автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Стационарные модели переноса излучения и сложного теплообмена

На правах рукописи

КОВТАНЮК Андрей Егорович

СТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ И СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 8 ПАР 2015

005560682

Санкт-Петербург - 2015

005560682

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук

Научный консультант: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических паук, профессор Аниконов Дмитрий Сергеевич доктор физико-математических паук, доцент Виноградова Екатерина Михайловна, профессор кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем

Санкт-Петербургского государственного университета; доктор физико-математических паук, профессор Галанин Михаил Павлович, заведующий отделом Института прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, г. Москва; доктор физико-математических наук, профессор Кривцов Антон Мирославович, заведующий кафедрой "Теоретическая механика" Санкт-Петербургского государственного политехнического университета ФГБУН Институт математики и механики им. H.H. Красовского Уральского Отделения Российской Академии паук, г. Екатеринбург

Защита состоится

« 11 „ ЛИ^ЬелО- 20JS_ Гш в /Г

часов на заседании диссертаци-

онного совета Д 212.232.50 но защите диссертаций па соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 190034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский Центр.

Отзывы па автореферат в 2-х экземплярах просим направлять по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д.35, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.232.50 Г.И. Курбатовой.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета, расположенной по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат и диссертация размещены на сайте www.spbu.ru. Автореферат разослан "

/Парме-, 20 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор ^ '

Курбатова Галина Ибрагимовна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность и степень разработанности темы.

с; точки зрении практики представляет интерес исследование различных краевых задач для .моделей переноса излучения, описывающих рассеянии света в атмосфере и биологических тканях, распространение рентгеновских лучей и гамма-квантов в неоднородных средах, прохождение теплового излучения в рассеивающих средах. При этом наибольшую ценность представляют математические модели с максимальной достоверностью описывающие изучаемые процессы.

Большой вклад в исследовании краевых задач для ингсгроднфференциальных уравнений переноса и в создании .математически обоснованных вычислительных методов их решения внесли работы В.И. Агошкова, B.C. Владимирова, Т.А. Гермогеновой, А. Ыси-мару, К. Ксйза, Е.С. Кузнецова, В.И. Лебедева, Г.И. Марчука, М.В. Масленникова, Г.А. Михайлова, В.В. Смелова. Т.А. Сушкенич, С. Чандрасекхара, С.Б. Шихова и др.

При описании процесса распространения излучения в веществе приходится сталкиваться с тем, что среда составлена из разнородных но своим радиационным свойствам материалов. В терминах уравнения переноса что означает разрывность его коэффициентов.

На поверхностях разрыва ставятся условия сопряжения, которые накладывают дополнительные ограничения па функцию распределения интенсивно«и излучения. Наиболее полно исследованы задачи для уравнения переноса с условиями непрерывной склсПкп решения на границе раздела сред. Рассмотрение более общих условий сопряжения позволяет учитывать отражение и преломление света на контактных границах, а не только его поглощение н рассеяние на случайно распределенных микро-неоднородностях среды. Модели переноса, основанные па уравнении переноса с обобщенными условиями сопряжения. весьма актуальны н находят свое применение в атмосферной оптике, в лазерной медицине и в трехмерной компьютерной графике.

Большой практически» интерес представляют собой различные обратные задачи теории переноса излучения, часто называемые задачами томографии, н имеющие многочисленные приложения в медицине, физике и технике. На сегодняшний день теория обратных задач весьма обширна и развита в работах Д.С. Аннконова, Ю.Е. Анпконова. В.Р. Кирей-това, У.Н. Султангазнна, Г.И. Марчука, М.В. Масленникова, Г.А. Михайлова, А.И. При-лепко, В.Г. Романова, В.А.Шарафутдннова и др. Теория обратных задач отличается большим разнообразием постановок, ограничений и методов. Достаточно распространенными являются задачи нахождения коэффициента ослабления по известным характеристикам излучения на границе исследуемой среды. Одной из основных трудностей при практической реализации многих алгоритмов вычислительной томографии является сильный шум, вызванный эффектами рассеяния п возможным излучением от внутренних источников. Таким образом, актуальным является разработка алгоритмов вычислительной томографии, способных проводить эффективную реконструкцию среды при наличии сильного шума.

Работа посвящена исследованию прямых и обратных задач для стационарных моделей переноса излучения, описывающих процессы прохождения излучения различной природы (рентгеновское, оптическое, тепловое, электронное и пр.) через вещество. При формулировке задач используются как условия непрерывной склейки решения, так и обобщенные условия сопряжения па внутренних границах иеодпородиостей.

При моделировании прохождения оптического излучения через вещество важным является изучение свойств решения краевой задачи для векторного уравнения переноса, описывающего поляризационные эффекты. Это позволяет более полно описать характеристики излучения, что может послужить основой для разработки новых .методов оптической диагностики, учитывающих поляризационные эффекты.

Уравнение переноса с учетом поляризации впервые сформулировано С. Чандрасека-ро.м. Подробное описание вектор-параметра Стокса и матрицы рассеяния изложено в работах А. Исимару, Д.И. Нагириер, Г.В. Розепберга, В.В. Соболева, Г.В. Хголста, J.E. Fernandez. Теоретические аспекты решения векторного уравнения переноса изложены в работах Т.А. Гермогеповой, A.B. Латышева. Г.И. Марчука, Г.А. Михайлова, С.А. Стрелков, Т. А. Сушкешгч, С.Е. Siewert, 0..1. Smith и др.

Методы оптической томографии являются наиболее перспективными в медицинской диагностике биологических тканей (Д. А. Зпмпяков. АЛО. Сетей кил, В.В. Тучин, S.R. Arridge) и существенно разделяются в зависимости от характера излучения. Наибольший интерес представляет рассмотрение случая некогерентного непрерывного по времени сигнала, учитывающего поляризационные характеристики излучения.

Важным классом краевых задач теории переноса являются задачи, связанные с моделированием радиационного переноса тепла. В более общем виде модель представляет собой нелинейную систему двух дифференциальных уравнений, включающую уравнение переноса теплового излучения и уравнение коидуктивио-конвективного переноса тепла (M.F. Modest, M.N. Ozisik). При формулировке граничных условий нередко принято учитывать эффекты зеркального и диффузного отражения. Такая модель переноса тепла иногда называется моделью сложного теплообмена.

Интерес к задачам сложного теплообмена в рассеивающих средах с отражающими границами связан с нх прикладной значимостью. К возможным приложениям можно отнести моделирование переноса тепла в камерах сгорания и промышленных печах, оценка эффективности систем охлаждения, управление тепловыми процессами при производстве стекловолокна H других полупрозрачных материалов и пр. Так, S. Andre, A. Degiovanni, J.M. Bauoczi, C.T. Kelley, A. Klar. N. Siedow изучали термосвойства некоторых полупрозрачных и изоляционных материалов в рамках радиацпопно-коидуктивной. модели переноса тепла. Во многих работах значительное внимание уделяется вопросам численного моделирования (J.M. Banoezi, A. Klar, Я. Pinnau, С.Е. Siewert, J.R. Thomas). Теоретический анализ краевых задач, связанных с различными моделями радиационного теплообмена, представлен не ток широко. Можно отметить работы A.A. Амосова. Р.-Е. Druet, В. Ducomet, Г!. Pinnau, О. Tse, посвященные анализу различных эволюционных задач, учитывающих радиацион-

пып теплообмен.

