автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное решение пространственных динамических задач механики неоднородных деформируемых сред

На правах рукописи

ГОЛУБЕВ Василий Иванович

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ НЕОДНОРОДНЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СРЕД

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005552686

гь СЕН 2014

МОСКВА - 2014

005552686

Работа выполнена на кафедре информатики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

Петров Игорь Борисович, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор Официальные оппоненты:

Никитин Илья Степанович, доктор физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматизации проектирования РАН, отдел информатизации, математического моделирования и управления, ведущий научный сотрудник;

Ставцев Станислав Леонидович, кандидат физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики РАН, научный коллектив «Матричные методы в математике и приложениях», «Методы преобразования, анализа и структуризации данных», старший научный сотрудник

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение Всероссийский научно-исследовательский институт по проблемам гражданской обороны и чрезвычайных ситуаций МЧС России (федеральный центр науки и высоких технологий)

Защита состоится «06» ноября 2014 г. в 9^ часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 на базе Московского физико-технического института (государственного университета) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ и на сайте университета http://www.mipt.ru.

Автореферат разослан «_

2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совет

Федько Ольга Сергеевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Согласно сегодняшним прогнозам мировое потребление энергии будет продолжать расти в связи с развитием науки и техники. Несмотря на развитие альтернативных источников энергии (ветряные, геотермальные, солнечные, гидроэнергетические и биотопливные), а также рост значимости ядерной энергетики, традиционные источники энергии, такие как нефть и природный газ, остаются важнейшим ресурсом. Одной из приоритетных задач, решаемых в данной области, является поиск трещиноватых кластеров, содержащих нефте- и газопродукты.

В современном мире все больше внимания уделяется оценке и обеспечению безопасности населения, развиваются методы имитационного моделирования. Землетрясение является природным явлением, приводящим к гибели людей и огромным материальным убыткам. По этой причине актуальность исследования процесса сейсмической активности с целью ее прогноза и быстрой оценки возможных разрушений как жилых строений, так и специальных сооружений (атомные электростанции, гидроэлектростанции) не вызывает сомнений.

Одним из подходов к решению указанных проблем является разработка новых численных методик и программных комплексов для расчёта динамических процессов в гетерогенных геологических средах и материалах строений. С их помощью возможно получение расчётного отклика от трещиноватых сред с заданной структурой, анализ которого может быть использован для совершенствования процесса сейсмического исследования месторождений. Компьютерная оценка сейсмостойкости наземных сооружений может быть использована как на этапе выбора площадок под строительство, так и последующего сопровождения конструкций.

Степень разработанности темы исследования

По-видимому, первыми методами приближенного решения задач сейсмики и сейсморазведки (распространения динамических возмущений в гетерогенных геологических средах) являются геометрические (лучевые) методы. Несмотря на то, что геометрические методы обладают низкой вычислительной сложностью, их применимость значительно ограничена, например, невозможно воспроизведение эффектов интерференции и дифракции волн. Также они не позволяют восстановить всю

сложную волновую картину процессов, происходящих в средах с гетерогенной структурой (слоистых, трещиноватых). Для этого необходимо применение более совершенных подходов к описанию данных сред.

В последние десятилетия появилось значительное количество работ, посвященных численному анализу волновых процессов, возникающих в гетерогенных геологических средах при слабых динамических сейсмических воздействиях. Эти процессы описываются в рамках механико-математических моделей механики сплошных сред (система уравнений динамики упругих сред или её акустическое приближение) с применением численных методов решения уравнений в частных производных гиперболического типа. Для решения определяющей системы уравнений использовались конечно-разностные схемы на треугольных и тетра-эральных сетках, спектральный и псевдоспектральный численные методы, комбинация разрывного метода Галеркина с подходом Arbitrary high-order DERivatives (ADER).

Отметим, что для решения гиперболических систем уравнений наиболее корректно применение тех численных методов, которые учитывают их внутренние особенности - распространение возмущений вдоль характеристик. К данным методам относится сеточно-характеристический численный метод. Поскольку численное исследование волновых процессов в гетерогенных структурах может привести к появлению осцилляций нефизического происхождения, что в свою очередь приводит к заметным искажениям реальных волновых процессов, то используемые методы должны обладать свойством монотонности. С использованием сеточно-характеристического метода решались трехмерные волновые задачи теории упругости, в трёхмерной постановке рассматривались волновые задачи геофизики. Сеточно-характеристический метод был обобщён на случай численного решения вязко-упругих волновых задач, для исследования сложных волновых процессов в средах многослойной структуры. В дальнейшем сеточно-характеристический метод был значительно улучшен. В частности, были разработаны методы до пятого порядка точности как на гексаэдральных, так и на тетраэдральных расчётных сетках для трёхмерных задач. Се-точно-характеристический метод на треугольных сетках был расширен на случай измельчения расчётной сетки вблизи неоднородностей для повышения точности моделирования.

Цели и задачи

1. Численное решение задач оценки сейсмостойкости наземных строений сеточно-характеристическим методом.

