автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное решение некоторых обратных задач математической физики

Введение

Глава 1. Итерационный метод решения ретроспективной обратной задачи теплопроводности

1.1. Постановка задачи.

1.2. Дифференциально-разностная задача.

1.3. Итерационный метод.

1.4. Результаты численных расчетов

1.5. Двумерная ретроспективная обратная задача теплопроводности

1.6. Итерационный метод решения двумерной задачи теплопроводности

1.7. Результаты решения двумерной ретроспективной обратной задачи теплопроводности.

Глава 2. Численное моделирование оптимизации профиля имплантирования в микроэлектронике

2.1. Постановка задачи.

2.2. Дифференциально-разностная задача

2.3. Итерационное уточнение начального условия

2.4. Примеры расчетов.

Глава 3. Ретроспективная обратная задача для нестационарного уравнения конвекции-диффузии

3.1. Постановка задачи

3.2. Дифференциально-разностная задача.

Решение многих практических задач из области электро-, магнито- и гравиразведки, теплообмена в различных конструкциях, работающих в особых условиях приводит к необходимости рассмотрения обратных задач математической физики.

Основная особенность обратных задач - некорректность в классическом смысле [80], выражающаяся неустойчивостью решения относительно входных данных. В связи с этим, при решении обратных задач производится введение их в класс условно-корректных по А.Н.Тихонову.

Значительный вклад в разработку теории некорректных задач внесли А.Н.Тихонов, М.М.Лаврентьев, Ф.П.Васильев,

B.А.Морозов, А.Б.Бакушинский, А.Г. Бухгейм, В.Б. Гласко,

C.B. Гилязов, A.M. Денисов, и др. Подробные обзоры по теории некорректных задач даны в работах [46, 54, 81, 49, 32, 12, 4]. Вопросам разработки численных алгоритмов решения обратных задач посвящены работы A.A.Самарского, П.Н.Вабищевича, О.М.Алифанова, Л.А.Коздобы, Н.В.Музы-лева, Р.Латтеса, Ж.-Л.Лионса, Дж. Бека, Б. Блакуэлла, М. Имбера и др.

Широкий спектр приложения обратных задач обуславливает многообразие методов решений. Тем не менее, можно выделить основные направления в развитии методов решения некорректных задач.

При рассмотрении некорректных задач в общем виде 5 используется операторное уравнение первого рода, правая часть которого задается приближенно:

Ау = /6

Для приближенного решения такой задачи привлекаются вариационные методы. При этом в соответствии с методом регуляризации А.Н.Тихонова вводится сглаживающий функционал, включающий норму невязки и стабилизирующий функционал с параметром регуляризации:

1а{и) =|| Аи - /в |[2 || и ||2 .

Тогда решением исходной задачи является минимум этого функционала. Такой подход к приближенному решению обратной задачи относится к вариационному.

При решении вместо экстремальной задачи в ряде работ осуществляется переход к уравнению Эйлера. В этом случае, вместо некорректной задачи рассматривается соответствующая возмущенная, но введенная в класс корректности задача:

А*Ауа + ауа = А*

Здесь переход к корректной задаче осуществляется за счет перехода к задаче с самосопряженным оператором А*А.

В последнее время особое внимание привлекают итерационные методы решения некорректных задач [31, 37, 8]. Например, двухслойный итерационный метод для исходного операторного уравнения первого рода записывается в виде:

ВУШ ~ Ук + Аук = к = 0,1,., п(6).

4+1 6

Эффект регуляризации при таком подходе достигается за счет согласования с погрешностью правой части 6, где в качестве параметра регуляризации выступает число итераций п(6).

Основной трудностью при приближенном решении некорректных задач является выбор параметра регуляризации а. Для его определения наиболее широко используются следующие подходы [82]: выбор параметра регуляризации по невязке, обобщенной невязке, квазиоптимальный выбор.

Как уже отмечалось, обратные задачи имеют важное значение для теории теплообмена. Для этого класса задач условно можно выделить следующие типы [2]: коэффициентные, геометрические, граничные и эволюционные обратные задачи. Последние связаны с тем, что неизвестны начальные условия при заданном распределении температуры на конечный момент времени. Для уравнения теплопроводности эволюционная обратная задача - это ретроспективная обратная задача. В качестве второго примера можно привести задачу Коши для эллиптического уравнения.

