автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы реконструкции спектров и изображений в растровой электронной микроскопии в режиме отраженных электронов

На правах рукописи

Кошев Николай Александрович

Методы реконструкции спектров и изображений в растровой электронной микроскопии в режиме отраженных электронов

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы п^—-----

автореферат 005052426

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 7 СЕН 2012

Москва — 2012

005052426

Работа выполнена на кафедре физики Пензенского государственного университета архитектуры и строительства.

Научный руководитель

Ягола Анатолий Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Леонов Александр Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор,

Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", профессор

Лукьянов Альберт Евдокимович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, МГУ имени М. В. Ломоносова, физический факультет, старший научный сотрудник

Ведущая организация

Российский университет дружбы народов (РУДН)

Защита состоится: 5 октября 2012 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.09 при Московском университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 4, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке МГУ имени М.В.Ломоносова (Ломоносовский просп., 27)

Автореферат разослан « » сентября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Суворов В. В.

Общая характеристика работы

В связи с бурным развитием микро- и нанотехнологий все большую актуальность приобретают неразрушающие методы исследования объектов как естественного, так и искусственного происхождения. В частности, вместе с уменьшением линейных размеров трехмерных структур микро- и наноэлектроники, становится все сложнее осуществлять контроль качества и приборных устройств на их основе, таких, например, как планарные многослойные интегральные микросхемы. В МГУ им. М.В. Ломоносова профессором Э.И. Pay был разработан и реализован новый метод микротомографии в сканирующей электронной микроскопии, базирующийся на анализе энергетических потерь обратно рассеянных электронов. Данный метод, в сравнении с другими методами микротомографии, использующими электронный микроскоп, обладает такими весомыми преимуществами, как, например, возможность получения информации о заданном слое исследуемого объекта, характеризуемого глубиной его залегания под поверхностью объекта. Этот метод, подобно всем другим методам, имеет аппаратурные ограничения. Диссертационная работа посвящена исследованию и решению задач реконструкции сигнала, возникающих при использовании растрового электронного микроскопа (РЭМ) в режиме обратно рассеянных электронов (ОРЭ).

Актуальность Методика микротомографии в ОРЭ имеет некоторые аппаратные ограничения, связанные, в частности, с ненулевым радиусом электронного зонда, размыванием зонда по мере проникновения вглубь исследуемого образца, некоторым распределением плотности тока в сечении зонда, энергетической дисперсией электронов зонда и отраженных электронов и др. Все эти факторы в совокупности приводят к ограничению возможностей метода по разрешению получаемых изображений при сильном увеличении или большой глубине залегания исследуемого слоя, некоторому наложению близлежащих слоёв объекта (что также отражается на разрешающей способности методики). Воздействие аппаратной функции спектрометра приводит к искажению энергетического спектра электронов, отраженных объектом исследования, что затрудняет спектральный анализ. Подробнее эти эффекты будут рассмотрены ниже. В то же время научно-технический прогресс требует увеличения точности диагностики и исследования микроструктур. К сожалению, аппаратура не всегда позволяет получить

желаемую точность, а увеличение аппаратной точности на малую величину часто представляет собой очень сложную и дорогостоящую задачу. Совокупность факторов, описанных выше, приводит к актуальности исследования, разработки и реализации математических методов повышения точности. Под задачей реконструкции сигнала электронного микроскопа подразумевается сведение воздействия аппаратных эффектов установки к минимуму и получение как можно более "чистого" сигнала (получить "идеальный" сигнал, очевидно, невозможно) и является обратной задачей, входные данные которой задаются с некоторой погрешностью. Рассматриваемая задача реконструкции не отвечает требованиям устойчивости относительно малых погрешностей входных данных. Стоит отметить, что чуть более века назад решение таких задач не представлялось возможным и они считались не более, чем интересной математической абстракцией. Для выделения класса задач, которые в то время можно было решить, Ж.Адамаром было введено понятие корректной задачи. Он предложил называть корректными задачи, решение которых существует, единственно и устойчиво по отношению к малым изменениям входных данных. Задачи, не удовлетворяющие данным условиям, называются некорректными или некорректно поставленными. Однако, по мере развития естественных наук оказалось, что большинство обратных задач прикладной физики и химии не являются корректно поставленными, что дало толчок для развития теории некорректных задач, начало которой было положено академиком А.Н.Тихоновым в 60-х годах XX века. Эта теория была основана на понятии регуляризующего алгоритма, гарантирующего приближенному решению свойства существования, единственности, устойчивости и близости к точному решению. После основополагающих работ А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и В.К. Иванова теория решения некорректно поставленных задач была развита многими математиками. Рассматриваемые в работе задачи являются некорректными в силу того, что их решение не удовлетворяет условию устойчивости по отношению к погрешности входных данных.

Задача микротомографии, в сущности, является трехмерной задачей. Обусловлено это, во-первых, трехмерностью исследуемых структур, и, во-вторых, трехмерной аппаратной функцией прибора. Наряду с латеральным "размытием" электронного зонда присутствует энергетическая дисперсия пучка электронов, увеличивающаяся по мере проникновения луча вглубь исследуемого объекта. Кроме того, в случае

неоднородности слоя вещества, лежащего ближе к поверхности, нежели исследуемый слой, меняется и механизм латерального "размытия", что приводит к нелинейности задачи микротомографии в отраженных электронах, поставленной в общем виде. Однако такая постановка задачи сама по себе является очень сложной интегральной задачей, что обьясняется наличием большого количества независимых переменных: помимо пространственных переменных наличествуют также "энергетические" переменные, число которых нелинейно зависит от структуры конкретного исследуемого объекта (его слоистости - количества неодно-родностей, расположенных в разных слоях, их вещественного состава и т.д.). Более упрощенная постановка задачи, опирающаяся на приближение "тонких"слоев, хотя и является принципиально возможной (как показано в п. 1.4.1), упирается, однако, в недостаточность развитости физической модели отражения электронов твердым телом. В силу описанных причин в данной работе решается лишь задача восстановления изображения слоя, представляющая собой двумерную постановку задачи восстановления изображения, справедливую в предположении однородности вышележащих слоев.

Цель Цель работы состояла в исследовании и решении следующих проблем искажения сигнала РЭМ в отраженных электронах:

• Исследование механизма искажения спектра отраженных электронов спектрометром и детектором электронов (микроканальной пластиной); математическая постановка задачи восстановления указанного спектра на основании проведенного исследования; разработка комплекса программ, реализующего методы решения данной задачи.

• Исследование механизма искажения изображения, получаемого при помощи РЭМ и связанного с конечным радиусом электронного зонда; математическая постановка задачи восстановления истинного коэффициента отражения электронов материалом исследуемого образца; исследование, разработка и адаптация методов решения данной задачи; разработка программного комплекса, реализующая указанные методы.

