автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы решения некоторых одномерных и трехмерных обратных задач вертикального сейсмического профилирования (ВСП)

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Мельников Георгий Юрьевич

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ОДНОМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ВЕРТИКАЛЬНОГО СЕЙСМИЧЕСКОГО ПРОФИЛИРОВАНИЯ (ВСП)

05.13.18 — математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им, М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор А. В. Баев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. С. Барашков

кандидат физико-математических наук, доцент В. В. Тихомиров

Ведущая организация: Центральная геофизическая экспедиция (ЦГЭ)

Защита состоится "_" _ 2005 г. в 14— на заседании

диссертационного совета К 501.001 07 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу:

119992, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-ой учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ

Автореферат разослан "_

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук доцент

В.М. Говоров

тчо

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Традиционная схема ВСП использует сейсмические колебания (как продольные, так и поперечные волны), регистрируемые датчиками, размещенными в зонде, в стволе скважины. Взрывной или акустический источник колебаний расположен вблизи устья (верхней точки) скважины на дневной поверхности или, как правило, слегка заглублен. Основной характеристикой геологического разреза, определяемой в методе ВСП, является акустическая жесткость среды или ее импеданс, т. е. коэффициент отражения границ слоистой структуры. Восстановление (в геофизике пользуются термином прогнозирование) границ тонкослоистых геологических разрезов осадочных толщ чрезвычайно важно для установления тектонических и литолого-стратиграфических характеристик зональных структур в процессе неф-тегазорайонирования.

Практика региональной геофизической разведки показала эффективность одномерных моделей исследуемых сейсмических сред для широкого класса приложений. Обычно в качестве модели осадочных толщ рассматривают параллельно-слоистую упругую среду, причем, если нет явных признаков наклонности границ раздела слоев, они считаются параллельными дневной поверхности.

В приложениях все чаще встречаются задачи, для которых одномерной модели среды оказывается недостаточно. Обработка данных с удаг ленных пунктов возбуждения, бурение криволинейных скважин, горизонтальное бурение, наличие в районе скважины линз, выклиниваний или других сложных геологических структур требуют более детальных моделей. Основная задача, которую решают с помощью двух- и трехмерных моделей среды — обратная задача уточнения отражающих характеристик среды. В геофизике для этой задачи применяют термин миграция сеймических данных. В работе рассматривается упрощенный

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

С.Псрр«ярг /у 3

»э ¡/т щ

вариант миграции, так называемое проектирование сейсмических данных на модель. Результат проектирования можно рассматривать как линейное приближение полной миграции. При удовлетворительных результатах обработки метод требует на порядок меньших машинных ресурсов.

Отличительная черта обратных задач, связанных с исследованием математических моделей реальных процессов, состоит в том, что характер дополнительной информации определяется возможностями эксперимента. Другим важным фактором, влияющим на решение обратных задач, является наличие погрешностей экспериментальных данных. Вследствие этого многие задачи оказываются некорректно поставленными. Развитие теории обратных и некорректно поставленных задач, появление высокопроизводительной вычислительной техники позволили практически решить многие задачи обработки данных ВСП.

Цель работы состоит в постановке и исследовании обратных одномерных задач просвечивания и рассеяния скалярных волн в неоднородных и поглощающих средах, прямых и обратных задач в рамках трехмерных анизотропных блочных моделей среды, практическом решении ряда прямых и обратных задач вертикального сейсмического профилирования в скважинной разведочной геофизике, построении комплекса программ для применения этих решений.

Научная новизна, теоретическое и прикладное значение работы заключены в следующем:

1. Данные ВСП являются результатами сейсмических наблюдений, которые характеризуются неточной и неполной заданностью. Как следствие, многие задачи ВСП оказываются некорректно поставленными. В работе исследованы обратные задачи просвечивания и рассеяния для одномерной гиперболической системы с поглощением. Доказана единственность одновременного определения коэффициентов отражения и поглощения, а также формы сигнала. Предложены устойчивые алго-

ритмы решения этих задач.

2. Методы ВСП позволяют получить информацию о геофизической среде, находящейся на достаточном удалении от скважины. При обработке подобной информации одномерной модели среды часто оказывается недостаточно. В работе рассмотрена анизотропная трехмерная блочная модель геофизической среды. Поставлены прямые и обратные задачи в рамках этой модели, предложены методы решения.

3. В настоящее время требуется, чтобы данные ВСП обрабатывались в сжатые сроки и с заданным качеством. От программных комплексов, используемых в геофизике, требуются простота и удобство применения, работа в гетерогенных сетях, возможность коллективной обработки. В работе рассмотрен комплекс программ, созданный для решения прямых и обратных задач ВСП, удовлетворяющий этим требованиям.

Обоснованность и достоверность полученных в работе результатов следуют из математической строгости постановки и решения математических задач, а также из успешных примеров практического применения ряда результатов диссертации.

Практическая значимость. Необходимость всс более детального прогнозирования геологических структур требует учета новых факторов при построении моделей процессов распространения сейсмических волн. Среди этих факторов можно выделить два весьма важных: невозможность непосредственного измерения колебаний источника и учет затухания сейсмических волн в осадочных породах. Хотя коэффициент поглощения среды и форма импульса источника не представляют значительного самостоятельного интереса, в целом они существенно влияют на результаты интерпретации в методе ВСП. В диссертации предлагаются методы учета этих факторов, пригодные для практического применения.