Очевидно, что для численного решения вышеупомянутого класса задач формулировка в виде операторного уравнения представляется неудобной. Тем не менее, для численного решения обратных эволюционных задач могут использоваться в тех или иных вариантах все вышеуказанные подходы.

Рассмотрим на примере ретроспективной обратной задачи теплопроводности основные методы решения некорректных задач.

Рассматривается процесс теплопроводности в однород7 ном стержне, тепловое состояние которого описывается уравнением и(0, <) = и(1, <) = 0, 0 <t<T, и(х,Т) = <р(х), 0<х<1.

2) (3)

Переходя к задаче с обратным временем переформулируем (1) - (3) как задачу Коши для эволюционного уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве Н — £2(0,1): и где оператор А = самосопряжен и положительно определи = о, о < г < т, и( 0) = (р,

4)

5) дх2 лен.

Вариационному методу соответствует решение задачи оптимального управления для исходного дифференциального уравнения. В частности, вариационная постановка ретроспективной обратной задачи теплопроводности может рассматриваться как задача оптимального управления тепловым процессом [48]. В качестве стартового управления выступает искомое начальное условие и(х,0) = и (я), 0 < х < 1.

Оптимальное управление определяется как минимум функционала качества: тпт =|| и(х,Т;у) — <р(х) ||2 ь&н v 8

Параметр регуляризации а может определяться в соответствии с принципом невязки из условия: и(х,Т]и)а) - (р(х) ||= 6, где 8 - погрешность задания температуры на конечный момент времени.

Для приближенного решения задачи минимизации могут использоваться градиентные методы [32, 33].

Второй класс приближенных методов решения некорректных эволюционных задач связан с переходом к некоторой возмущенной задаче, для которой имеет место устойчивость по начальным данным. Методы такого класса относятся к методам квазиобращения [47]. При применении квазиобращения к решению ретроспективной обратной задачи (1)-(3) в уравнение параболического типа добавляется эллиптический оператор более высокого порядка, чем исходный, с малым множителем, играющим роль параметра регуляризации: д2иг дАиг + + = 0<*<1,0<*<Т, от охА ох^ иа = 0, иа( 1,0 = 0, 0<t<T, о, ^(1,0 дх2 дх2 иа(х, 0) = < х < 1 о, о < г < г,

При этом выбор регуляризационных параметров в ряде случаев может быть затруднительным.

Особый интерес представляют методы квазиобращения, основанные на возмущении не уравнения, а начальных условий, когда вместо исходного начального условия (3) рассма9 тривается нелокальное: ада(0) + аиа(Т) = (р.

Введение в класс корректности достигается за счет связи решения на начальный и конечный момент времени. Такой подход использовался в исследованиях [15, 16, 17, 19, 66].

К основным трудностям численного решения эволюционных обратных задач относится необходимость выбора параметра регуляризации, вычисление которого является отдельной задачей, что приводит к существенному увеличению вычислительной работы.

Целью данной работы является построение эффективных и простых в применении вычислительных алгоритмов для решения эволюционных обратных задач первого и второго порядков и их реализации в виде комплекса прикладных программ. Поставленная цель достигается путем решения следующих задач:

1. Разработка итерационного метода решения ретроспективной обратной задачи теплопроводности в одномерном и двумерном случаях.

2. Разработка численного алгоритма решения обратной задачи для нестационарного уравнения конвекции - диффузии.

3. Разработка итерационного метода решения задачи Ко-ши для эллиптического уравнения второго порядка.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные вычислительные алгоритмы могут быть использованы для численного решения практических задач теплообмена, гидродинамики, микроэлектроники, прикладных

10 задач грави- и магниторазведки, связанных с продолжением полей с поверхности Земли вглубь.

Остановимся на кратком содержании работы. В первой главе рассматривается ретроспективная обратная задача теплопроводности. Для ее приближенного решения предлагается итерационный метод, основанный на последовательном уточнении начального условия. Происходит редукция исходной ретроспективной обратной задачи к серии прямых задач с корректными начальными условиями. Уточнение последних осуществляется с помощью градиентных методов вариационного типа, в частности, минимальных невязок. Приведены спектральные оценки для получающихся задач. Рассматриваются тестовые расчеты, заимствованные из литературы [47]. Качественное воспроизведение начальных данных свидетельствует об эффективности предложенного метода. В связи с этим, произведено обобщение предложенного разработанного алгоритма к решению двумерной ретроспективной обратной задачи теплопроводности.

