автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование волновых процессов в гетерогенных твердых деформируемых средах

4859570

КВАСОВ Игорь Евгеньевич

НА-

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ГЕТЕРОГЕННЫХ ТВЕРДЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О НОЯ 2011

МОСКВА-2011

4859570

Работа выполнена на кафедре информатики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Петров Игорь Борисович

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Холодов Александр Сергеевич

кандидат физико-математических наук, доцент Клосс Юрий Юрьевич

Ведущая организация:

Институт вычислительной математики (ИВМ) РАН

Защита состоится «■/ » 2011 г. в часов на

заседании диссертационного/ совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу:

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разослан «¿О» &7С/пхЕ^А. 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук ^ > Федько О. С.

Общая характеристика работы Актуальность темы

В современном мире с высокоразвитой энергоемкой индустрией задачи добычи энергоносителей (углеводородов) из земных недр имеют особый приоритет. Разумеется, эти проблемы являются многоотраслевыми, включающими такие аспекты, как:

- экспериментальное изучение распространения волн в существенно неоднородных (слоистых, градиентных, пористых, трещиноватых, флюидонасыщенных) породах;

- разработка технологий получения сейсмограмм как в твердых породах, так и шельфовых зонах;

- разработка технологий эксплуатации скважин; математическое моделирование;

- разработка математических методов решения обратных задач для выявления неоднородностей в породах;

- создание механико-математических моделей поведения углеводо-родсодержащих пород, описывающих их поведение в условиях различных динамических воздействий;

- реализация механико-математических моделей работы скважины, находящейся в породе;

- создание вычислительных методов для численного решения динамических многомерных систем уравнений механики сплошных сред (в первую очередь, систем уравнений упругости и гидродинамики); как известно, это уравнения в частных производных гиперболического типа;

- разработка вычислительных алгоритмов и расчетных программ для компьютеров;

- распараллеливание вычислительных алгоритмов для численного решения задач на высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных системах; к ним относятся задачи моделирования взрывных процессов в породах для инициирования сейсмических волн; распространения, отражения, переотражения, рассеивания, дифракции упругих волн, получения расчетных сейсмограмм; решение обратных задач;

- визуализация и интерпретация полученных результатов.

\

В диссертации решаются задачи сейсморазведки, которая представляет собой объединенный набор методов исследования геологического строения земной коры, базирующихся на исследовании распространения в ней упругих волн, возбуждаемых тем или иным, в первую очередь, искусственным путем.

В диссертации используется сеточно-характеристический численный метод, обладающий высоким порядком аппроксимации для повышения точности вычислений, но в то же время не являющийся осциллирующим. Подобные методы были успешно разработаны для одномерных задач и обобщены на двумерный случай (неструктурированные и регулярные четырехугольные сетки). Обобщение метода на нерегулярные сетки (как треугольные, так и тетраэдральные) представляет огромный интерес и является предметом диссертации.

При решении сложных пространственных задач с большим количеством неоднородностей остро встает вопрос скорости вычислений. Современные требования таковы, что исследование практически важных прикладных задач невозможно без использования параллельных вычислений на высокопроизводительных компьютерах. В диссертации также уделено внимание этому аспекту.

Цели работы

1. Исследование волнового отклика от субвертикальной макротрещины.

2. Исследование свойств трещиноватого пласта, построение осред-ненной модели.

3. Исследование многослойных геологических сред.

4. Исследование обратных задач сейсморазведки.

5. Исследование безопасности жилищных и промышленных сооружений.

6. Теоретическое обоснование условия линейного проскальзывания Шонберга, связывающего деформации и напряжения на трещине.

Научная новизна

1. Выполнена адаптация сеточно-характеристического метода на тетраэдральные сетки со вторым порядком аппроксимации.

2. Реализован комплекс программ для исследования динамических волновых задач в неоднородных телах, в том числе, в многослойных, перфорированных, кавернозных и трещиноватых средах как в одномер-

ном и двумерном случаях (на треугольных сетках), так и в трехмерном случае (на тетраэдральных и параллелепипедных сетках).

3. Проведено распараллеливание численного метода как на регулярных (параллелепипедных), так и нерегулярных (треугольных и тетраэдральных) сетках.

4. Выполнено теоретическое обоснование условия линейного проскальзывания Шонберга в случае нормального падения волны на трещину.

5. Проведено сравнение двумерных и трехмерных результатов моделирования трещиноватого пласта, что показало применимость двумерных расчетов в данной задаче, так как они дают не только качественно совпадающий с трехмерным расчетом результат, но и хороший количественный результат, отличающийся от результатов трехмерного моделирования не более чем на 30%.

6. Исследованы свойства отклика от макротрещины. Был сделан ряд практически важных для сейсморазведки выводов:

a. исследован характер отраженных и дифрагированных волн при различных параметрах макротрещины (наклон, протяженность, заполнение);

b. показана важность использования горизонтальной компоненты скорости на приемниках;

c. продемонстрирована возможность использования дуплексной волны при изучении макротрещин;

(1. предложены способы определения наклона, протяженности и заполнения макротрещины.

7. Исследованы свойства трещиноватого пласта, в частности, получены зависимости отклика от плотности расположения трещин, от протяженности пласта, от количества трещин, от заполнения трещин, от расположения начального возмущения и его частоты. Для исследования отклика было введено понятие анизотропии отклика, показывающее степень асимметрии отраженного сигнала относительно вертикальной плоскости.

8. Построена осредненная модель трещиноватого пласта, как изотропная, так и анизотропная. Получены зависимости продольной и поперечной скорости звука от количества трещин в пласте.

9. Исследованы особенности распространения волн в многослойных геологических средах. Удалось идентифицировать все отраженные и

кратные волны при количестве слоев, равном 20, и избежать нефизич-ных осцилляций (т.е. все полученные волны являются результатами отражений от границ слоев), что говорит о высокой точности метода.

10. Предложен метод определения механических характеристик неф-тенасыщенного резервуара в двумерном случае на основе численного решения прямой и обратной задач сейсморазведки.

11. Исследовано воздействие волн, возникающих в результате землетрясения, на наземные конструкции: жилищные и промышленные сооружения. Задача решена, начиная с моделирования начального возмущения, возникающего в гипоцентре землетрясения, и заканчивая моделирования воздействия приходящих к поверхности волн, включая определение областей возможных разрушений.

Практическая ценность

Созданный комплекс программ, позволяющий проводить численное моделирование сложных пространственных задач сейсморазведки, дает возможность чаще обращаться к помощи численного моделирования, замещая дорогостоящий полевой эксперимент. В условиях исчерпания существующих месторождений нефти и газа поиск и сейсморазведка новых месторождений становятся особо актуальными. Численное моделирование волнового отклика, обусловленного отражением падающего фронта от кавернозных и трещиноватых зон в массивных породах, показало важность использования горизонтальной составляющей скорости на приемниках отраженного сигнала, возможность использования дуплексной волны при изучении макротрещин, позволило предложить способы определения наклона, протяженности и заполнения макротрещины. Использование численного моделирования существенно ускоряет процесс совершенствования интерпретации данных сейсморазведки, так как позволяет получать закономерности изменения волнового отклика существенно точнее, быстрее и дешевле по сравнению с привычным полевым экспериментом.

Другим важным практическим результатом является возможность определения областей разрушений наземных сооружений при воздействии на них волн, возникших в результате землетрясения, что имеет огромную ценность при проектировании зданий и предсказаний последствий землетрясений.

Работа поддержана рядом государственных и коммерческих грантов:

1. Программа (мероприятие): федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг., в рамках реализации мероприятия № 1.2.1 «Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук». Проект: «Разработка вычислительных технологий для моделирования пространственных динамических процессов в проблеме сейсморазведки на высокопроизводительных ЭВМ»;

2. Федеральное государственное унитарное предприятие «Российский Федеральный Ядерный Центр - Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики (ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ»)». НИР5. «Разработка физико-математических моделей, алгоритмов и эффективных методов решения задач механики сплошных сред на супер-ЭВМ», 2011-2012 гг.;

3. Грант РФФИ 11-01-12011-офи-м-2011. Разработка численных методов для решения задач геомеханики и сейсморазведки на многопроцессорных вычислительных системах, 2011 -2012 гг.;

4. «Разработка технологии поиска трещино-кавернозных коллекторов сложнопостроенных залежей углеводородов с применением специализированного высокопроизводительного программно-технологического комплекса». ГШ.ЖШСИ. 00123-01 34 01-1. Проведение тестовых испытаний метода и программы, разработанных для суперкомпьютера SUNFire 15000, на синтетических данных, 2009-2011 гг.

