автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Прямые и обратные задачи упругости в линейном приближении и вычислительные аспекты их решения



Комиссаров Валентин Владиславович

УДК 517.956:550.3 + 519.633.2

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ УПРУГОСТИ В ЛИНЕИНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ИХ РЕШЕНИЯ

05.13.16 - "Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях".

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1995

Работа выполнена в Институте математики им С.Л. Соболева СО РАН и СибГГА.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук В.Г. Яхно.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.Л. Бухгейм;

кандидат физико-математических наук • В.И. Добринский.

Ведущая организация -

Объединенный институт геологии, гцофизики и минералогии СО РАН.

Зашита состоится

1995 года

о /Г.

заседании диссертационного ()Ьвета К 002.23.04 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, Университетский пр.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН. //у

/Ч " ¿¿Яр^.^ 1995 года.

Автореферат разослан '

Ученый секретарь диссертационного совета

Г.В. Демиденко

9К9 Подписано в печать 2 марта 1995 г. Объем 1.1 печ.л.1.0 уч.-изд.л. Заказ 19 Тираж 100

630108, Новосибирск, 108, Плахотного.8, РИО, КПЛ, СГГА

Общая характеристика работы

Актуальность темы ПОрОЗЕДвНЗ Задачами, ВОЗНИКвПЦИКИ В

дефектоскопии, прикладной геофизике, астрофизике, кваьтоаой механике и т.д. ■ Система уравнений теории упругости для изотропной среды содержит три параметра: плотность вещества и параметры Ляпе, 'характеризующие упругие свойства вещества. Эти параметры не постоянны, а меняется от точки к точке, т.э. является функциями координат. Так как непосредственное ех измерение зачастую невозможно, то задача определения свойств вещества является, по существу, обратной. При этом часто в качестве информации для ее решения задаются характеристики физического процесса, измеряемые на границе области.

Практическая значимость подобных задач математической физики, которые в большинстве классически некорректно поставлены. настолько велика, что им посвящена область математики -теория некорректных задач математической физики.' основы которой были заложены в работах Д.Н. Тихонова. М.М. Лаврентьева. В. К. Иванова.

При численной моделировании физических процессов возникает вопрос, связанный с выбором математической модели, адекватности этой модели реальной физической, среде, реализуемости на ЭВМ в рамках математической модели разработанных алгоритмов. Конечной целью исследования обратной задачи является конструктивное построение'решения, позволяющего находить характеристики изучаемой модели среды.

Настоящая работа продоляает исследования A.C. Алексеева. Ю.Е. Аниконова, А.Л. Бухгейма, A.C. Благовещенского, В.И. Добринского; С.И. Кабангаина, М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, В.Г. Яхио и посвящена вопросам, связанным с решением обратной задачичПО определению малых многомерных неоднородностей упругих тол.

Целью равоты является выбор такой математической модели в рамках которой может быть численно решена обратная задача по определении малых многомерных неоднородностей упругих тел;

-з-

мерной обратной задачи для слоте.«®! Л»,.е в линейном приближении; разработка алгоритмов числоееого решения . обратной задачи и вспомогательных прямых задач, в оОъеко, необходимом для.решения обратных задач; получение ,. соотношений для нахождения ядер интегральных уравнений, за Сазе . которых строятся алгоритмах рсгйонвя обратной многомерной линеаризованной задачи для система Ляие; численная апробация продлогешнк алгоритмов на модельных тестах.

ндучндя ном".н.-ч. Получены соотношения' для нахождения ядер категальши равнений, да безо которых. строится елгоритм решения обратной многомерной линеаризованной задачи для системы Ляйо. В случае шраьшров среды ааалввгшак по горизонтальным перемон-шзд разработан алгоритм численного решения обратной многомерной лшеарИвовааЕой задачи-для система.Ляде.' Доказано, что полученное . семейство операторов регента' июгсяерноа обратной задачи для - системы Лйае а лянойноа приблженки в случае, когда ввиз-ввсяов функция не является' ензлмгичесижк, является регудя-ризируадвк ио М,М. Лаврентьеву. Полученл конструктивные соотношения, позеолявдю чкслошю решать в "образах Фурье прямую задачу Лвмба для однородного изотропного полупространства; доказана 1601*340 о связи этой прямой задачи с фундаментальшш решением задзчи Копи оператора Лдае.

