автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод решения некорректно поставленных задач при условии истокообразной представимости точного решения и его применение к задаче катодолюминесцентной микротомографии

Введение.

Глава 1. Метод расширяющихся компактов и апостериорная оценка погрешности в случае линейных операторных уравнений.

§1. Случай точно заданных операторов.

§2. Особые свойства метода расширяющихся компактов.

§3. Случай операторов, заданных с ошибками.

§4. Связь метода расширяющихся компактов и метода регуляризации Тихонова с выбором параметра регуляризации по принципу невязки.

§5. Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности.

5.1. Постановка задачи.

5.2. Результаты расчетов.

Глава 2. Метод расширяющихся компактов и апостериорная оценка погрешности в случае нелинейных операторных уравнений.

§1. Случай точно заданных операторов.

§2. Случай операторов, заданных с ошибками.

Глава 3. Задача катодолюминесцентной микротомографии.

§1. Анализ методов 3-х мерной катодолюминесценции.

§2. Схема установки. Описание задачи.

§3. Область генерации и распределение неравновесных носителей. Интенсивность катодолюминесцентной эмиссии.

§4. Фокусировка и пространственная дискретизация оптических лучей с помощью зеркального эллипсоида вращения. Расчет хода лучей в полуэллиптическом зеркале.

4.1. Качественные рассмотрения.

4.2. Расчет хода лучей в полуэллиптическом зеркале.

§5. Результаты численного моделирования и их анализ.

Схема эксперимента.

§6. Обратная задача катодолюминесцентной микротомографии. Метод решения.

6.1. Постановка задачи.

6.2. Метод решения обратной задачи катодолюминесцентной микротомографии.

6.3. Модельная задача. Анализ результатов.

6.4. Возможность апостериорной оценки погрешности решения.

Настоящая диссертация посвящена проблеме решения некорректно поставленных обратных задач как линейных, так и нелинейных при условии истокообразной представимости точного решения, построению регуляризирующего алгоритма со специальными свойствами, такими как существование апостериорных оценок погрешности решения и его оптимальностью по порядку точности. В работе также решается задача катодолюминесцентной микротомографии с помощью предложенного алгоритма. Получено не только решение задачи, но и вычислена апостериорная оценка погрешности.

Понятия корректной и некорректной задач были введены Ж. Адамаром в 1932 году. Начало развитию теории решения некорректных задач было положено в работах А.Н. Тихонова [1-5].

К некорректно поставленным задачам относятся многие задачи линейной алгебры, оптимального управления, минимизации функционалов и многие другие. Оказывается, что большинство обратных задач естествознания оказывается некорректными, что вынуждает использовать для их решения специальные алгоритмы, разработанные в рамках теории регуляризации [6-29].

После основополагающих работ А.Н. Тихонова [1-5],

B.К. Иванова [30,31], М.М. Лаврентьева [32,33] теория некорректных задач привлекала внимание многих исследователей: В.Я. Арсенина, А.Б. Бакушинского, Г.М. Вайникко, В.В. Васина, А.В. Гончарского, А.С. Леонова, В.А. Морозова, В.П. Тананы, А.Г. Яголы, H.W. Engl,

C.W. Groetsch, и многих др., результаты работы которых отражены в монографиях [34-52].

Параллельно развивались и численные методы решения некорректных задач. При численном решении некорректных задач возникает проблема дискретизации исходной задачи, т.е. замена исходной непрерывной математической модели некоторым ее конечномерным аналогом. Наиболее употребительными способами дискретизации задачи являются конечноразностный [53,54] и проекционный [55, 56] методы. Суть конечноразностного метода при применении к интегральным уравнениям заключается в замене интеграла конечной суммой. Таким образом, нахождение приближенного решения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. При применении проекционного метода исходный оператор сужается на конечномерное подпространство, что также сводит исходную задачу к системе линейных уравнений. Обзор численных методов решения таких систем можно найти, например, в [57].