5. Small or medium-scale focused research project (STREP) proposal ICT EU-Russia Coordinated Call. FP7-2011-EU-Russia, 2011-2012 y.

6. Грант РФФИ 0-01-92654-ИНД_а. Математическое моделирование сложных задач на высокопроизводительных вычислительных системах. 2010-2011 гг.

7. Договоры Шлюмберже-МФТИ № DPG.55229907.00397 и № DPG.55229907.00398. Наименование проектов: «Разработка численных алгоритмов для решения динамических задач теории упругости в трещиноватых геологических средах с использованием сеточно-характеристического метода и метода конечных элементов», «Разработка численных методов расчета волновых полей вблизи скважины».

Публикации

Научные результаты диссертации опубликованы в 38 работах, из которых 8 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ [10, 12, 13, 22, 33 34 35, 36].

Апробация

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

1. Научные конференции Московского физико-технического института - Всероссийские молодёжные научные конференции с международным участием «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе» (МФТИ, Долгопрудный, 2006 - 2011);

2. XVIII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2011» (МГУ, Москва, 2011);

3. Международная конференция «Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» (ВЦ РАН, Москва, 2010);

4. Indo-Russian workshop "High Performance Computing in Science and Technologies" (C-DAC, Pune, India, 2010);

5. XII и XIII международные семинары «Супервычисления и математическое моделирование» (РФЯЦ - ВНИИЭФ, Саров, 2010, 2011);

6. XVI международная научно-практическая конференция «Комплексная безопасность 2011 г.» (МЧС, Москва, 2011);

7. Российско-индийский семинар «Новые достижения математического моделирования» (ИАП РАН, Москва, 2011).

8. V Международная конференция «Математические идеи П.Л. Че-бышева и их приложение к современным проблемам естествознания», (Обнинск, 2011).

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных семинарах в следующих организациях:

1. Югорский научно-исследовательский институт информационных технологий (Ханты-Мансийск, 2010);

2. Геологический факультет МГУ (Беломорская биологическая станция МГУ, Белое море, 2010);

3. ОАО «Центральная геологическая экспедиция» (Москва, 20082011);

4. Институт автоматизации проектирования РАН (Москва, 2009, 2011);

5. Всероссийский научно-исследовательский институт по проблемам гражданской обороны и чрезвычайных ситуаций МЧС России (федеральный центр) (Москва, 2011);

6. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина (Москва, 2011);

7. Институт вычислительной математики РАН (Москва, 2011);

8. 7-я рамочная программа научных исследований и технологического развития Евросоюза, международный семинар «Европа-Россия» (Брюссель 2010, Роснаука 2011);

9. Геологический факультет МГУ (Москва, 2010);

10. ОАО «Лукойл» (Москва, 2011);

11. ОАО «Нефтяная компания "Роснефть"» (Москва, 2010, 2011);

12. Научно-образовательный центр «Нефтегазовый центр МГУ» (Москва, 2010);

13. ООО «Деко-геофизика» (Москва, 2010);

14. Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики (Саров, 2011).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем диссертации составляет 270 страниц. Список использованных источников содержит ссылки на 177 публикаций.

Содержание работы Введение

Во введении показывается актуальность использования численного моделирования в сейсморазведке, дается обзор методов численного моделирования прямых задач сейсморазведки, обосновывается выбор сеточно-характеристического численного метода решения задач сейсморазведки.

Глава 1

Для описания геологических пород в диссертации используется модель линейно упругого твердого тела. В данной главе формулируется система дифференциальных уравнений в частных производных механики деформируемого твердого тела:

ру = У-о

Здесь р и А., /л - константы упругого материала: плотность и параметры Ляме соответственно. Переменными являются V - скорость дви-

жения среды в данной точке, и о - симметричный тензор напряжений Коши. V - оператор градиента, I - единичный тензор, = , ® - оператор тензорного произведения:

Для удобства построения численного метода система записывается в следующем виде:

дй

] V

А/--

= о,

где А;. - квадратные матрицы с постоянными коэффициентами, а в вектор и собраны переменные системы:

й = {V, о}т = {у', V2, V3,С7П,<т22,(Т33,0-23,0-13,а12 }Т .

Для каждой матрицы А существует разложение: ПА = АП,

где Л - диагональная матрица собственных значений А, П - матрица собственных векторов А. Далее проводится спектральное исследование матриц, целью которого является аналитическое представление этого разложения. Полученное разложение используется для вывода явных формул расчета узлов сетки следующего временного слоя (как внутренних, так и граничных) сеточно-характеристическим методом. Глава 2

В данной главе формулируется алгоритм расчета узлов нерегулярной сетки следующего временного слоя сеточно-характеристическим методом.

На каждом шаге по времени случайным образом выбираются ортогональные направления расщепления (|,,|2,|3). В этом базисе определяется вид исходной системы уравнений. Далее последовательно рассматриваются три системы вида й + А, Ц- = 0 . После замены переменных V = £1й необходимо лишь решить ряд независимых уравнений переноса \>; + Ау = 0 :

Здесь в правой части равенства стоит восстановленное с помощью интерполяции в треугольнике значение с предыдущего временного слоя в точке пересечения его характеристикой уравнения, проходящей через [rk,tn+x)-

Далее описывается параллельная реализация сеточно-характеристического метода с использованием технологий Open MP и MPI.

Реализация с помощью Open MP заключается в распараллеливании основного цикла пересчета узлов следующего временного слоя. Пересылок данных не требуется, так как используется механизм общей памяти. Несмотря на свою простоту, распараллеливание с помощью Open MP эффективно. Так, с использованием четырехъядерного процессора эффективность составляет около 85%.

Реализация с помощью MPI существенно сложнее, однако позволяет добиться эффективного использования большего количества процессоров. Вся область интегрирования разбивается на количество частей (доменов), равных количеству процессоров. Внутренние узлы каждого домена могут быть обсчитаны без обмена данными с другими процессорами, так как для расчета значения функции на следующем временном слое в некотором узле сетки требуется знать значение функции лишь в соседних с данным узлах сетки текущего временного слоя. Для облегчения обсчета граничных узлов домена хранится еще один слой узлов сетки, который не обсчитывается, а лишь используется для обмена данными с соседними доменами. Использование MPI позволяет запускать вычислительную программу на кластере с 64 процессорами, достигая эффективности в 80%. Глава 3

Для математического моделирования сейсмических откликов от трещиноватых углеводородсодержащих геологических пород в сейсмологии традиционно используют осредненные модели или модели с эффективными коэффициентами среды, что влечет за собой необходимость введения некоторых эмпирических коэффициентов (например, коэффициенты податливости породы), дополнительных гипотез (например, гипотеза линейного проскальзывания).В данной главе исследуется возможность аналитического решения задачи распространения волновых полей в породах с трещинами на основании системы уравнений механики деформируемого твердого тела без введения каких-либо эмпи-

рических параметров. В случае нормального падения волнового фронта на флюидонасыщенную трещину (что эффективно делает задачу одномерной) удается доказать справедливость условия линейного проскальзывания Шонберга, а также получить аналитическое выражение для коэффициента податливости породы.

В одномерном случае система уравнений линейной упругости записывается следующим образом: ди _ дз

— = (Я + 2^)—' 5/ к ^' дх

Пусть левая граница трещины имеет координату 0 , а правая граница - координату (1. Введем понятие смещения точки как интеграл от скорости этой точки по времени:

I

о

Назовем раскрытием трещины величину

Определим среднее значение напряжения 5 на трещине как 1 л

.у*(7) = — ^{х^ск.

"о

Далее доказывается следующее соотношение:

Таким образом, среднее напряжение на трещине прямо пропорционально раскрытию трещины. Коэффициент пропорциональности называется податливостью трещины:

а

Глава 4

Исследуются свойства макротрещин - нарушении сплошности породы без существенного смещения стенок относительно длинной оси. Их роль в фильтрационных свойствах продуктивных резервуаров весьма

значительна, что определяет важность оценки их пространственного положения и характеристик. Решаются следующие задачи:

1. Выяснение состава и особенностей волн, формирующих сейсмический отклик от субвертикальной макротрещины при регистрации на дневной поверхности продольных и обменных волн.

2. Оценка влияния на характер волнового отклика параметров субвертикальных макротрещин и свойств вмещающих пород.

Также получаются и исследуются так называемые дуплексные волны, возникающие в результате двух отражений падающего фронта:

Рис. 1.

На рисунке показано проявление дуплексного отражения от макротрещины при возбуждении типа плоский фронт (в модульном представлении). 1 - отраженный фронт; 2 - дифрагированная продольная волна (Дрр); 3 - дифрагированная обменная волна (Дрв); 4 - дифрагированная продольная волна, связанная с прохождением отраженного фронта (Дрр*); 5 - дифрагированная обменная волна, связанная с прохождением отраженного фронта (Дрз*); 6 - дуплексное отражение (РРР); 7 - паразитная волна от боковой границы.