0&1Ю нотодич-а исследования. В рабОТЭ ИСПОЛЬЗувТСЯ

математически аппарат теории условно-корректных и обратных задач, разработанный в работах Д.С. Алексеева., М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, В.Г. Яхно. Применяя принцип линеаризации и используя результаты работ В.Г. Яхно, исходные задачи для изотропной упругой среда сводились к скалярным.. уравнениям, решение которых представило в виде интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода. Используя аппарат обобщенных функций, строились алгоритмы и соотношения, позволяют® находить ядра интегральных уравнений для конкретных моделей сред. Для.решения интегральных уравнений применялись численные методы.

Алровация равоты. Результаты работы докладывались на конференциях: "Условно-корректные задачи математической физики

, и анализа", Красноярск, 1Э88 г.; "Математическое моделирование 'в-геофизике",. Новосийфск, 1980 г.; Всосокзнзя конференция "Условно-корректние ' задачи математической фягшси и аналяза". Новосибирск, 1992 г.; на ваучвт свюагарях ВЦ СО РАН, ИМ СО РАН, ОИГГ СО РАН, ИГУ,- СГГА.

• пувликацчи. оснссныо результаты работы опубликованы 3 : работах с 1-е]. Некоторые результаты ошсазш тек яе в монографии •В.Г. ЯКЕО1. ■

Структура диссертации. ДЕСССртаЦИЯ СОСТОИТ ИЗ ВБОДОНИЯ,

трех глав и списка цитируемой литературы. Содерют '27 страшгц текста, включая га графика. Список литературы насчиткзгет S7 . наименовании!!. • _ .

. содержание раРоты. Во введении- дается краткий обзор :литература, обсуждается актуальность расстотреяноЯ теиз, девается краткий истрротескпЯ обзор развития теории обратных задач.

Отдельно рассмотрена одаоиеризя обрапая задача для телеграфного уравнения, сравнивается различнне подходы к ео репвЕ'л», описывается способ построэкйя регуларкзовбзкого ресэ-нея. Задачи, подобные обратвоЯ одяонерпой задачи для телеграфного урзвнения, возникают в далъне'зЕои при ретанки обратной многомерной линеаризированной задачи упругости,!? обюлй подход к их численному, решению сохрй-мется. В качестве примера использования данного ' подгюда к решению обратных задач приводится алгоритм регюзия одномерной обратной задачи упругости.

Далее формулируются рассматриваемые задач:! и приводятся основные результата работы.

Рассмотрим при x=(wx,,) е R° • х3>0 • систему ■дифференциальных уравнения Лаке для изотропных упругих.сред

р(х) — = V -. i,J=1.2.3. (1)

Е

1Яхно В.Г. Обрзтные задачи для дифференциальных уравнений упругости- - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, iseo. -зогс.

-5-

со следующими условиями "Г'ио " 0 • ^-г-3- • ■' ' С2)

о*| _ - в Г(х -х°.х -K°,t). • (з) .

э хв=о s 4 1 1 2 г ' .-.'-. -.

" здесь -• Л

u"(x.t.x°,x°) = (u^x.t.x^®). ' u*(x,t,.x°ix°)y,

■. ■ г - . t <■ .......

и* проекция вектора смещений! упругой изотропной среды на ось х.; o'i » вектор напряжений на , площадке с. нор-

малью параллельной оси х.; &i} - символ Кронекера; >(*)- плотность; *•(*)■ - шрзмбтры .Ламв;--.г(xi,x2,t)- скалярная -функция, огмсшапдзя источники получения,' в частности для. мгновенной силы сосредоточенной в топ.эд • fCx^.x^.t) - -л У а) ^г, где <5(х) - дольта-фушсцил ?^фака;. базисный вектор в я", задающий направленность /каот^ап« 'излуче^я.