Научные результаты, выносимые на защиту

1. Выбор модели искажения двумерного изображения, получаемого при помощи сигнала РЭМ в режиме отраженных электронов, и

определение аппаратной функции преобразования сигнала на основе экспериментальных данных. Описание и постановка задачи восстановления дефокусированного зашумленного изображения.

2. Определение функции преобразования энергетического спектра электронов в тороидальном спектрометре и детекторе электронов на основе экспериментальных данных. Описание и постановка задачи восстановления истинного спектра.

3. Применение методов решения интегральных уравнений Фредголь-ма 1-го рода в пространствах и УН для решения задачи восстановления истинного спектра отраженных электронов и задачи восстановления изображения слоя исследуемого объекта.

4. Адаптивный алгоритм решения обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода.

5. Сравнительный анализ методов двумерной реконструкции изображений.

6. Комплекс программ, реализующий устойчивые методы решения задач микротомографии в отраженных электронах.

Научная новизна Автором был исследован механизм искажения изображений, полученных при помощи РЭМ, установлена аппаратная функция искажения сигнала РЭМ в режиме ОРЭ, проведена постановка задачи реконструкции двумерного сигнала. Также была поставлена задача восстановления энергетического спектра отраженных электронов с учетом актуальной на данный момент аппаратной функции тороидального спектрометра. Последняя была получена автором на основании проведенного эксперимента. Впервые разрешены в энергетическом спектре пики, приходящиеся на упруго отраженные от поверхности электроны, что делает принципиально возможной постановку задач определения толщин пленок и материалов, из которых состоит исследуемый объект.

Для решения задач реконструкции, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, автором были рассмотрены и предложены методы решения, такие, как: решение в пространстве с использованием равномерных сеток; метод решения на классе функций с ограниченной полной вариацией.

Автором (в соавторстве с доц. Л. Бейлиной) также был разработан адаптивный метод решения двумерных уравнений Фредгольма 1-го

рода на неравномерных сетках; в ходе разработки метода были доказаны две теоремы, на базе которых производится наиболее эффективная адаптация (сгущение) неравномерных сеток к конкретной задаче.

Все методы были реализованы в виде программного комплекса, допускающего использование широкого класса ядер для интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода. Получены результаты обработки с использованием данного комплекса экспериментальных данных микротомографии в отраженных электронах.

Практическая значимость работы Результаты, полученные в работе, могут быть успешно применены для реконструкции сигнала РЭМ в режиме отраженных электронов с целью повышения пространственного разрешения изображений слоев для более точного диагностирования дефектов и исследования тонких эффектов в планарных микросхемах. Восстановление энергетического спектра может успешно применяться для определения структуры исследуемого объекта и материалов, составляющих его. Аппаратная функция со схожими параметрами может быть записана для ряда задач, обладающих свойствами рассеяния (например, атмосферное рассеяние, рассеяние света звезд туманностями и т.п.). Комплекс программ разработан таким образом, что аппаратная функция легко может быть заменена другой для решения задач восстановления изображений, например, смазывания и дефокусировки.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы были представлены: на XXIII международной конференции по электронной микроскопии (Черноголовка, 2010); на научном семинаре кафедры физики Пензенского государственного архитектурно строительного университета (Пенза, февраль 2011г.); на научном семинаре "Computational and Applied Mathematics" в Технологическом университете CHALMERS (Гетеборг, Швеция, 6.04.2011); на первой ежегодной международной конференции по обратным задачам (Гетеборг, Швеция, 3.06.2011); на Международном конгрессе ISAAC-2011 (Москва, 25.08.2011); на научном семинаре "Computational and Applied Mathematics" в Технологическом университете CHALMERS (Гетеборг, Швеция, 7.09.2011); на научном семинаре кафедры общей физики и ядерного синтеза МЭИ (ТУ) (Москва, 19.10.2011); на научном семинаре кафедры физической электроники физического факультета МГУ М.В. Ломоносова (Москва, 20.10.2011); на научном семинаре "Обратные задачи математической физики", проводящемся в НИВЦ МГУ (Москва, 09.11.2011).

Публикации По теме работы на данный момент опубликовано 4 работы, из которых 3 статьи в рецензируемых печатных изданиях и одни тезисы конференций. В журналах из списка ВАК опубликовано 3 статьи.

Структура работы Диссертация состоит из введения, 3-х глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 110 стр., в том числе 35 рисунков, список цитируемой литературы включает 97 наименований.

Краткое содержание работы

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ подробно описана методика микроскопии, спектроскопии и микротомографии в отраженных электронах, обозначена проблематика данной методики, выделены и поставлены обратные задачи, проведено исследование возможности постановки задачи микротомографии. В ходе последнего исследования выявилась недостаточность существующей физической модели отражения электронов твердым телом для постановки указанной задачи.

Прибор микротомографии сконструирован на базе растрового электронного микроскопа, работающего в режиме отраженных электронов, т.е. регистрируется не прошедший через исследуемый объект пучок электронов, а часть прямого пучка, отраженная объектом в направлении, обратном его движению. При этом методика микротомографии основана на применении к отраженным электронам энергетического фильтра, реализованного в виде тороидального спектрометра.

На рис. 1 приведена схема установки микротомографа.

Электронный зонд (моноэнергетический пучок электронов) 1 нормально падает на объект исследования 2, находящийся на металлической подложке 3. Часть пучка отражается с различных глубин объекта и попадает на вход спектрометра 4. С детектора 5, фиксирующего интенсивность сигнала, пропорциональную количеству попавших на них электронов, сигнал поступает на видеоконтрольное устройство 6 или персональный компьютер 7. На спектрометр от источника 8 подаётся либо постоянное напряжение ±У (для получения томографических снимков), либо пилообразное напряжение, необходимое для автоматической регистрации спектра отражённых электронов. Фильтрация отражённых электронов по энергиям при помощи спектрометра позволяет фиксировать только те из них, которые отражаются с глубины

Рис. 1. Схематичное изображение установки микротомографа.

залегания исследуемого слоя объекта, определяемой, в частности, энергиями первичного пучка (зонда РЭМ) и отраженных электронов.

Сигнал S со спектрометра (см. рис. 1) прямо пропорционален энергии Es прошедших через анализатор электронов и числу N — I0r]ÜAE этих электронов в энергетическом окне АЕ — CES:

Is = CI0nr,{pt)E2s = CoV{pt)E2s (1)

где rj(pt) - коэффициент отраженных электронов от слоя с массовой

толщиной pt, С0 - параметр, определяемый геометрией эксперимента.

Здесь Q - телесный угол детектирования электронов, заданный углом

отражения в и геометрией спектрометра.

В общем случае глубина зондирования Л связана с энергиями

Eo,Es и углом детектирования 90 = 25° приближенным соотношением 1.