По результатам исследования делается ряд практически важных для сейсморазведки выводов о свойствах отраженных, дифрагированных и дуплексных волн, а также о применимости тех или иных методик их исследования.

Глава 5

В этой главе исследуются свойства трещиноватого пласта - серии субвертикальных макротрещин. Источником начального возмущения служит приповерхностный взрыв. Анализируется поток энергии ] = -а • г) через верхнюю половину окружности радиуса Я -1,5 км , описанной около центра трещиноватого пласта, находящегося на глубине Н = 2 км.

Для характеристики несимметричности отклика было введено понятие анизотропии отклика:

а-—-

Е^Е/

где а - анизотропия отклика, Е1 - энергия левой части отклика, Ек - энергия правой части отклика.

По результатам исследования были сделаны следующие выводы:

1. При неизменном количестве трещин при увеличении отношения расстояния между трещинами к длине одной трещины от 0.5 до 4.0, начиная с некоторой плотности расположения трещин (соответствующий отношению 3.0), величина отраженной энергии перестает меняться, а анизотропия отклика выходит на устойчивый уровень. Это объясняется тем, что начиная с этого расстояния между трещинами волновые процессы внутри трещиноватого пласта практически полностью отсутствуют, все трещины «работают» независимо.

2. При неизменной протяженности пласта и при увеличении количества трещин от 3 до 21 наблюдается возрастание энергии отклика при увеличении плотности расположения трещин, связанное с тем, что из-за небольшого угла между направлением распространения импульса и ориентацией трещин пласт трещин фактически прозрачен для падающей волны: трещины не перекрывают весь пласт полностью, а с увеличением плотности расположения трещин возрастает степень «непрозрачности» пласта, что приводит к большему отражению сигнала.

3. При изменении частоты падающего сигнала изменения анизотропии отклика практически не происходит.

Также в этой главе исследуется возможность построения осред-ненной модели трещиноватого пласта. Трещиноватый пласт заменяется прямоугольником однородной среды, и методами глобальной оптимизации подбираются такие параметры этой среды, что отклик на поверхности земли от трещиноватого пласта и от осредненного прямоугольника оказываются максимально близкими. Исследуются зависимости параметров осредненной модели (продольная и поперечная скорости звука в осредненном прямоугольнике) от высоты пласта и угла падения плоского фронта.

Наконец, проводится сравнение 20 и ЗБ расчетов (геометрия области, начальные условия и другие параметры задачи совпадают). Дан-

ное сравнение показывает, что расхождение полученных результатов составляет не более 30%. Таким образом, двумерный расчет дает не только качественно верный результат, но и хорошие количественные оценки. Следовательно, при исследовании трехмерных динамических процессов в геологических средах вполне можно использовать двумерные расчеты. Это позволяет существенно ускорить время расчета и уменьшить затраты на хранение и обработку данных. Глава 6

Исследуются многослойные геологические среды, состоящие из I большого количества слоев с различными упругими характеристиками.

При определенных параметрах слоев в двухслойной среде (скорость I звука в верхнем слое больше скорости звука в нижнем слое) удается получить эффект «головной волны», по форме напоминающей конус Маха (рис. 2, слева). В двухпериодическом композите были получены вихревые волны (рис. 2, справа).

Рис. 2. Головная волна (слева), вихревые волны (справа).

Исследуются многослойные геологические среды, соответствующие реальным нефтяным месторождениям, с числом слоев до 20. При этом на сейсмограмме, регистрируемой на приемнике, расположенном у поверхности земли, удается выделить отраженные волны от каждой границы раздела сред и показать отсутствие паразитных волн, что говорит о высокой точности используемого метода. Глава 7

В данной главе изучается обратная задача численного моделирования: требуется определить положение неоднородностей (трещин) в земной коре. Рассматривается упрощенный вариант данной задачи: имеется заполненная жидкостью трещина заданной протяжённости, расположенная во вмещающем массиве с известными упругими характеристиками. Тогда вектор г неизвестных параметров, определяющий геометрию области, содержит лишь две компоненты: глубина залегания трещины к, \ < к < к2, и угол ее наклона а, а,<а<а2.

Одной из особенностей данной задачи является то, что информацию можно получать лишь из экспериментальных измерений, для получения которых используется акустическое зондирование. На поверхности земли в точках х( располагается серия сейсмоприёмников, на которых в моменты времени фиксируются вертикальные компоненты

скорости частиц Уу в отраженной волне. Ищется такое значение

г , чтобы численно моделируемый отклик Уу наименьшим об-

разом отличался от экспериментального.

Таким образом, рассматриваемая задача формулируется как оптимизационная задача наименьших квадратов: тш/(г), гб/) = [/г1;/г2]х[а];а2],

I 1

Функция I (г) не имеет аналитического представления, и получение ее значений связано с проведением трудоемких численных экспериментов. Для решения задачи применяется ряд быстрых методов глобальной оптимизации, разработанных для подобного класса сложных многоэкстремальных задач. Глава 8

В этой главе проводится исследование распространения упругих волн в жилищных конструкциях, моделируемых кубической областью с равномерной периодической структурой кубических полостей. В центре одной из боковых граней происходит взрыв. Изучается прохождение упругой волны через здание, в частности, подробно рассматриваются эффекты, возникающие при достижении упругой волной противоположной грани (эффект тыльного откола).

Рис. 3. Эффект тыльного откола.

В данной главе также исследуется процесс распространения упругих волн, возникающих в процессе землетрясения, в гетерогенных средах. Проводится анализ влияния упругих волн на прочность наземных сооружений. Задача решается с момента возникновения начального возмущения в гипоцентре землетрясения до момента прохождения всех образующихся в результате землетрясения волн через здание. На основе критерия Мизеса определяются области разрушения здания.

Заключение

В заключении подробно изложены основные результаты и выводы диссертации.

Основные результаты и выводы диссертации

1. Выполнена адаптация сеточно-характеристического метода на случай тетраэдральных сеток.

2. Создан комплекс программ для решения ряда задач механики деформируемого твердого тела. Комплекс программ включает в себя: а), программу для задания входных данных (геометрия расчетной области, граничные и контактные условия, начальные условия, формат выходных данных); б), собственно вычислительные программы - одномерные, двумерные (на треугольных сетках), трехмерные (на тетраэдральных и параллелепипедных сетках); в), программу визуализации волновых полей; г), программу построения сейсмограмм.

3. Выполнено распараллеливание вычислительных программ с помощью технологий Open MP и MPI. Выполнена оптимизация вычислительных программ с помощью методов агрессивной оптимизации, позволившая добиться высокой скорости счета даже на одном процессоре.

4. Решен ряд практически важных задач сейсморазведки:

а), выполнено теоретическое обоснование условия линейного проскальзывания Шонберга в случае нормального падения волны на трещину;

б), исследованы свойства отклика от макротрещины; в), исследованы свойства трещиноватого пласта, показана применимость двумерных расчетов в данной задаче, построена осредненная модель трещиноватого пласта; г), исследованы особенности распространения волн в многослойных геологических средах.

5. Предложен метод определения механических характеристик неф-тенасыщенного резервуара в двумерном случае на основе численного решения прямой и обратной задач сейсморазведки.

6. Исследовано воздействие волн, возникающих в результате землетрясения, на наземные конструкции.

Список публикаций соискателя по теме диссертации

1. Квасов И.Е., Петров КБ. Численное исследование волновых процессов в перфорированных деформируемых средах. // Труды 49 научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. М.: «Солар», 2007. С. 69 - 70.

2. Квасов И.Е., Петров КБ., Челноков Ф.Б. Расчет волновых процессов в неоднородных пространственных конструкциях. // Сборник научных трудов «Моделирование процессов обработки информации». М.: МФТИ, 2007. С. 4-15.

3. Квасов КЕ. Расчет волновых процессов в неоднородных пространственных конструкциях. // Труды 50-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 1. М.: МФТИ, 2007. С. 50-51.

4. Самоваров О.И., Николаев A.B., Гетъман А.О., Квасов КЕ. Технология использования вычислительной кластерной системы МФТИ-60 для численного моделирования. - М.: МФТИ, 2007. 45 с.

5. Квасов КЕ., Петров КБ. Численное исследование пространственных волновых процессов с использованием неструктурированных сеток. // Сборник научных трудов «Моделирование и обработка информации». М.: МФТИ, 2008. С. 15-18.

6. Квасов КЕ. Численное исследование волновых процессов в задаче приповерхностного взрыва. // Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. М.: МФТИ, 2008. С. 23 - 26.