Цели и задачи работы.

Исследовать качественные свойства решения краевых задач для стационарных моделей переноса излучения н сложного теплообмена. Доказать однозначную разрешимость прямых п обратных задач переноса излучения и краевых задач сложного теплообмена. Разработать численные алгоритмы нахождения решения прямых и обратных задач переноса излучения и краевых задач сложного теплообмена. Создать специализированное программное обеспечение, реализующее разработанные алгоритмы.

Методы исследования.

Изучение качественных свойств решения краевых задач основывалось на методах теории интегральных и дифференциальных уравнений. Исследование обратных задач проводилось па основе теории условно-корректных задач, при этом использовались полученные в работе свойства решения прямых задач. При доказательстве однозначной разрешимости задач сложного теплообмена применялись методы функционального анализа. Разработка вычислительных алгоритмов и создание специализированного программного обеспечения проводилось на основе современных методов компьютерного моделирования с применением технологий параллельных вычислений.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Эффективные методы компьютерной томографии, основанные на свойствах решений краевых задач для параметризованного и векторного уравнения переноса.

'2. Доказательство однозначной разрешимости и свойства решения краевой задачи для уравнения переноса поляризованного излучения в среде, имеющей плосконараллелыюе строение, с обобщенными условиями сопряжения фреиелевского типа на контактных границах с.и"'н.

3. Эффективный вычислительный алгоритм решения задачи оптической томографии, заключающийся в нахождении относительных показателей преломления слоистой среды на основе особенностей характеристик выходящего из среда поляризованного излучения.

4. Доказательство существования и единственности решения краевых задач для диффузионных моделей сложного теплообмена, учитывающих вклад теплового излучения.

5. Эффективные итерационные алгоритмы нахождения решения задач раднациоино-кондуктивного теплообмена в рассеивающем слое с отражающими границами.

в. Доказательство разрешимости задачи оптимального мультипликативного управления для модели сложного теплообмена и доказательство аналога принципа Ьагщ-Ьаиц.

7. Программное обеспечение, реализующее разработанные алгоритмы решения прямых и обратных задач теории переноса излучения, алгоритмы решения краевых задач (ложного теплообмена.

Сформулированные основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность.

При исследовании краевых задач для стационарного уравнения переноса излучения получены теоретически значимые новые результаты. Полученные свойства решений прямых

задач полезны при разработке и обосновании эффективности численных алгоритмов в атмосферной оптике, астрофизике, компьютерной графике. Предложенные метода решения обратных задач для уравнения переноса применимы в перазрушающем контроле промышленных изделий, в медицинской томографии и биооптике. Па основе доказанных теорем однозначной разрешимости для нелинейных краевых задач, радиациошю-кондуктивиого теплообмена предложены вычислительные алгоритмы нахождения температурного поля в рассеивающих средах для модели сложного теплообмена. Решена задача оптимального управления, направленная на улучшение теплоотдачи от твердых стенок за счет выбора материала с оптимальными отражающими свойствами.

Исследования автора были поддержаны РФФИ (проекты №№97-01-00078-а, 01-01-00128-а, 04-01-00126, 05-07-90055-в), программами ведущих научных школ Российской Федерации (проект НШ-9004.2006.1), "Университеты России" (проект УР.03.01.002) и "Минобразования России" (проект Е02-1.0-128), Конкурса проектов ДВО РАН (проекты №№ 05-III-А-01-101, 06-III-A-01-011), Конкурса интеграционных проектов Дальневосточного, Сибирского и Уральского отделений РАН (проекты №№04-2-:1-00-006. 06-П-СУ-01-001). А В ЦП Развитие научного потенциала высшей школы (проект №2.2.2.3/9080, 2010), ФЦП Научные и научно-педагогические кадры инновационной России па 2009-2013 гг. (Гос. контракт Xs02.740.ll.0198 от 7.07.2009, №14.740.11.0289 от 17.09.2010, Гос. контракт №14.740.11.1000 от 23.05.2011, Гос. контракт №16.740.11.0450 от 13.05.2011). При выполнении Гос. контракта .Va4.740.ll.1000 и проекта АВЦП №2.2.2.3/9080 автор являлся руководителем НИР, а при выполнении Гос. контрактов №16.740.11.0456, №14.740.11.0289 - ответственным исполнителем.

Степень достоверности и апробация результатов.

Эффективность алгоритмов для задач компьютерной томографии в Главах 1, 2 продемонстрирована, в том числе, на стандартных тестовых примерах: фантоме Кормака и фантоме Шетша-Логаиа. Эффективность алгоритма оптической томографии в Главе 3 продемонстрирована па тесте, моделирующем кожный покров человека. Результаты вычислений, проведенных в Главе 4 для различных моделей радпациоино-кондуктивного теплообмена, сравнивались с табличными данными, представленными в статьях С.Е. Sicwcrt. J.R. Thomas (1991) и С.Е. Siewert (1995). Для рассмотренных в работе краевых задач доказаны теоремы существования и единственности решения.

Основные результаты диссертации были представлены автором в виде устных докладов па международных конференциях: "Russia-Japan Workshop on Differential Equations in Applied Mathematics" (Хабаровск, 1991), "Mathematical Modeling and Cryptography" (Владивосток, 1995), "High Performance Scientific Computing" (Hanoi, Vietnam, 2009, 2012), "Russia-Taiwan Symposium on Methods and Tools of Parallel Programming Mnlticomputers" (Vladivostok, Russia, 2010), "Inverse Problems: Modeling and Simulation" (Antalya, Turkey, 2010), Seminar der Stipend iattcn der Programme "Michail Lomonosov II" und "lmmanuil Kant II" (Moskau. Russia, 2011), "Open Cirrus Summit 2011" (Moscow, Russia, 2011), "Mathematical modeling of microbiological systems" (Marburg, Germany, 2012), "Параллельные вычпе-

лнтельные технологии (ПаВТ) 2012" (Новосибирск. 2012), "Научный сервис в сети Интернет" (Абрау Дюрсо, 2012), "Облачные вычисления. Образование. Исследования. Разработка" (Москва, 2011-2013), "International Conference on Combustion Waves Structure and Dynamics" (Vladivostok. Russia. 2013, 2011), "IFIP TC7 Conference on System Modelling and Optimization" (Klagcnfurt, Austria. 2013), "High Performance Computing 2013" (Kviv, Ukraine, 2013), "International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA) 2014" (Санкт-Петербург, 2014), а также па Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток. Хабаровск, 1998-2013), Всероссийской научно-технической конференции "Технические проблемы освоения Мирового океана" (Владивосток, 2009, 2011), и на Всероссийском симпозиуме "Физика геосфер" (Владивосток, 2011).

Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научно-методических семинарах Института прикладной математики ДВО РАИ и Кафедры информатики. математического и компьютерного моделирования ДВФУ. Также результаты диссертации были представлены на семинарах Института математики СО РАН (Новосибирск. 2012), кафедры Математического моделирования (МО) Технического университета Мюнхена (Мюнхен, Германия, 2010-2013) и на семинаре математического факультета Технического университета Кайзерслаутерпа (Кайзерелаутсрн, Германия, 2011).

Публикации.

