автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод установления и его применение для численного моделирования некоторых обратных задач теплообмена

На правах рукописи

Худышкина Елена Вячеславовна

УДК 517.948

МЕТОД УСТАНОВЛЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск — 2006

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре вычислительной математики

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор В.П. Танана доктор физико-математических наук, профессор Л.Д. Менихес кандидат физико-математических наук, доцент Т.Н. Рудакова Государственный ракетный центр „КБ им. академика Макеева"

Защита состоится "27"апреля 2006 года в 13 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук при Челябинском государственном университете по адресу:

454021, Челябинск, ул. Бр. Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Челябинского государственного университета.

Н

Автореферат разослан "^тГ. "марта 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

И. Ухоботов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. Диссертация посвящена исследованию метода установления и его применению для решения конкретных обратных задач теплообмена.

Актуальность темы. При математическом моделировании многих процессов и явлений, происходящих в природе и обществе, приходится сталкиваться с задачами, не удовлетворяющими требованиям корректности Адамара. Поэтому для их решения необходимо привлечение методов теории условно-корректных задач, основы которой заложены в трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и чл.-корр. РАН В.К. Иванова. На сегодяшний день эта теория хорошо развита и нашла отражение во многих монографиях.

Широкое применение в промышленности находят обратные задачи, которые, как правило, являются некорректными. Кроме того, в этих задачах предъявляются повышенные требования точности, поэтому для их решения необходимо применение оптимальных методов как наиболее точных. Построением оптимальных по точности методов и получением оценок погрешности занимаются такие математики как А.Л. Агеев, В.В Арестов, А.Б. Бакушинский, Г.М. Вайникко, В.В. Васин, А.Л. Леонов, В.А. Морозов, В.П. Танана, Г.В. Хромова, А.Г. Ягола и др.

Однако, при решении конкретных обратных задач не были получены оценки приближенного решения, хотя этот вопрос является наиболее актуальным при решении обратных задач теплообмена. Впервые подход к получению таких оценок для метода проекционной регуляризации был предложен в работе В.П. Тананы.1

Настоящая работа представляет собой продолжение исследований в этом направлении для метода установления.

Цель работы. Исследовать метод установления на различных классах корректности, применить его для решения обратных задач теплообмена и получить оценки приближенного решения. Реализовать численное решение рассмотренных задач.

1Танана В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач.//Сиб. журн. инд. матем. 2004. Т. 7, № 2.

С. 117-132.

Методы исследования. В работе используются методы теории функций и функционального анализа, методы теории некорректных задач.

Научная новизна. Доказана оптимальность по порядку метода установления на степенном и логарифмическом классах корректности и получены оценки точности метода на этих классах. Найдены решения и оценки их точности для некоторых обратных задач теплообмена с подвижной границей. Получено численное решение некоторых обратных задач теплообмена.

Практическая значимость. Основные результаты диссертационной работы имеют значение для получения точных оценок при решении обратных задач теплообмена и для решения задач такого типа.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции „Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004 г.), на XXXVI и XXXVII региональной молодежной школе-конференции „Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2005 и 2006 г.), на XVI Воронежской весенней математической школе „Современные методы теории краевых задач" в честь 100-летия академика С.М. Никольского (Воронеж, 2005 г.), в Государственном ракетном центре „КБ им. академика Макеева" (Миасс, 2005 г.), на научном семинаре кафедры функционального анализа ЮУрГУ, на научном семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10], список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, изложена на 103 страницах. Библиографический список содержит 79 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности выбранной области исследования, сделан краткий обзор результатов, получен-йых другими авторами в области некорректных задач. Излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена исследованию метода установления. Вводятся основные понятия и определения, встречающиеся в работе. До-

казана оптимальность по порядку метода установления на степенном и логарифмическом классах корректности.

Рассмотрим операторное уравнение первого рода

Аи = /.

(1)

Определение. Множество М будем называть классом корректности для уравнения (1), если сужение А^1 оператора Л-1 на множество N = АМ равномерно непрерывно.

Определение. Семейство операторов {Т$ : 0 < 6 < 6о} будем называть методом приближенного решения уравнения (1) на множестве М, если для любого 6 € (0, <5о] оператор Т$ непрерывно отображает пространство Р в V и

равномерно на множестве М при условии, что — Аио\\ < 6.