1 Гостев A.B., Дицман С.А., Лукьянов Ф.А., Орликовскии H.A., Pay Э.И., Сеннов P.A. // Метод и аппаратура мик-

ротомографии в сканирующей электронной микроскопии. Приборы и техника эксперимента, №4, с.124-134, 2010.

Используя два последних соотношения, получаем:

I, = См(рЬ)Ей2{1 -

(3)

Таким образом, выбирая энергию Е0 и подбирая анализируемую энергию ОРЭ (энергию настройки спектрометра) Ев соответствующей желаемой глубине зондирования А, можно получать информацию о составе и строении исследуемого подповерхностного слоя, а также получать его изображение.

Виды сигналов РЭМ и их проблематика.

Первым и самым простым видом получаемой информации является линейный профиль слоя с неоднородностью, получаемый посредством снятия интенсивности сигнала отраженных электронов при линейном движении зонда над образцом и постоянной настройке на некоторую глубину. При этом коэффициент отражения, а с ним и регистрируемый сигнал, будет зависеть от атомного номера вещества мишени. Как итог, получается некоторая кривая зависимости сигнала от положения зонда, по которой можно судить о строении мишени вдоль прямой движения зонда. Сигнал, получаемый таким образом, подвержен некоторому искажению, связанному с размытием электронного пучка при проникновении вглубь мишени. Вследствие этого резкие края неоднородностей "расплываются"; пространственное разрешение прибора зависит от глубины залегания исследуемого слоя и свойств вещества. На данный момент времени посредством фильтрации отраженных электронов по энергиям достигается разрешение от десятых долей до единиц микрометров.

Эта же проблема проявляется естественным образом и при получении изображения исследуемого слоя мишени: фактически, каждый линейный профиль, описанный выше, является "срезом" такого изображения; последнее же строится построчно как совокупность таких профилей.

Помимо "прямой" информации о структуре вещества, прибор также позволяет получать косвенную информацию; так, энергетический спектр отраженных электронов также позволяет судить о строении мишени. Например, при отсутствии информации о веществах, со-

ставляющих мишень, атомные номера удобнее восстанавливать как раз действуя таким методом. Кроме того, при наличии неоднородностей их влияние также сказывается на спектре ОРЭ. Однако нужно принимать в расчет неидеальность спектрометра: наличие аберраций, конечную ширину щелей, внутреннее переотражение электронов на электродах спектрометра, приборную функцию. Все вышеперечисленные факторы ведут к появлению некоторой аппаратной функции, оказывающей влияние на кривую энергетического спектра. Задача восстановления спектра является важной задачей электронной микроскопии и, в числе прочих, была рассмотрена и решена в данной работе с учетом актуальной на данный момент аппаратуры.

Задача реконструкции изображения.

Плотность тока в поперечном сечении пучка может быть определена исходя из выражения:

где г' - радиус зонда РЭМ, равный г0 на поверхности и определяемый по мере проникновения на глубину Ь под поверхностью исследуемого образца выражением:

где А, р - соответственно атомный номер, атомный вес и плотность вещества мишени. Здесь г0, г' и < выражены в [мкм], Е0 - в [кэВ], р - в [г-см-3]. Данная формула получена в допущении однократного упругого рассеяния электронов по закону Резерфорда из центра пленки толщиной Выражение (4) было проверено автором экспериментально.

Изображение объекта формируется посредством измерения интегральной интенсивности пучка отраженных электронов при сканировании зондом объекта. Сканирование производится "построчно". Полученная интенсивность записывается в точке плоского изображения, которая отвечает латеральному положению зонда в данный момент времени (в дальнейшем - в плоскости изображения). Изображение поступает на экран персонального компьютера. При этом в силу ненулевого радиуса первичного пучка картина несколько искажается.

Сигнал в точке (£, 77) определяется следующим выражением:

(4)

г' = Го2 + 0.625(|)ф%

.1.5

(5)

. п) = И - х> V - УЫх> у)лхйу (6)

Е2

или и = к * г, где г(х,у) - истинный коэффициент отражения электронов в точке (х,у) плоскости исследуемого слоя. Задача состоит в вычислении г(х, у) при известных «иЛи является некорректной.

Далее, без ограничения общности, будем рассматривать задачу (6) только в области В = {х, у : 0 < х < 1; 0 < у < 1}. Данное предположение целесообразно ввести вследствие ограниченности размера измеряемой области и размера кадра, а также в целях упрощения дальнейших расчетов и выкладок. Таким образом, интеграл в уравнении (6) может быть взят только по области В.

При решении задачи метрологии (т.е. задачи измерения точных размеров неоднородности) в восстановлении изображения нет необходимости. При этом, в целях обеспечения решению большей устойчивости и снижения количества компьютерного времени и ресурсов, необходимых для расчета, задача (6) может быть сведена к совокупности одномерных уравнений типа свертки.

Восстановление спектра отраженных электронов.

Спектр электронов, отраженных от мишени, естественным образом подвергается искажению со стороны спектрометра и микроканальной пластины (детектора электронов), обладающих собственной аппаратной характеристикой.

Задача восстановления истинного энергетического спектра М(Е) описывается интегральным уравнением Фредгольма:

Во

1(Е,) = ¡к.{Е„Е)ЩЕ)с1Е (7)

о

здесь 1(Е3) - регистрируемый сигнал, к3(Е5, Е) - измеренная двумерная аппаратная функция спектрометра, задаваемая численно.

Для получения двумерного ядра уравнения (7) автор использовал процедуру двумерной интерполяции. Результирующее ядро представлено на рис. 2.

Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ рассмотрены методы регуляризации поставленных некорректных задач. Методы основаны на минимизации функционала А.Н. Тихонова с последующим выбором параметра регуляризации по обобщённому принципу невязки или простым подбором. Минимизация функционала А.Н. Тихонова осуществляется как итера-

Е, ,[кэВ]

Рис. 2. Двумерная интерполяция аппаратных характеристик спектрометра и микроканальной пластины в диапазоне [0,12] кэВ.

ционными методами (методом проекций сопряженных градиентов), так и прямым вычислением минимума функционала А.Н. Тихонова (для одномерных и двумерных уравнений типа свертки).

Одномерная задача реконструкции спектра.

Задача реконструкции спектра сводится к решению уравнения

(7)-

Задача решения данного уравнения является некорректно поставленной. Для ее решения рассматривается функционал А.Н. Тихонова:

Ма(М) = \\АЫ-1\\1+а\\М\\^ (8)

где А - интегральный оператор, представленный формулой:

АЫ = [кэ(Е$, Е)Ы{Е)с1Е (9)

о

Минимизация функционала А.Н. Тихонова проводилась при помощи метода проекций сопряженных градиентов.

