики. //ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25. №10. С. 1506-1525.

65. Грынь В. И. Об обратных задачах теории стационарного переноса излучения в двумерной плоской геометрии. //ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. №5. С. 1831-1853.

66. Грынь В. И. Об обратных задачах стационарного переноса излучения. //ЖВМ и МФ. 1995. Т. 35. №12. С. 758-771.

67. Грынь В. И. Точные решения уравнения стационарного переноса излучения при одномерной плоской и сферической геометриях. //ЖВМ и МФ. 1997. Т. 37. №7. С. 841-861.

68. Деревцов Е.Ю. О точках ветвления оптических кривых. //В сб.: Численные методы в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск. 1980. С. 36-47.

69. Деревцов Е.Ю. О точках вепвления оптических кривых. //В сб.: Математические методы решения прямых и обратных задач геофизики. Новосибирск. 1981. С. 31-38.

70. Дурдиев Д. К. Линеаризованная обратная задача для двумерного уравнения переноса. //В сб.: Методы решения условно-корректных задач. Новосибирск. 1991. С. 47-66.

71. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

72. Зеге Э.П., Иванов А.П., Кацев И.Л. Перенос изображения в рассеивающей среде. Минск: Наука и техника, 1985.

73. Зеге Э.П., Кацев И.Л., Полонский И.Н. Учет многократного рассеяния при лазерном зондировании стратифицированной рассеивающей среды. 1. Общая теория. //Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1998. Т. 31. М. с. 45-60.

74. Зеге Э.П., Кацев И.Л., Полонский И.Н. Учет многократного рассеяния при лазерном зондировании стратифицированной рассеивающей среды. 2. Особенности зондирования атмосферы из космоса. //Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1998. Т. 34. №2. с. 253-260.

75. Зеркаль С.М., Соппа М.С. Локационные задачи теории распространения волн (дифракция и фокусировка). Новосибирск: НГУ, 2003.

76. Иванков А.Л. Единственность определения коэффициента уравнения переноса для чистого поглощения. //В сб. : Математические методы исследования физических процессов. Под ред. А.И.Прилепко. Из-во МИФИ. Москва. 1982. С. 31-36.

77. Иванов А.П. Оптика рассеивающих сред. Минск, 1969. 592с.

78. Иркегулов И.Ш. О единственности решения обратных атмосферной оптики. //В сб.: Аналитические и численные методы решения задач математики и механики. Наука. Каз.ССР. Алма-Ата. 1981. С. 37-42.

79. И санов Р.Ш.,Яхно В.Г. Одна задача эмиссионной томографии. //В сб.: Методы решения условно-корректных задач. Новосибирск. 1991. С. 67-78.

80. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. М.: Мир. Т.1,2. 1981.

81. Казаков А.Я. Обратные задачи теории переноса излучения в шаре и цилиндре. //Доклады АН. 1983. Т. 287. №3. С. 587-592.

82. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир. 1972. 384с.

83. Кирейтов В. Р. Об одном классе отображений биповерхностей трехмерного пространства. //Матем. проблемы геофизики. 1974. Вып. 4. Ч. 1. С. 38-44.

84. Кирейтов В. Р. О задаче восстановления оптической поверхности по ее изображениям. //Функциональный анализ и иго приложения. 1975. Т. 10. №1. С. 45-54.

85. Кирейтов В.Р. Обратные задачи фотометрии. Новосибирск: Из-во ВЦ СОАН СССР. 1983.

86. Кирейтов В. Р. Задача Коши, Дирихле и некоторые обратные задачи для односкоростного уравнения Пайерлса теории переноса излучения в однородно поглощающей среде с изотропными источниками. //Сиб. мат. журнал. 1995. Т. 36. №3, С. 551-572.

87. Клюев В.В.,Маклашевский В.Я.,Тимонов A.A., Филонов В.Н. Реконструкция изображений по данным с угловым ограничением в промышленной томографии. //Доклады АН. 1993. Т. 331. №2. С. 155-157.