Во второй главе предложенный подход реализован при решении модельной обратной задачи диффузии имплантированной примеси в полупроводниковую подложку при высокотемпературном отжиге дефектов. Представлены некоторые характерные примеры выполненных расчетов, которые демонстрируют возможности итерационного решения рассматриваемой задачи оптимизации.

Третья глава посвящена численному решению обратных задач с несамосопряженными операторами. Изложение ведется на примере нестационарного уравнения конвекции -диффузии. Для перехода к сеточной задаче с самосопряжен

11 ным оператором проводится симметризация Гаусса.

Точность восстановления начальных данных проверена при различных значениях вычислительных параметров.

В четвертой главе подход, предложенный для решения обратных задач для эволюционных уравнений первого рода, применяется к задаче Коши для эллиптического уравнения второго порядка. Устанавливаются достаточные условия сходимости итерационного процесса. Эффективность алгоритма проверена решением модельной задачи при различных уровнях погрешности во входных данных.

Автор выражает глубокую благодарность доктору физико - математических наук, профессору П. Н. Вабищевичу за внимание к работе.

Заключение

Работа посвящена разработке эффективных вычислительных алгоритмов, пригодных для численного решения обратных задач математической физики. Полученные результаты могут быть сформулированы следующим образом:

1. Разработан и обоснован итерационный метод решения ретроспективной обратной задачи теплопроводности. Предложенный алгоритм обобщен к решению двумерной ретроспективной обратной задачи теплопроводности.

2. Разработан численный метод решения обратных задач с несамосопряженными операторами, на примере нестационарного уравнения конвекции - диффузии, основанный на последовательном уточнении начальных данных. Выполнена серия численных расчетов по восстановлению начальных данных, задаваемых с различной погрешностью.

3. Разработан и обоснован численный метод решения задачи Коши для эллиптических уравнений. Приведены примеры модельных расчетов задачи Коши для двумерного уравнения Лапласа. Достигнута высокая точность приближенного решения, при этом происходит существенное ее повышение при использовании процедуры сглаживания начальных данных.

1. Абдулкеримов Л.Ш. Регуляризация некорректной задачи Коши для эволюционных уравнений в банаховых пространствах // Учен. зап. Азерб. ун-та. Сер. физ.- мат. наук, 1974. № 1. С.32 36.

2. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). М.: Машиностроение, 1979. - 216с.

3. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. - 280 с.

4. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. - 286 с.

5. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. М.: Мир, 1990. - 384с.

6. Бабе Г.Д., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболот-ский М.А. Идентификация моделей гидравлики. Новосибирск: Наука, 1980. - 160 с.

7. Бакаев Н.Ю., Тарасов Р.П. Один метод устойчивого решения задачи Коши для уравнения эллиптического типа // Сиб. мат. журн., 1979. Т. 20. № 6. С. 1198 1205.93

8. Бакушинский A.B., Гончарский A.B. Итерационные методы решения некорректных задач. М.:Наука, 1988. -128 с.

9. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч., мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. -312 с.

10. Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции. Минск: Университетское, 1988. - 166 с.

11. Боревский В.В., Самсонов Б.Г., Язвин JI.C. Методика опеределения параметров водоносных горизонтов по данным откачек. М.: Недра, 1979. - 303 с.

12. Бухгейм A.J1. Введение в теорию обратных задач. -Новосибирск: Наука, 1988. 181 с.

13. Вабищевич П.Н. Метод квазиобращения для эволюционного уравнения второго порядка. М., 1991. (Препринт ВЦММ АН СССР: № 26) - 20 с.

14. Вабищевич П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции-диффузии // Дифф. уравнения. 1994. Т. 30. № 3. С. 503 513.

15. Вабищевич П.Н. Нелокальное возмущение начального условия в некорректных задачах для эволюционных уравнений второго порядка. М., 1991 (Препринт ВЦММ АН СССР: № 40). - 19 с.