7. Кожевников КО., Квасов И.Е., Петров КБ. Численное исследование пространственных волновых процессов с использованием кубических сеток в кластерных средах на многопроцессорных машинах. // Сборник научных трудов «Модели и методы обработки информации». М.: МФТИ, 2009. С. 32-35.

8. Агаханов С.Н., Квасов КЕ. Численное исследование волновых процессов с использованием неструктурированных сеток. // Сборник

научных трудов «Модели и методы обработки информации». М.: МФТИ, 2009. С. 36 - 39.

9. Панкратов С.А., Квасов И.Е., Петров КБ. Численное моделирование многослойных пород в задачах геофизики. // Сборник научных трудов «Модели и методы обработки информации». М.: МФТИ, 2009. С. 40-44.

Ю.Квасов И.Е., Петров КБ., Челноков Ф.Б. Расчет волновых процессов в неоднородных пространственных конструкциях. // Математическое моделирование, 2009, т. 21, № 5, с. 3 - 9.

11 .Квасов К.Е. Численное исследование динамических процессов в геологических средах с коридорами и кластерами трещин сеточно-характеристическим методом. // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 3. М.: МФТИ, 2009. С. 21-24.

12.Квасов К.Е., Панкратов С.А., Петров КБ. Численное моделирование сейсмических откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом. // Математическое моделирование, 2010, т. 22, № 9, с. 13 - 22.

13. Квасов К.Е., Панкратов С.А., Петров И.Б. Численное исследование динамических процессов в сплошной среде с трещиной, инициируемых приповерхностным возмущением, сеточно-характеристическим методом. // Математическое моделирование, 2010, т. 22, № 11, с. 109 -122.

14.Кожевников КО, Квасов И.Е., Петров И.Б. Расчет пространственных динамических процессов в трещиноватых геологических средах. // Сборник научных трудов «Информационные технологии: модели и методы». М.: МФТИ, 2010. С. 45 - 51.

15. Агаханов С.Н., Квасов И.Е., Панкратов С.А. Численное исследование осредненных моделей неоднородных сред в задачах геофизики сеточно-характеристическим методом. // Сборник научных трудов «Информационные технологии: модели и методы». М.: МФТИ, 2010. С. 12 -21.

16. Агаханов С.Н., Квасов И.Е. Численное построение осредненной модели трещиноватого пласта в геологической среде. // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных

и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 2. М.: МФТИ, 2010. С. 4 - 7.

\1. Голубев В.И., Квасов Д.Е., Квасов И.Е. Определение положения сейсмогеологических трещин при помощи численных методов глобальной оптимизации. // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 2. М.: МФТИ, 2010. С. 20 -22.

18. Голубев В.И., Квасов И.Е. Численное моделирование землетрясений в различных геологических породах. // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 2. М.: МФТИ, 2010. С. 22 - 23.

19. Квасов И.Е. Численное исследование анизотропии отклика приповерхностного возмущения от трещиноватого пласта. // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 2. М.: МФТИ, 2010. С. 28 - 30.

20.Квасов И.Е. Аналитическое обоснование условия линейного проскальзывания на трещине. // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 2. М.: МФТИ, 2010. С. 30-31.

21. Квасов И.Е., Санников A.B., Фаворская A.B. Численное моделирование пространственных динамических процессов сеточно-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках. // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 2. М.: МФТИ, 2010. С. 32 - 36.

22. Квасов И. Е., Петров И. Б., Санников А. В., Фаворская А. В. Компьютерное моделирование пространственных динамических процессов сеточно-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках. // Информационные технологии. 2011. №9. С. 28 - 30.

23.Квасов И.Е. Численное моделирование волнового отклика от субвертикальных макротрещин. // Ломоносов - 2011: XVIII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых; секция «Вычислительная математика и кибернетика»: Москва, МГУ

имени М.В. Ломоносова, 11-15 апреля 2011 г.: Сб. тезисов. Сост. Позд-неев А.В., Суворов М.В., Шевцова И.Г. М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ; МАКС Пресс, 2011. С. 125 - 126.

24.Квасов И. Е., Санников А. В., Фаворская А. В. Сеточно-характеристический метод на неструктурированных тетраэдральных сетках для решения задач сейсморазведки и сейсмологии. // М.:МФТИ, Сб. трудов МФТИ: Математические модели и задачи управления. 2011. С. 80-86.

25.Голубев В.И., Квасов И. Е., Петров КБ. Численное моделирование упругих волн, распространяющихся из гипоцентра землетрясения, и их воздействие на промышленные и жилые сооружения // М.:МФТИ, Сб. трудов МФТИ: Математические модели и задачи управления. 2011. С. 87 - 93.

26.Агаханов С.Н., Квасов И. Е. Построение однородной модели коридора трещин с использованием неструктурированных сеток. // М.:МФТИ, Сб. трудов МФТИ: Математические модели и задачи управления. 2011.С. 94-99.

27. Kvasov I.E., Pankratov S.A., Petrov LB. Numerical study of dynamic processes in a continuous medium with a crack initiated by a near-surface disturbance by means of the grid-characteristic method. // Mathematical Models and Computer Simulations, 2011, Vol. 3, N. 3, pp. 399 - 409.

28. Kvasov I.E., Pankratov S.A., Petrov LB. Numerical simulation of seismic responses in multilayer geologic media by the grid-characteristic method. // Mathematical Models and Computer Simulations, 2011, Vol. 3, N. 2, pp. 196-204.

29. Квасов И.Е. Численное исследование волновых процессов в геологических средах в задачах сейсморазведки. // V Международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», Обнинск, 14-18 мая 2011г.: Сб. тезисов. С. 117-118.

30.Квасов И.Е., Санников А.В., Фаворская А.В. Численное моделирование пространственных динамических процессов сеточно-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках. // V Международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», Обнинск, 14-18 мая 2011г.: Сб. Тезисов. С. 118- 119.

31 .Голубев В.И., Квасов И.Е., Хохлов Н.И., Петров И.Б. Численное моделирование сейсмостойкости жилых и промышленных наземных сооружений. // Сборник материалов XVI международной научно-практической конференции «Комплексная безопасность 2011 г.». ФГУ ВНИИ МЧС, 2011. С. 55 - 61.

32.Голубев В.И., Квасов И.Е., Хохлов Н.И., Петров И.Б. Численное моделирование волн Рэлея и Лява сеточно-характеристическим методом. // Сборник материалов XVI международной научно-практической конференции «Комплексная безопасность 2011 г.». ФГУ ВНИИ МЧС, 2011. С. 62-68.

33. Голубев В.К, Квасов И.Е., Петров И.Б. Воздействие природных катастроф на наземные сооружения. // Математическое моделирование, 2011, т. 23, №8, с. 46-54.

34. Квасов И.Е., Петров И.Б. Численное исследование анизотропии волновых откликов от трещиноватого пласта сеточно-характеристическим методом. // Математическое моделирование, 2011, т. 23, № 10, с. 97- 106.

35. Квасов И.Е., Петров И.Б. Численное моделирование волновых процессов в геологических средах в задачах сейсморазведки с помощью высокопроизводительных ЭВМ. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2012, т. 52, № 2, с. 17 - 34.

Ъб.Левянт В.Б., Петров И.Б., Квасов И.Б. Численное моделирование волнового отклика от субвертикальных макротрещин, вероятных флюи-допроводящих каналов. // Технологии сейсморазведки, 2011, № 4, с. 4 -29.

37.Голубев В.И., Квасов И.Е., Петров И.Б. Численное моделирование волновых процессов в гетерогенных средах. // Супервычисления и математическое моделирование. Труды XII международного семинара / Под ред. Р. М. Шагалиева. - Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2011. С. 110-115.

38.Голубев В.И., Квасов И.Е., Петров И.Б., Хохлов Н.И. Распространение сейсмических волн в гетерогенных геологических средах и задачи сейсмостойкости зданий и сооружений. // XIII международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование». Тезисы. - Саров: ФГУП «ВНЯЦ-ВНИИЭФ», 2011. С. 59 - 60.

Личный вклад соискателя в работах с соавторами

1. Выполнена адаптация сеточно-характеристического метода на тетраэдральные сетки со вторым порядком аппроксимации.

2. Реализован комплекс программ для исследования динамических волновых задач в неоднородных телах как в одномерном и двумерном случаях (на треугольных сетках), так и в трехмерном случае (на тетраэдральных и параллелепипедных сетках).

3. Проведено распараллеливание численного метода как на регулярных (параллелепипедных), так и нерегулярных (треугольных и тетраэдральных) сетках.