88. Ковтанюк А.Е. Определение внутренней структуры среды посредством многократного облучения. //Дальневосточный мат. сборник. 1995. Т. 1, С. 101-118.

89. Ковтанюк А.Е. Специальные граничные условия для уравнения переноса излучения. //Дальневосточный мат. сборник. 1996. Т. 2, С. 99110.

90. Ковтанюк А.Е. Сравнение основных моделей теории переноса излучения. //Препринт 12-1996. ИПМ ДВО РАН. 1996. 12с.

91. Ковтанюк А.Е. Определение внутренней структуры среды методом многократного облучения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук по специальности 01.02.04. Владивосток. 1997. 95с.

92. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1981. 544с.

93. Коновалова Д. С. Один способ аппроксимации меры видимости в рентгеновской томографии. //Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. Т. 8. № 1(21). С. 64-69.

94. Коновалова Д. С. Принцип максимума для уравнения переноса в случае комптоновского рассеяния. //ЖВМ и МФ. 2005. Т. 45. №7. С. 11851194.

95. Коновалова Д. С. Некоторые свойства решений уравнения переноса. //Диффернециальные уравнения. 2006. Т. 42. №5. С. 732-738.

96. Кузнецов Е. С. К вопросу о приближенных уравнениях переноса лучистой энергии в рассеивающей и поглощающей среде // Доклады Академии Наук СССР. 1942. Т. 37. №7-8. С. 237-244.

97. Кузнецов Е. С. О решении уравнения переноса излучения для плоского слоя при анизотропном рассеянии // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. №4. С. 769-773.

98. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука. 1991. 331с.

99. Лаврентьев М.М., Кирейтов В. Р. Об одном классе отображений би-поверхностей трехмерного пространства. //Доклады АН. 1974. Т. 216. т. С. 259-260.

100. Лаврентьев М.М., Кирейтов В.Р. Об точках ветвления оптических биповерхностей. //Доклады АН. 1975. Т. 221. №5. С. 1027-1030.

101. Лаврентьев М.М., Ладыжец B.C. Об одной обратной задаче геометрической оптики. //Доклады АН. 1983. Т. 269. №6. С. 1313-1315.

102. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1964.

103. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 407с.

104. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир. 1970.

105. Левин Г.Г., Старостенко О.В. О возможности томографических исследований рассеивающих сред. //В сб.: Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии. Новосибирск. 1985. С. 86-99.

106. Лейпунский О.И., Новожилов Б.В., Сахаров В.И. Распространение гамма-квантов в веществе. М.: ГИФМЛ. 1960.

107. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач. //Доклады АН. 1964. Т. 156. т. С. 503-506.

108. Марчук Г. И. Уравнения для ценности информации с метеорологических спутников Земли и постановка обратных задач. //Космические исследования. 1964. Т. 2, №3. С.462-477.

109. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назарлиев М.А., Дробинян P.A., Каргин В.А., Елепов Б.С. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск: Наука. 1976. 280с.

110. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат. 1981.

111. Масленников М.В. Об одной обратной задаче теории прохождения через вещество. //Доклады АН. 1962. Т. 145. №5. С. 1019-1021.

112. Масленников М.В. Единственность обратной задачи асимптотической теории переноса излучения. //ЖВМ и ФМ. 1962. Т. 2. №6. С. 10441053.

113. Масленников М.В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием. //Тр.МИАН СССР. Т. 47. 1968.

114. Маслова Н.В. Стационарные решения линеаризованного уравнения Больцмана. //Тр.МИАН СССР. 1983. Т. 159. С. 41-60.

115. Михайлов Г.А. Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2000.

116. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: ФМ. 1962.

117. Назарлиев М.А. Статистическое моделирование радиационных процессов в атмосфере. Новосибирск: Наука. 1990.