Пусть для функций р(х), \(х) справедливы

представления

Р(х)=Р0(хв) + Pt(x), + ^t(x), Х.(х)-Х.о(ха> + \t(x),

где значения функций pi(x)>- ^(х), xt(x), ошоыващие неоднородные включения, по" абсолютной величине ).,злг го сравнению со значениями р0(ха), ;'0(;-а). Далее предлагаем, что

po(x3). м0). хо(хэ) «, cj(rj - известные функц::и с положи-, тельшкш значениями. удоЕлэгворящкэ условиям р;(*о) - V (*о) = (^о) = о.

Замечание. Последнее условие не. обязательно и. берется в подобном виде для простоты выкладок.

Функции Pi(x). ^(х). \4(х) 6 AHc(i?V;4) .-, /и.

могут принимать кулевые значения. В частности, например, njx) ■ и \(х) могут быть тоздественпо нулевыми функциями.

Пршоняя принцип линеаризации,от системы (1)-(з) приходим .

-8-

äj"

I 1

лГ

1 V

к соотношениям

а . «о. ■ * о

_ да, , и.

¿«4 I I

и!"|,<о=°' <9>

~Г'х-о=0' (в)

1та • О -р

VI , I

»Л. ЛГ " 1 >

л*. ех, > '

+<5 X сИу(и"") . 1=0.1.И-0,1.1-1.2.3^-1.3.3; Ч 1

и"=(и".и**.и"); решение следующей задачи.-

пг оя а . и

д и. _Аг,

.1=»

оо

-I Ч<о О- <8>

. . * л оо* г оо* оо* оо* \ / о о, -.2 __. ____

где 1=1.2.3; сгз =(»э1 <сзх ); .*г- параметр задачи; *я- 5-й базисный вектор в к*. Здесь система (7)-(о) описывает распространение упругих воли в вертикально-неоднородной изотропно! среде от источника в^г(х1-х°,х1-х°.<-), система (*)-

(в) описывает первые акты рассеяния волнового поля и°", удовлетворяющего системе (7)-(а), на неоднородных включениях р1(*).

\(х) в упругую изотропную вертикально- неоднородную среду. ,

Основной предмет исследования работы составляет следующая задача.

Обратная линеаризованная трехмерная задача ЛэмОа. ПУСТЬ а=а,3 Г ) - -б^-х^б^-х"^^)^; ФУНКЦИИ

р4(х). \4(х) принадлежат такому классу функций, что к

решениям и"(х,«.,х°.х°) г. з. задачи (О-(в) применим

оператор преобразования Фурье р Опо переменным

X .X .X ,х 12 12

х1,х1,х2,х2- Требуется определить такие функции р1(х). ^(х). (х). входящие в соотношение (4), (в) для которых при *. «

1о,т] , (*1(*2)«r2. (»^.i» )«r* имеют место равенства

F [uis] (v ,v ,x ,t.a .a )¡ ^ =h (a .a ,t)."

o о э 4 1 2 э 1 2" l> =l> =o.x =+0 i4 1 2 '

x «x «x t x , ' i' z a

i z

F [u"J (i> .»> .x .1.« .01 ' =h(*,i>.t),

O O i v 1 2 9 i Í'V =OtX =+0 s 1 > 2 ' 7

X t M » X » X „ 1.2 a

1X12'-

3; параметры преобразования Фурье по перемен-

ным . xi,x2.x°,x°; u''-j-я ■> компонента решения прямой; линеаризованной задачи ЛэМба ■ (4)-(а); ^(«^«^t),, hj/.^.t), е = 2, э заданные при t е [о.тЗ, (* .« r*, С*^*» ) € функции. ■ " ,,

Сформулированную обратную задачу можно связать с решением операторного уравнения вида

Аш = ь, ' ' (10)

где а - оператор решения прямой линеаризованной задачи изотропной упругости; ь- вектор-функция информации; т- вектор - функция параметров упругой изотропной среды- В работе строится семейство регуляризирующих операторов вг, обратных к оператору а, ставящих в соответствие каждому элементу вектор- функции некоторую вектор- функцию ш, дащую регуляризованное' решение обратной линеаризованной■трехмерной задачи Лэмба.