Рис. 3. Спектр электронов, отраженных массивным золотым образцом (тонкая кривая) и результат его реконструкции (утолщенная кривая). Е0 = 0.3, 5 и 20 кэВ; Число итераций - 150; размерность сетки N = 500; Параметр регуляризации а — Ю-3. Спектр, снятый при энергии Е0 = 0.3 кэВ в реконструкции не нуждается.

На рис. 3 представлены экспериментально полученные при различных энергиях Е0 энергетические спектры электронов, отраженных массивным слоем золота (Аи) (тонкие линии) и результаты их восстановления при помощи алгоритма, описанного выше.

Двумерная задача реконструкции изображения. Двумерная задача восстановления изображения описывается уравнением

V) = Ц Ч£ У)Ф, V)dxdy (10)

в

относительно z(x, у) в прямоугольнике В = [0,1] х [0,1].

Для решения данного уравнения предлагаются три алгоритма: алгоритмы решения в пространстве и на классе функций с огра-

ниченной полной вариацией VH{B) с использованием равномерных сеток, а также алгоритм решения в пространстве W^{B) с адаптацией

неравномерной сетки.

Решение в пространстве W\ сводится к минимизации функционала А.Н. Тихонова вида

Ma(z) = \\k*z-u\\l2 + a\\z\\2wi (11)

С учетом теоремы о свертке, а также свойств преобразования Фурье, последний функционал нетрудно проварьировать и получить для элемента za(x,y), на котором достигается минимум, выражение:

«.(*,») = ^Г'ЧУ'» ^Xdu (12)

¿5 |Ä(A,z/)|2 + a(l+A2 + ^2) '

Для решения задачи (10) в пространстве W\ автором использовались два различных численных алгоритма:

1. Алгоритм решения на равномерных сетках. Данный алгоритм описан подробно для одномерного случая в работе Тихонова А. Н., Гончарского A.B., Степанова В. В., Яголы А. Г. "Численные методы решения некорректных задач". Алгоритм базируется на конечно-разностной аппроксимации выражения (12) с использованием равномерных сеток и быстрых бинарных алгоритмов прямого и обратного преобразования Фурье и показывает наилучшие результаты восстановления при слабом зашумлении и/или при слабой степени "размытия".

2. Итеративный адаптивный алгоритм решения на неравномерных сетках, уточняемых на каждой итерации с учетом особенностей решения и функционала А.Н. Тихонова для конкретной задачи. Данный алгоритм был разработан автором и базируется на конечно-элементной аппроксимации выражения (12) с использованием неравномерных сеток. Наилучшие результаты адаптивный метод показывает для задач с интенсивным зашумлением и/или размытием.

Решение на классе функций с ограниченной вариацией.

При резких скачках искомого решения уменьшение параметра регуляризации влечет за собой появление на реконструированном сигнале осциллирующей помехи, возрастающей с уменьшением параметра регуляризации, что происходит вследствие частотной фильтрации. Увеличение же параметра регуляризации при решении в пространстве

Соболева приводит к излишней "заглаженности" решения и, как следствие, к падению пространственного разрешения.

В реальных приложениях очень часта ситуация таких "скачков" в решении - в большинстве случаев реконструкция сигнала производится для более точного позиционирования границ раздела двух сред объекта и более точной детализации резких неоднородностей. Для преодоления этой трудности автором предложено применение к данной задаче метода решения задачи (10) на классе функций с ограниченной полной вариацией, разработанного проф. A.C. Леоновым.

При z G VH(B) функционал А.Н. Тихонова может быть записан в виде:

Ma{z) = \\Az - «Hi, + оОД; (13)

где

Г N М

n(z) = \\z\\vh = sup { 2 \zi+И - Zil| + £ l^y+l ~ s [1=1 3=1

N M

+ £ Y1 \Zi+lj+l ' Zi+l3 ~~ Zij+1 + Zij I i=lj=l

+ №0)|

а) 6)

Рис. 4. Спайка в планарной микросхеме, а) исходное изображение, б) результат обработки. Сторона кадра - 20 мкм, заглубление - 0 нм, г' = 0.23 мкм. Разрешение цифрового изображения - 1 трх. Время обработки -302 е., количество итераций - 80, первое приближение г0{х, у) — и(х,у)

Метод регуляризации, основанный на минимизации функционала (13) обеспечивает кусочно-равномерную сходимость приближенного решения к точному. Минимизация осуществлялась методом проекций сопряженных градиентов, для возможности реализации которого вме-

сто была введена его сглаженная "версия"

N-2 N-2

= Е Е 1 - - г1+1, + гц); ¿=0 ;=0

Ш) =

для которой справедлива оценка

0 < Ü£(z) - n(z) < £

t2 + — 1 N2

в) г)

Рис. 5. Сравнение методов на примере восстановления реального изображения. а) исходное изображение б) результат восстановления с применением адаптивного алгоритма; в) решение на И^1 на равномерной сетке; г) решение на классе функций с ограниченной полной вариацией.

На рис. 4 - результат восстановления изображения спайки в пла-

нарной микросхеме с первым приближением в виде правой части и (£, т]).

На рис. 5 представлено полученное экспериментально изображение фрагмента планарной микросхемы и результаты его обработки с использованием различных методов.

Также в Главе 2 проведен сравнительный анализ устойчивости решения в зависимости от различных параметров задачи: зашумления и степени "размытия".

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ приведено описание программного комплекса и его реализации. Детально рассмотрена реализация предложенных в Главе 2 алгоритмов численного решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода в пространствах и УН на равномерных и неравномерных сетках. Алгоритмы решения на равномерных сетках основаны на методе конечных разностей и используют алгоритм БПФ (быстрое преобразование Фурье); адаптивный алгоритм базируется на методе конечных элементов. Рассмотрены особенности численной реализации каждого алгоритма. Для адаптивного алгоритма предложен механизм оптимизации интерполяци сеточной функции с одной сетки на другую. Приведены примеры использования программного комплекса для решения других задач, таких как: задача восстановления границ неоднородностей, размытых в результате диффузии; задача восстановления дефокусированных цифровых фотографий.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ приводятся выводы и рекомендации по применению результатов. Приведены основные выводы:

1. На экспериментальной основе произведен выбор адекватной модели искажения двумерного изображения и определена аппаратная функция преобразования сигнала.

2. Экспериментально определена аппаратная функция тороидального спектрометра. Поставлена и решена задача восстановления истинного энергетического спектра отраженных электронов. Впервые разрешены пики упруго отраженных электронов.

3. Представлены адаптированные к задаче микротомографии алгоритмы решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, а также разработаны некоторые новые алгоритмы.

4. Предложены и реализованы в виде комплекса программ алгоритмы

решения обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих изданиях

Публикации в изданиях из Перечня ВАК:

[1] Ягола А.Г., Кошев H.A. Восстановление смазанных и дефокусиро-ванных цветных изображений. // Вычислительные методы и программирование. 2008. 9. 207-212.