2. Численное исследование свойств сейсмического отклика от трещиноватых пластов в трёхмерной постановке.

3. Моделирование процесса распространения сейсмических волн в слоистых неоднородных средах в трёхмерной постановке.

4. Численное решение задач сейсморазведки по определению структуры геологических сред на основе прямого моделирования.

5. Моделирование процессов глобальной сейсмики сеточно-характеристическим методом.

6. Адаптация компактных сеточио-характеристических схем повышенного порядка точности для численного решения линейного уравнения переноса на двумерный случай.

Научная новизна

1. Проведено численное исследование влияния внутренней структуры геологической среды на распространение сейсмического сигнала из гипоцентра землетрясения, а также его воздействия на наземные сооружения (жилые строения, купольные сооружения, железобетонные каркасные конструкции, плотины, борта карьеров) как в двумерной (на треугольных сетках), так и в трёхмерной (на гексаэдральных сетках) постановках.

2. Предложена вычислительная механико-математическая модель «очаг землетрясения - гетерогенный вмещающий массив», проведена её верификация для случая однородной среды, и предложена процедура определения её параметров по данным наземных измерений.

3.Проведено численное решение задачи о распространении упругих возмущений (Р-волна и приповерхностный взрыв) в трёхмерных слоистых средах, показана возможность определения характеристик пространственных включений при трёхкомпонентной записи сейсмотрасс на дневной поверхности. На основании решения серии прямых задач предложен подход к распознаванию внутренней структуры массива: определение мощностей горизонтальных слоёв и ориентации одиночной макротрещины. Численно рассчитан сейсмический отклик от глубоко залегающего трёхмерного кластера вертикальных газонасыщенных и флюи-донасыщенных макротрещин, проведён его детальный анализ и выявлены его особенности.

4. Предложен подход к решению задач глобальной сейсмики планеты на структурных криволинейных и гексаэдральных расчётных сетках. На примере упругих моделей Земли и Марса продемонстрировано его применение, проведена серия тестовых расчётов, выполнено сравнение их результатов с аналитическим решением, с опубликованными результатами компьютерного моделирования на треугольных сетках и экспериментальными данными.

5. Реализована программа Seismograph для построения расчётных сейсмограмм, как по результатам двумерных (на треугольных сетках), так и трёхмерных (на тетраэдральных и гексаэдральных сетках) расчётов, и их последующей интерпретации.

6. Выполнена адаптация компактных сеточно-характеристических схем повышенного порядка точности для численного решения линейного уравнения переноса на прямоугольные сетки с сохранением порядка аппроксимации и свойства монотонизированности. Проведено распараллеливание численных алгоритмов с использованием технологии MPI, что позволило выполнить расчёты по оценке порядка сходимости схем за приемлемое время.

Теоретическая и практическая значимость работы

Важным практическим результатом является разработанный метод компьютерной оценки сейсмостойкости наземных сооружений с использованием предложенной вычислительной механико-математической модели «очаг землетрясения - гетерогенный вмещающий массив». Он позволяет провести прямое моделирование распространения упругого возмущения из гипоцентра землетрясения с учётом разномасштабных пространственных неоднородностей к дневной поверхности и в дальнейшем идентифицировать места инициации разрушений в строении с заданной геометрией.

Вторым важным теоретическим и практическим результатом является возможность проведения компьютерного моделирования глобальной сейсмики планеты с использованием предложенного вычислительного подхода на структурных расчётных сетках. Указанный подход может быть использован, как для уточнения моделей внутренней структуры Земли (упругих параметров среды, положения границ раздела), так и для выработки оптимальной расстановки сейсмодатчиков с учётом реальных ограничений эксперимента (например, при планируемом исследовании Марса аппаратом InSight).

Третьим важным результатом является созданная программа Seismograph для визуализации результатов численных расчётов процесса сейсмической разведки в гетерогенной среде, как в двумерной, так и в трёхмерной постановках. Она позволяет существенно расширить применимость компьютерного моделирования для реальных экспериментальных задач. С использованием Seismograph становится возможным построение произвольных расчётных сейсмограмм, их качественный и количественный анализ, а также сравнение с результатами полевых экспериментов. Так, например, автором продемонстрирована возможность получения расчётной сейсмограммы, содержащей сейсмический отклик от кластера газо- и флюидонасыщенных макротрещин в полной трёхмерной постановке.

Работа поддержана рядом государственных и коммерческих грантов и договоров:

1. Грант РФФИ 11-01-12011-офи_м_2011 «Разработка численных методов для решения задач геомеханики и сейсморазведки на многопроцессорных вычислительных системах», 2011-2012;

2. IBM Ph.D. Fellowship, 2012-2013;

3. Проект «Разработка программного модуля для задач оценки сейсмостойкости наземных сооружений» в рамках программы «УМНИК» 2012-2013;

4. Грант РФФИ 12-07-31235-мол а «Разработка численных методов и комплекса программ для исследования динамических процессов в геологических средах на многопроцессорных вычислительных системах» 2012-2013;

5. Грант РФФИ 12-07-31028-мол_а «Разработка численных методов для решения задач распространения сейсмических возмущений из гипоцентра землетрясения на многопроцессорных вычислительных системах», 2012-2013;

6. Государственный контракт № 14.515.11.0069 «Разработка научных основ новых методов и алгоритмов поиска и разведки месторождений углеводородов, в том числе в условиях Арктики, с реализацией на высокопроизводительных комплексах», 2013;

7.SPE Henry DeWitt Smith Fellowship, 2013;

8. Стипендия Президента РФ молодым учёным и аспирантам «СП-2548.2013.5», 2013-2015;

9. Стипендия Правительства РФ аспирантам, 2013.