В первой главе ¡работы „рассмотрен частный : случай сформулированной обратной задачи, который позволяет более наглядно проиллюзтрировать метод решения обратной задачи и получающиеся численные результаты решения. Причем результаты переносимы на более сложные случаи.-

Задача определения функции плотности от двух переменных в линейном приближении. ПусТЬ s =1, t (pí^-x^,, L ) = -ó(

\t(x)=o, р1=р1(1<г>ха) -такая неизвестная функция, что у решения и11 прямой линеаризованной задачи существует след u" i _ к которому применимо преобразование Фурье по

а

переменной Определить функцию р1(хг,хз). входящую в систему дифференциальных уравнений (4), для которой при-t е [о,т] имеет место равенство

F [u11] (х .v ,х .t)| = h (v Л).

X 1 4 1 2 3 "х =О.Х =+0 lv 2 ' 2 1 S

где рх - оператор преобразования Фурье по переменной х2, кг-

г >

параметр . преобразования-, ь^,«.)- известная при . (1,г><-) е 1?х[о,т] функция; и"- первая компонента.решения прямой линеаризованной задачи (4)-(в).

Пусть , Г - -<5(Ъ)хг; ^(х)=0, Х((х)гО.

Р1=Р1(хг,хз), в этом случае соотношения (4}-(в), (7)-(е) примут -вид.

» 6 -Л»'

"о<Хэ)'-- = 1-^Г р1(хг'хз5-(11)

° 3 и Лх. ■ 1 г 3 „г

¿М, ^ Л.

и"| =0 , . ' ~ . (гг)

I ч>о у '

о* I =0 . (13)

.здесь <-))- решение следующей

задачи

Л" •

р (X )—1-= (14)

и011 = О , (15)

I Ч>о 4 '

о° | = -й б(ь )/г. (16)

Пусть функцйя т(хж) определена равенством

х

а -1У2

т(ха) = X (ро«Умо(<)) (17)

о

-1

т - (•)- функция обратная к т(хз). 7(т)И(хз>(,)| г(хз)<с<т>.

Для фиксированного положительного т через п(т) обозначим мвозество вектор' - функций и(х^)=(и1(х,<.),цг(х,ь),иэ(х,1)), определенное следующим образом

щт) = ^(ЕЭхСО,Т]), . =0,

дх 2 <9х ь-ю

к 1

а а

-(-)| =0* Г> <и(х,Ъ)| и(х ,х ,х ,1)=и(х ,х .-х

гк/л* ' 4 4 1 2 3 ' 4 1 2 Э

1

и(х,Ъ)е Сх х (К2;Ь2(!Ъ<10.Т] ) П Сг(7(Т)))>. 1' 2

Рассмотрим свойства обобщенной вектор - функции им(хл), которая при скит, х « к" принадлежит классу «(т). а при ха>о; . <.<т удовлетворяет равенствам (1*)-(1в).

Имеет место следующая лемма Леша I. Пусть (*„) • хс(*„) • р0(х,) - заданные функции из-

класса Ло.ш), удовлетворяпцие условиям ^О(ха)>о. х>(ха)>о. рс(«,)>о, ^'о(.*0)ш*-'о(*0)~р'о{+0)-0; т - положительное число-. Тогда существует единственное решение прямой задачи (и,)-(1в)

и01(х,1)« Ы(Т).