[2] Кошев H.A., Орликовский H.A., Pay Э.И., Ягола А.Г. Решение обратной задачи восстановления сигнала электронного микроскопа в режиме отраженных электронов на множестве функций ограниченной вариации. // Вычислительные методы и программирование. 2011. 12. 362-367.

[3] Кошев H.A., Лукьянов Ф.А., Pay Э.И., Сеннов P.A., Ягола А.Г. Повышение пространственного разрешения в режиме отраженных электронов в сканирующей электронной микроскопии. // Известия РАН, серия Физическая. 2011. 75, № 9. 1248-1251.

Публикации в других научных изданиях:

[4] С.И. Зайцев, H.A. Кошев, Ф.А. Лукьянов, Э.И. Pay, E.B. Якимов. Прямое измерение диаметра и распределения плотности тока в кроссовере электронного зонда. // Сб.тез.докладов: XXIII Российская конференция по электронной микроскопии. 2010. 103-104.

Заказ № 53-А/08/2012 Подписано в печать 28.08.2012 Тираж 70 экз. Усл. п.л. 0,8

ООО "Цифровичок", тел. (495) 649-83-30 www.cfr.ru; е-таН:zak@cfr.ru

Введение.

1 Обратные задачи микротомографии.

1.1 Микроскопия и микротомография в отраженных электронах.

1.1.1 Краткое описание установки и метода.

1.1.2 Взаимодействие электронного зонда с веществом мишени.

1.1.3 Проблематика микроскопии в отраженных электронах.

1.2 Задача реконструкции изображения.

1.2.1 Латеральное (плоское) размытие электронного пучка под поверхностью мишени.

1.2.2 Формирование изображения слоя.

1.2.3 Сведение задачи реконструкции сигнала к одномерному уравнению

1.3 Восстановление спектра отраженных электронов.

1.4 Введение в постановку других задач микротомографии в отраженных электронах.

1.4.1 Исследование возможности постановки задачи фильтрации слоев

2 Методы решения задачи реконструкции.

2.1 Операторные уравнения и уравнение типа свёртки.

2.2 Одномерная задача повышения разрешения.

2.2.1 Деконволюция.

2.3 Одномерная задача реконструкции спектра.

2.4 Двумерная задача.

2.4.1 Плоская деконволюция.

2.4.2 Решение на классе функций с ограниченной вариацией.

2.4.3 Адаптивная деконволюция.

2.4.4 Сравнение методов.

3 Описание программного комплекса.

3.1 Общее описание и структура программного комплекса.

3.1.1 Программа, реализующая решение одномерного уравнения Фред-гольма 1-го рода.

3.1.2 Программа, реализующая адаптивный алгоритм решения двумерного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода в пространстве И^1.

3.1.3 Программа, реализующая алгоритмы поиска решения двумерного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода в пространствах

У/1 и УН на равномерных сетках.

3.2 Особенности численной реализации.

3.2.1 Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

3.2.2 Адаптивный алгоритм: структура сетки и способ ее размельчения

3.2.3 Проблема краевого эффекта.

3.3 Применение описанных алгоритмов для решения других интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода.

3.3.1 Восстановление дефокусированных фотографий.

3.3.2 Задача диффузии.

В связи с бурным развитием микро- и нанотехнологий все большую актуальность приобретают неразрушающие методы исследования объектов как естественного, так и искусственного происхождения. В частности, вместе с уменьшением фактических размеров тонкой компьютерной техники, становится все сложнее осуществлять контроль качества и детектирование дефектов в их элементах, таких, например, как пла-нарные микросхемы. В МГУ им. Ломоносова профессором Э.И. Pay был разработан и реализован новый метод микротомографии, базирующийся на анализе энергетических потерь обратно рассеянных электронов. Данный метод, в сравнении с другими методами микротомографии, использующими электронный микроскоп, обладает такими весомыми преимуществами, как, например, возможность получения информации о заданном слое исследуемого объекта, характеризуемого глубиной его залегания под поверхностью объекта. Этот метод, подобно всем другим методам, имеет аппаратные ограничения. Данная диссертационная работа посвящена исследованию и решению задач реконструкции сигнала, возникающих при использовании растрового электронного микроскопа (РЭМ) в режиме обратно рассеянных электронов (ОРЭ). Актуальность Методика микротомографии в ОРЭ имеет некоторые аппаратные ограничения, связанные, в частности, с ненулевым радиусом электронного зонда, размыванием зонда по мере проникновения вглубь исследуемого образца, некоторым распределением плотности тока в сечении зонда, энергетической дисперсией электронов зонда и отраженных электронов и др. Все эти факторы в совокупности приводят к ограничению возможностей метода по разрешению получаемых изображений при сильном увеличении или большой глубине залегания исследуемого слоя, некоторому наложению близлежащих слоев объекта (что также отражается на разрешающей способности методики). Воздействие аппаратной функции спектрометра приводит к искажению энергетического спектра электронов, отраженных объектом исследования, что затрудняет спектральный анализ. Подробнее эти эффекты будут рассмотрены ниже. В то же время научно-технический прогресс требует увеличения точности диагностики и исследования микроструктур. К сожалению, аппаратура не всегда позволяет получить желаемую точность, а увеличение аппаратной точности на малую величину часто представляет собой очень сложную и дорогостоящую задачу. Совокупность факторов, описанных выше, приводит к актуальности исследования, разработки и реализации математических методов повышения точности. Под задачей реконструкции сигнала электронного микроскопа подразумевается сведение воздействия аппаратных эффектов установки к минимуму и получение как можно более "чистого" сигнала (получить "идеальный" сигнал, очевидно, невозможно) и является обратной задачей, входные данные которой задаются с некоторой погрешностью. Рассматриваемая задача реконструкции не отвечает требованиям устойчивости относительно малых погрешностей входных данных. Стоит отметить, что чуть более века назад решение таких задач не представлялось возможным и они считались не более, чем интересной математической абстракцией. Для выделения класса задач, которые в то время можно было решить, Ж.Адамаром было введено понятие корректной задачи (см. [1]). Он предложил называть корректными задачи, удовлетворяющие следующим условиям:

• Решение задачи существует.

• Единственно.

• Устойчиво по отношению к малым изменениям входных данных.