Пусть А — линейный ограниченный инъективный оператор. Тогда регуляризующее семейство операторов в методе установления задается формулой

где {Еа : а € [0, || Л||]} — разложение единицы, порождённое оператором \/А*А. За приближенные решения щ и й} уравнения (1) примем элементы, определяемые формулами

—> ио при 6 —> О

(2)

при или > 36,

при Ш|<3<*,

где I = Ь{8) — решение уравнения ||Аи^ — /¿|| = 36, и

(3)

при Щ\>3у/б, при ||/Л||<3 у/б,

где I = Т(5) — решение уравнения \\Аи\ — /$|| = 3у/б.

Теорема 1.1.5. Формула (3) для любого 5 € (0, <5о] задает непрерывное отображение пространства Р в II.

Теорема 1.1.6. Формула (4) для любого 8 е (0, ¿о] задает непрерывное отображение Т{ пространства Р в £7.

Определение. Множество М С V будем называть классом равномерной регуляризации для уравнения (1), если на нём существует метод приближённого решения этого уравнения.

Пусть Мг = ВБг, В -.V ^ I/, 5Г = {к £ У : \\ь\\ < г}, В — д{А\'2).

Определение. Если д(сг) = сгр, р > 0, то множество Мг будем называть степенным классом равномерной регуляризации

Определение. Если д(а) — 1п-в где о € [О, ЦАЦ2], д > О, а > \\А\\2, то множество Мг будем называть логарифмическим классом равномерной регуляризации

Обозначим С[Р, II] множество всех операторов Р, непрерывно отображающих пространство Р в С/. Количественную характеристику точности метода определим соотношением

Д(Р) = зир{||и - Р/г|| : и е М, - /5|| < 5}

и обозначим через Д£р* величину, определяемую формулой

А?11 = ш£{Д(Р): Р 6 С[Р, С/]}.

Определение. Метод {Т& : 0 < 6 < ¿о} будем называть оптимальным по порядку на классе равномерной регулЛризации М, если 3к такое, что 46 е (0, ¿о]

Д(Тг) < кА$>1.

_ Л •

Теорема 1.2,1. Метод {Тд}, определенный формулой (3), оптимален по порядку на степенном классе решений МГ) а его точность характеризуется величиной

Д{Та) < (5+ у/р+

Теорема 1.2.2. Метод {Т$}, определенный формулой (4), оптимален по порядку на логарифмическом классе МГ! а его точность

характеризуется величиной

^('♦riSsKfr^Sr

Аналогичные теоремы доказаны и в случае, когда оператор А является вполне непрерывным.

В дальнейшем методы {Тд} и {Тд}, определяемые формулами (3) и (4) соответственно, будем называть методами установления.

Вторая глава посвящена конкретным обратным задачам теплообмена и состоит из двух параграфов.

В первом параграфе описаны типы обратных задач и специфика обратных задач теплообмена (ОЗТ).

Во втором параграфе приводится обоснование применения теории условно-корректных задач для решения ОЗТ. Описан способ измерения исходных данных с использованием термопар. Исследованы и решены две граничные обратные задачи теплообмена с подвижными границами.

Задача I (Обратная задача тепловой диагностики двигателя).

Рассмотрим дифференциальное уравнение

^£)=^£))Гдехе[о,ад,5>о. (5)

Функцию h(s) € С2[0, оо] считаем известной, причём А(0) = и для неё ЭТ > 0 такое, что при s > Т h(t) — х\ >0. На отрезке [0,Т] функция h{s) строго убывает. Кроме того, заданы условия:

и(х,0) = <р(х), х е [0,Х\], (6)

u(0, s) = 0, я > 0, (7)

и{х0,s) = /(s), 0 < хо < х\, (8)

а граничное значение

u'x(h(s),s) = u(s) (9)

подлежит определению.

Предположим, что 3 Т\ > Т такое, что

Vs > Tj û(s) =0, û^O,

û(0) = û/(0) = 0,

(и)

(12)

Будем считать, что искомая функция йо(s) = [uo(h(s), s)]'x в задаче (5)-(9) удовлетворяет условиям (10)—(12), а соответствующее ей значение /о(з) = tto(xo, s) нам не известно. Вместо него задано некоторое непрерывно-дифференцируемое приближение /¿(s) из пространства Хг[0, оо] и уровень погрешности 6 такие, что

Требуется по паре (/¿,<5) определить приближённое решение ««(<) задачи (5)—(9) наиболее близкое к ®о(<) на классе корректности Мг, определяемом формулой

и получить точную оценку погрешности этого решения на классе Мг.