Для заданного т>о введем класс вектор- функций -в , -о

и (Т)-{и=(и .и,,и.)|-и(х.Ъ)в УГ(К хК хСО.Т] ), -и1, -О,

Iх ' 4 1 2 а' ^ 1с4 ' а4 * ' ^ к Ъ*+о

± л

—(-£^1)1 »0.к»1.г,3>|-Ии-(и .и .и )|и, хСО.Т] ).

к'Ч»о 4 1 г а" ку ' , * . '

д

в* и, 0и, '

к ~ . к .

■и, | -о. —«о. к-1,г.з\.

. и • « /П *> 1 I /ГЧ .

к кЧот Л_Ч<о

Остановимся на определении свойств обобщенной вектор -функции и"(х.1), которая при о<1<т (х1.хг.хэ)«л1х^ принадлежит классу, ^(т), а при ха>о, ит удовлетворяет равенствам

(11)-(13).

Имеет место

Лемма г. Пусть т- фиксированное положительное число. х=т"*(т/2); ^0(хв). хо(ха). ро(хэ)- функции, удовлетворяпцие'

условиям лемш и01« ы(т)- решение прямой задачи (14)-(*в); Р,(хг.х1) а- - фиксированная ФУНКЦИЯ-'

Тогда существует единственное решение прямой линеаризованной^ задачи (и)-(13) и" « ^(т).

Введем следующие классы функций

£ ...

ЛГ(г.X) = ^(х2.ха) е С(К«1г+) П . ' '

л Ь2(Е))|«ирр Рх [р ] (у с 1-г,г1».

X €[0,Х] 2 /

Э

Н(Т) ■^(К2Л)«С(Й.[0,Т1)ПС([0,Т]; Ь(1!))Ь

-Ю-

Нг(г,Т> - .1h'(v,t)-«4C(R»IO;T] ) А П С([0',.т1 ; L (R))lsupp ' hr (v ,x ) с [ -г ,г] К •

1 •' . telo.TJ . ,

•Рассмотрим.-обратную • задачу- (ii)-'(i3) в случав если . "i<=V*»> и"С*.'ч-) «¿(т). известная при

•(«¿ Л),« 'RkCO.TI. ;..'..

Имеют! место следующие теоремы. Теорема i'.i.' Пусть-г,тг'фиксированные- положительные числа; • х=т"*(т/г). -Для. существования единственного решения обратной -линеаризованной- задачи р1(х1.х,) « М^.х)'необходимо, и доста-■ точно, чтобы-информащ!я h^.t) удовлетворяла условиям-, h(^.t ) « "c(Rxto;T3 )•' и .для- любого фиксированного t '•« -со.т:

' supp(h(i>^,t )') с.С-г.гЗ; •

Теорема i.a. Пусть г,т- фиксированные положительные числа; . х=т~*(т^2); ' pj(xi.xs). р*(*2.*э) в л(г,х)- решение обратной линеаризованной 'задачи,- отвэчзнйиа информации he(i-2.t)

•соответственно.- Тогда'"имеет"место.оценка устойчивости .

mix J'|pi(x2.xE)-p*(xi,x9)|dxi < .

< С пах (и> .1)-Ь<1(1> с)1> . ЧеГо^т}

-г

где'с- некоторая константа, зависящая от величин г,т и значений

функций ^(х^). Хр(хэ), ро(ха) при хэ е СО,Т].

Показано, что решение обратной задачи эквивалентно решению следующего интегрального- уравнения Водьтерра -второго рода

1X2 -

)> г. ■'рЛг>-.г"{ , .