Задачи, не удовлетворяющие данным условиям, называются некорректными или некорректно поставленными. Однако, по мере развития естественных наук оказалось, что большинство обратных задач прикладной физики и химии не являются корректно поставленными, что дало толчок для развития теории некорректных задач, начало которой было положено академиком А.Н.Тихоновым в 60-х годах XX века. Эта теория была основана на понятии регуляризующего алгоритма, гарантирующего приближенному решению свойства существования, единственности, устойчивости и близости к точному решению. После основополагающих работ А.Н. Тихонова [2]- [7], М.М. Лаврентьева [8]- [9] и В.К. Иванова [10]- [13] теория решения некорректно поставленных задач была развита многими математиками [14]- [44], в том числе итерационные и адаптивные методы для решения обратных задач были рассмотрены в работах [45]- [52]. Рассматриваемые в работе задачи являются некорректными в силу того, что их решение не удовлетворяет условию устойчивости по отношению к погрешности входных данных. кажения сигнала РЭМ в отраженных электронах:

• Исследование механизма искажения спектра отраженных электронов спектрометром и детектором электронов (микроканальной пластиной); математическая постановка задачи восстановления указанного спектра на основании проведенного исследования; разработка комплекса программ, реализующего методы решения данной задачи.

• Исследование механизма искажения изображения, получаемого при помощи РЭМ и связанного с конечным радиусом электронного зонда; математическая постановка задачи восстановления истинного коэффициента отражения электронов материалом исследуемого образца; исследование, разработка и адаптация методов решения данной задачи; разработка программного комплекса, реализующая указанные методы.

Цель работы состояла в исследовании и решении следующих проблем ис

Положения, выносимые на защиту

1. Выбор на основе эксперимента аппаратной функции искажения изображения, получаемого при помощи сигнала РЭМ в отраженных электронах; описание и постановка задачи восстановления изображения слоя.

2. Определение на основании эксперимента аппаратной функции актуальных на данный момент тороидального спектрометра и детектора электронов; описание и постановка задачи восстановления истинного спектра.

3. Применение методов решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода в пространствах и УН для решения задачи восстановления истинного спектра отраженных электронов и задачи восстановления изображения слоя исследуемого объекта.

4. Адаптивный алгоритм решения обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода.

5. Сравнительный анализ методов двумерной реконструкции изображений.

6. Комплекс программ, реализующий устойчивые методы решения задач микротомографии в отраженных электронах.

Научная НОВИЗНа Автором был исследован механизм искажения изображений, полученных при помощи РЭМ, установлена аппаратная функция искажения сигнала РЭМ в режиме ОРЭ, проведена постановка задачи реконструкции двумерного сигнала. Также была поставлена задача восстановления энергетического спектра отраженных электронов с учетом актуальной на данный момент аппаратной функции тороидального спектрометра. Последняя была получена автором на основании проведенного эксперимента. Впервые разрешены в энергетическом спектре пики, приходящиеся на упруго отраженные от поверхности электроны, что делает принципиально возможной постановку задач определения толцин пленок и материалов, из которых состоит исследуемый объект.

Для решения задач реконструкции сводящимся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, автором были рассмотрены и предложены методы решения, такие, как: решение в пространстве с использованием равномерных сеток; метод решения на классе функций с ограниченной полной вариацией.

Автором (в соавторстве с доц. Л. Бейлиной) также был разработан адаптивный метод решения двумерных уравнений Фредгольма 1-го рода на неравномерных сетках; в ходе разработки метода были доказаны две теоремы, на базе которых производится наиболее эффективная адаптация неравномерных сеток к конкретной задаче.

Все методы были реализованы в виде программного комплекса, допускающего использование широкого класса ядер для интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода. Получены результаты обработки с использованием данного комплекса экспериментальных данных микротомографии в отраженных электронах.

Практическая значимость работы Результаты, полученные в работе, могут быть успешно применены для реконструкции сигнала РЭМ в режиме отраженных электронов с целью повышения пространственного разрешения изображений слоев для более точного диагностирования дефектов и исследования тонких эффектов в планар-ных микросхемах. Восстановление энергетического спектра может успешно применяться для определения структуры исследуемого объекта и материалов, составляющих его. Аппаратная функция со схожими параметрами может быть записана для ряда задач, обладающих свойствами рассеяния (например, атмосферное рассеяние, рассеяние света звезд туманностями и т.п.). Комплекс программ разработан таким образом, что аппаратная функция легко может быть заменена другой для решения задач восстановления изображений, например, смазывания и дефокусировки.

Личный ВКЛаД автора Результаты реконструкции всеми описываемыми методами сигнала РЭМ в режиме ОРЭ впервые были получены автором. Постановка математической задачи реконструкции и анализ результатов проводились под руководством проф. А.Г.Яголы, физическая постановка и измерения проводились при сотрудничестве с проф. Э.И.Рау. Постановка, решение и анализ результатов решения методом адаптивной деконволюции проводились при сотрудничестве с Л.В.Бейлиной из Технологического Университета CHALMERS, Гетеборг, Швеция. Апробация работы Основные результаты диссертационной работы были представлены:

1. На XXIII международной конференции по электронной микроскопии (Черноголовка, 2010)

2. На научном семинаре кафедры физики Пензенского Государственного Архитектурно-строительного университета (Пенза, февраль 2011г.)

3. На научном семинаре "Computational and Applied Mathematics" в Технологическом Университете CHALMERS (Гетеборг, Швеция, 6.04.2011)

4. На ежегодной международной конференции по обратным задачам (Гетеборг, Швеция, 3.06.2011)

5. на Международном конгрессе ISAAC-2011 (Москва, 25.08.2011)

6. На научном семинаре "Computational and Applied Mathematics" в Технологическом Университете CHALMERS (Гетеборг, Швеция, 7.09.2011)

7. На научном семинаре кафедры Общей физики и ядерного синтеза МЭИ (ТУ) (Москва, 19.10.2011)

8. На научном семинаре кафедры физической электроники Физического факультета МГУ М.В. Ломоносова (Москва, 20.10.2011)

9. На научном семинаре "Обратные задачи математической физики", проводящемся в НИВЦ МГУ (Москва, 09.11.2011)

Публикации По теме работы на данный момент опубликовано 4 работы, из которых 3 статьи в рецензируемых печатных изданиях и одни тезисы конференций. В журналах из списка ВАК опубликовано 3 статьи.

Структура работы Первая глава посвящена реферативному обзору литературы, а также исследованию и постановке задач электронной микроскопии и микротомографии в отраженных электронах. Приводятся необходимые и полезные для дальнейшего рассмотрения законы взаимодействия электронного зонда микроскопа (монокинетического и мононаправленного пучка электронов заданной энергии) с атомами твердого вещества исследуемого объекта. Приводится описание метода микротомографии в отраженных электронах и рассматривается проблематика данного метода и ее более ранние исследования. Производится классификация и постановка таких задач, как: двумерная и одномерная задача повышения плоского разрешения изображения слоя исследуемого объекта, двумерная задача обращения эффекта диффузии неосновных носителей заряда, одномерная задача реконструкции энергетического спектра электронов, отраженных различными типами мишеней. Также в реферативном виде приводится исследование возможности постановки задач фильтрации наложения слоев исследуемого объекта на изображении, полученном в отраженных электронах и задачи расчета толщины слоев/пленок исходя из спектра отраженных электронов. В ходе последнего исследования выявилась недостаточность существующей физической модели отражения электронов твердым телом для постановки указанной задачи.