118. Назаров Г. В. Численные эксперименты в томографии с использованием индикатора неоднородности и меры видимости. //Препринт ИПМ ДВО РАН. 1997. №16. 14с.

119. Назаров В. Г. Томографическая неразличимость границ контакта некоторых материалов //ДВ мат. сборник. 1999. №8. С. 110-120.

120. Назаров В.Г. Индикатор неоднородности по неполным данным и его применение в томографии. //Препринт ИПМ ДВО РАН. №17. 2000. 45с.

121. Назаров В.Г. Аппроксимация коэффициента поглощения для уравнения переноса излучения на заданном промежутке энергии. //Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7. №4(20). С. 116129.

122. Назаров В. Г., Яровенко И. П., Солнышко Н. В. Численные эксперименты в теории переноса излучения с учетом комптоновского рассеяния. //СибЖИМ. 2005. Т. 8. №2(22) С. 135-143.

123. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1974. 480с.

124. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир. 1990. 279с.

125. Нижник Л.П.,Тарасов В.Г. Обратная задача рассеяния для од-носкоростного уравнения переноса. //Доклады АН. 1978. Т. 242. №6.

126. Николаев М.Н.,Рязанов Б.Г.,Савоськин М.М., Цибуля A.M. Многогрупповое приближение в теории переноса нейтронов. М.: Энерго-атомиздат. 1984.

127. Новиков В.М., Шихов С. Б. Теория параметрического воздействия на перенос нейтронов. М.: Энергоизда. 1982. 192с.

128. Перен Ф. Методы оценки фотографических систем. //Успехи Физ. Наук. 1962. Т. 78. №2. С. 307-344.

129. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Вычислительная томография и физический эксперимент. //Успехи Физ. Наук. 1983. Т. 141. №3. С. 469-498.

130. Потапов B.C. Метод решения уравнения теории переноса для оптически толстого слоя с отражающими границами. //Теоретическая и матем. физика. 1994. Т. 100. №2. С. 287-302.

131. Потапов B.C. Асимптотические решения уравнений теории переноса для оптически толстого слоя с отражающими границами. //Теоретическая и матем. физика. 1994. Т. 100. №3. С. 424-343.

132. Приезжаев А.В, Тучин В.В, Шубочкин Л.П. Лазерная диагностика в биологии и медицине. М.: Наука. 1989.

133. Прилепко А.И. Обратные задачи терии потенциала (элиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса). //Мат. заметки. 1973. Т. 14. №5. С. 755-767.

134. Прилепко А.И.,Пванков А.Л. Обратные задачи для нестационарного уравнения переноса. //Доклады АН. 1984. Т. 276. №3. С. 555-559.

135. Прилепко А.И.,Иванков А.Л. Обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса. //Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, №5. С. 870-885.

136. Прилепко А.И.,Иванков А.Л., Волков Н.П. О некоторых обратных задачах для нестационарного уравнения переноса. //Успехи мат. наук. 1986. Т. 41. №4(250). С. 156-157.

137. Рамм А.Г. Восстановление формы отражающего тела по амплитуде рассеяния. //Радиофизика. 1970. Т. 13 С. 727-732.

138. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния. М.: Мир 1994. 496с.

139. Розенберг Г. В. Вектор-параметр Стокса (Матричные методы учцта поляризации излучения в приближении лучевой оптики). // Успехи Физ. Наук. 1955. Т. 56. №1. С. 77-110.

140. Розенберг Г.В. Оптика тонкослойных покрытий. //М.: ГИФМЛ. 1958. 570с.

141. Розенберг Г.В. Абсорбционная спектроскопии дспергированных веществ. //Успехи Физ. Наук. 1959. Т. 69. №1. С. 57-104.

142. Розенберг Г.В. Физические основы спектроскопии светорассеиваю-щих веществ. //Успехи Физ. Наук. 1967. Т. 91. №4. С. 569-607.

143. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука. 1980.

144. Романов В.Г. Оценки условной устойчивости для двумерной задачи восстановления коэффициента поглощения и правой части уравнения переноса. //Сиб. мат. журнал. 1994. Т. 35, №6. С. 1335-1356.

145. Романов В. Г. Оценки устойчивости в одной обратной задаче для уравнения переноса. //Доклады АН. 1995. Т. 341. №2. С. 169-172.

146. Романов В. Г. Задача о совместном определении коэффициента ослабления и индикатрисы рассеяния. //Доклады АН. 1996. Т. 351. №1. С. 29-31.

147. Романов В. Г. Теорема устойчивости в задаче о совместном определении коэффициента ослабления и индикатрисы рассеяния для стационарного уравнения переноса. //Математические труды. 1998. Т. 1(1). С. 78-115.

148. Список цитируемой литературы244

149. Романов В. Г. Оценка устойчивости решения трехмерной обратной задачи для системы уравнений Максвелла. //Сиб. мат. журнал. 2004. Т. 45. Мб. С. 1347-1364.

150. Сетейкин А.Ю. Анализ по методу Монте-Карло процессов распространения лазерного излучения в многослойных биоматериалах. // Оптика и спектроскопия. 2005. Т. 99. № 4. С. 685-688.

151. Свешников А.Г., Тихонравов A.B., Яншин С.А. Синтез оптических покрытий при наклонном падении света. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т. 23. № 4. С. 929935.

152. Свешников А.Г., Тихонравов A.B. Математические методы в теории синтеза оптических тонкослойных систем. //В сборнике "Некорректные задачи естествознания "под редакцией А.Н. Тихонова, A.B. Гончарского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. С. 254-274.

153. Свешников А.Г., Тихонравов A.B., Трубецков М.К. Нелокальный метод оптимизации многослойных оптических систем. //Математическое моделирование. 1995. №7. С. 105-127.

154. Смагин С.И. Интегральные уравнения задач дифракции. Владивосток: Дальнаука. 1995. 203с.

155. Смелое В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат. 1978. 216с.

156. Соболев В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. М.,1956.

157. Соболь И.М. Численные методы Монте Карло. М.: Наука. 1973. 311с.

158. Султангазин У.Н.,Иркегулов И.Ш. О некоторых обратных задачах атмосферной оптики. //В кн.: Некорректные задачи математической физики и аналииза. Новосибирск: Наука. 1984. с.143-149.

159. Сушкевич Т.А. Решение общей краевой задачи теории переноса для плоского слоя с горизонтальной неоднородностью. //Доклады АН, 1994. Т. 339. №2. С. 726-747.

160. Сушкевич Т.А. Решение краевой задачи теории переноса для плоского слоя с горизонтально неоднородной границей раздела двух сред. //Доклады АН. 1996. Т. 350. №4. С. 460-464.

161. Сушкевич Т.А. Математические модели переноса излучения. М.: БИНОМ. 2006. 661 с.

162. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972. 735с.

163. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979. 285с.

164. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука. 1987.

165. Тучин В.В. Исследование биотканей методами светорассеяния. //Успехи Физ. Наук. 1997. Т. 167. №5. С. 517-539.

166. Тучин В.В., Башкатов А.Н., Генина Э.А., Синичкин Ю.П., Лако-дина H.A. In vivo исследование динамики иммерсионного просветления кожи человека. //Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27. №12. С. 10-14.

167. Фано У., Спенсер Л., Бергер М. Перенос гамма излучения. М.: Гос-атомиздат. 1963. 284с.

168. Хачатуров A.A. Определение значения меры для области п-мерного евклидового пространства по ее значениям для всех полупространств. //Успехи Мат. Наук. 1954. Т. 9, №3(61). С. 205-212.

169. Хелгансон С. Преобразование Радона. М.: Мир. 1983.