На практике при решении задач важен не только вопрос приближенного нахождения решения некорректно поставленной задачи, но и вопрос о точности найденного приближения. Как будет отмечено ниже, для некорректно поставленных задач невозможно найти точность полученного решения, но иногда, при сильных априорных предположениях о решении, возможно построение, так называемых, апостериорных оценок погрешности. В любом случае при решении некорректно поставленных задач следует использовать всю имеющуюся априорную информацию [41,42].

В теории некорректных задач известен следующий факт. Если искомое решение принадлежит некоторому известному компакту, то в этом случае можно не только построить приближенное решение, но и оценить его точность в соответствующей норме. Принципиальная возможность указанной оценки была обоснована в работе А.Н. Тихонова "Об устойчивости обратных задач" [1].

Построение конструктивных методов приближенного решения некорректных задач на компактных множествах содержится в работах В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева и др. авторов [32,40,58-68]. Наряду с указанным случаем компактного множества часто встречаются ситуации, когда дополнительной априорной информации об искомом решении недостаточно для выделения компакта в пространстве решений. Если полностью отсутствует какая-либо априорная информация об искомом решении, то в общем случае построение оценки точности для метода регуляризации принципиально невозможно [69].

В данной работе предлагается алгоритм, использующий априорную информацию о том, что точное решение принадлежит истокопредставимому с помощью вполне непрерывного оператора множеству, и допускающий апостериорную оценку погрешности.

Основным объектом исследования в данной работе являются операторные уравнения первого рода

Az = u (В.1) в нормированных и метрических пространствах. Многие задачи математической физики сводятся к уравнению (В.1) с вполне непрерывным, в частности, интегральным оператором А. На практике в таких задачах z -величина, не доступная прямому измерению, из некоторого пространства возможных значений Z, а и-наблюдаемые величина из некоторого пространства и. Уравнения (В.1) называют абстрактными уравнениями Фредгольма 1-го рода. Обычно трудности, возникающие при исследовании таких уравнений, связаны с незамкнутостью области значений оператора А и отсутствием непрерывной зависимости решения от правой части (неустойчивость или некорректность задачи). В связи с этим, обычные методы, используемые для приближенного решения некорректных задач, оказываются непригодными.

Пусть некоторым характеристикам z е Z соответствует элемент й = Az е U, а в результате эксперимента оказывается доступным приближенное значение элемента й -элемент useU и оценка точности приближенных данных 8 : р(й,us) < 8 , где р-расстояние в пространстве U.

В данной работе широко используются фундаментальные понятия: понятие приближенного решения некорректно поставленных задач, введенное в [3], а также понятие регуляризирующего алгоритма - оператора или правила, который каждой паре {мг,5} ставит в соответствие элемент zsgZ такой, что Zg —^ z при <5 0 - как способа приближенного решения некорректной задачи.

С теоретической точки зрения важен вопрос о регуляризуемости (т.е. существовании, по крайней мере, одного регуляризирующего алгоритма) уравнения для данного оператора А и пары пространств Z и и. Даже в случае линейного непрерывного оператора А и линейных нормированных пространств на этот вопрос следует дать отрицательный ответ [70], например, уравнение нерегуляризуемо, если пространство Z несепарабельно, a U сепарабельно [71].

Одной из важных характеристик любого приближенного метода является погрешность построенного приближенного решения. В работе рассматриваются вопросы апостериорного оценивания погрешности и оптимальности метода по порядку точности. Остановимся на этих понятиях более подробно. Приведем результаты, полученные Винокуровым в работах [72,73]. Для простоты считаем, что оператор известен точно, т.е. Ah = А. Пусть точность приближенного решения zs=R(us,8) может быть представлена в виде: где К не зависит от 5, а функция <р(8) определяет скорость сходимости приближенного решения к точному. Существуют понятия точечных и равномерных оценок погрешностей решений. В случае точечных оценок решение z фиксировано, а константа К и функция (р(8) зависят от 2. В случае равномерной оценки данное неравенство справедливо для некоторого множества М точных решений z . Точечные оценки погрешности решений не представляют практического интереса, т.к. точное решение задачи z неизвестно.