Всего по теме диссертации опубликована 32 работы, в том числе: две монографии [1,2], патент |21|, свидетельство о государственной регистрации базы данных |22|, 10 свидетельств о государственной регистрации программ ЭВМ [23-32] и 18 статей (3-20| в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов докторских диссертаций. Из результатов совместных работ в диссертацию включены только те, в которых творческий вклад автора является несомым.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения. 12-ти параграфов, структурно разделенных на пять глав, заключения и списка литературы из 174 наименования. Работ изложена на 220 страницах и содержит б таблиц и 21 рисунок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, приведен обзор литературы по изучаемым задачам и кратко перечислены результаты, изложенные в остальных главах.

В Главе I исследована известная математическая модель, описывающая перенос полихроматического излучения через неоднородную рассеивающую и поглощающую среду. В основе модели лежит следующее уравнение переноса излучения:

'■> • Vr/(rE) + ii(r,E)f(r,u,E) =

в,

рУУ Цг.и-и'.Е^Жг.ш^ЕГ^'ЛЕГ+Лг^Е). (1)

Е, П

Уравнение (1) моделирует процесс переноса излучения н учитывает эффекты рассеяния, поглощения и влияние внутренних источников. Здесь функция Дг,и>,Е) описывает интенсивность излучения в точке г, г = (г1,гг,г3) 6 С С К3, распространяющегося в направлении единичного вектора и, ш = (о^о^ой) 6Й = {о.1 € К3 : = 1} и имеющего энергию Е, Е € I = £'2]; //(г, Е) - коэс})фициент ослабления излучения; к(г,ич^, Е, Е') - дифференциальное сечение рассеяния в точке г, описывающее плотность вероятности перехода частиц из состояния (и/. Я') в (и, В); ,/(г, ьл £) описывает внутренние источники излучения.

Процесс переноса излучения происходит в среде, заполняющей ограниченную выпуклую трехмерную область С. Введено разбиение области С на конечное число подобластей Сь С,2-. ■■■■ С'р, объединение которых обозначим через Со- Множества С; иитерпретируем как некоторые части неоднородной среды С, заполненные г'-м веществом.

Поскольку величины, характеризующие среду при прохождении через нее потока излучения, могут иметь скачкообразные изменения по энергетической переменной Е 6 I, также вводим конечное разбиение Д./г,... попарно-непересекающихся интервалов, объединение которых То определяет множество непрерывного изменения параметров излучения по спектральной переменной Е. В дальнейшем использованы следующие обозначения: х = (г, ш, Е) - точка множества X = С х П х I или Л"0 = Со х Г2 х 10.

Функция <1(г, и;) описывает расстояние от точки г до дС в направлении вектора и. Определим множества Г* = {(г,а>, Е) € ОС хЯх/:г = г ± ¿(г, а»)а.', г 6 Со}. Множество Г~ введено для задания входящего в область С излучения. Соответственно, множество Г+ введено для задания выходящего излучения.

Уравнение (1) дополним граничным условием

Г«,и,,Е) = ЦС,и.Е), (с>,£)£Г. (2)

Функция Л описывает интенсивность "входящего" в область С излучения.

Уравнение (!) с граничными условиями (2) представляет собой математическую модель переноса полихроматического излучения в рассеивающей и поглощающей среде, заполняющей ограниченную и выпуклую область О.

Задача определения функции / из уравнения (1) и граничных условий (2) при известных /», А',,/, Д называется прямой задачей (1), (2).

Обозначим через В(Х) - банахово пространство функций ф[х), ограниченных на множестве Л" и таких, что функция ф[г + 1ы,и/, £*) измерима (но мере Лебега) по каждой из переменных ал и/ 6 О, I € [—'/(г, —а/), г1{г,ш)\, Е' € / для любой точки г € О, с нормой

М = Я1Р|#Х)|. (3)

хех

Аналогично определим пространство и(Г*). В пего входят функции е>(.:г), определенные и ограниченные на Г*, такие, что функция ф(г±<1(г, ±и;)ш,ь/, Е') измерима по каждой из переменных ы, <J G П, Е' б 1 для любой точки г G С.

Обозначим через Сь(Х0) - банахово пространство функций с нормой (3), определенных и ограниченных на Л" н непрерывных на множестве А"0. Аналогично определяется пространство Cb(Go х /о). Через LP(Y), р > 1 обозначим пространство функций, суммируемых по Лебегу с р—й степенью (р-интегрируемых) на множестве Y.

Сформулируем основные предположения относительно функций n,k.J,h. Предположим, что все эти функции неотрицательные и /i(r, Е) G C»(Go х 'о). J(x) 6 Сь(Хо), h(x) 6 D(y~). Функция к(г,и> ■ и/, Е, £') непрерывна в любой точке (r,w, Е) € G0 х ft х /0 при почти всех (и/, Е') 6 П х /, а также непрерывна по переменным и/, Е' почти всюду на Я х 7 при фиксированных (г, ш, Е) € С0 х f! х /„. Кроме того, существует р> 1 такое, что

sup ИМ*--К Б, £')!!ад[-и]х') < roust,

(г леях/

sup P'int'.JS.jB'JII^a-l.Ilx/) < const.

(г.Е')еСх/

Дополнительно предположим, что функции /i(r+iui, Е), J(r+Lj. ш, Е). k(r+Lj. и-и/, Е, Е') измеримы но каждой из переменных и»,и/ е П, J3 € /, ' € [-rf(r,-a?),</(r,w)] дта любой точки г € G. Отметим, что сформулированные ограничения на А', в том числе возможность наличия у этой функции р—интегрируемых особенностей, позволяют успешно моделировать многие виды рассеяния.

В §1 изучена прямая задача (1), (2), доказан рад вспомогательных утверждений, используемых в дальнейшем для исследование краевой задачи для параметризованного уравнения переноса.

В §2 предложена и исследована математическая модель, описывающая перепое излучения в неоднородной среде при парамет рически меняющемся внешнем излучении. Каждое фиксированное значение параметра а G [0,1] соответствует некоторому стационарному состоянию. Уравнение переноса и граничное условие (2) в этом случае примут вид:

« - Vrf(r.u, Е, а) + /«(г, £)/(r,w. Е,а) =

Е?

i- j jE')f{v, J, E',a)(UdE'+ J{r..^,E), (4)

E\ h

f{Q^,E,a) = h(C,b:.E.a). (<>,£•) €Г", о 6 [0,1]. (5)

Обозначим подмножество всевозможных горизонтальных направлений множества ft через П'. то есть ft' = {^'(0,7) G ft : в = гг/2), где в, -< - зенитный и азимутальный угол соответственно. Также для S > 0 определим множество Qs — {w G ft : /)(w,ft') > <5}, где p(u.\ ft') есть ¡расстояние от точки «> до множества ft'. Обозначим че])ез Xg множество G0 х fls х I0 , 6 > 0. Через дп обозначим частную производную по переменной а.

Интенсивность входящего излучения удовлетворяет следующим ограничениям: (hl) h(r — d(r. —ai)ш, и), Е, а) как функция переменных (г,ш, Е,«) принадлежит пространству С|,(Ло х [0,1]);

(h2) Oah(r — d(r, ш,Е,а) как функция переменных (г,и,Е,а) принадлежит

пространству х [0,1]) при 8 > 0;

(hS) dah(r — (Цг, —ш)ш,и),Е,а) неограниченно возрастает по абсолютной величине при 0 = f и о: Ü:

(hJf) равномерно по г € Со, (V € [0,1] для почти всех (ш, Е) € f2 х I имеет место оценка |öah(r — d(r, -и)и,и>, £?,а)| < hi{u>, Е), где функция ftj(u>, Е) принадлежит пространству Lq(Q X I) при некотором q, q > р/(р - 1), р > 1.