Поставленная задача (5)-(9) с подвижной границей с помощью последовательности замен переменных сводится к задаче с постоянной границей:

(13)

Мг = {й(з) : ïï(s) G W^O, оо], )]û\\2wl = Г [(û(s))2 + (tZ'is))2]^ < г2}

2 J о

(14)

'ОО

, х € [0,1], s > О,

(15)

и(х, 0) = 0, х е [0,1], и(0, з) = 0, s > 0, <(0,s) = Ç(s).

(16) (17)

(18)

Искомая функция

и'х(1,а) = z(s).

(19)

Полученная задача (15)—(19) с помощью синус и косинус преобразований Фурье сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, решая которое получаем операторное уравнение первого рода

А8(Л) = (ch fiVX) ¿(А) = ¿(Л), (20)

где А : Н Я,Я = Ь2[0, оо) + гЬ2[0,оо),ß = ^-(1 + г).

Приближенное решение уравнения (20), полученное методом установления, имеет вид

zs{X,t) = ^ch^cosy^ + ishy^sm^/l^ х

Ч'—Н-з^гаи})^1 <21>

Параметр регуляризации t(5) выбераем из условия

Г lä(A)|2dA = 96. Jt(S)

Погрешность приближенного решения zj(А, t), определенного формулой (21), характеризуется величиной

p« - ¿о|| < h In-2 (i) . (22)

Здесь 1х — некоторая константа, а ¿о — точное решение уравнения (20).

Теорема 2.2.1. Оценка (22) является точной по порядку на классе (14), а используемый для решения уравнения (20) метод установления {?$} оптимален по порядку на этом классе.

Задача II (Обратная задача непрерывной разливки стали). Рассмотрим дифференциальное уравнение

в котором t > 0, у е [0, h(0) = уо > О, h(t) — непрерывная, ограниченная, строго возрастающая функция. Кроме того, заданы условия:

Т(у,0) = у>(у), уе[0,уо],

T(h(t),t) = 0, t> 0, (24)

« = #), «>0,

а граничное условие задачи

T(0,t) = T0(t) _ (25)

подлежит определению.

Выполнив замены переменных, сведем задачу (23)-(25) к задаче с постоянной границей

u(z, 0) = 0, (26)

и(0, s) = 0, <(0 ,s) = f(s), а граничное значение

u(l,s) = ü(s) (27)

подлежит определению.

Предположим, что при f{s) = fo{s) € Ьг[0, оо) задача (26)-(27) имеет точное решение щ(s), которое удовлетворяет условиям:

"о(0) = йо(0) = 0, •

üo(s) € И^[0,оо),

где [0, оо) — гфостранство C.J1. Соболева и для любого а > 0

ад€£![0,а], (29)

но вместо точного значения известно fs(s) € £-2(0,00) и уровень погрешности 5 такой, что || fs — /о II < à-

Задача (26)-(27) с помощью синус и косинус преобразований Фурье сводится к к обыкновенному дифференциальному уравнению, решая которое получаем операторное уравнение

Ай(А) = цу/Х (вЬ /х\/а) й(Л) = /¿(Л), (30)

где А :Н ->Н,Н = Ь2[0, оо) + И2[0, оо), ц = ^(1 + г).

Так как точное решение щ{з) = «о(1,з) нашей задачи удовлетворяет условиям (28)-(29), то класс равномерной регуляризации Мг определяем следующим образом:

Мг = {и0 е Ж^оо): и0(0) = «¿(О) = 0, ||гю|| < г, € 1а[0,а]}.

(31)

Уравнение (30) приводим к виду

Сй( А) = М\), (32)

где

Сй(А) = ——^=й(Л)

Приближенное решение уравнения (32), полученное методом установления, имеет вид

Параметр регуляризации Ь(6) выбираем из условия

Для приближённого решения й$(\, £) уравнения (32), определяемого формулой (33), справедлива оценка

||й*-йо||<*21п-2(у), (34)

где ¿2 — некоторая константа, а йо — соответствующее точное решение уравнения (32).

4 Теорема 2.2.2. Оценка (34) является тонной по порядку на классе (31), а метод установления оптимален по порядку на этом классе.