Результаты работы [72] могут быть сформулированы следующим образом. Пусть оператор A: Z и -линейный непрерывный инъективный оператор, Z -банахово пространство, и -нормированное пространство. Предположим, что обратный оператор А'1 неограничен на области определения D(A~'). Считаем, что <р(8)-произвольная положительная функция, такая что <р(<5) 0 при 8 0, Rs произвольный метод решения задачи. Тогда следующее равенство выполняется для элементов z кроме, быть может, множества первой категории в пространстве Z :

Здесь &(Rs,8,z) = sup{||i?5(и5) — z||: Vm5 € U, ЦЛг-м^Ц < 5}-характеристика точечной погрешности для метода Rs. Видно, что равномерная оценка погрешности может существовать только на множестве первой категории в пространстве Z . zs-z\\<K(p(8),

В.2)

В.З)

Примером множества первой категории является компактное множество в нормированном пространстве. В этом случае можно использовать специальные регуляризирующие алгоритмы для нахождения приближенного решения [43,44,74,75] и возможно построение равномерной оценки погрешности решения.

Для некорректных задач в общем случае невозможно не только построить погрешность приближенного решения, но и даже оценить скорость сходимости приближенного решения к точному z. Однако для некоторых некорректных задач существует, так называемая, апостериорная оценка погрешности. Следуя [76] для случая точного инъективного оператора А с замкнутым графиком и а -компактного пространства Z определим функцию Д (S,us) такую, что Vze Z 3<5(z) > О, V<5 е (0,<5(z)], Vw5 е U ||м5 -й| < 5 : ||z-/?5(ms)|| < A(S,u$). Функция Д(<5,м5) называется апостериорной оценкой погрешности, если A(5,us)-> О при «5 —> 0. В работе [76] также отмечено, что для вычисления апостериорных оценок погрешности может быть использована техника получения оценок модуля непрерывности обратного отображения на компактах. Модуль непрерывности вычислен для некоторого класса задач в работах [40,77].

Как было отмечено выше, для того чтобы построить равномерную оценку погрешности приближенных решений нужно рассматривать определенные множества решений. С технической точки зрения удобно использовать множества представимые в виде М — Мr = {z : z = Bv, v e V, ||v|| < г}. Здесь V -гильбертово пространство,

В : V -» Z -заданный оператор, г-фиксированный параметр. Важные результаты теории равномерных оценок могут быть получены в двух случаях. В первом случае оператор В предполагается линейным, инъективным и вполне непрерывным, не зависящим от оператора А см., например, [40,44,45,49]). Во втором случае оператор В рассматривается как функция оператора A'A, a V = z (см., например, [37,40,49,51,78]). Обычно целью таких подходов является то, чтобы доказать некоторые оптимальные свойства заданных методов и сравнить различные методы по скорости сходимости.

При сравнительном анализе методов возникает необходимость получения точных (по порядку) оценок оптимальности методов, позволяющих судить о максимально возможной точности приближенного решения задачи. Исследование таких оценок для задач с точно заданным оператором можно, найти, например, в [46]. Поэтому важную роль играет понятие оптимальной точности, оптимального метода, оптимального по порядку точности метода. Эти определения различны в первом и втором подходах. Приведем данные определения для первого подхода.

Под точностью метода Rs понимается:

Оптимальной точностью на классе на классе R всех возможных методов R решения задачи называется

Метод Rs называется оптимальным по порядку на множествах Мг если выполняется следующее неравенство: при 8 0, и к не зависит от 5, г. Целью настоящей работы является:

1. Построение алгоритма решения линейных операторных уравнений при условии истокообразной представимости

A(Rs,5,r) = sup{||^(«J-z||: z е Mr\Az-us\< <5} . (В.4)

В.5)

В.6) точного решения как в случае точно заданных операторов, так и в случае операторов, заданных с ошибками.

2. Построение алгоритма решения нелинейных операторных уравнений при условии истокообразной представимости точного решения как в случае точно заданных операторов, так и в случае операторов, заданных с ошибками.

3. Анализ вопроса апостериорного оценивания решений, полученных с помощью предложенных алгоритмов. Получение выражений для апостериорных оценок погрешности.

4. Анализ оптимальности (по порядку) точности метода.