-+ I ^(;-.<-' , ■ .«ц-—_). (18)

-i—2—-:_ + I- К (g-; t .и ) ' -- - —

- рЛг,1 (ue)) J - . * Р^т-1«))

~ .Из анализа интегрального -уравнения (18) видно, что ■ численная конструктивность ■ его решения зависит от. умения чис-. ленно находить-ядро интегрального'уравнения которое

в свою очередь является функционалом двух функций з и V. первая из которых есть фундаментальное решение задачи КоШи дифференциального оператора [а*/аь1 -а1 /а^.* к.^5, где чск,»о известная

функция, вторая находится из решения прямой задачи (i4)-(ie). в связи с выбором источников упругих колебаний специального вида (-¿tl<5(- мгновенная направленная по оси xt сила, сосредоточенная в точке (о.о.о)) решение системы (14-16) ищется из скалярного уравнения, что упрощает численное решение. В работе получены соотношения и разработаны алгоритмы нахоадения функции kt(f,t,v2> в случае ро константы и м0(*э)> р0(хэ) - заданные функции переменной хя.

В случае если существует решение р,(хг>ха) е л «= {pi(x2,xi)ec(RxRt}nc(B^;L2(R))f определяется семейство операторов вг> определенное посредством соотношения (is), и показывается (теорема 1.з, 1.4), что выполнены следующие условия: 1) при г > о оператор вг непрерывен-,

г) для всех р4 ^ л lim Brh .= pt; (предел в смысле нормы «р1«).

гчсо г

Оператор вг является регуляризируюдим по М.М. Лаврентьеву

Однопараметрическое семейство операторов в^, г > о определяется следующим образом

В = F DS , (19)

г V г V '

г

здесь f"1- оператор обратного преобразования Фурье; о- оператор 2

решения обратной задачи в классе функций лг(г,х) по информации hr(v.t) е нг(г,т), определяемый из (is); s- оператор высокочастотной фильтрации, работающий сдедущим образом

f h(u i). Iii |< г Sh(^.t)=hr{v2,t)=] 1 2 . (20)

г 2 L О, 1^2|> г

Учитывая теорему 1.1 для фиксированного г оператор в^ каждой функции h(vz,t) с Н(Т) ставит в соответствие функцию р£(*2>х3) е лг (г,х) по следующему правилу

Brh(^,t) = Р;(х2,хэ) (21)

Численный алгоритм реализован•для случаев, когда ро, -постоянные и р0, м0 - функции, зависящие от xjt

Численные эксперименты показали устойчивость работы

оператора в^ с уровнем помехи в информации 10-15«.

Во второй главе рассмотрена более общая овратная

линеаризованная трехмерная задача Лэмба. .

.Решение линеаризованной трехмерной задачи Лэмба состоит в определении правой части специального вида у системы дифференциальных уравнений Ламе по заданным, функциям от решения этой системы. ■ Единственность решения таких задач исследована в работах В. Г. Романова. В. Т. Яхно описана схема решения этой' задачи, состоящая в последовательном решении вспомогательных задач.' связанных-.с определением сначала ^(х), потом р(х) при известном р(х). ■ а затем я(х) при известных р(х), р(х). Там se получены .необходимые .и достаточные условия ' существования, и ' устойчивости решения ■ каждой из задач Для специального класса функций

Л^Сг.ХЗ = ^<х) e'C(R2xR+) П C(R+;Lz(R2))

suppF tp ] с S =CCv ,v 3<eR2, \v**v2\<rx, xelO.XDt. x x 'i г 12 12 ^ 3

12

Решение ' исходной обратной ' задачи сводится к последовательному решению следущих обратных задач. Обратная, задача I. Пусть м^х). \(х),' р1(х) е л4 = и<х) .=

с(к*хк+) п c(r+:l2(r2))}, входящие в равенства (4)-(е), неизвестные функции. Определить такую функцию i"1(x3) « для которой при i e l о.т]. (*1'v2) s умеет место равенство

F tu12] (v.v.x.t.x.x)l _ ^ =h (ж ,i> ,t),

00 1 v 1 2 Э- 1 2 ,'v =0,Х =-*-0 2- 1 2 • X , x . x . x -12 a

1.212

где ь (a^.i» ,t)- заданная при t <= [о,т] , C*,.^) « R2 функция. Обратная задача 2. Пусть функции ^(х). \(х).. ptO) о л4, входящие в равенства (4)-(в), такие,., что \(х), р1Ы)~ неизвестные. а известная функция. Определить функцию pt(x) é л . для которой при teto.T] , (*,'.»»,) R2 имеет место равенство

F lu13] fv ,-и , х ,Ъ,х )| - „ =h (* .V ,t).