В третьей главе содержится численное решение некоторых обратных задач, полученное с использованием математической экспертной системы Ма^САБ 12. 1. Ретроспективная ОЗТ:

причём функция /(я) задана с точностью S, а функцию <р{х) требуется определить. Предполагаем, что 3Xi, Т\ <0 <Т такое, что существует решение задачи (35)-(37) при t — и u(Ti, х) <Е 1/2[0,1], но показатель гладкости Т\ не известен.

Для задачи (35)-(37) найденно численное решение, когда а{х) = х2, Т= 1/2, Т\ = —Т и u(Ti,x) — 1 — \2х — 1|.

Приближенное решение задачи (35)-(37), полученное методом установления, является более точным, чем решение этой задачи, найденное методом проекционной регуляризации. Сравнение этих методов выполнено для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом температуропроводности, так как в случае, если этот коэффициент переменный, метод проекционной регуляризации не применим.

(О < х < 1, 0 < t < Т), (35)

u(t,0) — u(t, 1) = О, и(0, х) = <р(х), и(Т, х) = f(x),

(36)

(37)

2. Граничная ОЗТ:

, х€ [0,1], t >0,

и(х, 0) = 0, u(0, t) =0,

Фо, t) = /(t), во €[0,1],

(38)

граничное значение

u(l,t) = w(t)

(39)

подлежит определению.

Построена разностная схема для решения задачи (38)-(39), неявная по х и явная по Для вычисления значений функции (39) метод установления применяется N раз (ТУ — число шагов по ¿). Для оценки точности определения значений искомой функции в зависимости от погрешности исходных данных они возмущаются с помощью генераторов псевдослучайных чисел пилообразно, по нормальному закону распределения плотности вероятностей и по равномерному закону распределения плотности вероятностей.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Доказана оптимальность по порядку метода установления на степенном и логарифмическом классах корректности.

2. Метод установления применен для решения граничных обратных задач теплообмена и получены неулучшаемые оценки погрешности приближенных решений.

3. Получено численное решение ретроспективной и граничной ОЗТ с помощью метода установления.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Худьппкина Е.В. Метод установления для решения операторных уравнений первого рода. //Тезисы докладов XXVI студенческой научной конференции. Челябинск, изд-во ЧелГУ, 2003. С. 14.

[2] Танана В.П., Худышкина Е.В. Об оптимальности метода установления. //Вестник ЧелГУ. Серия 3. Математика. Механика. Информатика. 2003. №1(7). С. 165-173.

[3] Танана В.П., Худышкина Е.В. Об оптимальности метода установления. //Обратные и некорректно поставленные задачи: Тез. докл. VIII Всероссийской конференции. Москва, МАКС Пресс, 2003. С. 59.

[4] Худышкина Е.В. Об оптимальности метода установления. //Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. — Екатеринбург, Изд-во Урал, ун-та, 2004. С. 87.

[5] Танана В.П., Худышкина Е.В. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи Стефана. //Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы. — Воронеж, ВГУ, 2005. С. 225-226.

[6] Танана В.П., Худышкина Е.В. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи Стефана. //Проблемы теоретической и прикладной математики: Сборн. трудов XXXVI региональной молодежной конф. — Екатеринбург, изд-во УрГУ, 2005. С. 208-211.

[7] Танана В.П., Худышкина Е.В. Об оптимальном по порядку методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики. //Современные методы теории краевых задач: Тез. докл. Воронежской весенней математической школы. — Воронеж, ВГУ, 2005. С. 152.

[8] Танана В.П., Худышкина Е.В. Решение обратной задачи для уравнения теплопроводности методом установления. //Известия Челябинского научного центра. 2005. Вып. 2(28). С. 1-3.

[9] Танана В.П., Худышкина Е.В. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики. //Вестник ЮУр-ГУ. Серия математика, физика, химия. 2005. Вып. 6, №6(46). С. 50-53.

[10] Танана В.П., Худышкина Е.В. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи Стефана. //Сиб. журн. инд. матем. 2005. Т. 8, № 4. С- 124-130.

1-46 9®

' г

\

ь

Подписано в печать 2/О 3 Об. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. ¿¿.9, Уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ . Бесплатно.

ГОУВПО "Челябинский государственный университет" 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.

Полиграфический участок Издательского центра Челябинского государственного университета 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57в.

Введение

1 Исследование метода установления

1.1 Понятия и определения.

1.2 Исследование оптимальности метода установления на различных классах корректности.

2 Обратные задачи теплообмена

2.1 Введение в проблему.