В работе рассматриваются трехмерные блочно-однородные модели сред. Этот подход является логичным следствием одномерной модели

плоскопараллельными границами раздела сред. Кроме того, с помощью блочных моделей можно описать достаточно сложные структуры — линзы, выклинивания и прочее. На базе этого подхода был написан комплекс программ для решения прямых и обратных трехмерных задач ВСП, включенный в пакет программ обработки данных ВСП UNIVERS. Пакет написан и работает под семейством операционных систем UNIX и достаточно широко используется при обработке данных ВСП.

Основные результаты работы заключены в следующем:

1. Исследованы обратные задачи просвечивания и рассеяния ВСП для неоднородных диссипативных сред. Для этих задач доказаны единственность одновременного определения коэффициентов отражения и поглощения, а также формы сигнала.

2. Предложены методы приближенного решения задач просвечивания и рассеяния ВСП, разработаны устойчивые численные алгоритмы решения этих задач, представлены примеры решения модельных задач.

3. Предложена анизотропная трехмерная блочная модель геофизической среды. Поставлены прямые и обратные задачи в рамках этой модели, разработаны алгоритмы и методы решения этих задач.

4. Создан комплекс программ для решения прямых и обратных трехмерных задач ВСП. Приведены примеры модельного и практического применения пакета.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на всероссийских конференциях по обратным и некорректно поставленным задачам в 1998-2000 годах и на семинарах по обратным задачам в МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ, их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы (69 наименований). Работа изложена на 114 страницах и содержит 18 рисунков.

2. Содержание работы

Во введении дан общий обзор рассматриваемых задач, содержится характеристика методов, рассматриваемых в диссертации, кратко изложены содержание работы и основные полученные результаты.

В первой главе рассмотрены математические модели ВСП, построенные'на основе гиперболической системы уравнений для одной пространственной переменной.

В п. 1.1 приведен вывод канонической системы уравнений, описывающей распространение плоской волны в одномерной неоднородной среде

Прямая задача для системы состоит в нахождении в области О — | 0 < х < Х^ > 0} функций и(х,Ь) по заданным

г(х),а(х) € (кусочно непрерывным на отрезке функциям). На-

чальные условия в задаче имеют вид

граничные условия —

»(0,0 = + ¿>0, <?(*)€ С1 [0,оо), <р(0) ф 0,

____(3)

ь(Х,*) = аи(Х,{), И < 1,

В качестве решения в работе рассмотрены обобщенные в смысле распределений функции.

Дополнительными данными при постановке обратных задач является информация вида

у{х,г) = №~х), и(х,г) =/2(1-х), o<^<x + tf<oo, (4)

где X — оптическая глубина пункта регистрации сигнала, X) = 0, 3 = 1,2 при 4 < X, а является длиной отрезка, на котором определены функции /х и /2.

Щ + Щ + (*{?) + а(х))и = 0, щ-их- (г(х) - сг(х))у = 0.

(1)

у(х, 0) = и{х, 0) = 0, х > 0,

(2)

Первая обратная задача состоит в восстановлении в задаче (1)-(3) с известным или неизвестным источником колебаний <p(t) коэффициентов z(x), а{х) по дополнительной информации (4) на отрезке X < х < X. Это задача прогноза вниз, или обратная задача рассеяния.

Другая задача состоит в восстановлении коэффициентов системы уравнений (1) на отрезке 0 < х < X с известным или неизвестным источником колебаний ip(t). Это задача прогноза вверх, или задача просвечивания. Будем различать два варианта задачи: с заданной ¡p(t) и сp(t) — финитной неизвестной функцией. В последнем случае <p(t) также подлежит восстановлению.

В п. 1.2 приведены результаты, которые используются в дальнейшем для исследования обратных задач. Дано определение преобразования (правостороннего) Лапласа для обобщенной в смысле распределений функции, получаются значения параметра преобразования р, при которых возможно преобразование Лапласа функций-решений исследуемой гиперболической системы. Получено разложение в ряд по коэффициентам гиперболической системы элементы матрицы фундаментальных решений w°(x,t), разложение имеет вид

Показана равномерная сходимость этих рядов в области О = {(ж, £) | Щ<х< X}. Доказана лемма о связи между кусочной непрерывностью

Uk(x,t) = - Г (2(0 - <7(0) x + t-О di, йо(x,t) - S(x + t), v0(x,t)=6(x-t),

между коэффициентами системы (3) и членами ряда.

Лемма 1.1 Если z(x) € С[0,Х], а(х) е С[0, X], то йп(Х, t) € С[-Х, X] при п > 2.

В п. 1.3 рассмотрена обратная задача рассеяния с известным или неизвестным источником колебаний для системы с поглощением. Доказана теорема единственности.

Теорема 1.1 Если tf > 4(Х — X) — AT, то обратная динамическая задача имеет не более одного решения.

В п. 1.4 рассмотрена обратная задача просвечивания для гиперболической системы. Доказана единственность восстановления коэффициентов уравнения на отрезке.

Теорема 1.2 Пусть 2Х > АХ + К, К = supp^(i) и tf > А(Х - X). Тогда обратные задачи просвечивания с известным или неизвестным источником имеют не более одного решения.

В рамках теоремы доказано, что уравнение

¡■2Х

- fi(t)-f2(t~2X)+ / [h(t - t)wx(t) - h{t - t)w2(t)} dr (6) Jo

имеет единственное решение относительно функций wi, иь.

В главе 2 изучены некоторые методы решения рассмотренных в первой главе задач, как точные, так и приближенные. Предложены численные методы решения, представлены результаты численного моделирования.