Вторая глава посвящена описанию методов решения обратных задач, а также представлению результатов обработки модельных и реальных данных электронного микроскопа. В начале главы даются основные понятия, необходимые для дальнейшего изложения; особое внимание уделяется уравнениям типа свертки, к которым, как показано в Главе 1, сводится задача повышения плоского разрешающей способности РЭМ в отраженных электронах. Рассматриваются алгоритмы решения одномерных задач и представляются результаты одномерного повышения плоского разрешения и результаты восстановления энергетического спектра отраженных электронов. Далее рассматриваются алгоритмы двумерной реконструкции изображений на равномерных сетках (в пространствах функций и УН). Особое внимание уделено адаптивному алгоритму реконструкции изображений на функциональном пространстве И^1. Приводятся результаты обработки сигнала на симулированных (модельных) и реальных данных, полученных с использованием указанной выше методики микротомографии. Также во второй главе представлены сравнительный анализ методик реконструкции изображений, а также некоторые рекомендации по применению того или иного метода реконструкции, основанные на сравнении методов.

Третья глава посвящена описанию созданного автором программного комплекса. Рассматриваются по отдельности программы одномерного и двумерного восстановления сигнала РЭМ: программа, реализующая описанные в Главе 2 методы повышения плоского разрешения; программа, реализующая реконструкцию спектра отраженных электронов; программа, реализующая конечно-разностные методы восстановления двумерных изображений; программа, реализующая адаптивный алгоритм восстановления двумерного изображения. Приведены описания отдельных алгоритмов, использующихся в работе: алгоритма быстрого преобразования Фурье, алгоритма уточнения сетки для адаптивной реконструкции. Рассматриваются проблема краевого эффекта на восстановленных изображениях и методы ее решения. Также показана возможность и приведены результаты решения при помощи описанного программного комплекса задачи восстановления дефокусированных фотографий.

Заключение

Диссертационная работа посвящена исследованию проблем микротомографии, таких как восстановление энергетических спектров отраженных электронов, восстановление четких границ неоднородностей и повышение общего плоского разрешения метода микротомографии в отраженных электронах.

Результатами данной работы являются: построение математической модели искажения сигнала отраженных электронов растрового электронного микроскопа и постановка задачи реконструкции истинной картины распределения коэффициента отражения в слое исследуемого образца; актуализация аппаратной функции в модели искажения спектра отраженных электронов тороидальным спектрометром и постановка задачи восстановления истинного спектра.

Для решения поставленных задач предложены численные алгоритмы решения на различных пространствах функций как методом конечных разностей (на равномерных сетках), так и конечно-элементными методами (адаптивный метод на неравномерных сетках).

Разработанные алгоритмы также могут быть успешно применены для решения очень широкого класса прикладных физических задач, сводящихся к одномерным и двумерным интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода.

Сформулируем основные результаты данной работы:

1) Осуществлен на экспериментальной основе выбор аппаратной функции искажения изображения. Поставлена и решена задача реконструкции сигнала.

2) Экспериментально определена аппаратная функция тороидального спектрометра. Поставлена и решена задача восстановления истинного энергетического спектра отраженных электронов. Впервые разрешены пики упруго отраженных электронов.

3) Представлены адаптированные к задаче микротомографии алгоритмы решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, а также разработаны некоторые новые алгоритмы.

4) Предложены и реализованы в виде комплекса программ алгоритмы решения обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода.

Автор выражает благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору А.Г. Яголе за активное участие, руководство выполнением данной работы и совместное обсуждение полученных результатов.

Также автор выражает благодарность за помощь в постановке задач и научные консультации доктору физико-математических наук Э.И. Pay (МГУ им. М.В. Ломоносова) и доценту Л. В. Бейлиной (Chalmers University of Technology, Gothenburg, Sweden).

1. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivers particlee linearies hyperbolique. Paris: Hermann, 1932.

2. Тихонов А. H. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады Академии наук СССР, 1963, т. 151, к 3, с. 501—504.

3. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады Академии наук СССР, 1963, т. 153, к 1, с. 49—52.

4. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады Академии наук СССР, 1943, т. 39, к 5, с. 195-198.

5. Тихонов А. Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода // Доклады Академии наук СССР, 1964, т. 156, к 6, с. 1296—1299.

6. Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР, 1965, т. 161, к 5, с. 1023-1026.

7. Тихонов А.Н. О методах регуляризации задач оптимального управления // Доклады Академии наук СССР, 1965, т. 162, к 4, с. 763—765.

8. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР, 1959, т. 127, к 1, с. 31—33.

9. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

10. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах // Доклады Академии наук СССР, 1962, т. 145, к 2, с. 270-272.

11. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник, 1963, т. 61, к 2, с. 211—223.

12. Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1966, т. 6, к 6, с. 1089-1094.

13. Иванов В. К. Некорректные задачи в топологических пространствах // Сибирский математический журнал, 1969, т. 10, к 5, с. 1065—1074.

14. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

15. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

16. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.

17. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982.

18. Вайникко Г. М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Изд-во Тарт. гос. ун-та, 1982.

19. Федотов А. М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1982.

20. Вухгейм А. А. Операторные уравнения Вольтерра. Новосибирск: Наука, 1983.

21. Гласко В. В. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984.

22. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

23. Гончарский А. В., Черепащук А.М., Ягола А. Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1986.

24. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.

25. Тихонов А. Н. Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

26. Гилязов С. Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.: Издво МГУ, 1987.

27. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

28. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

29. Вухгейм А. А. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

30. Вакушинский А. В., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989.

31. Краснов М. П. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М: Наука, 1975.

32. Васильева А. В., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. М.: Издво МГУ, 1989.

33. Тихонов А.Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

34. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач. Либроком, 2010.

35. Федотов А. М. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990.

36. Васин В. В., Агееев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

37. Groetsch С. W. Inverse problems in the mathematical sciences. Braunschweig: Vieweg, 1993.

38. Кочиков И. В., Курамшина Г. М., Пентин Ю. А., Ягола А. Г. Обратные задачи колебательной спектроскопии. М.: Изд-во МГУ, 1993.

39. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.

40. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995.

41. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

42. Engl Н. W., Hanke М., Neubauer A. Regularization of inverse problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.

43. Лаврентьев M. M., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Издательство Института математики, 1999.

44. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999.

45. Bakushinsky А. В., Kokurin М. Y., Smirnova A., Iterative methods for ill-posed problems, Walter de Gruyter GmbH&Co., 2011.

46. Bakushinsky А.В., A posteriori error estimates for approximate solutions of irregular operator equations, Doklady Mathematics, 83, 1-2, 2011.