5. Решение прямой задачи катодолюминесцентной микротомографии. Моделирование светового транспорта в конфокальной системе.

6. Решение обратной задачи катодолюминесцентной микротомографии, используя результаты п.5, с помощью предложенного алгоритма. Вычисление апостериорных оценок погрешности полученного решения.

Методика исследования базируется на основных фактах теории решения некорректно поставленных задач, функционального анализа, теории линейных операторов, методов решения экстремальных задач.

Перейдем к изложению содержания работы по главам. В первой главе рассматривается уравнение (В.1) при условии, что имеется следующая априорная информация о точном решении z е Z: z = Bv, (В. 7) где В -линейный инъективный вполне непрерывный оператор, действующий из пространства V в Z. A -.Z -»С/ -линейный ограниченный инъективный оператор с областью значений R(A).

Пространства V, z, U предполагаются нормированными. Предложен алгоритм решения уравнения (В.1) с априорной информацией (В.7), вычисляющий устойчивое приближение к точному решению z по заданным приближенному значению правой части уравнения (В.1) и5 и погрешности его задания 8. Элемент и5, такой что ||м-м{||<5. Таким образом, по данным {и5,&} построено приближенное решение, то есть элемент zss Z, такой что \zs - z|| —> 0 при 8 -»0. Доказано, что предложенный алгоритм является регуляризирующим и допускает апостериорную оценку погрешности, т.е. существует функционал А(8,и5) такой, что Д(<5,г/5)^>0 при 8->0, и \\zs-z\\<A(5,us) по крайней мере для всех достаточно малых положительных 8. Алгоритмы решения задачи (В.1),(В.7) предложены также для случаев, когда операторы А и В известны с ошибками. Доказано, что предложенные алгоритмы являются регуляризирующими и допускают апостериорные оценки погрешностей. Получены выражения для этих оценок погрешностей. Приводятся результаты модельных расчетов, подтверждающих справедливость доказанных утверждений, а также значения апостериорных оценок погрешностей, полученных при решении задачи. Показано, что предложенный алгоритм является оптимальным по порядку точности для случая V-Z, Z, U -гильбертовы пространства, В = {А'А)рП. Тем самым подтверждена общая идея, что при построении регуляризирующего алгоритма следует использовать всю доступную априорную информацию.

Во второй главе результаты, полученные для линейного случая, перенесены на случай нелинейных операторов, действующих в метрических пространствах. Например, для случая, точно заданных операторов задача рассматривалась при следующих предположениях:

Z, U -метрические пространства, а оператор А : Z U -непрерывный инъективный оператор с областью значений R(A). По данным {us,8} требуется построить приближенное решение, то есть элемент zse Z, такой что p(zs,z) —»0 при <5->0. Элемент us -приближенно заданная правая часть уравнения (В.1), такая что p(us,U)<8, 8 -погрешность задания правой части. Рассматривались также случаи, когда операторы заданы с ошибками, а именно случаи, когда оператор А задан с ошибкой, В задан точно; оператор А задан точно, В задан с ошибкой; А задан с ошибкой, В задан с ошибкой. Предложены алгоритмы решения задач для рассмотренных случаев, доказано существование апостериорных оценок погрешностей, а также получены выражения для этих оценок.

В третьей главе решается задача катодолюминесцентной микротомографии. Моделируется световой транспорт в катодолюминесцентных материалах и собирающей излучение эллипсоидальной системе. На основе этих расчетов показана принципиальная возможность реализации катодолюминесцентной микротомографии в растровой электронной микроскопии. Обратная задача катодолюминесцентной микроскопии решается с помощью предложенного в первой главе метода. Рассчитаны значения апостериорных погрешностей полученных решений. Для решения данной задачи диссертантом создан программный комплекс.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем.

Рассматриваются задачи решения операторных уравнений с приближенно заданными данными при условии истокообразной представимости точного решения, полученные результаты применяются для решения задачи катодолюминесцентной микротомографии.