В п. 2.1 приводятся методы решения обратной задачи рассеяния для гиперболической системы уравнений. Для случая с поглощением приведен линеаризованный оптимизационный метод с учетом априорной информации о коэффициентах уравнения вида

at(x) < or(x) < a*(x), z,(x) < f z(£) d£ < z*(x).

Jo

Для случая системы без поглощения

vt + vx + z{x)u = О,

(?)

щ-их- z(x)v — О

приведен оптимизационный метод решения задачи. Коэффициент отраг жения z(x) € ¿2 [О, X] находится как минимум функционала

J'(z) = g(2x) + f K(x,t)g(t)dt, 0<х< Х/2, J 2х

где g(t) — fi(t)(uz(0,t) — /e(i)), fi(t) — произвольная функция, удовлетворяющая аксиомам нормы и

rt—x

К(х, t) — 2v(x, t — х) + I [v(x, r)v(x,t — т) — u(x, r)u(x,t — r)] dr,

v(x,t) = v(x,t) — S(t — x).

В п. 2.2 предложен способ приближенного решениия обратной задачи просвечивания без поглощения. В этом случае для функций w\, wi из (6) верно соотношение w\(x) = W2(2X—х), 0 < х < 2Х, а это уравнение принимает вид

г2х

0 = /i(i)-/2(i-2X)+ / i/i (i - t)Wi (r) -h{l- t)Wi (t - r)] dr, t>0 Jo

Рассмотрим разложение в ряд функции Wi(t), следущее из (5):

00

w1(t) = v(X,t) = Y,^X>t)- №

71—1

Функцию Zk(x) назовем k-м приближением решения задачи Во, если z/i(x) удовлетворяет функциональному уравнению

к

Y^üt(x,X;zk) =Wi(t), (9)

»=i

получающемуся из ряда (8) отбрасыванием членов, начиная с /с+ 1. Здесь й,(Х, £; г^) = щ(Х, 4), а коэффициент отражения в равенствах (5) равен г*(х).

Если к — 1, то есть рассматриваются однократно отраженные волны, имеем линейное приближение, называемое также борновским:

Определим класс функций ^¿[О,X]. Обозначим прямое преобразование Фурье функции / значком /, а обратное — /.

Определение. Функция г(х) принадлежит классу ¿2,е[0, X], если существует функция 21(3?) € Ь2[0, X] такая, что г(х) =

Теорема 2.1 Решете 03 (7), (2), (3) В0 в борновском приближении существует и единственно. Если г{х) е С[О, X], то г(х) — гв(х) е С[0,Х]. Если же г(х) е ^¡О, X], то г(х) - гв(х) е /,2,2е[О,X].

В п. 2.3 рассматривается послеборновское приближение г2(х) решения задачи Во, при котором учитываются первые два члена разложения (9):

(х) = щ(Х, х; г2(х)) + й2(Х, х; г2(х)). Доказана теорема, аналогичная теореме 2.1.

Теорема 2.2 Решение обратной задачи Во (7), (2), (3) в послебор-новском приближении существует для любой корректно-определенной функции №1(4) и любого г(х), если только )£ХХ,р)| / 1. Если 2 > \г(х)\, 0 < х < X и X удовлетворяют соотношению 1X2 < 1, то решение задачи Во единственно и кусочно-непрерывно. При этом г(х) - 22(х) 6 С1 [О,XI, если же кроме того г(х) е 0,Х], то г(х) - г2(х) € Ь2,2г[0,Х].

гг{х)

(1 + \х\)Ф1

В п. 2.4 приведены численные методы решения исследованных задач и результаты вычислительных экспериментов.

Обратная задача просвечивания с поглощением при численном решении сведена к переопределенной системе линейных уравнений. Для решения этой, вообще говоря некорректной, задачи, использован регу-ляризационный метод получения нормального псевдорешения, который сводится к решению системы уравнений (А* А + ц£) = А*/, где £ — единичная матрица, ¡л > 0.

Решение задачи просвечивания в послеборновском приближении сведено к уравнению

26(Т, 2Г - 4) = -г{1) + -1- Г ' + 4) С а > 0,

i+aJо

где а — параметр регуляризации, такой, что 2TZ (I + а)~г < 1. Для последнего уравнения относительно г(х) предложено решение методом Ньютона.

В главе 3 исследованы математические методы, позволяющие решать задачи ВСП в трехмерных постановках. Рассмотрены блочно-однород-ные модели сред. Этот подход является логичным следствием одномерной модели плоско-параллельными границами раздела сред. Кроме того, с помощью блочных моделей можно описать достаточно сложные структуры — линзы, выклинивания и другие.

В п. 3.1 рассмотрена модель распространения волн в трехмерной анизотропной среде, поставлены трехмерные прямые задачи.

При отсутствии внешних воздействий распространение волн в однородной анизотропной трехмерной средае описывается системой уравнений

Е3 \ З2"* п тот

к,Р,д=1 ОХк°Хр т (10)

. _ 1 \к,рд —

В работе рассматриваются плоские волны, т.е. решения системы уравнений (10) вида

и = Аехр{г/г(пг — vt},

где

з

А = ^2 Akh, к = кп, |п| = 1, V = vn, Jfc=l

k,v обозначают волновое число и скорость распространения. А называется вектором поляризации.

Рассмотрим безграничную среду, характеризующуюся параметрами Кк,рд- Пусть в точке х° в момент времени t = 0 в направлении (а, 8), заданном в сферических координатах, начинает действовать направленный источник колебаний

X|t=0 = Х° = const, pW|t=0 = р&г)(а, 6) =

Щ '(а, 5)

где п° — нормаль к фронту распространения волны типа г, координаты которой определяются соотношениями

п\ = sin a cos 6, т^ = sin a sin S, п\ = COSQ,

Vq^ — скорость распространения волны в начальный момент времени, однозначно определяемая параметрами Хгк,рд и п°, р^ — начальный вектор рефракции. Кроме того, пусть задана функция /(£), /(f) = 0, t < 0, определяющая форму импульса возбуждения.