Методология и методы исследования

В диссертации численно решаются задачи сейсморазведки путём прямого моделирования динамических процессов, происходящих в многослойных и трещиноватых средах. На основе численных расчётов показана возможность распознавания внутренней структуры геологического массива по данным наземных измерений. Решаются задачи распространения упругих возмущений, зарождающихся в очаге землетрясения, к дневной поверхности и их последующего воздействия на наземные сооружения. Особое внимание уделено моделированию глобальной сейс-мики планеты, результаты которого могут быть использованы, как для уточнения уже существующих моделей, так и для построения новых методов прогнозирования землетрясений и их последствий.

В диссертации используется сеточно-характеристический численный метод повышенного порядка точности на треугольных и структурных криволинейных (гексаэдральных) сетках. Решение определяющей гиперболической системы уравнений методом расщепления по координатам сводится к решению набора уравнений переноса вдоль характеристик. Таким образом, для повышения точности расчётов значительный интерес представляет построение компактных численных схем повышенного порядка точности для решения линейного уравнения переноса в многомерном случае. В диссертации проводится обобщение компактных сеточно-характеристических схем на двумерный случай с использованием подхода продолженных систем уравнений. Положения, выносимые на защиту

1.Установлено, что основными элементами объёмного отклика от кластера вертикальных макротрещин являются фронты рассеянных волн с продольным и поперечным характером колебаний, совпадающие по площади с контуром системы макротрещин. При этом первые интенсивные фазы фронтов сопровождаются шлейфами периодических колебаний, вызванных межтрещинным взаимодействием.

2.Доказана возможность определения параметров структуры геологического массива (ориентации трещин и мощности геологических слоев) на основе решения серии прямых задач.

3.Предложена вычислительная механико-математическая модель «очаг землетрясения - гетерогенный вмещающий массив», позволяющая провести высокоточное моделирование процесса сейсмической активности в геологическом массиве и оценить её воздействие на наземные со-

оружения.

4.Показана возможность численного расчёта задач глобальной сейс-мики планеты на структурных гексаэдральных сетках, которая может быть использована как для уточнения существующих моделей Земли, так и для построения новых моделей других планет в условиях ограниченного объёма экспериментальных данных.

5.Разработана программа Seismograph для визуализации результатов компьютерного моделирования процесса сейсмической разведки в гетерогенных средах как в двумерном, так и в трёхмерном случаях.

6.Выполнена адаптация компактных схем повышенного порядка точности для численного решения линейного уравнения переноса на двумерный случай (прямоугольные сетки) с сохранением порядка сходимости и свойства монотонизированности.

Степень достоверности и апробация результатов

Научные результаты диссертации опубликованы в 22 работах, из которых 8 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ [2, 3, 14, 15, 19, 20, 21, 22]. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [18].

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

1. Научные конференции Московского физико-технического института - Всероссийские молодёжные научные конференции с международным участием «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе» (МФТИ, Долгопрудный, 2010 - 2013);

2. Российско-индийский семинар «Новые достижения математического моделирования» (ИАП РАН, Москва, 2011);

3.XVI международная научно-практическая конференция «Комплексная безопасность 2011 г.» (МЧС, Москва, 2011);

4. XI Международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров» (ИАТЭ, Обнинск, 2011);

5. Третья международная научно-практическая конференция «Нефтегазовые горизонты» (РГГУ им. И.М. Губкина, Москва, 2011);*

6. International Conference "Numerical Geometry, Grid Generation and Scientific Computing" (NUMGRID2012) (A.A. Dorodnicyn Computing Center RAS, Moscow, 2012);

7. Суперкомпьютерный форум «Суперкомпьютерные технологии в образовании, науке и промышленности - 2012» (ННГУ им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, 2012);

8. Балтийская школа-семинар «Петрофизическое моделирование осадочных пород, BalticPetroModel-2012» (ЗАО «Звезда Петергофа», Санкт-Петербург, Петергоф, 2012);

9. XII, XIII и XIV международные семинары «Супервычисления и математическое моделирование» (РФЯЦ - ВНИИЭФ, Саров, 2010-2012);

10. III Международная научно-практическая конференция «Интеллектуальные системы на транспорте, ИнтеллектТранс-2013» (ПГУПС, Санкт-Петербург, 2013);