4. Выполнена оптимизация вычислительного ядра программы, позволившая добиться высокой скорости счета даже на одном процессоре.

5. Выполнено теоретическое обоснование условия линейного проскальзывания Шонберга в случае нормального падения волны на трещину.

6. Проведено сравнение двумерных и трехмерных результатов моделирования трещиноватого пласта, что показало применимость двумерных расчетов в данной задаче.

7. Исследованы свойства отклика от макротрещины.

8. Исследованы свойства трещиноватого пласта.

9. Построена осредненная модель трещиноватого пласта, как изотропная, так и анизотропная.

10. Исследованы особенности распространения волн в многослойных геологических средах.

11. Предложен метод определения механических характеристик неф-тенасыщенного резервуара в двумерном случае на основе численного решения прямой и обратной задач сейсморазведки.

12. Исследовано воздействие волн, возникающих в результате землетрясения, на наземные конструкции.

Квасов Игорь Евгеньевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ГЕТЕРОГЕННЫХ ТВЕРДЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СРЕДАХ

Автореферат

Подписано в печать 10.10.2011. Формат 60 х 84 '/16. Усл. печ. л. 1,0.

Тираж 70 экз. Заказ № 634. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ.

1.1. Математическая модель.

1.2. Выбор системы координат.

1.3. Обобщение записи дифференциальных уравнений.

1.4. Спектральное исследование системы.

1.4.1. Прямая задача.

1.4.2. Сопряженная задача.

1.4.3. Важные обозначения и соотношения.

1.4.4. Нормировка собственных векторов.

1.4.5. Нулевые собственные значения.

1.4.6. Матрицы А, £1, П

1.5. Покоординатное расщепление.

1.6. Сеточно-характеристические схемы.

1.7. Расчет на границе области интегрирования.

1.7.1. Заданная внешняя сила.

1.7.2. Заданная скорость границы.

1.7.3. Смешанные условия.

1.7.4. Условия поглощения и симметрии.

1.7.5. Решение на границе при наличии правой части.

1.8. Контакт между двумя телами.

1.8.1. Полное слипание.

1.8.2. Свободное скольжение.

1.9. Случай трансляционной симметрии по одной оси.

1.9.1. Выбор системы координат.

1.9.2. Обобщение записи дифференциальных уравнений.

1.9.3. Спектральное исследование системы.

1.9.4. Прямая задача.

1.9.5. Сопряженная задача.

1.9.6. Нормировка собственных векторов.

1.9.7. Нулевое собственное значение.

1.9.8. Матрицы.

1.9.9. Покоординатное расщепление.

1.9.10. Заданная внешняя сила.

1.9.11. Заданная скорость границы.

ГЛАВА 2. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ.

2.1. Сеточно-характеристический метод на неструктурированных сетках.

2.2. Диаграмма работы параллельной вычислительной программы.

2.3. Неструктурированные сетки.

2.3.1. Структура сетки.

2.3.2. Ограничения на используемые сетки.

2.4. Разбиение сетки на домены.

2.4.1. Метод разбиения.

2.4.2. Вычисление значений в точках на границе домена.

2.4.3. Метод взаимодействия вычислителей.

2.5. Дополнительные элементы домена.

2.5.1. Подробная структура элементов сетки.

2.5.2. Нахождение дополнительных треугольников.

2.5.3. Нахождение дополнительных рёбер.

2.5.4. Нахождение дополнительных полу-ребер.

2.5.5. Нахождение дополнительных вершин.

2.6. Проблема переиндексации элементов в доменах.

2.7. Примеры разбиений.

ГЛАВА 3. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УСЛОВИЯ ШОНБЕРГА НА ТРЕЩИНЕ.

3.1. Введение.

3.2. Математическая модель.

3.3. Аналитическое обоснование условия линейного скольжения.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ОТКЛИКА ОТ СУБВЕРТИКАЛЬНОЙ МАКРОТРЕЩИНЫ.

4.1. Введение.

4.2. Общая характеристика изменения сейсмического отклика от макротрещины в зависимости от ее длины, наклона и заполнения.

4.3. Характеристика моделей с субвертикальными макротрещинами.

4.4. Характеристика волн отклика, обусловленного субвертикальной макротрещиной.

4.4.1. Волновой отклик от субвертикальной макротрещины в полупространстве.

4.4.2. Особенности волнового отклика от макротрещины, вызванные отраженной волной от нижележащей границы.

4.5. Влияние параметров макротрещины на динамические характеристики волнового отклика, ею вызванного.

4.5.1. Сопоставление сейсмограмм, полученных при заполнении макротрещины газом или жидкостью.

4.5.2. Влияние высоты субвертикальной макротрещины на сейсмический отклик от нее.

4.5.3. Влияние отклонения макротрещины от вертикали.

4.5.4. Влияние характера вмещающих пород.

4.6. Некоторые аспекты использования полученных сведений о сейсмическом отклике от субвертикальных макротрещин.

4.7. Выводы.

ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ТРЕЩИНОВАТОГО ПЛАСТА.

5.1. Приповерхностный взрыв.

5.1.1. Учет пластичности грунта.

5.1.2. Учет зависимости скорости звука от глубины.

5.1.3. Отражение от земной поверхности.

5.2. Анизотропия отклика.

5.2.1. Постановка задачи.

5.2.2. Анизотропия отклика.

5.2.3. Зависимость отклика от расстояния между трещинами. 5.2.4. Зависимость отклика от плотности расположения трещин.

5.2.5. Зависимость отклика от частоты импульса.

5.3. Осредненная модель трещиноватого пласта.

5.3.1. Постановка задачи.

5.3.2. Построение изотропной модели коридора трещин.

5.3.3. Введение нормы.

5.3.4. Построение поверхностей по норме.

5.3.5. Вычисление эффективных параметров среды.

5.3.6. Изучение зависимости параметров модели от плотности заполнения коридора.

5.3.7. Изучение зависимости параметров модели от высоты коридора

5.3.8. Изучение зависимости параметров модели от угла падения возмущения.

5.4. Сравнение 2Т) и ЗО расчетов.

5.4.1. Постановка задачи.

5.4.2. Результаты сравнения.

ГЛАВА 6. МНОГОСЛОЙНЫЕ ГЕОЛОГИЧЕСКИЕ СРЕДЫ.

6.1. Постановка задачи.

6.2. Распространение сейсмосигнала в однородной упругой среде.

6.3. Двухслойная порода.

6.4. Двухпериодический композит.

6.5. Моделирование многослойной неоднородной среды.

6.6. Распространение сейсмического импульса в геологической среде с криволинейными контактными границами.

ГЛАВА 7. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СЕЙСМОРАЗВЕДКИ.

7.1. Постановка задачи.

7.2. Характерный вид функционала.

ГЛАВА 8. БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЛИЩНЫХ И ПРОМЫШЛЕННЫХ СООРУЖЕНИЙ.

8.1. Воздействие ударов и взрывов на здания.

8.2. Постановка задачи.

8.3. Результаты расчетов.

8.4. Сейсмостойкость.

8.4.1. Введение.

8.4.2. Механизмы очага землетрясения.

8.4.3. Модель начального возмущения.

8.4.4. Постановка задачи.

8.4.5. Влияние поперечной волны на купольную конструкцию.

8.4.6. Влияние сейсмических волн на здание.

В современном мире с высокоразвитой энергоемкой индустрией задачи добычи энергоносителей (углеводородов) из земных недр имеют особый приоритет. Разумеется, эти проблемы являются многоотраслевыми, включающими такие аспекты, как:

- экспериментальное изучение распространения волн в существенно неоднородных (слоистых, градиентных, пористых, трещиноватых, флюдонасыщенных) породах;

- разработка технологий получения сейсмограмм как в твердых породах, так и шельфовых зонах;

- разработка технологий эксплуатации скважин; математическое моделирование;

- разработка математических методов решения обратных задач для выявления неоднородностей в породах;

- создание механико-математических моделей поведения углеводородсодержащих пород, описывающих их поведение в условиях различных динамических воздействий;

- реализация механико-математических моделей работы скважины, находящейся в породе;

- создание вычислительных методов для численного решения динамических многомерных систем уравнений механики сплошных сред (в первую очередь, систем уравнений упругости и гидродинамики); как известно, это уравнения в частных производных гиперболического типа;

- разработка вычислительных алгоритмов и расчетных программ для компьютеров;

- распараллеливание вычислительных алгоритмов для численного решения задач на высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных системах; к ним относятся задачи моделирования взрывных процессов в породах для инициирования сейсмических волн; распространения, отражения, переотражения, рассеивания, дифракции упругих волн, получения расчетных сейсмограмм; решение обратных задач;

- визуализация и интерпретация полученных результатов.