1. Предложен алгоритм решения линейных операторных уравнений в нормированных пространствах при условии истокообразной представимости точного решения, как для случая точно, так и для случая приближенно заданных операторов. Показано, что предложенные алгоритмы являются регуляризирующими по Тихонову.

2. Доказано существование апостериорных оценок погрешностей при решении данных задач предложенным алгоритмом. Получены выражения для данных оценок погрешностей.

3. Показана оптимальность по порядку точности предложенного алгоритма.

4. Полученные результаты перенесены на случай нелинейных уравнений в метрических пространствах.

5. Решена прямая задача катодолюминесцентной микротомографии: по заданному пространственному распределению квантового выхода, характеризующего оптоэлектронные свойства объекта, определялась энергия излучения, попавшего в диафрагму. Моделировался световой транспорт в объекте и коллектирующей излучение эллипсоидальной системе. Предложена схема проведения эксперимента.

6. На основе данных полученных при решении прямой задачи, с помощью предложенного метода, решена обратная задача катодолюминесцентной микротомографии: по полученному набору измерений энергии излучения, попавшего на фотодетектор, восстанавливалась внутренняя микроструктура объекта, при условии истокообразной представимости внутреннего квантового выхода, как функции глубины. Также было доказано существование апостериорной оценки погрешности при решении данной задачи предложенным методом. Вычислены значения данных оценок погрешностей. На основе полученных результатов проанализированы возможности предложенного метода.

Практическая значимость работы заключается в том, что разработанные в работе методы решения некорректно поставленных задач и апостериорного оценивания погрешности решения могут быть использованы для решения различных классов прикладных задач, включая нелинейные, что особенно важно. Предложенный метод решения задачи катодолюминесцентной микротомографии может быть использован для определения и визуализации внутренней микроструктуры оптоэлектронных структур. При реализации предложенного метода, информация будет извлекаться из локального объема, меньшего более чем на порядок по сравнению с областью возбуждения света, который регистрировался раньше в известных работах по катодолюминесцентной микроскопии. Ожидается улучшение пространственного разрешения (по глубине и латерально) в несколько раз, что особенно необходимо в связи с бурным развитием нанотехнологий и микроскопии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математики физического факультета МГУ, семинаре "Обратные задачи математической физики" под руководством проф. Яголы А.Г, проф. Бакушинского А.Б. и проф. Тихонравова А.В., на конференциях «Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-99». Москва, физический факультет МГУ, 21 апреля 1999 года», «Обратные и некорректно поставленные задачи. Москва, факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ, 20-21 июня 2000 года», «Ill-posed and non-classical problems of mathematical physics and analysis, September 11-15, 2000 , Самарканд, 2000», «Fast solution of discretized optimization problems" (WIAS Berlin, May 8-12, 2000)», «ЕСМ1 2002. 12th Conference of the European Consortium for Mathematics in Industry. Jurmala, Latvia, September 10-14, 2002», «International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics (ISIP2003), Nagano, Japan, 18-21 February 2003».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, одна работа принята к печати, ссылки на данные публикации приведены в конце списка литературы. Соавторы участвовали в постановках задач и обсуждении результатов.

Заключение.

Таким образом, диссертация посвящена изучению актуальных проблем:

1) решению некорректно поставленных задач при условии истокообразной представимости точного решения;

2) решению прямой и обратной задач катодолюминесцентной микротомографии.

В рамках решения первой проблемы предлагается вариант метода расширяющихся компактов. Показано, что предложенный алгоритм является регуляризирующим по Тихонову, обладает свойствами недоступными для общих алгоритмов, в частности, является оптимальным по порядку точности на специальном классе задач и допускает апостериорную оценку погрешности. Тем самым подтверждена общая идея, что если имеется некоторая априорная информация о точном решении (в частности информация, что точное решение истокообразно представимо с помощью вполне непрерывного оператора), то ее необходимо использовать при построении регуляризирующего алгоритма. Сходимость предложенного метода и существование апостериорной оценки погрешности были подтверждены модельными расчетами для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Рассматриваемый алгоритм предложен как для случая линейных операторов в нормированных пространствах, так и для более общего случая нелинейных операторов в метрических пространствах. Рассматриваются случаи как точно, так и приближенно заданных операторов.