11. International Conference in Computational Science «ICCS 2013» (CCIB, Barcelona, Spain, 2013);

12. Конференция и выставка SPE по разработке месторождений в осложнённых условиях и Арктике 2013 (ВВЦ, Москва, 2013);

13. XI Всероссийская научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» (МГСУ, Москва, 2014).

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных семинарах в следующих организациях:

l.OAO «Нефтяная компания "Роснефть"» (Москва, 2011, 2012, 2013);

2. Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики (Саров, 2011, 2012);

3. Научно-технический центр ИБМ (Москва, 2012);

4. Санкт-Петербургский государственный университет (Санкт-Петербург, 2012);

5. ОАО «Лукойл» (Москва, 2013);

6. ОАО «Росгеология» (Москва, 2013);

7. ОАО «ЦГЭ» (Москва, 2013);

8. ОАО «РЖД» Филиал «Центр Инновационного Развития» (Москва, 2013);

9. ОАО «Зарубежнефть» (Москва, 2013);

10. Научно-исследовательский институт системных исследований РАН (Москва, 2014).

Основное содержание работы

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 161 страницу. Список литературы содержит 132 наименования. Глава 1

Для описания динамических процессов в неоднородных геологических массивах и материале наземных сооружений в диссертации используется модель линейно-упругого деформируемого твердого тела с явным выделением всех границ разномасштабных неоднородностей. В данной главе формулируется система дифференциальных уравнений в частных производных механики деформируемого твердого тела в виде:

3/ Эл: ду дг дУу _ ЭТ„ ЭТп дтп Э/ Эх ду Эг

д! дх ду Эг '

дТ_ дУг .дУг дУу

дУ дУ

дт„ дУх Э К

где р - плотность среды, лир- постоянные Ламе, У, - компоненты вектора скорости среды, т0 - тензор напряжений Коши.

Также рассматривается процедура построения сеточно-характеристических методов повышенного порядка точности как на двумерных треугольных сетках, так и на трёхмерных структурных гек-саэдральных сетках с использованием метода расщепления по координатам. Для случая треугольных сеток приведены формулы для интерполя-

ции высоких порядков до пятого порядка включительно. Для случая структурных сеток приведены схемы до четвёртого порядка включительно. Глава 2

В данной главе описываются компактные сеточно-характеристические схемы повышенного порядка точности для линейного уравнения переноса. Рассматривается построение явной схемы третьего порядка точности по времени и по координате на двухточечном шаблоне по координате. С использованием сеточно-характеристического подхода решение уравнения переноса сводится к задаче интерполяции, которая осуществляется полиномом третьего порядка. Из условий, накладываемых на значения функции и её производной в узлах шаблона, однозначно вычисляются коэффициенты полинома. Полученная схема в научной литературе носит название CIP, обладает третьим порядком сходимости на гладких решениях, но немонотонна на разрывных решениях. Рассматриваются два подхода к построению на её основе монотонизированной схемы, основанные на сеточно-характеристическом критерии монотонности и анализе поведения интерполяционных полиномов. Полученные на их основе схемы носят название БИС-1 и БИС-2 соответственно.

Автором предложен подход к обобщению описанных компактных схем на двумерный случай с сохранением порядка сходимости и свойства монотонизированности. Используется подход расщепления по координатам совместно с хранением в каждом узле расчётной сетки перекрёстной производной искомой функции. Алгоритм расчёта состоит в последовательном решении пар продолженных одномерных систем уравнений схемами CIP, БИС-1 или БИС-2 соответственно. Приводятся численные оценки порядка сходимости для всех рассмотренных схем, а также расчёты с разрывным начальным условием, демонстрирующие их качественное поведение. Также предложен подход, не требующий хранения значений перекрёстной производной, понижающий, однако, порядок сходимости схемы. Глава 3

При проведении полевых сейсморазведочных работ результаты измерений представляются в виде сейсмограмм. В данной главе описывается разработанная автором программа Seismograph, предназначенная для построения расчётных сейсмограмм по результатам двумерных и

трехмерных численных расчётов. Для обеспечения кросс-платформенности совместно с высокой скоростью работы и простотой поддержки кода в качестве языка разработки выбран Python. Разработанная программа была протестирована и успешно работает, как на системах семейства Windows, так и Unix

Использование программы Seismograph позволило получить ряд практически важных результатов, которые были опубликованы в ведущих научных журналах. Например, анализ расчётных сейсмограмм, построенных по результатам двумерных расчётов, позволил выявить следующие закономерности:

- для случая расположения продуктивного пласта (кластера) с субвертикальными флюидонасыщенными трещинами в слоистом геологическом массиве при использовании продольного фронта возмущения имеется возможность регистрации фронта рассеянных поперечных колебаний, как главного сейсмического отклика от кластера;

- при изменении типа насыщения с флюида на газ происходит значительное изменение регистрируемого сейсмического отклика от кластера трещин, в частности, основной по интенсивности отклик перемещается с горизонтальной компоненты вектора скорости на вертикальную компоненту;

- протяжённость плоской части сейсмического отклика от кластера субвертикальных макротрещин соответствует горизонтальному размеру кластера вне зависимости от типа насыщения трещин.