170. Хермен Г. Восстановления изображения по проекциям. Основы реконструктивной томографии. М.: Мир. 1983.

171. Чандрасекхар С. Перенос лучистой энергии. М.: Изд-во иностр. лит. 1953.

172. Черчиньлни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир. 1978.

173. Шарафутдинов В. А. О восстановлении ламбертовой оптической кривой по двум ее изображениям. //Доклады АН. 1979. Т. 249. Nfi3. С. 565-568.

174. Шарафутдинов В.А. Задача эмиссионной томографии для неоднородных сред. //Доклады АН. 1992. Т. 326. №3. С. 446-448.

175. Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса для рефрагирующей среды.//Сиб. матем. журнал. 1994. Т. 35. №. С. 937 945.

176. Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в етационараном уравнении переноса. //Доклады АН. 1996. Т. 347. №5. С. 604-606.

177. Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса для гамильтоновой системы. //Сиб. матем. журнал. 1996. Т. 37. №1. С. 211 235.

178. Шварц Л. Анализ. М.: Мир. 1972. Т.1. 824с.

179. Шилов Г.Е.,Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. М.: Наука. 1964. 211с.

180. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. М.: Атомиздат. 1973.

181. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир. 1969. 1072с.

182. Яровенко И. П. Численное решение краевых задач для уравнения переноса излучения в оптическом диапазоне. //Вычислительные методы и программирование. 2006. Т. 7. С. 93-104.

183. Anikonov D.S. Formula for gradient of the transport equation solution. //Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1996. V. 4. №2. P. 85-100.

184. Anikonov D.S. Integro-differential heterogeneity indicator in tomography problem. //Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. V. 7. №1. P. 17-59.

185. Anikonov Yu.E. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differentional Equations. Inverse and Ill-Posed Problems Series. VSP. 1995. Utrecht, Tokyo, Japan, The Netherlands. 133p.

186. Anikonov Yu.E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems. Inverse and Ill-Posed Problems Series. 1997. Utrecht, The Netherlands. VSP. 203p.

187. Anikonov Yu.E., Bubnov B.A., and Erokhin G.N. Inverse and Ill-Posed Sources Problems. Utrecht, The Netherland. VSP. 1997. 239 p.

188. Anikonov Yu.E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems. Utrecht, The Netherland. VSP. 1997. 203p.

189. Anikonov Yu.E. Inverse problems for kinetic and other evolution equations. Utrecht, The Netherlands. VSP. 2001. 270p.

190. Arridge S. R. Optical tomography in medical imaging. //Inverse Problems. 1999. Vol. 15(2). R41-R93.

191. Boas D.A. Diffuse photon probes of structural and dinamical properties of turbiad media: theory and boimedical application. //A Dissertation in Physics. University of Pennsylvania. 1996. 244p.

192. Cohen M. F., Wallace J.R. Radiosity and Realistic Image Synthesis. Academic Press Professional. Boston, San Diago, New York, London, Syndey, Tokyo, Toronto. 1995.

193. Dorn 0. Das inverse Transportproblem in der Lasertomographie. //Thesis, Preprints "Angewandte Mathematik und Informatik"7/97-N, Munster. 1997.

194. Dorn 0. Scattering and absorption transport sensitivity functions for optical tomography. //Optics Express. 2000. Vol. 7. Issue 13. P. 492-506.

195. Dorn 0. and Lesselier D. Level set methods for inverse scattering. //Topical review. Inverse Problems. 2006. Vol. 22. R67-R131.

196. Fernandez J.E., Hubbell J.H., Hanson A.L. and Spenser L. V. Polarization effects on multiple scattering gamma transport. //Radiat. Phys. Chem. 1993. V. 41. №4/5. P. 579-630.

197. Furman Sh. and Tikhonravov A.V. Basics of optics of multilayer systems. Editions Frontiers, Gif-sur Yvette. 1992. 242p.