В рамках решения второй проблемы решалась как прямая, так и обратная задача катодолюминесцентной микротомографии. При решении прямой задачи моделировался световой транспорт в катодолюминесцентных материалах. На основе законов геометрической оптики были получены формулы для переноса светового излучения в эллипсоидальной системе, коллектирующей излучение. Путем математического моделирования была выбрана схема эксперимента. Показана принципиальная возможность катодолюминесцентной микротомографии в растровой электронной микроскопии.

Для решения обратной задачи катодолюминесцентной микротомографии применялся алгоритм, предложенный в рамках решения первой проблемы. Задача решалась на основе данных, полученных при решении прямой задачи. Показано существование апостериорных оценок полученных решений. Вычислены данные оценки погрешностей.

Создан программный комплекс в системе математического моделирования MATLAB для решения задачи катодолюминесцентной микротомографии.

В заключение автор хотел бы выразить свою искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Григорьевичу Яголе, а также доктору физико-математических наук Эдуарду Ивановичу Pay за постоянное внимание к работе и помощь.

1. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР, 1943, т.39, №5, с.195-198.

2. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР, 1963, т. 151, №3, с.501-504.

3. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР, 1963, т. 153, №1, с.49-52.

4. Тихонов А.Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода. // ДАН СССР, 1964, т.156., №6, с. 1296-1299.

5. Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода // ДАН СССР, 1965, т. 161, №5, с.1023-1026.

6. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

7. Гилязов С.Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1987.

8. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.

9. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995.

10. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969.

11. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982.

12. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

13. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: наука и техника, 1981.

14. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972.

15. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосибирск, ун-та, 1973.

16. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

17. Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики. М.: Наука, 1991.

18. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.

19. Тихонов А.Н., КальнерВ.Г., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990.

20. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1982.

21. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990.

22. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999.

23. Гончарский А.В. Обратные задачи оптики // Вестн. МГУ. Сер. 15, 1986, №3, с. 59-77.

24. Гончарский А.В., Черепащук А.М, Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978.

25. Арсенин В.Я. Задачи вычислительной диагностики в медицине // Некорректные задачи естествознания. М.: Изд-во МГУ, 1987, с.171-185.

26. Гласко В.Б., Мудрецова Е.А., Страхов В.Н. Обратные задачи гравиметрии и магнитометрии // Некорректные задачи естествознания. М.: Изд-во МГУ, 1987, с.89-103.

27. Дмитриев В.И. Обратные задачи электромагнитных методов геофизики // Некорректные задачи естествознания. М.: Изд-во МГУ, 1987, с.54-77.

28. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математические задачи диагностики плазмы // Некорректные задачи естествознания. М.: Изд-во МГУ, 1987, с. 103-135.

29. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В. Обратные задачи обработки фотоизображений // Некорректные задачи естествознания. М.: Изд-во МГУ, 1987, с. 185-196.

30. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Мат.сб., 1963, т.61, №2, с.211-223.

31. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // ЖВМ и МФ, 1966, т.6, №6, с. 1089-1094.

32. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода // ДАН СССР, 1959, т.127, №1, с.31-33.

33. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск.: СО АН СССР, 1962.

34. Арсенин В .Я. О методах решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во МИФИ, 1977.

35. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

36. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.

37. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989.

38. Вайникко Г. Методы решения линейных некорректных задач в гильбертовых пространствах. Тарту, 1982.

39. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итеративные методы в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.

40. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

41. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

42. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В, ЯголаА.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.

43. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., ЯголаА.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

44. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

45. Tikhonov, A.N., Leonov, A.S., and Yagola, A.G. Nonlunear Ill-Posed Problems, vol 1,2, Chapman and Hall, London, 1998.

46. Морозов B.A. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1987.

47. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987.

48. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.

49. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений. Свердловск: Изд-во Урал, унта, 1987.

50. Tikhonov, A.N., Goncharsky, A.V., Stepanov, V.V., and Yagola A.G. Numerical Methods for the Solution of Ill-Posed Problems, Kluwer, Dordrecht, 1995.