Глава 4

Одним из физических феноменов, интересующих научное сообщество, является естественная сейсмичность планеты. В данной главе исследуется процесс инициации сейсмической активности и воздействия сейсмических волн на наземные сооружения.

Предложена вычислительная механико-математическая модель «очаг землетрясения - геологический вмещающий массив» на основе геофизической модели «подвижка по разлому» (Рисунок 1). Основой данной модели является представление о землетрясении, как о процессе постепенного накопления упругих напряжений в земной коре, состоящей из отдельных блоков. Поскольку разломы между блоками заполнены брекчией (горной породой, сложенной из угловатых обломков, размерами от 1 см, и сцементированной), а также существенны нормальные сжимающие региональные напряжения, эффективная сила трения между

бортами достаточно велика. Однако, при достижении некоторого порога, происходит проскальзывание граничащих блоков вдоль разлома и, соответственно, резкий спад напряжений. При этом вблизи разлома могут наблюдаться, как упругие, так и пластические и хрупко-пластические процессы. На большом удалении от места инициации возмущения существенны лишь упругие процессы, которые выражаются в распространении сейсмических волн через геологическую среду.

Рассмотрено влияние различных неоднородностей геологического массива (слоистость, карстовые образования, макротрещины) на распространяющееся упругое возмущение. Проведён численный расчёт воздействия отдельных компонент сейсмического сигнала, распространяющегося из гипоцентра землетрясения, на различные наземные сооружения (карьер, плотина, жилое сооружение (Рисунок 1), АЭС, каркасная железобетонная конструкция). Расчёты проводились, как в двумерной, так и в полной трёхмерной постановке. На основе оценки напряжений в материале конструкции и критерия пластичности Мизеса предложен подход к определению мест инициации разрушений и, следовательно, оценке сейсмостойкости сооружения.

Рис. 1. Модель землетрясения вида «подвижка по разлому» (слева) и волновая картина в материале строения (справа)

Глава 5

В данной главе численно исследуется распространение сейсмических волн в многослойной геологической среде в полной трёхмерной постановке.

Расчётная область представляла собой параллелепипед размерами 10 х 10 х 3 км и содержала пять слоёв с различными упругими характеристиками. В качестве источника начального возмущения использовались: 1 - плоская продольная волна, 2 - сферическая область радиального расширения, представляющая собой модель взрыва. Отдельно было изучено влияние присутствия существенно ограниченной по горизонтали неоднородности на результирующую сейсмограмму и волновую картину

в среде. При этом неоднородность располагалась в центре 4-го слоя и имела следующие характеристики: размеры 3000 х 3000 х 100 м, скорость продольных волн - 5500 м/с, скорость поперечных волн - 2100 м/с, плотность - 2500 кг/м3.

По результатам исследования были сделаны следующие выводы:

- на расчётной сейсмограмме для случая вертикального падения плоской продольной волны регистрируются все отражённые от границ слоёв сейсмические волны;

- при наличии неоднородности регистрируется дополнительный отклик на горизонтальной компоненте вектора скорости, обусловленный взаимодействием начальной волны с границами (углами) неоднородности;

- при радиальном источнике возмущения отличия в расчётной сейсмограмме для случая наличия неоднородности намного менее заметны, чем для случая плоской волны. Глава 6

Изучению трещиноватости продуктивных осадочных пород в последние два десятилетия были посвящены многочисленные исследования. Одним из главных инструментов этих исследований стал численный анализ волновых процессов, возникающих в трещиновато-кавернозных средах. В данной главе численно исследуется сейсмический отклик от кластера вертикальных макротрещин в полной трёхмерной постановке.

В качестве источника возмущения использовалась продольная упругая волна, распространяющаяся от дневной поверхности под углом 5° к вертикали в плоскости охг. Вмещающий массив представлял собой параллелепипед (10x10x3 км) с заданными упругими характеристиками, близкими к карбонатным породам. Скорость распространения продольных волн - 4500 м/с, поперечных волн - 2250 м/с, плотность среды -2500 кг/м3. В его центральной части, на глубине 2000 м, располагался кластер из 31 параллельной вертикальной макротрещины протяжённостью 3000 м и высотой 100 м. Расстояние между соседними трещинами составляло 100 м, а нормаль к их поверхностям совпадала с осью ох. В ходе расчёта на дневной поверхности производилась запись полного вектора скорости смещения в местах расстановки сейсмоприёмников. Рассматривалось площадное покрытие в виде квадратной сетки с шагом 50 м и осями, параллельными ох и оу.