Условия (hl)-(h4) означают, что интенсивность излучения резко изменяется в горизонтальном направлении при изменении параметра а. При этом возникающая особенность является интегрируемой по направлениям.

Дополним уравнение (4) и условие (5) следующим граничным условием:

¡(■П,и;,Е,а) = Щц,й>,Е,а), Е) <= Г+, а 6 [0,1]. (G)

Функция II описывает интенсивность "выходящего1' из области О излучения.

Введем множества Гц, Г,| как подмножества соответствующих множеств Г~, Г+, содержащие только горизонтальные направления = (u;j,u^,0) € П. Сформулируем следующую задачу томографии.

Задача 1. Пусть для коэффициентов fi, k, J, характеризунпцих внутреннюю структуру среды, выполнены все сформулированные выше ограничения, и интенсивность входящего излучения удовлетворяет условиям (hl)-(h j). Требуется по функциям h(r,w, Е, о) и II(г,и, Е, а), заданным на соответствующих множествах Гр х [0,1] и. Fq х [0,1]. определить коэффициент /ф\ Е) для т е Go, Е € /о-

В §2 исследованы свойства решения прямой задачи (4), (5) для параметризованного уравнения переноса. На основе доказанных свойств решения прямой задачи пред. южен подход для решсшш задачи 1, который основан на следующей доказанной в диссертационной работе теореме.

Теорема 1. Пусть (r,^:a,E) € Гц. тогда

J p(r- tuP,b)äi = m (to aJ/i'r.^-'./•:.»■)-'

0

Дополнительные условия (hl)-(hj.), наложенные на входящее в среду излучение, описывают внешние источники излучения специального типа. Алгоритм реконструкции включает в себя вычисление набора линейных интегралов но формуле (7) в некотором горизонтальном сечении области G и последующее нахождение функции ц в рассмотренном сечении путем обращения преобразования Радона. Автором доказана теорема единственности

определения коэффициента ослабления на основе предложенного алгоритма. В заключении §2 приведены результаты компьютерного тестирования алгоритма реконструкции, демонстрирующие его эффективность н адекватность используемой математической модели. Предложены пути нараллелизацин алгоритма на основе технологий MPI н ClJDA.

В Главе II исследована математическая модель, описывающая перенос поляризованного излучения в неоднородной среде. Основной характеристикой поляризованного излучения является четырекомнопентный вектор-параметр Стокса /=(/ь /г, /3. h)- Векторное уравнение переноса поляризованного излучения имеет вид;

w-Vr/(r,tf)+/<(r)/(r,w) = J P(r, «,u/)/(r, J)dJ + J(r,ы). (8)

n

Здесь ./(г. n;) - четырехкомпонентный вектор, описывающий внутренние источники излу-чеиия, Р(г, и), и/) матрица порядка 4.

Определим пространство С^4,(Л'), образованное вектор-функциями / t/i. h■ fz, fi)-каждая компонента которой принадлежит Сь{Х) и соответствующая норма определяется равенством

I1/IU = ННЙПЛП-

Относительно коэффициентов уравнения (8) полагаем следующее. Функция /«(г) -неотрицательная н принадлежит пространству Сь((?о), а функция J(i\ui) е C^(G0 х П). Все компоненты матрицы Р{г,ш, и/) принадлежат Cb(G0 х П х ÎÏ).

Уравнение (8) дополним граничным условием

/(г - d(r. -w)u>, w) = h(r - d(r. w). (r, w) G G0 x Ü■ (9)

Полагаем, что функция ft. описывающая характеристики входящего в область G излучения, может иметь разрывы при переходе через горизонтальное направление. Для определения множества непрерывного изменения параметров излучения по угловой переменной и введем разбиение П0 единичной сферы, являющееся объединением областей П+ и П_ -верхней и нижней полусферами соответственно. То есть,

По = П- U Q+, П± = {и 6 П : sgu(ü>3) = ±1}.

Пусть функция Л«,а>), описывающая входящее в среду излучение, такова, что ее продолжение ft (г, и;) = h(r — d(r, —a>)a>, и) на область G принадлежит прос транству СЬ(4)(С0 х П0). Прямая задача заключается в нахождении функции / из уравнения переноса (8) и граничных условий (9) при известных ii.P. J.h.

Функции fi{r,u>) являются параметрами Стокса и должны удовлетворять неравенствам

/.> 0. /Г >/1+ /! + /!■ m

Обозначим через А' - конус в пространстве C^4,(Go х ЭД, образованный функциями / = (/,, /2, /з, /,,) б Cj4>(G0 X По); удовлетворяющими условиям (10). Именно для функций

из К существуют условия физического характера, которые в итоге гарантируют существование и единственность решения краевой задачи (8), (9). Эти условия заключаются в следующем. Для всех f € К матрица Р(г,ц>,к/) должна удовлетворять ограничениям:

Р/€Л\ (11)

J(P(r, u;, u/)/{r, J))idJ Mr, <S)dJ. (12)

i! П

Доказана следующая теорема об однозначной разрешимости прямой задачи (8), (9).

Теорема 2. Пусть h(r,u>) 6 К, J е C^4,(Gq хП)П К и справедливы условия (11). (12), тогда в конусе К решение задачи (8), (9) существует и единственно.

Пусть дополнительно к краевому условию (9) задано условие

/(г + d(r, wV,«) = II ( г + d(r, w)u/, ш), (г, и) € Со х П. (13)

Сформулируем следующую задачу томографии.

Задача 2. Определить функцию р(г) из уравнения (8) и краевых условий (9), (13), если известны только функции h. Н.

Для решения поставленной задачи кроме условий, сформулированных в теореме 2, потребуем, чтобы для некоторого i € {1,2,3,4} и для всех «; = (u>i,u^,0) € Й вьгаолиялось соотиошепне:

[Л((г,й>)] = T>t(r, и) ~hJ(rM Ф О, г б Gq, (14)

Условие (14) означает, что ио крайней мере одпа компонента функции h имеет скачок первого рода при переходе через горизонтальное направление. В §3 доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 2 функция h удовлетворяет- условию (14) и выполняется соотношение. (13), тогда для всех г £ Gq, и = (u>i,u*2,0) 6 П справедливо равенство

/, , , [Л<(г — d(r, —иЛш, а;)) p(r + ut)dt = 1н V^-V-■ о - (15

Из теоремы 3 следует, что для определения функции ц достаточно задания не всех компонент векторов Л, II, а только одной из компонент, и именно топ, для которой выполнено условие (14). Таким образом, алгоритм решения задачи 2 включает в себя нахождение всевозможных линейных интегралов ио формуле (15) и последующее обращение преобразования Радона.

В §4 предложен численный алгоритм решения прямой задачи для векторного уравнения переноса, представлены результаты тестирования алгоритма решения задачи компьютерной томографии. На рисунке 1(b) изображена томограмма фантома Шепна-Логапа, подученная с помощью алгоритма И.В. Прохорова для скалярной модели переноса, на рисунке 1(c) - томограмма, полученная с помощью предложенного в диссертационной работе алгоритма. Результаты вычислительного эксперимента демонстрируют эффективность предложенного алгоритма реконструкции в адекватность используемой математической модели.