16. Вабищевич П.Н. Нелокальное возмущение начального условия в некорректных задачах для эволюционных94уравнений первого порядка // Математическое моделирование. 1992. Т. 4. № 5. С. 109 119.

17. Вабищевич П.Н. Нелокальные параболические задачи и обратная задача теплопроводности // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. № 7. С. 1193 1199.

18. Вабищевич П.Н. О разностных схемах на локально сгущающихся сетках по времени // Известия вузов. Математика. 1995. № 4. С. 22 28.

19. Вабищевич П.Н. О численном решении нелокальных эллиптических задач. // Изв. вузов. Математика. 1983. № 5. С. 13 19.

20. Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задачи Коши для эллиптических уравнений // Журнал вы-числ. матем. и матем. физики. 1981. Т. 21. № 2. С. 509- 511.

21. Вабищевич П.Н. Разностные схемы для уравнения теплопроводности с обратным временем. В кн.: Разностные методы математической физики / под. ред. Е. С. Николаева. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - С. 134 - 141.

22. Вабищевич П.Н. Разностные схемы метода квазиобращения для эволюционных уравнений второго порядка.- М., 1991. (Препринт ВЦММ АН СССР: № 25). 15 с.

23. Вабищевич П.Н. Разностные схемы с центральными разностями для задач конвекции-диффузии // Журн. вы-числ. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37. № 2. С. 188 -192.95

24. Вабищевич П.Н. Численное решение обратной задачи теплопроводности с использованием регуляризованных разностных схем // Инж.-физ. журн. 1985. Т. 49. № 6. С. 963 965.

25. Вабищевич П.Н., Гласко В.В., Криксин Ю.А. О решении одной задачи Адамара с помощью регулиризирующе-го по Тихонову алгоритма // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1979. Т. 19. № 6. С. 1462 1470.

26. Вабищевич П.Н., Матус П.П., Щеглик B.C. Операторно-разностные уравнения дивергентного типа // Дифференциальные уравнения. 1994. Т.30. № 7. С. 1175 1186.

27. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Об одном методе численного решения задачи Коши для эллиптических уравнений // Вестник МГУ. Вычисл. математика и кибернетика. 1984. № 2. С. 3 8.

28. Вабищевич П.Н., Самарский A.A. Об устойчивости разностных схем для задач конвекции-диффузии // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37. № 2. С. 182 186.

29. Вабищевич П.Н., Самарский A.A. Разностные схемы для нестационарных задач конвекции-диффузии// Журнал96вычисл. матем. и матемю физики. 1998. Т.38. №2. С. 207- 219.

30. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. - 177 с.

31. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1981. 400 с.

32. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. - 549 с.

33. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем. Новосибирск: Наука, 1993.- 364 с.

34. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики.- М.: Изд-во МГУ, 1984. 112 с.

35. Гласко В.В., Мудрецова Е.А., Страхов В.Н. Обратные задачи гравиметрии и магнитометрии //В кн. "Некорректные задачи естествознания". М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 89 - 102.

36. Гилязов С.Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 119 с.

37. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 440 с.

38. Гравиразведка: Справочник геофизика / Под. ред. Му-дрецовой Е.А. М.: Недра, 1981.97

39. Григорьев Е.А. Об устойчивости положительных решений обратной задачи теплопроводности// Журнал вы-числ. матем. и матем. физики. 1982. Т. 22. № 6. С. 1508 -1513.

40. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. - 208 с.

41. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.- 206 с.

42. Карасик Б.Г. Регуляризация некорректной задачи Коши для дифференциально операторных уравнений произвольного порядка.// Изв. АН Азерб. ССР. Сер. физ.тех. и матем. наук. 1976. № 6. С. 9 - 14.

43. Коздоба JI.A., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. Киев: Наукова думка, 1982.- 360 с.

44. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

45. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.- М.: Наука, 1980. 286 с.

46. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. - 336 с.

47. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. -М.: Мир, 1972. 414 с.98

48. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Паука и техника, 1981. - 343 с.

49. Магниторазведка: справочник геофизика /Под. ред. Никитского В.Е. и Глебовского Ю.С. М.: Недра. 1990. -469 с.

50. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. 608 с.

51. Мацевитый Ю.М., Мултаковский A.B. Идентификация в задачах теплопроводности. Киев: Наукова думка, 1982. - 240 с.