По результатам интерпретации расчётных сейсмограмм и волновых картин, полученных в численных расчётах, были сделаны следующие выводы:

- при наличии в геологической среде кластера вертикальных макротрещин наблюдается объёмный сейсмический отклик сложной многокомпонентной структуры;

- его основными элементами являются: фронты рассеянных (дифрагированных) волн с продольным (РР) характером колебаний и обменных волн с поперечным (БУ) характером колебаний, совпадающие по площади с контуром системы макротрещин (Рисунок 2);

- при заполнении трещин газом интенсивность рассеянных фронтов обменных волн, распространяющихся вверх к дневной поверхности, слабее в 1,5-2 раза фронтов, распространяющихся вниз в глубину. При заполнении трещин флюидом - в пять раз слабее;

- первые интенсивные фазы фронтов рассеянных продольных и обменных волн сопровождаются шлейфами периодических колебаний, природа которых связана, по-видимому, с межтрещинным взаимодействием.

Рис. 2 Сечения расчётной области плоскостью ОХг (слева) и ОУ2 (справа)

Насыщение трещин - газ. Градациями серого цвета отмечен модуль скорости среды, а стрелками - вектор скорости в данной точке. К моменту измерения произошло формирование всех основных компонент сейсмического отклика

Глава 7

В данной главе рассматривается задача определения структуры гетерогенной геологической среды по данным наземных измерений, проводимых в процессе сейсмической разведки. Знание свойств и типов геологических пород, залегающих под дневной поверхностью, представляет большой интерес, например, при выборе площадок под строительство стратегически важных и потенциально опасных объектов, таких как атомные станции и хранилища вредных отходов.

Решается задача определения толщин геологических пластов слоистого массива. Рассматривался набор из трёх слоев с известными упругими характеристиками. В качестве начального возмущения использовался импульс Берлаге с частотой 30 Гц. В силу пространственной симметрии и параллельной ориентации слоёв задача решается в ш постановке. Тогда вектор z неизвестных параметров, определяющих задачу, содержит три компоненты - толщины каждого слоя нтт <hk <нта,к = 1,2,3. На поверхности Земли в фиксированной точке располагается сейсмо-приёмник, на котором в последовательные моменты tj записываются значения вертикальной компоненты скорости смещения vv(t:). Определяется значение вектора неизвестных параметров, при котором результаты численного эксперимента vy(z,tj) наилучшим образом совпадают с экспериментальными данными.

Таким образом, задача может быть сформулирована как поиск минимума следующего функционала качества:

min 7(z), г е {1,2,3} ,Я^ ]fu'",

m^h^-wf-

j

Вся область параметров разбивалась на равномерную сетку с шагом 50 м, и последовательно проводился расчёт функционала качества в каждой точке.

Также решалась задача определения ориентации и глубины залегания геологической флюидонасыщенной трещины на основе анализа расчётных сейсмограмм на дневной поверхности в 2D постановке. Рассматривается упругий слой с известными характеристиками, содержащий в центре (по горизонтали) наклонную трещину на некоторой глубине. Тогда вектор ¿неизвестных параметров содержит две компоненты: угол наклона трещины a^<a<a^ и глубину залегания трещины //,„ <h< //„,„ •

Таким образом, задача может быть сформулирована как поиск минимума следующего функционала качества:

min /(z), z е [ormin, «П1ю ]х[Нтт,Н mx ],

/(5) = XX.,/,.)"Vy(x,,tj)f .

' i

Исследовался диапазон глубин 350 - 950 м и диапазон углов отклонения от вертикали 0 - 180°.

Результаты исследования показали, что в обоих случаях функционал качества имеет множество мелких локальных и один глубокий глобаль-

ный минимум. Таким образом, для обеспечения высокой точности распознавания внутренней структуры геологического массива необходимо использовать максимально детальную сетку параметров. Глава 8

В данной главе рассматривается численное решение задач глобальной сейсмики. С использованием сеточно-характеристического метода на структурных криволинейных сетках рассчитываются динамические волновые процессы, как в двумерной, так и в трёхмерной постановке.

Исследовалось распространение сейсмических волн в пятислойной радиально симметричной двумерной модели Земли. Зависимости плотности среды и скоростей распространения упругих волн от радиуса были взяты из модели PREM. В качестве начального возмущения использовалось два вида источников: радиально расширяющаяся кольцевая область и модель очага землетрясения вида «подвижка по разлому».

Была проведена серия численных расчётов (Рисунок 3), включающих сравнение с опубликованными ранее результатами и аналитическим решением. Выявлено качественное совпадение результатов численных расчётов с результатами, полученными другими исследователями с использованием треугольных сеток. Некоторые различия могут быть объяснены несовпадением используемых моделей планеты и начального возмущения, а также особенностью визуализации результатов. Проведённое сравнение с аналитическим решением для случая параллельных однородных слоев подтвердило правильность расчёта распространения продольной волны вдоль диаметра планеты. Незначительное количественное отклонение, вероятно, связано с отличием радиуса кривизны границы между соседними слоями от нуля в численном эксперименте и размером расчётных ячеек.

6)

Рис. 3. Распределение модуля скорости в модели Земли: 300 с (а), 600 с (б) от

начала расчёта

Также была проведена серия тестовых расчётов, подтверждающих возможность прямого численного моделирования глобальной сейсмики Марса в полной трёхмерной постановке на структурных гексаэдральных

сетках. Получены волновые картины в материале планеты для случаев: однородной шарообразной модели; модели, включающей внутреннее ядро; многослойной модели с радиально симметричным распределением свойств.