198. Groenhuis R.A.J., Ferwerda H.A. and Ten Bosch J.J. Scattering and absorption of turbid materials determined from reflection measurements. 1:Theory. //Appl. Opt. 1983. V. 22. №16. P. 2456-2462.

199. Gutman S. and Klibanov M. //Inverse problems. 1994. №10. P. 39-46.

200. Habetler G.J. and Matkowsky B.J. Uniform asymptotic expansions in transport theory with small mean free path, and the diffusion approximation. // J. of Math. Phys., 1975, 16, N 4, pp. 846-854.

201. Hakim A.H. and McCormick N.J. Ocean optics estimation for absorption, backscattering, and phase function parameters. //Appl. Opt. 2003. V. 42. P. 931-938.

202. Henke B.L., Gullikson E.M. and Davis J.C. Atomic Data and Nuclear Data Tables. //J. Devoted to Compilations of Experimental and Theoretical Results. 1993. V. 54. №2. P. 181-343.

203. Henyey L.G. and Greenstein J.L. Diffuse Radiation in the Galaxy. //Astrophys. J. 1941. V. 88. P. 70-83.

204. Hillman E.M.S. Experimental and theoretical investigations of near infrared tomographic imaging methods and clinical applications. //Thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy at the University of London. 2002. 356p.

205. Jacques S.L., Martin R.O., and Wang L. Effects os Sources, Boundaries, and Heterogeneities on Photon Migration. //OSA Proceedings on Advances in optical imaging and photon migration. 1994. V. 21. P. 8387.

206. Katsevich A.I. and Ramm A.G. A Method for Finding Discontinuities of Functions from the Tomographic Data. //Lectures in Applied Mathematics. 1993. V. 30. P. 115-123.

207. Katsevich A.I. and Ramm A.G. Multidimensional algorithm for finding discontinuities of functions from noisy data. //Math. Comp. Modelling. 1993. V. 18. №. P. 89-108.

208. Katsevich A.I. and Ramm A.G. New methods for finding values of the jumps of a function from its local tomographic data. //Inverse Problems. 1995. V. 11. №5. P. 1005-1023.

209. Katsevich A.I. and Ramm A.G. Pseudolocal Tomography. //SIAM J. Appl. Math. 1996 V. 56. №1. P. 167-191.

210. Katsevich A.I. and Ramm A.G. Asymptotics of PDO on discontinuous functions near singular support. //Applicable Analysis. 1996. V. 58. №3-4. P. 383-390.

211. Kihara H. 3D imaging of X-ray microscopy. //Science on Form. 1990. KTK Scientific Publishers, Tokyo. P. 105-114.

212. Larsen E. W. and Morel J.E. Asymptotic solutions on numerical transport problems in optically thick, diffusive regimes II. //J. of Compt. Phys. 1989. V. 83. №4. P. 212-236.

213. McCormick N.J. and Kuscer I. On the inverse problem in radiative transfer. //J. Math. Phys. 1974. V. 15. P. 926-927.

214. McCormick N.J. Transport scattering coefficients from reflection and transmission measurements. //J. Math. Phys. 1979. V. 20. P. 1504-1507.

215. Mc.Cormic N.J. and Sanchez R. General solution of inverse transport problem. //J. Math. Phys. 1982. V. 22. №4. P. 487-453.

216. McCormick N.J. Methods for solving inverse problems for radiation transport an update. //Transport Theory and Statist. Phys. 1986. V. 15. P. 759-772.

217. McCormick N.J. and Sanchez R. Two-Region Inverse Transport Analysis with Solutions of the Two-Region Milne Problem. //Transport Theory and Statist. Phys. 1997. V. 26. P. 607-618.

218. McCormick N.J. Analytic inverse radiative transfer equations for atmospheric and hydrologic optics. //J. Opt. Soc. Am. A. 2004. V. 21. P. 1009-1017.