52. Мироненко В.А., Шестаков В.М. Теория и методы интерпретации опытно фильтрационных работ. - М.: Недра, 1978.

53. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 215 с.

54. Музылев Н.В. О методе квазиобращения // Журнал вы-числ. матем. и матем. физики. 1977. Т. 17. № 3. С. 556 -561.

55. Никитенко Н.И. Сопряженные и обратные задачи теплообмена. Киев: Наукова думка, 1988. - 236 с.

56. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. - 285 с.99

57. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 150 с.

58. Пермяков П.П. Идентификация параметров математической модели тепловлагопереноса в мерзлых грунтах. -Новосибирск: Наука, 1989. 86 с.

59. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. - 664 с.

60. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: МИр, 1972. - 418 с.

61. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. - 263 с.

62. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

63. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. -М.: Наука, 1971. 552 с.

64. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 655 с.

65. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики / Фундаментальные основы матем. моделирования. М.: Наука, 1997. С. 5-97.

66. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Разностные схемы для неустойчивых задач // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. № 11. С. 89 98.100

67. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Регуляризованные разностные схемы для уравнений с несамосопряженными операторами // Математическое моделирование. 1992. Т. 4. № 2. С. 36 44

68. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Регуляризованные трехслойные разностные схемы с несамосопряженными операторами // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 7. С. 1244 1251.

69. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 248 с.

70. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Васильев В.И. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Математической моделирование. 1997. Т. 9. № 5. С. 119 127.

71. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск, 1998. - 442 с.

72. Самарский A.A. Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. - 416 с.

73. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 429 с.

74. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

75. Себиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. М.: Мир, 1987. - 592 с.101

76. Старостин Н.П., Тихонов А.Г., Моров В.А., Кондаков A.C. Расчет триботехнических параметров в опорах скольжения. Якутск: Изд-во ЯНЦ СО РАН, 1999. 276 с.

77. Тарасов Р.П. Обратная задача Коши для уравнения эллиптического типа // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. № 11. С. 1953 1961.

78. Технология СБИС. М.: Мир, 1986. - 453 с.

79. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. - 286 с.

80. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1990. 229 с.

81. Тихонов А.Н., Морозов В.А. Методы регуляризации некорректно поставленных задач //В кн. "Вычислительные методы и программирование". Вып. 35. - М.: Изд-во МГУ. - 1981. С. 3 - 34.

82. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 736 с.

83. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991. - 502 с.

84. Хейгеман JI., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. - 446 с.

85. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.:Мир, 1988. 352 с.102

86. Электроразведка: Справочник геофизика / Под ред. Тархова А.Г. М.: Недра, 1989. - 437 с.

87. Ewing R. The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations // SIAM J. Math. Anal. 1975. Vol. 6. № 2. P. 283 294.

88. Morton K.W. Stability of finite difference approximations to a diffusion-convection equation // Int. J. Numer. Meths. Engng. 1978. V. 12. P. 415 438.

89. Patel M.K., Marcatos N.C. An evolution eight discretization schemes for two-dimensional convection-diffusion equations// Int. J. Numer. Methods fluids, 1986. V. 6. P. 129 154.

90. Roache P.J. Computational fluid dynamics. Albuquerque N.M.: Hermosa, 1982. - 654 p.

91. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Computational Heat Transfer. Vol. 2. Finite Difference Methodology. Chihester: Wiley, 1995. -1004 p.

92. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Regularized difference schemes for evolutionary second order equations // Math. Models and Methods in Applied Sciences. 1992. Vol. 3. № 3. P. 295 315.

93. Showalter R.E. Final value problem for evolution equations // J. Math. Anal. Appl. 1974. Vol. 47. P. 563 572.

94. Shyy W.A. Study of finite difference approximations to steady-state, convection-dominated flow problems //J. Comput. Phys., 1985. V. 57. P. 415 438.103

95. Siemieniuch J.E., Glad well I. Analysis of explicit diffrence methods for a diffusion-convection equation// Int. J. Numer. Meths. Engng., 1978. V. 12. P. 899 916.

96. Vasil'ev V.I., Tikhonova O.A. On a method for numerical solution of an inverse evolution problem // Математические заметки ЯГУ. Т. 3, № 2, 1996. С. 156 159.