Под задачей распространения волны в однородной среде понимается расчет полей t). В некоторых случаях результатом решения этой

задачи считаются также лучевые скорости распространения

Другой задачей является задача на отражение-преломление плоских волн на границе раздела двух трансверсально изотропных упругих полупространств. В этом случае рассмотрены два полупространства с номерами п = 1 и п = 2, находящиеся в жестком контакте друг с другом,

разделенные плоской границей. Из полупространства п = 1 на границу раздела падает в направлении (а, 6) монохроматическая волна типа г с фазовой скоростью гА', вектором рефракции лучевой скоростью Под задачей отражения-преломления (ОП) понимается восстановление всех параметров (фазовой скорости, лучевой скорости, векторов рефракции, векторов поляризации) отраженных и преломленных волн всех типов, порожденных падающей волной. При этом должны выполняться, во-первых, уравнения движения в каждой из сред п = 1 и 2, во-вторых, условия излучения, в-третьих, на границе полупространств должны оставаться непрерывными полные векторы смещений и напряжений.

Зададим в области моделирования координаты Хо сосредоточенного источника возбуждения и начальные лучевые параметры. Задачей распространения луча по модели называется задача построения луча, идущего из заданной точки в заданном направлении, отражающегося от границы и имеющего до отражения тип г\, а после — гг.

Волновые поля, обрабатываемые в ВСП, являются результатами измерений, и как правило задаются дискретно и по времени, и по пространству. Дискретность задания по пространству вызвана конечным количеством расположенных в скважине приемников, регистрирующих сейсмические колебания. Дискретность по времени является следствием того, что регистрация колебаний приемниками производится не непрерывно, а с интервалом дискретизации. Поэтому прямые задачи ВСП целесообразно формулировать для дискретных функций. Прежде, чем перейти к постановкам задач, приведем необходимые определения.

Обозначим через ¿2/ множество конечных последовательностей точек трехмерного пространства (хх, ...,хдг), N < оо, х< € К3, 0 < г < N. Множеством Т) назовем множество последовательностей вида (¿1, N < оо, и € Е, «о > 0, и > 0 < г < N.

Множество X € П/ представляет собой координаты глубинных при-

емников сейсмических данных, в которых волновые поля заданы либо требуют расчета, множество Т е Т/ описывает моменты времени, в которых амплитуды колебаний известны либо требуют расчета.

Прямая динамическая задача ВСП состоит в нахождении по заданной модели и источнику возбуждений волнового поля и всех типов волн, как падающих, так и однократно отраженных в заданных точках х € X, X £ /?/ в моменты времени < е Г, Т 6 Т/. В данном случае под волновым полем понимается функция и(х, заданная на множестве {(х,*) : х е Х,Х € € Т,Т £ 7».

Прямой кинематической задачей ВСП называется расчет по модели функции Л(х). х £ X, X € /2/ времен прихода падающей волны в каждую точку х € X.

В п. 3.2 изучены прямые задачи ВСП в трехмерной анизотропной среде. Решение поставленных задач исследовано в нулевом приближении лучевого метода. При этом составляющие щ поля смещений объемной волны в окресности ее фронта t — т(ха) — 0 представлены в виде

щ{ха, Ь) = К(г„)/[< - т(ха)}, * = 1,2,3,

амплитудная функция У{(ха) от времени 4 не зависит.

Предложены формулы расчета амплитудно-временных параметров луча при распространении волны в однородной среде, преломлении луча на границе двух сред, при смене типа волны.

Для задачи распространения луча в рамках блочно-однородной модели среды приведен алгоритм решения.

В п. 3.3 предложен один из способов миграции — метод проектирования волнового поля по блочно-однородной модели среды основанный на методах решения прямой задачи, рассмотренных ранее.

Пусть заданы априорная модель среды М и поле однократно отраженных волн и(х, £), х € X, X € f2f, £ е Т, Т € 7}. Под решением обратной задачи ВСП, или изображением среды, будем понимать вы-

числение z(y) по формуле

PMu(x,i) = z(y), XG X£Of, teTeTf, y GYeQf.

Оператор проектирования Рм устанавливает соответствие между значением сеточной функции u(x, t) и породившими его точками из Y с коэффициентами отражения z(у), у 6 Y. Под значением z(у) понимается коффициент отражения при нормальном падении на границу в точке у.

Для однозначности оператора Рм на модель M накладываются ограничения. Во-первых, все волны, как прямая из источника, так и отраженные, должны иметь единственный путь распространения из источника в любую точку х £ X. Во-вторых, та часть волнового поля, которая подвергается проектировнию не должна содержать головных волн. Их влияние должно быть исключено на этапе предварительной обработки.

В параграфе предложен алгоритм проектирования данных ВСП на модель, удовлетворяющую наложенным ограничениям.

В п. 3.4 представлены результаты численных экспериментов по решению прямой и обратной задач ВСП, а также результаты обработки реальных данных ВСП.

В четвертой главе описан пакет программ, предназначенный для решения трехмерных прямых и обратных задач ВСП, использующий рассмотренные в третьей главе алгоритмы и являющийся частью вычислительного комплекса UNIVERS.

В п. 4.1 рассмотрена библиотека классов на языке С++, предназначенная для представления трехмерной модели в памяти и вызова различных вычислительных процедур.