219. Marshak R.E. Note on the spherical harmonic method as applied to the Milne problem for a sphere. //Phys. Rev. 1947. V. 71. P. 443-446.

220. Motamedi M., Rastegar S., LeCarpentier G. and Welch A.J. Light and temperature distribution in laser irradiated tissue: the influence of anisotropic scattering and refractive index. //Appl. Opt. 1989. V. 28. №12. P. 2230-2237.

221. L. Marti-Lopez, J. Bouza-Dominguez, J.C. Hebden, S.R. Arridge, R. A. Martinez-CelorioYalidity conditions for the radiative transfer equation. //J. Opt. Soc. Am. A. 2003. Vol. 20. №. 11. P. 2046-2056.

222. O'Leary M. Imaging with Diffuse Photon Density Waves. //A Dissertation in Physics. University of Pennsylvania. 1996. 192p.

223. Prahl S.A. Light Transport in Tissue. //Dissertation for the Degree Doctor of Philosophy. The University of Texas at Austin. 1988. 221p.

224. Quinto E.T. Singularities of the X-ray transform and limited data tomography. //SIAM J. Math. Anal. 1993. V. 24. P. 1215-1225.

225. Ramm A.G. Optimal local tomography formulas. //PanAmer. Math.Jour. 1994. V. 4. №4. P. 125-127.

226. Ramm A.G. Finding discontinuities from tomographic data. //Proceedings of the AMS. 1995. V. 123. №8. P. 2499-2505.

227. Ramm A.G. and Zaslavsky A. Reconstructing singularities of a function given its Radon transform. //Math. Comp. Modelling. 1993. V. 18. №1. P. 109-138.

228. Ramm A.G. and Zaslavsky A. Asymptotics of the Fourier transform of piecewise-smooth functions. //Comptes Rendus Acad. Sei. Paris. 1993. V. 316. №1. P. 541-545.

229. Ramm A.G. and Zaslavsky A. X-ray transform, the Legendre transform and envelopes. //J. Math. Anal. Appl. 1994. V. 183. №3. P. 528546.

230. Ramm A.G. and Zaslavsky A. Singularities of the Radon transform. //Bull. Am. Math. Soc. 1995. V. 25. M. P. 109-115.

231. Romanov V.G. Stability estimates in problems recovering the attenuation coefficient and the scattering indicatrix for the transport equation. //Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1996. V. 4. JM. P. 297-305.

232. Romanov V.G. A conditional stability theorem in the problem of determining the dispersion index and relaxation for the stationary transport equation. // Siberian Advances in Mathematics. 1997. V. 7. №1. P. 86-122.

233. Shepp L.A. and Kruskal J.B. Computerized tomography : the new medical X-ray technology. //Am. Math. Monthly. 1978. V. 85. P. 420439.

234. Sievert C.E. On the inverse problem for three-term phase function. //J.Q.S.R.T. 1979. V. 22. P. 441-446.

235. Sievert C.E. and Dünnt W.L. On the inverse problem for planeparallel media with nonuniform surface illumination. //J.Math.Phys. 1982. V. 22. №7. P. 1376-1378.

236. Wann Jensen H., Marschner S. R., Levoy M., and Hanrahan P. A Practical Model for Subsurface Light Transport. //Proceedings of SIGGRAPH'2001. pp. 511-518. Los Angeles, August 2001.

237. Wann Jensen H. Realistic Image Synthesis Using Photon Mapping. Publisher: A K Peters, LTD, 2001.

238. Welch A.J. and van Germet M.C. Tissue Optics. New York : Academic. 1992.

239. Zweifel P.E. Conference on mathematical aspects of transport equation. //Transport Theory and Statist. Phys. 1973. V. 3. №1. P. 55-57.

240. Основные работы автора по теме диссертации1. Монографии

241. Аниконов Д.С., Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса в томографии. М.: Логос, 2000, 224с.