2.2 Решение обратных задач теплообмена. t 2.2.1 Обратная задача тепловой диагностики двигателя.

2.2.2 Обратная задача непрерывной разливки ^ стали.

3 Численное решение обратных задач

3.1 Применение метода установления для решения ретроспективной обратной задачи теплообмена.

3.2 Применение метода установления для решения граничных обратных задач.

При математическом моделировании многих процессов и явлений, происходящих в природе и обществе, приходится сталкиваться с задачами, не удовлетворяющими требованиям корректности Адамара [75]. Следствием этого является непригодность для их решения традиционных методов. Для создания новых методов, использующих особенности исходной математической модели, необходимо привлечение теории условно-корректных задач.

Эта теория была заложена в основополагающих трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-корреспондента РАН В.К. Иванова. Развитие этой теории происходило в математических центрах, созданных и возглавляемых этими выдающимися математиками.

При создании этой теории следует отметить серьезный научный вклад, который внесли своими работами следующие математики: В.Я. Арсении, A.J1. Агеев, А.Б. Бакушинский, A.JI. Бухгейм, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильев, В.В. Васин, В.А. Винокуров, А.В. Гончарский, В.Б. Гласко, A.M. Денисов, В.И. Дмитриев, И.Н. Домбров-ская, И.В. Емелин, П.Н. Заикин, В. В. Иванов, А.С. Ильинский, М.А. Красносельский, А.С. Леонов, А.С. Лисковец, Л.Д. Менихес, И.В. Мельникова, В.А. Морозов, А.И. Прилепко, В.Г. Романов, В.Н. Страхов, В.П. Тапапа, A.M. Федотов, Г.В. Хромова, А.В. Чечкин,

А.Г. Ягола и другие математики.

К настоящему моменту накоплен значительный теоретический и прикладной материал, который частично отражен в известных монографиях: А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина [65], М.М. Лаврентьева [25], В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Тананы [22], А.Н. Тихонова, А.В. Гончарского, В.В. Степанова, А.Г. Яголы [68], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, С.П. Шишатского [27], В.П. Тананы [50], В.П. Тананы, М.А. Реканта, С.И. Янченко [53], Морозова В.А. [37], А.Б. Бакушинского, А.В. Гончарского [8], A.M. Федотова [70], А.Н. Тихонова, А.С. Леонова, А.Г. Яголы [69], В.В. Васина, А.Л. Агеева [13], О.А. Лисковца [30] и многих других, что является несомненным признаком зрелости соответствующего раздела прикладной математики. За рубежом наибольший вклад в данной области сделан следующими математиками: Franklin J.N. [73]; Gullum J. [74]; Miller К. [77], [78]; Phillips D.L. [79].

При решении обратных и некорректно поставленных задач к численным методам предъявляется повышенное требование точности. В связи с этим, одним из актуальнейших вопросов является построение оптимальных методов, как наиболее точных. Построением и исследованием оптимальных и оптимальных по порядку методов занимаются давно и в этом направлении получено большое число результатов. Особо следует отметить построение оптимальных по точности методов и получение точных оценок их погрешностей в работах А.Л. Агеева [1], Г.М. Вайникко [9]-[10], В.В. Васина [11]-[12], В.Н. Страхова [47], В.П. Тананы [48]—[50], [52], [54], Melkman А. Micchelli С. [76].

В теории условно-корректных задач можно выделить три основпых направления.

1. Теория регуляризуемости, связанная с решением проблемы существования регуляризующих алгоритмов в банаховых простран-страх. Это направление связано с исследованиями В.А. Винокурова, Л.Д. Менихеса и других математиков.

2. Сравнение методов по точности и исследование их на оптимальность. Это направление, возникшее в работах В.К. Иванова, В.Н. Страхова, нашло своё продолжение в работах таких математиков как В.В. Васин, В.П. Танана.

3. Построение численных методов решения некорректных задач. Отправной точкой этого направления являются работы А.Н. Тихонова, В.К. Иванова и М.М. Лаврентьева. В его основу было положено численное решение конкретных задач математической физики.

Натоящая работа относится ко второму и к третьему направлениям. Это связано с тем, что при математическом моделировании обратных и условно-корректных задач существенную роль играют погрешности исходных данных, с которыми нельзя не считаться. Одной из актуальных проблем при решении обратных задач является оценка влияния погрешности исходных данных на получаемое приближенное решение, поэтому в настоящей работе получению оценок уделяется большое внимание. В более ранних работах ([6], [14]) доказывалась устойчивость приближенного решения, полученного тем или иным методом, но конкретная зависимость решения от погрешности входных данных впервые была получена в трудах В.П. Та-наны [49]-[51]. Эти исследования продолжены в настоящей работе.