В п. 4.2 описана библиотека процедур на языке FORTRAN, которая предоставляет вычислительные блоки для решения прямых и обратных задач ВСП.

В п. 4.3 рассмотрен граф обработки данных ВСП, место в нем представленного пакета программ.

3. Основные результаты работы

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Баев A.B., Мельников Г.Ю. Численное прогнозирование неоднородной геологической среды с поглощением в методе ВСП. М.: «Диалог-МГУ». В сб. (тезисы докладов всероссийской конференции по обратным и некорректно поставленным задачам. Москва, 1998): Обратные и некорректно поставленные задачи. 1998. С. 7.

2. Баев A.B., Головина С.Г. Мельников Г.Ю. Решение обратной трехмерной динамической задачи сейсмики в борновском приближении. М., «Диалог-МГУ». В сб. (тезисы докладов всероссийской конференции по обратным и некорректно поставленным задачам. Москва, 1999): Обратные и некорректно поставленные задачи. 1999. С. 9.

3. Баев A.B., Мельников Г.Ю. Решение обратных задач распространения волн в борновском и послеборновском приближении. М.: «Диалог-МГУ». В сб. (тезисы докладов всероссийской конференции по обратным и некорректно поставленным задачам. Москва, 2000): Обратные и некорректно поставленные задачи. 2000. С. 9.

4. Baev А. V., Melnikov G. Yu. Inverse dissipative problems in vertical seismic profiling. Utrecht, Tokyo: VSP. Jour, of Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. Vol. 7. № 3. P. 201-220.

5. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2001611778 "Интегрированная система обработки и интерпретации геолого-геофизических данных "("ЮНИВЕРС"). 24 декабря 2001.

6. Мельников Г.Ю. Об одном алгоритме решения прямых и обратных 30-задач вертикального сейсмопрофилирования. М.: Издательство МАКС-Пресс, Прикладная математика и информатика, май 2005, Xs 20, С. 106-124.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 18.10.2005 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 667. Теп. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

»20 3 80

РНБ Русский фонд

2006-4 19040

Введение

Глава 1. Одномерные математические модели в методе В СП

1.1. Постановка прямых и обратных задач ВСП в вертикально-неоднородных средах

1.2. Некоторые аспекты математического исследования задач ВСП и вспомогательные утверждения

1.3. Единственность решения обратной диссипативной задачи рассеяния при прогнозировании вниз по данным ВСП

1.4. Единственность решения обратной диссипативной задачи просвечивания при прогнозировании данных ВСП вверх

Глава 2. Методы решения обратных задач ВСП в вертикально-неоднородных средах

2.1. Динамическая инверсия сейсмических данных в полной и линеаризованной постановке

2.2. Решение обратной задачи просвечивания в борновском приближении

2.3. Существование и единственность решения обратной задач просвечивания в послеборновском приближении

2.4. Численные методы решения обратных задач ВСП и результаты вычислительных экспериментов

Глава 3. Решение прямых и обратных задач ВСП в трехмерных неоднородных средах

3.1. Теоретические аспекты распространения упругих волн в трехмерной анизотропной среде

3.2. Постановка и решение прямой векторной задачи ВСП в трехмерной среде. Лучевой подход

3.3. Обратная трехкомпонентная динамическая задача В СП и ее реше

3.4. Результаты численных экспериментов по решению прямых и обратных задач ВСП

Глава 4. Комплекс программ обработки трехкомпонентных данных ВСП

4.1. Структура комплекса, служебные библиотеки

4.2. Программная реализация алгоритмов слежения луча

4.3. Описание программ и графа обработки 106 Литература

ВВЕДЕНИЕ

1. Обзор проблемы

В настоящее время наиболее распространенными методами разведки нефти и газа являются: глубинные исследования скважины (ГИС) — комплекс микросейсмических, электрических и других методов, позволяющих проводить детальные исследования скважины с точностью разрешения до нескольких сантиметров вдоль ствола скважины, наземная сейсморазведка — метод, позволяющий получить изображение разреза на больших площадях, до нескольких десятков километров, но имеющий точность разрешения порядка десятков метров, и ВСП, позволяющий в некоторых своих модификациях добиваться разрешения в один метр.

Поскольку работы по закладке новой скважины являются высокозатратными, цена ошибки при интерпретации результатов разведки очень велика. Поэтому в настоящее время большое распространение получают методики разведки, использующие данные ГИС, ВСП и наземной сейсморазведки совместно. ВСП лежит на стыке методов и позволяет произвести связку данных наблюдений всех трех видов друг с другом.

Существует два основных способа проведения работ методом ВСП: с использованием ближнего пункта взрыва (классические методы) и с использованием удаленных пунктов взрыва (ПВ). Данные наблюдений с ближнего ПВ позволяют получить информацию непосредственно о среде вблизи скважины. Удаленные пункты взрыва используются для получения информации о разрезе в некоторой окрестности скважины (как правило, на удалении равном половине расстояния от скважины до ПВ).

Особое значение метод ВСП приобретает в горной местности, где проведение работ методом наземной сейсморазведки затруднено, а результаты малоэффективны из-за сложной тонкослоистой структуры залегающих пластов.