\

V

? /

(а)

(Ь)

(с)

Рисунок 1 Фантом Щепиа-Логаиа: (а) оригинал; (Ь) алгоритм И.В. Прохорова, основанный на скалярной модели; (с) алгоритм, использующий характеристики поляризованного излучения.

Таким образом, полученное обобщение алгоритма решения задачи томографии на случай векторного уравнения переноса поляризованного излучения позволяет обеспечить более качественное восстановление по сравнению с ранее, использованным подходом. Для практических исследований это означает, что применение поляризованных источников специального типа существенно расширяет возможности методов неразрушающего контроля изделий при их радиационном облучении.

В Главе Ш исследована математическая модель переноса поляризованного излучения в слоистой среде

v

Go = |JG¡, Gi = i=l

В плоско-параллельном азиыутальио-симметричном случае уравнение переноса поляризованного излучения имеет вид:

i

'Л&У) +/*(*)/(*, i4 = M,(z) j P{z,v,v>)f{z,¡/)<h/+ J{z.v).

(16)

Здесь / = (/г,/2) - двухкомпонентная вектор-функция распределения поляризованного излучения в среде, связанная с системой параметров Стокса (1ц, 1±) следующими соотношениями: = /ц(;, и)/п2(г). /2(2,!/) = 4(г,1/)/па(г>, где п{г) - кусочно постоянный

показатель преломления (индекс рефракции) среды (n(z) = щ для с € С\). Сумма компонент fi+fi есть характеристика излучения, которая удовлетворяет скалярному уравнешио переноса. Независимая переменная s € О определяет точку слоя, а и € [—1,1] есть косинус угла между направлением распространения излучения и положительным направлением оси Двухкомиопентиая вектор-функция ,/ описывает внутренние источники излучения, а Р представляет тобой матрицу рассеяния размерности 2 х 2.

Положим, что /I.¡i,.Ji неотрицательны, /л > /(т1„ > 0 u /i.,/ia £ Ct,(G0). Обозначим X = G х {[-1,0) U (ОД]}, А'о = Go х {[-1.0) U (0.1]}. Компоненты матрицы рассеяния Pij € Сь(Х0 х [-1,1]\{0}), (Pf) 1,2 > 0 для Л,2 >0 и выполняется нормировка

Г(г',1(-. и, и') + pi2(z-v, i/)W =1, ¿ = 1,2. -1

L

/<

Введем нростраиство \'(Х0) двухкомнонеитных вектор-функций = (&.Р2), € С'ь(Л"0) с нормой

1М1к<ж>) = тах||й||с»(х0);

и пусть .] е \"'(Хо).

Для формулировки граничных условий используем следующие множества:

р-1

Гм = х{[-1.0)и(0, 1 ]>>, Г.:х, = {{20X И,0»и{грХ [±1,0)}}. Г* = ¡=1

Дополним уравнение (1С) граничными условиями

Г (=,") = (Л/+)(*. ") + *(=."). (17)

где

= ( ^ ± ")• ^ < ± о. „) = ]щ, Д. ± е, и).

Функция Л в условии (17), описывающая впеппте источники излучения, принадлежит К(Г~) и равна пулю на множестве Г;„(. Оператор В задает условия сопряжения па границах раздела сред а на множестве Гсх( оп полагается равным пулю. Таким образом, с помощью соотношения (17) одновременно задаются граничные условия как на внешней границе множества Со, так и на внутренней его части.

Для френелсвского случая оператор сопряжения имеет вид:

(/?/+)(*,,«/) = -и) + Й), 1 = 1,р-1.

Здесь - матричные коэффициенты отражения и прохождения на границе

г = zi соответственно. Функция (.',(/•-) есть направление распространения излучения, падающего на поверхность ~ = г;, если в результате преломления по закону Снеллпуса направление равно и.

В §5 доказано существование и единственность решения прямой задачи (1С), (17), получены оценки тина ирппцпна максимума. Предложен алгоритм, основанный па методе Монте-Карло, решения прямой задачи. Приведены результаты вычислительных экспериментов. демонстрирующие эффекты поляризации и деполяризации при прохождении излучения через слоистую с[к:ду.

В §6 исследована следующая задача компьютерной томографии.

Задача 3. Требуется определить относительные показатели преломления «¿+i/»i. »' = 1, ...,/j- 1 слоистой среды Со из уравнения (10). граничных условии (17) и дополнительных граничных условий

f+(zíhv) = Il(^v), v < 0, (18)

в которых функция II(zq.I') считается заданной.

Заметим, что если абсолютный показатель преломления первого слоя известен, то показатели преломления остальных слоев легко определяются из относительных показателей преломления.

Полагаем, что излучение не поступает в среду через границу 2 = zp, то есть =

0, v < 0. и функция /t(c0, v) имеет ограниченную производную по переменной v. В §0 доказаны следующие теоремы.

Теорема 4. Пусть / есть решение краевой задачи (10), (17), и для некоторого наиера

1, 2 < г < р выполняются следующие условия:

■^<1. ZÜ<1. j = 2,...¡, — <1, (19)

)íj rij ' "i-l

f+(zi, —Vi — 0) Ф f+(~i, —0). Vi = -s/l- (щ/,чУ-. (20)

Тогда /+(-о, v) —» oo при v v¡ - 0. Uv

Теорема 5. Пусть f(l), / = 1,2 являются решениями краевой задачи (16), (17). соответствующие двум множествам коэффициентов /»(Ч(г). /'»'(-) и nf. j = i = 1,2. Пусть M есть множество целых чисел i, 2 < i < р, для которых условия (19) и (20) выполняются д.гя каждого множества {к^} и ("f'b "

/«(20,v) =/РЦ*,»), v < 0. (21)

TbAní'VnS1'^!2'/«!2'. i ем.

Имеющие место (по теореме 4) особенности производной выходящего излучения по угловой переменной объясняются эффектом полного отражения на границах раздела слоев. По значениям угловой переменной при которых происходит аномальный рост производной можно однозначно определить относительные показатели преломления слоистой среды.

Заметим, что теорема 5 содержит излишние требования, необходимые для единственности решения задачи томографии (см. равенство (21)). Так, совпадение одной из компонент функций /У) и /Р) на границе г = ^ для и < I) достаточно для разрешимости задачи 3 и единственности решения. На практике это означает, что для успешного решения задачи томографии нужно измерить компоненту или комбинацию компонент, которая обеспечивает лучшую реконструкцию относительных показателей преломления.

Эффективность данного подхода продемонстрирована вычислительным экспериментом определения показателей преломления слоистой среды. Решение задачи включает два этана. На первом, мы полагаем параметры среды известными, решаем прямую задачу и находим для и < 0 функцию Я(га,1>) — /+(го, и), которая описывает выходящее излучение, Н = (Я1; Я2).

Решение задачи 3 включает следующие этапы. Предварительно находим производные функций Я+(и) = Hl(zo, и) + Яг(0, и) и Н-(и) = Я].(г0, V) — Я2(0, ¡/). Затем находим значения ц, i < р. для которых производные принимают аномально большие значения. Далее, используя равенства щ/щ = \/1 — и?, находим относительные показатели преломлелия. Отметим, что функция Н+(и) является характеристикой излучения, которая описывается как скалярным, так и векторным уравнением переноса, а величина Н..(и) описывается только векторным уравнением.