Математическая сложность решения подобных задач заключается в необходимости применения спектральной теории для несамосопря-жепных операторов. Обратные задачи теплообмена с подвижными границами находят широкое применение в различных областях тех-пики [2], [3], [5], [14], [24], [34], [45].

Работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы.

1. Агеев A.J1. К вопросу о построении оптимального метода решения линейного уравнения I рода./A.JI. Агеев //Известия вузов. Математика. 1983. Т. 250, № 3. С. 67-68.

2. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов./ О.М. Алифанов //М., Машиностроение. 1979. 216 с.

3. Алифанов О.М. Алгоритмы диагностики тепловых нагрузок летательных аппаратов./О.М. Алифанов, В.К. Зайцев, Б.М. Панкратов//Под ред. акад. В.П. Мишина. М., Машиностроение. 1983. — 168 с.

4. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена./О.М. Алифанов //М., Машиностроение. 1988. — 279 с.

5. Алифанов О.М. Определение граничных условий в процессе тепловых газодинамических испытаний./О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин//ТВТ. 1978. Т. 16, № 4. С. 819-825.

6. Алифанов О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. / О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, С.В. Румянцев//М., Наука. 1988. 285 с.

7. Бакушинский А.Б. К вопросу о стабилизации решений линейных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве./А.Б. Бакушинский//Матем. заметки. 1971. Т.9, № 4. С. 415-420.

8. Бакушинский А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения./А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский//М., Изд-во МГУ. 1989. 199 с.

9. Вайникко Г.М. Оценки погрешности метода последовательных приближений для некорректных задач./Г.М. Вайникко//АиТ. 1980. № 3. С. 84-92.

10. Вайникко Г.М. Оценки погрешности методов регуляризации для нормально разрешимых задач./Г.М. Вайникко//Жури, выч. мат. и мат. физ. 1985. Т.25, № 10. С. 1443-1456.

11. Васин В.В. Методы решения операторных уравнений с априорной информацией./В.В. Васин//Числе1шые методы и оптимизация. Таллинн. 1988. С. 70-80.

12. Васин В.В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов./В.В. Васин//Киев. 1977. — 17 с.

13. Васин В.В. Некорректные задачи с априорной информацией./В.В. Васин, A.JI. Агеев//Екатеринбург, Наука. 1993. — 261 с.

14. Гольдман H.JI. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения./H.J1. Гольдман//М.: Изд-во МГУ, 1999. — 294 с.

15. Дистель Д. Геометрия банаховых пространств./Д. Ди-стель//Киев, Вища школа. 1980. — 215 с.

16. Диткин В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление. /В.А. Диткин, А.П. Прудников//М.: Наука, 1961. 524 с.

17. Емелин И.В. К теории некорректных задач/И.В. Емелин, М.А. Красносельский//ДАН СССР. 1979. Т.244, № 4. С. 805808.

18. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода./В.К. Иванов//Ж. выч. мат. и мат.физ. 1966. Т.6, № 6. С.1089-1094.

19. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах./В.К. Ива-нов//ДАН СССР. 1962. Т. 145, № 2. С. 270-272.

20. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых за-дач./В.К. Иванов//Сиб. мат. журн. 1966. Т.7, № 3. С. 546-558.

21. Иванов В.К. Об одном типе некорректных линейных уравнений в векторных топологических пространствах./В.К. Ива-нов//Сиб. мат. журн. 1965. Т.6, № 4. С. 832-839.

22. Иванов В.К. Теория линейных некорректных задач и её приложения./В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана//М.: Наука, 1978. 208 с.

23. Иванов В.К. Об оценке погрешностей при решении линейных некорректно поставленных задач./В.К. Иванов, Т.И. Королюк//Жури. выч. матем. и матем. физ. 19G9. Т.9, N2 1. С. 30-41.

24. Исаков Г.Н. Определение характеристик тонкослойных теплозащитных покрытий из решения обратных задач тепло- и мас-сопереноса./Г.Н. Исаков, А.Я. Кузин, В.Н. Савельев, Ф.В. Ер-молаев//Физика горения и взрыва. 2003. Т.39, № 5. С. 86-96.

25. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики./М.М. Лаврентьев//Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962. 92 с.

26. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений./М.М. Лаврентьев//Новосибирск: Изд-во НГУ. 1973. 71 с.

27. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа./М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишат-ский//М., Наука. 1980. — 288 с.

28. Лаврентьев М.М. Теория операторов и некорректные задачи./М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев//Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН. 1999. 702 с.

29. Леонов А.С. О специальном тихоновском регуляризующем алгоритме для некорректных задач с истокообразно представи-мыми решениями./Леонов А.С.//Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Екатеринбург: изд-во Уральского ун-та. 2001. 327 с.

30. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач./О.А. Лисковец//Минск, Наука и техника. 1981. — 343 с.

31. Лыков А.В. Теория теплопроводности./А.В. Лыков//М., Высшая школа. 1967. — 599 с.

32. Менихес Л.Д. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврептьева/Л.Д. Менихес, В.П. Танана//Сиб. ж. выч. мат. 1998. Т. 1, № 1. С. 59-66.

33. Мишин В.П. Обратные и сопряжённые задачи теплообме-на./В.П. Мишин//ИФЖ. 1977. Т.ЗЗ, № 6. С. 965-966.

34. Моделирование тепловых режимов космического аппарата и окружающей его среды. //Под ред. акад. Г.И. Петрова. М., машиностроение. 1981. — 382 с.

35. Морозов В.А. О регуляризующих семействах операторов./В.А. Морозов//Вычисл. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967. С. 63-93.

36. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе пераметра регуляризации./В.А. Моро-зов//Журн. выч. матем. и матем. физ. 1966. Т.6, N2 1. С. 170175.

37. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач./В.А. Морозов//М., Изд-во МГУ. 1974. — 360 с.

38. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике.// Под ред. проф. В.К. Кошкина. М., Машиностроение. 1975. 623 с.

39. Платунов Е.С. Теплофизические измерения в монотонном режиме./Е.С. Платунов//Л., Энергия. 1973. — 143 с.

40. Полежаев Ю.В. Проблемы нестационарного прогрева теплозащитных материалов./Ю.В. Полежаев, В.Е. Киллих, Ю.Г. На-рожный//ИФЖ. 1975. Т.29, № 1. С. 39-44.

41. Полежаев Ю.В. О методе определения теплопроводности высокотемпературных материалов при нестационарном нагре-ве./Ю.В. Полежаев, Ю.Г. Нарожпый, В.Е. Сафонов//ТВТ. 1973. Т.11, № 3. С. 609-615.

42. Полежаев Ю.В. Тепловая защита./Ю.В. Полежаев, Ф.Б. Юре-вич//М., Энергия. 1976. 392 с.

43. Рудин У. Функциональный анализ./ У. Рудин//М., Мир. 1975. 448 с.

44. Симбирский Д.Ф. Температурная диагностика двигателей./Д.Ф. Симбирский//Киев, Техника. 1976. — 208 с.

45. Смирнов А.Н. Процессы непрерывной разливки./А.Н. Смирнов, B.JT. Тимошенко, А.А. Минаев, С.В. Момот, Ю.Н. Бело-бродов //Донецк. Дон. НТУ, 2002. 536 с.

46. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве./В.Н. Страхов//Дифференц. уравнения. 1970. Т.6, № 8. С. 1490-1495.

47. Страхов В.Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений условно-корректных задач./В.Н. Стра-хов//Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, № 10. С. 1862-1874.

48. Тан an а В.П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения./В.П. Танана//Изв. вузов. Математика. 1977. № 11. С. 106-112.

49. Танана В.П. О новом подходе к оценке погрешности методов решения некорректно поставленных задач./В.П. Тана-па//СибЖИМ. 2002. Т.5, № 4. С. 150-163.

50. Танана В.П. Методы решения операторных уравне-ний./В.П. Танана//М., Наука. 1981. 160 с.

51. Танана В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач./В.П. Тана-на//Сиб. журн. инд. матем. 2004. Т.7, № 2. С. 117-132.

52. Танана В.П. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач./В.П. Танана, А.Р. Данилин// Дифференц. уравнения. 1976. Т.12, № 7. С. 1323-1326.

53. Танана В.П. Оптимизация методов решения оператор-пых уравнений./В.П. Танана, М.А. Рекант, С.И. Янчен-ко//Свердловск: изд-во Уральского ун-та. 1987. — 200 с.