Основы метода ВСП были заложены и развиты в работах Е. И. Гальперина [13,14]. Традиционная схема ВСП использует сейсмические колебания (как продольные, так и поперечные волны), регистрируемые датчиками, размещенными в зонде, в стволе скважины. Взрывной или акустический источник колебаний расположен вблизи устья (верхней точки) скважины на дневной поверхности или, как правило, слегка заглублен. Используется также схема с отнесенным от устья скважины источником. Принципиально другой тип возбуждения связан с расположением источника в забое (нижней точке) скважины, таковым может быть, например, долото бура. Основной характеристикой геологического разреза, определяемой в методе ВСП, является акустическая жесткость среды или ее импеданс, т. е. коэффициент отражения границ слоистой структуры. Восстановление (в геофизике пользуются термином прогнозирование) границ тонкослоистых геологических разрезов осадочных толщ чрезвычайно важно для установления тектонических и литолого-стратиграфических характеристик зональных структур в процессе нефтегазорайонирования. Другим важным применением метода явлется изучение океанского дна [54,62]. В этом случае приемники подвешиваются к бую, расположенному на морской поверхности, и используется акустический источник колебаний.

ВСП является активно развивающимся методом геофизической разведки. Необходимость все более детального прогнозирования геологических структур требует учета новых факторов при построении моделей процессов распространения сейсмических волн. Среди этих факторов можно выделить два весьма важных: невозможность непосредственного измерения колебаний источника и учет затухания сейсмических волн в осадочных породах. Используемые в настоящее время в методе В СП математические модели предполагают задание временных параметров источника колебаний. Непосредственные измерения вблизи него затруднены ввиду больших амплитуд смещений, однако, можно считать источник конечным по длительности воздействия. Поэтому при геофизической интерпретации используют либо некоторый стандартный параметрически описываемый импульс (например, импульс Берлаги), либо импульс, регистрируемый на некотором удалении от источника колебаний (на момент взрыва вся измерительная аппаратура временно шунтируется). Ясно, что использование таких импульсов вносит существенные искажения в интерпретацию регистрируемых сейсмических трасс. Другим важным фактором, требующим учета, является поглощение энергии и затухание сейсмических волн при распространении их в реальных геологических средах. Неучет диссипативных процессов приводит к искажению значений акустических импедансов прогнозируемых разрезов. Хотя коэффициент поглощения среды и форма импульса источника не представляют значительного самостоятельного интереса, в целом они существенно влияют на результаты интерпретации в методе В СП. В [2, 7] предлагаются методы, позволяющие учитывать вышеозначенные факторы.

Несмотря на всю сложность процессов распространения упругих волн в неоднородных геологических структурах, представляющих осадочный чехол земной коры, практика региональной геофизической разведки показала эффективность одномерных моделей исследуемых сейсмических сред для широкого класса приложений. Обычно в качестве модели осадочных толщ рассматривают параллельно-слоистую упругую среду, причем, если нет явных признаков наклонности границ раздела слоев, они считаются параллельными дневной поверхности.

Актуальность темы В В СП применяются новые технические решения улучшающие разрешенность исходных данных, ставятся новые одномерные и трехмерные задачи. Эти задачи должны решаться быстро и устойчиво. В диссертации рассматриваются одномерные и трехмерные задачи, возникающие в рамках математических моделей в методе В СП, комплекс программ, реализующий методы решения трехмерных задач.

Цель работы состоит в постановке и исследовании обратных одномерных задач просвечивания и рассеяния для гиперболической системы на полупрямой, прямых и обратных задач в рамках трехмерных анизотропных блочных моделей среды, практическом решении ряда прямых и обратных задач вертикального сейсмического профилирования в скважин-ной разведочной геофизике, построении комплекса программ для применения этих решений.

Научная новизна, теоретическое и прикладное значение работы заклю-J чены в следующем:

1. Данные ВСП являются результатами сейсмических наблюдений, которые характеризуются неточной и неполной заданностью. Как следствие, многие задачи ВСП оказываются некорректно поставленными. В работе исследованы обратные задачи просвечивания и рассеяния для одномерной гиперболической системы с анизотропией. Доказана единственность одновременного определения коэффициентов отражения и поглощения, а также формы сигнала. Предложены устойчивые алгоритмы решения этих задач.

2. Методы ВСП позволяют получить информацию о геофизической среде, находящейся на достаточном удалении от скважины. При обработке подобной информации одномерной модели среды часто оказывается недостаточно. В работе рассмотрена анизотропная трехмерная блочная модель геофизической среды. Поставлены прямые и обратные задачи в рамках этой модели, предложены методы решения.

3. В настоящее время требуется, чтобы данные ВСП обрабатывались в сжатые сроки и с заданным качеством. От программных комплексов, используемых в геофизике, требуются простота и удобство применения, работа в гетерогенных сетях, возможность коллективной обработки. В работе рассмотрен комплекс программ, созданный для решения прямых и обратных задач ВСП, удовлетворяющий этим требованиям.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на всероссийских конференциях по обратным и некорректно поставленным задачам (Москва, 1998, 1999, 2000), на семинарах кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ. Пакет программ, описанный в диссертации, применяется на практике.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Баев А.В., Мельников Г.Ю. Численное прогнозирование неоднородной геологической среды с поглощением в методе В СП. М.: «Диалог-МГУ». В сб. (тезисы докладов всероссийской конференции по обратным и некорректно поставленным задачам. Москва, 1998): Обратные и некорректно поставленные задачи. 1998. С. 7.

2. Баев А.В., Головина С.Г. Мельников Г.Ю. Решение обратной трехмерной динамической задачи сейсмики в борновском приближении. М., «Диалог-МГУ». В сб. (тезисы докладов всероссийской конференции по обратным и некорректно поставленным задачам. Москва, 1999): Обратные и некорректно поставленные задачи. 1999. С. 9.