242. Anikonov D.S., Kovtanyuk А.Е., and Prokhorov I.V. Transport Equation and Tomography. Utrecht-Boston: VSP, 2002, 216p.

243. Anikonov D.S., Nazarov V.G., and Prokhorov I.V. Poorly Visible Media in X-ray Tomography. Utrecht-Boston: VSP, 2002, 302p.1. Статьи

244. Аниконов Д.С., Прохоров И.В. Определения коэффициента уравнения переноса при энергетических и угловых особенностях внешнего излучения. //Доклады АН. 1992. Т. 327. №2. С. 205-207.

245. Anikonov D.S., Prokhorov I.V. and Kovtanyuk A.E. Investigation of Scattering and Absorbing Media by the Method of X-ray Tomography. //Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1993. V. 1. №4. P. 259-281.

246. Прохоров И. В. Некоторые свойства решений уравнения переноса. //ДВ матем. сборник. 1996. Т. 2. С. 161-172.

247. Аниконов Д.С.; Назаров В.Г., Прохоров И.В. Видимые и невидимые среды в томографии. //Доклады АН. 1997. Т. 357. №5. С. 599-603.

248. Аниконов Д. С., Прохоров И.В. Значение коэффициента поглощения в диагностике рассеивающих и поглощающих сред. //Доклады АН. 1999. Т. 368. т. С. 24-26.

249. Аниконов Д. С., Прохоров И.В. Некоторые математические модели томографии для особых состояний сред. //Доклады АН. 2000. Т. 371. №4. С. 452-456.

250. Прохоров И.В. Краевая задача теории переноса излучения в неоднородной среде с условиями отражения на границе. //Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. №6. С. 848-851.

251. Аниконов Д. С., Прохоров И.В. Необходимые и достаточные условия единственности одной задачи томографии. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т. 42. №3. С. 370379.

252. Прохоров И. В. Определение поверхности раздела сред по данным томографического просвечивания. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т. 42. №10. С. 1542-1555.

253. Прохоров И. В. О разрешимости краевой задачи для уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения на границе раздела сред. //Известия РАН. Серия математическая. 2003. Т. 67. №6. С. 169-192.

254. Прохоров И.В., Яровенко И.П. Краевая задача теории переноса в многослойной среде с обобщенными условиями сопряжения. //Сибирский журнал индустриальной математики, 2003. Т. 6. №1. С. 93-107.

255. Аниконов Д.С. Прохоров И.В. Формальная оценка качества реконструкции в рентгеновской томографии. // Доклады АН. 2005. Т. 401. №3. С. 312-315.

256. Прохоров И.В., Яровенко И.П. Численное решение дифракционных задач для уравнения переноса излучения. // Сибирские электронные математические известия. 2005. Т. 2. С. 88-101.

257. Prokhorov I.V., Yarovenko I.P., and Krasnikova T.V. An extremum problem for the radiation transfer equation. // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2005. V. 13. №4. P. 365-382.

258. Аниконов Д. С., Прохоров И.В., Назаров В.Г., Солнышко Н.В. Способ маскировки изделий. //Патент Российской Федерации №2264424. Бюллетень №32, 20.11.2005.

259. Аниконов Д.С., Прохоров И.В. Постановка и численное решение задачи оптимизации в рентгеновской томографии. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46. №1. С. 18-25.

260. Аниконов Д.С., Прохоров И.В. Выбор оптимальной энергии излучения в рентгеновской дефектоскопии. //Доклады АН. 2006. Т. 408. №4. С. 455-459.ф

261. Основные работы автора по теме диссертации 256

262. Прохоров И.В., Яровенко И.П. Исследование задач оптической томографии методами теории переноса излучения. //Оптика и спектроскопия. 2006. Т. 101. №5. С. 817-824.

263. Kovtanyuk А.Е., Prokhorov I.V. Tomography problem for the polarized-radiation transfer equation. // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2006. V. 14. №6. P. 609-620.