51. Engl, H.W., Hanke, M., and Neubauer, A. Regularization of Inverse Problems, Kluwer, Dordecht, 1996.

52. Groetsch, C.W. The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm Equations of the First Kind, Pitman, Boston, 1984.

53. Гончарский A.B., Леонов А.С., Ягола А.Г. Конечноразностная аппроксимация линейных некорректных задач // ЖВМ и МФ, 1974, т.14,№1, с. 15-24.

54. Танана В.П. Проекционные методы и конечноразностная аппроксимация линейных некорректных задач // Сиб. мат. журн., 1975, т. 16, №6, с. 1301-1307.

55. Васин В.В. Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов для линейных неустойчивых задач // ДАН СССР, 1974, т.215, №5, с.1032-1034.

56. Васин В.В., Танана В.П. Об устойчивости проекционных методов при решении некорректных задач // ЖВМ и МФ, 1975, т.15, №1, с.19-29.

57. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

58. Гончарский А.В., Степанов В.В. Численные методы решения некорректно поставленных задач на компактных множествах // Вестн. МГУ. Вычислительная математика и кибернетика, 1980, №3, с. 12-18.

59. Гончарский А.В., Ягола А.Г. О равномерном приближении монотонного решения некорректных задач // ДАН СССР, 1969, т. 184, №4, с.771-773.

60. Денчев Р. Об устойчивости уравнений на компакте // ЖВМ и МФ, 1967, т.7, №6, с.1367-1369.

61. Иванов В.К. Интегральные уравнения 1 рода и приближенное решение обратной задачи теории потенциала // ДАН СССР, 1962, т.142, №5, с.998-1000.

62. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач // Сиб. мат. журн., 1966, т.7, №3, с.546-558.

63. Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешностей при решении линейных некорректных задач // ЖВМ и МФ, 1969, т.9, №1, с.30-41.

64. Лаврентьев М.М., Аниконов Ю. Е., Фазылов Ф.Н. Приближенное решение некоторых нелинейных операторных уравнений //ДАН СССР, 1971, т.200, №4, с.770-772.

65. Лисковец О.А. Численное решение некоторых некорректных задач методом квазирешений // Дифференц. уравн., 1968, №4, с.735-742.

66. Морозов В.А. Об оценках погрешности решения некорректно поставленных задач с линейными неограниченными операторами // ЖВМ и МФ, 1970, т. 10, №5, с. 1081 -1091.

67. Морозов В.А. О реставрации изображений с гарантированной точностью // Численные методы на ФОРТРАНЕ. М.: Изд-во МГУ, 1979, с.3-45.

68. Танана В.П. Об оптимальных для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором // Мат. сб., 1977, т. 104, №2, с.314-333.

69. Винокуров В.А. О погрешности приближенного решения линейных обратных задач // ДАН СССР, 1979, т.246, №4, с.792-793.

70. Винокуров В.А. Об одном необходимом условии регуляризуемости по Тихонову // ДАН СССР, 1970, т. 195, №3, с.530-531.

71. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

72. Винокуров В.А. Регуляризуемые функции в топологических пространствах и обратные задачи // ДАН СССР, 1979, т.246, №5, с.1033-1037.

73. Винокуров В.А. О порядке погрешности вычисления функции с приближенно заданным аргументом // ЖВМ и МФ, 1973, т. 13, №5, с.1112-1123.

74. Леонов А.С., Ягола А.Г. Адаптивные регуляризирующие алгоритмы // Вестн. МГУ, 1998, №2, с.62-63.

75. Leonov, A.S., Yagola, A.G. Special Regularizing Methods for Ill-Posed Problems with Sourcewise Represented Solutions // Inverse Problems, 1998, v.14, 6, 1539-1550.

76. Винокуров B.A., Гапоненко Ю.Л. Апостериорные оценки решений некорректных обратных задач // ДАН СССР, 1982, т.263, №2, с.277-280.

77. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973.

78. Bakushinskii, А.В., and Goncharskii, A.V. Ill-Posed Problems: Theory and Applications, Kluwer, Dordrecht, 1994.

79. Гапоненко Ю.Л. Некорректные задачи на слабых компактах. М.: Изд-во МГУ, 1989.

80. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

81. Lavrenf ev, M.M., Romanov, V.G., and Shisshatskij, S.P. Ill-Posed Problems of Mathematical Physics and Analysis, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1986.

82. Домбровская И.Н., Иванов B.K. К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах // Сиб. мат. журн., 1965, т.6, №3, с.499-508.

83. Рисс Ф., Секефальди-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

84. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

85. Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие. М.: Диалог-МИФИ, 1997.

86. Васин В.В., Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода // Матем. зап. Уральского ун-та, 1968, т.6, тетр.2, с.27-37.

87. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. Задачи минимизации в функциональных пространствах, регуляризация, аппроксимация. М.: Наука, 1981.

88. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

89. Petrov, V.I. Cathodoluminescence Scanning Microscopy // Phys. Stat. Sol. (a), 1992, 133, p.189-230.

90. Saparin, G.V., Obyden, S.K., Ivannikov, P.V. A Nondestructive Method for Three-Dimensional Reconstruction of Luminescence Materials: Principles, Data Acquisition, Image Processing // Scanning, 1996, v. 18, p.281-290.

91. Ivannikov, P.V., Dronov, S.V., Saparin, G.V., Obyden, S.K. Computer Modeling of Three-Dimensional Reconstruction Algorithm of Cathodoluminescence Material Properties, Analysis of

92. Errors, and Optimization of Variable Parameters // Scanning, 2002, v.24, p.127-135.

93. Kireev, V.A., Razgonov, I.I., Yakimov, E.B. Possibilities of Modulated Cathodoluminescence for Multilayer Structure Characterization // Scanning, 1993, v. 15, p.31-36.

94. Петров В.И. Катодолюминесцентная микроскопия // Усп. физ. наук, 1996, т. 166, №8, с.4.

95. Ehrenberg, W, King, D.E. The Penetration of Electrons into Luminescent Materials //Proc. Phys. Soc., 1963, v.81, p.751-765.

96. Obyden, S.K., Saparin, G.V., Spivak, G.V. Angular Distribution of CL Intensity and Efficiency of Ellipsoidal and Parabolic Light Collectors // Scanning Electron Microscopy, 1980, v.4, p.33-40.

97. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд-во ЛГУ, 1950.

98. Ягола А.Г., Дорофеев К.Ю. Метод расширяющихся компактов решения некорректных задач при условии истокопредставимости // Вестн. МГУ, сер. 3. Физика. Астрономия, 1999, №2, с.64-66.

99. Дорофеев К.Ю., Pay Э.И., Сеннов P.A., ЯголаА.Г. О возможности катодолюминисцентной микротомографии. -Вест. МГУ. Сер. 3. Физика. Астрономия, 2002, № 2, с.73-75.

100. Dorofeev, K.Y., Nikolaeva, N.N., Titarenko, V.N., Yagola, A.G. New approaches to error estimation to ill-posed problems withapplications to inverse problems of heat conductivity // J. of Inverse and Ill-posed Problems, 2002, v. 10, N 2, p. 155-170.

101. Dorofeev, К., Yagola, A., Rau, Е. About cathodoluminiscence microtomography. In "ECMI 2002. 12th Conference of the European Consortium for Mathematics in Industry. Jurmala, Latvia, September 10-14, 2002. Abstracts", 2002, p. 17-18.

102. Дорофеев К.Ю., Титаренко B.H., ЯголаА.Г. Алгоритмы построения апостериорных погрешностей для некорректных задач // ЖВМ и МФ, 2003, т.43, №1, с. 12-25.

103. Dorofeev, К., Yagola, A., Rau, Е. Inverse problem of cathodoluniscence microtomography. In "Abstracts. ISIP 2003. International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003. 18-21 February 2003, Nagano City. Japan", 2003, p.11-12.

104. Dorofeev, K., Yagola A. The method of extending compacts and a posteriori error estimates for non-linear ill-posed problems // J. of Inverse and Ill-posed Problems (in print).