Мы остановимся на решении задач сейсморазведки, которая представляет собой объединенный набор методов исследования геологического строения земной коры, базирующихся на исследовании распространения в ней упругих волн, возбуждаемых тем или иным, в первую очередь, искусственным путем.

Как хорошо известно, из динамической теории упругости и многочисленных лабораторных и натурных экспериментов, упругие волны' распространяются во всех направлениях от точки сейсмического возмущения, проникая на большие глубины земной коры. Там они отражаются и* преломляются на границах раздела различных сред, трещинах, порах, рассеиваются на множественных неоднородностях, дифрагируют и проходят вглубь Земли. Отраженные или рассеянные волны распространяются к поверхности Земли, где их регистрируют сейсмические датчики. Изучая и расшифровывая полученные сейсмотрассы, можно определять координаты и формы неоднородностей в глубине коры, а в ряде случаев делать заключения о составе пород.

Известно, что методы сейсморазведки базируются на исследовании распространения упругих волн, отраженных от поверхностей раздела геологических сред. Однако ситуация усложняется тем, что скорость распространения упругих волн в таких средах может меняться в весьма широком диапазоне в зависимости от их состава и глубины залегания. Но если мы будем определять время пробега упругой волны из нескольких точек расположения сейсмодатчиков, то появляется возможность вычислить скорость упругих волн и локализовать положения границы раздела двух сред. Т.е. сейсморазведка решает задачи структурной геологии и используется при разведке нефти, газа, твердых энергоресурсов (каменный уголь) и др.

Опишем качественно типы волн, которые различают в сейсморазведке, и наличие которых также следует из динамической теории упругости.

1. Продольные волны.

2. Поперечные (сдвиговые) волны.

3. Поверхностные волны Рэлея.

4. Поверхностные волны Лява.

5. Обменные волны.

6. Волны Рэлея-Лэмба, распространяющие вдоль контактных границ.

7. Волны Стоунли, распространяющиеся вдоль раздела поверхности твердое тело-жидкость (иногда их называют скважинными волнами).

8. Головные волны (аналог волн Маха в газодинамике), появляющиеся в акустически менее жесткой среде в результате распространения упругой волны вдоль контактной границы двух сред с различными скоростями звука.

9. Кратные волны — упругие волны, многократно переотражающиеся от поверхности раздела сред.

10.Дифракционные волны, т.е. волны, огибающие препятствие, например, полость.

11.Проходящие волны — упругие волны, распространяющиеся через некое препятствие, например, флюидонасыщенный резервуар.

12.Рефрагированные упругие волны, появление которых связано с увеличением с глубиной скорости распространения звука в породе.

13.Рассеянные волны — упругие волны, отраженные от многочисленных неоднородностей.

14.Нерегулярные волны; дело в том, что в реальной геологической породе имеется большое количество границ, инициирующих множество волн, которые, имея примерно одинаковую интенсивность, взаимодействуют между собой и образуют некий фон помех.

Понятно, что из большого числа различных видов упругих волн, приходящих к дневной поверхности, только некоторые используются для изучения структуры тех или иных геологических пород. По этой причине в сейсморазведке те волны, которые используются для изучения геологического строения определенного участка коры, называют полезными, те же, которые препятствуют исследованию распространения полезных волн, относят к помехам (шумам).

Отметим, что описанию волновых процессов в упругих средах посвящены такие работы как

Не останавливаясь подробно на описании лабораторных и натурных экспериментов, посвященных изучению распространения упругих волн в неоднородных (слоистых, пористых, трещиноватых) средах, поскольку нашей задачей является механико-математическое и численное моделирование поведения геологических сред в условиях динамических нагрузок, приведем некоторые, на наш взгляд, успешные примеры проведения подобных исследований.

В [15] были предложены и реализованы модельные конструкции трещиноватых и поротрещинных, в том числе флюидонасыщенных, упругих сред, в которых возбуждались акустические возмущения и исследовались получаемые сейсмограммы. Эксперимент позволяет получать сейсмотрассы и исследовать структуру образцов.

Изучению особенностей динамических процессов в тонкослоистых образцах посвящена работа [16], в которой используется обратное преобразование Фурье для получения фазовых спектральных характеристик сейсмических сигналов. В [17] предлагается, для моделирования прохождения импульса через слоисто-пористую среду, сконструировать слоистую систему из прозрачных тонких шероховатых плат, толщиной 0,7 мм каждая, в которой шероховатость реализовывалась при помощи песка, помещенного между ними.

Экспериментальное изучение4 распространения волн сжатия и сдвига во флюидонасыщенных средах проводится в работе [18].

Волновые поля, образующиеся в результате взаимодействия упругой волны, инициируемой лазерным импульсом, с изолированной трещиной, зарегистрированы и изучены в Институте общей физики РАН [19].

Многочисленные сейсмоакустические эксперименты на мелководных акваториях, их обработка, интерпретация, а также сопоставления с приближенными методами моделирования представлены в [20]. В работах [21, 22] рассматриваются многие примеры исследования структуры пород по данным сейсморазведки. Описание шельфовых сейсмологических исследований приведено в [23].

Изучение структуры углеводородсодержащих пород с помощью сейсмограмм часто приходится решать обратные задачи сейсморазведки. Этой теме посвящено значительной количество работ, обзор которых представляет отдельный интерес. Не вдаваясь в эту интересную и важную для сейсмики тематику, приведем здесь лишь некоторые работы в этой области: [24, 25, 26, 27, 28, 29].

Для приближенного решения задач сейсморазведки широко используются геометрические (лучевые) методы, область применимости которых, понятно, ограничена (см., например, [30, 31, 32]).

В частности, они не позволяют восстановить всю сложную волновую картину процессов, происходящих в> породах сложной структуры (слоистых, трещиноватых, кавернозных), для чего необходимо применять более точные подходы к их математическому моделированию.

К таким подходам относится методы механики сплошных сред, в частности, теории упругости и гидродинамики.

Этот подход позволяет получать полные волновые картины, инициированные сейсмическими возмущениями, в самых сложных по структуре геологических средах, а также наиболее корректно выделить все особенности (неоднородности) исследуемых пород.

Для решения задач сейсмики, разумеется, в течении последних десятилетий интенсивно развивались аналитические методы решения динамических уравнений, описывающих волновые процессэ, происходящие в исследуемых породах, хорошо известны классические монографии, посвященные решению этих задач, [0], [2], [33] и др. Активность в этих исследованиях представляется очень полезной, поскольку позволяет не только получить точные решения относительно простых (с точки зрения вычислительных методов) задач, но и позволяет получить все типы волн, распространяющихся в упругих средах, описанных ранее. Кроме того, аналитические решения важны для верификации результатов численного моделирования.

В последние десятилетия в геомеханике интенсивно развивались подходы к моделированию поведения сплошных неоднородных сред, основанные на получении:

- осредненных механических характеристик геологических сред;

- осредненных уравнений, описывающих их поведение;

- эмпирических соотношений, приближенно выполняющихся в окрестности неоднородностей.

Их основной недостаток — существенно ограниченная область применимости. Существенный интерес представляет метод постановки прозрачных граничных условий, позволяющий "соединить" численное и аналитическое решение сейсмической задачи на границах области интегрирования. Известно, что при численном решении динамических задач, речь о котором пойдет далее, на границах появляются нефизичные возмущения, обусловленные постановкой тех или иных граничных условий. Упомянутый подход позволяет в ряде случаев разрешить эту проблему. Его разработке посвящены работы [35, 36, 37, 38, 39].

В ряде случаев получение эффективных (осредненных) упругих характеристик оказывается вполне эффективным подходом при решении задач сейсморазведки (например, мелкозернистые флюидонасыщенные среды, породы с многочисленными кавернами, хаотически ориентированными мелкими трещинами). Хотя стоит отметить, что последние случаи могут рассматриваться и в рамках выделения всех неоднородностей породы, если использовать высокопроизводительные вычислительные системы для численного решения подобных задач. Получению таких механических характеристик посвящены, например, работы [40, 41, 42, 43, и мн. др.], аналитический обзор которых приведен в [21]. В упомянутых работах геологическая среда полагались изотропной.

Особую нишу в работах, посвященных этой проблеме, занимают задачи, в которых рассматриваются флюидонасыщенные породы с вертикальными или субвертикальными трещинами, поскольку в этом случае приходится учитывать анизотропию среды. Для этих целей вводится условие линейного скольжения, являющееся базовой гипотезой в работах [44, 45, 46]. Отметим также ч монографию [47], посвященную упомянутым проблемам и статью, в которой' делается краткий обзор трех моделей (Шоенберга, Хадсона, Фехлера) [134].