оо 1 12 3 12' v=k =0, x 3v 1 2 '

х , х . x , x . 12 э

1 Z 1 2 \

где h^a^.i^.t)- заданная.при t « [о.т] . <= R2 функция. ••

Обратная задача 3. Пусть ^(х), pt(x) е- л^, входящие в равен-

ства (4)-(е): известные функции. • а \(х). ••'« - неизвестная функция. Определить функцию \(х) .« л- для которой при ь « 1о,т], в к2 имеет место равенство ...

Р [и1*] (у .V ,х .4.,* )| ■ =ь (*'.* .1),

о о 1 1 2 8 , 1 «"V «к »о,х-+о 1* I

х.х.м.х А Х 'в

1.21Х

где )- заданная при 1 е [ о. т]. (*1>*1) я к1 функция.

Схема решения каждой, из .вспомогательных обратных-.задач. - аналогична - предыдущей обратной .задаче- .определения .функции плотности -.двух -переменных. Следуя -этой - схеме строится система интегральных уравнений, позволяющих рекурентно находить значе-. ния функций V. Показывается, что определенные через

полученные интегральные уравнения операторы являются регуляри-зирушими по М. М. Лаврентьеву.

.Аналогично предыдущей4 задаче ядра интегральных уравнений зависят от функций и°* и их производных, определяемых из решения прямой задачи.(7-9) и фундаментального решения задачи Коаш . оператора (в'/вС-а'/аг1-

Алгоритм нахождения численного решения фундаментального . решения задачи Коши (е) .для оператора (ог/м.*-ас'вух -ч(у.?.т))) рассмотрен в процессе решения вспомогательных прямых ' задач при определении функции .плотности от двух переменных в • линейном-приближении.

.Функция. и°" = гххЕи°"3 ~ 0бРаз Фурье решения прямой 1 2

' задачи (7-9) В случае произвольных функций р0(*а), ^0(хв), хо ^ не удается найти- конструктивные соотношения для численного решения этой задачи в ввде интегральных уравнений. Исполь-•зование конечно- разностного метода привело к'большой потере точности. Сложность этой задачи для численного решения с удов' летворительной точностью вынуждает вводить упрощащие допущения на модель среды, что не влияет на структуру алгоритма и обоснования решения - обратной задачи. Вывод выражений для ядер интегральных уравнений и тестирование получащегося алгоритма решения обратной .задачи делается при условии р0, *-0, р0- константы.

Анализ работы алгоритма показал его принципиальную

применимость для восстановления сложнопостроенных трехмерных сред- Размер, восстанавливаемых неоднородностей полностью зависит . от времени счета и определяется параметрами регуляризации г( н.гг,' по-которым происходит усечение пространственных частот

(т-е-. решение обратной задачи ведется при l'*+lySr*+rv где v±. »^.параметры преобразования Фурье по переменным *t>*2)-

Глава э посвящена численным аспектам нахождения функций и°*. Предложен метод численного решения прямой задачи (?)-(»), •' основанный". на представлении фундаментального' решения задачи ■ • • Кош■ для системы уравнений Ламе, приведенном в книге Аки, Ричардса "Количественная сейсмология" и аналогичном, но записанном .'в несколько иной, более удобной форме, опубликованном в / , методическом "пособии, изданном в НГУ под редакцией Романова и ^ -Яхно-." - ;' •

o¡ • <-* éco ■

u 'Сх,tO =-C-ei/V 37divtCeCV t-|xp+CV Ъ/|хрбС |x|-V ti3e ) +

; , ' 4l7p 1 1 1 1 1

' +ClW5rotrotCC0CVt-|xP+CV t/-|x|5eC |x|-V t33el>.