Заключение

Приведем кратко основные результаты диссертационной работы.

1. Получено численное решения ряда практически важных задач сейсморазведки: а), рассчитан сейсмический отклик от кластера вертикальных газо- и флюидонасыщенных трещин в полной трёхмерной постановке; б), изучено влияние наличия пространственных горизонтальных неоднородностей в слоистой среде на сейсмический отклик и возможность их идентификации по сейсмограмме.

2. Доказана возможность определения параметров структуры геологического массива (ориентация трещин и мощности геологических сло-ёв) на основе решения серии прямых задач.

3.Предложена вычислительная механико-математическая модель «очаг землетрясения - гетерогенный вмещающий массив». Проведена её верификация для случая однородной среды, предложен способ восстановления параметров модели по данным наземных измерений. Числено решен ряд практических задач: а), изучено влияние внутренней структуры среды (слоистость, трещиноватость, наличие полостей) на сейсмический сигнал; б), исследовано воздействие сейсмического возмущения на строения различной геометрии (жилые строения, купольные сооружения, железобетонные каркасные конструкции, плотины, борта карьера).

4. Представлен численный подход к расчёту задач глобальной сейс-мики планеты на структурных гексаэдральных сетках. На серии вычислительных экспериментов установлено: а) качественное совпадение с результатами расчётов на треугольных сетках; б) количественное совпадение с аналитическим решением для случая слоистой среды; в) возможность сопоставления с записями реальных землетрясений.

5. Разработана программа Seismograph для визуализации результатов компьютерного моделирования процесса сейсмической разведки в гетерогенных средах, как в двумерном, так и в трёхмерном случае.

6. Выполнена адаптация компактных схем повышенного порядка точности для численного решения линейного уравнения переноса на двумерный случай (прямоугольные сетки). Проведено распараллеливание численных алгоритмов с использованием технологии MPI, что по-

зволило выполнить расчёты по оценке порядка сходимости схем за приемлемое время.

Одним из перспективных направлений дальнейшего развития является адаптация компактных сеточно-характеристических схем для решения определяющей системы уравнений упругого тела. Данный подход позволит существенно повысить точность компьютерного моделирования динамических процессов в гетерогенных средах без расширения пространственного шаблона. При этом интерес представляет также расширение подхода продолженных систем уравнений на структурные криволинейные и неструктурированные (треугольные и тетраэдральные) расчётные сетки.

Список работ, опубликованных автором по теме диссертации

¡.Голубев, В.И., Квасов, Д.Е., Квасов, И.Е. Определение положения сейсмогеологических трещин при помощи численных методов глобальной оптимизации / В.И. Голубев, Д.Е. Квасов, И.Е. Квасов // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 2. М.: МФТИ, 2010. - С. 20 - 22.

2. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Петров, И.Б. Воздействие природных катастроф на наземные сооружения / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, И.Б. Петров // Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23, № 8. - С. 46 -54.

3. Голубев, В.И., Михайлов, Д.Н. Моделирование динамики фильтрации двухчастичной суспензии через пористую среду / В.И. Голубев, Д.Н. Михайлов // Труды МФТИ. - 2011. - Т. 3, № 2(10). - С. 143 - 147.

4. Голубев, В.И., Квасов, И. Е., Петров, И.Б. Численное моделирование упругих волн, распространяющихся из гипоцентра землетрясения, и их воздействие на промышленные и жилые сооружения / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, И.Б. Петров // М.:МФТИ, Сб. трудов МФТИ: Математические модели и задачи управления. - 2011. - С. 87-93.

5. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Хохлов, Н.И., Петров, И.Б. Численное моделирование сейсмостойкости жилых и промышленных наземных сооружений / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, Н.И. Хохлов, И.Б. Петров // Сборник материалов XVI международной научно-практической конференции «Комплексная безопасность 2011 г.». ФГУ ВНИИ МЧС, 2011. - С. 55 -61.

6. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Хохлов, Н.И., Петров, И.Б. Численное моделирование волн Рэлея и Лява сеточно-характеристическим методом / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, Н.И. Хохлов, И.Б. Петров // Сборник материалов XVI международной научно-практической конференции «Комплексная безопасность 2011 г.». ФГУ ВНИИ МЧС, 2011. - С. 62 - 68.

7. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Петров, И.Б. Численное моделирование волновых процессов в гетерогенных средах / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, И.Б. Петров // Супервычисления и математическое моделирование. Труды XII международного семинара / Под ред. Р. М. Шагалиева. -Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2011. - С. 110 - 115.

8. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Распространение сейсмических волн в гетерогенных геологических средах и задачи сейсмостойкости зданий и сооружений / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // XIII международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование». Тезисы. - Саров: ФГУП «ВНЯЦ-ВНИИЭФ», 2011. - С. 59 - 60.