К недостаткам этих моделей следует отнести недостаточно адекватно передаваемую волновую картину процессов в сейсмике, хотя они играют существенную роль в^решении сейсмических задач. Для получения адекватной картины процесса распространения упругих волн в средах с субвертикальными трещинами необходимо выделять все трещины в породе с корректной постановкой условий на контактных границах, что, по-видимому, впервые было реализовано в работе [48].

В этих работах используются наиболее адекватные для решения сейсмики, определяющие уравнения механики сплошных сред [57], представляющие из себя систему динамических дифференциальных уравнений в частных производных (системы уравнений теории упругости и, в случае учета наличия флюида в трещинах, гидродинамики). Разумеется, решение этой системы возможно только с использованием численных методов.

В качестве сплошной среды в геомеханике нередко рассматриваются пористые, флюидонасыщенные, слоистые, трещиноватые и кавернозные ч V породы. Отметим, что в настоящее время динамическое поведение многих из этих существенно неоднородных сред можно промоделировать при помощи современных численных методов и высокопроизводительной вычислительной техники.

Но в ряде случаев можно использовать осредненные дифференциальные уравнения в частных производных (уравнения механики сплошных сред). Наиболее используемой в сейсморазведке для моделирования поведения флюидонасыщенных сред является двухфазная модель Био [49, 50].

Отметим, что любые осредненные модели, к которым исследователи давно и прочно привыкли, являются неким упрощением полной физической картины процессов, а, следовательно, необходимо изучать те погрешности и нефизические явления, которые появляются при их использовании. Таких исследований, к сожалению, практически не проводится, хотя понятно, что предположение о наличии в некоей точке среды, флюида и породы, не совсем физично, например, для сплошной среды с флюидонасыщенными кавернами. Эти уравнения получаются с помощью соответствующих обобщений уравнений теории упругости и гидроакустики, а между членами, определяющими смещения и напряжения в общих фазах, полагается линейная^ связь. Система Био имеет гиперболические тип, описывает распространение волн с конечными скоростями. Ее особенностью, по сравнению с уравнениями теории упругости является наличие не двух, а трех характеристик, что обусловлено наличием как упругого скелета- среды, так и флюида.

В случае рассмотрения многослойных геологических сред, последние полагаются периодическими, состоящими из двух чередующихся слоев, которые могут быть как упругими, так и жидкими.

В= работе [49] проводится подробное описание подобных осредненных уравнений, в т.ч. и для слоистых сред. Понятно, что модель Био наиболее адекватно описывает динамические процессы в том случае, когда длина доминирующей волны существенно превышает интервалы между кавернами или трещинами, а также их размеры. Полагается, что смещения и напряжения получаются в результате осреднений, упругих и жидких смещений и напряжений по малой окрестности рассматриваемой точки, а осредненные величины зависят от размеров малой окрестности. Для определения этих величин в обеих фазах записываются, как и в случае упругих сред, уравнения Гука и механики сплошных сред.

На контактных границах этих сред ставятся условия скольжения или слипания. В сплошной среде, совершается предельный переход, при котором длина периода устремляется к нулю, число периодов становится бесконечным, а общая толщина среды полагается ограниченной. Этот предельный переход производится методом матричного осреднения, являющимся обобщением [52]. Среда, состоящая из однородных и изотропных упругих слоев, при условии жесткого контакта, между ними, является трансверсально-изотропной. Осредненные системы, описывающие поведение более сложных сред или контактов между слоями, как правило, содержат не более двух фаз. Отметим и другие работы этого направления [53, 54, 55, 56].

Несмотря на то, что осредненные модели имеют широкое распространение в сейсмологической практике, связано это обстоятельство не только с их полезностью, но и с необходимостью ранее, еще в 50-70 гг. прошлого века решать сложные задачи сейсмики приближенными и аналитическими методами вследствие отсутствия высокопроизводительной вычислительной техники и численных методов для решения соответствующих многомерных г нестационарных систем уравнений гиперболического типа (динамических уравнений механики сплошных сред).

В настоящее время, вследствие быстрого развития вычислительных методов и многопроцессорной вычислительной техники, появляется возможность решать существенно более сложные задачи сейсморазведки, без каких-либо дополнительных предположений, а во многих случаях и осреднений, учитывать структуру исследуемой породы, в частности, наличие в ней трещин, каверн, флюидонасыщенности, карстовых образований, слоистости.

Появление этих новых возможностей важно и для скважинной сейсморазведки, где необходимо учитывать влияние неоднородностей вблизи скважин в породе. В частности, такой подход предложен и реализован для численного исследования структуры реальных геологических пород с использованием плоской замкнутой системы уравнений механики сплошных сред и математически корректным описанием неоднородностей' (решением задач контактного разрыва на границах поверхностей раздела двух сред) в работах [10, 11, 12, 13].

Численное моделирование в механике сплошных сред — наука относительно молодая (первые работы появились в 40-50 гг. прошлого столетия). Приведем лишь .некоторые из пионерских работ, на которых базируются: современные вычислительные решения уравнений' в частных производных: [58-76]. Авторы эти работ предложили первые разностные схемы для численного решения уравнений переноса, теплопроводности, Лапласа, а также одномерных систем уравнений аэродинамики^ которые в дальнейшем были использованы для решения задач в- других предметных областях (гидродинамика, теория упругости и пластичности, физика,плазмы, медицина, климатология и мн. др.). В этих же, работах впервые были5 введены понятия* сходимости: решения разностного уравнения к решению дифференциального, аппроксимации решения дифференциального уравнения разностным, устойчивости решения5 разностного уравнения [61, 64].

Численное решение задач сейсморазведки на основе; решения полной системы уравнений механики сплошных сред (в-, первую очередь, системы уравнений теории упругости с учетом наличия в трещине, каверне, резервуаров и гидродинамики) используется относительно недавно:

Следует заметить, что эти работы являются логическим продолжением: исследования по разработке вычислительных методов решения динамических систем уравнений механики деформируемого твердого тела. К первым из них можно отнести работы [75, 76].

В основном в этих работах использовались разностные аппроксимации производных по времени и пространству (см., например, [80, 81], в [85]) применялся метод конечных элементов. Как хорошо известно в математике, наиболее эффективным для решения динамических задач механики сплошных сред являются методы, учитывающие характеристические свойства систем уравнений в частных производных гиперболического типа. В динамике деформируемого твердого тела такие методы использовались в работах [81, 83, 84].

В дальнейшем с их помощью были численно решены многие сложные динамические задачи механики деформируемых сред [87-99].

В сейсморазведке к настоящему времени использовались, в основном, обычные конечно-разностные аппроксимации производных, зачастую без исследования свойств численного метода, проведение тестовых сравнительных расчетов. В работах [101, 102, 103, 104, 105] для- решения этих задач использовались^ методы конечных и спектральных элементов в том числе, повышенном порядка точности. В то же время от поведения' численного решения вблизи контактных границ и границ области интегрирования зависят не только от количественных, но и качественные характеристики волновых картин и сейсмограмм. При решении весьма специфических задач геодинамики (большое количество неоднородных, контактных границ, отражений и преломлений упругих волн) необходимо тщательно исследовать свойства используемых разностных методов на их способность получать адекватные численные решения, моделирующие сложные динамические процессы, происходящие в геологических средах при прохождении сейсмических сигналов. В частности, важным свойством численных методов, применяемым для решения динамических задач, является монотонность, не менее важным является корректное решение задачи контактного разрыва и корректная аппроксимация искомых функций в граничных точках.

В работах [103, 106, 108, 110, 117, 120, 123] описаны конечно-разностные схемы, которые адаптировались авторами для численного решения задач сейсмики. Следует отметить, что к этому времени был уже накоплен значительный опыт для решения задач с ярко выраженными волновыми процессами в газодинамике, динамике твердого тела, динамики плазмы. Обзоры этих работ можно найти, например, в [126, 127, 128], а методы, с помощью которых решались эти задачи, реально было использовать в сейсморазведке, чего фактически не произошло и сказалось на уровне численных методов, используемых в этой области.

В работах [103, 109, 112] изучались волновые поля во флюидонасыщенных породах, в [107] были использованы модели геологических пород с осредненными коэффициентами, в [108, 114, 116] неоднородности вводились явным образом, без использованных методов осреднения. Популярность при изучении волновых процессов в гетерогенных средах получил метод, используемый в работе [110, 125] (Staggered grid metho-SGM); с его помощью исследовались процессы отражения упругих волн от контактных границ [109; 115] , моделировались волны Рэлея [113]. Численному моделированию рассеянных волн посвящены работы [И4, 116, 119, 122, 123], сейсмические волновые' поля в двумерных средах с карстовыми включениями моделировались в [121]. Возможность численного решения ЗБ-сейсмики рассматривались в работах [130, 124, 125, 120; 135]'.