3. Баев А.В., Мельников Г.Ю. Решение обратных задач распространения волн в борновском и послеборновском приближении. М.: «Диалог-МГУ». В сб. (тезисы докладов всероссийской конференции по обратным и некорректно поставленным задачам. Москва, 2000): Обратные и некорректно поставленные задачи. 2000. С. 9.

4. Baev А. V., Melnikov G. Yu. Inverse dissipative problems in vertical seismic profiling. Utrecht, Tokyo: VSP. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. Vol. 7. № 3. P. 201-220.

5. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2001611778 "Интегрированная система обработки и интерпретации геолого-геофизических данных" ("ЮНИВЕРС"). 24 декабря 2001.

6. Мельников Г.Ю. Об одном алгоритме решения прямых и обратных ЗБ-задач вертикального сейсмопрофилирования. Прикладная математика и информатика, 2005, М.: МАКС-Пресс.

3. Содержание работы

Во введении дается общий обзор рассматриваемых задач, содержится характеристика методов, рассматриваемых в диссертации и кратко излагается содержание работы и основные полученные результаты.

В первой главе рассматриваются математические модели ВСП, построенные на основе гиперболической системы уравнений для одной пространственной переменной.

В п. 1.1 приведен вывод канонической системы уравнений, описывающей распространение плоской волны в одномерной неоднородной среде. Для этой системы дано определение обобщенного решения в смысле распределений. Поставлены прямая и обратные задачи, которые исследуются в первых двух главах.

В п. 1.2 приведены результаты, которые будут использоваться в дальнейшем для исследования обратных задач. Дается определение преобразования (правостороннего) Лапласа для обобщенной в смысле распределений функции, получаются значения параметра преобразования р, при которых возможно преобразование Лапласа функций-решений исследуемой гиперболической системы. Раскладываются в ряд по коэффициентам гиперболической системы элементы матрицы фундаментальных решений. Показывается равномерная сходимость этих рядов. Исследуется связь между гладкостью членов ряда и коэффициентов системы.

В п. 1.3 рассматривается обратная динамическая задача с известным или неизвестным источником колебаний для системы с поглощением. Доказывается теорема единственности решения.

В п. 1.4 рассматривается обратная задача просвечивания для гиперболической системы. Доказывается единственность восстановления коэффициентов уравнения на отрезке при условиях, налагаемых на значения коэффициентов на полупрямой.

Во второй главе диссертации рассмотрены методы решения одномерных обратных задач.

В п. 2.1 приводятся методы решения обратной динамической задачи для гиперболической системы уравнений. Для случая с поглощением приведен линеаризованный оптимизационный метод с учетом априорной информации о коэффициентах уравнения. Для случая системы без поглощения приведен оптимизационный метод решения задачи.

В п. 2.2 обратная задача просвечивания рассматривается в борнов-ском приближении. Показана единственность и исследована зависимость гладкости борновского приближения решения от гладкости коэффициента отражения рассматриваемой системы уравнений.

В п. 2.3 рассматривается послеборновское приближение решения обратной задачи просвечивания. Приведены условия единственности и исследована гладкость приближенного решения.

В п. 2.4 приводятся численные методы решения исследованных задач и результаты вычислительных экспериментов.

В третьей главе рассматриваются задачи распространения волн в трехмерной неоднородной среде в рамках лучевого приближения.

В и. 3.1 рассматривается модель распространения волн в трехмерной анизотропной среде, ставятся прямые и обратные задачи, которые исследуются в главе.

В п. 3.2 изучается прямая векторная задача ВСП в трехмерной анизотропной среде. Исследовано лучевое приближение решения. Предложена блочно-однородная модель среды, для которой разработан алгоритм решения прямой задачи.

В п. 3.3 предложен алгоритм решения обратной задачи ВСП, рассмотрены условия применимости алгоритма.

14

В п. 3.4 представлены результаты численных экспериментов по решению прямой и обратной задач ВСП, а также результаты решения задач по реальным данным ВСП.

В четвертой главе описывается пакет программ предназначенный для решения трехмерных прямых и обратных задач ВСП, использующий рассмотренные в третьей главе алгоритмы и являющийся частью вычислительного комплекса UNIVERS.

В п. 4.1 рассматривается библиотека классов на языке С+ +, предназначенная для представления трехмерной модели в памяти и вызова различных вычислительных процедур.

В п. 4.2 описывается библиотека процедур на языке FORTRAN, которая предоставляет вычислительные блоки для решения прямых и обратных задач ВСП.

В п. 4.3 рассматривается граф обработки данных ВСП, место в нем представленного пакета программ.

1. Алексеев А. С. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. С. 9-84.

2. Баев А. В. Метод решения обратной динамической задачи сейсмики с поглощением // Прямые и обратные задачи матем. физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. С. 26-30.

3. Баев А. В. Об одной постановке обратной задачи для волнового уравнения и итерационном методе ее решения // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. No 4. С. 818-821.

4. Баев А. В. О решении обратной задачи для волнового уравнения на отрезке методом последовательных приближений // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. No 6. С. 1354-1357.

5. Баев А. В., Бугиков С. Н. Численное решение обратной задачи для волнового уравнения методом регуляризованного обращения разностной схемы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1986. No 4. С. 52-54.

6. Баев А. В., Куценко Н. В. Решение обратной обобщенной задачи вертикального сейсмопрофилирования

7. Баев А. В., Солтан И. Е. Обратная задача прогнозирования неоднородной среды по данным вертикально-сейсмического профилирования // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37. No 6. С. 723-732.

8. Баранов В., Кюнетц Г. Синтетические сейсмограммы с многократными отражениями // Проблемы сейсмической разведки. М.: Гостоптехиздат, 1962. С. 179-188.