Для численных экспериментов рассмотрена следующая трехслойная среда, моделирующая кожный слой: 1) эпидермис; 2) дерма; 3) капиллярные сплетения. Использовпы оптические характеристики этой модельной среды, соответствующие длине волны А = СЗЗ пш и рассеянию ио закону Рэлея.

Рассмотрим случай неполяризовашюго входящего излучения. Графики производных функций Н+(и) и Я_(;/) для и 6 (—1,0) представлены па рисунке 2, Оба графика имеют пики для двух значений переменной и (-0.43 и -0.36). Это дает два значения относительных индексов рефракции: щ/щ = 0.933 (точное значение равно 0.9(3)) и щ/щ = 0.9028 (точное значение равно 0.9). Таким образом, относительная ошибка реконструкции меньше

Заметим, что инки функции Н'+ в точке и = -0.43 значительно меньше, чем инк функции П'_. Это объясняется тем фактом, что производные компонент выходящего излучения имеют противоположные знаки в этой точке. Ввиду этого, а также наличия на практике естественного и измерительного шума, восстановление относительного показателя преломления П3/П1 па основе скалярной модели может оказаться неразрешимой задачей.

Таким образом, использование алгоритма, основанного на векторном уравнении переноса, способно обеспечить более качественное восстановление показателей преломления.

тепла в слое, включающая в себя уравнение теплопроводности п уравнение переноса теплового излучения. Также исследована диффузионная модель радиационно-кондуктивного теплообмена, в которой уравнение переноса заменяется на его Р]-приближспис (так называемое, диффузионное приближение).

0.5%.

исследована математическая модель раднацпонно-копдуктивного переноса

я:

и'

0,05

O.OÍ

0,02

-t -0.9 -Os» -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 jjL-вЛ----*í,„ '0.1--- -f

í7

-0,01

Рисунок 2 — Производные функций H+ и //_.

В §7 исследован вопрос построения граничных условий для Pj-приближения уравнения переноса. Оценена близость диффузионного приближения к решению уравнения переноса. В §8 рассмотрена краевая задача для модели радишцюнио-кондуктивиого теплообмена в рассеивающем слое с отражающими границами.

Уравнение радиационного переноса тепла в нормализованной форме имеет вид

*/,(*, v) + f(z. и) = | fp(u, ,/)f(z. v>)dv' + (1 - A)G"(:), (22)

где /(г, и) есть нормализованная интенсивность излучения в точке 2 € [0, с/] и в направлении, косинус угла которого с положительным направлением оси z составляет и 6 [-1,1]; Л < 1 есть альбедо однократного рассеяния, описывающее уровень рассеяния в среде: р(и, ¡У) - фазовая функция; в(г) - нормализованная температура. Введем следующие множества для задания граничных условий:

Г" = ({0} х (0,1]) U ({с/} х [-1,0)), Г+ = ({0} х [-1,0)) U ({с1} х (0,1]).

Дополним уравнение (22) следующими граничными условиями:

/((,</) = Л(С)+ («/)(<>), (С, v) е г*, (23)

где

h(0) = £¡91 (В/)(0, v) := р?/(0, -f) + 2pf J /(0, -;/);/&/, с > О,

h(d) = £2©ai (BfM ") ;= p*2i(d.-v) + 2pi f f(d, i/)i/di/. и < 0.

Ja

Здесь 9i и (->2 - нормализованные температуры на границах слоя; р' и p¡ - коэффициенты зеркального и диффузного отражения соответственно; e¡ = 1 — р' — pf - коэффициент излучения.

Уравнение кондуктнвиого переноса тепла имеет вид;

где Nc есть коидуктивно-радиационный параметр. Дополним уравнение (24) следующими граничными условиями:

9(0) = 61; 0(d) = е2. (25)

Уравнения (22), (24) вместе с граничными условиями (23), (25) представляют собой математическую .модель раднтиопио-копдуктивиого переноса тепла в рассеивающем слое с отражающими границами. В §8 разработан рекурсивный алгоритм, основанный на методе Монте-Карло, вычисления нормализованной температуры в слое. Осуществлена реализация предложенного алгоритма на основе технологии MPI. Реализованы 2 пути параллс-лизацин алгоритма. В первом случае, нараллелизация осуществляется по точкам слоя, во втором - по траекториям метода Монте-Карло. Проанализирована эффективность предложенных способов нараллелизацни.

В §9 исследована диффузионная модель радиационно-коидуктивного теплообмена, являющаяся Pi-приближением задачи (22)-(25):

-<?"(*) + aç(x) = a0*(x), х € (0,1), (2G)

r(Q) - íWm = ©í, *(i) + Aí'(i) = ©i (27)

D"(x) = -a¿(x), (28)

6(0) = 0,, 0(1) = e2, (29)

где

_ 1 _ '2(2- Ej) . _

* " iVe(3 - ДА) ' ih ~ ds,(3-ДА)' ' " U 2' Здесь « = rf*(l - A)(3 - ДА), параметр Д € [—1,1] описывает анизотропию рассеяния. Функция ур(.г) интерпретируется как функция f(xd,i/), усредненная но всем направлениям v.

В §9 представлено конструктивное доказательство разрешимости краевой задачи (26)-(29) для модели раднацнонно-копдуктнвного переноса тепла, для чего строится ее следующая модифицированная форма:

-0"(х) + аО(х) + ааОНх) = «■((«, - к2)х + к2), х е (0,1), (30)

НО) = еь 0(1) = ©2, (31)

0(0) - .e, 040) = -<тв< - А (к, - к2) + к2, (32)

0( 1 ) 4- 1) = + Uh. + l)(«i - + '."a- (;i;i) В §9 доказаны следующие теоремы существования il единственности решения краевой задачи (ЗО)-(ЗЗ).

Теорема 6. Пусть Д = ßi - ß и справедливо неравенство

0 < < <7(0! + е2) (е? + е»). (34)

тогда существует, по крайней мере, одно решение в(х) задачи (ЗО)-(ЗЗ) такое, что

в! < в(х) < е2, х 6 [0,1].

Теорема 7. Пусть справедливы неравенства (34) и

2(1+4 Що)Ра* < 1 (35)

V3(^ + (l+ 4в?<г) о) (2 + aß)

тогда существует единственное решение в краевой задачи (ЗО)-(ЗЗ). 6j < 0(х) < в2. х 6 (0,1).

Неравенства (34) и (35) являются сложными ограничениями па параметры задачи. Однако, легко видеть, что эти ограничения выполняются когда А достаточно близко к 1 (то есть, а достаточно близко к 0). Это соответствует случаю подавляющего рассеяния, что является благоприятным условием для использования Pi-нриближення.

Доказательство теоремы единственности и обоснование сходимости и терационного алгоритма основаны на сжимающем свойстве оператора решения задачи (ЗО)-(ЗЗ). Осуществлена реализация и тестирование алгоритма нахождения решения системы (ЗО)-(ЗЗ) для следующих параметров задачи: d = 1, <т — 200, А = 0.9, ¡г = 0.7, А = 1. ©i = 0.5. в2 = 1. Близость решений задачи (22)-(25) и ее диффузионного приближения (2С)-(20). а также скорость сходимости предложенной итерационной процедуры продемонстрированы на рисунках 3, 4.