Как уже было сказано, наиболее эффективными для численного решения задач сейсморазведки являются методы, учитывающие характеристические свойства систем уравнений в частных производных гиперболического типа, к которым относится система-динамических уравнений механики сплошных сред (без диссипативных членов) и, в частности, теории упругости [130, 126, 129]. В [83] для численного решения двухмерных динамических задач механики деформируемого твердого- тела был разработан сеточно-характеристический метод [83], ранее разработанный и успешно используемый для численного решения задач аэродинамики [133]. Подробное описание сеточно-характеристических методов можно найти в [129]. В работе [92] были предложены, в том числе для решения теории упругости, гибридные сеточно-характеристические методы.

Для проведения расчетов в сложных областях интегрирования в задачах механики деформируемого твердого тела методы были перенесены на нерегулярные расчетные сетки [93, 12, 10]. Волновые процессы в упругих телах слоистой структуры исследовались в работах [85, 89, 97, 98], в перфорированных средах с многочисленными внутренними свободными границами в [95, 96].

Тепловые динамические эффекты в твердых деформируемых телах рассматривались в работах [86, 94]. Для численного решения трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности, по-видимому, впервые, разностный метод, использующий характеристические соотношения- системы уравнений гиперболического типа, предложен в [99].

К задачам сейсморазведки гибридный, сеточно-характеристический метод на треугольных неравномерных сетках впервые был применен в работах [11, 10]. В [12] с помощью этого метода были- исследованы характеристики продольных и обменных волн обратного отклика от трещиноватого коллектора с по-разному ориентированными^ трещинами, исследовались энергетические соотношения между продольными и- сдвиговыми волнами-. Работа [13] посвящена исследованию сейсмических откликов от геологических сред многослойной структуры.

Эти задачи представляют значительные трудности из-за необходимости адекватного описания сложнейших волновых процессов, происходящих в слоистых средах. Их численное решение возможно лишь при использовании монотонных вычислительных методов и корректного решения задачи контактного разрыва, что могут обеспечить лишь методы, учитывающие характеристические свойства определяющих уравнений теории упругости. Этими свойствами обладают, как уже отмечалось, гибридные сеточно-характеристические методы, используемые в данной работе для решения задач сейсморазведки. Важно отметить, что такие методы позволяют не просто считать задачи" (этот термин, к сожалению, часто используется в инженерной практике), а решать, т.е. подробно исследовать сложнейшие динамические процессы, происходящие в существенно гетерогенных геологических средах, т.е. получать численные решения, позволяющие адекватно, с высокой степенью достоверности, описывать сейсмологический явления, не инициируя нефизичных эффектов.

1. Новацкий В-К. Теория упругости. М., Мир, 1975г., 620 с.

2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М., 1957 г., 502 с;3; Ляховицкий Ф.М. Сейсмические волны в гетерогенных средах. М., 1988г., 156 с.

3. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. М., 1980г., 280 с.

4. Уайт Д.Э. Возбуждение ифаспространение упругих волн. Ml, 1986г., 262 с. 6- ТурвичИ.И:,Сейсморазведка- М;, "Недра", 1975г., 407 с.

5. Левянт В.Б., Петров И.Б., Челноков ¡Ф.Б.Кластерная природа сейсмической энергии, рассеянной от; зоны диффузной каверзности И! трещиноватости в массивных породах. Геофизика №6, 2005г., с. 5-19.

6. В.Б. Левянт, Петров И.Б., С.А. Панкратов. Исследование характеристик продольных и обменных волн обратного отклика от зон трещиноватого коллектора. Технологии сейсморазведки, №2, 2009г., с. 3-11.

7. Квасов И.Е., Петров И.Б., Панкратов' С.А. Численное моделирование сейсмических откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом. Математическое моделирование, 2010г., №9, т. 22. с .13-21.

8. Аки К., Ричард П. Количественная сейсмология. М.; Мир, 1984г.

9. Караев Н.А., Лукашин Ю.П., Прокатор О.М., Семенов В.П. Физическое-моделирование трещиноватых сред. Технология сейсморазведки, 2008г. ,№2.

10. Chaur-Jian Hsu and Michael Shoenberg. Elastic waves through a simulated'fractured medium. Geoghysics, vol. 58, №7, 1993, pp. 964-977.

11. С.Ji de Pater, J. Groenenboom, D.B. van Dam, R. Romijn. Active seismic monitoring of hydraulic fracture in laboratory experiments. Internationational Jornal of Rock Mechanics and Mining Science 38; 2001 y., pp. 777-785.

12. Alexey M. Lomonosov, Peter V. Grigoriev and Peter Ness. Sizing of partially closed slosed-breaking microcracks with broadband Rayleigh-waves. Journal of Applied Physics, 105, 084906 (2009y.), pp. 084906-084906-7.

13. Шалаев H.B., Старовойтов A.B. Основы сейсмоакустики на, мелководных акваториях. Изд. МГУ, 2010г., 253с.

14. Козлов Е.А. Модели среды в разведочной сейсмологии. Тверь. Изд. ГЕРС, 2006г., 480 с.

15. Левченко Д.Г. регистрация1 широкополосных сейсмических сигналов и возможных предвестников сильных землетрясений на морском дне. М'., Научный мир; 2005г., 240с.

16. Белищев М.И., Балговещенский A.C. Динамические обратные задачи теории волн. СПб.: Изд. Санкт-Петербургского-университета, 1999г., 265 с.

17. Lasieska I., Lions J—L. Triggiant R. Non homogeneus boundary value problems for second order hyperbolic operators. S. Math: Pure Appl. — 1986 y., pp. 149-192/

18. Бейлькин Г .Я. Единственность и устойчивость решения обратной задачи сейсмики. Краевые* задачи, математической физики и смежные вопросы теории'функций. Л:: Наука, Ленинградский.отд. 1979г., т. 11, с. 3-6.

19. Бернштейн И.М. Гервер М:Л. О задаче интегральной геометрии, для семейства геодезических и об обратной кинематической- задаче- сейсмики. Докл. АН СССР 1978г., т. 243, №2, с. 302-305.

20. Пестов Л.Н. Первые интегралы геодезической* конформной метрики и кинематическая обратная задача сейсмики. Вопросы корректности обратных задач математической физики. Новосибирск: ВЦ: СО АН СССР 1982г., с. 109-119!

21. Гольдин C.B. Введение в геометрическую сейсмику. Новосибирский Гос. Университет, 2005г., 260с.

22. Шевченко A.A. Сейсмические исследования в скважинах. МГУ. Геологический факультет. Кафедра сейсмометрии и геоакустики. 2007г., 136с.

23. Алексеев А.С., Гольчинский Б.Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами разделаю В кн. Вопросы динамической теории построения сейсмических волн. Выпуск III, Л;, изд. ЛГУ, 1959г. с. 107-116.

24. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. Гостехиздат, м., 1955г.

25. Hirose S. and Achenbach J.D. BEM method to analyse interaction of on acoustic pulse with a rigid,circular disk. Wave motion, 10 (1988y.), pp. 267-275, North-Holland.

26. Рябенький^ B.C. Метод, разностных потенциалов и его приложениий. М., Физматлит 2002г. 420с.

27. Сафронов И.Л. Условия* полной» прозрачности-на сфере для трехмерного волнового уравнения. Доклады РАН, 1992г., т. 326, №6.

28. Lyrintzis A.S. Review the use of Kirchhoffs method in computational of fluids Engeneering, 1994 y., v. 116, №12, pp. 665-676.

29. Рябенький B.C., Тручанинов В.И;, Цынков C.B: Использование лакун, решений 3D волнового4 уравнения для вычисления решения задачи Коши на больших временах. Математическое моделирование, 1999г., т. 11, №12, с. 1113-1126.

30. Grote М., Keller S. Exact nonreflecting boundary conditions for the time dependent wave equation. SIAN. J. Appl. Math. 1995 y., v. 55, №2.40: Gassman F. Elastic waves through a packing of spheres: Geophysics, 16, pp. 673-685.

31. Raymer- L.L., Hunt E.R. and gardner J.S. An improved1 sonic transit time to porosity transform: 21st Annual Gogging Symposium, Trans. Soc. Prof. Well Gogg Analysics, Paper P, 1980y.

32. Gardner. G.H., Canning A. AVA analysic after velosity-independet DMO and imaging. Geophysics, 63, pp. 686-695.th

33. Ursenbach C.P. Generalized Gardner relation. SEC 72 Extended Abstracts, 2002 y.44.47,48,49:50