9. Бек К. Экстремальное программирование. СПб.: Питер, 2002.

10. Благовещенский А. С. Об обратной задаче теории распространения сейсмических волн // Проблемы матем. физики. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1966. С. 68-81.

11. Брукс Ф. Мифический человеко-месяц или как создаются программные системы. СПб.: Символ-Плюс, 2000.

12. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

13. Гальперин Е. И. Вертикальное сейсмическое профилирование. М.: Недра, 1971.

14. Гальперин Е. И. Вертикальное сейсмическое профилирование на этапе разведки и эксплуатации месторождений // Докл. АН СССР. 1980. Т. 253. No 6. С. 1347-1349.

15. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

16. Годунов С. К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

17. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. ВЯ гола А. Г.РегуляризирующиеИ алгортмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.

18. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994.

19. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Мат. сб. 1963. Т. 61 (103). No 2. С. 211-223.

20. Исакович М. А. Общая акустика. М.: Наука, 1965.

21. Каштан Б. М. Теория плоских волн в анизотропных упругих средах и ее приложения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ленинград, 1980.

22. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976.

23. Кристиансен Т., Торкингтон Н. Perl. Библиотека программиста, СПб, 2000

24. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

25. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1966. Т. 171. No 6. С. 1279-1281.

26. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969.

27. Лаврентьев М. А., Шабат В. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965.

28. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

29. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

30. Никольский С. М. Приближение функция многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977.

31. Петрашенъ Г. И. и др. Распространение объемных волн и методы расчета волновых полей в анизотропных средах. Сборник научных трудов. JL: Наука, 1984.

32. Петровский А. Командный язык программирования TCL (Tool Command Language), М., 2001.

33. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.

34. Романов В. Г. Об одной постановке обратной задачи для обобщенного волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1968. Т. 181. No 3. С. 554-557.

35. Романов В. Г. Теорема единственности одномерной обратной задачи для волнового уравнения // Матем. проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1971. Вып. 2. С. 100-142.

36. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972.

37. Романов В. Г. Одномерная обратная задача для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1973. Т. 211. No 5. С. 1083-1084.

38. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1973.

39. Романов В. Г. Задача об определении коэффициентов линейной гиперболической системы // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. No 1. С. 94-103.

40. Романов В. Г. Об одной постановке обратной задачи для симметрических гиперболических систем первого порядка // Мат. заметки. 1978. Т. 24. No 2. С. 231-236.

41. Романов В. Г. О единственности решения одной задачи для гиперболических систем первого порядка // Мат. заметки. 1978. Т. 24. No 3. С. 359-366.

42. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

43. Романов В. Г., Кабанихин С. И., Пухначева Т. П. Обратные задачи электродинамики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984.

44. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

45. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.

46. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

47. Соммервилъ И. Инженерия программного обеспечения. М.: Вильяме, 2002.

48. Страуструп Б. Язык программирования С++. М., 2004.

49. Титчмарш Э. Теория функций. М.: Гостехиздат, 1951.

50. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР.

51. Тихонов А. Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода. 1964. Т. 156. No 6. С. 1296-1299.

52. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151. No 3. С. 501-504.

53. Baev А. V., Melnikov G. Yu. Inverse dissipative problems in vertical seismic profiling //Щ Jour, of Inverse and Ill-Posed Problems, Volume 7, No. 3, 201-221.

54. Benson J., Chapman N., Antoniou A. Geoacoustic model inversion using artificial neural networks // Inverse Problems 16 (2000) 1627-1639.

55. Browning B. L. Time and frequency domain scattering for the one-dimensional wave equation // Inverse Problems 16 (2000) 1377-1403.

56. Blagoveshenskii A. S., On a nonselfadjoint inverse boundary value problem on matrix form for a hyperbolic equation. In: Plenum Press, New York, 1972, 5.

57. Claerbout J., Doherty S. Downward continuation of moveout-corrected seismograms //Щ Geophysics, 37, 1972, 741-768.

58. Gazdag J. Wave equation migration with phase-shift method // Geophysics, 43, 1978, 1342-1351

59. Gray S.H., Etgen J., Dellinger J., Whitmore J. Seismic migration problems and solutions // Geophysics, 2001, 66, 1622-1640.

60. L. Hormander Linear Partial Differential Operators. Springer-Verlag, Berlin, 1963.

61. Maeland E. Seismic migration in Stratified Media. Geoscience and Remote Sensing // IEEE Transactions on, Volume:29, Issue: 5, Sept 1991, Pages 798-800.

62. Manell Z., Chevret P. Neural network approach for inverting velocity dispersion; application to sediment and to sonar target characterization

63. Mayne W. 1962, Common reflection point horizontal data stacking techniques. Geophysics, 27, 1962, 927-938.

64. McMechan, G.A. Migration by extrapolation of time-dependent boundary values // Geophys. Prosp., 31, 1983, 413-420.

65. Schneider W. Developments in seismic data processing and analysis (1968-190) // Geophysics, 36, 1971, 1043-1073.

66. Schneider, W.A. Integral formulation for migration in two and three dimensions // Geophysics, 43, 1978, 49-76.

67. Stolt R. H. Migration by Fourier transform // Geophysics, 43, 1978, 23-48.

68. Sushil J., Qinxue Chen, Pullammanappallil S. Seismic Velocity Inversion with Genetic Algorithms.

69. Qii Zhongfang. Distributed Parameter System Identification and Its Application to Geophysical Parameter Identification. Industrial Technology, 1994. Proceedings of IEEE International Conference on, 799-802.