В §10 исследована диффузионная модель радиашюнио-кондуктнвного теплообмена (20)-(29). Доказаны теоремы безусловной однозначной разрешимости краевой задачи. Полученные в работе свойства оператора решения гарантируют сходимость метода простой итерации для модели радиацпонно-кондуктнвного теплообмена (20)-(29).

Проведено сравнение результатов вычисления температурного профиля на основе моделей (22)-(25) и (20)-(29) с табличными данными, представленными в статьях O.E. Siewert, J.R. Thomas (1991) и O.E. Siewert (1995). Полученные результаты демонстрируют хорошее согласование данных, что свидетельствует об адекватности используемых в Главе IV математических моделей.

0.4 0.5 0.6 Point of the iaysr (x)

Рисунок 3 — Поведение нормализованной температуры в точках слоя, полученное на основе предложенной процедуры (сплошная линия) для системы (ЗО)-(ЗЗ) и на основе модифицированного метода Монте-Карло (точечный график).

8 10 12 Number of iterations

Рисунок 1 — Зависимость среднеквадратичных отклонений от числа итераций между температурным профилем, полученным с помощью метода Монте-Карло, и температурными профилями, полученными с помощью диффузионных приближений. Пунктирная линия соответствует итерационной процедуре для системы (26)-(29). Сплошная линия соответствует предложенной итерационной процедуре для. системы (ЗО)-(ЗЗ).

В Главе V исследована математическая модель радиационно-кондуктивно-конвективного теплообмена (так называемого сложного теплообмена) в области G с отражающей границей Г:

-а АО 4- V • V0 + Ь^в* = fc/W: (3G)

-аА<р + ¡ia<p = рив4, (37)

б|г = во, (33)

atW + ^V-eä) |г = 0. (39)

Здесь в - нормализованная температура, ¡р - нормализованная интенсивность излучения, усредненная по всем направлениям, v - заданное поле скоростей. Постоянные а, Ь и а определены следующим образом:

к , ^п2ТЦ1ах _ ' а =-, Ь =-, « = -\—•

где А: - теплопроводность, с,, - удельная теплоемкость, р - плотность, <т - постоянная Стефаиа-Больдмапа, п - показатель преломления, Trmu - максимальная температура в ненормализованной модели. Через 0„ обозначена производная в направлении внешней нормали. Неотрицательная функция 90, определенная па Г и функция ß. описывающая, в частности, отражающие свойства границы Г. являются заданными.

Полагаем, что G - липшицева ограниченная область, граница Г которой состоит из конечного числа гладких кусков, а исходные данные удовлетворяют условиям: (i) V е //'(С) П L°°(G); V • V = 0.

(Ü) 0о € £,°°(Г), 0 < m < 0о < М\ 3 в € H\G), % = ©о, m < в < М. (m) J е 1°°(Г), ß>ßo> 0.

Здесь через V, 1 < р < оо обозначено пространство Лебега, а через IP - пространство Соболева. Через (•, •) обозначено скалярное произведение в I?{G). Кроме этого будем использовать пространство

Hl{G) = in € Hl(G) : г,|г = 0} с нормой ||»/!|я'(0) = (Vi/,Vii)I/2.

Определение 1. 11щт {8, ^} € tf^G) х Hl(G) называется слабым решением задачи (36)-(39), если

а(ув. V//) + (V • V0 + 1>1,а(в4 - уг), г,) = 0 Vi; G ¡¡1(G). (-10)

vv) + naW+Jß»-eS)v>dr = о v^e H1(G)„ (-U)

г

и при этом = ©о-

В §11 доказаны следующие теоремы существования и единственности решения краевой задачи (3G)-(39).

Теорема 8. Пусть выполняются условия (i)-(iii). Тогда существует слабое решение задачи (36)-(39), удовлетворяющее условиям

т <в< Л/, т* <!р< Л/4. (42)

Обозначим

==inf{|!VC!;2 : С G //¿(C),||C!i = 1},

Ъ = inffaü Vt'f + JßpdT : Ф e Я1 (Cr), He'll = 1 }. г

Теорема 9. Пусть выполняются условия (ij-(iii) и условие.

A< {аъ + 4r»:V„fc)(72 + Ра), (43)

тогда задача (36)-(39) однозначно разрешима в классе слабых решений, удовлетворяющих (12).

В заключение §11 представлены результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующие важность учета радиационных эффектов при расчете энергетических потоков в области больших температурных полей. В частности, приведен пример, показывающий значительное увеличение теплоотдачи в модели сложного теплообмена по сравнению с моделью конвективно-кондуктнвного переноса тепла.

В §12 исследована задача оптимального управления дня модели сложного теплообмена (3C)-(37) с граничными условиями

"hur, = в0, 0пв\Гз = 0, (44)

адп? + w(v? - ©J)|г, = 0, ада<р + ,ву?|г2иг3 = 0. (45)

Здесь 0О н и есть неотрицательные функции, определенные на Г^иГг и Fi соответственно.

Задача оптимального управления заключается в нахождении функций и, О и ¡р, которые удовлетворяют системе (36), (37), (44), (45), условиям

Щ(г) <и(г) <u2(r), reib (46)

0 < в(г) < М, г G CI (47)

н максимизируют поток энергии, покидающий область через участок границы Гз в единицу времени:

[ (0i;„ +/>ЗД tfT — max. (48)

J га

Здесь и 1 и и2 есть заданные неотрицательные функции, определенные на Г]., М > 0 есть заданная постоянная, ?;„ = v • п.

В §12 доказана разрешимость задачи оптимального управления и сформулированы необходимые условия оптимальности. Интересным следствием которых является выполнение аналога пришита bang-bang, заключающегося в том, что оптимальное управление и в точке г е Fi принимает одно из крайних значений //¡(г) пли и2(г).

В Заключение приводятся основные результаты диссертационной работы.

1. Предложен метод многократного облучения для решения задачи компьютерной томографии. Разработай параллельный алгоритм реконструкции структуры трехмерного объекта.

2. Предложен эффективный алгоритм решения задачи компьютерной томографии на основе векторного уравнения переноса.

3. Доказана однозначная разрешимость прямой задачи для уравнения переноса поляризованного излучения и слоистой среде с обобщенными условиями сопряжения на контактных границах слоев. Предложен вычислительный алгоритм нахождения характеристик поляризованного излучения в слоистой среде. Разработан алгоритм решения задачи оптической томографии биологической ткани.

4. Разработан рекурсивный алгоритм для решения стационарной задачи раднаниошю-коидуктивиого теплообмена в рассеивающем слое с отражающими граипцами. Разработан итерационный алгоритм для нахождения решения Pi (диффузионного) приближения задачи радиациопно-кондуктивного теплообмена. Сформулированы ограничения на коэффициенты задачи, гарантирующие быструю сходимость итерационного процесса. Доказаны теоремы безусловной однозначной разрешимости краевой задачи для диффузионной модели радиацноипо-копдуктивиого теплообмена в слое.

5. Доказана однозначная разрешимость краевой задачи для модели сложного теплообмена в трехмерных рассеивающих среда. Исследована задача оптимального мультипликативного управления для модели сложного теплообмена. Доказана разрешимость задачи оптимального управления. Доказан аналог принципа bang-bang для рассмотренной задачи оптимального управления.