9. Голубев, В.И., Квасов, И.Е. Определение геометрических характеристик геологических пластов на основе методов быстрой оптимизации / В.И. Голубев, И.Е. Квасов // Труды 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Управление и прикладная математика. Том 2. М.: МФТИ, 2011. - С. 58 - 59.

10. Golubev, V.l., Kvasov, I.E., Petrov, I.B. Influence of Natural Disasters on Ground Facilities / V.l. Golubev, I.E. Kvasov, I.B. Petrov // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2012. - Vol. 4, No. 2. - P. 129 - 134.

11. Голубев, В.И. Разработка методики оценки сейсмостойкости наземных сооружений путём прямого численного моделирования / В.И. Голубев // Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области информатики и информационных технологий: сб. науч. работ: в 3 т., Том 1. Белгород: ИД «Белгород», 2012. - С. 72-76.

12. Дорошенко, A.B., Голубев, В.И., Хохлов, Н.И. Численное моделирование динамических процессов сеточно-характеристическим методом для нужд сейсмической томографии Марса / A.B. Дорошенко, В.И. Голубев, Н.И. Хохлов // Труды 55-й научной конференции МФТИ: Всероссийской научной конференции «Проблемы фундаментальных и при-

кладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Управление и прикладная математика. Том 1. М.: МФТИ, 2012. - С. 113 - 114.

13. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Расчёт динамических процессов в геологических средах на высокопроизводительных вычислительных системах / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // XIV международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование». Тезисы. - Саров: ФГУП «ВНЯЦ-ВНИИЭФ», 2012. - С. 58 - 60.

14. Голубев, В.И., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Численное моделирование сейсмической активности сеточно-характеристическим методом / В.И. Голубев, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 53, № 10. - С. 1709 -1720.

15. Петров, И.Б., Голубев, В.И., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Фаворская, А.В., Санников, А.В., Беклемышева, К.А. Динамическая диагностика элементов пути / И.Б. Петров, В.И. Голубев, В.А. Миряха, Н.И. Хохлов, А.В. Фаворская, А.В. Санников, К.А. Беклемышева // Вестник Института проблем естественных монополий: Техника железных дорог. -2013.-Т. 24, №4.-С. 82-95.

16. Голубев, В.И., Хохлов, Н.И. Математическое моделирование упругих возмущений, распространяющихся из очага землетрясения / В.И. Голубев, Н.И. Хохлов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Вычислительная математика и информатика». - 2013. - Т. 2, № 2. - С. 56 - 64.

17. Golubev, V.I., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I. Numerical Simulation of Seismic Activity by the Grid-Characteristic Method / V.I. Golubev, I.B. Petrov, N.I. Khokhlov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2013. - Vol. 53, No. 10. - P. 1709 - 1720.

18. Голубев, В.И., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Программа для расчёта сейсмических процессов в гетерогенных геологических средах (SEISMIC MODELING) / В.И. Голубев, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013619847 от 17 октября 2013 г.

19. Голубев, В.И. Методика отображения и интерпретации результатов полноволновых сейсмических расчётов / В.И. Голубев // Труды МФТИ.-2014.-Т. 6,№ 1.-С. 154-161.

20. Голубев, В.И., Петров, И.Б. Численное моделирование волновых процессов в трещиноватых средах в трёхмерной постановке / В.И. Голубев, И.Б. Петров // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. - 2014. - Вып. 4. - С. 139 - 146.

21. Голубев, В.И., Григорьевых, Д.П., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Оценка сейсмостойкости купольных конструкций на основе результатов полноволнового моделирования / В.И. Голубев, Д.П. Григорьевых, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2014. - T. 10, Вып. 1. - С. 65 - 71.

22. Петров, И.Б., Фаворская, А.В., Хохлов, Н.И., Миряха, В.А., Санников, А.В., Голубев, В.И. Мониторинг состояния подвижного состава с помощью высокопроизводительных вычислительных систем и высокоточных вычислительных методов / И.Б. Петров, А.В. Фаворская, Н.И. Хохлов, В.А. Миряха, А.В. Санников, В.И. Голубев // Математическое моделирование. - 2014. - Т. 26, № 7. - С. 19 - 32.

Личный вклад соискателя в работах с соавторами заключается в следующем:

1. Численно решена задача о влиянии внутренней структуры геологического массива на распространение в нём сейсмических волн.

2. Предложена методика определения структуры геологического массива на основе решения серии прямых задач сейсморазведки и минимизации целевого функционала.

3. Предложена вычислительная механико-математическая модель «очаг землетрясения - гетерогенный вмещающий массив», проведены верификационные расчёты и сравнение с результатами наземных наблюдений.

4. Получено численное решение и проведён анализ воздействия интенсивных динамических нагрузок на наземные сооружения, как в двумерной, так и в трёхмерной постановке.

5. Программный комплекс на треугольных сетках адаптирован для расчёта волновых процессов в многослойных трещиноватых средах в двумерной постановке.

Голубев Василий Иванович

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ НЕОДНОРОДНЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СРЕД

Автореферат

Подписано в печать 16.09.2014. Формат 60 х 84 '/|6. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 310. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9