54. Танана В.П. Исследование на оптимальность метода регуляризации для задач с неинъективным оператором./В.П. Танана, Т.Н. Рудакова//МВ и ССО. ЧелГУ. Челябинск. 1991. 14 с. Деп. в ВИНИТИ 25.02.91, № 887-В91.

55. Танана В.П. Об оптимальных методах решения линейных уравнений первого рода с приближённо заданным оператором./В.П. Танана, Я.М. Севастьянов//Сиб. жури. выч. мат. 2003. Т.6, № 2. С. 205-208.

56. Танана В.П. Об оптимальности метода установления./В.П. Та-нана, Е.В. Худышкина//Вестник ЧелГУ. Челябинск, изд-во ЧелГУ, 2003. С.

57. Танана В.П. Решение обратной задачи для уравнения теплопроводности методом установления./В.П. Танана, Е.В. Ху-дышкина//Известия Челябинского научного центра. 2005. Вып. 2(28). С. 1-3.

58. Танана В.П. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики./В.П. Танана, Е.В. Худышкина/ /Вестник ЮУрГУ. Серия математика, физика, химия. 2005. Вып. 6, №6(46). С. 50-53.

59. Танана В.П. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи Стефана./В.П. Танана, Е.В. Худышкина//Сиб. журн. инд. матем. 2005. Т. 8, № 4. С. 124-130.

60. Танана В.П. Об оптимизации методов регуляризации вырожденных операторных уравнений первого рода./В.П. Танана, С.И. Янченко//ДАН. 1988. Т.298, № 1. С. 49-52.

61. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач./А.Н. Тихо-нов//ДАН СССР 1943. Т.39, № 5. С. 195-198.

62. Тихонов А.Н. Обратные задачи теплопроводности./А.Н. Тихо-пов//ИФЖ. 1975. Т.29, № 1. С. 7-12.

63. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. //ДАН СССР. 1963. Т. 151 № 3. С. 501504.

64. Тихоиов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных за-дач./А.Н. Тихонов//ДАН СССР. 1963. Т. 153 № 1. С. 49-52.

65. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач./А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин//М., Наука. 1979. — 288 с.

66. Тихонов А.Н. О приближённом решении интегральных уравнений первого рода./А.Н. Тихонов, В.Б. Гласко//Журн. выч. матем. и матем. физ. 1964. Т.4, № 3. С. 564-571.

67. Тихонов А.Н. Применение метода регуляризации к нелинейным задачам./А.Н. Тихонов, В.Б. Гласко//Журн. выч. матем. и матем. физ. 1965. Т.5, № 3. С. 463-473.

68. Тихонов А.Н. Численные методы решения некорректных задач./А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Яго-ла//М., Наука. 1990. 232 с.

69. Тихонов А.Н. Нелинейные некорректные задачи./А.Н. Тихонов, А.С. Леонов, А.Г. Ягола//М., Наука. 1995. — 311 с.

70. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных./A.M. Федотов//Новосибирск, Наука. 1982. 190 с.

71. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа./А. Фридман//М.: Мир, 1968. — 427 с.

72. Худышкина Е.В. Об оптимальности метода установления./Е.В. Худышкина//Тезисы докладов Всероссийской конференции Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Екатеринбург, Изд-во Уральского университета, 2004. С.87.

73. Franklin J.N. On Tikhonov's method for ill-posed problems./J.N. Franklin//Math. Comput. 1974. T.28, № 128. P. 889-907.

74. Gullum J. Numerical differentiation and regularisation./J. Gullurn//SIAM J. Numer. Anal. 1967. T.8, № 2.

75. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux dirivees partielles lineaires hyperboliques./J. Hadamard //Paris, Hermann. 1932.

76. Melkman A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data./A. Melkman, C. Micchelli//SIAM J. Numer. Anal. 1979. T.16, № 1.

77. Miller K. Three circle theorems in parcial differential equations and applicaions to improperly posed problems./К. Miller//Arch. Ration. Mech. Anal. 1964. T.16, № 2. P. 126-154.

78. Miller K. Least squares methods for ill-posed problems with a prescribed bound./K. Miller//SIAM J. Math. Anal. 1970. T.l, № 1. P. 52-74.

79. Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind./D.L. Phillips//J. Assoc. Comput. Mach. 1962. T.9, № 1. P. 84-97.