Основные публикации автора по теме диссертации

Монографии

1. Аиикопоо Д.С.. Ковтанюк А.Е., Прохоров И.О. Использование уравнения переноса в томографии. - М.: Логос, 2000 - 224 с.

2. Anikonov D.S., Kovtanyuk А.Е.. and Prokhorov I.V. Transport Equation and Tomography. - Utrecht-Boston. VSP. 2002 - 207 p.

Статьи в рецензируемых научных изданиях

3. Anikonov D.S., Pmkhorov I. V., Kovtariyuk A.E. Investigation of scattering and absorbing media by the methods of X-ray tomography /7 J. Inverse and Ill-Posed Problems. VSP. 1993. Vol. 1. № 4. P. 259-281.

4. Ковтанюк A.E., Мальцева E.B. Влияние различных факторов па точность диффузионного приближения уравнения переноса в плоскопаралдслыюм случае // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т.6. №1 (13). С. 40-50.

5. Kovtanyuk A.E., Pmkhomv I. V. Tomography problem for the polarized-radiation transfer equation // J. Inverse and Ill-Posed Problems. VSP. 2006. Vol. 14. № 6. P. 112.

6. Аииконов Д.С.. Ковтапюк A.E., Прохоров И.О., Коновалова Д. С.. Назаров В.Г.. Яро-венка И.II. Радиационная томография и уравнение переноса излучения /7 . la.ii.iie-восточный матем. журнал. 2008. Т. 8. Лг'1. С. 5-19.

7. Kovtanyuk А.Е., Pwkhorov I. V. Numerical solution of the inverse problem for the polarized-radiation transfer equation // Numerical Analysis and Applications. Springer. 2008. Vol. 1. №1. P. 46 57.

8. Ковтамюк A.E., Прохоров И.В. Краевая задача для уравнения переноса поляризованного излучения в слоистой среде с френелевскими условиями сопряжения на границе раздела сред /7 Дальневосточный матем. журнал. 2010. Т. 10. №1. С. 50 59.

9. Kovtanyuk А.Е., Nefedev К. V.. Pmkhomv J. V. Advanced computing method for solving of the polarized-radiation transfer equation /7 Lecture Notes in Computer Science. Springer. 2010. Vol. 6083. P. 268-276.

10. Kovtanyuk A.E., Pwkhorov I. V. Boundary-value problem for the polarized-radiation transfer equation with Fresnel interface conditions in layered medium //' ,1. of Computational and Applied Mathematics. Elsevier. 2011. Vol. 235. №8. P. 2006 -2014.

11. Kovtanyuk A.E., Botkin N. D., IIoffmann К.-II. Numerical simulations of a coupled conductive-radiative heat transfer model using a modified Monte Carlo method // Int. J. Heat and Mass Transfer. Elsevier. 2012. Vol. 55. P. 649-654.

12. Ковтапюк A.E. Алгоритмы параллельных вычислений для задач радиационно-кон-дуктивного теплообмена // Компьютерные исследования и моделирование. 2012. Т. 4. \> 3. С. 543-552.

13. Kovtanyuk А. Е., Chebotarcv A. Yu. An iterative method for solving a complex heat, transfer problem // Applied Math, and Computation. Elsevier. 2013. Vol. 219. P. 9356 9362.

14. Ковтапюк A.E.. Чеботарев A.10. Стационарная задача сложного теплообмена // Журнал выч. матемаг. и мат. физики. 2014. Т. 54. № 4. С. 191-199.

15. Ковтапюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача свободной конвекции с радиационным теплообменом /7 Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 50. .Vs 12. С. 1590-1597.

10. Kovtanyuk A.E. The use of CPUs for solving the computed tomography problem /7 J. of Nano- and Electronic Phys. 2014. Vol. 6. X'- 3. P. 03050-1-03050-4.

17. Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. The unique solvability of a complex 3D heat transfer problem // J. of Mathematical Analysis and Applications. Elsevier. 2014. Vol. 409. P. 808-815.

18. Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann h'.-H. Theoretical analysis of an optimal control problem of conductive-convective-radiative heat transfer // J. of Mathematical Analysis and Applications. Elsevier. 2014. Vol. 412. P. 520-528.

19. Kovtanyuk A.E., Chebotarev A. Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Solvability of PI approximation of a conductive-radiative heat transfer problem // Applied Math, and Computation. Elsevier. 2014. Vol. 249. P. 247 252.

20. Kovtanyuk A.E., Chebotarev A. Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Unique solvability of a steady-state complex heat transfer model // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Elsevier. 2015. Vol. 20. P. 776-784.

Патенты, свидетельства о государственной рсгистщцаи

21. Ковтанюк, А.Е., Назаров В.Г., Прохоров И.В., Яровенко Я.П. Способ идентификации материалов путем многократного радиографического облучения // Патент на изобретение Российской Федерации №2420102 от 10.08.2011.

22. Аиикопов Д.С., Коатанюк А.Е.. Назаров В.Г., Прохоров П.В., Суровенко И.С., Яровенко 11.11. База данных радиационных характеристик веществ, представляющих интерес в рентгенодиагностике /'/ Свидетельство о государственной регистрации базы данных, 19.06.2009, №2009020348.

23. Аниконов Д.С., Ковтанюк А.Е., Назаров В.Г.. Прохоров И.В.. Суровенко Н.С., Яровенко И.П. Определение контраста неоднородной среды в рентгеновской томографии // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ, 16.00.2009, №2009613135.

24. Ковтанюк А.Е. Высокопроизводительный алгоритм расчета температурного профиля в модели радиационно-коидуктивного теплообмена в плоском слое /7 Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, 30.06.2011, № 2011614228.

25. Ковтанюк А.Е., Яровенко И.П. Моделирование сигнала, регистрируемого рентгеновским томографом, для диапазонов энергии, где преобладает комптоновское рассеяние// Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. 30.05.2011. №2011611227.

20. Ковтанюк Л.Е., Назаров В. Г. Построение таблиц базы данных томографической различимости различных пар материалов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, 11.01.2011, №2011610121.

27. Ковтанюк А.Е. Решение прямой задачи для уравнения переноса поляризованного излучения на основе параллельного алгоритма метода Монте-Карло // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, 06.07.2012, № 2012616226.

28. Ковтанюк А.Е. Вычисление характеристик поляризованного излучения в слоистой среде на основе сверхмасштабируелгого алгоритма метода Монте-Карло/ / Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, 07.09.2012, 2012618049.

29. Ковтанюк А.Е. Решение задачи электронной томографии на основе сверхмасштаби-руемого алгоритма обращения преобразования Радона // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, 06.07.2012, К' 2012610225.

30. Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Решение задачи сложного теплообмена в 3D области канального типа /7 Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, 7.03.2013, № 2013012632.

31. Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Решение задачи радиащ1онио-конвектш.шо-кондук-тивного теплообмена // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, 10.00.2013, № 2013615158.

32. Хандорин A.A., Ковтанюк Ä.E., Чеботарев А.Ю. Решение трехмерной задачи компьютерной томографии // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, 20.02.2011 К> 2014612193.

Ковтанюк Андрей Егорович

Стационарные модели переноса излучения и сложного теплообмена

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано к печати 19.01.2015 Тираж 100 экз.