47. Beilina L., Klibanov M.V., Kokurin M.Yu. Adaptivity with relaxation for ill-posed problems and global convergence for a coefficient inverse problem, Journal of Mathematical Sciences, 167, 279-325, 2010.

48. Beilina L., Klibanov M.V., A posteriori error estimates for the adaptivity technique for the Tikhonov functional and global convergence for a coefficient inverse problem, Inverse Problems,26, 045012, 2010.

49. Beilina L., Klibanov M. V., Kuzhuget A. New a posteriori error estimates for adaptivity technique and global convergence for a hyperbolic coefficient inverse problem, Journal of Mathematical Sciences, 172, 449-476, 2011.

50. Beilina L., Klibanov M.V., Reconstruction of dielectrics from experimental data via a hybrid globally convergent/adaptive inverse algorithm, Inverse Problems, 26, 125009, 2010.

51. Klibanov M.V., Bakushinsky A.B., Beilina L., Why a minimizer of the Tikhonov functional is closer to the exact solution than the first guess, J. Inverse and Ill-Posed Problems, 19, 83-105, 2011.

52. Tikhonov A.N., Goncharsky A.V., Stepanov V.V., Yagola A.G., Numerical Methods for the Solution of Ill-Posed Problems, London: Kluwer, London, 1995.

53. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики. Москва, М.: Наука, 1985, с. 1-352.

54. Басистов Ю.А., Гончарский А.В., Лехт Е.Е., Черепащук A.M. Использование метода регуляризации для повышения разрешающей способдности радиотелескова. Астрономический журнад, 56, № 2, 1979, с. 443-449

55. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Кочиков И.В. Некорректные задачи обработки изображений. ДАН СССР. 1987. Т. 294, № 4. С. 832-837.

56. Кошев Н.А., Ягола А.Г. Восстановление смазанных и дефокусированных цветных изображений. Вычислительные методы и программирование, т. 9, 2008, с. 207212.

57. Русов В.Д., Бабикова Ю.Ф., Ягола А.Г. Восстановление изображений в электронно-микроскопической авторадиографии поверхностей. М.: Энергатомиз-дат, 1991, с. 1-216

58. Гостев А.В., Дицман С.А., Лукьянов Ф.А., Орликовский Н.А., Pay Э.И., Сеннов Р.А. // Метод и аппаратура микротомографии в сканирующей электронной микроскопии. Приборы и техника эксперимента, №4, с. 124-134, 2010.

59. Александров А.Ф., Дицман С.А., Лукьянов Ф.А., Орликовский Н.А., Pay Э.И., Сеннов Р. А. // Электронно-зондовая неразрушающая бесконтактная диагностикаприборных структур микроэлектроники. Микроэлектроника, т.39, №5, с.327-336, 2010.

60. Dapor М., Monte-Carlo simulation of backscattered electrons and energy of thick targets and surface films, Phys. Review, Vol. 46 № 2, p.618-625

61. Fitting H.-J., Six laws of low-energy electron scattering in solids, Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena 136 (2004) 265-272

62. Fitting H.-J., Cornet N. , Roushdey Sal, Guerret-Piecourt C., Goeuriot D., A. von Czarnowski. Electron beam excitation in thin layered samples. Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena, 159 (2007), p. 46-52

63. Лукьянов Ф.А., Pay Э.И., Сеннов P.A. "Глубина пробега первичных электронов, размытие электронного пучка и пространственное разрешение в электронно-зондовых исследованиях". Известия РАН, серия физическая (2009). Т.73. №4. С.463-472

64. Yano F., Nomura S., Deconvolution of Scanning Electron Microscopy Images, SCANNING, Vol.15, 19-24, 1993

65. Болотина А.В., Лукьянов Ф.А., Pay Э.И., Сеннов P.A., Ягола А.Г. "Энергетические спектры обратнорассеянных электронов от массивных твердотельных мишеней". Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. (2009). №5. С.30-32.

66. Nosker R.W. // Scattering of highly focused kilovolt electron beams by solids, p. 1872-1882 J. Appl. Phys. 1969. V. 40. N 4.

67. Гершберг А.Г. // Электронный луч и потенциальный рельеф. Ленинград, Энер-гоиздат. 1981, 308 стр.

68. Зайцев С.И., Кошев Н.А., Лукьянов Ф.А., Pay Э.И., Якимов Е.Б. // Сб.тез.докладов: XXIII Российская конференция по электронной микроскопии. 2010. С.103-104.

69. Михеев В.П., Петров В.И., Степович М.А. // Моделирование процессов обратного рассеяния электронов от мишени заданной толщины при нормальном падении электронного зонда. Изв. АН, Серия Физическая, 1995, т. 59, №2, с. 144-151.

70. Дапфорд Н., Шварц Дою. Т. Линейные операторы. Т 1. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

71. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Дрофа, 2001.

72. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. В., Стеценко В. Я. Приближённое решение операторных уравнений. М: Наука, 1969. 456 с.

73. Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

74. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

75. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

76. Иоффе А. Д., Тихомиров В.М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи // Успехи матем. наук. 1958. 51-116.

77. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

78. Данциг Дою. Линейное программирование, его применения и обобщения. М.: Прогресс, 1966.

79. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

80. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

81. Кормен Т., Аейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000. 960 с.

82. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery В. P. Numerical Recipes in C. http://www.fizyka.umk.pl/nrbook/bookcpdf.html/

83. Numerical Recipes official website, http://www.nr.com

84. Танана В.П. //Об одном проекционно-итеративном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором. ДАН СССР., 1975, Т. 224, №5. С.1028-1029.

85. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и фугкционального анализа. М.:Наука, 1989.

86. Треногин В. А. Функциональный Анализ. М.: Наука, 1993.

87. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2004. 552 с.

88. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. // М.: Наука, 1988. 333 с.

89. Нуссбаумер. Г. // Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. М.: Радио и связь 1985.

90. Блейхут. Р. // Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.:Мир, 1989.

91. Леонов A.C. //О сходимости по полным вариациям регуляризующих алгоритмов решения некорректно поставленных задач. Журн. Выч. Мат. И мат. Физ. 2007. - Т.47 №5.- С.767-783.

92. Леонов A.C. //Применение функций нескольких переменных с ограниченными вариациями для численного решения двумерных некорректных задач. Сибирский журнал выч. Мат. 1999. - Т.2 №3. - С.257-270.

93. John Burkardt, Fem basis functions for a triangle. Computational Geometry Lab, Virginia Tech. -2010. p. 1-8.

94. Eriksson K., Estep D., Johnson C. Calculus in Several Dimensions, Springer, Berlin, 2004.

95. S. C. Brenner and L. R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods (2nd edn), Springer-Verlag, New York, 2002.

96. Johnson C., Szepessy A., Adaptive finite element methods for conservation laws based on a posteriori error estimation, Comm. Pure Appl. Math., 48, 199-234, 1995.