, • 4 • 4 4 11 4 j

-Эти" соотношения, если их- записать в полярных координатах, • 'позволяют .использовать для них вместо преобразования Фурье по переменным хг преобразование Фурье-Бесселя

00

F ГдСх ,х ,х Э lCv ,v ,х Э = Zn ГгдС г, х 3 J CkrOdr ■= дС к.гЭ.

XX 11 Э 12 3 SO

Получающиеся соотношения содержат операцию однократного интегрирования в конечных пределах и прозволяют достаточно легко численно находить функции и°" и их частные производные по t и х .

а

В работе получены следующие результаты.

1. Посредством решения прямых задач специального вида получены соотношения, позволяющие находить ядра интегральных уравнений, являющихся решением многомерной обратной задачи для системы Ляме в линейном приближении в случае линеаризации вокруг констант. .

2. Для плотности, и упругих характеристик среды, аналогичных по горизонтальным пространственным переменным, разработаны алгорит-

ме-

мы численного решения многомерной обратной задачи для систеьа Ляко в линейном приближении и вспомогательна•прямых задач.

3. Доказано,'что в случае, когда неизвестные функции не.являются 'аналитическими, полученное семейство операторов решэкия многомерной обратной задачи для системы.Ляме в линейном прибли-еении. шляется регуляризирущим по М.М. Лаврентьеву.

4. Проведено численное. тестирование разработанных алгоритмов, показана принципиальная применимость данного подхода к решению многомерных обратных задач.

. ; Список работ по теме диссертации: .

i. Кошссаров В.В.. Яхно В.Г., Блинов В.Д. .Устойчивое построение коэффициента телеграфного -уравнения ло информации о фундаментальном решении- -Математические проблемы геофизики-- пряные и обратные, задачи. ВЦ СО АН СССР, Новосибирск. íssa; c.4i-so. г. Комиссаров-В.В.- Яхно В.Г. Численное'■ решение одномерной обратной, задачи' Лэмба для вертикально-неоднородной среды-деленные- методы геофизики: теория и приложения. . Новосибирск.

1S37; -С. 48-54.

' > / • . . "

3. Комиссаров В.В.. Яхно В.Г. Численное- рееение одаомэрыой

обратной задачи .Лзкба' для.' вертикально-неоднородной сроды- ^ Условно-корректные' задачи' математической физики и анализа. Красноярск, изд-во Красноярского университета, ísee, с.102-107.

4. Комиссаров' В.В.. > Яхно' В.Г: Задача определения плотности двумерного; неоднородного вклхяения в вертикально-неоднородную . упругую среду.--Новосибирск. ísea. -44с. ' (Препринт-АН СССР Сиб. ОТД-ЕИе К?И; М 13). -

s. Комиссаров B.B.-, Яхно В.Г. Лшеаризовзнная обратная задача определения плотаости двумерного неоднородного включения в вертикально- • неоднородную ■ упругую среду. ✓✓ Математическое моделирование в геофхзике,." Новосибирск, 1039, -с. 120-1 лл. о. Комиссаров В.В. .Линеаризованная обратная динамическая задача упругости определения функции • плотности. " Исследования по условной корректности задач математической физики- Новосибирск,

1089, -C-lOa-118.

7. Комиссаров В.В. Алгоритм численного решения многомерной

обратной ■ задачи для системы Ламе в. линейном приближении.-•'.<" Условно-корректные задачи математической 'физики и анализа.., Тезиса докладов. Новосибирск, 1.оог-, -с. изэг .•'--, а. Комиссаров В.В., Яхно В.Г. Формулы фундаментального•ропения • и его частных производных з. образах Фурье;для системы урашеёнй' Лэмэ./<. Математическое- моделирование .в - геофизике. Труды. ВЦ- СО' РАН,■ БШ." 2.* Новосибирск, 1993, С. 65-71.